close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

552

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2878
282025
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра физики и биомедицинской техники
Математическое моделирование биологических систем
Методические указания к лабораторным работам № 2,3,4,5
по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем»
Составители: В.А. Корчагина, Ю.Н. Батищева
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра физики и биомедицинской техники
Математическое моделирование биологических систем
Методические указания к лабораторным работам № 2,3,4,5
по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем»
Составители: В.А. Корчагина, Ю.Н. Батищева
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 57.02 (07)
К703
Рецензент – Л.Н. Грызова
К703 Корчагина, В.А. Методические указания к лабораторным работам
№ 2,3,4,5 «Математическое моделирование биологических систем» / сост.: В.А.
Корчагина, Ю.Н. Батищева – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2011. - 28 с.
Методические указания предназначены для студентов 5
специальности «Инженерное дело в медико-биологической практике».
курса
Ил.12. Библиогр.: 4 назв.
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный
технический университет», 2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование биологических систем
Краткая теория
Математическое моделирование — это методология исследования процессов
и явлений на их математических моделях. Совокупность понятий и отношений,
выраженных при помощи системы математических символов и обозначений,
которые отражают наиболее существенные свойства изучаемой системы,
называют математической моделью этой системы. При этом модель является
средством для изучения моделируемого объекта и управления им.
При построении математической модели можно выделить шесть основных
этапов. На первом этапе производится описание проблемной области,
формулируются цели и задачи моделирования. На втором этапе составляется
перечень требований к модели, определяются входные переменные и
допустимые погрешности моделирования. На третьем этапе разрабатывается
концепция модели, дается ее вербальное описание, строится логическая схема.
Следующий этап является наиболее трудоемким и заключается в разработке
математической модели, компьютерной
программы для ее реализации и
обработке результатов эксперимента. На пятом этапе производится проверка
адекватности математической модели. Окончательная проверка пригодности
модели для решения поставленных задач осуществляется на заключительном
этапе.
Среди математических моделей выделяется группа имитационных моделей.
Процесс построения имитационной модели можно представить следующим
образом.
Мы
записываем
в
любом
доступном
для
компьютера
формализованном виде (в виде уравнений, графиков, логических соотношений,
вероятностных законов) все, что знаем о системе, а потом проигрываем на
компьютере варианты того, что может дать совокупность этих знаний при тех
или иных значениях внешних и внутренних параметров системы.
Основные этапы построения имитационной модели следующие.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формулируются основные вопросы о поведении сложной системы,
ответы на которые мы хотели бы получить. В соответствии с задачами
моделирования задается вектор состояния системы. Вводится системное время,
моделирующее ход времени в реальной системе. Временной шаг модели также
определяется целями моделирования.
Производится декомпозиция системы на отдельные блоки, связанные друг
с другом, но обладающие относительной независимостью. Для каждого блока
определяют, какие компоненты вектора состояния должны преобразовываться в
процессе его функционирования.
Формулируют законы и гипотезы, определяющие поведение отдельных
блоков и связь этих блоков друг с другом. При необходимости вводится
“внутреннее
системное
время”
данного
блока
модели,
позволяющее
моделировать более быстрые или более медленные процессы. Если в блоке
используются случайные параметры, задаются правила отыскания на каждом
шаге некоторых их реализаций. Разрабатываются программы, соответствующие
отдельным блокам.
Каждый блок верифицируется по фактическим данным, и при этом его
информационные связи с другими блоками “замораживаются”. Обычно
последовательность
действий при верификации блоков
такова: часть
имеющейся информации используется для оценки параметров модели, а затем
по
оставшейся
части информации сравнением расчетных данных с
фактическими проверяется адекватность модели.
Производится объединение разработанных блоков имитационной модели на
базе стандартного или специально созданного математического обеспечения.
Апробируются и отрабатываются различные схемы взаимодействия блоков. На
этом этапе всю “большую модель” удобно рассматривать как комплекс
автоматов с памятью или без нее, детерминированных или стохастических.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Работа с моделью тогда представляет собой изучение коллективного поведения
автоматов в случайной или детерминированной среде.
Производятся верификация имитационной модели в целом и проверка ее
адекватности.
Здесь
решающими
оказываются
знания
экспертов
–
специалистов, хорошо знающих реальную систему.
Планируются эксперименты с моделью. При анализе их результатов
используются статистическая обработка информации, графические формы
выдачи данных и пр. Результаты экспериментов пополняют информационный
фонд (банк данных) и используются при дальнейшей работе с моделью.
На каждом из этапов могут возникнуть трудности, для преодоления которых
необходимо перестраивать модель, расширять список фазовых переменных,
уточнять вид их взаимодействий. По существу, создание имитационной модели
включает путь последовательных приближений, в процессе которых получается
новая информация об объекте моделирования, усовершенствуется система
наблюдений, проверяются гипотезы о механизмах тех или иных процессов в
рамках
общей
имитационной
системы.
Основным
преимуществом
имитационного моделирования по сравнению с аналитическим подходом
заключается в возможности решать задачи исключительной сложности, а
именно:
— при наличии в одной системе элементов непрерывного и дискретного
действия;
— в случае нелинейных соотношений любого характера, описывающих связи
между элементами системы;
— в условиях воздействия многочисленных случайных факторов сложной
природы, которые приводят к принципиальным и часто непреодолимым
трудностям при аналитических исследованиях.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моделирование биологических систем при выполнении лабораторных
работ будем осуществлять с помощью математического пакета программ
MathCAD.
Математический
пакет
программ
MathCAD предоставляет набор
встроенных функций по численному решению дифференциальных уравнений.
Две из таких функций: rkfixed и Rkadapt, производящие вычисления согласно
методу Рунге-Кутта k-го порядка.
В функции rkfixed (Y,x1,x2,n,F) и Rkadapt (Y,x1,x2,n,F) входят следующие
параметры:
Y – вектор начальных условий с размерностью, соответствующей
порядку k
дифференциального уравнения или числу уравнений первого
порядка;
x1,x2,n – граничные значения интервала и число фиксированных точек, в
которых ищется приближенное решение;
F– вектор, в котором записаны правые части дифференциальных
уравнений.
В результате решения получается матрица, содержащая (k+1) столбцов и
(n+1) строчек. В первом столбце содержатся фиксированные значения
аргумента t0, t1,t2,…,tn, во втором – соответствующие им значения искомой
функции у(t0), у(t1), у(t2),… у(tn), в третьем - значения первых производных в
тех же узлах и т.д.
Различия между функциями rkfixed и Rkadapt состоит в следующем.
Первая из них ищет приближенное решение с постоянным шагом, втораяосуществляет адаптивный контроль процесса решения: с более мелким шагом
при быстром изменении функции и более крупным – при медленном.
Лабораторная работа №2 «Модель Вольтера».
Цель работы: закрепление знаний о функционировании биологических
систем,
полученных
на
лекциях
по
дисциплине
«Моделирование
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
биологических процессов и систем», приобретение навыков работы с
программным пакетом MATHCAD, составление программы расчета и ее
решение для модели Вольтера.
Пусть в некоторой среде обитания с неограниченными запасами пищи
проживает определенный вид животных, который мирно уживается с другими
видами и поэтому живет как бы изолированно. Обозначим общее число особей
вида в данный момент через N. Примем, что прирост ΔN особей за малый
промежуток времени Δt пропорционален числу особей N и потому
определяется зависимостью:
N  k  N  t ,
(1.1)
от которой перейдем к дифференциальной записи:
dN
kN,
dt
(1.2)
где k– коэффициент пропорциональности.
Интегрируя (1.2), получим
N  N 0  expk (t  t0) ,
(1.3)
где N 0 – число особей при t  t 0 .
Таким образом, согласно (1.3) в изолированной системе число особей
возрастает со временем по экспоненциальному закону. Ситуация усложняется,
если часть прироста особей поедается некими «хищниками». С учетом данного
фактора, Вольтер при составлении уравнений исходил из следующих, вполне
реальных допущений:
- пища «жертвы» не ограничена средой обитания;
- «хищник» питается только жертвой;
- прирост «жертв» пропорционален их численности;
- убыль «жертв» пропорциональна произведению числа «жертв» и «хищников»;
- прирост «хищников» пропорционален произведению числа «хищников» и
«жертв»;
- убыль «хищников» пропорциональна их числу.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель такого биоценоза, т.е. некоторого сообщества животных,
с
учетом введенных допущений определяется следующей системой из двух
дифференциальных нелинейных уравнений:
 dN1
 dt   1 N 1   2 N 1 N 2 ,

 dN 2   N   N N ,
2
2
1 1 2
 dt
где
N 1 - число особей «жертв»;
(1.4)
N 2 - число особей «хищников»;  1 -
коэффициент естественного прироста «жертв»;  2 - коэффициент естественной
убыли числа «хищников»;  1 - коэффициент уничтожения «хищниками» своих
«жертв»;  2 - коэффициент защиты «жертв» от «хищников».
Приведем уравнения (1.4) к нормированному виду:
 dx
 d  Bx (1  y ),

 dy  y ( x  1),
 d
(1.5)
N 
N 
где x  1 1  - относительное число «жертв»; y  2 2  - относительное
2
1

число «хищников»;   t   2 - нормированное время; B  1  - постоянный
2
коэффициент.
Для определения колебания числа «жертв» и «хищников» решим
нелинейные
дифференциальные
приведенную на рис.1.
уравнения
(1.5),
составив
программу,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ORIGIN  1
0
2

1
0
y  
 B  y1  1  y2 

F( t  y)  
 y  y  1 
 2 1

Z
ORIGIN  0
t:=Z<0>
Z  Rkadapt ( y  0  30 3001 F)
X: =Z<1>
Y:=Z<2>
1
2
0
9.997·1 0 -3
2
1
1
2
1.01
2
0.02
1.998
1.02
3
0.03
1.996
1.03
4
0.04
1.994
1.041
5
0.05
1.99
1.051
6
0.06
1.985
1.062
7
0.07
1.98
1.072
8
0.08
1.974
1.083
9
0.09
1.967
1.093
10
0.1
1.959
1.104
11
0.11
1.951
1.114
12
0.12
1.942
1.125
13
0.13
1.931
1.135
14
0.14
1.921
1.146
15
0.15
1.909
1.156
Рис.1. Программа расчета колебаний в модели Вольтера
Результат решения по программе при В=4 в виде графиков приведен на рис.2.
Рис.2. Результаты расчета по программе рис.1
Дадим пояснение к составленной программе (рис.1) решения системы
уравнений (1.1).
ORIGIN=1 означает, что нумерация координат вектора начинается с 1.
N=3001 – число рассчитываемых точек или узлов.
 2
y    – вектор начальных значений функций y1 и ее производной y2.
1 
F(t, у) – вектор правых частей уравнений.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x1 = 0, x2 = 30 – начальное и конечное значения интервала времени t,
внутри которого находится решение;
Z – матрица, содержащая значения решения уравнения и его производной
в рассчитываемых точках – узлах сетки;
Z 1 – столбец, содержащий координаты узлов времени t;
Z 2 – столбец, содержащий значения решения y в этих узлах;
Z 3 – столбец, содержащий значения производной решения в этих узлах.
Помимо самой программы на рис.1. представлены результаты решения в
виде таблицы и графиков искомой функции y(t) и фазовой траектории системы
– зависимости y(x) имеет вид замкнутой кривой – искривленного эллипса рис.2.
Из рис.2. следует, что функции x(t) («жертвы») y(t) («хищники») имеют
колебательный характер, причем максимум y(t) сдвинут по фазе относительно
x(t) на определенную величину. Такой же характер имеют графики,
построенные
на основании экспериментальных данных при близком
соблюдении условий существования биоценоза,
положенных в основу
уравнений Вольтера. Следовательно, развитие жизни при определенных
условиях может носить колебательный характер.
Содержание отчета.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1) краткую теоретическую часть, включающую в себя дифференциальные
уравнения для описания данной модели;
2) программу расчета модели;
3) таблицу, содержащую значения решения уравнений в рассчитываемых
точках;
4) результат решения модели по программе в виде графиков;
5) выводы по проделанной работе.
Контрольные вопросы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) Что такое математическое моделирование, цели и задачи?
2) Опишите общий алгоритм математического моделирования.
3) Что такое имитационное моделирование?
4) Расскажите основные принципы имитационного моделирования.
5) Перечислите основные функции математического пакета программ
MathCAD, используемые для моделирования биологических систем.
6) Метод Рунге-Кутта.
7) Особенности построения модели Вольтера.
8) Составьте
дифференциальные
уравнения,
описывающие
модель
биоценоза.
9) Докажите, что развитие жизни при определенных условиях может носить
колебательный характер.
Библиографический список
1. Охорзин, В.А. Прикладная математика в системах MATHCAD: учебное
пособие/В.А.Охорзин.-СПБ.:Лань,2009.-с.352.
2. Герман, И. Физика организма человека/ И.Герман.-М.:Интеллект,2011.с.992.
3. Дворецкий, С.И. Моделирование систем [ Текст ]/ С.И. Дворецкий, Ю.Л.
Муромцев, В.А. Погонин, А.Г. Схиртладзе.-М.: Академия, 2009.-с.320
4. Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум / Б.Я. Советов. – М.:
Высшая школа, 2009.-с.295.
Лабораторная работа №3 « Моделирование процесса гликолиза».
Цель работы: закрепление знаний о функционировании биологических
систем,
полученных
на
лекциях
по
дисциплине
«Моделирование
биологических процессов и систем», приобретение навыков работы с
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
программным пакетом MATHCAD, составление программы расчета и ее
решение для модели процесса гликолиза.
Рассмотрим живую клетку, в которой в процессе гликолиза происходят
колебания концентрации реагентов протекающей биохимической реакции. Сам
гликолиз представляет собой сложную цепь химических реакций, приводящих
к расщеплению молекул глюкозы и синтезу вещества, с помощью которого
клетка пополняет запасы энергии. Всякий раз, когда живая клетка черпает
энергию, происходят концентрационные колебания. Вычисленные согласно
теории периоды этих колебаний и необходимые значения концентраций реагентов, участвующих в процессе гликолиза, удовлетворительно согласуются с
биохимическими экспериментами.
Процесс гликолиза, распадающийся на несколько стадий, в упрощенном
виде может быть описан с помощью двух нелинейных дифференциальных
уравнений, предложенных Дж. Хингинсом:
 dx
 dt  1  xy,
 dy
  y ( x  1   ),
 dt
y
(1.6)
где x, у — безразмерные переменные, определяющие концентрации
участвующих в реакции реагентов;  , 
— постоянные коэффициенты,
влияющие на скорость протекания реакции.
Программа решения уравнений (1.6) приведена на рис.3. Результаты
решения по программе при   100,   10 (1-й случай) и
  10,   10 (2-й
случай) в виде графиков зависимостей концентраций реагентов от времени
x(t)=U(t) и y(t)=V(t), а также фазовые портреты системы х(у)=U(V) приведены
на рис.4.
  10
ORIGIN  1
2

2
x  
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  100
1x x


1 2


F( t  x)  
1     

  x2   x1  x    
2


  t:= X<1>
U:= X<2>
V:=X<3>
Рис.3.Программа расчета процесса гликолиза
X  rkfixedx
(  0  30 3001 F)
Рис.4. Результаты расчета по программе MATHCAD
В первом случае процесс гликолиза носит колебательный характер, во
втором - затухающий колебательный. Изменяя параметры
легко найти их
бифуркационные значения, означающие переход от одного вида колебаний к
другим.
Так,
при
 =10=const
система из
состояния
стационарных
автоколебаний переходит к затухающим при   17 . В первом случае — при
стационарных колебаниях — фазовый портрет имеет устойчивый предельный
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цикл в виде замкнутой кривой по форме, близкой к треугольнику, во втором —
при затухающих колебаниях — в виде сворачивающейся спирали с устойчивым
фокусом. Затухание колебаний связано с ограниченным количеством исходного
вещества, расходуемого в процессе реакции.
Период колебаний Т в системе в определенной зоне изменения
параметров  и  слабо зависит от их значений. Так, в рассматриваемых
примерах значение Т=2,35. Такое постоянство периода колебаний позволяет
ввести такое понятие, как «химические часы». Во многих случаях при
протекании химических реакций периодические колебания концентраций
реагентов перерождаются в хаотические, а затем вновь возвращаются к
периодическому характеру колебаний.
Содержание отчета.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1) краткую теоретическую часть, включающую в себя дифференциальные
уравнения для описания данной модели;
2) программу расчета модели;
3) таблицу, содержащую значения решения уравнений в рассчитываемых
точках;
4) результат решения модели по программе в виде графиков;
5) выводы по проделанной работе.
Контрольные вопросы
1) Что такое математическое моделирование, цели и задачи?
2) Опишите общий алгоритм математического моделирования.
3) Что такое имитационное моделирование?
4) Расскажите основные принципы имитационного моделирования.
5) Перечислите основные функции математического пакета программ
MathCAD, используемые для моделирования биологических систем.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6) Метод Рунге-Кутта.
7) Что такое фазовый портрет.
8) Особенности построения модели процесса гликолиза.
9) Какие параметры влияют на характер протекания процесса гликолиза?
10)Что такое «химические часы»?
Библиографический список
1)Охорзин, В.А. Прикладная математика в системах MATHCAD: учебное
пособие/В.А.Охорзин.-СПБ.:Лань,2009.-с.352.
2) Герман, И. Физика организма человека/ И.Герман.-М.:Интеллект,2011.с.992.
3) Дворецкий, С.И. Моделирование систем [ Текст ]/ С.И. Дворецкий, Ю.Л.
Муромцев, В.А. Погонин, А.Г. Схиртладзе.-М.: Академия, 2009.-с.320
4) Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум / Б.Я. Советов. – М.:
Высшая школа, 2009.-с.295.
Лабораторная работа №4. «Математическая модель кросскатализа».
Цель работы: закрепление знаний о функционировании биологических
систем,
полученных
на
лекциях
по
дисциплине
«Моделирование
биологических процессов и систем», приобретение навыков работы с
программным пакетом MATHCAD, составление программы расчета и ее
решение для модели кросскатализа.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В биологии важное место занимает класс каталитических реакций,
называемый кросскатализом, т.е. «перекрестным» катализом. Схема одной из
таких реакций представлена на рис. 5 .
Согласно схеме рис.5 химическая реакция протекает следующим
образом: из вещества А образуется вещество X, превращаемое затем в Е, не
реагирующее ни с одним из реагентов и выводимое из реакции.
Реагент Y, получаемый из X, одновременно участвует в создании X, что
графически отображается с помощью петель обратной связи. Исходные
концентрации всех веществ, участвующих в реакции, заданы.
A
X
A
E
B
B+X
X
Y+D
3X
2X+Y
X
Y
E
D
Рис.5. Структурная схема кросскатализа
Следующая система дифференциальных уравнений, разработанная
И.
Пригожиным и его сотрудниками и получившая название «брюсселятор» (по
месту работы авторов уравнений в г. Брюсселе), является математической
моделью химической реакции, приведенной на рис. 5:
 dx
2
 dt  a  (b  1) x  x y,

 dy  bx  x 2 y,
 dt
(1.7)
где х, у — меняющиеся в процессе протекания реакции концентрация реагентов
X, Y; а, b — исходные концентрации реагентов А, В, влияющие на скорость и
характер протекающей реакции.
Программа решения уравнений (1.7) приведена на рис.6, а результаты
решения по ней при а = 1 и трех значениях b = 4, 3 и 1,9 — на рис.7. Расчеты
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
по программе и анализ полученных результатов показывает, что характер
протекающего в системе процесса зависит от дискриминанта ∆ = а 2 -b. При
∆>∆кр процесс изменения концентраций X, Y носит затухающий характер и
система приходит в стационарное состояние, означающее постоянство концентрации веществ X, Y, определяемое условиями dx/dt=0 и dy/dt = 0. При ∆<∆ кр в
системе начинается автоколебательный процесс, связанный с колебаниями
концентраций веществ X, Y с определенным периодом Т.
Границе между
двумя данными состояниями химической системы соответствует значение ∆ кр =
- 1 при а=1. Сказанное подтверждается графиками, построенными на рис.7.
Фазовый портрет системы Y(X), приведенный на том же рис.7, показывает, что
периодическому
колебательному
процессу
соответствует
устойчивый
предельный цикл, затухающему — устойчивый фокус.
ORIGIN  1
a  1
b  3
 2 

 1.4 
y  
 a  ( b  1)  y  y 2  y 

1  1
2
F( t  y )  

2


b  y  y   y
1
1
2


Z  rkfixedy
(  0  50 5001 F)
t:=Z<1>
X:=Z<2>
Y:=Z<3>
Рис.6. Программа расчета модели «брюсселятор»
Важно заметить, что характер протекающих в системе процессов не
зависит от начальных условий. В заключение отметим, что автоколебательные
процессы помимо рассмотренных систем свойственны и многим другим
биологическим и химическим структурам. При известных математических
моделях этих систем анализ протекающих в них процессов может проводиться
по аналогичным программам.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.7. Результаты расчета по программе MATHCAD
Содержание отчета.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1) краткую теоретическую часть, включающую в себя дифференциальные
уравнения для описания данной модели;
2) программу расчета модели;
3) таблицу, содержащую значения решения уравнений в рассчитываемых
точках;
4) результат решения модели по программе в виде графиков;
5) выводы по проделанной работе.
Контрольные вопросы
1) Что такое математическое моделирование, цели и задачи?
2) Опишите общий алгоритм математического моделирования.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) Что такое имитационное моделирование?
4) Расскажите основные принципы имитационного моделирования.
5) Перечислите основные функции математического пакета программ
MathCAD, используемые для моделирования биологических систем.
6) Метод Рунге-Кутта.
7) Что такое фазовый портрет.
8) Что такое кросскатализ?
9) Особенности моделирования химических реакций.
Библиографический список
1) Охорзин, В.А. Прикладная математика в системах MATHCAD: учебное
пособие/В.А.Охорзин.-СПБ.:Лань,2009.-с.352.
2) Герман, И. Физика организма человека/ И.Герман.-М.:Интеллект,2011.с.992.
3) Дворецкий, С.И. Моделирование систем [ Текст ]/ С.И. Дворецкий, Ю.Л. ,
Муромцев, В.А. Погонин, А.Г. Схиртладзе.-М.: Академия, 2009.-с.320
4) Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум / Б.Я. Советов. – М.:
Высшая школа, 2009.-с.295.
Лабораторная работа №5 « Моделирование аритмии сердца».
Цель работы: закрепление знаний о функционировании биологических
систем,
полученных
на
лекциях
по
дисциплине
«Моделирование
биологических процессов и систем», приобретение навыков работы с
программным пакетом MATHCAD.
В 1928 г. голландские ученые Ван-дер-Поль и Ван-дер-Марк разработали
динамическую модель сердца
в виде трех связанных между собой
автогенераторов. С помощью созданного устройства ученые пытались
моделировать некоторые болезни сердца, в том числе и аритмию. Повторим
такое исследование с помощью компьютерного моделирования трех связанных
автогенераторов А-1, А-2, А-З (рис.8).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k2
k1
A-1
k5
k3
A-3
A-2
k4
k6
Рис.8. Структурная схема взаимодействия трех автогенераторов
Аритмией называется нарушение нормального ритма сокращений сердца.
Проявляется аритмия в учащении или замедлении сердечных сокращений, в
нарушении их последовательности и силы.
Составим систему дифференциальных уравнений для трех связанных
между собой автогенераторов. Такая система как частный случай уравнений
(1.9) имеет вид:
 d 2 u1
2
4 du1
 1u1  k1u 2  k 2 u 3  0,
 2  1 (1  a1u1  a 2 u1  a3u1 )
d
 d
 d 2u2
2
4 du 2
  2 u 2  k 3u1  k 4 u 3  0,
 2   2 (1  a1u 2  a 2 u1  a3u 2 )
d

d


 d 2u3
2
4 du 3
  3u 3  k 5 u1  k 6 u 2  0,
 2   3 (1  a1u 3  a 2 u 3  a3u 3 )
d
 d
где
u1 (t ), u 2 (t ), u 3 (t )
автогенераторов; k1  k 6
1 ,  2 ,  3
—
колебания
1-го,
(1.8)
2-го
и
3-го
—коэффициенты связи между автогенераторами;
— отношение собственной частоты i-го автогенератора в автономном
режиме к частоте автоколебаний в системе;    t — нормированное время.
Система дифференциальных уравнений для i автогенераторов:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M1
 d 2u1
du1


Ô
(
u
)


u

ki ui  0,

1 1 1
1 1
 d 2
d

i

2

M2
 d 2u1
du2


Ô
(
u
)


u

ki ui  0,
 2

2 21
2
2 2
d
 d
i 1
......................................................................,

Mn
 d 2u n
dun
  nun   ki ui  0,
 2   nÔ n (un )
d
i 1
 d
где
Ô i (u i ) —
нелинейная функция;
(1.9)
ki —
коэффициент связи i-го
автогенератора с другими;  i — отношение собственной частоты i-го
автогенератора в автономном режиме работы к частоте автоколебаний в
системе.
Программа расчета режима синхронизации автогенераторов согласно
(1.9) приведена на рис.9.
ORIGIN  1
 0.5 
a   1 


 0.01
 0.1 
   0.1 
 
 0.1 
 1.5 
   1.05


 1.1 
 0.2 
 0.2 


0.2 

y 
 0.2 
 0.15


 0.15
y


2
 

2
4
 1   1  a1  y 1  a2   y 1  a3   y 1   y 2  y 1   1  k1  y 3  k2  y 5


y
4


F( t  y )  

2
4

 2   1  a1  y 3  a2   y 3  a3   y 3   y 4  y 3   2  k3  y 1  k4  y 5


y


6


2
4
 3   1  a1  y 5  a2   y 5  a3   y 5   y 6  y 5   3  k5  y 1  k6  y 3
 1
Z ORIGIN
 rkfixedy
( 
 00
U1
200
 F)
 10001
Z
 25
U3
V1  Z
 6
V3  Z
 0.1 
 0.1 
 
0.1 
k  
 0.1 
 0.1 
 
 0.1 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t:=Z<0>
 3
U2  Z
 4
V2  Z
Рис.9. Программа расчета колебаний модели сердца (пример 1)
В программе каждое из уравнений (1.9) второго порядка представлено в
виде двух уравнений 1-го порядка, Ul(t), U2(t), U3(t) — функции колебаний
u3(t); u2(t), u3(t); VI, V2, V3 — их производные.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.10. Результаты расчета по программе (пример 1)
ORIGIN  1
 0.5 
a   1 


 0.01
 0.1 
   0.1 
 
 0.1 
 1.5 
   1.15


 1.3 
 0.2 
 0.2 


0.2 

y 
 0.2 
 0.15


 0.15
y


2
 

2
4
 1   1  a1  y 1  a2   y 1  a3   y 1   y 2  y 1   1  k1  y 3  k2  y 5


y
4


F( t  y )  

2
4

 2   1  a1  y 3  a2   y 3  a3   y 3   y 4  y 3   2  k3  y 1  k4  y 5


y


6


2
4
 3   1  a1  y 5  a2   y 5  a3   y 5   y 6  y 5   3  k5  y 1  k6  y 3
 0.1 
 0.1 
 
0.1 
k  
 0.1 
 0.1 
 
 0.1 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.11. Программа расчета колебаний модели сердца (пример 2)
Результаты расчета по программе двух примеров в виде зависимости
переходного процесса в автогенераторах U1(t), U2(t), U3(t) и фазовых
траекторий VI (Ul), V2(U2), V3(U3) приведены на рис.10 и 11. Исходные
данные для первого примера приведены в начале программы рис. 9, для второго
— перед графиками на рис. 11.
Из анализа полученных результатов следует, что при относительно
небольшом (в пределах 10 %) расхождении собственных частот колебаний
автогенераторов в системе устанавливается режим синхронизма, при котором
частоты автоколебаний становятся равными, о чем свидетельствуют графики,
на которых совмещены функции Ul(t), U2(t), U3(t) (см. рис. 10). При большем
расхождении частот автоколебаний в пределах 15...30 % режим синхронизма
нарушается и колебания автогенераторов приобретают вид биений (см. рис. 12),
напоминающий электрокардиограмму при аритмии сердца.
Таким образом, с помощью компьютерного анализа подтверждается идея
Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка о возможности моделирования работы сердца с
помощью трех связанных между собой автогенераторов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.12. Результаты расчета по программе (пример 2).
Содержание отчета.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1) краткую теоретическую часть, включающую в себя дифференциальные
уравнения для описания данной модели;
2) программу расчета модели;
3)таблицу, содержащую значения решения уравнений в рассчитываемых
точках;
4)результат решения модели по программе в виде графиков;
5)выводы по проделанной работе.
Контрольные вопросы
1) Что такое математическое моделирование, цели и задачи?
2) Опишите общий алгоритм математического моделирования.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) Что такое имитационное моделирование?
4) Расскажите основные принципы имитационного моделирования.
5) Перечислите основные функции математического пакета программ
MathCAD, используемые для моделирования биологических систем.
6) Метод Рунге-Кутта.
7) Что такое фазовый портрет.
8) Динамическая модель сердца Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка.
9)Особенности моделирования аритмии сердца.
10)Какие механизмы лежат в основе большинства нарушений ритма сердца?
11)Чем определяется амплитуда и форма электрокардиографических
комплексов при различной локализации электродов.
Библиографический список
1) Охорзин, В.А. Прикладная математика в системах MATHCAD: учебное
пособие/В.А.Охорзин.-СПБ.:Лань,2009.-с.352.
2) Герман, И. Физика организма человека/ И.Герман.-М.:Интеллект,2011.с.992.
3) Дворецкий, С.И. Моделирование систем [ Текст ]/ С.И. Дворецкий, Ю.Л.
Муромцев, В.А. Погонин, А.Г. Схиртладзе.-М.: Академия, 2009.-с.320
4) Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум / Б.Я. Советов. – М.:
Высшая школа, 2009.-с.295.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическое моделирование биологических систем
Методические указания к лабораторным работам № 2,3,4,5
по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем»
Составители:
Корчагина Вера Анатольевна
Батищева Юлия Николаевна
Редактор Е.А. Федюшина
Подписано в печать
. Формат 60x84.1/16. Бумага офсетная.
Ризография. Печ.л. 1.8. Тираж 50 экз. Заказ №
Липецкий государственный технический университет.
398600, Липецк, ул. Московская, 30.
Типография ЛГТУ. 398600, Липецк, ул. Московская, 30.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра физики и биомедицинской техники
Математическое моделирование биологических систем
Методические указания к лабораторным работам № 2,3,4,5
по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем»
Составители: В.А. Корчагина, Ю.Н. Батищева
Утверждаю к печати
Проректор по учебной работе
Объем 1,8 п.л.
Качановский Ю.П.
Тираж 50 экз.
«
»
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2012
2012г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра физики и биомедицинской техники
Методические указания к практическим занятиям по курсу
«Системный анализ»
Составители: В.А. Корчагина, Ю.Н. Батищева, В.В. Лебедев
Утверждаю к печати
Зав. кафедрой физики и БМТ
С.И. Шарапов
«
»
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2012
2012г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
723 Кб
Теги
552
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа