close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

685

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ШУЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ФИЗИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО
ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
МЕХАНИКА
Шуя 2005
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ББК 32.97
УДК 681.32
Е 74
Печатается по решению редакционно-издательского
совета ГОУ ВПО «Шуйский государственный педагогический университет»
Составители:
Кашицын А.С. – к.ф.м.-н., доцент, зеведующий кафедрой физики и методики обучения,
Пронин А.А – к.п.н, доцент кафедры физики и методики обучения.
Рецензент:
Е 74
Учебно-методические рекомендации по выполнению лабораторных работ. Механика.
Учебно-методические рекомендации предназначены для студентов, выполняющих задания лабораторного физического практикума. В рекомендациях приведено описание 11 лабораторных работ раздела «Механика» дисциплины «Общая и экспериментальная физика»
государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
специальности 032200 Физика. Рекомендации по выполнению лабораторных работ могут
быть использованы для студентов других специальностей, изучающих физику. В каждой лабораторной работы приведен необходимый теоретический материал, описание экспериментальной установки и методика проведения эксперимента, расчетные соотношения и методические указания по выполнению работы. Весь комплекс используемого для проведения работ оборудования разработан РНПО Росучприбор.
 ШГПУ, 2005. Кашицын А.С., Пронин А.А.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 1.
Определение ускорения свободного падения с помощью машины Атвуда . . . . . .
Лабораторная работа № 2.
Определение коэффициентов трения качения и трения скольжения с помощью
наклонного маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 3
Изучение законов соударения тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 4
Определение модуля Юнга методом изгиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 5
Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 6
Определение момента инерции твердого тела на основе законов равноускоренного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 7
Измерение момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний . . . .
Лабораторная работа № 8
Измерение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника . . . . .
Лабораторная работа № 9
Изучение закона сохранения энергии с помощью маятника Максвелла . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 10
Гироскоп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 11
Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника
Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
Физика - одна из наук, цель которых - познание природы. При этом физика - наука, в
первую очередь, экспериментальная. Однако весьма бурное развитие математических методов в физике с одной стороны и чрезвычайное усложнение экспериментальных методов с
другой привело к разделению физиков на экспериментаторов и теоретиков. Физики экспериментаторы осуществляют опытные исследования в лабораториях, физики теоретики изучают
физические закономерности с помощью расчетных методов теоретической физики. При этом
физик экспериментатор должен обладать ни чуть не меньшими познаниями в теории изучаемого явления. У экспериментатора должна быть своя психология, формируемая на основе
глубоких знаний в различных областях науки и техники. Выработать такую психологию позволяет выполнение заданий лабораторного физического практикума.
Основная цель практикума состоит в ознакомлении с различными измерительными
приборами, экспериментальными методиками и в приобретении опыта в проведении физического эксперимента.
Выполнение заданий лабораторного физического практикума может дать представление о том, каков общий метод физики. Когда физик сталкивается с каким-либо явлением
природы, он старается выделить те особенности явления, которые ему кажутся самыми важными. Так древние греки, заметив, что движущееся тело, в конце концов, останавливается,
заключили, что для поддержания движения необходима сила. Галилей же и Ньютон, наблюдая то же самое явление, пришли к выводу, что замедление движения здесь вовсе не самое
главное. Оно вызывается трением, а в отсутствии трения движение не прекращается. Если бы
мы решили проверить это на опыте, то увидели бы, что полностью устранить трение или
другие тормозящие силы невозможно. Но их можно уменьшить, и чем меньше они, тем
дольше будет двигаться тело. Таким образом, логично предположить, что в предельном случае, когда трения нет, движение будет оставаться неизменным, о чем и говорит первый закон
Ньютона.
Таков общий метод физики. Мы выделяем в данном физическом явлении то, что считаем самым существенным. Затем, обобщая то, что выделили, строим теорию, из которой
следуют те или иные выводы. Выводы же проверяют путем эксперимента. Теоретические
выводы обычно относят к идеализированной или упрощенной ситуации. Чтобы их проверить
нужно, создать такую упрощенную ситуацию в сложном, полном хаоса окружающем мире,
что не всегда легко сделать.
На лекционных занятиях излагается, как правило, теория явления. При этом рассматриваются те стороны реального мира, которые существующая теория считает самыми важными
и может оказаться так, что знакомство с миром природы ограничится только этими сторонами и будет воспитана уверенность в том, что именно это и есть весь реальный мир, а не отдельные его стороны. К тому же в теоретической картине мира все столь хорошо увязано,
что легко утратить представление о том, сколько усилий потребовалось человечеству для ее
создания. Экспериментальная работа представляет собой лучшее средство для того, чтобы
избавиться от подобных представлений. Занимаясь экспериментальной физикой, важно почувствовать, как трудно бывает проверить теорию, как трудно измерить именно то, что
необходимо, а не что-то иное. Еще более важно научиться преодолевать такие трудности.
Задания физического практикума должны осуществлять значительный вклад в формировании целостного взгляда на физику, на диалектическую взаимосвязь между теорией и экспериментом.
Важно заметить, что, не зная величины погрешности, проведенных измерений физических величин, не возможно сделать однозначных выводов из эксперимента. При проведении
измерений любой физической величины возможно лишь определить с некоторой степенью
вероятности, интервал, в который попадает ее истинное значение.
Для допуска к каждой лабораторной работе студент проходит компьютерное тестирование, определяющее степень его готовности к выполнению заданий работы.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА
Цель работы – изучение законов прямолинейного равноускоренного движения тел в поле
силы тяжести, экспериментальное измерение ускорения свободного падения.
Оборудование: машина Атвуда, блок электронного управления, набор грузов и перегрузков.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Машина Атвуда предназначена для исследования законов
движения тел в поле земного тяготения. Она состоит (рис.1) из
укрепленного на штативе 1 блока 2, через который перекинута
нить с подвешенными на ней одинаковыми грузами 3 и 4. Масса
этих грузов может быть увеличена добавочными небольшими
грузами (перегрузками) 5. Если на груз массы m положить перегрузок с массой m1, то вся система начнет двигаться равноускоренно.
На груз 3 и груз 4 с перегрузком 5 будут действовать две силы:
сила тяжести и сила натяжения нити. Если масса блока, невелика
по сравнению с массой грузов и трение мало, то раскручивание
блока практически не требует приложения к нему крутящего момента и силы натяжения нити по обе стороны блока равны друг другу.
Рис.1. Схема машины Атвуда.
На основании второго закона Ньютона можно записать:
(m  m1 )a  (m  m1 ) g  FN

 ma  mg  FN
(1)
где – a ускорение системы, FN – величина силы натяжения нити, g – ускорение свободного
падения. Решая эту систему уравнений можно получить величину силы натяжения нити и
величину ускорения грузов:
2m  2m1
m1
FN  gm
, ag
(3)
2 m  m1
2m  m1
2m  m1
ga
Тогда:
(4)
m1
Измеряя экспериментально ускорение, с которым движутся грузы, можно провести измерения ускорения свободного падения.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку a 
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2S
, (S - пройденное грузом расстояние, t – время движения) получим:
t2
2 S 2m  m1
g 2 
m1
t
(5)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Перекинуть через блок 2 нить с двумя грузами 3 и 4 и убедиться, что система находится в
положении равновесия.
Установить кронштейн с фотодатчиком 6 в нижней части шкалы вертикальной стойки, а
фотодатчик расположить таким образом, чтобы правый груз при движении вниз проходил в центре рабочего окна фотодатчика (за нижнее положение груза берется риска шкалы, соответствующая риске на корпусе фотодатчика и являющаяся как бы продолжением
оптической оси фотодатчика, которую пересекает движущийся груз). Установить правый
груз в крайнем верхнем положении.
Положить на правый груз один из перегрузков 5. Нажать на кнопку «ПУСК» блока. Произойдет растормаживание электромагнита, правый груз начнет опускаться, и таймер блока начнет отсчет времени. При пересечении правым грузом оптической оси фотодатчика
отсчет времени прекратится. Определить по показаниям таймера время движения грузов.
Определить по шкале пройденный грузом путь, как расстояние от нижней плоскости груза (в верхнем положении) до оптической оси фотодатчика.
Вычислить значение ускорения а.
Повторить измерения 5 раз, изменяя высоту груза в верхнем положении.
Вычислить значение ускорения свободного падения для каждого измерения по формуле
(5). Данные занести в таблицу 1.
Таблица 1
№
S, м
t, с
а, м/с2
gi , м/с2
∆gi , м/с2
1
2
3
4
5
8. Вычислить среднее значение g =
1
N
N
g
i 1
i
, где N – число измерений.
9. Вычислить отклонение от среднего ∆gi = g - gi и среднее его значение этого отклонения (∆g), которое является оценкой случайной составляющей абсолютной погрешности
(ошибки) выполненных измерений.
10. Записать результат в виде: g = g ± ∆g м/с2 и указать относительную погрешностью
g
проведенных измерений  
, выраженную в %.
 g
11. Повторить измерения с другим перегрузком, данные занести в таблицу 2, аналогичную
таблице 1 и записать результат как в п.10.
12. Сравнить полученные значения ускорения свободного падения с табличным значением.
13. Сделать вывод по работе.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ДРУГАЯ МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
Оценить погрешность проведенных измерений более строго можно следующим образом. Из формулы (5) на основании материала Приложения 1 можно получить следующее выражение для расчёта относительной погрешности проведенных измерений:
1
2
2
2
g  S 
 t   m   2

 
  2   
  .
 g   S 
 t   m  
Величины S,t, m находят по данным повторных прямых измерений, учитывая инструментальную погрешность использованных приборов. Необходимо выполнить не менее
трех отсчетов S, t, m при одинаковых условиях, чтобы найти S,t, m в соответствии с правилами расчета погрешности прямых измерений. Если случайная составляющая величин
S,t, m оказывается меньше инструментальной, то в качестве оценки S,t, m необходимо взять половину цены минимального деления шкалы прибора или значение последнего
десятичного разряда цифрового табло.
Абсолютную погрешность ∆g можно вычислить следующим образом: g   g    .
Проведя такие вычисления необходимо их сравнить с результатами, которые получены в
п.10
1.
2.
3.
4.
5.
Контрольные вопросы:
Описать устройство машины Атвуда.
Описать ход проведенного эксперимента.
Сформулировать законы Ньютона.
Получить расчетную формулу метода.
От чего зависит значение ускорения свободного падения?
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ И ТРЕНИЯ
СКОЛЬЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА
Цель работы - определение коэффициентов трения скольжения и трения качения шара по
пластине.
Оборудование: лабораторная установка с наклонным маятником, шарики и пластины из
различных металлов.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Рис. 1. Фотография и схема экспериментальной установки.
Экспериментальная установка (рис. 1.) состоит из основания 1, на котором укреплена
стойка 2, к верхней части которой на кронштейне 3 крепится наклонная платформа 4. Угол
платформы к вертикали можно изменять с помощью винта 5. Значение этого угла определяется по шкале 6. В верхней части платформы крепится наклонный маятник. При измерении
коэффициента трения скольжения в качестве маятника используется стержень 7 с обоймой
8, в которой закрепляется усеченный стальной шар. Опора 9 на верхнем конце стержня 7
позволяет ему свободно отклоняться в плоскости, параллельной платформе 4. При измерении коэффициента трения качения маятником служит стальной шар 10, подвешенный на
тонкой неупругой нити 11. Шар с нитью используется также для контроля вертикальности
стойки 2, в этом случае его подвешивают на кронштейн 12.
Рис. 2.
ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ УСТАНОВКИ
Если маятник отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол и отпустить, то начнутся колебания, которые будут затухать под действием силы трения маятника о плоскость, сопротивления среды и трения в подвесе маятника. Однако основной причиной в
данном случае будет интересующее нас трение о плоскость. Двумя
другими силами трения можно пренебречь.
Пусть масса маятника m. Основные силы, действующие на маятник в отклоненном положении, изображены на рисунке 2. Их че8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тыре: сила тяжести mg , сила N нормальной реакции плоскости, сила Fтр трения о плоскость
и сила T натяжения подвеса. Сила трения связана с силой реакции плоскости законом Fтр=kN,
где k – коэффициент трения.
Разложим силу тяжести на компоненты mg , параллельную плоскости, и mg , перпендикулярную плоскости. Сила N нормальной реакции уравновешивает компоненту mg, следовательно, эти два вектора равны по величине: N = mg= mgsin и для силы трения получается выражение:
Fтр= kmgsin.
(1)
Обозначим начальный угол отклонения маятника вдоль плоскости 0, максимальный
угол в противоположную сторону (через половину периода) 1/2, угол отклонения через период – 1. При медленном убывании амплитуды потери энергии за каждый период приблизительно одинаковы и 1/2 =(0 +
1)/2. За один период, точка касания маятника проходит путь S
= l(0 + 21/2 +1) = 2l(0 +1).
При этом сила трения совершает работу:
Aтр  FтрS  2 kmgl sin   0  1 .
(2)
На величину этой работы уменьшается полная механическая энергия маятника. В крайних положениях эта энергия состоит только из потенциальной энергии mgh, поэтому:
Aтр = mgh0 mgh1,
(3)
где h0, h1 - высоты подъема маятника в крайнем положении,
Рис. 3.
соответствующие углам 0, 1. С помощью рисунка 3. найдем,
как высота подъема h связана c углом  отклонения маятника. В отклоненном положении
центр тяжести маятника поднят вдоль плоскости на отрезок BD = AC = l (1  cos. Из треугольника BDE получаем:
h  BD cos   l cos  1  cos    2l cos  sin 2  2   l cos    2 2.
Последнее приближенное равенство справедливо при малых углах, в этом случае sin(/2) 
/2. Подставляя выражение для каждой из высот в уравнение (3) и учитывая формулу (2)
получим:
 2kmglsin(0 + 1) = mg l cos (12/202/2).
Сократив с обеих сторон равенства одинаковые множители, получим следующее выражение:
k = ctg (01)/4.
(4)
Рассмотрим n последовательных колебаний наклонного маятника. Формула аналогичная (4)
будет справедлива для каждого из n периодов:
k = ctg (01)/4; k = ctg (12)/4; k = ctg (23)/4…; k = ctg (n-1n)/4.
(5)
Здесь 2,3, …,n угловые амплитуды отклонения после второго, третьего,…, n–го периода
колебаний. Сложим все формулы (5). В правой части все промежуточные углы 2,3, …,n-1
сократятся. После деления на число периодов n получим окончательную формулу для определения коэффициента трения:
(   n )ctg
k 0
(6)
4n
В том случае, когда маятник представляет собой шарик, катящийся без проскальзывания по наклонной платформе, основной диссипативной силой служит сила Fтр.к. трения качения. Тормозящий момент силы трения качения пропорционален силе нормальной реакции,
т. е.
Fтр.к.R=k1N,
(7)
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где k1 – коэффициент трения качения, имеющий размерность длины, R – радиус кривизны
катящегося тела. Рассуждения, приведенные выше для трения скольжения, можно повторить
для трения качения, используя вместо формулы (1) соотношение (7). При этом для коэффициента трения качения получим
R( 0   n )ctg
(8)
k1 
4n
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Используя маятник качения в качестве отвеса, при помощи регулировочных опор основания выставить стойку установки в строго вертикальное положение.
Установить одну из сменных пластин на платформу 4. При необходимости подрегулировать положение основания так, чтобы указатель маятника оказался против нулевого
деления шкалы отсчета угла отклонения маятника, но без нарушения вертикальности
стойки.
Установить угол  наклона платформы равный 2.
Вставить усеченный шар в обойму маятника скольжения сферической поверхностью
наружу. Подвесить маятник скольжения при помощи призматической опоры на верхний
кронштейн таким образом, чтобы усеченный шар соприкоснулся с установленной на
платформу пластиной, и ось маятника была параллельна лицевой поверхности платформы.
Отвести маятник в одно из крайних положений и записать начальный угол отклонения
0.
Отпустить маятник без толчка и записать угол n максимального отклонения после совершения им n полных колебаний. Количество колебаний выбрать в пределах 3… 6.
Повторить измерения п.п. 5,6 пять раз при одном и том же начальном угле 0 и количестве колебаний n. Найти среднее значение угла n отклонения после n колебаний.
Перевести углы 0 и значение угла n в радианную меру. Вычислить по формуле (6) значение коэффициента трения скольжения k между шаром и пластиной. Полученные данные занести в таблицу 1.
Таблица 1.
№
n,
k
0,
0,
n ,
n
n ,
кол.
град. рад.
град. град.
рад.
1
2
3
4
5
Снять маятник скольжения. Установить маятник качения так, чтобы в равновесии указатель маятника оказался напротив нулевого деления отсчета углов . Выбрать такой угол
0 начального отклонения шарика, чтобы шарик катался по пластине без проскальзывания. Записать выбранное значение 0.
Провести измерения аналогично п.п. 6,7. Полученные данные занести в таблицу 2 (аналогичную табл.1).
Измерить штангенциркулем диаметр D шара маятника качения. Вычислить радиус шара
R=D/2.
Определить коэффициент трения качения по формуле (8).
Вычислить среднее значение коэффициента трения скольжения k и оценить погрешность проведенных измерений.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. Вычислить отклонение от среднего ∆ki = k - ki и среднее его значение этого отклонения (∆k), которое является оценкой случайной составляющей абсолютной погрешности
(ошибки) выполненных измерений.
15. Записать результат в виде: k = k ± ∆k м/с2 и указать относительную погрешностью проk
веденных измерений  
, выраженную в %.
k 
16. Аналогично п.п.13-15 провести оценку погрешности измерений коэффициента трения
качения k1.
17. Сделать вывод по работе.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Контрольные вопросы:
Описать устройство лабораторной установки и методики выполнения работы.
Получить расчетные соотношения по определению искомых величин.
Что влияет на точность полученного результата при использовании данной методики
определение коэффициентов трения скольжения и трения качения шара по пластине.
В чем отличия трения скольжения и трения качения? В каких единицах измеряются коэффициенты трения качения и трения скольжения?
От чего зависит коэффициент трения скольжения (качения)?
Какими еще методами можно определить коэффициенты трения скольжения и трения
качения?
Как взаимосвязаны коэффициенты трения скольжения и трения покоя ?
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 3
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ
Цель работы - определение коэффициентов восстановления, скорости и энергии при центральном ударе двух шаров.
Оборудование: лабораторная установка с электромагнитом и датчиками, блок электронного
управления, шары из различных металлов.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Схема лабораторной установки показана на рис. 1. К штативу 1 прикреплены два
Рис. 1. Схема установки
шара. Углы отклонения подвесов от вертикали определяются по шкалам 3. Электромагнит 4
служит для удержания одного из шаров в отклоненном положении.
Отведем один из шаров (например, левый) на некоторый угол 1 и отпустим без
начальной скорости. Отклоненный шар будет двигаться вниз разгоняясь, при этом его потенциальная энергия будет переходить в кинетическую. Пусть столкновение со вторым шаром происходит в тот момент, когда нить первого шара становится вертикально.
Рис. 3
Рис. 2
По закону сохранения механической энергии (см. рис. 2.):
m v2
m1 gh  1 1
(1)
2
где m1 – масса шара, g – ускорение свободного падения, h – высота шара в отведенном положении относительно нижней точки траектории, v1 – скорость первого шара в нижней точке
перед соударением со вторым. Из рисунка видно, что
h = l – l cos 1,
(2)
где l – расстояние от точки подвеса до центра тяжести шара, 1 – угол начального отклоне12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния нити. Подставляя (1) в (2) и преобразуя уравнение, найдем выражение для скорости через угол начального отклонения:

(3)
v1  2 gh  2 gl (1  cos1 )  2 gl sin 1 .
2
Массы шаров подобраны так, чтобы после удара они разлетелись в разные стороны. После
удара шары получают скорости v’1 и v’2 (см. рис. 3.), и, разлетаясь, отклоняют нити на максимальные углы ’1 и ’2 , соответственно. Аналогично соотношению (3) можно записать
выражение и для скорости v1 .


(4)
v1  2 gl sin 1 , v2  2 gl sin 2
2
2
Если удар происходит достаточно быстро так, что нити во время удара не успевают отклониться на заметный угол, то в направлении горизонтальной оси Ох не возникает внешних
сил и выполняется закон сохранения импульса в проекции на эту ось:
m1v1 = m2v’2  m1v’1
(5)
Коэффициент v восстановления скорости определяется как отношение относительной
скорости шаров после удара к относительной скорости шаров до удара:
 
v2  v1

vотн
(6)
v 
  
vотн v2  v1
В данном случае формула (6) с учетом (3), (4) преобразуется к виду


sin 2  sin 1
v2  v1
2
2
(7)
v 

1
v1
sin
2
Для абсолютно упругого удара v=1. В случае столкновения реальных шаров столкновение
не является абсолютно упругим и v<1.
Кроме коэффициента восстановления скорости, соударение тел характеризуется коэффициентом w восстановления энергии, равным отношению кинетической энергии тел после
удара к их кинетической энергии до удара:
1
m v 2  1 m v 2
(8)
 w  21 1 1 2 12 2 22
m
v

m
v
2 2
2 1 1
2
Учитывая, что скорость второго шара до удара v2 = 0 и подставляя для скоростей выражения (3), (4), находим расчетную формулу для коэффициента восстановления энергии:


m1 sin 2 1  m2 sin 2 2
2
2 .
(9)
w 

2
1
m1 sin
2
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Подключите электромагнит 4 и клеммы верхнего кронштейна к электронному блоку.
2. Вставьте шары 2 в скобы подвеса. С помощью регулировочных опор выставьте основание установки таким образом, чтобы нижние визиры скоб подвеса указывали на нули
шкал.
3. Отрегулируйте положение шаров в вертикальной и горизонтальной плоскостях до совмещения верхних визиров скоб подвеса. Регулировка производится с помощью изменения длины подвеса шаров, а также изменения положения узлов крепления нитей на верхнем кронштейне.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. На пульте блока нажмите кнопку “СБРОС”. При этом на табло индикации высветятся нули и на электромагнит будет подано напряжение.
5. Отведите левый шар и зафиксируйте его с помощью электромагнита. Определите
начальный угол отклонения первого шара 1.
6. Нажмите кнопку “ПУСК”, при этом произойдет удар шаров. По таймеру блока определите время соударения шаров .
7. Определите время соударения для различных пар шаров по методике описанной в п.п.4-6.
8. В правую скобу подвеса вставьте алюминиевый шар со стальной вставкой, а в левую латунный или стальной шар.
9. Выполните п.п. 4-6. При помощи шкал визуально определите углы отскока шаров ’1 и
’2. Полученные данные занесите в таблицу 1. Повторите измерения углов отскока не
менее трех раз. Найдите среднее значение каждого из углов ’1ср и ’2 ср.
Таблица 1
№
’1,
’2, <’1>, <’2>
п/п град. град. град. град.
1
2
3
10. По формуле (3) определите скорость v1 первого шара перед ударом. Используя средние
значения углов отскока по формулам (4) определите скорости обоих шаров сразу после
удара v’1 и v’2 . Измерьте массу шаров и проверьте выполнение закона сохранения импульса (5).
11. Используя средние значения углов отскока по формулам (7), (9) определите коэффициенты восстановления скорости и энергии.
12. Сделайте вывод по работе.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Контрольные вопросы:
Описать устройство лабораторной установки и методику выполнения работы.
Сформулировать закон сохранения импульса.
Что понимают под коэффициент v восстановления скорости?
Что понимают под коэффициент w восстановления энергии?
Получить расчетные соотношения метода.
Каковы основные источники ошибок данной методики?
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА МЕТОДОМ ИЗГИБА
Цель работы – изучение упругих деформаций различных материалов, определение модуля
Юнга методом изгиба.
Оборудование: лабораторная установка, измеритель малых перемещений, металлические
пластины, штангенциркуль.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Если прямой упругий стержень обоими концами свободно положить на твердые опоры
и нагрузить в середине грузом весом P, то середина стержня опустится, т. е. стержень прогнется (см. рис. 1).
Рис.1
Легко понять, что при таком изгибе верхние слои стержня будут сжиматься, нижние –
растягиваться, а некоторый средний слой, который называют нейтральным слоем, сохранит
длину и только претерпит искривление. Перемещение d, которое получает середина стержня, называется стрелой прогиба. Стрела прогиба тем больше, чем больше нагрузка, и, кроме
того, она должна зависеть от формы и размеров стержня и от его модуля упругости. Для деформаций растяжения и сжатия модуль упругости называется модулем Юнга и численно равен напряжению (т.е. упругой силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения
тела), возникающему в образце при увеличении (уменьшении) его длины в два раза.
Найдем связь между стрелой прогиба и характеристиками упругого стержня. В данной
работе используется пластина прямоугольного сечения размерами L (длина), h (высота), b
(ширина). Под воздействием внешней силы пластина искривляется, и ее форма может быть
описана функцией y(x) (см. рис. 1). Возникающие в пластине силы упругости пропорциональны кривизне пластины, т. е. второй производной y (x ) . При этом условие равновесия
имеет вид:
EI y ( x )  M ( x )
(1)
где E – модуль Юнга; I 
M (x ) 
bh3
12
– коэффициент, определяемый геометрией пластины;
P
x – изгибающий момент.
2
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение для формы пластины:
P 2
P
y ( x ) 
x , интегрируя которое, находим: y ( x ) 
x C .
2 EI
4 EI
Постоянную интегрирования C определим из условия равенства нулю наклона пластины в ее
PL 2
центре: y ( L 2 )  0 , откуда C  
. После второго интегрирования имеем:
16 EI
Px 3 PL 2 x
y( x ) 

.
(2)
12 EI 16 EI
Стрела прогиба d по модулю равна смещению середины пластины:
PL 3
d   y( L 2 ) 
, откуда окончательно:
4 Ebh 3
PL 3
E
.
(3)
4dbh3
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Установить одну из исследуемых пластин 1 на призматические опоры 2 (см. рис. 2).
Установить часовой индикатор 3 таким образом, чтобы его наконечник коснулся пластины.
Рис. 2. Схема установки.
2. Повесить на скобу 4 гирю 5 массой m. По шкале индикатора определить величину прогиба. Повторить измерения 5 раз. Полученные данные занесите в таблицу 1.
Таблица 1
№
m,
d,
Е,
<Е>,
п/п
кг
м
Н/м2 Н/м2
1
2
3
4
5
3. Повторите задание п. 2, увеличивая массу гири с помощью дополнительных грузов. Всего необходимо провести измерения для 5 значений m и заполнить таблицы данных, аналогичные таблице 1.
4. Измерьте штангенциркулем размеры пластины h и b.
5. Вычислите модуль Юнга исследуемого вещества по формуле (3) при каждой массе гири,
затем найдите среднее значение.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Оценить погрешность выполненных измерений, по методике описанной в приложении 1.
Записать результат и объяснить его.
Контрольные вопросы:
1. Описать устройство лабораторной установки и методику выполнения работы.
2. Что понимают под деформацией тел? Виды деформаций.
3. Пояснить понятия: механическое напряжение, относительная и абсолютная деформации,
коэффициент упругости, модуль Юнга.
4. Сформулировать закон Гука.
5. Вывести расчетные соотношения.
6. Каковы основные источники ошибок данной методики?
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА
С ПОМОЩЬЮ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
Цель работы – экспериментальное определение модуля сдвига материала пружины.
Оборудование: лабораторная установка, блок индикации и управления, грузы, линейка.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Сдвигом называется деформация, при которой все плоские слои твердого тела, параллельные некоторой плоскости (плоскости сдвига), смещаются параллельно друг другу (рис.
1). Сдвиг происходит под действием силы F, приложенной параллельно плоскости сдвига
BC. Мерой деформации при этом является угол сдвига  (относительный сдвиг). По закону
Гука относительный сдвиг пропорционален касательному напряжению:
F
(1)
    G ,
S
где S – площадь грани BC, G – модуль сдвига, численно равный касательному напряжению,
вызывающему относительный сдвиг, равный единице.
Рис. 1. Деформация сдвига.
Рис. 2. Геометрия пружины.
В данной работе определяется модуль сдвига материала, из которого изготовлена винтовая пружина (рис. 2). Основными геометрическими параметрами пружины являются: диаметр проволоки d, диаметр витка пружины D и число витков N. Под действием растягивающей силы F длина пружины L увеличивается согласно закону Гука на величину
L  F k
(2)
где k – жесткость пружины. Направление действия силы при этом перпендикулярно виткам,
поэтому удлинение пружины определяется модулем сдвига и дается соотношением:
8FD 3 N
L 
(3)
Gd 4
Для определения модуля сдвига в работе используется пружинный маятник, показанный на рис. 3. На штативе 1 установлен кронштейн 2 с узлом крепления вертикально подвешенных сменных пружин 3. К пружине подвешивается наборный груз 4. Измерение периодов колебаний груза производится с помощью фотодатчика 5.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Под действием сил тяжести и упругости пружины выведенный из положения равновесия груз массой m совершает гармонические колебания с частотой   k m и периодом
T  2 m k , откуда для жесткости пружины получаем:
k
4 2 m
T2
(4)
Рис. 3. Схема установки.
Таким образом, измерив период колебаний и воспользовавшись формулами (2), (3) и
(4) с учетом F  mg , можно найти модуль сдвига:
32 2 D 3 Nm
G
T 2d 4
(5)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Кронштейн 2 с вертикально подвешенной пружиной 3 закрепить на вертикальной стойке
1 таким образом, чтобы наборный груз 4, подвешенный к пружине, своей нижней плоскостью совпадал с оптической осью фотодатчика 5 (оптическая ось совпадает с рисками на
фотодатчике).
2. Оттянуть груз вниз и отпустить. При этом груз начинает совершать колебательные движения на пружине. Измерить время t для n = 10 полных колебаний маятника. Запуск и
остановка секундомера осуществляется фотоэлектрическим датчиком. При нажатии на
клавишу “ПУСК “ начинается отсчет времени от момента прохождения маятником положения равновесия. При нажатии клавиши “СТОП” секундомер фиксирует длительность t
целого числа колебаний на момент ближайшего во времени прохождения маятником положения равновесия. Число колебаний фиксируется специальным индикатором. Найти
период колебаний T  t n . Повторить опыт 5 раз.
Полученные данные занести в таблицу 1.
Таблица 1
№
n
m, кг
t, с
T, с
19
G, Па
<G>, Па
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Повторить эксперимент, увеличивая массу груза. Провести измерения для трех значений
m.
4. Измерить параметры пружины D, d, N.
5. Для каждого значения m вычислить модуль сдвига G по формуле (5).
6. Найти среднее значение G.
7. Оценить погрешность проведенных измерений, по методике описанной в приложении 1.
Записать результат и объяснить его.
8. Сделать вывод по работе.
Контрольные вопросы:
1. Описать устройство лабораторной установки и методику выполнения работы.
2. Что понимают под деформацией тел? Виды деформаций.
3. Объяснять понятия: механическое напряжение, относительная и абсолютная деформации, коэффициент упругости, модуль Юнга.
4. Сформулировать закон Гука.
5. Что является мерой деформации при деформации сдвига?
6. Вывести расчетные соотношения.
7. Каковы основные источники ошибок данной методики?
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ОСНОВЕ
ЗАКОНОВ РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Цель работы – экспериментальное исследование законов динамики вращательного движения.
Оборудование: лабораторная установка, блок индикации и управления, грузы, линейка.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
При вращательном движении твердого тела его угловое ускорение  пропорционально
моменту М сил, действующих на тело. Таким образом, можно записать
M
(1)
 .
I
Здесь величина I, характеризующая инерционность тела при вращении, называется моментом инерции. В частности, для материальной точки массой m, движущейся по окружности радиуса r, момент инерции равен
I = m r2.
(2)
Соотношение (1) называют основным законом динамики вращательного движения.
Для проверки законов вращательного движения в данной работе используется маятник
Обербека, схема которого изображена на рис.1. Исследуемое тело 1 состоит из четырехстержней, укрепленных во втулке. На стержнях закрепляются грузы 2, перемещая которые,
можно менять момент инерции тела. На одной оси с телом находится шкив 3 радиусом r0.
Рис. 1. Схема установки.
Гиря 4, приводящая тело во вращение, прикреплена к концу нити, которая перекинута через
блок 5 и наматывается на шкив 3. На основную гирю массой m0 могут надеваться от одного
до четырех дополнительных грузов 6.
Вращение маятника происходит под действием момента М силы натяжения нити и противоположно направленного момента сил трения Mт.
Таким образом, согласно равенству (1) уравнение движения маятника имеет вид
M  M ТР

(3)
I
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или
М = Мтр + I.
(4)
Из равенства (4) видно, что если сила трения постоянна (не зависит от скорости), то зависимость величины M от  является линейной функцией вида y = y0+ kx. При этом I играет
роль углового коэффициента k. Таким образом, экспериментальное исследование взаимосвязи между моментом силы натяжения M и угловым ускорением  позволяет найти момент
инерции колеса I.
Движение гири 4 происходит под действием силы тяжести mg (где m – масса гири; g –
ускорение свободного падения) и силы натяжения нити F. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения гири имеет вид
m a = m g - F,
(5)
здесь a – ускорение движения гири, которое можно найти, зная время t её опускания и пройденный путь h. Используя известное уравнение равноускоренного движения, имеем
2h
(6)
a 2
t
Из равенств (5) и (6) получаем выражение для определения момента силы натяжения
2h 

M  Fr0  mr0  g  2 
(7)
t 

Учитывая соотношение a = r0, связывающее угловое и линейное ускорения для точек
на окружности шкива, из формулы (6) находим
2h
 2
(8)
r0 t
Формулы (7) и (8) позволяют найти по экспериментальным данным момент силы натяжения нити M и угловое ускорение . Тогда, проведя опыты с гирями различной массы m,
можно исследовать зависимость M от  и построить соответствующий график. Таким образом, определение момента инерции колеса сводится к определению углового коэффициента
найденной из опыта функции M().
Отметим, что вследствие погрешностей измерения экспериментальные точки на графике М() фактически не будут находиться на одной прямой. Поэтому возникает задача проведения прямой с наименьшим отклонением от полученных точек. (Для более точного построения искомой прямой следует использовать метод наименьших квадратов).
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Подготавливая установку к измерениям, необходимо установить стойку так, чтобы гиря
при опускании не задевала фотоэлементы. Установить грузы по осям крестовины на r =
14 см от оси вращения. К одному из шкивов 3 прикрепить нить, к другому концу нити
подвесить гирю 4 и перекинуть нить через верхний шкив 5. Установить при помощи разновесов 6 массу гири большую, чем минимальная масса, при которой маятник начинает
вращаться. Вращая маятник, установить груз в крайнем верхнем положении таким образом, чтобы нижняя плоскость гири совпала с одной из рисок шкалы вертикальной стойки.
Записать это значение. Зафиксировать груз в этом положении. Для этого нажать на кнопку «СЕТЬ» блока, при этом должен сработать фрикцион электромагнита. Установить
кронштейн с фотодатчиком в нижней части шкалы вертикальной стойки и расположить
фотодатчик 7 таким образом, чтобы гиря с дополнительными грузами при движении вниз
проходила по центру рабочего окна фотодатчика. За нижнее положение гири берется отметка шкалы, соответствующая риске на корпусе фотодатчика и являющаяся как бы продолжением оптической оси фотодатчика, которую пересекает движущаяся гиря.
2. Нажать на кнопку «ПУСК» блока. Происходит растормаживание электромагнита, гиря
начинает опускаться, и таймер блока начинает отсчет времени. При пересечении гирей
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
оптической оси фотодатчика отсчет времени прекратится. Записать показания таймера,
т.е. время движения гири t.
3. Определить по шкале пройденный грузом путь h, это расстояние от нижней плоскости
гири в верхнем положении до оптической оси фотодатчика. Записав значения h, r, m, t,
нажать клавишу “СБРОС”.
4. Измерения повторить 5 раз.
5. Вычислить по формулам (7) и (8) вычислить момент силы натяжения нити М и угловое
ускорение . Результаты занести в таблицу 1.
Таблица 1
№
п/п
m, кг
r, м
h, м
М,
кг∙м2/с2
t,с
<М>,
кг∙м2/с2
,
рад/с2
<  >,
рад/с2
1
2
3
4
5
6. Провести эксперимент при тех же значениях h и r, увеличивая массу гири с помощью дополнительных грузов. Всего провести измерения для 4 значений массы m. Полученные
данные занесите в таблицу 2, аналогичную таблице 1.
7. Выполнить задания п. 2 и п. 3 при других положениях грузов 2 для r = 11 см и r = 8 см.
Каждое измерение повторять по 5 раз. Результаты записать в таблицы 3 и 4.
8. Построить график функции M().
9. Аппроксимировать экспериментальные результаты линейной зависимостью (Приложение
2).
10. Методом наименьших квадратов, определить момент инерции маятника Обербека при
фиксированном положении грузов.
11. Для проверки справедливости соотношения (2) построить график зависимости момента
инерции I системы грузов от величины r2. Если размерами грузов можно пренебречь, то в
пределах погрешности измерений экспериментальные точки на графике I(r2) должны
находиться на одной прямой.
12. Для этого же расположения грузов вычислить теоретическое значение момента инерции
системы грузов по формуле:
I T  I 0  4 mr 2  4 ml 2 12  4 mR Г2 4 ,
(9)
где m – масса груза; r – расстояние от центра масс грузов m до оси вращения; RГ = 0,015
м – радиус груза; l = 0,02 м – длина образующей груза.
13. Сравнить теоретическое и экспериментальное значение момента инерции системы грузов.
14. Сделать вывод по работе.
Контрольные вопросы:
1. Описать устройство лабораторной установки и методику выполнения работы.
2. Что понимают под вращательным движением твердого тела, при каких условиях оно возникает?
3. Чем характеризуется вращательное движение тела?
4. Что понимают под моментом инерции материально точки?
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Записать формулы для определения момента инерции твердых тел правильной геометрической формы.
6. Записать основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
7. Сформулировать теорему Штейнера.
8. Вывести расчетные соотношения, используемые в данной работе.
9. Каковы основные источники ошибок данной методики?
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 7
ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА МЕТОДОМ
КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы – исследование крутильных колебаний, измерение момента инерции тела сложной формы.
Оборудование: лабораторная установка, блок индикации и управления, грузы, линейка, исследуемое тело (параллелепипед).
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Момент инерции I – это величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении. Величину I можно определить из основного закона динамики вращательного
движения:
M
I
,

где М – момент сил, приложенных к телу;  – его угловое ускорение.
Величина I зависит от размеров, формы и массы тела. Исследуемым телом в данной работе является образец в форме параллелепипеда.
Схема установки представлена рис. 1.
Рис. 1. Схема установки.
Рамка 1 закреплёна на натянутой стальной проволоке, проходящей по ее геометрической оси. Если рамку повернуть на некоторый угол , то происходит закручивание проволоки. Тогда силы упругости стремятся вернуть рамку в исходное положение. Момент М возвращающей силы при относительно малом угле поворота связан с ним соотношением
М = – D ,
(2)
где D – коэффициент, называемый модулем кручения проволоки. Величина D зависит от
длины проволоки, её диаметра и модуля сдвига, характеризующего упругие свойства мате-
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
риала проволоки. Из формул (1) и (2) получаем дифференциальное уравнение, описывающее
движение рамки:
I   D , или   20   0 ,
(3)
где 0  D I .
Решением уравнения (3)
   0 cos0 t    с периодом T:
для

угла
T  2
является
I
.
D
гармоническое
колебание
(4)
Таким образом, исследуемое тело совершает крутильные колебания. В принципе, момент инерции I можно найти на основе соотношения (4), если знать величину D, но в данной
работе определение модуля кручения D не требуется. Можно измерить период колебания T
пустой рамки с моментом инерции I, затем определить период T1 колебаний системы, состоящей из рамки с установленными на нее грузами 3 с известным моментом инерции I0. Тогда,
согласно формуле (4), имеем
T1  2
I  I0
.
D
(5)
Исключая, из формул (4) и (5) величину D, получаем формулу для расчета момента
инерции I исследуемого тела
I  I0
T2
.
T12  T 2
(6)
Период колебаний T – это время одного полного колебания. Величину Т можно измерить как время между двумя последовательными прохождениями рамкой положения равновесия в одном и том же направлении. Для повышения точности измерения Т его находят, измеряя длительность t некоторого числа N полных колебаний. Тогда
t
(7)
T  .
N
1.
2.
3.
4.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Установить рамку так, чтобы в положении равновесия флажок рамки находился между
окнами фотодатчика 2 (см. рис. 1). Установить электромагнит в положение, приблизительно соответствующее 40о по угловой шкале. Включить электропитание нажатием
кнопки “СЕТЬ”. Затем повернуть рамку так, чтобы она удерживалась в исходном положении электромагнитом. Нажать кнопку “ПУСК”. В данной работе рекомендуется брать
число полных колебаний N равное 10. Кнопку “СТОП” надо нажимать, когда число полных колебаний по показаниям секундомера будет равно N - 1.
Измерить длительность времени t для числа полных колебаний рамки N = 10. Повторить
опыт 5 раз. Определить период колебаний рамки Т.
Установить два груза 3 на планку. Определить период колебаний Т1 рамки с грузами по
формуле (7).
Определить момент инерции рамки по формулам:
 r2

I 0T 2
; I 0  2 m   a 2 
(8)
Iр  2
2
T1  T
2

где m – масса груза, кг; (определите массу груза)
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r = 0.015 м – радиус груза;
a = 0.052 м – расстояние от оси вращения рамки до оси грузов.
5. Снять грузы, установить исследуемый образец 4 в рамке и закрепить специальными винтами так, чтобы одна из его геометрических осей совпадала с осью рамки.
6. Определить период колебаний Т2 рамки с образцом по формуле (7).
7. Определить момент инерции исследуемого образца по формуле:
 T 22

(9)
I 0  I р  2  1
 T1

8. Рассчитать теоретический момент инерции образца I0 по формуле
m
(10)
I 0  ( a2  b2 ),
12
где a и b – длины сторон параллелепипеда, расположенные в горизонтальной плоскости, m – масса образца (измерьте массу образца).
9. Сравнить результаты экспериментального определения момента инерции образца с расчетными.
10. Сделать вывод по работе.
МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ
Из формул (7) – (10) можно получить следующие соотношения для расчёта погрешностей I0 и I.
1
2
aa 2  bb 2  2 .
I 0  m 
 
 4

2
I0
a2  b2
 m 


(11)

1
2
 I   t   t   
I  I 0 
  4      1    .
(12)
 
I
I 0   t   t1   
 I 0 




Погрешности t, m, a и b находят по данным повторных прямых измерений. Необходимо выполнить не менее трех измерений. Затем на основе (11) и (12) рассчитывают I.
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2
2
2
Контрольные вопросы:
Описать устройство лабораторной установки и методику выполнения работы.
Что понимают под вращательным движением твердого тела, при каких условиях оно возникает.
Чем характеризуется вращательное движение тела?
Что понимают под моментом инерции материально точки?
Знать формулы для определения момента инерции твердых тел правильной геометрической формы.
Знать основной закон динамики вращательного движения твердого тела и его математическую форму записи.
Уметь выводить расчетные соотношения, используемые в данной работе.
Каковы основные источники ошибок данной методики?
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 8
ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА
Цель работы: определить ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника.
Оборудование: лабораторная установка, блок индикации и управления, линейка.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Физическим маятником называется твердое тело, имеющее возможность совершать колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. Можно показать, что период малых свободных колебаний физического маятника определяется соотношением
I
(1)
T  2
mlg
где g – ускорение свободного падения, m – масса маятника, I –
момент инерции маятника относительно оси подвеса, l – расстояние от оси подвеса до центра инерции маятника.
В частности, для математического маятника, масса которого сосредоточена в центре инерции, имеем IМ = ml2. Тогда из
равенства (1) получаем
(2)
T M  2 l g .
Соотношение (1) удобно преобразовать, используя теорему
Штейнера:
I = I0+ m l2,
(3)
где I0 – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр инерции
параллельно оси подвеса. Подставив равенство (3) в (1), находим
I  ml 2
(4)
T  2 0
mgl
Представляет интерес анализ зависимости периода Т колебаний физического маятника
от величины l. В предельном случае при больших значениях l соотношение (4) переходит в
(2), т.е. получаем математический маятник
(5)
T ( l ) |l   2 l g .
При малых l маятник близок к положению безразличного равновесия. В этом случае из соотношения (4) получаем
I0
(6)
T ( l ) |l 0  2 
.
mgl
Примерный вид графика зависимости Т(l) представлен на рис. 1. Асимптотическое поведение функции при l и l описывается выражениями (5) и (6). Можно показать, что
при lmin = (I0/m)1/2 функция Т (l) имеет минимум.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Примерный вид графика зависимости Т(l).
Рассмотрим возможность определения с помощью физического маятника ускорения
свободного падения g. Входящую в формулу (4) величину I0, которую трудно найти из опыта,
можно исключить, измеряя период колебаний при двух разных значениях l. Записав равенство (4) для l1 и l2, получим систему уравнений
2
2
2

mgl1T 1  4  ( I 0  ml1 ),
(7)

2
2
2

mgl2T 2  4  ( I 0  ml 2 ).
Отсюда находим:
l2  l2
(8)
g  42 2 1 2 2 .
T1 l1 T 2 l2
На практике трудно точно определить положение центра инерции маятника, т.е. измерить l1 и l2. Эту трудность можно обойти, если взять такие расстояния l1(0) и l2(0), чтобы соответствующие периоды были равны (см. рис. 1), т.е. выполнялось условие T1(0)=T2(0)=T0. Тогда,
полагая l1(0) l2(0), из равенства (8) получаем
4 2
(9)
g  2 l1( 0 )  l2( 0 ) .
T0


Если оси расположены по разные стороны от центра инерции, то сумма l1(0)+ l2(0) есть
просто расстояние l0 между осями, которое легко измерить с высокой точностью.
Рис. 2. Схема оборотного маятника.
Итак, если наблюдается равенство периодов колебаний физического маятника относительно двух осей, находящихся по обе стороны от центра инерции и на разном расстоянии от
него, то величину g можно найти из соотношения
l
g  4 2 02 ,
(10)
T0
где l0 – расстояние между осями; T0 – общий период колебаний.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В работе используется физический маятник, называемый оборотным. Схематически он
изображен на рис. 2. Основной частью маятника является металлический стержень 1. Осями
подвеса служат ребра двух призм 2, закрепленных вблизи концов стержня. В рабочем положении призмы устанавливаются в V -образные опоры штатива. Смещение центра инерции,
необходимое для изменения расстояния l1 и l2 обеспечивается перемещением массивного груза 3, находящегося у конца стержня. Положение фиксированного груза 4 подобрано так, чтобы с помощью регулировочного груза можно было добиться равенства T1 и T2 в прямом и обратном положениях маятника.
Для более точного измерения величины T0= T1(0)=T2(0) в работе исследуется зависимость
T1 и T2 от положения х регулировочного груза, которое определяется по специальной шкале.
Поскольку расстояние l0 между осями фиксировано, то при смещении груза изменение l1 и l2
будет одинаково по величине, но противоположно по знаку. Как видно из рис. 1, это приведет к одинаковому по знаку изменению периодов T1 и T2. Однако при достаточной асимметрии в расположении центра инерции зависимость T(x) в обратном положении маятника будет
более крутой, чем в прямом.
Таким образом, графики зависимостей T1(x) и T2(x) для прямого и обратного положений
маятника будут иметь вид, изображенный на рис. 3. В результате значение T0
Рис. 3. Графики зависимостей T1(x) и T2(x).
можно найти как ординату точки пересечения соответствующих кривых.
Период колебаний маятника можно определить по формуле
T t N ,
(11)
где t – время, за которое совершается полное число N колебаний. При повторных измерениях
удобно регистрировать время t одного и того же числа колебаний N, тогда нет необходимости сразу переходить к величине Т. Практически удобнее, исследовать зависимости t(x) для
прямого и обратного положений маятника. Точка пересечения соответствующих графиков
даст величину t0= t1(0) = t2(0). Тогда с учетом выражений (10), (11) получаем для расчета ускорения свободного падения соотношение
2
N 
g  4  l0   .
(12)
t
 0
Вследствие погрешностей измерений, экспериментальные точки на графике t(x) могут
не находиться на плавной кривой, предсказываемой теорией (см. рис. 3). Поэтому при обработке результатов измерений кривые t1(x) и t2(x) следует провести приближенно, стремясь
минимизировать их средние отклонения от полученных из опыта точек.
2
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
При подготовке к выполнению работы следует установить стойку строго вертикально.
Нижний конец стержня должен свободно проходить между окнами фотодатчика. Установить
маятник так, чтобы регулировочный груз находился на расстоянии 2 см от конца стержня.
Внимание! При работе с маятником следует соблюдать осторожность и убедиться, что
ребро призмы, служащей осью подвеса, находится в углублении V-образной опоры. Амплитуда колебаний должна составлять около 10 градусов.
1. Измерить время t1 для N = 10 полных колебаний маятника. Запуск и остановка секундомера осуществляется фотоэлектрическим датчиком. При нажатии на клавишу “ПУСК“
начинается отсчет времени от момента прохождения маятником положения равновесия.
При нажатии клавиши “СТОП” секундомер фиксирует длительность t целого числа колебаний на момент ближайшего во времени прохождения маятником положения равновесия. Число колебаний фиксируется специальным индикатором. Записать значения t, N и
положение x груза.
2. Перевернуть маятник и повторить задание п. 1. Определить время t2
3. Повторить опыт при пяти различных значениях x, перемещая груз из одного крайнего положения в другое.
4. Измерить расстояние l0 между ребрами призмы, служащими осями подвеса маятника, и
оценить его погрешность l0.
5. При оформлении отчета построить графики зависимостей t1(x) и t2(x) для прямого и обратного положений маятника. Найти величину t0 как ординату точки пересечения соответствующих кривых. По формуле (12) рассчитать величину g.
6. Оценить ошибку определения t0 и рассчитать погрешность нахождения g.
7. Сделать вывод по работе.
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПОГРЕШНОСТИ
Используя правила вычисления погрешности косвенных измерений, из выражения (12)
получаем следующую формулу для относительной погрешности величины g:
2
2
 l 
 t 
g
(13)

  0   2 0 
g
l
t
 0 
 0 
где l0 и t0 – абсолютные погрешности величин l0 и t0.
Поскольку расстояние l0 измеряется непосредственно, то его погрешность определяется
как обычно по данным многократных измерений. Величина t0 определяется косвенным методом по графикам зависимостей t1(x) и t2(x). При этом вследствие наличия погрешностей t
при измерении времени t, график t(х) фактически должен изображаться не линией, а полосой
шириной около 2t.
Погрешность t следует найти по данным многократных измерений промежутков времени t и нанести на график. Тогда в результате пересечения кривых t1(x) и t2(x), проведенных
с учетом погрешности, получим некоторую область. Величина t0 находится как ордината ее
центра. Оценку погрешности t0 получаем, учитывая, что максимальный размер указанной
области вдоль оси ординат составляет 2t0. При оценке t0 следует учитывать, что точность
построений на графике не превосходит 0,5 мм.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Контрольные вопросы:
Знать устройство лабораторной установки и методику выполнения работы.
Что понимают под математическим и физическим маятниками?
Знать формулы для периода колебания математического и физического маятника.
Знать теорему Штейнера.
Уметь выводить расчетные соотношения, используемые в данной работе.
Каковы основные источники ошибок данной методики?
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 9
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ С ПОМОЩЬЮ
МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА
Цель работы – ознакомление со сложным движением твердого тела и
проверка закона сохранения энергии на примере движения маятника
Максвелла.
Оборудование: лабораторная установка, блок индикации и
управления, линейка, весы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Общий вид установки, используемой в настоящей работе,
представлен на рис. 1. Маятник Максвелла представляет собой
металлический диск 1, в середине которого укреплен металлический стержень 2. К концам этого стержня прикреплены две крепкие (капроновые) нити 3. Они наматываются на стержень (от концов его к диску). Диск маятника представляет собой непосредственно сам диск и сменные кольца, которые закрепляются на диске. При освобождении маятника он начинает движение: поступательное вниз и
вращательное вокруг своей оси симметрии.
Рис 1. Маятник Максвелла.
Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нитей на стержень, а, следовательно, и к подъему маятника. Движение маятника после этого замедляется, маятник останавливается и снова начинает свое движение вниз и т.д. Ход маятника (расстояние, проходимое маятником) может
быть измерено по вертикальной рейке с делениями, укрепленной на стойке.
Уравнения движения маятника без учета сил трения имеют вид:
(1)
ma  mg  2T ,

(2)
 I  2Tr,
 a    r,
(3)

где m – масса маятника, I – момент инерции маятника, g – ускорение силы тяжести, r – радиус стержня, T – сила натяжения нити (одной), a – ускорение поступательного движения цен32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тра масс маятника,  – угловое ускорение маятника. Ускорение a может быть получено по
измеренному времени движения t и проходимому маятником расстоянию h из уравнения:
a = 2h/t2.
(4)
Масса маятника m является суммой масс его частей (оси m0, диска mД и кольца mК):
m = m0 + mД + mК. Момент инерции маятника I также является аддитивной величиной и определяется по формуле
I = I0 + IД + IК ,
(5)
где I0 , IД , IК - соответственно моменты инерции оси, диска и кольца маятника. Момент
инерции оси маятника I0 равен
I0 = m0r2/2,
(6)
где r – радиус оси, m0 = 0.019 кг – масса оси.
Момент инерции диска маятника IД может быть найден как
IД = mДRД2 / 2
(7)
где RД – радиус диска, mД = 0.1 кг – масса диска.
Момент инерции кольца IК находится по формуле
IК = mК(RК2 +b2/4),
(8)
где RК – средний радиус кольца, mК– масса кольца, b - ширина кольца.
Из уравнений (1), (2), (3) легко можно получить выражение для расчета теоретического
значения ускорения движения центра тяжести маятника:
aт = g / (1 + I / mr2).
(9)
Зная линейное и угловое ускорения, легко найти скорость движения оси маятника и угловую скорость его вращения:
v = at;  = t.
(10)
Полная кинетическая энергия маятника складывается из энергии поступательного перемещения центра масс (совпадающего с центром оси) и из энергии вращения маятника вокруг оси:
mv 2 I 2
W кин 

.
(11)
2
2
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Внимание! Все измерения необходимо производить с большой осторожностью, так как
маятник легко повредить, если даже незначительно погнуть его стержень. Маятник с погнутым стержнем при своем движении начинает «бить», сильно раскачиваясь из стороны в сторону. Производить измерения с таким маятником опасно, поэтому следует оберегать маятник от ударов об пол, край стола и т.п.
1. Собрать установку «Маятник Максвелла» (см. рис. 1). Установить нижний кронштейн с
фотодатчиком 4 в крайнее нижнее положение шкалы так, чтобы верхняя плоскость
кронштейна совпала с одной из рисок шкалы.
2. Произвести регулировку положения основания установки при помощи регулировочных
опор так, чтобы диск на бифилярном подвесе находился в центре окна фотодатчика.
3. Установить с помощью устройства 5 необходимую длину бифилярного подвеса таким
образом, чтобы нижний край диска маятника находился на 4…5 мм ниже оптической оси
фотодатчика; при этом ось маятника должна занять горизонтальное положение.
4. Подключить фотодатчик и электромагнит к блоку. Нажать кнопку «СЕТЬ». При этом
должно включиться табло индикации. Аккуратно вращая маятник, зафиксировать его в
верхнем положении при помощи электромагнита, при этом необходимо следить за тем,
чтобы нить наматывалась на ось виток к витку. В зафиксированном положении нити подвеса должны быть прослаблены. Нажать на кнопку «СБРОС» для того, чтобы убедиться,
что на индикаторах устанавливаются нули.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Нажать на кнопку «ПУСК» блока. Происходит растормаживание электромагнита, маятник начинает опускаться, и таймер блока начинает отсчет времени. При пересечении маятником оптической оси фотодатчика отсчет времени прекратится. Записать показания
таймера, т.е. время движения груза t.
6. По шкале стойки определить ход маятника h.
7. Записать значения h и t, нажать клавишу “СБРОС”. Повторить эксперимент 5 раз. Полученные данные занести в таблицу 1.
Таблица 1
№
п/п
1
2
3
4
5
t, с
h,м
aэ, м/с2
,
рад/с2.
 , м/с
,
рад/с
8. Определить экспериментальное значение ускорения aэ по формуле (4). Найти угловое
ускорение маятника, линейную и угловую скорости в момент прохождения маятником
оси фотодатчика.
9. Оценить погрешности их определения (приложение 1).
10. Сравнить теоретическое и экспериментальное значение ускорения, вычислив относительное отклонение:
(( aэ – aт) / aт) ·100%
(12)
11. С помощью штангенциркуля измерить радиусы оси маятника, диска и кольца r, RД, RК и
ширину кольца b. Определить массу кольца. По формулам (5) – (8) рассчитать момент
инерции маятника.
12. По формуле (11) найти кинетическую энергию маятника Максвелла, сравнить ее с
начальной потенциальной энергией Wпот = mgh. По разности этих энергий найти работу
сил трения.
13. Сделать вывод по работе.
Контрольные вопросы:
1. Описать устройство лабораторной установки и методику выполнения работы.
2. Чем характеризуется вращательное движение тела?
3. Что понимают под центром тяжести твердого тела?
4. Записать формулы для определения момента инерции твердых тел правильной геометрической формы.
5. Сформулировать основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
6. Сформулировать теорему Штейнера.
7. Кинетическая энергия твердого тела в случае его произвольного движения.
8. Получить расчетные соотношения, используемые в данной работе.
9. Каковы основные источники ошибок данной методики?
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 10
ГИРОСКОП
Цель работы – экспериментальная проверка зависимости угловой скорости прецессии гироскопа от
момента силы тяжести противовеса
Оборудование: лабораторная установка, блок индикации и управления, штангенциркуль, весы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Гироскопом обычно называют быстровращающееся симметричное твердое тело, ось вращения
(ось симметрии) которого может изменять свое
направление в пространстве. Свойствами гироскопа
обладают вращающиеся небесные тела, артиллерийские снаряды, роторы турбин, устанавливаемых на судах, винты самолетов и т. д. В современной технике гироскоп – основной элемент всевозможных гироскопических устройств или
приборов, широко применяемых для автоматического управления движением самолетов, судов, торпед, ракет, для целей навигации (указатели курса, горизонта и пр.) и др.
Рис. 1. Гироскоп в кардановом подвесе
Простейшим гироскопическим прибором, который входит в качестве основной
составной части в большинство гироскопических устройств, является массивный диск (ротор
гироскопа), закрепленный в кольцах так называемого карданова подвеса (рис. 1).
В этом приборе имеются три оси вращения, взаимно перпендикулярные и пересекающиеся в
одной точке: ось АА1 наружного кольца подвеса, ось ВВ1 внутреннего кольца и ось СС1 ротора гироскопа (ось гироскопа).
Если общий центр тяжести подвижных частей прибора – ротора и двух колец – совпадает с точкой пересечения трех осей вращения прибора, то гироскоп сохраняет равновесие
при любом положении его ротора – равновесие является безразличным. Такой гироскоп
называется уравновешенным или астатическим.
Если ротор уравновешенного гироскопа не вращается, то достаточно слегка ударить по
прибору, чтобы его ось вышла из первоначального положения и начала поворачиваться в соответствии с направлением силы удара. Это движение будет продолжаться, пока силы трения
не остановят прибор в каком-то новом равновесном положении. Если же привести ротор гироскопа в быстрое вращение, то реакция его на действие внешних сил будет совершенно
иной. Если теперь ударить по гироскопу, то его ось почти не изменит своего положения, и
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
остановится сразу же после прекращения действия силы – ось гироскопа приобрела устойчивость, и эта устойчивость тем больше, чем больше угловая скорость вращения и момент
инерции ротора. Изменится и направление движения оси: если к вращающемуся гироскопу
приложить пару сил, стремящихся повернуть его около оси, перпендикулярной к оси его
вращения, то он станет поворачиваться около третьей оси, перпендикулярной к первым
двум. В этом и заключается так называемый гироскопический эффект.
Что бы понять эти, парадоксальные на первый взгляд, свойства гироскопа рассмотрим
конкретный пример см. рис.2. Гироскопом в данном случае будет являться - симметричное,
быстро вращающееся твёрдое тело, ось которого может изменять своё положение в пространстве. Для быстро вращающегося гироскопа можно считать, что направления векторов
главного момента количества движения и мгновенной угловой скорости мало отличаются от
направления оси симметрии фигуры. Именно это позволяет судить о движении вектора главного момента количества движения по движению видимой оси симметрии гироскопа.
Z
О

L



a

M

mg

L1


Y d

dL
X
Рис. 2.
Пусть гироскоп вращается вокруг оси OY с угловой скоростью

(рис. 2). Момент


импульса гироскопа относительно точки О будет равен L  I (1), где I – момент инерции
гироскопа относительно оси OY.
Повесим на ось гироскопа небольшой груз массой m на расстоянии а от точки О, т.е. подей
ствуем на ось гироскопа силой mg . Момент этой силы относительно точки О равен

 
M  a , mg  .
(2)

Казалось бы, что этот момент M должен стремиться повернуть ось гироскопа в вертикальной плоскости. Но ось гироскопа будет поворачиваться в горизонтальной плоскости.
Действительно, согласно основного закона динамики вращательного движения:

 
 dL
dL  M  dt
M
или
(3)
dt


Это означает, что за время dt вектор L получает приращение dL , и момент импульса



гироскопа через промежуток времени dt будет равен L1  L  dL . Значит, ось гироскопа по
вернётся в плоскости XY на угол d. Но при новом положении оси гироскопа вектор M
вновь перпендикулярен к ней. Поэтому ось гироскопа вновь повернётся и т.д., т.е. ось гироскопа начнёт вращаться около вертикальной оси OZ. Такое движение гироскопа называют
прецессией. Угловая скорость прецессии (  ) равна:

36
d
dt
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


Если момент внешних сил достаточно мал, то можно считать, что L  L1 , поэтому отрезок

dL можно рассматривать как дугу, опирающуюся на угол d (рис.2) и следовательно:
dL  L  d
(5)
Таким образом, из (1) - (5) имеем:

M mga

L
I
(6)
Схема лабораторной установки показана на рис. 3.
Рис. 3. Схема установки.
В данной работе телом гироскопа служит электромотор 1 с маховиком 2, укрепленный
на одном конце массивного стержня 3. На другом конце стержня имеется противовес 4,
предназначенный для создания свободной уравновешенной системы относительно горизонтальной оси и получения момента внешних сил, вызывающих прецессию гироскопа. Прецессия гироскопа вызывается смещением противовеса вдоль стержня. Таким образом, момент
сил, вызывающих прецессию,  равен разности моментов, создаваемых противовесом в неуравновешенном и уравновешенном состояниях, M  mg l  l0  , где m – масса противовеса
вместе с контргайкой, l0 – плечо уравновешенного, а l – плечо неуравновешенного гироскопа. Скорость вращения гироскопа и скорость прецессии определяются блоком управления.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. При помощи регулировочных опор основания 5 по уровню гироскопа отрегулировать положение основания.
2. Передвигая противовес 4, добиться того, чтобы система находилась в положении равновесия. С помощью штангенциркуля измерить расстояние l0 от конца стержня 3 до ближайшей плоскости противовеса. Убедиться в том, что ось не вращающегося гироскопа
смещается по направлению действующих сил. При помощи кнопок блока управления
включить электродвигатель гироскопа, установить скорость 6000 об/мин. Убедиться в отсутствии прецессии.
3. Сместить противовес на несколько делений в любую сторону. При помощи штангенциркуля измерить расстояние от конца стержня до ближайшей плоскости противовеса l1.
Определить l1 по формуле:
l1  l0  l1
(7)
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Включить электродвигатель и с помощью таймера блока определить время t1 поворота
прецессирующего гироскопа на угол 180 градусов. Определить скорость прецессии по
формуле:


(8)
t1
5. Повторить измерения периода прецессии при 4 различных скоростях вращения ротора
гироскопа . Силы трения в роторе не дают возможности получать малые скорости вращения. Кроме того, чем больше скорость вращения, тем более устойчив гироскоп. Поэтому рекомендуется проводить измерения при скоростях не меньших, чем 1500 об/мин. Полученные данные занести в таблицу 1.
№
п/п
1
2
3
4
5
0, м
1, м
 , м
 , рад/с
t, с
Таблица 1
 , рад/с
6. Выполнить п.п. 3-5 при других смещениях противовеса l (3 значения). Полученные данные занести в таблицу.
7. Определить массу противовеса путем взвешивания.
8. Представить результаты наблюдения графически, откладывая по оси абсцисс частоту  ,
а по оси ординат – произведение   . Точки в пределах ошибок наблюдения должны лежать на прямой, параллельной оси абсцисс (для каждого значения  будет своя прямая).
Из этих данных определить значение момента инерции гироскопа I.
9. Сделать вывод по работе.
Контрольные вопросы:
1. Чем характеризуется вращательное движение тела?
2. Что такое момент инерции и как его можно определить?
3. Что понимают под гироскопическим эффектом?
4. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела и его математическая
форма записи.
5. Что понимают под прецессией, как определяется угловая скорость прецессии (  )?
6. Устройство лабораторной установки и методика выполнения работы.
7. Уметь выводить расчетные соотношения, используемые в данной работе.
8. Каковы основные источники ошибок данной методики?
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 11
ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы: экспериментальная проверка закономерностей движения математического
маятника.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Математическим маятником обычно называют тело малых размеров (материальную точку), подвешенное на длинной, невесомой и нерастяжимой нити и совершающее движение в вертикальной плоскости (рис. 1).
Если это тело отклонить от положения равновесия, то на него будет действовать
возвращающая сила, т.е. возникает вращающий момент.
(1)
М  mg    sin 
d d 2
 2   ) и запишем
dt
dt
Рис.1.
уравнение вращательного движения тела J    М , где J  m   2 - момент
инерции (как для материальной точки). Исходя из этого, будем иметь: m   2    mg  sin 
Преобразуем, полученное уравнение и получим     g  sin   0 или
Обозначим, через  - угловое ускорение (  
g
(2)
 sin   0

Будем рассматривать колебания математического маятника только при достаточно маg
лых углах отклонения  , тогда   sin  и уравнение примет вид:    02    0 , где  02  
собственная частота колебаний маятника. Полученное уравнение представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка, его решением является функция вида:  t   A cos 0 t   0  , где A – амплитуда,  0 – начальная фаза колебания. Таким образом,
при малых углах отклонения математический маятник совершает гармонические колебания
с частотой 0  g  и периодом T  2  g .
 
Схема лабораторной установки показана на рис. 2. В качестве математического маятника используется металлический шар 1, подвешенный на двух капроновых нитях к кронштейну 2. На этом же кронштейне находится также ролик 3, позволяющий изменять длину
подвески. На нижнем кронштейне укреплен фотодатчик 4. Расстояние между кронштейнами
определяется по нанесенной на штатив шкале 5.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис 2. Схема установки.
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
1. Установить нижний кронштейн с фотодатчиком 4 в крайнее нижнее положение шкалы 5
так, чтобы верхняя плоскость кронштейна совпала с одной из рисок шкалы. Установить
верхний кронштейн таким образом, чтобы шарик 1 математического маятника оказался в
рабочей зоне фотодатчика. Вращая ролик 3, добиться такого положения шарика, при котором его центральная риска будет совпадать по высоте с риской на фотодатчике. По
шкале на вертикальной стойке определить длину математического маятника  1 .
2. Привести математический маятник в колебательное движение, отклонив металлический
шарик на угол 5 – 6 градусов, после чего нажать на кнопку СБРОС на блоке. По показанию таймера определить значение времени 20 … 50 полных колебаний маятника. Определить период колебаний маятника по формуле T1  t1 N , где tl – время колебаний, N –
число колебаний.
3. Передвинуть вверх кронштейн с фотодатчиком на два-четыре деления шкалы вертикальной стойки. Вращая ролик 3, добиться такого положения шарика, при котором его центральная риска будет совпадать по высоте с риской на фотодатчике. По шкале вертикальной стойки определить длину математического маятника  2 . Повторить эксперимент по
п. 2.
4. Повторить эксперимент по п. 3, уменьшая длину маятника (опыт проводить не менее 5
раз). Полученные данные занести в табл.1.
5. По полученным данным вычислить g. Оценить точность измерений, вычислив абсолютную и относительную погрешности.
6. Записать результат в виде g = g ± ∆g м/с2 и объяснить его.
Таблица 1
2 2
№
N
t,
с
T,
с
T
,
с
g,
<g>
∆g,
<∆g>
,
м
,
< >


2
2
2
2
м/с
м/с
м/с
м/с
%
%
1
2
3
4
5
7. Построить график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника. Аппроксимировать полученную зависимость прямой линией T 2  al  b . Определить коэффициент наклона a по методу наименьших квадратов. Найти величину ускорения свободного
4 2
падения g 
.
a
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. Сравнить экспериментальное значения ускорения свободного падения с табличным значением.
9. Сделать вывод по работе.
Контрольные вопросы:
1. Устройство лабораторной установки и методика выполнения работы.
2. Что понимают под математическим маятником?
3. Вывод формулы периода собственных колебаний математического маятника.
4. От чего зависит период колебаний математического маятника?
5. Какие колебания называются гармоническим, чем они характеризуются?
6. При каких условиях математический маятник будет совершать гармонические колебания?
7. Вывод расчетных соотношений, используемых в данной работе.
8. Каковы основные источники ошибок данной методики?
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА.

С точки зрения математических операций, которые необходимо произвести над измеренными величинами для определения искомой, все измерения разделяют на прямые и косвенные.
При прямом измерении физической величины ее значение непосредственно
пределяяется с помощью прибора, который измеряет саму эту величину. При косвенном
измерении физической величины ее значение находят, основываясь на результатах прямых
измерений других физических величин, с которыми искомая величина связана известной
функциональной зависимостью.
Обработка результатов прямых измерений.
Предположим, что систематические ошибки отсутствуют. Если при каждом отдельном
измерении получаются различающиеся результаты, то этот факт говорит о влиянии случайных ошибок. Поэтому о результатах измерений говорят как о случайных величинах.
В этом случае в качестве наиболее близкого к истинному значению измеряемой величины следует принимать среднеарифметическое значение ( x) из всех n результатов измерений x1, x2, x3,… xn
1 n
(1)
 х    xi
n i 1
Результат измерения записывается в виде:
x =  x  x
(2)
где x – положительная величина, называемая абсолютной погрешностью (ошибкой)
найденного значения x. Величина  = x/x - определяет относительную погрешность измерения величины х (обычно выражается в процентах).
В качестве наилучшего значения величины x можно выбрать его среднеарифметическое значение из серии n измерений:
1 n
(3)
х   x i   x 
n i 1
Среднеквадратичная или стандартная ошибка прямых измерений величины х
пределяяется соотношением, полученным в теории вероятностей:
n
x 
 x
i 1
i
  x 
2
n(n  1)
(4)
При записи значения абсолютной погрешности, следует пользоваться следующими
правилами:
1) Величину погрешности х необходимо округлить до двух значащих цифр, если первая из
них единица и до одной значащей цифры в любом другом случае.
2) При записи  x  необходимо указать все цифры вплоть до последнего десятичного разряда, использованного для записи величины x.
Обработка результатов косвенных измерений.
Если измеряемая величина (обозначим ее Z) является функцией нескольких переменных (например, А, В, С,…), то стандартная абсолютная ошибка может быть вычислена следующим образом:
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 Z 
 Z 
 Z 
2
2
2
(Z)  
  (A)     (B)     (С)  ...
 A 
 B 
 С 
2
2
2
2
(5)
Производные вычисляются в точке А=А, В= В, С=С.
1.
2.
3.
При практическом вычислении ошибок следует придерживаться следующих правил:
При суммировании ошибок можно пренебрегать теми из них, величина которых не превышает одной трети максимальной;
Когда число измерений меньше пяти, то ошибка содержит такую неопределенность, что
вместо соотношения (4) можно использовать (3).
В общем случае необходимо принимать во внимание как случайные, так и инструментальные погрешности прямых измерений. При этом стандартная погрешность измеряемой величины Х рассчитывается из соотношения:
Х 
(Х
сл
) 2  (Х приб. ) 2

(6)
где, Хсл – стандартная случайная погрешность, Хприб. – приборная погрешность. При этом
вычислении не требуется высокая точность. Поэтому, если Хсл и Хприб. Отличаются в три и
более раз, то можно считать Х равной большей из них.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Метод наименьших квадратов (МНК) – это один из стандартных методов математической обработки результатов эксперимента. На практике часто целью измерений является
установление вида некоторой функциональной зависимости у = f(х), где x – независимая переменная, а y – зависимая переменная. В эксперименте одновременно определяются как значения x, так и соответствующие им значения y, а задачей является установление математической модели исследуемой зависимости – подборе аналитической функции, наилучшим образом описывающей экспериментальные данные.
Рис. 1. Линейная аппроксимация.
Искомая математическая модель функциональной зависимости может быть найдена
лишь в результате совместной обработки всех полученных значений x и y. Задача выбора вида функциональной зависимости (эмпирической формулы) – задача не формализуемая, так
как одна и та же кривая на данном участке примерно с одинаковой точностью может быть
описана самыми различными аналитическими выражениями. Иногда эмпирическую формулу удается выбрать, исходя из физического смысла в виде линейной зависимости, экспоненциальной или логарифмической функции и т. п., то есть в виде компактного и содержатель43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ного выражения, где параметры имеют определенный смысл (интерпретируемы). После того
как выбран вид функции-модели, с помощью которой пытаются описать экспериментальные
результаты, должны быть найдены параметры, входящие в эту формулу (a, b и т. д.).
Основной способ нахождения этих параметров – метод наименьших квадратов (МНК),
хотя он не является единственным. Пусть после предварительного анализа была выбрана линейная модель вида ~
y  a  x  b . Теперь задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значения параметров модели a и b. Нам известны значения xi и yi – конкретные числа, полученные в опытах (рис. 1). Для определения неизвестных параметров можно составить систему
уравнений вида:
y i  a  x i  b, i  1, 2, 3, , n.
(1)
Эта система при n-кратных измерениях может быть избыточной, если n > 2 и, вообще
говоря, несовместна, т. к. результаты измерений величин x и y неизбежно содержат ошибки.
Поэтому из этих уравнений можно определить лишь оценки искомых параметров A и B, которые являются случайными величинами.
Будем считать, что все пары экспериментальных значений xi, yi равновероятны (т. е. измерения равноточны), случайные ошибки величин x и y распределены по нормальному закону, а систематическими ошибками можно пренебречь. Между рассчитанными по модели
значениями и экспериментальными отсчетами yi будут наблюдаться отклонения. Введем для
них обозначение  i  y i  ~y i  y i  A  x i  B  . Математики Лежандр и Гаусс показали, что
оценки параметров A и B будут наиболее вероятными, если сумма квадратов отклонений по
всем точкам n будет наименьшей:
n
Q   2i  min
(2)
i 1
Минимум этой суммы находится по правилам дифференциального исчисления: условием минимума функции является обращение в нуль частных производных функции Q по независимым переменным A и B:
Q
Q
(3)
 0;
0
A
B
Подставляя (2) в (3), получаем:
n
n

A

x

n

B

y i  0,

  i
 i 1
i 1
(4)

n
n
n
 B  x  A  x 2  x  y  0.


i
i
i
i
 
i 1
i 1
i 1
Решая эту систему уравнений относительно параметров A и B, находим:
n
A
i 1
n
i 1
i 1
2
,


n   x    x i 
i 1
 i 1 
n
n
B
n
n   x i  yi   x i   yi
n
2
i
n
n
i 1
i 1
i
i 1
(5)
n
x y x x
2
i
i
i 1
i
 yi
.
2
 n

n   x    x i 
i 1
 i 1 
Если разделить числители и знаменатели уравнений системы (5) на n , то после несложных преобразований можно выразить коэффициенты A и B через средние значения величин,
входящих в эти уравнения. Тогда получим:
n
2
i
2
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A
B
x y  x  y
x2  x
,
2
x2  y  x  x  y
x2  x
2
(6)
,
1 n
1 n
1 n
1 n
  x i , y    y i , x  y    x i  y i , x 2    x i2 – средние арифметичеn i 1
n i 1
n i 1
n i 1
ские значения соответствующих величин. Нахождение искомых оценок A и B по уравнениям
(6) удобно при ручном счете на микрокалькуляторах или на ЭВМ.
Теория дает возможность определить также дисперсию (рассеяние, отклонение экспериментальных точек от модельной прямой) и дисперсию коэффициентов A и B. Если обозначить S 02 – дисперсию точек, S A2 и S B2 – дисперсии коэффициентов A и B, то
где x 
n 

S 
  y2  y
n 2 

2
0
S A2 
2
x y

 x  y
x2  x
S 02
2
n [ x2  x ]
2

2


,


(7)
,
(8)
S B2  S A2  x 2 .
(9)
Интервалы, в которых с доверительной вероятностью Р могут находиться коэффициенты a и b, записываются в виде
A  t р , n 1  S A  a  A  t р , n 1  S A ,
(10)
B  t р , n 1  S A  b  B  t р , n 1  S B ,
(11)
где t р , n 1 – коэффициент Стьюдента.
Значения коэффициента Стьюдента.
(n-1)
Р = 0,5
Р = 0,7
Р = 0,9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,00
0,82
0,77
0,74
0,73
0,72
0,71
0,71
0,70
2,0
1,3
1,3
1,2
1,2
1,1
1,1
1,1
1,1
6,8
2,9
2,4
2,1
2,0
1,9
1,9
1,9
1,8
Полученные формулы непосредственно могут быть использованы для расчета параметров линейных аппроксимирующих зависимостей в лабораторных работах.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ 3.
ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Заряд электрона е=–1,60217710-19 Кл
Скорость света в вакууме с=2,99792458108 м/с
Постоянная Планка h=6,626075510-34 Джс
Гравитационная постоянная G=6,6725910-11 Нм2/кг2
Постоянная Авогадро NA=6,02213671023 моль-1
Постоянная Больцмана k=1,38065810-23 Дж/К
Универсальная газовая постоянная R=NAk=8,31451 Дж/(мольК)
Постоянная Фарадея F=NA|e| =9,648531104 Кл/моль
Электрическая постоянная 0=8,854187810-12 Ф/м
Постоянная k (в законе Кулона) k=1/(40)=8,98755109 Нм2/Кл 2
Магнитная постоянная 0=1,25663710-6 Гн/м = 410-7 Гн/м
Удельный заряд электрона |e|/me=1,758819621011 Кл/кг
Масса покоя электрона me=9,109389710-31 кг = 5,48610-4 а. е. м.
Масса покоя протона mp=1,672623110-27 кг = 1,00728 а. е. м.
Масса покоя нейтрона mn=1,674928610-27 кг = 1,00866 а. е. м.
Средний радиус Земли RЗ  6370 км
Масса Земли MЗ5,971024 кг
Масса Солнца MС1,991030 кг
Масса Луны MЛ7,31022 кг
Среднее значение ускорения свободного падения g  9,80665 м/с2
Нормальное атмосферное давление ра=760 мм. рт. ст.=101325 Па
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ЛИТЕРАТУРА
Бурсиан Э. В. Физические приборы: Учебн. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед.
ин-тов. - М.: Просвещение, 1984.
Гершензон Е.М., Малов Н.Н., Мансуров А.Н. Механика: Учебное пособие - М.: Академия, 2000.
Кашицын А.С. Основы экспериментальной физики. Учебно-методическое пособие. Шуя: ШГПУ, 2001.
Лабораторный практикум по общей физике: Учебное пособие для студентов физ.-мат.
фак. пед. ин-тов / Ю.А. Кравцов, А.Н. Мансуров, Н.Г. Птицина и др.; Под. ред. Е.М.
Гершензона, Н.Н.Малова, - М.: Просвещение, 1985.
Савельев И.В. Курс общей физики: Учебное пособие для студентов высш. учеб. завед.: в
5 кн. Т-1 - М.: Астрель, 2002.
Методические указания по выполнению лабораторных работ по курсу общей физики.
Раздел «Механика». Сост. Колесников Ю.Л., Боярский К.К., Смирнов А.В. Санктпетербургский государственный институт точной механики и оптики (технический
университет)., 2001 г.
Дж. Сквайрс Практическая физика, перевод с англ. под ред. Е.М.Лейкина, М. Наука,
1975.
Зайдель А.Н. Ошибки измерения физических величин, Л. 1974.
Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений, Л.: Энергоатомиздат, 1985, 74 с.
46
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
1 195 Кб
Теги
685
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа