close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

139

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство культуры Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет
культуры и искусств»
Институт информационных и библиотечных технологий
Кафедра технологии автоматизированной обработки информации
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Учебно-методический комплекс дисциплины
по направлению подготовки
51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная деятельность»
Профиль подготовки
«Технология автоматизированных
библиотечно-информационных систем»,
Квалификация (степень) выпускника
«бакалавр»
Форма обучения
очная, заочная
Кемерово 2014
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки 51.03.06 (071900)
«Библиотечно-информационная деятельность», профиль «Технология автоматизированных библиотечно-информационных систем», квалификация
(степень) выпускника «бакалавр»
Утвержден на заседании кафедры технологии автоматизированной
обработки информации КемГУКИ 22.04.2014 г., протокол № 2.
Рекомендован к изданию учебно-методическим советом института
информационных и библиотечных технологий КемГУКИ 29.04.2014 г.,
протокол № 5.
Математические методы исследования [Текст]: учеб.-метод. комплекс дисциплины по направлению подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная деятельность», профиль подготовки «Технология
автоматизированных библиотечно-информационных систем», квалификация (степень) выпускника «бакалавр» / сост. Э. Н. Огнева. – Кемерово:
Кемеров. гос. ун-т культуры и искусств, 2014. – 98 с.
Составитель:
доцент
Э. Н. Огнева
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
В условиях современного общества с развитием автоматизированных
технологий и процессов с каждым годом усиливается математизация многих областей библиотечно-информационной деятельности. Как объективный инструмент анализа и оптимизации математика дает возможность
детально проанализировать сущность библиотечно-информационных процессов, выявить их количественные закономерности и, следовательно, найти оптимальные решения по их совершенствованию.
Это требует формирования у будущего специалиста в области библиотечно-информационной деятельности не только знаний, но и, в особой
мере, умений и навыков применения математических методов для быстрого и рационального решения многочисленных и разнообразных задач
библиотечно-информационной деятельности (моделирование развития
и модернизации библиотечно-информационных учреждений; изучение
потребителей информации и их информационных потребностей; изучение
и анализ информационных, кадровых, экономических и материальнотехнических ресурсов библиотеки; организация библиотечно-информационного обслуживания пользователей и т. д.).
Обеспечить математическую подготовку студентов направления
подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная деятельность», профиль подготовки «Технология автоматизированных библиотечно-информационных систем», призвана, прежде всего, учебная дисциплина «Математические методы исследования».
Целью освоения дисциплины «Математические методы исследования» является формирование общекультурных и профессиональных
компетенций выпускника, ориентированных на усвоение теоретических
знаний и выработку практических навыков по использованию математических методов при исследовании объектов библиотечно-информационной деятельности.
Учебная дисциплина «Математические методы исследования» входит в вариативную часть профессионального цикла образовательной
программы по направлению подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечноинформационная деятельность», профиль подготовки «Технология автоматизированных библиотечных систем», квалификация (степень) «бакалавр».
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для освоения дисциплины «Математические методы исследования»
необходимы знания курса математики в объеме общеобразовательной
средней школы, а также знания, умения и компетенции, сформированные
в результате изучения студентами дисциплины «Логика». Дисциплина
«Математические методы исследования» является предшествующей для
дисциплины «Менеджмент библиотечно-информационной деятельности».
Изучение дисциплины направлено на формирование следующих
компетенций:
 готовность к использованию основных законов естественно-научных дисциплин в профессиональной деятельности, применению методов
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
 владение методами качественной и количественной оценки работы
библиотеки (ПК-7);
 готовность к решению задач по организации и осуществлению
текущего планирования, учета и отчетности (ПК-10);
 готовность к применению результатов прогнозирования и моделирования в профессиональной сфере (ПК-18);
 способность к изучению и анализу библиотечно-информационной
деятельности (ПК-22);
 готовность к использованию научных методов сбора и обработки
эмпирической информации при исследовании библиотечно-информационной деятельности (ПК-23);
 способность к информационной диагностике предметной области
и информационному моделированию (ПК-29).
В результате изучения дисциплины «Математические методы
исследования» студент должен:
знать:
 статистические методы обработки экспериментальных данных
(ОК-10, ПК-7, ПК-23);
 структурные и суммарные меры центральной тенденции (ПК-10);
 показатели, характеризующие количественную вариацию признака
(ПК-7);
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 метод выборочного анализа (ОК-10, ПК-7);
 основы булевой алгебры (ОК-10);
 основные понятия теории графов (ПК-22);
 модели системы массового обслуживания (ОК-10, ПК-18, ПК-29);
уметь:
 использовать меры центральной тенденции при анализе информационных ресурсов и документальных фондов (ОК-10);
 использовать аппарат дискретной математики и теории массового
обслуживания при анализе библиотечно-информационной деятельности
(ОК-10, ПК-10, ПК-22, ПК-29);
владеть:
 навыками статистической обработки экспериментальных данных
(ОК-10, ПК-23);
 навыками применения булевых функций в информационном анализе и синтезе (ОК-10, ПК-22).
В структуре дисциплины выделяется два раздела. В первом разделе
изучаются статистические методы обработки экспериментальных данных,
во втором рассматриваются основы дискретной математики и исследования операций.
В соответствии с учебным планом направления подготовки 51.03.06
(071900) «Библиотечно-информационная деятельность», профиль подготовки «Технология автоматизированных библиотечных систем», квалификация (степень) «бакалавр», на изучение студентами очной и заочной
форм обучения учебной дисциплины «Математические методы исследования» в шестом семестре отводится 108 часов, из которых 28 часов отводится для аудиторных занятий и 80 часов для самостоятельной работы
(для ЗФО – 10 и 98 часов соответственно). В рамках аудиторной работы
предусматривается проведение лекционных (ОФО – 14 часов, ЗФО –
4 часа) и практических занятий (ОФО – 14 часов, ЗФО – 6 часов). Формой
итогового контроля знаний и умений студентов по учебной дисциплине
является зачет.
Для обеспечения теоретической подготовки студентов в данном
учебно-методическом комплексе представлены конспекты лекций по всем
темам, предусмотренным программой дисциплины. Каждый конспект со5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
держит план лекции, список рекомендуемой литературы и конспективный
теоретический материал по теме.
Практикум по учебной дисциплине предусматривает выполнение
шести практических работ. В описании каждой практической работы приводятся цель, задачи работы и упражнения. Также каждая практическая работа содержит список рекомендуемой литературы, который поможет студентам в подборе документов для получения дополнительных сведений по изучаемым темам и расширения круга заданий для самостоятельной работы.
Повышению эффективности самостоятельной работы студента призваны способствовать представленные в составе учебно-методического
комплекса методические указания по работе с литературой и методические указания по выполнению контрольных работ. Помощь в организации самостоятельной работы студентов призван оказать список основной и
дополнительной литературы, включающий как печатные, так и электронные учебные издания.
Для реализации самопроверки, текущей и итоговой проверки знаний и умений студентов, а также организации подготовки студентов
к сдаче зачета по дисциплине «Математические методы исследования»
в учебно-методический комплекс включены следующие контрольноизмерительные материалы: тесты для самоконтроля, контрольные вопросы, текущие контрольные работы, вопросы к зачету.
1. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1. Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины в соответствии с учебным планом
направления подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная
деятельность», профиль подготовки «Технология автоматизированных
библиотечно-информационных систем» составляет три зачетных единицы
(108 часов), в том числе доля аудиторных занятий в интерактивных формах 25 %, в соответствии с требованиями ФГОС ВПО.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тематический план для студентов очной формы обучения
Раздел/тема
дисциплины
1. Статистические
методы обработки
эмпирических
данных
1.1. Элементы выборочного анализа
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу
Се- студентов и трудоемместр
кость (в часах)
6
Лекц.
Практ.
СРС
8(3)
6(1)
40
2(2)
10
1.2. Упорядочение
эмпирических данных
2(1)
2
10
1.3. Меры центральной
тенденции
2
2(1)
10
1.4. Показатели
вариации
2. Основы дискретной математики
и исследования
операций
2.1. Элементы булевой
алгебры
2.2. Основные понятия
теории графов
2.3. Элементы теории
массового обслуживания
2
2
10
6(1)
8(2)
40
2
2
12
2(1)
2
12
2
4(2)
16
6
Интерактивные
формы
обучения
Формы
текущего
контроля
успеваемости; форма
промежуточной
аттестации
Тестовый
контроль,
контрольная
работа
Лекциявизуализация
Лекциявизуализация
Решение
ситуационных задач
Тестовый
контроль,
контрольная
работа
Лекциябеседа
Работа
в малых
группах
Зачет
Итого:
14(4) 14(3)
в т. ч. 7 час.
(25 %) аудиторных занятий в интерактивных
формах
обучения
7
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тематический план для студентов заочной формы обучения
Раздел/тема
дисциплины
1. Статистические
методы обработки
эмпирических
данных
1.1. Элементы выборочного анализа
1.2. Упорядочение
эмпирических данных
1.3. Меры центральной
тенденции
1.4. Показатели вариации
2. Основы дискретной математики
и исследования
операций
2.1. Элементы булевой
алгебры
2.2. Основные понятия
теории графов
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу
Се- студентов и трудоемместр
кость (в часах)
5
Лекц.
Практ.
СРС
2(2)
4
50
2(2)
12
2
12
2
12
Интерактивные
формы
обучения
Формы
текущего
контроля
успеваемости; форма
промежуточной
аттестации
Тестовый
контроль,
контрольная
работа
Лекциявизуализация
14
5
2
4(1)
48
2
2
2
12
1
2(1)
12
Решение
ситуационных задач
2.3. Элементы теории
массового обслуживания
Тестовый
контроль,
контрольная
работа
24
Зачет
Итого:
4(2)
6(1)
в т. ч. 3 час.
(30 %) аудиторных занятий, в интерактивных
формах
обучения
8
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. Содержание дисциплины
Содержание раздела дисциплины
Результаты
Раздел 1. Статистические методы обработки эмпирических данных
Тема 1.1. Элементы выборочного
Формируемые компетенции:
- готовность к использованию основанализа
Понятие генеральной и выборочной ных законов естественно-научных
(выборка) совокупности. Характери- дисциплин в профессиональной деястики выборки: объем, репрезентатив- тельности, применению методов матеность. Организация случайного отбора: матического анализа и моделирования,
повторная и бесповторная выборка. теоретического и экспериментального
Типы выборок: простая (случайная), исследования (ОК-10);
механическая, типическая (райониро- - владение методами качественной и
ванная) выборка, серийная (гнездовая), количественной оценки работы бибкомбинированная выборка. Погрешно- лиотеки (ПК-7);
сти выборочного метода при изучении - готовность к решению задач по оргарынка информационных ресурсов и низации и осуществлению текущего
особенностей его использования
планирования, учета и отчетности
(ПК-10);
Тема 1.2. Упорядочение эмпириче- готовность к использованию научных
ских данных
Табличное представление эмпириче- методов сбора и обработки эмпирических данных: ранжирование, дискрет- ской информации при исследовании
деяная, интервальная и комбинационная библиотечно-информационной
тельности
(ПК-23).
группировка. Понятие частоты и относительной частоты, накопленной час- В результате изучения раздела курса
тоты и накопленной относительной студент должен:
частоты.
Графическое изображение знать:
эмпирических данных: полигон распре- - статистические методы обработки
деления, гистограмма вариационного экспериментальных данных (ОК-10,
ряда, кумулятивная кривая. Понятие ПК-7, ПК-23);
эмпирической функции распределения, - структурные и суммарные меры ценеё свойства и график. Особенности тральной тенденции (ПК-10);
упорядочения эмпирических данных - показатели, характеризующие количепри анализе информационных ресурсов ственную вариацию признака (ПК-7);
- метод выборочного анализа (ОК-10,
и документальных фондов
ПК-7);
Тема 1.3. Меры центральной тенуметь:
денции
Структурные меры центральной тен- - использовать мер центральной тенденции: мода и медиана. Суммарные денции при анализе информационных
меры центральной тенденции: выбо- ресурсов и документальных фондов
рочная средняя, средняя гармоническая (ОК-10);
и средняя геометрическая. Выбор и ис- владеть:
пользование мер центральной тенден- - навыками статистической обработки
ции при анализе документальных и чи- экспериментальных данных (ОК-10,
ПК-23)
тательских потоков
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание раздела дисциплины
Результаты
Тема 1.4. Показатели вариации
Показатели, характеризующие количественную вариацию признака: размах
вариации, среднее линейное отклонение, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии, эксцесс,
коэффициент вариации. Основные
свойства показателей вариации
Раздел 2. Основы дискретной математики и исследования операций
Тема 2.1. Элементы булевой алгебры Формируемые компетенции:
Понятие высказывания. Основные ло- - готовность к использованию основгические операции над высказывания- ных законов естественно-научных
ми. Булевы функции n переменных. дисциплин в профессиональной деяСвойства дизъюнкции, конъюнкции и тельности, применению методов матеотрицания для булевых функций. Спо- матического анализа и моделирования,
собы задания функций. Применение теоретического и экспериментального
булевых функций в информационном исследования (ОК-10);
- готовность к решению задач по оргаанализе
Тема 2.2. Основные понятия теории низации и осуществлению текущего
графов
планирования, учета и отчетности
Элементы графов: подграфы, маршру- (ПК-10);
ты, цепи, циклы. Валентность, связ- - готовность к применению результаность вершин графа. Расстояние между тов прогнозирования и моделирования
вершинами. Различные виды графов. в профессиональной сфере (ПК-18);
Операции над графами. Пути и мар- - способность к изучению и анализу
шруты в графах. Представление графов библиотечно-информационной
деяв ЭВМ
тельности (ПК-22);
Тема 2.3. Элементы теории массо- - способность к информационной дивого обслуживания
агностике предметной области и
Основные понятия и классификация
информационному
моделированию
систем
массового
обслуживания
(ПК-29).
(СМО). Показатели эффективности
СМО. Формула Литтла. Некоторые мо- В результате изучения раздела курса
дели СМО: простейшая СМО с отказа- студент должен:
ми (задача Эрланга), простейшая одно- знать:
канальная СМО с неограниченной - основы булевой алгебры (ОК-10);
очередью и с ограничением по длине - основные понятия теории графов
очереди, простейшая многоканальная (ПК-22);
СМО с неограниченной очередью и с - модели системы массового обслуограничением по длине очереди. Ис- живания (ОК-10, ПК-18, ПК-29);
пользование моделей СМО для анализа уметь:
документальных и читательских пото- - использовать аппарат дискретной маков
тематики и теории массового обслуживания при анализе библиотечно-ин10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание раздела дисциплины
Результаты
формационной деятельности (ОК-10,
ПК-10, ПК-22, ПК-29);
владеть:
- навыками применения булевых
функций в информационном анализе и
синтезе (ОК-10, ПК-22)
2. УЧЕБНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
2.1. Конспекты лекций по дисциплине
Тема 1.1. Элементы выборочного анализа
План:
1. Организация случайного отбора
2. Типы выборок
3. Погрешности выборочного метода при изучении рынка информационных ресурсов
Список рекомендуемой литературы:
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва:
ЮРАЙТ, 2012. – С. 192–196 // Университетская библиотека online. –
Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/
2. Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 395–396.
3. Ключенко, Т. И. Математика в библиотечной профессии [Текст]:
учебно-практическое пособие / Т. И. Ключенко. – Москва: ЛибереяБибинформ, 2009. – С. 10–27.
4. Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электронный учебник /
В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС,
2008. Электрон. опт. диск (DVD-ROM).
П.1. Организация случайного отбора
Совокупность всех возможных значений, или реализаций, исследуемых случайных величин называется генеральной совокупностью. Она мо11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жет состоять из конечного или бесконечного множества значений, называемых элементами генеральной совокупности.
Выборочной совокупностью (или просто выборкой) называется совокупность элементов, случайно отобранных из генеральной совокупности.
Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называют число элементов этой совокупности.
Метод, основанный на том, что по данным обследования выборки,
выделенной из генеральной совокупности, делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным методом.
Задача математической статистики состоит в исследовании свойств
выборки и обобщении этих свойств на всю генеральную совокупность.
Полученный при этом вывод называется статистическим.
Основное требование к выборке: она должна хорошо представлять генеральную совокупность, т. е. быть репрезентативной (представительной). Выборка будет репрезентативной, если её осуществлять случайным
образом.
При составлении выборки можно поступать двумя способами: после
того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может
быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Соответственно выборки подразделяются на повторные и бесповторные.
Повторной называют выборку, при которой отобранный элемент
(перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный элемент
в генеральную совокупность не возвращается.
П. 2. Типы выборок
Различают следующие способы составления выборки: а) простой
(случайный), б) механический, в) типический, г) серийный.
Eсли занумеровать все элементы генеральной совокупности и затем
изготовить карточки с такими же номерами, тщательно перемешать их и
отобрать пачку карточек, то элементы генеральной совокупности с номерами извлечённых карточек образуют простую (случайную) выборку. Здесь
возможно повторная и бесповторная выборка.
Если элементы генеральной совокупности выбираются через определённый интервал, то такая выборка называется механической. Например,
при анализе качества ноутбуков, сходящих с конвейера, отбирается каждый 25 ноутбук.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предположим теперь, что генеральную совокупность разбили на несколько неперекрывающихся групп и из каждой группы отобраны в случайном порядке объекты. Это типический способ составления выборки
(районированная или стратифицированная выборка). Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется
в различных типических частях генеральной совокупности. Например,
при определении рейтинга кандидатов в президенты на выборах страну
делят на округа и в каждом округе определяется рейтинг кандидатов в президенты.
Наконец, серийная (гнездовая или кластерная) выборка образуется
следующим образом. Генеральная совокупность делится на неперекрывающиеся группы. После этого случайным образом отбираются некоторые
группы. Полученная выборка будет серийной.
На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором
сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии
простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.
Разумеется, если бы мы могли провести сплошное обследование всех
элементов генеральной совокупности, то не нужно было бы применять никакие статистические методы, и саму математическую статистику можно
было бы отнести к чисто теоретическим наукам. Однако такой полный
контроль невозможен по следующим причинам. Во-первых, часто испытание сопровождается разрушением испытуемого объекта; в этом случае мы
имеем выборку без повторения. Во-вторых, обычно необходимо исследовать весьма большое количество объектов, что просто невозможно физически и т. д.
П. 3. Погрешности выборочного метода при изучении рынка
информационных ресурсов
Так как сущность выборочного метода состоит в том, что к обследованию привлекается некоторое количество единиц, специальным образом
отобранных из генеральной совокупности, то при формировании выборки
должна быть обеспечена ее представительность, которая зависит от двух
основных факторов: от объема и способа формирования выборки. Наиболее важным принципом, который используется в выборочном методе, яв13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ляется обеспечение равной возможности всем вариантам, входящим в генеральную совокупность, быть избранными, попасть в выборку.
Репрезентативность – свойство выборочной совокупности представлять характеристику генеральной. Если совпадения нет, говорят об ошибке
репрезентативности – мере отклонения статистической структуры выборки
от структуры соответствующей генеральной совокупности.
Наряду с термином «ошибка репрезентативности» используется другой – «ошибка выборки». Иногда они употребляются как синонимы, а иногда «ошибка выборки» используется вместо «ошибки репрезентативности»
как количественно более точное понятие.
Ошибка выборки – отклонение средних характеристик выборочной
совокупности от средних характеристик генеральной совокупности.
На практике ошибка выборки определяется путем сравнения известных характеристик генеральной совокупности с выборочными средними.
Сравнение средних генеральной и выборочной совокупностей, затем
на основе этого определение ошибки выборки и ее уменьшение называются контролированием репрезентативности. Поскольку сравнение своих и
чужих данных можно сделать по завершении исследования, такой способ
контроля называется апостериорным, т. е. осуществляемым после опыта.
Ошибка выборки обусловливается двумя факторами: методом формирования выборки и размером выборки.
Ошибки выборки подразделяются на два типа – случайные и систематические. Случайная ошибка – это вероятность того, что выборочная
средняя выйдет (или не выйдет) за пределы заданного интервала. К случайным ошибкам относят статистические погрешности, присущие самому
выборочному методу. Они уменьшаются при возрастании объема выборочной совокупности.
Второй тип ошибок выборки – систематические ошибки. Систематические ошибки – результат деятельности самого исследователя. Они наиболее опасны, поскольку приводят к довольно значительным смещениям
результатов исследования. Систематические ошибки считаются более значимыми, чем случайные, еще и потому, что они не поддаются контролю и
измерению.
Они возникают, когда: выборка не соответствует задачам исследования; исследователь не знает характера генеральной совокупности; отбираются только «выигрышные» элементы генеральной совокупности.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В отличие от случайных ошибок систематические ошибки при возрастании объема выборки не уменьшаются.
Источником неконтролируемых перекосов в распределении выборочных наблюдений могут быть следующие факторы:
 нарушены правила проведения исследования;
 выбраны неадекватные способы формирования выборочной совокупности, методы сбора и расчета данных;
 произошла замена требуемых единиц наблюдения другими, более
доступными;
 осуществлен неполный охват выборочной совокупности.
Систематические ошибки легче предупредить (по сравнению со случайными), но их очень трудно устранить. Предупреждать систематические
ошибки, точно предвидя их источники, лучше всего заранее – в самом
начале исследования.
Основные способы избежать ошибки выборки:
 каждая единица генеральной совокупности должна иметь равную
вероятность попасть в выборку;
 отбор желательно производить из однородных совокупностей;
 надо знать характеристики генеральной совокупности;
 при составлении выборочной совокупности надо учитывать случайные и систематические ошибки.
Если выборочная совокупность составлена правильно, то исследователь получает надежные результаты, характеризующие всю генеральную
совокупность. Если она составлена неправильно, то ошибка, возникшая на
этапе составления выборки, на каждом следующем этапе проведения исследования приумножается и достигает, в конечном счете, такой величины, которая перевешивает ценность проведенного исследования.
Подобные ошибки могут произойти только с выборочной совокупностью. Чтобы избежать или уменьшить вероятность ошибки, самый простой
способ – увеличивать размеры выборки (в идеале до объема генеральной:
когда обе совокупности совпадут, ошибка выборки вообще исчезнет). Если
такой метод невозможен, то возникает вопрос об определении размеров
выборочной совокупности.
На практике используются разные подходы к определению объема
выборки. Самый простой называется произвольным подходом и основан
на применении «правила большого пальца». Например, бездоказательно
принимается, что для получения точных результатов выборка должна со15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ставлять 5 % от совокупности. Данный подход, простой и доступный в исполнении, не позволяет получать точные результаты. Его достоинством
является относительная дешевизна затрат. С учетом других подходов численность выборочной совокупности зависит от двух факторов:
1) стоимости сбора информации;
2) стремления к определенной степени статистической достоверности
результатов, которую надеется получить исследователь.
Ошибка выборки может зависеть не только от ее величины, но и
от степени различий между отдельными единицами внутри генеральной
совокупности, которую исследуют. Чем больше различия (или гетерогенность) внутри генеральной совокупности, тем больше величина возможной
ошибки выборки.
Таким образом, численность (объем) выборки зависит от уровня однородности или разнородности изучаемых объектов. Чем более они однородны, тем меньшая численность может обеспечить статистически достоверные выводы.
Определение объема выборки зависит также от уровня доверительного интервала допустимой статистической ошибки. Здесь имеются в виду
так называемые случайные ошибки, которые связаны с природой любых
статистических погрешностей.
Тема 1.2. Упорядочение эмпирических данных
План:
1. Табличное представление эмпирических данных.
2. Графическое изображение эмпирических данных.
3. Эмпирическая функция распределения.
Список рекомендуемой литературы:
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва:
ЮРАЙТ, 2012. – С. 192–196 // Университетская библиотека online. –
Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/
2. Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 397–402.
3. Карманов, Ф. И. Статистические методы обработки экспериментальных данных [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Ф. И. Карманов,
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В. А. Острейковский. – Москва: Абрис, 2012. – С. 99–110 // Университетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://
www.biblioclub.ru/book/117636/
4. Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электрон. учеб. /
В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС,
2008. – Электрон. опт. диск (DVD-ROM).
П. 1. Табличное представление эмпирических данных
Как правило, результаты эксперимента или наблюдения дискретных
случайных величин (первичные данные) сводятся в таблицу, в первой
строке которой записывается номер i эксперимента, а во второй – соответствующий признак xi, называемый вариантой случайной величины. Таблицы такого вида называются статистическими рядами несгруппированных
данных (рис. 1). В таблицу можно включать данные о нескольких признаках (несколько видов вариант), но часто ограничиваются данными об одном признаке.
i
xi
1
x1
2
x2
…
…
Рисунок 1 – Статистический ряд несгруппированных данных
Статистический ряд несгруппированных данных не позволяет проводить содержательный анализ. Учитывая, что нередко статистические исследования охватывают совокупность численностью в десятки и сотни тысяч объектов, возникает необходимость упорядочения первичных данных.
Для этого используются статистические методы ранжирования и группировки (дискретной, интервальной и комбинационной). Иногда этих приёмов обработки статистических данных достаточно для последующего анализа. Чаще приходится прибегать к более сложным методам, но и тогда
предварительное упорядочение является обязательной операцией.
Ранжированием называется расположение элементов совокупности
в порядке возрастания или убывания величины соответствующих им вариантов.
Статистический ряд, расположенный по возрастанию вариант, называется вариационным рядом.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дискретной группировкой называется распределение совокупности
вариантов по группам, содержащим одинаковые варианты.
Число, показывающее сколько раз (как часто) некоторый вариант xi
встречается в совокупности, называется частотой ni (абсолютной частотой) данного варианта. Сумма всех частот равняется количеству элементов совокупности (объему выборки), т. е.
 ni  n . (1)
Относительной частотой (частостью) i некоторого варианта xi называется доля этого варианта в общем количестве данных, т. е. отношение
частоты к объему выборки:
n
i  i . (2)
n
Относительную частоту часто выражают в процентах, умножая результат на 100.
Соответствие между вариантами и их частотами (относительными
частотами) называется статистическим распределением выборки (рис. 2).
xi
ni
x1
n1
x2
n2
…
…
Рисунок 2 – Статистическое распределение выборки
Одновременно с понятием частоты и относительной частоты в сгруппированных совокупностях применяются понятия накопленной частоты и
относительной частоты.
Накопленной частотой niнак некоторого варианта xi называется количество элементов ранжированной в порядке возрастания совокупности,
имеющих значение признака меньшее или равное данному:
niнак  n1  n2  ...  ni . (3)
Накопленной относительной частотой iнак некоторого варианта xi
называется отношение накопленной частоты этого варианта niнак к объему
выборки:

нак
i
niнак

. (4)
n
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В тех случаях, когда число различных вариантов в совокупности велико или вариация является непрерывной, при обработке статистических
данных используется интервальная группировка.
Интервальной группировкой называется распределение совокупности
вариантов на группы вариантов, находящихся в определённых границах.
Статистическая таблица, получаемая в результате интервальной группировки, называется интервальным вариационным рядом (рис. 3).
xi – xi+1
ni
x1 - x2
n1
x2- x3
n2
…
…
Рисунок 3 – Интервальный вариационный ряд
Максимальное значение варианта для конкретного интервала называется верхней границей xi(max), а минимальное – нижней границей интервала
xi(min). Величина интервала – разность между верхней и нижней границами
интервала:
hi  xi (max)  xi (min) . (5)
Понятия частоты, относительной частоты, накопленной частоты и накопленной относительной частоты интервального вариационного ряда
аналогичны соответствующим понятиям дискретного вариационного ряда,
но относятся не к отдельному признаку, а ко всему интервалу.
Ещё одним способом группировки совокупности является комбинационная группировка.
Комбинационной группировкой называется распределение совокупности на группы по сочетанию (комбинации) нескольких признаков.
П. 2. Графическое изображение эмпирических данных
Для наглядности рассмотрения статистических данных вариационные
ряды изображают графически. Наиболее широко используются следующие
виды графического изображения вариационных рядов в прямоугольной
системе координат: полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.
Эти графики дают возможность представить характер варьирования
значений признака, выявить состав изучаемой совокупности, её структуру
и структурные сдвиги. При нанесении на единую координатную сетку, нескольких вариационных рядов возможно их сравнение.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полигоном (многоугольником) распределения называется графическое
изображение вариационного ряда в прямоугольной системе координат,
при котором величины признака (варианты) xi откладываются на оси абсцисс, а величина частоты (или относительные частоты) – на оси ординат.
Таким образом, полигон частот представляет собой ломаную, отрезки которой соединяют точки M1(x1, n1), M2(x2, n2), …, Mk(xk, nk) (рис. 4).
Полигон относительных частот есть ломаная, отрезки которой соединяют точки M1(x1, ω1), M2(x2, ω 2), …, Mk(xk, ω k). Крайние точки М1 и М2,
если они не лежат на оси абсцисс, обычно также соединяют со смежными
точками M0(x0, 0), Mk+1(xk+1, 0).
ni
...
n4
n3
n2
n1
x1
x2
x3
x4
...
xk
Рисунок 4 – Построение полигона частот
xk+1
xi
Гистограммой вариационного ряда называется графическое изображение вариационного ряда в виде прямоугольников, основания которых –
отрезки оси абсцисс, соответствующие интервалам изменения признака,
а высоты пропорциональны плотностям частот (или относительных частот) интервалов.
В случае непрерывных интервалов гистограмма частот строится следующим образом (рис. 5): на оси абсцисс наносится шкала для интервалов,
n
на оси ординат – для плотностей частот интервалов i . Из всех точек
hi
на оси абсцисс восстанавливаются перпендикуляры, на которых последовательно, начиная с первого, откладываются значения плотности частот
интервалов.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ni/hi
ni/hi n2/h2 n1/h1 nk/hk x1(min) x2(min) xi(min) xk(min) xk(max) xi Рисунок 5 – Построение гистограммы частот
Кумулятивная кривая (или кумулята) – линия, изображающая распределение накопленных частот (или относительных частот).
При построении кумулятивной кривой дискретного вариационного
ряда на ось абсцисс наносят значения варианты, ординатами служат нарастающие итоги частот, т. е. накопленные частоты (или относительные частоты). Ломаная линия, соединяющая вершины ординат, образует кумулятивную кривую (рис. 6). При интервальной группировке ординаты
откладываются на перпендикулярах к точкам, изображающим верхние
границы (или середины) интервалов
niнак
nkнак
...
n3на
n2на
n1нак
x1
x2
...
x3
xk
Рисунок 6 – Построение кумулятивной кривой частот
21
xi
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П. 3. Эмпирическая функция распределения
Пусть известно распределение частот количественного признака (случайной величины) X.
Эмпирической функцией распределения (или функцией распределения
выборки) называется функция F * ( x) , определяющая для каждого значения
x относительную частоту события X < x:
nx
, (5)
n
где nx – число вариант, меньших x; n – объем выборки.
F * ( x) 
Эмпирическая функция F * ( x) обладает следующими свойствами:
1) значения функции F * ( x) принадлежат интервалу [0,1];
2) F * ( x) – неубывающая функция;
3) если а – наименьшая, а b – наибольшая варианта, то F * ( x)  0
при x  a и F * ( x)  1 при x  b .
График эмпирической функции F * ( x) представляет собой ломаную
линию. В промежутках между соседними членами вариационного ряда F * ( x) сохраняет постоянное значение. При переходе через точки
оси Оx, равные членам выборки, F * ( x) претерпевает разрыв, скачком возрастая на величину 1/n, а при совпадении l наблюдений – на l / n.
Тема 1.3. Меры центральной тенденции
План:
1. Структурные меры центральной тенденции.
2. Суммарные меры центральной тенденции.
3. Выбор и использование мер центральной тенденции при анализе документальных и читательских потоков.
Список рекомендуемой литературы:
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва:
ЮРАЙТ, 2012. – С. 200–201 // Университетская библиотека online. –
Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 402–408.
3. Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электрон. учеб. /
В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС,
2008. – Электрон. опт. диск (DVD-ROM).
П. 1. Структурные меры центральной тенденции
К структурным мерам центральной тенденции относятся: мода и медиана.
Медианой Ме называется вариант, стоящий в центре ранжированного
ряда, так что число вариант совокупности с большим и меньшим, чем медиана, значением признака одинаково.
Пусть имеется дискретный вариационный ряд. Если всем вариантам
ряда придать порядковые номера, то номер медианы в ряду с нечётным
n 1
. Если же вариантов чётное число,
числом членов n определится как
2
то медиану приходится определить как среднюю из двух центральных
n n
вариантов, порядковые номера которых и  1 .
2 2
Если объем выборки достаточно большой и различия между вариантами
небольшие, то можно считать медианой (с достаточной степенью точноn
сти) одну из центральных вариант с порядковым номером .
2
Для интервального распределения сначала находят медианный интервал xl  xl 1 ( l  1, n  1 ). Номер его будет соответствовать интервалу, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот:
l
 ni 
i 1
l 1
n
  n i . (1)
i 1
2
В случае выполнения равенства, стоящего в левой части формулы
(11), номер медианного интервала равен l, в противном случае – l+1.
Медиану вычисляют по формуле:
n l 1
  ni
i 1
2
, (2)
M e  xl  h
nMe
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где l – порядковый номер интервала, где находится медиана, h – величина
l 1
медианного интервала,  ni – накопленная частота домедианного интерваi 1
ла, nMe – частота медианного интервала.
Модой Мо называется наиболее часто встречающаяся в совокупности
величина варианты.
Для дискретного ряда мода определяется как значение признака
с наибольшей частотой. В случае непрерывной вариации определяют
модальный интервал xl  xl 1 , т. е. интервал, которому соответствует
наибольшая частота nMe . Мода вычисляется по формуле:
M o  xl  h
nl  nl 1
, (3)
(nl  nl 1 )  (nl  nl 1 )
где nl-1 и nl+1 – частоты, которые находят в соответствии с предмодальным
и послемодальным интервалами.
П. 2. Суммарные меры центральной тенденции
Среди суммарных мер центральной тенденции выделяют: среднюю
арифметическую, среднюю гармоническую и среднюю геометрическую.
Пусть x1, x2, …, xn – выборка из генеральной совокупности объёма n.
Выборочной средней (или средним значением выборки) называется
среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.
Если все значения x1, x2, …, xn признака выборки объема n различны,
то
x  x2  ...  xn 1 n
x 1
  xi . (4)
n
n i 1
Если все значения признака x1, x2, …, xk имеют соответственно частоты n1, n2, …, nk , причем n1 + n2 + …+ nk = n, то
x n  x2 n2  ...  xk nk 1 k
x 1 1
  xi ni . (5)
n
n i 1
Если дано распределение непрерывной случайной величины, то вмеx  xi 1
сто xi берут середину интервала, т. е. i
.
2
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При описании рядов, в которых изучаемое свойство находится в обратно пропорциональной зависимости от значений влияющего на него
фактора, используется средняя гармоническая.
Средней гармонической выборки называется величина, обратная средней арифметической из обратных значений вариантов:
n
x гарм 
 ni
i 1
1
ni
i 1 x
i
n


n
. (6)
1

i 1 x
i
n
В некоторых исследованиях требуется определить среднюю величину
так, чтобы при замене ею каждого варианта, произведение вариантов оставалось бы неизменным. Для этих целей используется средняя геометрическая.
Средней геометрической называется корень степени, равный числу
вариантов, из их произведения:
x геом  n x1  x2  ...  xn . (7)
Средняя геометрическая применяется для характеристики средних
темпов изменения какого-либо явления за определённый период.
П. 3. Выбор и использование мер центральной тенденции
при анализе документальных и читательских потоков
При выборе и использовании мер центральной тенденции при анализе
документальных и читательских потоков следует учитывать особенности
исследуемой выборочной совокупности. В частности:
 в малых группах мода может быть нестабильной;
 на медиану не влияют величины «больших» и «малых» значений;
 на величину выборочной средней влияет каждое значение. Если одно какое-нибудь значение меняется на с единиц, x изменится в том
же направлении на с/п единиц;
 выборки, имеющие более чем одну моду, не имеют центральной
тенденции;
 центральная тенденция для выборок, содержащих крайние значения, наилучшим образом измеряется медианой, когда гистограмма
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
унимодальна; в этом случае крайнее значение может сместить
среднее группы гораздо дальше того места, которое стоит рассматривать как центральную область;
 в унимодальных выборках, которые симметричны (т. е. половина
гистограммы, расположенная ниже моды, есть зеркальное отражение другой половины), среднее, медиана и мода совпадают.
Во многих случаях данные, с которыми работает исследователь,
не являются нормально или даже симметрично распределенными, а количество имеющихся значений ограничено. В таких условиях выборочное
среднее не может рассматриваться в качестве надежной меры центральной
тенденции в силу отсутствия устойчивости к смещенности распределения
и наличию выбросов.
Для анализа локализации распределения эмпирических данных рекомендуется использовать подход, основанный на предварительном усечении тех значений, которые расположены в хвостах распределений, и последующем усреднении оставшихся значений. Существует множество
алгоритмов идентификации значений, подлежащих удалению. В простейшем случае устойчивая мера центральной тенденции может быть получена
уже путем простого усечения фиксированного одинакового процента значений из каждого хвоста распределения данных. Вопрос о количестве значений, подлежащих усечению, должен решаться с учетом особенностей конкретного исследования, но в большинстве случаев усечение порядка 20 %
данных из каждого хвоста распределения можно считать оптимальным.
В качестве альтернативы усечению данных может рассматриваться
подход, основанный на взвешивании. В рамках этого подхода в расчете
меры центральной тенденции участвуют все полученные значения, однако
их относительный вес зависит от их удаленности от основного массива
данных. Из двух взвешенных оценок центральной тенденции, предложенных в данной работе, по крайней мере, одна оценка оказывается предпочтительной по сравнению с большинством других мер и вполне сопоставимой с 20 % усеченным средним. При этом преимущество подхода,
основанного на взвешивании, состоит в отсутствии необходимости удаления части имеющихся значений, что особенно актуально для реальных эмпирических данных, когда практически невозможно с уверенностью отнести то или иное значение к категории выбросов.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1.4. Показатели вариации
План:
1. Показатели, характеризующие количественную вариацию признака.
2. Основные свойства показателей вариации.
Список рекомендуемой литературы:
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва:
ЮРАЙТ, 2012. – С. 206–207 // Университетская библиотека online. –
Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/
2. Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 402–408.
3. Карманов, Ф. И. Статистические методы обработки экспериментальных данных [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Ф. И. Карманов,
В. А. Острейковский. – Москва: Абрис, 2012. – С. 110–123 // Университетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/117636/
П.1. Показатели, характеризующие количественную вариацию
признака
Среди показателей, характеризующих количественную вариацию признака, выделяют: размах вариации, среднее линейное отклонение, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии, эксцесс, коэффициент вариации.
Простейшей мерой рассеяния случайной величины является размах
выборки.
Размах вариации выборки R – это разность между наибольшим и наименьшим значениями выборки:
R  xmax  xmin . (1)
Отклонение каждого варианта от выборочного среднего x характеризуется абсолютной величиной разности xi  x , а весь ряд отклонений
характеризует вариацию признака в совокупности.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Средним линейным отклонением называется средняя арифметическая
абсолютных величин отклонений вариантов от их выборочной средней:
n
 xi  x
d  i 1
n
. (2)
Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений выборки от их среднего значения
x.
Если все значения x1, x2, …, xn признака выборки объема n различны,
то


2
1 n
DB   xi  x . (3)
n i 1
Если все значения признака x1, x2, …, xk имеют соответственно частоты n1, n2, …, nk , причем n1 + n2 + …+ nk = n, то


2
1 n
DB   ni xi  x . (4)
n i 1
Для вычисления выборочной дисперсии также можно пользоваться
формулой:
2
DB  x 2  x . (5)
Выборочная дисперсия имеет систематическую ошибку, приводящую
к уменьшению дисперсии. Чтобы это устранить, вводят поправку, умножая
n
DB на
. В результате получают исправленную (или модифицированn 1
ную) дисперсию:
DB 


2
1 n
 xi  x . (6)
n  1 i 1
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака
выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются
сводной характеристикой – средним квадратичным отклонением.
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом)
называют квадратный корень из выборочной дисперсии:
 B  DB . (7)
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для сравнения меры рассеяния значений признаков около выборочной
средней в разных выборках служит коэффициент вариации.
Коэффициентом вариации v называется отношение выборочного
среднего квадратичного отклонения к выборочной средней, выраженное
в процентах:
v
B
100% . (8)
x
Критериальным значением коэффициента вариации v служит 33,3 %,
то есть если v меньше или равен 33,3 % – вариация считает слабой, а если
больше 33,3 % – сильной. В случае сильной вариации изучаемая статистическая совокупность считается неоднородной.
Совместно с коэффициентом вариации v используют коэффициент
равномерности:
Кравномерности = 100 – v. (9)
Чем больше коэффициент равномерности Кравномерности , тем равномернее распределены элементы в выборке.
Мерой, описывающей форму распределения (направление скошенности, асимметричности) элементов в совокупности, является коэффициент
асимметрии.
Коэффициентом асимметрии выборки называется число, вычисляемое по формуле:
As 
1
n

n

3
n xi  x . (10)
3  i
i 1
На практике асимметрия считается значительной, если коэффициент
асимметрии превышает по модулю 0,25.
Форма кривой, отображающей распределение элементов в совокупности, может иметь разную крутизну. Степень островершинности кривой
описывается с помощью коэффициента, который называется эксцессом.
Эксцессом выборки называется число, вычисляемое по формуле:
Ek 
1
n
n


4
n xi  x  3 . (11)
4  i
i 1
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П. 2. Основные свойства показателей вариации
Среди основных свойств показателей вариации, рассмотренных в первом пункте, можно выделить следующие:
 сумма отклонений отдельных значений xi от их среднего x равна
нулю:
n
 ( xi  x )  0 ;
i 1
 если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число,
то средний квадрат отклонений от этого не изменится;
 если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число
С, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в С2 раз,
а среднее квадратическое отклонение – в С раз;
 если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины С,
которая в той или иной степени отличается от выборочного среднего x , то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений,
исчисленного от средней арифметической.
Кроме того, так как коэффициент асимметрии As характеризует пре-
имущественное расположение варианты xi относительно среднего значения, следовательно, если As = 0, то данные расположены симметрично
по отношению к x . Если As < 0, то в данных преобладают значения xi < x ,
т. е. преобладают небольшие значения, в этом случае говорят, что ряд
смещен влево. Если же As > 0, то говорят, что ряд «смещен» вправо относительно выборочного среднего, т. е. в данных преобладают бо́льшие значения.
Эксцесс Ek характеризует расстояние данных относительно среднего.
Если Ek < 0, то в данных наблюдается большая дисперсия, которая не
уменьшается по мере удаления от выборочного среднего значения. Если
Ek > 0, то данные сгруппированы возле выборочного среднего очень плотно.
Тема 2.1. Элементы булевой алгебры
План:
1. Понятие высказывания.
2. Булевы функции n переменных.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список рекомендуемой литературы:
1. Игошин, В. И. Математическая логика и теории алгоритмов [Текст] /
В. И. Игошин. – 4-е изд., стер. – Москва: Издат. центр «Академия»,
2010. – С. 15–45.
2. Лихтарников, Л. М. Математическая логика. Курс лекций. Задачникпрактикум и решения [Текст]: учеб. пособие / Л. М. Лихтарников,
Т. Г. Сукачева. – Санкт-Петербург: Лань, 2009. – С. 11–28.
П. 1. Понятие высказывания
Высказывание – это всякое повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно в данных условиях места
и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина»
(обозначается буквой И или цифрой 1) и «ложь» (обозначается буквой
Л или цифрой 0).
Среди основных логических операций над высказываниями выделяют: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию.
Отрицанием (инверсией) высказывания x называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание x ложно, и ложным,
если высказывание x истинно. Обозначается символом x (или Ίx), читается
«не x». Таблица истинности для x имеет вид:
x
1
0
x
0
1
Конъюнкцией (логическим произведением) двух высказываний x и y
называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба
высказывания x, y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.
Обозначается символом x  y (или x & y ), читается « x и y».
Дизъюнкцией (логической суммой) двух высказываний x и y называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно
из высказываний x, y истинно, и ложным, если они оба ложны. Обозначается символом x  y , читается «x или y».
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Импликацией (логическим следованием) двух высказываний x и y называется новое высказывание, которое считается ложным, если x истинно,
a y – ложно, и истинным во всех остальных случаях. Обозначается символом x  y (или x  y ), читается «если x, то y » или «из x следует y».
Эквиваленцией (эквивалентностью, равнозначностью) двух высказываний x и y называется новое высказывание, которое считается истинным,
когда оба высказывания x, y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях. Обозначается символом x  y (или x ~ y), читается «для того, чтобы x, необходимо и доста-
точно, чтобы y» или «x тогда и только тогда, когда y».
Таблица истинности для этих логических операций такова:
x
1
1
0
0
y
1
0
1
0
x y
x y
x y
x y
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется
элементарным (или простым).
Высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, называется сложным
(или составным).
Логическое значение формулы полностью определяется логическими
значениями входящих в нее элементарных высказываний. Все возможные
логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в нее
элементарных высказываний, могут быть описаны полностью с помощью
таблицы истинности. Если формула содержит n элементарных высказываний, то таблица истинности содержит 2n строк.
Две формулы булевой алгебры A и B называются равносильными
( A  B ), если они принимают одинаковые логические значения на любом
наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.
Формула A называется тождественно истинной (или тавтологией),
если она принимает значение «истина» при всех значениях входящих в нее
переменных.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формула A называется тождественно ложной, если она принимает
значение «ложь» при всех значениях входящих в нее переменных.
Важнейшие равносильности булевой алгебры можно разбить на три
группы.
1. Основные равносильности:
1.1. x  x  x – законы идемпотентности.
1.2. x  x  x

1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
x 1  x
x 11
x0 0
x0  x
1.7.
x  x  1 – закон противоречия.
1.8.
x  x  1 – закон исключенного третьего.
1.9. x  x – закон снятия двойного отрицания.
1.10. x   y  x   x – законы поглощения.
1.11. x   y  x   x

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через
другие:
2.1 x  y   x  y    y  x 
2.2. x  y  x  y
2.3. x  y  x  y
2.4. x  y  x  y
2.5. x  y  x  y
2.6. x  y  x  y
3. Равносильности, выражающие основные законы булевой алгебры:
3.1. x  y  y  x – коммутативность конъюнкции.
3.2. x  y  y  x – коммутативность дизъюнкции.
3.3. x   y  z    x  y   z – ассоциативность конъюнкции.
3.4. x   y  z    x  y   z – ассоциативность дизъюнкции.
3.5. x   y  z    x  y    x  z  – дистрибутивность конъюнкции
относительно дизъюнкции.
3.6. x   y  z    x  y    x  z  – дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используя равносильности ,  и  групп можно часть формулы или
формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования
формул называются равносильными.
Формула A считается проще равносильной ей формулы B, если она
содержит меньше букв, меньше логических операций. При этом обычно
операции эквивалентность и импликация заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к элементарным высказываниям.
П. 2. Булевы функции n переменных
Булевой функцией n переменных называется функция n переменных, где каждая переменная принимает два значения: «истина» («1») и
«ложь» («0»), и при этом функция может принимать только одно из двух
значений: «истина» или «ложь».
Каждую булеву функцию можно задать с помощью таблицы ис-
тинности, которая будет содержать 2 n строк. Следовательно, каждая
функция n переменных принимает 2 n значений, состоящих из нулей и
единиц. Таким образом, функция n переменных полностью определяется
набором значений из нулей и единиц длины 2 n . Общее же число наборов,
n
состоящих из нулей и единиц, длины 2 n равно 2 2 . Значит, число различn
ных функций булевой алгебры n переменных равно 2 2 .
Пусть F  x1 , x2 ,..., xn  произвольная функция булевой алгебры n переменных.
Рассмотрим формулу
F 1,1,...,1  x1  x2  ...  xn  F 1,1,...,1,0   x1  x2  ...  xn1  x n 
 F 1,1,...,1,0,1  x1  x2  ...  xn2  x n1  xn  ... 
F 0,0,...,0   x1  x 2  ...  x n
(1)
которая составлена следующим образом: каждое слагаемое этой логической суммы представляет собой конъюнкцию, в которой первый член
является значением функции F при некоторых определенных значениях
переменных x1 , x2 ,..., xn , остальные же члены конъюнкции представляют
собой переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания на34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ходятся те и только те переменные, которые в первом члене конъюнкции
имеют значение 0. Формула (1) содержит в виде логических слагаемых
всевозможные конъюнкции указанного вида.
Ясно, что формула (1) полностью определяет функцию F x1 , x2 ,..., xn  .
Иначе говоря, значения функции F и формулы (1) совпадают на всех наборах значений переменных x1 , x2 ,..., xn .
Вид формулы (1) может быть значительно упрощен, если в ней отбросить те логические слагаемые, в которых первый член конъюнкции
имеет значение 0 (и, следовательно, вся конъюнкция имеет значение 0).
Если же в логическом слагаемом первый член конъюнкции имеет значение 1, то, пользуясь равносильностью 1  x  x , этот член конъюнкции
можно не выписывать.
Таким образом, в результате получается формула (1), которая содержит только элементарные переменные высказывания и обладает следующими свойствами:
1) Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные,
входящие в функцию F  x1 , x2 ,..., xn  .
2) Все логические слагаемые формулы различны.
3) Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание.
4) Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же
переменную дважды.
Перечисленные свойства называется свойствами совершенства, или,
коротко, свойствами (С).
Из приведенных рассуждений видно, что каждой нетождественно
ложной функции соответствует единственная формула указанного вида.
Если функция F  x1 , x2 ,..., xn  задана таблицей истинности, то соответствующая ей формула булевой алгебры может быть получена следующим образом. Для каждого набора значений переменных, на котором
функция F  x1 , x2 ,..., xn  принимает значение 1, запишем конъюнкцию
элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции xk ,
если значение xk на указанном наборе значений переменных есть 1 и отрицание xk , если значение xk есть 0. Дизъюнкция всех записанных
конъюнкций и будет искомой формулой.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2.2. Основные понятия теории графов
План:
1. Элементы графов.
2. Операции над графами.
3. Пути и маршруты в графах.
Список рекомендуемой литературы:
1. Васин, А. А. Исследование операций [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов / А. А. Васин, П. С. Краснощеков, В. В. Морозов. – Москва:
Издат. центр «Академия», 2008. – С. 134–138.
2. Чашкин, А. В. Дискретная математика [Текст]: учеб. / А. В. Чашкин. –
Москва: Издат. центр «Академия», 2012. – С. 78–83.
П.1. Элементы графов
Графом называется непустое множество точек и множество отрезков,
оба конца которых принадлежат заданному множеству точек. Данные
точки называются вершинами графа, а отрезки линий, соединяющие эти
точки – ребрами графа.
Вершины, соединенные ребром, называются смежными. Ребра, имеющие общую вершину, тоже называются смежными.
Ребро и любая из его вершин называются инцидентными.
Граф называется ориентированным (или орграфом), если все его вершины упорядочены и ребра имеют направления.
Каждый граф можно представить в пространстве множеством точек,
соответствующих вершинам, которые соединены линиями, соответствующими ребрам (или дугам – в последнем случае направление обычно указывается стрелочками), – такое представление называется укладкой графа.
При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут быть прямолинейными или криволинейными.
Матрицей смежности графа называется матрица A = ||aij||, i = 1, ..., n;
j = 1, ..., n, у которой элемент aij равен числу ребер, соединяющих вершины vi и vj (соответственно, идущих из вершины vi в вершину vj).
Матрицей инцидентности графа называется матрица B = ||bij||,
i = 1, .., n; j = 1, ..., m, у которой элемент bij равен 1, если вершина vi инцидентна ребру ej, и равен 0, если не инцидентна.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вершины, не соединенные ни с одним ребром, называются изолированными. Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами. Граф является полным, если все его вершины соединены между собой.
Если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно:
С n2 
n(n  1)
. (1)
2
Ребро может начинаться и заканчиваться в одной и той же вершине,
в этом случае соответствующее ребро называется петлей. Граф с петлями
называют мультиграфом (или псевдографом).
Пара вершин может быть соединена двумя или более ребрами, такие
ребра называются кратными.
Граф называется вырожденным, если он не имеет ребер.
Две вершины графа называются связными, если в графе существует
путь с концами в этих вершинах. Если такого пути не существует, вершины называются несвязными.
Граф называется связным, если любая пара его вершин – связная.
Граф называется несвязным, если в нем хотя бы одна пара вершин несвязная.
Ребро, после удаления которого граф из связного превращается в несвязный, называется мостом.
Циклом называется путь, в котором совпадают начало с концом. Если
все вершины цикла разные, то такой цикл называется элементарным
(или простым) циклом.
Деревом (свободным графом) называется любой связный граф,
не имеющий циклов.
Вершины степени 1 в дереве называют его листьями.
Деревья обладают следующими свойствами:
1. Для каждой пары вершин дерева существует единственный путь, их
соединяющий.
Этим свойством пользуются при нахождении всех предков, например,
по мужской линии, любого человека, чья родословная представлена в виде
генеалогического дерева, которое является «деревом» и в смысле теории
графов.
2. Всякое ребро в дереве является мостом.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Если любые две вершины в дереве соединить ребром, то в полученном графе будет ровно один цикл.
4. Дерево с n вершинами имеет n-1 ребро.
Несвязный граф, представляющий объединение деревьев, называется
лесом. Можно сказать, что деревья являются компонентами леса.
Для каждой пары вершин дерева – узлов – существует единственный маршрут, поэтому вершины удобно классифицировать по степени удалённости от корневой вершины. Расстояние до корневой вершины x0 называется
ярусом s вершины (рис. 1).
Рисунок 1 – Разделение вершин дерева на ярусы
Поскольку маршрут между двумя вершинами единственный, то, применяя это свойство к смежным вершинам, можно заключить, что любая
ветвь является мостом.
При описании деревьев принято использовать термины: отец, сын,
предок, потомок.
Каждая вершина дерева называется узлом, причём каждый узел является корнем дерева, имеющего n поддеревьев. Тогда узел без поддеревьев
называется листом и является висячей вершиной.
Узел k-го яруса называется отцом узла (k+1)-го яруса, если они смежны. Узел (k+1) -го яруса называется сыном узла k-го яруса (рис. 2).
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 2 – Пример описания вершин дерева
Упорядоченным деревом называется дерево, в котором поддеревья
каждого узла образуют упорядоченное подмножество. Для упорядоченных
деревьев принята терминология: старший и младший сын для обозначения
соответственно первого и последнего сыновей некоторого узла.
Для представления данных в информационных системах, в справочниках при реализации алгоритмов поиска и в других приложениях часто
используются корневые деревья, то есть деревья с выделенной вершиной,
именуемой корнем.
П. 2. Операции над графами
Выделяют следующие основные операции над графами:
1. Дополнением графа G1 (V1, E1) называется граф G2 (V2, E2),
где V2  V1 и E2  E1  {e V1 ×V1 | e E1 (обозначение – G 1 (V1 , E1 ) ).
2. Объединением графов G1 (V1, E1) и G2(V2, E2) называется граф
G (V, E), где V  V1  V2 и E  E1  E2 (обозначение – G1 (V1, E1) 
G2 (V2, E2), при условии V1 V2=Ø, E1  E2= Ø).
3. Соединением графов G1 (V1, E1) и G2(V2, E2) называется граф G (V,
E), где V  V1  V2 и E  E1  E2  {e = (v1, v2)| v1 V1 v2 V2 } (обозначение – G1 (V1, E1) + G2 (V2, E2), при условии V1 V2=Ø, E1  E2= Ø).
4. Удаление ребра е из графа G1(V1, E1), при условии е Е1 , дает граф
G2(V2, E2), где V2  V1 и E2  E1\{e} (обозначение G1(V1, E1)-е).
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Удаление вершины v из графа G1(V1, E1), при условии v V1, дает
граф G2(V2, E2), где V2  V1\{v} и E2  E1 (обозначение G1(V1, E1)-v).
6. Добавление ребра е в граф G1(V1, E1), при условии е Е1, дает граф
G2(V2, E2), где V2  V1 и E2  E1  {e} (обозначение G1(V1, E1)+е).
7. Добавление вершины v в граф G1(V1, E1), при условии v V1, дает
граф G2(V2, E2), где V2  V1  {v} и E2  E1 (обозначение G1(V1, E1)+v,).
8. Стягивание подграфа А графа G1(V1, E1) дает граф G2(V2, E2), где
V2  (V1 \ А)  {v} и E2  E1 \ {e=(u,w) | u A  w A}  {e=(u,v) | u Г(А) \ А}.
(где Г(А) – множество вершин, смежных с А). Например, стягивание
ребра – это отождествление пары смежных вершин.
9. Размножение вершины v графа G1(V1, E1) дает граф G2(V2, E2), где
V2  V1  {v'} и E2  E1  {(v,v')}  {e=(u,u') | u Г(v)} (обозначение –
G1(V1, E1)↑ v, при условии А  V1, v V1, v' V1). Данная операция также
называется подразбиение ребра (т.е. замена ребра (u, v) на пару (u, w),
(w, v), где w – новая вершина).
Кроме представленных выше, существуют и другие операции над
графами, например соединение, сложение, различные виды умножений
графов и др. Такие операции используются для анализа и синтеза графов с
заданными свойствами.
П. 3. Пути и маршруты в графах
Маршрутом в графе от одной вершины к другой называется чередующаяся последовательность вершин и рёбер, в которой два соседних
элемента инцидентны. Вершина, от которой проложен маршрут, называется началом маршрута, вершина в конце – конец маршрута.
Если все ребра различны, то маршрут называется цепью.
Длиной маршрута называется количество ребер в нем (с повторениями).
Путем от вершины u до вершины v в ориентированном графе называется такая последовательность ребер (дуг), ведущая от u к v, в которой два
соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза. Таким образом, путь – частный случай маршрута.
Путь, в котором каждая вершина используется не более одного раза,
называется простым путем.
Если существует путь из вершины графа v в вершину u, то говорят,
что вершина u достижима из v.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Длиной пути в графе называется количество ребер, составляющих
этот путь.
Длиной пути во взвешенном графе полагают сумму весов всех ребер,
входящих в этот путь.
Путь называется замкнутым, если начальная и конечная вершины
совпадают.
Замкнутый путь называется циклом, если все его вершины (кроме начальной и конечной) различны.
Источником в графе называют такую вершину, из которой достижимы все остальные вершины.
Стоком называется такая вершина графа, которая достижима из всех
остальных вершин графа.
При решении многих задач с использованием графов необходимо
уметь обходить все вершины и ребра графа. Обойти граф – это побывать
во всех вершинах точно по одному разу. Существует два классических алгоритма обхода графов: обход графа в глубину и обход графа в ширину.
Работа всякого алгоритма обхода состоит в последовательном посещении вершин и исследовании ребер. Какие именно действия выполняются при посещении вершины и исследовании ребра – зависит от конкретной
задачи, для решения которой производится обход. В любом случае факт
посещения вершины запоминается, так что с момента посещения и до конца работы алгоритма она считается посещенной.
Вершину, которая ещё не посещена, называют новой. В результате посещения вершина становится открытой и остается такой, пока не будут
исследованы все инцидентные ей ребра. После этого она превращается
в закрытую.
Обход в глубину – это обход графа по следующим правилам:
1) находясь в вершине x, нужно двигаться в любую другую, ранее не
посещенную вершину (если таковая найдется), одновременно запоминая
ребро, по которому впервые попали в данную вершину;
2) если из вершины x мы не можем попасть в ранее не посещенную
вершину или таковой нет, то мы возвращаемся в вершину z, из которой
впервые попали в x, и продолжаем обход в глубину из вершины z.
При выполнении обхода графа по этим правилам стремятся проникнуть «вглубь» графа так далеко, как это возможно, затем отступают на шаг
назад и снова стремятся пройти вперед и так далее.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, допустим, что мы находимся в вершине графа v. Далее, выбираем произвольную, но еще не просмотренную вершину u, смежную с вершиной v. Эту новую вершину рассматриваем теперь уже как v и,
начиная с нее, продолжаем обход. Если не существует ни одной новой
(еще не просмотренной) вершины, смежной с v, то говорят, что вершина v
просмотрена, и возвращаются в вершину, из которой мы попали в v.
Главное отличие поиска в глубину от поиска в ширину состоит в том,
что в качестве активной выбирается та из открытых вершин, которая была
посещена последней. При обходе в глубину, чем позднее будет посещена
вершина, тем раньше она будет использована.
Поиск в глубину ищет любой возможный путь – то есть первый попавшийся.
Основная особенность поиска в ширину, отличающая его от другого
способа обхода графов, состоит в том, что в качестве активной вершины
выбирается та из открытых, которая была посещена раньше других. Именно этим обеспечивается главное свойство поиска в ширину: чем ближе
вершина к старту, тем раньше она будет посещена.
Использование вершины происходит с помощью просмотра сразу
всех еще не просмотренных вершин, смежных этой вершине. Таким образом, поиск ведется во всех возможных направлениях одновременно.
Сначала посещается сама вершина v, затем все вершины, смежные с v,
находящиеся от нее на расстоянии 1, затем вершины, находящиеся от v на
расстоянии 2, и т.д. Чем ближе вершина к стартовой вершине, тем раньше
она будет посещена. Поиск в ширину ищет наиболее короткий возможный
путь.
Путь в орграфе из вершины v в вершину u, где v ≠ u, называется
кратчайшим, если он имеет минимальную длину среди всех путей орграфа из v и u.
Любой кратчайший путь (маршрут) является простой цепью.
Рассмотрим два наиболее эффективных алгоритма нахождения кратчайшего пути:
 Алгоритм Дейкстры (используется для нахождения оптимального
маршрута между двумя вершинами);
 Алгоритм Йена (для нахождения K-оптимальных маршрутов между двумя вершинами).
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть необходимо найти путь минимального веса в графе G=(V, E),
заданном весовой матрицей W, у которой элемент wij равен весу ребра,
соединяющего i-ю и j-ю вершины. При этом предполагается, что все
элементы wij неотрицательны. Путь ищется из вершины номер u1 к вершине номер u2 . Для представления веса, равного бесконечности,
используется число GM, передаваемое в алгоритм. Это число можно
задавать в зависимости от конкретной задачи.
Алгоритм Дейкстры, по которому происходит поиск, заключается
в следующем:
1) всем вершинам приписывается вес – вещественное число,
d(i) = GM для всех вершин, кроме вершины с номером u1 , а d(u1 ) = 0;
2) всем вершинам приписывается метка m(i) = 0;
3) вершина u1 объявляется текущей: t = u1 ;
4) для всех вершин, у которых m(i) равно 0, пересчитываем вес
по формуле: d(i) = min{d(i), d(t)+W [t,i]};
5) среди вершин, для которых выполнено m(i) = 0 ищем ту, для которой d(i) минимальна; если минимум не найден, т. е. вес всех не «помеченных» вершин равен бесконечности (GM), то путь не существует, покидаем
алгоритм;
6) иначе найденную вершину c минимальным весом полагаем текущей и помечаем (m(t) = 1);
7) если t = u2 , то найден путь веса d(t), покидаем алгоритм;
8) переходим к шагу 4.
Алгоритм Йена предназначен для нахождения K путей минимальной
длины во взвешенном графе, соединяющих вершины u1 , u2 . Ищутся пути,
которые не содержат петель.
Работа алгоритма начинается с нахождения кратчайшего пути, для
этого будем использовать уже описанный алгоритм Дейкстры. Второй путь
ищем, перебирая кратчайшие отклонения от первого, третий – кратчайшие
отклонения от второго и т. д.
Алгоритм Йена, по которому происходит поиск, заключается в следующем:
1) найти минимальный путь P1 = (v 11 , ..., v 1L[1] ). Положить k = 2.
Включить P1 в результирующий список;
2) положить minW равным бесконечности. Найти отклонение минимального веса от (k–1)-го кратчайшего пути Pk-1 для всех i = 1, 2, ..., L[k-1],
выполняя для каждого i шаги с 3-го по 6-й;
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) проверить, совпадает ли подпуть, образованный первыми i вершинами пути Pk-1 , с подпутем, образованным первыми i вершинами любого
из путей j=1, 2, ..., k–1. Если да, положить W[v k-1i , v ji+1 ] равным бесконечности, в противном случае ничего не изменять (чтобы в дальнейшем исключить получение в результате одних и тех же путей);
4) используя алгоритм нахождения кратчайшего пути, найти пути
от v k-1i к u2 , исключая из рассмотрения корни (v k-11 , ..., v k-1i ) (чтобы исключить петли), для этого достаточно положить равными бесконечности
элементы столбцов и строк матрицы W, соответствующие вершинам, входящим в корень;
5) построить путь, объединяя корень и найденное кратчайшее ответвление; если его вес меньше minW, то запомнить его;
6) восстановить исходную матрицу весов W и возвратиться к шагу 3;
7) поместить путь минимального веса (minW), найденный в результате выполнения шагов с 3 по 6, в результирующий список. Если k=K,
то алгоритм заканчивает работу, иначе увеличить k на единицу и вернуться
к шагу 2.
Тема 2.3. Элементы теории массового обслуживания
План:
1. Основные понятия и классификация систем массового обслуживания.
2. Показатели эффективности систем массового обслуживания.
3. Основные модели систем массового обслуживания.
4. Использование моделей СМО для анализа документальных и читательских потоков.
Список рекомендуемой литературы:
1. Вентцель, Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология [Текст]: учеб. пособие / Е. С. Вентцель. – 5-е изд., стер. – Москва:
КНОРУС, 2010. – С. 120–142.
2. Климов, Г. П. Теория массового обслуживания [Электронный ресурс] /
Г. П. Климов. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 2011. – С. 10–21 // Университетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://
biblioclub.ru/index.php?page=book&id=135301/
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
П.1. Основные понятия и классификация систем
массового обслуживания
Во всех областях человеческой деятельности мы сталкиваемся с процессами, имеющими характер массового обслуживания. Наиболее простым
и наглядным примером является бытовое обслуживание во всех его видах.
Во всех случаях значение имеет степень удовлетворения потребности в обслуживании, или качество обслуживания. Но не менее важными являются
вопросы организации обслуживания. Она может характеризоваться самыми различными показателями: временем ожидания начала обслуживания,
длиной очереди, возможностью получения отказа (ведь не всегда наша заявка может быть удовлетворена; например, нужной нам книги нет в фондах библиотеки или она уже выдана).
Все эти факторы зависят от самых различных условий, учесть которые
не всегда представляется возможным. Предположим, что на нас возложена
задача улучшить качество обслуживания читателей на абонементе.
Число пришедших читателей от нас не зависит, поэтому повлиять на
этот фактор мы не можем. Скорость работы библиотекаря зависит от его
натренированности и может быть увеличена только до определенного предела, не превосходящего психофизиологических возможностей человека.
Поэтому остается только один путь – изменить организацию обслуживания. Как это сделать? Можно сделать так, чтобы каждый библиотекарь выдавал книги только одной категории читателей (например, студентам, научным сотрудникам и т. д.) или же все библиотекари выдавали любую
литературу любым читателям. В последнем случае, по крайней мере, будет
гарантия, что любой читатель не будет простаивать в очереди больше других. Такие изменения в работе абонемента организовать довольно легко.
Но какое влияние они окажут на качество обслуживания? В нашем примере можно просто взять и попробовать, а затем оценить полученные результаты и на этом основании выбрать лучшую организацию. Но не всегда метод «проб» может быть использован: иногда такая «проба» может быть
сопряжена с огромными материальными затратами или с опасностью для
здоровья людей. Но нельзя ли научиться анализировать результаты некоторых экспериментов, не производя их? Оказывается, можно. Эту возможность в значительной степени обеспечивает теория массового обслуживания.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Система массового обслуживания (СМО) – система, которая производит обслуживание поступающих в неё заявок.
СМО называется открытой, если интенсивность поступающего
на неё потока заявок не зависит от состояния самой СМО.
Поток заявок называется стационарным, если вероятность попадания
того или иного числа заявок в определённый промежуток времени зависит
только от длины промежутка и не зависит от того, когда начинается этот
временной промежуток.
Поток заявок называется потоком без последействия, если для любых
неперекрывающихся промежутков времени число заявок, попадающих
на один из них, не зависит от числа заявок, попадающих на другие.
Поток заявок называется ординарным, если вероятность попадания
на элементарный участок времени двух или более заявок пренебрежимо
мала по сравнению с вероятностью попадания одной заявки.
Если поток заявок стационарен, ординарен и не имеет последействия,
то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком.
Рассмотрим классификацию систем массового обслуживания.
1. По характеру обслуживания выделяют следующие виды СМО:
1.1. Системы с ожиданием или системы с очередью. Требования,
поступившие в систему и не принятые немедленно к обслуживанию, накапливаются в очереди. Если каналы свободны, то заявка обслуживается.
Если же все каналы заняты в момент поступления заявки, то очередная заявка будет обслужена после завершения обслуживания предыдущей. Такая
система называется полнодоступной (с неограниченной очередью).
Существуют системы с автономным обслуживанием, когда обслуживание начинается в определенные моменты времени.
1.2. Системы с ограниченной очередью. Если заявка приходит в момент, когда все места в очереди заняты, она получает отказ и покидает
систему.
1.3. Системы с отказами. Все заявки, прибывшие в момент обслуживания заявки, получают отказ.
1.4. Системы с групповым входным потоком и групповым обслуживанием. В таких системах заявки поступают группами в определенные
моменты времени, обслуживание также происходит группами.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. По количеству каналов обслуживания СМО подразделяются
на следующие группы:
2.1. Одноканальные СМО.
2.2. Многоканальные СМО. Обслуживание очередной заявки может
начаться до окончания обслуживания предыдущей заявки. Каждый канал
действует как самостоятельное обслуживающее устройство.
3. По кругу обслуживаемых объектов различают:
3.1. Замкнутые СМО. Это система массового обслуживания, в которой обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание.
3.2. Открытые СМО. Это система, в которой интенсивность поступающего в неё потока заявок не зависит от состояния самой СМО.
4. По количеству этапов обслуживания различают:
4.1. Однофазные СМО. Это однородные системы, которые выполняют
одну и ту же операцию обслуживания.
4.2. Многофазные СМО. Это системы, в которых каналы обслуживания расположены последовательно и выполняют различные операции обслуживания.
Приведенная классификация СМО является условной. На практике
чаще всего СМО выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего
система начинает работать как система с отказами.
П.2. Показатели эффективности систем массового обслуживания
Для всех видов СМО используются следующие показатели эффективности:
 относительная пропускная способность – это средняя доля поступающих заявок, обслуживаемых системой;
 абсолютная пропускная способность – это среднее число заявок,
обслуживаемых системой в единицу времени;
 вероятность отказа – это вероятность того, что заявка покинет
систему без обслуживания;
 среднее число занятых каналов – для многоканальных СМО.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Показатели эффективности СМО рассчитываются по формулам
из специальных справочников (таблиц). Исходными данными для таких
расчетов являются результаты моделирования СМО.
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:
z – среднее число заявок в СМО;
r – среднее число заявок в очереди;
t сист – среднее время пребывания заявки в СМО;
t оч – среднее время пребывания заявки в очереди;
t обсл – среднее время обслуживания заявки;
k – среднее число занятых каналов;
 – интенсивность потока заявок;
 – интенсивность потока обслуживаний;
А – абсолютная пропускная способность;
Q – относительная пропускная способность;
Ротк – вероятность отказа.
Для любой открытой СМО в предельном стационарном режиме среднее время пребывания заявок в системе t сист выражается через среднее
число заявок в системе z с помощью формулы:
t сист  z /  . (1)
Среднее время пребывания заявки в очереди t оч выражается через
среднее число заявок в очереди r формулой Литтла:
t оч  r /  . (2)
Формулы (1) и (2) справедливы для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых видах потоков заявок и обслуживаний); единственное требование к потокам заявок и обслуживаний – чтобы
они были стационарными.
Аналогично универсальное значение для открытых СМО имеет формула, выражающая среднее число занятых каналов k через абсолютную
пропускную способность А:
k  A /  , (3)
где   1 / t обсл – интенсивность потока обслуживаний.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S0 0 S1 1 S2 1
2
 k 1
3
k
Sk k
 n 1  k 1
Sn n 2 Рисунок 1 – Схема гибели и размножения
Если граф состояний СМО представлен в виде схемы гибели и размножения, показанной на рисунке 1, то финальные вероятности при этом
выражаются следующими формулами:
1
 

  ...
  ... 
p0  1  0  0 1  ...  0 1 k 1  0 1 n1  ;
1  2 ... k 1  2 ... n 
 1 1  2


  ...
p1  0 p0 ; p2  0 1 p0 ; …; pk  0 1 k 1 p0 (0  k  n) ;
1
1  2
1  2 ... k
… ; pn 
0 1 ...n1
p . (4)
1  2 ... n 0
Для среднего числа заявок (в очереди или в системе) применяется
следующая формула:

x
k
. (5)
 kx 
k 1
1  x2
П. 3. Основные модели систем массового обслуживания
Рассмотрим формулы, выражающие финальные вероятности состояний и характеристики эффективности для некоторых часто встречающихся
типов СМО.
1. Простейшая СМО с отказами (задача Эрланга).
На n-канальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок
с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с параметром
  1 / t обсл . Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся
в СМО (в силу отсутствия очереди оно совпадает с числом занятых каналов):
x0 – СМО свободна;
x1 – занят один канал, остальные свободны; ...
xk – занято k каналов, остальные свободны (1  k  n ); …;
xn – заняты все n каналов.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Финальные вероятности состояний выражаются формулами Эрланга:
1
  2
k
n 
p0 (k=1, 2, …, n), (6),
p0  1  
 ...   ; pk 
n
1
!
2
!
!
k
!


где    /  .
Характеристики эффективности:
А   (1  p n ); Q  1  p n ; Pотк  pn ; k   (1  p n ) . (7)
При больших значениях n вероятности состояний (6) удобно вычислять через табулированные функции:
a m a
P(m, a) 
e (распределение Пуассона) (8)
m!
и
a k a
R(m, a )   e , (9)
k  0 k!
из которых первую можно выразить через вторую:
m
P(m, a)  R(m, a)  R(m  1, a) . (10)
Пользуясь этими функциями, формулу Эрланга (5) можно переписать
в виде:
pk  P(k ,  ) / R(n,  ) (k = 0, 1, ..., n). (11)
2. Простейшая одноканальная СМО с неограниченной очередью.
На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Время обслуживания – показательное с параметром
  1 / t обсл . Длина очереди не ограничена. Финальные вероятности существуют только при    /   1 (при   1 очередь растет неограниченно).
Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО, находящихся в очереди или обслуживаемых:
x0 – СМО свободна;
x1 – канал занят, очереди нет;
x2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди; …;
xk – канал занят, k-1 заявок стоят в очереди; …
Финальные вероятности состояний выражаются формулами:
p0  1   ; pk   k (1   ) (k = 1, 2, ...), где    /   1 . (12)
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Характеристики эффективности СМО:
A   ; Q  1 ; Pотк  0 ; (13)


2
2
z
; r
; t сист 
; t оч 
; (14)
 (1   )
1 
1 
 (1   )
среднее число занятых каналов (или вероятность того, что канал
занят)
k   /    . (15)
3. Простейшая одноканальная СМО с ограничением по длине очереди.
На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с параметром
  1 / t обсл . В очереди m мест. Если заявка приходит в момент, когда все
эти места заняты, она получает отказ и покидает СМО. Состояния СМО:
x0 – СМО свободна;
x1 – канал занят, очереди нет;
x2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди;
…;
xk – канал занят, k-1 заявок стоят в очереди;
…;
xm+1 – канал занят, m заявок стоят в очереди.
Финальные вероятности состояний существуют при любом    / 
и равны:
1 
0 
;  k   k p0 (k = 1, ..., m + 1). (16)
m 2
1 
Характеристики эффективности СМО:
A   (1  p m1 ) ; Q  1  pm1 ; Pотк  pm1 . (17)
Среднее число занятых каналов (вероятность того, что канал занят):
k  1  p 0 . (18)
Среднее число заявок в очереди:
 2 1   m (m  1  m )
. (19)
(1   m  2 )(1   )
Среднее число заявок в СМО:
z  r  k . (20)
r
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По формуле Литтла:
t сист  z /  ; t оч  r /  . (21)
4. Простейшая многоканальная СМО с неограниченной очередью.
На n-канальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания одной заявки – показательное с параметром   1 / t обсл . Финальные вероятности существуют только при
 / n    1 , где    /  . Состояния СМО нумеруются по числу заявок
в СМО:
x0 – СМО свободна;
x1 – занят один канал;
…;
xk – занято k каналов (1  k  n );
…;
xn – заняты все n каналов;
xn+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;
…;
xn+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди;
….
Финальные вероятности состояний выражаются формулами:
1
  2
 n  n1 1 
p0  1  
 ... 

 ,
1
!
2
!
n
!
n
n
!
1





pk 
k
p0 (1  k  n ); pn  r 
 nr
p0 ( r  1 ). (22)
k!
n r  n!
С помощью функций P(m, a) и R(m, a) формулы (21) могут быть приведены к виду
pk 
P(k ,  )
(k = 0, ..., n); pn r   r pn (r = 1, 2, ...). (23)
R (n,  )  P (n,  ) /(1   )
Характеристики эффективности СМО:


r   n 1 p0 / n  n!(1   ) 2  p n /(1   )1 ; (24)
z  r  k  r   ; (25)
t сист  z /  ; t оч  r /  . (26)
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Простейшая многоканальная СМО с ограничением по длине
очереди.
Условия и нумерация состояний те же, что в п. 4, с той разницей, что
число m мест в очереди ограничено. Финальные вероятности состояний
существуют при любых λ и μ и выражаются формулами:
1
  2
k
 n  n1 1   m 
p0  1  
p0 (1  k  n );
 ... 

 ; pk 
k!
n! n  n! 1   
 1! 2!
pnr 
 nr
n r  n!
p0 (1  r  m ), где    / n   /(n ) . (27)
Характеристика эффективности СМО:
A   (1  pn  m ) ; Q  1  pn m ; Pотк  pn m ; k   (1  p n  m ) ; (28)
 n1 p0 1  (m  1)  m  m m1
; (29)
r
n  n!
(1   ) 2
z  r  k ; (30)
t оч  r /  ; t сист  z /  . (31)
П.4. Использование моделей СМО для анализа документальных
и читательских потоков
Решение о создании и эксплуатации любой библиотечной системы
в конечном счете зависит от ее способности решать все поставленные
перед нею задачи. Сложность библиотечной работы приводит к необходимости решения вопросов испытания и оценки этих систем.
Так как основной целью создания библиотечно-информационных систем является максимально полное удовлетворение читательских запросов,
то этот фактор должен прежде всего учитываться при оценке их деятельности.
При анализе деятельности библиотечной системы с точки зрения
удовлетворения читательских запросов прежде всего проводят обследование пользователей для выявления областей интересов, необходимого охвата литературы, требований пользователей к выходной информации (полнота, точность поиска), степени подготовленности пользователей и их
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
участия в процессе поиска, предпочтительных форм выдачи. Потребности
и удовлетворенность пользователей определяются методами анкетных опросов и интервью. Все эти данные позволяют создать модель системы,
подлежащей испытанию, и сформулировать основные отношения, связывающие элементы этой системы.
О степени удовлетворения читательских запросов можно судить
по среднему количеству отказов в течение года, приходящемуся на группу
книг или на одну книгу группы, и доле отказов от общего числа запросов.
Эти показатели находятся в сложной функциональной зависимости от таких факторов, как средний спрос на книги рассматриваемой группы,
экземплярность, привычки читателей, ограничения на время пользования,
режим обслуживания и т. д.
Существуют математические модели, позволяющие выразить степень
удовлетворения читательских запросов через перечисленные параметры.
Одна из них описана в предыдущем пункте.
В рамках этой модели доля отказов увеличивается при возрастании λ,
причем при фиксированном λ доля отказов существенно зависит от экземплярности k и среднего времени занятости книги читателем. Следует отметить, что при фиксированном λ фактор экземплярности является наиболее
существенным.
Следующим по значимости является фактор среднего времени занятости. Например, при увеличении экземплярности от 1 до 2 доля отказов
в проведенном исследовании сократилась более чем в 3 раза. Для получения аналогичного эффекта за счет уменьшения периода занятости необходимо сократить время занятости книги читателем с 10 до 2 дней, что создает трудности в обслуживании читателей.
При сравнении различных мероприятий, направленных на повышение
эффективности использования фонда, может понадобиться оценка возможного количества отказов uk(т) на любую книгу, выдававшуюся за год
ровно т раз. Исследования показали, что иk(т) быстро увеличивается
с ростом т. Дублирование книги приводит к снижению отказов в 7–12 раз.
Среднее количество запросов на книгу, выдававшуюся в течение года
т раз, есть т + иk(т). Отметим, что uk (0) ≥ 0, т. е. возможное среднее количество отказов на невыдававшиеся книги может быть больше нуля. Это
объясняется тем, что интенсивность потока запросов не всегда равна дей54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ствительному числу читателей, пришедших за книгой. Действительное
число может быть больше или меньше в соответствии с пуассоновским
распределением.
Даже если книга не была в обращении в течение года, предполагаемый спрос на нее может быть больше нуля. Осредняя uk(т) по всему массиву книг, получаем

 u k (m) Pk (m)  c  o  u k
m 0
(здесь Pk(m) – вероятность того, что суммарная книговыдача за год по всем
k экземплярам случайно выбранной книги равна т). Практически установлено, что распределение Рk (т) близко к геометрическому. Одним из путей
снижения числа неудовлетворенных запросов является введение ограничений на сроки пользования литературой. Рассмотрим следующую схему.
Пусть читателю разрешено пользоваться литературой не более τ дней.
Назовем τ сроком бронирования литературы. Если читатель не успел прочесть книгу за время τ, то с вероятностью θ он может продлить срок бронирования на время τ, а с вероятностью 1–θ «теряет» книгу (т. е. книга возвращается в книгохранилище). Если за дополнительный срок читатель не
успел проработать книгу, то с вероятностью θ еще раз можно продлить
срок бронирования на τ дней, и т. д. Всего таких продлений допускается n,
после чего книгу забирают. В этом случае вероятность того, что время обслуживания будет меньше t, определяется равенством

1  e  u0t , t  o, 

Fn ( t )  1   k e u0t , t  k , (k  1) , k  1, n,

1, t  (n  1)

а среднее время обслуживания –
n 1  ( n 1) u0
1
e
u0 1  
Tn 
 (1  e )
.
uon
u0 (1  e u0 )
Нетрудно заметить, что при отсутствии ограничений на сроки пользования (τ = ∞, n = 0) T = 1/и0. Для оценки эффективности введения ограничений на сроки пользования литературой нужно в предыдущих формулах
заменить и0 на и0n. Из практических результатов следует, что с увеличением τ эффективность бронирования снижается, а при τ ≥ 3 Т бронирование
нецелесообразно.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. УЧЕБНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
3.1. Описания практических работ
Практическая работа 1 (2 часа)
Упорядочение эмпирических данных
Цель работы: познакомиться с основными статистическими методами упорядочения эмпирических данных.
Задачи работы:
1. Приобрести навыки ранжирования и группировки эмпирических
данных.
2. Рассмотреть способы графического представления эмпирических
данных.
Упражнения:
1. В результате анализа деятельности библиотеки были получены следующие данные о количестве книг, прочитанных читателями библиотеки
за месяц: 39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39,41,
37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 40,
41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42,
40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 41.
Упорядочить представленные данные о читаемости, построив вариационный ряд и проведя дискретную группировку данных, начертить полигон и кумулятивную кривую относительных частот для полученного распределения.
2. В результате анализа деятельности мини-библиотеки были получены следующие данные о возрасте читателей, посетивших библиотеку
за месяц: 21, 30, 39, 31, 42, 34, 36, 30, 28, 30, 33, 24, 31, 40, 31, 33, 31, 27, 31,
45, 31, 34, 27, 30, 48, 30, 28, 30, 33, 46, 43, 30, 33, 28, 31, 27, 31, 36, 51, 34,
31, 36, 34, 37, 28, 30, 39, 31, 42, 37.
Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами величиной hi = 4 и начертить гистограмму частот.
3. Распределение по годам выхода процитированных документов имеет следующий вид:
Год (xi)
Количество ссылок (ni)
2010
9
2009
15
56
2008
22
2007
30
2006
16
2005
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Требуется построить по данному распределению выборки полигон и
кумулятивную кривую относительных частот.
4. Построить эмпирическую функцию распределения и её график
по данным выборки:
4
7
8
xi
5
2
3
ni
5. В результате анализа состава рубрик сайтов в сфере СМИ были получены следующие данные:
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Наименование рубрики,
подрубрики
Новости
В мире
О нас
Поиск
Реклама
Контакты
Архивы
Культура
Форум
Обратная связь
Политика
Новости о нас
Экономика
Досуг
Спорт
Подписка
Календарь
Происшествия
История
Партнеры
СМИ о нас
Статьи
Справочники
Сотрудники
Вакансии
Гостевая книга
Интервью
Блоги
Порядковые номера сайтов
1, 5, 8, 10, 12–15, 17–24, 26–28, 30
10, 13, 15–17, 25
1–9, 17–20, 22–25, 27, 29, 30
5, 8–20, 24, 25, 27–30
3, 7–9, 11, 13–17, 19–23, 25–27, 29
6, 11, 15, 16, 18, 19, 21, 23–30
1–4, 8, 9, 12, 18–23, 28, 30
5, 8, 12, 15–17, 22, 25, 30
2, 3, 6, 8, 16–19, 23, 25–30
1, 5, 8, 10, 14, 16–23, 30
5, 8, 10, 12, 13, 15–17, 22, 25, 27, 30
11, 14, 25–27
8, 10, 12, 13, 15–17, 21, 22, 25, 27, 30
14, 16, 22, 30
5, 8, 12, 15–17, 21, 22, 25, 27, 30
1, 10, 14, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 30
1, 5, 15, 28
5, 8, 13, 15–17, 22, 25
7, 20, 25, 28
10, 13, 15, 17, 19, 20, 24
8, 18, 23, 25
1, 2, 15, 27–30
22, 24, 27, 29,
4, 8, 20, 21, 25
14–16, 21, 23, 25
7, 9, 13, 14, 22, 27
7, 15, 18, 20, 21, 23
1, 8, 22, 24, 26
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№
п/п
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Наименование рубрики,
подрубрики
Общество
Пресс-центр
Программа передач
Руководство
Спецпроекты
В эфире
Прайс-лист
Программы
Музыка
Опрос
Фотогалерея
Порядковые номера сайтов
5, 8, 10, 12, 13, 15–17, 22, 25, 30
11, 12, 14, 15, 22
13, 18, 19, 23, 25
13, 14, 19, 23, 25,
15, 20, 22, 23
8, 11, 18, 20, 23, 25, 26
6, 14, 19, 21
6, 7, 11, 13, 19, 25, 26
8, 20, 23, 26
1, 5, 16, 21
5, 6, 8, 16, 21, 22, 27
Провести дискретную группировку и ранжирование представленной
совокупности. Данные представить в виде таблиц 1 и 2.
Таблица 1
Частота встречаемости рубрик, подрубрик сайта
№ Наименование рубрики,
п/п
подрубрики
1
Порядковые номера
сайтов
2
3
Частота
встречаемости
Абс.
%
4
5
Таблица 2
Ранжированная частота встречаемости рубрик, подрубрик сайта
Ранг
Наименование рубрики, подрубрики
Частота встречаемости
(абс.)
1
2
3
6. Дана выборка из 60 элементов: 1, 4, 3, 5, 3, 5, 0, 5, 0, 4, 1, 1, 4, 2, 3,
1, 5, 3, 1, 4, 3, 0, 6, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 3, 3, 1, 4, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 1, 2, 10, 4, 1, 1, 4, 5,
2, 3, 2, 4, 5, 4, 1, 3, 2, 1, 3, 9, 5. Требуется построить (вычислить) по данному распределению выборки:
1) вариационный ряд частот и относительных частот;
2) полигон частот и полигон относительных частот;
3) кумулятивную кривую относительных частот;
4) эмпирическую функцию распределения и её график.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Дана выборка, представленная в задании № 5. Требуется построить
(вычислить) по данному распределению выборки:
1) интервальный вариационный ряд частот и относительных частот
из 5 интервалов;
2) гистограмму относительных частот;
3) кумулятивную кривую относительных частот;
4) эмпирическую функцию распределения и её график.
8. Построить дискретный вариационный ряд и начертить полигон и
кумулятивную кривую относительных частот для следующего распределения: 30, 32, 31, 33, 32, 31, 33, 35, 31, 34, 33, 32, 34, 30, 33, 32, 33, 30, 32, 28,
34, 32, 29, 34, 33, 32, 31, 32, 29, 35, 31, 30, 32, 31, 33, 31, 32, 33, 31, 34, 29,
30, 32, 32, 33.
9. В результате анализа состава рубрик образовательных порталов
были получены следующие данные:
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Наименование рубрики,
подрубрики
Новости
Законодательство
Интерактив
От аспиранта к профессору
Из истории образования
Экономика
Статьи
Рубрикатор
Глоссарий (Словари)
Организации (справочная информация)
Гос. премии, гранты, конкурсы
Гос. образовательные стандарты
Каталог образовательных Интернет-ресурсов
Карта сайта
Курсы лекций
Нормативные документы
Номенклатура специальностей
Порядковые номера сайтов
1, 2, 3, 5, 8, 10–28, 30
1, 3
1, 3, 4, 5, 6–12, 14, 15, 16, 18, 19, 21–30
1, 24, 28
4, 7, 18, 19, 21–30
7
5, 8, 10, 12, 14, 15, 17, 19, 22, 25, 27, 29
4, 11, 12, 13, 16, 18, 20, 21, 23
1, 2, 3
1, 22, 25
6, 7, 8, 13, 15, 17, 27, 28
1, 2
1, 2, 4, 5, 7, 11, 13
4, 5, 6, 8, 13, 14, 20
6, 9, 12, 16, 19, 23
1, 2, 5, 6, 7
4, 18, 22, 26, 28
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№
п/п
Наименование рубрики,
подрубрики
18 Тренинги
19 Учреждения; техникумы, вузы
20 Интернет-консультации
по ЕГЭ
21 Компьютерные программы
22 Коллекции
23 Периодические издания
24 Студенческие работы
25 Образовательные CD/DVD
26 Мероприятия
27 Дистанционное обучение
28 Учебные программы
29 Библиотеки
30 Персоналии
31 Картографический сервис
32 О портале
33 Иллюстративные материалы
34 Уровни образования
35 Государственное и муниципальное управление
36 Социология
Порядковые номера сайтов
8, 12, 16, 24, 29
1, 2, 10, 16,
3, 2, 5, 10
1, 2, 12, 23
1, 2, 17
1, 2, 3, 6, 8, 10
4, 5, 9, 12, 18, 23, 26, 30
1, 24, 26
1, 2, 3
1, 6, 8
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 21, 24, 23, 26
1, 2, 3, 5, 6, 8–17, 20, 22
1, 10
1, 26
1–30
4, 9
1, 3
16
2
Провести дискретную группировку и ранжирование данной совокупности. Данные представить в виде таблиц 1 и 2 из задания № 5.
Список рекомендуемой литературы:
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва:
ЮРАЙТ, 2012. – С. 192–196 // Университетская библиотека online. –
Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/
2. Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 397–402.
3. Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электрон. учеб. /
В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС,
2008. – Электрон. опт. диск (DVD-ROM).
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Практическая работа 2 (2 часа)
Меры центральной тенденции
Цель работы: рассмотреть меры центральной тенденции, используемые для обобщённой характеристики совокупностей однородных объектов.
Задачи работы:
1. Приобрести навыки вычисления структурных и суммарных мер
центральной тенденции.
2. Познакомиться с особенностями выбора и использования мер центральной тенденции при анализе документальных и читательских потоков.
Упражнения:
1. Данные о количестве книг, прочитанных читателями библиотеки
за год, представлены в виде следующего дискретного вариационного ряда:
Кол-во книг (xi)
Кол-во читателей (ni)
1
9
2
15
3
22
4
30
5
16
6
5
7
2
8
1
По представленным данным найти среднее число книг, взятых одним
читателем (выборочное среднее).
2. Книгообеспеченность в четырёх библиотеках с одинаковым объёмом фонда составляет соответственно 12, 15, 10 и 17 книг на одного читателя. Определить среднюю книгобеспеченность (среднюю гармоническую).
3. Число читателей библиотеки выросло в течение позапрошлого года
в 1,1 раза по сравнению с предыдущим годом, в прошлом году – в 1,6 раза
по сравнению с позапрошлым годом, в нынешнем – в 1,2 раза по сравнению с прошлым годом. Во сколько раз увеличивалось число читателей
в год?
Примечание: Среднегодовое увеличение числа читателей рассчитывается как средняя геометрическая.
4. На полке необходимо разместить книги разной высоты: 20, 10, 25,
20, 16, 12, 25, 27, 30, 20, 16, 10, 30 и 20 сантиметров. Какой высоты полку
целесообразнее заказать.
5. Найти медиану следующего вариационного ряда: 3, 6, 6, 8, 8, 12, 12,
12, 25, 25, 70, 75, 75.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Найти структурные меры центральной тенденции (моду и медиану)
интервального вариационного ряда, заданного таблицей:
xi - xi+1
120–140
140–160
160–180
180–200
200–220
220–240
240–260
260–280
ni
1
6
19
58
53
24
16
3
7. Найти структурные меры центральной тенденции (медиану и моду)
дискретного вариационного ряда объема n = 100, заданного таблицей:
xi
1
2
3
4
5
6
выше 6
ni
4
6
12
16
44
18
0
ni нак
4
10
22
38
82
100
100
8. Найти суммарные меры центральной тенденции (выборочное среднее, среднюю гармоническую, среднюю геометрическую) для следующего
интервального вариационного ряда:
xi – xi+1
ni
9–12
6
12–15
12
15–18
33
18–21
22
21–24
19
24–27
8
9. Если считать, что объем литературы по математике удваивается
за 5 лет, определить во сколько раз увеличивается в среднем объем литературы за год.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Имеются данные о доле фондов отдельных филиалов ( ωi) в общем
объёме единого фонда ЦБС и книгообеспеченности читателей филиалов
(xi):
ωi
№ филиала
xi
10
0,1
1
11
0,1
2
12
0,1
3
8
0,2
4
11
0,2
5
9
0,2
6
9
0,1
7
Требуется рассчитать среднюю книгообеспеченность читателей ЦБС.
11. Найти структурные меры центральной тенденции (медиану и моду) для интервального вариационного ряда, заданного таблицей:
xi – xi+1
80–90
90–100
100–110
110–120
120–130
130–140
140–150
ni
8
15
46
29
13
3
3
Список рекомендуемой литературы:
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва:
ЮРАЙТ, 2012. – С. 200–201 // Университетская библиотека online. –
Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/
2. Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 402–408.
3. Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электрон. учеб. /
В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС,
2008. – Электрон. опт. диск (DVD-ROM).
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Практическая работа 3 (2 часа)
Показатели вариации
Цель работы: рассмотреть показатели, характеризующие количественную вариацию признака у элементов статистической совокупности.
Задачи работы:
1. Научиться вычислять показатели вариации признака у элементов
статистической совокупности.
2. Приобрести навыки интерпретации показателей вариации признака
у элементов статистической совокупности.
Упражнения:
1. В результате анализа количества запросов, поступающих в поисковую систему в течение каждого часа, были получены следующие данные:
Период времени
10–11
11–12
12–13
13–14
14–15
15–16
16–17
17–18
Кол-во запросов
11
12
13
12
10
12
14
12
Определить размах вариации и среднее линейное отклонение количества запросов, поступающих в поисковую систему.
2. Данные о количестве книг, прочитанных читателями библиотеки
за год, представлены в виде следующего дискретного вариационного ряда:
Кол-во книг (xi)
Кол-во читателей (ni)
1
9
2
15
3
22
4
30
5
16
6
5
7
2
8
1
Найти меру рассеяния (выборочную дисперсию) и среднее квадратическое отклонение количества книг, взятых читателями.
1. По имеющимся данным о ценах на услугу «Библиографический поиск» в различных библиотеках города рассчитать коэффициент асимметрии распределения: 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 3, 4, 3, 4, 6, 4, 2, 4, 6, 4, 1.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Проанализируйте загруженность двух учебных аудиторий вуза
в первом семестре учебного года на основании данных, представленных
в следующей таблице:
Учебные аудитории
Месяцы
семестра
Аудитория № 1
Кол-во часов
по плану
Аудитория № 2
Фактическое Кол-во часов
кол-во часов
по плану
Фактическое
кол-во часов
Сентябрь
139
144
254
240
Октябрь
148
149
269
263
Ноябрь
150
152
260
159
Декабрь
155
159
288
291
Всего за семестр
592
604
1071
953
Рассчитайте коэффициент вариации и коэффициент равномерности
загруженности учебных аудиторий. Сделайте соответствующие выводы.
3. Найти средние характеристики (выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, среднее линейное отклонение)
изменения признака для следующего дискретного вариационного ряда:
1
9
xi
ni
2
15
3
22
4
30
5
16
6
5
7
2
8
1
4. Найти средние характеристики (выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, среднее линейное отклонение) изменения признака для следующего интервального вариационного ряда:
xi – xi+1
9–12
12–15
15–18
18–21
21–24
24–27
ni
6
12
33
22
19
8
5. Найти коэффициент асимметрии и эксцесс распределения, заданного таблицей:
xi
ni
2
2
3
6
4
8
65
5
5
6
3
7
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список рекомендуемой литературы:
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва:
ЮРАЙТ, 2012. – С. 206–207 // Университетская библиотека online. –
Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/
2. Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 402–408.
Практическая работа 4 (2 часа)
Элементы булевой алгебры
Цель работы: познакомиться с основами булевой алгебры.
Задачи работы:
1. Сформировать умение представлять высказывания в виде логических формул и устанавливать их логические значения.
2. Приобрести навыки равносильных преобразований формул.
Упражнения:
1. Какие из следующих предложений являются высказываниями:
1) Спроектированы обеспечивающие подсистемы АБИС.
2) Назовите устройство ввода информации.
3) По целевому назначению сайты делятся на платные и бесплатные.
4) Какие указатели содержит «Книжная летопись»?
5) Рассеяние публикаций – факт опубликования статей определённой тематики в непрофильных журналах.
6) Это высказывание ложно.
2. Представить логическими формулами следующие высказывания:
1) Разработана инфологическая и датологическая модель базы данных.
2) Высказывание может быть истинным или ложным.
3) Документы, выходящие однократно и не имеющие продолжения
являются непериодическими.
4) Документы, распространяемые от имени государственных органов или общественных организаций, содержащие материалы
нормативного или директивного характера, являются официальными.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5) Если Интернет подключен, то антивирусная система обновляется.
Интернета нет, а антивирусная система обновляется.
6) Что в лоб, что по лбу.
3. Пытаясь вспомнить победителей прошлогодней студенческой конференции, пять бывших слушателей конференции заявили:
1) Антон был вторым, а Борис – пятым.
2) Виктор был вторым, а Денис – третьим.
3) Григорий был первым, а Борис – третьим.
4) Антон был третьим, а Евгений – шестым.
5) Виктор был третьим, а Евгений – четвёртым.
Впоследствии выяснилось, что каждый слушатель ошибся в одном
из двух своих высказываний. Каково было истинное распределение мест
на конференции?
4. Вычислить значение формул при указанных наборах:
1) Q  ( P  R  ( R  Q)) при (P, Q, R) = (0, 1, 1) и (P, Q, R) = (0, 0, 0);
2) P  Q  R  ( P  Q)  S при (P, Q, R, S) = (1, 0, 0, 1) и (P, Q, R, S) =
(1,1, 0,0).
5. Составьте истинностные таблицы следующих формул:
1) ( P  Q)  ( P  Q  P ) ;
2) S  T  P  Q  P  (Q  T ) ;
3) ( P  Q  Q)  ( P  Q) ;
4) P  Q  R  P  Q  R .
6. Относительно каждой из приведенных ниже формул укажите: достаточно ли приведенных сведений для определения значения формулы.
Если достаточно, укажите это значение. Если недостаточно, то покажите,
что формула принимает как значение 1, так и значение 0.
1) ( P  Q)  R ;
1
2) P  Q  P  Q ;
1
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) P  (Q  R) ;
1
4) ( P  Q)  (Q  P) ;
1
5) P  (Q  R) ;
1
6) P  Q  P  R .
1
0
7. Доказать равносильность x  y  x  y .
8. Упростить формулу A  ( x  y  x  y )  y .
9. Доказать, что формула A  x  ( y  x) тождественно истинная.
10. Доказать равносильность:
1) ( x  y )  ( x  y )  x ;
2) x  ( x  y )  x  y ;
3) x  y  y  x ;
4) x  y  x  y  x  y  x  y ;
5) x  y  y  x ;
6) x  ( y  z )  x  y  z .
11. Вычислить
истинностное
значение
(( P  Q)  Q  P  Q)  S  R при наборе (P, Q, R, S) = (1, 0, 0, 1).
12. Упростить формулу:
1) ( x  x)  x ;
2) x  ( x  y ) ;
3) x  y  ( x  y )  x ;
4) ( x  z )  ( x  z )  ( y  z )  ( x  y  z ) ;
5) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) ;
6) ( x  y )  ( x  y ) .
68
формулы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список рекомендуемой литературы:
1. Игошин, В. И. Математическая логика и теории алгоритмов [Текст] /
В. И. Игошин. – 4-е изд., стер. – Москва: Издат. центр «Академия»,
2010. – С. 15–45.
2. Лихтарников, Л. М. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения [Текст]: учеб. пособие / Л. М. Лихтарников,
Т. Г. Сукачева. – Санкт-Петербург: Лань, 2009. – С. 11–28, 169–187.
Практическая работа 5 (2 часа)
Основные понятия теории графов
Цель работы: познакомиться с основными понятиями теории графов.
Задачи работы:
1. Рассмотреть различные виды графов.
2. Познакомиться со способами представления графов.
Упражнения:
1. Являются ли данные фигуры графами? Почему?
1)
2)
5)
9)
3)
6)
4)
7)
10)
8)
11)
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Какие из данных графов являются связными?
2)
1)
5)
4)
3)
6)
7)
9)
8)
10)
11)
3. Укажите все мосты одиннадцати изображенных графов, если они
есть.
2)
1)
5)
4)
3)
6)
7)
70
8) Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9)
10)
11)
4. Изобразите с помощью графа связи между таблицами А, Б, В, Г, Д,
Е базы данных, если:
- таблица А связана со всеми другими таблицами;
- таблица Б связана с Г и Д;
- таблица В связана со всеми таблицами, кроме таблицы Е.
Сколько вершин и сколько ребер имеет полученный граф?
5. Среди семи таблиц базы данных установлены связи, причем каждая
таблица имеет связь с каждой другой таблицей. Изобразите в виде графа
результат установленных связей. Сколько ребер имеет полученный граф?
6. Сколько ребер нужно провести, чтобы достроить граф, изображенный на рисунке, до полного?
1)
5)
2)
4)
3)
6)
7)
7. База данных «Студенты» содержит 6 таблиц: «Ф.И.О.», «Адрес
места жительства», «Дисциплины», «Преподаватели», «Специальности и
направления» и «Оценки». Необходимо связать между собой все таблицы.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К настоящему моменту некоторые таблицы уже связаны: «Ф.И.О.» связали
с «Адрес места жительства», «Преподаватели» и «Оценки»; «Адрес места
жительства» – с «Ф.И.О.» и «Преподаватели»; «Дисциплины» – с «Оценки», «Специальности и направления» и «Преподаватели»; «Преподаватели» – с «Ф.И.О.», «Адрес места жительства» и «Дисциплины»; «Специальности и направления» с «Дисциплины»; «Оценки» – с «Ф.И.О.» и
«Дисциплины». Сколько таблиц уже связано к настоящему моменту и
сколько еще осталось?
8. Студентам 4-го курса одного из вузов предложили самостоятельно
выбрать темы дипломных проектов из представленного перечня. И тут разгорелся жаркий спор.
– Электронный архив буду проектировать я! – решительно заявил
Гена.
– Нет, я! – возразил Дима, – я и материалы уже начал подбирать для
этой темы.
– Ну хорошо, я готов уступить эту тему, если я буду проектировать
электронное издание, – проявил великодушие Гена.
– А я виртуальную выставку, – не уступил ему в великодушии
Дима.
– Хочу проектировать мультимедийную летопись или электронную
коллекцию, – сказал Вова.
– Нет, электронную коллекцию буду проектировать я, – хором закричали Алик и Борис. – Или электронное издание, – добавили они
одновременно.
Удастся ли распределить темы так, чтобы студенты были довольны?
Если да, то, как распределятся темы?
9. Составить матрицы инцидентности и смежности для следующих
графов:
1)
b 2)
•
c •
a •
1 2 •
•
3
5
•
•
•4
3)
•
72
•
1
5
d 2
•
•3 •
•4 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Составить матрицы смежности для следующих ориентированных
графов:
1)
2 2)
3 4
1 1
6 5 1 2
3)
3
5
2 6
4
1
7 5 4 11. По заданным матрицам смежности восстановить графы:
0

0
1) 
1

0
1 0 1

0 1 1
;
0 0 0

0 1 0 
0

1
2) 
0

0
0 0 1

0 1 0
;
0 0 0

0 1 0 
0

0
0

3)  1
1

0

0
1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 ;
0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0
0

0
0

4)  1
0

1

0
1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 .
0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 0
12. Для графов из предыдущего задания построить матрицы инцидентности.
Список рекомендуемой литературы:
1. Васин, А. А. Исследование операций [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов / А. А. Васин, П. С. Краснощеков, В. В. Морозов. – Москва:
Издат. центр «Академия», 2008. – С. 134–138.
2. Тюрин, С. Ф. Дискретная математика: Практическая дискретная математика и математическая логика [Электронный ресурс] / С. Ф. Тюрин,
Ю. А. Аляев. – Москва: Финансы и статистика, 2010. – С. 29–40 // Университетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/63603/
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Чашкин, А. В. Дискретная математика [Текст]: учеб. / А. В. Чашкин. –
Москва: Издат. центр «Академия», 2012. – С. 78–83.
Практическая работа 6 (4 часа)
Элементы теории массового обслуживания
Цель работы: познакомиться с особенностями использования теории
массового обслуживания для анализа документальных и читательских потоков.
Задачи работы:
1. Рассмотреть основные модели систем массового обслуживания.
2. Приобрести навыки вычисления характеристик эффективности системы массового обслуживания при анализе документальных и читательских потоков.
Упражнения:
1. В библиотеке обслуживание читателей проходит в три этапа:
1) поиск документов по электронному каталогу; 2) проверка читательского требования библиотекарем-консультантом; 3) получение документа
в отделе хранения основного фонда. В библиотеку прибывает простейший
поток покупателей с интенсивностью λ = 45 чел./ч.
В отделе каталогов имеется четыре компьютера, занимая которые,
читатели могут самостоятельно осуществлять поиск документа по электронному каталогу. Среднее время поиска документа и распечатки требо-
вания t1  5 минут. Выбрав книгу, читатель направляется к библиотекарюконсультанту, где вторично становится в очередь (консультант в библиотеке один). Среднее время проверки читательского требования t 2  1
минута. После этого читатель идёт в отдел хранения основного фонда, где
становится в новую очередь и получает документ. В отделе хранения
основного фонда работают три сотрудника, среднее время выдачи
документа t 3  2 минуты. Все потоки заявок простейшие.
Рассматривая библиотеку как трёхфазную СМО, найти характеристики её эффективности: среднее число читателей в очереди к каждой фазе
обслуживания ( r1 , r2 , r3 ); среднее число читателей, связанных с каждой
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фазой обслуживания ( z1 , z 2 , z3 ); среднее время ожидания читателя в оче1
реди к каждой фазе ( tоч
, tоч2 , tоч3 ); среднее время пребывания читателя в каж1
2
3
дой фазе ( tсист
, tсист
, tсист
); общее среднее число читателей во всех трёх
очередях ( r ); общее среднее число читателей в библиотеке ( z ); общее
среднее время, проводимое читателем в очередях ( tоч ); общее среднее
время, затрачиваемое читателем на получение документа в библиотеке
( tсист ).
Дополнительно ответить на следующие вопросы: 1) В каком звене и
как нужно улучшить обслуживание для того, чтобы сократить затраты
времени читателей? 2) Как можно было бы учесть тот факт, что не все
читатели находят себе подходящий документ, и какая-то доля α из них
(0<α <1) уходит из библиотеки, не получив книги?
2. На сервер (одноканальная СМО с отказами) поступает простейший
поток запросов с интенсивностью λ = 0,4 вызов/мин. Средняя
продолжительность обработки запроса t обсл  3 мин.; время обработки
запроса имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что
в момент обращения сервер будет свободен и вероятность того, что в это
время сервер будет обрабатывать поступивший ранее запрос (финальные
вероятности р0 и р1), а также характеристики эффективности системы:
абсолютную пропускную способность А, относительную пропускную
способность Q, вероятность отказа Ротк , среднее число занятых каналов k .
3. Отдел обработки в научной библиотеке, в который поступает
простейший поток документов с интенсивностью λ = 2 документа в час,
представляет собой одноканальную СМО с неограниченной очередью.
Время обработки одного документа имеет показательное распределение со
средним значением
t обсл  20 мин. Найти финальные вероятности
состояний СМО; среднее число документов z , которые обрабатываются
отделом; среднее время tсист пребывания документа в отделе; среднее
время t оч пребывания документа в очереди.
4. Условия предыдущей задачи усложняются тем, что в отделе
обработки могут храниться одновременно не более трёх документов
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(включая обрабатываемый). Если документ поступает в момент, когда
в отделе уже находятся три документа, его отправляют на склад
на временное хранение (пока не освободится место в отделе обработки).
За один час хранения документа на складе библиотека несёт расходы
x рублей. Определить среднесуточные расходы, которые придётся нести
библиотеке за хранение документов на складе в ожидании обработки.
5. Оценить экономическую эффективность работы справочнобиблиографического отдела, имеющего двух библиографов (n = 2),
предоставляющих платные услуги по библиографическому поиску и
систематизации документов. В отдел поступают заявки от читателей с
интенсивностью λ = 4 заявки/ч. Среднее время обслуживания одной заявки
t обсл  0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход с = 200 руб.
Зарплата каждого библиографа составляет 100 руб./ч. Решить: выгодно или
невыгодно в экономическом отношении увеличить число библиографов
в отделе до трёх?
6. Подсчитать характеристики эффективности А, Q, Ротк , k , r , z , t оч ,
t сист для простейшей одноканальной СМО с тремя местами в очереди
1
(m = 3) при условиях: t обсл   0,5 . Выяснить, как эти характеристики

изменятся, если: 1) увеличить число мест в очереди до m = 4; 2) число
каналов обслуживания увеличится до n = 2 (при этом m = 3)?
7. В электронном ресурсном центре областной библиотеки работают
два специалиста (n = 3) оказывающие читателям услугу по поиску
информации в Интернете на иностранных языках, а в коридоре имеется
три стула (m = 3) для ожидания приёма. Поток читателей простейший
с интенсивностью λ = 1,2 читателя/ч. Время обслуживания читателя –
показательное, со средним значением t обсл  20 мин. Если все три стула
в коридоре заняты, читатель в очередь не становится. Определить среднее
число читателей, обслуживаемых за час, среднюю долю обслуженных
читателей из числа пришедших, среднее число занятых стульев в коридоре, среднее время t сист , которое читатель проведёт в коридоре и
в кабинете; то же самое среднее время при условии, что читатель будет
обслужен.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. Отдел ксерокопирования и тиражирования документов научной
библиотеки (одноканальная СМО с неограниченной очередью) оказывает
услуги по ксерокопированию или сканированию документов. Читателей,
желающих ксерокопировать документы, приходит в среднем трое за 20 минут, а сканировать – двое за 20 минут. Поток читателей можно считать
простейшим. Работник отдела в среднем обслуживает трёх читателей
за 10 минут. Время обслуживания – показательное. Какие существуют
финальные вероятности состояний системы? Вычислить первые три
из них. Найти характеристики эффективности отдела ксерокопирования
и тиражирования ( z , r , t сист , t оч ).
9. В отделе периодических изданий областной библиотеки имеется
два экземпляра некоторого журнала (n = 2); если в момент обращения
читателя интересующий его журнал находится «на руках», то он может
получить журнал в течение дня, записавшись в очередь (в очереди
допускается не более четырёх требований). Поток требований, поступающих на журнал, простейший, с интенсивностью λ = 1 требование/час.
Время работы читателей с журналом – показательное, со средним
значением t обсл  2 часа. Найти финальные вероятности состояний отдела
периодических изданий и его характеристики эффективности: абсолютную
пропускную способность А; относительную пропускную способность Q;
вероятность отказа Ротк; среднее число занятых экземпляров k ; среднее
число читателей z , обратившихся с требованиями на журнал; среднее
число читателей в очереди r ; среднее время t сист , которое читатель
проведёт в отделе; среднее время t оч , которое читатель проведёт
в очереди.
Список рекомендуемой литературы:
1. Вентцель, Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология [Текст]: учеб. пособие / Е. С. Вентцель. – 5-е изд., стер. – Москва:
КНОРУС, 2010. – С. 120–142.
2. Климов, Г. П. Теория массового обслуживания [Электронный ресурс] /
Г. П. Климов. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 2011. – С. 10–21 // Университетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=135301/
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
4.1. Методические указания по работе с литературой
Общие методические указания по работе с литературой
Приступая к самостоятельному изучению учебной дисциплины
«Математические методы исследования», необходимо после ознакомления с ее структурой и содержанием обратиться к методическим указаниям
по работе с литературой, которые представлены ниже дифференцированно
по каждому ее разделу.
В настоящее время современный учебник по всему комплексу изучаемых тем отсутствует. В связи с этим методические указания ориентированы на работу с документами, входящими в список как основной, так и
дополнительной литературы. Наряду с ними рекомендуется использовать
Интернет-ресурсы, отраженные в списке полезных ссылок по данной
учебной дисциплине.
Прежде чем перейти к изучению материала каждой из тем дисциплины, рекомендуется ознакомиться с учебно-практическим пособием доктора
педагогических наук, профессора, заведующего кафедрой информатики
и медиатехнологий Казанского государственного университета культуры
и искусств Тамары Ивановны Ключенко «Математика в библиотечной
профессии» [3]. В учебно-практическом пособии проводится анализ причин проникновения математических методов в библиотечно-информационную теорию и практику, рассматривается история и современное состояние этого процесса и тенденции его развития, обосновывается необходимость фундаментальной математической подготовки для представителей
библиотечно-информационной профессии.
Методические указания по работе с литературой
при изучении разделов дисциплины
Изучение раздела 1 «Статистические методы обработки эмпирических
данных» следует начать с рассмотрения теоретических основ проведения выборочного анализа [1, С. 192–196; 7, С. 395–396; 4]. В данных
работах также описываются методы упорядочения эмпирических данных
и способы их табличного и графического представления [1, С. 192–196;
2, С. 99–220; 7, С. 397–402; 4]; рассматриваются структурные и суммар78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ные меры центральной тенденции [1, С. 200–201; 7, С. 402–408; 4];
разбираются показатели, характеризующие количественную вариацию
признака [1, С. 206–207; 2, С. 110–123; 7, С. 402–408].
В рамках раздела 2 «Основы дискретной математики и исследования
операций» при рассмотрении основ булевой алгебры рекомендуется обратить внимание на работы [8, С. 15–45; 10, С. 11–28]; в том числе в работе
[10, С. 169–187] приводятся примеры использования логических операций
над высказываниями, проведения равносильных преобразований формул,
а также построения булевых функций. С основными понятиями теории
графов можно ознакомиться в работе [12, С. 78–83], алгоритм отыскания кратчайшего пути в графе представлен в [5, С. 134–138]. Основные
понятия и классификация систем массового обслуживания приведены
в [6, С. 120–123]. Простейшие модели системы массового обслуживания и
их характеристики рассмотрены в источниках [6, С. 123–142; 9, С. 10–21].
4.2. Методические указания по выполнению контрольной работы
Для успешного выполнения контрольных заданий студенты должны
знать базовые понятия математической статистики, дискретной математики и исследования операций; владеть методами качественной и количественной оценки работы библиотеки; уметь решать задачи по организации и
осуществлению текущего планирования, учета и отчетности; осуществлять
информационную диагностику предметной области и информационное
моделирование; использовать методы сбора и обработки эмпирической
информации при исследовании библиотечно-информационной деятельности.
Контрольные задания выполняются в тетради, страницы которой
имеют сквозную нумерацию и поля для замечаний преподавателя. Решение каждой задачи должно сопровождаться формулами и комментариями.
Таблицы и графики должны быть оформлены в соответствии с правилами
оформления статистических таблиц и графиков.
Контрольная работа должна предваряться титульным листом. Титульный лист контрольной работы должен содержать следующие сведения:
 полное наименование министерства, в систему которого входит вуз;
 полное наименование вуза, института, кафедры;
 название темы контрольной работы;
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 название вида документа (контрольная работа);
 сведения об исполнителе (Ф.И.О. студента – исполнителя контрольной работы; форма обучения, номер студенческой группы);
 сведения о преподавателе курса (Ф.И.О., ученая степень, ученое
звание, должность);
 наименование места и год выполнения.
Выполнение контрольных заданий является обязательным условием
для допуска студента к зачёту по дисциплине «Математические методы
исследования».
4.3. Описание образовательных технологий
В ходе обучения используются следующие виды образовательных
технологий:
 при проведении лекций и практических работ: традиционные образовательные технологии, мультимедийные и телекоммуникационные технологии;
 в самостоятельной работе студентов: информационные образовательные технологии (документы в электронном виде, размещенные
в электронной образовательной среде КемГУКИ).
Реализация компетентностного подхода предусматривает использование активных и интерактивных форм проведения занятий.
Для лекционной части курса избраны формы:
 лекция-визуализация,
 лекция-беседа.
На практических занятиях предполагается использование таких интерактивных форм как:
 работа в малых группах,
 решение ситуационных задач.
В результате выполнения учебных работ студенты сформируют портфолио по курсу.
Формой текущего контроля является контроль выполнения практических работ. Промежуточный контроль осуществляется в форме контрольных работ и тестового контроля.
Представленное количество интерактивных форм обучения составляет 25 % от числа аудиторных занятий и полностью соответствует требова80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ниям ФГОС ВПО по направлению подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная деятельность».
4.4. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Наличие учебной лаборатории, оснащенной проекционной и компьютерной техникой.
5. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
5.1. Контрольные вопросы по дисциплине
Контрольные вопросы к разделу 1.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ
1. Каковы основные характеристики выборки?
2. Опишите способы организации случайного отбора.
3. Перечислите основные типы выборок.
4. Представьте формулы расчёта погрешности выборочного метода.
5. Охарактеризуйте способы табличного представления эмпирических
данных?
6. Охарактеризуйте способы графического представления эмпирических данных?
7. Опишите аналитический и графический способы представления
эмпирической функции распределения.
8. Какие показатели применяют для характеристики рассеяния
значений признака выборочной совокупности.
9. Опишите последовательность расчёта структурных мер центральной тенденции.
10. Какие существуют суммарные меры центральной тенденции.
11. Какие факторы влияют на выбор мер центральной тенденции при
анализе документальных и читательских потоков.
12. Приведите примеры использования мер центральной тенденции
при анализе документальных и читательских потоков.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Какие показатели характеризуют количественную вариацию
признака.
14. Перечислите основные свойства показателей вариации.
15. Опишите возможности использования показателей, характеризующих количественную вариацию признака, при анализе документального фонда библиотеки.
Контрольные вопросы к разделу 2.
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
И ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
1. Перечислите основные логические операции над высказываниями.
2. Какими свойствами обладают дизъюнкции, конъюнкции и отрицания для булевых функций.
3. Каковы возможности использования одноместных и многоместных
высказывательных форм при индексировании документов?
4. Охарактеризуйте возможности анализа сложных тематических запросов по средствам методов математической логики.
5. Какие существуют основные виды графов?
6. Какие операции выполняются над графами?
7. Охарактеризуйте представление графов в ЭВМ.
8. Опишите виды организации обслуживающих систем.
9. По каким признакам можно классифицировать системы массового
обслуживания.
10. Перечислите основные числовые характеристики, описывающие
систему массового обслуживания.
11. Какие условия должны быть выполнены в системе массового
обслуживания, чтобы поток заявок, поступающий на обслуживающий
канал, являлся простым?
12. Когда возникает неустановившийся режим в системе массового
обслуживания?
13. В чем различие замкнутой и разомкнутой систем массового
обслуживания?
14. Почему библиотеку можно рассматривать как систему массового
обслуживания?
15. Охарактеризуйте абонементное обслуживание в библиотеке с позиции теории массового обслуживания.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.2. Текущие контрольные работы
Текущая контрольная работа № 1
по разделу «СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ»
Обеспечивающие средства: Источники № 1, 2, 4 в списке литературы
данного учебно-методического курса.
Задания:
1. Распределение по годам выхода процитированных документов имеет следующий вид:
Год (xi)
2012
2011
2010
2009
2008
2007
Количество ссылок (ni)
31
26
17
35
4
19
Требуется построить по данному распределению выборки полигон и
кумулятивную кривую относительных частот.
2. В результате анализа деятельности одного из отделов библиотеки
были получены следующие данные о возрасте читателей, посетивших библиотеку за месяц: 22, 29, 49, 21, 32, 36, 26, 33, 32, 21, 33, 32. Требуется построить (вычислить) по данному распределению выборки: интервальный
вариационный ряд частот и относительных частот, гистограмму относительных частот.
3. Построить эмпирическую функцию распределения и её график
по данным выборки:
xi
6
9
11
ni
3
1
5
4. Книгообеспеченность в четырёх библиотеках с одинаковым объёмом фонда составляет соответственно 46, 53, 34 и 47 книг на одного читателя. Определить среднюю книгобеспеченность.
5. По имеющимся данным о ценах на платную услугу «Фактографический поиск» в различных библиотеках города рассчитать коэффициент
асимметрии распределения: 5, 5, 5, 4, 5, 5, 5, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 7, 5, 3, 5, 7, 5, 2.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Текущая контрольная работа № 2
по разделу «ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
И ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ»
Обеспечивающие средства: Источники № 6, 8, 9, 10 в списке литературы данного учебно-методического курса.
Задания:
1. Изобразите с помощью графа связи между таблицами А, Б, В, Г, Д,
Е базы данных, если:
- таблица А связана со всеми другими таблицами;
- таблица Б связана с Г и Д;
- таблица В связана со всеми таблицами, кроме таблицы Е.
Сколько вершин и сколько ребер имеет полученный граф?
2. Составить матрицы инцидентности и смежности для следующего
графа:
1
2
6 3
5
4
3. Упростить формулу A  ( x  y  x  y )  y .
4. Высказывание «Документы, распространяемые от имени государственных органов или общественных организаций, содержащие материалы
нормативного или директивного характера, являются официальными»
представить в виде логической формулы.
5. Оценить экономическую эффективность работы одного из отделов
библиотеки, имеющего трёх сотрудников (n = 3), предоставляющих платные услуги. В отдел поступают заявки от читателей с интенсивностью
λ = 5 заявки/ч. Среднее время обслуживания одной заявки t обсл  0,7 ч.
Каждая обслуженная заявка приносит доход с = 150 руб. Зарплата каждого
сотрудника составляет 100 руб./ч. Выгодно ли в экономическом отношении уменьшить число сотрудников, предоставляющих платные услуги
в отделе, до двух?
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.3. Тесты для самоконтроля
ТЕСТ к разделу 1. «СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ»
ЗАДАНИЕ № 1 (введите ответ)
Мода вариационного ряда 1, 2, 3, 4, 4, 6 равна…
Варианты ответов:
_______
ЗАДАНИЕ № 2 (выберите несколько вариантов ответа)
При организации случайного отбора используют следующие типы
выборок:
Варианты ответов:
1) нетривиальную;
2) случайную;
3) механическую;
4) оптимизационную;
5) комбинированную.
ЗАДАНИЕ № 3 (выберите один вариант ответа)
В результате анализа объема книговыдачи одного наименования некоторого издания в библиотеке были получены данные, записанные в виде
следующего ранжированного ряда: 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8. Укажите выборочные моду, медиану и среднее арифметическое объёма книговыдачи.
Варианты ответов:
1) (5; 7; 6);
2) (6; 7; 5);
3) (5; 6; 6);
4) (7; 5; 5).
ЗАДАНИЕ № 4 (выберите один вариант ответа)
Изменится ли средняя арифметическая величина, если все варианты
уменьшить на 5 единиц?
Варианты ответов:
1) уменьшится на 5 единиц;
2) уменьшится на определенное значение, зависящее от веса вариант;
3) не изменится;
4) увеличится на 5 единиц.
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЗАДАНИЕ № 5 (выберите один вариант ответа)
Средний темп роста определяется по формуле:
Варианты ответов:
1) средней арифметической;
2) средней гармонической;
3) средней геометрической.
ЗАДАНИЕ № 6 (введите ответ)
Совокупность всех возможных значений, или реализаций, исследуемых случайных величин называется …
Варианты ответов:
_______
ЗАДАНИЕ № 7 (выберите один вариант ответа)
Выборочный метод наблюдения основан на:
Варианты ответов:
1) случайном отборе единиц совокупности;
2) обследовании самых существенных единиц совокупности;
3) обследовании отдельных единиц совокупности, обычно представителей каких-либо новых типов явлений;
4) изучении всех единиц совокупности.
ЗАДАНИЕ № 8 (выберите один вариант ответа)
Средняя ошибка выборки зависит от:
Варианты ответов:
1) доверительной вероятности утверждения;
2) вариации значений признаков выборочной совокупности;
3) значения модального интервала.
ЗАДАНИЕ № 9 (выберите один вариант ответа)
Какой вид средней применяется для расчета среднегодовой численности пользователей библиотеки (известна численность на начало и конец
года)?
Варианты ответов:
1) средняя арифметическая;
2) средняя хронологическая;
3) средняя гармоническая;
4) средняя геометрическая.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЗАДАНИЕ № 10 (выберите варианты согласно тексту задания)
Установите соответствие между наименованием величины и её обозначением:
1) частота;
2) относительная частота;
3) выборочная средняя;
4) выборочное среднее линейное отклонение.
Варианты ответов:
A) x ;
B)  B ;
С) ni;
D) i .
ЗАДАНИЕ № 11 (выберите один вариант ответа)
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 70, полигон частот которой имеет вид
Тогда число вариант xi = 1 в выборке равно…
Варианты ответов:
1) 8;
2) 6;
3) 7;
4) 70.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЗАДАНИЕ № 12 (выберите один вариант ответа)
К атрибутивным группировочным признакам относятся:
Варианты ответов:
1) пол человека;
2) возраст человека;
3) среднедушевой доход семьи;
4) правильного ответа нет.
ТЕСТ к разделу 2. «ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
И ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ»
ЗАДАНИЕ № 1 (выберите один вариант ответа)
Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «и» называется:
Варианты ответов:
1) инверсия;
2) конъюнкция;
3) дизъюнкция;
4) импликация.
ЗАДАНИЕ № 2 (введите ответ)
Высказывание «а или b», которое ложно тогда и только тогда, когда
а и b одновременно ложны является …
Варианты ответов:
_______
ЗАДАНИЕ № 3 (выберите один вариант ответа)
Таблица, содержащая все возможные значения логического выражения, называется:
Варианты ответов:
1) таблица ложности;
2) таблица истинности;
3) таблица значений;
4) таблица ответов.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЗАДАНИЕ № 4 (выберите несколько вариантов ответа)
Какие из предложений являются высказываниями?
Варианты ответов:
1) Какие указатели содержит «Книжная летопись»?
2) Рассеяние публикаций – факт опубликования статей определённой
тематики в непрофильных журналах.
3) Назовите устройство ввода информации.
4) Это высказывание ложно.
ЗАДАНИЕ № 5 (выберите варианты согласно тексту задания)
Установите соответствие между логической операцией и её словесным выражением в повседневной речи:
1) импликация;
2) эквиваленция;
3) конъюнкция.
Варианты ответов:
A) x или y;
B) для того чтобы x, необходимо и достаточно, чтобы y;
C) x и y;
D) не x и не y;
E) если x, то y.
ЗАДАНИЕ № 6 (выберите один вариант ответа)
Сколько рёбер в полном графе с 20 вершинами?
Варианты ответов:
1) 180;
2) 200;
3) 190;
4) 20.
ЗАДАНИЕ № 7 (выберите несколько вариантов ответа)
Булевы функции можно задавать …
Варианты ответов:
1) формулой;
2) перечислением объектов;
3) таблицей истинности;
4) изображением элементов на плоскости.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЗАДАНИЕ № 8 (выберите один вариант ответа)
Матрица смежности
1

A   0
2

1 1 
0 0  удовлетворяет графу, в котором
2 2 
количество вершин:
Варианты ответов:
1) 3;
2) 4;
3) 5;
4) 6.
ЗАДАНИЕ № 9 (выберите варианты согласно тексту задания)
Установите соответствие между свойствами логических операций и
их формулами:
1) закон двойного отрицания;
2) закон де Моргана;
3) коммутативность дизъюнкции;
4) ассоциативность конъюнкции.
Варианты ответов:
A) a  b  a  b ;
B) a  a ;
C) a  b  a  b ;
D) a  (b  c)  (a  b)  c ;
E) a  b  b  a .
ЗАДАНИЕ № 10 (выберите один вариант ответа)
Что такое детерминированное время обслуживания?
Варианты ответов:
1) постоянное;
2) не превышающее заданной величины;
3) различное в зависимости от времени суток.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЗАДАНИЕ № 11 (выберите варианты согласно тексту задания)
Для графа
1
5 e h k a f g b 2
4 d
c
3
установите соответствие между вершинами и инцидентными им рёбрами:
1) 1;
2) 3;
3) 5.
Варианты ответов:
A) a;
B) h;
C) c;
D) b.
ЗАДАНИЕ № 12 (выберите один вариант ответа)
Как различаются системы массового обслуживания по характеру поступления требований?
Варианты ответов:
1) системы со случайными и регулярными потоками требований;
2) стационарные и регулярные системы;
3) системы со случайными и неслучайными потоками.
Ключи к тестам
ТЕСТ к разделу 1. «СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ»
1. – 4
2. – (2, 3, 5): случайную; механическую; комбинированную
3. – (3): (5; 6; 6)
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. – (1): уменьшится на 5 единиц
5. – (3): средней геометрической
6. – генеральной совокупностью
7. – (1): случайном отборе единиц совокупности
8. – (2): вариации значений признаков выборочной совокупности
9. – (1): средняя арифметическая
10. – (1 – C, 2 – D, 3 – A, 4 – B): частота – ni; относительная частота –
i ; выборочная средняя – x ; выборочное среднее линейное отклонение –
B
11. – (3): 7
12. – (1): пол человека
ТЕСТ к разделу 2. «ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
И ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ»
1. – (2): конъюнкция
2. – дизъюнкцией
3. – (2): таблица истинности
4. – (2, 4): Рассеяние публикаций – факт опубликования статей определённой тематики в непрофильных журналах. Это высказывание ложно.
5. – (1 – E, 2 – B, 3 – C): импликация – если x, то y; эквиваленция –
для того чтобы x, необходимо и достаточно, чтобы y; конъюнкция – x и y.
6. – (3): 190
7. – (1, 3): формулой; таблицей истинности
8. – (1): 3
9. – (1 – B, 2 – A, C, 3 – E, 4 – D): закон двойного отрицания – a  a ;
закон де Моргана – a  b  a  b , a  b  a  b ; коммутативность дизъюнкции – a  b  b  a ; ассоциативность конъюнкции – a  (b  c)  (a  b)  c .
10. – (1): постоянное
11. – (1 – A, 2 – C, 3 – B): 1 – a; 3 – c; 5 – h
12. – (1): системы со случайными и регулярными потоками требований.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.4. Вопросы к зачету по дисциплине
«Математические методы исследования»
1. Организация случайного отбора и типы выборок.
2. Погрешности выборочного метода при изучении рынка информационных ресурсов.
3. Табличное и графическое представление эмпирических данных.
4. Понятие эмпирической функции распределения, её свойства и график.
5. Структурные меры центральной тенденции.
6. Суммарные меры центральной тенденции.
7. Выбор и использование мер центральной тенденции при анализе
документальных и читательских потоков.
8. Показатели, характеризующие количественную вариацию признака.
9. Основные свойства показателей вариации.
10. Основные логические операции над высказываниями: понятие,
свойства.
11. Булевы функции n переменных: понятие, способы задания.
12. Применение булевых функций в информационном анализе.
13. Теория графов: основные понятия, элементы графов, их виды.
14. Операции над графами.
15. Пути и маршруты в графах.
16. Представление графов в ЭВМ.
17. Классификация систем массового обслуживания.
18. Показатели эффективности систем массового обслуживания.
19. Простейшая система массового обслуживания с отказами (задача
Эрланга).
20. Простейшая одноканальная система массового обслуживания
с неограниченной очередью.
21. Простейшая одноканальная система массового обслуживания
с ограничением по длине очереди.
22. Простейшая многоканальная система массового обслуживания
с неограниченной очередью.
23. Простейшая многоканальная система массового обслуживания
с ограничением по длине очереди.
24. Использование моделей систем массового обслуживания для анализа документальных и читательских потоков.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. УЧЕБНО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1. Список основной литературы
1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва:
ЮРАЙТ, 2012. – 480 с. // Университетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/
2. Карманов, Ф. И. Статистические методы обработки экспериментальных данных [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Ф. И. Карманов,
В. А. Острейковский. – Москва: Абрис, 2012. – 209 с. // Университетская
библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.
biblioclub.ru/book/117636/
3. Ключенко, Т. И. Математика в библиотечной профессии [Текст]:
учеб.-практ. пособие / Т. И. Ключенко. – Москва: Либерея-Бибинформ,
2009. – 160 с.
4. Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электронный учебник /
В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС,
2008. – Электрон. опт. диск (DVD-ROM).
6.2. Список дополнительной литературы
5. Васин, А. А. Исследование операций [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов / А. А. Васин, П. С. Краснощеков, В. В. Морозов. – Москва:
Издат. центр «Академия», 2008. – 464 с.
6. Вентцель, Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология
[Текст]: учеб. пособие / Е. С. Вентцель. – 5-е изд., стер. – Москва: КНОРУС, 2010. – 191 с.
7. Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:
ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – 447 с.
8. Игошин, В. И. Математическая логика и теории алгоритмов [Текст] /
В. И. Игошин. – 4-е изд., стер. – Москва: Издат. центр «Академия»,
2010. – 447 с.
9. Климов, Г. П. Теория массового обслуживания [Электронный ресурс] /
Г. П. Климов. – Москва: Изд-во Московского ун-та, 2011. – 311 с. //
Университетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=135301/
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Лихтарников, Л. М. Математическая логика. Курс лекций. Задачникпрактикум и решения [Текст]: учеб. пособие / Л. М. Лихтарников,
Т. Г. Сукачева. – Санкт-Петербург: Лань, 2009. – 277 с.
11. Тюрин, С. Ф. Дискретная математика: Практическая дискретная математика и математическая логика [Электронный ресурс] / С. Ф. Тюрин,
Ю. А. Аляев. – Москва: Финансы и статистика, 2010. – 385 с. // Университетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/63603/
12. Чашкин, А. В. Дискретная математика [Текст]: учебник / А. В. Чашкин. – Москва: Издат. центр «Академия», 2012. – 351 с.
6.3. Перечень полезных ссылок
Объект ссылки
Режим доступа
Информационная система «Единое
окно доступа к образовательным
ресурсам»
http://window.edu.ru
Математический портал
http://www.allmath.ru/
Математический сайт
http://www.math.ru/
Научная библиотека избранных
естественно-научных изданий
http://sernam.ru
Научная электронная библиотека
http://elibrary.ru/
Образовательный математический
сайт
http://www.exponenta.ru
Общеoбразовательный математический портал: математика, кибернетика
и программирование
http://www.artspb.com/
Электронная библиотека КемГУКИ
http://library.kemguki.ru/phpopac/
Электронная библиотечная система
«Университетская библиотека online»
Электронная образовательная среда
КемГУКИ
www.biblioclub.ru
http://moodle.kemguki.ru/
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7 . УЧЕБНО-СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
7.1. Перечень ключевых слов
Вершина графа
Маршрут в графе
Выборка
Медиана
- бесповторная
Метод выборочный
- механическая
Мода
- повторная
Отклонение
- серийная (гнездовая)
- среднее квадратическое
- с возвратом
- среднее линейное
- типическая (районированная)
Полигон распределения
Высказывание
Путь в графе
Гистограмма
Размах вариации
Граф
Ранжирование
Группировка
Ребро графа
- дискретная
Ряд вариационный
- интервальная
Система массового обслуживания
- комбинационная
Средняя
Дизъюнкция
- арифметическая
Дисперсия
- гармоническая
Импликация
- геометрическая
Конъюнкция
Теория игр
Коэффициент ассиметрии
Цепь в графе
Кривая кумулятивная
Цикл в графе
Эквиваленция
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение........................................................................................................ 3
1. Структура и содержание дисциплины.................................................. 6
1.1. Структура дисциплины......................................................................... 6
1.2. Содержание дисциплины.................................................................... 9
2. Учебно-теоретические материалы.......................................................... 11
2.1. Конспекты лекций по дисциплине..................................................... 11
3. Учебно-практические материалы........................................................... 56
1.1. Описания практических работ............................................................ 56
4. Методические материалы........................................................................ 78
4.1. Методические указания по работе с литературой............................ 78
4.2. Методические указания по выполнению контрольных работ....... 79
4.3. Описание образовательных технологий............................................ 80
4.4. Материально-техническое обеспечение дисциплины...................... 81
5. Контрольно-измерительные материалы................................................ 81
5.1. Контрольные вопросы по дисциплине............................................... 81
5.2. Текущие контрольные работы............................................................ 83
5.3. Тесты для самоконтроля...................................................................... 85
5.4. Вопросы к зачету по дисциплине........................................................ 93
6. Учебно-библиографическое и информационное обеспечение дисциплины........................................................................................................ 94
6.1. Список основной литературы.............................................................. 94
6.2. Список дополнительной литературы.................................................. 94
6.3. Перечень полезных ссылок................................................................. 95
7. Учебно-справочные материалы.............................................................. 96
7.1. Перечень ключевых слов..................................................................... 96
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Редактор В. А. Шамарданов
Компьютерная верстка М. Б. Сорокиной
Подписано в печать 04.07.2014. Формат 60х841/16. Бумага офсетная.
Гарнитура «Таймс». Уч.-изд. л. 3,5. Усл. печ. л. 5,7.
Тираж 300 экз. Заказ № 74.
_______________________________________________________
Издательство КемГУКИ: 650029, г. Кемерово,
ул. Ворошилова, 19. Тел. 73-45-83.
E-mail: izdat@kemguki.ru
98
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
806 Кб
Теги
139
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа