close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

723.Экономико математические методы и модели в туризме и гостиничном хозяйстве методические указания к практическим работам ti.

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Владимирский государственный университет
Кафедра экономики и управления инвестициями
и инновациями
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ (В ТУРИЗМЕ
И ГОСТИНИЧНОМ ХОЗЯЙСТВЕ)
Методические указания к практическим работам
Составитель
Т.К. СНЕГИРЕВА
Владимир 2008
УДК 338.48/640.41
ББК 65.43в631
Э40
Рецензент
Кандидат экономических наук, доцент
Владимирского государственного университета
Б.И. Рассадин
Печатается по решению редакционного совета
Владимирского государственного университета
Экономико-математические методы и модели (в туризме и госЭ40 тиничном хозяйстве) : метод. указания к практ. работам / Владим. гос. ун-т ; сост. Т. К. Снегирева. – Владимир : Изд-во Владим. гос. ун-та, 2008. – 44 с.
Приведены задачи по основным разделам прикладного математического
анализа экономических ситуаций в турфирмах. Основные разделы содержат положения о научно-теоретической постановке и модельной проработке практических задач сферы туризма и гостиничного хозяйства.
Рекомендуются студентам специальности 080502 – экономика и управление туризмом и гостиничным хозяйством.
Табл. 12. Библиогр.: 11 назв.
УДК 338.48/640.41
ББК 65.43в631
2
Использование математических методов и средств вычислительной техники является важным элементом при решении экономических задач. Студентам необходимо, с одной стороны, понимание экономических проблем отраслевых преобразований, с другой –
знание возможностей применения математических методов и персональных компьютеров в практике принятия управленческих решений.
В методических указаниях изложен материал, позволяющий получить довольно полное представление о возможностях практического использования математического программирования при решении конкретных экономических задач.
Большинство задач носит условный характер, а числовые примеры подобраны так, чтобы можно было выполнить наиболее простые вычисления.
Практическая работа № 1
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: развить навыки теоретического построения линейных оптимизационных моделей в задачах планирования деятельности туристской фирмы.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. В общем виде экономикоматематические модели представляют собой функциональные зависимости между количественными переменными.
В линейных оптимизационных моделях все функции, составляющие экономико-математическую модель, линейны. Другими словами, для всех переменных величин х1, х2,…хn, входящих в модель,
допускаются лишь простейшие действия: сложение, вычитание и ум3
ножение на число. Более сложные действия над переменными (их перемножение, возведение в степень, извлечение корня и так далее) в
линейных уравнениях не допускаются.
В общем виде такая модель записывается:
z0 = p1 x1 + p2 x2 +…+ pn xn → max;
zr = ar1 x1 + ar2 x2 +…+ arn xn ≤ ar, r = 1, k;
zl = al1 x1 + al2 x2 +…+ aln xn ≥ al,
l = k+ 1, m;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,…, xn ≥ 0
или
z0 → max;
zr ≤ ar,
r = 1, k;
zl ≥ al,
l = k + 1, m;
xj ≥ 0,
j = 1, n
(1)
В этой модели x1, x2, …, xn – управляющие переменные, то есть
независимые, а z0, zr, zl – управляемые переменные, то есть зависимые
(от xn).
В наиболее общем виде все переменные и коэффициенты модели
(1) имеют следующий экономический смысл:
xj – объем j-го вида услуг, j = 1, n;
z0 – суммарная прибыль;
pj – прибыль с единицы j-го вида услуг, j = 1, n;
zr – суммарный расход r-го ресурса, r = 1, k;
arj – норматив расхода r-го ресурса на единицу j-й услуги, r =
= 1, k, j = 1, n;
ar – контрольный уровень фондов r-го ресурса, наличие ресурса
r = 1, k ;
zl – суммарный результат по l-му экономическому показателю,
l = k + 1, m;
alj – нормативный результат по l-му экономическому показателю
с единицы j-й услуги, l = k + 1, m, j = 1, n;
al – контрольный уровень результата по l-му экономическому показателю, l = k + 1, m.
Для последующего экономического анализа модель (1) необходимо упростить так, чтобы ограничения на все переменные, входящие
в модель, были одинаковые и простые. Другими словами, все переменные, за исключением z0, должны быть ≥ 0.
Для этого вычтем из обеих частей каждого r-го неравенства переменную ar, а из обеих частей каждого l-го – ar.
4
zr – ar ≤ ar, r = 1, k;
zl – al ≥ al – al, l = k +1, m
или
ar –zr ≥ 0, r = 1, k;
zl – al ≥ 0, l = k + 1, m
(2)
Введем для этих величин специальные обозначения:
yr = ar – zr, r = 1, k и yl = zl – al, l = k + 1, m.
(3)
Используя (1), (2), (3), получим ограничения в требуемой стандартной форме
yr = – ar1 x1 – ar2 x2 – … – arn xn + ar ≥ 0, r = 1, k;
yl = al1 x1 + al2 x2 + … + aln xn – al ≥ 0, l = k + 1, m.
(4)
Теперь модель получит следующее выражение:
z0 = p1 x1 + p2 x2 + …+ pn xn → max;
z0 → max;
yr = –ar1 x1 – ar2 x2 –…–arn xn + ar ≥ 0, r = 1, k;
y ≥ 0, r = 1, k; (5)
или r
yl = al1 x1 + al2 x2+…+aln xn –al ≥ 0, l = k +1, m;
yl ≥ 0, l = k +1, m;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …, xn ≥ 0
xj ≥ 0, j = 1, n
В случае, если независимые переменные могут измениться в каком-то диапазоне bj ≥ xj ≥ cj, то каждое двухстороннее ограничение
заменяется двумя: bj – xj ≥ 0; xj – cj ≥ 0.
Кроме того, следует иметь в виду, что уравнений каждого типа
может быть несколько. Это зависит от того, сколько критериев используется при решении задачи, на сколько видов ресурсов существуют ограничения и по какому количеству экономических показателей есть задания или планы.
Методика построения линейных моделей
При построении математической модели практической ситуации
рекомендуется:
1. Сформулировать цель моделирования ситуации:
а) определить потребляемые организацией ресурсы zr, r = 1, k;
б) определить выходные экономические показатели zl, l = k +1, m;
в) выбрать показатель эффективности или качества принимаемых решений z0;
г) сформулировать требования к уровням расхода ресурсов и результирующих экономических показателей, а также к общему показателю деятельности.
5
Например: Цель моделирования z0 → max.
Ограничения на ресурсы и экономические показатели:
zr ≤ ar, r = 1, k;
zl ≥ al, l = k + 1,m.
2. Определить управляющие переменные xj, j = 1, n и возможный диапазон их изменения сj ≤ xj ≤ bj, j = 1, n.
3. Определить зависимость управляемых переменных (z0, zr, zl,
r = 1, k, l = k + 1, m) от управляющих (xj, j = 1, n).
Задание к работе
Требуется построить линейную экономико-математическую модель деятельности туристской фирмы, дать экономическую интерпретацию параметров модели для следующих данных.
Организация предоставляет два вида услуг:
– визовую поддержку,
– продажу авиабилетов в страны Европы.
Организационно-экономические возможности фирмы следующие:
– выход в Интернет – не более 500 Мб в неделю,
– поездки в посольства и представительства стран Европы в других городах – не более 6 раз в неделю.
Дополнительные сведения о нормах объемов информации по сети Интернет (по ADSL-технологии) и поездок в посольства или представительства в других городах приведены в таблице.
Выручка фирмы от предоставления двух видов услуг должна составлять не менее 20 000 руб. в день, в том числе от продажи авиабилетов – не менее 10 000 руб.
Контрольные вопросы
1. Что представляет собой разность (ar – zr)?
2. Что представляет собой разность (zl – al)?
3. Назовите виды услуг, оказываемых в туристском бизнесе.
4. Что может относиться к ресурсам турфирмы?
5. Поясните экономический смысл всех параметров вашей модели:
– в нестандартном виде;
– в стандартном виде.
6
40
50
40
50
1. Визовая
поддержка (x1)
2. Продажа
авиабилетов
1. Визовая
поддержка (x1)
2. Продажа
авиабилетов
Виды услуг
–
2
–
2
КолиОбъем чество
поездок
информа в Москву
ции
Мб/ед. ед./нед.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5000
640
6400
500
16
18
19
20
5100 5200 5300 5400
630 620 610 600
6300 6200 6100 6000
630 620 530 540
17
22
23
24
25
26
27
28
29
5600 5700 5800 5900 6000 6100 6200 6300
580 560 550 540 630 520 510 500
5900 5800 5600 5500 5400 5300 5200 5100 5000
550 560 570 580 5800 600 610 620 630
5500
580
21
6400
490
4900
640
30
6500
650
4
10000 9000 8500 8000 7500 7400 7300 7200 7100 7000 6900 6800 6700 6600
1000 900 850 800 750 740 730 720 710 700 690 680 670 660
3
4900
490
2
3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800
360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480
3500
350
1
ТЭП по вариантам: стоимость единицы услуг / прибыль с единицы услуг; руб./ед.
Исходные данные для практических работ № 1, 2, 3
Практическая работа № 2
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: развить навыки анализа экономико-математических
моделей на основе графических методов поиска их оптимальных решений.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. Возможны различные подходы к
анализу линейных оптимизационных моделей. Однако наиболее наглядным и простым способом является геометрическая интерпретация линейной модели и всех ее элементов.
Для построения графического аналога линейной оптимизационной модели необходимо выбрать систему координат. Наиболее удобной для этой цели является прямоугольная декартовая система координат, где каждой управляющей переменной xj, j = 1, n соответствует
своя ось. В наиболее простом случае – это плоскость с двумя координатными осями. Важно помнить, что все свойства модели, характерные для 2- и 3-мерных моделей, полностью сохраняют свои свойства
и для n–х пространств и моделей.
Для того чтобы лучше понять методику анализа линейной оптимизационной модели на основе геометрической интерпретации, рассмотрим простейшую модель, включающую в себя функцию двух переменных:
z0 = p1 x1 + p2 x2 → max;
yr = – ar1 – ar2 x2 + ar ≥ 0, r = 1, k;
yl = al1 x1 + al2 x2 – al ≥ 0, l = k + 1, m;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
При построении осей для 2-мерной модели, как правило, по горизонтали откладывают объем услуг1-го вида. По вертикальной оси –
объем услуг 2-го вида. Таким образом, каждая точка на плоскости является программой оказания обоих видов услуг, а координаты этой
точки определяют конкретный объем оказания услуг 1-го и 2-го вида.
Геометрический смысл целевой функции z0 = p1 x1 + p2 x2 – прямая, которая проходит перпендикулярно к нормальному вектору p с
координатами p = (p1, p2). Этим вектором фиксируется направление
прямой (p1x1 + p2x2) относительно координатных осей. При z0 = 0 эта
8
прямая проходит через начало координат. Экономический смысл этой
прямой заключается в том, что прямая z0 = 0 определяет множество
возможных вариантов программ, суммарная прибыль для которых
равна нулю. Направляющий вектор P = (p1, p2) показывает, где лежат
точки (программы) с положительным значением прибыли z0 > 0.
В противоположном направлении расположены точки (программы) с
отрицательным значением суммарной прибыли z0 < 0 (убытки).
Все остальные прямые, соответствующие уравнениям yr и yl,
строятся по двум точкам. Для этого попеременно приравниваются к
нулю x1 и x2.
Геометрический смысл переменной yr – прямая, не проходящая
через начало координат, так как ar ≠ 0. Прямая yr проходит перпендикулярно вектору Ar = (–ar1, –ar2) с отрицательными координатами.
Экономический смысл этой прямой при yr = 0 состоит в том, что на
ней лежат все программы по оказанию услуг, для которых экономия
r-го производственного ресурса равна нулю, т.е. фонды (лимиты) по
этому ресурсу израсходованы.
Вектор Ar = ( –ar1, –ar2) показывает, в каком направлении лежат
точки (программы) с большей экономией r-го ресурса.
Геометрический смысл переменной yl – прямая, не проходящая
через начало координат, так как контрольные цифры программы
(плана) отличны от нуля, то есть al ≠ 0. На этой прямой лежат все точки (программы), для которых перевыполнение плана по l-му экономическому показателю равно нулю. Другими словами, программа по
оказанию услуг выполняется на 100 %.
Направляющий вектор Al = (al1, al2) показывает область, где планы по выполнению услуг перевыполняются yl > 0, или составляют более 100 %. В противоположном направлении лежат планы, для которых задание по l-му экономическому показателю yl < 0, то есть не выполняется, или составляет менее 100 %.
Методика построения графической модели линейного типа
1. Приравниваются к нулю каждая из переменных, входящих в
модель. Эту процедуру начинают с управляющих переменных: x1 = 0,
x2 = 0 – это две прямые, которые рассматриваются в качестве коорди9
натных осей (рис. 1). Каждая точка плоскости, ограниченная штриховкой, является программой (планом) оказания услуг двух видов (x1 и x2).
X2(x1 = 0)
z0 = z0opt
y1 = 0
X2
(5)
A1
opt
A2
z0 = opt
y3 = 0
y4 = 0
A4
X1opt
P
0 (1)
y2 = 0
P1
(2)
X1(x2 = 0)
(4)
(3)
A3
Рис. 1. Пример графического поиска и анализа
оптимального решения модели линейного типа
2. Приравнивается к нулю переменная z0, и строится прямая z0 =
0, перпендикулярная вектору P (p1, p2), направление которого показывает, в какую сторону следует изменять план.
3. Приравниваются к нулю переменные y1 и y2 (yr1 и yr2), характеризующие экономию ресурсов. Строятся прямые y1 = 0, y2 = 0, перпендикулярные векторам A1(–a11, –a12) и A2(–a22, –a22). Направления
векторов показывают, как следует изменить программу оказания услуг (или выпуска продукции), чтобы увеличить экономию ресурсов
(см. рис.1).
4. Приравниваются к нулю переменные y3 и y4 (yl1 и yl2), характеризующие перевыполнение программы по экономическим показателям. Строятся прямые y3 = 0, y4 = 0, перпендикулярные векторам
A3 (–a31, –a32) и A4 (–a41, –a42). Направления векторов указывают, в ка10
кой области лежат программы по оказанию услуг, обеспечивающие
рост экономических показателей.
5. На заключительном этапе анализа линейной модели отыскивается оптимальное решение. Для этого выделяется общая для всех переменных модели заштрихованная область. В общем случае – это
многогранник, все точки которого представляют собой область допустимых решений.
Задание к работе
Построить графическую модель, составленную в практической
работе № 1, и найти ее оптимальное решение. Выполнить анализ полученных результатов.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение оптимального плана.
2. Может ли внутренняя точка многогранника решений быть оптимальным решением модели?
3. В каком направлении лежит оптимальное решение модели?
4. Чем отличается область эффективных от области оптимальных
решений?
5. Всегда ли можно найти решение модели? Назовите причины и
возможные варианты выхода из ситуации, при которой не удается
найти сбалансированное решение модели.
11
Практическая работа № 3
СИМПЛЕКС-МЕТОД ПОИСКА И АНАЛИЗА
ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: развить навыки поиска и анализа оптимальных
решений линейных моделей на основе симплексного метода.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. При поиске оптимального решения линейных моделей можно ограничиться перебором вершин многогранника допустимых решений, отбросив как заведомо неоптимальные все решения, расположенные внутри многогранника (рис. 2).
Симплекс-метод в отличие от графического метода позволяет
осуществить направленный перебор этих вершин. Другими словами,
каждый переход в последующую точку (вершину многогранника) сопровождается улучшением плана. Поэтому симплекс-метод называют
методом последовательного улучшения плана.
Кроме того, симплекс-метод позволяет учитывать неограниченное количество управляющих переменных, также как и управляемых. На основе
данного метода можно решать n-мерные задачи, тогда как графический метод ограничивается решением 2-мерных, максимум 3-мерных задач.
Основу симплексного метода решения задач линейного программирования составляет процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решения с точки зрения максимизации
целевой функции.
Каждая расчетная итерация симплексной процедуры фиксируется в симплексной таблице. Симплекс-таблица представляет собой
матрицу, которая служит средством перебора допустимых базисных
решений задачи линейного программирования (линейной модели).
Симплексная таблица образуется из коэффициентов системы уравнений линейной модели, приведенной к каноническому виду:
z0 = p1x2 + p2x2 Æ max;
y1 = –a11x1 – a11x2 + a1 > 0;
y2 = –a21x1 – a22x2 + a2 > 0;
y3 = a 31x2 + a32x2 – a3 > 0;
y4 = a24x2 – a4 > 0
12
или
z0 = 2x1 + 3x2 Æ max;
y1 = –2x1 – x2 + 8 > 0;
y2 = –x1 – 3x2 + 18 > 0;
y3 = 20x1+50x2 – 200 > 0;
y4 = 50x2 – 100 > 0
Модель записана в стандартной форме, удобной для ее анализа
симплексным методом.
В данном примере приведен общий и конкретный вид линейной
оптимизационной модели деятельности туристской фирмы, который в
общем виде соответствует заданию, выполняемому в практических
работах № 1 и 2. Важно отметить, что в данной задаче использован
один критерий оптимальности z0 – прибыль организации. Уравнений
типа yr составлено два (y1 и y2 соответственно), так как ограничено два
вида ресурсов: объем информации, получаемой по Интернету, и количество поездок в посольства и представительства зарубежных стран.
Уравнений типа yl также составлено два (y3 и y4 соответственно), поскольку заданы минимальные размеры выручки организации: по обоим
видам оказываемых услуг и в том числе по второму виду отдельно.
Методика решения линейных оптимизационных моделей
симплексным методом
1. Перебор вершин многогранника возможных решений линейных моделей начинают с точки (1) (рис. 2, а). Эта точка представляет
собой начало декартовой системы координат, в нашем примере – это
пересечение осей X1 (х2 = 0) и X2(х1 = 0). Точке (1), как и каждой последующей – (2), (3), (4), (5) – соответствует симплекс-таблица, в которой содержатся характеристики плана (то есть решения линейной
модели), соответствующие этим точкам. Точке (1) соответствует симплекс-табл. 1.
Симплекс-таблица 1
-x1 = 0
-x2 = 0
y1 =
y2 =
yз =
y4 =
a11
ax21
-a31
-a41
a12
a22
-a32
-a42
a1
a2
- a3
- a4
Z0 =
-p1
-p2
0
В общем виде
-x1 = 0 -x2 = 0
y1 =
y2 =
y3 =
y4 =
z0 =
2
1
-20
0
1
3
-50
-50
8
18
-200
-100
-2
-3
0
Условный числовой пример
Следует обратить внимание, что верхние управляющие переменные (их может быть любое количество) в симплекс-таблице всегда
равны нулю: для точки (1) x1 = 0, x2 = 0 и имеют знак минус. Значения
управляемых переменных всегда равны величинам, расположенным в
последнем столбце симплексной таблицы: для точки (l) y1 = 8, у 2 = 18,
13
у3 = -200, у4 = -100, z0 = 0. Все числовые элементы симплекс-таблиц
имеют обратные знаки по сравнению с исходным вариантом, кроме
значений последнего столбца, где они приводятся с прямыми (исходными) знаками.
Таким образом, все необходимые характеристики плана, соответствующего точке (1), определяются по симплекс-табл. 1.
2. Анализируя план в точке (1), можно сделать вывод, что он не
является оптимальным и его можно улучшить. Недостатком плана является отрицательность переменных у3 < 0, у4 < 0. Экономический
смысл данного обстоятельства – это невыполнение плана по заданным экономическим показателям. Следовательно, план в точке (1) необходимо улучшить.
3. Изменять план в нашем примере можно, лишь двигаясь по одной из координатных осей X1 или X2, выходящих из точки (1) (рис. 2,
д), то есть за счет увеличения объема выполняемых услуг 1-го или 2го вида. Необходимо выбрать такое направление, при котором будут
увеличиваться у3 и (или) у4.
Улучшить план – это значит изменить в нужном направлении
(увеличить или уменьшить) управляемые переменные за счет увеличения управляющих переменных. Уменьшать управляющие переменные нельзя!
При выборе направления перебора вершин многогранника возможных решений линейной модели определяющее значение имеют
знаки при коэффициентах связи между управляющей переменной и
управляемой – ± aij, где i – номер строки, j – номер столбца.
При этом руководствуются правилом: если коэффициент связи
положителен, то при увеличении управляющей переменной
управляемая переменная уменьшается. Если коэффициент связи
отрицателен, то при увеличении управляющей переменной
управляемая переменная увеличивается.
Анализ знаков коэффициентов симплекс-табл. 1 показывает, что
увеличить у3 или у4 можно и за счет увеличения управляющей переменной х1 или х2. Выберем переменную x2 и начнем ее увеличивать, то
есть двигаться по координатной оси X2(x1 = 0) (рис. 2, а). В нашем
примере первой встретится плоскость Y4 = 0. Эта плоскость станет
новой координатной осью вместо X1(x2 = 0). Так определится новое
начало декартовой системы координат – точка (2) (рис. 2, б).
14
Рис. 2. Геометрическая иллюстрация и характеристики
точек (планов) симплекс-процедуры: а – точка (1);
б – точка (2); в – точка (3); г – точка (4); д – точка (5)
15
4. Для точки (2) необходимо построить новую симплекс-таблицу.
Коэффициенты этой новой таблицы определяются на основе коэффициентов симплекс-табл. 1. Коэффициент симплекс-табл. 1, связывающий управляемую переменную у4 с управляющей переменной х2, называется разрешающим элементом. Обозначим его β42 = –50. Разрешающий элемент находится в разрешающей строке и разрешающем
столбце симплекс-табл. 1.
Коэффициенты каждой последующей симплекс-таблицы определяются на основе данных предыдущей симплекс-таблицы по следующим четырем правилам:
1-е правило – получение нового элемента, который располагается в следующей симплекс-таблице на месте разрешающего:
∗
1
β42 =
β42
∗
1
;
50
2-е правило – получение новых коэффициентов в разрешающей
строке:
∗
β4 j
β4 j =
j≠2
β42
В нашем примере β 42 = −
∗
∗
−100
= 2;
−50
3-е правило – получение новых коэффициентов в разрешающем
столбце:
∗
β
βi 2 = − i 2 i ≠ 4
β42
В нашем примере β41 = 0;
β43 =
∗
1
1 ∗
3 ∗
3
= ; β22 = ; β52 = −
В нашем примере βi 2 = −
−50 50
50
50
4-е правило – получение всех остальных коэффициентов новой
симплекс-таблицы:
∗
β i j β42 − β4 j βi 2
βij =
i ≠ 4, j ≠ 2;
β42
В нашем примере β13 =
16
∗
∗
8(−50) − (−100)1
= 6; β21 = 1; β23 = 12 и так далее.
50
На основе полученных данных строится симплекс-табл. 2.
Симплекс-таблица 2
– x1 = 0 – y 4 = 0
y1 =
y2 =
y3 =
х2 =
Z0 =
2
1
-20
0
-2
1/80
6
3/50
12
-1
-100
-1/50
2
-3/50
6
Анализ симплекс-табл. 2 осуществляется в соответствии с изложенной выше методикой. В нашем примере данный вариант плана не
является оптимальным из-за сохраняющейся отрицательности показателей норм прибыли, а также по результирующим экономическим показателям z0, у3. Для улучшения этого варианта плана можно увеличивать одну из переменных х1 или у4. Выберем переменную x1 и будем
двигаться по оси Y4 = 0 до пересечения с плоскостью Y3 = 0, при этом
получим точку (3). Этой точке соответствует симплекс-табл. 3.
Для расчета коэффициентов новой симплекс-таблицы были использованы приведенные выше формулы с измененной размерностью
разрешающего элемента и всех остальных элементов.
Симплекс-таблица 3
y1 =
-у3 = 0
1/10
-у4 = 0
-2/25
-4
y2 =
x1 =
x2 =
z0 =
1/20
-1/20
0
-1/10
1/100
1/20
-1/50
1/25
7
5
2
16
Анализ симплекс-табл. 3 показывает, что план в точке (3) допускает перерасход первого вида ресурсов у1 < 0, что невозможно по условиям заданной модели (рис. 2, в). В целях дальнейшей оптимизации
из двух управляющих переменных y3 и у4 выберем опять y4. Будем
двигаться по оси Y4 = 0 (увеличивая переменную x1) дальше до пересечения с прямой Y2 = 0. Расчет коэффициентов симплекс-табл. 4 осуществляется по тем же правилам на основе коэффициентов предыдущей симплекс-табл. 3. Следующей точкой поиска оптимального варианта плана будет точка (4) (рис. 2, г). При этом следует обратить вни17
мание на изменение направления осей. Это вызвано ограничениями,
заданными на расход имеющихся ресурсов. Точке (4) соответствует
симплекс-табл. 4.
Симплекс-таблица 4
y1 =
y3 =
x1 =
х2 =
Z0 =
-y2 = 0
-y4 = 0
-5/4
1/16
1/80
0
-1/5
-25/2
-1/8
5/8
1/4
1/2
50
81/8
5/2
5/2
14
Анализ симплекс-табл. 4 показывает, что данный вариант плана
также может быть улучшен из-за сохраняющейся отрицательности
одного коэффициента последней строки, то есть нормы прибыли на
одном виде услуг. Улучшить план возможно, изменив управляющие
переменные у2 или y4. Выберем у2 и будем двигаться по соответствующей оси до пересечения с плоскостью Y1 = 0. Таким образом получим точку (5) как новый альтернативный вариант плана. Этой точке
соответствует симплекс-табл. 5 (рис. 2, д), коэффициенты которой
определены на основе коэффициентов симплекс-табл. 4. Анализ нового плана показывает, что его улучшить нельзя, так как в последней
строке таблицы все коэффициенты положительны. Это означает, что
по какой бы оси ни стали двигаться из этой точки, показатель прибыли будет уменьшаться. Следовательно, план в точке (5) оптимален.
Симплекс-таблица 5
-у2 = 0
y4 =
y3 =
x1 =
х2 =
z0 =
,20
16
-1/5
0
16/5
-y1 = 0
-15
-2
13/20
1/4
1/10
Управляющие переменные:
⎧ y2 = 0
⎨
⎩ y1 = 0
18
505/2
162
19/40
5/2
232/5
Управляемые переменные:
⎧ y4 = 505 2
⎪ y = 162
⎪⎪ 3
⎨ x1 = 19 40
⎪x = 5 2
⎪ 2
⎪⎩ z0 = 232 5
Задание к работе
На основе методики симплексного метода найти оптимальное
решение модели, построенной в практической работе № 1, сравнить
его с результатами, полученными при решении модели графическим
способом. Сделать выводы относительно простоты того и другого метода, а также точности получаемых результатов.
Контрольные вопросы
1. Приведите пример канонической формы линейных моделей.
2. Сформулируйте сущность симплекс-метода поиска и анализа
оптимальных решений линейных моделей.
3. Что такое симплексная таблица?
4. Почему нельзя уменьшать управляющие переменные?
5. Как влияет знак коэффициента связи в симплекс-таблице на
изменение управляемой переменной, если:
а) управляющая переменная уменьшается, а знак коэффициента
положителен;
б) управляющая переменная уменьшается, а знак коэффициента
отрицателен;
в) управляющая переменная увеличивается, а знак коэффициента
положителен;
г) управляющая переменная увеличивается, а знак коэффициента
отрицателен.
6. Определите разрешающий коэффициент своей симплекс-табл. 1.
19
Практическая работа № 4
ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: овладеть методикой построения опорных планов транспортных задач и их оптимизации.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. В общем виде транспортные задачи записываются и решаются в виде таблицы:
Пункт
отправления
А1
А2
…Аj
…Аm
Количество мест
размещения
Пункты назначения
В1
В2
… Вj
…Вn
c11
x11
c 21
x21
c i1
x i1
c m1
x m1
b1
c12
x12
c 22
x22
c i2
x i2
c m2
x m2
b2
c1j
x1j
c 2j
x2j
c ij
x ij
c mj
xmj
…bj
c1n
x1n
c 2n
x2n
c in
x in
c mn
x mn
…bn
Количество
прибывающих
туристов
a1
а2
…ai
…am
∑bj = ∑ai
Здесь cij – тарифы на перевозку ( стоимость билета), xij – количество перевозимых пассажиров.
К задачам закрытого типа относятся такие, у которых суммарное
количество прибывающих туристов равно суммарному количеству
мест размещения ∑ai = ∑bj.
К задачам открытого типа относятся такие, у которых ∑ai ≠ ∑bj.
Чтобы решить транспортную задачу открытого типа, необходимо:
1. Если ∑ai > ∑bj, то вводится дополнительный фиктивный столбец
" j+1 " с потребностью bj+1 = ∑ai – ∑bj. Чтобы задача не изменилась, тарифы в фиксированном столбце приравниваются к 0, то есть ci( j+1) = 0.
2. Если ∑ai < ∑bj, то вводится дополнительная фиктивная строка
"i+1" c запасом ai+1 = ∑bj – ∑ai. Чтобы задача не изменилась, тарифы в
фиктивной строке приравниваются к 0, то есть c( i+1)j = 0.
20
Методика решения транспортной задачи
С четырех вокзалов необходимо доставить прибывших туристов
в три гостиницы. Данные о количестве туристов и мест в гостиницах
приведены в табл. 1.
Приводим задачу к «закрытому» типу, то есть когда ∑ai > ∑bj,
вводим дополнительный столбец (табл. 2.)
Таблица 1
А1
А2
А3
А4
В1
3
10
7
3
Гостиницы
В2
8
15
6
2
В3
9
8
4
3
Количество мест
25
40
30
Вокзалы
Количество
туристов
50
60
40
30
180
95
Таблица 2
Вокзалы
А1
А2
А3
А4
Количество мест
В1
3
10
7
3
25
Гостиницы
В2
В3
8
9
15
8
6
4
2
3
40
30
В4
0
0
0
0
85
Количество
туристов
50
60
40
30
180
1. Опорный план в транспортных задачах можно составить с помощью
метода «северо-западного» угла (табл. 3) и (или) метода «минимального элемента» (табл. 4).
Таблица 3
Метод северо-западного угла
А1
А2
А3
А4
Количество мет
В1
В2
В3
В4
3
25
10
8
25
15
15
6
9
0
8
30
4
0+
15
0
40
0
30
85
7
3
25
2
+
40
3
30
Количество
туристов
50
60
40
30
180
21
Заполнение табл. 3 начинают с верхней левой клетки (то есть северо-западной клетки). Из оставшихся снова выбирают северозападную и так далее. Число заполненных клеток должно быть равно
(m + n) – 1. Если получается количество клеток меньше заполненных,
то необходимо из рассмотрения вывести столбец (строку) с равным
количеством мест и туристов. Задача решается без этого столбца
(строки). На втором шаге он вводится обратно. Таким образом «разбивается» доставка.
Таблица 4
Метод минимального элемента
А1
А2
А3
А4
Количество мест
В1
В2
В3
В4
3
8
9
10
15
7
10
3
15
10
6
8
0
50
0
35
0
25
40
2
30
4
30
3
30
0
85
Количество
туристов
50
60
40
30
180
Заполнение табл. 4 начинают с клетки с минимальным тарифом.
Если таких тарифов несколько, то выбирают любую клетку, и таким
образом поступают на любом последующем шаге. Число заполненных клеток должно быть равно (m + n) – 1.
Определяем стоимость плана (см. табл. 3 и 4). Для этого составим матрицу решения:
⎛ 25 25 0 0 ⎞
⎜ 0 15 30 15 ⎟
⎟ S = 740 руб.
А(4×4) = ⎜
⎜ 0 0 0 40 ⎟ a
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 30 ⎠
22
⎛ 0 0 0 50 ⎞
⎜ 15 10 0 35 ⎟
⎟ Sb = 550 руб.
B(4×4) = ⎜
⎜10 0 30 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 30 0 0 ⎠
Дальнейший расчет производим по результатам, полученным
любым из методов. Возьмем за основу опорный план, полученный
методом северо-западного угла.
2. Проверяем методом потенциалов, является ли опорный план
оптимальным.
Теорема: если для некоторого опорного плана X (xij), i = 1,…m;
j = 1,…n существуют такие числа α1, α2…αm и β1, β2…βn, что βj – αi = сij
при xij > 0 и βj – αi ≤ сij при xij = 0, то план X является оптимальным,
где αi – потенциалы пунктов отправления; βj – потенциалы гостиниц.
Для каждой незаполненной клетки определяется потенциал zij;
βj – αi – сij = zij.
Опорный план не является оптимальным, если существует положительный потенциал (не использованный).
Оптимизацию проводят по самому большому утерянному потенциалу.
Для нашего примера опорный план не является оптимальным,
так как z31 = 3; z32 = 9; z33 = 4; z41 = 7; z42 = 13; z43 = 5.
Для клетки с максимальным потенциалом z42 выделяем контур
пересчета (см. табл. 3) и получаем новый опорный план (табл. 5).
Для клетки (z42) необходимо выделить контур (цикл) пересчета.
Контур пересчета – замкнутая ломаная линия, которая начинается в клетке zij > 0 → max. Все точки перегиба контура должны находиться в заполненных клетках, и иметь угол поворота 90°. Формальное пересечение не является точкой контура. Каждой вершине контура поочередно присваивают знак «+» и «–». Должно соблюдаться условие: количество « + » равно количеству «–».
23
Таблица 5
А1
А2
А3
А4
Количество мест
В1
В2
В3
В4
3
25
8
25
9
0
10
15
7
6
8
30
4
3
2
15
40
0
30
0
40
0
15
85
25
3
30
Количество
туристов
50
60
40
30
180
В данную свободную клетку (zij > 0 – максимальное) переносят xij –
минимальное значение из стоящих в « – » клетках. В целях соблюдения баланса перевозок одновременно это число прибавляют к xij,
стоящему в « + » клетках и вычитают из xij, стоящего в « – » клетках.
После этого получаем новый опорный план, для которого существует
матрица решения.
Данный, новый опорный план необходимо проверить на оптимальность, то есть повторить методику с п. 2 и далее.
Задание к практической работе
Необходимо составить план-график доставки туристов из аэропорта в гостиницы (Вj, j = 1, п). В распоряжении турфирмы есть несколько автобусов (Ai, i = 1, т).
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
24
Какие существуют методы для решения транспортной задачи?
Какие задачи называются открытыми, закрытыми?
Как привести задачу к закрытому типу?
Какой план называется оптимальным?
Почему в фиктивном столбце тарифы равны 0?
Что такое контур пересчета?
Назовите несколько условий для построения контура пересчета.
В2
9
2
2
40
В2
3
5
7
120
В2
7
4
9
100
В2
4
8
2
135
В1
3
4
1
40
В1
2
4
6
50
В1
8
3
10
150
В1
3
10
3
65
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
7
5
3
1
В3
5
7
1
50
В3
6
2
7
30
В3
8
1
3
30
В3
7
6
3
120
В4
6
6
5
50
В4
5
1
8
20
В4
9
2
4
50
В4
5
8
5
100
Количество тур.
60
60
80
Количество тур.
60
50
90
Количество тур.
100
20
30
Количество тур.
100
50
50
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
Варианты заданий
В1
8
4
3
60
В1
3
5
7
140
В1
4
7
10
20
В1
3
9
5
50
В2
5
6
7
140
8
6
В2
4
6
8
40
В2
5
8
1
30
4
В3
9
10
8
40
В3
9
1
3
40
В3
6
9
2
110
2
В2 В3
5
6
10
1
7
9
30 120
В4
7
9
9
60
В4
10
2
4
40
В4
3
4
5
40
В4
7
2
8
50
25
Количество тур.
70
70
60
Количество тур.
100
20
40
Количество тур.
40
50
10
Количество тур.
70
30
50
А1
А2
А3
Количество мест
26
В2
4
5
3
100
В1
8
7
6
50
А1
А2
А3
Количество мест
15
В3
2
1
10
80
В3
5
1
9
50
В4
9
8
7
70
В4
6
4
10
50
В2
4
2
8
50
В1
8
3
5
50
А1
А2
А3
Количество мест
13
В4
4
6
10
40
11
В2
8
10
2
120
В1
7
9
1
80
В3
3
5
9
60
В4
1
2
3
100
В2 В3
6
9
7
10
8
11
150 250
В1
3
4
5
200
А1
А2
А3
Количество мест
9
Количество тур.
90
100
10
Количество тур.
60
140
100
Количество тур.
100
60
40
100
200
300
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
В1
7
6
5
110
В1
3
4
5
100
В1
4
5
9
50
В1
3
8
9
100
16
В2 В3
4
1
3
2
2
3
40 50
14
В2 В3
4
5
6
8
7
9
150 100
12
В2 В3
8
7
3
2
10 10
50 50
10
В2 В3
4
1
3
3
2
4
120 80
В4
4
5
6
50
В4
6
10
11
150
В4
6
1
3
50
В4
5
6
7
100
Количество тур.
40
50
60
Количество тур.
200
20
100
Количество тур.
60
140
100
Количество тур.
150
150
200
В2
7
5
3
40
В2
7
4
1
40
В2
8
5
3
40
В2
9
1
5
60
В1
8
6
4
40
В1
9
5
2
120
В1
8
6
3
40
В1
7
1
4
60
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
23
21
19
17
В3
10
2
6
60
В3
7
5
2
110
В3
6
3
3
30
В3
2
2
4
50
В4
8
9
10
60
В4
1
2
3
10
В4
3
5
6
60
В4
1
3
5
50
Количество тур.
160
120
60
Количество тур.
30
60
10
Количество тур.
50
50
50
Количество тур.
100
130
50
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
В1
3
10
4
50
В1
3
5
9
100
В1
8
6
2
40
В1
3
5
7
50
24
В2 В3
5
9
1
2
5
6
35 35
22
В2 В3
4
3
2
8
1
3
100 50
20
В2 В3
9
7
4
3
1
3
60 25
18
В2 В3
4
9
6
11
8
3
50 50
В4
4
5
6
50
В4
4
5
6
50
В4
1
2
3
25
В4
10
2
4
50
27
Количество тур.
90
120
60
Количество тур.
60
140
200
Количество тур.
70
1110
70
Количество тур.
100
120
80
В2
8
10
1
60
В2
4
8
9
30
В1
3
4
5
50
В1
3
6
7
70
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
28
В2
5
6
7
60
В1
2
3
4
140
А1
А2
А3
Количество мест
29
27
25
В3
5
7
8
125
В3
2
3
4
50
В3
8
9
10
80
В4
11
3
7
25
В4
7
1
5
140
В4
2
3
4
100
Количество тур.
30
50
70
Количество тур.
55
105
40
Количество тур.
80
100
100
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
А1
А2
А3
Количество мест
В1
8
3
4
100
В1
8
3
10
10
В1
3
4
5
100
30
В2 В3
4
5
2
1
5
6
200 150
28
В2 В3
7
4
2
1
3
5
30 25
26
В2 В3
6
9
7
10
8
1
50 120
В4
5
2
4
150
В4
9
11
10
25
В4
3
5
10
25
Количество тур.
300
250
100
Количество тур.
45
110
35
Количество тур.
90
10
100
Практическая работа № 5
МАТРИЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТУРБИЗНЕСЕ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: развить творческий подход к использованию
основ матричного моделирования при расчете потребности туристской фирмы в расходных материалах.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. В экономических расчетах с
большой эффективностью используются матрицы. Любая экономическая информация: статистическая отчетность, сводки, балансы и другая – представляют в матричной форме. Другими словами, в виде
прямоугольной таблицы чисел.
Горизонтальные ряды называются строками. В экономической
литературе они имеют специальное название – подлежащее матрицы. Вертикальные ряды называются столбцами, специальное название –
сказуемое матрицы.
Экономико-математические матричные модели строят на основе
правил выполнения основных операций над матрицами: сложения,
вычитания, умножения матриц друг на друга и др. Суммировать можно только те матрицы, которые имеют одинаковые размеры (число
строк и столбцов).
Умножать можно только те матрицы, у которых соблюдается
следующее правило:
(1)
Anm × Bmk = Cnk,
где Anm – матрица размерами n × m (n – количество строк, m – количество столбцов); Bmk – матрица размерами m × k (m – количество строк,
k – количество столбцов); Cnk – матрица размерами n × k (n – количество строк, k – количество столбцов).
Каждый элемент результирующей матрицы Cij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы Anm на соответствующие
элементы j-го столбца матрицы Bmk.
29
Методика построения матричной модели
1. Сформировать экономическую концепцию решения поставленной задачи. При этом важно установить зависимость имеющихся
данных и результирующих показателей, которые необходимо определить.
2. Построить матричную модель, основываясь на правиле умножения матриц (1).
3. Решить задачу на основе построенной матричной модели.
Задание к работе
Требуется построить и решить матричную модель определения
потребности туристской фирмы в расходных материалах каждого вида: бумаги (p) и порошка для ксерокса (q) и их общую потребность на
основе следующих данных (табл. 1 и 2).
Турфирма имеет три филиала (А, В, С) в различных районах города, которые предоставляют следующие виды услуг: оформление
виз (1), продажа авиабилетов (2), бронирование гостиниц (3) и формирование заграничных туров (4).
Определить общую потребность каждого филиала в материальных ресурсах (p – бумага, q – порошок для ксерокса).
Контрольные вопросы
1. Подставьте правильно размеры матриц: A × B × D = C.
2. Что из себя представляют матрицы размерами: A1x n, Bn x1?
3. Приведите примеры экономических данных, представленных в
матричной форме.
4. Является ли построенная матричная модель оптимизационной?
5. Приведите примеры норм расхода материалов по видам работ.
6. Дайте экономическую интерпретацию элементов матриц в
Вашей модели.
7. В чем заключается экономический смысл суммарных элементов каждой матрицы в построенной Вами модели?
30
1
2
3
4
Особые
условия
5 30 20 7
30 10 20 4
Таблица 2
Виды услуг
1-й
2-й
3-й
4-й
100
200
300
400
р(бумага)
10
20
30
40
q(порошок)
Нормы расхода материалов p и q (шт./тыс.руб.) по видам услуг
Вид материала
5
5 20
Услуги 1-, 4-го видов представляют филиалы А, В и С;
2-го вида – А и В; 3-го вида – В и С
7
40 10 40 40 15 5 20 30 5
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
10 5 8 50
8
10 15 5 15 5 10 30 5 7 20 30 20 7 5 20 5 10 15 3 15 10
15 5 15 5 10 40 5 7 20 30 20 7 5 30 7 30 30 3 10 10 5
5 40 10 10 40 15 7 20 30 5 7 5 30 20 5 20 5 10 15 15 15
6 7
5 8 20 10
8 20 10 5
20 10 5 8
5
Объемы услуг, тыс. руб. (по вариантам)
Услуги 1-, 2-го видов представляют филиалы А, В и С;
3-го вида – В и С; 4-го вида – А и С
1-й (виза)
10 8 5 10
2-й (авиабилет)
8 5 10 20
3-й (бронирование 5 10 20 8
гостиниц)
4-й (тур)
10 20 8 5
Виды
услуг
Исходные данные к практической работе № 5
Таблица 1
Практическая работа № 6
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
НА ОСНОВЕ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: овладеть статистическими методами анализа
хозяйственной деятельности организаций на основе методов ранговой
корреляции.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. Методы ранговой корреляции находят применение в случаях, когда необходимо измерить степень
(тесноту) связи каких-либо признаков либо не поддающихся измерению, либо трудно измеряемых. Для проведения расчетов такие показатели (признаки) располагаются по порядку в соответствии с некоторым требованием (качественным или количественным). При этом каждому показателю-признаку присваивается порядковый номер, который называется рангом.
Ранг – это члены натурального ряда от 1 до n. Первый ранг присваивается наиболее крупному или важному объекту, второй – следующему и так далее. Методика рангового корреляционного анализа
не изменится, если за начало будет принят наименее важный или
наименьший по величине объект (признак, показатель).
Если объекты ранжированы по двум признакам, то степень связи
между признаками возможно определить на основе значений рангов.
Для этого, как правило, рассчитывают коэффициент Спирмэна:
6∑ d 2
rs = 1 −
,
n(n2 − 1)
(1)
где d – разность значений рангов, расположенных в двух рядах у одного и того же объекта; n – количество объектов. Коэффициент ранговой корреляции rs является частным случаем коэффициента парной
корреляции.
Величина rs для двух рядов, состоящих из n рангов, зависит
только от ∑ d 2 . Крайние значения rs равны 1 и –1, то есть они сим32
метрично расположены относительно нуля. Чем ближе к «1» значение
коэффициента ранговой корреляции, тем сильнее связаны исследуемые признаки объекта. Чем ближе к «0» значение коэффициента, тем
слабее связаны признаки объекта. При ранжировании признаков
встречаются объекты с одинаковыми (или трудно различимыми на
взгляд эксперта – исследователя) признаками. Такие объекты называются связанными. Связанным объектам присваивается одинаковый
ранг. Для того чтобы сумма всех рангов осталась такой же, как и в
случае, когда нет связанных рангов, подобным объектам присваивают
их средний ранг.
Поскольку коэффициент ранговой корреляции rs определяется на
основе выборки (совокупности признаков объектов), возникает необходимость проверки значимости rs или проверки гипотезы H 0 :
H0 / ps,
где ps – генеральный коэффициент ранговой корреляции.
При проверке исходят из того, что распределение H0 стремится к
нормальному с увеличением n. Среднюю квадратическую ошибку находят по следующей формуле:
Sr =
1
.
n −1
(2)
При уровне (значимости) существенности во время проверки гипотезы H0, равном 5 % (α = 0,05):
а) гипотеза отклоняется, если
rs <
− 1,96
1,96
r
>
или s
;
n −1
n −1
б) гипотеза не отклоняется, если
− 1, 96
1, 96
≤ rs ≤
.
n −1
n −1
В практике встречаются ситуации, когда объект характеризуется
не двумя, а несколькими признаками, то есть несколькими рядами
рангов. Например, оценка объектов осуществляется группой экспертов (более чем двумя). Возникает задача определения общей меры со33
гласованности экспертных оценок. В качестве такого измерителя
применяют коэффициент конкордации (согласованности):
12∑D2
W= 2 3
,
(3)
m (n − n)
где n – число объектов; m – число рядов рангов (число экспертов);
D – отклонение суммы рангов объекта от средней их суммы. При
W = 1 – оценки всех экспертов совпадают (полная согласованность);
0 < W < 1 – оценки экспертов не совпадают тем больше, чем ближе
W к нулю.
Методика определения коэффициентов
ранговой корреляции
1. Ранжируют заданные объекты – организации – по двум заданным признакам, результаты ранжирования записываются в виде табл. 1.
Таблица 1
Пример расчета коэффициента ранговой корреляции
Организация
Р
а
н
г
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
1-й признак
4
2
3
1
5
8
7
6
2-й признак
3
5
4
7
6
2
1
8
d
1
-3
-1
-6
-1
6
6
-2
d2
1
9
1
36
1
36
36
4
rs = 1 −
6 ×124
= 1 − 1,476 = −0,476 .
2
8 × (8 −1)
Вывод: коэффициент ранговой корреляции свидетельствует об
отрицательной незначительной (47,6 %) связи двух признаков.
2. Проводят проверку значимости гипотезы при уровне существенности 5 % и делают выводы о том, удовлетворяет ли такая ошибка
при ранжировании признаков.
3. Рассчитывают коэффициент согласованности экспертов. Для
этого выбирают уровни рангов по 1-му признаку, присвоенные объектам каждым студентом – экспертом. Расчеты оформляют в виде табл. 2.
34
Таблица 2
Пример расчета коэффициента согласованности экспертов
ФИО
эксперта
(студента)
1. Иванов
2. Петров
3. Кузнецов
4. Сидоров
5. Морозов
Сумма
рангов
№1
1
2
3
4
5
№2
2
3
4
5
6
№3
3
4
5
6
7
№4
4
5
6
7
8
№5
5
6
7
8
1
№6
6
7
8
1
2
№7
7
8
1
2
3
15
20
25
30
27
24
22
D
D2
7,5
56,25
2,5
6,25
-2,5
6,25
-7,5
56,25
-4,5
20,25
-1,5
2,25
0,5
0,25
Организация
Ито№ 8 го
8
1
2
3
4
17
180
5,5
30,25 178
Величина D получена как отклонение суммы рангов от средней,
равной 180/8 = 22,5.
12 × 178
2136
W = 2
=
= 0,1695 .
5 × (83 − 8) 25 × (512 − 8)
Вывод: коэффициент W = 0,1695 свидетельствует о слабой согласованности оценок экспертов.
Задание к работе
В соответствии с выбранным вариантом задания (табл. 3) необходимо рассчитать коэффициент ранговой корреляции и установить
степень влияния специализации турфирмы на объем предлагаемых
услуг (выручку). В качестве 1-го признака принять специализацию
организации в зависимости от спектра услуг, в качестве 2-го – выручку фирмы. При выполнении работ следует учесть, что 1-й признак является общим для всех вариантов заданий. Поэтому в целях корректного расчета табл. 2 ранжирование 1-го признака необходимо выполнить самостоятельно каждому студенту, т.е. без согласования с другими экспертами.
Контрольные вопросы
1. Каков диапазон изменения коэффициента ранговой корреляции?
2. Какие объекты называются связанными?
3. Два объекта из шести получили ранг 1-й и 2-й, рассчитайте
средний ранг следующих четырех.
4. Объясните экономический смысл проверки гипотезы H0×ps = 0.
35
36
4
3
2
1
№
1-й приНазва- знак: виды
ние услуг, претур- доставляе1 2
фирмы мых фирмами
Визы,
ООО
авиабиле«Сири30 20
ты, туры
ус»
в Европу
ООО
Туры
«Азив страны 30 25
ятреАзии
вел»
ООО
Туры
«Евв страны 35 30
ротреЕвросоюза
вел»
АвиабилеООО
ты, брони30 35
«Орирование
он»
гостиниц
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
70 20 25 30 25 17 45 23 50 20 36 17 46 18 10 15 15 18 26 28 45 70 68 18 28 24 18 29
30 15 30 25 20 18 30 25 45 36 20 13 46 27 15 20 20 23 28 42 23 65 62 12 28 35 29 30
20 25 60 15 15 17 30 23 50 34 36 18 44 28 10 15 15 33 38 42 15 53 51 11 22 30 10 16
70 20 15 25 10 18 20 23 47 32 34 17 42 30 5 15 25 30 35 40 45 50 58 18 21 36 17 15
3
2-й признак: выручка организаций (по вариантам)
Исходные данные к практической работе № 6
Таблица 3
ЗАО
«МИА»
ООО
«Прима»
ООО
«Турист»
6
7
8
5
ООО
«Пилиг
рим»
Любые
виды
услуг:
визы,
авиабилеты,
бронирование
гостиниц,
туры
Индивидуальные
туры
Паломнический
туризм,
праздники,
охота,
сельский
туризм
Внутренние
туры
8
9 10 5
7
9 10 5
8
6
7 10 7
8 10 7
3
8 13 10 13 13 7 15 10 9
5
37
7 10 8
15 19 4 20 15 15 40 10 40 35 20 40 14 18 15 15 14 19 23 26 29 27 3 65 58 17 9 35 29 30
10 19 70 10 60 15 30 10 15 23 36 20 28 14 20 18 10 15 20 23 26 28 28 50 58 18 18 25 29 7
40 40 30 25 30 35 30 15 30 30 34 36 20 15 44 30 5 10 10 13 16 18 24 24 22 22 22 36 19 30
Практическая работа № 7
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИГР
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: овладеть навыками постановки и решения задач
теории игр.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. Задачи теории игр позволяют решать задачи по разрешению экономического конфликта. Игра – конфликт действительный или формальный, в котором имеются два и
более игрока с противоположными целями. Правила игры – допустимые действия игрока, направленные на достижение цели. Парная игра –
игра, в которой участвуют две стороны. Задачи теории игр состоят в
выборе такой линии поведения игрока, отклонение от которой может
увеличить его выигрыш или уменьшить его проигрыш.
Методика решения задач теории игр
Рассмотрим парную игру. Один игрок может выбрать i-стратегию
из т возможных, i = 1, m. Второй – j-стратегию из п возможных,
j = 1, n. В результате один из игроков может выиграть сумму ∑ aij , а
другой ее проиграть.
1. Составим матрицу чисел aij:
⎡ a11 a12 ... a 1n ⎤
⎡2 5⎤
Amn = (aij) ⎢ a21 a22 ... a2 n ⎥ A22 = ⎢
⎥.
⎢
⎥
6
4
⎣
⎦
⎢⎣ am1 am 2 ... amn ⎥⎦
Строки матрицы соответствуют стратегиям первого игрока, а
столбцы – стратегиям второго. Эти стратегии называются чистыми.
Матрица А – платежная матрица, или матрица игры.
Максимин – оптимистический критерий – нижняя цена игры:
α = maxi , (min j аij).
Соответствующая строка называется максиминной.
Минимакс – пессимистический критерий – верхняя цена игры:
β = minj, (maxi аij).
Соответствующий столбец называется минимаксным.
Нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены игры.
Если α = β = ν, то игра называется игрой с «седловой точкой».
Для такой игры нахождение цены сводится к выбору максиминной
или минимаксной стратегий, которые являются оптимальными.
38
2. Для решения задач теории игр составляют пару двойственных задач:
⎧u1 ∗ + u2 ∗ + ... + um ∗ = ν
⎪ ∗
+ u2 ∗ + ... + um ∗ = ν
⎪u1
⎨ ∗
+ u2 ∗ + ... + um ∗ = ν
⎪u1
⎪ ∗
+ u2 ∗ + ... + um ∗ = 1
⎩u1
⎧ z1 ∗ + z2 ∗ + ... + zn ∗ = ν
⎪ ∗
+ z2 ∗ + ... + zn ∗ = ν
⎪ z1
⎨ ∗
+ z2 ∗ + ... + zn ∗ = ν
⎪ z1
⎪ ∗
+ z2 ∗ + ... + zn ∗ = 1
⎩ z1
3. Составим систему уравнений для игрока А на основе теорем 3 и 4:
⎧ 2u1 ∗ + 6u2 ∗ = ν
⎪⎪
∗
+ 4 z2 ∗ = ν
⎨ 5u1
⎪
∗
+ u2 ∗ = ν
⎪⎩ u1
⎧ u1 ∗ = 0, 4
⎪⎪
Следовательно, ⎨u2 ∗ = 0, 6
⎪ ν
= 4, 4
⎪⎩
Первое уравнение – выигрыш первого игрока, если второй будет
использовать чистую стратегию, соответствующую первому столбцу.
Второе уравнение – выигрыш первого игрока, если второй игрок будет использовать чистую стратегию, соответствующую второму столбцу.
Третье уравнение – уравнение связи частот.
Система решается обычными методами.
4. Составим систему уравнений для второго игрока В:
⎧ 2 z1 ∗ + 5 z2 ∗ = 4, 4
⎪⎪
z1 ∗ = 0, 2
∗
∗
Следовательно,
+ 4 z2
= 4, 4
⎨ 6 z1
z2 ∗ = 0,8
⎪
∗
∗
+ z2
= 1
⎪⎩ z1
Вывод: решением игры являются смешанные стратегии:
и = (0,4; 0,6);
z = (0,2; 0,8);
4 < ν = 4,4 < 5.
39
Задание к работе
Задание к работе каждому студенту выдает преподаватель в соответствии с индивидуальным вариантом.
40
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте основной критерий оптимальности в задачах
теории игр.
2. Назовите условных возможных «игроков» применительно к
сфере туризма.
3. Как определяются «седловая точка», цена игры и т.д.?
4. Назовите условие разрешимости пары двойственных задач
теории игр.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Албанская, Л.В. Экономико-математическое моделирование :
учебник / Л.В. Албанская ; под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – 2-е
изд., стер. – М. : Экзамен, 2006. – 798 с.
2. Гранберг, А.Г. Математические модели социалистической экономики : общие принципы моделирования и статистические модели
народного хозяйства / А.Г. Гранберг. – М. : Экономика, 1978. – 351 с.
3. Канторович, Л.В. Оптимальные решения в экономике /
Л.В. Канторович, А.Б. Горстко. – М. : Наука, 1972. – 247 с.
4. Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике : учеб. пособие / Н.Ш. Кремер [и др.]. – М. : ЮНИТИ, 1997. – 188 с.
5. Лопатников, Л.И. Экономико-математический словарь /
Л.И. Лопатников. – М. : Наука, 1987. – 591 с.
6. Математические методы в планировании отраслей и предприятий / под ред. И.Г. Попова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Экономика, 1981. – 336 с.
7. Орлова, И.В. Курс лекций по экономико-математическому моделированию / И.В. Орлова, В.А. Половников, В.В. Федосеев. – М. :
Экономическое образование, 1993. – 256 с.
8. Самусева, Р.Ф. Матричный метод расчета потребности ресурсов / Р.Ф. Самусева // Экономика строительства. – М., 1967. – № 4.
9. Четыркин, Е.М. Вероятность и статистика / Е.М. Четыркин,
И.Л. Калихман. – М. : Финансы и статистика, 1982. – 319 с.
10. Экономико-математические методы и модели для руководителя / П.В. Абдулов [и др.] ; ред. кол.: Е.М. Сергеев [и др.]. – М. : Экономика, 1984. – 323 с.
11. Экономико-математические методы и прикладные модели:
учеб. пособие для вузов / В.В. Федосеев [и др.] ; под ред. В.В. Федосеева. – М. : ЮНИТИ, 1999. – 391 с.
41
ОГЛАВЛЕНИЕ
Практическая работа № 1
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ
МОДЕЛЕЙ ........................................................................................... 3
Практическая работа № 2
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ........................................... 8
Практическая работа № 3
СИМПЛЕКС-МЕТОД ПОИСКА И АНАЛИЗА
ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ .... 12
Практическая работа № 4
ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ ......................................................... 20
Практическая работа № 5
МАТРИЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТУРБИЗНЕСЕ ............. 29
Практическая работа № 6
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
НА ОСНОВЕ РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ ................................ 32
Практическая работа № 7
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИГР .................................................................. 38
Библиографический список ................................................................ 41
42
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
(В ТУРИЗМЕ И ГОСТИНИЧНОМ ХОЗЯЙСТВЕ)
Методические указания к практическим работам
Составитель
СНЕГИРЕВА Татьяна Константиновна
Ответственный за выпуск – зав. кафедрой профессор В.Ф. Архипова
Подписано в печать 18.04.08.
Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 2,56. Тираж 200 экз.
Заказ
Издательство
Владимирского государственного университета.
600000, Владимир, ул. Горького, 87.
43
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа