close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

731

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
МАТЕМАТИКА
УДК 519.634
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ПРОНИЦАЕМОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА,
ПОМЕЩЕННОГО В ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД
ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ
Аннотация. Рассмотрены два итерационных метода определения диэлектрической проницаемости. Получены результаты, показывающие сходимость методов. Представлены графики зависимости значения диэлектрической проницаемости от числа итераций для тел сложной геометрической формы.
Ключевые слова: электромагнитная задача дифракции, эффективная диэлектрическая проницаемость, итерационный метод.
M. Y. Medvedik, Y. G. Smirnov
RESTORATION OF DIELECTRIC PERMITTIVITY
OF A HETEROGENEOUS BODY PLACED INTO
A RECTANGULAR WAVEGUIDE ACCORDING TO
TRANSMISSION AND REFLECTION COEFFICIENTS
Abstract. The aticle consideres two iteration methods for permittivity determination
and presents the results demonstrating convergence of the methods. The authors adduce the graphs of dependences of the permittivity value on the number of iterations
for bodies with complex shape.
Key words: electromagnetic diffraction problem, effective permittivity, iteration
method.
Введение
Последнее время характеризуется развитием электродинамических методов в задачах определения диэлектрических и магнитных параметров материалов. Интерес к этим задачам вызван разработкой новых образцов нанокомпозитных материалов и изучением их свойств. Экспериментальное измерение параметров материала в связи с их композитными свойствами является
труднодоступным, поэтому эффективным является применение методов математического моделирования для решения представленных задач. Восстановление диэлектрической проницаемости неоднородного материала является классической в электродинамике. Данной тематикой занимались многие
авторы, предлагавшие различные численно-аналитические и экспериментальные методы решения задачи. В статье [1] рассматривается один из экспериментальных способов восстановления диэлектрической и магнитной проницаемости для секции прямоугольного волновода, заполненного метаматериалом. Метод определения коэффициента преломления, импеданса и диэлекPhysics and mathematics sciences. Mathematics
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
трической и магнитной проницаемости по данным прохождения и отражения
указан в [2]. В работе [3] теоретически анализируются характеристики передачи электромагнитных волн в метаматериале, помещенном в волновод. В статье
[4] рассматривается восстановление комплексной диэлектрической проницаемости композитов на основе диэлектрических матриц. В статье [5] приводится численно-аналитический метод определения коэффициентов отражения и
прохождения электромагнитной волны через многослойную структуру.
Следует отметить, что большинство авторов ограничиваются исследованием свойств материалов, имеющих несложную геометрию. В данной работе предлагается метод, позволяющий определять диэлектрическую проницаемость образцов материала, имеющих сложную геометрическую форму.
Постановка задачи
Пусть объемное тело Q расположено в прямоугольном волноводе
P   x : 0  x1  a, 0  x2  b,    x3   ,
поверхность волновода P идеально проводящая. Данное тело характеризуется постоянной магнитной проницаемостью 0 и положительной ( 3  3 )матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости ˆ ( x) . Компоненты ˆ ( x) представляют собой ограниченные функции в области Q ,
ˆ  L (Q) , а также
Граница Q
полагать, что тело
ˆ 1  L (Q) .
области Q является кусочно-гладкой. Будем также предQ не касается стенок волновода, Q  P   . В области
P \ Q среда является изотропной и однородной, при этом 0 (  0), 0 ( 0) являются постоянными (рис. 1).
Рис. 1. Волновод
Выберем параметры волновода так, чтобы  a  k0   b . В этом случае в волноводе может распространяться только одна мода. Пусть
x i 2  x


E0  x   e 2 A i0 sin 1 e 1 3 –
a
a
(1)
   – (известная) амплитуда
известное падающее поле (мода в волноводе); A
2
 2   k 2   ; e – второй орт в декартовой системе ко0
2
2
падающей волны; 1
6
a
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
ординат. Требуется определить диэлектрическую проницаемость неоднородного материала по значению поля внутри материала и коэффициенту прохождения или отражения. Задача по определению электромагнитного поля
E внутри тела Q , расположенного в прямоугольном волноводе P , представлена в [6].
Определение диэлектрической проницаемости
по коэффициенту прохождения
Запишем дополнительное асимптотическое уравнение в форме [7]:
    A    k 2
0
Q1
y i 2  y    y  
1
 1 E  y   e 2 dy ,
sin 1 e 1 3 
b10i0
a
 0


(2)
Q
где 10 
2
a
2
 k02 .
   считается известным из измерений.
Коэффициент прохождения Q1
Требуется определить диэлектрическую проницаемость   x  , x  Q посредством серии измерений. Поскольку количество измерений должно быть конечным, то и неизвестных параметров также должно быть конечное число.
Поэтому будем предполагать, что тело Q состоит из N подобластей Q j таких, что Q 
 Q j , Qi  Q j  ,
i  j . Мы предполагаем, что   x   ( j )
j
при x  Q j , т.е. в каждой подобласти диэлектрическая проницаемость постоянна. Тогда общее число неизвестных параметров будет равно N .
При измерениях изменяются частоты (1) , (2) ,..., ( N ) (происходит
сканирование по частоте); при этом волновое число изменяется по формуле
k0(i )  (i ) 00 .
Будем предполагать, что тело имеет форму параллелепипеда
Q  {x : a1  x1  a2 , b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } . Выберем равномерную прямоугольную сетку в Q , образованную элементарными параллелепипедами
 klm  {x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1} ,
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
N1
N2
N3
где k  0,, N1  1, l  0,, N 2  1, m  0,, N3  1 . Перенумеруем эти элементарные параллелепипеды с помощью одноиндексной нумерации  s ,
s  0,..., N 0  1 , N 0  N1 N 2 N3 .
Если тело имеет сложную геометрическую форму, то необходимо ввести вектор геометрии W , заполнить вектор геометрии единицами или нулями.
Если элементарный параллелепипед  i принадлежит телу сложной геометриPhysics and mathematics sciences. Mathematics
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ческой формы, то Wi равен единице, иначе нулю. На каждой итерации будем
перемножать поэлементно значение поля E на вектор геометрии W [8].
Построим двухслойный итерационный процесс для решения обратной
задачи по формулам:
1
   x 
n  x    n
 1 ;
 0


n  x  J n  x   k02 G  x, y  J n  y  dy 
(3)

Q

 grad div G  x, y  J n  y  dy  E0  x  , x  Q;

(4)
Q
En  x   n  x  J n  x  ;
F  A  k02
(5)
1
 y  i (2) y
sin  1  e 1 3 n 1 ( y )En  y   e2 dy ,
ab10
 a 
Q

(6)
где
F
   x 
i0   
i0   
 1 , n ( x)  n 1  x  . (7)
Q1 , A 
A , n  x    n
a
a
 0

По этим формулам вычисление производится следующим образом.
Сначала выбираем начальное приближение 0  x   e  n  0  , где e  eff ,
eff – эффективная диэлектрическая проницаемость тела, вычисленная как
решение обратной краевой задачи с постоянной диэлектрической проницаемостью [9]. Нельзя взять в качестве e  0 , так как по формуле (5) нельзя
определить электрическое поле. По формуле (3) вычисляется значение  ( x) .
0
Далее по формуле (4) определяется ток J n  x  как решение интегродифференциального уравнения методом коллокации. Затем по формуле (5) по
току определяем электрическое поле En  x  на сетке. Данную процедуру
проводим N раз при различных значениях k0  k0(1) , k0  k0(2) ,..., k0  k0( N ) .
(2)
(N )
при различТаким образом, получаем N значений полей E(1)
n , E n ,..., E n
ных k0(1) , k0(2) ,..., k0( N ) . На этом заканчивается вычисление на первом «слое».
На втором «слое» по известным значениям полей E(ni )  x   i  1,..., N  из
формулы (6) определяем новое значение n 1  x  . Для этого потребуется
произвести решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ),
составленной из уравнения (6), относительно неизвестных параметров. При
этом «коэффициенты прохождения» Fi  F (k0(i ) ) находятся с помощью изме-

рений. Считаем, что A   1 .
8
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Мы предположили выше, что n  x   (n j ) при x  Q j . Кроме того,
пусть подобласти Q j состоят из объединения элементарных параллелепипедов сетки Q j 
 l .
Мы будем считать также, что E(ni )  x   E(ni ,l ) при
l
x   l , т.е. поле аппроксимируется некоторой постоянной внутри элементарных параллелепипедов.
Формула (6) приводит к конечномерной СЛАУ. Образуем матрицы

E  e2  E(ni,l )
i1,l 1 размера
N , N0
 l 1, j 1 размера
N  N 0 и H  H lj
N0 , N
N 0  N , где
H lj  0 при l таких, что  l  Q j . Тогда будем иметь СЛАУ с матрицей
AN  EH размера N  N :
AN n 1  B ,
(8)
(N ) T
которая решается относительно неизвестных n1  ((1)
n 1 ,..., n 1 ) . Здесь и
ниже мы будем отождествлять (кусочно-постоянную) функцию
(N ) T
n1  n1 ( x) и вектор ((1)
n 1 ,..., n 1 ) , так как они однозначно определяют
друг друга.
Выпишем коэффициенты матрицы AN и правой части B в случае изотропного неоднородного тела. Они вычисляются по формулам:
aij 
H li 
l: l Q j
 y1 
e
a 
 sin 
l
bi 

e2  E(ni ,l ) H lj ;
iy3 ( k0( i ) )2 
 Fi  A ab
2
(k0(i ) )2
a2
(9)
2
a2
dy1dy2 dy3 ;
 (k0(i ) )2 .
(10)
Значение интеграла по параллелепипеду  l можно вычислить аналитически:
2
xl 0  h1 /2 yl 0  h2 /2 zl 0  h3 /2
(i ) 2
h2 a
 x  iz ( k0 )  a 2
H li 
dxdydz 
sin  e

2
a 


xl 0  h1 /2 yl 0  h2 /2 zl 0  h3 /2
i (k0(i ) ) 2  2
a



2
 
h3 
h 
2

(i ) 2 
i zl 0  3  ( k0(i ) )2  2
 i zl 0  2  ( k0 )  2
2

a e 
a
 e 




h1 
h1  


  cos  xl 0    cos  xl 0    .
2
2 


 

Physics and mathematics sciences. Mathematics
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
i)
(i )
Далее проверяется выполнение неравенств (n
1  n  
 i  1,..., N 
с заданной точностью    0  . Если требуемая точность достигнута для кажi)
дого (n
1
 i  1,..., N  ,
то вычисления прекращаются. Если требуемая точ-
ность не достигнута, то n 1 ( x) : n11  x  , n : n  1 , и вычисления повторяются с формулы (4).
В качестве искомого выбирается значение для относительной диэлек  x
 n  x   1 .
трической проницаемости n
0
Определение диэлектрической проницаемости
по коэффициенту отражения
Аналогично, как и в первом случае, будем предполагать, что дополнительное асимптотическое уравнение имеет вид [9]:
Q ( )  k02
 y  i (2) y
sin  1  e 1 3 n1  x  En  y   e2 dy ,
 2
iab Q  a 
1

1
2
 2  k 2   .
0
2
где 1
a
   считается известным из измерений.
Коэффициент прохождения Q1
Требуется определить диэлектрическую проницаемость   x  , x  Q , посредством серии измерений.
При измерениях изменяются частоты (1) , (2) ,..., ( N ) (происходит
сканирование по частоте); при этом волновое число изменяется по формуле
k0(i )  (i ) 00 .
Пусть тело имеет форму параллелепипеда Q  {x : a1  x1  a2 ,
b1  x2  b2 , c1  x3  c2 } . Выберем равномерную прямоугольную сетку в Q ,
образованную элементарными параллелепипедами
 klm  {x : x1,k  x1  x1,k 1 , x2,l  xl  x2,l 1 , x3,m  x3  x3,m1},
a a
b b
c c
x1,k  a1  2 1 k , x2,l  b1  2 1 l , x3,m  c1  2 1 m,
n
n
n
где k , l , m  0, ..., n  1 .
Если тело имеет сложную геометрическую форму, то необходимо ввести вектор геометрии W . Заполнить вектор геометрии единицами или нулями. Если элементарный параллелепипед  i принадлежит телу сложной геометрической формы, то Wi равен единице иначе нулю. Производя описанные
ниже вычисления на каждой итерации будем перемножать в каждой формуле
поле E на вектор геометрии W [8].
10
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Построим двухслойный итерационный процесс для решения обратной
задачи по формулам [9]:
1

   y 
n  x    n 1
 1 ;
(11)
 0


n  x  J n  x   E0  x   k02 G  x, y  J n  y  dy 

Q

grad div G  x, y  J n  y  dy , x  Q;

(12)
Q
En  x   n  x  J n  x  ;
Q ( )  k02
 y  i (2) y
sin  1  e 1 3 n1  x  En  y   e2 dy ,
 2
iab Q  a 
1

(13)
(14)
1
где
   x 
n  x    n
 1 , n  x   n 1  x  .

 0

По этим формулам вычисление производится следующим образом.

Сначала выбираем начальное приближение 0  y   e  n  0  , где e  eff ,
eff – эффективная диэлектрическая проницаемость тела, вычисленная как решение обратной краевой задачи с постоянной диэлектрической проницаемостью. Нельзя взять в качестве e  0 , так как по формуле (13) нельзя определить электрическое поле. По формуле (11) вычисляется значение 0  x  .
Далее, по формуле (12) определяется ток J n  y  как решение интегродифференциального уравнения методом коллокации. Затем по формуле (13)
по току определяем электрическое поле En  y  . В соответствии с размером
сетки
 N1  N 2  N3  ,
наложенной на фигуры, данную процедуру проводим
N  N1  N 2  N3 раз при различных значениях k0  k (1) , k0  k (2) ,..., k0  k ( N ) .
Таким образом, получаем N значений полей En(1) , En(2) ,..., En( N ) при различных частотах. На этом заканчивается вычисление на первом «слое».
На втором «слое» по известным значениям полей En(i )  y   i  1,..., N  из
формулы (14) определяем новое значение n 1  x  . Для этого потребуется
произвести решение СЛАУ, составленной из уравнения (14) относительно не-
  
известных параметров. При этом «коэффициенты отражений» bi  Q ( ) k0
находятся с помощью измерений.
j
j
Мы предположили выше, что n  x   n  при x  Q j . Кроме того,
пусть подобласти Q j состоят из объединения элементарных параллелепипедов
Physics and mathematics sciences. Mathematics
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
j
i ,l
сетки Q j   l . Мы будем считать также, что En   x   En  при x   l , т.е.
l
поле аппроксимируется некоторой постоянной внутри элементарных параллелепипедов.
Формула (14) приводит к конечномерной СЛАУ. Образуем матрицы

i ,l
E  e2 En 

N , N0
i 1,l 1

размера N  N 0 и H  H l , j
l 1,i1
N0 , N
размера N 0  N , где
H lj  0 при l таких, что  l  Q j . Тогда будем иметь СЛАУ с матрицей
An  EH размера N  N
AN n 1  B ,
(15)

N 
которая решается относительно неизвестных n 1  (1)
n 1 ,...., n 1
ниже
мы
будем
отождествлять
 
N
1
n 1  n1  x  и вектор n 1 ,..., n 1

T
 . Здесь и
T
(кусочно-постоянную)
функцию
, так как они однозначно определяют
друг друга.
Коэффициенты матрицы AN и правой части B в случае изотропного
неоднородного тела вычисляются по следующим формулам:
ai, j 
 y 
sin  1  e
 a 
l

H li 
iy3

l: l Q j
 k     a
i
0
 i ,l 
2
e2  E N H l ,i ;
2
2
dy1dy2 dy3 ; bi 
 
iabQi( )
 
i 
k
i 
k0
2
2

0
2
a2
.
Значение интеграла по параллелепипеду  l можно вычислить аналитически:
 
2
2
i 
 x  iz k0  a 2
sin    e
H li 
dxdydz 
a 

xl 0  h1 /2 yl 0  h2 /2 zl 0  h3 /2
xl 0  h1 /2 yl 0  h2 /2 zl 0  h3 /2





2
2
 
h3 
h3 

i  2  
i  2   




i
z
k
i
z
k




l
l
0
0


0
0
iah2
2
2
a2  e 
a2 
e 

2 2 

j

k0
 2 

a
 
 
 

 
h 
 
h 
  cos   xl 0  1    cos   xl 0  1    .
2 
2 
a
a

12
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
i 
Далее проверяется выполнение неравенств n 1  n   
i
 i  1,..., n 
с заданной точностью    0  . Если требуемая точность достигнута для каж-
i 
дого n 1  i  1,..., N  , то вычисления прекращаются. Если требуемая точ-
ность не достигнута, то n  x   n 11  x  , n  n  1 , и вычисления повторяются с формулы (12).
В качестве искомого выбирается значение для относительной диэлектрической проницаемости
n  x 
0
 n  x   1 .
Ключевым моментом в двухслойном итерационном процессе является
возможность определения  n1  x  по известному полю En  x  . Если искомая
функция   x  имеет N неизвестных параметров, то необходимо иметь по
крайней мере результаты N различных измерений.
Поскольку размер матрицы AN сравнительно невелик (не более нескольких тысяч) при решении системы можно воспользоваться простыми методами решения систем линейных алгебраических уравнений, например методом Гаусса с выбором ведущего элемента по всей матрице.
Численные результаты
С использованием коэффициента прохождения и отражения были получены результаты восстановления диэлектрической проницаемости неоднородных материалов, имеющих сложную геометрическую форму. Представлены результаты сравнения двух методов.
На рис. 2 изображено тело, имеющее неоднородную диэлектрическую
проницаемость. Первая половина тела, изображенная светло-серым цветом,
имеет диэлектрическую проницаемость 1  1,1 . Вторая половина тела, изображенная темно-серым цветом, имеет диэлектрическую проницаемость
2  1, 4 . Обе части тела имеют одинаковую форму и представляют собой
прямоугольные параллелепипеды с отверстием в форме прямоугольного параллелепипеда, расположенного вдоль оси 0Z и равноотстоящим от осей 0X и
0Y. На рис. 3 представлен график восстановления диэлектрической проницаемости тела по коэффициенту прохождения. На рис. 4 представлен график
восстановления диэлектрической проницаемости тела по коэффициенту отражения. Вычисления в обоих случаях производились при волновых числах
k1  1,6 и k1  1,7 . Начальное приближение диэлектрической проницаемости
каждой половины тела равнялось 10  1, 2 и 02  1,3 соответственно.
На рис. 5 изображено тело, имеющее неоднородную диэлектрическую
проницаемость. Первая половина тела, изображенная светло-серым цветом,
имеет диэлектрическую проницаемость 1  1,1 . Вторая половина тела,
изображенная темно-серым цветом, имеет диэлектрическую проницаемость
2  1,6 . На рис. 6 представлен график восстановления диэлектрической проPhysics and mathematics sciences. Mathematics
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ницаемости тела по коэффициенту прохождения. На рис. 7 представлен график восстановления диэлектрической проницаемости тела по коэффициенту
отражения. Вычисления в обоих случаях производились при волновых числах
k1  1,6 и k1  1,7 . Начальное приближение диэлектрической проницаемости
каждой половины тела равнялось 10  1, 2 и 02  1,5 соответственно.
Рис. 2. Форма тела, расположенного в волноводе; a  2, b  1, c  2, l  1
Рис. 3. График восстановления диэлектрической проницаемости
неоднородного материала по коэффициенту прохождения Q (  )
Рис. 4. График восстановления диэлектрической проницаемости
неоднородного материала по коэффициенту отражения Q ( )
14
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Рис. 5. Форма тела, расположенного в волноводе; a  2, b  1, c  2, l  1
Рис. 6. График восстановления диэлектрической проницаемости
неоднородного материала по коэффициенту прохождения Q (  )
Рис. 7. График восстановления диэлектрической проницаемости
неоднородного материала по коэффициенту отражения Q ( )
Physics and mathematics sciences. Mathematics
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Результаты восстановления диэлектрической проницаемости однородного образца материала, расположенного в прямоугольном волноводе, представлены в работе [10].
Список литературы
1. C h e n , H . Experimental retrieval of the effective parameters of metamaterials based
on a waveguide method / H. Chen, J. Zhang, Y. Bai et al. // Optic Express. – 2006. –
V. 14, № 26. – P. 12944–12949
2. C h e n , X . Robust method to retrieve the constitutive effective parameters of metamaterials / X. Chen, T. M. Grzegorczyk, B.-I. Wu et al. // Physical Review E. –
2004. – V. 70, № 1. – P. 016608-1–016608-7
3. M e n g , F . - Y . Controllable Metamaterial-Loaded Waveguides Supporting Backward
and Forward Waves / F.-Y. Meng, Q. Wu, D. Erni, L.-W. Li // IEEE Transaction on
Antennas and Propagation. – 2011. – V. 59, № 9. – P. 3400–3411
4. У с а н о в, Д . А . Комплексная диэлектрическая проницаемость композитов на
основе диэлектрических матриц и входящих в их состав углеродных нанотрубок /
Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Романов // Журнал технической физики. –
2011. – Т. 81, № 1. – С. 106–110.
5. У с а н о в, Д . А . Измерения толщины нанометровых слоев металла и электропроводности полупроводника в структурах металл–проводник по спектрам отражения и прохождения электромагнитного излучения / Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Абрамов, А. С. Боголюбов // Журнал технической физики. – 2006. –
Т. 76, № 5. – С. 112–117.
6. М е дв е ди к , М . Ю . Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе /
М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56,
№ 8. – С. 940–945.
7. С м и р н о в , Ю . Г . Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного
объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной
диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2008. – № 3. – С. 39–54.
8. М е дв е ди к , М . Ю . Применение субиерархического метода в задачах электродинамики / М. Ю. Медведик // Вычислительные методы и программирование. –
2012. – Т. 13. – С. 87–97.
9. М е дв е ди к , М . Ю . Итерационный метод определения диэлектрической проницаемости образца неоднородного материала, расположенного в прямоугольном
волноводе / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2012. – Т. 52, № 12. – C. 2228–2237.
10. С м и р н о в , Ю . Г . Итерационный метод определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала / Ю. Г. Смирнов,
М. Ю. Медведик, Е. Е. Гришина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 3. – С. 3–13.
References
1. C h e n , H . Experimental retrieval of the effective parameters of metamaterials based
on a waveguide method / H. Chen, J. Zhang, Y. Bai et al. // Optic Express. – 2006. –
V. 14, № 26. – P. 12944–12949
2. C h e n , X . Robust method to retrieve the constitutive effective parameters of metamaterials / X. Chen, T. M. Grzegorczyk, B.-I. Wu et al. // Physical Review E. – 2004. –
V. 70, № 1. – P. 016608-1–016608-7
16
University proceedings. Volga region
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
3. M e n g , F . - Y . Controllable Metamaterial-Loaded Waveguides Supporting Backward
and Forward Waves / F.-Y. Meng, Q. Wu, D. Erni, L.-W. Li // IEEE Transaction on
Antennas and Propagation. – 2011. – V. 59, № 9. – P. 3400–3411
4. U s a n o v , D . A . Kompleksnaya dielektricheskaya pronitsayemost' kompozitov na osnove dielektricheskikh matrits i vkhodyashchikh v ikh sostav uglerodnykh nanotrubok /
D. A. Usanov, A. V. Skripal', A. V. Romanov // Zhurnal tekhnicheskoy fiziki. – 2011. –
T. 81, № 1. – S. 106–110.
5. U s a n o v , D . A . Izmereniya tolshchiny nanometrovykh sloyev metalla i elektroprovodnosti poluprovodnika v strukturakh metall–provodnik po spektram otra-zheniya
i prokhozhdeniya elektromagnitnogo izlucheniya / D. A. Usanov, A. V. Skri-pal',
A. V. Abramov , A. S. Bogolyubov // Zhurnal tekhnicheskoy fiziki. – 2006. – T. 76,
№ 5. – S. 112–117.
6. M e d v e d i k , M . Y U . Subiyerarkhicheskiy metod resheniya zadachi difraktsii
elek-tromagnitnykh voln na dielektricheskom tele v pryamougol'nom volnovode /
M. YU. Medvedik, YU. G. Smirnov // Radiotekhnika i elektronika. – 2011. – T. 56,
№ 8. – S. 940–945.
7. S m i r n o v , Y U . G . Primeneniye GRID-tekhnologiy dlya resheniya nelineynogo
ob"yemnogo singulyarnogo integral'nogo uravneniya dlya opredeleniya effektivnoy
dielektricheskoy pronitsayemosti nanomaterialov / YU. G. Smirnov // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. –
2008. – № 3. – S. 39–54.
8. M e d v e d i k , M . Y U . Primeneniye subiyerarkhicheskogo metoda v zadachakh
elektro-dinamiki / M. YU. Medvedik // Vychislitel'nyye metody i programmirovaniye. –
2012. – T. 13. – S. 87–97.
9. M e d v e d i k , M . Y U . Iteratsionnyy metod opredeleniya dielektricheskoy pronitsayemosti obraztsa neodnorodnogo materiala, raspolozhennogo v pryamougol'nom
volnovode / M. YU. Medvedik, YU. G. Smirnov // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i
matematicheskoy fiziki. – 2012. – T. 52, № 12. – C. 2228–2237.
10. S m i r n o v , Y U . G . Iteratsionnyy metod opredeleniya effektivnoy dielektri-cheskoy
pronitsayemosti neodnorodnogo obraztsa materiala / YU. G. Smirnov, M. YU. Medvedik, Ye. Ye. Grishina // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region.
Fiziko-matematicheskiye nauki. – 2011. – № 3. – S. 3–13.
Медведик Михаил Юрьевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Medvedik Mikhail Yur'evich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling, Penza State
University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: _medv@mail.ru
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Smirnov Yuriy Gennad'evich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Physics and mathematics sciences. Mathematics
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.634
Медведик, М. Ю.
Восстановление диэлектрической проницаемости неоднородного
тела, помещенного в прямоугольный волновод по коэффициенту прохождения и отражения / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших
учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. –
2013. – № 1 (25). – С. 5–18.
18
University proceedings. Volga region
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
756 Кб
Теги
731
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа