close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

416

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ
СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
Методическое пособие для вузов
Составители:
Н.Б. Баева,
Д.В. Ворогушина
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ ВГУ от
21.09.09, протокол № 1
Рецензент доцент кафедры информационных технологий и математических
методов в экономике экономического факультета ВГУ И.Н.Щепина
Рекомендуется для студентов 2 курса специальности бизнес-информатика и 4
курса специальности прикладная математика и информатика дневного
отделения факультета прикладной математики, информатики и механики
Для специальностей: 010501 – Прикладная математика и информатика,
080700 – Бизнес-информатика
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
§1. Основы проектирования систем…………………………………………...4
1.1. Основные понятия и факты. Простейший описатель системы…..4
1.2. Функционирование целевых систем: понятие, описатели,
примеры………………………………………………………………....13
1.3. Динамические системы: сущность, структура, классификация,
способы описания. Система как черный ящик………………………………18
§2. Управление сложными экономическими объектами...…………………..28
2.1. Понятие сложности. Сложные системы………………………......28
2.2. Управление сложными системами. Типы управления…………...28
2.3. Основная формула теории управления с обратной связью и ее
приложения. Мультипликатор Кейнса…………………………………31
§3. Моделирование экономических процессов как основа эффективной
организации сложных систем………………………………………………….37
3.1. Основные понятия и факты………………………………………...37
3.2. Модели формирования оптимального ассортимента……………43
3.3. Типовые модели процессов смешивания………………………….51
3.4. Модели оптимального раскроя материала………………………..59
Литература………………………………………………………………………66
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§1. Основы проектирования систем.
1.1. Основные понятия и факты. Простейший описатель системы.
В настоящее время нет единого определения понятия «система».
Основоположник теории систем Людвиг фон Берталанфи определял систему
как комплекс взаимодействующих элементов или как совокупность
элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом и со
средой. А. Холл понимал под системой множество предметов вместе со
связями между предметами и между их признаками. Начиная с
основоположника кибернетики У.Р.Эшби в определение понятия «система»
наряду с элементами, связями и их свойствами и целями начинают включать
наблюдателя.
Под системой ( S ) будем
понимать совокупность элементов,
вступающих в отношения друг с другом и обладающих целостностью и
единством.
Элемент ( e ∈ E ) – неделимая часть системы, определяемая на основе
заранее введенных общих принципов, для которых известны основные
характеристики. E - множество элементов системы. Элемент является
пределом разбиения системы с точки зрения решения конкретной задачи и
поставленной цели. Элементы системы могут задаваться, например, простым
перечислением, множеством.
Подсистема – совокупность элементов, находящихся между собой в
более тесных связях, принадлежащих системе в целом и способных
выполнять относительно независимые функции, подцели. Система может
быть разделена на элементы не сразу, а последовательным расчленением на
подсистемы, которые представляют собой компоненты более крупные чем
элементы, и в то же время более детальные, чем система в целом.
Каждый элемент системы характеризуется некоторым набором
свойств. Под свойством элемента ( P (e) ) понимают характеристику, которая
может быть определена с помощью набора операций или измерена с
помощью какого-то инструмента.
При выделении элементов необходимо придерживаться следующих
принципов:
1. Принцип целесообразности. Необходимо оценивать влияние элемента на
конечную цель исследования системы.
2. Принцип минимальной достаточности. Для описания оригинала любой
природы в виде системы используется минимально необходимое число
элементов, обеспечивающее достижение цели исследования.
3. Принцип «часть-целое». Элемент системы и система в целом должны быть
совместимы. Множество свойств системы S будем обозначать P (S ) . Тогда
справедливо следующее включение P (e ) ⊆ P (S ) .
Следует отметить, что характеристики системы не являются простой
суммой характеристик свойств элементов, составляющих эту систему.
Система может обладать характеристиками, которыми не обладает ни один
из элементов, составляющих ее.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть E = {e1 , e2 ,..., en }- множество элементов, составляющих систему S ,
тогда
n
U P (ei ) ⊆ P (S ) .
i =1
Состояние – определенное значение, набора наиболее существенных
показателей или свойств, которые приняты для оценки элемента ( C (e) ),
системы (С(S)) или подсистемы.
Взаимодействие элементов в системе осуществляется по средствам
связей. Связь ( r ∈ R ) – некоторое отношение, возникающее между
элементами. Связи задаются, как правило, отношениями (матрицами,
графами, сечениями).
Когда один элемент вступает в отношения с другим элементом, он
теряет часть своих свойств и одновременно приобретает новые. Различают
нейтральные и направленные связи, усиливающие и замедляющие, сильные и
слабые. По характеру связи бывают равноправные, генетические, связи
подчинения, управления; по месту приложения – внутренние и внешние, по
направленности в системе – прямые и обратные. Особое место занимает
обратная связь, как правило, замыкающая цепь. Ее наличию предшествует
контроль состояния элементов.
Внутренняя структура системы определяется перемещениями потоков
от одних элементов к другим (отношениями между элементами). Структура
объекта (процесса, явления)
отражает наиболее существенные
взаимоотношения между элементами и их группами (подсистемами),
которые мало меняются при изменениях в системе и обеспечивают
существование системы и ее свойств. Структура - это совокупность
элементов и соединяющие их связи. Структура является основой целостности
системы и представляет собой мало изменяющуюся категорию. Структуру
системы обозначают следующим образом Ст = Ст( E , R ) .
Для задания системы используются описатели. Простейший описатель
системы имеет вид Sисх =< E , R, Ст( E , R ) > .
В зависимости
от количества учитываемых факторов и степени
абстрактности понятия «система» меняются ее описатели.
Пример 1.
Составим простейший описатель системы образования в России. В
качестве элементов выберем основные образовательные институты, а связи
определим как возможность перехода из одного в другой.
Элементы системы S определим множеством E = { ДШ , Ш , С , ВО} , где дошкольное воспитание; Ш -школа; С -среднее образование; ВО - высшее
образование. Связи опишем графом.
ДШ
Ш
ВО
С
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Структура системы имеет вид
⎛1
⎜
⎜0
δ =⎜
0
⎜⎜
⎝0
1 0 0⎞
⎟
1 1 1⎟
0 1 1⎟
⎟
0 0 1 ⎟⎠
⎧1, если возможен переход из i − го элемента в j − тый
где δ ij = ⎨
⎩0, иначе
Т.о. система образования в России описана. Очевидно, что элементы
сами являются крупными системами. Так дошкольное воспитание состоит из
яслей, детского сада; школа включает в себя начальную школу, среднюю (до
9 класса), высшую (10-11 класс) и т.д. Т.е. выделенные элементы можно
рассматривать как подсистемы. Более детальное описание системы имеет
вид.
S =< E , R, Ст( E , R ) >
E = {ei }10
i =1 , где e1 - ясли, e2 - детский сад, e3 - начальная школа, e4 - средняя,
e5 -высшая школа, e6 -колледж, e7 - бакалавриат, e8 - магистратура, e9 -
специалисты.
Связи представлены на рисунке.
Матрица, описывающая структуру системы, выписывается по графу,
аналогично рассмотренному выше случаю.
Пример 2.
Опишем
с
помощью
простейшего
описателя
систему,
соответствующую модели Леонтьева. Пусть i -порядковый номер «чистой»
отрасли, производящей продукт, j - потребляющий продукт ( i, j = 1, n ). Под
«чистой» понимается отрасль, выпускающая(потребляющая) один
единственный продукт. Обозначим через
xi - валовой выпуск i -ой отрасли;
y j -конечный продукт j -ой отрасли;
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
aij -количество (в стоимостном выражении) продукции i -ой отрасли,
необходимое для выпуска единицы продукции j -ого вида. Тогда модель
Леонтьева может быть записана в следующем виде
⎧ n a x + y = x , i = 1, n
ij j
i
i
⎪∑
.
⎨ j =1
⎪ x > 0, j = 1, n
⎩ j
В матричном виде:
⎧( E − A) X = Y
,
⎨
⎩X > 0
здесь A = ( aij ) - матрица коэффициентов прямых затрат,
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
X = ⎜ ... ⎟ - вектор
⎜x ⎟
⎝ n⎠
⎛ y1 ⎞
⎜ ⎟
валовых выпусков, Y = ⎜ ... ⎟ - вектор конечного продукта, E - единичная
⎜y ⎟
⎝ n⎠
матрица порядка n .
Элементами в данной задаче будут отрасли E = {1,.., n} . Связи определяются
коэффициентами прямых затрат aij : aij > 0 - элемент i связан с элементом
j , aij = 0 - связи между элементами нет. Структура задается матрицей
⎧1, aij > 0
δ = (δ ij ) n ×n , δ ij = ⎨
⎩0, aij = 0
.
Пример 3.
Составим простейший описатель системы, заданной оптимизационной
задачей. Рассмотрим для простоты задачу линейного программирования,
f ( x) = x1 + 2 x2 → max
3 x1 + x2 ≤ 13
(1)
Ω
x1 + x2 ≤ 4
(2)
x1 ≥ 1
(3)
x2 ≥ 2
(4)
Решим задачу графически.
Построим допустимое множество задачи Ω (точки данного множества
удовлетворяют всем ограничениям). Найдем полуплоскость, заданную
первым неравенством. Для этого построим прямую 3 x1 + x2 = 13 . Данная
прямая проходит через точки A1 , A2
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3 x1 + x2 = 13 x1
3
A1
A2
4
x2
4
1
Точка (0,0) удовлетворяет неравенству (1) (0 ≤ 13), принадлежит искомой
плоскости, значит, полуплоскость под прямой задается неравенством (1)
Аналогично строим области заданные неравенствами (2)-(4). Т.о.
построено множество Ω . Допустимое множество - ΔABC , с вершинами
A = (1,2) , B = (1,3) , C = (2,2) .Найдем максимальное значение функции цели
f на данном множестве. Для этого построим любые две линии уровня
функции f (линии уровня задаются уравнениями f ( x) = const = C ),
например, x1 + 2 x2 = 0 и x1 + 2 x2 = 2 (т.е. C = 0, C = 2 ). Таблицы точек для
построения прямых
x1 + 2 x2 = 0 x1
0
A1
A2
-2
x2
0
1
x1 + 2 x2 = 2 x1
0
A1
A2
2
x2
1
0
Из рисунка видно, что при увеличении константы С, прямая f ( x) = C
двигается вверх. Параллельным переносом будем сдвигать прямую f ( x) = C
до последней точке пересечения с множеством Ω . Решением задачи является
точка x * = B = (1,3) , максимальное значение функции цели на допустимом
множестве f * = f ( x * ) = 9 .
В данной задаче элементами являются вершины допустимого
множества E = { A(1,2), B (1,3), C (2,2)}, связи задаются всеми неравенствами
R = {3 x1 + x2 ≤ 13, x1 + x2 ≤ 4, x1 ≥ 1, x1 ≥ 1, x2 ≥ 2} = {(1) − (4)}
А структура системы – граница допустимого множества, т.е. неравенства,
участвующие в образовании граничных точек ((2)-(4)), записываемые как
равенства. Ст = {x1 + x2 = 4, x1 = 2, x2 = 1} .
Т.о. построен простейший описатель системы (1)-(4).
Пример 4. Рассмотрим случай, когда описывается как система многомерная
задача линейной оптимизации. Аналогично с предыдущем примером
элементами будут вершины допустимого
множества, связями – все
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
равенства и неравенства, которыми они связаны, а структурой – неравенства
(записываемые как равенства), участвующие в образовании вершин
допустимого множества.
Если переменных больше двух( n ≥ 3 ) и решать графически нельзя,
предлагается следующий алгоритм нахождения вершин многогранника,
заданного системой из m ≥ n неравенств:
1. Выписать все комбинации из n разных неравенств – получить Cmn
систем неравенств.
2. Каждую систему неравенств записать как систему равенств и решить.
3. Если система разрешима, найти решение.
4. Проверить удовлетворяют ли найденные в п.3. точки неравенствам, не
входящим в систему, из которой точка найдена.
5. Если точка удовлетворяет всем неравенствам, записать ее рядом с
уравнениями, из которых она была найдена.
6. Найденные таким образом точки – элементы системы.
7. Структура состоит из уравнений, около которых записано не менее n
точек. (Грани многогранника описываются уравнениями. Уравнение
плоскости, в которой лежит грань с числом точек меньше n ,
избыточно).
Рассмотрим построение простейшего описателя системы для следующей
задачи
f ( x) → extr
x1 + 2 x2 + x3 ≤ 40
(1)
− x1 + x 2 + 3 x 3 ≥ 10
(2)
x1 ≥ 0
(3)
x2 ≥ 0
(4)
Здесь n = 3, m = 4, C43 = 4 . Т.о. необходимо решить 4 системы уравнений.
Решение системы (1)-(3) (с заменой знаков неравенств на равенства) - точка
A1 (0,16,−2) . Проверим выполнение ограничения (4): x2 = 16 ≥ 0 .Запишем A1
в таблицу1, в строки, соответствующие ограничениям (1)-(3) . Решением
системы уравнений (1),(2),(4) является точка A2 (20,0,10) , удовлетворяющая
неравенству (3): x1 = 20 ≥ 0 . Из двух других систем уравнений, находим
точки A3 (0,0,30), A4 (0,0,10) , удовлетворяющие неравенствам, не входящим в
системы из которых они найдены.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№
Уравнение
Точки
1
x 1 + 2 x 2 + x 3 = 40
A1 , A2 , A3
2
− x 1 + x 2 + 3 x 3 = 10
A1 , A2 , A4
3
x1 = 0
A1 , A3 , A4
x2 = 0
A2 , A3 , A4
элементы
системы
E = { A1 , A2 , A3 , A4 } ,
R = {x1 + 2 x2 + x3 ≤ 40,− x1 + x2 + 3 x3 ≥ 10, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} ,
Ст = {x1 + 2 x2 + x3 = 40,− x1 + x2 + 3 x3 = 10, x1 = 0, x2 = 0} .
4
Т.о.
связи
структура
Задачи
1. Постройте
простейший
описатель
системы
управления
университетом: выделите элементы (ректор, проректоры…), связи,
задайте структуру, подсистемы.
2. Опишите как систему карту дорог Воронежской области: опишите
элементы, связи, структуру. Выберите не менее 7 населенных
пунктов, а также учтите разные виды дорог (асфальтированная,
грунтовая, железная дорога).
3. Представьте устройство компьютера в виде простейшей системы.
Выделите не менее 9 элементов, определите различные типы связей
(прямые, обратные, нейтральные, связи управления), подсистемы и
связи между ними, опишите структуру системы.
4. Три
отрасли
выпускают
продукцию,
известна
матрица
коэффициентов прямых затрат и вектор конечного продукта
⎛ 0,1 0,2 0 ⎞
⎛10 ⎞
⎟
⎜
⎜ ⎟
A = ⎜ 0,5 0 0,4 ⎟ , y = ⎜ 3 ⎟ .
⎜ 0,2 0,3 0,1 ⎟
⎜2⎟
⎠
⎝
⎝ ⎠
Составьте модель Леонтьева, опишите систему.
5. Четыре отрасли выпускают продукцию, известна матрица
коэффициентов прямых затрат и вектор конечного продукта
⎛ 0,4 0,2 0 0,1 ⎞
⎛12 ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
0
,
7
0
0
0
,
5
⎜
⎟
⎜10 ⎟
A=⎜
y
,
=
⎜ 5 ⎟.
0 0,3 0,1 0 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 0,1 0,2 0 0,1 ⎠
⎝7⎠
Составьте модель Леонтьева, опишите систему.
6. Составьте
простейшие
системные
описатели
оптимизационных задач
10
следующих
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. 4 x1 + 2 x2 → max
Б.
В. 3 x1 + 3 x2 → min
Г.
x1 + 2 x2 → max
− x1 + x2 ≤ 2
x1 + 2 x2 ≤ 7
x1 ≤ 3
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
2 x1 + 3 x2 ≤ 18
− x1 + 3 x2 ≤ 9
2 x1 − x2 ≤ 10
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
2 x1 + 4 x2 → min
x1 + x2 ≤ 2
3 x1 + 2 x2 ≥ 11
− 2 x1 + x2 ≤ 2
− 2 x1 + x2 ≤ 2
x1 − x2 ≤ 0
x1 − 3 x2 ≤ 0
x2 ≥ 0
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
7. Предприятие выпускает 2 вида продукции j = 1,2 , используя 2
ресурса i = 1,2 . Известны затраты каждого ресурса на выпуск единицы
⎛ 2 1⎞
⎟⎟ . Общий объем ресурсов на предприятии
продукции aij : A = ⎜⎜
1
1
⎝
⎠
⎛12 ⎞
b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Выпуск каждого вида продукции должен составлять не менее двух
⎝7⎠
единиц, т.е. A1 ≥ 2 , A2 ≥ 2 . Затраты времени на производство единицы
продукции t = (1,2 ) . Необходимо выпустить продукцию, минимизировав
трудовые затраты. Составьте модель решения задачи и выпишите
простейший описатель системы для полученной оптимизационной задачи.
8. Решите задачу аналогичную задачи 7, если
A1 ≥ 0,5 , A2 ≥ 1, t = (1,1) .
⎛ 2 1⎞
⎛ 4⎞
⎟⎟ , b = ⎜⎜ ⎟⎟ ,
A = ⎜⎜
⎝ 3 1⎠
⎝9⎠
9. Предприятие выпускает два вида продукции, используя три ресурса.
⎛ 1 1⎞
⎟
⎜
A = ⎜ 2 1⎟ , общий объем ресурсов
⎜1 2 ⎟
⎠
⎝
Матрица производственных затрат
⎛ 5⎞
⎜ ⎟
b = ⎜ 8 ⎟ .Требуется
⎜8⎟
⎝ ⎠
найти
максимальный
выпуск
продукции
при
использовании данных ресурсов. Составьте модель решения задачи и
выпишите простейший описатель системы для полученной оптимизационной
задачи.
10. Кондитерская фабрика выпускает шоколадные конфеты двух видов.
Для выпуска используются два основных продукта: какао-порошок и какаомасло, имеющиеся на предприятии в объеме 14 и 10 ц. Затраты продуктов на
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
производство конфет
⎛ 2 3⎞
⎟⎟ , трудовые затраты t = (1,2 ) . Конфет 1-го
A = ⎜⎜
2
1
⎝
⎠
вида должно быть выпущено не менее 1 ц, а 2-го – не менее 2 ц. Описать
модель отыскания оптимального плана выпуска. Составить простейший
описатель системы.
11. Потребность в азотных удобрениях составляет 10 т. Производится
два вида удобрений: аммиачная селитра и аммиачная вода. Для их
производства используется аммиак, расход которого не должен превышать 8
т. Суммарные капиталовложения в производство не должны превышать 42
тыс.руб. Технологические нормы материальных затрат, удельные
капиталовложения, себестоимость даны в таблице
Химический Технологические Удельные
Себестоимость
продукт
нормы затрат
капитальные
ед.продукции,
аммиака, т/т
вложения,тыс.руб./т тыс.руб./т
аммиачная
0,6
3,0
7
селитра
аммиачная
1,0
6,0
6,5
вода
Определить план производства селитры и аммиачной воды с
наименьшими суммарными затратами. Выписать простейший описатель
системы.
12. На звероферме могут выращиваться песцы, черно-бурые лисы,
нутрии и норки. Для их питания используются три вида кормов. В таблице
приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчете на день, а также
прибыль от реализации одной шкурки каждого зверя.
Нормы расходов кормов
(кг/день) Ресурс кормов
Вид корма
песец
лиса
нутрия
норка
(кг)
1
1
2
1
2
300
2
2
4
2
0
400
3
1
1
3
2
600
Прибыль
6
12
8
10
руб./шкурка
Построить математическую модель для определения того, сколько и
каких зверьков следует выращивать на ферме, чтобы прибыль от реализации
шкурок была максимальной. Выписать простейший описатель системы.
13. Для производства 3-х видов продукции используется 3 вида сырья и
трудовые ресурсы. Запасы сырья: 100, 200, 150. Матрица затрат сырья на
⎛ 2 1,5 1 ⎞
⎜
⎟
единицу производимой продукции имеет вид A = ⎜ 4 0,2 3 ⎟ . Вектор
⎜ 3 0,5 4 ⎟
⎝
⎠
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
затрат трудовых ресурсов t = (1,2,1) . Минимальная потребность в каждом
виде продукции задана вектором A = (125,120,135) . Выписать простейший
описатель системы.
1.2. Функционирование целевых систем: понятие, описатели, примеры.
Система называется функционирующей, если на нее оказывает влияние
внешняя среда и если система, в свою очередь, передает во внешнюю среду
поток, который соответствует сущности (миссии) системы. Для описания
функционирующей
системы
необходимо
ввести
характеристики,
связывающие систему с внешней средой. К ним относятся – входы и выходы
системы, а также передаточная функция.
Обозначим через
X
-
набор входных переменных,
X = ( X u , X s ) , X u -управляемые переменные; X s
X ∈ GX ,
- случайные переменные.
Система характеризуется состояниями, внутренними характеристиками
Z = ( Z1 ,.., Z M ) , которые могут быть измерены в любой момент времени.
Z ∈ GZ , GZ - множество возможных состояний системы. F - передаточная
функция системы – оператор, позволяющий рассчитывать выходную
переменную Y , Y ∈ GY , Y = F ( X , Z ) . Система функционирует, если она
переходит из одного состояния в другое.
Описатель функционирующей системы имеет вид
SФ =< Sисх ; X ;Y ; F ( X , Z ) > .
Если сформулирована цель работы системы, то говорят о целевой
функционирующей системе. Вводится функция цели Ф( X , A) , и описатель
системы принимает вид
Sц =< SФ , Ф( X , A) > ,
здесь A - параметры внутренних характеристик системы, A∈ G A . Причем,
передаточная функция обобщается и зависит не от состояний системы, а от
внутренних параметров Y = F ( X , A) .
Каждой функционирующей системе можно поставить в соответствие
модель, которая состоит в отыскании такого входного потока X и значений
характеристик A , при которых цель будет достигать своего «наилучшего»
значения extr Ф( X , A) . Модель целевой функционирующей системы имеет
X ,A
вид
extr Ф( X , A)
X ,A
Y = F ( X , A)
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
X ∈ GX
Y ∈ GY
A∈ G A
Модель считается разработанной, если определены множества G X , GY , G A , а
также X , Y и A .
Компоненты входного потока системы могут быть разнородными,
измеряться в различных шкалах или единицах измерения. Чтобы учесть
возможность разнородности компонент, необходимо произвести их
фильтрацию с помощью фильтрующего устройства ( δ ), с последующим
интегрированием чистых потоков. Объединение (суммирование) потоков
происходит в сумматоре ( ς ), затем выходной поток направляется во
распределителем ρ . Такая система называется
внешнюю среду
элементарным преобразователем.
Схема 1. Элементарный преобразователь
Если система способна переходить из одного состояния в другое, то
говорят, что она обладает поведением. Поведение системы во многом зависит
от состояния внешней среды – множества элементов, не входящих в систему,
изменение состояния которых меняет поведение системы.
Рассмотрим переход системы из одного состояния в другое. Пусть
известен вектор начальных состояний Z 0 . Обозначим ν - порядковый номер
состояния, ν = 1,.., M ; hν - вектор влияния внешней среды на систему, тогда
поведение системы определяется следующим образом
Zν = ϕ ( Zν −1 , hν , Aν , X ν ) .
Т.о. состояние системы зависит от предыдущего состояния, от влияния
окружающей среды, внутренних характеристик системы и входного потока.
Важным свойством систем является способность находиться в
состояние равновесия, т.е. при отсутствии внешних возмущающих
воздействий сохранять свое состояние сколь угодно долго. Пусть на вход
системы подается поток X 0 и F ( X 0 , A) = Y 0 . Точка X 0 называется точкой
равновесия, если при ее изменении на ΔX , точка выхода Y 0 + ΔY :
lim (Y 0 + ΔY ) = Y 0 .
ΔX → 0
Когда переход к новому состоянию не меняет выходной поток, говорят
об устойчивости системы. Целевые системы называются устойчивыми, если
из принадлежности входа определенному множеству X ∈ Gδ , следует, что
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
изменение выходного потока будет лежать в пределах заданного множества
выходных потоков Y ∈ Gε . Под устойчивостью понимается способность
системы возвращаться в состояние равновесия после того, как она была
выведена из него под влиянием внешних возмущающих воздействий.
Пример 1.
Модель Леонтьева, с известной матрицей затрат A и конечным продуктом
Y , представим как функционирующую систему и выпишем ее описатель.
Модель Леонтьева в матричном виде ( E − A) X = Y , перепишем в виде
X = ( E − A) −1Y . Т.о. входной поток – вектор конечного потребления ( Y ),
выходной поток – валовой выпуск ( X ) , а передаточная функция
F (Y , A) = ( E − A) −1Y . Т.о. SФ =< Sисх ,Y , X , F = ( E − A) −1Y > .
Пример 2.
Найти максимум функции f = x1 + x2 при условии
x1 + 2 x2 ≤ 8
(1)
− 2 x1 + x2 ≤ 4 (2)
x1 + 3 x2 ≥ 9
(3)
x1 ≥ 0
(4)
x2 ≥ 0
(5)
Опишем данную оптимизационную задачу как функционирующую
систему.
Выпишем
для
данной
задачи
следующий
описатель
SФ =< S исх , X , Y , Y = F ( X , Z ) > .
Простейший
описатель
S исх = {E , R, Ст( E , R )} определяется аналогично примеру 3 из 1.1.
Допустимое множество данной задачи и линии уровня функции цели
представлены на рисунке.
Решение x * = (6,1) , f * = f ( x * ) = 7 .
E = { A(0,3), B(0,4), C (6,1)},
R = {x1 + 2 x2 ≤ 8,−2 x1 + x2 ≤ 4, x1 + 3 x2 ≥ 9, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} ,
Ст = {x1 + 2 x2 = 8,−2 x1 + x2 = 4, x2 = 0} .
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определим теперь входы и выходы системы. В общем виде данную
задачу можно записать следующим образом
cX → max
AX ≤≥ b
X ≥ 0,
где
c = (1,1) ,
2⎞
⎛ 1
⎛8⎞
⎟
⎜
A = ⎜ − 2 1 ⎟ , b = ⎜⎜ 4 ⎟⎟ . Тогда входами системы
⎜ 1 3 ⎟
⎜9⎟
⎠
⎝
⎝ ⎠
являются А, b, c , выходы – решение задачи x * , f * , передаточная функция –
процесс решения задачи, например, в линейном случае, это может быть
симплекс-метод (с-м). Получаем следующий описатель системы
⎛8⎞
⎛ 1 2⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
SФ =< S исх , A = ⎜ − 2 1 ⎟, b = ⎜ 4 ⎟, c = (1,1); x * (6,1), f * = 7, с − м >
⎜ 1 3 ⎟
⎜9⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
Приведем схему функционирования описанной системы
c
A
b
cX → max
AX ≤≥ b С-М
X ≥0
x*
f*
Следует заметить, что если решается задача, сводящаяся к
оптимизационной, например, поиск оптимального ассортимента выпуска
продукции с использованием ресурсов (задача 7 1.1), часть параметров
описанных выше как входные, могут считаться состояниями (внутренними
характеристиками) системы, например, матрица
A характеризует
технологический процесс и является внутренней характеристикой системы. В
случае изменения состояний системы на схеме появляются обратные связи.
Задачи
1. Две отрасли, конечный продукт которых составляет 120 и 70 единиц
производят продукцию. Затраты на производство заданы матрицей
⎛ 0,4 0,3 ⎞
⎟⎟ . Составьте модель Леонтьева, найдите валовой выпуск
A = ⎜⎜
0
,
3
0
,
2
⎝
⎠
отраслей, выпишите описатель функционирующей системы.
2. Три отрасли, конечный продукт которых 100, 200 и 150 единиц
производят продукцию. Затраты на производство заданы матрицей
⎛ 0,1 0,1 0 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 0,5 0,1 ⎟ . Составьте модель Леонтьева, найдите валовой
⎜0
0 0,2 ⎟⎠
⎝
выпуск отраслей, выпишите описатель функционирующей системы.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Составьте систему формирования валовых выпусков территориального
экономического объекта, если рассматриваются 3 отрасли, конечный
⎛2⎞
⎜ ⎟
продукт которых y = ⎜ 5 ⎟ , а матрица производственных затрат
⎜10 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 0,5 0 0,1⎞
⎜
⎟
A0 = ⎜ 0,1 0,2 0 ⎟ . Матрица, характеризующая в данной задаче
⎜ 0,2 0,1 0 ⎟
⎝
⎠
состояния системы, меняется следующим образом
aiip = aiip −1 ,
aijp = aijp −1 + 0,1 , i ≠ j , p = 1,2 .
Выписать модель Леонтьева, составить простейший описатель системы,
описать функционирование данного объекта с помощью схемы и
описателя.
4. Составьте описатели функционирующих систем a)-г) в задаче 6 §1.
5. Проверьте, в каком из приведенных состояний входных параметров
( A, b, c ), значения выходных параметров ( x * , f * ) для задачи из
примера 2 п.1.2, не изменится. А также определите, возможен ли
переход в новое состояние. В оптимизационных задачах будем считать,
что переход в новое состояние возможен, если значение функции цели
улучшается на оптимальном плане при решении задачи с учетом
нового состояния системы.
Состояние
A
c
b
b0 + 2b1 c0
1
A
b0 + b1
c0
2
A
b0
c1
3
A
⎛8⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
где b0 = ⎜ 4 ⎟ , b1 = ⎜ 2 ⎟ , c0 = (1,1) , c1 = (3,4 ) .
⎜9⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
6. Описать как функционирующую систему процесс решения следующей
оптимизационной задачи
2 x1 + 3 x2 → max
2 x1 + x2 ≤ 10
− 2 x1 + 3 x2 ≤ 6
− 2 x1 + 4 x2 ≥ 0
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎛9⎞
⎛ 1 1⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
Определить, возможен ли переход в новое состояние A = ⎜ − 2 3 ⎟ , b = ⎜ 6 ⎟ .
⎜1 4 ⎟
⎜7⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
7.Рассматривается производство 3 продуктов с использованием 3 ресурсов.
Производственные процессы описываются моделью Леонтьева. Матрица
⎛ 0.5 0 0.1⎞
⎛ 100 ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
производственных затрат A = ⎜ 0.1 0.2 0 ⎟ , трудовые затраты t = ⎜ 200 ⎟ ,
⎜ 0.2 0.1 0 ⎟
⎜ 320 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
⎛2⎞
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
⎛5⎞
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎟
⎟
векторы конечного продукта y 0 = ⎜ 5 ⎟ , y1 = ⎜ 7 ⎟ , y 2 = ⎜ 1 ⎟ , y 3 = ⎜ 6 ⎟ .
⎜10 ⎟
⎜ 2⎟
⎜ 5⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Определить в какое из 3 состояний возможен переход.
Замечание. В данной задаче состояния характеризуются векторами конечного
продукта, при этом переход в новое состояние возможен, если трудовые
затраты ( ∑ ti xi ) не увеличатся.
i
1.3. Динамические системы: сущность, структура, классификация,
способы описания. Система как черный ящик.
Систему
будем
называть
динамической,
если
параметры,
характеристики, переменные, которые используются при ее описании, либо в
явном виде зависят от времени, либо являются дискретными, меняющимися
во времени величинами. При описании динамических систем вводится
системное время t ∈ [t0 , T ] , t0 - начальное время; T - горизонт системного
времени.
Описатель динамической системы имеет вид
St =< Sисх ; (t0 , t , T ); ( X t , G X ); (U t, Gu ); (Yt = F ( Z (t ))) > ,
где
Sисх - простейший описатель системы, содержащий элементы, связи и
структуру системы;
X t - входной поток, заданный на множестве G X ;
U t - величина входа внешней среды, Gu - множество состояний,
определяющее рамки, в которых система может существовать;
Yt - выходной поток, рассчитываемый с помощью передаточной функции F ,
зависящей от вектора состояний Z (t ) : Z (t ) = H ( Z (t − 1), X t ,U t ) .
Начальное состояние системы Z (t0 ) считается заданным.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схема 2. Простейшая модель динамической системы.
Схема 3. Модель динамической системы с задержкой выходного потока
Схема 4. Модель динамической системы со складом
Т.о. видно, что описателю динамической системы могут
соответствовать различные схемы функционирования системы. Кроме того,
описатель используется для разработки модели динамической системы.
Математически модель динамической системы представляется в виде
а) задачи динамического программирования,
б) задачи оптимального управления.
Динамическое программирование – метод решения задач с
оптимальной подструктурой и перекрывающимися подзадачами, который
эффективнее, чем решение впрямую. Оптимальная подструктура –
оптимальное решение подзадач меньшего размера, который может быть
использован для решения исходной задачи. При решении задача разбивается
на подзадачи, и решение каждой о переводе системы (нахождении
управляющего воздействия) в новое состояние зависит только от текущего
состояния и не зависит от предыстории (принцип Белмана).
Постановка задачи динамического программирования:
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Yt → max , ∀t
Yt = F ( z (t ))
z (t ) = H ( z (t − 1), X t ,U t )
X t ∈ G X , U t ∈ GU
z ( t0 ) = z 0 , U ( t 0 ) = U 0
t = t0 ,.., T .
В качестве функции цели чаще всего рассматривают некоторый
обобщенный критерий:
1) min Yt → max
t
2)
T
∑ λtYt → max , λt
- коэффициент предпочтения временного
t = t0
периода t .
Решением данной задачи является вектор состояний системы z * (t ) ,
t = t0 ,.., T , определяющий траекторию развития динамической системы.
При построении модели в виде задачи оптимального управления,
необходимо знать закон, по которому происходит изменение величины z (t ) :
z&(t ) = f ( x(t ), z (t − 1), u(t )) .
z (t0 ) , u(t0 ) - начальное состояния и начальное управление. Здесь z (t ) фазовая переменная, u(t ) - функция управления.
Функция цели
T
∫ ϕ ( z (τ ))u(τ )dτ → max ,
t0
где ϕ ( z (τ )) - функция качества, оценка состояния. Функции ϕ , u полагаются
такими, что интеграл существует.
Для решения задачи управления используется принцип максимума
Понтрягина. На основе задачи управления строится функция Лагранжа,
выписывается нормальное уравнение и получается нормальная система.
После решения системы определяется точка, которая является необходимой
точкой, доставляющей максимум функции цели.
Система как черный ящик
Рассмотрим функционирующую систему, реализующую свою
миссию, для которой определены входы, выходы, но неизвестен закон
преобразования входов в выходы, неизвестна передаточная функция. Для
управления такой системой необходимо найти вид передаточной функции. С
этой целью создается статистика накопления входных потоков {Xˆ } и
соответствующих им выходных потоков {Yˆ } , т.е. история протекания
процессов. Именно по этой информации восстанавливается аналитический
вид функции Y = F ( X ) .
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если потребовать, чтобы эта функция совпадала со статистическими
данными, то можно подобрать множество таких функций. Т.о. при
восстановлении функции, необходимо
- выбрать класс аппроксимирующих функций,
- точность аппроксимации,
- критерий согласия между функцией и статистическими данными.
Обычно на практике используют следующие классы функций:
1)линейные комбинации функций 1, x, x2, ... , xn , т.е. функции из класса
полиномов степени не выше n (аппроксимация алгебраическим многочленом
заданной степени);
2)линейные комбинации функций Sin(akx) и Cos(akx) (аппроксимация
тригонометрическим многочленом, или отрезком ряда Фурье);
3)комбинации
экспоненциальных
функций
Exp( kx)
c
вышеуказанными и некоторые другие;
4) классы функций, удовлетворяющие ранее заданным свойствам
(производственные функции, функция затрат и т.д.)
В качестве критерия согласия используют три условия:
1)точное совпадение значений искомой функции со статистическими
данными (критерий интерполяции);
2)сумма квадратов отклонений значений искомой функции и заданных
значений должна быть минимальной (критерий среднеквадратической
аппроксимации);
3)максимальное по абсолютной величине из отклонений значений
искомой функции заданных значений должно быть минимальным (критерий
равномерной аппроксимации).
Если же об аналитическом виде функции ничего неизвестно, то,
полагая, что она является непрерывной функцией, вид ее можно найти,
используя теорему Колмогорова.
Теорема Колмогорова. Любая непрерывная функция от n переменных
F ( x1 , x2 ,..., xn ) может быть представлена в виде суперпозиции 3n + 1 функции
2 n +1
n
⎛
F ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∑ g j ⎜ ∑ hij ( xi )⎞⎟ ,
⎝ i =1
⎠
j =1
где g j (•) и hij (•) - непрерывные функции, не зависящие от вида
представляемой функции F.
При всей своей математической красоте теорема Колмогорова
малоприменима на практике. Это связано с тем, что функции hij — негладкие
и трудно вычислимые; также неясно, каким образом можно подбирать
функции gj для данной функции F. Роль этой теоремы состоит в том, что она
показала принципиальную возможность реализации сколь угодно сложных
зависимостей с помощью относительно простых автоматов, например,
нейронных сетей.
Т.о., если система описана как черный ящик, и необходимо знать
аналитический вид передаточной функции системы, то его можно
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
восстановить по статистике функционирования системы. Другим способом
является структурирование системы, т.е. введение элементов и связей между
ними.
Целевые структурированные системы описываются следующим
образом
Stст =< Sисх ; (t0 , t , T ); ( X t , G X ); (Yt , GY ); Yt = F ( X t ); Z t = H ( Z t −1 , X t ); Фц ( X t , Z 0 ) >
Фц (•) - функция цели.
Цель системы может быть задана не функциональной зависимостью, а
конечным целевым состоянием системы. Пусть S t0 - система в начальный
момент времени, ST - характеристики конечной системы, целевое состояние
системы.
Путь, по которому развивается система в период времени
[t 0 , T ] ,
называется траекторией системы {Yt }Tt0 .
Задача исследования целевой структурированной системы состоит в
поиске такой траектории, благодаря которой будут использованы имеющиеся
ресурсы и достигнуто максимальное значение выбранной цели.
Каждой целевой системе можно поставить в соответствие модель:
T
∑ Ф( Z 0 , X 1t ,.., X nt ) → max
t =1
( max min Ф( Z 0 , X t ) )
Xt
t
X t ∈ GX
∀t
Yt ∈ GY
∀t
Z t = H ( Z t −1 , X t ) ∀t
Пример 1.
Пусть имеется m отраслей ( i = 1,.., m ), производящих продукт в период
времени [t0 , T ] , объем выпуска отраслей в каждый момент времени задается
производственной функцией, например, функцией Кобба-Дугласа
yit = at K itα L1it−α eγt
(1)
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где K - капитал, L - труд.
В каждый момент времени распределяются
финансовые ресурсы ΔBt (их величина задана), β it - доля,
на капитал; μit - доля финансовых ресурсов, идущая в году t
Формирование капитала и труда в момент времени
уравнениями
K it = K it −1 + β it ΔBt
∀i, t (2)
Lit = Lit −1 + μit ΔBt
∀i, t (3)
0 ≤ β it ≤ 1 , 0 ≤ μit ≤ 1 ∀i, t (4)
m
m
i =1
i =1
∑ β it = 1, ∑ μit = 1
∀t
дополнительные
идущая в году t
на труд.
t описываются
(5)
Ограничение на дополнительный финансовый ресурс
K it0 = K 0 , Lit0 = L0
∀i (6)
t = t 0 ,.., T
(7)
Функция цели – максимизация суммарного выпуска всех отраслей за период
времени [t0 , T ]
m
∑ yit → max
(8)
i =1
Модель (1)-(8) называется моделью Лисичкина. Данная задача – задача
оптимального управления, которая решается составлением аналога функции
Лейбница – Гамильтониана. Необходимо найти оптимальное управление, т.е.
такое значение переменных β it , μ it , на которых Гамильтониан достигает
своего максимума.
Пример 2. Самолет находится на высоте H 0 и летит со скоростью v0 ,
необходимо рассчитать программу подъема самолета на высоту H T и
развитие скорости vT с минимальной затратой горючего, если задана норма
расхода горючего при изменении высоты и неизменной скорости и
изменении скорости при постоянной высоте.
Для решения задачи введем сетку изменения расстояния и скорости –
разобьем интервал изменения скоростей [v0 , vT ] на 5 равных частей, а
интервал высот на 4. Затраты топлива d заданы и записаны у ребер
полученного графа.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Текущее состояние характеризуется парой (vt , H t ) , а также минимальными
затратами топлива S t , необходимыми для перевода самолета из текущего в
конечное состояние, управляющее воздействие заключается в выборе
состояния, в которое необходимо перевести самолет в следующий момент
времени. Будем решать задачу методом динамического программирования –
оптимизировать переход в новое состояние, начиная с последнего. Очевидно,
что ST = S (5,4) = 0 , S (4,4) = S (5,4) + 1 = 0 + 1 = 1, S (3,4) = S (4,4) + 1 = 2 ,
…, S (5,3) = S (5,4) + 5 = 5 ,
S (4,3) = min(S (5,3) + 2, S (4,4) + 1) = min(7,2) = 2 , т.е. чтобы попасть из
состояния (4,3) в конечное состояние (5,4) необходимо 2 ед. топлива. Далее
S (3,3) = min(S (3,4) + 5, S ( 4,3) + 1) = min(7,3) = 3 .
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т.о. получаем S (0,0) = 14 – минимальные затраты топлива для перехода из
S 0 в ST . Найдем теперь режим перевода системы (самолета) в конченое
состояние. S (0,0) = 14 , очевидно, что следующим должен быть переход в
состояние (0,1), т.к. S (0,1) + 5 = 14 = S (0,0) . Далее возможен любой переход,
т.к. затраты топлива одинаковы и для перехода в (0,2) и в состояние (1,1) :
S (0,1) = 9 = S (0,2) + 1 = S (1,1) + 2 . Выберем, например, переход в (1,1). Т.о.
получаем следующий режим перевода системы в конечное состояние:
(0,0)-(0,1)-(1,1)-(2,1)-(2,2)-(2,3)-(2,4)-(3,4)-(4,4)-(5,4).
Пример 2. Проведено 15 экспериментов по измерению значений yi функции
F в точках xi , получена статистика
xi -8
yi -16
-7
-6
-5
-3
1
2
3
4
5
6
7
9
11 12
-14
-11
-10
-6,5 3
4
6
8
11 12,5 14 18 23 24
Известно, что искомая функция принадлежит семейству функций
F(x)= A·x + B/x. Найти параметры A, B функции, измерения которой были
получены.
Будем решать данную задачу методом наименьших квадратов.
Подберем параметры A и B так, чтобы обеспечить минимум суммы квадратов
отклонений между экспериментальными значениями Yi и ожидаемыми
(расчётными) значениями Yi =F(Xi):
T ( A, B) =
1 N
∑ [ F ( X i ) − Yi ]2
N i =1
В нашем случае так называемая остаточная дисперсия определяется
выражением
1 N
1
T ( A, B ) = ∑ [ Axi + B − yi ]2 → min
A, B
N i =1
xi
25
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дифференцируя (1) по A и B, получаем систему уравнений
1 N
1
⎧ ∂T
Ax
B
2
[
=
+
− yi ] ⋅ xi = 0
∑
i
⎪ ∂A
N i =1
xi
⎪
⎨
N
⎪ ∂T = 2 1 ∑ [ Ax + B 1 − y ] ⋅ 1 = 0
i
i
⎪⎩ ∂B
N i =1
xi
xi
(2)
или
1 N
⎧⎛ 1 N 2 ⎞
xi ⎟ A + B = ∑ yi xi
⎪⎜ N ∑
N i =1
=
1
i
⎝
⎠
⎪
⎨
N
N
⎪ A + ⎛⎜ 1 ∑ 1 ⎞⎟ B = 1 ∑ yi
⎜ N i =1 x 2 ⎟
⎪⎩
N i =1 xi
⎝
i ⎠
(3)
1 N 2
1 N
1 N 1
∑ xi , S 2 = ∑ yi xi , S3 = ∑ 2 ,
N i =1
N i =1
N i =1 xi
Введем следующие обозначения S1 =
1
N
S4 =
yi
.
i =1 xi
N
∑
Тогда (3) можно записать в виде
⎧S1 A + B = S 2
⎨
⎩ A + S3 B = S 4
(4)
Получили линейную систему из 2-х уравнений относительно 2-х неизвестных
A и B. Главный определитель системы (4):
D=
S1
1
1
= S1 ⋅ S 3 − 1 ≠ 0 ,
S3
а вспомогательные
DA =
S2
S4
1
S
= S 2 ⋅ S 3 − S 4 , DB = 1
S3
1
S2
= S1 ⋅ S 4 − S 2
S4
Тогда решение системы (4) можно найти по формулам Крамера:
A=
DA
D
,B = B
D
D
(5)
Качество полученной аппроксимации определяется величиной
остаточной дисперсии T(A,B) (чем ближе она к нулю, тем лучше подобранная
зависимость аппроксимирует наблюдения). Далее необходимо подставить
значения наблюдений в формулу (5) и найти численное значение параметров
A, B .
Задачи
1. Самолет находится на высоте H 0 и летит со скоростью v0 , необходимо
рассчитать программу подъема самолета на высоту H T и развитие скорости
vT с минимальной затратой горючего, если задана норма расхода горючего.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) a = 2, b = 5, c = −5, d = −3
б) a = 5, b = 1, c = −5, d = 3
в) a = 3, b = −2, c = 5, d = −3
2. Найдите численное решение задачи из примера 2 п.1.3.
3. Проведено 15 экспериментов по отысканию значений линейной функции,
получены следующие значения
xi -10
yi -6
-8
-7
-5
-3
-2
-1
1
2 3
4
5
6
11 12
-5
-3
-2,5 -2
-1 1 1 2 3,5 3 4,5 4 5 7
Восстановите вид функции, используя метод наименьших квадратов.
4. Проведено 15 экспериментов по отысканию значений функции F ,
получены следующие значения
xi -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
yi 17 15 13 10 8,7 6,5 4,3 2
1
2
3
4
5
6
7
-2 -4 -6 -8 -11 -13 -15
Какая из функций точнее аппроксимирует функцию F : F1(x)= A·x + B/x или
линейная F2(x)= A·x + B.
§2. Основы теории управления.
2.1. Понятие сложности. Сложные системы.
Объект или систему будем называть сложной, если выполнено одно из
свойств:
1. элементы системы, которые можно назвать подсистемами или
рядовыми элементами, сами являются системами.
2. система является крупномасштабной, состоит из большого числа
элементов и разнообразной системы связей между элементами.
Система считается крупномасштабной, если объем информации для
описания элементов и связей между ними равен числу
Баавермана N = 1093 .
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. реакция системы на однотипный вход неоднозначна и часто
определяется как нечеткая.
При анализе систем используется 3 типа сложности:
1. организованная простота;
2. неорганизованная сложность;
3. организованная сложность.
К первому типу задач относятся задачи моделирования сложных
процессов на основе выделения основных закономерностей, характеристик и
параметров, обеспечивающих достижение цели с минимальными
информационными, техническими и материальными средствами. Примерами
таких задач являются модель межотраслевого баланса, модель Новожилова,
Канторовича, модели смешивания, развития и размещения отраслей.
К задачам неорганизованной сложности относятся задачи, которые могут
быть решены на основе исследования статистических закономерностей,
причем каждый исследуемый элемент рассматривается как статистическая
единица, а не как индивидуальный элемент.
Самые сложные задачи – задачи организованной сложности, когда в
качестве объекта исследования выступают отдельные единицы и взаимосвязи
между ними, причем, чем больше единиц и глубже взаимосвязь, тем система
сложнее.
В качестве одной из основных характеристик сложности выступает мера
сложности. Пусть задана некоторая система X . Функция C X : X → R
является мерой сложности системы X , если выполнены следующие условия:
1. C X (∅ ) = 0 .
2. Если X A подсистема X B ( X A ⊂ X B ), то C X A ≤ C X B .
3. Если X A ∩ X B = ∅ , то C X A ∪ X B = C X A + C X B .
C X A = C X B , если X A
гомоморфные системы ( X A ⊂ X B ), то
Меры сложности изоморфных систем равны:
изоморфна X B . Если X A и X B
CX A ≤ CXB .
Построение меры сложности любой системы включает в себя следующие
этапы:
1. расчет числа элементов системы;
2. определение набора характеристик каждого элемента, необходимых
для описания системы;
3. определение возможного числа состояний каждой характеристики;
4. расчет общее число единиц необходимое для описания системы;
5. выбор функции, удовлетворяющей требованиям меры, с помощью
которой можно рассчитать сложность системы.
2.2. Управление сложными системами. Типы управления
Управление – совокупность действий, направленных от субъекта управления
к объекту (ОУ) и обеспечивающих движение системы от некоторого
начального состояния t0 к конечному T , при котором достигается цель.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача субъекта управления (СУ) состоит в выработке управляющих
воздействий, приводящих ОУ к цели.
Пусть ОУ является некоторая система, Z (t ) = ( z1 (t ), z2 (t )) - вектор
характеристик ее состояний в момент времени t , Z * - область состояний,
характеризующая цель системы. Тогда процесс управления состоит в
выработке
последовательности
управляющих
воздействий
*
q(t1 ), q(t2 ),.., q(tm ) , приводящих систему к целевой области Z (см. схему 5).
Схема 5. Управление системой
Классификацию типов управления будем проводить по виду связи
между воздействием на систему и ее реакцией на это воздействие, тогда
можно выделить три типа управления:
- жесткое управление или управление без обратной связи;
-управление с обратной связью;
-адаптивное управление.
Жесткое управление характеризуется безукоризненно точным выполнением
управляющих воздействий СУ (поток X ), даже если отклонение от
предписаний СУ привело бы к более быстрому и/или эффективному
достижению цели ОУ.
Схема 6. Жесткое управление
Примером системы с жестким управлением может служить светофор.
Состояния, характеризующие данную систему – свет, горящий на светофоре.
Управление заключается в переключение света (изменение состояний) и
осуществляется такое управление с заданной периодичностью. Причем, даже
если состояние светофора – красный свет для пешеходов, а на дороге не
наблюдается движения машин, для пешеходов продолжает гореть красный
свет.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Управление с обратной связью характеризуется изменением набора
управляющих воздействий в зависимости от того, как система реагировала
на воздействие в предыдущий момент времени.
Схема 7. Управление с обратной связью
Примером системы с обратной связью может служить автопилот самолета,
которому задается курс самолета и автопилот корректирует управление при
отклонении от заданного курса. На рисунке представлена траектория
движения самолета при корректировке автопилотом высоты полета самолета
( H ) в случае отклонения от установленной оптимальной высоты полета
( H * ). Точками на графике обозначены моменты корректирующих
воздействий автопилотом.
H
H*
0
t
Адаптивное управление – особый вид управления, характерный для
очень сложных систем (биологический организм, государство). Системы
адаптивного управления помимо постоянно функционирующей части имеют
резервную систему, которая может взять на себя часть или все функции
системы управления. Характерной особенностью таких систем является
сверхустойчивость – случайные разрушения части системы не выводят из
строя всю систему.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Алгоритм управления сложной экономической системой.
ξ1,t
Xt
ОУ
ξ1,t +θ1
Yt +θ1
Измерение
характеристик
состояния
Wt +θ2
СУ
Ut
Модель
ОУ
Y 't +θ3
внешняя среда
ξ1,t +θ 3
Измерение
характеристик
состояния
ΔYt +θ4 = Y −Y '
ΔYt +θ4
t =T
U - управляющее воздействие, ξ - случайные (непредвиденные) влияния
внешней среды, X - вход (регулярное воздействие внешней среды). На
выходе системы оценивается не только произведенный продукт Y , но и
состояние системы W = φ (Y , ξ2 ) . Y ' = F ( X ,U ,W ) - выход системы,
рассчитанный по модели объекта управления.
Следует отметить, что θ 4 > θ 3 > θ 2 > θ1 . Производственный цикл , θ 4 длина производственного цикла. В момент t + θ 4 СУ начинает обдумывать
новое воздействие и формирует U t +θ
Состояние ОУ
описывается набором обусловленных экономических
характеристик, показателей, определяющих:
1. внутренние производственные возможности ОУ;
2. конкурентоспособность выпускаемой продукции;
3. производительность труда на предприятии;
4. объем выработки, приходящейся на одного работника;
5. физический объем всей выпускаемой продукции;
6. стоимостной объем выпускаемой продукции в действующих ценах
5
n
∑ pˆ j y j ;
j =1
7. затраты на рубль товарной продукции
n
∑cj y j
j =1
n
∑ pˆ j y j
.
j =1
2.3.Основная формула теории управления с обратной связью и ее
приложения. Мультипликатор Кейнса.
Пусть обратная связь осуществляется с коррекцией сигнала на основе
дополнительного элемента системы - регулятора (корректора) R .
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схема 8. Управление с обратной связью и регулятором.
Т.о., входной поток теперь увеличивается и становится x + Δx . Считая,
что S и R - некоторые числа, выведем формулу для выходного потока y :
y = S ( x + Δx ) = Sx + SΔx = Sx + SRy , если SR ≠ 1 , то
y=
Sx
.
1 − SR
(1)
Формула (1) – основная формула теории регулирования.
S
x = kx , где
1 − RS
S
- коэффициент усиления новой системы, влияние преобразователя
k=
1 − RS
на вход. Новая система S ' представлена на схеме 8 – такое соединение
y=
элементов назовем контуром
Схема 9. Система с контуром
Схема системы с обратной связью любой сложности представима в
виде трех элементов: контура, последовательного соединения узлов и
параллельного.
В случае последовательного соединения имеем
x
S1
S1 x
S2
y
y = S2 ( S1 ( x )) .
При параллельном соединении узлов сложной системы:
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S1
x
S2
S1 x
( S1 + S 2 )( x )
S2 x
y = ( S1 + S2 )( x ) .
Рассмотрим случай, когда x , U = R ( y ) , y = S ( x,U ) - функции,
зависящие от времени, R, S - нелинейные, гладкие функции. Нелинейная
зависимость сводится к основной теории в терминах производной.
dU ∂R dy
dy ∂S dx ∂S dU
=
=
+
,
.
dt
∂y dt
dt ∂x dt ∂U dt
dy ∂S dx ∂S ∂R dy
=
+
Получаем
dt ∂x dt ∂U ∂y dt
∂S dx
dy
= ∂x dt .
или
dt 1 − ∂S ∂R
∂U ∂y
Т.о. для нелинейной зависимости мы получаем аналоговую формулу теории
управления с обратной связью для скоростей изменения входного и
выходного потоков( x, y ).
Мультипликатор Кейнса.
Рассмотрим систему, состоящую из объекта управления (ОУ), субъекта
управления (СУ) и внешней среды.
внешняя среда
X
СУ
U
ξ
ОУ
Y = F (U , X , ξ )
Из внешней среды в ОУ под наблюдением СУ направляются ресурсы в
размере x , а также неизвестное ОУ случайное воздействие со стороны
внешней среды ξ , U - входной поток от СУ к ОУ.
Пусть на ОУ поступают определенные финансовые ресурсы Ф ,
которые используются на накопление (капиталовложение) K и потребление
Q : Ф = K + Q . Тогда прирост финансовых ресурсов распределяется
следующим образом ΔФ = ΔK + ΔQ , в то же время финансовые ресурсы
увеличиваются при увеличении инвестиций ΔФ = λΔK , λ ≥ 1 - величина
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
прироста финансового ресурса приходящегося на единицу прироста
накоплений. Получаем λ =
где μ =
1
1
ΔФ
ΔФ
,
=
=
=
ΔK ΔФ − ΔQ 1 − ΔQ 1 − μ
ΔФ
ΔФ
- предельная склонность к потреблению, доля прироста
ΔQ
потребления во всем приросте финансов.
Т.о. μ → 1, λ → ∞ , т.е. увеличивая долю потребления, мы повышаем
эффективность инвестиций – парадокс Кейнса. Величина
λ=
1
1− μ
мультипликатор Кейнса. Схема системы имеет вид
Схема 9. Мультипликатор Кейнса
Т.о. основная формула теории регулирования (1) в данном случае
записывается
ΔФ =
ΔK
1− μ
(2).
Пример 1. Рассмотрим экономическую систему, в которой предполагается,
что экономический цикл повторяется неограниченное число раз. Кроме того,
в каждом периоде инвестиции постоянны и равны ΔK , а потребление
составляет постоянную долю ( μ ) от конечного продукта Y , произведенного в
предыдущем периоде.
ΔY0 = ΔK ,
ΔY1 = ΔK + μΔY0 = ΔK (1 + μ ) ,
ΔY2 = ΔK + μΔY1 = ΔK (1 + μ + μ 2 ) ,
…
ΔYn = ΔK + μΔYn −1 = ΔK (1 + μ + ... + μ n + ...) ,
Тогда предельный прирост конечного продукта рассчитывается по основной
формуле теории регулирования ΔY = lim Yn =
n→∞
1
ΔK .
1− μ
Данная модель предложена Каном и Кларком.
Пример 2. Рассмотрим модель Леонтьева в матричном виде ( E − A) −1Y = X .
Очевидно, что функционирование экономической системы, описываемой
моделью Леонтьева, может быть представлена следующей схемой с
контуром
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Yˆ
ΔY
X
S =1
R=A
X = ( E − A) −1Y = ( E + A + A2 + ... + An + ...)Y = BY ,здесь B -матрица
полных затрат.
Пример 3.
Экономическая система выпускает продукцию Pt = F ( K t , Lt ) ,
используя основной капитал K t и трудовые ресурсы Lt . Финансовый ресурс
на начало года формирует основной капитал и потребление в году t
Фt −1 = K t + Qt . С другой стороны, финансовый ресурс в конце года
учитывает выпущенную в году t продукцию Pt и капитал K t : Фt = K t + Pt .
Прирост финансовых средств пропорционален приросту капитала
ΔФt = λΔK t . Необходимо рассчитать мультипликатор Кейнса.
Выпишем модель, соответствующую сформулированной задаче.
ФT → max
Фt −1 = K t + Qt
Фt = K t + Pt
Pt = F ( K t , Lt )
Qt ≤ Qt ≤ Qt
∀t
∀t
∀t
∀t
Ф0 , K t , Lt − заданы
Получили
λt =
модель
Лурье.
Рассчитаем
мультипликатор
Кейнса.
ΔФt
1
1
ΔФt
=
, μ - предельная склонность
=
=
ΔK t ΔФt −1 − ΔQt ΔФt −1 − ΔQt γ − μ
ΔФt ΔФt
к потреблению (доля прироста потребления в приросте финансовых средств).
Пример 4. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой
Обозначим T - подсистему из усилителей R1 , R2 , тогда для системы T
получаем yT =
R1
xT = TxT . Для исходной системы подсистема T
1 − R1R2
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
является регулятором и, согласно основной формуле теории регулирования,
получаем
y=
S
S
x=
x.
SR1
1 − SR
1−
1 − R1R2
Задачи
1.Рассматривается система с контуром. Коэффициент усиления входного
сигнала S = 2 . Каким должен быть усилитель R , чтобы входной сигнал
усиливался в 100 раз.
2. Необходимо с помощью контура усилить сигнал в k раз, при этом плата за
усиление в системе S равна a , в регуляторе - b . Каковы оптимальные
усиления S и R . (Замечание: считается, что a , b , k -заданные параметры).
3. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой
4. Найдите коэффициент усиления системы, заданной схемой
5. Рассчитайте предельную склонность к потреблению и мультипликатор
Кейнса по модели Лурье для отрасли «Сельское хозяйство» Воронежской
области,
если
известны
следующие
характеристики
отрасли.
α 1− α
Производственная функция – функция Кобба-Дугласа Pt = aK t Lt
с
параметрами a = 12,8 , α = 0,36 , t0 = 2003год . Ф2003 = 40000 тыс.руб.
Ресурсы отрасли приведены в таблице (в тыс.руб.).
Kt
Lt
t = 2004
t = 2005
t = 2006
29145
382
35740
379
41706
419
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§3. Моделирование экономических процессов как основа
эффективной организации сложных систем.
3.1.Основные понятия и факты.
Экономико-математическое моделирование понимается как направление
экономической теории, изучающее закономерности построения анализа,
интерпретации и применения для решения практически важных задач особых
объектов, являющихся образами экономических процессов или явлений.
Экономические объекты, процессы или явления будем впредь называть
оригиналами. Моделирующее отображение оригиналов представимо в виде
композиции двух отображений — огрубляющего и гомоморфного. Сначала
огрубляющее отображение выделяет в исходном объекте её составную часть
с меньшим числом элементов и связей между ними, а затем гомоморфное
отображение переводит подсистему в модель, при этом может произойти
дальнейшее огрубление, т. е. число элементов и связей в модели может стать
меньше, но при этом не происходит искажения структуры или иных
характеристик, сохраняющих сущность оригинала. Итак, иногда модель – это
упрощенный образ оригинала, который в процессе изучения замещает
оригинал, сохраняя при этом важные для данного изучения, типичные его
черты. Обратный переход от модели к оригиналу называется интерпретацией
модели. Одно из достоинств метода моделирования состоит в возможности
построения моделей с «удобной» структурой, что делает исследование
модели более легким, чем исследование оригинала. Существует много иных
дефиниций понятия - «модель», «моделирование». Наиболее известным и
используемым многими исследователями является следующее определение.
Моделью называется объект искусственно созданный или реально
существующий, который с заданной степенью схожести воспроизводит
оригинал так, что позволяет получить новую информацию об оригинале.
Моделирование-исследование оригинала с помощью модели.
Разработка модели т.о. составляет этап сложного процесса, который
содержит и иные этапы – анализ модели, проверка её адекватности
оригиналу, выбор исходной информации и проверка её достоверности.
Приведем следующую классификацию моделей.
По типу реализации различаются материальные и знаковые модели. Под
материальным моделированием понимают моделирование, при котором
исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные
функциональные, динамические и геометрические характеристики
изучаемого объекта. При этом выделяют физическое и аналоговое
моделирование. Физическим называется моделирование, при котором
реальному объекту противопоставляется его уменьшенная или увеличенная
копия, допускающая исследование в лабораторных условиях, с последующим
переносом свойств изучаемых процессов или явлений с модели на объект на
основе теории подобия. Аналоговое моделирование основано на аналогии
процессов и явлений, имеющих разную физическую природу, но одинаково
описываемых формально (схемами, уравнениями и т.п.).
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Классификация моделей
Идеальное моделирование основано не на материальной аналогии
модели и объекта, а на идеальной и носит теоретический характер. Это, как
правило, искусственно созданный объект. Интуитивное моделирование
основано на интуитивном представлении об объекте исследования, не
поддающемся формализации или не нуждающемся в ней. Знаковое
моделирование использует в качестве модели условное описание системы
оригинала с помощью данного алфавита символов и операций над
символами. Наиболее важными в данном классе являются концептуальные и
математические модели.
Концептуальная модель представляет собой агрегированный вариант
традиционного описания основных закономерностей функционирования
изучаемой системы, состоящий из научного текста, сопровождаемого блоксхемой системы, таблицами, графиками и т.п. К достоинствам
концептуальных моделей относятся универсальность, гибкость, разнообразие
средств выражения и др. Среди недостатков выделяют высокую
неоднозначность интерпретации и статичность.
Математической моделью оригинала называется его представление в
виде
S = (V , X , σ , F ) .
38
(*)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь
V ∈ E m – внешние переменные и параметры; X ∈ E n –
функции связи
внутренние переменные и параметры; σ = σ 1 ,K ,σ m1
(
)
внешних и внутренних переменных и параметров; F = (F1 ,K , Fn )
передаточная функция. Выражение (*) может быть переписано в виде:
σ (V , X ) = 0
(
-
(**)
)
X = F V,X 0 .
Если переменные V
и
X
функции времени, то задача (**)
определяется на t ∈ [ t 0 ,T ] и становится динамической
σ (V (t ) , X (t )) = 0
∀ t ∈ [ t0T ]
X ( t ) = Ft ( V ( t ), X 0 ) t ∈ [ t 0 ,T ]
x( t 0 ) = x0 .
Описанные выше модели называются балансовыми. Весьма
распространены модели скалярной оптимизации, векторной оптимизации и
теоретико-игровые. Их вид приведен ниже.
В зависимости от свойств разрешающего оператора F математические
модели динамичных систем классифицируются по разным признакам.
Модель называется аналитической, если для оператора F найдено точное
аналитическое выражение, позволяющее для любых входных функций и
начальных условий непосредственно определять значение переменных
состояния x0 в любой нужный момент t.
В подавляющем большинстве случаев нахождение аналитического
выражения для разрешающего оператора F оказывается затруднительным
или в принципе невозможным. Если совокупность уравнений и неравенств
непротиворечива (среди них нет взаимоисключающих) и полна (т.е. она
содержит всю необходимую информацию для нахождения решений) и, с
помощью ЭВМ, удается найти их численное решение, в результате чего
получается реализация оператора F в виде машинной программы, с помощью
которой по входным и начальным данным рассчитываются значения
переменных состояний
на интервале t ∈ [t 0 ,T ] , то в данном
случае мы имеем имитационную модель.
В детерминированной модели значения переменных выражения (*) не
меняются во времени. Стохастическая модель каждой переменной x
ставится в соответствие с распределением возможных значений,
характеризуемое такими вероятностными показателями, как математическое
ожидание
, среднее квадратическое отклонение
39
σ(x i ) и т. п.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дискретная модель описывает поведение системы на фиксированной
последовательности моментов времени. В непрерывной модели значения
переменных состояния могут быть рассчитаны для любой точки t
рассматриваемого интервала [t 0 ,T0 ].
По характеру описания пространственного строения систем модели
делятся на точечные, в которых пространственное строение системы не
рассматривается, т. е. в качестве переменных фигурируют зависящие только
, и пространственные, в которых
от времени переменные
переменные
зависят не только от времени, но и от пространственных
координат.
Важное место среди методов моделирования занимает структурное
представление процессов и явлений. Его мы будем называть структурным
моделированием. В следующем параграфе мы рассмотрим сущность
структурного моделирования и приведем пример структурно-логической
модели.
Разработка экономико-математических моделей – многоэтапный
процесс. Основными этапами процесса разработки моделей являются:
постановка задачи, концептуализация, спецификация, идентификация,
реализация модели, проверка адекватности модели, исследование (анализ)
модели, оптимизация, заключительный синтез.
Рассмотрим содержание каждого из этих этапов.
1. Постановка задачи. Формулирование цели и выделение в изучаемом
оригинале конечного числа свойств и процессов, наиболее существенных для
решения поставленной задачи и необходимых, по мнению исследователя
(разработчика модели), для достижения цели. Задание степени сходства
модели и оригинала. Суть данного этапа состоит в том, чтобы ограничить и
конкретизировать число возможных направлений и аспектов изучения
оригинала.
2. Концептуализация. На этом этапе необходимо построить
концептуальную модель изучаемого оригинала. Устанавливаются его
внешние “входы” и “выходы”, определяется состав, структура и некоторые
особенности функционирования. Состав оригинала представляется
множеством его внутренних неделимых частей и непосредственно
взаимодействующих с ними элементов окружающей среды. Структурой
называется совокупность всех связей между этими элементами. Под
функционированием оригинала понимается процесс изменения свойств его
элементов во времени под воздействием внешних факторов и в результате
взаимодействий между внутренними элементами.
3. Спецификация. Здесь определяются составы множества входных
переменных
и переменных состояния
будущей
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
математической модели и по возможности более строго и однозначно
(насколько это возможно средствами вербального описания) задается
моделирующее отображение системы-оригинала на модель.
4. Идентификация. Задача этого этапа заключается в установлении
математических соотношений
5.
между переменными
и
, образующих структуру модели σ = {σ1 , K , σ y }.
Реализация модели. Построение ее разрешающего оператора
:
.
Это дает возможность рассчитывать с помощью модели динамику
переменных состояния
на рассматриваемом промежутке времени
, соответствующую данным входам
и начальному
состоянию
. Если аналитическое нахождение оператора
затруднено, то строится реализация оператора F в виде программы для ЭВМ.
6. Проверка адекватности модели. На данном этапе устанавливают, в
какой
степени
модель
способна
воспроизводить
интересующие
исследователя черты оригинала. Окончательная оценка пригодности модели
может быть дана только на основе ее всестороннего анализа, сравнения с
данными наблюдений и экспериментов и, самое главное, на основе опыта
практического использования модели как инструмента проверки гипотез,
прогнозирования, оптимизации и управления моделируемой системой.
7. Исследование модели. Процесс исследования модели включает как
характеристику общих черт построения траектории
–
таких, как существование и единственность, ограниченность, периодичность,
устойчивость и др. – так и более конкретное изучение зависимости решения
от начального состояния
, структуры модели и от входов
. “Анализ чувствительности” модели включает совокупность
приемов исследования динамических моделей, реализованных на ЭВМ.
Результаты анализа чувствительности показывают, какие из начальных
условий, какие связи между переменными и параметрами, а также какие из
внешних факторов оказывают наиболее сильное (или незначительное)
влияние на поведение модели. Это необходимо для того, чтобы
исследователь мог решить, какие параметры должны определяться с высокой
точностью при наблюдениях, экспериментах и на этапе идентификации, а
какие могут задаваться относительно приближенно.
8. Оптимизация. На этом этапе рассматривается возможность
регулирования параметров модели с целью оптимизации тех или иных
характеристик оригинала, которые могут быть получены в результате
реализации модели.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Заключительный синтез. Оцениваются полученные результаты —
прежде всего, построенная имитационная модель — и намечаются
перспективы для будущих исследований.
Математические модели достаточно широко используются при анализе
экономических проблем. Поскольку экономика охватывает не только
производственные процессы, но и производственные отношения, то при
моделировании необходимо учитывать оба данных аспекта. В экономических
системах выделяют два основных уровня экономических процессов.
Первый уровень — производственно-технологический. Здесь происходит описание производственных возможностей изучаемых эконо-мических
систем.
При
математическом
моделировании
производственных
возможностей экономической системы необходимо: 1) разбить ее на
“элементарные” производственные единицы; 2) описать производственные
возможности каждой из единиц; 3) описать возможности обмена ресурсами
производства и продукцией между “элементарными” производственными
единицами. Производственные возможности описываются агрегированием
при помощи производственных функций различных типов, а при описании
возможностей обмена используют балансовые соотношения.
На уровне социально-экономических процессов определяется, каким
образом реализуются производственные возможности, описанные при
моделировании производственно-технологического уровня экономической
системы. В математических моделях выделяют специальные переменные управления, значения которых определяют единственный вариант развития
экономического процесса. На уровне социально-экономических процессов
определяется механизм выбора управляющих воздействий.
Таким образом, для описания функционирования экономической
системы необходимо смоделировать оба уровня: производственнотехнологический и социально-экономический.
Выделяют нормативные проблемы (к ним относятся задачи
планирования), в которых описание социально-экономического уровня не
является необходимым. В них необходимо указать, как надо задать
управления, чтобы достичь наилучших в каком-то смысле результатов. При
этом необходимо сформулировать критерий, по которому можно оценивать и
сравнивать различные управления. Критерий (целевая функция) является
функцией переменных модели изучаемой системы. Критерием может быть
объем выпуска продукции, прибыль, затраты и др. Обычно предполагается,
что имеется единственный критерий выбора управления системой. Ищется
такое управление, чтобы критерий достигал максимального (в случае, когда
критерий — выпуск продукции, прибыль и т. д.), или минимального (в случае
затрат) значения. Такое значение управления находится методами
оптимизации и называется оптимальным.
Изучаемая экономическая система моделируется в виде совокупности
некоторого числа “элементарных” экономических единиц, каждая из которых
характеризуется производственной функцией, устанавливающей связь между
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
затратами тех или иных ресурсов в процессе производства и выпуском
продукции.
Ниже приводятся основные типы моделей, которые обеспечивают
отработку основных принципов моделирования и способствуют созданию
устойчивых навыков у тех, кто обучается этому процессу.
3.2. Модели формирования оптимального ассортимента
Рассматривается некоторый производственный объект. Для выпуска
продукции объект использует материальные, трудовые и сырьевые ресурсы,
а также имеющееся в его распоряжении производственное оборудование.
Предполагается, что управляющий орган экономического объекта владеет
информацией о возможном объёме поступающих со стороны ресурсов, о
величине экономических показателей, о нормах расхода ресурсов и
ожидаемой прибыли от реализации каждого вида выпускаемой продукции.
Задача состоит в разработке модели формирования оптимального
ассортимента выпуска для данного экономического объекта. Под
оптимальным ассортиментом можно понимать либо выпуск, дающий
максимальную прибыль, либо выпуск, требующий минимальных затрат, либо
выпуск продукции, максимизирующий объём продаж.
Модель содержит три типа ограничений:
I
II
III
–
–
–
на учёт производственных возможностей;
на учёт технико-экономических показателей;
на спрос.
Ограничения группы I формализовано записываются в виде:
n
∑ a ij x j ≤ b i , i = 1 .. m .
j =1
Здесь j – номер продукта, j = 1..n;
n – число выпускаемых продуктов;
i – номер ресурса, i=1..m;
m – число используемых ресурсов;
aij – нормы расхода i-го ресурса на выпуск единицы j-го
продукта;
bi – общее количество i-го ресурса;
xj – объём выпуска j-го продукта.
Ограничения II группы формализовано записываются в виде:
n
∑ d lj x
j=1
где
j
≤ ( ≥ ) D l , l = 1 .. L ,
l – порядковый номер экономического показателя, l = 1..L;
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
L – число учитываемых экономических показателей;
dlj – величина l-го показателя, оценивающего j-й продукт;
Dl – расчётная величина l-го показателя, принимаемого
экономическим объектом для оценки его деятельности.
Ограничения III группы формализовано записываются в виде:
A j ≤ x j ≤ A j , j = 1..n .
(A , A ) – интервал возможного изменения выпуска продукции j-го вида.
j
j
В качестве функции цели чаще всего используется максимизация
прибыли:
n
∑ c jx j →
max ,
j =1
где cj – прибыль от реализации продукции j-го вида.
В качестве функции цели можно рассматривать также минимизацию
затрат, максимизацию выпуска комплектной продукции (критерии
Канторовича).
Рассмотрим модель выбора набора технологий, позволяющих при
ограниченных ресурсах получить максимальное число комплектов.
Предполагается, что мерой использования технологий принята интенсивность (в единицах измерения времени). Время рассматривается как один
из видов ресурсов.
j – порядковый номер вида технологии;
n – число видов технологий;
xj – интенсивность использования j-й технологии;
i – порядковый номер вида (комплектующего изделия);
l – число видов выпускаемых изделий;
li – число деталей i-го вида, необходимых для комплектования единицы
выпускаемой продукции;
s – вид ресурса (сырья, энергии и т.д.);
k – число видов выделяемых ресурсов;
bs – объём выделяемого ресурса s-го вида;
aij – норма выпуска деталей i-го вида при использовании j-й технологии
с единичной интенсивностью;
bsj - норма использования (расхода) s-го вида ресурсов при
применении j-й технологии с единичной интенсивностью;
z - число единиц выпускаемой комплектной продукции.
Математическая модель технологий, максимизирующих число
комплектов, имеет вид:
z → max
1 n
∑ a ij x j ≥ z , i = 1 .. l
li j =1
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
∑
b sj x j ≤ b s , s = 1 .. k
j =1
x j ≥ 0 , j = 1 .. n .
Пример 1. Компания по производству игрушек изготавливает две различные
игрушки А и В. При изготовлении каждая игрушка должна обрабатываться
тремя разными машинами. Эти машины могут обрабатывать только одну
игрушку в каждый момент времени. Изготовление одной единицы А требует
40 мин. работы 1-й машины, 20 мин. – 2-й и 10 мин. – 3-й. Для изготовления
одной единицы В необходимо 20 мин. – 1-й, 30 мин. – 2-й и 30 мин. – 3-й.
Каждая машина может работать 40 часов в неделю. Игрушка А приносит 4
руб. прибыли на единицу, а В – 3 руб. Полагают, что спрос на эти игрушки
превышает предложение компании.
Построить математическую модель для определения того, сколько
каждого вида игрушек должна делать компания каждую неделю, чтобы
максимизировать прибыль?
Решение. Обозначим через xa объем выпуска игрушки А, а через xb – объем
выпуска игрушки В. Тогда 40xa мин. – общее время работы 1-й машины по
обработке всех игрушек А, 20xb мин. – общее время работы 1-й машины по
обработке всех игрушек В. Аналогично для 2-й машины: 20xa мин. – на
игрушки А, 30xb мин. – на игрушки В. И для 3-й машины: 10xa мин. – на
игрушки А, 30xb мин. – на игрушки В. Отсюда получим ограничения группы I
– на временные ресурсы каждой машины:
40 x a + 20 xb ≤ 40
20 xa + 30 xb ≤ 40
(1)
10 x a + 30 xb ≤ 40 .
Ограничения II и III групп для данной задачи не определены.
Построим целевую функцию. Задача состоит в максимизации прибыли
компании, поэтому в качестве целевой функции возьмем выражение,
описывающее прибыль:
(2)
4 xa + 3xb → max .
Здесь 4xa – общая прибыль, получаемая от реализации игрушки вида A
в количестве xa, соответственно 3xb – общая прибыль, получаемая от
реализации игрушки вида B в количестве xb.
Таким образом, целевая функция (2) и ограничения (1) представляют
собой искомую математическую модель.
Пример 2. Механический цех может изготовить за смену 600 деталей №1 или
1200 деталей №2. Производственная мощность термического цеха, куда эти
детали поступают на обработку в тот же день, позволяет обработать за смену
1200 деталей №1 или 800 деталей №2. Цены на детали одинаковы.
Определить ежедневную производственную программу выпуска деталей,
максимизирующую товарную продукцию предприятия, для каждого из
следующих дополнительных условий:
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a) оба цеха работают одну смену;
b) механический цех работает три смены, а термический – две смены;
c) предприятие работает в две смены, при этом деталей №1 должно
быть изготовлено не более 800 шт., а деталей №2 – не более 1000
шт.
Решение. Обозначим через x1 объем выпуска деталей №1, x2 – деталей №2.
Для всех трех модификаций задачи целевая функция остается неизменной –
максимум выпуска продукции, то есть:
(1’)
x1 + x2 → max .
При одинаковой целевой функции модификации задачи будут иметь
разные ограничения.
1
a) Примем всю продолжительность одной смены за 1. Тогда
x1 - доля
600
смены, в течение которой в механическом цехе будут производиться x1
1
деталей №1, а
x2 - доля смены, в течение которой в том же цехе
1200
будут производиться x2 деталей №2. Тогда ограничение на общий объем
рабочего времени механического цеха будет выглядеть следующим
образом:
1
1
x1 +
x2 ≤ 1 .
(а2)
600
1200
Аналогичное ограничение построим и для термического цеха:
1
1
x1 +
x2 ≤ 1 .
(а3)
1200
800
Ограничения (а2-а3) и целевая функция (1) составляют искомую
математическую модель для варианта задачи (а).
b) Как и для варианта (а) примем всю продолжительность одной смены за 1.
Тогда получим следующие ограничения на рабочее время обоих цехов:
1
1
механический –
x1 +
x2 ≤ 3 ,
(b2)
600
1200
1
1
x1 +
x2 ≤ 2
1200
800
термический –
.
(b3)
Ограничения (b2-b3) и целевая функция (1) составляют искомую
математическую модель для варианта задачи (b).
c) Как и для вариантов (а) и (b) примем всю продолжительность одной смены
за 1. Тогда получим следующие ограничения на рабочее время обоих
цехов:
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
механический –
1
1
x1 +
x2 ≤ 2 ,
600
1200
(с2)
термический –
1
1
x1 +
x2 ≤ 1 .
1200
800
(с3)
Кроме того, в данном варианте в задаче присутствуют ограничения III вида
на спрос, которые выражаются следующим образом:
x1 ≤ 800 , x2 ≤ 1000 .
(c4)
Ограничения (с2-с4) и целевая функция (1)
математическую модель для варианта задачи (с).
составляют
искомую
Пример 3. Механический завод при изготовлении трёх различных типов
деталей использует токарные, фрезерные и строгальные станки. При этом
обработку каждой детали можно вести тремя различными технологическими
способами.
В таблице указаны ресурсы (в станко-часах) каждой группы станков,
нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем станке по
данному технологическому способу, а также прибыль от выпуска единицы
детали каждого вида:
Детали
Станки
Технологические
способы
Токарный
Фрезерный
Строгальный
Прибыль
I
II
III
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Ресурсы
времени
0,4
0,5
1,3
0,9
0,5
0,5
0,6
0,4
0,4
1,0
-
0,3
0,2
1,5
0,5
0,3
0,7
0,3
-
1,4
1,0
0,9
0,5
250
450
600
12
18
30
Составить оптимальный план загрузки производственных мощностей,
обеспечивающий максимальную прибыль.
Считая, что между количеством выпускаемых деталей должно
выполняться соотношение 1:2:4, определить производственную программу,
обеспечивающую изготовление максимального числа комплектов.
Решение. Обозначим через xij объем выпуска i-той детали j-тым
технологическим способом, а через z – количество выпускаемых комплектов.
Тогда ограничения на количество комплектов будут выглядеть следующим
образом:
x11 + x12 + x13 ≥ z ,
x21 + x22 + x23 ≥ 2 z ,
(3)
x31 + x32 + x33 ≥ 4 z .
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Блок ограничений на ресурсы представлен ограничениями на количество рабочего времени каждого станка:
токарный:
(0,4 x11 + 0,9 x12 + 0,5 x13 ) + (0,4 x21 + 0,3x22 ) + (0,7 x31 + 0,9 x33 ) ≤ 250 ,
фрезерный:
(0,5 x11 + 0,6 x13 ) + (1,0 x21 + 0,2 x22 + 0,5 x23 ) + (0,3x31 + 1,4 x32 ) ≤ 450 ,
(4)
строгальный:
(1,3x11 + 0,5 x12 + 0,4 x13 ) + (1,5 x22 + 0,3x23 ) + (1,0 x32 + 0,5 x33 ) ≤ 600 .
Построим целевую функцию. Задача состоит в максимизации прибыли
компании. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее
выражение:
12( x11 + x12 + x13 ) + 18( x21 + x22 + x23 ) + 30( x31 + x32 + x33 ) → max .
(5)
Таким образом, целевая функция (5) и ограничения (3-4) представляют собой
искомую математическую модель.
Задачи.
1. Автомобильный завод выпускает машины марок А и В. Производственные
мощности отдельных цехов или отделов приведены в следующей таблице:
№
Наименование цехов или участков
1
2
3
4
5
6
Подготовительное производство
Кузовной цех
Производство шасси
Производство двигателей
Сборочный цех
Участок испытаний
Количество машин за год
Типа А
Типа В
125
110
80
320
110
110
240
120
160
80
280
70
Определить наиболее рентабельную производственную программу при
следующих дополнительных условиях:
а) прибыли от выпуска одной машины типа А и В соответственно равны 2000
и 2400 рублей;
б) производственная мощность 1-го и 5-го цехов увеличена в 1,5 раза за счёт
использования сверхурочных работ, что приводит к уменьшению прибыли
от выпуска одной машины типа А до 1500 рублей и типа В – до 2100
рублей (для «сверхплановых» автомобилей).
2. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует
токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
детали можно вести двумя различными технологическими способами.
Полезный фонд времени работы каждой группы оборудования (в станкочасах), нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем
оборудовании по данному технологическому способу и прибыль от выпуска
единицы деталей каждого вида даны в таблице:
Детали
I
1
2
1
2
Ресурсы
времени
Токарное
Фрезерное
Сварочное
2
3
-
2
1
1
3
1
1
2
4
20
37
30
Прибыль
11
6
9
6
Технологические
способы
Оборудование
II
Составить
оптимальный
план
“загрузки
оборудования”,
обеспечивающий заводу максимальную прибыль.
3. Предприятие может выпускать продукцию по трём технологическим
способам. При этом за 1 час по 1-му способу оно выпускает 20 единиц
продукции, по 2-му – 25 единиц и по 3-му – 30 единиц продукции.
Количество производственных ресурсов, расходуемых за час при
различных способах производства, и наличный объем ресурсов приведены в
таблице:
Факторы
Способ
производства
I
II
III
Располагаемые
ресурсы факторов
Сырьё
Парк
станков
Рабочая
сила
Энергия
Транспорт
Прочие
расходы
2
1
3
3
4
2
7
3
4
2
1
3
1
0
1
4
2
1
60
80
70
50
40
50
Спланировать работу предприятия из условия получения максимума выпуска продукции, если известно, что общее время
работы предприятия составляет 30 часов.
4. Предприятие располагает тремя видами ресурсов А, Б, В, в количествах,
равных соответственно 34, 16, 22 тыс. единиц. Существует четыре способа
производства продукции. Расход каждого вида ресурсов в течение месяца по
каждому способу производства известен и приведён в таблице.
Способ производства
Ресурсы
А
Б
В
Количество
выпускаемой
в
течение месяца продукции, тыс.
49
I
II
III
IV
2
4
2
4
1
3
1
4
1
5
1
2
7
3
4
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ед.
Определить оптимальную производственную программу таким
образом, чтобы выпуск единиц продукции был бы максимальным;
5. В хозяйстве производится зерно, кукуруза на силос и содержится крупный
рогатый скот. Для выращивания сельскохозяйственных культур выделяется
10 тыс. га пашни, для содержания скота – 1 тыс. га естественных пастбищ,
для производства всех работ – 200 тыс. человеко-дней трудовых ресурсов. На
содержание одной коровы затрачивается 25 человеко-дней труда и 40
кормовых единиц, при этом прибыль получается 460 рублей в год. Для корма
используются естественные пастбища, а также может отводиться весь
урожай кукурузы на силос и до 20% валового сбора зерна. Остальные
показатели производства приведены в таблице:
Наименование
культуры
Зерновые
Кукуруза на силос
Естественные
пастбища
Урожайност
ь с 1 га,
ц
Затраты
труда на 1 га,
чел-дней
Коэффициент
перевода на 1
кормовую ед.
Прибыль с 1ц,
руб.
20
400
5
2
20
-
1,1
0,2
0,5
4
1
-
Требуется найти оптимальное сочетание производства продукции,
дающее хозяйству максимальную прибыль.
6. Фирма производит три продукта: ротационные покрышки, корпуса
подшипников и листовое железо. Управляющий столкнулся с проблемой
составления наилучшего производственного плана на следую-щий месяц.
Совместно со своими сотрудниками управляющий пришёл к следующей
таблице данных на планируемый месяц:
Продукт
Время на ед.
продукции
(ч)
Количество
металла на ед.
продукции (кг)
Цена ед.
продукции
Максимальный
прогнозируемый
спрос (шт.)
Ротационные
покрышки
2,5
3,25
30
300
1,0
1,50
32
550
2,0
2,00
25
320
Корпуса
подшипников
Листовое железо
Было определено, что в планируемом месяце компания имеет не более
900 часов производственного времени и нет ограничений на поставки
металла. Каждый час производственного времени будет стоить 7 тыс.руб.
(оплата труда), а каждая единица металла – 2 тыс. руб. Расчет за
поставляемую продукцию производится в конце планируемого месяца.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Объем свободных денежных средств (для закупок сырья и оплаты рабочего
времени) на начало месяца составляет 14960 тыс. руб. Распределение
продукции может быть осуществлено в течение этого же месяца.
Каким должен быть производственный план следующего месяца,
максимизирующий прибыль?
3.3. Типовые модели процессов смешивания
Рассматривается проблема составления смесей из различных
компонентов, обладающих заданным набором свойств. Среди всевозможных
смесей необходимо найти смесь, обладающую заданными свойствами,
согласующимися со свойствами компонентов, и имеющую минимальную
стоимость.
Вид формализованной модели задачи составления оптимальных смесей
зависит от типов переменных. Если в качестве переменных xj взять долю j-й
компоненты в смеси, то модель запишется в виде:
n
∑ x j =1 ,
(1)
j =1
n
∑ aij x j ≥ Ri , i = 1..m ,
(2)
a j ≤ x j ≤ b j , j = 1 .. n ,
(3)
j =1
n
∑ c j x j → min .
(4)
j =1
Здесь:
i – порядковый номер свойств, которыми обладают компоненты и смесь,
i = 1..m ;
aij – величина i-го свойства для j-той компоненты;
Ri – требование на величину i-го свойства для ед. смеси;
(a j , b j ) – интервал возможного включения j-той компоненты в смесь;
cj – стоимость единицы j-той компоненты.
Если неизвестные сформулированы в виде: xj – объём вложений j-той
компоненты в натуральном выражении, то ограничение (1) приведённой
выше модели записывается в виде:
n
∑ xj = b ,
j =1
где b – общее количество смеси, которое должно быть получено.
В такие модели, как правило, также включаются ограничения (2-3).
Однако bj несёт иную смысловую нагрузку. Здесь bj – количество j-той
компоненты, которое есть в наличии.
Если известны условия изготовления компонентов с учётом
имеющихся для этой цели ресурсов, то возникает более сложная
объединённая задача составления оптимальной смеси, для которой будут с
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
наибольшим эффектом использованы ресурсы в производстве компонентов.
Усложнение задачи может происходить и за счёт внесения в модель
ограничений, связанных с условиями использования смесей. В качестве
примера рассмотрим модель составления оптимальных схем внесения
удобрений. Введём обозначения:
j – вид культуры, J – число всех видов культур;
i – вид смеси удобрений, I – число всех видов смесей;
q – способ внесения удобрений, Q – число всех способов внесения
удобрений;
r – номер формы, в которой находится действующее вещество в удобрении
(легко- или труднорастворимые);
Nr, Pr, Kr – количество азота, фосфора и калия r-й формы, имеющегося на
предприятии;
Niqjr, Pijqr, Кijqr - количество действующего вещества азота, фосфора и калия rй формы, необходимого для внесения по q-му способу в i-ю смесь под
j-ю культуру на 1 га земли;
m – вид органического удобрения, M – число всех видов органических
удобрений;
Hm – количество m-го вида органических удобрений, имеющихся на
предприятии,
Hijqm – количество органического удобрения m-го вида, вносимое по q-му
способу в i-ю смесь под j-ю культуру на 1га земли;
Sjq – площадь посева под j-ю культуру, в которую можно внести удобрения
по q-му способу;
aijq – логический коэффициент, равный 1, если можно внести i-ю смесь q-м
способом под j-ю культуру, и равный 0 в противном случае;
Cijq – эффективность (прибыль), полученная при внесении i-й смеси q-м
способом под j-ю культуру на 1га земли;
xijq – число гектаров земли, отводимое под j-ю культуру с внесением i-й
смеси удобрения q-м способом.
Получим следующую математическую модель:
I
J
Q
∑ ∑ ∑ cijq xijq → max .
i =1 j =1 q =1
Азотные удобрения:
I
l
Q
∑ ∑ ∑ N ijqr xijq
i =1 j =1 q =1
Фосфорные удобрения:
I
J
Q
∑ ∑ ∑ Pijqr xijq
i =1 j =1 q =1
Калийные удобрения:
I
J
Q
∑ ∑ ∑ K ijqr xijq
i =1 j =1 q =1
Органические удобрения:
I
J
Q
∑ ∑ ∑ H ijqm xijq
i =1 j =1 q =1
52
≤ Nr .
≤ Pr .
≤ Kr .
≤ H m , m = 1 ..M .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Площади:
I
∑ a ijq x ijq
i =1
≤ S jq , j = 1 .. J , q = 1 ..Q
x ijq ≥ 0 , i = 1 .. I , j = 1 .. J , q = 1 ..Q .
Пример 1. Из четырёх видов основных материалов (медь, цинк, свинец,
никель) составляют три вида сплавов латуни: обычный, специальный и для
художественных изделий. Цены единицы веса меди, цинка, свинца и никеля
составляют 0,8 руб., 0,6 руб., 0,4 руб. и 1,0 руб., а единицы веса сплава,
соответственно, 2 руб., 3 руб., 4 руб.
Сплав для художественных изделий должен содержать не менее 6%
никеля, не менее 50% меди и не более 30% свинца; специальный – не менее
4% никеля, не менее 70% меди, не менее 10% цинка и не более 20% свинца.
В обычный сплав компоненты могут входить без ограничения.
Производственная мощность предприятия позволяет выпускать (за
определённый срок) не более 400 ед. веса обычного сплава, не более 700 ед.
веса специального сплава и не более 100 ед. веса сплава для художественных
изделий.
Найти производственный план, обеспечивающий максимальную
прибыль.
Решение. Обозначим через xij долю i-той компоненты в j-той смеси. Тогда
получим следующие ограничения модели:
x11 + x 21 + x31 + x 41 = 1
x12 + x 22 + x32 + x 42 = 1 .
(1)
x13 + x 23 + x33 + x 43 = 1
Ограничения на количество компонентов в смесях:
x12 ≥ 0,7; x 22 ≥ 0,1; x32 ≤ 0,2; x 42 ≥ 0,04
. (2)
x13 ≥ 0,5; x33 ≤ 0,3; x43 ≥ 0,06
Требование неотрицательности переменных:
xij ≥ 0, ∀i = 1..4, j = 1..3 .
(3)
Целевая функция представляет собой сумму величин прибыли,
получаемой с единицы веса каждого сплава:
(2 − 0,8 x11 − 0,6 x21 − 0,4 x31 − 1,0 x31 ) +
(3 − 0,8 x12 − 0,6 x22 − 0,4 x32 − 1,0 x42 ) +
(4 − 0,8 x13 − 0,6 x23 − 0,4 x33 − 1,0 x43 ) → max
.
(4)
Ограничения (1-3) и целевая функция (4) представляют собой модель
для получения искомой информации.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 2. Госпиталь стремится минимизировать стоимость мясного питания
(говядина, свинина и баранина). Больничный рацион должен содержать, по
крайней мере, 1,5 фунта жирного мяса на человека в неделю. Говядина,
которая стоит 1,25 доллара за фунт, содержит 20% жирной и 80% постной
части. Свинина – 1,5 доллара за фунт и содержит 60% жирной и 40%
постной части, баранина стоит 1,4 доллара за фунт и состоит из 30% жирной
и 70% постной части. Госпиталь имеет холодильную площадь не более чем
на 900 фунтов мяса. В госпитале на мясной диете 200 пациентов. Сколько
фунтов каждого вида мяса необходимо покупать еженедельно для того,
чтобы обеспечить необходимую калорийность рациона при минимальной
стоимости?
Решение. Пусть xi – количество мяса i-го вида, закупаемого госпиталем.
Тогда получим следующие ограничения модели. Ограничение на объем
холодильной камеры:
x1 + x2 + x3 ≤ 900 .
Ограничение на калорийность рациона:
1
(0,2 x1 + 0,6 x2 + 0,3x3 ) ≥ 1,5 .
200
Требование неотрицательности переменных: xi ≥ 0, ∀i = 1..3 .
Целевая функция – минимизация расходов на закупки:
1,25 x1 + 1,5 x2 + 1,4 x3 → min .
(1)
(2)
(3)
(4)
Целевая функция (4) и ограничения (1-3) образуют искомую модель.
Задачи.
1. Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфабриката: 400 тыс. л
алкилата, 250 тыс. л крекингбензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и
100 тыс. л изопентона. В результате смешивания этих четырёх компонентов в
разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина:
сорт А
сорт В
сорт С
2:3:5:2,
3:1:2:1,
2 : - : 1 : 3.
Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина составляет соответственно 120 руб., 100 руб. и 150 руб.
Определить план смешивания компонентов, при котором будет
достигнута максимальная стоимость всей продукции.
Определить оптимальный план смешивания из условия максимального
использования компонентов.
2. Компания по производству удобрений может произвести в текущем месяце
1400 т нитратов, 1600 т фосфатов и 1200 т поташа. Это количество имеется в
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
распоряжении или уже заказано и не может быть получено в большом
количестве, пока не пройдут следующие 30 дней. Необходимо определить
способы смешивания активных ингредиентов с определёнными инертными
ингредиентами, предложение которых не ограничено, в два основных
удобрения, которые позволят максимизировать прибыли в текущем месяце.
Двумя основными удобрениями являются тип 1 (5:10:10) и тип 2
(10:10:5). Числа в скобках представляют процентное отношение (по весу)
нитратов, фосфатов и поташа соответственно (оставшуюся долю составляют
инертные ингредиенты).
Цены ингредиентов показаны в таблице:
Ингредиенты удобрения
Нитраты
Фосфаты
Поташ
Инертные удобрения
Цена за тонну
160
140
100
8
Затраты смешения, упаковки и продажи одинаковы для обоих смесей и
составляют 15 долларов за тонну. Цены на удобрения, по которым компания
может их реализовать, в настоящее время составляют 50 долларов за тонну
типа 1 и 55 долларов для типа 2.
Необходимо определить, сколько производить каждого типа смеси в
этом месяце, чтобы максимизировать общую прибыль.
3. «Южная алкогольная корпорация» импортирует три сорта виски –
Ирландское, Шотландское и Канадское. Они смешивают их согласно
рецептам, устанавливающим максимум или минимум процентного
содержания Ирландского и Канадского в каждой смеси:
Смесь
Спецификация
Цена на 1/5 галлона
Old Oierhoul
Не меньше 60% Ирландского
Не больше 20% Канадского
6,80
Highband Spec
Не больше 60% Канадского
Не меньше 15% Ирландского
5,70
Young Frezy
Не больше 50% Канадского
4,50
Стоимость и запасы трёх основных видов виски приведены в таблице:
Виски
Ирландское
Шотландское
Канадское
Наличие виски,
1/5 галлона в день
2000
2500
1200
55
Стоимость 1/5
галлона
7
5
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составить модель, позволяющую определить, сколько производить
каждого типа смеси, чтобы получить максимальную прибыль.
4. Животноводческая ферма имеет возможность закупать корма 4-х видов по
различным ценам. В кормах содержатся питательные вещества 3-х видов,
необходимые для кормления коров. Требуется составить еженедельный
рацион кормления коровы, обеспечивающий с минимальными затратами
нормы содержания питательных веществ.
Данные, необходимые для составления рациона, приведены в таблице.
Содержание веществ в кормах указано в килограммах на тонну.
Корма
Вещества
А
В
С
Цена 1 т корма
в руб.
Корм 1
Корм 2
Корм 3
Корм 4
20
30
50
180
40
10
90
200
60
0
40
250
10
20
60
100
Нормы содержания
веществ (в кг) в еженедельном рационе
коровы
Не менее 5
Не менее 3, не более 4
Не менее 8, не более 10
Вопросы
1. Какое количество корма 1 следует закупить (в кг) для составления
еженедельного рациона кормления коровы ?
2. Какое количество корма 4 следует закупить (в кг) для составления
еженедельного рациона кормления коровы ?
3. Какой общий вес еженедельного рациона коровы (в кг) ?
4. Каковы минимальные затраты на покупку кормов для еженедельного
рациона одной коровы (в руб.) ?
5. На сколько возрастут затраты, если еженедельный рацион должен
содержать не менее 6 кг вещества А ?
6. До какой величины должна возрасти цена на корм 4, чтобы
использование этого корма оказалось невыгодным ?
5. В аптеке продаются поливитамины пяти наименований. Каждый
поливитамин содержит витамины и вещества, наиболее важные для Павла
Кутикова, перенесшего простудное заболевание. Необходимо определить,
какие поливитамины и в каком количестве следует принимать Павлу для
восстановления нормальной работоспособности. В следующей таблице
указаны (в мг) количества витаминов и веществ, которые должен получить
Павел за весь курс лечения. Таблица также содержит данные о содержании (в
мг на 1 г) витаминов и веществ в поливитаминах и цены в рублях за 1 г
поливитаминов.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Витамины
1
А
В
1
С
Железо
Кальций
Цена
Поливит.
1
2
1,1
0,9
2
50
24
210
3,4
Поливит.
2
3
1,2
1,1
3
60
45
340
4,3
Поливит.
3
4
1,8
0,7
4
40
18
150
2,4
Поливит.
4
5
1,1
1
5
30
12
260
2,2
Поливит.
5
6
1,3
1,1
6
60
37
300
3,7
Необходимо
7
250
128
7
7000
3700
32000
Определите, какие поливитамины следует принимать, чтобы с
минимальными затратами пройти курс лечения.
Вопросы:
1.
2.
3.
4.
Какое количество (в г) поливитамина 4 следует принять ?
Какое общее количество поливитаминов (в г) следует принять ?
Какова минимальная стоимость курса лечения ?
До какого значения должна снизится цена на поливитамин 2, чтобы
его следовало включить в курс лечения ?
6. Мощности завода позволяют произвести в текущем месяце ингредиенты
для производства удобрений в количествах: 10 т нитратов, 15 т фосфатов и 12
т поташа. В результате смешения активных ингредиентов с инертными,
запасы которых не ограничены, на заводе могут быть получены четыре типа
удобрений:
Удобрение 1 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 5% поташа.
Удобрение 2 содержит 5% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.
Удобрение 3 содержит 10% нитратов, 10% фосфатов и 10% поташа.
Удобрение 4 содержит 10% нитратов, 5% фосфатов и 5% поташа.
Цены на удобрения соответственно 400, 500, 400 и 450 руб. за 1 т.
Причем объем спроса на удобрения практически не ограничен.
Стоимость производства 1 т нитратов 360 руб., фосфатов 240 руб. и
поташа 200 руб. Инертные ингредиенты закупаются заводом по цене 100 руб.
за 1 т.
На текущий месяц завод уже заключил контракт на поставку 10 т
удобрения 3.
Определите, какие удобрения и в каких количествах следует
производить, чтобы в текущем месяце завод получил максимальную
прибыль.
Вопросы
1. Сколько удобрения 2 следует производить (в т)?
2. Сколько всего следует производить удобрений (в т)?
3. Какова максимальная прибыль (в руб)?
4.
На сколько изменилась бы прибыль, если бы заказчик отказался
от закупки удобрений.
7. На кондитерской фабрике изготовляют 3 вида продуктов – восточные
сладости, для которых используют орехи: миндаль, фундук и арахис.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Миндаль покупается фабрикой по цене 75 руб. за 1 кг, фундук – 60 руб.,
арахис – 45 руб. Продукт 1 должен содержать не менее 12% миндаля и не
более 18% фундука, продукт 2 – не менее 25% миндаля.
Цены готовых продуктов соответственно 70 и 65 руб. за 1 кг.
Ежедневно фабрика получает следующее количество орехов: миндаля – 33
кг, фундука – 80 кг, арахиса – 60 кг.
Вопросы
1. Какое количество (в кг) фундука следует использовать при
производстве продукта 1?
2. Какое количество (в кг) продукта 2 следует производить ежедневно,
чтобы фабрика получила максимальную прибыль?
3. Каков общий объем (в кг) ежедневно производимой продукции?
4. Какова максимальная прибыль (в руб. )?
5. На сколько увеличится прибыль, если увеличить закупки миндаля 5
кг?
8. Сочинский винзавод производит три марки сухого вина: «Черный лекарь»,
«Букет роз» и «Белые ночи». Оптовые цены, по которым реализуется готовая
продукция, соответственно 68, 57 и 60 руб. за 1 л. Ингридиентами для
приготовления этих вин являются белое, розовое и красное сухие вина,
закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 руб. за 1
л. В среднем на сочинский винзавод поставляется ежедневно 2000 л белого,
2500 л розового и 1200 л красного вина.
В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее 60% белого
вина и не более 20% красного. Вино «Букет роз» должно содержать не более
60% красного и не менее 15% белого. Суммарное содержание красного и
розового вина в вине «Белые ночи» не должно превышать 90%.
Определите рецепты смешения ингридиентов для производства вин
«Черный лекарь» и «Букет роз», обеспечивающие заводу максимальную
прибыль.
Вопросы
1. Какую максимальную прибыль (в руб.) можно получить за 1 день ?
2. Сколько литров вина «Черный лекарь» следует производить ежедневно ?
3. Сколько процентов белого вина должен содержать «Черный
лекарь»?
4. Сколько литров вина «Букет роз» следует производить ежедневно?
5. Сколько литров вина «Белые ночи» следует производить
ежедневно?
6. Сколько процентов розового вина должны содержать «Белые ночи»?
7. На сколько рублей возрастет прибыль винзавода, если поставки
розового вина удастся увеличить до 1300 л в день?
8. На сколько рублей уменьшится прибыль винзавода, если поставки
белого вина сократятся до 1800 л?
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.4. Модели оптимального раскроя материала
На многих промышленных предприятиях при массовом производстве
продукции необходимо получить наиболее рациональный раскрой
материалов (доски, листы металла, трубы, прокат, рулоны ткани и т.д.). План
раскроя считается оптимальным, если он обеспечивает наибольший выход
заготовок или наименьший объём отходов.
Простейшая модель оптимального раскроя материалов для
получения заданного количества заготовок выглядит следующим образом.
На предприятие поступают однотипные рулоны материалов. Надо
найти такой план раскроя рулонов материала по ширине, при котором будут
наименьшие отходы.
Введём обозначения:
i – вид заготовки, m – число всех видов заготовок;
j – вариант раскроя рулона по ширине, n – число всех вариантов раскроя;
di – необходимое число заготовок i-го вида;
dij – число заготовок i-го вида, которое можно получить из одного рулона
материала согласно j-му варианту раскроя;
Сj – отходы материала, полученные из рулона материала согласно j-му
варианту раскроя;
A – общее количество рулонов, имеющихся в наличии;
xj – искомое число рулонов, раскраиваемых согласно j-му варианту.
Математическая запись модели:
n
∑ c j x j → min
j =1
n
∑ d ij x j = di, i = 1..m
j =1
n
∑xj ≤ A
j =1
xj ≥ 0.
Это задача линейного программирования, для решения которой можно
применить симплекс-метод.
Теперь рассмотрим модель оптимального раскроя партий
материалов для изготовления комплектов.
На предприятие, изготавливающее комплекты, поступает сырьё в виде
партий материалов, имеющих свои размеры. Надо получить раскрой
материалов, обеспечивающий выпуск максимального числа комплектов. Для
формирования модели введём обозначения:
s – номер партии материала, S – число всех партий материалов;
i – вид заготовки;
li – число заготовок i-го вида, необходимых для одного комплекта;
n – число всех комплектов;
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ds – количество материалов одного размера в одной партии s-го вида;
j – номер варианта раскроя;
ns – число вариантов раскроя для каждой единицы s-й партии;
dsij – число заготовок i-го вида, получаемых из единицы материала s-й партии
согласно j-му варианту раскроя;
xsj – искомое количество единиц материала s-й партии, раскраиваемых
согласно j-му варианту.
При раскрое всех партий будет получено
S
ns
∑ ∑ d sji x sj
заготовок i-го
s =1 j =1
1 S ns
∑ ∑ d sji x sj комплектов.
l i s =1 j =1
Поскольку число комплектов минимизируется теми заготовками,
которые позволяют составить наименьшее число комплектов, то число
полных комплектов равно:
1 S ns
n = min ∑ ∑ d sji x sj .
i
l i s =1 j =1
Задача состоит в максимизации числа комплектов
1 S ns
min ∑ ∑ d sji x sj → max
i
l i s =1 j =1
при условии выполнения плана раскроя заготовок
вида. Их достаточно для
ns
∑ xsj = d s , s = 1..S ,
j =1
а также неотрицательности компонент
x sj ≥ 0, s = 1..S , j = 1..n s .
Если через z обозначить число комплектов, то сформированная модель
сводится к следующей задаче линейного программирования:
z → max
при ограничениях
S
ns
1
∑ ∑ d sji x sj ≥ z , i = 1 ..n
l i s =1 j =1
ns
∑ xsj = d s , s = 1..S
j =1
z ≥ 0, x sj ≥ 0, s = 1..S , j = 1..n s .
Задачи
1. Листы материала размером 6х13 надо раскроить так, чтобы получились
заготовки двух типов: 800 заготовок размером 4х5 м и 400 штук заготовок
размером 2х3 м. При этом расход материала должен быть минимальным.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Способы раскроя материала и количество заготовок каждого типа,
полученных при раскрое одного листа, даны в таблице:
Размер
заготовок, м2
4х5
2х3
I
3
1
Способы раскроя
II
III
2
1
6
9
IV
0
13
Решение. Пусть xi – количество заготовок, раскроенных i-м способом. Тогда
ограничение на количество заготовок:
3 x1 + 2 x 2 + x3 = 800
.
(1)
x1 + 6 x 2 + 9 x3 + 13 x 4 = 400
Требование неотрицательности переменных:
xi ≥ 0, ∀i = 1..3 .
(2)
Целевая функция – минимизация количества расходуемых листов:
x1 + x 2 + x3 + x 4 → min .
(3)
Ограничения (1-2) и целевая функция (3) образуют искомую модель.
2. Требуется определить все рациональные способы раскроя прямоугольника
кожи размером 100 x 60 см на квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20
см и указать величину отходов для каждого способа.
Способы
Заготовка
Заготовка
Заготовка
Величина
раскроя
со стороной
со стороной
со стороной
отходов, см2
50 см
40 см
20 см
2
0
0
1
61
1000
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
1
1
2
1100
3
1
0
6
1100
4
0
2
7
0
5
0
1
11
0
6
0
0
15
0
Для данного материала и указанных заготовок существует шесть
различных рациональных способов раскроя.
3. При изготовлении парников используется материал в виде металлических
стержней длиной 200 см. Этот материал разрезается на стержни длиной 120,
100 и 70 см.
Вопросы
1. Сколько существует рациональных способов раскроя?
2. Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы
выполнить заказ?
3. Сколько способов раскроя следует использовать при выполнении
заказа?
Решение. Определяем все рациональные способы раскроя материала на
заготовки. Таких способов оказывается пять.
Способы
Заготовка
Заготовка
Заготовка
Величина
раскроя
длиной
длиной
длиной
отходов, см
120 см
100 см
70 см
1
1
1
0
0
2
1
0
1
30
3
0
2
0
20
4
0
1
1
50
5
0
0
3
10
Используем модель A для одного вида материала, тогда xj - количество единиц материала, раскраиваемых по i-му способу.
Для ответа на первый вопрос задачи получаем следующую модель
линейного программирования с критерием – минимум общего количества
используемого материала.
X1
X2
X3
X4
X5
Minimize
1
1
1
1
1
Заготовка 120 см
1
1
0
0
0
>=
80
Заготовка 100 см
1
0
2
1
0
>=
120
62
RHS
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заготовка 80 см
0
1
0
1
3
>=
102
Решая задачу, получаем следующий результат:
X1
X2
X3
X4
X5
RHS
Minimize
1
1
1
1
1
Заготовка 120 см
1
1
0
0
0
>=
80
0,5
Заготовка 100 см
1
0
2
1
0
>=
120
-0,5
Заготовка 80 см
0
1
0
1
3
>=
102
-0,33
Solution– >
80
0
20
0
34
134
Ответы на вопросы
1. Существует пять рациональных способов раскроя.
2. Следует разрезать 134 единицы материала.
3. При выполнении заказа следует использовать три из пяти
рациональных способа раскроя.
Задачи
1. На складе предприятия имеются заготовки (стальные бруски) длиной 8,1 м.
Из этих заготовок необходимо изготовить 100 комплектов более коротких
заготовок. При этом в один комплект входят два бруска длиной 3 м и по
одному бруску длиной 2 м и 1,5 м. Необходимо раскроить исходный
материал так, чтобы получить требуемое количество комплектов коротких
заготовок с минимальными отходами. Количество коротких заготовок,
которое получается из одного исходного бруска при различных способах
раскроя, и величины отходов по каждому способу раскроя заданы в
таблицах:
Размер
заготовки, м
3
2
1,5
1
2
1
0
2
2
0
1
3
1
2
0
4
1
1
2
Отходы, м
0,1
0,6
1,1
0,1
Способ
5
0
4
0
0,1
6
0
3
1
7
0
2
2
8
0
1
4
9
0
0
5
0,6
1,1
0,1
0,6
2. Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего
имеется две партии материалов, причём первая партия содержит 400 листов,
а вторая 250 листов фанеры. Из поступающих листов фанеры
изготавливаются комплекты, включающие 4 детали 1-го типа, 3 детали 2-го
типа и 2 детали 3-го типа. Один лист фанеры каждой партии может
раскраиваться различными способами.
Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое
одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя,
представлено в таблице:
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Первая партия
Вторая партия
Способ раскроя
Способ раскроя
1
2
3
0
4
10
6
3
16
9
4
0
Детали
1
2
3
Детали
1
2
3
1
2
6
5
8
5
4
0
Требуется раскроить материал так, чтобы получить максимальное
число комплектов.
3. Из прямоугольника железа размером 100 х 60 см необходимо изготовить
квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см. Эти заготовки нужны в
качестве перегородок при изготовлении пластмассовых коробок для
хранения инструментов. Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь 4
заготовки со стороной 50 см, 6 заготовок со стороной 40 см и 12 заготовок со
стороной 20 см. На складе находятся 100 листов материала.
Вопросы
1. Сколько существует рациональных способов раскроя?
2. Какое максимальное количество коробок можно изготовить при
условии, что оставшиеся заготовки можно использовать при изготовлении
следующей партии коробок?
3. Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?
4. Сколько листов материала нужно, чтобы изготовить одну коробку?
4. Существует три рациональных способа раскроя единицы материала A на
заготовки трех типов. Эти же заготовки могут быть получены двумя
рациональными способами при раскрое единицы материала В. Количество
заготовок, получаемых каждым способом, показано в следующей таблице.
Заготовки
1
2
3
Способ 1
0
4
10
Материал А
Способ 2
2
3
6
Способ 3
9
2
0
Материал В
Способ 1
Способ 2
1
5
5
4
8
0
Изготовленные заготовки используются для производства бытовой
техники. В комплект поставки входит 4 заготовки первого типа, 3 заготовки
второго типа и 7 заготовок третьего типа. На складе имеется 100 единиц
материала первого типа и 300 единиц материала второго типа.
Вопросы
1. Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?
2. Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить
из имеющегося материала при предположении, что оставшиеся заготовки
можно использовать при выполнении следующего заказа.
3. Сколько единиц материала 1 раскраивается по третьему способу?
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить
из имеющегося материала, если число заготовок второго типа в комплекте
увеличится до семи?
5. При раскрое деталей для производства единственного изделия на швейной
фабрике используются два артикула ткани. Ширина ткани 1 м. Изделие
собирается из двух деталей, причем каждая из этих деталей мо-жет быть
получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя
способами, выход деталей каждого вида из одного погонного метра ткани
указан в следующей таблице.
Деталь 1
Деталь 2
Способ 1
8
0
Ткань 1
Способ 2
0
3
Способ 3
4
1
Способ 4
12
0
Ткань 2
Способ 5
0
5
Способ 6
6
2
На фабрику ткани 1 поступает в два раза больше (по длине), чем ткани
2. Выход готовых изделий должен быть максимальным.
Вопросы
1. Сколько способов раскроя ткани 1 следует использовать?
2. Какая часть (в %) ткани 1 должна раскраиваться по способу 1?
3. На сколько (в %) изменится выход готовых изделий по сравнению с
первоначальным, если на фабрику будет поступать равное количество двух
артикулов тканей?
6. На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см.
Необходимо получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной
80 см. Отходы должны быть минимальными.
Вопросы
1. Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?
2. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?
3. Какова величина отходов (в см)? Оказалось, что количество
стержней длиной 250 см ограничено и равно 200 шт.
4. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать в этом
случае?
5. На сколько увеличится количество отходов (в см)?
7. Завод заключил договор на поставку комплектов отрезков стержней
длиной по 18, 23 и 32 см. Причем количества отрезков разной длины в
комплекте должны быть в соотношении 1 : 5 : 3. На сегодняшний день
имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы
количество комплектов было максимальным?
Вопросы
1. Сколько существует рациональных способов раскроя?
2. Сколько комплектов стержней будет выпущено?
3. Какова при этом величина отходов (в см)?
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
Основная литература
1. Анфилатов В.С. Системный анализ в управлении : учеб. пособие для
вузов по специальности "Прикладная информатика" / В.С. Анфилатов,
А.А. Емельянов, А.А. Кукушкин. — М. : Финансы и статистика, 2003.
— 367 с.
2. Острейковский В.А. Теория систем : учеб. для студ. вузов. — М. :
Высш. шк., 1997. — 239 с.
3. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач /
Дж. Клир; пер. с англ. М.А. Зуева ; под ред. А.И. Горлина. — М. :
радио и связь, 1990. — 538 с.
Дополнительная литература
1. Дрогобыцкий И.Н. Системный анализ в экономике. – М. : Финансы и
статистика, 2007. – 512 с.
2. Миротин Л.Б. Системный анализ в логистике : учеб. для студ. вузов /
Л.Б. Миротин, Ы.Э. Ташбаев. — М. : Экзамен, 2004 .— 479 с.
3. Фрейдина Е.В. Исследование систем управления : учеб. пособие / Е.В.
Фрейдина ; под ред. Ю.В. Гусева. – М. : Омега-Л, 2008. – 367 с.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ
СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
Методическое пособие для вузов
Составители:
Н.Б. Баева,
Д.В. Ворогушина
67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
22
Размер файла
789 Кб
Теги
416
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа