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4035.Mass und Integrationstheorie 003 .pdf

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Maß- und Integrationstheorie
Prof. R. Lasser
(WS 2003/04)
1
Inhaltsverzeichnis
1 Mengensysteme, Mengenfunktionen
3
2 Äußere Maße
11
3 Meßbare Abbildungen
17
4 Definition des Integrals
22
5 Konvergenzsätze I
32
6 Lp –Räume
35
2
1
Mengensysteme, Mengenfunktionen
Ω bezeichnet im folgenden eine nichtleere Menge. A, B, C, S usw. sind Teilmengen der
Potenzmenge P(Ω) von Ω.
Definition 1.1 C ⊆ P(Ω) heißt Ring, falls
(i) ∅ ∈ C.
(ii) Sind A, B ∈ C, so ist A ∪ B ∈ C und A \ B ∈ C.
Ein Ring C heißt Algebra, falls zusätzlich
(iii) Ω ∈ C.
Bemerkung: Da A ∩ B = A \ (A \ B), ist mit A, B ∈ C (C ein Ring) auch A ∩ B ∈ C.
Definition 1.2 S ⊆ P(Ω) heißt Semiring, falls
(i) ∅ ∈ S.
(ii) Sind A, B ∈ S, so ist A ∩ B ∈ S.
(iii) Sind A, B ∈ S mit A ⊆ B, so existieren Ai ∈ S, i=0,...,m mit A = A0 ⊆ A1 .... ⊆
Am = B und Ai \ Ai−1 ∈ S, i=1,...,m.
Ein Semiring S heisst Semialgebra, falls zusätzlich
(iv) Ω ∈ S.
Beispiele:
(1) Eine Teilmenge A ⊆ Rn heißt Quader, falls
A = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn : ai ≤ xi < bi , i = 1, ..., n}
mit −∞ ≤ ai ≤ bi ≤ ∞. Sind A1 , A2 Quader, so ist A1 ∩ A2 wieder ein Quader, aber
A1 ∪ A2 und A1 \ A2 nicht notwendigerweise. Es gilt: Die Menge S aller Quader ist
eine Semialgebra.
(2) Eine Teilmenge A ⊆ Rn heißt elementar, falls A endliche disjunkte Vereinigung
von Quadern ist, d.h.
A=
k
[
Ai ,
Ai ∩ Aj = ∅ für i 6= j, Ai Quader, i ∈ {1, ..., k}
i=1
Die Menge S aller elementaren Mengen im Rn ist eine Algebra. Es ist die kleinste
Algebra, die die Menge aller Quader enthält, vgl. Lemma (1.4).
3
(3) Betrachtet man endliche Quader, so erhält man einen Semiring bzw. Ring in (1)
bzw. (2).
Definition 1.3 Eine
S Algebra (Ring) A ⊆ P(Ω) heißt σ–Algebra (σ–Ring), falls für An ∈
A, n ∈ N, gilt daß n∈N An ∈ A.
Bemerkung: Die Menge aller Elementarmengen im
Rn ist keine σ–Algebra.
Ist F irgendein Mengensystem in P(Ω), so bezeichne S(F), C(F) bzw. σ(F) den kleinsten
Semiring (Semialgebra), den kleinsten Ring (Algebra) bzw. den kleinsten σ–Ring (σ–
Algebra), der F enthält. Die Existenz folgt leicht. S(F), C(F) bzw. σ(F) heißen jeweils
der F erzeugende Semiring (Semialgebra), Ring (Algebra) bzw. σ–Ring (σ–Algebra).
Lemma 1.4 Ist S ein Semiring (Semialgebra), so ist
( n
)
[
S+ :=
Ai : n ∈ N, Ai ∈ S, i = 1, ..., n = C(S).
i=1
Beweis: Es gilt S ⊆ S+ ⊆ C(S). Es ist zu zeigen: S+ ist ein Ring (Algebra). S+ ist
∪–abgeschlossen. Bleibt zu zeigen, daß mit A, B ∈ S+ auch A \ B ∈ S+ ist. Ist A, B ∈ S,
so ist auch A ∩ B ∈ S und es existieren Ai ∈ S, i=0,...,m, mit
A ∩ B = A0 ⊆ A1 ⊆ ... ⊆ Am = A und Ai \ Ai−1 ∈ S, i = 1, ..., m.
Damit gilt:
A \ B = A \ (A ∩ B) =
m
[
Ai \ Ai−1 , also A \ B ∈ S+ .
i=1
Mit S ist auch S+ ∩–stabil. Damit gilt für A =
Bi ∈ S:
A\B =
m
[
Aj \
j=1
n
[
!
Bi
=
i=1
Sm
j=1
m \
n
[
Aj , Aj ∈ S und B =
Sn
i=1
Bi ,
(Aj \ Bi ) ∈ S+ .
j=1 i=1
Sei nun F irgendein Mengensystem mit ∅ ∈ F. Bilde
F1 := {A ∈ P(Ω) : A ∈ F oder Ω \ A ∈ F}
(n
)
\
und F2 :=
Ai : n ∈ N, Ai ∈ F1 , i = 1, ..., n .
i=1
Es gilt: F2 ist eine Semialgebra. Der Nachweis dazu ist recht einfach. Ist nämlich
B ∈ F1 , so auch Ω \ B ∈ F1 ; also
T mit A, B ∈ F1 gilt AT\n B = A ∩ (Ω \ B) ∈ F2 , da F2
∩–stabil ist. Ist schließlich A = m
j=1 Aj ∈ F2 und B =
i=1 Bi ∈ F2 mit B ⊆ A, so setze
C1 = A ∩
n
\
i=1
Bi , C2 = A ∩
n
\
Bi , ..., Cn = A ∩ Bn , Cn+1 = A.
i=2
4
Dann gilt B = C1 ⊆ C2 ⊆ .. ⊆ Cn ⊆ Cn+1 = A; C1 , ...Cn+1 ∈ F2 und
C2 \ C1 = A ∩
n
\
(Bi \ B1 ) ∈ F2 , da Bi \ B1 ∈ F2
i=2
C3 \ C2 = A ∩
n
\
(Bi \ B2 ) ∈ F2 , ..., Cn+1 \ Cn = A \ Bn ∈ F2 .
i=3
Damit folgt nun
Satz 1.5 Ist F irgendein Mengensystem in P(Ω) und bildet man F2 wie oben, so ist F2+
gleich der von F erzeugten Algebra C(F).
Beweis: Mit Lemma 1.4 muß nur noch angemerkt werden, daß C(F2 ) = C(F) gilt. Dies
ist klar mit: C(F) ⊆ C(F2 ), da F ⊆ F2 ; und umgekehrt folgt aus F2 ⊆ C(F) auch
C(F2 ) ⊆ C(C(F)) = C(F).
Korollar 1.6 Mit F ⊆ P(Ω) abzählbar ist auch C(F) abzählbar.
Einige einfache Beispiele sind folgende: Sei Ω eine unendliche Menge.
(1) Ist A ⊆ Ω, so ist {∅, A} ein Ring, und für A 6= Ω keine Algebra. {∅, A, Ω \ A, Ω} ist
eine Algebra.
(2) C = {A ⊆ Ω: A endlich } ist ein Ring, und keine Algebra (da Ω unendlich ist).
(3) C = {A ⊆ Ω: A abzählbar} ist ein Ring, und eine Algebra falls Ω abzählbar ist.
Sei O = {U ⊆ Rn : U offen} ist kein Ring (da U1 \ U2 i.a. nicht offen ist, falls U1 , U2 ∈
O). Wir werden über sog. Borel’sche Mengen in diesem Zusammenhang noch wichtige
Eigenschaften studieren.
Wir wollen nun Mengenfunktionen (d.h. Funktionen auf Mengensystemen) untersuchen.
Definition 1.7 Sei F ⊆ P(Ω) und ∅ ∈ F. Eine Funktion µ : F → R := R ∪ {∞} heißt:
(i) positiv, falls µ(∅) = 0 und µ(A) ≥ 0 für alle A ∈ F.
(ii) monoton, falls µ(A) ≤ µ(B) für alle A, B ∈ F mit A ⊆ B.
S
P
(iii) S
additiv, falls µ( ni=1 Ai ) = ni=1 µ(Ai ) für alle Ai ∈ F, mit Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j und
n
i=1 Ai ∈ F.
S
P
S
(iv) subadditiv, falls µ( ni=1 Ai ) ≤ ni=1 µ(Ai ) für alle Ai ∈ F mit ni=1 Ai ∈ F.
(v) σ–additiv, falls µ positiv ist und
!
∞
∞
[
X
µ
Ai =
µ(Ai ) für alle Ai ∈ F, i ∈ N, Ai ∩ Aj = ∅
i=1
für i 6= j und
gleich ”∞”).
S∞
i=1
i=1
Ai ∈ F gilt. (dabei konvergiert die numerische Reihe oder ist
5
Definition 1.8 Sei C ein Ring, µ : C → R ∪ {∞}.
(i) Ist µ positiv und additiv, so heißt µ ein Inhalt.
(ii) Ist µ positiv und σ–additiv, so heißt µ ein Prämaß.
Ist µ ein Prämaß definiert auf einer σ–Algebra A, so heißt µ ein Maß.
Folgende Eigenschaften eines Inhalts gelten:
Lemma 1.9 Sei C ein Ring und µ : C → R ∪ {∞} ein Inhalt. Dann gelten:
(a) µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B) für A, B ∈ C.
(b) µ ist monoton.
(c) Für A, B ∈ C, A ⊆ B, µ(A) < ∞ gilt
µ(B \ A) = µ(B) \ µ(A)
(Subtraktivität)
P
S
(d) µ( ni=1 Ai ) ≤ ni=1 µ(Ai ) für Ai ∈ C (Subadditivität).
Folgendes Resultat ist von großer Wichigkeit.
Satz 1.10 Sei C ein Ring und µ : C →
schaften:
R ∪ {∞}
ein Inhalt. Betrachte folgende Eigen-
(a) µ ist ein Prämaß.
(b) µ ist stetig von unten (D.h. sind A1 , A2 , ... ∈ C mit A1 ⊆ A2 ⊆ ... und A =
C, so ist limn→∞ µ(An ) = µ(A).)
S∞
i=1
Ai ∈
T
(c) µ ist stetig von oben (D.h. Sind A1 , A2 , ... ∈ C mit A1 ⊇ A2 ⊇ ... und A = ∞
i=1 Ai ∈
C, sowie µ(An ) < ∞ für alle n ∈ N, so ist limn→∞ µ(An ) = 0.)
T
(d) µ ist stetig in ∅ (D.h. Sind A1 , A2 , ... ∈ C mit A1 ⊇ A2 ⊇ ... und ∞
i=1 Ai = ∅, sowie
µ(An ) < ∞ für alle n ∈ N, so ist limn→∞ µ(An ) = 0.
Es gelten die folgenden Implikationen: (a) ⇔ (b) ⇒ (c) ⇒ (d). Ist µ endlich, (d.h.
µ(A) < ∞ für alle A ∈ C), so sind (a) bis (d) äquivalent.
Beweis: (a) ⇒ (b) : Setze A0 = ∅ und Bn = An \ AS
n−1 f ür n = 1, 2, 3, .... Die Bn sind
paarweise disjunkt, An = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn und A = ∞
n=1 Bn . Mit der σ–Additivität von
µ gilt:
∞
n
X
X
µ(A) =
µ(Bm ) = lim
µ(Bm ) = lim µ(An ).
m=1
n→∞
6
m=1
n→∞
S∞
Sn
(b) ⇒ (a) : Seien An ∈ C, paarweise
disjunkt
und
A
∈
C.
Setze
B
=
n
n
n=1
k=1 Ak . Es
S
S∞
gilt: Bn ∈ C, B1 ⊆ B2 ⊆... und ∞
B
=
A
∈
C.
n=1 n
n=1 n
Mit Voraussetzung (b) gilt:
µ
∞
[
!
An
= lim µ(Bn ).
n→∞
n=1
S
P∞
Da µ(Bn ) = µ(A1 ) + ... + µ(An ) ist, folgt µ( ∞
A
)
=
n
n=1
n=1 µ(An ).
(b) ⇒ (c) : Aus A1 ⊇ A2 ⊇... folgt A1 \ A2 ⊆ A1 \ A3 ⊇... Da µ(A1 \ An ) = µ(A1 ) − µ(An )
folgt mit (b)
!
!
∞
∞
\
[
µ A1 \
An = µ
(A1 \ An ) = lim µ(A1 \ An ) = µ(A1 ) − lim µ(An )
n=1
n→∞
n=1
n→∞
T
T∞
Da auch µ( ∞
n=1 An ) < ∞ ist, folgt mit der Subtraktivität µ( n=1 An ) = limn→∞ µ(An ).
(c) ⇒ (d) Gilt trivialerweise
Sei Snun µ endlich vorausgesetzt. Wir zeigen (d) ⇒ (b). Sei A1 ⊆ A2 ⊆ ...., An ∈
C, ∞
m=1 Am ∈ C. Dann gilt
!
∞
∞
∞
∞
[
[
\
[
Am \ A1 ⊇
Am \ A2 ⊇ ... und
Am \ An = ∅.
m=1
m=1
n=1
m=1
S∞
S∞
S
Mit (d) gilt limn→∞ µ(( ∞
m=1 Am ) \ An ) = 0. Mit µ(( m=1 Am ) \ An ) = µ( m=1 Am ) −
µ(An ) folgt (b).
Folgende Begriffe helfen bei der Feststellung, ob eine σ–Algebra vorliegt und sind besonders nützlich bei Fortsetzungssätzen von Prämaßen (vgl. Kapitel 2).
Definition 1.11 D ⊆ P(Ω) heißt Dynkin–System, falls
(i) Ω ∈ D.
(ii) Sind D, E ∈ D, D ⊆ E, so ist E \ D ∈ D.
(iii) Sind D1 , D2 , . . . paarweise disjunkte Mengen aus D, so ist
S∞
n=1
Dn ∈ D.
Satz 1.12 Sei D ⊆ P(Ω). Es sind äquivalent:
(1) D ist eine σ–Algebra.
(2) D ist ein Dynkin–System, und mit D, E ∈ D ist D ∩ E ∈ D.
Beweis: (1) ⇒ (2) gilt trivialerweise.
(2) ⇒ (1): Mit Ω ∈ D gilt auch ∅ = Ω \ Ω ∈ D. Ist A ∈ D, so ist auch Ω \ A ∈ D. Sind
nun A, B ∈ D, so ist A ∩ B ∈ D mit Voraussetzung (2) also A ∪ B = A ∪ (B \ A ∩ B) ∈ D,
7
da A ∩ (B \ A ∩ B) = ∅. Außerdem ist A \ B ∈ D. Wir haben also gezeigt, daß D eine
Algebra ist. Seien nun A1 , A2 , ... ∈ D gegeben. Setze B0 = ∅, Bn = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ∈ D.
Dann gilt Dn = Bn \ Bn−1 ∈ D und die Dn sind paarweise disjunkt, sowie
∞
[
n=1
An =
∞
[
Bn \ Bn−1 =
n=1
∞
[
Dn ∈ D.
n=1
Ähnlich wie vorher bezeichnen wir zu einem beliebigen Mengensystem F das kleinste
Dynkin–System, das F enthält, mit D(F).
Satz 1.13 Sei F ein ∩–stabiles Mengensystem in P(Ω) (d.h. mit E, F ∈ F ist E ∩ F ∈
F). Dann gilt:
D(F) = σ(F).
Beweis: Jede σ–Algebra ist ein Dynkin–System. Folglich ist D(F) ⊆ σ(F). Wir zeigen
nun, daß D(F) eine σ–Algebra ist, woraus σ(F) ⊆ D(F) folgt. Mit Satz 1.12 reicht es zu
zeigen, daß D(F) ∩–stabil ist. Setze hierzu für ein D ∈ D(F):
DD = {A ∈ P(Ω) : A ∩ D ∈ D(F)}.
DD ist ein Dynkin–System. Da Ω ∩ D = D ∈ D(F), ist Ω ∈ DD . Sind A, B ∈ DD mit
A ⊆ B, so sind A ∩ D, B ∩ D ∈ D(F), also (B \ A) ∩ D = (B ∩ D) \ (A ∩ D) ∈ D(F), d.h.
B \ A ∈SDD . Sind
mit Ai ∩ D ∈ D(F) i=1,2,...,
schließlich
S∞
T∞ A1 , A2 , ... paarweise disjunkt
∞
so ist
i=1 Ai ∈ DD . Für jedes E ∈ F folgt
i=1 Ai ∩ D =
i=1 (Ai ∩ D) ∈ D(F), d.h.
mit der ∩–Stabilität von F, daß F ⊆ DE , also D(F) ⊆ DE . Für jedes D ∈ D(F) und
E ∈ F, ist somit (wegen D ∈ D(F) ⊆ DE ): D ∩ E ∈ D(F). Anders interpretiert heißt das
E ∈ DD , also F ⊆ DD für jedes D ∈ D(F). Folglich ist D(F) ⊆ DD für jedes D ∈ D(F).
Das ist aber exakt die ∩–Stabilität von D(F).
Nach diesem kurzen Einschub zu Dynkin–Systemen kehren wir zu Inhalten und Prämaßen
zurück.
Sei Ω abzählbar unendlich C = {A ⊆ Ω : A endlich oder Ω \ A endlich }. C ist eine
Algebra. Setze
(
0
für A endlich
µ(A) =
∞
für Ω \ A endlich.
µ ist ein Inhalt, aber kein Prämaß, obwohl µ in ∅ stetig ist. Dies zeigt, daß man für die
Äquivalenzaussage in Satz 1.10 auf die Endlichkeit des Inhalts µ nicht verzichten kann.
Betrachten wir nun den interessantesten Fall Ω = Rn . Im folgenden lassen wir nur endliche
Quader zu, d.h. wir untersuchen
[a, b[:= {(x1 , ...xn ) ∈ Rn : ai ≤ xi < bi , i = 1, ..., n}
mit a = (a1 , ..., an ), b = (b1 , ..., bn ) und −∞ < ai ≤ bi < ∞. Die Menge aller endlichen
Quader bildet einen Semiring J n . Die Menge aller endlichen Vereinigungen über endliche
8
Quader bildet einen Ring F n . Es gilt F n = C(J n ) und jedes Element aus F n (Elementarmenge) läßt sich als Vereinigung disjunkter endlicher Quader schreiben. Einem endlichen
Quader ordnen wir einen Elementarinhalt zu durch
λ([a, b[) := (b1 − a1 )(b2 − a2 )...(bn − an )
Satz 1.14 Auf F n existiert genau ein Inhalt λ : F n → R derart, daß für alle endlichen
Quader [a, b[ gilt:
λ([a, b[) = (b1 − a1 )(b2 − a2 )...(bn − an ).
Beweis:
(1) Zerlegt man A = [a, b[, a = (a1 , ..., an ), b = (b1 , ..., bn ) durch die Hyperebene xi0 = γ;
i0 = {1, ..., n}, ai0 ≤ γ ≤ bi0 in zwei disjunkte Quader A1 = [a, b̃[, A2 = [ã, b[ mit
ã = (a1 , ..., γ, ...an ) (γ in der i0 –ten Komponente), b̃ = (b1 , ..., γ, ..., bn ) (γ in der
i0 –ten Komponente), so gilt mit dem Distributiv–Gesetz für reelle Zahlen:
λ(A1 ) + λ(A2 ) = λ(A).
(2) Zerlegt man A = [a, b[ mittels Hyperebenen wie in (1) in k paarweise disjunkte
Quader A1 , ..., Ak so gilt
λ(A1 ) + ... + λ(Ak ) = λ(A).
(3) Seien nun A1 , ..., Am ∈ J n paarweise disjunkt und
Sm
j=1
Aj ∈ J n , so gilt ebenfalls
λ(A1 ) + ... + λ(Am ) = λ(A).
Dies folgt mit (2), indem man A mit allen Hyperebenen xj = aj,i und xj = bj,i ,
i = 1, ..., n; j = 1, ..., m zerschneidet, wobei Aj = [aj , bj [, aj = (aj,1 , ..., aj,n ), bj =
(bj,1 , ..., bj,n ) bezeichnet. Dann zerfällt A in paarweise disjunkte Quader Ã1 , ..., Ãk ∈
J n (k≤ nm). Nun ist (2) anwendbar, und man erhält λ(A1 ) + ...λ(Am ) = λ(A).
S
n
(4) Für A = F n , A = m
j=1 Aj , Aj ∈ J , Aj paarweise disjunkt definiere
λ(A) := λ(A1 ) + ... + λ(Am ).
Falls gezeigt ist, daß λ wohldefiniert ist, folgt, daß λ ein Inhalt ist und bereits durch
ihre Werte auf J n festgelegt ist. Wohldefiniert heißt dabei folgendes: Ist
A = A1 ∪ ... ∪ Am = B1 ∪ ... ∪ Bk ,
n
jeweils P
A1 , ..., Am ∈ JP
paarweise disjunkt, und B1 , ..., Bk ∈SJ n paarweise disjunkt
m
so gilt i=1 λ(Ai ) = kj=1 λ(Bj ). Nun gilt Ai = Ai ∩ A = kj=1 (Aj ∩ Bj ) und die
Aj ∩ Bj , j = 1, ..., k sind paarweise disjunkte Quader. Mit (3) gilt:
λ(Ai ) =
k
X
λ(Aj ∩ Bj ),
j=1
9
i = 1, ..., m.
Genauso erhält man
λ(Bj ) =
m
X
λ(Ai ∩ Bj ),
j = 1, ..., k.
i=1
Summation über j und i ergibt
m
X
i=1
λ(Ai ) =
m X
k
X
λ(Aj ∩ Bj ) =
i=1 j=1
k X
m
X
λ(Ai ∩ Bj ) =
j=1 i=1
k
X
λ(Bj ).
j=1
Satz 1.15 Der auf F n definierte Inhalt λ (gemäß Satz(1.14)) ist ein Prämaß.
Beweis: Mit Satz 1.10 reicht es, zu zeigen, daß λ stetig T
in ∅ ist. Man beachte, daß λ endlich
ist. Seien also A1 , A2 , ... ∈ F n mit A1 ⊇ A2 ⊇ ... und ∞
m=1 Am = ∅. Wir nehmen an, daß
δ := lim λ(Am ) > 0
m→∞
ist. Verkleinern der einzelnen Quader, aus denen die Am gebildet werden zeigt, daß Bm ∈
F n mit Bm ⊆ Am (Bm =Abschluß von Bm ) und
λ(Am ) − λ(Bm ) ≤ 2−m δ
existieren. Setze nun Cm = B1 ∩ ... ∩ Bm . Dann gilt Cm ∈ F n , Cm ⊇ Cm+1 und Cm ⊆
Bm ⊆ Am . Die Am sind beschränkte
Mengen,
T∞
T∞ also die Cm kompakt. Wir zeigen nun, daß
alle Cm 6= ∅. Dann folgt ∅ =
6
m=1 Cm ⊆
m=1 Am mit der Kompaktheit der Cm . Dies ist
ein Widerspruch zur Annahme. Nun gilt
λ(Cm ) ≥ λ(Am ) − δ(1 − 2−m )
für alle m ∈ N
(?).
(?) beweisen wir mit Induktion. Für m = 1 gilt
λ(C1 ) = λ(B1 ) ≥ λ(A1 ) − 2−1 δ = λ(A1 ) − δ(1 − 2−1 ).
Gelte (?) für m. Dann erhält man
λ(Cm+1 ) = λ(Cm ∩ Bm+1 ) = λ(Cm ) + λ(Bm+1 ) − λ(Bm+1 ∪ Cm ).
Nun gilt weiter λ(Bm+1 ) ≥ λ(Am+1 ) − 2−(m+1) δ, und mit Bm+1 ∪ Cm ⊆ Am+1 ∪ Am = Am
gilt auch λ(Bm+1 ∪ Cm ) ≤ λ(Am ). Mit der Induktionsvoraussetzung folgt:
λ(Cm+1 ) ≥ λ(Am ) − δ(1 − 2−m ) + λ(Am+1 ) − 2−(m+1) δ − λ(Am )
= λ(Am+1 ) − δ(1 − 2−(m+1) ).
Also ist (?) gezeigt. Da λ(Am ) ≥ δ, folgt aus (?)
λ(Cm ) ≥ δ2−m > 0.
Also ist Cm 6= ∅ für alle m ∈ N, was zu zeigen war.
Definition 1.16 Das auf F n definierte Prämaß λ (vgl. Satz 1.14, Satz 1.15) heißt das
(n–dimensionale) Lebesguesche Prämaß.
10
2
Äußere Maße
Ziel dieses Paragraphen ist es ein Prämaß µ auf einem Ring C auf gewisse σ–Algebren σ
mit σ ⊇ C zu einem Maß µ̃ fortzusetzen, d.h. µ̃|C = µ.
Definition 2.1 (i) Eine Mengenfunktion µ? : P(Ω) → R ∪ {∞} heißt äußeres Maß,
falls µ? (∅) = 0, µ? monoton und σ–subadditiv ist(d.h.:
!
∞
∞
[
X
?
µ
Ai ≤
µ? (Ai ) für alle Folgen A1 , A2 , ... ∈ P(Ω) .
i=1
i=1
(ii) Zu einem äußeren Maß µ? : P(Ω) → R ∪{∞} heißt eine Menge A ⊆ Ω µ? –meßbar,
falls
µ? (E) = µ? (E ∩ A) + µ? (E ∩ (Ω \ A)) für alle E ∈ P(Ω)
gilt. Die Menge aller µ? –meßbaren Mengen wird mit σµ? bezeichnet.
Satz 2.2 (Carathéodory) Sei µ? : P(Ω) → R ∪ {∞} ein äußeres Maß. Es gilt:
(a) σµ? ist eine σ–Algebra.
(b) µ? |σµ? , die Einschränkung von µ? auf σµ? , ist σ–additiv.
(c) Ist A ⊆ Ω mit µ? (A) = 0, so ist A ∈ σµ? .
Beweis:
(1) Aus der definierenden Gleichung für σµ? folgt: A ∈ σµ? ⇔ Ω \ A ∈ σµ? . Ist nun
µ? (A) = 0, so gilt für alle E ⊆ Ω :
0 ≤ µ? (A ∩ E) ≤ µ? (A) = 0
und deshalb mit der Monotonie und µ? (E ∩ A) = 0
µ? (E) ≥ µ? (E ∩ (Ω \ A)) + µ? (E ∩ A).
Mit der σ–Subadditivität gilt umgekehrt:
µ? (E) ≤ µ? (E ∩ (Ω \ A)) + µ? (E ∩ A).
Zusammen folgt A ∈ σµ? und (c) ist gezeigt. Insbesondere ist ∅ ∈ σµ? und dann
auch Ω ∈ σµ? . (Anmerkung: Es kann vorkommen, daß nur ∅, Ω ∈ σµ? gilt.)
(2) Wir zeigen nun, daß aus A, B ∈ σµ? auch A \ B ∈ σµ? folgt. Für E ⊆ Ω gilt nämlich
µ? (E) =
=
=
≥
µ? (E ∩ A) + µ? (E ∩ (Ω \ A))
µ? ((E ∩ A) ∩ B) + µ? ((E ∩ A) ∩ Ω \ B) + µ? (E ∩ (Ω \ A))
µ? (E ∩ (A \ B)) + [µ? (E ∩ A ∩ B) + µ? (E ∩ (Ω \ A))]
µ? (E ∩ (A \ B)) + µ? (E ∩ (Ω \ (A \ B))).
11
Die letzte Ungleichung folgt dabei aus
E ∩ (Ω \ (A \ B)) = E ∩ (B ∪ (Ω \ A)) = E ∩ (Ω \ A) ∪ (E ∩ B)
= E ∩ (Ω \ A) ∪ (E ∩ B ∩ A)
und der σ–Subadditivität:
µ? (E ∩ (Ω \ (A \ B))) ≤ µ? (E ∩ B ∩ A) + µ? (E ∩ (Ω \ A)).
Umgekehrt gilt auch wegen der σ–Subadditivität
µ? (E) ≤ µ? (E ∩ (A \ B)) + µ? (E ∩ (Ω \ (A \ B))),
also A \ B ∈ σµ? .
(3) Wir zeigen nun, daß mit An ∈ σµ? , n ∈ N, paarweise disjunkt, auch A =
σµ? gilt, und µ? |σµ? σ–additiv ist. Für E ⊆ Ω gilt
S∞
i=1
An ∈
µ? (E) = µ? (E ∩ A1 ) + µ? (E ∩ (Ω \ A1 ))
= µ? (E ∩ A1 ) + µ? (E ∩ (Ω \ A1 ) ∩ A2 ) + µ? (E ∩ (Ω \ A1 ) ∩ (Ω \ A2 ))
= µ? (E ∩ A1 ) + µ? (E ∩ A2 ) + µ? (E ∩ (Ω \ (A1 ∪ A2 ))),
da A2 ⊆ Ω \ A1 . (A1 ∩ A2 = ∅) Fährt man so fort, erhält man
!!
n
n
X
[
?
?
?
µ (E) =
µ (E ∩ Ai ) + µ E ∩ Ω \
Ai
≥
i=1
n
X
i=1
µ? (E ∩ Ai ) + µ? (E ∩ (Ω \ A))
da A ⊇
i=1
n
[
Ai .
i=1
Mit n → ∞ und der σ–Subadditivität gilt
?
µ (E) ≥
∞
X
µ? (E ∩ Ai ) + µ? (E ∩ (Ω \ A)) ≥ µ? (E ∩ A) + µ? (E ∩ (Ω \ A)).
i=1
Da die entgegengesetzte Ungleichung immer gilt, hat man A =
Weiter hat man eben gezeigt:
?
µ (E) =
∞
X
S∞
i=1
Ai ∈ σµ? .
µ? (E ∩ Ai ) + µ? (E ∩ (Ω \ A)).
i=1
Setzt man speziell E = E ∩ A so erhält man
!
∞
∞
[
X
?
µ E∩
Ai =
µ? (E ∩ Ai ).
i=1
(?)
i=1
Setzt man E = Ω, so folgt die σ–Additivität von µ? |σµ? .
(4) BleibtSzu zeigen, daß mit Bn ∈ σµ? (nicht notwendigerweise paarweise disjunkt)
auch ∞
i=1 Bn ∈ σµ? gilt. Mit B1 ∪ B2 = B1 ∪ (B2 \ B1 ) und B1 ∈ σµ? , B2 \ B1 ∈ σµ?
(wegen (2)) ist B1 ∪ B2 ∈ σµ? , also σµ? eine Algebra. Setze schließlich
!
n−1
[
A1 = B1 , An = Bn \
Bi .
i=1
12
Es gilt An ∈ σµ? , An sind paarweise disjunkt. Mit (3) folgt
∞
[
∞
[
Bn =
n=1
An ∈ σµ? .
n=1
Definition 2.3 Sei F ⊆ P(Ω) ein beliebiges Mengensystem mit ∅ ∈ F und α : F →
R ∪ {∞} eine positive Mengenfunktion. (D.h. α(∅) = 0, α(A) ≥ 0 für A ∈ F.) Für
A ∈ P(Ω) bezeichne
(∞
)
∞
X
[
µ? (A) := inf
α(Ai ) : B =
Ai , B ∈ F σ , B ⊇ A
i=1
wobei
i=1
(
Fσ :=
B ∈ P(Ω) : B =
∞
[
)
An , An ∈ F für alle n ∈ N .
i=1
(Dabei setze inf{∅} = ∞, d.h. µ? (A) = ∞, falls kein B ∈ Fσ existiert mit A ⊆ B).
µ? heißt das von (α, F) erzeugte äußere Maß.
Der folgende Satz rechtfertigt die Bezeichnung äußeres Maß für µ? aus Definition 2.3.
Satz 2.4 (Carathéodory, Hopf ) Sei α : F → R ∪ {∞} und µ? : P(Ω) → R ∪ {∞} wie in
Definition 2.3. Dann gelten:
(a) µ? ist ein äußeres Maß, welches
µ? (A) = inf{µ? (B) : B ∈ Fσ , B ⊇ A}
erfüllt. (Letztere Eigenschaft heißt auch äußere Regularität.)
(b) Ist F als Ring vorausgesetzt, und ist α : F → R ∪ {∞} additiv, dann gilt F ⊆ σµ?
(vergleiche Satz 2.2). Weiter gilt µ? |F = α genau dann, wenn α σ–additiv auf F
ist.
Beweis:
(a) Um zu zeigen, daß µ? ein äußeres Maß ist, reicht es zu zeigen, daß µ? σ–subadditiv ist
(Monotonie folgt aus der Definition, Positivität
P∞ ?ist klar). Seien An ∈ P(Ω), n ∈ N.
Ist µ? (An ) = ∞
für
ein
n
∈
N
,
so
gilt
i=1 µ (An ) = ∞ einerseits und mit der
S∞
?
Monotonie µ ( n=1 An ) = ∞ andererseits.
S
Sei also µ? (An ) < ∞ für alle n ∈SN, und bezeichne A = ∞
n=1 An . Zu ε > 0 und
∞
n ∈ N gibt es Bn,i ∈ F mit An ⊆ i=1 Bn,i und
∞
X
α(Bn,i ) −
i=1
13
ε
≤ µ? (An ).
n
2
Dann gilt mit A =
?
µ (A) ≤
S∞
n=1
An ⊆
∞ X
∞
X
S∞ S∞
n=1
α(Bn,i ) ≤
n=1 i=1
i=1
Bn,i :
∞ X
n=1
∞
ε X ?
µ (An ) + ε
µ (An ) + n =
2
n=1
?
Da ε > 0 beliebig war, folgt die σ–Subadditivität. Zu zeigen bleibt in (a) die Regularität von außen. Sei A ∈ P(Ω). Existiert kein B ∈ Fσ mit A ⊆ B, so ist µ? (A) = ∞
und inf{µ? (B) : B ∈ Fσ , A ⊆ B} = inf{∅} = ∞. Sei also vorausgesetzt, daß ein
B ∈ Fσ mit A ⊆ B existiert. Ist wieder µ? (A) = ∞, so ist erst recht µ? (B) = ∞,
und die äußere Regularität auch hier gezeigt. Ist schließlich
µ? (A) < ∞, so existiert
S∞
zu ε > 0 eine Folge (Bn )n∈N , Bn ∈ F mit A ⊆ B := n=1 Bn und
?
µ (A) + ε ≥
∞
X
α(Bn ) ≥ µ? (B) mit der Definition von µ? (B).
n=1
Da aber µ? (A) ≤ inf{µ? (C) : C ∈ Fσ , A ⊆ C} ≤ µ? (B) folgt (ε > 0 beliebig)
µ? (A) = inf{µ? (C) : C ∈ Fσ , A ⊆ C}
(b) Sei F nun ein Ring. Sei A ∈ F. Um zu zeigen, daß A ∈ σµ? , reicht es zu zeigen
(vergleiche Satz 2.2)
µ? (E) ≥ µ? (E ∩ A) + µ? (E ∩ (Ω \ A)) für alle E ∈ P(Ω)
?
Ist µ? (E) = ∞, so
S∞ist nichts zu zeigen. Sei also µ (E) < ∞. Zu ε > 0 existieren
En ∈ F mit E ⊆ n=1 En und
µ? (E) + ε ≥
∞
X
α(En ).
n=1
S∞
Da E ∩ A ⊆ n=1 En ∩ A, E ∩ (Ω \ A) ⊆
En ∩ (Ω \ A) ∈ F (F ist ein Ring), folgt
?
?
µ (E ∩ A) + µ (E ∩ (Ω \ A)) ≤
S∞
∞
X
n=1
En ∩ (Ω \ A) und En ∩ A ∈ F,
(α(En ∩ A) + α(En ∩ (Ω \ A))
n=1
=
∞
X
α(En ) ≤ µ? (E) + ε.
n=1
Da ε > 0 beliebig war, folgt A ∈ σµ? . Damit ist F ⊆ σµ? gezeigt. Da σµ? eine
σ–Algebra ist, folgt Fσ ⊆ σµ? . Ist nun µ? |F = α, so ist α σ–additiv, da µ? |σµ?
σ–additiv ist (vergleiche
Satz 2.2(b)). Ist umgekehrt
S
P∞α σ–additiv auf F, d.h. sind
An ∈ F und A = ∞
A
∈
F,
so
gilt
α(A)
≤
n=1 n
n=1 α(An ) (aus σ–additiv folgt
σ–subadditiv.) Insbesondere gilt mit der Monotonie von α
α(A) ⊆
∞
X
α(Bn )
für alle Bn ∈ F, A ⊆
n=1
∞
[
Bn
n=1
und damit α(A) ≤ µ? (A). Offensichtlich gilt für A ∈ F immer µ? (A) ≤ α(A) (Setze
A1 = A und An = ∅ für alle n ∈ N n ≥ 2 bei der Infimum–Bildung). Zusammen
gilt: µ? |F = α.
14
Definition 2.5 Sei C ein Ring. Ein Inhalt µ heißt σ –endlich,
S falls eine Folge von Mengen An ∈ C existiert mit µ(An ) < ∞ für alle n ∈ N und Ω = ∞
n=1 An .
Es gilt:
Satz 2.6 Sei C ein Ring, und bezeichne σ(C) die von C erzeugte σ–Algebra. Sei ferner
µ : C → R ∪ {∞} ein Prämaß auf C. Dann existiert ein Maß µ̃ : σ(C) → R ∪ {∞} mit
µ̃|C = µ. (µ̃ heißt Fortsetzung von µ.) Ist µ σ–endlich, so ist die Fortsetzung eindeutig
bestimmt.
Beweis: Bezeichne zu (µ, C) µ? das erzeugte äußere Maß. Mit Satz 2.4(b) gilt σ(C) ⊆ σµ? .
Setze µ̃ := µ|σ(C). Da µ? |σµ? ein Maß ist, ist µ̃ ebenfalls ein Maß. Mit Satz 2.4(b) gilt
µ̃|C = µ? |C = µ.
Bleibt die Eindeutigkeitsaussage zu zeigen. Sei µ σ–endlich und µ1 , µ2 seien zwei Maße
auf σ(C) mit µ1 |C = µ = µ2 |C. Sei A ∈ C mit µ(A) < ∞. Setze
DA = {B ∈ σ(C) : µ1 (A ∩ B) = µ2 (A ∩ B)}
Offensichtlich ist Ω ∈ DA . Sind B1 , B2 ∈ DA , B2 ⊆ B1 , so folgt:
µ1 (A ∩ (B1 \ B2 )) = µ1 ((A ∩ B1 ) \ (A ∩ B2 )) = µ1 (A ∩ B1 ) − µ1 (A ∩ B2 )
= µ2 (A ∩ B1 ) − µ2 (A ∩ B2 ) = µ2 (A ∩ (B1 \ B2 )).
D.h. B1 \ B2 ∈ DA . Sind B1 , B2 , ... ∈ DA paarweise disjunkt, so gilt:
!
!
∞
∞
∞
∞
[
X
X
[
Bn .
µ2 (A ∩ Bn ) = µ2 A ∩
µ1 (A ∩ Bn ) =
Bn =
µ1 A ∩
n=1
n=1
n=1
n=1
S∞
also n=1 Bn ∈ DA . Das heißt DA ist ein Dynkin–System. Als Ring ist C ∩–stabil, also
C ⊆ DA und damit
D(C) ⊆ DA ⊆ σ(C).
Mit Satz 1.13 gilt: D(C) = σ(C). Folglich ist DA = σ(C).SD.h. µ1 (A ∩ B) = µ2 (A ∩ B) für
alle B ∈ σ(C). Wähle nun An ∈ C mit µ(An ) < ∞, Ω = ∞
n=1 An . Dann gilt µ1 (An ∩ B) =
µ2 (An ∩ B) für alle B ∈ σ(C), n ∈ N. Mit Satz 1.10(b) gilt
µ1 (B) = lim µ1 (An ∩ B) = lim µ2 (An ∩ B) = µ2 (B).
n→∞
n→∞
Sei jetzt Ω = Rn , λ das Lebesgue–Prämaß von Definition 1.16. Die von F n erzeugte σ–
Algebra σ(F n ) heißt Borelsche σ–Algebra und wird mit Bn bezeichnet. Die Elemente
aus Bn heißen Borel–Mengen. Mit Satz 2.6 existiert genau ein Maß auf Bn , das das
Lebesgue–Prämaß λ fortsetzt. Dieses Maß λ wird ebenfalls mit λ bezeichnet und heißt
das (n–dimensionale) Lebesgue–Maß. Mit Blatt 2, Aufgabe 1 gilt:
Bn = σ(On ) = σ(Cn ) = σ(Kn )
wobei On , Cn , Kn jeweils die Menge aller offenen bzw. abgeschlossenen bzw. kompakten
Teilmengen von Rn bezeichnet. Da jede Hyperebene Lebesgue–Maß null hat, gilt
λ(]a, b[) = λ(]a, b]) = λ([a, b[) = λ([a, b]).
Man beachte: Bn ( σλ? ( P(Rn ) was hier nicht bewiesen wird.
σλ? heißt Lebesgue–Borel–σ–Algebra, wobei λ? das äußere Lebesgue–Maß bezeichnet.
15
Satz 2.7 Sei λ? das äußere Lebesgue–Maß auf dem
Rn . Dann gilt:
(a) Für jedes A ∈ P(Rn ) gilt
λ? (A) = inf{λ(G) : A ⊆ G, G offen }
(b) Für jedes A ∈ σλ? gilt
λ? (A) = sup{λ(K) : A ⊇ K, K kompakt }
Beweis: Zu (a): Es gilt On ⊆ Bn und Fσ ⊆ Bn wobei F = F n ist. Mit Satz 2.4(a) gilt
deshalb
λ? (A) = inf{λ? (B) : B ∈ Cσ , A ⊆ B}
= inf{λ? (B) : B ∈ Bn , A ⊆ B}
≤ inf{λ? (G) : G ∈ On , A ⊆ G}
Ist λ? (A)S
= ∞, so ist (a) gezeigt. Ist λ? (A) < ∞, so existieren zu ε > 0 Quader Bk ⊆ Rn
mit A ⊆ ∞
k=1 Bk und
∞
X
?
λ(Bk ).
λ (A) + ε ≥
k=1
k
Nun S
existieren offene
S∞ QuaderPU∞k mit Uk ⊆PB∞k und λ(Uk ) − λ(Bk ) ≤ ε/2 . Damit ist
∞
A ⊆ k=1 Bk ⊆ k=1 Uk und k=1 λ(Uk ) − k=1 λ(Bk ) ≤ ε. Daraus folgt:
!
∞
∞
X
[
λ(Uk ) ≥ λ
Uk .
λ? (A) + 2ε ≥
k=1
k=1
S
Da GS= ∞
k=1 Uk offen ist und ε > 0 beliebig, folgt die Behauptung (a). Zu (b): Es ist
∞
n
R = k=1 Ck , Ck kompakt und Ck ⊆ Ck+1 . Mit Satz 1.10(b) gilt für A ∈ σλ?
λ? (A) = lim λ? (A ∩ Ck )
k→∞
(?)
Sei nun t ∈ R und ε > 0 mit t+ε < λ? (A). Mit (?) existiert ein k ∈ N mit λ? (A∩Ck ) > t+ε.
Nun ist λ? (Ck \ A) < ∞, da Ck \ A ⊆ Ck . Mit (a) existiert ein G offen mit Ck \ A ⊆ G
und
λ? (Ck \ A) + ε ≥ λ? (G)
(??).
Setze C := Ck ∩ (Rn \ G). C ist kompakt, als abgeschlossene Teilmenge von Ck und es
gilt:
C = Ck \ G ⊆ Ck \ (Ck \ A) = Ck ∩ A ⊆ A,
sowie
λ? (C)
=
(??)
≥
λ? (Ck \ G) = λ? (Ck ) − λ? (Ck ⊆ G) ≥ λ? (Ck ) − λ? (G)
λ? (Ck ) − λ? (Ck \ A) − ε = λ? (A ∩ Ck ) − ε > t.
Damit gilt sup{λ? (K) : K ⊆ A, K kompakt} > t. Läßt man t gegen λ? (A) streben, so
folgt (b).
Anmerkung: Die Voraussetzung A ∈ σλ? in Satz 2.7(b) ist notwendig.
16
3
Meßbare Abbildungen
Für das Folgende ist es bequem folgende Definitionen einzuführen. Ist A eine σ–Algebra in
Ω, so heißt das Paar (Ω, A) ein Meßraum. Ist µ ein Maß auf (Ω, A) so heißt (Ω, A, µ) ein
Maßraum. Die A ∈ A heißen meßbare Mengen. (Rn , Bn , λ) heißt der (n–dimensionale)
Lebesgue–Borelsche Maßraum.
Definition 3.1 Seien (Ω, A) und (Ω0 , A0 ) Meßräume und T : Ω → Ω0 eine Abbildung von
Ω in Ω0 . T heißt (A, A0 )–meßbar, falls gilt:
T −1 (A0 ) ∈ A für alle A0 ∈ A0 .
Folgendes einfache Resultat ist sehr nützlich:
Satz 3.2 Seien (Ω, A) und (Ω0 , A0 ) Meßräume. Sei C0 ein Erzeugendensystem für A0 , d.h.
A0 = σ(C0 ). Eine Abbildung T : Ω → Ω0 ist genau dann (A, A0 )–meßbar, wenn
T −1 (A0 ) ∈ A für alle A0 ∈ C0 .
Beweis: Bezeichne σ 0 = {B 0 ∈ P(Ω0 ) : T −1 (B 0 ) ∈ A}. σ 0 ist eine σ–Algebra. Offensichtlich
ist ∅, Ω0 ∈ σ 0 . Sind A0 , B 0 ∈ σ 0 , so ist T −1 (A0 ∪ B 0 ) = T −1 (A0 ) ∪ T −1 (B 0 ), also A0 ∪ B 0 ∈ σ 0 .
Entsprechend folgen die übrigen Eigenschaften einer σ–Algebra. Aus C0 ⊆ σ 0 folgt A0 =
σ(C0 ) ⊆ σ 0 . Umgekehrt ist mit A0 = σ(C0 ) ⊆ σ 0 auch C0 ⊆ σ 0 . A0 ⊆ σ 0 ist äquivalent zur
Meßbarkeit von T und C0 ⊆ σ 0 ist äquivalent zur Voraussetzung T −1 (A0 ) ∈ A für alle
A0 ∈ C0 .
Insbesondere sind also alle stetigen Abbildungen T :
meßbar.
Rn
→
Rm ,
n, m ∈
N,
(Bn , Bm )–
Typische Resultate, die einfach zu beweisen sind, sind folgende:
Satz 3.3 Seien (Ωi , Ai ), i = 1, 2, 3, Meßräume. Ist T1 : Ω1 → Ω2 eine (A1 , A2 )–meßbare
Abbildung und ist T2 : Ω2 → Ω3 eine (A2 , A3 )–meßbare Abbildung, so ist T2 ◦ T1 : Ω1 → Ω3
eine (A1 , A3 )–meßbare Abbildung.
Beweis: Folgt direkt aus (T2 ◦ T1 )−1 (A) = T1−1 (T2−1 (A)), A ⊆ Ω3 .
Sind (Ωi , Ai ), i ∈ I, Meßräume und sind Ti : Ω → Ωi Abbildungen, i ∈ I so ist die
von {A ⊆ Ω : A ∈ Ti−1 (Ai ) für ein i ∈ I} erzeugte σ–Algebra, die kleinste σ–Algebra
A, bezüglich der alle Abbildungen Ti (A, Ai )–meßbar sind. Diese σ–Algebra A wird mit
σ(Ti : i ∈ I) bezeichnet. Es gilt:
Satz 3.4 Seien Ti , i ∈ I Abbildungen von einer Menge Ω in Meßräume (Ωi , Ai ). Sei
ferner S : Ω0 → Ω eine Abbildung von einem Meßraum (Ω0 , A0 ) in Ω. Es gilt: S ist genau
dann (A0 , A(Ti : i ∈ I))–meßbar, falls die Ti ◦ S (A0 , Ai )–meßbar sind.
17
Ω _@
Ti
@@
@@
@
S @@
Ω0
/Ω
> i
}
}
}
}
}}
}} Ti ◦S
Beweis: Aus der (A0 , A(Ti : i ∈ I))–Meßbarkeit von S folgt die (A0 , Ai )–Meßbarkeit von
den Ti ◦ S aus Satz 3.3. Umgekehrt reicht es S −1 (E) ∈ A0 für die Mengen E = Ti−1 (Ai ),
Ai ∈ Ai zu zeigen, wegen Satz 3.2. Nun ist aber für solche Mengen
S −1 (E) = (Ti ◦ S)−1 (Ai ) ∈ A0 ,
falls die Ti ◦ S (A0 , Ai )–meßbar sind.
Satz 3.5 Seien (Ω, A) und (Ω0 , A0 ) Meßräume und T : Ω → Ω0 eine (A, A0 )–meßbare
Abbildung. Ferner sei µ ein Maß auf (Ω, A). Durch
µ(A0 ) = µ(T −1 (A0 )), A0 ∈ A0
ist ein Maß auf (Ω0 , A0 ) definiert.
Beweis: µ0 : A0 → R ist offensichtlich positiv. Sind A0n ∈ A0 , n ∈ N, paarweise disjunkt, so
sind T −1 (A0n ) ∈ A, paarweise disjunkt und
!
∞
∞
[
[
T −1
A0n =
T −1 (A0n ),
n=1
n=1
also
µ0
∞
[
!
A0n
= µ T −1
n=1
∞
[
!!
A0n
=µ
n=1
=
∞
X
µ(T −1 (A0n )) =
∞
[
!
T −1 (A0n )
n=1
∞
X
n=1
µ0 (A0n ).
n=1
Das in Satz 3.5 bestimmte Maß µ0 : A0 → R wird das Bildmaß von µ unter der Abbildung
T genannt und mit T (µ) bezeichnet. Also ist
T (µ)(A0 ) = µ(T −1 (A0 )).
Liegt die Situation von Satz 3.3 vor, so kann man leicht zeigen:
(T2 ◦ T1 )(µ) = T2 (T1 (µ)).
Ist beispielsweise Ta : Rn → Rn , a ∈ Rn definiert durch
Ta (x) = a + x,
so folgt aus Blatt 4, 2: Ta (λ) = λ, wobei λ das Lebesgue–Borel–Maß bezeichnet.
Wir wollen uns nun auf meßbare numerische Funktionen f : Ω → R, (Ω, A) ein Meßraum
konzentrieren, wobei R mit einer Borelschen σ–Algebra B versehen wird. Dabei ist B =
{B ⊆ R : B = B0 oder B = B0 ∪ {∞}, B = B0 ∪ {−∞}, B = B0 ∪ {−∞, ∞} mit
B0 ∈ B}. B ist eine σ–Algebra, und es gilt B ∩ R = {B ∪ R : B ∈ B} = B.Wir werden
(A, B)–meßbare Funktionen f : Ω → R kurz A–meßbar nennen.
Beispiele:
18
(
1 falls ω ∈ A, A ⊆ Ω
1. Sei f (ω) = ℵA (ω) =
0 falls ω 6∈ A, A ⊆ Ω
die sog. Indikatorfunktion (oder charakteristische Funktion) von A. Man überlegt
sich leicht, daß ℵA A–meßbar ist genau dann, wenn A ∈ A gilt (ℵ−1
A (B), B ⊆ R,
kann nur Ω, A, AC oder ∅ sein).
2. Jede stetige Funktion f : Rn → R ist Bn –meßbar. (man nennt f dann auch Borel–
meßbar oder Borelsche Funktion)
Satz 3.6 Sei (Ω, A) ein Meßraum. f : Ω → R ist A–meßbar genau dann, wenn {ω ∈ Ω :
f (ω) ≥ α} ∈ A für alle α ∈ R.
Beweis: Da [α, ∞] ∈ B ist die Bedingung sicher notwendig. Mit Satz 3.2 reicht es zu
zeigen, daß C = {[α, ∞] : α ∈ R} die σ–Algebra B erzeugt. EsTgilt σ(C) ⊆ B, da C ⊆ B.
Da
∞] \ [β, ∞] ist B ⊆ R ∩ σ(C). Mit {∞} = ∞
n=1 [n, ∞] und {−∞} =
T∞ [α, β[= [α,
C
[−n,
∞]
ist
{∞},
{−∞}
∈
σ(C).
Damit
ist
R
∩
σ(C)
⊆
σ(C), also B ⊆ σ(C),
n=1
woraus B ⊆ σ(C) folgt.
Korollar 3.7 Sei (Ω, A) ein Meßraum, und f : Ω →
sind äquivalent:
R
eine numerische Funktion. Es
(a) f ist A–meßbar.
(b) {f ≥ α} := {ω ∈ Ω : f (ω) ≥ α} ∈ A für alle α ∈ R.
(c) {f > α} := {ω ∈ Ω : f (ω) > α} ∈ A für alle α ∈ R.
(d) {f ≤ α} := {ω ∈ Ω : f (ω) ≤ α} ∈ A für alle α ∈ R.
(e) {f < α} := {ω ∈ Ω : f (ω) < α} ∈ A für alle α ∈ R.
Mehr noch in (b),...,(e) kann
R durch eine abzählbare dichte Teilmenge D ersetzt werden.
S
1
C
Beweis: Es gilt {f > α} = ∞
n=1 {f ≥ α + n }, {f ≤ α} = {f > α} und {f < α} =
S∞
1
C
n=1 {f ≤ α − n }, {f ≥ α} = {f < α} , woraus sich die Äquivalenz von (b) bis (e)
ableitet, da der Reihe nach folgt: (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (e) ⇒ (b). Mit Satz 3.6 gilt (a) ⇔
...⇔ (e). Die Zusatzbemerkung beweist man folgendermaßen: Ist α ∈ R, so existiert eine
Folge (an )n∈N mit an ∈ D, an ≥ α und an → α. Damit gilt
{f > α} =
∞
[
{f ≥ an } =
n=1
∞
[
{f > an },
n=1
und daraus folgt die Zusatzbehauptung.
Korollar 3.8 Sind f, g : Ω → R zwei A–meßbare Funktionen auf einem Meßraum (Ω, A),
dann gilt:
{f < g} := {ω ∈ Ω : f (ω) < g(ω)}, {f ≤ g}, {f = g} und {f 6= g}
sind aus A.
19
S
Beweis: Es gilt: {f < g} = r∈Q {f < r} ∩ {g > r} ∈ A. Da {f ≤ g} = {f > g}C (beachte
Symmetrie in f und g!) und {f = g} = {f ≤ g} ∩ {g ≤ f } und {f 6= g} = {f = g}C
folgen die restlichen Behauptungen.
Satz 3.9 Sind f, g : Ω → R zwei A–meßbare Funktionen auf einem Meßraum (Ω, A),
dann sind f ± g (falls auf Ω definiert) und f · g A–meßbar.
Beweis: Für α ∈ R gilt (Falls der Fall ”∞ − ∞” nicht eintritt)
[
{f + g < α} =
{f < r} ∩ {g < α − r} ∈ A.
r∈Q
Da mit g auch −g A–meßbar ist, folgt auch {f − g < α} ∈ A. Mit Korollar 3.7 sind f ± g
A–meßbar. Seien nun f, g reellwertig. Dann gilt
1
1
f · g = (f + g)2 − (f − g)2 .
4
4
Damit reicht es, den Fall f = g zu betrachten. Es gilt:
(
√
√
{ω : f (ω) > α} ∪ {ω : f (ω) < − α}
2
{ω : f (ω) > α} =
Ω
für α ≥ 0
für α < 0
Also ist f 2 A–meßbar. Für numerische Funktion f, g : Ω → R zerlege Ω in Ω1 = {f g = ∞},
Ω2 = {f g = −∞} und Ω3 = {f g = 0}. Ω1 , Ω2 , Ω3 liegen in A (selber nachprüfen). Setzt
man Ω4 = Ω \ (Ω1 ∪ Ω2 ∪ Ω3 ), so sind f |Ω4 , g|Ω4 (Ω4 ∩ A)–meßbar und reellwertig. Dann
sind f · g|Ω4 (Ω4 ∩ A)–meßbar, woraus folgt, daß f · g A–meßbar ist.
Satz 3.10 Sei (fn )n∈N eine Folge A–meßbarer numerischer Funktionen auf dem Meßraum
(Ω, A). Dann sind supn∈N fn , inf n∈N fn , sowie lim supn→∞ fn := inf n∈N supm≥n fm und
lim inf n→∞ fn := supn∈N inf m≥n fm A–meßbar.
T
Beweis: Es gilt {supn∈N fn ≤ α} = ∞
n=1 {fn ≤ α} ∈ A, also ist supn∈N A–meßbar und
damit auch inf n∈N fn = − supn∈N (−fn ) A–meßbar. Wendet man das gerade Bewiesene
zweimal an, so folgt auch die A–Meßbarkeit von lim supn→∞ fn und lim inf n→∞ fn .
Von besonderer Bedeutung ist der folgende Approximationssatz. Dazu vorher eine Definition.
Definition 3.11 Sei (Ω, A) ein Meßraum. Eine Funktion ϕ : Ω → R heißt Elementarfunktion, falls
ϕ(ω) =
n
X
ai ℵAi (ω), ai ∈ R, Ai ∈ A, i = 1, ..., n, Ai paarweise disjunkt und Ω =
i=
n
[
i=1
Die Menge aller Elementarfunktionen sei mit C(Ω) bezeichnet.
20
Ai .
Satz 3.12 Sei (Ω, A) ein Meßraum. Eine numerische Funktion f : Ω → R ist A–meßbar
genau dann, wenn eine Folge (ϕn )n∈N von Elementarfunktionen ϕn : Ω → R existiert, so
daß ϕn (ω) → f (ω) für alle ω ∈ Ω gilt. Man kann sogar haben, daß |ϕn (ω)| monoton von
unten gegen |f (ω)| konvergiert für alle ω ∈ R. Ist f ≥ 0, so können die ϕn so gewählt
werden, daß die ϕn (ω) nichtnegativ sind.
Beweis: Sind Elementarfunktionen ϕn : Ω → R gegeben mit f (ω) = limn→∞ ϕn (ω), so ist
mit f = limn→∞ ϕn = lim supn→∞ ϕn = lim inf n→∞ ϕn A–meßbar. Für die Umkehrung sei
nun f ≥ 0. Setze zu festem n ∈ N:
(
k
falls ω ∈ Ak,n := {ω ∈ Ω : 2kn ≤ f (ω) < k+1
}, k = 0, ..., n2n − 1
2n
2n
ϕn (ω) =
n
falls ω ∈ An2n ,n := {ω ∈ Ω : f (ω) ≥ n}
Man unterteilt also gemäß den Werten von f den Definitionsbereich Ω in Teilmengen
Ak,n , k = 0, ..., n2n . Dann gilt 0 ≤ ϕn ≤ ϕn+1 ≤ f . Da f A–meßbar ist, sind die Ak,n aus
A, also die ϕn Elementarfunktionen. Ist f (ω) = ∞, so ist ϕn (ω) = n für alle n ∈ N. Ist
f (ω) < ∞, so für n > f (ω)
ϕn (ω) ≤ f (ω) < ϕn (ω) +
1
2n
also ϕn (ω) → f (ω) für alle ω ∈ Ω. Ist f beliebig, so zerlege f = f + − f − mit f + =
max(f, 0), f − = max(−f, 0). f + , f − sind A–meßbar mit Satz 3.10. Nach dem Voran−
+
+
−
−
gehenden existieren ϕ+
punktweise. Setzt man
n , ϕn ∈ C(Ω) mit ϕn → f , ϕn → f
+
−
−
ϕn = ϕn − ϕn , so gilt ϕn (ω) → f (ω). Mit der Konstruktion gilt auch |ϕn | = ϕ+
n + ϕn →
f + + f − = |f | punktweise.
21
4
Definition des Integrals
Wir haben
am Ende von Kapitel 3 Elementarfunktionen ϕSeingeführt. Die Darstellung
P
ϕ = ni=1 ai ℵAi mit Ai ∈ A, paarweise disjunkt und Ω = ni=1 Ai heißt Normaldarstellung. Offensichtlich kann ϕ ∈ C(Ω) verschiedene Normaldarstellungen haben. Aber es gilt:
(wobei C+ (Ω) die Menge nichtnegativer Elementarfunktionen bezeichnet).
Lemma 4.1 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum, und sei ϕ ∈ C+ (Ω) mit zwei Normaldarstellungen
n
m
X
X
ϕ=
ai ℵAi =
b j ℵB j .
i=1
Dann gilt:
Pn
i=1
Beweis: Da Ω =
ai µ(Ai ) =
Pm
Sn
Sm
i=1
Ai =
j=1
j=1 bj µ(Bj ).
j=1
µ(Ai ) =
Bj folgt mit der Additivität von µ
m
X
µ(Ai ∩ Bj ) für alle i = 1, ..., n
j=1
und
µ(Bj ) =
n
X
µ(Ai ∩ Bj ) für alle j = 1, ..., m.
i=1
Damit folgt:
n
X
und
ai µ(Ai ) =
n
X
ai
m
X
µ(Ai ∩ Bj ) =
n X
m
X
i=1
i=1
j=1
i=1 j=1
m
X
m
X
n
X
m X
n
X
bj µ(Bj ) =
j=1
bj
j=1
µ(Ai ∩ Bj ) =
i=1
ai µ(Ai ∩ Bj )
bj µ(Ai ∩ Bj ).
j=1 i=1
Da aber für die Indizes i, j mit Ai ∩ Bj 6= ∅ gelten muß: ai = bj (mit ω ∈ Ai ∩ Bj gilt
ϕ(ω) = ai = bj ) folgt die behauptete Gleichheit.
Damit können wir definieren:
P
Definition 4.2 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum, ϕ ∈ C+ (Ω). Ist ϕ = ni=1 ai ℵAi eine Normaldarstellung von ϕ, so heißt (von der speziell gewählten Darstellung unabhängig)
Z
Z
ϕdµ =
ϕ(ω)dµ(ω) =
Ω
n
X
ai µ(Ai )
i=1
das (µ−) Integral von ϕ (über Ω ).
Bemerkung: Die Einschränkung auf nichtnegative Elementarfunktionen erfolgte, um den
Fall ”∞ − ∞” zu vermeiden (beachte µ(Ai ) = ∞ möglich).
22
Lemma
4.3 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Durch das Integral ist eine Abbildung ϕ →
R
ϕdµ, C+ (Ω) → [0, ∞] gegeben, für die gilt
R
ℵA dµ = µ(A) für A ∈ A.
R
R
(b) αϕdµ = α ϕdµ für ϕ ∈ C+ (Ω), α ≥ 0.
R
R
R
(c) (ϕ + ψ)dµ = ϕdµ + ψdµ für ϕ, ψ ∈ C+ (Ω).
R
R
(d) Sind ϕ, ψ ∈ C+ (Ω) mit ϕ ≤ ψ, so gilt ϕdµ ≤ ψdµ.
(a)
Beweis: (a) und (b) sind klar.
P
P
Zu (c): Seien ϕ = ni=1 ai ℵAi , ψ = m
j=1 bj ℵBj Normaldarstellungen von ϕ und ψ. Da die
Ai ∩ Bj paarweise disjunkt sind gilt:
ℵAi =
m
X
ℵAi ∩Bj und ℵBj =
j=1
n
X
ℵAi ∩Bj i = 1, ..., n; j = 1, ..., m.
i=1
Damit erhält man für ϕ, ψ und ϕ + ψ folgende Normaldarstellungen:
ϕ=
n X
m
X
ai ℵAi ∩Bj , ψ =
n X
m
X
bj ℵAi ∩Bj
i=1 j=1
i=1 j=1
Pn Pm
und ϕ + ψ = i=1 j=1 (ai + bj )ℵAi ∩Bj .
R
Pn Pm
Pn Pm
(a + bj )µ(Ai ∩ Bj ) =
Also gilt (ϕ + ψ)dµ =
j=1 ai µ(Ai ∩ Bj ) +
i=1
R i=1 j=1
R i
Pn Pm
ϕdµ + ψdµ.
i=1
j=1 bj µ(Ai ∩ Bj ) =
Zu (d): Es wurde gerade gezeigt, daß zu ϕ, ψ Normaldarstellungen
ϕ=
k
X
ci ℵci und ψ =
i=1
k
X
di ℵci
i=1
mit
R gleichen
R c1 , ..., ck ∈ A existieren. Aus ϕ ≤ ψ folgt ci ≤ di für i = 1, ..., k, woraus
ϕdµ ≤ ψdµ.
Bemerkung: Ist ϕ =
Lemma 4.3 (a)(b)(c)
Pn
i=1
ai ℵAi eine beliebige Darstellung von ϕ ∈ C+ (Ω), so ist mit
Z
ϕdµ =
n
X
ai µ(Ai ).
i=1
Folgender Monotonie–Satz ist grundlegend dafür, daß man das Integral für nicht–negative
A–meßbare Funktionen erklären kann.
Satz 4.4 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum . Ist (ϕn )n∈N eine Folge von nicht–negativen Elementarfunktionen mit ϕn ≤ ϕn+1 und ψ ∈ C+ (Ω) mit ψ ≤ supn∈N ϕn , so gilt
Z
Z
ψdµ ≤ sup ϕn dµ.
n∈N
23
R
Beweis: Ist ψ = 0, so ist ψdµ = 0 und nichts ist zu zeigen. Sei also ψ 6= 0, und bezeichne
Q = {ω ∈ Ω : ψ(ω) > 0} ∈ A. Setze
α = inf ψ(ω), β = sup ψ(ω).
ω∈Ω
ω∈Ω
Da ψ ∈ C(Ω), ist 0 < α ≤ β < ∞. Sei 0 < ε < α. Die Menge
An = {ϕn ≥ ψ − ε} ∩ Q
ist aus A mit Korollar 3.8. Mit der Voraussetzung gilt An ⊆ An+1 und
S∞
n=1
An = Q.
Mit Satz 1.10 folgt
lim µ(An ) = µ(Q).
(1)
ϕn ≥ (ψ − ε)ℵAn ≥ (α − ε)ℵAn
(2)
n→∞
Außerdem folgt
also
Z
ϕn dµ ≥ (α − ε)µ(An ) (3)
(3)
R
Ist µ(Q) = ∞, so folgt aus (1) und (3) supn∈N ϕn dµ = ∞, also die Behauptung. Ist
µ(Q) < ∞, setze Bn = Q \ An . Dann gilt mit (2)
ϕn + (ψ − ε)ℵBn ≥ (ψ − ε)(ℵAn + ℵBn ) = (ψ − ε)ℵQ = ψ − εℵQ .
Folglich ist
ϕn + (β − ε)ℵBn + εℵQ ≥ ϕn + (ψ − ε)ℵBn + εℵQ ≥ ψ.
Damit gilt
Z
Z
ϕn dµ + (β − ε)µ(Bn ) + εµ(Q) ≥
ψdµ.
Mit (1) gilt limn→∞ µ(Bn ) = 0, woraus
Z
Z
sup ϕn dµ + εµ(Q) ≥ ψdµ
n∈N
folgt. Da 0 < ε < α, ε beliebig, µ(Q) < ∞, war, folgt supn∈N
R
ϕn dµ ≥
R
ψdµ.
Korollar 4.5 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Seien (ϕn )n∈N und (ψn )n∈N zwei monoton
wachsende Folgen nicht–negativer Elementarfunktionen. Gilt dann
Z
Z
sup ϕn = sup ψn , so ist sup ϕn dµ = sup ψn dµ.
n∈N
n∈N
n∈N
n∈N
Beweis: Für jedes m ∈ N gilt ψm ≤ supn∈N ϕn und ϕm ≤ supn∈N ψn . Mit Satz 4.4 gilt
Z
Z
Z
Z
ψm dµ ≤ sup ϕn dµ und
ϕm dµ ≤ sup ψn dµ
n∈N
n∈N
für alle m ∈ N, woraus die Behauptung folgt.
24
Nun können wir für nicht–negative A–meßbare numerische Funktionen f : Ω → [0, ∞]
das (µ−)Integral erklären. Für solche f existiert mit Satz 3.12 eine Folge (ϕn )n∈N mit
ϕn ∈ C+ (Ω), ϕn ≤ ϕn+1 und f = limn→∞ ϕn = supn∈N ϕn , und mit Korollar 4.5 ist der
Wert
Z
sup ϕn dµ ∈ [0, ∞]
n∈N
unabhängig von der Wahl der approximierenden Folge (ϕn )n∈N . Deshalb definiert man:
Definition 4.6 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum, f : Ω → [0, ∞] eine A–meßbare numerische
Funktion. Sei f = supn∈N ϕn eine Darstellung als Grenzwert einer Folge von Elementarfunktionen ϕn ∈ C+ (Ω). Dann heißt die Zahl (von der Wahl der ϕn unabhängig)
Z
Z
f dµ = sup ϕn dµ
n∈N
das (µ−)Integral von f (über Ω).
Bemerkung: Ist f ∈ C+ (Ω), so ist diese Definition vom Integral konsistent mit der von
Definition 4.2. Wähle dazu ϕn = f für alle n ∈ N.
Die Eigenschaften aus Lemma 4.3 bleiben erhalten:
Lemma 4.7 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Für das (µ−)Integral gilt:
R
R
f dµ, f ≥ 0, A–meßbar, α > 0.
R
R
(b) (f + g)dµ = f dµ + gdµ.
R
R
(c) Sind f, g ≥ 0, A–meßbar und f ≤ g, so gilt f dµ ≤ gdµ.
(a)
αf dµ = α
R
Beweis: Der Nachweis ist mit Lemma 4.3 (b),(c),(d) elementar (kleine Übungsaufgabe).
Satz 4.8 (Satz von der monotonen Konvergenz, B. Levi) Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Für
jede monoton wachsende Folge (fn )n∈N von nicht–negativen, A–meßbaren numerischen
Funktionen fn : Ω → [0, ∞] gilt: f = supn∈N fn ist nicht–negativ und A–meßbar und es ist
Z
Z
f dµ = sup fn dµ.
n∈N
Beweis: Mit Satz 3.10 ist nur die Aussage zum Integral zu beweisen. Dazu reicht es zu zeigen, daß eine monotone Folge (ϕn )n∈N von nicht–negativen Elementarfunktionen existiert
mit ϕn ≤ fn und supn∈N ϕn = f = supn∈N fn . Dann gilt nämlich
Z
Z
Z
f dµ = sup ϕn dµ ≤ sup fn dµ.
n∈N
n∈N
25
Da aber fn ≤ f , gilt auch supn∈N
R
fn dµ ≤
R
f dµ, und damit die Behauptung.
Die Existenz der ϕn ∈ C+ (Ω) ergibt sich folgendermaßen. Mit Satz 3.12 existiert zu fn
eine Folge (ψn,k )k∈N , ψn,k ≤ ψn,k+1 , ψn,k ∈ C+ (Ω) und limk→∞ ψn,k = fn . Setze
ϕn = sup(ψ1,n , ψ2,n , ..., ψn,n ).
Dann ist selber ϕn ∈ C+ (Ω). Außerdem gilt ϕn ≤ ϕn+1 , denn es ist ja ψ1,n ≤ ψ1,n+1 , ..., ψn,n ≤
ψn,n+1 . Ferner ist ψ1,n ≤ f1 ≤ ... ≤ fn , ψ2,n ≤ f2 ≤ ... ≤ fn , ..., ψn,n ≤ fn , also
ϕn ≤ fn für alle n ∈ N. Folglich gilt auch supn∈N ϕn ≤ f . Für alle k ≤ n gilt aber
auch ψk,n ≤ sup(ψ1,n , ..., ψn,n ) = ϕn , also fk = supn∈N ψk,n ≤ supn∈N ϕn für alle k ∈ N.
Folglich gilt auch f = supk∈N fk ≤ supn∈N ϕn . Zusammen erhält man supn∈N ϕn = f .
Korollar 4.9 (B. Levi) Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Für jede Folge (f
)n∈N von nicht–
Pn∞
negativen, A–meßbaren numerischen Funktionen fn : Ω → [0, ∞] gilt. n=1 fn ist nicht–
negativ und A–meßbar und es ist
!
Z X
∞
∞ Z
X
fn dµ =
fn dµ.
n=1
n=1
P∞
Pn
Beweis: Setze gn =
k=1 fk = supn∈N gn nicht–negativ und
k=1 fk . Mit Satz 4.8 ist
A–meßbar und es gilt
!
!
Z X
Z
∞
n Z
∞ Z
X
X
(4.7)
fk dµ = sup gn dµ = sup
fk dµ =
fk dµ.
n∈N
n∈N
k=1
k=1
k=1
Wir führen nun das Integral für gewisse A–meßbare numerische Funktionen f (nicht notwendigerweise nicht–negativ) ein. Sei also f : Ω → R. Setze wie vorher f + = sup(f, 0),
f − = − sup(−f, 0). Es ist f = f + − f − und |f | = f + + f − .
Definition 4.10 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Eine numerische
Funktion
R +
R − f : Ω → R heißt
(µ−)integrierbar, wenn sie A–meßbar ist und wenn f dµ und f dµ endlich sind.
Dann heißt
Z
Z
Z
f dµ :=
f + dµ −
f − dµ
das (µ−)Integral von f (über Ω).
R
R
Bemerkung: Die Definition in 4.10 wäre auch sinnvoll, falls f + dµ oder f − dµ endlich
sind. Dann sagt man f ist quasi–integrierbar oder auch ”das Integral von f existiert”.
Beachte auch: Ist f ≥ 0, so stimmt der Integralbegriff von Definition 4.10 mit dem von
Definition 4.6 überein, da f − = 0.
Satz 4.11 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. f : Ω → R sei A–meßbar. Es sind äquivalent:
26
(a) f ist (µ−)integrierbar.
(b) f + und f − sind (µ−)integrierbar.
(c) Es gibt u, v (µ−)integrierbare numerische Funktionen mit u, v ≥ 0 und f = u − v.
(d) Es gibt eine nicht–negative (µ−)integrierbare Funktion g mit |f | ≤ g.
(e) |f | ist (µ−)integrierbar.
Beweis: (a) und (b) sind nach Definition äquivalent. (b)⇒(c) ist klar (u = f + , v = f − )
(c)⇒(d) Es gilt f = u − v ≤ u ≤ u + v und −f = v − u ≤Rv ≤ u + v.RSetze g = u + v, und
man sieht, daß (d) gilt. (d)⇒(e) Mit
R Lemma 4.7 (c)R ist |f |dµ ≤ gdµ < ∞. (e)⇒(a)
Mit f + ≤ |f | und f − ≤ |f | folgt f + dµ < ∞ und f − dµ < ∞ wieder mit Lemma 4.7
(c).
Satz 4.12 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Sei f, g : Ω →
Funktionen. Es gilt:
R R integrierbare
R
Für α ∈ R ist auch α · f integrierbar, und es gilt αf dµ = α f dµ. Ist f + g überall
definiert, so ist auch f + g integrierbar und es gilt
Z
Z
Z
(f + g)dµ = f dµ + gdµ.
Ferner sind auch sup(f, g) und inf(f, g) integrierbar.
Beweis zur Homogenität: Mit Satz 4.11 (e) reicht es |αf | = |α||f | ist integrierbar gemäß
Definition 4.6 zu zeigen. DiesR gilt aber mitR Lemma 4.7 (a). Für α ≥ 0 gilt (αf )+ = αf +
und (αf )− = αf − , woraus αf dµ = α f dµ folgt. Für α < 0 gilt (αf )+ = −αf − ,
(αf )− = −αf + .
Also gilt
Z
Z
Z
Z
Z
Z
−
+
+
−
αf dµ = (−αf )dµ − (−αf )dµ = α
f dµ − f dµ = α f dµ.
Zur Aditivität: Da |f +g| ≤ |f |+|g|, und |f |+|g| integrierbar ist,
R ist mit SatzR 4.11 (d)R auch
f + g integrierbar. Da f + g = f + + g + − (f − + g − ) folgt auch (f + g)dµ = f dµ + gdµ.
Zum Supremum: Ist | sup(f, g)| ≤ |f | + |g| folgt wieder mit Satz 4.11 (d) die Integrierbarkeit von sup(f, g). Analog folgt die Behauptung für inf(f, g).
Satz 4.13 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Seien f, g : Ω → R integrierbare Funktionen. Dann
gilt:
Z
Z
Ist f ≤ g, so ist
f dµ ≤
Ferner gilt:
Z
Z
f dµ ≤ |f |dµ.
27
gdµ.
Beweis: Ist f ≤ g, so ist f + ≤ g + und f − ≥ g − , woraus mit Lemma 4.7 (c) folgt:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
+
−
+
−
f dµ = f dµ − f dµ ≤ g dµ − g dµ = gdµ.
Da f ≤ |f | und −f ≤ |f | folgt mit eben:
Z
Z
Z
Z
Z
f dµ ≤ |f |dµ und − f dµ = (−f )dµ ≤ |f |dµ.
Schließlich sei auch für komplexwertige Funktionen das Integral eingeführt. Sei (Ω, A) ein
Meßraum. Eine Funktion f : Ω → C mit f = u + iv, u, v : Ω → R heißt A–meßbar, falls u
und v A–meßbar sind. Man kann leicht ableiten, (mit Satz 3.6), daß mit f : Ω → C auch
|f | : Ω → R A–meßbar ist. Ebenso sind mit f, g : Ω → C A–meßbar auch f ± g und f g
A–meßbar.
Definition 4.14 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Eine komplexwertige
Funktion f : Ω → C
R
heißt (µ−)integrierbar, wenn sie A–meßbar ist und wenn |f |dµ < ∞ gilt. Ist dann
f = u + iv die Zerlegung in Real–und Imaginärteil, so heißt
Z
Z
Z
Z
Z
+
−
+
−
f dµ := u dµ − u dµ + i
v dµ − v dµ
das (µ−)Integral von f (über Ω ).
Man beachte, daß |u|, |v| ≤ |f | gilt, mit Satz 4.11 also das Integral in Definition 4.14
erklärt ist. Die Menge aller (µ−)integrierbaren Funktionen f : Ω → C wird mit L1 (µ)
bezeichnet, die Menge aller (µ−)integrierbaren Funktionen f : Ω → R mit L1R (µ). Folgende
Resultate überraschen nun nicht mehr:
Satz 4.15 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum, f, g ∈ L1 (µ), α ∈ C. Es gilt αf ∈ L1 (µ), f + g ∈
L1 (µ), und es ist:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(αf )dµ = α f dµ,
(f + g)dµ = f dµ + gdµ sowie f dµ ≤ |f |dµ.
Beweis: |f + g| ≤ |f | + |g| und |αf | = |α||f |, woraus αf , f + g ∈ L1 (µ) mit Satz 4.11 folgt.
Die Additivität folgt nach Zerlegung in Real–und Imaginärteil mit Satz 4.12. Ebenso folgt
die Homogenität für α ∈ R. Für α = i und f = u + iv gilt
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(if )dµ = (iu − v)dµ = − vdµ + i udµ = i
udµ + i vdµ = i f dµ.
Für α = a + ib gilt damit
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(a + ib)f dµ = a f dµ + b if dµ = a f dµ + ib f dµ = (a + ib) f dµ.
28
R
Ist z = f dµ, so schreibe |z| = αz mit |α| = 1. Bezeichne u = Re(αf ). Dann gilt
u ≤ |αf | = |f |, also
Z
Z
Z
f dµ = α f dµ = αf dµ,
R
R
R
R
insbesondere
ist
(αf
)dµ
∈
R
,
d.h.
Im(αf
)dµ
=
0.
Damit
gilt
(αf
)dµ
=
Re(αf )dµ =
R
udµ, und wir erhalten
Z
Z
Z
Z
f dµ = (αf )dµ = udµ ≤ |f |dµ.
Wir haben noch einige Resultate zu (µ−)Nullmengen anzugeben. Dabei heißt N ⊆ Ω eine
(µ−)Nullmenge, wenn N ∈ A und µ(N ) = 0 gilt. ((Ω, A, µ) ein Maßraum). Offensichtlich
gelten:
(i) Sind N1 , N2 , ... (µ−)Nullmengen, so ist
S∞
i=1
Ni eine (µ−)Nullmenge (σ–Subadditivität).
(ii) Ist M ⊆ N , M ∈ A und N (µ−)Nullmenge, so ist M (µ−)Nullmenge.
Folgende Sprechweise ist üblich: Ist E eine Eigenschaft, so daß für jedes ω ∈ Ω definiert
ist, ob für ω diese Eigenschaft gilt oder nicht. Man sagt dann:”E gilt für (µ−)fast alle
ω ∈ Ω” oder ”E gilt (µ−)fast überall auf Ω”, wenn es eine (µ−)Nullmenge N gibt, so
daß für alle ω ∈ Ω \ N die Eigenschaft E gilt. Beachte: Es wird nicht verlangt, daß die
Menge NE = {ω ∈ Ω : E nicht erfüllt für ω} in A liegt. Eine typische Eigenschaft E ist:
f ist gleich 0, oder f ist endlich, etc.
Es gilt:
Satz 4.16 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Für jede nicht–negative, A–meßbare numerische
Funktion f : Ω → [0, ∞] gilt:
Z
f dµ = 0 ⇔ f = 0 µ–fast überall.
R
Beweis: Setze N := {f 6= 0} ∈ A. Es ist zu zeigen: f dµ = 0 ⇔ µ(N ) = 0. Sei
zuerst µ(N ) = 0 angenommen.
Die Funktionen gn = nℵN , n = 1, 2, ... sind A–meßbar,
R
nicht–negativ und es ist gn dµ = nµ(N
R ) = 0. DieR Funktion g = sup gn ist A–meßbar,
nicht–negativ
und
mit
Satz
4.8
gilt
gdµ = sup gn dµ = 0. Da f ≤ g ist, gilt 0 ≤
R
R
R
f dµ ≤ gdµ = 0, also f dµ = 0.
R
Ist umgekehrt
f dµ = 0 vorausgesetzt, so setze
An = {f ≥ n1 }. Es gilt An ∈ A und
R
S∞
N = n=1 An . Weiter gilt f ≥ n1 ℵAn , also 0 = f dµ ≥ n1 µ(An ) ≥ 0. Mit Satz 1.10 folgt
µ(N ) = limn→∞ µ(An ) = 0.
Bemerkung: Ist f : Ω → C A–meßbar, so gilt f dµ = 0 ⇐ f = 0 µ–fast überall (Zerlege
in Real–und Imaginärteil, und wende Satz 4.16 an).
R
29
Korollar 4.17 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Seien f, g : Ω →
Funktionen, die µ–fast überall auf Ω gleich sind. Dann gelten:
(i) Sind f, g ≥ 0, so ist
R
f dµ =
R
R
A–meßbare numerische
gdµ.
(ii) Ist f integrierbar, so ist auch g integrierbar und es gilt:
Z
Z
f dµ =
gdµ.
Beweis:
zu (i): Sei N = {f 6=}. Es ist N ∈ A und µ(N ) = 0. Die Funktionen
f ℵN , gℵRN und f ℵN c ,
R
gℵN c sind A–meßbar und nicht–negativ. Mit Satz 4.16 gilt f ℵN dµ = 0 = gℵN dµ, da
f ℵN , gℵN µ–fast überall gleich 0 sind. Andererseits ist f ℵN c = gℵN c , also gilt
Z
Z
Z
Z
f dµ = f ℵN dµ + f ℵN c dµ = gℵN dµ + gℵN c dµ = gdµ.
zu (ii): Nach
gilt auch
f + = Rg + µ–fast überall, f − = g − µ–fast überall.
R Voraussetzung
R
R
Mit (i) gilt f + dµ = g + dµ und f − dµ = g − dµ, woraus (ii) folgt.
Bemerkung: Sind f, g : Ω → C A–meßbar
und
R
R µ–fast überall auf Ω gleich, so gilt: Ist
g integrierbar, so auch f und es ist f dµ = gdµ (Wende Korollar 4.17 auf Real–und
Imaginärteil an).
Korollar 4.18 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Seien f, g : Ω → R A–meßbare numerische
Funktionen, so daß |f | ≤ g µ–fast überall gilt. Ist dann g integrierbar, so auch f . (Aussage
gilt auch für f : Ω → C)
Beweis: Setze g̃ = sup(g, |f |). g̃ ist A–meßbar und |f | ≤ g̃ (überall). Da g̃ = g µ–
fast überall, ist mit Korollar 4.17(ii) auch g̃ integrierbar. Mit Satz 4.11 ist dann auch f
integrierbar.
Satz 4.19 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Jede (µ−)integrierbare Funktion f : Ω →
µ–fast überall auf Ω endlich.
R
ist
Beweis: SetzeR N = {|f | = ∞}. Es gilt N ∈ A und für alle α ≥ 0 ist αℵN ≤ |f |. Folglich
ist αµ(N ) ≤ |f |dµ < ∞ für alle α ≥ 0. Dies ist nur mit µ(N ) = 0 möglich.
Die letzten Sätze zeigen: Ist N µ–Nullmenge und f 0 : N c → R oder f 0 · N c → C eine
A∩N c –meßbare numerische Funktion (man sagt: f 0 ist eine (µ−)fast überall definierte, A–
meßbare numerische Funktion), so ist jede Fortsetzung von f 0 auf Ω entweder integrierbar
oder es ist gar keine Fortsetzung von f 0 integrierbar (mit Korollar 4.17).
30
Deshalb heißt ein (µ−)fast überall definierte A–meßbare Funktion
( f (µ−)integrierbar,
f 0 (ω) für ω ∈ N c
falls f 0 eine (µ−)integrierbare Fortsetzung f besitzt. ( f (ω) =
ist
0
für ω ∈ N
R
0
immer
R 0 eine Fortsetzung.) f dµ heißt dann das (µ−) Integral von f und wird auch mit
f dµ bezeichnet.
31
5
Konvergenzsätze I
In diesem Abschnitt werden wichtige Konvergenzsätze gezeigt. Einen Satz, den ”Satz von
der monotonen Konvergenz” haben wir bereits gezeigt, siehe Satz 4.8, sowie das Korollar
4.9.
Lemma 5.1 (Lemma von Fatou) Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Sei (fn )n∈N eine Folge von
nicht–negativen A–meßbaren numerischen Funktionen fn : Ω → [0, ∞]. Es gilt:
Z
Z
(lim inf fn )dµ ≤ lim inf fn dµ.
n→∞
n→∞
Beweis: Mit Satz 3.10 ist lim inf n→∞ fn = supn∈N gn mit gn = inf m≥n fm A–meßbar. Die
gn sind ebenfalls A–meßbar, nicht negativ. Mit Satz 4.8 gilt deshalb
Z
Z
(lim inf fn )dµ = sup gn dµ.
n→∞
n∈N
R
R
R
Da aber
R gn ≤ fm für alle m ≥ n gilt, gn dµ ≤ fm dµ für alle m ≥ n, also gn dµ ≤
inf m≥n fm dµ. Zusammen
Z
Z
Z
(lim inf fn )dµ = sup fn dµ ≤ sup inf
fm dµ
n→∞
n∈N
n∈N m≥n
Z
= lim inf fn dµ.
n→∞
Es gibt eine Version des Lemmas von Fatou für beliebige A–meßbare numerische Funktionen fn .
Lemma 5.2 (Lemma von Fatou, 2. Version) Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Sei (fn )n∈N eine
Folge von A–meßbaren Funktionen fn : Ω → R. Es gilt:
(i) Existiert ein g : Ω →
ist
R A–meßbar mit
g − dµ < ∞ und g ≤ fn für alle n ∈
Z
Z
(lim inf fn )dµ ≤ lim inf fn dµ.
R
n→∞
(ii) Existiert ein h : Ω →
ist
N, so
n→∞
R A–meßbar mit
R
h+ dµ < ∞ und fn ≤ h für alle n ∈
Z
Z
(lim sup fn )dµ ≥ lim sup fn dµ.
n→∞
n→∞
Beweis:
32
N, so
(i) Es gilt: fn ≥ g = g + − g − , also fn + g − ≥ g + ≥ 0 Mit Lemma 5.1 gilt
Z
Z
−
lim inf (fn + g )dµ ≤ lim inf (fn + g − )dµ.
n→∞
n→∞
R
Da lim inf n→∞ (fn + g − ) = lim inf n→∞ fn + g − und g − dµ < ∞, folgt
Z
lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ.
n→∞
n→∞
(ii) Setze g = −h. Dann gilt g − = h+ und g ≤ −fn . Mit (i) gilt also
Z
Z
Z
− lim sup fn dµ = lim inf (−f )dµ ≤ lim inf (−fn )dµ
n→∞
n→∞
n→∞
Z
= − lim sup fn dµ,
n→∞
woraus (ii) folgt.
Satz 5.3 (Satz von der majorisierten Konvergenz (H. Lebesgue))
Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Sei (fn )n∈N eine Folge A–meßbarer Funktionen fn : Ω → R.
Es existiere eine A–meßbare Funktion f : Ω → R, so daß limn→∞ fn (ω) = f (ω) für µ−fast
alle ω ∈ Ω gilt. Existiert eine (µ−)integrierbare Majorante g : Ω → [0, ∞] für die |fn |,
d.h. |fn | ≤ g µ−fast überall, für alle n ∈ N, so ist f (µ−)integrierbar und es gilt
Z
Z
lim
fn dµ = f dµ.
(?)
n→∞
Beweis: Mit Korollar 4.18 folgt aus
R |fn | ≤ g µ−fast überall, daß alle fn (µ−)integrierbar
sind, (damit sind die Integrale fn dµ erklärt). Dasselbe gilt für die (µ–fast überall
definierte) Funktion f , da |f | ≤ g µ–fast überall gilt. Nun ist f (ω) = lim fn (ω) =
lim supn→∞ fn (ω) für fast alle ω ∈ Ω. Desweiteren ist −g ≤ fn µ–fast überall, woraus
mit Lemma 5.2 (i) folgt (nach Ergänzung mit µ–Nullmenge)
Z
Z
f dµ ≤ lim inf fn dµ.
Entsprechend gilt mit fn ≤ g:
Z
Z
f dµ ≥ lim sup
Daraus folgt aber
R
f dµ = limn→∞
R
fn dµ.
fn dµ.
Bemerkung:
33
(a) Man kann (?) (scheinbar) verschärfen zu
Z
lim
|fn − f |dµ = 0.
n→∞
(??)
Mit Satz 4.13 folgt (?) aus (??). (??) gilt mit folgender Argumentation aus der
Aussage von Satz 5.3: Setze gn = |f − fn |. Es gilt: limn→∞ gn = 0 µ−fast überall,
und |gn | = |f − fn | ≤ |f | + |fn | ≤ 2|g| µ−fast überall. Mit (?) aus Satz 5.3 gilt:
Z
Z
lim
|f − fn |dµ = 0dµ = 0.
n→∞
(b) Eine Version für komplexwertige A–meßbare Funktionen lautet folgendermaßen (Herleitung wie in (a)): Sind fn : Ω → C A–meßbar, so daß limn→∞ fn = f existiert µ–fast
überall und existiert ein g ∈ L1 (µ) mit |fn | ≤ g µ–fast überall, für alle n ∈ N, so
gilt: f ∈ L1 (µ) und
Z
|fn − f |dµ = 0
lim
n→∞
und
Z
lim
n→∞
(??)
Z
fn dµ =
f dµ.
(?)
Wir wollen noch weitere Sätze von diesem Typ beweisen. Dazu müssen wir aber noch
Begriffe einführen, und zwar den Begriff der Lp (µ)–Konvergenz und der µ–stochastischen
Konvergenz (auch µ–Konvergenz genannt), und verwandte Begriffe. Der nächste Abschnitt
befasst sich mit Lp (µ)–Räumen.
34
6
Lp–Räume
Zuerst beweisen wir eine sehr nützliche Ungleichung. Eine Funktion ϕ :]a, b[→ R, (a, b ∈ R,
a < b) heißt konvex, falls
ϕ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y)
für alle x, y ∈]a, b[, λ ∈ [0, 1].
Es gilt: Ist ϕ auf ]a, b[ konvex, so ist ϕ stetig. Insbesondere gilt: Ist f : Ω →]a, b[ A–
meßbar, und ϕ :]a, b[→ R konvex, so ist ϕ ◦ f auch A–meßbar mit Satz 3.3. Desweiteren
gilt für konvexe Funkionen:
Sind a < s < t < u < b, so ist
ϕ(t) − ϕ(s)
ϕ(u) − ϕ(t)
≤
t−s
u−t
(?)
u−t
t−s
(Setze dazu λ = u−s
. Dann ist (1 − λ) = u−s
und setzt man x = u, y = s, so ist
t−s
u−t
(1 − λ)x + λy = u−s u + u−s s = t und (?) folgt durch Umstellung obiger Gleichung.).
Damit können wir zeigen:
Satz 6.1 (Jensen–Ungleichung) Sei (Ω, A, µ) ein W –Raum (d.h. ein Maßraum mit
µ(Ω) = 1). Sei f ∈ L1R (µ) mit f (ω) ∈]a, b[ für alle ω ∈ Ω. Ferner sei ϕ :]a, b[→ R konvex.
Dann gilt:
Z
Z
ϕ
f dµ
≤
(ϕ ◦ f )dµ
wobei die rechte Seite der Ungleichung als Integral über eine quasi–integrierbare Funktion
zu lesen ist.
R
Beweis: Setze t := f dµ. Da µ(Ω) = 1 und a < f < b, folgt a < t < b. Für s ∈]a, t[ ist mit
nach oben beschränkt. Setze β := supa<s<t ϕ(t)−ϕ(s)
. Damit gilt
(?) der Quotient ϕ(t)−ϕ(s)
t−s
t−s
(t − s)β ≥ ϕ(t) − ϕ(s), oder umgestellt: ϕ(s) ≥ ϕ(t) + β(s − t) für s ∈]a, t[. Für u ∈]t, b[
gilt aber mit (?) auch: β(u − t) ≤ ϕ(u) − ϕ(t).
Zusammengefaßt gilt:
ϕ(s) ≥ ϕ(t) + β(s − t)
für alle s ∈]a, b[.
Insbesondere gilt
ϕ(f (ω)) ≥ ϕ(t) + β(f (ω) − t) =: h(ω)
für alle ω ∈ Ω. (1)
Damit ist (ϕ ◦ f )− = sup(−(ϕ ◦ fR ), 0) ≤ sup(−h, 0) = h− . h ist aber integrierbar, somit
ist ϕ ◦ f quasi–integrierbar.
Ist (ϕ ◦ f )+ dµ = ∞, so gilt die Jensen–Ungleichung triR
vialerweise. Ist (ϕ ◦ f )+ dµ < ∞, also ϕ ◦ f integrierbar, so folgt mit Integration obiger
Ungleichung (1):
Z
Z
(ϕ ◦ f )dµ ≥ ϕ
f dµ .
Als einfaches
PnAnwendungsbeispiel betrachte Ω = {ω1 , ..., ωn }, A = P(Ω) und µ({ωi }) =
αi > 0 mit i=1 αi = 1. Die Funktion f sei gegeben durch f (ωi ) = xi und ϕ(x) = exp(x).
ϕ ist konvex und mit Satz 6.1 gilt:
exp(x1 α1 + ... + xn αn ) ≤ exp(x1 )α1 + ... + exp(xn )αn .
35
Setzt man yi = exp(xi ), so erhält man
y1α1 · y2α2 · ... · ynαn ≤ y1 α1 + ... + yn αn .
Speziell α1 = α2 = ... = αn =
arithmetische Mittel ist.
1
n
ergibt, daß das geometrische Mittel kleiner als das
Wir werden später Satz 6.1 für ϕ(t) = exp(t) anwenden. ϕ ist konvex. Erfüllen zwei Zahlen
1 ≤ p, q ≤ ∞ die Gleichung
1 1
+ = 1,
p q
so heißen sie zueinander konjugiert. Es gelten folgende Ungleichungen:
Satz 6.2 Seien 1 < p, q < ∞ zueinander konjugiert. Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum und seien
f, g : Ω → [0, ∞] zwei nichtnegative, A–meßbare numerische Funktionen. Dann gelten:
(1)
(2)
R
(f g)dµ ≤
R
R
1 R q 1q
g dµ
f p dµ p
(Hölder–Ungleichung)
1
R p p1
R p p1
(f + g)p dµ p ≤
f dµ +
g dµ
(Minkowski–Ungleichung)
R p p1
R q 1q
f dµ , B =
g dµ . Beachte, daß f p , g q A–meßbare
Beweis: zu (1): Seien A =
Funktionen sind, benutze Satz 3.3. Ist A = 0, so ist f = 0 µ–fast überall mit Satz 4.16,
also f · g = 0 µ–fast überall, und (1) gilt. Ist A > 0 und B = ∞, so gilt (1) trivialerweise.
Also hat man nur den Fall 0 < A < ∞, 0 < B < ∞ zu studieren. Setze dazu
F =
f
A
und
G=
g
.
B
Es gilt dann
Z
Z
p
F dµ =
Gq dµ = 1.
Sei ω ∈ Ω mit 0 < F (ω) < ∞, 0 < G(ω) < ∞. Es gibt s, t ∈ R, so daß F (ω) = (exp(t)) p ,
1
G(ω) = (exp(s)) q . Wendet man die vorangehende Ungleichung an, so erhält man:
1
1
1
F (ω)G(ω) ≤ F (ω)p + G(ω)q .
p
q
Unter Benutzung von Satz 4.19 folgt mit Integration
Z
1 1
F Gdµ ≤ + = 1,
p q
also
Z
Z
f gdµ ≤ A · B =
1q
p1 Z
q
f dµ
g dµ .
p
zu (2): Es ist (f + g)p = f (f + g)p−1 + g(f + g)p−1 . Mit (1) gilt
Z
p−1
f (f + g)
Z
dµ ≤
p1 Z
1q
(p−1)q
f dµ
(f + g)
dµ
p
36
(i)
und analog
Z
p−1
g(f + g)
Da 1 +
p
q
Z
dµ ≤
1q
p1 Z
(p−1)q
(f + g)
dµ . (ii)
g dµ
p
= p, folgt p = q(p − 1). Mit Addition von (i) und (ii) folgt
Z
(f + g)p dµ ≤
Z
p1 Z
p1 #
1q "Z
f p dµ
+
. (iii)
g p dµ
(f + g)p dµ
Es reicht (2) zu zeigen, falls die linke Seite von (2) größer null und rechte Seite von (2)
endlich ist. Nun ist
(f + g)p ≤ 2p max(f, g)p = 2p max(f p , g p ) ≤ 2p (f p + g p ).
R
R
Sind also die Integrale f p dµ und g p dµ endlich, so folgt durch Division in (iii) (Teiler
6= 0 nach Annahme) wegen 1 − 1q = p1
Z
p1 Z
p1 Z
p1
p
p
(f + g) dµ
≤
f dµ
+
g dµ .
p
Wir können nun die Lp (µ)–Räume definieren.
Definition
6.3 Sei (Ω.A, µ)ein Maßraum,
und sei 0 <R p < ∞. Wir bezeichnen
L◦ (µ)
=
p
◦
p
∞
f : Ω → C : f A–meßbar , L (µ) = f ∈ L (µ) : |f | dµ < ∞ und L = f ∈
L◦ (µ) : ∃kf > 0 : µ({ω ∈ Ω : |f (ω)| > kf }) = 0 .
Ferner setzen wir für 1 ≤ p < ∞:
Z
||f ||p =
p1
|f | dµ
p
und
||f ||∞ = inf{k > 0 : ({ω ∈ Ω : |f (ω)| > k}) = 0}
und für 0 < p < 1:
Z
||f ||p =
|f |p dµ.
Wir überlegen nun, daß alle Lp (µ) lineare Räume sind. Dies gilt offensichtlich für p =
0, 1, ∞. Für 1 < p < ∞ verwende Satz 6.2 (2). Ebenso gilt auch für 0 < p < 1
|f + g|p ≤ (|f | + |g|)p ≤ 2p max(|f |, |g|)p = 2p max(|f |p , |g|p ) ≤ 2p (|f |p + |g|p ).
Da mit f ∈ Lp (µ) offensichtlich αf ∈ Lp (µ) folgt, ist gezeigt:
(I) Lp (µ) ist linearer Raum für alle 0 ≤ p ≤ ∞.
37
In Satz 6.2 haben wir bereits gezeigt: Für 1 < p < ∞ gilt für f, g ∈ Lp (µ):
||f + g||p ≤ ||f ||p + ||g||p .
(Dreiecksungleichung)
Für p = 1 gilt
Z
||f + g||1 =
Z
|f + g|dµ ≤
Z
(|f | + |g|)dµ =
Z
|f |dµ +
|g|dµ = ||f ||1 + ||g||1
und für p = ∞ und f, g ∈ L∞ (µ) ist |f | ≤ ||f ||∞ µ–fast überall und |g| ≤ ||g||∞ µ–fast
überall, also
|f + g| ≤ |f | + |g| ≤ ||f ||∞ + ||g||∞ µ–fast überall
also
||f + g||∞ ≤ ||f ||∞ + ||g||∞ .
Für 0 < p < 1 beachte, daß t → tp konkav auf ]0, ∞[ ist. Ist ϕ :]0, ∞[→ R 2–mal
differenzierbar, konkav, ϕ(0) = 0 so ist ϕ00 < 0, also ϕ0 nicht monoton wachsend, also
Z x
Z x+y
Z y
0
0
ϕ(x + y) =
ϕ (t)dt +
ϕ (t)dt = ϕ(x) +
ϕ0 (x + t)dt
0
x
0
Z y
ϕ0 (t)dt = ϕ(x) + ϕ(y) .
≤ ϕ(x) +
0
Damit folgt:
Z
||f + g||p =
p
Z
|f + g| dµ ≤
Z
p
(|f | + |g|) dµ ≤
p
Z
|f | dµ +
|g|p dµ
= ||f ||p + ||g||p .
Wir haben gezeigt:
(II) Für alle 0 < p ≤ ∞ gilt in Lp (µ):
||f + g||p ≤ ||f ||p + ||g||p .
Damit läßt sich auf Lp (µ) (0 < p ≤ ∞) eine Semi–Metrik dp (f, g) := ||f − g||p erklären.
(Metrik:
(1) d(f, g) = 0 ⇔ f = g
(2) d(f, g) = d(g, f )
(3) d(f, g) + d(g, h) ≥ d(f, h)
Semi–Metrik: Wie Metrik aber in (1) gilt nur ”⇐”)
Betrachtet man Lp (µ) := Lp (µ)/ v, wobei f v g ⇔ dp (f, g) = 0, d.h. man betrachtet
den Raum der Äuquivalenzklassen f + Np , Np = {g ∈ Lp (µ) : dp (g, 0) = 0} so ist durch
dp (f + Np , g + Np ) := ||f − g||p (wohldefiniert wegen (II)) eine Metrik auf Lp (µ) erklärt.
Beachte f ∈ Np ⇔ f = 0 µ–fast überall.
Für 1 ≤ p ≤ ∞ gilt auch ||αf ||p = |α| ||f ||p . Damit wird Lp (µ) sogar zum normierten
Raum.
(Norm:
38
(1) ||f || = 0 ⇔ f = 0
(2) ||αf || = |α| ||f ||
(3) ||f + g|| ≤ ||f || + ||g||
Zusammengefaßt:
Satz 6.4 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Für 1 ≤ p ≤ ∞ ist Lp (µ) mit || .||p ein normierter
Raum. Für 0 < p ≤ ∞ ist Lp (µ) mit dp (. , .) ein linearer metrischer Raum.
Bezüglich p erhält man folgende Beziehungen:
Satz 6.5 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum, und sei f ∈ Lp (µ) für alle 0 < p < ∞. Dann
existiert limp→∞ ||f ||p und ist gleich ∞ oder gleich ||f ||∞ . Ist desweiteren µ(Ω) < ∞, so
gilt Lp (µ) ⊇ Lr (µ) 0 ≤ p < r ≤ ∞.
Zum Beweis von Satz 6.5 zeigen wir eine (für die Statistik) sehr wichtige Ungleichung.
Lemma 6.6 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum, und sei f : Ω → R A–meßbar. Für jedes p > 0
und α > 0 gilt die Tchebicheff–Markoff–Unlgeichung:
Z
1
µ({ω ∈ Ω : |f (ω)| ≥ α}) ≤ p |f |p dµ .
α
Beweis: Setze Aα := {ω ∈ Ω : |f (ω)| ≥ α}. Es ist Aα ∈ A und es gilt
Z
Z
Z
p
p
p
|f | dµ ≥ |f | ℵAα dµ ≥ α
ℵAα dµ = αp µ(Aα ) .
Beweis von Satz 6.5: Ist ||f ||∞ = 0, so ist f = 0 µ–fast überall, und damit ||f ||p = 0 für
alle 0 < p < ∞, und die Behauptung gilt. Sei nun 0 < ||f ||∞ ≤ ∞. Nach Voraussetzung
ist ||f ||p < ∞ für 0 < p < ∞. Für 0 < α < ||f ||∞ . Setze Aα = {ω ∈ Ω : |f (ω)| ≥ α}.
Mit Lemma 6.6 gilt:
1
0 < µ(Aα ) ≤ p
α
Z
|f |p dµ < ∞ .
Für p ≥ 1 gilt
||f ||pp
Z
=
|f |p dµ ≥ αp µ(Aα ) .
Mit 0 < µ(Aα ) < ∞ gilt
1
lim inf ||f ||p ≥ lim inf α(µ(Aα )) p = α .
p→∞
p→∞
Da 0 < α < ||f ||∞ beliebig war, folgt lim inf p→∞ ||f ||p ≥ ||f ||∞ .
39
Für die umgekehrte Ungleichung können wir β := ||f ||∞ < ∞ annehmen (, sonst ist nichts
zu zeigen). Für r > p gilt dann (p ≥ 1 aber fest)
Z
Z
r
r
r−p
||f ||r = |f | dµ ≤ β
|f |p dµ
also
||f ||r ≤ β
Da f ∈ Lp (µ) ist
R
1− pr
Z
r1
|f | dµ
.
p
|f |p dµ eine feste Zahl und es gilt
lim sup ||f ||r ≤ β = ||f ||∞ .
r→∞
Zusammen erhält man
lim ||f ||p = ||f ||∞ .
p→∞
Für die zweite Aussage gilt Lp (µ) ⊆ L◦ (µ). Ist f ∈ L∞ (µ), etwa ||f ||∞ = α < ∞, so ist
Z
|f |p dµ ≤ αp µ(Ω) < ∞ .
Also gilt L∞ (µ) ⊆ Lp (µ) ⊆ L◦ (µ) für 0 < p < ∞. Schließlich gilt für 0 < p < r < ∞ und
f ∈ Lr (µ) mit A1 = {|f | ≤ 1}, A2 = {|f | > 1}
Z
Z
Z
p
p
|f | dµ =
|f | ℵA1 dµ + |f |p ℵA2 dµ
Z
≤ µ(Ω) + |f |r dµ < ∞ ,
also
L∞ (µ) ⊆ Lr (µ) ⊆ Lp (µ) ⊆ L◦ (µ).
In (semi–)metrischen Räumen (X, d) heißt eine Folge (xn )n∈N eine Cauchy–Folge falls
zu ε > 0 ein n◦ ∈ N existiert mit d(xn , xm ) < ε für n, m ≥ n◦ . (X, d) heißt vollständig,
falls jede Cauchy–Folge konvergiert. Es gilt:
Satz 6.7 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Für 0 < p ≤ ∞ sind die semi–metrischen Räume
Lp (µ) mit dp ( , ) vollständig. Folglich sind auch die metrischen Räume Lp (µ) vollständig.
Beweis: Sei (fn )n∈N eine Cauchy–Folge in Lp (µ). Es existiert ein n1 ∈ N, so daß ||fn1 −
fn ||p < 1 für alle n ≥ n1 gilt. Ist nk gewählt, so existiert nk+1 > nk , so daß ||fnk+1 −fn ||p <
2−k für alle n > nk+1 gilt. Setze zu k ∈ N
gk = |fn1 | +
k
X
|fni+1 − fni | ∈ Lp (µ) .
i=1
40
Es gilt
||gk ||p = ||fn1 ||p +
k
X
||fni+1 − fni ||p < ||fn1 ||p +
k
X
i=1
2−i < ||fn1 ||p + 1 .
i=1
p
Setze g = limk→∞ gk = supk∈N gk . Ferner sei 0 < p < ∞. Es gilt 0 ≤ gkp ≤ gk+1
→ g p mit
p
k → ∞ und gk ∈ L1 (µ). Denn mit Satz 4.8 (Satz von der monotonen Konvergenz) gilt
Z
Z
p
g dµ = lim
gkp dµ = lim ||gk ||pp ≤ (||fn1 ||p + 1)p < ∞
k→∞
k→∞
für p ≥ 1 und
Z
g p dµ = lim ||gk ||p ≤ ||fn1 ||p + 1 < ∞
k→∞
für 0 < p < 1.
Damit ist gP∈ Lp (µ) und mit Satz 4.19 ist g µ–fast überall endlich. Weiter gilt: Da
∞
g = |fP
n1 | +
i=1 |fni+1 − fni | µ–fast überall konvergiert, konvergiert auch limk→∞ fnk =
∞
fn1 + i=1 (fni+1 − fni ) µ–fast überall. Setze f = limk→∞ fnk für die ω, für die der Limes
existiert und sonst gleich 0. Da
|f | = lim |fnk | = lim +
k→∞
k→∞
k
X
(fni+1 − fni )| ≤ lim gk = g < ∞
k→∞
i=1
µ–fast überall, ist f ∈ Lp (µ). Weiter gilt für festes n ∈ N:
|fnk − fn |p → |f − fn |p
µ–fast überall mit k → ∞. mit dem Lemma von Fatou 5.1 gilt
Z
Z
p
|f − fn | dµ ≤ lim inf |fnk − fn |p dµ = lim inf ||fnk − fn ||pp .
k→∞
k→∞
Mit k → ∞ folgt
Z
|f − fn |p dµ → 0 mit n → ∞ .
Für p = ∞ gilt |fn −fm | ≤ ||fn −fm ||∞ µ–fast überall für alle
S n, m ∈ N. Bezeichne Am,n die
µ–Nullmenge, für die die Ungleichung nicht gilt. Sei A = m,n∈N Am,n . Dann gilt µ(A) = 0
und für ω ∈ Ac gilt |fn (ω) − fm (ω)| ≤ ||fn − fm ||∞ → 0 für n, m → ∞ gleichmäßig. Da
C vollständig ist, konvergiert fn (ω) gegen f (ω) für jedes ω ∈ Ac . Außerdem ist f |Ac
beschränkt. Für ω ∈ A setze f (ω) = 0. Dann gilt f ∈ L∞ (µ) und ||fn − f ||∞ → 0 mit
n → m.
Satz 6.8 Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Für 0 < p < ∞ liegt die Menge der p–fach integrierbaren Elementarfunktionen C(Ω) ∩ Lp (µ) dicht in Lp (µ) bezüglich dp ( , ).
Beweis: Da mit f ∈ Lp (µ) auch (Ref )+ , (Ref )− , (Imf )+ , (Imf )− ∈ Lp (µ) gilt, können
wir f ≥ 0 annehmen. Mit Satz 3.12 gibt es ϕn ∈ C(Ω) mit ϕn ≥ 0 monoton wachsend
41
gegen f . Dann ist (f − ϕn )p → 0 und 0 ≤ (f − ϕn )p ≤ f p . Da f p ∈ Lp (µ), folgt mit dem
Satz von der majorisierten Konvergenz 5.3
Z
(f − ϕn )p dµ → 0
mit n → ∞ .
Hieraus folgt ||f − ϕn ||p → 0 mit n → ∞.
Bemerkungen:
(1) Von besonderer Bedeutung sind die L2 (µ)–Räume. Sie sind die unendlich–dimensionalen
Versionen des Rn , die auch die Orthogonalität berücksichtigen. Für p = 2 ist die konjugierte Zahl q = 2. Für f, g ∈ L2 (µ) ist
Z
hf, gi := f gdµ ,
definiert, denn
Z
Z
21 Z
Z
12
2
2
f gdµ ≤ |f | |g|dµ ≤
|f | dµ
|g| dµ
<∞
mit Satz 6.2. Insbesondere gilt
|hf, gi| ≤ ||f ||2 ||g||2
(CBS–Ungleichung).
Durch h , i : L2 (µ) → C ist ein Skalarprodukt auf L2 (µ) definiert, d.h.
(i) hf, f i ≥ 0 und hf, f i = 0 ⇔ f = 0
(ii) hf, gi = hg, f i
(iii) haf + bg, hi = ahf, hi + bhg, hi a, b ∈ C, f, g, h ∈ L2 (µ)
Damit ist L2 (µ) ein sogenannter Hilbertraum, (Vollständig wegen Satz 6.7). Man
sagt, daß f orthogonal zu g ist, falls hf, gi = 0 ist. Ansonsten verweisen wir bezüglich
der Hilbertraum–Theorie auf Funktional-Analysis.
(2) Ein weiteres wichtiges Resultat aus der Funktional-Analysis ist folgendes. Ist (X, || ||)
ein normierter Raum, so sind von besonderer Wichtigkeit die stetigen linearen Funktionale ϕ : X → C (das sind die stetigen linearen Funktionen von X in C). Der
Raum aller stetigen linearen Funktionale wird im Allgemeinen mit X ? bezeichnet.
Nun sind X = Lp (µ), 1 ≤ p ≤ ∞, normierte Räume (sogar Banachräume
mit Satz
6.7). Für 1 < p < ∞ gilt: Lp (µ)? läßt identifizieren mit Lp (µ) p1 + 1q = 1 vermöge
R
der Zuordnung g 7→ ϕg , Lq (µ) → Lp (µ)? wobei ϕg (f ) = f gdµ, f ∈ Lp (µ). Für
p = 1 gilt entsprechend L1 (µ)? ∼
= L∞ (µ), falls µ σ–endlich ist.
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