close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1130

код для вставкиСкачать
Министерство путей сообщения Российской Федерации
Омский государственный университет путей сообщения
___________________________
М. Г. ШАЛИМОВ, Т. Г. СЕБЕЛЕВА
Посвящается памяти
Лидии Васильевны Шагаровой
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И
ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
К РЕШЕНИЮ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Учебное пособие
Омск 2002
1
УДК 621.3.О9:514.742.4(075.8)
Основы векторного анализа и его применение к решению электротехнических задач: Учебное пособие / М. Г. Шалимов, Т. Г. Себелева. Омский
гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2002. 79 с.
В настоящем учебном пособии изложены основные положения векторного анализа и теории электромагнитного поля.
Рассмотрено вычисление составляющих электромагнитного поля в слоистых средах через векторный потенциал магнитного поля.
Показано решение некоторых практических задач по определению сопротивлений многопроводных линий.
Учебное пособие рекомендуется в соответствии с государственным образовательным стандартом для студентов 2–го курса, изучающих дисциплину
«Высшая математика», для студентов 4, 5–го курсов, изучающих дисциплины
«Электроснабжение железных дорог», «Тяговые и трансформаторные подстанции», «Электромагнитная совместимость» специальности 101800 – «Электроснабжение железных дорог», а также и других специальностей, аспирантов и
слушателей факультета повышения квалификации.
Библиогр.: 23 назв. Черт. 23.
Рецензенты: доктор физ.- мат. наук, профессор Ю. Ф. Стругов;
доктор техн. наук, профессор В. Н. Зажирко.
____________________________
© Омский гос. университет
путей сообщения, 2002
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение .................................................................................................................... 5
1. Скалярное поле и его характеристики ............................................................... 5
1.1. Эквипотенциальные поверхности .................................................................... 6
1.2. Производная по направлению .......................................................................... 7
1.3. Градиент скалярного поля ................................................................................. 8
2. Векторное поле и его характеристики ............................................................... 10
2.1. Векторные (силовые) линии ............................................................................. 12
2.2. Поток векторного поля ..................................................................................... 13
2.3. Дивергенция вектора ......................................................................................... 15
2.4. Формула Остроградского – Гаусса .................................................................. 17
2.5. Линейный интеграл от вектор-функции. Циркуляция вектора ..................... 18
2.6. Формула Стокса в координатной форме ......................................................... 20
2.7. Ротор вектора, его физический смысл и свойства .......................................... 22
2.8. Основные типы векторных полей ……………………………… ................... 25
2.9. Потенциальное векторное поле. Скалярный потенциал и его
свойства ...................................................................................................................... 25
2.10. Определение скалярного потенциала по заданному вектору a
поля ............................................................................................................................. 26
2.11. Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал ............................ 28
2.12. Дифференциальные операции векторного анализа второго
порядка ....................................................................................................................... 29
2.13. Дифференциальные уравнения Лапласа и Пуассона.................................... 31
2.14. Формулы Грина ................................................................................................ 32
2.15. Решение краевой задачи векторного поля с помощью
формулы Грина .......................................................................................................... 34
2.16. Основная теорема векторного анализа. Определение поля
по заданным div a и rot a ....................................................................................... 35
2.17. Мера неоднородности векторного поля. Градиент одного
вектора по другому.................................................................................................... 37
3. Электромагнитное поле ........................................................................................ 40
3.1. Уравнения электромагнитного поля ................................................................ 40
3.2. Вычисление составляющих векторов электромагнитного поля.
Скалярный и векторный потенциалы ...................................................................... 42
3.3. Решение уравнения ∇ 2 A − k 2 A = 0 в цилиндрических
координатах................................................................................................................ 44
3
3.4. Вектор-потенциальная функция диполя постоянного тока,
находящегося в безграничном однородном пространстве ................................... 47
3.5. Вектор-потенциальная функция диполя переменного тока,
находящегося в безграничном однородном пространстве ................................... 49
3.6. Вектор-потенциальная функция диполя постоянного тока,
находящегося над границией раздела двух сред.................................................... 50
3.7. Вектор-потенциальная функция диполя переменного тока,
находящегося над границей раздела двух сред ...................................................... 58
3.8. Вектор-потенциальная функция бесконечно длинной линии
”провод – однородная земля”................................................................................... 61
4. Решение некоторых электротехнических задач ................................................. 67
4.1. Сопротивление бесконечно длинной воздушной линии
”провод - однородная земля” ................................................................................... 67
4.2. Сопротивление взаимной индуктивности двух бесконечно
длинных линий ”провод – однородная земля” ....................................................... 69
4.3. Сопротивление прямой и обратной последовательностей
воздушных линий электропередачи ........................................................................ 72
4.4. Сопротивление нулевой последовательности трехфазной
одноцепной линии электропередачи ....................................................................... 73
4.5. Сопротивление контактной сети однопутного
электрифицированного участка ............................................................................... 74
Библиографический список...................................................................................... 77
4
ВВЕДЕНИЕ
Полем называется ограниченная или неограниченная часть пространства,
в которой протекает какое-нибудь физическое явление. Различают два типа полей: скалярное и векторное.
Скалярным называется поле, в каждой точке которого определена скалярная функция, зависящая от координат точки M(x, y, z) и времени t:
U = U(M, t). В прямоугольных координатах: U = U(x, y, z, t).
Скалярное поле, не зависящее от времени, называется стационарным.
Стационарное скалярное поле определяется функцией координат точки пространства: U = U(M); U = U(x, y, z). Примером стационарного скалярного поля
может служить электростатическое поле, создаваемое электрическим зарядом.
Скалярное поле, зависящее от времени, называется нестационарным. Оно
определяется функцией координат точки пространства и времени:
U = U(x, y, z, t). Примером нестационарного скалярного поля является поле
температуры остывающего тела.
Векторным называется такое поле, в каждой точке которого задан некоторый вектор. Если поле является стационарным, то этот вектор задан как
функция координат точки пространства M(x, y, z), если поле нестационарное,
то как функция точки пространства и времени t. Обозначаются стационарные и
нестационарные поля соответственно в виде: a = a(M); a = a(M, t)
или
a = a (a , t ), где r = x i + y j + z k .
Нестационарными векторными полями являются поля векторов электрической E = E( r , t ) и магнитной H = H( r , t) напряженности переменного электромагнитного поля, которые являются векторными функциями координат точки пространства M ( r ) и времени t.
1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Пусть стационарное скалярное поле определено функцией точки
M(x, y, z) и обозначено в виде U = U (M ) или U = U( x , y, z) . Для характеристики
изменения этого поля в связи с изменением координат точки в пространстве
вводят понятия “эквипотенциальные поверхности”, “производная по направлению”, “градиент”.
5
1.1. Эквипотенциальные поверхности
Эквипотенциальной поверхностью или поверхностью уровня называется
поверхность S, на которой данная скалярная функция U(M) сохраняет постоянное значение, т. е. удовлетворяет условию:
U(M) = const
или U(x, y, z) = const.
(1.1)
Это означает, что физическое явление, которое характеризуется скалярной функцией U = U(x, y, z), на каждой из этих поверхностей протекает одинаково.
В частном случае, когда рассматривается поле на плоскости, эквипотенциальные поверхности изображаются в виде линий U(x, y) = const. Их называют
линиями уровня. Линии равного давления p(x, y) = const (изобары) и линии
равной температуры t(x, у) = сonst (изотермы) являются примерами линий
уровня.
Если скалярная функция является непрерывной и однозначной в некоторой области T, то через каждую точку этой области проходит одна и только одна эквипотенциальная поверхность.
x 2 y2
П р и м е р. Для плоского скалярного поля U( x , y) =
+
семейство
4
9
линий уровня задается уравнением:
x 2 y2
+
= С (С ≥ 0) .
4
9
Это эллипсы с полуосями 2 C и 3 C . При C = 0 последнему уравнению удовлетворяет лишь одна пара значений координат (0; 0). Следовательно,
начало координат надлежит рассматривать как выродившуюся в точку линию
уровня данного скалярного поля. Только в этой единственной точке рассматриваемое поле обращается в ноль.
П р и м е р. Для пространственного поля U(x, y) = x2 + y2 – z поверхности
уровня определяются уравнением:
x2 + y2 – z = C.
Это семейство параболоидов вращения, осью которых служит ось Oz и
вершины которых расположены на этой оси.
6
1.2. Производная по направлению
Пусть функция U = U(x, y, z), определяющая скалярное поле, непрерывна
вместе со своими частными производными первого порядка. Для определения
скорости изменения скалярного поля в каждой точке M(x, y, z) в заданном
∂U(M )
.
направлении l служит производная по направлению
∂l
Пусть l 0– единичный вектор или орт направления ℓ; cosα, cosβ, cosγ –
0
направляющие косинусы орта l = cos α i + cos β j + cos γ k (рис.1).
∂U(M )
В прямоугольных координатах
представляется формулой:
∂l
U(M1 ) − U (M) ∂U
∂U(M )
∂U
∂U
= lim
=
cos α +
cos β +
cos γ.
M1→ M
∂l
∂
x
∂
y
∂
z
MM1
(1.2)
z
М(x,y,z)
M1(x1,y1,z1)
γ
0
α
e0
β
y
x
Рис.1. Расположение орта, указывающего направление взятия производной
П р и м е р. Вычислить производную скалярного поля U(M) = x2 y–x z2+1
в точке М(1, – 2, 1) в направлении вектора l = 2 i − 4 j + k.
Имеем:
∂U
∂U
∂U
= (2x − y) M = −5;
= x 2 = 1;
= −3xz 2 = −3.
M
M
∂x M
∂y M
∂z M
Модуль вектора l
l = l 2x + l 2y + l 2z = 2 2 + (−4) 2 + 12 = 21 ,
поэтому
cos α =
2
4
2
; cos β = −
; cos γ =
.
21
21
21
7
По формуле (1.2) находим
∂U
∂l
= (−5)
M
2
4 
1
17

+ 1 −
=−
.
 + (−3)
21 
21 
21
21
Отрицательное значение результата означает то, что данное скалярное
поле в точке М(1, –2, 1) в направлении вектора l убывает.
Анализ формулы (1.2) показывает, что частные производные
∂U ∂U ∂U
,
,
в точке M(x, y, z) имеют единственные значения и не зависят от
∂x ∂y ∂z
0
направления l . В то же время направляющие косинусы cos α, cos β, cos γ
зависят от выбора направления l и, следовательно, в точке M(x, y, z) определяются неоднозначно, поэтому естественным является вопрос: “В каком
направлении скорость изменения скалярного поля U = U(M) будет наибольшей
и какова величина этой скорости?” На этот вопрос можно ответить, определив
особый вектор, который называется градиентом.
1.3. Градиент скалярного поля
Пусть функция U = U(x, y, z) является непрерывной вместе со своими
частными производными в точке M(x, y, z).
Градиентом gradU(M) скалярного поля U = U(x, y, z) в точке M(x, y, z)
называется вектор, проекциями которого на оси координат являются частные
∂U ∂U ∂U
производные
,
,
, т.е
∂x ∂y ∂z
gradU(M ) =
∂U
∂U
∂U
i+
j+
k.
∂x
∂y
∂z
(1.3)
Градиент является точечной характеристикой скалярного поля. Этот
вектор и по величине, и по направлению характеризует наибольшую скорость
изменения скалярного поля в точке M(x, y, z). Его направление всегда совпадает с направлением нормали к поверхности уровня, проходящей через
точку M(x, y, z) в сторону возрастания скалярной функции U = U(x, y, z). Следовательно,
8
∂U 0
n ,
(1.4)
∂n
где n 0 – орт нормали к поверхности уровня U(x, y, z) = const;
∂U
= gradU(M ) – величина градиента в точке M(x, y, z).
∂n
Формула (1.4) в отличие от (1.3) позволяет записать градиент функции
независимо от системы координат. С помощью оператора “набла”, который по другому называется оператором Гамильтона, gradU(M) можно записать в виде:
gradU( x , y, z) =
gradU(M ) = ∇ U,
(1.5)
∂
∂
∂
i+
j + k – оператор Гамильтона.
∂x
∂y
∂z
Таким образом,
∂U
∂U
∂U
∇U =
i+
j+
k.
∂x
∂y
∂z
где ∇ =
(1.6)
Градиент обладает следующими дифференциальными свойствами:
1) grad (U1 + U2) = grad U1 + grad U2 или
∇ ( U1 + U 2 ) = ∇ U1 + ∇ U 2 ;
2) grad (φ ψ) = ψ grad φ + φ grad ψ или
∇(ϕψ) = ψ ∇ϕ + ϕ∇ψ;
где – φ = φ (x, y, z), ψ = ψ (x, y, z) - скалярные функции,
∂F
3) grad F(U) =
gradU ,
∂U
где U = U(x, y, z).
Значение градиента определяется по формуле:
(1.7)
(1.8)
(1.9)
2
2
2
(1.10)
∂U
 ∂U   ∂U   ∂U 
 + 
gradU(M) =
= 
 + 
 .
∂n
 ∂x   ∂y   ∂z 
Направление градиента определяется направляющими косинусами:
∂U
∂x
cos α =
;
gradU(M)
∂U
∂U
∂y
∂z
cos β =
; cos γ =
,
gradU(M)
gradU(M )
(1.11)
где α, β, γ – углы, которые образует орт нормали n 0 = {cos α, cos β, cos γ} с осями
координат (рис. 2).
9
z
grad U (M)
n0
γ
M
β
n
0
U = const
α
y
x
Рис. 2. Направление градиента
П р и м е р. В скалярном поле U(M) = xy2 + z2 найти градиент в точке
М(2, 1, –1) и определить его значение.
Имеем:
∂U
∂U
∂U
= 2x y M = 4;
= y 2 M = 1;
= 2z M = −2;
∂y M
∂x M
∂я M
Следовательно, по формуле (1.3) в точке М(2, 1, –1)
gradU = i + 4 j − 2k .
Значение градиента определяем по формуле (1.10):
gradU =
12 + 4 2 + (−2) 2 = 21.
2. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Векторную функцию, определяющую векторное поле в некоторой области пространства Т, задают с помощью трех проекций вектора на оси координат.
В прямоугольных координатах эта векторная функция имеет вид:
a (M) = a x i + a y j + a z k ,
(2.1)
где ax, ay, az, – проекции вектора a на оси координат (рис .3).
10
z
к
M
j
i
0
y
x
Рис. 3. Орты прямоугольной системы координат
В цилиндрических координатах
a ( M ) = a ρ eρ + a ϕ e ϕ + a z e z ,
где a ρ , a ϕ , a z – проекции вектора a
(2.2)
на направления базисных векторов
eρ , eϕ , e z (рис. 4).
z
ez
eϕ
M
eρ
z
O
ϕ
ρ
y
x
Рис. 4. Базисные векторы цилиндрической системы координат
В сферических координатах
a ( M ) = a r e r + a ϕ eϕ + a θ eθ ,
где a r , a ϕ , a θ − проекции на направления
(2.3)
er , eϕ , eθ (рис. 5).
Цилиндрические и прямоугольные координаты связаны соотношениями:
x = ρ cos φ; y = ρ sin φ; z = z.
11
(2.4)
z
er
M1
θ
eϕ
O
ϕ
eθ
r
M2
x
y
eϕ
eθ
er
Рис. 5. Базисные векторы сферической системы координат
Связь сферических координат с прямоугольными устанавливается формулами:
x = r cosφ sin θ; y = r sinφ sinθ; z = r cosθ.
(2.5)
Отметим следующее важное положение. Так как цилиндрические и сферические координаты криволинейны, то направление базисных векторов зависит от положения рассматриваемой точки M(x, y, z). Следовательно, eρ , eϕ , e z , а
также er , eϕ , eθ являются величинами п е р е м е н н ы м и (см. рис. 3 -- 5) в отличие от прямоугольных ортов. Эту особенность единичных векторов в криволинейных координатах необходимо учитывать при дифференцировании векторов поля по соответствующим координатам.
Для характеристики векторного поля a = a (M ) вводятся понятия векторных (силовых) линий, потока, дивергенции, циркуляции и ротора вектора.
2.1. Векторные (силовые) линии
Векторными или силовыми линиями вектора a = a (M ) называются такие
линии, в каждой точке которых касательная параллельна вектору поля в этой
точке. Векторные линии используются для характеристики геометрической
картины поля, они задаются системой дифференциальных уравнений.
В прямоугольных координатах уравнения векторных линий имеют вид:
dx dy dz
=
= .
(2.6)
ax ay az
12
В цилиндрических координатах –
dρ
ρdϕ
dz
=
.
=
a ρ (ρ, ϕ, z) a ϕ (ρ, ϕ, z) a z (ρ, ϕ, z)
(2.7)
В сферических координатах –
dr
r dθ
r sin θ dϕ
=
=
.
a r (r, ϕ, θ) a θ (r, ϕ, θ) a ϕ (r, ϕ, θ)
(2.8)
П р и м е р. Найти векторные линии плоского потока, характеризуемого
вектором a (M ) = x y i − ( x − 1) 2 x j .
Дифференциальное уравнение векторных линий в данном случае будет
иметь вид:
dx
dy
=−
.
xy
2 x ( x − 1)
Интегрируя это уравнение с разделяющимися переменными, получим:
y2
=С
(С ≥ 0).
2
Векторными линиями в данном случае будут эллипсы с осями, параллельными осям координат, и с центрами в точке (1, 0).
( x − 1) 2 +
2.2. Поток векторного поля
Элементарным потоком
в е к т о р а a (M) через площадку
∆s называется скалярная величина
∆ N = an ∆s ,
(2.9)
где a n = n p
n0
a – проекция вектора a (M) на орт нормали n 0 к площадке ∆s в
точке M(x, y, z) (рис. 6).





an

∆S
n0
a
M
Рис. 6. Проекция вектора на орт нормали к площадке поверхности
13
Потоком
в е к т о р а через незамкнутую поверхность конечных
размеров в указанную нормалью сторону называется поверхностный интеграл
от проекции вектора a (M) на нормаль к поверхности S в каждой точке:
N=
где a n = n p
∫∫ a ds ,
(2.10)
n
S
n0
a (M) ;
S – определенная сторона поверхности.
Существуют различные формы записи потока вектора a = a (M) , а именно:
∫∫ a ds = ∫∫ (a
n
S
∫∫ a ds = ∫∫ (a
n
S
x
n
, n 0 )ds ;
(2.11)
S
cos α + a y cos β + a z cos γ )ds =
S
∫∫ (a dydz + a dxdz + a dxdy)ds ;
x
y
z
S
(2.12)
где n 0 =
n
;
n
n 0 = {cosα, cosβ, cosγ} – орт нормали;
dy dz = cosα dz;
dx dz = cosβ ds; dx dy = cosγ ds.
Формула (2.11) определяет поток независимо от выбранной системы координат.
Выражения (2.12) представляют поток в прямоугольных координатах.
П о т о к о м в е к т о р н о г о п о л я a = a ( r ) ( a = x i + yj + yk ) ч е р е з
з а м к н у т у ю п о в е р х н о с т ь в сторону, указанную направлением нормали, называется поверхностный интеграл по соответствующей стороне поверхности от проекции вектора a на нормаль.
N=
∫∫ a ds .
n
(2.13)
S
С физической точки зрения величину (2.13) можно интерпретировать как
разность между числом векторных (силовых) линий, выходящих и входящих в
замкнутую поверхность (рис. 7).
При этом может быть рассмотрено три случая:
1) если
∫∫ a ds > 0,
n
то число силовых линий, выходящих из замкнутой
S
поверхности S, больше числа силовых линий, входящих в поверхность S. Объясняется это тем, что внутри поверхности S имеются точечные источники, дающие начало силовым линиям (например, точечный положительный электрический заряд).
14
2) если
∫∫ a ds < 0, то число силовых линий, выходящих из поверхности
n
S
S, меньше, чем число входящих силовых линий. В рассматриваемом случае
внутри поверхности S имеются точечные стоки, поглощающие силовые линии
(например, точечный отрицательный электрический заряд).
3) если
∫∫ a ds = 0,
n
то число входящих и выходящих силовых линий
S
одинаково. Это возможно, если внутри поверхности S не существует ни источников, ни стоков, либо и те и другие имеются, но одинаковой обильности.
n2
a
ϕ2
a
ϕ1
n1
S2
M2
M1
S1
Рис. 7. Векторные линии, выходящие и входящие в замкнутую поверхность
Следовательно, поток через замкнутую поверхность характеризует мощность (обильность) источников и стоков векторного поля, заключенных внутри
замкнутой поверхности S. Однако по значению величины потока нельзя ответить на вопрос “Что представляет собой каждая точка поля?”. Об этом можно
судить с помощью понятия дивергенции.
2.3. Дивергенция вектора
Дивергенцией a (M ) вектора в точке M называется скалярная величина,
связанная с потоком вектора и выраженная следующим соотношением:
∫∫ a ds
n
diva (M ) = lim
V →0
S
V
15
.
(2.14)
Таким образом, дивергенция векторного поля a (M ) в точке M определяется как предел, к которому стремится отношение потока через замкнутую поверхность S, окружающую точку, к объему области V, ограниченной этой поверхностью, когда диаметр области V стремится к нулю.
Рассматривается три случая:
1) если diva (M ) > 0 , то точка M является источником;
2) если diva (M ) < 0 , то точка M является стоком;
3) если diva (M ) = 0 , то точка M нейтральна.
Следовательно, diva (M ) характеризует мощность (обильность) источников или стоков, расположенных в точке M.
Формулы для вычисления дивергенции в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах записываются соответственно в виде:
∂a y ∂a z
∂a
diva (M ) = x +
+
;
(2.15)
∂x
∂y
∂z
diva (M ) =
diva (M ) =
1
r2
1 ∂
1 ∂a ϕ ∂a z
(ρ a ρ ) +
+
;
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
1 ∂a ϕ
1 ∂
∂ 2 

(
r
a
)
+
+
(sin θ a θ ) .
r 
 ∂r

 r sin θ ∂ϕ r sin θ  ∂θ

(2.16)
(2.17)
С помощью оператора “набла”
∇=
∂
∂
∂
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
(2.18)
дивергенция вектора diva (M ) представляется как скалярное произведение векторного оператора ∇ на вектор a , т. е.
diva (M ) = ( ∇ , a ) .
(2.19)
Справедливы следующие дифференциальные свойства дивергенции:
1) div(a + b ) = diva + divb или
(2.20)
( ∇ , a + b ) = ( ∇ , a ) + (∇ , b);
2) div(ϕ a ) = ϕdiva + (gradϕ, a ) или
(2.21)
( ∇ , ϕ a ) = ϕ ( ∇ , a ) + ( ∇ ϕ, a),
где φ = φ(x, y, z) – скалярная функция.
П р и м е р. Вычислить дивергенцию векторного поля
a (M ) = 2 xy 2 i − yzj + 3z 2 k в точке М(1, – 2, 1).
16
Имеем: ax = 2xy2; ay = – yz; az = 3z2 , так что
∂a x
∂x
= 2y 2
M
= 8;
M
∂a y
∂y
= −z
M
M
= −1;
∂a z
∂z
= 6z
M
= 6.
M
Значит, по формуле (2.15) получим:
diva (M ) = 8 − 1 + 6 = 13 .
2.4. Формула Остроградского – Гаусса
Если функции ax = ax (x, y, z), ay = ay (x, y, z), az = az (x, y, z) непрерывны
∂a x ∂a y ∂a z
и обладают непрерывными частными производными
в некоторой
,
,
∂x ∂y ∂z
области T, ограниченной замкнутой поверхностью S, то в этой области справедлива формула Остроградского в координатной форме:
∫∫
a x dydz +a y dxdz + a z dxdy =
∫∫∫
Т
S
 ∂a x ∂a y ∂a z 

 dv .
+
+
∂y
∂z 
 ∂x
(2.22)
Суть формулы (2.22) состоит в следующем. Поверхностный интеграл,
взятый по внешней стороне замкнутой поверхности S, можно заменить тройным интегралом по области Т, ограниченной замкнутой поверхностью S. Поверхностный интеграл в левой части формулы (2.22) можно записать в виде:
∫∫ (a
x
cos α + a y cos β + a z cos γ ) ds,
(2.23)
S
где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности.
Тогда формула Остроградского может быть записана в виде:
∫∫ (a
x cos α + a y cos β + a z cos γ ) ds =
∫∫∫
Т
S
 ∂a x ∂a y ∂a z 

 dxdydz.
+
+
∂
x
∂
y
∂
z


(2.24)
Предположим, что ax, ay, az являются координатами вектора
a (M ) = a x i + a y j + a z k. В этом случае поверхностный интеграл будет выражать
поток вектора a , а подынтегральная функция – дивергенцию вектора a .
17
Тогда формула (2.24) примет вид:
∫∫ a ds = ∫∫∫diva (M) dv.
n
(2.25)
Т
S
Суть формулы (2.25), называемой формулой Остроградского - Гаусса в
векторной форме, состоит
в следующем. Если составляющие вектора
a (M ) = a x i + a y j + a z k непрерывны вместе со своими частными производными
∂a x ∂a y ∂a z
,
,
в некоторой области пространства T, ограниченной поверхно∂x ∂y ∂z
стью S, то поток вектора через внешнюю сторону замкнутой поверхности S равен тройному интегралу от дивергенции вектора a .
Принимая во внимание то, что
an = n p
n0
a = (a , n 0 );
n 0 ds = d s ,
(2.26)
формуле (2.23) можно придать следующий вид:
∫∫ (a
n
, n 0 )ds =
∫∫∫diva dv;
Т
S
∫∫ (a
(2.27)
n
, ds ) =
∫∫∫diva dv,
(2.28)
Т
S
где dv – дифференциал объема.
Из формулы (2.28) вытекает важное следствие. Если в каждой точке поля
diva (M ) = 0 , т. е. в поле нет ни источников, ни стоков, то поток вектора через
любую замкнутую поверхность равен нулю.
Такое векторное поле называется соленоидальным.
2.5. Линейный интеграл от вектор-функции. Циркуляция вектора
Пусть заданы векторное поле a = a ( r ) ( r = x i + yj + zk ) и некоторая дуга
(
AB , лежащая в векторном поле, в общем случае не совпадающая с векторной
(
линией. Линейным интегралом по дуге AB от вектор-функции a ( r ) называется
скалярная величина, определенная по формуле:
∫(
AB
(a , d r ) =
n
∑ (a (M ), ∆ r
lim
n →∞
max ∆ ri →0
18
i =1
i
i
),
(2.29)
где (a (M i ), ∆ri ) – скалярное произведение вектор-функции a (M i ) на ∆ri;
∆ri = ri – ri-1 ;
dr = dx i + dy j + dz k.
Указанные величины проиллюстрированы на рис. 8.
z
ri − 1
A rA
∆
ri
ri
rB
B
O
y
x
Рис. 8. Дуга интегрирования вектор-функции
В прямоугольных координатах формула (2.29) записывается в виде
∫ (a, dr ) = ∫ a dx + a dy + a dz
(
AB
(
AB
x
y
z
(2.30)
и представляет собой криволинейный интеграл.
Если криволинейный интеграл берется от векторной функции a ( r ) по замкнутому контуру C , то он называется циркуляцией вектора
∫
∫
С
C
Г = (a , dr ) = a x dx +a y dx + a z dx .
(2.31)
Если вектор a = F( x , y, z) представляет собой силовой вектор, то циркуляция вектора выражает работу, производимую вектором F на замкнутом
контуре C.
Циркуляция – величина скалярная, зависящая не только от вектора a и
контура C, но и от направления интегрирования. В общем случае циркуляция
вектора характеризует вращательную способность вектора или, другими словами, завихренность вектора a на замкнутом контуре.
Большой практический интерес представляет случай, когда циркуляция
по любому замкнутому контуру, лежащему в векторном поле, равна нулю. Та-
19
кие поля называются потенциальными. Они обладают замечательными свойствами и рассматриваются ниже.
По величине циркуляции нельзя ответит на вопрос: “Что представляет
собой каждая точка поля, если ее рассматривать с позиции понятия завихренности? “. На этот вопрос можно ответить, определив специальный вектор, называемый ротором или вихрем вектора a .
Чтобы понять физический смысл этого вектора, рассмотрим предварительно известную из математического анализа формулу Стокса в координатной форме.
2.6. Формула Стокса в координатной форме
Пусть функции ax = ax(x, y, z), ay = ay(x, y, z), az = az(x, y, z) являются непрерывными вместе со своими частными производными первого порядка по
всем переменным в некоторой области пространства T, содержащей незамкнутую поверхность S, ограниченную контуром S. Тогда в этой области будет
справедлива так называемая формула Стокса:
 ∂a x ∂a y 
 ∂a y ∂a x 
 ∂a x ∂a z 



dxdy
a
dx
+
a
dx
+
a
dx
==
−
dydz
+
−
dxdz
+
a
−


y
z
z
∫ x
∫∫  ∂y ∂z 
∂
z
∂
x
∂
x
∂
y


C
S 



(2.32)
или в другой форме записи:
∫ a x dx +a y dx + a z dx =
C
(2.33)
 ∂a z ∂a y 

 ∂a y ∂a x 
 ∂a x ∂a z 
 cos α + 
 cos γ  ds,
= ∫∫ 
−
−
−
 cos β + a z 
∂z 
∂x 
∂
∂
x
y
 ∂z
S  ∂y



где C – граница поверхности S;
dxdy = cosγ ds;
dxdz = cosβ ds;
dydz = cosα ds.
(2.34)
Направления линейного и поверхностного интегрирования в формуле
Стокса связаны между собой следующим правилом. Если указать определенную сторону поверхности S посредством нормали, то по контуру C нужно двигаться в таком направлении, идя по указанной стороне, чтобы поверхность S
оставалась слева (рис. 9).
20
Формула Стокса устанавливает связь между криволинейным и поверхностным интегралами.
S
S
n
n
C
C
а
б
Рис. 9. Направление обхода контура и ориентация поверхности интегрирования
для верхней (а) и для нижней (б) стороны поверхности.
Анализ формулы Стокса (2.33) показывает, что подынтегральное выражение
 ∂a z ∂a y 
 ∂a
∂a 
∂a 
 ∂a

 cos α +  x − z  cos β + a z  y − x  cos γ
−
∂z 
∂x 
∂y 
 ∂z
 ∂y
 ∂x
(2.35)
можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: орта нормали
n 0 = i cos α + j cos β + k cos γ
(2.36)
и нового вектора
 ∂a я ∂a y   ∂a x ∂a z 
 ∂a y ∂a x
 i + 
−
−
−
 j + 
∂z   ∂z
∂x 
∂y
 ∂y
 ∂x
Ω = 

k ,

(2.37)
проекциями которого служат комбинации из частных производных функций
ax,
ay,
az,
которые можно рассматривать как
координаты вектора
a = a xi + a y j + a zk .
Тогда формула Стокса примет компактный вид:
∫ a dx +a dx + a dx = ∫∫ (Ω, n ) ds.
0
x
y
z
C
S
21
(2.38)
Как будет показано ниже, вектор Ω имеет большое значение при исследовании векторных полей. Он характеризует завихренность вектора a (M ) и поэтому называется вихревым вектором или р о т о р о м вектора.
2.7. Ротор вектора, его физический смысл и свойства
Пусть векторное поле определено вектор-функцией
a = a xi + a y j + a zk .
(2.39)
Если ax, ay, az непрерывны и обладают непрерывными частными производными первого порядка в некоторой точке M(x, y, z) , то в этой точке можно
построить вектор Ω , называемый р о т о р о м вектора a , т. е.
 ∂a
∂a y 
 ∂a
∂a 
 ∂a y
∂a 
 i +  x − z  j + 
− x k ,
Ω = rota =  z −
∂z   ∂z
∂x 
∂y 
 ∂y
 ∂x
(2.40)
который удобно записать с помощью определителя
rot a =
i
j
k
∂
∂x
ax
∂
∂y
ay
∂
.
∂z
az
(2.41)
Вектор rot a является точечной характеристикой векторного поля и связан с циркуляцией следующим соотношением:
∫ (a , d r )
rot n a (M ) = lim C
S→0
S
,
(2.42)
где rot n a (M ) – нормальная к площадке S в точке M проекция
rot a ;
контур C, ограничивающий площадку S , стягивается в точку M.
Выражение, определенное формулой (2.37), является скалярной величиной, которая называется плотностью циркуляции в данной точке M в направлении вектора n 0 или завихренностью вектора a (M ) в точке M.
22
Следовательно, ротор вектора поля a в точке M есть такой вектор, проекция которого на любое направление n равна плотности циркуляции в точке M
в этом направлении. Он характеризует завихренность вектора a в этой точке.
Выражение rot a (M) с помощью оператора ∇ можно записать в виде:
rot a = [∇ , a ] ,
(2.43)
где [∇ , a ] – векторное произведение оператора ∇ на вектор a .
Справедливы следующие дифференциальные свойства ротора:
1) rot (a + b ) = rot a + rot b или
rot n a = [∇ , a + b ] = [∇ , a ] + [∇ , b ]. ;
(2.44)
2) если a = a x i + a y j + a z k -– векторная функция, φ = φ(x, y, z) – скалярная
функция, то rot (ϕ a ) = ϕ rota + [gradϕ, a ] или
[∇ , ϕ a ] = ϕ [∇ , a ] + [∇ϕ, a ]. ;
(2.45)
3) div rot (a ) = 0 или
(∇ , [∇ , a ]) = 0.
(2.46)
Вихревое поле является полем без источников и стоков. Такое поле называется соленоидальным.
Векторное поле, у которого в каждой точке M rot a = 0, называется безвихревым.
Для вычисления ротора используются следующие формулы.
1) В декартовых координатах
i
rot a =
j
k
 ∂a y ∂a x 
∂ ∂ ∂  ∂a z ∂a y   ∂a x ∂a z 
 i + 
k.
−
−
−
= 
 j + 
∂x ∂y ∂z  ∂y
∂z   ∂z
∂x 
∂
x
∂
y


ax ay az
(2.47)
2) В цилиндрических координатах
 1 ∂ az ∂ aϕ 
∂a
 1 ∂ (ρ a ϕ ) 1 ∂ a ρ 
∂ az 
 eρ +  ρ −
 eϕ + 
 ez . (2.48)
rot a = 
−
−
ρ
∂
ϕ
∂
z
∂
z
∂
ρ
ρ
∂
ρ
ρ
∂
ϕ






23
3) В сферических координатах
rot a =
1  ∂ (sin θ a ϕ ) ∂ a θ 
1 ∂

 er + 
−
(r a θ ) − 1 ∂ a r  eϕ +
r sin θ 
∂θ
∂ϕ 
r ∂θ
r ∂ r
 1 ∂ ar 1 ∂

+
−
( r a ϕ )  eθ .
 sin θ ∂ ϕ r ∂ r

(2.49)
П р и м е р. Вычислить ротор векторного поля a (M ) = 2 x 2 yi − yz 2 j +
x
k
y
в точке М (– 1, 1, 2).
В этом случае a x = 2 x 2 y, a y = − yz 2 , a z =
x
, так что
y
 ∂a z ∂a y 
 x


 =  − 2 + 2 yz  = 5;
−
∂z  M  y
M
 ∂y
 1
 ∂a x ∂a z 
−

 =  −  = −1;
∂x  M  y  M
 ∂z
 ∂a y ∂a x 

 = (− 2 x 2 ) = −2,
−
M
∂y  M
 ∂x
поэтому в силу уравнения (2.47) имеем
rot a (M) = 5i − j − 2k.
Формула С т о к с а (2.33) может быть записана в векторной форме:
∫ (a, d r) =∫∫ rot a ds.
n
C
(2.50)
S
При выполнении условий подразд. 2.6 формула (2.50) означает следующее. Циркуляция вектора a (M ) по контуру C равна потоку его вихря через поверхность S, ограниченную контуром C. Направление интегрирования должно
быть согласованным с условиями подразд. 2.6.
24
2.8. Основные типы векторных полей
В зависимости от значений дивергенции и ротора векторного поля различают четыре основных типа векторных полей:
общий случай –
1) div a ≠ 0; rot a ≠ 0;
(2.51)
частные случаи –
2) div a = 0; rot a = 0;
(2.52)
3) div a ≠ 0; rot a = 0;
(2.53)
4) div a = 0; rot a ≠ 0.
(2.54)
2.9. Потенциальное векторное поле. Скалярный потенциал и
его свойства
Векторное поле a = a (M ) называется потенциальным, если в каждой его
точке существует некоторая скалярная функция, градиент которой равен заданному вектору в этой точке, т. е.
grad U (M) = a (M ).
(2.55)
В проекциях на оси координат равенство (2.55) запишется в виде:
∂U
∂U
∂U
i+
j+
k = a xi + a y j + azk ,
∂x
∂y
∂z
(2.56)
из чего следует:
∂U
∂U
∂U
;
ay =
;
az =
.
(2.57)
∂x
∂y
∂z
Потенциальное поле является простейшим из векторных полей, так как
характеризуется одной скалярной функцией – U(x, y, z), называемой скалярным
потенциалом.
Скалярный потенциал определяется с точностью до постоянного слагаемого C, так как
∇ ϕ1 = ∇ (ϕ + C) = ∇ ϕ ,
(2.58)
ax =
где φ = φ(x, y, z),
φ1 = φ(x, y, z) – скалярные потенциалы.
25
Необходимое и достаточное условие потенциальности поля, заданного в
поверхностно односвязной области, сводится к равенству:
rot a = 0.
(2.59)
В этом случае существует скалярная функция U = U(x, y, z) – такая, что
gradU(M) = a (M ).
Заметим, что область пространства T называется поверхностно односвязной, если на любой контур, лежащий в пространстве T, можно натянуть поверхность, тоже целиком лежащую в области T. В противном случае область T
называется поверхностно не односвязной (например, тор).
Потенциал поля в поверхностно односвязной области является однозначной функцией координат точки пространства, в то время как в поверхностно не
односвязной области безвихревое поле не всегда обладает однозначным потенциалом, т. е. потенциал такого поля может быть многозначной функцией от координат точки пространства. Таким примером может служить потенциал безвихревого (за исключением точек оси Oz) магнитного поля, созданного током,
текущим по бесконечно длинному проводу, расположенному по оси Oz. В этом
случае магнитное поле определяется по закону Био-Савара формулой:
i
2I
2I
H = 2 [k , r ] = 2 0
r
r
x
j
k
0
1 .
y
0.
(2.60)
При этом rot H = 0 всюду, за исключением точек оси Oz.
y
Потенциал U( x , y, z) = C + 2 I arctg является многозначной функцией от
x
координат x, y.
2.10. Определение скалярного потенциала по заданному
вектору a поля
Для векторного поля a = a x i + a y j + a z k , обладающего потенциалом
U = U(x, y, z), скалярное произведение (a , d r) является полным дифференциалом функции U = U(x, y, z), т е.
∂U
∂U
∂U
(a , d r) = (grad U, d r) = a x dx + a y dy + a z dz =
dx +
dy +
dz = dU . (2.61)
∂x
∂y
∂z
26
Следовательно, функция U = U(x, y, z) может быть найдена с помощью
криволинейного интеграла от полного дифференциала dU, если за путь интегрирования принять одну из ломаных линий со звеньями, параллельными осям
координат (рис.10). Это возможно, так как интеграл не зависит от пути интегрирования. Поэтому
∫
M
M
du = U (M) − U(M 0 ) .
(2.62)
0
z
M ( x , y, z )
M 0 (x 0 , y0 , z0 )
y
C(x, y 0 , z0 )
D (x , y, z 0 )
x
Рис. 10. Путь интегрирования со звеньями, параллельными осям координат
Формула (2.62) определяет разность потенциалов в точках M и M0. Из нее
следует выражение:
M ( x , y, z )
∫ (a , d r),
U( x , y, z) = C +
(2.63)
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
где C = U(M0) – постоянная величина.
Выбирая, в частности, за путь интегрирования ломаную линию M0CDM,
показанную на рис.10, получим:
M ( x , y, z )
U( x , y, z) = C +
∫ a x dx + a y dy + a z dz =
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
x
y
z
∫
∫
∫
x0
y0
z0
= С + a x ( x , y, z)dx + a y ( x , y, z)dy + a z ( x , y, z)dz .
27
(2.64)
П р и м е р. Доказать, что векторное поле a (M ) , заданное во всем
пространстве, потенциально, и вычислить потенциал этого поля.
a (M ) = ( x 2 − 2 yz) i + (y 2 − 2 xz) j + (z 2 − 2xy) k .
Для данного поля
ax = x2 – 2yz, ay = y2 – 2xz, az = z2 – 2xy,
а потому координаты ротора этого поля будут следующими:
∂a y 
 ∂a
 = −2 x − (−2x ) = 0;
(rot a) x =  z −

∂
y
∂
z


∂a 
 ∂a
(rot a) y =  x − z  = −2 y − (−2 y) = 0;
∂x 
 ∂z
 ∂a y ∂a x 
 = −2z − (−2z) = 0.
(rot a) z = 
−

∂
x
∂
y


Итак, для данного поля во всем пространстве rot a = 0 , откуда в силу равенства (2.53) следует потенциальность этого поля. Потенциал поля вычислим
по формуле (2.57), поместив точку М0 в начало координат и взяв контур М0М
в виде ломаной M0CDM со сторонами, параллельными осям координат. Заменим криволинейный интеграл по ломаной М0СDM суммой интегралов по ее
сторонам:
y
x
∫
∫
z
∫
U( x , y, z) = C + x dx + y dy + (z 2 − 2 xy)dz =
2
0
0
2
0
x 3 y3 z3
= С+
+
+
− 2xyz
3
3
3
Таким образом, потенциалом данного векторного поля будет функция
U ( x , y, z ) = С +
x 3 y3 z3
+
+ − 2 xyz.
3
3
3
2.11. Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал
Векторное поле, определенное вектором a (M ) = a x i + a y j + a z k , называется соленоидальным, если существует такой вектор A , ротор которого равен заданному вектору
a = rot A.
(2.65)
28
Вектор A называется векторным потенциалом вектора a . В прямоугольных координатах векторный потенциал выражается в виде:
a = rot A =
i
j
k
∂
∂x
Ax
∂
∂
=
∂y ∂z
Ay Az
∂A y   ∂A x ∂A z   ∂A y ∂A x
 ∂A
i +

=  z −
  ∂z − ∂x  j +  ∂x − ∂y
∂
∂
y
z



(2.66)

 k.


Если скалярный потенциал определяется с точностью до постоянного
слагаемого, то векторный потенциал определяется с точностью до градиента
произвольной скалярной функции. В самом деле, если A – векторный потенциал, то A1 = A + gradU – также векторный потенциал. Tак как rot gradU = 0, тo
rot A1 = rot (A + gradU) = rot A + rotgradU = rot A.
(2.67)
Необходимым и достаточным условием соленоидальности поля является
условие:
div a = div rot A = 0.
(2.68)
Следовательно, соленоидальное поле – это поле без источников и стоков.
Векторные (силовые) линии нигде не начинаются и нигде не кончаются внутри поля, они могут быть замкнутыми либо начинаться и кончаться у границ поля или уходить в бесконечность. Соленоидальное поле непрерывно, поэтому
условие
∂a x ∂a y ∂a z
div a = 0 или
+
+
=0
(2.69)
∂y
∂z
∂z
является также условием неразрывности векторного поля. Примером соленоидального поля является вихревое поле.
2.12. Дифференциальные операции векторного анализа второго порядка
Напомним, что дифференциальными операциями первого порядка называются следующие.
∂U
∂U
∂U
1) ∇ U = gradU =
i+
j+
k.
(2.70)
∂x
∂y
∂z
29
Эта операция характеризует наибольшую скорость изменения скалярного
поля U = U(M) в точке M как по величине, так и по направлению.
∂U ∂U ∂U
+
+
.
(2.71)
2) ( ∇ , a ) = gradU =
∂x ∂y ∂z
Эта операция характеризует мощность (обильность) источников и стоков
в точке M.
i
j
k
3) [∇ , a ] = rot a ==
∂
∂x
ax
∂
∂y
ay
∂
.
∂z
az
(2.72)
Эта операция характеризует завихренность вектора a в точке M.
Дифференциальными операциями второго порядка называются следующие:
div grad U = ( ∇ , ∇U) ;
(2.73)
div rot a = ( ∇ , [∇ , a ]) ;
(2.74)
rot grad U = [∇ , ∇U ] ;
(2.75)
grad div a = ∇ , ( ∇ , a ) ;
(2.76)
rot rot a = [∇ , [∇ , a ]] .
(2.77)
Показано, что для безвихревого поля верно равенство:
rot grad U = [∇ , ∇U ] = 0 ,
(2.78)
а для соленоидального div rot a = ( ∇ , [∇ , a ]) = 0.
(2.79)
Рассмотрим дифференциальную операцию, имеющую большое значение
в теории электромагнитного поля:
rot rot a = [∇ , [∇ , a ]].
(2.80)
Покажем, что верно равенство:
rot rot a = grad diva − ∆a или
(2.81)
[∇ , [∇ , a ]] = ∇ , (∇ , a ) − ∆a .
(2.82)
Известно, что
np ox (rot rot a) = rot x rot a =
∂  ∂a y ∂a x  ∂  ∂a x ∂a z 

− 
−
−
.
∂y  ∂x
∂y  ∂z  ∂z
∂x 
30
(2.83)
∂ 2a x
, после чего
Прибавим и вычтем в формуле (2.83) значение
∂x 2
получим:
∂ 2a y ∂ 2a x ∂ 2a x ∂ 2a z ∂ 2a x ∂ 2a x
np ox (rot rot a) =
−
−
+
+
−
=
2
2
2
2
∂x∂y
∂
x
∂
z
∂y
∂z
∂x
∂x
(2.84)
2
2
2


∂  ∂a x ∂a y ∂a z   ∂ a x ∂ a x ∂ a x  ∂

−
=
+
+
+
+
=
div a − ∆a z ,
2
2  ∂x
∂x  ∂x
∂y
∂z   ∂x 2
∂y
∂z 
∂2
∂2
∂2
называется оператором Лапласа.
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
По аналогии запишем выражения для rot y rot a и rot z rot a .
где оператор ∆ =
Таким образом получим:
∂
div a − ∆a x ;
(2.85)
∂x
∂
rot y rot a = div a − ∆a y ;
(2.86)
∂y
∂
rot z rot a = div a − ∆a z .
(2.87)
∂z
Умножая равенства (2.85), (2.86), (2.87) на i , j, k и складывая их, найдем
rot rot a = grad div a − ∆a.
(2.88)
rot x rot a =
2.13. Дифференциальные уравнения Лапласа и Пуассона
Рассмотрим равенство divgrad U = ( ∇ , ∇U) = ∇ 2 U . В прямоугольных координатах оно имеет вид:
∂2U ∂2U ∂2U
divgrad U = 2 + 2 + 2 .
(2.89)
∂x
∂y
∂z
∂2
∂2
∂2
2
Оператор ∇ = 2 + 2 + 2 = ∆ является оператором Лапласа.
∂x
∂y
∂z
Пусть div gradU = 0. Это означает, что потенциал U(x, y, z) удовлетворяет
уравнению:
∂2U
∂x 2
+
∂2U
∂y 2
31
+
∂2U
∂z 2
= 0,
(2.90)
которое называется у р а в н е н и е м Л а п л а с а в прямоугольных координатах.
В рассматриваемом случае потенциальное векторное поле a = grad U не
имеет ни источников, ни стоков, т. е. является соленоидальным. Такое поле
называется Лапласовым. Оно характеризуется следующим условием: чтобы
найти потенциал, достаточно решить уравнение Лапласа (∆U = 0).
Пусть векторное поле a = grad U содержит источники и стоки, мощность
которых div a = f ( x , y, z) . Тогда
div grad U = f ( x , y, z) ;
(2.91)
∂2U ∂2U ∂2U
+
+
= f ( x , y, z).
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(2.92)
Уравнение (2.92) называется у р а в н е н и е м П у а с с о н а в прямоугольных координатах.
Выражение ∆U в цилиндрических и сферических координатах соответственно имеет следующий вид:
1 ∂  ∂U  1 ∂ 2 U ∂ 2 U
∆U =
ρ
+
+
;
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
1 ∂  2 ∂U 
1
∂ 
∂U 
1
∂2U
∆U = 2
.
r
+
 sin θ
+
r ∂ r  dr  r 2 sin θ ∂ θ 
dθ  r 2 sin 2 θ dϕ 2
(2.93)
(2.94)
2.14. Формулы Грина
Выше рассматривались д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е о п е р а ц и и векторного анализа, характеризующие состояние векторного поля в д а н н о й
т о ч к е, а также и н т е г р а л ь н ы е ф о р м у л ы Остроградского – Гаусса и
Стокса, характеризующие заданную о б л а с т ь п р о с т р а н с т в а. Наряду с
указанными формулами для практических приложений большое значение имеют три формулы Грина, которые получены как следствие из теоремы Остроградского – Гаусса.
Пусть a = ϕ grad ψ или a = ϕ ∇ ψ , где φ(x, y, z); ψ(x, y, z), – непрерывные скалярные функции, обладающие непрерывными частными производными
32
до второго порядка включительно в некоторой области пространства T. Тогда в
области справедлива следующая п е р в а я ф о р м у л а Г р и н а:
∫∫
ϕ
S
∂ψ
ds =
∂n
∫∫∫ϕ ∆ψ dv + ∫∫∫ (∆ϕ, ∆ψ ) dv,
T
(2.95)
T
∂ψ
= np n gradψ;
∂n
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
∆ψ = 2 + 2 + 2 ;
∂x
∂y
∂z
(∆ϕ, ∆ψ ) = ∂ϕ ∂ψ + ∂ϕ ∂ψ + ∂ϕ ∂ψ ;
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
S – внешняя сторона поверхности, ограничивающая область T.
Справедливость формулы (2.95) вытекает из формулы Остроградского –
Гаусса, примененной к вектору a = ϕ ∇ ψ с учетом того, что
где
div a = div(ϕ ∆ψ ) = ϕ ∆ψ + (∆ϕ, ∆ψ ) ;
(2.96)
∂ψ
np n gradψ =
.
(2.97)
∂n
Полагая в формуле Остроградского – Гаусса ( 2.28) a = ϕ ∇ ψ − ψ ∇ ϕ ,
получим в т о р у ю ф о р м у л у Г р и н а:
 ∂ψ
∂ϕ 
∫∫  ϕ ∂n − ψ ∂n  ds = ∫∫∫(ϕ ∆ψ − ψ ∆ϕ) dv .
S
(2.98)
T
Полагая в формуле (2.95) φ = ψ, получим
третью формулу
Г р и н а:
∂ϕ
2
ϕ
ds =
ϕ ∆ψ + (∆ϕ ) dv.
(2.99)
∂
n
S
T
∫∫∫[
∫∫
]
В частности, при φ = const будем иметь:
∫∫
S
∂ψ
ds =
∂n
∫∫∫ ∆ψ dv.
(2.100)
T
В прямоугольных координатах формула (2.100) записывается в виде:
∫∫
S
∂ψ
∂ψ
∂ψ
dydz +
dxdz +
dxdy =
∂x
∂y
∂z
∫∫∫
33
T
 ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 

 dxdydz . (2.101)
+
+
 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 


2.15. Решение краевой задачи векторного поля
с помощью формулы Грина
Вторая формула Грина позволяет решить следующую практически важную краевую задачу.
Пусть в некоторой области T, ограниченной поверхностью S, задана непрерывная вместе со вторыми частными производными функция φ(x, y, z)
(рис.11).
S
M|
M ( x , y, z )
M 0 (x 0 , y0 , z0 )
T
Рис. 11. Область определения функции
Требуется определить значение φ в любой внутренней точке M0(x0, y0, z0)
указанной области T, если известны значения φ и ее нормальной производной
∂ϕ
на границе этой области и значение ∆φ в каждой ее внутренней точке.
∂n
Пусть ∆φ = f1(M) – известная функция внутри области T; ϕ S = f 2 (M′ ) –
∂ϕ
∂ϕ
на S; M′ – точка поверхности S;
= f 3 (M′) – значения
∂n
∂n M
M – произвольная точка области T; M0 – фиксированная точка внутри области
T. Искомое значение определяется по следующей формуле [5], являющейся
следствием формулы Грина:
значения φ на S;
4πϕ (M 0 ) = −
∫∫∫
T
1
∆ϕ dv −
r
∫∫
34
S
 ∂  1  1 ∂ϕ 
ϕ ∂n  r  − r ∂n  ds .
 


(2.102)
2.16. Основная теорема векторного анализа.
Определение поля по заданным div a и rot a
Пусть векторное поле a = a (r ) удовлетворяет следующим требованиям [5]:
 1 
1) a = o  1+ε  – бесконечно малая функция при r → ∞ ;
r 
 1 
 1 
2) div a = o  2+ε , rot a = o  2+ε  – бесконечно малые функции при
r 
r 
r → ∞ и ε → 0.
При этих условиях справедлива следующая основная теорема векторного
анализа. Любое непрерывное векторное поле a = a (r ) , заданное во всем пространстве и исчезающее на бесконечности вместе со своими дивергенцией и
вихрем, может быть единственным образом (с точностью до векторной постоянной) представлено в виде суммы потенциального a 1 ( r ) и соленоидального
a 2 (r ) полей, т. е.
a ( r ) = a1 (r ) + a 2 (r ),
(2.103)
где div a = div a 1 , div a 2 = 0;
rot a = rot a 2 , rot a 1 = 0;
По условию (2.103) все источники и стоки включаются в первую часть
разложения (2.103), т. е. в a 1 ( r ) , а вихри – во вторую часть (2.103), т. е. в a 2 ( r ) .
Если задать величины div a ( r ) = f1 ( r ) и rot a ( r ) = f 2 ( r ) , то можно по известным функциям f1 ( r ) и f 2 ( r ) определить само поле вектора a ( r ) . В случае
многосвязной области нужно провести дополнительные границы, превращающие эту область в односвязную.
П о с т р о е н и е п о т е н ц и а л ь н о г о в е к т о р а a1 (r) .
Пусть выполняются условия:
rot a 1 =0 ;
div a1 = div a.
Из равенства (2.104) следует, что
a = ∇ ϕ + C1 ,
где C1 – постоянный вектор.
Из равенства (2.105) вытекает, что
div (∇ ϕ + C1 ) = div a = f1 ( r ) или ∆ϕ = f1 ( r ).
35
(2.104)
(2.105)
(2.106)
(2.107)
Уравнение (2.107) является известным уравнением Пуассона.
Применим формулу (2.102) к неограниченному объему T, где искомой
является функция φ(M0), и примем во внимание, что при r → ∞ ϕ → 0 , а функ1
∂ϕ
ция
убывает на бесконечности быстрее, чем . Это означает, что
∂n
r
 ∂  1  1 ∂ϕ 
lim ϕ   −
(2.108)
 ds = 0.
r →∞
 ∂n  r  r ∂n 
∫∫
В результате получим:
ϕ (M 0 ) = −
1
4π
∫∫∫
T
div a
dv,
r
(2.109)
где r = (x − x 0 ) + (y − y 0 ) + (z − z 0 ) – расстояние от точки M0(x0, y0, z0) , в
которой вычисляется φ, до произвольной точки M(x, y, z) области интегрирования T.
Интегрирование распространяется на всю область определения
div a = f1 ( r ) . Следовательно, потенциальный вектор может быть представлен
формулой:
1
div a
a 1 (r ) = ∇ ϕ + C1 = C1 −
dv.
(2.110)
4π T
r
2
2
2
∫∫∫
П о с т р о е н и е с о л е н о и д а л ь н о г о в е к т о р а a 2 (r ) . Вектор
a 2 определяется следующими условиями:
rot a 2 = rot a = f 2 ( r );
div a 2 = 0.
(2.111)
(2.112)
a 2 = rot W + C2 ,
(2.113)
Допустим, что
где
W – векторный потенциал, который без ограничения общности может
быть подчинен условию: div W = 0;
C2 – постоянный вектор.
Применяя формулу (2.81), получим:
rot a 2 = rot rot W = grad div W − ∆ W,
где ∆ – оператор Лапласа.
36
(2.114)
Учитывая, что grad div W = 0, rot a 2 = rot a = − ∆ W,
находим
∆ W = − rot a или ∆ W = −f 2 ( r ),
где
(2.115)
f 2 ( r ) – заданная функция.
Решение уравнения (2.115) может быть представлено формулой [ 5 ]:
W=
1
4π
∫∫∫
T
rot a
dv.
r
(2.116)
Следовательно, соленоидальный вектор a 2 (r ) примет вид:
a 2 (r ) = rot W + C2 = C2 +
1
rot
4π
∫∫∫
T
rot a
dv.
r
(2.117)
Таким образом, любое непрерывное векторное поле a ( r ) , удовлетворяющее указанным условиям теоремы, определяется как сумма потенциального и
соленоидального векторов поля и представляется формулой:
a (r ) = −
1
grad
4π
∫∫∫
T
div a
1
dv +
rot
r
4π
∫∫∫
T
rot a
dv.
r
(2.118)
В формуле (2.118) принято С1 = С2 = 0 , так как поле вектора a (r ) должно исчезать на бесконечности. Другими словами, вектор a (r ) представляется с
помощью скалярного
1
div a
ϕ=−
dv
(2.119)
4π T
r
∫∫∫
и векторного
W=
1
4π
∫∫∫
T
rot a
dv.
r
(2.120)
потенциалов. Заметим, что разложение уравнения (2.118) единственно.
2.17. Мера неоднородности векторного поля. Градиент одного
вектора по другому
Если речь идет о неоднородности векторного поля, то рассмотренными ранее понятиями его свойства не исчерпываются. Для характеристики неоднородности поля вводится понятие градиента одного вектора по другому.
37
П р о и з в о д н а я в е к т о р а a (r ) п о н а п р а в л е н и ю l .
Пусть
задано
неоднородное
векторное
поле
(рис.12)
a = a ( r ), r = x i + y j + z k , где a ( r ) – векторная функция, зависящая от точки
M ( r ) пространства и направления l , проходящего через эту точку.
Следовательно, x = x l , y = y l , z = z l – функции направления.
Производная вектора a ( r ) по направлению l определяется в виде:
( )
()
( )
∆a ( M′) − ∆a ( M )
da ( M )
∆a ( M )
= lim
= lim
.
∆l
∆l
dl
∆l → 0
∆l → 0
M′ → M
(2.121)
M′ → M
В прямоугольных координатах производная вектора a (r ) по направлению l вычисляется по формуле:
da ∂a dx ∂a dy ∂a dz
=
+
+
,
dl ∂x dl ∂y dl ∂z dl
где
(2.122)
dx
dy
dz
= cos α;
= cos β;
= cos γ.
dl
dl
dl
z
a (M | )
a (M )
M|
∆ a (M )
M
a (M )
a (M | )
γ
β
e0
α
y
x
Рис. 12. Неоднородное векторное поле
Поэтому формула (2.122) может быть записана в виде:
da
∂a
∂a
∂a
= cos α
+ cos β
+ cos γ .
dl
∂x
∂y
∂z
38
(2.123)
По аналогии с формулой (1.2), задающей производную скалярной функции, можно записать:
da
= (l 0 , ∇ ) a ,
(2.124)
dl
где
0
l = i cos α + j cos β + k cos γ.
Оператор (l 0 , ∇ ) имеет следующее выражение:
(l , ∇ ) = cos α ∂∂x + cos β ∂∂y + cos γ ∂∂z .
0
(2.125)
Г р а д и е н т в е к т о р а a п о в е к т о р у v.
0
0
Пусть a = a x i + a y j + a z k, v = v x i + v y j + v z k = v l = v l .
Градиентом вектора a по вектору v называется операция дифференцирования вектора, обозначаемая символом (v, ∇ ) a и определяемая по формуле:
(v, ∇ ) a = v x ∂a + v y ∂a + v z ∂a .
∂x
∂y
∂z
(2.126)
( )
da
, т. е. градиент вектора a по векdl
тору v равен производной вектора a по направлению вектора v , умноженной
на длину вектора v . В проекциях на оси прямоугольной системы координат
градиент вектора по вектору записывается в виде:
Если v = vl , то (v, ∇ ) a = v l , ∇ = v
0
0
∂a x
∂a
∂a
+ v y x + v x z = ( v, ∇ a x ) ;
(2.127)
∂x
∂y
∂z
∂a
∂a
∂a
[(v, ∇ ) a ]y = v x y + v y y + v x y = (v, ∇ a x ) ;
(2.128)
∂x
∂y
∂z
[(v, ∇ ) a ]z = v x ∂a z + v y ∂a z + v x ∂a z = (v, ∇ a z ) .
(2.129)
∂x
∂y
∂z
∂a k
Формулы (2.127) – (2.129) показывают: при условии, что
≠ 0 , вектор∂x k
ное поле a (M ) по всем направлениям неодинаково. Только в случае однородного поля все частные производные в формулах (2.127) – (2.129) равны нулю и выполняется условие:
[(v, ∇ ) a ]x
= vx
(v, ∇ ) a = 0 .
39
(2.130)
Из формул (2.127) – (2.129) следует, что градиент вектора по вектору
приводит к более сложному понятию, чем скаляры и векторы, – к понятию
тензора.
Градиент вектора a по вектору v служит для характеристики неоднородности векторного поля.
3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
3.1. Уравнения электромагнитного поля
Состояние электромагнитного поля в данной точке среды M ( r ) и в данный момент времени t описывается пятью векторными величинами: напряженностью электрического E = E ( r , t ) и магнитного H = H( r , t ) полей, векторами электрической D = D(r , t ) и магнитной B = B(r , t ) индукции и вектором
плотности электрического тока δ .
В изотропной неоднородной среде при отсутствии сторонних токов и зарядов эти векторы удовлетворяют следующей системе уравнений Максвелла:
∂D
+ δ – первое уравнение Максвелла;
 rot H =
t
∂

∂B

rot
E
=
−
– второе;

∂t

(3.1)

 div D = ρ – третье;


 div B = 0 – четвертое,

где δ = γ с E;
D = ε c E;
B = µ c H;
(3.2)
γc
– удельная проводимость среды;
εc, µc – абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемость среды;
ρ
– объемная плотность зарядов.
Первое уравнение Максвелла показывает, что магнитное поле может возбуждаться как током проводимости (плотность тока δ ), так и изменением во
∂D
времени электрического поля (плотностью тока смещения
).
∂t
Второе уравнение Максвелла связывает скорость изменения магнитной
индукции B с вихревым вектором напряженности электрического поля. Из
этого уравнения следует, что изменяющееся во времени магнитное поле
40
образует электрическое, которое, в отличие от поля электрических зарядов, носит вихревой характер.
Третье уравнение Максвелла утверждает, что в электрическом поле дивергенция вектора электрической индукции D равна объемной плотности
заряда ρ.
Из четвертого уравнения следует, что в природе отсутствуют магнитные
заряды.
Уравнения (3.2) характеризуют материальную среду и называются материальными уравнениями.
Система уравнений Максвелла (3.1) для случая однородной среды, т. е.
когда параметры γc, εc, µc постоянны, с помощью формул (2.40) и (2.71) может
быть приведена к виду:
∂E
∂2 E
∆E − εcµ c
−
µ
γ
c c ∂ t = 0;
∂ t2
(3.3)
∂H
∂2 H
∆H − εcµ c
− µc γ c
= 0;
2
∂t
∂t
div H = 0;
div E = 0.
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Для полей, созданных гармонически меняющимся током I = &Ie jωt , принято
рассматривать систему уравнений Максвелла относительно комплексных ам& , связанных с мгновенными значениями векторов E
плитуд векторов E& m и H
m
и H условиями:
{
}
E = Re E& m e jωt ;
{
}
& e j ωt ;
H = Re H
m
(3.7)
&
где E m = E m e jϕ ;
& = H e jϕ – комплексные амплитуды векторов E и H .
H
m
m
При этом уравнения (3.3) – (3.6) преобразуются к виду:
∆E − k E = 0;
(3.8)
∆H − k H = 0;
(3.9)
2
2
k 2 = −ω 2 ε c µ c + jωµ c γ c ,
41
(3.10)
где E и H – комплексные амплитуды векторов напряженности электрического
и магнитного полей (знак “.“ над векторами E и H здесь и далее опущен);
k – волновое число среды.
Уравнения (3.8) и (3.9) получили название волновых уравнений.
3.2. Вычисление составляющих векторов электромагнитного поля.
Скалярный и векторный потенциалы
В общем случае решение системы уравнений Максвелла (3.1) представляет определенные трудности. Поэтому одним из наиболее распространенных методов решения является метод потенциалов. Он основан на введении вспомогательных функций – потенциалов: скалярного
ϕ = ϕ (r, t )
и векторного
A = A (r, t ) .
С их помощью уравнения электродинамики можно привести к виду, при
котором число уравнений, определяющих поле, будет меньше числа уравнений
Максвелла.
В самом деле, так как вектор магнитной индукции B в силу четвертого
уравнения Максвелла является соленоидальным, то можно положить по формуле (2.61)
B = rot A(r, t)
(3.11)
или по формуле (3.2) –
1
rot A,
H( r , t ) =
(3.12)
µc
где A = A ( r , t ) – векторный потенциал магнитного поля.
Подставив выражение вектора A во второе уравнение Максвелла и используя свойства (2.39), получим:

∂A 
rot  E +
 = 0.
t
∂


Из уравнения (3.12) следует, что вектор E +
(3.13)
∂A
является потенциальным,
∂t
т. е. выполняется условие:
E+
∂A
= − grad ϕ ,
∂t
где ϕ = ϕ ( r , t ) – скалярный потенциал.
42
(3.14)
Из формул(######)следует, что
E=−
∂A
− grad ϕ .
∂t
(3.15)
Введенные таким образом потенциалы A и φ определены пока неоднозначно. Известно [8], что эта неопределенность устраняется для однородной
непроводящей среды (γc = 0), если потребовать, чтобы A и φ удовлетворяли
условию Лоренца, т. е.
∂ϕ
divA + µ c γ c
= 0.
(3.16)
∂t
В случае однородной проводящей среды ( γ c ≠ 0 ) величины A и φ должны
быть связаны между собой соотношением:
divA + µ c γ c
∂ϕ
+ γ c µ c ϕ = 0.
∂t
(3.17)
В случае гармонически изменяющегося тока, для которого верны представления
& (r )e jωt ,
I = &Ie jωt ;
A=A
(3.18)
имеем
∂A
= j ωA
∂t
(3.19)
E = − j ω A − grad ϕ ;
(3.20)
1
rot A.
µc
(3.21)
или
H=−
Подставляя выражения (3.18) и (3.19) в первое уравнение Максвелла и
пользуясь векторным тождеством (2.68), получим:
k2
jω


grad  ϕ + 2 divA  = ∇ 2 A − k 2 A,
jω
k


где k 2 = jωγ c µ c − ω 2 ε c µ c – волновое число среды;
∇ A = ∆A – лапласиан вектора
2
43
A.
(3.22)
Для однозначного решения уравнения (3.20) следует выбирать φ так, чтобы содержимое скобки, стоящей под знаком градиента, обращалось в нуль, т. е.
положить
jω
ϕ + 2 div A = 0.
(3.23)
k
Отсюда следует:
jω
ϕ = − 2 div A .
(3.24)
k
При таком выборе скалярного потенциала векторный потенциал должен
удовлетворять дифференциальному уравнению:
∇ A − k A = 0.
2
2
(3.25)
Уравнение (3.22) называется уравнением Гельмгольца и является хорошо
изученным.
Подставляя значение скалярного потенциала φ из выражения (3.21) в выражение (3.14) и учитывая (3.17), получим:
1
 jω



E = − jωA + grad  2 divA  = − jω  A − 2 grad divA  .
k
k



В заключение приведем
тромагнитного поля:







(3.26)
уравнения, определяющие составляющие элек∇ A − k A = 0;
2
2
1


E = − jω  A − 2 grad divA  ;
k


1
H = − rot A.
µc
(3.27)
3.3. Решение уравнения ∇ 2 A − k 2 A = 0 в цилиндрических координатах
Будем полагать, что векторный потенциал магнитного поля имеет составляющие Ak, зависящие в общем случае от трех координат – r, φ, z, т. е.
Ak = Ak (r, φ, z).
При таком условии волновое уравнение
2
2
∇ A−k A =0
(3.28)
44
в цилиндрических координатах в соответствии с формулой (2.73) будет записываться в виде:
∂ 2 A k 1 ∂A k 1 ∂ 2 A k ∂ 2 A k
+
+ 2
+
= k 2Ak .
2
2
2
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
∂r
(3.29)
Поиск решения этого уравнения ведется известным методом Фурье [7].
Отыскивается функция Ak в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной, т. е.
Ak = U(r) V(φ) W(z).
(3.30)
В целях сокращения последующей записи аргументы у функций записывать не будем. Подставляя принятое представление функции Ak в (3.25),
получим:
∂ 2 U VW ∂U UW ∂ 2 V
∂2W
VW 2 +
+ 2
+ UV 2 − k 2 UVW = 0.
(3.31)
2
∂r
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
Разделим уравнение (3.27) на произведение UVW и перепишем его в следующем виде:
1 ∂ 2 U 1 ∂U
1 ∂ 2V 1 ∂ 2W
+
+
+
− k 2 = 0.
2
2
2
2
U ∂r
Ur ∂r
Vr ∂ϕ
W ∂z
(3.32)
Уравнение (3.28) может быть разбито на два уравнения:
1 ∂2W
− k 2 = λ2 ;
2
W ∂z
(3.33)
1 ∂ 2 U 1 ∂U
1 ∂ 2V
+
+ 2
= −λ2 ,
2
2
U ∂r
Ur ∂r
Vr ∂ϕ
(3.34)
где λ – разделительная (произвольная) величина.
Решение уравнения (3.29) имеет вид:
W = α1e
z λ2 + k 2
45
+ β1e − z
λ2 + k 2
.
(3.35)
Умножим уравнение (3.30) на r2 и перепишем его в виде:
r 2 ∂ 2 U r ∂U
1 ∂ 2V
2 2
+
+λ r +
= 0.
U ∂r 2 U ∂r
V ∂ϕ 2
(3.36)
Разделяя переменные в уравнении (3.32), получим:
1 ∂2V
= −n 2 ;
2
V ∂ϕ
2
2
r ∂ U r ∂U
+
+ λ2 r 2 = n 2 ,
2
U ∂r
U ∂r
где n – разделительная (произвольная) величина.
Решение уравнения (3.33) представляется формулой:
V = α2 cos nφ + β2 sin nφ.
Уравнение (3.38) при λ > 0 приводим к виду:
∂ 2 U 1 ∂U  2 n 2 
+
+  λ − 2  U = 0.
∂r 2 r ∂r
r 

(3.37)
(3.38)
(3.39)
(3.40)
Уравнение (3.36) является уравнением Бесселя, и его решение записывается в виде:
U = α3 Jn (λ r) + β3 Yn (λ r)
(3.41)
где
Jn(λ r) – функция Бесселя первого рода n - го порядка;
Yn(λ r) – функция Бесселя второго рода n - го порядка.
Решение уравнения (3.25) в конечном виде может быть записано так:
A k = (α1e z λ +k + β1e − z λ +k ) (α 2cos nϕ + β 2 sin nϕ )×
×
(3.42)
× (α 3 J n (λ r) + β3 Yn (λ r) )
В более общей форме решение уравнения (3.25) может быть представлено
в виде [7]:
2
∞
Ak =
∞
(α e z
 1
n =0 
∫∑
o
2
λ2 + k 2
2
+ β1 e − z

⋅ (α 3 J n (λ r) + β 3 Yn (λ r)) 

46
2
λ2 + k 2
) (α 2 cos nϕ + β 2 sin nϕ ) ⋅
(3.43)
Произвольные постоянные α1, β1, α2, β2, α3, β3 определяются для каждой
задачи из начальных условий.
Вектор-потенциальная
функция
диполя
3.4.
тока, находящегося в безграничном однородном пространстве
постоянного
Наиболее простой является задача определения вектор-потенциальной
функции (векторного потенциала магнитного поля) диполя п о с т о я н н о г о
т о к а, находящегося в безграничном однородном пространстве (рис.13).
y
dx
P| (x, y)
r
I
x
O
R
z
P ( x , y, z )
Рис.13. Диполь постоянного тока в безграничном
однородном пространстве
Первое уравнение Максвелла в этом случае примет вид:
rot H = δ .
(3.44)
Умножая левую и правую части уравнения (3.40) на µc , получим:
µ c rot H = rot (µ с H ) = rot B = µ с δ.
Так как B = rot A , то
rot rot A = µ с δ.
(3.45)
(3.46)
В соответствии с дополнительным условием
div B = div µ с H = 0,
47
(3.47)
которое является четвертым уравнением Максвелла и утверждает, что магнитное поле H не имеет источников (зарядов), и в силу соотношения (2.90), выведенного в подразд. 2.16, для вектор-потенциальной функции имеем следующее
выражение [ 7 ]:
µ
δdv
A= c
.
4π v R
∫
(3.48)
В частности, для проекции на ось Ox можно записать равенство:
rot x (rot A) = µ с δ x ,
(3.49)
которое в силу уравнений (2.71) и (3.43) примет вид:
 ∂ 2Ax ∂ 2A x ∂ 2A x
rot (rot A) = −∇ A x = −
+
+
2
∂y 2
∂z 2
 ∂x
2

 = µ с δ x .

(3.50)
Уравнение (3.46) является уравнением Пуассона, на основании равенства
(3.44) его решение представляется формулой [ 7 ] :
µ
Ax = c
4π
δ x dv
,
R
V
∫
(3.51)
где dv – элемент объема тела;
R – расстояние от центра элемента объема до точки, в которой определяется.
Вектор-потенциальная функция элемента прямолинейного провода диполя, находящегося в безграничном однородном пространстве, в силу круговой
симметрии имеет только одну составляющую:
µ c δx dv
.
4π R
∆A x =
(3.52)
Однако так как
δx dv = δx ds dx = I dx,
то
∆A x =
µ c I dx
,
4π R
48
(3.53)
(3.54)
где
ds – площадь поперечного сечения провода;
dx – длина диполя;
I = δx dx – ток, протекающий по диполю.
3.5. Вектор-потенциальная функция диполя переменного
тока, находящегося в безграничном однородном пространстве
В силу круговой симметрии в рассматриваемом случае векторпотенциальная функция имеет только одну составляющую ∆Ax, значение которой зависит лишь от расстояния между точкой наблюдения и началом координат. Выбрав сферическую систему координат и приняв за полярную ось Ох, в
соответствии с волновым уравнением (3.22) получим:
1 ∂  2 ∂(∆A x ) 
2
R
 − k (∆A x ) = 0
2
∂R 
R ∂R 
(3.55)
∂2
[R (∆A x )] − k 2 (R ∆A x ) = 0.
2
∂R
(3.56)
или
Общее решение уравнения (3.51) имеет вид:
C1e kR + C 2 e − kR
∆A x =
.
(3.57)
R
Так как в рассматриваемой задаче функция ∆Ax должна быть убывающей
на бесконечности, то следует принять C1 = 0. Тогда
∆A x =
C 2 −kR
e .
R
(3.58)
В частном случае, когда k = 0 (диполь постоянного тока), формула (3.53)
упрощается и принимает вид:
C
∆A x = 2 .
(3.59)
R
Так как левые части равенств (3.49) и (3.54) представляют собой одну и
ту же величину, то необходимо принять
C2 =
µcI
dx .
4π
49
(3.60)
Таким образом, вектор-потенциальная функция диполя переменного тока,
находящегося в безграничном однородном пространстве, будет определяться в
виде:
µcI
e − kR
∆A x =
.
dx
4π
R
(3.61)
e m kR
Выражение
является результатом вычисления известного интеграла
R
Зоммерфельда [12, 14, 21], т. е.
∞
λ e m z λ +k
e m kR e m k r + z
=
=
J 0 (λ r )dλ,
2
2
2
2
R
λ +z
r +z
0
2
2
2
2
∫
(3.62)
где J0( λr ) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка;
r2 = x2 + y2.
Формулу для вычисления ∆Ax диполя постоянного тока, находящегося в
безграничном однородном пространстве, с учетом выражения (3.57) удобнее
записать в виде:
µ c I dx
∆A x =
4π
∞
∫
0
λ
λ +z
2
2
2
e
mz
λ2 + Z2
J 0 (λ r) dλ .
(3.63)
Заметим, что знак “ + “ в уравнении (3.58) следует принимать при z < 0,
а знак “ – “ – при z > 0.
3.6. Вектор-потенциальная функция диполя постоянного тока,
находящегося над границей раздела двух сред
Диполь постоянного тока, находящийся над границей раздела двух сред
(воздух – земля), представляет собой систему, состоящую из провода с током I,
электродов (заземлителей) и подводящих проводов небольшой длины. Задача
отыскания вектор-потенциальной функции такой системы решается следующим
образом [12, 14]:
50
1) отыскивается напряженность магнитного поля от бесконечного прямолинейного провода с током I, оканчивающегося в плоскости z = 0 заземлителем
a (рис. 14);
I
r
O1
dz
β1
H1
P1
a
y
x
R|
z0
β
R
ψ
r
O2
H2
z
P2
Рис. 14. Бесконечный прямолинейный провод с током, оканчивающимся в плоскости z = 0 заземлителем а
2) определяется напряженность магнитного поля от бесконечного прямолинейного провода, по которому ток I течет от заземлителя в бесконечность (рис. 15);
3) находится напряженность магнитного поля от диполя, получающего
питание по двум проводам, уходящим в бесконечность (рис. 16).
Чтобы получить напряженность магнитного поля от тока, стекающего с
точечного электрода в землю, нужно из напряженности магнитного поля, полученной при решении первой задачи, вычесть напряженность магнитного поля от
вертикального провода.
Магнитное поле бесконечного вертикального провода с током I, заканчивающимся у поверхности раздела точечным заземлителем, обладает осевой
симметрией, поэтому вектор напряженности магнитного поля в точках P1 и P2
будет направлен по касательной к окружностям, лежащим в плоскостях, перпендикулярных проводу.
51
При z < 0 в соответствии с законом полного тока имеем
H1 =
I
.
2πr
(3.64)
I
r
O1
H1
P1
dz
y
b
z0
x
β1
R|
ψ
a
O2
r
P2
b
H2
z
Рис. 16. Диполь, получающий питание
по двум проводам, уходящим в бесконечность
Рис. 15. Бесконечный прямолинейный провод, по которому течет ток
от заземлителя в бесконечность
Ток, пронизывающий такую же окружность при z > 0, будет меньше модуля тока I ′ во столько раз, во сколько раз поверхность сферического сегмента,
ограниченного окружностью, меньше поверхности полусферы с центром в точке а и радиусом R. Так как площадь поверхности полусферы равна 2πR2, а
площадь сферического сегмента – 2πR2 (1 – cos β), ток I′ , пронизывающий
окружность при z > 0,
I′ = I ( 1 − cos β).
(3.65)
Тогда
H2 =
I
I  z0 
( 1 − cos β) =
1 −  .
2πr
2πr 
R
(3.66)
В соответствии с законом Био-Савара вектор напряженности магнитного
поля в точке P2, обусловленный элементом провода dz и током I (при условии
52
нахождения начала системы координат в точке), удовлетворяет уравнению:
d H2′ =
4π (R ′) 2
,
I dz sin β1
(3.67)
r
;
R′
R ′ – расстояние от элемента dz до точки P2.
Магнитное поле от всего провода
где sin β1 =
∞
sin β1
I
H ′2 =
dz .
(3.68)
4π z 0 (R ′) 2
Для вычисления интеграла в равенстве (3.68) введем новую независимую
переменную ψ (на рис. 15 это угол между r и R'). При этом
∫
R′ =
r
r dψ
, z = r tgψ , dz =
, sin β1 = cos ψ .
2
cos ψ
cos ψ
(3.69)
Следовательно,
H′ =
π
2
z
I
cos ψ
I
I 
dψ =
( 1 − sin ψ ) =
1− 2 0 2
4π ψ r
4πr
4πr 
r + z0
∫

 .


(3.70)
Для точки Р1 знак угла ψ изменится на обратный, тогда
H1′ =
z
I 
1+ 2 0 2
4πr 
r + z0

.


(3.71)
Напряженность магнитного поля от токов, стекающих от заземлителя в
однородную землю, будет такой:
а) для точек, лежащих на высоте z0 над землей,
H = H1 − H1′ =
I 
z0
1+ 2
4πr 
r + z 02

,


(3.72)
б) для точек, лежащих на глубине z0 под поверхностью земли,
H = H 2 − H ′2 =
z
I 
1− 2 0 2
4πr 
r + z0
53

.


(3.73)
Вектор напряженности магнитного поля тока I , стекающего с заземлителя, находящегося на границе двух полупространств, лежит в плоскости, параллельной границе раздела.
Выражения для составляющих вектора напряженности магнитного поля
запишутся (рис. 17) следующим образом:
I y
z
1− ,
(3.74)
2 
4π r  R 
I x
z
(3.75)
Hy = −
1−  ,
2 
4π r  R 
где R = x 2 + y 2 + z 2 – расстояние от точки наблюдения до заземлителя;
z – высота точки наблюдения над плоскостью раздела.
Hx =
y
Hx
ϕ
r
Hy
H
y
ϕ
x
x
Рис.17. Составляющая вектора напряженности магнитного поля тока, стекающего с заземлителя
Так как r 2 = R 2 − z 2 , то
Iy
1
;
4π R ( R + z )
Ix
1
Hy = −
.
4π R ( R + z )
Hx =
(3.76)
(3.77)
Диполь имеет два заземлителя с токами, текущими в разных направлениях
и смещенными друг относительно друга на бесконечно малую величину dx. Полагая, что отрицательный электрод (заземлитель) смещен относительно положительного в сторону отрицательных значений X на величину dx, составляющие вектора напряженности магнитного поля от второго электрода запишутся
так:
Iy
1
H′x = −
;
(3.78)
4π R ′(R ′ + z)
H′y =
I ( x + dx )
1
,
4π 54 R ′( R ′ + z)
(3.79)
где R ′ = ( x + dx ) 2 + y 2 + z 2 .
Результирующие значения напряженности магнитного поля в точке
наблюдения по осям координат определяются так:
H x ∑ = H x + H′x = −

I y
1
1
;
−
4π  R ′(R ′ + z)
R (R + z) 
(3.80)
I ( x + dx )
1
Ix
1
(3.81)
.
−
4π
R ′(R ′ + z)
4π R ( R + z)
Выражение, стоящее в скобках в формуле (3.80), есть приращение функ1
ции
в точке наблюдения с координатами x, y, z, соответствующее
R (R + z)
изменению x на отрезке от x до x + ∆x. Применяя теорему о конечном приращении Лагранжа
(3.82)
f (b) − f (a ) = f | (ξ) ( b − a ), (a < ξ < b) , получим:
H y ∑ = H y + H′y =
Hx∑ =

Iy ∂ 
1
I dx xy(2R + z) .
dx = −


4π ∂x  R (R + z) 
4π R 3 ( R + z ) 2
(3.83)
Аналогично
Hy∑

Idx ∂ 
x
I dx R 2 (R + z) − x 2 (2R + z) .
=
=−
4π ∂x  R (R + z) 
4π
R 3 (R + z) 2
(3.84)
В рассматриваемой точке наблюдения напряженность магнитного поля
создается и током, текущим по диполю от одного заземлителя к другому. Вектор напряженности этого магнитного поля лежит в плоскости yOz и определяется в соответствии с законом Био-Саварa:
I dx sin( R , x )
(3.85)
.
2
4π
R
Вектор магнитного поля H′′ лежит в плоскости, перпендикулярной проводу с током I, т. е. оси Ox, поэтому он имеет составляющие только по осям
Oy и Oz.
Обозначив расстояние от точки наблюдения по оси Оx через r′ , т. е.
r′
приняв sin(R , x ) =
и r ′ = y 2 + z 2 , составляющие вектора H′′ по осям Оy и
R
Оz определим так:
H′′ =
H′y′ = −
I dx r ′
cos(r ′, y)
4π R 3
55
(3.86)
I dx r ′
sin (r ′, y)
4π R 3
z
y
Так как cos ( r ′, y) = | , а sin ( r ′, y) = , то
r
r′
H ′z′ = −
H′y′ = −
I dx z
,
4π R 3
(3.87)
(3.88)
(3.89)
I dx y
,
H′z′ = −
3
4
π
R
Таким образом, система из двух электродов (заземлений) с разным
направлением токов и провода бесконечно малой длины (электрический диполь), соединяющего эти электроды, определит существование в точке наблюдения с координатами x, y, z магнитного поля, имеющего своими составляющими
H′x′ ∑ = H x ∑ = −
H′y′ ∑ = H y ∑
Так как
I dx xy(2R + z)
;
4π R 3 ( R + z) 2
I dx  R 2 (R + z) − x 2 (2R + z) z 
+ H′y′ = −
+ 3 ;
4π 
R 3 (R + z) 2
R 
I dx y
H′z′∑ = H ′z′ =
.
4π R 3
rot A = B = µ с H и H =
(3.90)
(3.91)
(3.92)
1
rot A, то
µс

∂ A z ∂A y
′
′
µ
H
=
−
;
c
x
∑

∂
y
∂
z


∂ A x ∂A z
;
−
µ c H ′y′ ∑ =
z
x
∂
∂

∂ A y ∂A x

(3.93)
′
′
H
.
µ
=
−
 c z∑
∂
x
∂
y

B силу симметрии поля относительно плоскости xOz диполь, находящийся над границей раздела двух сред, имеет две составляющие вектора ∆A:
∆Ax и ∆Аz.
Из выражений (3.90) – (3.93) следует, что
µ I dx xy(2R + z) ∂∆A z
− c
=
;
4π R 3 ( R + z ) 2
∂y
56
(3.94)
µ c I dx  R 2 (R + z) − x 2 (2R + z) z  ∂∆A x ∂∆A z
−
+ 3=
−
;
4π 
R 3 (R + z) 2
R 
∂z
∂x
µ c I dx y
∂∆A x
.
=
−
4π R 3
∂y
(3.95)
(3.96)
В соответствии с уравнением (3.96)
∆A x =
µ c I dx 1
.
4π R
(3.97)
Так как при этом выражении Ax будет существовать равенство
µ I dx z
=− c
,
∂z
4π R 3
∆A x
(3.98)
то уравнение (3.95) можно переписать в виде:
µ c I dx R 2 (R + z) − x 2 (2R + z) ∂∆A z
=
4π
R 3 (R + z) 2
∂x
.
(3.99)
Решение уравнения (3.99) имеет вид:
∆A z =
µ c I dx
4π
x
R ( R + z)
.
(3.100)
Выражение (3.100) для ∆Аz удовлетворяет и уравнению (3.94). Умножив
и разделив правую часть уравнения (3.100) на r, получим:
∆A z =
µ c I dx x
µ I dx
r
r
= c
cos ϕ
.
4π
r R (R + z )
4π
R (R + z)
(3.101)
Заметим, что
1
r2 + z2
∞
= e m λz J 0 (λr ) dλ;
∫
(3.102)
0
∞
r
= e m λz J1 (λr ) dλ,
R (R + r ) 0
∫
57
(3.103)
где J1(λr) – функция Бесселя первого рода первого порядка.
Окончательно составляющие вектор-потенциальной функции диполя постоянного тока, находящегося над границей раздела двух сред, могут быть
записаны в следующем виде:
∞
µ I dx m λz
∆A x = c
e J 0 ( λ r ) d λ;
4π 0
(3.104)
∫
(3.105)
∞
µ I dx m λz
∆A z = c
e J 1 (λr ) dλ .
4π 0
∫
3.7. Вектор-потенциальная функция диполя переменного тока,
находящегося над границей раздела двух сред
Наиболее сложной задачей об электромагнитном поле является определение составляющей Aк вектор-потенциальной функции диполя переменного тока, находящегося над границей раздела двух сред (рис. 18).
В общем виде формула для вычисления Aк представляется выражением
(3.43). Для условий рассматриваемой задачи функция Бесселя второго рода n
порядка Yn (λr) в уравнении (3.43) присутствовать не должна, так как при λr
→ 0 Yn (λr) → ∞. По этой причине полагаем βзn = 0. Вследствие симметрии точек пространства относительно плоскости xOz в формуле (3.43) член, содержащий sin(nφ), также должен отсутствовать, так как функция sin(nφ) меняет
знак при перемене знака угла φ. Это дает основание принять β2n = 0.
y
dx
y
P| (x, y)
r
I
x
x
O
R
h
P ( x , y, z )
k1 =
− ω ε c1µ c1 + j γ c1µ c1
k2 =
− ω ε c 2 µ c 2 + jγ c 2 µ c 2
2
2
z
Рис.18. Диполь переменного тока, находящийся над границей раздела двух сред
58
С учетом сказанного формула (3.43) может быть переписана в следующем
виде:
∆A k =
∫ ∑ (α e
∞ ∞
z λ2 + k 2
1
+ β1e − z
λ2 + k 2
=
∫ ∑ (α′e
∞ ∞
z λ2 + k 2
+ β′e − z
) α cos nϕ α J (λr) dλ =
2
0 n =0
λ2 + k 2
3 n
(3.106)
) cos nϕ J (λr) dλ,
n
0 n =0
где α′ = α1α 2 α 3 и β′ = β1β 2β 3 .
Выражения для составляющих вектор-потенциальной функции диполя
переменного тока, находящегося над границей раздела двух сред, должны быть
выбраны так, чтобы при уменьшении частоты тока до нуля они переходили в
формулы для соответствующих составляющих диполя постоянного тока, а при
удалении от границы раздела – в формулу составляющей диполя, находящегося
в однородном безграничном пространстве.
Формула (3.104) может быть получена из выражения (3.106), если в последнем принять k = 0, что соответствует переходу к постоянному току, велиµ I dx
чине n придать значение нуля, а значения α′ и β′ принять равными c
.
4π
Формула (3.105) также может быть получена из уравнения (3.106), если
вместо n = 0 принять n = 1.
На основании сказанного выше составляющие вектор-потенциальной
функции в верхнем полупространстве (где k = k1) записываются в виде:
µ I dx
∆A x1 = c
4π
∞
 λ m R 1Z


e
+ а e R1Z  J 0 (λr ) dλ;
R1

0
∫
∞
µ I dx
∆A я1 = c
cos ϕ b e R1Z J1 (λr ) dλ ,
4π
0
∫
(3.107)
(3.108)
где R 1 = λ + k 1 .
Соответственно составляющие вектор-потенциальной функции в нижнем
полупространстве определяются так:
2
2
∞
∆A x 2
µ I dx
= c
с e − R2 Z J 0 (λr ) dλ;
4π 0
∆A z 2
µ I dx
= c
cos ϕ d e − R2 Z J1 (λr ) dλ ,
4π
0
∫
∞
∫
59
(3.109)
(3.110)
где R 2 = λ2 + k 2 .
Заметим, что составляющая вектор-потенциальной функции в верхнем
полупространстве ∆Ax1, определяемая формулой (3.107), представлена двумя
слагаемыми: первое определяет составляющую ∆Ax1, которая имела бы место
при отсутствии второй среды, второе учитывает искажающее действие второй
среды.
Коэффициенты а, в, с, и d определяются из граничных условий для составляющих векторного потенциала магнитного поля при z = h:
2
∆A z1 = ∆A z 2 ;
1
 2 div ∆ A1 = 12 div ∆ A 2 ;
k2
 k1

µ c1 (∆A x1 ) = µ c1 (∆A x1 );
 ∂ (∆A ) ∂ (∆A )
x1
x2
=
,

∂z
 ∂z
( )
(
)
(3.111)
где µc1 и µc2 – абсолютная магнитная проницаемость воздуха и земли.
Совместное решение системы уравнений (3.111) дает следующие значения искомых коэффициентов:
a=
λ (R 1 − R 2 ) −2R1h
e
;
R 1 (R 1 + R 2 )
2λ2 (k 12 − k 22 )
c=
e −2R1h ;
2
2
(R 1 + R 2 ) (k1 R 2 + k 2 R 1 )
(3.112)
(3.113)
2λ
e (R 2 −R1 ) h ;
(R 1 + R 2 )
(3.114)
2λ2 (k 12 − k 22 )
d=
e (R 2 − R1 ) h .
2
2
(R 1 + R 2 ) (k1 R 2 + k 2 R 1 )
(3.115)
b=
3.8. Вектор-потенциальная функция бесконечно длинной линии
“провод – однородная земля”
Горизонтальные составляющие вектор-потенциальной функции бесконечно длинной линии “провод – однородная земля” определяются суммой горизонтальных составляющих от элементов ds (рис. 19), на которые разбивается провод.
Поэтому
60
∞
(3.116)
∫
A x1 = ∆A x1 ds ;
−∞
∞
∫ ∆A
A x2 =
x2
(3.117)
ds.
−∞
Вертикальные составляющие вектор-потенциальной функции бесконечно
длинной линии “провод – однородная земля” имеют одинаковое значение, равное нулю:
(3.118)
Az1 = A z2 = 0.
Действительно, возьмем некоторую точку наблюдения P (рис. 20), проведем через нее плоскость yOz и возьмем два симметрично расположенных относительно этой плоскости элемента провода (диполя).
Так как ϕ1 + ϕ2 = 1800, то, следовательно, cos ϕ1 = – cos ϕ2, а сумма вертикальных составляющих вектор-потенциальной функции от двух диполей будет равна нулю, т. е. ∆Az 1+ ∆Az2 = 0.
y
P| (x, y)
y
2 r0
r
x
S
ds
x
y
R
z
P( x , y, z )
z
k1
k2
z
а
б
Рис.19. Горизонтальные составляющие вектор-потенциальной функции бесконечно длинной линии “провод – однородная земля” (а), поперечное сечение
провода (б)
После подстановки в выражения (3.116) и (3.117) значений ∆Ax1 и ∆Ax2 по
формулам (3.107) и (3.109) получим:
∞
∞
 λ − R 1Z

A x1 = Q1 ds 
e
+ а e R1Z  J 0 (λr ) dλ, (z > 0);
R1

0
−∞
61
∫ ∫
(3.119)
∞
∞
−∞
0
A x 2 = Q 2 ds с e − R2Z J 0 (λr ) dλ,
∫ ∫
µ I
µ I
где Q1 = c1 и Q 2 = c 2 .
4π
4π
(3.120)
Рассмотрим вычисление вектор-потенциальной функции бесконечно
длинной воздушной линии “провод – однородная земля” при z > 0 и волновом
числе воздуха k1 = 0. Отметим, что при изучении составляющих электромагнитного поля в слоистых средах возникает необходимость сравнения волновых
чисел разных сред. В частности, возникает необходимость сравнения волнового
числа воздуха и некоторой однородной земли. В достаточно широком спектре
частот проводимость воздуха может быть принята равной нулю, а токами смещения в земле можно пренебречь.
y
y
P
|
P|
r
r
ϕ1
ϕ2
x
ds
O
ds
x
P
а
б
Рис. 20. Вертикальные
составляющие вектор-потенциальной функции
z
бесконечно длинной линии “провод – однородная земля”
Тогда волновое число воздуха k 1 = j ω
ε c1 µ c1 , а однородной земли –
k 2 = j ω ε c 2 µ c 2 . При этом условии граничная частота, при которой k1 и k2
становятся одинаковыми по величине,
fгр = 1⋅ 109 ⋅ γс2 .
62
(3.121)
Из формулы (3.121) следует, что при уменьшении удельной проводимости
См
земли величина
ƒгр снижается: при γс2 = 10–5
,
например,
м
ƒгр = 180 кГц.
Из сказанного следует, что в спектре частот до нескольких десятков килогерц для большинства пород земли волновым числом воздуха по сравнению с
волновым числом земли можно пренебречь, принимая k1 = 0.
После подстановки в выражение (3.119) значения коэффициента а из
уравнения (3.112) получим:
∞
∞
 ∞ λ −Z R1

λ (R 1 − R 2 ) −Z1 R1
A x1 = Q1 ds 
e
J 0 (λr ) dλ +
e
J 0 (λr ) dλ ,
R 1 (R 1 + R 2 )
 0 R 1

−∞
0
∫
∫
∫
(3.122)
где z1 = 2 h – z .
Если во втором члене правой части формулы (3.122) подынтегральную
функцию умножить и разделить на (R1 – R2), то выражение для определения
вектор-потенциальной функции в воздухе с учетом формул (3.108), (3.110) может быть переписано в следующем виде:
∞
 ∞ λ − Z R1
A x1 = Q 1 ds 
e
J 0 (λr ) dλ +
R

1
0
−∞
∞
(3.123)
 ∞ λ3 − Z1 R1
1
− Z1 R1
+ 2
λ
λ
−
λ
λ
λ
+
e
J
(
r
)
d
2
R
e
J
(
r
)
d
2

0
2
0
k 1 − k 22  0 R 1
0
∫
∫
∫
∫
 
e − Z1 R1 J 0 (λr ) dλ   .
R1
 
0
Обозначим интегралы в формуле (3.123):
+ (k + k
2
1
∞
2
2
)∫ λ
∞
∫
0
λ − Z R1
e
J 0 (λr ) dλ = L 1 ;
R1
∞
λ
∫R
0
e −Z1 R1 J 0 (λr ) dλ = L 2 ;
1
(3.124)
(3.125)
∞
λ3 −Z1 R1
e
J 0 (λr ) dλ = L 3 ;
R
1
0
∫
∞
∞
∫ ds ∫ λ R
−∞
2
e −Z1 R1 J 0 (λr ) dλ = L 4 .
0
63
(3.126)
(3.127)
Для определения полного сопротивления линии “провод - однородная
земля”, как будет показано ниже, необходимо знать значение векторпотенциальной функции на поверхности провода, т. е. при y = r0 и z = 0 (см.
рис. 19,б).
При принятых условиях, т. е. при k1 = 0, y = r0 и z = 0, и в соответствии
с формулой Зоммерфельда [12, 21]
e − R k1
1
L1 =
=
;
R
(s − x ) 2 + r 2
e
L2 =
−R
k1
*
1
=
R*
(3.128)
(s − x ) 2 + r0 + 4 h 2
2
(3.129)
,
где R = (s − x ) 2 + r02 + z 2 и R * = (s − x ) 2 + r0 + (2 h − z) 2 .
2
Продифференцировав дважды по z1 интеграл Зоммерфельда, получим:
∞
∂ 2 L 2 ∞ λ3 − Z1 R1
λ − Z1 R1
2
=∫
e
J 0 (λr ) dλ + k 1 ∫
e
J 0 ( λ r ) dλ .
∂z 1
R
R
0
0
1
1
(3.130)
Из выражения (3.130) следует, что
−R
k1
*
∂ 2L2
2 e
L3 =
− k1
∂z12
R*
или
L3 = −
8h 2 − (s − x ) 2 − r0
( (s − x )
2
(3.131)
2
+ r0 + 4 h 2
2
)
5
.
(3.132)
При k1 = 0 представляется возможным выполнить точное вычисление интеграла L4. Для этого перепишем формулу (3.127) в виде:
∞
∫
L4 = R 2 e
)
(3.133)
(s − x ) 2 + y 2 ds = 2 cos λy .
(3.134)
− Z1 λ
(
∞
∫
dλ λ J 0 λ (s − x ) 2 + y 2 ds .
−∞
0
Известно, что
∫ λ J (λ
)
∞
0
Так как
−∞
e jλy + e − jλy ,
cos λy =
2
64
(3.135)
то
∞
∫(
)
L 4 = R 2 e −( Z1+ j y) λ + R 2 e −( Z1− j y) λ dλ .
Из теории бесселевых 0функций следует, что
∫ (e
(3.136)
)
∞
απ
(3.137)
(H1 (αβ) − Y1 (αβ) ) ,
β 2
0
где Н1(αβ) – функция Струве первого порядка;
Y1(αβ) – функция Бесселя второго рода первого порядка.
С учетом выражения (3.137) результат вычисления интеграла L4 может
быть записан в следующем виде:
−βτ
τ 2 + α 2 dτ =
k2  π
π

 H1 [k 2 (z1 + jy)] − Y1 [k 2 (z1 + jy)] +
z1 + j y  2
2

k2  π
π

+
 H1 [k 2 (z1 − jy)] − Y1 [k 2 (z1 − jy)].
z1 − j y  2
2

L4 =
(3.138)
Так как z1 > > y = r0, то результат вычисления интеграла L4 можно принять при условии z = 0 и y = 0.
Тогда, учитывая формулу (3.122), получим:
L4 =
k 2π
[ H1 (2hk 2 ) − Y1 (2hk 2 )].
2h
(3.139)
С учетом формул (3.124), (3.125), (3.128), (3.129) (3.132), (3.139), равенство (3.123) может быть переписано в следующем виде (при z = 0 и y = r0):
2

1
1  8h 2 − (s − x ) 2 − r0

A x1 (0, r0 ) = Q1 ds 
−
2
2
k
 (s − x ) 2 + r0 2 + 4 h 2
(
s
−
x
)
+
r
2

−∞
0
∞
∫
+
( (s − x )
(
k 22
2
+ r0 + 4 h 2
2
)
)
5
+
  π Q
1
 +
[H1 (2hk 2 ) − Y1 (2hk 2 )]
5
  h k 2
(3.140)
или в знаменателе –

µ c1I 
2h
1
π
[ H1 (2hk 2 ) − Y1 (2hk 2 )] . (3.141)
−
+
2 ln
2
4π 
r0 (h k 2 )
h k2

4. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
A x1 (0, r0 ) =
65
4.1. Сопротивление бесконечно длинной воздушной линии
“провод – однородная земля”
При решении задачи о сопротивлении бесконечно длинной воздушной
линии “провод – однородная земля” обычно полагают, что составляющие электромагнитного поля, ток и заряды зависят только от координаты х в соответствии с законом
e − γp x ,
(4.1)
где γp – постоянная распространения.
Это предположение соответствует допущению о наличии волн, распространяющихся в сторону положительной оси Oх, и отсутствии встречных волн.
В соответствии с уравнением (3.20) напряженность электрического поля в
воздухе у поверхности провода
∂ϕ .
(4.2)
E x1 (z, y) = − j ω A x1 (z, y) −
∂x
Для определения напряженности электрического поля на расстоянии от
оси провода, равном радиусу реального провода (при расположении системы
координат в соответствии с рис. 19,б), следует принять z = 0 и y = r0.
Обозначив электрический заряд на единицу длины провода через q, получим скалярный потенциал электрического поля
ϕ=
q
,
С
(4.3)
где C – емкость между проводом и землей.
Так как
j ω q =γ p I − g p ϕ =γ p I − g p
q
,
С
γp I
q
=
,
С j ω C + gp
то
(4.4)
(4.5)
где g p – активная проводимость.
Если Zпр – собственное сопротивление провода, то продольная напряженность электрического поля и поверхности провода равна I Zпр. Следовательно,
Zпр I = − j ωA x1 (0, r0 ) −
Так как
I = I H e − γp x ,
66
∂ϕ
∂x
.
(4.6)
(4.7)
то
 γ I e − γp x 
q ∂ p H

∂ 

j ω С + g p 
γ 2p I Н e −γp x
γ 2p I
∂ϕ
С


.
=
=
=−
=−
j ω С + gp
j ω C + gp
∂x
∂x
∂x
Из уравнений (4.6) и (4.8) получим:
Известно, что
A x1 (0, r 0. ) 


γ 2P = (j ω C + g p )  Z пр + j ω

I


γ p2. = (j ω С + g p )(R + j X) .
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Из сравнения выражений (4.9) и (4.10) заключаем, что полное сопротивление бесконечно длинной линии “провод – однородная земля”
Z п.з = Z пр + j ω
A x1 (0, r0 )
,
I
(4.11)
A x1 (0, r0 )
– полное сопротивление, вносимое в линию землей.
I
После подстановки в равенство (4.11) значения Ax1(0, r0) из формулы
(3.141) получим, Oм :
км


π 2
4
Z п.з = R пр + ω 
(G 1a − G 1M ) − 2  10 −4  +
a 
 a


(4.12)



2h π 2
4
+ j X пр + ω 2 ln
+
(G 1a + G 1M ) − 2  10 −4 ,
r0
a
a 



где a = 2 h ω γ c 2 µ c 2 модуль комплексного аргумента функций Струве и Бесселя;
G1a – вещественная составляющая разности H1 (2hk 2 ) − Y1 (2hk 2 ) ;
G1M – мнимая составляющая этой же разности.
Заметим, что в соотношении (4.11) подставлено значение Ax1(0, r0), вычисленное при пренебрежении токами смещения и проводимости в воздухе, а
также токами смещения в земле, поэтому применение формулы (4.12) возможно
в диапазоне частот тока, такое пренебрежение допустимо.
где Z З = − j ω
4.2. Сопротивление взаимной индуктивности двух бесконечно
длинных линий “провод – однородная земля”
67
Полное сопротивление взаимной индуктивности между влияющей и подверженной влиянию линиями
Z M12 = −
E M ( y, z)
= − j ω M12 ,
I
(4.13)
где EM(у,z) – электродвижущая сила, индуктированная в подверженной влиянию линии;
I – ток, протекающий во влияющей линии;
M12 – коэффициент взаимной индуктивности;
у, z – координаты, определяющие положение линии, подверженной влиянию.
Если влияющая и подверженная влиянию линии имеют большую протяженность, то
(4.14)
E M ( y, z) = − j ω A x1 ( y, z).
Тогда
j ω A x 1 ( y, z )
(4.15)
;
I
A ( y, z)
(4.16)
M12 = − x1
.
I
Рассмотрим определение сопротивления взаимной индуктивности при
условии, когда провода имеют произвольное расположение относительно друг
друга (рис. 21). Если считать, что радиус провода г0, подверженного влиянию,
во много раз меньше расстояния между проводами D, то для нахождения ZМ12
необходимо знать векторный потенциал магнитного поля в точке с координатами уп и zп.
Z M12 =
Влияющий провод
y
x
D
zп
β
yп
z
Рис. 21. Произвольное расположение проводов относительно друг друга
68
Заметим, что коэффициент взаимной индуктивности М12 является параметром магнитного влияния одной электрической цепи на другую.
Определяя вектор-потенциальную функцию в точке с координатами уп и
zп аналогично тому, как это сделано выше, получим при zп > 0:
y п2 + z 12
A x1 ( y п , z п ) = 2 Q1 ln
+
Q1 π
2 k ′2 ( y + z )
2
п
2
1
[ (z
y п2 + z п2
1
+
′
− y п )(G 1а
4Q1
J (k ′2
y п2 − z12
+
( y п2 + z12 ) 2
)
+ G ′′ ) + (z
1м
2
1
]
′′ + G 1M
′ ) +
+ y п )(G 1а
(4.17)
j Q1 π
′ − G 1a
′′ ) + (z1 + y п )(G 1M
′′ − G 1а
′ ) ,
(z1 − y п )(G 1M
2
2
′
2 k 2 ( y п + z1 )
где z1 = 2h – zп;
G 1′a и G 1′М – вещественная и мнимая части комплексной разности
+
[
]
{H1 [(z1 + j y п )k 2 ] − Y1 [(z1 + j y п )k 2 ]};
G 1′′а и G 1′′М – вещественная и мнимая части комплексной разности
{H1 [(z1 − j y п )k 2 ] − Y1 [(z1 − j y п )k 2 ]}.
После подстановки Ax1(yп, zп) из формулы (4.17) в (4.15) и ряда преобраОм
зований получим,
:
км
 4 a 1 π c1 (G 1M
′ − G 1а
′′ ) + d 1 (G 1M
′′ − G 1а
′ ) 
−
z М12 = ω 10 − 4 
+
2
2
′
′
(
k
)
b
2
k
b
1
 2

2
1
(4.18)

b
′ + G 1M
′′ ) + d 1 (G 1а
′′ + G 1M
′ ) 
π c1 (G 1а
+ j ω 10 -4 2 ln 1 +
,
D
2 k ′2 b1


где a1= D2 (1–k2) – (2h – kD)2;
b1= D2 (1–k2) + (2h – kD)2;
[
]
[
]
c1 = 2h − kD − D 1 − k 2 ;
d1 = 2h − kD + D 1 − k 2 ;
k = cos β;
69
k |2 = ω γ 2 c µ c 2 .
В соответствии с выражениями (4.16) и (4.17) коэффициент взаимной индуктивности между двумя воздушными линиями “провод – однородная земля”,
Гн
:
км

b
′ + G 1M
′′ ) + d 1 (G 1а
′′ + G 1M
′ ) 
π c1 (G 1а
M 12 = 10 − 4 2 ln 1 +
(4.19)
−
D
2 k ′2 b1


[
]
[
]
 π c (G ′ − G 1а
′′ ) + d 1 (G 1M
′′ − G 1а
′ )
4 a1 
− j 10 − 4  1 1M
−
,
(k ′2 ) 2 b12 
2 k ′2 b1

При произвольном расположении одного провода относительно другого
аргументы функции Струве первого порядка и функции Бесселя второго рода
первого порядка являются величинами комплексными и определяются по формулам:
где ϕ1 = arctg
(z1 + j y п ) k 2
= k ′2
(2h − kD)2 + D 2 (1 − k 2 ) e j ϕ
(z1 − j y п ) k 2
= k ′2
(2h − kD)2 + D 2 (1 − k 2 ) e j ϕ
1
;
(4.20)
,
(4.21)
2
d1
с
; ϕ 2 = arctg 1 .
с1
d1
4.3. Сопротивление прямой и обратной последовательностей
воздушных линий электропередачи
Знание значений полного сопротивления бесконечно длинной линии
“провод – однородная земля” и полного сопротивления взаимной индуктивности между двумя такими линиями позволяет определить значения полных сопротивлений многопроводных линий (линий электропередач и тяговой сети
электрифицированных железных дорог).
Так, например, одноцепная воздушная линия электропередачи без защитного троса может рассматриваться как совокупность трех бесконечно длинных
линий “провод – земля” (рис. 22,а).
Для вычисления сопротивления прямой и обратной последовательностей
отдельных фаз такой линии применяется система уравнений:
 Z1(А) = Zп.з(А) + a2 Zм(АВ) + Zм(АС);

2
 Z1(В) = Zп.з(В) + a Zм(ВА) + Zм(ВС);
 Z1(С) = Zп.з(С) + a2 Zм(СА) + Zм(СВ),

70
(4.22)
где Zп.з(А), Zп.з(В), Zп.з(С), – полные сопротивления бесконечно длинных линий,
образованных проводами фаз А, В, С и землей;
Zм(АВ) = Zм(ВА), Zм(ВС) = Zм(СВ), Zм(АС) = Zм(СА) – полные сопротивления взаимной индуктивности между двумя бесконечно длинными линиями, образованными проводами соответствующих фаз и землей;
а – оператор фазы.
•
B
A
A
I0
B
С
I0
•
C
•
I0
•
3 I0
а
б
Рис. 22. Одноцепная воздушная линия электропередачи без защитного троса
Из системы уравнений (4.22) следует, что при любом расположении проводов трехфазной линии электропередачи сопротивления ее проводов токам
прямой (обратной) последовательности будут неодинаковыми.
Для выравнивания сопротивлений и снижения влияния электропередач на
смежные устройства применяют транспозицию проводов.
При горизонтальном расположении проводов одноцепной воздушной линии электропередачи и при наличии транспозиции сопротивление ее токам прямой (обратной) последовательности
Z1 = Z 2 = Z п.з −
2 Z′м + Z′м′
,
3
(4.23)
где Zп.з= Zп.з(А) = Zп.з(В) = Zп.з(С);
Z'м = Zм(АВ) = Zм(ВА) = Zм(ВС) = Zм(СВ);
Z''м = Zм(АС) = Zм(СА).
4.4. Сопротивление нулевой последовательности трехфазной
одноцепной линии электропередачи
71
Сопротивления фаз трехфазной одноцепной линии электропередачи токам
нулевой последовательности (рис. 22,б) рассчитывается так:
 Z0(А) = Zп.з(А) + Zм(АВ) + Zм(АС);

 Z0(В) = Zп.з(В) + Zм(ВА) + Zм(ВС);
 Z0(С) = Zп.з(С) + Zм(СА) + Zм(СВ),

(4.24)
Из системы уравнений (4.24) следует, что при произвольном расположении проводов и отсутствии транспозиции
Z0(А) ≠ Z0(В) ≠ Z0(С) .
(4.25)
При горизонтальном расположении проводов и при наличии транспозиции
(
)
2
2 Z′м + Z′м′ .
3
4.5. Сопротивление контактной сети однопутного
электрифицированного участка
Z 0 = Z п.з +
(4.26)
Контактная сеть однопутного электрифицированного участка представляет собой также многопроводную систему (рис. 23), состоящую в общем случае
из контактного провода П, несущего троса Т, усиливающего фидера У и ходовых рельсов Р1 и Р2 (на действующих участках усиливающий трос, как правило, отсутствует).
Т
У
P1
P2
П
а
б
Рис. 23. Контактная сеть однопутного электрифицированного участка
Для определения полного сопротивления контактной сети используется
общепринятый метод, сущность которого заключается в следующем. Составляется падение напряжения в 1 км контура “контактный провод – рельс” с учетом
явления взаимной индуктивности. Полное сопротивление контактной сети далее
определяется из отношения падения напряжения к полному току (на однопутном участке это сумма токов, протекающих в контактном проводе и несущем
тросе).
Падение напряжения в 1 км контура “контактный провод – рельс”
72
1&
1
1
1
I р Z п.р1 − &I р Z п.р2 + &I р Z р + I& р Z р.р − &I п Z п.р1 − &I т Z т.р1 , (4.27)
2
2
2
2
где &I п , &I т , &I р – токи контактного провода, троса и рельсов;
Zп, Zт, Zр – сопротивления линий “контактный провод – земля”, “трос –
земля” и “рельс – земля”;
Zп.т, Zп.р1, Zп.р2, Zр.р, Zт.р1– сопротивления взаимной индуктивности линий
“контактный провод – трос”, “контактный провод – рельс Р1”, “контактный
провод – рельс Р2”, “рельс Р1 – рельс Р2”, “трос – рельс Р1”.
Как показали расчеты, в спектре тональных частот с достаточной степенью точности можно принять
Zп.р1 = Zт.р1 = Zп.р2 = Zт.р2 = Zпр .
(4.28)
& = &I п Z п + &I т Z п.т −
∆U
С учетом соотношения (4.28) равенство (4.27) может быть переписано
следующим образом:
& = &I Z + &I Z − &I Z + &I Z − &I Z ,
∆U
п п
т п.т
р пр
р рэ
0 пр
1
(Z р + Z рр ); &I 0 = &I п + I& т .
2
Так как [12, 14]
&I п Z т − Z п.т
=
;
&I т Z п − Z п.т
&I п
Z т − Z п.т
=
;
&I п + &I т Z п + Z т − 2 Z п.т
(4.29)
где Z рэ =
Z п − Z п.т
;
Z п + Z т − 2 Z п.т
Z т − Z п.т
&I п = &I 0
,
Z п + Z т − 2 Z п.т
&I т = &I 0
то
Z т Z п.т − Z п2.т
− &I 0 Z пр + &I р (Z рэ − Z пр ).
Z п + Z т − 2 Z п.т
Полное эквивалентное сопротивление 1 км контактной сети
& = &I 0
∆U
или
Z к.с =
&
∆U
(4.30)
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
(4.35)
&I 0
&I р
Z п Z т − Z п2.т
(4.36)
Z к.с =
− Z пр + (Z рэ − Z пр ) ,
&
Z п + Z т − 2 Z п.т
I0
= Z к.э – эквивалентное сопротивление двухпроводной си-
Z п Z т − Z п2.т
где
Z п + Z т − 2 Z п.т
стемы, состоящей из контактного провода и несущего троса.
73
В [12, 14] показано, что для участка, ограниченного подстанцией и
нагрузкой при отсутствии специального заземления, отношение
kl
th
&I
(4.37)
р
= (1 − n ) 2 + n ,
&I 0
kl
2 ;
где l – расстояние от подстанции до нагрузки
Zр
Z
kZ
=п.п – переходное
; n = пр ; сопротивление между рельсами и землей.
Zр
ПриZ п.п
малых расстояниях
между подстанцией и нагрузкой и больших
kl
≈ 0.
переходных сопротивлениях можно считать, что
2
Тогда
kl
th
&I Р
2 = 1,
(4.38)
lim
=1 .
kl
&I 0
→0 k l
2
2
Наоборот, при больших расстояниях между подстанцией и нагрузкой и
малых переходных сопротивлениях можно считать, что
kl
kl
→ ∞, а tg
≈ 1.
В этом случае
2
2
&I р Z пр
.
=
&I 0 Z рэ
С учетом формул (4.37) и (4.40) получим:
(Z п − Z п.т )(Z т − Z п.т )
+ Z + Z − 2 Z пр ;
(Z п − Z п.т ) + (Z т − Z п.т ) п.т рэ
2
Z п − Z п.т )(Z т − Z п.т ) Z пр
(
Z′к′.с =
−
+Z .
(Z п − Z п.т ) + (Z т − Z п.т ) Z рэ п.т
Z′к.с =
(4.39)
(4.40)
(4.41)
(4.42)
Формулы (4.41) и (4.42) определяют два предельных значения эквивалентного сопротивления контактной сети однопутного участка, а именно: формула (4.41) соответствует положению, когда весь тяговый ток течет по рельсам;
формула (4.42) – наоборот, когда весь тяговый ток течет по земле.
В условиях эксплуатации значение полного эквивалентного сопротивления контактной сети, определенное по формуле (4.36), будет находиться между
крайними значениями, определенными по формулам (4.41) и (4.42).
В заключение отметим, что точное определение значения полного эквивалентного сопротивления контактной сети возможно лишь при известном переходном сопротивлении от рельсов к земле. Однако значение переходного сопро74
Z к.с =
Z′к.с + Z′к′.с
тивления колеблется в весьма широких пределах в зависимости от типа и состояния верхнего строения пути, от состава почвы, ее влажности и температуры. За
расчетное эквивалентное полное сопротивление контактной сети принимается
.
(4.43)
Библиографический список
1. Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. М.: Наука, 1969.
2. С м и р н о в В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1969.
3. П и с к у н о в Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
М.: Наука, 1972.
4. Г о л ь д ф а й н И. А. Векторный анализ и теория поля. М.: ГИФМЛ,
1968.
5. Б о р и с е н к о А. И., Т а р а п о в И. Е. Векторный анализ и начала
тензорного исчисления. Киев: Вища школа, 1978.
6. В а т с о н Г. Н. Теория бесселевых функций. М.: Иностранная литература, 1949.
7. К о ш л я к о в Н. С., Г л и н е р Э. Б., С м и р н о в М. М. Основные
дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИНТЛ, 1962.
8. Т и х о н о в А. Н., С а м а р с к и й А. А. Уравнения математической
физики. М.: Наука, 1966.
9. К а л ь н и ц к и й Л. А., Д о б р о т и н Д. А., Ж е в е р ж е е в В. Ф.
Специальный курс высшей математики. М.: Высшая школа, 1976.
10. З а б о р о в с к и й А. И. Электроразведка. М.: Гос. науч.-техн. изд-во
нефтяной и горнотопливной лит., 1963.
11. И о н о в А. Д., П о п о в Е. В. Линии связи. М.: Связь, 1990.
12. Ш а л и м о в М. Г. Сопротивление проводов, линий электропередачи
и контактной сети в спектре повышенных частот (теория и расчет): Дис… д.т.н.
Омск, 1970.
13. Ш а л и м о в М. Г. Энергоснабжение электрических железных дорог:
Науч. тр. / Омский ин - т инж. ж.-д. трансп. Омск, 1969. Т. 104.
14. Ш а л и м о в М. Г. Мешающие влияния электрифицированных железных дорог на смежные устройства: Учебное пособие / Омская гос. акад. путей сообщения. Омск, 1996.
15. У л ь я н о в С. А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. М.: Энергия, 1964.
16. М а р к в а р д т К. Г. Электроснабжение электрифицированных железных дорог. М.: Транспорт,1982.
75
17. Ш а л и м о в М. Г., Ш а г а р о в а Л. В. Приближенное вычисление
интеграла, определяющего составляющую вектор-потенциальной функции бесконечно длинной линии “провод – однородная земля” при малых и больших
значениях параметра
k 2 y 2 + z 2 : Науч.тр./Омский ин-т инж. ж.-д. трансп.
Омск, 1969.
18. Ш а л и м о в М. Г., Ш а г а р о в а Л. В. Приближенное вычисление
интеграла, определяющего составляющую вектор-потенциальной функции бесконечно длинной линии “провод – однородная земля”: Науч. тр. /Омский ин-т
инж. ж.-д. трансп. Омск, 1969. Т. 104.
19. Ш а л и м о в М. Г., Ш а г а р о в а Л. В. О закономерности изменения плотности тока в однородной земле.: Науч. тр. / Омский ин-т инж. ж.-д.
трансп. Омск, 1969. Т. 104.
20. Т а м м И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989.
21. З о м м е р ф е л ь д А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. M.:, 1950.
22. П ч е л и н Б. К. Векторный анализ для инженеров электриков и радистов. М.: Энергия, 1968.
23. К р а с н о в М. Л., К и с е л е в А. И., М а к а р е н к о Г. И. Векторный анализ. М.: Наука, 1978.
76
ШАЛИМОВ Михаил Георгиевич,
СЕБЕЛЕВА Татьяна Григорьевна
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И
ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
К РЕШЕНИЮ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Учебное пособие
_______________________
Редактор Н. А. Майорова
***
Лицензия ИД № 01094 от 28.02.2000.
Подписано в печать
. Формат 60 × 84
Плоская печать. Бумага газетная.
Усл. печ. л. 5. Уч.-изд. л. 4,7.
Тираж 300 экз. Заказ
.
1 16 .
**
Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа
Типография ОмГУПСа
*
644046, г. Омск, пр. Маркса, 35
77
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
622 Кб
Теги
1130
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа