close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1633

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пензенский государственный университет» (ПГУ)
Л. Д. Романова, В. А. Ланцова,
Е. Г. Романова, Т. А. Шаркунова
Высшая математика
Учебное пособие
для студентов заочной формы обучения
Под редакцией И. В. Бойкова
В двух частях
Часть 2
Пенза
Издательство ПГУ
2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 51(075)
Р69
Р е ц е н з е н т ы:
доктор физико-математических наук, профессор
кафедры общепрофессиональных дисциплин
Военного учебно-научного центра сухопутных войск «ОВА ВС РФ»
(филиал в г. Пензе)
О. А. Голованов;
кандидат физико-математических наук, доцент,
заведующая кафедрой алгебры Пензенского государственного
педагогического университета им. В. Г. Белинского
О. А. Монахова
Р69
Высшая математика : учеб. пособие для студентов заочной формы обучения : в 2 ч. / Л. Д. Романова, В. А. Ланцова,
Е. Г. Романова, Т. А. Шаркунова ; под ред. И. В. Бойкова. –
Пенза : Изд-во ПГУ, 2012. – Ч. 2. – 206 с.
ISBN 978-5-94170-420-0 (ч. 2)
ISBN 978-5-94170-418-7
Предлагаемая вторая часть пособия содержит краткие сведения по
дифференциальному и интегральному исчислению функций многих переменных, дифференциальным уравнениям, элементам теории поля, числовым и функциональным рядам, теории функций комплексного переменного и теории вероятностей. Даны задания для шести контрольных
работ по темам, выполняемых в третьем и четвертом семестрах; рассматриваются решения типовых вариантов контрольных работ. К каждой теме дается справочная литература из общего списка.
Учебное пособие подготовлено на кафедре «Высшая и прикладная
математика» и предназначено для студентов заочного обучения Пензенского государственного университета, может быть также использовано
студентами дневного обучения при самостоятельной работе.
УДК 51(075)
ISBN 978-5-94170-420-0 (ч. 2)
ISBN 978-5-94170-418-7
© Пензенский государственный
университет, 2012
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т е м а 11. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
1.
2.
3.
4.
Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Гл. VII.
Пискунов Н. С. Ч. 1, гл. 8.
Письменный Д. Т. Ч. 1, § 4346.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Ч. 1, гл. 8.
11.1. Понятие функции нескольких переменных
Если каждой упорядоченной паре чисел ( x, y ) из некоторого
множества D по какому-либо правилу ставится в соответствие одно
или несколько значений переменной z  E , то переменная z называется функцией двух переменных z  f ( x, y ) , x, y  независимыми переменными или аргументами; D  областью определения; E 
множеством значений.
Так как уравнение z  f ( x, y ) определяет некоторую поверхность в пространстве, то под графиком функции двух переменных
будем понимать поверхность, образованную множеством точек
M ( x, y, z ) пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению z  f ( x, y ) (рис. 1).
z  f ( x, y)
z
M ( x, y , z )
O
x
y
P( x, y )
D
Рис. 1
Геометрически область определения функции D представляет
собой некоторую часть плоскости Oxy , ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В первом случае область D называется замкнутой и обозначается D , во втором – открытой.
Определение функции двух переменных легко обобщить на
случай трех и большего числа переменных. Величина y называется
функцией переменных x1 , x2 , ..., xn , если каждой совокупности
( x1 , x2 , ..., xn ) переменных x1 , x2 , ..., xn из некоторой области n -мерного пространства соответствует определенное значение y , что записывается в виде y  f ( x1 , x2 , ..., xn ) . Так как совокупность значений ( x1 , x2 , ..., xn ) определяет точку n -мерного пространства
M ( x1 , x2 , ..., xn ) , то всякую функцию нескольких переменных можно
рассматривать как функцию точек M пространства соответствующей размерности, а именно, y  f ( M ) .
 -окрестностью точки M 0 ( x0 , y0 ) называется совокупность
всех точек ( x, y ) , которые удовлетворяют условию
 x  x0 2   y  y0 2   .
Число А называется пределом функции z  f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 , y0 ) , если для любого числа   0 найдется такое число
  0 , что для любой точки M ( x, y ) , принадлежащей  -окрестности
точки M 0 ( x0 , y0 ) , выполняется условие f ( x, y )  A   .
Записывают: lim f ( x, y )  A .
x  x0
y  y0
Пусть точка M 0 ( x0 , y0 ) принадлежит области определения
функции f ( x, y ) . Тогда функция z  f ( x, y ) называется непрерывной
в точке M 0 ( x0 , y0 ) , если справедливо равенство
lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) ,
x  x0
y  y0
причем точка M ( x, y ) стремится к точке M 0 ( x0 , y0 ) произвольным
образом.
Свойство 1. Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает, по крайней мере, один раз наибольшего
значения и один раз наименьшего.
Свойство 2. Если функция f ( x, y ) определена и непрерывна в
замкнутой ограниченной области D , а M и m – соответственно наи4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
большее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой
точки    m, M  существует точка ( x0 , y0 ) такая, что f ( x0 , y0 )   .
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D
все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D , по крайней мере, один раз функция обращается
в нуль.
Свойство 3. Функция f ( x, y ) , непрерывная в замкнутой ограниченной области D , ограничена в этой области, т.е. существует число
K такое, что для всех точек области верно неравенство f ( x, y )  K .
11.2. Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных
Пусть в некоторой области задана функция z  f ( x, y ) . Возьмем произвольную точку M ( x, y ) и дадим переменной x приращение x , оставив y постоянной величиной, тогда функция z  f ( x, y )
получит приращение  x z , называемое частным приращением функции по переменной x :
 x z  f ( x  x, y )  f ( x, y ) .
 z
Тогда, если существует lim x , то он называется частной
x 0 x
производной функции z  f ( x, y ) по переменной x .
z
f ( x, y )
Обозначение:
; z x ;
; f x ( x, y ).
x
x
Аналогично определяется частная производная функции по переменной y :
z
f ( x, y  y )  f ( x, y )
 lim
.
y y 0
y
Полным приращением функции f ( x, y ) называется выражение
z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) .
Функция f ( x, y ) называется дифференцируемой в точке
M ( x, y ) , если ее полное приращение в этой точке можно представить
в виде
f ( x, y )
f ( x, y )
z 
x 
y  1x   2 y ,
(1)
x
y
где 1 и 2 – бесконечно малые функции при x  0 и y  0 .
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полным дифференциалом функции z  f ( x, y ) называется
главная часть полного приращения функции, линейная относительно
x и у и обозначаемая dz . Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен
dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy ,
(2)
где dx  x, dy  y  приращения независимых переменных, равные их дифференциалам.
Для функции произвольного числа переменных
f
f
f
df ( x, y, z ,..., t )  dx  dy  ...  dt .
x
y
t
2
Пример 1. Найти полный дифференциал функции u  x y z .
Решение. Для функции трех переменных полный дифференциал имеет вид
u
u
u
du 
dx  dy  dz .
x
y
z
Найдем частные производные:
2
2
2
u
u
u
 y 2 zx y z 1;
 x y z ln x  2 yz;
 x y z ln x  y 2 .
x
y
z
Следовательно,
du  y 2 zx y
2 z 1
2
2
dx  2 yz  x y z ln x dy  y 2 x y z ln x dz .
Полный дифференциал часто используется для приближенных
вычислений значений функций. Запишем полное приращение функции z  f ( x, y ) : z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) , откуда можно выразить
f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  z .
Если подставить в эту формулу выражение
f
f
z  dz  x  y , то получим приближенную формулу:
x
y
f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  dz
или
f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) 
f ( x, y )
f ( x, y )
x 
y .
x
y
(3)
Пример 2. Вычислить приближенно значение 1,041,99  ln1,02
исходя из значения функции u  x y  ln z при x  1,
6
y  2, z  1 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 =
= 0,04, y = 1,99 – 2 = –0,01, z = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции u ( x, y, z )  12  ln1  1.
Находим частные производные и вычисляем их значения при
x  1, y  2, z  1:
u
y  x y 1

x 2 x y  ln z
(1, 2,1)
2 1
u
x y ln x

 1;

y

2 1
2 x y  ln z
1
u
z

y
z 2 x  ln z

 0;
(1, 2,1)
1
.
2
(1, 2,1)
Полный дифференциал функции u ( x, y, z ) равен
du 
u
u
u
1
x  y  z  1  0,04  0  0,01   0,02 
x
y
z
2
= 0,04  0,01  0,05 ,
следовательно, 1,041,99  ln1,02  u (1, 2,1)  du  1  0,05  1,05 .
11.2.1. Производные сложных и неявных функций
Функция z  f (u , v) , где u  ( x, y ), v   ( x, y ) , называется
сложной функцией. Для нахождения частных производных сложной
функции применяются формулы
z z u z v z z u z v


и
.
(4)


x u x v x y u y v y
Если u  ( x), v   ( x) , то z  f (u ( x), v( x))  f1 ( x) , и тогда
формула нахождения производной примет вид
dz z du z dv


.
(5)
dx u dx v dx
Если же z  f ( x, y ( x)) , то из последней формулы, в силу того,
что u  x , а v  y ( x) , получим
dz z z dy
.
(6)
 
dx x y dx
Если уравнение F ( x, y )  0 задает некоторую функцию y ( x) в
неявном виде и Fy ( x, y )  0 , то
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F  ( x, y )
dy
 x
.
dx
Fy ( x, y )
(7)
Если уравнение F ( x, y, z )  0 задает функцию двух переменных
z  f ( x, y ) в неявном виде и Fz ( x, y, z )  0 , то справедливы формулы
Fy ( x, y, z )
Fx ( x, y, z ) z
z

и
.
(8)

Fz ( x, y, z ) y
x
Fz ( x, y, z )
11.2.2. Частные производные высших порядков
Если функция z  f ( x, y ) определена в некоторой области D ,
z
z
то ее частные производные
 f x ( x, y ) и
 f y ( x, y ) также будут
x
y
определены в той же области. Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными
второго порядка, т.е.
  z   2 z
  z   2 z
 ( x, y );
 f xx ( x, y );

 f yy
 
x  x  x 2
y  y  y 2
  z   2 z
  z   2 z
 ( x, y ).
 f xy ( x, y );

 f yx
 
y  x  xy
x  y  yx
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим
частные производные более высоких порядков.
2 z 2 z
3 z
3 z
;
;
;
и
Частные производные вида
xy yx xyx xyy
т.д. называются смешанными производными.
Теорема. Если функция f ( x, y ) и ее частные производные
 ( x, y ) определены и непрерывны в
f x ( x, y ), f y ( x, y ), f xy ( x, y ), f yx
точке M ( x, y ) и ее окрестности, то верно соотношение
 2 f ( x , y )  2 f ( x, y )

,
xy
yx
т.е. частные производные высших порядков при этих и аналогичных
условиях не зависят от порядка дифференцирования.
Подобным же образом определяются полные дифференциалы
высших порядков:
z
z
dz  dx  dy ;
x
y
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 z
2 z
2 z
d z  d  dz   2 (dx)  2
dxdy  2 (dy ) 2 ;
xy
x
y
2
3
 
2
d zd d z 
3 z
3
(dx)  3
3
2
3 z
2
dx dy  3
3 z
x 2 y
xy 2
…………………
Символически можно записать
x
2
dxdy 
3 z
y
3
;
(
dy
)
3
n
 


d z   dx  dy  z .
y 
 x
Если поверхность задана уравнением z  f ( x, y ) , где f ( x, y ) –
функция, дифференцируемая в точке P0 ( x0 , y0 ) , и z0  f ( x0 , y0 ) , касательная плоскость в точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) существует и имеет
уравнение
z  z0  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) .
(9)
n
Уравнение нормали к поверхности в этой точке
x  x0
y  y0
z  z0
.


1
f x ( x0 y0 ) f y ( x0 , y0 )
(10)
В случае, когда уравнение гладкой поверхности задается в неявном виде F ( x, y, z )  0 и F ( x0 , y0 , z0 )  0 , то уравнение касательной плоскости в точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) имеет вид
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x  x0 )  Fy ( x0 , y0 , z0 )( y  y0 )  Fz ( x0 , y0 , z0 )( z  z0 )  0 ,
а уравнение нормали
x  x0
y  y0
z  z0


.
Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
Пример 3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности z  x 2  2 xy  y 2  x  2 y в точке М(1, 1, 1).
Решение. Находим частные производные функции и вычисляем
их значения в точке М:
z
z
z
z
 2 x  2 y  1;
 2 x  2 y  2 ;
 1;
 2;
x
y
x M
y M
Уравнение касательной плоскости
z  1  ( x  1)  2( y  1);
x  2 y  z  0;
x 1 y 1 z 1


Уравнение нормали
.
1
1
2
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.2.3. Производная по направлению. Градиент
Пусть дана функция u  f ( x, y, z ) , определенная и дифференцируемая в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , и вектор ,
который имеет начало в точке M 0 и направляющие косинусы cos ,
cos , cos  . Тогда производная от функции u  f ( x, y, z ) в точке M 0
по направлению вектора  может быть найдена по формуле
u ( M 0 ) u ( M 0 )
u ( M 0 )
u ( M 0 )

cos  
cos  
cos  . (11)

x
y
z
В случае функции двух переменных z  f ( x, y ) формула упрощается:
z ( M 0 ) z ( M 0 )
z ( M 0 )

cos  
sin  ,
(12)

x
y


так как cos   cos      sin , cos   0 .
2

Производная по направлению  характеризует скорость измеu
нения функции в этом направлении. Если
 0 , то функция

u
u  f ( x, y, z ) возрастает в направлении , если
 0 , то функция

u
u  f ( x, y, z ) в направлении  убывает. Величина
представляет

собой мгновенную скорость изменения функции u  f ( x, y, z ) в точке
u u u
M 0 в направлении . Частные производные
, ,
можно расx y z
сматривать как производные от функции u  f ( x, y, z ) по направлению координатных осей Ox, Oy, Oz .
Вектор, координатами которого являются значения частных
производных функции u ( x, y, z ) в точке M ( x, y, z ) , называется градиu u
u
ентом функции и обозначается grad u , т.е. grad u  i 
j k .
x
y
z
z
z
В частном случае, grad z  i  j .
x y
Рассмотрим единичный вектор   cos  i  cos  j  cos  k и некоторую функцию u ( x, y, z ) и найдем скалярное произведение векторов  и grad u :
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
u
u
u
cos   cos   cos  .
(13)
x
y
z
Выражение, стоящее в правой части равенства (13) является проu
. Есизводной функции u ( x, y, z ) по направлению , т.е. grad u   

ли угол между векторами grad u и  обозначить через , то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих
векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор 
единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:
u
 grad u  cos  .
(14)

Выражение, стоящее в правой части равенства (14), является
проекцией вектора grad u на вектор .
grad u   
Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление
наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u ( x, y, z ) в
какой-либо точке. В физике существуют такие понятия, как градиент
температуры, градиент давления и т.п., т.е. направление градиента
есть направление наиболее быстрого роста функции.
С точки зрения геометрического представления градиент направлен перпендикулярно поверхности (линии) уровня функции.
11.3. Экстремум функции двух переменных
Точка M 0 ( x0 , y0 ) называется точкой локального максимума (минимума) функции z  f ( x, y ) , если для всех точек M ( x, y ) , отличных
от M 0 ( x0 , y0 ) и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется неравенство f ( x0 , y0 )  f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  f ( x, y )  .
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.
Точка, в которой достигается экстремум функции, называется
точкой экстремума функции.
Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума).
Если точка M 0 ( x0 , y0 ) является точкой экстремума функции
z  f ( x, y ) , то f x ( x0 , y0 )  f y ( x0 , y0 )  0 или хотя бы одна из этих
производных не существует.
Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными, или критическими. Точки экстремума всегда являются
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума.
Для того чтобы сформулировать достаточные условия экстремума функции двух переменных, введем следующие обозначения:
 ( x0 , y0 ) и   AC  B 2 .
A  f xx ( x0 , y0 ), B  f xy ( x0 , y0 ), C  f yy
Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума).
Пусть функция z  f ( x, y ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку M 0 ( x0 , y0 ) . Тогда:
1) если   0 , то точка M 0 ( x0 , y0 ) является точкой экстремума для данной функции, причем M 0 будет точкой максимума при
A  0  C  0  и точкой минимума при A  0  C  0  ;
2) если   0 , то в точке M 0 ( x0 , y0 ) экстремума нет;
3) если   0 , то экстремум может быть.
Отметим, что случай 3 требует дополнительных исследований.
Экстремум функции z  f ( x, y ) , найденный при условии
( x, y )  0 , называется условным. Для его нахождения рассматривается функция F ( x, y, )  f ( x, y )  ( x, y ) , которая называется функцией Лагранжа.
Необходимое условие существования условного экстремума
заключается в том, чтобы выполнялась система трех уравнений:

 f


 0,
 x
x


 f
 0,
 
y
y



( x, y )  0.


(15)
Однако условие (15) не является достаточным. Поэтому при
нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.
11.3.1. Метод наименьших квадратов
На практике часто требуется представить наблюдаемые (измеренные) данные в виде функциональной зависимости. При этом
предполагается, что вид функциональной зависимости известен (на12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пример, в результате ранее проведенных исследований), и требуется
определить только параметры этой зависимости.
Пусть в ходе исследования получена следующая таблица, где
x  аргумент , а y  функция:
x
y
x1
x2
x3
…
xn
y1
y2
y3
…
yn
Требуется по этим табличным данным получить функциональную зависимость вида y  ax  b .
Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение
параметров a и b из условия минимума суммы квадратов отклонений:
n
 ( a, b)  
i 1
i2
n
   (axi  b)  yi   min .
2
i 1


 0,
 0 получаются формулы для
a
b
определения коэффициентов a и b линейной зависимости:
n
n
 n 2
 a  xi  b  xi   xi yi ,
 i 1
i 1
i 1
(16)
 n
n
 a  x  bn   y .
i
 i 1 i
i 1
Система (16) реализует метод наименьших квадратов.
Тогда из условий
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 6
Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных
271280. Дана функция z  f ( x, y ) . Найти: 1) полный дифференциал dz ; 2) частные производные второго порядка
2 z
x
2
,
2 z
y
2
;
2 z
2 z
.
3) убедиться в том, что

xy yx
271. z  cos( xy 2 ) ;
272. z  e x
2  y2
;
273. z  sin( x 2  y ) ;
y
;
276. z  e xy ;
x
279. z  ln( x  e  y ) ;
277. z  ln( x 2  y 2 ) ; 278. z  xe y x ;
x
280. z  ln  x3  y 3 .
y
281290. Дана функция z  f ( x, y ) и две точки А( x0 ; y0 ) и
В( x1; y1 ).
1) Найти приближенное значение данной функции в точке В
исходя из ее точного значения в точке А, и заменяя приращение z
дифференциалом dz . 2) Составить уравнение касательной плоскости
к поверхности z  f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ).
274. z  e 2 x
2  y2
;
275. z  x ln
281. z  x 2  xy  y 2 ; А(1; 2), В(1,02; 1,96).
282. z  3x 2  xy  x  y ; А(1; 3), В(1,06; 2,92).
283. z  x 2  3 xy  6 y ; А(4; 1), В(3,96; 1,03).
284. z  x 2  y 2  6 x  3 y ; А(2; 3), В(2,02; 2,97).
285. z  x 2  2 xy  3 y 2 ; А(2; 1), В(1,96; 1,04).
286. z  x 2  y 2  2 x  y  1 ; А(2; 4), В(1,98; 3,91).
287. z  3x 2  xy  2 y 2 ; А(1; 3), В(0,98; 2,97).
288. z  x 2  y 2  5 x  4 y ; А(3; 3), В(3,02; 2,98).
289. z  2 xy  3 y 2  5 x ; А(3; 4), В(3,04; 3,95).
290. z  xy  2 y 2  2 x ; А(1; 2), В(0,97; 2,03).
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
z z
,
в
x y
заданной точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) от функции z ( x, y ) , заданной неявно.
291300. Вычислить значения частных производных
291. z 3  3 xyz  3 y  7 ; M 0 (1;1;1) .
3
292. cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  ; M 0   4; 3 4;   4  .
2
293. е z 1  cos x sin y  z ; M 0   2;  2;1 .
294. x cos y  y cos z  z cos x   2 ; M 0 (0;  2; ) .
295. е z  xyz  x  1  0 ; M 0 (2;1; 0) .
296. x 2  y 2  z 2  y  z  3 ; M 0 (1; 2; 0) .
297.
x 2  y 2  z 2  3 z  3 ; M 0 (4; 3;1) .
298. x3  z 3  3 xyz  27 ; M 0 (3;1; 3) .
299. ln z  x  2 y  z  ln 3 ; M 0 (1;1; 3) .
300. z 2  xy  z  x 2  4 ; M 0 (2;1;1) .
301–310. Даны функция z  f ( x, y ) , точка M 0 ( x0 , y0 ) и век
тор  . Найти: 1) grad z в точке M 0 ; 2) производную в точке M 0 по

направлению вектора  .



301. z  2 x3  2 x  y 2 ; M 0 (2, 1) ,   2 i  5 j .

 
y
302. z  arctg ; M 0 (1, 3) ,   3 i  4 j .
x
 

303. z  2 x 2  xy  y 2 ; M 0 (2, 2) ,   i  3 j .

 
304. z  ln( x 2  3 y 2 ) ; M 0 (1, 1) ,   4 i  3 j .



305. z  arctg( xy 2 ) ; M 0 (2, 3) ,   5 i  12 j .

 
306. z  ln(5 x 2  4 y 2 ) ; M 0 (1, 1) ,   3 i  4 j .

 
307. z  3 x 4  2 x 2 y 3 ; M 0 (1, 2)   12 i  5 j .
  
308. z  3 x 2 y 2  5 y 2 x ; M 0 (1, 1) ,   i  j .

 
4
309. z  x 2  5 x  y 2  ; M 0 (0, 2) ,   3 i  j .
y

 
3
2
310. z  е x 3 x y 3 x 1 ; M 0 (1,  1) ,   3 i  4 j .
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
311–320. Исследовать на экстремум функцию z  f ( x, y ) .
311. z  x3  8 y 3  6 xy  5 .
312. z  1  15 x  2 x 2  2 y 2  xy .
313. z  2 x3  2 y 3  6 xy  5 .
314. z  x3  y 2  6 xy  39 x  18 y  20 .
315. z  3x3  3 y 3  9 xy  10 .
316. z  x 2  xy  y 2  x  y  1 .
317. z  x 2  xy  y 2  6 x  9 y .
318. z  x3  y 3  3 xy .
319. z  x 2  y 2  xy  x  y .
320. z  2 xy  2 x 2  4 y 2  4 .
321330. Экспериментально получены пять значений искомой
функции y  f ( x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в
таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y  f ( x) в
виде y  ax  b .
321.
x
y
0,3
1,4
0,5
0,7
0,8
0,9
1,1
2,3
2,3
8,8
322.
x
y
1,0
8,1
1,5
9,0
2,0
11,2
3,0
13,8
3,2
14,7
323.
x
y
1,2
3,1
1,7
5,6
3,3
17,1
4,1
23,1
4,3
24,8
324.
x
y
0,5
6,3
0,8
7,0
1,2
9,0
1,3
9,3
4,0
16,8
325.
x
y
3,4
13,9
3,2
12,9
3,1
12,2
2,5
9,1
1,5
4,2
326.
x
y
0,7
7,0
0,9
8,0
1,3
9,0
1,6
10,0
2,3
12,0
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
327.
x
y
1,1
0,8
2,1
1,2
3,4
3,8
4,3
5,4
4,9
6,7
328.
x
y
2,1
9,3
2,3
7,2
3,1
13,4
3,8
16,1
4,5
18,9
329.
x
y
0,1
1,0
0,3
1,1
0,5
1,2
1,2
1,4
2,1
1,6
330.
x
y
10,1
0,9
11,5
0,8
13,6
0,6
16,2
0,3
17,5
0,2
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение типового варианта
контрольной работы № 6
y
271280. Дана функция z  arccos . Найти: 1) полный диффеx
2 z 2 z
;
ренциал dz ; 2) частные производные второго порядка
,
x 2 y 2
2 z
2 z
3) убедиться в том, что
.

xy yx
Решение. 1) Полный дифференциал функции двух переменных
z
z
имеет вид dz  dx  dy . Найдем частные производные первого
x
y
порядка:
z 
y 
1
x
y
 y
 y 
  arccos   
   
  2  
;
2  x
2
2  x 
2
2
x 
xx
x
x y
x x y
 y
1  
x
z 
y 
  arccos   
y 
xy
x
 y 
   
2
x
x2  y 2
 y   y
1  
x
1
1
1
   
.
2
2
 x
x y
Соответственно,
y
1
1
dz 
dx 
dy 
( ydx  xdy ).
2
2
2
2
2
2
x x y
x y
x x y
2) Находим частные производные второго порядка
2 z
x 2
по следующему правилу:


2
2 

x
x
y


y
 z   z  
x
  y



 
2
2
2
2
2
2
x
x




x (x  y )
x
 
x x y x
x
x2  y 2  x
x2  y 2
y (2 x 2  y 2 )
,
 y
 2 2
x2 ( x2  y 2 )
x ( x  y 2 )3 2
2
18
,
2 z
y 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  z  
1





y 2 y  y  
x2  y 2

2 z

y
( x 2  y 2 )3 2

2 y
   ( x 2  y 2 )1 2   1 


2 ( x 2  y 2 )3 2
y


.
2 z
2 z
3) Убедимся в том, что
. Действительно,

xy yx
2 z
  z  
1
   
yx x  y  
x2  y 2


x
   ( x 2  y 2 ) 1 2  
,
2
2 32
x

(x  y )
x




x x2  y 2  y  x x2  y 2
2


 z
  z 
y
 
  
2
2
xy y  x   x x  y 
x2 ( x2  y 2 )

y
y

y
x x 2  y 2  xy



x2  y 2
x2 ( x2  y 2 )

x3  xy 2  xy 2
x 2 ( x 2  y 2 )3 2

x
( x 2  y 2 )3 2
.
281290. Дана функция z  4 x 2  y 2  4 y и две точки А(2; 4) и
В(1,96; 4,16). 1) Найти приближенное значение данной функции в
точке В, исходя из ее точного значения в точке А, и заменяя приращение z дифференциалом dz . 2) Составить уравнение касательной
плоскости к поверхности z  f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ).
Решение. 1) Применим формулу приближенного вычисления
функции
f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  dz ( x0 , y0 ) .
При x0  2 и y0  4 имеем f ( x0 , y0 )  4  22  42  4  4  4 ,
x  1,96  2  0,04, y  4,16  4  0,16 . Находим полный дифференциал функции z  4 x 2  y 2  4 y в любой точке:
dz 
4x
2
2
4x  y  4 y
x 
19
y  2
2
2
4x  y  4 y
y .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычисляем значения частных производных в точке А(2; 4) и
полный дифференциал при данных приращениях x  0,04
и y  0,16 :
f x ( x0 , y0 ) 
f y ( x0 , y0 ) 
4x
4x2  y 2  4 y

(2, 4)
y  2
4 x2  y 2  4 y

(2, 4)
8
 2,
4
2
1

4
2
1
dz  2  (0,04)   0,16  0,16 .
2
Тогда z ( B)  z ( x0  x, y0  y )  4  0,16  3,84 .
2) Если поверхность задана уравнением z  f ( x, y ) , то уравнение касательной плоскости в точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) к данной поверхности имеет вид
z  z0  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) .
При z0  f ( x0 , y0 )  4 , f x ( x0 , y0 )  2 , f y ( x0 , y0 )  
1
получим
2
1
z  4  2( x  2)  ( y  4)  2 z  8  4 x  8  y  4  4 x  y  2 z  4  0 .
2
z z
291300. Вычислить значения частных производных
,
в
x y
заданной точке M 0 (2, 1, 0) от функции z ( x, y ) , заданной неявно:
x3  y 3  е z  xyz  6  0 .
Решение. Если уравнение F ( x, y, z )  0 задает функцию двух
переменных z  f ( x, y ) в неявном виде и Fz ( x, y, z )  0 , то справедливы формулы (8).
Найдем частные производные функции F ( x, y, z ) и вычислим
их значения в заданной точке:
 12, Fy  3 y 2  xz
 3,
Fx  3 x 2  yz
(2,1,0)
(2,1,0)
Fz  е z  xy
Следовательно,
(2,1,0)
z
12
   12,
1
x M 0
20
 1.
z
3

 3.
1
y M
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x y
 , точка M 0 (1, 2) и вектор
y x
  12i  5 j . Найти: 1) grad z в точке M 0 ; 2) производную в точке
M 0 по направлению вектора .
Решение. 1) Для нахождения grad z надо вычислить значения
частных производных функции z  f ( x, y ) в заданной точке. Имеем
z  x y 
1 y
3
     2
 ;
2
x  y x  x y x (1,2)
301310. Даны функция z 
z  x y 
x 1
3
    2 
 .
y  y x  y
x (1,2) 4
y
3 3
Следовательно, grad z   i  j.
2 4
x y
 в точке M 0 (1, 2)
y x
по направлению вектора   12i  5 j . Воспользуемся формулой
z ( M 0 ) z ( M 0 )
z ( M 0 )

cos  
sin  . Значения частных производ
x
y
z ( M 0 )
3
 ,
ных были вычислены в предыдущем пункте:
x
2
y
z ( M 0 ) 3

12
12
 . Найдем cos   x 
 , sin  

2
2
y
4
13


12  (5)
2) Найдем производную от функции z 

5
122  (5) 2

z
3 12 3  5 
87 z
5
, тогда
         .
 0,
2 13 4  13 
52 

13
следовательно, функция z 
x y
 в точке M 0 (1, 2) в направлении
y x
вектора   12i  5 j убывает.
311320. Исследовать на экстремум функцию z  x3  y 3  3 xy .
z
z
Решение. Так как в данном случае
 3x 2  3 y,
 3 y 2  3x ,
y
x
то для нахождения стационарных точек составляем систему уравне3 x 2  3 y  0,
и решаем ее:
ний 
2
3 y  3 x  0;
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 y  x 2 ,
 y  x 2 ,
 y1  0,
 y2  1,
или


 4
 3


 x2  1.
 x  x  0;  x( x  1)  0;  x1  0;
Таким образом, получили две стационарные точки: M1 (0; 0) и
M 2 (1;1) .
2 z
2 z
2 z
Далее находим: A  2  6 x, B 
 3, C  2  6 y .
x
y


x
y
В точке M1 (0; 0) A  0, B  3, C  0 и   AC  B 2  9  0 ,
т. е. в этой точке экстремума нет.
В точке M 2 (1;1) A  6, B  3, C  6 ,   AC  B 2  36  9 
 27  0 и A  6  0 , следовательно, в этой точке данная функция
достигает локального минимума zmin (1;1)  1.
321-330. Экспериментально получены пять значений искомой
функции y  f ( x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в
таблице:
x
1,1
2,1
3,4
4,3
4,9
y
1,2
3,8
5,4
6,7
0,8
Методом наименьших квадратов найти функцию y  f ( x) в
виде y  ax  b .
Решение. Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые вычисления:
n
xi
yi
xi2
xi yi
1
2
3
4
5
1,1
2,1
3,4
4,3
4,9
0,8
1,2
3,8
5,4
6,7
1,21
4,41
11,56
18,49
24,01
0,88
2,52
12,92
23,22
32,83
15,8
16,3
59,68
70,61
5

i 1
Система линейных уравнений для определения параметров a и
b будет иметь вид
59,68a  15,8b  70,61,

15,8a  5b  16,3.
Решая систему, получим a  1,96, b  2,93 . Следовательно,
y  1,96 x  2,93 .
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т е м а 12. Дифференциальные уравнения
1.
2.
3.
4.
Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Гл. X.
Пискунов Н. С. Ч. 2, гл. 13.
Письменный Д. Т. Ч. 2, § 15.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Ч. 2, гл. 4.
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение,
связывающее независимые переменные, их функцию и производные
(или дифференциалы) этой функции.
Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую
переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным
уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным
уравнением в частных производных. Будем рассматривать обыкновенные ДУ.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в данное уравнение.
Например, x3 y   8 y  x  5  0  обыкновенное дифференциd2y
dy
2

x
 y  обыкноdx
dx 2
венное дифференциальное уравнение второго порядка.
альное уравнение первого порядка; x
 xy
12.1. Дифференциальные уравнения
первого порядка
Дифференциальным уравнением первого порядка называется
соотношение, связывающее независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее первую производную y  , т.е. соотношение вида
F ( x, y, y )  0 .
(17)
Если это уравнение можно преобразовать к виду
y   f ( x, y ) ,
(18)
то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.
Преобразуем уравнение (18):
dy
 f ( x, y ); dy  f ( x, y )dx; f ( x, y )dx  dy  0;
dx
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
P ( x, y )
,
Q ( x, y )
Q( x, y )  0; тогда получим так называемую дифференциальную форму уравнения первого порядка:
(19)
P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 .
Функцию
f ( x, y )
представим в виде
f ( x, y )  
Общим решением дифференциального уравнения называется
такая функция y  ( x, C ) , которая при подстановке в исходное
уравнение обращает его в тождество при любых значениях C .
Свойства общего решения:
1. Так как С – произвольная постоянная величина, то дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.
2. При заданных начальных условиях x  x0 , y ( x0 )  y0 существует такое значение C  C0 , при котором решением дифференциального уравнения является функция y  ( x, C0 ) .
Решение вида y  ( x, C0 ) называется частным решением
дифференциального уравнения. График решения y  ( x) ДУ называется интегральной кривой. С геометрической точки зрения
y  ( x, C ) есть семейство интегральных кривых на плоскости Oxy ,
частное же решение y  ( x, C0 )  одна кривая этого семейства, проходящая через точку ( x0 , y0 ) .
Если общее решение дифференциального уравнения найдено в
неявном виде  ( x, y, C )  0 , то такое решение называется общим
интегралом; уравнение вида  ( x, y, C0 )  0 в этом случае называется
частным интегралом дифференциального уравнения.
Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида y  ( x, C0 ) , удовлетворяющего начальному условию y ( x0 )  y0 .
Теорема Коши (теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка).
Если в уравнении (18) функция f ( x, y ) непрерывна в некоторой
области D плоскости Oxy и имеет в этой области непрерывную частную производную f y ( x, y ) , то какова бы ни была точка ( x0 , y0 ) в
области D, существует единственное решение y  ( x) этого уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию y ( x0 )  y0 .
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.1.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение (18) называется уравнением с
разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
y  f1 ( x) f 2 ( y ) .
(20)
dy
Учитывая тот факт, что y 
, уравнение (20) можно предстаdx
dy
 f1 ( x) f 2 ( y ) или dy  f1 ( x) f 2 ( y )dx .
вить в виде
dx
Разделив последнее уравнение на f 2 ( y )  0 , получим уравнение с
dy
 f1 ( x)dx . Проинтегрировав обе часразделенными переменными:
f2 ( y)
dy
  f1 ( x)dx; F2 ( y )  F1 ( x)  C 
ти этого уравнения, получаем: 
f2 ( y)
общий интеграл уравнения (20).
Дифференциальное уравнение (19) будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
P1 ( x)Q1 ( y )dx  P2 ( x)Q2 ( y )dy  0 .
(21)
Разделив почленно уравнение (21) на Q1 ( y )  P2 ( x)  0 , получим
P ( x)
Q ( y)
уравнение с разделенными переменными: 1
dx  2
dy  0 ,
P2 ( x)
Q1 ( y )
проинтегрировав которое почленно, получим общий интеграл уравнения (21):
P1 ( x)
Q2 ( y )
 P ( x) dx   Q ( y ) dy  C .
2
1
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С и, соответственно,
частное решение.
Пример 1. Решить уравнение y  x( y 2  1).
dy
Решение. Записав y 
и разделив переменные, получим:
dx
dy
dy
;

dx
  dx;

y2 1
y2  1
 x2

y  tg   C  .
 2



Таким образом, нашли общее решение заданного уравнения.
x 2.
arctg y 
 C;
2
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
Пример 2. Найти решение уравнения 2 xe x 
y
 0 , удовлеy
творяющее условию y (0)  1 .
2
Решение. Преобразуем заданное уравнение: 2 xe x 
dy
 0;
ydx
2
2
dy
dy
 0 ;  2 xe  x dx  
 C ; e  x  ln y  C .
y
y
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения подставим в полученное
выражение значения x  0 , y  1 и найдем C  e0  ln1  1 . Следовательно, частный интеграл заданного уравнения будет иметь вид
2
2 xe x dx 
ln y  e
 x2
 1, а частное решение y  e
2
( e x 1)
.
12.1.2. Однородные дифференциальные уравнения
Функция f ( x, y ) называется однородной n-го измерения (порядка) относительно своих аргументов x и y , если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество
f (tx, ty )  t n f ( x, y ).
Пример 3. Является ли однородной функция f ( x, y )  x3  3x 2 y ?
Проверим:
f (tx, ty )  (tx)3  3(tx) 2 ty  t 3 x3  3t 3 x 2 y  t 3 ( x3  3 x 2 y )  t 3 f ( x, y ) .
Таким образом, функция f ( x, y ) является однородной 3-го порядка.
Дифференциальное уравнение (18) называется однородным, если его правая часть f ( x, y ) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Любое ДУ вида P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 является однородным,
если функции P( x, y ) и Q( x, y ) – однородные функции одинакового
измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение y  f ( x, y ).
Так как функция f ( x, y ) – однородная нулевого измерения, то
можно записать f (tx, ty )  f ( x, y ).
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как параметр t, вообще говоря, произвольный, предполо1
 y
жим, что t  . Тогда получаем: f ( x, y )  f 1,  .
x
 x
Правая часть полученного равенства зависит фактически тольy
 y
ко от одного аргумента u  , т.е. f ( x, y )      (u );
x
x
Исходное дифференциальное уравнение, таким образом, можно
записать в виде
y  (u ) .
Далее заменяем y = ux, тогда y  u x  ux :
(u )  u
u x  ux  (u ); u x  u  (u ); u  
.
x
В итоге получили уравнение с разделяющимися переменными
относительно неизвестной функции u. Решаем его:
du
dx
du
dx
 ; 
  C.
(u )  u x
(u )  u
x
Затем, найдя интегралы и сделав обратную замену, получим
общее решение однородного дифференциального уравнения.
y y 
Пример 4. Решить уравнение y   ln  1 .
x x 
Решение. Введем вспомогательную функцию u:
y
u  ; y  ux; y   u x  u .
x
Подставляем у и y  в исходное уравнение:
u x  u  u (ln u  1); u x  u  u ln u  u; u x  u ln u;
du
dx
du
dx
Разделяем переменные:
 ; 
 .
u ln u x
u ln u
x
Интегрируя, получаем: ln ln u  ln x  ln C ; ln u  Cx; u  eCx .
Переходя от вспомогательной функции u к функции у, получаем общее решение: y  xeCx .
12.1.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли.
Уравнение
y  P( x) y  Q( x),
(22)
линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y  , называется линейным неоднородным дифференциальным
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравнением первого порядка. Функции P( x)  0, Q( x)  0 должны
быть непрерывны на некотором промежутке [a; b] для того, чтобы
выполнялись условия теоремы Коши существования и единственности решения. Если Q( x)  0 , то уравнение (22) называется линейным
однородным дифференциальным уравнением и имеет вид
(23)
y  P( x) y  0 .
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Метод Бернулли заключается в том, что искомая функция
представляется в виде произведения двух функций y  u ( x)  v( x) .
dv
du
v
и подставляя значение в исходное
dx
dx
dv
du
 P( x)uv  Q( x)
уравнение, получаем: u  v
dx
dx
dv
 du

или
u  v
 P( x)u   Q( x) .
(24)
dx
 dx

Функцию u  u ( x) находим из условия, что выражение в скобdu
 P ( x)u  0 .
ках равно нулю, т.е.
dx
Таким образом, можно получить функцию u, разделив переменные и проинтегрировав:
du
du
  P( x)dx;
   P( x)dx;
ln u    P( x)dx; u  e  P ( x ) dx .

u
u
Для нахождения второй неизвестной функции v  v( x) подставим полученное выражение для функции u  u ( x) в уравнение (24) и
с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю, получаем
dv
 Q( x); dv  Q( x)e  P ( x ) dx dx.
e  P ( x ) dx
dx
Находим y  u 
Интегрируя, можем найти функцию v: v   Q ( x)e  P ( x ) dx dx  C .
Подставляем найденные функции u и v в произведение:
y  uv  e   P ( x ) dx
  Q ( x )e 
где С – произвольная постоянная.
28
P ( x ) dx

dx  C ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений также называют методом вариации произвольной постоянной. Первый шаг данного метода состоит в решении соответствующего однородного уравнения
y   P ( x) y  0 ,
общее решение которого имеет вид
y  C1e   P ( x ) dx .
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную C1 некоторой функцией, зависящей от x , C1  C1 ( x) .
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций
получаем
dy dC1 ( x)   P ( x ) dx

 C1 ( x)e   P ( x ) dx  ( P( x)).
y 
e
dx
dx
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение (22):
dC1 ( x)   P ( x ) dx
C1 ( x) P ( x)e   P ( x ) dx  P ( x)C1 ( x)e  P ( x ) dx  Q( x) ;
e
dx
dC1 ( x)   P ( x ) dx
 Q( x).
e
dx
Из последнего уравнения определим функцию C1 ( x) :
dC1 ( x)  Q( x)e  P ( x ) dx dx.
Интегрируя, получаем
C1   Q ( x)e  P ( x ) dx dx  C.
Подставляя это значение в исходное уравнение (22), имеем
y  e  P ( x ) dx
  Q( x)e P( x)dx dx  C  .
Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом решения уравнения по методу Бернулли.
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
y  P ( x) y  Q( x)  y n ,
где n – число, не равное 0 и 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку
1 n
z  y , с помощью которой уравнение Бернулли приводится к линейному относительно z :
z   (1  n) P( x) z  (1  n)Q( x) .
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решив полученное уравнение одним из описанных выше методов, найдем z  z ( x, C ) , а затем и y  z1 (1 n ) . Однако уравнение Бернулли, как и линейное, можно решить подстановкой Бернулли:
y  u ( x)  v( x) .
12.2. Дифференциальные уравнения
высших порядков
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде
F ( x, y, y, y )  0
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно
старшей производной
(25)
y  f ( x, y, y).
Общим решением ДУ (25) называется функция y  ( x, C1 , C2 ) ,
где C1 и C2  произвольные постоянные, удовлетворяющие следующим условиям:
1) y  ( x, C1 , C2 ) является решением ДУ при любых значениях
C1 и C2 ;
2) при заданных начальных условиях
y ( x0 )  y0 , y ( x0 )  y0
(26)
существуют единственные значения C1  C10 и C2  C20 , такие, что
функция y  ( x, C10 , C20 ) является решением уравнения (25) и удовлетворяет начальным условиям (26).
Всякое решение y  ( x, C10 , C20 ) уравнения (25), получающееся
из общего решения y  ( x, C1 , C2 ) при конкретных значениях постоянных C1  C10 и C2  C20 , называется частным решением.
Решения
ДУ,
записанные
в
виде
 ( x, y, C1 , C2 )  0
и
 ( x, y, C10 , C20 )  0 называются соответственно общим и частным
интегралом.
Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения
частного решения ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.
Теорема Коши (теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка).
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если в уравнении (25) функция f ( x, y, y) и ее частные производные f y и f y непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y, y  , то какова бы не была точка ( x0 , y0 , y0 )  D , существует единственное решение y  ( x) этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (26).
Аналогичные понятия и определения имеют место для дифференциального уравнения n-го порядка, которое записывается в виде
F ( x, y, y,..., y ( n ) )  0 или, если это возможно, в виде
y ( n )  f ( x, y, y ,..., y ( n 1) ).
(27)
Начальные условия для ДУ (27) имеют вид
y ( x0 )  y0 ,
y ( x0 )  y0 , .... ,
y ( n 1) ( x0 )  y0( n 1) .
Общим решением ДУ n-го порядка является функция вида
y  ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) , содержащая n произвольных постоянных.
12.2.1. Уравнения, допускающие понижение порядка
1. Уравнения вида y ( n )  f ( x) .
Если f ( x) – функция, непрерывная на некотором отрезке  a, b  ,
то решение может быть найдено последовательным интегрированием:
y ( n 1)   f ( x)dx  C1;
y ( n  2)     f ( x)dx  C1  dx  C2   dx  f ( x)dx  C1 x  C2 ;
…………………………………………………………….
x n 1
xn2
 C2
 ...  Cn .
y   dx  dx.... f ( x)dx  C1
(n  1)!
(n  2)!
Пример 5. Решить уравнение y  e 2x с начальными условиями
y (0)  1; y (0)  1; y (0)  0.
1
Решение. y   e2 x dx  C1  e2 x  C1;
2
1
1

y    e 2 x  C1  dx  e 2 x  C1 x  C2 ;
4
2

1
1
1

y    e2 x  C1 x  C2  dx  e 2 x  C1 x 2  C2 x  C3 .
8
2
4

31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Получили общее решение заданного уравнения. Для нахождения его частного решения подставим заданные начальные условия в
1
1
1
y, y, y : 1   С3 ;  1   C2 ; 0   C1 , из которых находим зна8
4
2
1
5
7
чения постоянных C1   ; C2   ; C3  . В результате полу2
4
8
чим частное решение (решение задачи Коши):
1
1
5
7
y  e2 x  x 2  x  .
8
4
4
8
2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции, вида
(28)
y  f ( x, y) .
Обозначим y  p , где p  p ( x)  новая неизвестная функция.
Тогда y  p и уравнение (28) принимает вид p  f ( x, p) . Пусть
p  ( x, C1 )  общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя p на y , получаем уравнение y  ( x, C1 ) , общее решение которого будет иметь вид
y   ( x, C1 ) dx  C2 .
y
.
x
p  y  :
Пример 6. Найти общее решение уравнения y 
Решение. Применяем подстановку p  y ;
p 
p
;
x
dp p
 ;
dx x
dp dx
 ;
p
x
dp
dx
 p  x ;
ln p  ln x  ln C1; p  C1 x.
Произведя обратную замену, получаем:
C
y  C1 x;
y   C1 xdx  1 x 2  C2 .
2
3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной,
вида
y  f ( y, y ) .
(29)
Порядок таких уравнений может быть понижен с помощью замены y  p( y ). Тогда
y 
dy  dy  dy dp
p.

 
dx dy dx dy
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляем эти значения в исходное дифференциальное уравнение:
dp
p
 f ( y, p) .
dy
Получили ДУ первого порядка, пусть p   ( y, C1 ) является
общим его решением. Заменяя функцию p( y ) на y , получаем уравнение y   ( y, C1 ) , интегрируя которое, найдем общий интеграл
уравнения (29):
dy
  ( y , C )  x  C2 .
1
Пример 7. Решить уравнение yy   y 2  0.
Решение. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки
dp
dp
y  p( y ). Тогда y 
y 
p , и заданное уравнение примет вид
dy
dy
dp
ydp
y
p  p 2  0 . Откуда будет следовать p  0; y  C и
 p;
dy
dy
dp dy
dp
dy
 ; 
  ; ln p  ln y  ln C1; p  C1 y.
p
y
p
y
Далее заменим p( y ) на y :
y  C1 y;
dy
 C1dx;
y
ln y  C1 x  C2 ;
dy
 y   C1dx;
y  eC1x eC2  CeC1x ,
где C  eC2 . Окончательно получаем: y  CeC1x .
12.2.2. Линейные дифференциальные уравнения
высших порядков
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение первой степени относительно функции у и ее производных y, y ,..., y ( n ) :
y ( n )  p1 y ( n 1)  p2 y ( n  2)  ...  pn 1 y  pn y  f ( x) ,
где p1 , p2 , ..., pn – функции, зависящие от х, или постоянные величины.
Левую часть этого уравнения обозначим L( y ) :
y ( n )  p1 y ( n 1)  p2 y ( n  2)  ...  pn 1 y   pn y  L( y ) .
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если f ( x)  0 , то уравнение L( y )  0 называется линейным однородным уравнением, если f ( x )  0 , то уравнение L( y )  f ( x) называется линейным неоднородным уравнением; если все коэффициенты p1 , p2 , ..., pn – постоянные числа, то уравнение L( y )  f ( x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка
с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим ДУ вида
y ( n )  p1 y ( n 1)  p2 y ( n  2)  ...  pn 1 y   pn y  0 .
(30)
Выражение
y ( n )  p1 y ( n 1)  p2 y ( n  2)  ...  pn 1 y   pn y  L( y )
называется линейным дифференциальным оператором.
Линейный дифференциальный оператор обладает следующими
свойствами:
1) L(Cy )  CL( y );
2) L( y1  y2 )  L( y1 )  L( y2 ).
Решения линейного однородного уравнения (30) обладают следующими свойствами:
1) Если функция y является решением уравнения, то функция
Cy , также является его решением, где С – постоянное число.
2) Если функции y1 и y2 являются решениями уравнения, то
y1  y2 также является его решением.
Фундаментальной системой решений линейного однородного
дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале
решений уравнения.
Если из функций y1 , y2 ,..., yn составить определитель n-го порядка вида
y1
y2
...
yn
y1
y2
...
yn
W
,
...
...
...
...
y1( n 1)
y2( n 1) ... yn( n 1)
то этот определитель называется определителем Вронского.
Теорема 1. Если функции y1 , y2 ,..., yn линейно зависимы, то составленный из них определитель Вронского равен нулю.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 2. Если функции y1 , y2 ,..., yn линейно независимы, то
составленный из них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке интервала (a, b) .
Теорема 3. Для того, чтобы система решений y1 , y2 ,..., yn линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы составленный из них
определитель Вронского был не равен нулю.
Теорема 4. Если y1 , y2 ,..., yn  фундаментальная система решений на интервале (a, b) , то общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих
решений:
y  C1 y1  C2 y2  ...  Cn yn ,
где C1 , C2 ,..., Cn – произвольные постоянные.
12.2.3. Линейные однородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
y ( n )  a1 y ( n 1)  ...  an y  0 или L( y )  0 ,
решение которого будем искать в виде y  e kx , где k = const.
Так как y  ke kx ;
y   k 2 e kx ; ...;
y ( n )  k n e kx , то
L(ekx )  e kx ( k n  a1k n 1  ...  an ).
При этом многочлен F (k )  k n  a1k n 1  ...  an называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
Для того чтобы функция y  ekx являлась решением исходного
дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
L(e kx )  0; т.е. ekx F ( k )  0.
Так как ekx  0 , то F (k )  0  это уравнение называется характеристическим уравнением.
Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение k n  a1k n 1  ...  an  0 имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение
дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение мо35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жет иметь либо n различных действительных корней, либо среди
действительных корней могут быть кратные корни, и могут быть
комплексно-сопряженные корни как различные, так и кратные.
Сформулируем общее правило нахождения решения линейного
однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
1. Составляем характеристическое уравнение и находим его
корни.
2. Находим частные решения дифференциального уравнения,
причем:
a) каждому действительному корню соответствует решение ekx ;
б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:
ekx ; xekx ; ... x m 1e kx .
в) каждой паре комплексно-сопряженных корней   i характеристического уравнение ставятся в соответствие два решения:
ex cos x и ex sin x .
г) каждой паре m-кратных комплексно-сопряженных корней
  i характеристического уравнения ставятся в соответствие 2m решений:
ex cos  x, xex cos x, ... x m 1ex cos  x,
ex sin x, xex sin x, ... x m 1ex sin x.
3. Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация и будет являться общим решением
исходного линейного однородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами.
Пример 8. Решить уравнение y  y   2 y  0.
Решение. Характеристическое уравнение: k 2  k  2  0; его
корни k1  1; k2  2 . Общее решение: y  C1e  x  C2 e 2 x .
Пример 9. Решить уравнение y  4 y  4 y  0.
Решение. Характеристическое уравнение: k 2  4k  4  0 имеет
кратные корни k1  k2  2 . В этом случае общее решение уравнения
y  C1e 2 x  C2 xe 2 x .
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 10. Решить уравнение y  2 y  5 y  0.
Решение. Характеристическое уравнение k 2 + 2k + 5 = 0; D = 16.
Дискриминант – отрицательный, следовательно, уравнение имеет
комплексные сопряженные корни: k1  1  2i и k2  1  2i. Здесь
  1,   2 , поэтому общее решение уравнения запишется в виде
y  e  x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x).
Пример 11. Решить уравнение y IV  y  0.
Решение. Составим характеристическое уравнение: k 4  1  0.
Разложим левую часть уравнения на множители и найдем его
корни:
(k 2  1)(k 2  1)  0;
k1  1; k2  1; k3  i; k4  i.
Тогда общее решение уравнения имеет вид
y  C1e x  C2 e  x  C3 cos x  C4 sin x.
Пример 12. Решить уравнение y V  9 y   0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение:
k 5  9k 3  0; k 3 (k 2  9)  0
и находим его корни k1  k2  k3  0; k4  3; k5  3 . Записываем
общее решение: y  C1  C2 x  C3 x 2  C4 e3 x  C5e 3 x .
12.2.4. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения
Рассмотрим уравнение вида
y ( n )  p1 ( x) y ( n 1)  ...  pn ( x) y  f ( x).
С учетом обозначения y ( n )  p1 ( x) y ( n 1)  ...  pn ( x) y  L( x) его
можно записать так:
L( x)  f ( x).
При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть
этого уравнения непрерывны на некотором интервале (конечном или
бесконечном).
Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ( n )  p1 ( x) y ( n 1)  ...  pn ( x) y  f ( x) в некоторой области есть сумма любого его частного решения и общего ре37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
На практике удобно применять метод вариации произвольных
постоянных.
Для этого сначала находят общее решение соответствующего
n
однородного уравнения y  C1 y1  C2 y2  ...  Cn yn   Ci yi .
i 1
Затем, полагая коэффициенты C1 , C2 ,..., Cn функциями, зависящими от х, ищется общее решение неоднородного уравнения
n
y   Ci ( x) yi .
i 1
Можно доказать, что для нахождения функций C1 ( x), C2 ( x),
Cn ( x) надо решить систему уравнений:
n
  Ci( x) yi  0,
i 1
n
  Ci( x) yi  0,
i 1
..........................

n
( n 1)
 f ( x).
  Ci( x) yi
i 1
12.2.5. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
и правой частью специального вида
Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения равно сумме двух решений: общего решения соответствующего однородного уравнения ( y0 ) и некоторого частного решения неоднородного уравнения (Y ), т.е. y  y0  Y . Если правая часть
уравнения имеет вид
f ( x)  eax ( Pn ( x) cos bx  Qm ( x)sin bx) ,
где Pn ( x) и Qm ( x) – многочлены степени n и m соответственно, то
частное решение может быть найдено в виде
Y  eax ( S p ( x) cos bx  T p ( x)sin bx)  x r ,
где S p ( x), Tp ( x) – многочлены степени p  max(n, m) с неопределенными коэффициентами, r равно числу корней характеристическо38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
го уравнения, совпадающих со значением   a  bi . Таким образом,
r  0 , если среди корней характеристического уравнения нет числа,
равного  ; r  1 , если существует один корень, совпадающий с  ;
r  2 , если существуют два корня, совпадающие с  .
Пример 13. Найти общее решение уравнения y  2 y = 6 + 12х –
 24 x 2 .
Решение. Для нахождения y0 составляем и решаем характеристическое уравнение: k 2  2k  0, k (k  2)  0, k1  0, k2  2 .
Следовательно, y0  C1  C2 e 2 x .
Частное решение Y подбираем по виду правой части заданного уравнения f ( x)  6  12 x  24 x 2 . Здесь a  0, b  0,   0, n  2 .
Следовательно, Y  S2 ( x)  x , где S2 ( x) – многочлен второй степени с
неопределенными коэффициентами, который умножили на х , так
как среди корней характеристического уравнения есть один корень,
равный  . Таким образом,
Y  ( Ax 2  Bx  C )  x  Аx3  Bx 2  Cx .
Коэффициенты А, В и С находим методом неопределенных коэффициентов. Для этого находим Y   3 Ax 2  2 Bx  C , Y   6 Ax  2 B .
Подставим найденные выражения для Y , Y  и Y  в исходное
уравнение и приравняем коэффициенты при x 2 , x и x 0 , получим:
6 Ax  2 B  2(3 Ax 2  2 Bx  C )  6  12 x  24 x 2 ,
6 Ax  2 B  6 Ax 2  4 Bx  2C  6  12 x  24 x 2 .
Соберем коэффициент при одинаковых степенях х:
x2
 6 A  24,  A  4;
x
6 A  4 B  12,  24  4 B  12,  4 B  12, B  3;
x0
2 B  2C  6,  6  2C  6,  C  0.
Тогда Y  4 x3  3 x 2 , и общее решение заданного неоднородного уравнения будет иметь вид y  y0  Y  C1  C2 e2 x  4 x3  3 x 2 .
Пример 14. Найти общее решение уравнения y  2 y   y  4e x .
Решение. Для нахождения y0 составляем и решаем характеристическое уравнение: k 2  2k  1  0, ( k  1) 2  0, k1  k2  1 .
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, y0  e x (C1  C2 x) .
Частное решение Y подбираем по виду правой части заданного уравнения f ( x)  4e x . Здесь a  1, b  0,   1, n  0, p  0 . Следовательно, Y  S0 ( x)  e x  x 2 , где r  2 , так как среди корней характеристического уравнения есть два корня, равные  . Таким образом,
Y  Аe x x 2
и
Y   Ae x x 2  2 Ae x x  Ae x ( x 2  2 x) ,
Y   Ae x ( x 2  2 x)  Ae x (2 x  2)  Ae x ( x 2  4 x  2) .
Подставив найденные выражения для Y , Y  и Y  в исходное
уравнение, получим: Ae x ( x 2  4 x  2)  2 Ae x ( x 2  2 x)  Ae x x 2  4e x ,
разделим обе части на e x , раскроем скобки и приведем подобные
члены:
Ax 2  4 Ax  2 A  2 Ax 2  4 Ax  Ax 2  4 , получим 2 A  4 , A  2 .
Тогда Y  2e x x 2 , и общее решение заданного неоднородного
уравнения будет иметь вид
y  y0  Y  e x (C1  C2 x)  2e x x 2  e x (C1  C2 x  2 x 2 ) .
Пример 15. Найти общее решение уравнения y  36 y  2sin 6 x .
Решение. Для нахождения y0 составляем и решаем характеристическое уравнение k 2  36  0 : k 2  36, k1 , k2  6i .
Следовательно, y0  C1 cos 6 x  C2 sin 6 x .
Частное решение Y подбираем по виду правой части заданного
уравнения f ( x)  2sin 6 x . Здесь a  0, b  6,   6i, m  0, p  0 . Тогда Y  ( A cos 6 x  B sin 6 x) x , где r  1 , так как среди корней характеристического уравнения есть один корень, совпадающий с  .
Находим Y   (6 A sin 6 x  6 B cos 6 x) x  ( A cos 6 x  B sin 6 x) ,
Y   (36 A cos 6 x  36 B sin 6 x) x  6 A sin 6 x  6 B cos 6 x  6 A sin 6 x 
 6 B cos 6 x  36( A cos 6 x  B sin 6 x) x  12 A sin 6 x  12 B cos 6 x.
Подставим найденные выражения для Y и Y  в исходное уравнение:
36( A cos 6 x  B sin 6 x) x  12 A sin 6 x  12 B cos 6 x 
36( A cos 6 x  B sin 6 x) x  2sin 6 x,
12 A sin 6 x  12 B cos 6 x  2sin 6 x .
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приравняем коэффициенты при sin 6x и cos 6x , получим:
sin 6 x  12 A  2,  A  6;
cos 6 x
12 B  0,  B  0.
Тогда Y  6 x cos 6 x , и общее решение заданного неоднородного уравнения будет иметь вид
y  y0  Y  C1 cos 6 x  C2 sin 6 x  6 x cos 6 x.
Замечание. Если в неоднородном уравнении f ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x) , то
частное решение будет иметь вид Y  Y1  Y2 , где Y1 – частное решение уравнения с правой частью f1 ( x) ; Y2 – частное решение уравнения с правой частью f 2 ( x) .
Пример 16. Найти общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения y  6 y   10 y  74e3 x  10 x  4 .
Решение. Для нахождения y0 составляем и решаем характеристическое уравнение k 2  6k  10  0 : D  36  40  4,
D  2i,
k1,2  3  2i .
Следовательно, y0  e3 x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x) .
Частное решение Y подбираем по виду правой части заданного уравнения f ( x)  74e3 x  10 x  4  f1 ( x)  f 2 ( x) , где f1 ( x)  74e3 x ,
а f 2 ( x)  10 x  4 . Поэтому Y  Y1  Y2 , где
Y1 – частное решение уравнения y  6 y   10 y  74e3 x ,
Y2 – частное решение уравнения y  6 y   10 y  10 x  4 .
(*)
(**)
f1 ( x)  74e3 x . Здесь a  3, b  0,   3, n  0, p  0, r  0 , поэтому Y  Ae3 x , Y   3 Ae3 x , Y   9 Ae3 x .
1
1
1
Подставим найденные выражения для Y , Y  и Y  в уравнение (*):
9 Ae3 x  18 Ae3 x  10 Ae3 x  74e3 x ,
37 Ae3 x  74e3 x  37 A  74,
A  2.
Следовательно, Y1  2e3 x .
Рассмотрим функцию f 2 ( x)  10 x  4 . Здесь a  0, b  0,   0,
n  1, p  1, r  0 , поэтому Y2  Ax  B, Y2  A, Y2  0 . Подставим
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
найденные выражения для Y , Y  и Y  в уравнение (**) и приравняем
коэффициенты при одинаковых степенях х:
6 A  10 Ax  10 B  10 x  4 .
x 10 A  10  A  1;
x0
6 A  10 B  4  6  10 B  4  B  1.
Тогда Y2  x  1 , и общее решение заданного неоднородного
уравнения будет иметь вид
y  y0  Y1  Y2  e3 x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x) 2e3 x  x  1.
12.3. Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений с тремя неизвестными
функциями y  y ( x), z  z ( x), u  u ( x) :
 dy
 dx  a11 y  a12 z  a13u ,

 dz
  a21 y  a22 z  a23u ,
 dx
 du
 dx  a31 y  a32 z  a33u.

Решения системы (31) будем искать в виде
(31)
y  ekx ; z  e kx ; u  e kx , , , , k  const.
Подставляя эти значения в систему (31) и разделив на ekx , получаем:
k  a11  a12  a13 ,

k  a21  a22  a23 ,
 k  a   a   a .
31
32
33

После несложных преобразований система примет вид
(a11  k )  a12  a13   0,

(32)
a21  (a22  k )  a23   0,

a31  a32  (a33  k )   0.
Система (32) является однородной системой трех линейных
уравнений с тремя неизвестными , ,  . Для того, чтобы эта система
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.
a11  k
a12
a13
a21
a22  k
a23  0 .
(33)
a31
a32
a33  k
Это уравнение называется характеристическим уравнением
системы (31). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей
степени относительно k, которое имеет три корня k1 , k2 , k3 . Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы:
y1  1e k1x ,
z1  1e k1x ,
u1  1e k1x ,
y2   2 e k 2 x ,
z 2   2 e k2 x ,
u2   2 e k2 x ,
y3  3e k3 x ,
z3  3e k3 x ,
u3   3e k3 x .
Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (31):
y  C11e k1x  C2  2 e k2 x  C33ek3 x ;
z  C11e k1x  C22 e k2 x  C33e k3 x ;
u  C11e k1x  C2  2 e k2 x  C3  3e k3 x .
Пример 17. Найти общее решение системы уравнений:
 x  5 x  2 y ,

 y   2 x  2 y.
Решение. Составим характеристическое уравнение:
5k
2
 0;
(5  k )(2  k )  4  0;
10  5k  2k  k 2  4  0;
2
2k
k 2  7 k  6  0;
k1  1;
k2  6.
Решим систему уравнений (32), которая в данном случае имеет
вид
(a11  k )  a12  0,

a21  (a22  k )  0.
(5  1)1  21  0, 41  21  0,
Для k1  1 : 






2
(2
1)
0,
1
 1
21  1  0.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полагая 1  1 (принимается любое значение), получаем:
1  2.
(5  6) 2  22  0,
Для k2  6 : 
2 2  (2  6)2  0;
Полагая  2  2 (принимается
2  1.
1 2  22  0,

2 2  42  0.
любое значение), получаем:
 x  C1et  2C2 e6t ,
Общее решение системы: 
t
6t
 y  2C1e  C2 e .
Этот пример может быть решен другим способом.
Продифференцируя первое уравнение: x  5 x  2 y и подставив в это выражение производную у =2x + 2y из второго уравнения
системы, получим x  5 x  4 x  4 y. Из первого уравнения системы
выразим 2 y  x  5 x и подставим в последнее уравнение. Получим
уравнение второго порядка относительно функции x(t ) :
x  5 x  4 x  2 x  10 x или x  7 x  6 x  0 .
Находим корни соответствующего характеристического уравнения:
k1  6; k2  1 и записываем решение x(t )  Aet  Be6t . Диффе-
ренцируем x(t )  Aet  6 Be6t и затем находим решение:
мы:
1
2 y  x  5 x  Aet  6 Be6t  5 Aet  5 Be6t ; y (t )  2 Aet  Be6t .
2
1
Обозначив A  C1;
B  C2 , получаем общее решение систе2
 x  C1et  2C2 e6t ,

t
6t
 y  2C1e  C2 e .
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 7
Дифференциальные уравнения
331340. Найти общее решение дифференциального уравнения.
8x  5 y
y
y
332. y   tg .
331. y 
.
5x  2 y
x
x
y
333. xy  y ln  0 .
334. xy  y  x 2  y 2  0 .
x
x y
.
335. 4 xyy  y 2  3 x 2  0 . 336. y 
x y
337. xy   y  x 2  y 2 .
339. y 
x y
.
x y
338. 2 x 2 y   x 2  y 2  0 .
340 xyy  8 x 2  y 2 .
341350. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y ( x0 )  y0 .
341. y cos 2 x  y  tg x , y (0)  1.
342. xy  y  x 2 cos x , y ( 2)   2 .
343. xy  y   x 2 y 2 , y (1)  1 .
344. y sin x  y cos x  1 , y ( 2)  0 .
345. xy  2 y  3 x5 y 2 , y (1)  1 .
2
346. y  2 xy  3x 2 e x , y (0)  0 .
347. y  y  e 2 x y 2 , y (0)  1 .
348. y  2 y tg 2 x  sin 4 x , y (0)  0 .
349. y 1  х 2  y  arcsin x , y (0)  1.
350. (1  x 2 ) y   y  arctg x , y (0)  1 .
351360. Найти общее решение дифференциального уравнения,
допускающего понижение порядка.
351. y   tg 5 x  5 y  .
352. (1  sin x) y   cos x  y  .
353. xy  2 y  0 .
354. xy  y  1.
355. ctg 2 x  y  2 y  0 .
356. tg x  y  2 y .
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
357. (1  x 2 ) y   2 xy  .
359. y tg x  y  1 .
358. yx ln x  y  .
360. xy  y .
361370. Найти частное решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка, удовлетворяющее заданным
начальным условиям.
361. y  e y y  0 ; y (0)  0, y (0)  1.
362. ( y  1)2 y   ( y)3 , y (0)  0, y (0)  1.
363. y  3 y  1 , y (2)  0, y(2)  2 .
364. 2 yy   3  ( y) 2 , y (1)  1, y (1)  1 .
365. ( y  2) y   2( y)2 , y (0)  3, y (0)  1 .
366. 2 y   e 4 y  0 , y (0)  0, y (0)  1 2 .
367. y  12 y 2  0 , y (0)  1 2, y(0)  1 .
368. y 3 y  3 , y (1)  1, y (1)  1 .
369. yy   ( y)2  0 , y (0)  1, y(0)  3 .
370. y  y  2 y , y (0)  0, y(0)  0 .
371380. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
371. а) y  5 y  0 ; б) y  6 y  8 y  0 ; в) y  4 y  5 y  0 .
372. а) y   7 y   0 ; б) y  5 y   4 y  0 ; в) y  16 y  0 .
373. а) y  49 y  0 ; б) y  4 y   5 y  0 ; в) y  2 y  3 y  0 .
374. а) y  9 y  0 ; б) y  y  6 y  0 ; в) y  4 y  20 y  0 .
375. а) y  4 y  0 ; б) y   y   12 y  0 ; в) y  2 y  17 y  0 .
376. а) y   2 y   0 ; б) y  2 y   10 y  0 ; в) y  y   2 y  0 .
377. а) y  3 y  0 ; б) y  5 y  6 y  0 ; в) y  2 y  5 y  0 .
378. а) y   4 y   0 ; б) y  4 y   13 y  0 ; в) y  3 y   2 y  0 .
379. а) y  y   2 y  0 ; б) y  9 y  0 ;
в) y  4 y  4 y  0 .
380. а) y  4 y  0 ; б) y  10 y  25 y  0 ; в) y  3 y  2 y  0 .
381390. Найти общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
381. y  4 y  5 y  5 х  4 .
382. y  3 y   3e3 x .
383. y  y   6 y  6 х 2  4 x  3 .
46
384. y  y  3cos x  sin x .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
385. y  4 y  4sin 2 x .
386. y  2 y   y  9e 2 x  2 х  4 .
387. y  2 y  2 х  1 .
388. y  y   2 y  3e 2 x .
389. y  4 y  3cos x .
390. y  2 y   8 y  16 х 2  2 .
391400. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
 dx
 dx


4
x
6
y
,
 dt
 dt  5 x  4 y,
391. 
392. 
dy
  4 x  2 y.
 dy  2 x  3 y.
 dt
 dt
 dx
 dx

3
x

y
,
 dt  6 x  3 y,
 dt
393. 
394. 
dy
 dy  8 x  5 y.
  8 x  y.
 dt
 dt
 dx
 dx



x
5
y
,
 dt
 dt  3 x  2 y,
395. 
396. 
dy
  x  3 y.
 dy  2 x  8 y.
 dt
 dt
 dx
 dx



4
x
6
y
,
 dt
 dt  5 x  8 y,
397. 
398. 
dy
  4 x  2 y.
 dy  3 x  3 y.
 dt
 dt
 dx
 dx



x
5
y
,
 dt
 dt  7 x  5 y,
399. 
400. 
dy
  7 x  3 y.
 dy  4 x  8 y.
 dt
 dt
401. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(9; –4), если известно, что длина отрезка, отсекаемого касательной на оси ординат, проведенной в любой точке кривой, равна полусумме координат точки касания.
402. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(–2; 5), если известно, что длина отрезка, отсекаемого касательной на оси ординат, проведенной в любой точке кривой, равна квадрату абсциссы точки касания.
403. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(1; 1), если известно, что длина отрезка, отсекаемого касательной
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на оси ординат, проведенной в любой точке кривой, равна квадрату
абсциссы точки касания.
404. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(0; –8), если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.
405. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(0; 4), если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.
406. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(–1; 1), если известно, что угловой коэффициент касательной в
любой ее точке равняется квадрату ординаты точки касания.
407. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(2; 4), если известно, что угловой коэффициент касательной в
любой ее точке в 2 раза меньше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.
408. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(2; 5), если известно, что угловой коэффициент касательной в
любой ее точке в 8 раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.
409. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(–1; 3), если известно, что угловой коэффициент касательной в
любой ее точке равняется удвоенной ординате этой точки.
410. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(3; –2), если известно, что угловой коэффициент касательной в
любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в 4 раза.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение типового варианта
контрольной работы № 7
331340. Найти общее решение дифференциального уравнения
y 
x 2  2 xy  5 y 2
2 x 2  6 xy
.
Решение. Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решаем его с помощью подy
становки  u . Далее находим:
x
y  x  u , y  u x  u ,
u x  u 
x 2  2 x 2u  5 x 2u 2
2 x 2  6 x 2u
1  2u  5u 2
x 2 (1  2u  5u 2 )


,
u xu 
, u xu 
2  6u
x 2 (2  6u )
,
1  2u  5u 2
1  2u  5u 2  2u  6u 2
1 u2
, u x 
.
u x 
 u , u x 
2  6u
2  6u
2  6u
du
и получим уравнение с разделяющимися пеЗаменяем u  
dx
du 1  u 2
ременными x
. Решаем его:

dx 2  6u
2  6u
dx 2  6u
dx
du
,
du
,




2
2
x
x
1 u
1 u
du
1 u2
1 u2
 ln x  C , 2arctg u  3
d (1  u 2 )
 ln x  C ,
1  u2

y
y2 
2
2arctg u  3ln(1  u )  ln x  C , 2arctg  3ln 1  2   ln x  C ,

x
x 

2
 3
2udu
 x2  y2 
y
 ln x  C ,
2arctg  3ln 
 x 2 
x


y
 3ln( x 2  y 2 )  3ln x 2  ln x  C ,
x
y
2arctg  3ln( x 2  y 2 )  5ln x  C . Таким образом, нашли обx
щий интеграл исходного уравнения.
2arctg
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
341350. Найти частное решение дифференциального уравнения xy  y  2 y 2 ln x , удовлетворяющее условию y (1)  1 2 .
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли.
Решаем его с помощью замены y  u ( x)v( x) . Тогда y  u v  uv .
y 2 y2
Преобразуем уравнение y  
ln x и выполним подстановку, в
x
x
результате чего получим
uv
u 2v 2
2
ln x .
u v  uv 
x
x
Сгруппируем первое и третье слагаемые, вынесем за скобки
функцию v(х):
u 2v 2
  u
ln x .
v  u    uv  2
x
x

(#)
u
 0 , котоx
рое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:
du
u du
dx
du
dx
1
 ,
 , 
   , ln u   ln x , u  .
dx
x
u
x
u
x
x
Полученное выражение для u(x) подставим в уравнение (#):
Находим частное решение для u(x) из условия u  
dv
dv 2ln x
1
v2
v 2ln x
v  2 3 ln x, 2  2 , так как v  , то 2  2 dx, и
dx
x
v
x
x
v
x
dx
u1  ln x, du1 
dv
2ln x
dv
1
2ln x
x

 2   2 dx, так как  2   v , а  2 dx 
2dx
2
v
x
v
x
dv1  2 , v1  
x
x
=
2ln x  2  dx
2ln x
dx
2ln x 2
2ln x  2  Cx
    
 2 2  
 C  
.
x
x
x
x
x
x
x
x


1
2ln x  2  Cx
x
Следовательно,   
и v
.
v
x
2ln x  2  Cx
Находим общее решение исходного уравнения:
1
x
1

y  u ( x )v ( x ) = 
.
x 2ln x  2  Cx 2ln x  2  Cx
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставим заданные начальные условия y (1)  1 2 в полученное решение:
1
1

.
2 2ln1  2  C
Откуда следует, что С  0 , и тогда частное решение заданного
1
уравнения примет вид y 
.
2(ln x  1)
351360. Найти общее решение дифференциального уравнения
xy   y  x 2 .
Решение. Данное уравнение является уравнением второго порядка, допускающим понижение порядка, вида (28). Решаем его с
помощью замены y'  p( x) . Тогда y  p( x) . Преобразуем уравнение и выполним подстановку:
y
p( x)
y   x, p( x) 
 x.
x
x
В результате получили линейное уравнение первого порядка,
которое решаем методом Бернулли, полагая p( x)  u ( x)v( x) . Тогда
p( x)  u v  uv , и заданное уравнение примет вид
uv
u v  uv   x .
x
Сгруппируем первое и третье слагаемые и функцию v(х) вынесем за скобки:
u

(##)
v  u     uv  x .
x

u
Находим u(x) из условия u    0 , которое является диффеx
ренциальным уравнением с разделяющимися переменными:
du u du dx
du
dx
 ,
 , 
  , ln u  ln x , u  x.
dx x
u
x
u
x
Полученное выражение для u(x) подставим в уравнение (##):
dv dv
xv  x, v  1, v  ,
 1, dv  dx, v  x  C1 .
dx dx
dy
Следовательно, p ( x)  x( x  C1 )  x 2  C1 x . Но p ( x)  y  ,
dx
dy
 x 2  C1 x, dy  ( x 2  C1 x)dx,  dy   ( x 2  C1 x)dx.
поэтому
dx
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проинтегрировав, получим общее решение исходного уравнения
x3
x2
y
 C1
 C2 .
3
2
361370. Найти частное решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка y  y ( y )3  0 , удовлетворяющее начальным условиям y (0)  1, y(0)  2 .
Решение. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки
y  p( y ) , тогда y  p( y )  y  p  p( y ) . Подставим в уравнение:
p  p( y )  yp3  0,
p ( p( y )  yp 2 )  0,
p  0,
Исходя из начальных условий получим: C  1,
y   0,
y  C.
y  1.
dp
dp
1 y2
2
  yp ,  2  ydy,

 C1 ,
dy
p 2
p
2
2
p 2
, y  2
. Исходя из начальных условий
y  2C1
y  2C1
2
, 1  2C1  1, C1  0. Следонайдем С1 ( y  2 при y  1 ): 2 
1  2C1
2
вательно, дальше продолжаем решать уравнение y  2 .
y
Далее: p( y )  yp 2  0,
dy 2

,
dx y 2
2
y dy  2dx,
2
 y dy  2 dx,
y3
 2 x  C2 .
3
1
 С2 , следовательно, част3
y3
1
 2 x  , или
ное решение заданного уравнения имеет вид
3
3
3
y  6x 1 .
Найдем С2 из начальных условий:
371380. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
а) y  2 y  0 ; б) 9 y   6 y  y  0 ; в) y  12 y   37 y  0 .
Решение. Заданные уравнения являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами вида y  py  qy  0 . Корнями его характеристического уравнения k 2  pk  q  0 могут быть:
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) действительные, различные числа k1  k2 ;
2) действительные, равные числа k1  k2 ;
3) комплексно-сопряженные числа k1,2     i .
Им соответствуют следующие общие решения уравнения:
1) y  C1ek1x  C2 e k2 x ;
2) y  e k1x (C1  C2 x) ;
3) y  ex (C1 cos  x  C2 sin  x) , где C1 , C2 – произвольные постоянные.
Для заданных уравнений составляем характеристические уравнения, находим их корни и записываем общие решения:
а) y  2 y  0 . Характеристическое уравнение k 2  2k  0 , его
корни k1  0, k2  2 – действительные различные числа, поэтому общее решение уравнения имеет вид y  C1e0  C2 e 2 x или y  C1  C2 e 2 x .
б) 9 y   6 y  y  0 . Характеристическое уравнение 9k 2  6k 
6 1
1  0, D  0 , следовательно, корни k1  k2   действительные
18 3
равные числа, поэтому общее решение уравнения имеет вид
ye
(1 3) x
(C1  C2 x) или y
х
 e 3 (C1  C2 x) ;
в) y  12 y  37 y  0 . Характеристическое уравнение k 2  12k 
37  0, D  144  4  37  4, D  4  2i , следовательно, корни –
12  2i
 6  i , где   6,
комплексно-сопряженные числа k1,2 
2
  1 , поэтому общее решение уравнения имеет вид
y  e 6 x (C1 cos x  C2 sin x) .
381390. Найти общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
(см. примеры 1316).
391400. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. пример 17).
401410. Решить задачу.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(0; 2),
если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее
точке равняется утроенной ординате этой точки.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Угловой коэффициент касательной к кривой равен
к  tg   y( x) . По условию задачи y( x)  3 y (рис. 2). Получили
дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися
переменными. Решаем его:
dy
dy
dy
 3 y,
 3dx, 
  3dx, ln y  3 x  C .
dx
y
y
y
2

х
Рис. 2
Искомая кривая проходит через точку А(0; 2), поэтому
ln 2  0  C , следовательно, C  ln 2, ln y  3 x  ln 2, y  e3 x  ln 2 
 2e3 x .
Таким образом, уравнение искомой кривой имеет вид y  2e3 x .
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т е м а 13. Кратные, криволинейные
и поверхностные интегралы
1.
2.
3.
4.
Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Гл. VII, IX.
Пискунов Н. С. Ч. 2, гл. 14, 15.
Письменный Д. Т. Ч. 2, § 712.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Ч. 2, гл. 1, 2.
13.1. Двойные интегралы
Рассмотрим некоторую область D , ограниченную замкнутой
линией С на плоскости Oxy . Пусть в D задана функция z  f ( x, y ) .
Произвольными линиями разобьем D на n элементарных областей Si ,
площади которых Si ( i  1, 2,..., n ).
y
В каждой области Si выберем проSi
извольную точку Pi ( xi , yi ) (рис. 3).
Pi
Диаметром di области Si называD
ется длина наибольшей из хорд, соC
единяющих граничные точки Si .
Выражение вида
O
n
I n   f ( xi , yi )  Si
x
Рис. 3
i 1
называется интегральной суммой для функции z  f ( x, y ) в области D .
Двойным интегралом функции z  f ( x, y ) по области D называется предел lim I n , обозначаемый  f ( x, y )dS . Таким образом, по
di  0
D
определению,
n
 f ( xi , yi )  Si .
 f ( x, y )dS  dlim
0
i
D
(34)
i 1
Будем предполагать, что функция z  f ( x, y ) непрерывна в области D и линия C  кусочно-гладкая, поэтому указанный в формуле (34) предел всегда существует.
Укажем основные свойства двойного интеграла и его геометрический и физический смыслы.
1.  dS  S ( D) , где S ( D)  площадь области интегрирования D .
D
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Если подынтегральная функция z  f ( x, y )  ( x, y )  поверхностная плотность материальной пластины, занимающей область D , то масса этой пластины определяется по формуле
m   ( x, y )dS .
D
В этом заключается физический смысл двойного интеграла.
3. Если f ( x, y )  0 в области D , то двойной интеграл (34) численно равен объему V цилиндрического тела, находящегося над
плоскостью Oxy , нижним осz
нованием которого является
z  f ( x, y ) область D , верхним  часть
поверхности z  f ( x, y ) , проектирующаяся в D , а боковая
поверхность  цилиндрическая, причем ее прямолинейO
ные образующие параллельны
y
оси Oz и проходят через граD
ницу C области D (рис. 4).
C
Это свойство выражает
x
геометрический смысл двойноРис. 4
го интеграла.
4. Если функции f1 ( x, y ), f 2 ( x, y ) непрерывны в области D , то
верна формула
  f1 ( x, y )  f 2 ( x, y )  dS   f1 ( x, y )dS   f 2 ( x, y )dS .
D
D
D
5. Постоянный множитель k подынтегральной функции можно
выносить за знак двойного интеграла:
 k  f ( x, y )dS  k  f ( x, y )dS .
D
D
6. Если область D разбить на конечное число областей
D1 , D2 ,..., Dk , не имеющих общих внутренних точек, то интеграл по
области D равен сумме интегралов по областям Dk :
 f ( x, y )dS   f ( x, y )dS   f ( x, y )dS  ...   f ( x, y )dS .
D
D1
D2
Dk
7. (Теорема о среднем). Для непрерывной функции z  f ( x, y ) в
области D , площадь которой S ( D) , всегда найдется хотя бы одна
точка P( x0 , y0 ) , такая, что
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 f ( x, y )dS  f ( x0 , y0 )  S ( D) .
D
Число f ( x0 , y0 ) называется
z  f ( x, y ) в области D .
средним
8. Если в области D f ( x, y )  0 , то
значением
функции
 f ( x, y )dS  0 .
D
9. Если в области D для непрерывных функций f ( x, y ),
f1 ( x, y ), f 2 ( x, y ) выполнены неравенства f1 ( x, y )  f ( x, y )  f 2 ( x, y ) ,
то
 f1 ( x, y )dS   f ( x, y )dS   f 2 ( x, y )dS .
D
D
D
10.  f ( x, y )dS   f ( x, y ) dS .
D
D
Замечание. Так как предел интегральной суммы не зависит от способа
разбиения области D на элементарные области Si (теорема существования и
единственности), то в декартовой системе координат область D удобно разбивать на элементарные области Si , прямыми, параллельными осям координат.
Полученные при таком разбиении элементарные области Si , принадлежащие
области D , являются прямоугольниками. Следовательно, dS  dxdy и
 f ( x, y )dS   f ( x, y )dxdy .
D
D
13.1.1. Вычисление двойного интеграла
1. Если функция z  f ( x, y ) непрерывна в замкнутой области D , ограниченной прямыми x  a, x  b (a  b) , и кривыми
y  1 ( x) , y  2 ( x) , причем функции 1 ( x) и 2 ( x) непрерывные и
таковы, что 1 ( x)  2 ( x) для всех x   a, b  , тогда
b  2 ( x )
 f ( x, y )dxdy    
D
a  1 ( x )
2 ( x )
b

f ( x, y )dy  dx   dx  f ( x, y )dy .

a
1 ( x )

Для вычисления двойного интеграла сначала берем внутренний
интеграл в пределах от yвх  1 ( x) до yвых  2 ( x) , считая x постоянным, а затем от полученного результата берем внешний интеграл в
пределах от наименьшего до наибольшего значений x в области D
(рис. 5).
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y  2 ( x )
yвых
y
D
y  1 ( x )
yвх
O
x
b
a
Рис. 5
Пример. Вычислить интеграл
 ( x  y )dxdy , если область D огD
2
раничена линиями: y  x , y  0, x  2 (рис. 6).
y
x
D
2
0
Рис. 6
x2
2
y  x2
y 
Решение.  ( x  y )dxdy   dx  ( x  y )dy    xy 


2
D
0
0
0
0
2
2
dx 
2
2
 x 4 x5 
x4 
3
   x   dx      4  3, 2  0,8.

 4 10 
2 
0

0
2. Если функция z  f ( x, y ) непрерывна в замкнутой области D ,
ограниченной прямыми y  c, y  d (c  d ) и кривыми x  1 ( y ) ,
x   2 ( y ) , причем функции 1 ( y ) и  2 ( y ) непрерывные и таковы,
что 1 ( y )   2 ( y ) для всех y   c, d  , тогда
d
2 ( y)
c
1 ( y )
 f ( x, y )dxdy   dy  f ( x, y )dx .
D
Для вычисления двойного интеграла в данном случае сначала берем внутренний интеграл в пределах от xвх  1 ( y ) до xвых   2 ( y ) ,
считая y постоянным, а затем от полученного результата берем
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
внешний интеграл в пределах от наименьшего до наибольшего значений y в области D (рис. 7).
y
d
x  1( y )
x  2 ( y)
D
xвых
xвх
c
O
x
Рис. 7
Пример. Вычислить интеграл  ( x 2  y 2 )dxdy , если область D
D
ограничена линиями y  x, y  1, y  2, x  0 (рис. 8).
Решение.
2
2
2
y
2
2
 ( x  y )dxdy   dy  ( x  y )dx 
D
1
2 3
y
0
y
y4

3
2
1
2
2
2
x
4 3
4 y4
2 
    y x  dy   y dy  

 3

3
3
4
1
1
0
1
1
 (16  1)  5.
3
D
yx
1
x
O
Рис. 8
Замена переменных в двойном интеграле.
Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть переменные x, y связаны с переменными u , v соотношениями x  x(u , v) , y  y (u , v) , где x(u , v), y (u , v)  непрерывные и
дифференцируемые функции.
x x
u v
 I называется определителем Якоби, или
Выражение
y y
u v
якобианом.
Тогда
(35)
 f ( x, y )dydx   f ( x(u, v), y (u, v))  I  dudv .
D
D
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формула (35) называется формулой замены переменных в
двойном интеграле. Координаты u и v называются криволинейными
координатами точки ( x, y ) .
Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных
координат являются полярные координаты (, ) . Прямоугольные
декартовы ( x, y ) и полярные координаты связаны между собой сле x   cos ,
дующими соотношениями: 
 y   sin .
В этом случае якобиан имеет вид
x x
  cos   sin 
I 

  cos 2    sin 2    .
y y
sin   cos 
 
Тогда формула (35) принимает вид
 f ( x, y )dxdy   f ( cos ,  sin ) d d    f1 (, ) d d  .
D
D
D
Здесь D  область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат. К полярным
координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования – круг или часть круга.
13.2. Криволинейные интегралы первого рода
(по длине дуги)
Пусть в пространстве R3 задана гладкая дуга AB кривой L , во
всех точках которой определена непрерывная функция u  f ( x, y, z ) .
Дугу AB произвольным образом разобьем на n частей li , длиной li ,
(i  1, 2,..., n) (рис. 9). В каждой
z
элементарной части li выберем
произвольную точку M i ( xi , yi , zi )
B
и составим интегральную сумму:
li
A
L
x
Mi
n
I n   f ( xi , yi , zi )li .
y
i 1
O
Тогда предел lim I n назыli 0
Рис. 9
вается криволинейным интегралом первого рода или криволи60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нейным интегралом по длине дуги AB от функции f ( x, y, z ) и обозначается  f ( x, y, z )dl .
AB
Таким образом, по определению
n
 f ( xi , yi , zi )li .
 f ( x, y, z )dl  maxlim
l 0
i 1
i
AB
Если кривая L лежит в плоскости Oxy и вдоль этой кривой задана непрерывная функция f ( x, y ) , то
n
 f ( xi , yi )li .
 f ( x, y )dl  maxlim
l  0
i 1
i
AB
Свойства криволинейного интеграла первого рода
1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой AB .
2) Свойства линейности: постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла; криволинейный интеграл от
суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих
функций.
3) Свойство аддитивности: если кривая AB разбита на дуги АС
и СВ, то
 f ( x, y, z )dl   f ( x, y, z )dl   f ( x, y, z )dl .
AB
AC
CB
4) Если в точках кривой АВ f1 ( x, y, z )  f 2 ( x, y, z ) , то
 f1 ( x, y, z )dl   f 2 ( x, y, z )dl .
AB
AB
5)  f ( x, y, z )dl   f ( x, y, z dl .
AB
AB
n
6) Если f ( x, y, z )  1, то  dl  lim  li  l ( AB); где l ( AB) –
0
длина дуги AB ,   max li .
AB
i 1
7) Теорема о среднем.
Если функция f ( x, y, z ) непрерывна на кривой AB , то на этой
кривой существует точка ( x1 , y1 , z1 ) такая, что
 f ( x, y, z )dl  f ( x1 , y1 , z1 )  l ( AB) .
AB
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо
определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.
В случае, когда гладкая кривая L задана параметрическими
уравнениями x  x(t ), y  y (t ), z  z (t ) и параметр t изменяется монотонно на отрезке  ,  (  ) при перемещении по кривой L из
точки А в точку В, верна формула для вычисления криволинейного
интеграла

2
2
2
 f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y (t ), z (t )) x (t )  y (t )  z  (t ) dt . (36)

AB

Длина дуги AB равна: l ( AB )   x2 (t )  y 2 (t )  z 2 (t ) dt .

В случае плоской кривой формула (36) упрощается:

2
2
 f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t )) x (t )  y (t ) dt .
(37)

AB
Если уравнение плоской кривой   () задано в полярных
координатах, функция () и ее производная () непрерывны, то
имеет место частный случай формулы (37), где в качестве параметра t взят полярный угол  :
B
2
2
 f ( x, y )dl   f (() cos , ()sin )  ()   () d  ,
A
AB
где  A и  B  значения полярного угла  , определяющие на кривой
точки А и В.
Если плоская кривая задана непрерывной и непрерывно дифференцируемой на  a, b  функцией y  y ( x) , где а и b  абсциссы точек А и В, то
b
2
 f ( x, y )dl   f ( x, y ( x)) 1  y ( x) dx .
AB
a
Итак, во всех случаях вычисление криволинейных интегралов
первого рода сводится к вычислению определенного интеграла.
13.3. Криволинейные интегралы второго рода
(по координатам)
Пусть в пространстве R3 задан вектор a  P ( x, y, z )i 
Q( x, y, z ) j  R ( x, y, z )k , координаты которого  непрерывные функции в точках ориентированной кривой L . Кривую L разобьем в на62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
правлении от A к В на п элементарных дуг li и построим векторы


li  xi i  yi j  zi k , где xi , yi , zi  проекции векторов li на
оси координат. Начала этих векторов совпадают с началами элементарных дуг li , а концы – с их концами (рис. 10). На каждой элементарной части li выберем произвольную точку M i ( xi , yi , zi ) и составим интегральную сумму:
n
I n   P ( xi , yi , zi )xi  Q( xi , yi , zi )yi  R ( xi , yi , zi )zi 
i 1
n

  a( xi , yi , zi )  li
(38)
i 1
z
zi
Mi
A
N2
N i 1
N1
Ni
N n 1
B
yi
y
xi
x
Рис. 10

Предел суммы (38), найденный при условии, что все li  0 ,
называется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам от вектор-функции a( x, y, z ) по
кривой L и обозначается

a
(
x
,
y
,
z
)

dl
  P ( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R ( x, y, z ) dz 

L
L

lim
max li

n
 a( xi , yi , zi )  li .
0
i 1
(39)
Если функции P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R ( x, y, z ) непрерывны в точках гладкой кривой L , то предел суммы (38) существует, т.е. существует криволинейный интеграл второго рода (39).
Криволинейные интегралы второго рода обладают основными
свойствами определенных интегралов (линейности, аддитивности).
Непосредственно из определения криволинейного интеграла второго
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рода следует, например, что он зависит от направления интегрирования вдоль кривой, т.е. меняет знак при изменении ориентации кривой:


a
(
x
,
y
,
z
)

dl


a
(
x
,
y
,
z
)

dl
.


AB
BA
Если кривая интегрирования L замкнута, криволинейные интегралы второго рода обозначаются  a( x, y, z )  dl . В этом случае через
L
кривую L проводится ориентированная поверхность и за положительное направление обхода контура L принимается направление
против хода часовой стрелки.
Если гладкая кривая L задана параметрическими уравнениями
x  x(t ), y  y (t ), z  z (t ) ,
где x(t ), y (t ), z (t )  непрерывно дифференцируемые функции,
A( x(), y (), z ()) и B( x(), y (), z ())  соответственно начальная и
конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода:
 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz 
AB

   P( x(t ), y(t ), z (t )) x(t )  Q( x(t ), y(t ), z(t )) y(t )  R( x(t ), y(t ), z(t )) z(t )  dt.

(40)
Если кривая L лежит в плоскости Oxy , a  P( x, y )i  Q( x, y ) j ,
то R( x, y, z )  0 , z (t )  0 и формула (40) упрощается:

 P( x, y )dx  Q( x, y )dy    P( x(t ), y (t )) x(t )  Q( x(t ), y (t )) y(t )  dt.

AB
Если кривая L лежит в плоскости Oxy и задана уравнением y  f ( x) , производная f ( x) непрерывна на отрезке  a, b  ,
a  P( x, y )i  Q( x, y ) j , то
b
 P( x, y )dx  Q( x, y )dy    P( x, f ( x))  Q( x, f ( x)) f ( x)  dx.
AB
a
Криволинейный интеграл второго рода (39) в случае, когда
a  F сила, под действием которой перемещается тело, определяет
работу силы F на пути AB . В этом заключается физический смысл
криволинейного интеграла второго рода.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема (Грина). Если функции P( x, y ), Q( x, y ) непрерывны,
имеют непрерывные частные производные в замкнутой области D ,
лежащей в плоскости Oxy и ограниченной кусочно-гладкой кривой L , то
 Q P 
(41)
 P( x, y )dx  Q( x, y )dy      dxdy ,


x
y


L
D
где интегрирование по контуру L выполняется в положительном
направлении.
Формула (41) называется формулой Грина. Таким образом,
формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом второго рода и двойным интегралом, т.е. дает выражение криволинейного интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл
по области, ограниченной этим контуром.
Если в некоторой области D выполнены условия теоремы Грина, то равносильны следующие утверждения:
1.  P ( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 , если L  любой замкнутый конL
тур, расположенный в области D .
2. Интеграл  P ( x, y )dx  Q( x, y )dy не зависит от пути интегAB
рирования, соединяющего точки А и В.
3. P( x, y ) dx  Q( x, y ) dy  du ( x, y ) , где du ( x, y )  полный дифференциал функции u ( x, y ) .
P Q

.
y x
Из формулы Грина следует, что площадь S области D можно
также вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:
1
S ( D)    ydx  xdy ,
2L
4. Во всех точках области D справедливо равенство
где интегрирование по контуру L производится в положительном
направлении.
С помощью теории криволинейных интегралов второго рода
можно решить следующую задачу.
Пусть известно дифференциальное выражение P( x, y )dx 
Q( x, y )dy , которое является полным дифференциалом некоторой
функции u ( x, y ) . Требуется найти эту функцию.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение данной задачи определяется формулой
x
y
x0
y0
u ( x, y )   P ( x, y0 )dx   Q( x, y )dy  C
y
x
или u ( x, y )   Q( x0 , y )dy   P( x, y )dx  C ,
y0
(42)
x0
где точки M 0 ( x0 , y0 ) и M ( x, y ) принадлежат области D, в которой
P( x, y ), Q( x, y ) , и их частные производные являются непрерывными
функциями; С  произвольная постоянная.
13.4. Поверхностные интегралы первого рода
Пусть u  f ( x, y, z )  непрерывная функция в точках некоторой
гладкой поверхности S  R3 . С помощью кусочно-гладких линий
разобьем поверхность S на п элементарных площадок Si , площади
которых обозначим через Si
z
S
(i  1, 2,..., n) , а диаметры  через di
Mi
(рис. 11). На каждой площадке Si
выберем
произвольную
точку
M i ( xi , yi , zi ) , вычислим f ( xi , yi , zi )
Si
и составим интегральную сумму
O
y
n
I n   f ( xi , yi , zi ) Si .
D
i 1
x
Тогда предел
Рис. 11
lim
max di 0
I n всегда
существует, называется поверхностным интегралом первого рода от
функции f ( x, y, z ) по поверхности S и обозначается  f ( x, y, z ) dS .
S
Таким образом, по определению,

f ( x, y, z ) dS 
S
lim
n
 f ( xi , yi , zi )Si .
max di  0 i 1
Поверхностные интегралы первого рода обладают свойствами
линейности, аддитивности, для них справедлива теорема о среднем,
их величина не зависит от выбора стороны поверхности.
Очевидно, что интеграл  dS равен площади поверхности, а
S
 ( x, y, z )dS , где ( x, y, z )  масса поверхности S , где S  плотS
ность поверхности.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если проекция D поверхности S на плоскость Oxy однозначна, т.е. всякая прямая, параллельная оси Oz , пересекает поверхность S лишь в одной точке, то поверхность можно задать уравнением z  z ( x, y ) и справедливо равенство, с помощью которого вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла:
2
2
 f ( x, y, z )dS   f ( x, y, z ( x, y )) 1  z x ( x, y )  z y ( x, y ) dxdy . (43)
S
D
Пример. Вычислить  x 2  y 2 dS , где S  часть конической
S
2
2
2
поверхности x  y  z , расположенная между плоскостями z  0 и
z  2 (рис. 12).
z
2
2
x
y
D
Рис. 12
Решение. Из уравнения данной поверхности находим, что для
рассматриваемой ее части z  x 2  y 2 и проекцией ее D на плосx
кость Oxy является круг x 2  y 2  4 . Так как z x 
,
2
2
x y
y
z y 
, то из формулы (43) получим
2
2
x y
2
2
2
 x  y dS   x  y
S
D
2
1
x2  y 2
2
x y
2
dxdy  2  x 2  y 2 dxdy 
D
x   cos 
2
2
8 16 2
 y   sin 
 2  2 d  d   2  d  2 d   2  2  
.
3
3
0
0
D
dxdy   d d 
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.5. Поверхностные интегралы второго рода
Сторона гладкой поверхности S , из каждой точки которой восстановлен вектор нормали n , называется положительной, а другая
ее сторона (если она существует)  отрицательной. Если, в частности, поверхность S является замкнутой и ограничивает некоторую
область пространства V, то положительной, или внешней, стороной
поверхности называется та ее сторона, нормальные векторы которой
направлены от области V, а отрицательной, или внутренней,  сторона, нормальные векторы которой направлены в область V. Поверхность, у которой существуют положительная (внешняя) и отрицательная (внутренняя) стороны, называется двухсторонней. Поверхность S с выбранной стороной называется ориентированной. Будем
считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому
по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.
Если поверхность S задана уравнением z  z ( x, y ) , то нормальный вектор n , образующий с осью Oz острый угол  , определяется


следующим образом: n   z x ;  z y ; 1 , а координаты единичного
вектора нормали n 0 равны его направляющим косинусам, т.е.
z y 1 
0  z x
n    ;  ;   (cos , cos , cos  ), n  1  z x 2  z y 2 .
n n
 n
Если поверхность S задана уравнением F ( x, y, z )  0 , то
gradF
,
n0  
gradF
где знак «+» берется в случае, когда угол  острый, а знак «» в случае, когда   тупой.
Пусть в пространстве R3 определена вектор-функция
a  P( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k ,
где P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )  функции, непрерывные в области V. Далее, пусть S  некоторая гладкая поверхность, лежащая в области V, с выбранной положительной стороной, т.е. выбранным направлением вектора n 0 . Разобьем поверхность S принадлежащими ей
кусочно-гладкими линиями на элементарные площадки Si , площади
которых Si (i  1, 2,..., n) , а диаметры  di , и выберем в каждой из
них произвольно точку M i ( xi , yi , zi ) . Тогда существует предел
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
a( xi , yi , zi )  n 0 ( xi , yi , zi )Si ,

max d 0
lim
i 1
i
который называется поверхностным интегралом второго рода от
функции a( x, y, z ) по поверхности S и обозначается  a  n 0 dS . ТаS
ким образом, по определению,
0
 a  n dS    P cos   Q cos   R cos   dS .
S
(44)
S
Поверхностные интегралы второго рода обладают свойствами
линейности и аддитивности. При изменении стороны поверхности на
противоположную, т.е. при замене n 0 на n0 , интеграл (44) изменяет
знак.
Так как cos dS  dydz , cos dS  dzdx, cos dS  dxdy , то интеграл (44) можно записать в виде
0
 a  n dS   Pdydz  Q dzdx  R dxdy .
S
(45)
S
Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла (44) к вычислению двойного интеграла:
0
 a  n dS   a( x, y, z )  n( x, y, z ) dxdy ,
S
(46)
Dxy
где область Dxy является проекцией поверхности S на плоскость Oxy ,
поверхность S задается функцией z  f3 ( x, y ) , n   grad( z  f3 ( x, y )) .
В двойном интеграле переменную z следует заменить на f3 ( x, y ) .
Приведем еще две формулы, которые можно применять для вычисления поверхностного интеграла второго рода:
0
 a  n dS   a( x, y, z )  n( x, y, z ) dydz 
S
D yz

 a( x, y, z )  n( x, y, z ) dxdz,
Dxz
(47)
где области D yz и Dxz  соответственно проекции поверхности S на
плоскости Oyz и Oxz ; поверхность S задается функциями
x  f1 ( y, z ) и y  f 2 ( x, z ) . В двойном интеграле по области D yz следует в подынтегральном выражении заменить x функцией f1 ( y, z ) и
принять n  grad( x  f1 ( y, z )) , а в двойном интеграле по Dxz заме69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нить у функцией f 2 ( x, z ) и взять n   grad( y  f 2 ( x, z )) . Отметим,
что в выражениях для n знак «+» или «–» ставится в зависимости от
выбранной стороны поверхности S .
Интегралы в правых частях формулы (45) рассматривают как
сумму трех интегралов, для вычисления каждого из которых можно
применить одну из формул (46) или (47).
13.6. Поток векторного поля. Дивергенция
Потоком (П) векторного поля a( M ) , M ( x, y, z )  S через
поверхность S в сторону единичного вектора нормали n 0 
= cos , cos , cos  поверхности S называется поверхностный интеграл второго рода (45).
Если вектор a   P, Q, R определяет векторное поле скоростей
текущей несжимаемой жидкости, то интеграл (45) равен объему V
жидкости, протекающей через поверхность S в направлении нормали n 0 за единицу времени. В этом заключается физический смысл
интеграла (45), т.е.
(48)
П   a( M )  n 0 dS .
S
Из формулы (48) ясно, что П  скалярная величина, и если угол




  (a, n 0 ) 
, то П  0, если же   , то П < 0, если   , то
2
2
2
П  0.
При изменении ориентации поверхности знак П меняется на
противоположный (вследствие свойств поверхностных интегралов
второго рода).
Пусть S  замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая область V , и P  P( x, y, z ), Q  Q( x, y, z ), R  R ( x, y, z ) 
функции, непрерывные вместе со своими частными производными
первого порядка в замкнутой области V. Тогда поток П вектора
a   P, Q, R через поверхность S можно вычислить с помощью
формулы ОстроградскогоГаусса :
 P Q R 


П   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   
 dxdydz . (49)

x

y

z


S
V
Таким образом, эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом
по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На практике формулу ОстроградскогоГаусса можно применять для вычисления объемов тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело. Имеют место формулы:
V   xdydz   ydxdz   zdxdy   dxdydz .
S
S
S
V
Пусть a( M )  поле скоростей несжимаемой жидкости. Если
П > 0, то из формулы (49) следует, что из области V вытекает больше
жидкости, чем втекает. Это означает, что внутри области V имеются
источники. Если П  0 , то из области V вытекает меньше жидкости,
чем втекает в нее. В этом случае говорят, что внутри области V имеются стоки. При П  0 в область V втекает столько же жидкости,
сколько вытекает.
Пусть в области V задано векторное поле a   P, Q, R , где
функции P  P( x, y, z ), Q  Q( x, y, z ), R  R ( x, y, z ) имеют частные
производные в точке M ( x, y, z ) V по x, y, z соответственно. Тогда
дивергенцией, или расходимостью, векторного поля а(М) в точке М,
обозначаемой div a( M ) , называется величина, равная сумме частных
производных, вычисленных в точке М, т.е., по определению,
 P Q R 


div a( M )  
 .
 x y z  M
(50)
С физической точки зрения div a( M ) характеризует плотность
источников или стоков векторного поля a( M ) в точке М. Если
div a( M )  0 , то точка М является источником, если div a( M )  0 
стоком. В случае, когда div a( M )  0 , в точке М нет ни источников,
ни стоков. Перечислим основные свойства дивергенции векторного
поля:
1) div(a  b)  div a  div b ;
2) div c  0 , если c  постоянный вектор;
3) div( f  a)  f div a  a  grad f , где f  f ( x, y, z )  скалярная
функция.
Из формул (48), (49) и (50) следует, что
П   a( M )  n0 dS   diva( M ) dxdydz ,
S
(51)
V
т.е. поток векторного поля a( M ) через замкнутую поверхность S
во внешнюю ее сторону численно равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по области V, ограниченной поверхностью S .
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.7. Циркуляция и ротор векторного поля
Пусть L  замкнутая кусочно-гладкая кривая в пространстве
R3 и S  гладкая поверхность, краем которой служит кривая L .
За положительное направление обхода кривой L принимается такое
направление, при котором область, ограниченная этой кривой, будет
оставаться слева на положительной стороне поверхности S , т.е. на
стороне, из точек которой восставлен единичный вектор нормали
n 0  cos , cos , cos  к поверхности S (рис. 13). Пусть далее в каждой точке поверхности S задан вектор a( P, Q, R) , координаты которого P  P( x, y, z ), Q  Q( x, y, z ), R  R ( x, y, z ) являются непрерывными функциями вместе со своими частными производными первого
порядка. Тогда имеет место формула Стокса, связывающая криволинейный и поверхностный интегралы второго рода:
 R
Q 
P
R
 Q
P 


 Pdx  Qdy  Rdz     dydz     dzdx     dxdy ,
z 
 z x 
 x y 
L
S  y
где направление обхода по замкнутой кривой L выбирается положительным.
z
n0
S
L
O
y
Г
x
Рис. 13
Формула Грина (41) является частным случаем формулы Стокса, когда кривая L и поверхность S лежат в плоскости Oxy .
Если задано векторное поле a   P, Q, R и некоторая замкнутая
кусочно-гладкая кривая L в пространстве R3 , то криволинейный интеграл
C   a   0 dl   Pdx  Qdy  Rdz ,
L
L
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
называется циркуляцией векторного поля a( M ) вдоль контура L .
Здесь  0  единичный вектор, направленный по касательной к кривой L и указывающий
направление обхода по контуру.

Если a  F  вектор силы, то циркуляция равна работе этой силы вдоль замкнутой кривой L .
Ротором, или вихрем, векторного поля a   P, Q, R называется
 R Q
вектор, обозначаемый rot a( M ) , координаты которого 

;

y

z

P R Q P 


;
, т.е., по определению,
z x x y 
 R Q   P R   Q P 
rot a( M )  



 j
i  
k .
 y z   z x   x y 
Используя понятия ротора и циркуляции, формулу Стокса
можно записать в векторной форме:
C   a   0 dl   rot a  n 0 dS ,
L
S
т.е. циркуляция векторного поля a( M ) вдоль замкнутого контура L
равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S , краем которой является L .
     



Символический вектор    , ,   i  j  k  наy
z
 x y z  x
зывается оператором Гамильтона.
С учетом этого обозначения можно представить себе понятие
ротора вектора a( M ) как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор a( M ) , т.е.
i
j k



  R Q   P R   Q P 
k.
rot a    a 
i




j
x y z  y z   z x   x y 
P Q R
Число C ( M )  пр 0 rot a( M ) называется плотностью циркуляn
ции векторного поля a( M ) в точке М в направлении вектора n 0 .
Плотность достигает максимума в направлении rot a( M ) и равна
max C ( M )  rot a( M ) .

Символ  читается «оператор набла».
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим некоторые свойства ротора векторного поля:
1) rot (a  b)  rot a  rot b ;
2) rot (c)  0 , если c  постоянный вектор;
3) rot ( f  a)  f rot a  a  grad f , где f  f ( x, y, z )  скалярная
функция.
Если rot a( M )  0 , то это свидетельствует о вращении векторного поля a( M ) .
Векторное поле a  P ( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R ( x, y, z )k называется потенциальным, или безвихревым, в односвязной области V , если
в каждой точке этой области ротор равен нулю.
Согласно определению ротора, необходимым и достаточным
условием потенциальности поля является выполнение равенств
R Q
P R
Q P

 0,

 0,

 0.
(52)
y z
z x
x y
Тогда вектор a является градиентом некоторой функции
u  u ( x, y, z ) , которая называется потенциалом векторного поля, т.е.
u u
u
i
j k.
x
y
z
Потенциал векторного поля находится по формуле
u ( x, y, z )   Pdx  Qdy  Rdz  C 
a  grad u 
M 0M
x
y
z
x0
y0
z0
  P( x, y0 , z0 )dx   Q( x, y, z0 )dy   R( x, y, z )dz  C ,
где M 0 ( x0 , y0 , z0 )  некоторая фиксированная точка области V ;
M ( x, y, z )  любая точка области V ; C  произвольная постоянная.
При выполнении условий (52) криволинейный интеграл второго рода не
зависит от пути интегрирования, соединяющего точки M 0 и M .
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 8
Кратные, криволинейные и поверхностные
интегралы
411420. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями.
411.  ( x  3 y ) dxdy; D : y  x 2  1, y  1  x 2 .
D
412.  x( y  2) dxdy; D : y  5 x, y  x, x  3.
D
413.  ( x 2  2 y ) dxdy; D : y  x 2 , y 2  x.
D
414.  ( x3 y ) dxdy; D : y  2  x, y  x, x  0.
D
415.  ( x  y 2 ) dxdy; D : y  x 2 , y  1.
D
416.  ( x 2  6 y 2 ) dxdy; D : y 2  x, x  4.
D
417.  x(1  y ) dxdy; D : y 2  x, 5 y  x.
D
418.  ( x  3) y dxdy; D : y  x, y 
D
419.
 ( x  4 y
3
1
x, x  2.
2
) dxdy; D : y  x3 , y  0, x  1.
D
420.  x 2 y dxdy; D : y  x3 , y  8, x  0.
D
421430. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость xOy .
421. z  2 x, x 2  y 2  25, z  0,
y  0.
422. z  9  y 2 , x 2  y 2  9, z  0 .
423. z  4  x  y, x 2  y 2  4, z  0 .
424. z  y 2 , x 2  y 2  9, z  0 .
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
425. z  x 2  y 2 , x 2  y 2  4, z  0.
426. z  2 x  y, y  4  x 2 , z  0, x  0, y  0.
427. z  3x,
y  9  x 2 , z  0,
428. z  2 y,
y  4  x 2 , z  0, x  0.
429. z  3x  2 y,
y  0.
y  9  x 2 , z  0,
y  0, x  0.
430. z  x  y  2, x 2  y 2  1, z  0.
431440. Задан криволинейный интеграл  P( x, y )dx  Q( x, y )dy
L
и точки О(0;0), A(4; 0), B(0; 8) и C(4; 8). Вычислить интеграл, если:
а) L – ломаная ОАС; б) L – ломаная ОВС; в) L – дуга параболы
x2
y
. Объяснить совпадение полученных результатов.
2
431.  ( x  y )dx  ( x  2 y )dy .
L
x2
432.  (2  xy )dx  (  y )dy .
2
L
433.  ( x3  2 y )dx  (2 x  5)dy .
L
434.  (2 x  3 y )dx  (3 x  4 y )dy .
L
435.  (4  xy 2 )dx  ( x 2 y  3 y 2 )dy .
L
436.  (3x  2 y )dx  (2 x  y )dy .
L
437.  (1  2 xy )dx  ( x 2  y )dy .
L
438.  (5 x  2 y )dx  (2 x  y )dy .
L
439.  (3x 2  y )dx  ( x  2 y )dy .
L
440.  (4 xy  3)dx  (2 x 2  1,5 y 2 )dy .
L
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
441450. Показать, что выражение P( x, y ) dx  Q( x, y ) dy является полным дифференциалом функции u ( x, y ) . Найти функцию
u ( x, y ) .
441. (5 x 4 y 2  e x )dx  (2 x5 y  sin y )dy .

1
442. (3 x 2 y 4  1)dx   4 x3 y 3   dy .
y

 1

443. (4 x  y )dx  
 2 xy  dy .
 1  y2



3
2

 2х

x2 
444.   3cos3x  dx   2  2  dy .

y 
 y



y 
1 1 

445.  2 xy 5  2  dx   6 x 2 y 5   2  dy .
x y 
x 


446. (3 x 2 e 2 y  y sin x)dx  (2 x3e 2 y  cos x)dy .
1 

447.  y 
dx  ( x  2e2 y )dy .
2
1 x 

 e3 x
1 
 3x
2
3
y
448.  3e tg y  4  dx  

 dy .
2

x 

 cos y

 1

1
1
x 
449.  2 x 
  dx  
 2  dy .
x y y

 x y y 
450. ( y 2 е xy  3)dx  е xy (1  xy )dy .
451460. Дано векторное поле a  X i  Yj  Zk и плоскость ( p ) :
Ax  By  Cz  D  0 , которая вместе с координатными осями образует пирамиду V. Пусть   основание пирамиды, принадлежащее
плоскости (р); L  контур, ограничивающий ; n  нормаль к , направленная вне пирамиды V. Требуется вычислить:
1) поток векторного поля a через поверхность  в направлении
нормали n ;
2) циркуляцию векторного поля a по замкнутому контуру L
непосредственно и применив теорему Стокса к поверхности  с ограничивающим ее контуром L ;
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) поток векторного поля a через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно и применив теорему ОстроградскогоГаусса. Сделать чертеж.
451. a  ( x  3 y  6 z )i; ( p) :  x  y  2 z  4  0 .
452. a  (5 x  2 y  3z )k ; ( p) : x  y  3z  3  0 .
453. a  (3 x  4 y  2 z ) j; ( p ) : x  y  2 z  4  0 .
454. a  ( x  y  z )i; ( p) :  x  2 y  z  4  0 .
455. a  (2 x  4 y  3z )k ; ( p) : 3x  2 y  3z  6  0 .
456. a  (2 x  3 y  3z ) j; ( p ) : 2 x  3 y  2 z  6  0 .
457. a  ( x  2 y  z )i; ( p ) :  x  2 y  2 z  4  0 .
458. a  ( x  7 z )k ; ( p) : 2 x  y  z  4  0 .
459. a  ( y  x  z ) j; ( p ) : 2 x  y  2 z  2  0 .
460. a  ( x  z )i; ( p ) : x  y  z  2  0 .
461470. Проверить, является ли векторное поле a  X i  Y j +
 Z k потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности
поля a найти его потенциал.
461. a  (7 x  2 yz )i  (7 y  2 xz ) j  (7 z  2 xy )k .
462. a  (5 x  4 yz )i  (5 y  4 xz ) j  (5 z  4 xy )k .
463. a  (9 x  5 yz )i  (9 y  5 xz ) j  (9 z  5 xy )k .
464. a  (3 x  yz )i  (3 y  xz ) j  (3 z  xy )k .
465. a  (6 x  7 yz )i  (6 y  7 xz ) j  (6 z  7 xy )k .
466. a  (8 x  5 yz )i  (8 y  5 xz ) j  (8 z  5 xy )k .
467. a  (10 x  3 yz )i  (10 y  3 xz ) j  (10 z  3 xy )k .
468. a  (12 x  yz )i  (12 y  xz ) j  (12 z  xy )k .
469. a  (4 x  7 yz )i  (4 y  7 xz ) j  (4 z  7 xy )k .
470. a  ( x  2 yz )i  ( y  2 xz ) j  ( z  2 xy )k .
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение типового варианта
контрольной работы № 8
411420. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями.
 ( x  y  3) dxdy; D : y  2  x, y  x , x  0 (рис. 14).
D
Решение. Область интегрирования D ограничена прямой
y  2  x , параболой y  x и осью Oy . Следовательно,
 ( x  y  3)dxdy 
D
1
2 x
1
0
x
0
  dx
 ( x  y  3) dy  
y 2 x


y2
xy
y
3




2

 y
dx 
у
2
x
2

x
2 (2  x )
 6  2 x  x x   3 x  dx 
   2x  x 


2
2
0

y2x
D
1
y x
0
1
2
1
 x3 (2  x)3
2 x5 2 x 2
2 x3 2 
  
 6x 

3
 
 3
6
5
4
3

0
Рис. 14
1 1
2 1
8
11
   6  2  4 .
3 6
5 4
6
60
421430. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями: z  2  x 2  y 2 , x 2  y 2  4, z  1 . Сделать чертежи
данного тела и его проекции на плоскость xOy .
Решение. По заданным поверхностям построим область V и ее
проекцию на плоскость xOy (рис. 15). Объем тела находим по формуле
V   dxdydz .
z
(V )
2
zвых  2  x 2  y 2
2
x y 4
2
1
zвх  1
0
2
x
2
y
Рис. 15
Перейдем в данном интеграле к цилиндрической системе координат:
x   cos ,
y   sin , dxdydz   d  d  dz ,
следовательно,
V    d  d  dz .
(V )
79
х
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С учетом того, что проекцией заданного тела на плоскость xOy
является окружность радиуса 2 с центром в начале координат, пределы изменения  и  будут таковы: 0    2, 0    2 ; z изменяется от zвх  1 (уравнение плоскости, ограничивающей данное тело
снизу) до zвых  2  x 2  y 2 (уравнение параболоида, ограничивающего данное тело сверху). Но так как в цилиндрических координатах
x 2  y 2  2 , то zвых  2  2 . Перейдем к повторным интегралам,
расставим пределы интегрирования и вычислим объем:
V

2
2
2 2
2
2
0
0
1
0
0
 d    d   dz   d  
2
2
2
0
0
0
3
 d   (   ) d   
2 2
z1
d 
2
2
0
0
2
 d   (2    1) d  
2
2
 2 4 
d      6  d   12.
 2
4 
0

0
431440. Задан криволинейный интеграл
2
 (2 x  3 y  1)dx 
L
(2  6 xy)dy и точки О(0;0), A(2; 0), B(0; 4) и C(2; 4). Вычислить интеграл, если: а) L – ломаная ОАС; б) L – ломаная ОВС; в) L – дуга параболы y  x 2 . Объяснить совпадение полученных результатов.
Решение. а) L – ломаная ОАС (рис. 16). По свойству аддитивности криволинейного интеграла
2
2
 (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy   (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy 
L
OA

2
 (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy.
AC
у
В
О
С(2; 4)
А
х
Рис. 16
На отрезке ОА: y  0, dy  0, 0  x  2 , на отрезке АС: x  2,
dx  0, 0  y  4 . Поэтому
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

OA

AC
2
2
2
(2 x  3 y  1) dx  (2  6 xy )dy   (2 x  1)dx  ( x 2  x)  6 ;
0
0
4
2
4
(2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy   (2  12 y ) dy  (2 y  6 y 2 )   88 .
0
0
Следовательно,
2
 (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy  6  88  82 .
OAC
б) L – ломаная ОВС (рис. 17). Аналогично предыдущему
2
 (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy 
L
у

2
 (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy 
В
С(2; 4)
OB

2
 (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy.
BC
На отрезке ОВ: x  0, dx  0, 0  y  4 ,
на отрезке ВС: y  4, dy  0, 0  x  2 .
Поэтому
О
х
А
Рис. 17
4
4
 (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy   2dy  2 y 0  8 ;
2
0
OB
2

BC
2
(2 x  3 y 2  1) dx  (2  6 xy )dy   (2 x  48  1)dx  ( x 2  47 x)   90 .
0
0

у
В
О
С(2; 4)
А
х
Следовательно,
(2 x  3 y 2  1)dx  (2  6 xy )dy  8  90  82 .
OBC
в) L – дуга параболы y  x 2 (рис. 18).
На параболе y  x 2 , dy  2 xdx, 0  x  2 .
Поэтому
2
 (2 x  3 y  1)dx  (2  6 xy )dy 
L
Рис. 18
2
0
2

4
  2 x  3 x  1  4 x  12 x
0


  2 x  3  x 4  1  (2  6 x  x 2 )2 x dx 
4
2
 dx  1  6 x  15x  dx   x  3x
4
0
2
 3x
5

2
0

 2  12  96  82 .
Таким образом, во всех трех случаях получили одинаковый результат. Это возможно тогда, когда под знаком интеграла стоит пол81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ный дифференциал некоторой функции, т.е. тогда, когда выполнено
P Q

условие
. Проверим, так ли это. У нас
y x
P
Q
P( x, y )  2 x  3 y 2  1,
 6 y , Q( x, y )  2  6 xy,
 6 y .
y
x
Условие полного дифференциала выполнено, следовательно,
криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
2
2
441450. Показать, что выражение ( y 2 е xy  3)dx  (2 xyе xy 
1)dy является полным дифференциалом функции u ( x, y ) . Найти
функцию u ( x, y ) .
Решение. Проверим, выполняется ли условие полного диффеP Q

для функции u ( x, y ) . Имеем:
ренциала
y x
2
2
P( x, y )  y 2 е xy  3; Q( x, y )  2 xyе xy  1;
2
2
2
P
 2 yе xy  y 2  2 xyе xy  2 yе xy (1  xy 2 );
y
2
2
2
Q
 2 yе xy  2 xy  y 2 е xy  2 yе xy (1  xy 2 ).
x
Итак, заданное выражение является полным дифференциалом
функции u ( x, y ) . Положив x0  0, y0  0 , найдем
x
y
x
y
0
y
0
0
2 y
0
2
u ( x, y )   P( x,0) dx   Q( x, y ) dy  C   3dx   (2 xyе xy  1)dy 
x
2
 3x 0   е xy d ( xy 2 )  y  C  3 x  е xy
0
2
 y  C  3x  y  е xy  1  C 
0
2
 3 x  y  е xy  C1 .
u
u
Результат вычислений верен, если
 P ( x, y ) и
 Q ( x, y ) .
y
x
Сделаем проверку:

xy 2
  3  y 2е xy 2 ,   3x  y  е xy 2  C   2 xyе xy 2  1 .
3
x
y
е
C





1
1
x 
y 


2
Итак, u ( x, y )  3 x  y  е xy  C .
451460. Дано векторное поле a  ( x  z ) i  (2 y  x) j  z k и
плоскость ( p) : x  2 y  2 z  4  0 , которая вместе с координатными
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
осями образует пирамиду V. Пусть   основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р); L  контур, ограничивающий ; n  нормаль к , направленная вне пирамиды V. Требуется вычислить:
1) поток векторного поля a через поверхность  в направлении
нормали n ;
2) поток векторного поля a через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно и применив теорему ОстроградскогоГаусса.
3) циркуляцию векторного поля a по замкнутому контуру L ,
непосредственно и применив теорему Стокса к поверхности  с ограничивающим ее контуром L . Сделать чертеж.
Решение. 1) Вычисляем поток векторного поля a через поверхность  в направлении нормали n (рис. 19) с помощью поверхностного интеграла 1   (a  n 0 )ds , где n 0  единичный вектор нормали

к плоскости, ds  1  ( z x ) 2  ( z y ) 2 dxdy ; ( a · n 0 ) – скалярное произведение векторов. Находим:
i  2 j  2k i  2 j  2k 1 2
2
1 2 2 
n0 

 i  j k   ;  ; ;
3
3 3
3
1 4  4
3 3 3 
1
1
1
3
z   x  y  2, z x   , z y  1, ds  1   1 dxdy  dxdy ;
2
2
4
2
1
2 1
 2
(a  n 0 )  ( x  z )   (2 y  x)      z   ( x  z  4 y  2 x  2 z ) 
3
3 3
 3
1
 (3x  4 y  3 z ) .
3
z
2 С
n
2
В

у
О 
xy
4
А
Рис. 19
83
х
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 3
Поэтому 1   (a  n 0 )ds    (3 x  4 y  3 z )dxdy 
3 2



1 3
 1


 3 x  4 y  3   2 x  y  2   dxdy  2   2 x  y  6  dxdy 



 xy 
xy 
1

2
2 y4
2 y4
1 0
1 0 3
3


  dy   x  y  6  dx   dy  x 2  (6  y ) x 
2 2
2 2  4

0
0 2


1 0 3

2

 (2 y  4)  (6  y )(2 y  4)  dy 
2 2  4

1 0
1 0 2
2
2
  3( y  4 y  4)  12 y  24  2 y  4 y dy   ( y  20 y  36)dy 
2 2
2 2



1  y3
   10 y 2  36 y 

2  3

0

2
52
.
3
2) Вычисляем поток векторного поля a через полную поверхность пирамиды V, для чего вычислим поток через каждую грань пирамиды (рис. 20).
z


n 0  i 2
С
y  z  2  0, x  0
x  2 z  4  0, y  0

2
В


n0  j
О
у
4
x  2 y  4  0, z  0
А

0
n  k
х
Рис. 20
Грань АОС лежит в плоскости y  0 , нормаль к этой грани
n 0  j; (a  n 0 )  2 y  x   x (так как y  0 ); ds  dxdz .
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда поток векторного поля a через грань АОС
2  

xds  
AOC

AOC
4
2 x 2
0
4
0
xdxdz     xdx

4
x

dz    x  2   dx 
2
0 
 2 x3 
16
  x     .

6 
3

0
Грань АОВ лежит в плоскости z  0 , нормаль к этой грани
n 0  k , (a  n 0 )   z  0 (так как z  0 ), ds  dxdy . Тогда поток векторного поля a через грань АОВ равен нулю.
Грань ВОС лежит в плоскости x  0 , нормаль к этой грани
0
n  i, (a  n 0 )  ( x  z )   z (так как x  0 ), ds  dydz . Тогда поток
векторного поля a через грань ВОС
3  
2
0
2
z 2
0
 zds    zdydz    zdz  dy    z   z  2  dz 
BOC
BOC
0
2
 z3

4
     z2    .
 3

3

0
Теперь находим поток через полную поверхность пирамиды:
52 16 4 32
  1   2   3 
   .
3 3 3 3
Вычислим поток через поверхность пирамиды по формуле Остроградского–Гаусса:
 P Q R 
   


 dxdydz .



x
y
z

V 
По условию, P( x, y, z )  x  z , Q( x, y, z )  2 y  x , R( x, y, z )  z ,
P  ( x  z )
Q  (2 y  x)
R  ( z )
следовательно,

 1,

 2,

 1.
x
x
y
y
z
z
Так как  dxdydz равен объему прямоугольной пирамиды АВСО, то
V
1 1
32
   (1  2  1)dxdydz  4  dxdydz  4    4  2  2  .
3 2
3
V
V
3) Вычислим циркуляцию С векторного поля a по замкнутому
контуру L с помощью криволинейного интеграла:
С   P( x, y, z )dx  Q ( x, y, z ) dy R( x, y, z )dz .
L
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замкнутый контур интегрирования L состоит из трех отрезков: АС, СВ, ВА (рис. 21). На АС: y  0, dy  0, x  4  2 z , dx  2dz .
Тогда  ( x  z )dx  (2 y  x)dy  zdz 
AC
2
 z2

=   (4  z )  (2)  z  dz   (3 z  8)dz   3  8 z   10.
 2

0
0

0
2
2
z
2 С

n0
y  z  2  0, x  0
2
В
x  2 z  4  0, y  0

О
у
4
x  2 y  4  0, z  0
А
х
Рис. 21
На СВ: x  0, dx  0, y  z  2, dy  dz . Тогда
0
0
2
2
 ( x  z )dx  (2 y  x)dy  zdz    2( z  2)  z  dz   (3z  4)dz 
CB
0
 z2

  3  4z   2 .
 2


2
На ВА: z  0, dz  0, x  2 y  4, dx  2dy . Тогда
0
0
2
2
 ( x  z )dx  (2 y  x)dy  zdz    (2 y  4)  2  4  dy   (4 y  4)dy 
BA
0
 y2

 4
 4y   0.
 2


 2
Значит, C  10  2  0  8 .
Вычислим циркуляцию векторного поля a по замкнутому контуру L , применив теорему Стокса к поверхности  с ограничивающим ее контуром L :
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 Pdx  Qdy  Rdz 
L
  R Q 

 Q P 
 P R 
   








cos
cos
cos
ds,



 x y 




y
z
z
x






 
где cos , cos , cos   направляющие косинусы единичного вектора
нормали к плоскости  (вычислены в п. 1). Найдем значения:
R Q  ( z )  (2 y  x)
P R  ( x  z )  ( z )



 0,



 1,
y z
y
z
z x
z
x
Q P  (2 y  x)  ( x  z )



 1.
x y
x
y
Тогда
4 3
 2 2
C   (cos   cos  )ds       ds     dxdy  2S AOB  8 .
3 2

 3 3
xy
461470. Проверить, является ли векторное поле a  (2 xy  z ) i 
 ( x 2  2 y ) j  x k потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля a найти его потенциал.
Решение. Векторное поле a  P( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k
является потенциальным, если в каждой точке этой области ротор
равен нулю.
Имеем P  2 xy  z , Q  x 2  2 y, R  x . Тогда
rot a 
i

x
j

y
k

 (0  0)i  1  1 j   2 x  2 x  k  0.
z
2 xy  z x 2  2 y x
Таким образом, rot a  0 , т.е. поле a  P( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j 
 R( x, y, z )k  потенциальное.
Векторное поле является соленоидальным в области V , если в
P Q R
каждой точке этой области div a 


 0.
x y z
 (2 xy  z )  ( x 2  2 y )  ( x)


 2 y  2  0  0 , поНайдем div a 
x
y
z
этому поле не является соленоидальным.
Найдем потенциал векторного поля по формуле
u ( x, y, z )   Pdx  Qdy  Rdz  C ,
M0M
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где M 0 ( x0 , y0 , z0 )  некоторая фиксированная точка области V ;
M ( x, y, z )  любая точка области V ; C  произвольная постоянная.
В данном случае
u ( x, y, z )   (2 xy  z )dx  ( x 2  2 y )dy  xdz  C .
M 0M
Согласно определению ротора, необходимыми и достаточными
условиями потенциальности поля являются равенства
R Q
P R
Q P

 0.

 0,

 0,
x y
y z
z x
При выполнении этих условий криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки M 0
и M . Так как функции P  2 xy  z , Q  x 2  2 y, R  x непрерывны
и имеют непрерывные производные во
z
всех точках пространства, то в качестве
M ( x, y , z )
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) можно взять начало координат O(0,0,0) , а в качестве M ( x, y, z ) 
y
O
произвольную точку пространства. Так
как уже отмечалось, что криволинейный
A
интеграл не зависит от пути интегрироx
B
вания, его можно вычислить по ломаной
Рис. 22
ОАВМ (рис. 22):
u ( x, y , z ) 
2
 (2 xy  z )dx  ( x  2 y )dy  xdz  C 
OM
2
 (2 xy  z )dx  ( x  2 y )dy  xdz 

OA
2
 (2 xy  z )dx  ( x  2 y )dy  xdz 

AB

2
 (2 xy  z )dx  ( x  2 y )dy  xdz  C ()
BM
На ОА: y  0, z  0, dy  0, dz  0.
На АВ: величина x фиксированная , z  0, dx  0, dz  0.
На ВМ: x, y  фиксированные, dx  0, dy  0 .
x
y
0
0
2
z
()  0dx   ( x  2 y )dy   xdz  C  x 2 y  y 2  xz  C .
0
Таким образом, потенциал векторного поля
u ( x, y, z )  x 2 y  y 2  xz  C.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т е м а 14. Числовые и функциональные
ряды
1.
2.
3.
4.
5.
Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Гл. 11, 12.
Пискунов Н. С. Ч. 2, гл. XVI, XVII.
Письменный Д. Т. Ч. 2, § 921.
Баврин И. И., Матросов В. Л. Гл. 10.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Ч. 2, гл. 3.
14.1. Числовые ряды
Определение. Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности u1 , u2 ,..., un ,... , т.е.
u1  u2  ...  un  ... 

 un ,
(53)
n 1
при этом числа u1 , u2 ,..., un ,... называются членами ряда, а un – общим членом ряда.
Суммы конечного числа первых членов ряда S1  u1 , S2  u1 
u2 , ... Sn  u1  u2  ...  un 
n
 uk называются частичными суммами
k 1
ряда.
Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда S1 , S 2 ,
S3 , ..., Sn .
Определение. Если существует предел последовательности частичных сумм lim Sn  S , то ряд u1  u2  ...  un  ... 
n 

 un называ-
n 1
ется сходящимся, а число S  суммой этого ряда.
Определение. Если последовательность частичных сумм ряда
расходится, т.е. не имеет предела или имеет бесконечный предел, то
ряд называется расходящимся.
Свойства рядов:
1. Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.


n 1
n 1
2. Рассмотрим два ряда  un и  C  un , где С – постоянное
число (C  0) .
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема. Если ряд

 un сходится и его сумма равна S, то ряд
n 1

 C  un тоже сходится, и его сумма равна C  S .
n 1


n 1
n 1
3. Рассмотрим два ряда  un и  vn .

Суммой или разностью этих рядов называется ряд  (un  vn ) ,
n 1
где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды


n 1
n 1

 un и  vn сходятся и их суммы равны
соответственно S и , то ряд  (un  vn ) тоже сходится и его
n 1
сумма равна S   , т.е.



n 1
n 1
n 1
 (un  vn )   un   vn  S   .
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
14.1.1. Критерий Коши
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы ряд u1  u2  ...  un  ...   un был сходящимn 1
ся, необходимо и достаточно, чтобы для любого   0 существовал
номер N  N () такой, что при n  N и любом p  0 выполнялось
неравенство
un 1  un  2  ...  un  p   .
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Однако на практике использовать непосредственно критерий
Коши не очень удобно. Поэтому, как правило, используются более
простые признаки сходимости:

1. Если ряд  un сходится, то общий член un стремится к нуn 1
лю, т.е.
lim un  0 . Однако это условие не является достаточным.
n 
Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к
нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармони 1
является расходящимся, хотя его общий член и
ческий ряд 
n 1 n
стремится к нулю.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
1 2 3
n
   ... 
 ...
2 5 8
3n  1
n
1
1
 lim
  0  необходимый
Решение. Найдем lim
1 3
n  3n  1 n 
3
n
признак сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
2. Если ряд (53) сходится, то последовательность его частичных
сумм ограничена. Этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1  1  1  ...  (1) n1  ... расходится, так как расходится последовательность его частичных сумм в силу того, что
0, при четных n,
Sn  
1, при нечетных n.
Однако при этом последовательность частичных сумм ограничена, так как Sn  1 при любом n.
14.1.2. Ряды с неотрицательными членами
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, так как при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда

 un с неотрицательными
n 1
членами необходимо и достаточно, чтобы частичные суммы ряда
были ограничены.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.1.3. Достаточные признаки сходимости
Признаки сравнения рядов с неотрицательными членами


n 1
n 1
Пусть даны два ряда  un и  vn , где
un , vn  0 .
Теорема. Если un  vn при любом n, то из сходимости ряда



n 1
n 1
n 1
 vn следует сходимость ряда  un , а из расходимости ряда  un

следует расходимость ряда  vn .
n 1
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
1
1
1

 ... 
 ...
ln 2 ln 3
ln n

1
. Так
n
n2
Решение. Для сравнения выберем гармонический ряд 
1
1
 , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд
ln n n
 1
.

n
ln
n2
как

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд 
1
n 1 n  2
Решение. Так как
1
n  2n

1
2

, а ряд 
n
1
n 1 2

вающая геометрическая прогрессия), то ряд 
n
n
.
сходится (как убы1
n
n 1 n  2
тоже сходится.
un
 h,
n  vn
Теорема. Если un  0, vn  0 и существует предел lim


n 1
n 1
где h – число, отличное от нуля, то ряды  un и  vn ведут себя
одинаково в смысле сходимости.
Признак Даламбера
Теорема. Если для ряда

 un с положительными членами су-
n 1
ществует такое число q<1, что для всех достаточно больших n
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

un 1
 q, то ряд  un сходится, если же
выполняется неравенство
un
n 1
u
для всех достаточно больших n выполняется условие n 1  1, то
un

ряд  un расходится.
n 1
На практике чаще применяется предельный признак Даламбера, который является следствием из приведенного выше признака
Даламбера.
u
Следствие. Если существует предел lim n 1   , то при   1
n  un
ряд сходится, а при   1 – расходится. Если   1 , то на вопрос о
сходимости ответить нельзя. В этом случае следует применить другой признак.
Радикальный признак Коши
Теорема. Если для ряда

 un с неотрицательными членами
n 1
существует такое число q < 1, что для всех достаточно больших n
выполняется неравенство
n
un  q , то ряд

 un сходится, если же
n 1
для всех достаточно больших n выполняется неравенство
n
un  1,

то ряд  un расходится.
n 1
Следствие. Если существует предел lim n un   , то при   1
n 
ряд сходится, а при   1 ряд расходится. При   1 признак не дает
ответа о сходимости ряда. В этом случае следует применить другой
признак.
Интегральный признак Коши
Теорема. Если ( x) – непрерывная положительная функция,
убывающая на промежутке [1;), то ряд (1)  (2)  ...  (n)  ...


n 1
1
...   (n) и несобственный интеграл  ( x)dx ведут себя одинаково в смысле сходимости.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ряд 1 
1
1
грал 
1
dx
xp
 ... 

 ...  
1
сходится при p  1 и расp
2 p 3p
np
n
n 1
ходится при p  1 , так как соответствующий несобственный инте

1
сходится при p  1 и расходится при p  1 .

Ряд 
1
n 1 n
p
называется обобщенным гармоническим рядом или
рядом Дирихле.
14.1.4. Знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд имеет вид
u1  u2  u3  u4  ...  (1) n 1 un  ... ,
(54)
где un  0, n  1, 2, 3,...
Признак Лейбница
Теорема. Если у знакочередующегося ряда (54) абсолютные
величины членов ряда убывают (u1  u2  u3  ...  un  ...) и общий
 lim u  0 , то ряд (54) сходится и его
член стремится к нулю
n 
n
сумма не превосходит первого члена ряда, т.е. S  u1 .
Абсолютная и условная сходимость рядов
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков):

u1  u2  ...  un  ...   un
(55)
n 1
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (55)

u1  u2  ...  un  ...   un .
(56)
n 1
Теорема. Если ряд (56) сходится, то ряд (55) также сходит-
ся.
Определение. Ряд


 un называется абсолютно сходящимся,
n 1
если сходится ряд  un .
n 1
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости
и абсолютной сходимости совпадают.
Определение. Ряд


 un называется условно сходящимся, если
n 1
он сходится, а ряд  un расходится.
n 1
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов

Пусть  un  знакопеременный ряд.
n 1
Признак Даламбера. Если существует предел lim
n 
un 1
 ,
un

то при   1 ряд  un будет абсолютно сходящимся, а при   1
n 1
ряд будет расходящимся. При   1 признак не дает ответа о сходимости ряда.
Признак Коши. Если существует предел lim
n 
n
un   , то при

  1 ряд  un будет абсолютно сходящимся, а при   1 ряд будет
n 1
расходящимся. При   1 признак не дает ответа о сходимости ряда.
Свойства абсолютно сходящихся рядов:

1. Для абсолютной сходимости ряда  un необходимо и достаn 1
точно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.
Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2. В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину суммы ряда.
3. Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него
любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту
же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную
сумму и даже расходящийся ряд.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда
(при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным
и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.


n 1
n 1
5. Если ряды  un и  vn сходятся абсолютно и их суммы
равны
соответственно
S
и
,
то
ряд



n 1
n 1
 un   vn 
=  (u1vn  u2 vn 1  ...  un v1 ) также сходится абсолютно и его сумма
n 1
равна S  произведению сумм перемножаемых рядов.
Если же производить умножение условно сходящихся рядов, то
в результате можно получить расходящийся ряд.
14.2. Степенные ряды
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 ) 2  ...  an ( x  x0 ) n  ... 

  an ( x  x0 ) n ,
(57)
n 0
где a0 , a1 , a2 ,..., an ,...  действительные числа, которые называются
коэффициентами степенного ряда.
При x0  0 степенной ряд (57) принимает вид

a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...   an x n .
(58)
n 0
Кроме того, каждый степенной ряд вида (57) с помощью замены переменной x  x  x0 сводится к ряду вида (58).
Теорема Абеля
Теорема. Если степенной ряд (58) сходится при x  x1 , то он
сходится и притом абсолютно для всех x , удовлетворяющих условию x  x1 .
Следствие. Если при x  x1 ряд расходится, то он расходится
для всех x , для которых x  x1 .
Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое
положительное число R , что при всех x таких, что x  R , ряд (58)
абсолютно сходится, а при всех x , удовлетворяющих условию,
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  R , этот ряд расходится. При этом число R называется радиусом
сходимости. Интервал (  R, R) называется интервалом сходимости
степенного ряда (58). На границах интервала сходимости, т.е. в точках x   R ряд может как сходиться, так и расходиться. Если R  0 ,
то область сходимости ряда состоит из одной точки x  0 , если
R   , то ряд сходится при всех значениях x . Ряд (57) абсолютно
сходится в интервале ( x0  R, x0  R ) , а в каждой точке, лежащей вне
отрезка [ x0  R, x0  R ] , ряд расходится. На границах интервала сходимости, т.е. в точках x  x0  R , ряд может как сходиться, так и расходиться. Если R  0 , то область сходимости ряда состоит из одной
точки x  x0 , если R   , то ряд сходится при всех значениях x .
Интервал сходимости ряда, как правило, определяют с помощью признаков Даламбера или Коши, примененных к знакоположи
тельным рядам  an ( x  x0 )
n
n 0

или  an x n .
n 0
Для вычисления радиуса сходимости применяют также формулы
R  lim
n 
an
1
или R  lim
.
n  n a
an 1
n
Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда


( x  2) n
n
n 1 3
(n  2)
.
Решение. Применяем признак Даламбера:
lim
n 
un 1
un
( x  2) n 1
( x  2) n 1 3n n  2
3n 1  (n  1  2)
 lim
 lim
 n 1 

n
n 1
n 
n

n

3
( x  2)
( x  2)
3
3n  (n  2)
x2 n2 x2
n2


lim

n  3
n3
3 n n  3
n 2
2

1
x2
x

2
n  x2 .

lim n n 
lim
3 n n  3
3 n 1  3
3
n n
n
 lim
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x2
 1, т.е. если x  2 < 3 3 < x  2 < 3 
3
 1  x  5 . Итак, при x  (1; 5) ряд сходится абсолютно,
а при x  [1; 5] ряд расходится. Исследуем сходимость на концах
интервала, т.е. в точках x  1 и x  5 .
 (5  2) n


3n
1
.
 n

При x  5 получим ряд  n

2
n
3
(

2)
3
(

2)
n
n
n 1
n 1
n 1
Ряд сходится, если

1
 1 1
: lim 
: 
n


2
n
n
n

n 1
Сравним этот ряд с гармоническим рядом 
 1
n
 lim
 1  0 . Поскольку ряд 
расходится, а полученный
n  n  2
n 1 n

1
предел не равен нулю, то ряд 
также расходится.
2
n

n 1
При x  1 получим ряд
 ( 1  2) n

 ( 1) n  3n
 ( 1) n
(3) n
.
 n
 n

 n

2
n
n 1 3 ( n  2) n 1 3 ( n  2) n 1 3  ( n  2) n 1
Этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд

1
, составленный из абсолютных величин данного ряда, расхо
n 1 n  2
дится.
Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, ис1
1


пользуя признак Лейбница. Очевидно, что un 
n  2 (n  1)  2
1
 un 1 выполняется для всех n  1, 2,... и lim un  lim
 0 . Итак,
n 
n  n  2
 ( 1) n
для знакочередующегося ряда 
выполнены условия признаn

2
n 1
ка Лейбница, следовательно, ряд сходится. Так как он не является
абсолютно сходящимся, то ряд сходится условно. Окончательно получим область сходимости исходного ряда [1; 5) .
14.2.1. Действия со степенными рядами
1. Сложение, вычитание, умножение и деление степенных
рядов.
Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


n

 an x   bn x   (an  bn ) x n .
n 0
n
n 0
n 0
Произведение двух степенных рядов выражается формулой



n 0
n 0
n 0
 an x n   bn x n   сn x n .
Коэффициенты cn находятся по формуле
cn  a0bn  a1bn 1  ...  an 1b1  anb0 .
Деление двух степенных рядов выражается формулой

 an x n
n 0



 qn x n .
n 0
 bn x n
n 0
Для определения коэффициентов qn рассматриваем произведе

n 0
n

ние рядов  qn x   bn x   an x n , полученное из записанного
n 0
n
n 0
выше равенства и решаем систему уравнений:
 a0  q0b0 ,
a  q b  q b ,
0 1
1 0
 1
 a2  q0b2  q1b1  q2b0 ,
....................................

 an  q0bn  q1bn 1  ...  qnb0 .
2. Интегрирование степенных рядов.
Если некоторая функция f ( x) определяется степенным рядом

f ( x)   an x n , то интеграл от этой функции можно записать в виде
n 0
ряда



an n 1
x C.
n

1
n 0
n 0
n 0
3. Дифференцирование степенных рядов.
Производная функции, которая определяется степенным рядом,
находится по формуле
 d

d 
n
n

f ( x) 
an x   nan x n 1 .
 an x  
dx n 0
n  0 dx
n 0
n
n
 f ( x)dx    an x dx    an x dx  

99

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.2.2. Разложение функций в степенные ряды
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение
для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений
функции.
Возможны различные способы разложения функций в степенной ряд. Такие способы, как разложение с помощью рядов Тейлора и
Маклорена, были рассмотрены ранее (см. тему 7, ч. 1). Тогда же были получены разложения в степенной ряд следующих функций:
 xn
x x2
xn
e  1 
 ... 
 ...  
;
n!
1! 2!
n 0 n !
x
2 n 1
2 n 1

x x3 x5
n x
n x
sin x     ...  (1)
 ...   (1)
;
1! 3! 5!
(2n  1)!
(2n  1)!
n 0
(59)
(60)
2n
2n

x2 x4
n x
n x
cos x  1 

 ...  (1)
 ...   (1)
; (61)
n
2! 4!
(2n)!
(2
)!
n 0
m(m  1) 2
m(m  1)(m  2)...(m  n  1) n
x  ... 
x 
(1  x) m  1  mx 
n!
2!
m(m  1)...(m  n)(1  x) m  n 1 n 1
x .

(n  1)!
(62)
Существует также способ разложения в степенной ряд с помощью ряда геометрической прогрессии. Это – самый простой способ
разложения, однако пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.
1
Пример 5. Разложить в ряд функцию
.
1 x
Решение. Рассмотрим ряд геометрической прогрессии, который имеет вид

 q n  1  q  q 2  q3  ...  q n  ... .
n 0
Он сходится при q  1 к функции
1
, т.е. при q  1 имеет место
1 q
формула

1
  qn .
1  q n 0
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1
  x n  1  x  x 2  x3  ...  x n  ... и этот
Следовательно,
1  x n 0
ряд сходится при x  1 .
Рассмотрим способ разложения функции в ряд с помощью интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую
функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции df ( x)  f ( x)dx и интегрируем его в пределах от 0 до х:
x
x
0
0
 df ( x)   f ( x)dx;
x
x
0
0
f ( x)   f ( x)dx;
x
f ( x)  f (0)   f ( x)dx.
0
Пример 6. Разложить в ряд функцию f ( x)  ln(1  x).
Решение. При f (0)  0,
f ( x) 
выше формуле:
1
получаем по приведенной
1 x
x
1
dx .

x
1
0
ln(1  x)  
1
может быть легко найдено
1 x
аналогично рассмотренному выше примеру:
Разложение в ряд функции

1
1

  ( x) n 
1  x 1  ( x) n 0


 (1)n  x n 1  x  x 2  x3  x 4  ...  (1)n x n  ...
n 0
Полученный ряд сходится при x  1 . Следовательно,
n 1
x 
 x

1
n n
n n
n x
.
dx    ( 1) x dx    (1) x dx   (1)
ln(1  x)  


x
n
1
1
n 0 0
n 0
0
0 n 0
x
Окончательно получим
n 1
x 2 x3 x 4
n x
ln(1  x)  x 
 
 ...  (1)
 ...
n 1
2
3
4
101
(63)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 7. Разложить в степенной ряд функцию arctg x .
Решение. Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.
f ( x)  arctg x;
f (0)  0;
1
1 x
2
f ( x) 
1
1 x
x
; arctg x  
2
1
01
x
2
dx .
 1  x 2  x 4  ...  (1) n x 2 n  ...
Тогда
x 2 n 1
arctg x  
dx    (1) x dx    ( 1) x dx   (1)
.
2

2
n
1
n 0 0
n 0
0 1 x
0 n 0
x
1
x 
 x
n 2n
n 2n

n
Окончательно получаем:
2 n 1
x3 x5
n x
arctg x  x    ...  (1)
 ...
3
5
2n  1
(64)
14.2.3. Приближенное вычисление определенных
интегралов
Степенные ряды применяются для вычисления определенных
интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно.
Пусть требуется вычислить
b
 f ( x)dx с заданной точностью  .
a
Если подынтегральную функцию f ( x) можно разложить в ряд по
степеням x и интервал сходимости   R; R  включает в себя отрезок
[a; b] , то для вычисления интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. При разложении подынтегральной функции в степенной ряд можно воспользоваться формулами (59)(64).
14.2.4. Решение дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов
С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида
y ( n )  p1 ( x) y ( n 1)  p2 ( x) y ( n  2)  ...  pn ( x) y  f ( x) .
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности
нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.
Это решение можно представить степенным рядом
y  c0  c1 x  c2 x 2  c3 x3  ...
Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci .
Эта задача решается методом неопределенных коэффициентов.
Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)
Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci .
Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.
Пример 8. Найти решение уравнения y   xy  0 c начальными
условиями y (0)  1, y(0)  0 .
Решение. Решение уравнения будем искать в виде
y  c0  c1 x  c2 x 2  ...
Тогда
y  c1  2c2 x  3c3 x 2  4c4 x3  ...
y  2c2  6c3 x  12c4 x 2  20c5 x3  ...
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
(2c2  6c3 x  12c4 x 2  20c5 x3  ...)  (c0 x  c1 x 2  c2 x3  c3 x 4  ...)  0 ,
2c2  x(6c3  c0 )  x 2 (12c4  c1 )  x3 (20c5  c2 )  x 4 (30c6  c3 )  ...  0 .
Откуда следует: 2c2  0 ,
6c3  c0  0,
12c4  c1  0,
20c5  c2  0,
30c6  c3  0,
………………
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной: c0  1, c1  0. Окончательно получим:
1
1
c0  1; c1  0; c2  0; c3  ; c4  0; c5  0; c6 
; ...
6
180
В итоге
x3 x 6
y  1 
 ...
6 180
Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метода последовательного дифференцирования.
Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд
Маклорена:
y (0)
y (0) 2 y(0) 3
y  y (0) 
x
x 
x  ...
1!
2!
3!
Если заданные начальные условия y (0)  1, y(0)  0 подставить
в исходное дифференциальное уравнение, получим, что y(0)  0.
Запишем дифференциальное уравнение в виде y  xy и будем
последовательно дифференцировать его:
y  y  xy ;
y(0)  y (0)  1;
y IV  y   y   xy ;
y V  2 y   y  xy ;
y IV (0)  0;
y V (0)  0;
y VI  3 y   y  xy IV ; y VI (0)  4;
..........................................................
После подстановки полученных значений получаем:
x3 x 6
y  1 
 ...
6 180
14.3. Ряды Фурье
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида
a0
 (a1 cos x  b1 sin x)  (a2 cos 2 x  b2 sin 2 x)  ...
2

a
(an cos nx  bn sin nx)  ...  0   (an cos nx  bn sin nx).
2 n 1
Действительные числа an , bn называются коэффициентами ряда.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если тригонометрический ряд сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2, так как
функции sin nx и cos nx являются периодическими функциями с периодом 2.
Если функция f ( x) – периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [; ] или имеющая на этом отрезке конечное
число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
1 
1 
a0   f ( x)dx , an   f ( x) cos nxdx; n  1, 2,...
 
 
1 
 f ( x)sin nxdx, n  1, 2,...
 
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f ( x) .
Определение. Рядом Фурье для функции f ( x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье сходится к функции f ( x) во всех ее
точках непрерывности, то говорят, что функция f ( x) разлагается в
ряд Фурье.
bn 
14.3.1. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Теорема (теорема Дирихле). Если функция f ( x) имеет период
2 и на отрезке [; ] непрерывна или имеет конечное число точек
разрыва первого рода, и отрезок [; ] можно разбить на конечное
число отрезков так, что внутри каждого из них функция f ( x) монотонна, то ряд Фурье для функции f ( x) сходится при всех значениях x , причем в точках непрерывности функции f ( x) его сумма
f ( x  0)  f ( x  0)
,
равна f ( x) , а в точках разрыва его сумма равна
2
т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.
Функция f ( x) , для которой выполняются условия теоремы Дирихле, называется кусочно-монотонной на отрезке [; ].
Теорема. Если функция f ( x) имеет период 2, кроме того,
f ( x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке
[; ] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на
этом отрезке, то ряд Фурье для функции f ( x) сходится при всех
значениях x , причем в точках непрерывности его сумма равна f ( x) ,
f ( x  0)  f ( x  0)
.
а в точках разрыва она равна
2
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно-гладкой на отрезке [; ].
14.3.2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
0, если f ( x)  нечетная,
a

1.  f ( x)dx   a
a
2  f ( x)dx, если f ( x)  четная.
 0
2. Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
3. Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.
Если f ( x) – четная периодическая функция с периодом 2,
удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно
записать:
1 
2
a0   f ( x)dx   f ( x)dx ;
 
0
1 
2
an   f ( x) cos nxdx   f ( x) cos nxdx;
 
0
n  1, 2,... ;
1 
n  1, 2,... .
 f ( x)sin nxdx  0.
 
Таким образом, для четной функции ряд Фурье имеет вид

a
f ( x)  0   an cos nx ,
(65)
2 n 1
2
где an   f ( x) cos nxdx, n  0, 1, 2, ... .
0
Ряд (65) называется рядом косинусов или разложением функции по косинусам кратных дуг.
Если f ( x) – нечетная периодическая функция с периодом 2,
удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то
1 
an   f ( x) cos nxdx  0, n  0,1, 2,.... ,
 
bn 
2
bn   f ( x)sin nxdx;
0
106
n  1, 2,...
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и разложение в ряд Фурье для нечетной функции имеет вид

f ( x)   bn sin nx .
(66)
n 1
Ряд (66) называется рядом синусов или разложением функции
по синусам кратных дуг.
14.3.3. Ряды Фурье для функций произвольного
периода
Ряд Фурье для функции f ( x) периода T  2l , непрерывной или
имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке
[l ; l ] , имеет вид
f ( x) 
a0  
n
n 
x,
   an cos x  bn sin
2 n 1 
l
l 
1l
1l
n
где a0   f ( x)dx; an   f ( x) cos xdx, n  1, 2, ...;
l l
l l
l
1l
n
bn   f ( x)sin
xdx, n  1, 2, ...
l l
l
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд
Фурье имеет вид
a0 
n
f ( x) 
  an cos x,
2 n 1
l
2l
2l
n
где a0   f ( x)dx; an   f ( x) cos xdx; n  1, 2, ...
l0
l0
l
(67)
Для нечетной функции

f ( x)   bn sin
n 1
n
x,
l
2l
n
где bn   f ( x)sin
xdx; n  1, 2, ...
l0
l
14.3.4. Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в
принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической
функции.
Допустим, функция f ( x) задана на отрезке [a; b] и является
на этом отрезке кусочно-монотонной. Рассмотрим произвольную
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
периодическую кусочно-монотонную функцию f1 ( x) c периодом
2T  b  a , совпадающую с функцией f ( x) на отрезке [a; b] (рис. 23).
Таким образом, функция f ( x) была дополнена. Теперь функция f1 ( x) может быть разложена в ряд Фурье. Сумма этого ряда во
всех точках отрезка [a; b] совпадает с функцией f ( x) , т.е. можно
считать, что функция f ( x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a; b] .
y
  2T
y  f ( x)
 a
b   2T
  4T
x
Рис. 23
Продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2T может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они
будут совпадать с заданной функцией f ( x) на отрезке [a; b] .
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 9
Ряды
471480. Исследовать сходимость числового ряда.
 2n  1
 3n( n  1)
471. 
.
472. 
.
5n
n 1
n 1 n  2n
(n  1) n
473. 
.
n
!
n 1

475.
474.

 
 (3n  1)sin  n
4
n 1

.

476.
2  5  8 (3n  1)
.
3
7
11
(4
n
1)




n 1



3n  1
n7
n 1

1  5  9 (4n  3)
477. 
.
1
4
7
(3
n
2)




n 1


478.
n
.
2n


n
n 1 5 (2n  1)
.
n

 2 
 n 
479.  n tg  n  .
480.  
 .
9 
n 1
n 1  2n  3 
481490. Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

481. 
3
2n x n
2
n 1 n  1
(1) n x 2 n 1
482. 
.
2
n

1
n 1

.
2n x n
483. 
.
n 1 2n  1
xn
484. 
.
n 1 n( n  1)


10n x n
485. 
.
n
n 1


487. 
n 1
( 1) n 1  x n
n3  1
x n 1

486. 
n 1
n 1 n  5
n n

488. 
.
n 1
( 1) n x n
489. 
.
n 1 (3n  2)


490. 
.
2 x
.
n3
( 1) n x n
.
n 2  5n
491500. Используя разложение подынтегральной функции в
степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.
491.
0,5
arctg x
 x dx .
0
n 1
492.
0,5

0
1
1 x
109
4
dx .
493.
0,5
3
 1  x dx .
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
494.
497.
1
 x2 2
0,5


1
496.
0
3
 ln 1  x dx .
0
0,2
0,2
 x2 
499.  arctg   dx .
 2 
0
 
e
dx .
495.
 x cos x dx .
498.
0
2
 x sin x dx .
0
1
x
 xe dx .
0
0,25
500.
 ln 1  x  dx .
0
501–510. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y  y ( x) дифференциального уравнения y  f ( x, y ) , удовлетворяющего начальному условию y (0)  y0 .
501. y  x 2  y 2  e x ,
y (0)  0 .
502. y  2 x 2  3 y cos x  2 ,
503. y   2 x  3ln y  y ,
y (0)  0 .
504. y  x3  y 2  e x ,
y (0)  1 .
505. y   x 2 y  e y  x ,
506. y  sin 2 x  xy ,
y (0)  0 .
507. y   cos x  e y  x ,
y (0)  0 .
508. y  ln( x  1)  e y ,
y (0)  0 .
509. y  x 2  y ln y  y ,
510. y   sin 2 x  cos y ,
y (0)  1 .
y (0)  1 .
y (0)  1 .
y (0)  0 .
511 – 515. Разложить данную функцию f ( x) в ряд Фурье в заданном интервале.
 x при  1  x  0;
511. f ( x)  
в интервале (1; 1).
1 при 0  x  1
 x
512. f ( x)  

2 x
513. f ( x)  
0
x  2
514. f ( x)  
x  2
при    x  0;
при 0  x  
в интервале (π; π).
при  2  x  0;
при 0  x  2
в интервале (2; 2).
при  2  x  0;
при 0  x  2
110
в интервале (2; 2).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x  1 при  1  x  0;
515. f ( x)  
в интервале (1; 1).


1
при
0
x
1

516. Функцию f ( x)  2  x в интервале (0, 2) разложить:
а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов.
517. Функцию f ( x)  x  1 в интервале (0, 1) разложить:
а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов.
518. Функцию f ( x)    x в интервале (0, π) разложить:
а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов.
519. Функцию f ( x)  x 2 в интервале (0, 2) разложить в ряд
косинусов.
520. Функцию f ( x)  2 x  1 в интервале (0, 1) разложить:
а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение типового варианта
контрольной работы № 9
471480. Исследовать сходимость числовых рядов
 n
1)  n .
n 1 2
Решение. Применим признак Даламбера. Здесь un 
un 1 
2
n
,
n
n 1
2
n
un 1
(n  1)2
n 1
 lim


lim
n  un
n  2n 1 n
n  2n
. Вычислим lim
n 1
1
n  1  1 , следовательно, ряд сходится.
 lim
n  2
2
 1
2)  .
n 1 n !
1
1
;
n!
u
1
1
n!
n!
un 1 
 lim
 lim
 0  1,
; lim n 1  lim
n  ( n  1)! n  n ! ( n  1) n  n  1
(n  1)! n un
следовательно, ряд сходится.
Решение. Применим признак Даламбера. Здесь un 
n
 2n 2  1 
3)   2
 .


3
n
5
n 1 

Решение. Применим радикальный признак Коши. Находим
1
2 2
2
2n  1
n  2  1 , значит, ряд сходится.
 lim
lim n un  lim 2
5
n 
n  3n  5 n 
3 2 3
n


n
 1
4)  1   .
n
n 1 
 1
Решение. Здесь lim n un  lim 1    1, т.е. признак Коши не
n 
n  
n
дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимого условия сходимости. Как было отмечено выше, если ряд
сходится, то общий член ряда стремится к нулю, но
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
 1
lim un  lim 1    e  0 ,
n 
n  
n
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется,
значит, ряд расходится.
481490. Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.
 xn
1) 
.
n
n 1
Решение. Применяем признак Даламбера:
x n 1
u
xn
x
 lim
 x.
lim n 1  lim n n 1  lim
1
n  un
n  x
n  n  1
n 
1
n
n
Получаем, что этот ряд сходится при x  1 и расходится при x  1.
Теперь определим сходимость в граничных точках x  1 и
x  1 .
 ( 1) n
1 1 1
При x  1 : 
 1     ... ряд сходится по при2 3 4
n 1 n
знаку Лейбница, так как ряд знакочередующийся, монотонно
1
1
убывающий: условие un  
 un 1 выполняется для всех
n n 1
1
n  1, 2,... ; и lim un  lim  0 .
n 
n  n
1 1
1
При x  1 : 1    ...   ... ряд расходится (гармонический
2 3
n
ряд).
Следовательно, областью сходимости ряда является интервал  1;1 .
x 2 x3
xn
2) x 
  ... 
 ...
2! 3!
n!
Решение. Находим радиус сходимости:
1
a
n !  lim (n  1)!  lim n  1   .
R  lim n  lim
1
n  an 1
n 
n 
n 
n!
(n  1)!
Следовательно, данный ряд сходится при любом значении x .
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
491500. Используя разложение подынтегральной функции в
степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001:
14

2
e  x dx .
0
Решение. Воспользуемся разложением функции e x в ряд Маклорена:
x 2 x3
xn
e  1 x 
  ... 
 ..., x  (;  )
2! 3!
n!
x
и заменим x на ( x 2 ) , получим:
x 4 x6
 1 x 
  ..., x  (;  ) .
e
2! 3!
Проинтегрируем равенство на отрезке [0;1 4] , лежащем внутри
интервала сходимости (;  ) , получим:
 x2
14
e
0
 x2
dx 
2
1 4

0
14



x
x
x3 x5
x7
2









1
...
...
x
dx
x



 


2!
3!
3
2!
5
3!
7



0
4
6
1
1
1
1



 ...
4 3  43 2! 5  45 3! 7  47
Получили знакочередующийся ряд, остаток которого не превосходит первого отброшенного члена ряда по абсолютной величи1
1
1
1
1
не. Так как


,
а

, то с точностью до
3  43 192 1000
2! 5  45 1000
0,001 имеем:

14

0
2
e  x dx 
1 1

 0, 245 .
4 192
501–510. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y  y ( x) дифференциального уравнения y  f ( x, y ) , удовлетворяющего начальному условию y (0)  y0
(см. пример 8 темы 14).
511–515. Разложить данную функцию f ( x) в ряд Фурье в заданном интервале.
1). f ( x)  x3 на отрезке [; ].
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Заданная функция является нечетной, следовательно,
коэффициенты Фурье ищем в виде
2
bn   f ( x)sin nxdx
0
(n  1, 2,...) ;
u  x3 , dv  sin nxdx, 
2


bn   x3 sin nxdx  

cos
nx
2
0



du
3
x
dx
,
v


n 

u  x 2 , dv  cos nxdx, 
3




2
3
x cos nx


 
  x 2 cos nxdx   

sin
nx

n
n
 
du
2
xdx
,
v


0
0
 

n 


2  3 cos n 3  x 2 sin nx   2 x sin nx  
dx   
 
 

n
n 
n
n
 
 
0 0
u  x, dv  sin nxdx, 
 
2  3 cos n 6 

 
 2  x sin nxdx   

cos
nx

n
 
du
dx
,
v



n 0
 
n 
2  3 cos n 6  x cos nx   cos nx  
dx   
 
 2 


n
n
n
 
n 
0 0

2  3 cos n 6 cos  6  sin nx   
22 cos n 12cos n
 

 3


   
3
3
 
n
n
n
n
n 
n
0 
 12
 (1) n  3

22 
n

 , так как cos n  (1) , sin n  0 .
n 
n
В итоге получаем:
3


n 1
n 1
x   bn sin nx  
 12
(1) n  3

2 2 

 sin nx .
n
n

2 x  1 при 0  x  1;
2) Функцию f ( x)  
разложить в ряд
3
при
1
x
2



косинусов на интервале (0, 2) .
Решение. Доопределим заданную функцию на (2; 0) четным
образом. Тогда период функции T  4 , следовательно, l  2 и разложение в ряд Фурье имеет вид
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a0 
nx
  an cos
f ( x) 
,
2 n 1
2
2
22
22
nx
dx; n  1, 2,...
где a0   f ( x)dx   f ( x)dx; an   f ( x) cos
20
2
2
0
0
Вычислим
2
1
2
0
0
1

a0   f ( x) dx   (2 x  1)dx   3dx  x 2  x

1
0
2
 3x 1  2  6  3  5 ;
1
2
22
nx
nx
nx
an   f ( x)cos
dx  (2 x  1)  cos
dx   3  cos
dx 
20
2
2
2
0
1
nx 

u
x
dv
dx,
2
1,
cos



1 1

2
2
nx
nx

2

  sin
 2dx 
  (2 x  1) sin
nx
2

n
n
2
2


0 0
du  2dx, v  sin



n
2 
2
1
n
nx
n 4 2
nx
6
6
6
6
 sin
 sin   cos
 sin n  sin 
n
2
n
2 1 n
2 n n
2 0 n

n
8

.
2 (n)2
(n)
В результате получаем
n
nx
3  8
8 
f ( x)    
cos
cos



2 n 1  (n) 2
2 (n) 2 
2
n 
nx
3 8  1 
.
   2  cos  1 cos
2  n 1 n 
2
2

График суммы ряда имеет вид, представленный на рис. 24.
8
cos
2
T 4
у
3
y3
y  2x 1
1
4
2
1 0
1
2
Рис. 24
116
4
8
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Т е м а 15. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление
1. Письменный Д. Т. Ч. 2, § 2834.
2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Ч. 2, гл. VII, VIII.
3. Руководство к решению задач по высшей математике / под ред.
Е. И. Гурского. Ч. 2, § 23, 24.
15.1.Элементы теории функций комплексного
переменного
Определение. Если каждому комплексному числу z  x  iy из
некоторого множества D поставлено в соответствие одно или несколько значений w из множества G, то в области D задана функция
комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.
Множество D называется областью определения, множество G –
областью значений функции. Если каждому z  D соответствует
единственное значение w, то функция w  f ( z ) называется однозначной. Если каждому z  D соответствует несколько различных значений w, то функция w  f ( z ) называется многозначной.
Функцию комплексного переменного можно записать в виде
w  f ( z )  u ( x, y )  iv( x, y ) ,
где u ( x, y )  Re f ( z )  действительная часть функции; v( x, y )  Im f ( z ) 
мнимая часть функции f ( z ) .
Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.
Например,
v  ( x  iy ) 2 или
f ( z )  z 2 может быть записана в виде u  iv 
u  iv  x 2  y 2  i 2 xy , откуда следует, что
u ( x, y ) 
 x 2  y 2 , v( x, y )  2 xy .
Определение. Число w0 называется пределом функции w  f ( z )
в точке z0 , если для любого положительного числа  найдется такое
положительное число   () , что для всех z  z0 , удовлетворяющих
неравенству z  z0   , имеет место неравенство f ( z )  w0   .
Записывается это следующим образом: lim f ( z )  w0 .
z  z0
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из определения следует, что если существует lim f ( z )  w0 , то
z  z0
существуют и пределы
lim u ( x, y )  u0 и lim v( x, y )  v0 .
x  x0
y  y0
x  x0
y  y0
Свойства функций f(z) и g(z) комплексного переменного:
1) lim  c1  f ( z )  c2  g ( z )  c1  lim f ( z )  c2  lim g ( z ) ;
z  z0
z  z0
z  z0
2) lim  f ( z )  g ( z )  lim f ( z )  lim g ( z ) ;
z  z0
z  z0
z  z0
lim f ( z )
f ( z ) z  z0
3) lim

;
lim g ( z )
z  z0 g ( z )
lim g ( z )  0.
z  z0
z  z0
Определение. Функция w  f ( z )  u ( x, y )  iv( x, y ) называется непрерывной в точке z0 , если выполняется равенство lim f ( z )  f ( z0 ) .
z  z0
15.1.1. Основные элементарные функции комплексного
переменного
1. Показательная функция.
Показательная функция комплексного переменного определяется формулой
w  e z  e x (cos y  i sin y ) .
Положив в этом равенстве x  0,
Эйлера:
(68)
y   , получим формулу
ei  cos   i sin  .
(69)
Функция w  e z обладает известными свойствами:
e z1  e z2  e z1  z2 ; e z1 : e z2  e z1  z2 ; (e z ) n  e nz .
Учитывая, что e z  e x , а
e x  0 , показательная функция
e z  0 при всех значениях z . Кроме того, функция w  e z является
периодической с основным периодом 2i , так как
e z  2 i  e z  e 2 i  e z (cos 2  i sin 2)  e z ,
т.е. e z  2 i  e z .
118
(70)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Тригонометрические функции.
Тригонометрические функции определяются равенствами
eiz  eiz
eiz  e iz
cos z 
; sin z 
;
2
2i
sin z
cos z
tg z 
; ctgz 
.
(71)
cos z
sin z
Тригонометрические функции комплексного аргумента сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. В частности,
sin 2 z  cos2 z  1; cos( z )  cos z; sin( z )   sin z; sin( z  2k )  sin z;
cos( z  2k )  cos z; tg( z  k )  tg z; sin 2 z  2sin z  cos z и т.д.
3. Гиперболические функции.
Гиперболические функции определяются равенствами
e z  e z
e z  e z
sh z
sh z 
; ch z 
; th z 
;
2
2
ch z
cth z 
ch z
.
sh z
(72)
Очевидна связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями:
sh z  i sin iz; ch z  cos iz; th z  i t g iz; cth z  ictg iz ; (73)
и наоборот:
sin z  i sh iz; cos z  ch iz; tg z  i th z; ctg z  i cth z . (74)
Функции sh z и ch z имеют основной период 2i , а th z , cth z
имеют период i .
4. Логарифмическая функция.
Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной. Число w называется логарифмом числа z  0 ,
если z  e w и обозначается Ln z .
Ln z  ln z  i (arg z  2k ); k  0,  1,  2,...
(75)
Функция w  Ln z является многозначной. Положив k  0 , получим однозначную функцию, которая называется главным значением логарифма и обозначается ln z :
ln z  ln z  i arg z .
(76)
Формулу (75) можно переписать так:
Ln z  ln z  2ki, k  0,  1,  2,...
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает
следующими свойствами:
3) Ln( z )n  n Ln z;
1) Ln( z1 z2 )  Ln z1  Ln z2 ;
z
2) Ln 1  Ln z1  Ln z2 ;
z2
4) Ln n z 
1
Ln z.
n
5. Степенная функция w = zp.
Если p  n  натуральное число, то
w  z n  (rei ) n  r n (cos n  i sin n) .
(77)
1
Если p  , то в этом случае
n
w
1
zn
  2k
  2k 

 n z  cos
 i sin
 , k  0, 1, 2,...,(n  1).
n
n 

Если p    i  любое комплексное число, то
(78)
w  z p  e p Ln z .
(79)
6. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
Обратные тригонометрические функции:


Arcsin z  i Ln iz  1  z 2 ;

i
iz
i
z i
Arctg z   Ln
;
Arcctg z  Ln
.
2 iz
2
zi
Обратные гиперболические функции:



Arsh z  Ln z  z 2  1 ;

Arccos z  i Ln z  z 2  1 ;

Arch z  Ln z  z 2  1 ;
1 1 z
1
z 1
Arth z  Ln
;
Arcth z  Ln
.
2 1 z
2
z 1
Все эти функции бесконечнозначные, т.е. единственному значению переменной z соответствует бесконечно много значений переменной w .
15.1.2. Дифференцируемость и аналитичность функций
комплексного переменного
Определение. Производной однозначной функции w  f ( z ) в
точке z называется предел отношения приращения функции w к
приращению аргумента z при условии, что z стремится к нулю:
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
w
f ( z  z )  f ( z )
dw
 lim
 f ( z ) 
,
(80)
z 0 z
z 0
dz
z
при этом предполагается, что предел существует и не зависит от способа стремления z к нулю.
Функция, имеющая производную в точке z , называется дифференцируемой в этой точке.
Всякая дифференцируемая функция w  f ( z ) в точке z является
непрерывной в этой точке. Обратное утверждение, вообще говоря,
неверно. Существуют примеры функций, непрерывных на всей комплексной плоскости и не имеющих производных.
Теорема. Для того, чтобы функция f ( z )  u ( x, y )  iv( x, y ) была
дифференцируема в точке z  x  iy , необходимо и достаточно, чтобы функции u ( x, y ) и v( x, y ) были дифференцируемы в точке ( x, y ) и
выполнялись условия
 u v
 x  y ,

(81)



u
v
  .
 y
x
lim
Соотношения (81) называются условиями Коши–Римана, хотя
еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.
При выполнении этих условий производную дифференцируемой функции f ( z ) можно находить по формулам
u v
i ;
x
x
v v
f ( z )   i ;
y x
f ( z ) 
u u
i ;
x
y
v u
f ( z )   i .
y y
f ( z ) 
(82)
Правила и формулы дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного.
Определение. Однозначная функция w  f ( z ) , дифференцируемая не только в точке z0 , но и в некоторой ее окрестности, называется аналитической в точке z0 .
Определение. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторой области, называется аналитической в этой области. Точки
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
комплексной плоскости, в которых однозначная функция w  f ( z )
является аналитической, называются правильными. Точки, в которых
функция w  f ( z ) не определена или не является аналитической, называются особыми.
15.1.3. Интегрирование функций комплексной переменной
y
L
В
x
А
Пусть w  f ( z )  u ( x, y )  iv( x, y ) 
непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой
области, и L – гладкая кривая, лежащая
в этой области, заданная уравнением
z  z (t )  x(t )  iy (t ) ,   t   (рис. 25).
Определение. Интеграл от функции
f ( z ) вдоль кривой L определяется следующим образом:
Рис. 25
 f ( z )dz   (u  iv)(dx  idy )   (udx  vdy )  i  (vdx  udy) 
L
L

L
L
  [u ( x(t ), y (t )) x(t )  v( x(t ), y (t )) y (t )]dt 


t  i  [v( x(t ), y (t )) x(t )  u ( x(t ), y (t )) y (t )]dt .

Если учесть, что z  z (t )  непрерывная и дифференцируемая
функция, и z (t )  x(t )  iy (t ) , u ( x(t ), y (t ))  u ( z (t )) , v( x(t ), y (t )) 
 v( z (t )) , то интеграл от функции f ( z ) вдоль кривой L может быть
вычислен следующим образом:

 f ( z )dz   f ( z (t ))  z(t )dt .
(83)

L
Теорема Коши. Если функция f ( z )  аналитическая в односвязной области, то интеграл от f ( z ) по любому замкнутому контуру, принадлежащему этой области, равен нулю:
 f ( z )dz  0 .
L
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интегральная формула Коши
Пусть функция w  f ( z )  аналитическая в односвязной замкнутой области D , ограниченной кусочно-гладкой границей L (рис. 26).
D
L
z0
z
Рис. 26
Тогда справедлива интегральная формула Коши
f ( z0 ) 
1
f ( z)
dz ,
2i  z  z0
(84)
L
где z0 – любая точка внутри контура L, а интегрирование по контуру
производится в положительном направлении (против часовой стрелки) (см. рис. 26). Интеграл, стоящий в правой части формулы (84),
называется интегралом Коши.
Формула Коши является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Она позволяет находить значения
аналитической функции f ( z ) в любой точке z0 , лежащей внутри области D , зная ее значение на границе области.
Для всякой дифференцируемой в точке z0 функции f ( z ) существуют производные всех порядков, причем n-я производная имеет
вид
n!
f ( z )dz
(85)
f ( n ) ( z0 ) 
;
n  0,1, 2,...

2i L ( z  z0 ) n 1
Формулы (84) и (85) могут служить для вычисления интегралов
по замкнутым контурам. Для практического применения эти формулы удобнее представить в виде
f ( z)
dz  2i  f ( z0 ) ;
(86)

z

z
0
L

L
f ( z )dz
( z  z0 )
n 1

2i ( n )
 f ( z0 );
n!
123
n  1, 2,...
(87)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.1.4. Ряды Тейлора и Лорана
Функция f ( z ) , аналитическая в круге z  z0  R , разлагается в
сходящийся к ней степенной ряд по степеням ( z  z0 ) , т.е.

f ( z )   cn ( z  z0 ) n .
n 0
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам
f ( n ) ( z0 )
1
f ( z )dz
cn 
;


n!
2i L ( z  z0 ) n 1
n  0,1, 2,... ,
(88)
где L  произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком
лежащий в круге z  z0  R и содержащий внутри себя точку z0 .
Степенной ряд с коэффициентами (88) вида называется рядом
Тейлора.
Рассмотрим теперь функцию f ( z ) , аналитическую в кольце
r  z  z0  R . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:



c n
n
n
f ( z )   cn ( z  z0 )   cn ( z  z0 )  
,
(89)
n
n 
n 0
n 1 ( z  z0 )
где коэффициенты находятся по формуле
1
f ( z )dt
cn 
;
n  0, 1, 2,... ,

2i L ( z  z0 ) n 1
(90)
и L  произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в кольце r  z  z0  R и содержащий внутри себя точку z0 .
Ряд (89) называется рядом Лорана. При этом функция f ( z )
может быть представлена в виде суммы:


c n
f ( z )  f1 ( z )  f 2 ( z );
f1 ( z )   cn ( z  z0 ) n ; f 2 ( z )  
.
n
z
z
(

)
n 0
n 1
0
Ряд, определяющий функцию f1 ( z ) , называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f 2 ( z ) , называется
главной частью ряда Лорана.
Если предположить, что r  0 , то можно считать, что функция
f ( z )  аналитическая в открытом круге 0  z  z0  R за исключением центральной точки z0 . Как правило, в этой точке функция бывает
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
не определена. В таком случае точка z0 называется изолированной
особой точкой функции f ( z ) .
Рассмотрим следующие частные случаи:
1. Функция f ( z ) имеет вид f ( z )  f1 ( z ) 

 cn ( z  z0 )n . В этом
n 0
случае говорят, что точка z0 является устранимой особой точкой
функции f ( z ) . Тогда lim f ( z )  c0 , т.е. в окрестности устранимой
z  z0
особой точки функция f ( z ) ограничена.
2. Функция f ( z ) имеет вид
k
f ( z)  f2 ( z)  

c n
n 1 ( z  z0 )
n
  cn ( z  z0 ) n .
n  k
В этом случае точка z0 называется полюсом функции f ( z )
k -го порядка. При k = 1 точку z0 называют простым полюсом.
Порядок полюса может быть определен по формуле
lim ( z  z0 ) k f ( z )  ck  0
z  z0
( z0 – полюс порядка k ).
В окрестности полюса z0 функция f ( z ) не ограничена, т.е.
lim f ( z )   .
z  z0

3. Функция f ( z ) имеет вид f ( z )   ck ( z  z0 ) n , т.е. разлоn 
жение в ряд Лорана содержит бесконечное количество отрицательных степеней ( z  z0 ) .
В этом случае точка z0 называется существенно особой точкой функции f ( z ) . В окрестности существенно особой точки z0
функция f ( z ) ведет себя неопределенно, т.е. lim f ( z ) не существует.
z  z0
Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функции
f ( z ) . Тогда интеграл
1
 f ( z )dz
2i L
называется вычетом функции f ( z ) в точке z0 , где L – простой замкнутый контур, ориентированный против часовой стрелки, охваты125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вающий точку z0 и не содержащий внутри себя других особых точек функции f ( z ) .
Вычет обозначают Res f ( z ) , таким образом,
z  z0
Res f ( z ) 
z  z0
1
 f ( z )dz .
2i L
(91)

Если f ( z )   cn ( z  z0 ) n есть ряд Лорана для функции f ( z )
n 
в точке z0 , то Res f ( z )  c1 .
z  z0
Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.
В частных случаях вычет может быть найден и без разложения
в ряд Лорана.
Если z  z0 – устранимая особая точка функции f ( z ) , то вычет
в ней равен нулю, так как c1  0 .
Если z  z0 – простой полюс функции f ( z ) , то вычет находится по формуле
Res f ( z )  lim ( z  z0 )  f ( z ) .
(92)
z  z0
z  z0
( z )
, ( z0 )  0 , а ( z ) имеет простой
( z )
нуль при z  z0 ( ( z0 )  0, ( z0 )  0) , то точка z0 является простым полюсом функции f ( z ) .
Тогда вычет функции может быть найден по формуле
( z0 )
Res f ( z ) 
.
(93)
z  z0
( z0 )
Если z  z0 – нуль знаменателя кратности k и числитель в
этой точке  0 , то точка z  z0 – полюс порядка k > 1, и вычет находится по формуле
1
d k 1
(94)
Res f ( z )  c1 
lim k 1 [( z  z0 ) k f ( z )] .
z  z0
(k  1)! z  z0 dz
1
в точПример 1. Найти вычет функции f ( z ) 
2
( z  2) ( z  3)
ке z0  2 .
Если функция f ( z ) 
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Эта точка является полюсом второго порядка, так как
1
  , а lim ( z  2) 2 f ( z ) 
lim f ( z )  lim
2
z 2
z 2
z  2 ( z  2) ( z  3)
( z  2) 2
 lim
z  2 ( z  2) 2 ( z  3)
1
 1  0 .
z 2 z  3
 lim
Следовательно,
d
1
 1 
[( z  2)2 f ( z )]  lim 
 lim
 1.

z  2 dz
z 2  z  3 
z  2 ( z  3) 2
Res f ( z )  lim
z 2
Теорема о вычетах. Пусть функция f ( z ) – аналитическая на
всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, …, zN. Тогда интеграл от функции f ( z ) по замкнутому контуру равен сумме вычетов относительно всех особых
точек, лежащих внутри контура интегрирования, умноженной на
2i т.е.
N
f ( z) .
 f ( z )dz  2i  zRes
z
L
j 1
(95)
j
Эта теорема применяется для вычисления интегралов.
sin 2 z
Пример 2. Вычислить интеграл 
dz .
z
cos
z
z 2
Решение. Находим особые точки подынтегральной функции
sin 2 z
, приравнивая знаменатель к нулю: z cos z  0 , откуда
f ( z) 
z cos z

следует, что z  0 и z    k . Внутри контура интегрирования
2

лежат точки z  0, z   . Определим тип этих точек, для чего най2
sin 2 z
sin z
дем lim f ( z ) . В точке z  0 lim
 lim
 0 , следовательz  z0
z 0 z cos z
z 0 cos z
но, z  0 – устранимая особая точка и вычет в ней равен нулю.

sin 2 z
  , следовательно, точки z    полюсы.
lim

2
z  z cos z
2
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определим их порядок. Найдем:

 


2 
z
z



 sin


sin 2 z
  sin 2 z
2
2



2
lim  z  
 lim
 lim

 lim







2
cos
cos
(cos
)
z
z
z
z
z

z
z
z
z
2
2
2
2
2

2
1
2
 lim
   0 , следовательно, z 
 простой полюс.
2
 z   ( sin z )

2
Аналогично доказывается, что z  
на основании теоремы о вычетах

– также простой полюс. Тогда
2

2
2
2 
sin 2 z
sin
z
sin
z
sin
z
 Res
 Res
.
dz = 2i  Res

 z 0 z cos z
 z cos z
 z cos z 
z
cos
z

z 2
z
z 
2
2



Вычет в точке z  равен
2
sin 2 z
  sin 2 z
2

Res
 lim  z  
 .



2  z cos z
z 
z  z cos z
2
2
sin 2 z
  sin 2 z
2

Аналогично, Res
 lim  z  
 .



2  z cos z
z 
z  z cos z
2
2
sin 2 z
2 2
4

Следовательно, 
 8i .
dz  2i  0     2i



z
cos
z


z 2
15.2. Основные понятия и теоремы операционного
исчисления
Пусть f (t )  действительная функция действительного переменного t .
Определение. Функция f (t ) называется оригиналом, если она
удовлетворяет условиям:
1) f (t )  0 при t  0;
2) f (t )  кусочно-непрерывная при t  0 , т.е. она непрерывная
или в любом конечном интервале имеет конечное число точек разрыва первого рода;
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) существуют такие числа M  0 и s0  0 , что для всех t  0
выполняется условие f (t )  M  e s0t . Число s0 называется показателем роста f (t ) .
Определение. Изображением оригинала f (t ) называется функция F ( p) комплексного переменного p  s  i , определяемая интегралом

F ( p)   f (t )  e  pt dt .
(96)
0
Операцию перехода от оригинала f (t ) к изображению F ( p)
называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригина
 F ( p) .
лом и изображением записывается в виде f (t ) 

Теорема. Для всякого оригинала f (t ) изображение определено
в полуплоскости Re p  s  s0 , где s0 показатель роста функции
f (t ) , причем функция F ( p) является аналитической в этой полуплоскости.
Из теоремы следует, что если F ( p) является изображением, то
lim F ( p)  0 .
p 
Пример. Найти изображение функции Хевисайда
1, t  0,
(t )  
0, t  0.
Решение. Функция Хевисайда является оригиналом с показателем роста s0  0 , поэтому

1  pt
e
dt


e

p
0
Свойства преобразования Лапласа:
1. Свойство линейности.

(t ) 


 pt


0
1
.
p


Если f1 (t ) 
 F2 ( p ) , c1 и c2  постоянные чис F1 ( p ) , f 2 (t ) 



 c1  F1 ( p )  c2  F2 ( p ) .
ла, то c1  f1 (t )  c2  f 2 (t ) 

2. Теорема подобия.

 F ( p ) и число   0 , то
Если f (t ) 



f (t ) 

129
1  p
F  .
 
(97)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Теорема смещения.

Если f (t ) 
 F ( p ) и   const , то


 F ( p  ) .
f (t )e t 

(98)
4. Теорема дифференцирования оригинала.

(n)
 F ( p ) и функции f (t ), f (t ),..., f
Если f (t ) 
(t ) являются

оригиналами, то

f (t ) 
 p  F ( p )  f (0) ,


2
 p  F ( p )  p  f (0)  f (0) ,
f (t ) 

(99)
(100)
...................................

n
n 1
 p  F ( p)  p
f ( n ) (t ) 
 f (0)  ...  f ( n 1) (0) .

(101)
5. Теорема дифференцирования изображения.

Если f (t ) 
 F ( p ) , то


F ( p) 
 t  f (t ),


2 2
F ( p ) 
( 1)  t  f (t ),

............................................

n n
F ( n ) ( p ) 
( 1)  t  f (t ).

6. Теорема интегрирования оригинала.
t

 F ( p)
Если f (t ) 
 F ( p ) , то  f ( ) d  
.



p
0
7. Теорема интегрирования изображения.
Если f

(t ) 


F ( p ) и интеграл

 F (q)dq сходится, то
p

f (t )


.
 F (q)dq 

t
p
8. Теорема умножения изображений.


 F1 ( p ) , f 2 (t ) 
 F2 ( p ) , то
Если f1 (t ) 


t

 f ( )  f 2 (t  ) d .
F1 ( p)  F2 ( p ) 
  1
0
130
(102)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интеграл, стоящий в правой части формулы (102), называется
сверткой оригиналов f1 (t ) и f 2 (t ) и обозначается f1 (t )  f 2 (t ) , т.е.
t
t
0
0
f1 (t )  f 2 (t )   f1 ()  f 2 (t  )d    f1 (t  )  f 2 ()d  .
Таким образом, формула (102) может быть записана в виде

F1 ( p )  F2 ( p ) 
 f1 (t )  f 2 (t ).

Таблица оригиналов и изображений:
№
п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
f (t )
F ( p)
№
п.п.
1
1
p
9
t
e t
sin  t
cos t
sh t
ch t
t n ( n  целое)
1
p
2
1
p

p 2  2
p
p 2  2

p2  2
p
p2  2
10
11
12
f (t )
n
t e
t
et  sin t
t
e  cos t
t  sin t
13
t  cos t
14
t  sh t
15
t  ch t
F ( p)
n!
( p  ) n 1

( p  ) 2  2
p
( p  ) 2  2
2p
( p 2  2 ) 2
p 2  2
( p 2  2 ) 2
2p
( p 2   2 )2
p2  2
( p 2   2 )2
n!
p n 1
Пример. Найти изображение функции sin 2 t .
Решение. Из тригонометрии известна формула
1  cos 2t
.
sin 2 t 
2
Тогда
1
p  p2  4  p2
2
 1 1
2
 
sin t  (1  cos 2t ) 
.





2
2  p p 2  4  2 p ( p 2  4) p ( p 2  4)
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.2.1. Восстановление оригиналов
по заданным изображениям
Рассмотрим теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению F ( p) находить соответствующий ему оригинал f (t ) .
Теорема 1. Если функция F ( p) в окрестности точки p  
разложена в ряд Лорана
 c
c
c
c
(103)
F ( p)   nn1  0  12  23  ... ,
p
p
p
p
n 0
то функция
tn
f (t )   cn   c0  c1t  ...
n!
n 0

(104)
является оригиналом, имеющим изображение F ( p ) .
A( p )
 правильная рациональная
B( p)
дробь, знаменатель которой B ( p ) имеет лишь простые нули
p1 , p2 ,..., pn , то функция
Теорема 2. Если F ( p ) 
f (t ) 
n
A( p )
  k e
k 1 B ( pk )
pk t
(105)
является оригиналом, имеющим изображение F ( p ) .
A( p )
является дробноB( p)
рациональной функцией и p1 , p2 ,..., pn  простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал f (t ) определяется формулой
Теорема 3. Если изображение F ( p ) 
f (t ) 
n
 A( pk ) pk t 
e .
B
(
p
)
k


 Res 
k 1
132
(106)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 10
Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление
521530. Найти значения функций.


521. Arctg(3i ) .
522. Ln 1  i 3
 i

523. sh   3  .
2

524. Arcsin(2i ) .
525.
527.
529.

1  i 3

3i
2i
.
526. Arccos 4 .
.
 

sin    2i  .
 4



cos   2i  .
4

528.
 12i .
530.
Arctg(1  i ) .
531540. Представить заданную функцию w  f ( z ) , где z  x 
iy , в виде w  u ( x, y )  iv( x, y ) ; проверить, будет ли она аналитической, и в случае положительного ответа найти значение ее производной в заданной точке z0 .
531. w  (iz )3 , z0  1  i .
532. w  sin iz , z0  1 .
533. w  i (1  z 2 )  2 z , z0  1  2i .

534. w  e 2z , z0  i .
2
535. w  z 3  3 z  i , z0  1  2i .
536. w  e 2iz , z0   4 .
537. w  2 z 2  iz , z0  1  i .
538. w  cos 2iz , z0  1 .
539. w  z 3  2 z 2  i , z0  2  i .
540. w  ze z , z0  1  i.
541550. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного, применяя интегральную формулу Коши или теорему о вычетах.
ch(iz )dz
dz
.
541.  2
542. 
.
2 2
2
(
3)
(
4)


z
z
z
z
z 2
z 3 2
543.

z dz
2
z 3 ( z  2i ) ( z  2)
.
544.
133

cos z dz
2
z 1 2 z ( z  1)
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
545.

eiz dz
z i  2
547.
549.
2
z ( z  2)
.
2
dz

z 3 ( z  i )( z  2i )

z 3
546.
e z dz
2
z ( z  i)
2
.
548.
.
2
550.

cos 2 z dz
z 1 2 ( z

2
eiz dz
z  2 3 ( z

z 2
 z)
.
2
2
 2)
2
( z  2i )dz
2
( z  1)
2
.
.
551-560. Операционным методом найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным
условиям y ( x0 )  y0 , y ( x0 )  y0 .
551. y  4 y  4 x, y (0)  1, y (0)  0.
552. y   9 y  2  x, y (0)  0, y (0)  1.
553. y   y   x 2  2 x, y (0)  0, y (0)  2.
554. y  y  6 y  2, y (0)  1, y(0)  0.
555. y  y  6e  x , y (0)  3, y(0)  1.
556. y  9 y  sin x  cos x, y (0)  3, y (0)  2.
557. y  4 y  cos x, y (0)  0, y (0)  4.
558. y  4 y  4e2 x ,
y (0)  0, y (0)  0.
559. y  y   10e 2 x ,
y (0)  0, y (0)  0.
560. y  y  x3  6 x,
y (0)  0, y (0)  0.
561570. Решить систему дифференциальных уравнений операционным методом.
 x(t )  x  2 y  1,
561. 
x(0)  0; y (0)  1.
 y (t )  4 x  y;
 x(t )  x  4 y,
562. 
 y (t )  2 x  y  9;
 x(t )   x  3 y  1,
563. 
 y (t )  x  y;
 x(t )  x  2 y,
564. 
 y (t )  2 x  y  1;
x(0)  1;
y (0)  0.
x(0)  1;
y (0)  2.
x(0)  0;
y (0)  5.
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x(t )  2 x  3 y  1,
565. 
 y (t )  2 x  3 y;
 x(t )  2 x  6 y  1,
566. 
 y (t )  2 x  2 y;
x(0)  0;
y (0)  2.
x(0)  0;
y (0)  1.
 x(t )  3 x  4 y  1,
567. 
x(0)  0;

y
(
t
)

2
x

3
y
;

 x(t )  3 x  y,
568. 
x(0)  2;

y
(
t
)


5
x

3
y

2;

 x(t )  2 x  5 y  1,
559. 
 y (t )  x  2 y  1;
 x(t )  2 x  5 y,
560. 
 y (t )  x  2 y  2;
y (0)  1.
y (0)  0.
x(0)  0;
y (0)  2.
x(0)  1;
y (0)  0.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение типового варианта
контрольной работы № 10
521530. Найти значения функций:
 i 
1) sin 1  2i  ; 2) sh   1 ; 3) Ln 1  i 3
3



2i
.
Решение. Воспользовавшись формулами (68)(76), получим:
ei (1 2i )  e i (1 2i ) ei  2  e 2i e 2 ei  e2 e i



sin(1  2i ) 
2i
2i
2i
e 2 (cos1  i sin1)  e 2 (cos1  i sin1) cos1(e 2  e 2 )  i sin1(e 2  e2 )



2i
2i
e 2  e 2
e 2  e 2
sin1  i
cos1  ch 2  sin1  i  sh 2  cos1.

2
2
Так как ch 2  3,762; sh 2  3,627; sin1  0,841; cos1  0,54 , то
sin(1  2i )  3,16  1,96i .
 i 
 i 
  
 
2) sh   1  i sin i   1  i sin    i   i sin   i  
3

3

 3 
3 
 1


1

  3
 i  sin cos i  cos sin i   i 
ch1  i sh1   sh1  i 3 ch1 
3
3
2

  2
 2





1
1,175  i 3 1,543  0,59  1,34  i.
2

3) Ln 1  i 3

2i


 2i Ln 1  i 3 



3
 2i  ln 2  i  arc tg
 2k   


1





  2
 2i  ln 2  i   2k   
 4k  2i ln 2, k  .
3
3



531540. Представить заданную функцию w  z 3  iz 2  3z  2  i ,
где z  x  iy , в виде w  u ( x, y )  iv( x, y ) ; проверить, будет ли она
аналитической, и в случае положительного ответа найти значение ее
производной в заданной точке z0  1  i .
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Запишем функцию в виде
w  i ( x  iy ) 2  3( x  iy )  2  i
и выделим ее действительную и мнимую части:
w  ( x  iy)3  i( x  iy)2  3( x  iy)  2  i  ( x3  3x2  iy  3x  (iy)2  (iy)3 ) 
i( x2  2xyi  y2 )  3x  3iy  2  i  x3  3x2iy  3xy2  iy3  ix2  2xy  iy2 
3x  3iy  2  i  ( x3  3xy2  2xy  3x  2)  i(3x2 y  x2  y3  y2  3 y 1).
Следовательно,
u ( x, y )  x3  3 xy 2  2 xy  3 x  2, v( x, y )  3 x 2 y  x 2  y 3  y 2  3 y  1 .
Найдем частные производные
u
u
 3 x 2  3 y 2  2 y  3,
 6 xy  2 x,
x
y
v
v
 6 xy  2 x,
 3x 2  3 y 2  2 y  3
x
y
 u v
 
 x y
и проверим условия Коши–Римана: 
. В данном случае


u
v
 
x
 y
условия Коши–Римана выполняются тождественно, следовательно,
заданная функция дифференцируема при любых значениях z , а значит, является аналитической.
u v
i
Найдем производную функции по формуле f ( z ) 
x
x
и вычислим ее значение в точке z0  1  i :
f ( z )  3 x 2  3 y 2  2 y  3  i (6 xy  2 x)  3( x 2  2ixy  y 2 )  2i ( x  iy )  3 
 3z 2  2iz  3;
f ( z0 )  3(1  i ) 2  2i (1  i )  3  3(1  2i  1)  2i  2  3  1  8i.
541550. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного, применяя интегральную формулу Коши или теорему о вычетах.
1)

z
ch 2 z
1
2
2
z ( z  4i )
2
dz ;
2)

z 2
ez
2
z ( z  1)
137
2
dz .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. 1) 
z
ch 2 z
1
2
2
z ( z  4i )
2
dz .
Найдем нули знаменателя, которые являются изолированными
особыми точками подынтегральной функции: z 2 ( z  4i ) 2  0 , откуда
следует, что z  0 и z  4i . Очевидно, внутри контура интегрирова1
ния z  расположена только точка z  0 , следовательно, функция
2
ch 2 z
f ( z) 
является аналитической внутри контура интегриро( z  4i ) 2
вания. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (87), в
которой z0  0 и n  1 . В таком случае

2i  ch 2 z 
dz 
 2


2
1!  ( z  4i ) 2 
1 z ( z  4i )
ch 2 z
z
2

z 0
 2sh 2 z  ( z  4i ) 2  ch 2 z  2( z  4i ) 
 2i 


4

(
z
4
i
)


 z 0
 0  2(4i ) 
8i

 2i 

2

i


.

4
256
16

i
(
4
)


2) 
ez
2
2
z  2 z ( z  1)
dz .
Найдем нули знаменателя: z 2 ( z  1) 2  0 , откуда следует, что
z  0 и z  1. Очевидно, внутри контура интегрирования z  2 расположены обе особые точки, которые являются полюсами второго
порядка подынтегральной функции. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (95). В таком случае


ez
ez
ez
dz
i
2
Res
Res



 2i (3  e),

 2
2
 z 0 z 2 ( z  1) 2 z 1 z 2 ( z  1) 2 
z
z

(
1)
z 2




 e z 
ez
2
так как Res 2
 lim  2
 z   lim 

 z 0  ( z  1) 2 
z 0  z ( z  1) 2
z  0 z ( z  1) 2




ez
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 e z  ( z  1) 2  e z  2( z  1) 
 e z  ( z  1)  e z  2  1  2
 lim 
 3, и
  lim 
 
4
3
3
z 0 
z 0
(
1)
(
1)
(
1)
z
z









 e z 
ez
ez
2
Res 2
 lim  2
 ( z  1)   lim  2  
 z 1  z 
z 1  z ( z  1) 2
z 1 z ( z  1) 2


 
 ez  z2  ez  2z 
 ez  z  ez  2 
 lim 
  lim 
  e.
4
3

z 1 
z
1
z
z




551560. Операционным методом найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным
условиям y ( x0 )  y0 , y ( x0 )  y0 :
y  y  x 2  2 x,
y (0)  0, y (0)  2.

 Y ( p )  Y , тогда в силу формул (99) и
Решение. Пусть y ( x) 

(100)

 p  Y ( p )  y (0)  pY ,
y( x) 


2
2
2
 p  Y ( p )  p  y (0)  y (0)  p Y  ( 2)  p Y  2
y( x) 


x 2  2 x 


2
 2
1
.
p3
p2
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение,
получим операторное уравнение:
2
2
2
2
p 2Y  2  pY  3  2  Y p 2  p  3  2  2 
p
p
p
p
и



 Y p2  p 
Отсюда
Y
2 1  p 

p3 p 2  p

 p
2
2
p


(применили разложение дроби
т.е.

2 1  p 
2 1  p 
p 4 ( p  1)
p3

 2.
2
2 2
2
,
 4 
p( p  1) p
p p 1
2
на сумму простейших дробей,
p ( p  1)
2
2
2
 
), затем находим оригинал, воспользовавшись
p ( p  1) p p  1
табличными формулами (8), (1) и (3): Y
139
t


2

3
3!
 2  2et . Следова-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельно, частное решение исходного дифференциального уравнения,
удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
x3
 2  2e  x .
y ( x) 
3
Проверим выполнение начальных условий:
y (0)  0  2  2e0  2  2  0  верно;
3x 2
y( x) 
 2e x ; y (0)  0  2e0  2  верно.
3
561570. Решить систему дифференциальных уравнений операционным методом:
 x(t )  3 x  5 y  2,
x(0)  0; y (0)  2.

 y (t )  3 x  y  1;

 X ( p)  X ;
Решение. Пусть x(t ) 


 p  X ( p )  x (0)  pX ;
x(t ) 


 Y ( p )  Y , тогда
y (t ) 


 p  Y ( p )  y (0)  pY  2 .
y (t ) 

Подставляя эти выражения в систему, получим систему операторных уравнений:
2

pX
X
Y
3
5
,




p


 pY  2  3 X  Y  1 .

p
После несложных преобразований получим алгебраическую
систему двух линейных уравнений с двумя переменными:
2

( p  3) X  5Y  p ,


3 X  ( p  1)Y  1  2,

p
решая которую, находим изображения X и Y по формулам


X X; Y Y ,


где
p  3 5

 ( p  3)( p  1)  15  p 2  4 p  12  ( p  6)( p  2);
3
p 1
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
X 
Y 
2
p
5
1
2
p
p 1

p 3
2
p
3
1
2
p
1
 2 p  2  5  10 p 12 p  3
2( p  1)
 5  2  

;
p
p
p
p


6 p3
2 p2  5 p  3
p 3
.

 2p 6 
 2p 6 
p
p
p
p
12 p  3
2 p2  5 p  3
Следовательно, X 
; Y
. Даp ( p  6)( p  2)
p ( p  6)( p  2)
лее находим оригиналы x(t ) и y (t ) . Можно разбить каждую дробь
A
B
C

на сумму простейших дробей X ( p )  
, но так как
p p6 p2
корни знаменателя p1  0, p2  6, p3  2 – простые, то удобнее воспользоваться формулой (105), в которой A( p)  12 p  3, B( p) 
= ( p  6)( p  2)  p ( p  2)  p ( p  6) , значит,
3
12  6  3 6t 12  (2)  3 2t
e0t 
e 
e 
(0  6)(0  2)
6  (6  2)
( 2)(2  6)
3 75
21
1 25
21
   e6t  e 2t    e6t  e 2t .
12 48
16
4 16
16
Проверим выполнение начального условия x(0)  0 . Найдем
1 25
21
4 25 21
x(0)    e0  e0      0  верно.
4 16
16
16 16 16
Аналогично находим оригинал y (t ) . В этом случае
x(t ) 
A( p )  2 p 2  5 p  3, B( p )  ( p  6)( p  2)  p ( p  2)  p ( p  6) и
3
2  62  5  6  3 6t 2(2)2  5(2)  3 2t
0t
y (t ) 
e 
e 
e 
(0  6)(0  2)
6  (6  2)
(2)(2  6)
3 72  30  3 6t 8  10  3 2t
1 15
21
e 
e    e6t  e2t .
 
12
48
16
4 16
16
Проверим выполнение начального условия y (0)  2 . Найдем:
1 15
21
4 15 21 32
y (0)    e0  e0     
 2  верно.
4 16
16
16 16 16 16
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итак, решением системы дифференциальных уравнений явля1 25 6t 21 2t



 e  e ,
x
t
(
)

4 16
16
ются функции 
 y (t )   1  15 e6t  21 e2t .

4 16
16
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 16. Теория вероятностей
1. Письменный Д. Т. Гл. 15.
2. Кремер Н. Ш. Гл. 15, 6.
3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Ч. 2, гл. 5.
16.1. Основные понятия и теоремы
теории вероятностей
Случайным событием (или просто событием) называется исход опыта (испытания, эксперимента, наблюдения), который может
произойти или не произойти.
Событие называется достоверным, если в результате данного
опыта оно непременно наступит; достоверное событие будем обозначать символом  .
Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта; невозможное событие обозначается символом Ø.
Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же
опыте, в противном случае события называются совместными. Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).
События A1 , A2 ,..., An называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.
События A1 , A2 ,..., An образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и
только одно из них.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие.
Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых
шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий. Появление
красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если
же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Объединением или суммой событий A и B называется событие
C  A  B  A  B , состоящее в том, что произошло событие A , или
событие B , или оба эти события вместе. Событие C означает появление хотя бы одного из событий A или B .
Пересечением или произведением событий A и B называется
событие C  A  B  A  B , состоящее в том, что произошло и событие A , и событие B . Событие C означает появление каждого из событий A и B .
Разностью событий A и B называется событие C  A  B 
 A \ B , которое означает, что происходит событие A , но не происходит событие B .
Событие A влечет за собой событие B , если из того, что происходит событие A , следует наступление события B ; записывают
это так: A  B .
Если A  B и B  A , то события A и B называются равными
и обозначается это так: A  B .
Противоположным событию A называется событие A , которое
происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A .
Операции над событиями обладают следующими свойствами:
1. A  B  B  A; A  B  B  A  свойство коммутативности;
2. ( A  B)C  A  C  B  C  свойство дистрибутивности;
3. ( A  B)  C  A  ( B  C ); ( A  B )C  A( B  C )  свойство ассоциативности;
4. A  A  A; A  A  A ;
5. A    ;
A   A;
6. A  A  ;
A A   ;
7.   ;   ;
A  A;
8. A  B  A  B ;
9. A  B  A  B ;
A  B  A  B  законы де Моргана.
Пример 1. Пусть A , B , C  три произвольных события. С помощью операций над событиями записать следующие события: A1 
произошло только событие C ; A2  произошли все три события;
A3  произошло хотя бы одно из этих событий; A4  произошло, по
крайней мере, два события; A5  произошло только два события;
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A6  ни одно событие не произошло; A7  произошло не более двух
событий.
Решение. A1  A  B  C ; A2  A  B  C ; A3  A  B  C ;
A4  A  B  A  C  B  C  A  B  C  A  B  C  A  B  C  A  B  C ;
A5  A  B  C  A  B  C  A  B  C ; A6  A  B  C ;
A7  A  B  C  A  B  C  A  B  C  A  B  C  A  B  C  A  B  C 
 A  B  C  A  B  C  A  B  C  A  B  C  A  B  C.
16.1.1. Относительная частота события
Пусть в серии из n испытаний некоторое событие A наступило
m
m раз, тогда отношение
 P ( A) называется относительной часn
тотой события A в рассматриваемой серии испытаний.
Относительная частота события обладает следующими свойствами:
1. Для любого события частота заключена между нулем и единицей, т.е. 0  P ( A)  1 .
2. Частота невозможного события равна нулю, т.е. P ()  0 .
3. Частота достоверного события равна 1, т.е. P ()  1 .
4. Частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот этих событий, т.е. если A  B   , то
P ( A  B)  P ( A)  P ( B) .
Частота обладает еще одним свойством, называемым свойством устойчивости: с увеличением числа проведенных испытаний
( n   ) она принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу, которое называется вероятностью события A .
Так, например, в опыте – бросание монеты – относительная
частота выпадения герба при 4040 бросаниях (Ж. Бюффон) оказалась
2048
, а в опыте с 12 000 и 24 000 бросаниями
равной 0,5069 
4040
6018
(К. Пирсон) она оказалась равной соответственно 0,5015 
и
12 000
1
12 012
 0,500... , ко, т.е. частота приближается к числу
0,5005 
2
24 000
торое равно вероятности выпадения герба при бросании монеты.
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.1.2. Классическое определение вероятности события
Пусть производится опыт с n равновозможными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементарными исходами (событиями) или случаями.
Исход опыта является благоприятствующим событию A , если
появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события A .
Вероятностью события A называется отношение числа m исходов, благоприятствующих событию A к общему числу n исходов
в данном испытании, т.е.
P( A) 
m
.
n
(107)
Наряду с обозначением P ( A) для вероятности события применяется обозначение p , т.е. p  P( A) .
Из классического определения следуют свойства вероятности:
1. 0  P( A)  1;
2. P()  1; P()  0 ;
3. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если A  B   , то
P ( A  B)  P( A)  P( B) .
(108)
Пример 2. В коробке находится 10 шаров. 3 из них – красные,
2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый
наугад шар будет красным, зеленым или белым.
Решение. Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного
шара – событие A , появление зеленого – событие B , появление белого – событие C .
Тогда в соответствии с формулой (107) получаем:
3
2
5
P( A)  ; P( B)  ; P(C )  .
10
10
10
16.1.3. Элементы комбинаторики
Согласно классическому определению вычисление вероятности
события A сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.
Комбинаторика  раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
группы по заданным правилам. Многие комбинаторные задачи могут
быть решены с помощью двух правил: умножения и сложения.
Правило умножения (основной принцип). Если из некоторого
конечного множества первый объект (элемент x ) можно выбрать
n1 способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент y ) можно выбрать n2 способами, то оба объекта ( x и y ) в указанном порядке можно выбрать n1  n2 способами.
Этот принцип, очевидно, распространяется на случай трех и более
объектов.
Пример 3. Сколько трехзначных чисел можно составить из
цифр 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться?
Решение. Имеется 5 различных способов выбора цифры для
первого места (слева в трехзначном числе). После того как первое
место занято, например цифрой 2, осталось четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 5  4  3  60 способов расстановки цифр, т. е. искомое число
трехзначных чисел есть 60. Если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5  5  5  125 .
Правило суммы. Если некоторый объект x можно выбрать
n1 способами, а объект y можно выбрать n2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов ( x или y ) можно выбрать n1  n2 способами. Это правило распространяется на любое конечное число объектов.
Решение вероятностных задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число
всевозможных исходов в некотором опыте (эксперименте), состоящем в выборе наудачу т элементов из n различных элементов рассматриваемого множества.
Существуют две схемы выбора т элементов ( 0  m  n ) из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением
(с повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все т элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схема выбора без возвращения
Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.
Определение. Размещением из n элементов по m элементов
( 0  m  n ) называется любое упорядоченное подмножество данного
множества, содержащее т элементов.
Из определения вытекает, что размещения  это выборки (комбинации), состоящие из т элементов, которые отличаются друг от
друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из п элементов по т элементов обозначается
символом Anm ( читается : А из n по m) и вычисляется по формуле
Anm  n(n  1)(n  2)  ...  (n  m  1)
(109)
или
n!
, где n !  1  2  3  ...  n, 1!  1, 0!  1 .
(110)
(n  m)!
Определение. Перестановкой из п элементов называется размещение из п элементов по п элементов.
Из определения вытекает, что перестановки  это выборки
(комбинации), состоящие из п элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из п
элементов обозначается символом Pn и вычисляется по формуле
Anm 
Pn  n !
(111)
Определение. Сочетанием из п элементов по т элементов
( 0  m  n ) называется любое подмножество, которое содержит
т элементов данного множества.
Из определения вытекает, что сочетания  это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из т элементов, взятых из данных
п элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т. е. отличаются только составом элементов.
Число сочетаний из п элементов по т элементов обозначается
символом Сnm и вычисляется по формуле
Сnm 
n(n  1)(n  2)  ...  (n  m  1)
1  2  3  ...  m
(112)
n!
.
m!(n  m)!
(113)
или
Сnm 
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно показать, что имеют место формулы
Сnm  Cnn  m , (m  n);
(114)
Сn0  Сn1  Сn2  ...  Сnn  2n ;
(115)
Сnm  Сnm1  Сnm11 , (1  m  n) .
(116)
Формулу (114) удобно использовать при вычислении сочетаn
15 14
13
2
ний, когда m  . Так, С15
 С15

 105 .
1 2
2
Пример 4. В вазе стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики.
Сколькими способами можно выбрать: 1) 3 цветка из вазы; 2) 1 красную гвоздику и 2 розовые?
Решение. 1. Так как порядок выбора цветов не имеет значения,
3
то выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 14 гвоздик, можно С14
14 13 12
3

 364 .
способами. По формуле (112) находим: С14
1 2  3
1
2. Красную гвоздику можно выбрать С10
 10 способами. Выбрать две розовые гвоздики из имеющихся четырех можно
43
С42 
 6 способами. Поэтому букет из одной красной и двух ро1 2
1
зовых гвоздик можно составить по правилу умножения, С10
 С42 =
 10  6  60 способами.
Схема выбора с возвращением
Определение. Если при выборке т элементов из п элементы
возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.
Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга
элементами, их порядком и количеством повторений элементов.
Число всех размещений из п элементов по т с повторениями обозначается символом Anm и вычисляется по формуле
Anm  n m .
(117)
Пример 5. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры: 1) 2, 5, 7, 8; 2) 0, 1, 9?
Решение. 1. Все пятизначные числа, составленные из цифр 2, 5,
7, 8, отличаются друг от друга либо порядком их следования (например 25558 и 52855), либо самими цифрами (например 52788 и
78888). Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
по 5 с повторениями, т. е. A45 . Таким образом, искомое число пятизначных чисел равно A45  45  1024 . Этот же результат можно получить, используя правило умножения: первую цифру слева в пятизначном числе можно выбрать четырьмя способами, вторую – тоже
четырьмя способами, третью – четырьмя, четвертую – четырьмя, пятую – четырьмя. Всего получается 4  4  4  4  4  1024 пятизначных
чисел.
2. Если пятизначные числа состоят из цифр 0, 1, 9, то первую
цифру слева можно выбрать двумя способами (0 не может занимать
первую позицию), каждую из оставшихся четырех цифр можно выбрать тремя способами. Согласно правилу умножения, таких чисел
будет 2  3  3  3  3  162 .
Определение. Если при выборке т элементов из п элементы
возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.
Число всех сочетаний из п элементов по т с повторениями обозначается символом Cnm и вычисляется по формуле
Cnm  Cnm m 1 .
(118)
Пример 6. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?
Решение. Рассматриваемое множество состоит из трех различных элементов, а выборки имеют объем, равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число
букетов равно числу сочетаний с повторениями из трех элементов по
5 в каждом. По формуле (118) имеем
76
C35  C75  C77 5  C72 
 21 .
1 2
Пусть в множестве с п элементами есть к различных элементов,
при этом 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент  n2 раз ..., k -й
элемент  nk раз, причем n1  n2  ...  nk  n .
Определение. Перестановки из п элементов данного множества
называют перестановками с повторениями из n элементов.
Число перестановок с повторениями из п элементов обозначается символом Pn (n1 , n2 ,..., nk ) и вычисляется по формуле
Pn (n1 , n2 ,..., nk ) 
150
n!
n1 !n2 ! ...  nk !
(119)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 7. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 3, 5, 5, 8?
Решение. Применим формулу (119). Здесь n  5, n1  2, n2  2,
n3  1. Число различных пятизначных чисел, содержащих цифры 3, 5
5!
 30 .
и 8, равно P5 (2, 2,1) 
2! 2!1!
Пример 8. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Найти
вероятность того, что среди наугад вынутых 5 шаров 3 будут черными?
5
Решение. Выбрать 5 шаров из 20 можно C20
различными способами (все выборки – неупорядоченные подмножества, состоящие
5
из 5 элементов), т.е. n  C20
. Определим число случаев, благоприятствующих событию A  «среди 5 вынутых шаров 3 будут черными»
и n  5, n1  2, n2  2, n3  1 . Число способов выбрать 3 черных шара
из 8, находящихся в урне, равно C83 . Каждому такому выбору соот2
ветствует C12
способов выбора 2 белых шаров из 12 белых в урне.
Следовательно, по основному правилу комбинаторики (правилу
2
умножения) имеем: m  C83  C12
По формуле (107) находим, что
P( A) 
2
C83  C12
5
C20
 0, 24 .
Пример 9. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что:
1) все они одного цвета; 2) все они разных цветов; 3) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.
Решение. Число способов выбрать 3 карандаша из 12 имею3
щихся в наличии равно n  C12
 220 .
1. Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно C53 способами; 3 красных из имеющихся 4 можно выбрать C43 способами; 3 зеленых из
3 зеленых  C33 способами. По правилу сложения общее число т
случаев, благоприятствующих событию А = {три карандаша, вынутых из коробки, одного цвета}, равно m  C53  C43  C33  15 . Отсюда
m 15
3
P( A)  
 .
n 220 44
2. Пусть событие В = {три вынутых карандаша разных цветов}.
Число т исходов, благоприятствующих наступлению события В,
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
по правилу умножения равно m  C51  C41  C31  5  4  3  60 . Поэтому
m 60
3
P( A)  
 .
n 220 11
3. Пусть событие С = {из трех выбранных карандашей 2 синих
и 1 зеленый}. Выбрать 2 синих карандаша из имеющихся 5 синих
можно C52 способами, а 1 зеленый из имеющихся 3 зеленых  C31
способами. Отсюда по правилу умножения имеем: m  C52  C31  30 .
m 30
3
 .
Поэтому P( A)  
n 220 22
16.1.4. Геометрическое определение вероятности события
Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности. Рассмотрим на плоскости некоторую область  , имеющую площадь S , и
внутри области  область D , площадь которой S D (рис. 27).

D
Рис. 27
Предполагается, что вероятность попадания случайной точки x
в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от
ее расположения и формы. Пусть событие A  {x  D} , т.е. случайная
точка попадет в область D .
Определение. Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области D к площади области  , т.е.
S
(120)
P( A)  D .
S
Геометрическое определение вероятности применимо, если на
отрезке длиной L выделен отрезок длины l . Тогда вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l/L. Аналогичное определение применимо и в случае, когда  и D  объемные области. Обобщая все случаи, можно записать:
mes( D)
P( A) 
,
(121)
mes()
где mes  мера области: площадь ( S ) , длина (l ) или объем (V ) .
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.1.5. Условная вероятность.
Теорема умножения вероятностей
Пусть A и B  два события, рассматриваемые в данном опыте.
Определение. Условной вероятностью события B при условии, что произошло событие A , называется отношение вероятности
произведения этих событий к вероятности события A и обозначается
PA ( B) или P( B A) , т.е.
P( AB)
, P ( A)  0 .
(122)
P( A)
Аналогично определяется условная вероятность события A при
условии, что имело место событие B :
P( AB)
P( A B) 
, P( B)  0 .
(123)
P( B)
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло:
P( AB)  P( A) P ( B A)  P ( B) P( A B ) .
(124)
P( B A) 
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.
В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности
всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже
произошли:
P( A1 A2 ... An )  P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )...P( An / A1 A2 ... A n 1 ) .
Для трех событий A1 , A2 , A3 :
P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 / A1 )  P( A3 / A1 A2 ) .
(125)
Теорема умножения вероятностей имеет более простой вид, если события A и B независимые.
Определение. Событие A называется независимым от события B , если его условная вероятность равна безусловной, т.е. если
выполняется равенство
P( A B )  P( A) .
Имеет место следующее утверждение: если событие A не зависит от события B , то и событие B не зависит от A .
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для независимых событий правило умножения вероятностей
принимает вид
(126)
P( AB)  P( A)  P( B) .
Определение. События A1 , A2 , ..., An называются независимыми
в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы
каждое событие и все возможные произведения остальных. В противном случае события называются зависимыми.
Для независимых событий их условные вероятности равны безусловным.
16.1.6. Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместных событий определяется
формулой P ( A  B)  P( A)  P( B) , AB   . Для вероятности суммы
совместных событий имеет место теорема сложения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух
совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их совместного появления, т.е.
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB) .
Для трех событий эта формула имеет вид
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( AB) 
 P( AC )  P ( BC )  P( ABC ).
(127)
Следствие 1. Вероятность суммы попарно несовместных событий A1 , A2 , ..., An , образующих полную группу, равна 1:
P( A1  A2  ...  An )  P ( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )  1 .
Следствие 2. Вероятность наступления хотя бы одного из событий A1 , A2 , ..., An  независимых в совокупности, равна разности
между единицей и произведением вероятностей противоположных
событий
(128)
P( A1  A2  ...  An )  1  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An ) .
Следствие 3. Если события A1 , A2 , ..., An  независимы в совокупности, P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )  p и P( A1 )  P( A2 )  ...  P ( An ) 
 P( An )  1  p  q , то
P( A1  A2  ...  An )  1  q n .
Пример 10. Чему равна вероятность того, что при бросании
трех игральных костей 6 очков появятся хотя бы на одной из костей?
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Вероятность выпадения 6 очков при одном броске
1
5
кости равна . Вероятность того, что не выпадет 6 очков  . Веро6
6
ятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков
3
 5  125
равна p    
. Тогда вероятность того, что хотя бы один раз
216
6
125 91

.
выпадет 6 очков, равна 1  p  1 
216 216
Пример 11. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй  0,9; третий  0,8. Найти вероятность того,
что студентом будут сданы: 1) только 2-й экзамен; 2) только 1 экзамен; 3) 3 экзамена; 4) по крайней мере 2 экзамена; 5) хотя бы 1 экзамен.
Решение. 1. Обозначим события: Ai  студент сдаст i -й экзамен (i =1,2,3); В  студент сдаст только 2-й экзамен из трех. Очевидно, что B  A1  A2  A3 , т.е. совместное осуществление трех событий,
состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й
экзамены. Учитывая, что события A1 , A2 , A3 независимы, получим
P( B)  P ( A1  A2  A3 )  P ( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  0,1  0,9  0, 2  0,018 .
2. Пусть событие С  студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен из трех, или только 2-й, или только 3-й, т.е.
P(C )  P( A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 ) 
 0,9  0,1  0, 2  0,1  0,9  0, 2  0,1  0,1  0,8  0,044.
3. Пусть событие
D  A1  A2  A3 Тогда
D  студент сдаст все три экзамена, т.е.
P( D)  P ( A1  A2  A3 )  P ( A1 )  P ( A2 )  P( A3 )  0,9  0,9  0,8  0,648 .
4. Пусть событие Е  студент сдаст, по крайней мере, два экзамена (хотя бы два экзамена или не менее двух экзаменов). Очевидно,
что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо
всех трех экзаменов, т. е.
P( E )  P( A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3 ) 
 0,9  0,9  0, 2  0,9  0,1  0,8  0,1  0,9  0,8  0,9  0,9  0,8  0,954.
5. Пусть событие F  студент сдал хотя бы 1 экзамен (или не
менее 1 экзамена). Очевидно, что данное событие представляет сум155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
му событий С (включающего три варианта) и Е (четыре варианта),
т.е. F  A1  A2  A3  C  E (семь вариантов). Однако проще найти
вероятность события Р, если перейти к противоположному событию,
включающему всего один вариант  F  A1  A2  A3   A1  A2  A3 ,
т.е. применить формулу (128). Итак,
P( F )  P ( A1  A2  A3 )  1  P ( F )  1  P( A1  A2  A3 ) 
 1  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  1  0,1  0,1  0, 2  0,998,
т.е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.
Пример 12. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность
того, что из 3 взятых деталей 2 окажутся небракованными.
Решение. Обозначим бракованную деталь – событие А, небракованную – событие А :
P( A)  0, 2; P ( A)  0,8.
Если среди 3 деталей оказывается только 1 бракованная, то это возможно в одном из трех случаев: бракованная деталь будет первой,
второй или третьей:
P  P( A) P ( A) P ( A)  P( A) P( A) P( A)  P ( A) P ( A) P ( A) ,
P  3  0, 2  0,8  0,8  0,384 .
16.1.7. Формула полной вероятности и формула Байеса
Пусть событие А может произойти только вместе с одним из несовместных событий H1 , H 2 ,..., H n , образующих полную группу, которые называются гипотезами. Пусть известны вероятности этих гипотез
P( H1 ), P( H 2 ),..., P( H n ) и условные вероятности наступления события
А при наступлении гипотезы Hi : P( A / H1 ), P( A / H 2 ),..., P( A / H n ) .
Теорема. Вероятность события А, которое может произойти
вместе с одной из гипотез H1 , H 2 ,..., H n , равна сумме произведений
вероятностей гипотез на соответствующие им условные вероятности наступления события А, т.е.
P( A)  P ( H1 )  P( A / H1 )  P( H 2 )  P( A / H 2 )  ... ,
 P( H n )  P( A / H n )
(129)
или
n
P( A)   P ( H i ) P( A / H i ) .
i 1
156
(130)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть имеется полная группа несовместных гипотез H1 , H 2 ,...,
H n с известными вероятностями их наступления P( H1 ), P( H 2 ),...,
P( H n ) и пусть в результате опыта наступило событие А, условные
вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны
вероятности P( A / H1 ), P( A / H 2 ),..., P( A / H n ) . Требуется определить,
какие вероятности имеют гипотезы H1 , H 2 ,..., H n при условии, что
событие А произошло, т.е. условные вероятности P( H i / A) .
Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события:
P( H i ) P( A / H i )
P( H i / A)  n
.
(131)
 P( H i ) P( A / H i )
i 1
Эта формула называется формулой Байеса.
Пример 13. В торговую фирму поступили телевизоры от трех
поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры,
поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98, 88 и 92 % случаев.
Найти вероятность того, что: 1) поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока;
2) проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного
срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?
Решение. 1) Обозначим события: H i  телевизор поступил в торговую фирму от i -го поставщика (i = 1, 2, 3); A  телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. По условию
1
4
5
P( H1 ) 
 0,1; P( H 2 ) 
 0, 4; P( H 3 ) 
 0,5 .
1 4  5
1 4  5
1 4  5
P( A H1 )  0,98; P ( A H 2 )  0,88; P( A H 3 )  0,92 .
По формуле полной вероятности (129)
P( A)  0,1  0,98  0, 4  0,88  0,5  0,92  0,91 .
2) Событие A  телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока; P( A)  1  P( A)  1  0,91  0,09 .
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По условию
P( A H1 )  1  0,98  0,02;
P( A H 2 )  1  0,88  0,12;
P( A H 3 )  1  0,92  0,08.
По формуле Байеса (131):
0,1  0,02
0, 4  0,12
P( H1 / A) 
 0,022; P ( H 2 / A) 
 0,533;
0,09
0,09
0,5  0,08
P ( H 3 / A) 
 0, 444.
0,09
Таким образом, после наступления события A вероятность гипотезы H 2 увеличилась с P( H 2 )  0, 4 до максимальной P( H 2 / A) 
 0,533 , а гипотезы H 3  уменьшилась от максимальной P( H 3 )  0,5
до P( H 3 / A)  0, 444 . Если ранее (до наступления события A ) наиболее вероятной была гипотеза H 3 , то теперь, в свете новой информации (наступления события A ), наиболее вероятна гипотеза H 2  поступление данного телевизора от 2-го поставщика.
Пример 14. Известно, что в среднем 95 % выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Определить вероятность того, что: 1) взятое наудачу изделие пройдет упрощенный
контроль; 2) изделие стандартное, если оно прошло упрощенный
контроль.
Решение. 1. Обозначим события: H1 , H 2  взятое наудачу изделие соответственно стандартное или нестандартное; A  изделие
прошло упрощенный контроль.
По условию
P( H1 )  0,95; P ( H 2 )  0,05; P( A / H1 )  0,98; P( A / H 2 )  0,06.
Вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль, по формуле полной вероятности (129):
P( A)  0,95  0,98  0,05  0,06  0,934 .
2. Вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, стандартное, по формуле Байеса (131):
0,95  0,98
P( H1 / A) 
 0,997 .
0,934
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.1.8. Повторение испытаний. Формула Бернулли
Определение. Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми.
Теорема. Пусть производится n независимых испытаний, в
каждом из которых вероятность появления события A равна p , а
вероятность его непоявления равна q  1  p . Тогда вероятность
того, что событие A произойдет m раз, вычисляется по формуле
Бернулли:
n!
Pn (m)  Cnm p m q n  m 
p m q nm ,
(132)
m!(n  m)!
где m  0, 1, 2,..., n .
Определение. Число m0 наступления события A в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность
появления этого события Pn (m0 ) не меньше вероятности других событий Pn ( m) при любых значениях m , т.е. Pn (m0 )  Pn (m) .
Значение m0 находится из двойного неравенства:
np  q  m0  np  p .
(133)
Следует отметить, что так как np  p  (np  q)  p  q  1, то
всегда существует целое число m0 , удовлетворяющее неравенству
(133). При этом, если np  p  целое число, то наивероятнейших чисел два: m0  np  p и m0  np  q .
Если в каждом из n независимых испытаний вероятности наступления события A разные, то вероятность того, что событие A
наступит m раз, равна коэффициенту при z m многочлена:
( z )  (q1  p1 z )  (q2  p2 z )  ...  (qn  pn z ) .
(134)
Функция ( z ) называется производящей функцией.
Если в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти только одно из событий A1, A2 ,..., Ak с соответствующими вероятностями p1 , p2 ,..., pk , то вероятность того, что в
этих опытах событие A1 появится m1 раз, событие A2  m2 раз, …,
событие Ak  mk раз, равна
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Pn (m1 , m2 ,..., mk ) 
n!
m
p1m1  p2m2  ...  pk k ,
m1 ! m2 !... mk !
где m1  m2  ...  mk  n .
Пример 15. По цели производится четыре выстрела. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти: 1) вероятность того, что в цель попали не менее трех раз; 2) наивероятнейшее
число попаданий и соответствующую ему вероятность.
Решение. 1. Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности четырех попаданий и трех попаданий. Так как выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли (132).
В случае четырех попаданий из четырех возможных n  4, m  4 ,
имеем
P4 (4)  C44 p 4 q 0  p 4  0, 44  0,0256 .
При трех попаданиях n  4, m  3 :
4! 3
p q  4  0, 43  0,6  0,1536 .
3!1!
Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из четырех выстрелов:
P4 (3)  C43 p3q1 
P( A)  P3 (4)  P4 (4)  0,0256  0,1536  0,1792 .
2. Наивероятнейшее число попаданий находим по формуле
(133):
4  0, 4  0,6  m0  4  0, 4  0, 4 или 1  m0  2 .
Так, np  p  2  целое число, то наивероятнейших значений два:
4!
 0, 4  0,63  0,3456 .
m0  1 или m0  2 , при этом P4 (1)  P4 (2) 
1! 3!
Пример 16. Сколько раз необходимо подбросить игральную
кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений шести очков было
равно 10?
1
Решение. В данном случае p  . Из условия (133) следует:
6
1 5
1 1
n    10  n  
или n  5  60  n  1, отсюда находим 59 
6 6
6 6
 n  65 , т.е. необходимо подбросить кость от 59 до 65 раз включительно.
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 17. Производится четыре независимых выстрела по
одной и той же цели с различных расстояний. Вероятности попаданий равны соответственно p1  0,1; p2  0, 2; p3  0,3; p4  0, 4 . Найти вероятности: промаха, одного, двух, трех и четырех попаданий.
Решение. Так как вероятности поражения цели различные, то
находим производящую функцию (134). В данном случае:
( z )  (0,9  0,1z )(0,8  0, 2 z )(0,7  0,3 z )(0,6  0, 4 z ) 
 0,3024  0, 4454 z  0, 2144 z 2  0,0354 z 3  0,0024 z 4 .
Следовательно, вероятность промаха P4 (0)  0,3024 , одного попадания P4 (1)  0, 4454 , двух попаданий P4 (2)  0, 2144 , трех попаданий
P4 (3)  0,0354 и четырех попаданий P4 (4)  0,0024 .
16.1.9. Предельные теоремы в схеме Бернулли
Применение формулы Бернулли при больших значениях n и m
весьма затруднительно, так как это связано с громоздкими вычислениями. Чтобы этого избежать, применяются предельные теоремы, а
именно: теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы МуавраЛапласа.
16.1.10. Теорема Пуассона
Если число испытаний неограниченно увеличивается (n  ) и
вероятность наступления события A в каждом испытании стремится
к нулю ( p  0) , но так, что их произведение является постоянной
величиной, т.е. np   , то вероятность Pn (m) удовлетворяет предельному равенству
 m  e
lim Pn (m) 
.
n 
m!
Из предельного равенства (136) при больших n и малых p
следует формула Пуассона:
 m  e
.
(135)
Pn (m) 
m!
Формулу (135) обычно применяют, когда n  50 и np    10 .
В табл. П.1 приложения приведены значения функции Пуассона
 m  e
.
Pn (m) 
m!
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 18. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке,
составляет 0,02 %. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более трех изделий.
Решение. Вероятность того, что изделие будет повреждено при
транспортировке, равна p  0,0002 . Так как вероятность мала,
n  10 000  велико и   np  10 000  0,0002  2  10 , следует применить формулу Пуассона. Тогда искомая вероятность будет равна
P10000 (m  3)  P10000 (0)  P10000 (1)  P10000 (2)  P10000 (3) 
.
20  e2 21  e 2 22  e2 23  e 2




 0,7572.
0!
1!
2!
3!
16.1.11. Локальная и интегральная
теоремы Муавра–Лапласа
В тех случаях, когда число испытаний n велико, а вероятность p не близка к нулю, для вычисления вероятности Pn (m) применяют теоремы МуавраЛапласа.
Локальная теорема МуавраЛапласа. Если вероятность p
наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Pn (m) может быть вычислена по формуле
1
 ( x),
npq
Pn (m) 
где ( x) 
1
e
2

x2
2
, x
(136)
m  np
.
npq
Для функции ( x) составлены таблицы значений (табл. П.2).
Пользуясь таблицей, следует учитывать, что:
1) функция ( x) четная, т.е. ( x)  ( x) ;
2) при x  4 можно считать, что ( x) = 0.
В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что
в n независимых испытаниях событие A появится не менее k1 и не
более k2 раз, т.е. Pn (k1  m  k2 ) или Pn (k1 , k2 ) , применяют интегральную теорему МуавраЛапласа.
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интегральная теорема МуавраЛапласа. Если вероятность
p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Pn (k1 , k2 ) может быть вычислена
по формуле
Pn (k1 , k2 )   ( x2 )   ( x1 ),
(137)
где x1 
k1  np
k  np
, x2  2
;
npq
npq
 ( x) 
2
x t
e 2
1

2 0
dt 
функция Лапласа (или интеграл вероятностей). При npq  20 формулы (136) и (137) дают незначительную погрешность вычисления
вероятности. Для функции  ( x) составлены таблицы значений
(табл. П.3). Пользуясь таблицей, следует учитывать, что:
1) функция ( x) нечетная, т.е. ( x)  ( x) ;
2) при x  5 можно считать, что  ( x)  0,5 .
Пример 19. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 60 % студентов. Найти вероятность
того, что из 200 студентов работу успешно выполнят:
1) 100 студентов;
2) не менее 100 студентов;
3) от 100 до 130 студентов.
Решение. 1. По условию p  0,6 . Так как n  100 достаточно
велико (условие npq  200  0,6  0, 4  48  20 выполнено), то применяем локальную теорему МуавраЛапласа (136).
100  200  0,6
20
Определим x 

 2,89 , по таблице нахо6,93
48
дим (2,89)  (2,89)  0,0061 . Следовательно, искомая вероятность
1
0,0061
P200 (100) 
 (2,89) 
 0,00088 .
6,93
48
2. Задание «не менее 100 студентов» означает, что успешно выполнивших работу – от 100 до 200 человек. Применим интегральную
теорему МуавраЛапласа (137)
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
P200 (m  100)  P200 (100, 200)   ( x2 )   ( x1 ),
100  200  0,6
200  120
80
 2,89, x2 

 11,54 .
6,93
48
48
Следовательно,
P200 (100, 200)   (11,54)   (2,89)  0,5   (2,89) 
= 0,5 + 0,4981 = 0,9981.
3. P200 (100, 130)   ( x2 )   ( x1 ),
где x1 
100  200  0,6
130  120 10
 2,89, x2 

 1, 44 ;
6,93
48
48
P200 (100, 130)   (1, 44)   (2,89)  0, 4251  0, 4981  0,9232 .
где x1 
16.2. Случайные величины
Определение. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное
значение, причем заранее неизвестно, какое именно.
Случайные величины (сокращенно с.в.) обозначаются прописными латинскими буквами X , Y , Z ,... , а значения, которые они принимают – соответственно малыми буквами x1 , x2 ,..., y1 , y2 ,... .
Случайные величины можно разделить на две категории: дискретные и непрерывные.
Определение. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется такая величина, которая в результате опыта может принимать
определенные значения с определенной вероятностью. Значения
ДСВ образуют счетное множество (множество, элементы которого
могут быть занумерованы).
Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.
Например, количество выстрелов до первого попадания в цель
является дискретной случайной величиной, так как эта величина может принимать как конечное, так и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
Определение. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется такая величина, которая может принимать любые значения из
некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Определение. Соотношение между возможными значениями
случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде
таблицы, или графически.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения и имеет вид:
…
X  xi
x1
x2
xn
pi  P  X  xi 
p1
p2
…
pn
Первая строка таблицы содержит все возможные значения случайной величины X (в порядке возрастания), а вторая  их вероятности. Так как события  X  x1  ,  X  x2  , …,  X  xn  несовместны
и образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равn
на 1, т.е.  pi  1 .
i 1
Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.
Пример 20. Производится четыре независимых испытания, в
каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. Случайная величина X  число появления события A в данных испытаниях. Построить ряд распределения с.в. X .
Решение. Случайная величина X может принимать значения
x1  0 , x2  1, x3  2 , x4  3 и x5  4 . Вероятности этих значений вычислим по формуле Бернулли
pi  P  X  xi   C4i  0, 4i  0,64 i , i  0, 1, 2, 3, 4 :
при i  0 : p0  P  X  0   C40  0, 40  0,64  1 1  0,1296  0,1296 ;
при i  1: p1  P  X  1  C41  0, 41  0,63  4  0, 4  0, 216  0,3456 ;
при i  2 : p2  P  X  2   C42  0, 42  0,62  6  0,16  0,36  0,3456 ;
при i  3 : p3  P  X  3  C43  0, 43  0,61  4  0,064  0,6  0,1536 ;
при i  4 : p4  P  X  4   C44  0, 44  0,60  1  0,0256 1  0,0256 .
В результате получим следующий ряд распределения:
0
1
2
3
4
xi
pi
0,1296
0,3456
0,3456
4
0,1536
0,0256
Проверка:  pi  0,1296  0,3456  0,3456  0,1536  0,0256  1 .
i 1
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.2.1. Функция распределения и ее свойства
Определение. Функцией распределения называется функция
F ( x) , определяющая вероятность того, что случайная величина X в
результате испытания примет значение, меньшее x , т.е.
F ( x)  P( X  x) .
Функцию распределения также называют интегральной функцией.
Функция распределения существует как для непрерывных, так
и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует
случайную величину и является одной из форм закона распределения.
Для дискретной случайной величины функция распределения
имеет вид
F ( x)   P( X  xi ) .
xi  x
Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента x .
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку
[0, 1], т.е. 0  F ( x)  1 .
2. F ( x) – неубывающая функция, т.е. F ( x2 )  F ( x1 ) при x2  x1 .
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице,
т.е. F ()  0, F ()  1 .
4. Вероятность того, что случайная величина примет значение,
заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале
P(a  X  b)  F (b)  F (a) .
5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X
примет одно определенное значение, равна нулю, т.е. P( x  a)  0 .
Следовательно, для непрерывной случайной величины справедливы равенства
P ( a  X  b)  P ( a  X  b)  P ( a  X  b)  P ( a  X  b) .
Пример 21. По условию примера 20 найти функцию распределения F ( x) и построить ее график.
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Будем задавать различные значения x и находить для
них F ( x)  P( X  x) .
Если x  0 , то F ( x)  P ( X  0)  0 .
Если 0  x  1, то F ( x)  P( X  x)  P  X  0   0,1296 .
Если 1  x  2 , то
F ( x)  P  X  0   P  X  1  0,1296  0,3456  0, 4752 .
Если 2  x  3 , то
F ( x)  P  X  0   P  X  1  P  X  2   0, 4752  0,3456  0,8208 .
Если 3  x  4 , то
F ( x)  P  X  0   P  X  1  P  X  2   P  X  3 
 0,8208  0,1536  0,9744 .
Если x  4 , то F ( x)  0,9744  0,0256  1 .
0
0,1296

0, 4752
Итак, F ( x)  
0,8208
0,9744

1
при x  0;
при 0  x  1;
при 1  x  2;
при 2  x  3;
при 3  x  4;
при x  4.
График функции распределения представлен на рис. 28.
F ( x)
1
0,9744
p3
0,8208
p2
0,4752
p1
0,1296
0
1
2
3
Рис. 28
167
4
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как видно из рисунка, функция распределения дискретной случайной величины X есть разрывная функция со скачками pi в точках xi . Ее график имеет ступенчатый вид.
16.2.2. Плотность распределения и ее свойства
Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины,
помимо функции распределения, является плотность распределения
вероятностей.
Определение. Плотностью распределения вероятностей f ( x)
непрерывной случайной величины X называется производная от
функции распределения F ( x) , т.е.
f ( x)  F ( x).
Плотность распределения также называют дифференциальной
функцией. Смысл плотности распределения состоит в том, что она
показывает, как часто появляется случайная величина X в некоторой
окрестности точки х при повторении опытов. График функции
y  f ( x) называется кривой распределения.
После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной
величины.
Определение. Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F ( x) непрерывна на всей оси
ОХ, а плотность распределения f ( x) существует везде, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения – неотрицательная функция, т.е.
f ( x)  0 ;
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на отрезок  a, b  равна определенному интегралу от плотности
распределения, взятому в пределах от a до b , т.е.
b
P (a  X  b)   f ( x)dx .
a
Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу  a, b  , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной
осью ОХ, кривой распределения y  f ( x) и прямыми x  a и x  b
(рис. 29).
168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y
y  f ( x)
P ( a  X  b)
0
a
b
x
Рис. 29
3. Функция распределения может быть выражена через ее плотность распределения по формуле
x
F ( x) 
 f ( x)dx .

4. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от  до  равен единице, т.е.

 f ( x)dx  1.

Пример 22. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью



a
x
x

cos
2
при



,

4
4
f ( x)  

0
при x  .

4
Требуется определить коэффициент а, найти функцию распределения, определить вероятность того, что случайная величина X
 
попадет в интервал  ; 2  .
6 
Решение. 1. Для нахождения коэффициента а воспользуемся
свойством

 f ( x)dx  1 :




f ( x)dx 
 / 4

0dx 

/ 4

a  cos 2 xdx 
 / 4


/ 4
следовательно, a  1 .
169
0dx 
a  sin 2 x  / 4
a,
2
 / 4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Найдем функцию распределения.
x
x

На участке x   : F ( x)   f ( x)dx   0dx  0.
4


На участке 
F ( x) 


x :
4
4
 / 4


На участке x 
F ( x) 
 / 4


x
sin 2 x x
sin 2 x 1
0dx   cos 2 xdx 

 .
2
2
2
 / 4
 / 4

:
4
/ 4
sin 2 x  / 4
0dx   cos 2 xdx   0dx 
 1.
2
 / 4
 / 4
/ 4
x
Таким образом,

при
0

 sin 2 x  1
F ( x)  
при
2


при
1
3. Найдем вероятность попадания
 
тервал  ; 2  :
6 

x ,
4


 x ,
4
4

x .
4
случайной величины в ин-
/4
2
sin 2 x  / 4

 2
P   x  2    f ( x)dx   cos 2 xdx   0dx 

6
2

 /6
/6
/6
/4

1
3

 0,067.
2 4
Ту же самую вероятность можно найти и другим способом:
sin(  / 3)  1 1
3


P   x  2   F (2)  F ( / 6)  1 
 
 0,067.
6
2
2
4


16.2.3. Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или
этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, на170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зываемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти
величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого
группируются значения случайной величины и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных
значений случайной величины на их вероятности, т.е.
n
mx  M ( X )  x1 p1  x2 p2  ...  xn pn   xi pi .
(138)
i 1
Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью f ( x) называется число
M (X ) 

 x  f ( x)dx .
(139)

При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М (С )  С .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M (Cx)  CM ( x) .
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин
равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ) .
4. Математическое ожидание произведения двух независимых
случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M ( XY )  M ( X ) M (Y ) .
Свойства 3, 4 справедливы для произвольного числа случайных
величин.
Однако математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания
надо ввести величину, которая характеризует разброс (отклонение)
значений случайной величины относительно математического ожидания. Это отклонение равно разности между случайной величиной
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и ее математическим ожиданием X  M ( X ) . При этом математическое ожидание отклонения равно нулю M ( X  M ( X ))  0 .
Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D( X )  M  X  M ( X ) .
2
Из определения дисперсии следуют формулы для ее вычисления:
n
 для дискретной с.в. D( X )    xi  M ( X )   pi ;
2
i 1

 для непрерывной с.в. D( X ) 
2
  x  M ( X )   f ( x)dx .
(140)
(141)

На практике дисперсию удобно находить по формуле
2
D( X )  M X 2   M ( X ) .
 
Тогда формулы (140) и (141) принимают вид
n
D( X )   xi2  pi   M ( X ) 
D( X ) 

2
и
(142)
i 1
2
2
 x  f ( x)dx   M ( X ) .

Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(C )  0 .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,
возводя его в квадрат:
D(CX )  C 2 D( X ) .
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D( X  Y )  D( X )  D(Y ) .
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин
равна сумме дисперсий этих величин:
D( X  Y )  D( X )  D(Y ) .
5. Дисперсия с.в. не изменится, если к этой с.в. прибавить или
вычесть постоянную, т.е.
D( X  C )  D( X ) .
6. Если с.в. X и Y независимы, то
2
2
D( XY )  M X 2  M Y 2   M ( X )    M (Y )  .
   
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение. Средним квадратическим отклонением (СКО) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
( X )  D ( X ) .
Пример 23. ДСВ задана рядом распределения (см. пример 20):
xi
0
1
2
3
4
pi
0,1296
0,3456
0,3456
0,1536
0,0256
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Решение. Математическое ожидание случайной величины равно:
M ( X )  0  0,1296  1  0,3456  2  0,3456  3  0,1536  4  0,0256  1,6 .
Дисперсию находим по формуле (142):
D( X )  02  0,1296  12  0,3456  22  0,3456  32  0,1536 
42  0,0256  1,62  0,96
и ( X )  0,96  0,9798 .
Пример 24. Непрерывная случайная величина X задана плот


cos
2
при
,
x
x




4
4
ностью распределения f ( x)  

0
при x 
(пример 22).

4
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение.
M (X ) 

 / 4
/ 4

/ 4


 / 4
/ 4
 / 4
 xf ( x)dx   0dx   x cos 2 xdx   0dx   x cos 2 xdx 
u  x, dv  cos 2 xdx, 
cos 2 x  / 4

 x sin 2 x  / 4  / 4 sin 2 x




 0.
dx
sin 2 x 
 2
2
4
du

dx
,
v

 / 4  / 4
 / 4


2
M (X 2) 



x 2 f ( x)dx 
 / 4

0dx 

/4

x 2 cos 2 xdx 
 / 4
u  x 2 ; dv  cos 2 xdx, 


  x 2 cos 2 xdx  
sin 2 x  
 / 4
du  2 xdx; v 

2 

/4
173

 0dx 
/ 4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x 2 sin 2 x  / 4  / 4

  x sin 2 xdx 
2
 / 4  / 4
u  x; sin 2 xdx  dv, 

 2 x cos 2 x  / 4  / 4 cos 2 x


 
dx 
cos 2 x  
16
2
2



du
dx
v
;
 / 4  / 4

2 
2 sin 2 x  / 4 2 1



  0,1163.
16
4  / 4 16 2
D( X )  M ( X 2 )   M ( X )   0,1163  0  0,1163.
2
Определение. Модой M 0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум:
f ( M 0 )  max.
Если мода единственна, то распределение с.в. называется унимодальным, в противном случае – полимодальным.
Определение. Медианой MD непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины:
1
P( X  M D )  P( X  M D )  .
2
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь,
ограниченная кривой распределения, делится пополам.
Отметим, что если распределение унимодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.
16.3. Основные законы распределения случайных
величин
16.3.1. Биномиальное распределение
Определение. Дискретная случайная величина X имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 0, 1, 2,…,
…, m ,…, n с вероятностями
(143)
P( X  m)  Cnm p m q n  m ,
где 0  p  1, q  1  p, m  0,1,2,..., n .
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из формулы (143) видно, что вероятности P( X  m) находятся
по формуле Бернулли. Следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа наступлений
X  m события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p .
Ряд распределения биномиального закона имеет вид:
xi
0
1
2
…
m
…
n
pi
qn
Cn1 pq n 1
Cn2 p 2 q n  2
…
Cnm p m q n  m
…
pn
Теорема. Математическое ожидание случайной величины X ,
распределенной по биномиальному закону, равно произведению числа
испытаний на вероятность появления события в каждом испытании, а ее дисперсия равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании, т.е.
M ( X )  np, D( X )  npq .
(144)
Пример 25. Завод выпускает 96 % изделий первого сорта и 4 %
изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть X –
число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
Решение. Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия
первого сорта одинакова и равна р = 0,96.
Таким образом, закон распределения может считаться биномиальным. Следовательно, по формулам (144)
M ( X )  np  1000  0,96  960;
D( X )  npq  1000  0,96  0,04  38, 4 .
Пример 26. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события А в двух независимых испытаниях,
если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что M ( x)  0,9 .
Решение. Так как случайная величина Х распределена по биномиальному закону, то M ( X )  np  2 p  0,9  p  0, 45;
D( X )  npq  2 p(1  p )  2  0, 45  0,55  0, 495.
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.3.2. Распределение Пуассона
Определение. Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2,…, m ,…
с вероятностями
 m 
P ( X  m) 
e ,
m!
где m  0, 1, 2,...
Ряд распределения закона Пуассона имеет следующий вид:
xi
0
1
2
…
m
…
pi
e
e
 2 
e
2!
…
 m 
e
m!
…
Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины X , распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру  этого закона, т.е.
M ( X )  , D ( X )   .
16.3.3. Геометрическое распределение
Определение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2,…,
…, m ,… (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями
P( X  m)  pq m 1 ,
где 0  p  1, q  1  p, m  1, 2,...
Ряд геометрического распределения с.в. X имеет следующий
вид:
xi
pi
1
p
2
pq
3
…
m
…
pq 2
…
pq m 1
…
Случайная величина X  m , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведенных по
схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события A в каждом испытании до первого появления этого события. После появления события A испытания прекращаются.
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема. Математическое ожидание случайной величины X ,
имеющей геометрическое распределение с параметром p , равно
1
q
M ( X )  , а дисперсия D( X )  2 .
p
p
Пример 27. Проводится проверка большой партии деталей до
обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей,
найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что
вероятность брака для каждой детали равна 0,1.
Решение. Случайная величина X  число проверенных деталей
до обнаружения бракованной, имеет геометрическое распределение с
параметром p  0,1. Поэтому ряд распределения имеет следующий
вид:
1
2
3
4
…
…
xi
m
pi
0,1
0,09
M (X ) 
0,081
0,0729
…
0,1  0,9m 1
…
1
1
q
0,9

 10 , D( X )  2  2  90 .
p 0,1
p
0,1
16.3.4. Равномерное распределение
Определение. Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна
нулю, т.е.
0, x  a,

f ( x)  C , a  x  b,
0, x  b.

1
Постоянная величина C 
может быть определена из усba
ловия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения (рис. 30).
f ( x)
1
ba
0
S 1 1
a
b
Рис. 30
177
x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, плотность равномерно распределенной на отрезке [a, b] непрерывной случайной величины равна
 1

f ( x)   b  a
0
при x  [a, b],
при x  [a, b].
Функция распределения равномерно распределенной с.в. X
имеет вид
при x  a,
0
xa

F ( x)  
при a  x  b,

b
a

при x  b.
1
График функции распределения представлен на рис. 31.
F ( x)
1
a
0
b
x
Рис. 31
Определим математическое ожидание и дисперсию случайной
величины, подчиненной равномерному закону распределения:
x
x2 b a  b
M ( X )   xf ( x)dx  
dx 

.
b
a
b
a

2(

)
2
a
a
a
b
 
M X
2
b
x2
x3 b b3  a3 b 2  ab  a 2
  x f ( x) dx  
dx 


.
b

a
b

a
b

a
3(
)
3(
)
3
a
a
a
b
b
2
    M ( X )
D( X )  M X
2
2
b 2  ab  a 2 a 2  2ab  b 2



3
4
b 2  2ab  a 2 (b  a ) 2


.
12
12
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ba
.
2 3
Итак, для равномерно распределенной на [a, b] с.в. X :
 x  Dx 
ab
(b  a ) 2
ba
, D( X ) 
, ( X ) 
.
M (X ) 
2
12
2 3
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [, ] , целиком расположенный внутри [a, b] , равна


dx

.


b
a
b
a

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся: время ожидания пассажирами транспорта, курсирующего с определенным интервалом; ошибка округления числа до
целого (она равномерно распределена на отрезке [0,5; 0,5]). Для того, чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного
распределения, необходимо иметь значения, лежащими внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения
этой случайной величины должны быть равновероятными.
P(  X  )  
16.3.5. Показательный закон распределения
Определение. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид
при x  0,
0
f ( x)   x
при x  0,
e
где   положительное число  параметр распределения.
Функция распределения
при x  0,
0
F ( x)  
x
при x  0.
1  e
Кривая распределения y  f ( x) и график функции распределения F ( x) с.в. X приведены на рис. 32 и 33.
Числовые характеристики случайной величины, распределенной по показательному закону, равны
1
1
1
M ( X )  ; D( X )  2 ;  x  .



179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F ( x)
f ( x)

1
Рис. 33
Рис. 32
Вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал равна
P(a  x  b)  F (b)  F (a )  e a  eb .
Показательное распределение широко используется в теории
массового обслуживания и теории надежности.
Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент
времени t0  0 , а через какое-то время t происходит отказ устройства. Обозначим через Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства.
Таким образом, функция распределения F (t )  P(T  t ) определяет вероятность отказа за время длительностью t.
Вероятность противоположного события (безотказная работа в
течение времени t) равна R (t )  P (T  t )  1  P(T  t ) .
Определение. Функцией надежности R(t ) называется функция,
определяющая вероятность безотказной работы устройства в течение
времени t.
Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределения.
Функция надежности для какого-либо устройства при показательном законе распределения равна:
R (t )  1  F (t )  e t .
Данное соотношение называют показательным законом надежности.
Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t.
180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, безотказная работа устройства зависит только
от интенсивности отказов  и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом.
Так как подобным свойством обладает только показательный
закон распределения, то этот факт позволяет определить, является ли
закон распределения случайной величины показательным.
16.3.6. Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения (закон Гаусса) занимает центральное место в теории вероятностей. Главная особенность закона
Гаусса состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются при определенных условиях другие законы распределения. Нормальный закон наиболее часто применяется на практике.
Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается
плотностью вероятности

( x  a )2
1
2
e 2 .
 2
Тот факт, что с.в. X имеет нормальное распределение с параметрами a и , сокращенно записывается так: X  N (a, ) .
Можно легко показать, что параметры a и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины X , т.е.
M ( X )  a, D ( X )   2 .
Функция распределения
f ( x) 
x
1
e
 2 
где  ( x)  функция Лапласа.
F ( x) 

( x  a )2
22
 xa
dx  0,5   
,
  
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой, или кривой Гаусса.
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1. Функция определена на всей числовой оси.
2. При всех х функция распределения принимает только положительные значения.
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, так как при неограниченном возрастании по
абсолютной величине аргумента х значение функции стремится
к нулю.
1
.
4. В точке x  a функция имеет максимум, равный
 2
5. Функция является симметричной относительно прямой
x  a , так как разность ( x  a) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
6. При x  a   и x  a   функция имеет перегиб. В этих
1
точках значение функции равно
.
 2e
График функции плотности распределения имеет вид, показанный на рис. 34.
f ( x)
1
 2
1
 2e
a
a
a
x
Рис. 34
На рис. 35 изображены нормальные кривые при a  0 и трех
возможных значениях среднего квадратичного отклонения  = 1,
 = 0,5 и  = 1,5. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.
Если a  0 , то график сместится в положительном направлении, если a  0 – в отрицательном.
При a  0 и  = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой
182
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

x2
2 .
1
e
2
Вероятность попадания случайной величины, распределенной
по нормальному закону, на заданный интервал (, ) находится по
формуле
a
a
(145)


P(  X  )  F ()  F ()   


.
  
  
( x) 
f ( x)
  0,5
 1
  1,5
x
Рис. 35
Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины :
aa
aa
P( X  a  )   
  








  

    
(146)
  2   .

  

Если принять  = 3, то получаем с использованием таблиц
значений функции Лапласа:
P( X  a  3)  2 (3)  2  0, 49865  0,9973 .
То есть вероятность того, что случайная величина отклонится
от своего математического ожидания на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.
Это правило называется правилом трех сигм.
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На практике считается, что если для какой-либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина
имеет нормальное распределение.
Пример 28. Нормально распределенная случайная величина Х
задана своими параметрами: a  2 – математическое ожидание и
 = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности с.в. X ; найти вероятность того, что X примет значение из интервала (0; 3); найти вероятность того, что X отклонится
(по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.
Решение. Плотность распределения имеет вид
( x  2)2
1  2
f ( x) 
e
.
2
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 3):
 3 2 
02
P(0  X  3)   
  
   (1)   (2) 
1
1




 0,3413  0, 4773  0,8186.
Найдем вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2:

2
P( X  2  2)  2    2    2 (2)  0,9545.

1
Пример 29. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с
математическим ожиданием а = 65 т и средним квадратичным отклонением  = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более
6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.
Решение. Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (10065 = 6500) не превосходит
6600 – 6500 = 100 т.
Так как масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.
Получаем:
 100 
P( X  6500  100)  2 
  2 (1,11)  2  0,3665  0,733 .
 100 
184
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.4. Предельные теоремы теории вероятностей
Предельные теоремы устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин
при большом числе испытаний над ними. Они составляют основу
математической статистики. Первая группа теорем, называемая законом больших чисел, устанавливает устойчивость средних значений:
при большом числе испытаний их средний результат перестает быть
случайным и может быть предсказан с достаточной точностью. Вторая группа теорем, называемая центральной предельной теоремой,
устанавливает условия, при которых закон распределения суммы
большого числа случайных величин неограниченно приближается к
нормальному.
16.4.1. Неравенство Чебышева
Теорема. Если случайная величина X имеет математическое
ожидание M ( X )  a и дисперсию D( X ) , то для любого   0 справедливо неравенство Чебышева:
D( X )
P  X  a    2 .

Неравенство Чебышева можно записать в другой форме:
D( X )
(147)
P  X  a    1 2 .

Если случайная величина X имеет биномиальное распределение с M ( X )  np и дисперсией D( X )  npq , то неравенство имеет
вид
npq
P  X  np     1  2 .

m
в n независиДля относительной частоты события P* ( A) 
n
мых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью p , неравенство Чебышева принимает вид
m

pq
(148)
P   p     1 2 .
n
 n

Пример 30. Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 3000 кВт/ч, а дисперсия составляет 2500. Оценить
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в
этом населенном пункте будет от 2500 до 3500 кВт/ч.
Решение. Требуется найти вероятность попадания случайной
величины в заданный интервал, т.е. P(2500  X  3500) . Заметим,
что крайние значения интервала отклоняются от математического
ожидания на одну и ту же величину, а именно – на 500. Тогда можно
записать с учетом неравенства Чебышева (147):
D( X )
P(2500  X  3500)  P ( X  3000  500)  1 
.
5002
Отсюда получаем:
2500
P  1
 0,99 ,
250 000
т.е. искомая вероятность будет не меньше, чем 0,99.
Пример 31. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в 10 000 испытаниях отклонение относительной
частоты появления события А от его вероятности не превзойдет по
абсолютной величине 0,01.
Решение. В данном случае n  10 000 , p  0,3 и   0,01 . Приpq
0,3  0,7
2100
меним формулу (148), в которой


 0, 21 .
n 2 10 000  0,012 10 000
Получим
m

2100
P   p     P ( m  np  n)  P( m  3000  100)  1 

n
10
000


 1  0, 21  0,79.
Пример 32. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96, можно было ожидать, что абсолютная
величина отклонения относительной частоты годных деталей от вероятности детали быть годной, равной 0,98, не превысит 0,02.
Решение. Условие задачи фактически означает, что выполняется неравенство:
 n

P   0,98  0,02   0,96 .
m

Здесь n  число годных деталей; m  число проверенных деталей.
Преобразуем полученное выражение и применим формулу (148):
186
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
P( n  0,98m  0,02m)  1 
mpq
 0,02m 
2
 0,96 .
Таким образом, получаем неравенство 0,96  1 
которого следует
mpq
(0,02m)2
mpq
(0,02m)2
, из
 1  0,96  0,04 ;
m  0,98  0,02  0,04  (0,02m)2 ;
0,98  0,02
m
;
m  1225 ,
0,04  0,0004
т.е. для выполнения требуемых условий необходимо не менее 1225
деталей.
16.4.2. Теорема Чебышева
Теорема. Если случайные величины X1 , X 2 , ..., X n независимы и
существует такое число C  0 , что D( X i )  C , i  1, 2,..., n , то для
любого   0
1 n

1 n
lim P   X i   M ( X i )     1,
n   n i 1
n i 1

т.е. среднее арифметическое этих случайных величин сходится по
вероятности к среднему арифметическому их математических
ожиданий:
1 n
1 n
P
X


 i n
 P( X i ) .
n i 1
n i 1
Следствие. Если случайные величины X1 , X 2 , ..., X n независи-
мы и одинаково распределены с M ( X i )  a и D( X i )  2 , то для любого   0
1 n

lim P   X i  a     1 ,
n   n i 1

т.е. среднее арифметическое этих случайных величин сходится по
вероятности к математическому ожиданию:
1 n
P
a.
 X i 
n 
n i 1
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.4.3. Теорема Бернулли
Теорема. Если вероятность появления события A в одном испытании равна p , число наступлений этого события при n независимых испытаниях равно m , то для любого числа  имеет место
равенство
m

lim P   p     1 ,
n   n

т.е. относительная частота события P* ( A) сходится по вероятности к вероятности события A :
P
P* ( A) 
 P( A) .
n 
16.4.4. Центральная предельная теорема Ляпунова
Теорема. Если случайные величины X1 , X 2 , ..., X n  независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение с
математическими ожиданиями M ( X i ) и дисперсиями i2 , то при
неограниченном увеличении n закон распределения их суммы
n
Y   X i неограниченно приближается к нормальному.
i 1
   M (Y ) 
   M (Y ) 
 
В таком случае P    Y      

,

(
Y
)

(
Y
)




n
n
i 1
i 1
где M (Y )   M ( X i ) , (Y )  D(Y )   i2 .
188
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 11
Теория вероятностей
571–590. Решить задачи.
571. В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них
выделено 3 премии. Определить вероятность того, что премию получат: 1) двое мужчин и одна женщина; 2) только женщины; 3) хотя бы
один мужчина.
572. В двух партиях 90 % и 80 % доброкачественных изделий
соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой
партии. Какова вероятность обнаружить из них: 1) два бракованных
изделия; 2) одно доброкачественное и одно бракованное изделие?
573. В ящике 6 новых и 4 старых инструмента. Рабочему сразу
выдали 2 инструмента. Какова вероятность того, что оба выданных
инструмента новые?
574. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами,
причем первый контролер проверяет 55 % изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй – 0,02. Взятое наудачу изделие,
маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти
вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.
575. Из 15 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,9;
6 – с вероятностью 0,8; 3 – с вероятностью 0,7 и 1 – с вероятностью
0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не
попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал стрелок?
576. В первой урне 3 белых и 7 черных шаров, во второй –
5 белых и 2 черных. Из первой урны во вторую переложили 2 шара,
затем из второй урны извлекли 1 шар. Найти вероятность того, что
выбранный из второй урны шар – черный.
577. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в
соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные
изделия составляют 90 %, второй – 85 %, третьей – 75 %. Найти вероятность того, что: 1) приобретенное изделие окажется нестандартным; 2) приобретенное изделие окажется стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?
578. Имеется 3 урны. В первой из них 5 белых и 6 черных шаров, во второй 4 белых и 3 черных шара, в третьей 5 белых и 3 черных шара. Некто наугад выбирает одну из урн и вынимает из нее
шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар
вынут из второй урны.
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
579. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем
второе выпускает 55 % изделий обоих предприятий. Вероятность
выпуска нестандартного изделия первым предприятием равна 0,1,
вторым – 0,15. 1) Определить вероятность того, что взятое наудачу
изделие окажется нестандартным. 2) Взятое изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность, что оно выпущено на втором
предприятии?
580. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех
узлов, каждый из которых независимо от других может за это время
выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор
из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна 0,9, второго – 0,95, третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t прибор выйдет из строя.
581. Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не
менее трех.
582. Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены каждого узла равна 0,8. Узлы выходят
из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за
смену откажут: 1) два узла; 2) не менее двух узлов.
583. В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой
страховой суммы: 1) три договора; 2) менее двух договоров.
584. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки «А», равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник
потребуется: 1) не менее чем двум покупателям; 2) не более чем трем
покупателям; 3) всем четырем покупателям.
585. Предполагается, что 10 % открывающихся новых малых
предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова
вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в
течение года прекратят свою деятельность?
586. Книга издана тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность
того, что книга будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002.
Найти вероятность того, что тираж содержит менее 5 бракованных
книг.
587. При обследовании уставных фондов банков установлено,
что пятая часть банков имеют уставный фонд свыше 100 млн руб.
190
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставный
фонд свыше 100 млн руб.: 1) не менее 300; 2) от 300 до 400 банков
включительно.
588. В новом микрорайоне поставлено 10 000 кодовых замков
на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка
в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц
откажут два, три или пять замков.
589. Известно, что в среднем 60 % изготавливаемых заводом
телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему
равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется:
1) 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов;
2) 120 аппаратов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов?
590. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность
повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того,
что при транспортировке будет повреждено: 1) ровно три изделия;
2) более трех изделий.
591–600. Дан ряд распределения случайной величины X. Построить график функции распределения, найти: p7 , математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
591.
592.
593.
594.
595.
X
p
X
p
X
p
X
p
X
p
1
3
4
6
7
9
0,05
0,1
0,2
0,4
0,1
0,1
2
5
7
10
12
14
0,1
0,2
0,3
0,1
0,1
0,1
1
2
4
5
7
8
0,1
0,3
0,2
0,1
0,12
0,1
2
1
0
1
2
3
0,1
0,1
0,2
0,3
0,2
0,04
0
1
2
3
4
5
0,2
0,2
0,3
0,15
0,04
0,01
191
11
p7
15
p7
10
p7
5
p7
7
p7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
596.
597.
598.
599.
600.
X
p
X
p
X
p
X
p
X
p
3
1
2
3
5
8
0,2
0,26
0,3
0,1
0,04
0,01
4
2
0
2
4
6
0,1
0,1
0,2
0,3
0,2
0,04
2
1
0
1
2
3
0,1
0,1
0,2
0,2
0,15
0,15
2
5
7
10
12
14
0,1
0,2
0,3
0,1
0,1
0,1
1
2
5
6
7
8
0,1
0,3
0,2
0,1
0,12
0,1
10
p7
8
p7
4
p7
15
p7
11
p7
601–610. Случайная величина Х задается функцией распределения F ( x) . Найти f ( x), M ( X ), D( X ), P (  X  ) .
при x  0,
0

1
601. F ( x)  3 x 2  2 х при 0  x  1/ 3,   1,   .
6
1
при x  1/ 3.

при x  0,
0
 2
x  x
при 0  x  2,
602. F ( x)  
  1,   1,5.
6

при x  2.
1

при x  0,
0
 2
x
при 0  x  3,   1,   1,75.
603. F ( x)  
9

при x  3.
1

при x  0,
0
 2
1
 2x  x
при 0  x  2,   0,   .
604. F ( x)  
2
 10
при x  2.
1

192
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при x  0,
0

605. F ( x)   2sin х при 0  x   6,
1
при x   6.

0

606. F ( x)   2cos х
1


  0,   .
4
при x    2,
при
  2  x    3,
при x    3.
при x  0,
0
 x( x  2)

607. F ( x)  
при 0  x  3,
15

при x  3.
1

   ,   0.
6
  0,   1.
при x  0,
0
 2
1
 2 x  3x
при 0  x  1,
608. F ( x)  
  0,   .
2
5

при x  1.
1

при x  0,
0
 2
1
 x  2х
  1,   .
609. F ( x)  
при 0  x  1,
3
 3
при x  1.
1

при x  0,
0

1
x

  0,   .
при 0  x  1/ 2,
610. F ( x)  3 x 2 
4
2

при x  1/ 2.
1
611–615. Случайные величины X и Y независимы. С.в. X
распределена равномерно на отрезке [a, b] , с.в. Y имеет математиче-
ское ожидание M (Y )  m и дисперсию D(Y )  2 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z  2 X  3Y  5 .
611. a  1; b  3; m  2;   0,5.
612. a  1; b  2; m  2;   0,7.
613. a  1; b  4; m  2;   1,5.
614. a  2; b  3; m  1;   0,5.
615. a  1; b  5; m  2;   0,3.
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
616–620. Случайные величины X и Y независимы. С.в. X
имеет биномиальное распределение с параметрами n (число проведенных испытаний) и p (вероятность появления события A в каждом
испытании); с.в. Y имеет математическое ожидание M (Y )  m и дис-
персию D(Y )  2 . Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины Z  3 X  2Y  4 .
616. n  120; p  0,7; m  2;   0,5.
617. n  130; p  0,6; m  2;   0,3.
618. n  150; p  0,8; m  1;   0, 4.
619. n  220; p  0,7; m  2;   0,9.
620. n  200; p  0,6; m  2;   0,7.
621–630. Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием а и средним
квадратическим отклонением . Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью
p попадает значение с.в. X .
621. а  10;   5;
p  0,5.
622. а  1;   8;
p  0,9.
623. а  2;   4;
p  0,82.
624. а  3;   2;
625. а  8;   4;
p  0,8.
626. а  3;   2;
p  0,64.
p  0,98.
627. а  2;   5;
p  0,78.
628. а  7;   3;
p  0,56.
629. а  1;   2;
p  0,6.
630. а  6;   3;
p  0,84.
631–640. Решить задачи.
631. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность
того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 700 и 740, если вероятность того, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,9. Уточнить вероятность того
же события с помощью интегральной теоремы Муавра–Лапласа.
632. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность
того, что из 2450 ламп, освещающих улицу, к концу года будет гореть от 1440 до 1500 ламп. Считать, что каждая лампа будет гореть в
течение года с вероятностью 0,6. Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра–Лапласа.
633. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,3. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того,
что в результате 500 выстрелов промахов окажется от 330 до 370.
194
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной
теоремы Муавра–Лапласа.
634. При установившемся технологическом процессе производится 97 % изделий первого сорта и 3 % изделий второго сорта. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди
2000 наугад взятых изделий не менее 30 и не более 90 окажутся второго сорта. Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра – Лапласа.
635. Было посажено 400 деревьев. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 280, но меньше 360, если вероятность того, что отдельное
дерево приживется, равна 0,8. Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра–Лапласа.
636. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность
того, что число мальчиков среди 1000 новорожденных больше 480,
но меньше 540 (вероятность рождения мальчика принять равной
0,51). Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра–Лапласа.
637. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность
того, что в партии из 100 изделий число изделий высшего сорта заключено между 65 и 95, если вероятность того, что изделие высшего
сорта, равна 0,8. Уточнить вероятность того же события с помощью
интегральной теоремы Муавра–Лапласа.
638. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
равна 0,6. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность
того, что в результате 500 выстрелов промахов окажется от 270
до 330. Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра – Лапласа.
639. Вероятность рождения мальчика 0,515. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число мальчиков
среди 400 новорожденных больше 200, но меньше 212. Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра–Лапласа.
640. Было посажено 500 деревьев. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число прижившихся деревьев заключено между 310 и 390, если вероятность того, что отдельное
дерево приживется, равна 0,7. Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра–Лапласа.
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рекомендации к решению задач
контрольной работы № 11
571–580. Задачи на непосредственный подсчет вероятностей и
на применение основных теорем: теорем сложения и умножения вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса (124)–(131).
Рассмотрите примеры 1–14, см. тему 16.
581–590. Задачи на повторение испытаний: формулу Бернулли,
Пуассона, локальную и интегральную теоремы Муавра–Лапласа,
см. формулы (132)–(137). Рассмотрите примеры 15–19, см. тему 16.
591–610. Задачи на нахождение законов распределения и числовых характеристик дискретных и непрерывных случайных величин. Рассмотрите примеры 20–24, см. тему 16.
611–620. Задачи на свойства математического ожидания и
дисперсии независимых случайных величин.
Случайные величины X и Y независимы. С.в. X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 160 и p = 0,25. С.в. Y
распределена равномерно на отрезке [1, 5] . Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Z  2 X  3Y  10 .
Решение. В силу независимости случайных величин X и Y и
свойств математического ожидания и дисперсии имеет место равенство
M ( Z )  M (2 X  3Y  10)  M (2 X )  M (3Y )  M (10) 
 2M ( X )  3M (Y )  10;
D( Z )  D (2 X  3Y  10)  D(2 X )  D(3Y )  D (10) 
 4 D( X )  9 D (Y );
где M ( X )  np  160  0, 25  40 , D( X )  npq  160  0, 25  0,75  30 ,
a  b 1  5
(b  a) 2 (5  1) 2
M (Y ) 

 2 , D (Y ) 

 3.
12
12
2
2
Следовательно,
M ( Z )  2M ( X )  3M (Y )  10  2  40  3  2  10  84 и
D( Z )  4 D( X )  9 D(Y )  4  30  9  3  147 .
621–630. Воспользуйтесь формулами (145) и (146), и рассмотрите примеры 28 и 29 в теме 16.
196
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заключение
В данном учебном пособии Вы ознакомились с кратким содержанием основных разделов курса высшей математики; с решением
типовых задач, встречающихся в контрольных работах. Информация,
данная в учебном пособии, будет полезна при сдаче зачетов и экзаменов.
Авторы надеются, что пособие даст хорошую базу для теоретического изучения всех разделов математики, будет интересным для
широкого круга читателей, занимающихся вопросами прикладной
математики.
197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
1. Баврин, И. И. Высшая математика / И. И. Баврин, В. Л. Матросов. – М. : Владос-пресс, 2004.
2. Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – М. : Наука, 1973.
3. Ефимов, Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. – М. : Наука, 1975.
4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н. Ш. Кремер. – М. : ЮНИТИ, 2001.
5. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления /
Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1976. – Т. 1.  1978. – Т. 2.
6. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике /
Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2007.  Ч. 1, 2.
7. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей,
математической статистике и случайным процессам / Д. Т. Письменный. –
М. : Айрис-пресс, 2010.
8. Шнейдер, В. Е. Краткий курс высшей математики / В. Е. Шнейдер, А. И. Слуцкий, А. С. Шумов. – М. : Высш. шк., 1978. – Т. 1, 2.
9. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах /
П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1999. –
Ч. 1, 2.
198
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение
Таблица П.1
Значения функции Пуассона Pn ( m ) =
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
m λ
e ,  = np
m!

0,1
0,9048
0,0905
0,0045
0,0002
0,0000
0,2
0,8187
0,1638
0,0164
0,0011
0,0001
0,0000
0,3
0,7408
0,2222
0,0333
0,0033
0,0003
0,0000
0,4
0,6703
0,2681
0,0536
0,0072
0,0007
0,0001
0,0000
0,5
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
0,0000
0,6
0,5488
0,3293
0,0988
0,0198
0,0030
0,0004
0,0001
0,0000
0,7
0,4966
0,3476
0,1217
0,0284
0,0050
0,0007
0,0001
0,0000
0,8
0,4493
0,3595
0,1438
0,0383
0,0077
0,0012
0,0002
0,0000
0,9
0,4066
0,3659
0,1647
0,0494
0,0111
0,0020
0,0003
0,0000
1,0
0,3679
0,3679
0,1839
0,0613
0,0153
0,0031
0,0005
0,0001
0,0000
Продолжение табл. П.1
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

2,0
0,1353
0,2707
0,2707
0,1805
0,0902
0,0361
0,0120
0,0034
0,0009
0,0002
0,0000
3,0
0,0498
0,1494
0,2240
0,2240
0,1681
0,1008
0,0504
0,0216
0,0081
0,0027
0,0008
0,0002
0,0001
0,0000
4,0
0,0183
0,0733
0,1415
0,1954
0,1954
0,1563
0,1042
0,0595
0,0298
0,0132
0,0053
0,0019
0,0006
0,0002
0,0001
0,0000
5,0
0,0067
0,0337
0,0842
0,1404
0,1755
0,1755
0,1462
0,1044
0,0643
0,0363
0,0181
0,0082
0,0034
0,0013
0,0005
0,0002
0,0000
6,0
0,0025
0,0149
0,0446
0,0892
0,1339
0,1606
0,1606
0,1377
0,1033
0,0688
0,0413
0,0225
0,0113
0,0052
0,0022
0,0009
0,0003
0,0001
0,0000
199
7,0
0,0009
0,0064
0,0223
0,0521
0,0912
0,1277
0,1490
0,1490
0,1304
0,1014
0,0710
0,0452
0,0264
0,0142
0,0071
0,0033
0,0015
0,0006
0,0002
0,0001
0,0000
8,0
0,0003
0,0027
0,0107
0,0286
0,0572
0,0916
0,1221
0,1396
0,1396
0,1241
0,0993
0,0722
0,0481
0,0296
0,0169
0,0090
0,0045
0,0021
0,0009
0,0004
0,0002
0,0001
0,0000
9,0
0,0001
0,0011
0,0050
0,0150
0,0337
0,0607
0,0911
0,1171
0,1318
0,1318
0,1186
0,0970
0,0728
0,0504
0,0324
0,0194
0,0109
0,0058
0,0029
0,0014
0,0006
0,0003
0,0001
0,0000
10,0
0,0001
0,0005
0,0023
0,0076
0,0189
0,0378
0,0631
0,0901
0,1126
0,1251
0,1251
0,1137
0,0948
0,0729
0,0521
0,0347
0,0217
0,0128
0,0071
0,0037
0,0019
0,0009
0,0004
0,0002
0,0001
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица П.2
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
1
Значения функции ( x ) =
e
2
Сотые доли x
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0044
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2974
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
2
3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2950
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
200
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0197
0154
0119
0091
0069
0051
0038
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
x2
2
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
1
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
2
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
Сотые доли x
4
5
0029 0028
0021 0020
0015 0015
0011 0010
0008 0007
0005 0005
0004 0004
0003 0002
0002 0002
Окончание табл. П.2
6
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
7
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
8
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
9
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
Таблица П.3
t2
Значения функции Φ( x ) =
1 x -2
 e dt
2 0
x
( x)
x
 ( x)
x
 ( x)
x
( x)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,0000
0,0040
0,0080
0,0112
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0754
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,2454
0,2486
0,2518
0,2549
0,2580
0,2612
0,2642
0,2673
0,2704
0,2754
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2996
0,3023
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0.4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
3,34
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x
( x)
x
 ( x)
x
( x)
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
0,3051
0,3079
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3553
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1.70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4430
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
202
Продолжение табл. П.3
x
 ( x)
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,10
3,20
3,30
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0.4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49903
0,49931
0,49952
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x
( x)
x
( x)
x
 ( x)
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2258
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
203
Окочнание табл. П.3
x
( x)
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
4,50
5,00
6,00
0,49966
0,49977
0,49984
0,49989
0,499928
0,49995
0,499968
0,499997
0,49999997
0,5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 11. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных.......................................................................................... 3
Контрольная работа № 6. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных......................................................................................... 14
Решение типового варианта контрольной работы № 6....................................... 18
Тема 12. Дифференциальные уравнения.............................................................. 23
Контрольная работа № 7. Дифференциальные уравнения ................................ 45
Решение типового варианта контрольной работы № 7....................................... 49
Тема 13. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы ...................... 55
Контрольная работа № 8. Кратные, криволинейные
и поверхностные интегралы ................................................................................ 75
Решение типового варианта контрольной работы № 8 ...................................... 79
Тема 14. Числовые и функциональные ряды.......................................................89
Контрольная работа № 9. Ряды ......................................................................... 109
Решение типового варианта контрольной работы № 9 ................................... 112
Тема 15. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление ................................................................................. 117
Контрольная работа № 10. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление ................................................................................. 133
Решение типового варианта контрольной работы № 10.................................. 136
Тема 16. Теория вероятностей .......................................................................... 143
Контрольная работа № 11. Теория вероятностей ............................................ 189
Рекомендации к решению задач контрольной работы № 11........................... 196
Заключение........................................................................................................... 197
Список литературы.............................................................................................. 198
Приложение ......................................................................................................... 199
204
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Романова Людмила Дмитриевна,
Ланцова Валентина Александровна,
Романова Елена Геннадьевна,
Шаркунова Татьяна Алексеевна
Высшая математика
Под редакцией И. В. Бойкова
В двух частях
Часть 2
Редактор Т. В. Ведеенева
Корректор Ж. А. Лубенцова
Компьютерная верстка М. Б. Жучковой
Подписано в печать 24.04.12.
Формат 60841/16. Усл. печ. л. 11,97.
Тираж 500. Заказ № 373.
Издательство ПГУ.
440026, Пенза, Красная, 40.
Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.ru
205
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
80
Размер файла
1 476 Кб
Теги
1633
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа