close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

996

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”
(ФГБОУ ВПО «ВГУ»)
МАТЕМАТИКА
Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
Воронеж
2012
Ю.Б. Савченко
С.А. Ткачева
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
Утверждено научно-методическим советом математического
факультета
14 декабря 2012 года протокол № 0500-09
Рецензент: д.ф-м. н., проф. Костин В.А.
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в
частных производных и теории вероятностей математического факультета
Воронежского государственного университета
Рекомендуется для студентов 1 курса очной формы обучения
геологического факультета, обучающихся по специальностям:
020700 – геология
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
1. Предел переменной величины.
1.1. Предел числовой последовательности.
Число a называется пределом последовательности x1 , x2 ,...,xn ,…:
lim xn  a ,
n
если для любого   0 существует число N  N ( ) такое, что
xn  a   при n  N .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Последовательность  n  называется бесконечно малой, если
lim  n  0
n
Последовательность xn  называется бесконечно большой, если
Для любого числа E  0 существует номер N такой, что при n  N
выполняется неравенство | xn | E .
Теорема 1.1. Если xn  - бесконечно большая последовательность, то
1
 ,
 xn 
( x n  0) -
бесконечно малая последовательность,
бесконечно малая последовательность, то
если  n 
-
1 
  , ( n  0) - бесконечно
 n 
большая последовательность.
1.2. Предел функции.
Число A называется пределом функции f (x ) при x  a , если для любого
  0 , что при
 0
сколь угодно малого
найдется такое
0  x  a    f ( x)  A   . Пишут lim f ( x)  A .
x a
Аналогично
lim f ( x)  A ,
x
если | f ( x)  A   при | x | N ( ) .
Запись lim f ( x)   означает, что
xa
f ( x)  E при 0  x  a   (E ) , где E
- произвольное положительное число.
Односторонние пределы. Если x  a и x  a , то условно пишут
x  a  0 ; аналогично, если
x  a и x  a , то это записывают как
x  a  0 . Числа
f (a  0)  lim f ( x) и f (a  0)  lim f ( x)
xa 0
xa 0
называются соответственно пределом слева функции f (x ) в точке a и
пределом справа функции f (x ) в точке a (если эти числа существуют).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
Для существования предела функции f (x ) при x  a необходимо и
достаточно, чтобы имело место равенство f (a  0)  f (a  0) .
1
 0 . При каких значениях n  N будет
n n
Пример 1. Доказать, что lim
выполнено неравенство
1
 0,001?
n
1
1
  будет выполняться, когда n  . В
n

1
1 
качестве N можно взять целую часть   числа . Таким образом, для

 
1
1 
1 
любого   0 можно указать N    , такое что для всех n     1  будет

 
 
Решение. Неравенство  n 
выполняться неравенство
последовательность
неравенство
N  1000 .
1
n
1
  . Таким образом, согласно определению,
n
является
бесконечно малой. Пусть   0,001 ,
1
1
будет иметь место, когда n  1000 , следовательно,

n 1000
1

Пример 2. Доказать, что lim  4  n   4 .
n
3 
Решение. Возьмем произвольное число   0 и составим разность
1
1
xn  a  4  n  4   n .
3
3
Потребуем, чтобы эта разность по абсолютной величине была меньше  ,
1
1
т.е., n   ,  3n . Логарифмируя обе части неравенства, получим

3
1
lg
1
lg  n lg 3 , откуда n   . В качестве числа N можно взять меньшее из
lg 3

1
lg
 . Тогда при всех
двух целых чисел, между которыми заключено число
lg 3
n  N указанное неравенство будет выполняться, а это значит, что
1

lim xn  lim  4  n   4 .
n
n
3 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5
Замечание.
1
 0 , т.е. величина
n 3n
Одновременно доказано, что lim
1
1
есть
бесконечно
малая
величина
lim
 0.
n 3n
3n
3x  7 3
Пример 3. Доказать, что lim
 .
x 7 x
7
Решение. Для доказательства достаточно убедится, что разность между
3x  7
3
переменной величиной y 
и постоянной A 
при x   есть
7x
7
величина бесконечно малая.
Преобразуем эту разность
3x  7 3 3x  7  3x 1
 
 .
7x
7
7x
x
1
Так как величина
при x   является бесконечно малой, то
x
3x  7 3
   , где  - бесконечно малая.
7x
7
n 
Контрольные примеры
1. Начиная с какого номера значения каждой из последовательностей:
1
1
1
1) xn  ;
2) y n  2 ;
3) z n  4 , ( n  1,2,3,...)
n
n
n
становятся и остаются меньше   0,0001 ? Показать, что каждая
последовательность имеет пределом нуль.
2. Доказать, что каждая из последовательностей
(1) n
1
1
xn  n ,
yn   n , zn  n
2
2
2
имеет пределом нуль. Начиная с какого номера значения каждой из них по
абсолютной величине остаются меньше   0,001 ?
3. Даны три последовательности:
(1) n
1
1
xn  2  n ;
yn  3  n ;
zn  7  n .
4
5
6
Доказать, что:
1) lim xn  2 ;
2) lim yn  3 ;
3) lim z n  7 .
n
4. Доказать, что:
4x  5 4
 ;
1) lim
x 5 x
5
3) lim (5 x  8)  3 ;
x1
n
n
2) lim (4 x  7)  5 ;
x3
4) lim (3x 2  4 x  6)  10
x2
Найти односторонние пределы при
следующих функций:
x  2 слева и справа для
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6
8
4
; 2) f ( x ) 
;
2x
( x  2) 2
1) f ( x ) 
3)
f ( x) 
1
2

2 x;
4) f ( x )  arctg
1
.
2 x
1.3. Нахождение пределов
Практическое вычисление пределов основывается на следующих
теоремах:
Если существуют конечные пределы lim f ( x) и lim g ( x) , то
xa
1)
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) ;
2)
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) ;
xa
xa
xa
xa
xa
xa
xa
3)
lim c  f ( x)  c lim f ( x) , (c  const ) ;
4)
lim  f ( x)  lim f ( x) , ( n - целое число, n  0 );
5)
f ( x)
f ( x) lim
x a
lim

(при lim g ( x)  0 );
x a g ( x )
xa
lim g ( x)
xa
n
xa

xa

n
xa
x a
n
f ( x)  n lim f ( x) ;
6)
lim
7)
lim c  c (c  const ) .
xa
xa
x a
Пример 4. Найти lim (3x 2  2 x  4) .
x1
Так как предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме
пределов, и константу можно выносить за знак предела, то
lim (3x 2  2 x  4) = 3 lim x 2  2 lim x  lim 4 = 3 ·12 +2·1-4=1.
x1
x1
x1
x1
Замечание 1. Чтобы вычислить предел многочлена
Pn ( x)  b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n
при x  a достаточно найти Pn (a ) , например,
lim (3x 5  4 x 4  3x 3  2 x 2  4) =
x1
= 3(1)5  4(1) 4  3(1)3  2(1) 2  4  3  4  3  2  4  4 .
5x 2  4 x  7
Пример 5. Найти lim 2
.
x1 x  2 x  3
Так как предел частного равен частному пределов,
(5 x 2  4 x  7) 5  12  4  1  7 2
5 x 2  4 x  7 lim
x1
  2.
=
= 2
lim 2
x1 x  2 x  3
1  2 1  2
1
lim ( x 2  2 x  3)
x1
то
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7
Замечание 2. Если P(x ) и Q(x ) - целые многочлены и P(a )  0 и
P( x)
lim
находится
Q(a)  0 , то предел рациональной дроби
xa Q ( x )
P( x) P(a)

непосредственно, т.е. lim
.
x a Q ( x )
Q(a)
P( x )
Если же P(a)  Q(a)  0 , то дробь
рекомендуется сократить
Q( x )
один или несколько раз на x  a .
Пример 6.
x2  4
( x  2)( x  2)
x2
lim 2
 lim
 lim
 4.
x 2 x  3 x  2
x2 ( x  2)( x  1)
x2 x  1
Замечание 3. При отыскании предела отношения многочленов
относительно x , при x   оба члена отношения разделим на x n , где n наивысшая степень этих многочленов.
 nm
2
n
 an
a0  a1 x  a2 x  ...  an x
lim R( x) 
  ,n  m
x a
b0  b1 x  b2 x 2  bm x m
 bn n  m
 0
Предел частного двух многочленов при x   равен отношению
коэффициентов при старших членах,
если степени числителя и
знаменателя равны; предел этот равен 0 или  , если степень числителя
соответственно меньше или больше степени знаменателя.
2 x  3(3x  5)(4 x  6) .
Пример 7. Найти lim
x
3x 3  x  1
Решение.
3
5
6

 2  (3  )(4  )
2 x  3(3x  5)(4 x  6) = lim  x  x
23 4
x

8.
lim
x
x
1
1
3
3x 3  x  1
3 2  3
x
x
Выражения, использующие иррациональности,
рациональному виду путем введения новой переменной
1 x 1
Пример 8. Найти lim 3
.
x0 1  x  1
Решение. Полагая 1  x  y 6 ,
Имеем:
y 2  y  11 3
1 x 1
y3  1
lim 3
 lim
= lim
= .
yx1
x0 1  x  1 y 1 y 2  1
y 1
2
приводятся
к
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8
sin 2 x
Пример 9. Найти lim
.
x 1  cos3 x
Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, сокращая
на множитель 1  cos x  0 , получим
sin 2 x
1  cos2 x
(1  cos x)(1  cos x)
lim

lim

lim

x 1  cos3 x
x 1  cos3 x
x (1  cos x )(1  cos x  cos2 x )
1  cos x
1  (1)
2
 lim


.
x 1  cos x  cos2 x
1  (1)  (1) 2 3
1  3  5  ...  (2n  1)
Пример 10. Найти lim
.
x
1  2  3  ...  n
Решение. Числитель и знаменатель дроби являются суммой n членов
соответствующих арифметических прогрессий. Находя эти суммы, получим
1  (2n  1)
n
1  3  5  ...  (2n  1)
1  (2n  1)
2
lim
 lim
 lim

x
x
x
1 n
1  2  3  ...  n
1

n
n
2
2n
1
 lim
 2 lim
 2.
x n  1
x
1
1
n
Имеют место два замечательных предела
sin 
 1,
1) lim
(8)
 0

1
2) lim 1     e ,
(9)
При нахождении пределов вида
 ( x)
lim  ( x)
C
( 10 )

 0
xa
следует иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы lim  ( x)  A и
2)
xa
lim  ( x)  B ,
xa
то C  AB ;
(11)
3) если lim  ( x)  A  1 и lim  ( x)   , то вопрос о нахождении
xa
xa
предела (10) решается непосредственно;
4) если lim  ( x)  1 и lim  ( x)   , то полагают  ( x) 1   ( x),
xa
xa
где  (x)  0 при x  a и, следовательно,

C  lim 1   ( x) 
xa
1
 ( x)

 ( x ) ( x )
lim  ( x ) ( x )
 e x a
lim  ( x )1 ( x )
 e x a
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9
sin x
.
x0
x
Пример 11. Найти lim
Решение. Положим
x   , откуда x 

a
. Если x  0 , то и   0 ,
sin x
sin 
sin 
 lim
 a lim
 a 1  a .
x0
 0 
x0 
x
a
sin x
Пример 12. Найти lim
.
x0 sin bx
Решение. Разделив числитель и знаменатель на x , (см. пример 11)
получаем
sin x
sin x
lim
sin x
x0
x a.
lim
 lim x 
x0 sin bx
x0 sin bx
sin bx b
lim
x0
x
x
x
 k
Пример 13. Найти lim 1   .
x
x
 k
Решение.
При
выражение
получаем
x 
1    1 ,
x



неопределенность 1 .
k
k
Введем новую переменную  по формуле
  , откуда x  .
x

Если x   , то   0 , поэтому
поэтому lim
k
x
k
1


 k
lim 1    lim 1     lim 1    
x
 0 
x   0

Пользуясь свойством (4) и формулой (9), получим
k
k
1
1




lim 1       lim 1      e k
 0 

 0

x
x
 k
 3
k
Следовательно, lim 1    e . В частности, при k  3 , lim 1    e 3 ,
x
x
x
x
x
 2
при k  2 получаем lim 1    e 2 .
x
x
ln(1  x)
Пример 14. Найти lim
.
x0
x
1
ln(1  x) 1
Решение. Так как
 ln(1  x)  ln(1  x) x ,
x
x
формулы (9) находим
то на основании
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10
1
1




ln(1  x)
lim
 lim ln(1  x) x   ln lim (1  x) x   ln e  1.
x0
x0
x


 x0

 sin 3x 
Найти lim 

x0
x 
Пример 14.
x2
.
Решение. Это предел вида (10), где  ( x) 
sin 3x
,  ( x)  x  2 . Так как
x
 sin 3x 
lim 
  3, и lim ( x  2)  2 , то в соответствии с
x0
x0
x 
формулой (11) получаем
x2
 sin 3x 
2
lim 
  3  9.
x0
x 
(см. пример 11),
Контрольные примеры
Найти пределы:
 2
1. lim 1  
n
n
n
ln(1  4 x)
x0
x
1
2. lim 1  3x  x
3. lim
x0
 x 1 
5. lim 

x x  3 
4. lim xln(1  x)  ln x
x
x
sin
x
x
5
1
 xn
6. lim 
7. lim
8. lim x sin

x x  m 
x0
x 
x
x
sin ax
arctgx
arctgx
9. lim
10. lim
11. lim
x0 tgbx
x0
x0
x
x
x
sin 3
1  cos x  tg 2 x
sin( x  1)
2
12. lim
13. lim
14. lim
x0 x 3  1
x0
x0 x 3
x sin x
x 3
x

x2
x
 sin 
2x 1 
2x  1 


2
 16. lim 
15. lim 
17. lim 


x 3 x  4 
x 4 x  3 
x 0  x 




1
1
18. lim cos x  x
x0
21. lim sin x 
x0
2
tg x
x

2
1
19. lim cos x  x2

22. lim 1  tg 2 x
x0
20. lim 1  sin x  x

2 ctg 2 x
x0
23. lim
x0
sin x
.
x9 3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11
1.4. Сравнение бесконечно малых величин
1º. Бесконечно малые.
Если lim  ( x)  0 , т.е. если
xa
при 0  x  a   ( ) , то функция  (x) называется
бесконечно малой при x  a .
Пусть
 (x) и
 (x) бесконечно малые при x  a . Если
 ( x)
lim
 1,
( 12 )
x a  ( x )
то бесконечно малые называются эквивалентными. Пишут:
 ( x) ~  ( x) .
Теорема 1.3. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то
этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых
 (x)  

 m, ~ 1 ,  ~ 1 ,
x a 
эквивалентной ей бесконечно малой, то есть если lim
то
1

 lim  m .
x a 
x a 
1
lim
( 13 )
Полезно использовать эквивалентность следующих бесконечно малых:
если   0 , то
sin  ~  , tg ~  , arcsin ~  , arctg ~  ;
( 14 )
m

ln 1    ~  , a  1 ~  ln a, 1     1 ~   m ;
а также значения некоторых пределов:
ln(1   )
( 15 )
lim
1 ,
 0

lim
 0

a 1

 ln a ,
m

1   1
lim
 m.
 0

( 16 )
( 17 )
Здесь    (x) - бесконечно малая функция.
sin  x  3
Пример 15. Найти lim 2
.
x 3 x  4 x  3
sin( x  3) ~ x  3
Решение. При x  3 , x  3  0 , следовательно,
(см. (14)) . Используя (13) и теорему об эквивалентности бесконечно малых,
имеем
sin x  3
x3
1
1
lim 2
 lim
 lim
 .
x 3 x  4 x  3
x 3  x  3 x  1
x 3 x  1
2
cos 4 x  cos 2 x
.
Пример 16. Найти lim
x 0
arcsin 2 3x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12
Решение. По формуле тригонометрии
4x  2x
4x  2x
cos 4 x  cos 2 x  2 sin
sin
 2 sin 3x sin x.
2
2
При x  0 sin 3x ~ 3x, sin x ~ x, arcsin 3x ~ 3x , то есть arcsin 3x 2 ~ 3x 2 .
Поэтому
cos 4 x  cos 2 x
 2 sin 3x sin x
 2  3x  x
2
lim

lim

lim


.
2
x 0
x 0
x 0
3
arcsin 2 3x
arcsin 2 3x
3x 
1. lim
n
Контрольные примеры
sin x  sin a
2. lim
n 1  n
x a
xa


sin x  cos x

  4x
x
5. lim
sin 2 x
x0 ln(1  x )
8. lim
4. lim
cos mx  cos nx
x0
x2
3. lim
tgx
x2 x  2
1  cos5 x
x0 1  cos 3 x
6. lim
4
7. lim
x1
2x  3
10. lim
x x  3 x
13. lim
x3
arcsin
5
x0
11. lim
x 2  23 x  1
x  12
x1
x
x1
x 1
x 1
12. lim
x1
4  x  x2  2
x 1
 x 8
14. lim 

x x  2 
sin 3x  sin 5 x
x0 ( x  x 3 ) 2
17. lim
cos x  cos 2 x
x0
1  cos x
20. lim
16. lim
x
ln x
x1 1  x
x
1  x2
ln(1  x)
x0
21. lim
3
9. lim 3
x2  2x  6  x2  2x  6
x2  4x  3
 x 
15. lim 

x x  1 
18. lim
x 1
x 1
1 x 1
x
19. lim
1
1
1

x
22. lim
x0
x
3
ln(1  ax)
x0
x
ln( 3x 2  5 x  21)
x 2
x2  6x  8
23. lim
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13
2. Производная и дифференциал
2.1. Определение производной
Производной функции y  f (x) в точке x
называется конечный
предел при x  0 отношения приращения функции в этой точке к
приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).
f x  x   f ( x)
f
(1)
lim
 lim
 f / ( x) .
x0
x0 x
x
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Пример 1. Найти производную функции f ( x)  x 2 .
Решение. Давая аргументу x
приращение
x . Найдем
соответствующее приращение функции
f  f ( x  x)  f ( x)  ( x  x) 2  x 2  x 2  2 xx  (x) 2
Составим отношение
f 2 xx  ( x ) 2

x
x
Найдем предел этого отношения при x  0 .
f
2 xx  (x) 2
lim
 lim
 2x .
x0 x
x0
x
Следовательно, производная функции f ( x)  x 2 равна 2 x , что можно
записать так: ( x 2 )  2 x.
Геометрический смысл производной
Касательная в геометрии определяется как прямая, имеющая с
окружностью одну общую точку. Такое определение касательной не может
быть перенесено на все кривые. Если применить его к параболе
, то в
начале координат обе координатные оси подошли бы под это определение.
Для введения определения касательной к прямой рассмотрим функцию
и ее график. Путь точка
— фиксированная
точка
графика функции,
соответствующая
значению
аргумента
; точка
— соответствует значению аргумента
.
Проведем через точки
прямую и назовем ее секущей.
Определение. Касательной к графику функции y  f (x) в точке
будем называть предельное положение секущей M0 M при стремлении точки
M графика функции к точке M0 или, что то же самое, при стремлении x к
нулю (если оно существует).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14
Уравнение секущей, проходящей через две точки, M и M0 имеет вид:
y  f ( x0 ) 
f x0  x   f ( x0 )
( x  x0 ) .
x
Если функция y  f (x) дифференцируема в точке ( x  x0 ) , то
предельное положение секущей M0 M , при стремлении точки M к точке
M0 (при x  0 ) существует, и ее уравнение (уравнение касательной к
графику функции y  f (x) в точке M0 следующее
y  f ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) .
Итак, производная f ( x0 ) равна угловому коэффициенту касательной
к графику функции y  f (x) в точке M0 , т.е. тангенсу ее угла наклона к оси
Ox.
1º. Основные правила нахождения производной.
Пусть C  const , u  u(x), v  v(x) - дифференцируемые функции.
Тогда:
/
/
1) C /  0;
2) Cu   Cu / ;
3) u  v   u /  v / ;
4)
6)
uv 
/
/
 u v  uv ;
если
/
/
y  f (u),
/
/
 u  u v  uv
;
5)   
v2
v
u  u(x), имеют
производные,
то
y / ( x)  y / (u)  u / ( x) (правило дифференцирования сложной функции).
7) Пусть y  f (x) и x   ( y ) - взаимно обратные функции, y  f (x)
имеет производную ( f (x)  0 ), тогда обратная функция имеет
1
производную xy 
.
y x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15
2º. Таблица производных основных функций
1. ( x n )  nx n1 .
1
2. ( x ) 
( x  0) .
2 x
3. (sin x)  cos x .
4. (cos)   sin x .
1
5. (tgx) 
.
cos2 x
1
6. (ctgx)   2 .
sin x
1
7. (arcsin x) 
(| x | 1) .
1  x2
1
8. (arccosx)  
(| x | 1) .
1  x2
1
9. ( arctgx ) 
.
1  x2
1
10. ( arctgx )  
.
1  x2
11. (a x )  a x ln a .
12. (e x )  e x .
1
13. (ln x)  , ( x  0) .
x
1
14. (log a x) 
, ( x  0, a  0) .
x ln a
15. ( shx )  chx .
16. (chx )  shx .
1
17. (thx )  2 .
ch x
1
18. (cthx )   2 .
sh x
1
19. ( Arshx ) 
1  x2
1
(| x | 1) ,
20. ( Archx)   2
,
x 1
1
21. ( Arthx ) 
, (| x | 1) .
1  x2
1
(| x | 1) .
22. ( Arcthx)   2
,
x 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16
3º. Производная степенно-показательной функции.
u 
v /
(2)
 v  u v1  u /  u v  ln u  v / ,
где u  u( x), v  v( x) - дифференцируемые функции.
4º. Логарифмическая производная
Логарифмической производной функции y  f (x) называется производная
от логарифма этой функции, т.е.
y  f ( x)
(ln y )  
(3)
y
f ( x)
2.2. Вычисление производных
Найти производные функций
1
2
5
Пример 1. y  x 6  x 5  x 3  2 x  7 .
6
5
3
Решение. Пользуясь правилами нахождения производной, получим
1
2
5
y  ( x 6 )  ( x 5 )  ( x 3 )  2 x  (7)
6
5
3
3
Пример 2. y  x cos x .
Решение. Применим формулу для производной произведения
y  ( x 3 ) cos x  x 3 (cos x)  3x 2 cos x  x 3 sin x .
2x2  1
Пример 3. y 
.
cos x
(2 x 2  1) cos x  (2 x 2  1)(cos x) 2 x cos x  (2 x 2  1) sin x
Решение. y 
.

cos2 x
cos2 x
2
Пример 4. y  3 x 2 
.
x

2 
1 
3

 

1
2  13
2
1





2
3
3
2
Решение. y   x  2
.
   x   2 x   x  x 2  3 
3 x x x
 x  
  3
Пример 5. y  cos2 x .
Решение. Это сложная функция, ее можно представить в виде: y  u 2 , где
u  cos x . Тогда по формуле дифференцирования сложной функции, получим
y  y(u)u( x)  2 x cos x sin x   sin 2 x .
 
Пример 6. y  earcsinx
Решение. u  arcsin x,
ye ;
Пример 7. y  ctg 3 x 4  5 .
u
y  e  u 
u
arcsin x
e
1  x2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17
y  u 3 , u  ctgv; v  w , w  x 4  5 .
Решение.
Следовательно,


1
1

y   y (u )u (v)v( w) w( x)  3  ctg 2 x 4  5   
 4x3 .

2
4
4
 sin x  5  2 x  5
Пример 8. y  x 3 cos2 x 5 .
Решение. Эта функция представляет произведение двух функций, одна из
которых – сложная
y   ( x 3 cos2 x 5 )  ( x 3 ) cos2 x 5  (cos2 x 5 ) x 3  3x 2 cos2 x 5  2 cos x 5 sin x 5  5 x 4 x 3 
 3x 2 cos2 x 5  5 x 7 sin 2 x 5  x 2 (3 cos2 x 5  5 x 5 sin 2 x 5 ).
sin 3 x
Пример 9. y 
.
x
e
Решение. Эта функция представляет частное двух функций, одна из которых
– сложная.
(sin 3 x)e x  (e x ) sin 3 x e x (sin 3 x  3sin 2 x cos x) sin 2 x(sin x  3 cos x)
.
y 


e2x
e2x
ex
2
x
Пример 10. y  arccos x  e .
2
Решение. y   (arccosx)  (e x )  
1
1  x2
2
 2x  e x .
Пример 11. y  arctg x 2  1 .
1
1
2x
Решение. y 
.
 ( x 2  1) 
 2x 
2
2
2
2
1

x

1
2

x
1 x 1


Пример 12. y  1  e 2 x  arccosx .
Решение.

y   1  e 2 x  arccosx  1  e 2 x  (arccosx) 


2e 2 x
2 1  e2x
Пример 13. y  x x .
Решение. Логарифмируем по основанию e .
ln y  x ln x .
Дифференцируя, находим
y
1
y
 1  ln x  x  ;
 ln x  1 .
y
x
y
Откуда
y  x x (ln x  1) .
Пример 14. y  x cos x .
Решение.
ln y  cos x ln x ;
y
1
  sin x  ln x  cos x  ,
y
x
arccosx 
1  e2x
1  x2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18
следовательно,
y   x cos x  ln x sin x  e cos x1 cos x .
Пример 15. Найти точку, в которой касательная к графику функции
перпендикулярна прямой
составить уравнение
этой касательной.
Решение.
Прямые
взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда
.
Уравнение касательной к графику функции
в точке
имеет
вид:
Для того, чтобы эта прямая была перпендикулярна прямой
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
Отсюда
находим что касательная, проведенная к графику функции
перпендикулярна данной прямой только в точке
.подставляя
значение
в уравнение, получим
Контрольные примеры
3
( ax  b)
10
1. y  (ax  b) .
2. y 
.
c
4. y  1  x 2 .
3. y  ( 2 x 2  3)10 .
5
 x 1 
5. y  

x x
1
1
7. y 
.

3 cos3 x cos x
9. y  sin 9 (7 x  9)
11. y  cosx 5 .
13. y  3 sin 2 x 
1
.
cos3 x
6. y  3 x  x  1
8. y  cos5 (3x  1) .
x
sin 3x  9
3sin x  2 cos x
12. y 
.
5
10. y 
14. y  sin 2 x  5
15. y  1  arcsin x .
16. y  tg 5 ( 2 x 2  1) .
17. y  ln 3 (5 x  1) .
18. y  arctgx  (arcsinx) 3 .
 1 1
19. y  ln 1    .
x x

20. y  ln( x 2  1) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19
2 x
.
2 x
3x  x 3
23. y  arctg
.
1  3x 2
1  x3
25. y  arccos
.
1  x2
27. y  arcsin(ln x) .
21. y  ln
29. y  arctg
3sin 
.
1  x cos
31. y  ln(arcsin 5x) .
33. y 
arccosx
1 x
2
.
35. y  arccos 1  2 x .
2
37. y  e cos
x
ctg
1
x
39. y  3
47. y  x
x
.
1 x
.
1 x
26. y  2 x  tg 2 x  ln cos 2 x  2 x 2 .
28. y  arcsin(1  x)  2 x  x 2 .
x
5tg  4
2
2
30. y  arctg
.
3
3
tgx
32. y   2arcctg
 x.
2
1
1

x  x2 .
34. y   x   arcsin x 
2
2

2
36. y  sin 2 x  e 2 cos x .
1
38. y   e  x (3sin 3x  cos3x)
10
2
x 3 cos x
.
42. y  ctgx  .
x
1
ln
x x.
 1
45. y  1  
x

24. y  arcctg
40. y  2cos
.
41. y  x arcsin x .
43. y 
22. y  ln sin xtg x  x .
3
44. y  x sin x .
x
46. y  ( arctgx ) x .
2
48. y  x x .
x
49. y  x x
50. y  (cos x) sin x
51. Составить уравнение касательной
в точке с абсциссой
.
52. Найти на графике функции
которой касательная параллельна прямой
этой касательной.
к
графику
функции
такую точку, в
, и составить уравнение
2.3. Производные неявных функций
Если дифференцируемая функция y  y(x) удовлетворяет уравнению
F ( x, y )  0 ,
(4)
то производная y  y(x) этой неявной функции находят, дифференцируя
обе части уравнения (4), рассматривая y как функцию от x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20
d
( F ( x, y ))  0 .
dx
Пример 1. Найти производную неявной функции x 3  y 3  3xy  0 .
Решение. Дифференцируя, получим
3x 2  3 y 2 y  3( y  xy)  0 ,
x 2  y 2 y  y  xy  0 ,
откуда
x2  y

y 
.
x  y2
Пример 2. Найти y x при x  1 , если x ln y  y ln x  1 .
Решение. Это уравнение определяет y как неявную функцию x .
Дифференцируем по x
x
y
ln y  y   y  ln x   0
y
x
x
 y

yx   ln x     ln y   0 .

y
 x
Откуда
y

  ln y 
x
.
y x  
x

  ln x 
y

Чтобы найти y x при x  1 необходимо еще определить значение y ,
соответствующее данному значению x .
Подставляя значения x , y в формулу для производной, получим
e  ln e  , y  e  1 ,
yx  ee  1.
y x 
x
1
1

  ln 1
e
e

Пример 3. Вычислить значение производной функции, заданной
неявно xy 2  4 в точке М(1,2).
Решение. Найдем производную: y 2  2 xyy  0 ,
откуда
y
y   .
2x
Подставляя в правую часть последнего равенства значение x  1, y  2 ,
получаем
2
y  
, y  1.
2 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21
Пример 4. Найти производную функции
x2 y2

 1 ..
4
9
9x
x 2 yy 
y   .

 0.
4y
2
9
Пример 5. Найти производную y x , если r  a (спираль Архимеда).
Решение. Так как x   cos ; y   sin  , то 1   x cos   sin  x
dy
  x sin    cos x ,
dx
d x  yy d xy  y

;

откуда
.
dx

dx
2
d
d
Продифференцируем обе части уравнения по x
, получим
a
dx
dx
x  yy 
xy   y
a
,
2
Решение.


тогда
( y  ax) y   x  ay .
Выразим отсюда y x
y 
x 
x  ay
,
ax  y
y 

y

,

x  y

x  y  cos  sin 
tg  
y 

, y 
,
x  y cos   sin 
1  tg
y  tg (  arctg )
Контрольные примеры
Найти производные неявных функций.
1. 2 x  5 y  10  0 .
2. x 2  y 2  4 xy  0
3. xy 2  x 2 y  2 .
4. x  sin y  0 .
x2 y2
5. 2  2  1 .
6. x 3  y 3  a 3
a
b
3
7. x  x 2 y  y 2  0
8. e y  x  y .
2
3
2
3
2
3
x  y  a.
x y
11. y 3 
.
x y
13. ln y  2 x  0 .
10. x  y  a .
15. tgy  xy .
16. a cos2 ( x  y)  b
9.
17. xy  arctg
x
.
y
12. y  0,3sin y  x .
14. y 2  x 4  x 2 .
18. arctg ( x  y )  x .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22
19. arctg
y 1
 ln( x 2  y 2 ) .
x 2
21. ln x  e
23. Найти
24. Найти
25. Найти
26. Найти
27. Найти
28*. Найти

y
x
20.
x 2  y 2  c  arctg
y
.
x
x
c
y
y x в точке М(1,1), если 2 y  1  xy 3 .
x
y x в точке А(1,1), если  xy  2 .
y
y x при x  2 и y  1 , если ( x  y )3  27( x  y ) .
y x при x  0 и y  1 , если ye y  e x1 .
y
y x при x  1 и y  1 , если y 2  x  ln .
x
y x при y  0 , если x cos y  sin y  sin 2 y  1.
 c.
22.
ln y 
2.4. Производные высших порядков
Производные высших порядков от функции y  f (x) определяются
последовательно соотношениями f n ( x)  ( f ( n1) ( x)), n  2,3,...
Механический смысл второй производной. Если y  f (x)
закон прямолинейного движения точки, то y  f (x) - ускорение этого
движения.
Пример 1. Найти производную второго порядка функции y  cos 2 x .
Решение.
Дифференцируя,
получим
первую
производную
y  2 cos x( sin x)   sin 2 x . Дифференцируя еще раз, получим искомую
производную второго порядка
y  ( sin 2 x)  2 cos x .
Формула Лейбница для производной n -го порядка для произведения
двух функций
n(n  1) ( n2)
(u  v) ( n )  u ( n ) v  nu ( n1) v 
u
v  ...  nu v ( n1)  uv ( n ) .
2!
Пример 2. Найти производную третьего порядка функции
y  5x 2  4 x  28 .
Решение. y  10 x  4, y  10, y  0.
Пример 3. Найти производную четвертого порядка функции y  sin x .
Решение. y  cos x, y   sin x, y   cos x, y ( 4)  sin x.
Пример 4. Найти производную четвертого порядка функции y  a x .
Решение. y  a x ln a,
y  a x (ln a) 2 ,
y  a x (ln a)3 ,
y ( 4)  a x (ln a) 4 .
Замечание. (a x ) ( n)  a x (ln a) n .
Пример 5. Найти производную десятого порядка для функции порядка
функции y  e x ( x 3  2) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23
Решение. Применяя формулу Лейбница, получим
y 
10  9 x (8) 3
10  9  8 x (7 ) 3
 (e x ) (10) ( x 3  2)  10(e x ) (9) ( x 3  2) 
(e ) ( x  2) 
(e ) ( x  2).
2
1 2  3
Все последующие слагаемые равны нулю, так как все высшие производные
от функции ( x 3  2) , начиная с четвертой, обращаются в нуль. Так как
производные любого порядка от e x есть e x , то
y (10)  e x ( x 3  2)  30  e x x 2  45  e x  6 x  120  e x  6;
(10)
y (10)  e x ( x 3  30 x 2  270 x  718).
Пример 6. Найти f (0), f (0), f (0), f (0), f ( 4) (0) , если f ( x)  cos 2 x .
Решение. Находим производные первого, второго, третьего и
четвертого порядков:
f ( x)  2 sin 2 x, f ( x)  4 cos 2 x, f ( x)  8 sin 2 x,
f ( 4) ( x)  16 cos 2 x.
Придавая x значение, равное нулю, находим
f (0)  1, f (0)  0, f (0)  4, f (0)  0, f ( 4 ) (0)  16
Контрольные примеры
Найти производные 2-го порядка от следующих функций :
1. y  x 8  7 x 6  5x  4 .
2. y  ( x 2  1) 2 .
3. y  ln x .
4. y  tgx .
5. y  ctgx .
6. y  a x
2
7. y  e x .

9. y  ln x  a 2  x 2
2

8. f ( x)  (1  x 2 )arctgx .
2
10. y  sin x
11. y  (arcsin x) x
12. y  ln 3 1  x 2 .
x
13. y  a  ch .
a
Найти производные 3-го порядка от следующих функций :
14. r  a(  sin  ) .
15. r  a(1  cos )
16. s  a sin 4t
17. s  a cos3t
x2  2x  2
*
18 . Показать, что функция y 
удовлетворяет
2
дифференциальному уравнению
1  y 2  2 yy .
1
y  x 2e x
19*. Показать, что функция
удовлетворяет
2
дифференциальному уравнению y  2 y  y  e x .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24
20*. Показать, что функция y  C1e  x  C2 e x при любых постоянных С1
и С2 удовлетворяет уравнению y  3 y  2 y  0 .
21*. Показать, что функция y  e 2 x sin 5 x
дифференциальному уравнению y  4 y  29 y  0 .
22. Найти y  , если y  x 3  5x 2  7 x  4
23. Найти f (3) , если f ( x)  (2 x  3)5
24. Найти y (5 ) от функции y  ln(1  x)
25. Найти y ( 6 ) от функции y  sin 2 x
удовлетворяет
26. Найти f (0), f (0), f (0), f (0) , если f ( x)  e x sin x
Применяя формулу Лейбница, найти производную n -го порядка от
функций:
27. y  sin x ;
28. y  cos 2 x ;
29. y  e 3 x ;
1
1 x
30. y  ln(1  x) ;
31. y 
32. y 
1 x
1 x
x
2
33. y  sin x
34. y  xe
35. y  x 2 e 2 x
36. y  (1  x 2 ) cos x
37. y  x 3 ln x .
Производные функции, заданной параметрически
x   (t )
Система уравнений
 (  t   ) ,
y   (t ) 
где  (t ) ,  (t ) - дифференцируемые функции и  (t )  0 , определяет y как
однозначную дифференцируемую функцию от x
y   ( 1 ( x)) , причем производная этой функции может быть найдена по
y
формуле y x  t .
xt
Пример 1. Найти y x , если x  R cost; y  R sin t (0  t   ) .
Решение.
x
R cost
cost
x
R
y x 



, ( x   R) .
 R sin t t arccos t
1  cos2 t t arccos t
x2
R2  x2
1 2
R
R
R
Если воспользоваться явным выражением для функции y от x :
2.5.
y  R 2  x 2 , то получим тот же результат
2x
x
y x  


( x   R) .
2 R2  x2
R2  x2
Пусть существуют вторые производные функций  (t ) и  (t ) в
некоторой точке t . Тогда можно вычислить вторую производную функции,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25
заданной параметрически.
Заметим, что функция
y x 
yt
, задана
xt
параметрически уравнением
y
и x  x(t ) ,
y x  t
xt
следовательно,

y   x  y   x



y
.
y ( x )  y xx  ( y ( x ))x   t  
( x )
 x 
 tx
tt
t
t
tt
3
t
Пример 2. Найти y(x ) , если x  cost; y  sin t (0  t   ) .
Решение. y(t )  cost; y(t )  sin t; x(t )   sin t; x(t )   cost.
 sin t ( sin t )  ( cost ) cost
sin 2 t  cos2 t
y ( x) 

( sin t ) 3
( sin t ) 3
t arccos x


t arccos x
1
1

.
2
3
2 2
sin t t arccos x
(1  x )
Контрольные примеры
Найти производную y x для функций, заданных параметрически:
1

2at

x
,
x
,


t 1
 x  2t  1,

 1 t2
1. 
2. 
3. 
2
3
t
a(1  t 2 )
y

t
.



y  

.
y

.



1 t2
 t  1
3at

 x  t 2  1,
x

 1  t 3 ,
 x  t ,

4. 
5. 
6. 
t 1
2
 y  3 t .
 y  t 2  1.
 y  3at .


1 t3

cos3 t
,
x 
 x  a cos2 t ,
 x  a cos3 t ,
cos 2t

7. 
8. 
9. 
3
 y  b sin 2 t.
 y  b sin 3 t.
 y  sin t .

cos 2t
 x  e t ,
10. 
2t
y  e .
t

 x  a(ln tg  cost  sin t ),
11. 
2
 y  a(sin t  cost ).
12. Вычислить y x при t 
 x  a(t  sin t ),
, если 
2
 y  a(1  cost ).

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26
 x  t ln t ,

13. Вычислить y x при t  1 , если 
ln t
 y  t .
 x  e t cost ,

14. Вычислить y x при t  , если 
4
 y  e t sin t.
15*. Доказать, что функция y , заданная параметрически уравнениями
 x  2t  3t 2 ,

2
3
 y  t  2t ,
2
3
удовлетворяет уравнению y   yx    yx  .
Найти yxx от следующих функций:
 x  ln t ,
16. 
3
y  t .
 x  a cost ,
19. 
 y  a sin t.
 x  arctgt ,
17. 
2
 y  ln(1  t ).
 x  arcsin t ,
18. 
 y  1  t 2 .
 x  a(t  sin t ),
20. 
21.
 y  a(1  cost ).
 x  arctgt ,
 x  cos 2t ,

22. 
23. 
24.
1 2
2
y

t
.
y

sin
t
.


2
 x  e t cost ,
 x  e  at ,
25. 
26. 
27.
at
t
y

e
.

y

e
sin
t
.


 x  ln(1  t 2 ),
28. Найти yxx при t  0 , если 
 y  t 2 .
 x  a cos3 t ,

 y  a sin 3 t.
 x  ln t ,


1
y

.

1 t
 x  a(sin t  t cost ),

 y  a(cost  t sin t ).
2.6. Дифференциал функции
Дифференциалом функции y  f (x) называется главная часть ее
приращения, линейная относительно приращения x независимой
переменной x
dy  f ( x)x .
(1)
dx  1  x; dx  x , т.е.
В частности, при y  x получим
дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной,
и формулу (1) можно переписать
dy  f ( x)dx
(2)
При малых x справедлива приближенная формула
f ( x  x)  f ( x)  f ( x)x
(3)
или
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27
f ( x  x)  f ( x)x  f ( x)
(4)
Найти дифференциалы функций
Пример 1. y  cos x .
Решение. По формуле (2) находим
dy  d (cos x)  (cos x)dx   sin xdx
dy   sin xdx
Пример 2. r  a(  cos )
Решение. dr  r d  a(  cos )d  a(1  sin  )d
Пример 3. Вычислить значение дифференциала функции y  x 3  5x 2 ,
когда x изменяется от 1 до 1,1.
Решение. Находим дифференциал функции
dy  ( x 3  5x 2 )dx  (3x 2  10 x)dx .
Подставляя значение x  1, dx  1,1  1  0,1 в последнюю формулу, получим
искомое значение дифференциала
dy  (3  12  10  1)  0,1  13  0,1  1,3 .
Пример 4. Заменяя приращение функции дифференциалом,
приближенно найти arctg1,02 .
1


0
,
02

 0,02  0,795 .
Решение. arctg ( x  x)  arctgx 
1  12
4
Пример 5. Вычислить y и dy функции y  3x 2  x при x  1 и
x  0,01 .
Решение. y  3( x  x) 2  ( x  x)  3x 2  x  (6 x  1)x  3(x) 2 .
Подставим значения x  1 и x  0,01 в полученную формулу
y  5  0,01  3(0,01) 2  0,0503
и
dy  (6 x  1)x  5  0,01  0,0500 .
Пример 6. Найти dy , если x 2  2 xy  y 2  a 2 .
Решение. Пользуясь инвариантностью формы дифференциала,
получим:
2 xdx  2( ydx  xdy )  2 ydy  0 . Отсюда
x y
dy  
dx.
x y
Пример 7. Найти приближенно значение sin 31 .
Решение. Полагая, x  arcsin 30 

и x  arcsin1 

, из формулы
180


3
cos30   0,500  0,017 
 0,515 .
(4) имеем: sin 31  sin 30 
180
6
2
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28
Контрольные примеры
Найти дифференциалы функций:
9. y  tg 2 2 x .
x2  1
.
x2
x
4. y 
.
1 x
x
6. y  arctg .
a
1 x
8. y  ln
.
1 x
10. y  x 3  6x 2 .
11. y  esin4 x .
12. r   cos  sin  .
1. y  x 4  4 x 3  6 x 2  4 x .
3. y 
1
.
xm
x
5. y  arcsin .
a
7. y  e  x .
2
2. y 
13. s  b sin 3 t .
14. s  arcctge t .
15. y  x 3 , x  t 2  1 .
16. r  ctg  cosec .
4
17. Дана функция y  x  4 x . Найти y и dy , сравнить их между
собой, если: 1) x  1, x  1; 2) x  1, x  0,1 .
18. Вычислить приближенно приращение функции y  x 2  2 x  3 ,
когда x меняется от 2 до 1.98.
Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно найти:
19. arctg1,05 .
20. e 0, 2 .
21. ln 1,01 .
22. sin 46 .
23. cos61 .
24. tg 44 .
25. ln 0,9 .
2
26. Найти дифференциал функции y 
при x  9 и x  0,01.
x
27. Вычислить дифференциал функции y  tg x при x 

и x 
3
Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:


180
.
x
y
28. ( x  y) 2 (2 x  y)3  1 .
29. y  e .
y
30. ln x 2  y 2  arctg .
x
*
31 . Найти dy в точке (1;2), если y 3  y  6x 2 .
2.7. Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей
0 
І. Раскрытие неопределенностей вида
и
0 
y  f (x) и y   (x) дифференцируемы при
Пусть функции
0 | x  a | h , причем производная  (x)  0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29
Если f (x ) и  (x ) - обе бесконечно малые или обе бесконечно большие
f ( x)
при x  a , т.е. если частное
представляет в точке
xa
 ( x)

0
неопределенность типа
или
, то

0
f ( x)
f ( x)
lim
 lim
x a  ( x )
xa  ( x)
при условии, что предел отношения производных существует (правило
Лопиталя-Бернулли).
Правило это применимо и в случае, когда a   .
f ( x )
Если частное
вновь дает неопределенность в точке x  a
 ( x )
одного из двух упомянутых типов и f (x ) и
 (x) удовлетворяют всем
требованиям, ранее сформулированным для f (x ) и  (x ) , то можно перейти
к отношению вторых производных и т. д.
Замечание 1. Предел отношения функций может существовать в то
время, когда отношения производных не стремятся ни к какому пределу.
ІІ. Раскрытие неопределенностей вида 0   ,    , 1 , 0 0 ,  0
0   необходимо
1. Для раскрытия неопределенностей типа
преобразовать
соответствующее
произведение
где
f ( x)   ( x) ,
lim f ( x)  0, lim  ( x)   , в частности,
xa
xa
f ( x)
 ( x)

0
﴾вид ﴿ или
﴾вид
.﴿
1
1

0
 ( x)
f ( x)
2. В случае неопределенности
вида
преобразовать
соответствующую
разность
   необходимо
f ( x)   ( x) ,
где
  ( x) 
и раскрыть
lim f ( x)  , lim  ( x)   , в произведение f ( x )1 
xa
xa
f ( x ) 

 ( x)
 ( x)
 1 , то следует привести
сначала неопределенность
; если lim
x a f ( x )
f ( x)
 ( x)
1
0
f ( x)
выражение к виду
﴾вид ﴿.
1
0
f ( x)
3. Неопределенности видов 1 , 0 0 ,  0 раскрываются с помощью
предварительного логарифмирования
и нахождения предела степени
 ( x)
 f ( x) . Эти неопределенности сводятся к случаю неопределенности
0   , при этом используется тождество
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30
 f ( x) ( x)  e ( x) ln f ( x) .
Замечание 2. Выражение «раскрыть неопределенность типа 0 0 »
 ( x)
означает найти предел lim  f ( x)
при условии lim f ( x)  lim  ( x)  0 .
xa
xa
xa
sin x  e  5 x
.
x0
4x 2  7 x
Решение. При x  0 числитель и знаменатель дроби обращаются в
0
нуль, получаем неопределенность
.
0
Применяя правило Лопиталя-Бернулли, находим
sin x  e x  5 x
(sin x  e x  5 x)
cos x  e x  sin x  e x  5
4
lim
 lim
 lim
 .
2
2
x0
x0
x0
8x  7
7
4x  7 x
(4 x  7 x)
x
Пример 1. Найти предел lim
sin x  e 2 x  x
Пример 2. Найти lim
.
x0
5x 2  x3
Решение. В данном случае правило Лопиталя- Бернулли нужно
применить дважды, так как
отношение первых производных снова
0
представляет неопределенность .
0
Действительно,
sin x  e 2 x  x
(sin x  e 2 x  x)
cos x  e 2 x  2 sin x  e 2 x  1
lim
 lim
 lim
.
x0
x0
x0
5x 2  x3
(5 x 2  x 3 )
10 x  3x 2
0
При x  0 снова получаем неопределенность . Применяя еще раз
0
правило Лопиталя-Бернулли, находим
cos x  e 2 x  2 sin x  e 2 x  1
(cos x  e 2 x  2 sin x  e 2 x  1)
lim
 lim

x0
x0
10 x  3x 2
(10 x  3x 2 )
 sin x  e 2 x  4 cos x  e 2 x  4 sin x  e 2 x  1 4 2
 lim
  .
x0
10  6 x
10 5
1 
1
Пример 3. Найти lim  
.
x0 x
sin x 
x  0 получаем неопределенность вида    .
Решение. При
0
Раскроем эту неопределенность, приводя ее к неопределенности
и
0
применяя правило Лопиталя-Бернулли:
1 
sin x  x
cos x  1
 sin x
1
lim  
 lim
 lim
 0.
  lim
x0 x
x0 sin x  x cos x
x0 cos x  cos x  x sin x
sin x  x0 x sin x
3
Пример 4. Найти lim (cos2 x) x
x0
2
(неопределенность типа 1∞).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31
Решение. Логарифмируя и применяя правило Лопиталя-Бернулли,
получим:
3
3 ln cos 2 x
tg 2 x
 6 lim
 6 .
2
x0
x0 2 x
x
lim ln(cos 2 x) x  lim
2
x0
3
2
lim (cos2 x) x
x0
Следовательно,
 e 6 .
Контрольные примеры
Найти указанные пределы функций
x cos x  sin x
.
x0
x3
1. lim
tgx  sin x
.
x0 x  sin x
x
5. lim (1  x)tg .
x1
2
3. lim
ln x
.
x 3 x
1 x
.
x1
sin x
1
2
2. lim
4. lim arcsin x  ctgx .
x0
ex
6. lim 5 .
x  x

x
8. lim
7. lim
x 0
a
.
x
x
5
 1

 2
11. lim 
.
x3 x  3
x  x  6
9. lim x sin
ctg
x
2
10. lim ln x  ln( x  1) .
x1
 x
 
 .
12. lim 

2
cos
x
  ctgx

x
2
13. lim
x
1
xx
14. lim
.
x0
3
4

x ln x
.
x
15. lim x
sin x
x0
17. lim (1 
x0
19. lim (tg
16. lim (1  x)
.
tg
)
4
tgx
1
21. lim   .
x0 x 
x1
2
x1
1
2 x
x ) .
x
cos
18. lim
x1
x
2
.
20.
1
1

x x.
1
ln
lim (ctgx) x .
x0
22. lim (ctgx) sin x .
x0
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32
ЛИТЕРАТУРА
1. Баврин И.И. Высшая математика / И.И.Баврин. – М. : Изд. центр
«Академия» ; Высш. шк., 2004. – с.
2. Шипачев В.С. Высшая математика / В.С.Шипачев. – М. : Высш. шк.,
2003. – 479 с.
3. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике / В.С.Шипачев. –
М. : Высш. шк., 2003. – 303 с.
4. Электронный
каталог
Научной
библиотеки
ВГУ
–
http://www.lib.vsu.ru)
Учебное издание
Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители: Савченко Юлия Борисовна
Ткачева Светлана Анатольевна
Редактор
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
983 Кб
Теги
996
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа