close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1130

код для вставкиСкачать
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
НАЛОГОВАЯ ПОЛИТИКА
Н. Е. Егорова, И. Е. Хромов
Модели обоснования решений при выборе схемы налогообложения малого предприятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
А. М. Либман
Эндогенная (де)централизация и российский федерализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ИННОВАЦИИ
Г. А. Лавринов, О. Е. Хрусталев
Метод формирования интегрированных структур в наукоемком производственном комплексе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
ОБЩЕСТВО
Л. П. Бакуменко, П. А. Коротков
Интегральная оценка качества и степени экологической устойчивости окружающей среды региона
(на примере Республики Марий Эл) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
КОНСУЛЬТАЦИИ
С. А. Айвазян
Байесовский подход в эконометрическом анализе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
НАУЧНАЯ ЖИЗНЬ
VII Международная Школа-семинар «Многомерный статистический анализ и эконометрика» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
CONTENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
ABSTRACTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
R ??????? ? ??????
1
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
В 2006 году журнал Прикладная эконометрика включен в список периодических изданий
ВАК, рекомендованных для публикации результатов диссертационных исследований.
Главный редактор
Айвазян Сергей Артемьевич ? д. физ.-мат. н., профессор, заслуженный деятель науки России, зам. директора Центрального
экономико-математического института РАН (ЦЭМИ РАН), зав. кафедрой эконометрики Московской финансово-промышленной
академии (МФПА).
Заместитель главного редактора
Слуцкин Лев Наумович ? Ph.D. по математике, научный сотрудник Института Экономики РАН (ИЭ РАН).
Ответственный секретарь
Славова Виктория Валерьевна ? к. физ.-мат. н., доцент МГУ.
Члены редколлегии
Бродский Б. Е. ? д. физ.-мат. н., зав. Ситуационным центром ЦЭМИ РАН, профессор Государственного университета ? Высшей школы экономики (ГУ-ВШЭ).
Денисова И. А. ? Ph.D. по экономике, ведущий экономист Центра экономических и финансовых исследований и разработок
(ЦЭФИР), научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Елисеева И. И. ? чл.-корр. РАН, зав. кафедрой статистики и эконометрики Санкт-Петербургского университета экономики
и финансов.
Ершов Э. Б. ? к. э. н., ординарный профессор ГУ-ВШЭ.
Иванова C. C. ? к. э. н., главный специалист управления исследований и бизнес-аналитики банка «Русский Стандарт».
Канторович Г. Г. ? проректор ГУ-ВШЭ, профессор, зав. кафедрой математической экономики и эконометрики ГУ-ВШЭ.
Карлеваро Фабрицио (Швейцария) ? доктор наук, ординарный профессор кафедры эконометрики Женевского университета.
Макаров В. Л. ? академик РАН, директор ЦЭМИ РАН, президент Российской экономической школы.
Максимов А. Г. ? к. физ.-мат. н., первый заместитель директора Нижегородского филиала ГУ-ВШЭ.
Мхитарян В. С. ? д. э. н., профессор, зав. кафедрой прикладной статистики МФПА, зав. кафедрой статистики и эконометрики
Московского государственного университета экономики, статистики и информатики.
Рубин Ю. Б. ? д. э. н., профессор, ректор МФПА.
Рудзкис Римантас (Литва) ? доктор наук, зав. отделом Института математики и информатики Литвы, профессор Каунасского
университета.
Суслов В. И. ? чл.-корр. РАН, д. э. н., профессор, зам. директора Института экономики и организации промышленного производства СО РАН.
Харин Ю. С. (Республика Беларусь) ? чл.-корр. Национальной академии наук Беларуси, д. физ.-мат. н., профессор Белорусского
государственного университета, зав. кафедрой математического моделирования и анализа данных БГУ.
2
???????????? ???????? R
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Н. Е. Егорова, И. Е. Хромов
Модели обоснования решений
при выборе схемы налогообложения малого предприятия
Существование и прибыльность малого предприятия напрямую зависят от схемы,
согласно которой оно платит налоги. Читателю предлагается математически
обоснованный и относительно несложный алгоритм выбора наиболее успешной для
данного малого предприятия схемы налогообложения. Он позволяет в режиме экспрессанализа сравнить варианты уплаты налогов по разным схемам и выбрать среди них
оптимальный, причем критерием оптимальности служит наименьшая сумма налоговых отчислений.
1. ????????
есовершенство отечественной налоговой системы относится к числу основных факторов, сдерживающих развитие малого бизнеса (МБ). В настоящее время система налогообложения малых предприятий (МП) в России представляет собой «многослойный пирог», на каждом уровне которого находится соответствующая подсистема, определяющая особый способ исчисления налогов (схему налогообложения). В соответствии
с Налоговым кодексом РФ [Налоговый кодекс Российской Федерации (2006)] таковыми являются:
Н
· общий порядок налогообложения (единый для всех предприятий, в настоящее время
без каких-либо льгот для МП);
· упрощенная система налогообложения (УСН), существующая в двух вариантах (основная особенность которой состоит в простоте расчетов);
· единый налог на вмененный доход (ЕНВД), применяемый в отдельных видах деятельности, в отдельных регионах и имеющий обязательный характер.
Таким образом, основной «льготой» для МП (если это можно так назвать!) является свобода выбора предпринимателем наиболее предпочтительной схемы налогообложения (или,
в ряде случаев, сферы деятельности и ее территориальной дислокации1). В этой ситуации
выбор порядка налогообложения оказывается особенно актуальным и значимым для руководителя (собственника) МП, которому бывает достаточно сложно разобраться в преимуществах альтернативных вариантов и оценить последствия принятого решения. Востребованной она оказывается не только на микро-, но и на мезоуровне: для фискальных органов (при
планировании налоговых поступлений); для организаций, курирующих развитие МБ (при
1
Так как ЕНВД вводится для отдельных сфер МБ по решению региональных властей и для этих территорий является обязательным, то в этих случаях проблема выбора трансформируется в выбор сферы деятельности МП или
региона, где он применяется.
R ????????? ????????
3
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
исследовании тяжести налогового бремени); для аналитических центров (при выработке
рекомендаций по совершенствованию налоговой системы) и т. д. Методы экономикоматематического анализа позволяют не только обосновать этот выбор, но и существенно облегчить принятие решения.
Анализ проблемы требует решения нескольких важных вопросов, в том числе: А) Что следует понимать под предпочтительностью схемы налогообложения? Б) Каким образом можно
измерить эту предпочтительность? В) Какие методы анализа являются наиболее адекватными для решения задачи?
Выбор наиболее предпочтительного варианта налогообложения МП является многокритериальной задачей. Можно указать, по крайней мере, четыре основных фактора, определяющих этот выбор:
?????? ??????????? ??????? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ???????????
· величина налоговых отчислений;
· простота вертикальных (иерархических) взаимодействий (например, с налоговыми ор-
ганами при представлении отчетности);
· отсутствие барьеров для горизонтальных взаимодействий (взаиморасчеты с поставщиками и потребителями);
· возможности, предоставляемые для уклонения от налогов.
Данные факторы, во-первых, имеют разную значимость для МП; во-вторых, могут действовать противоположным образом (например, МП при переходе на УСН «выигрывает» по
первому и второму факторам, так как налоги уменьшаются, а расчеты упрощаются, но «проигрывает» по третьему фактору, поскольку теряет часть своих покупателей из-за «проблемы НДС»2; в-третьих, являются зависимыми (так, четвертый фактор связан с первым, поскольку уклонение от налогов обычно инициируется их значительной величиной при относительно незначительных штрафных санкциях). И, наконец, часть факторов трудно формализуема.
Если
j( v e ) = f e ( z 1, z 2, ..., z k )
(1)
? многофакторная функция предпочтительности схем налогообложения МП, где v e ? вариант схемы налогообложения с номером e; z 1 , z 2 ,... , z k ? множество факторов, влияющих
на выбор схемы налогов, то при
j( v e* ) > j( v e** )
(2)
вариант v e * является более предпочтительным, чем вариант v e ** : v e * f v e ** .
2
Применение УСН означает, что МП не предъявляют своим покупателям НДС, так как его не платят и, следовательно, не включают в цену продукции. Покупатели же в свою очередь не могут принять этот налог к зачету с бюджетом. Поэтому для многих предприятий переход на УСН означает потерю прежних покупателей и невозможность найти новых. Во избежание этого можно уменьшить цены на сумму НДС. Однако это не всегда выгодно, так как в себестоимость товаров уже включен налог, уплаченный поставщикам. Поэтому подобное снижение цен может сделать малую фирму нерентабельной. Очевидно, что «проблема НДС» не существует только
для тех малых фирм, использующих УСН, чьи покупатели тоже не платят НДС (например, для МП розничной
торговли).
4
????????? ???????? R
В том случае, когда доминирующим фактором при выборе варианта v e является величина
налогов (что подтверждается, в частности, практикой повсеместного уклонения от них), этот
показатель можно использовать в качестве измерителя степени предпочтительности схем налогообложения МП (естественно, с оговоркой на известную упрощенность такого подхода), при
этом функция j(v e ) является монотонно убывающей от величины налоговых отчислений.
Задача упрощается в том случае, если от количественных шкал измерения предпочтительности перейти сначала к порядковым, а затем и к номинальным (классификационным).
Такой подход был использован, как известно, в моделях CART3 и Z-модели Альтмана [Altman
et al. (1981)]; [Braiman et al. (1984)]; [Frydman et al. (1985)]: на основании обработки статистического материала были найдены некоторые условия на показатели деятельности предприятия, которые приближенно и с известной степенью достоверности указывали на возможность его банкротства. Точно также инструментарий, предлагаемый авторами для решения
сформулированной задачи, ориентирован на идентификацию некоторых условий, которые
свидетельствуют о предпочтительности для МП той или иной системы налогообложения.
Однако реализация этого подхода осуществляется не статистическим, а аналитическим путем, что обеспечивает большую устойчивость разработанного инструментария к изменениям экономической конъюнктуры. Оказалось, что на основе несложных аналитических методов и при относительно нежестких гипотезах относительно исследуемых объектов удается
сформулировать достаточно простые и успешно экономически интерпретируемые условия
предпочтительности рассматриваемых схем налогообложения, включающих такие параметры производственной деятельности предприятия, как фондоемкость, материалоемкость,
трудоемкость и др.
Излагаемый далее SET-анализ (small enterprises taxation analysis) базируется на следующих
положениях:
1. Анализируется сопоставление следующих схем налогообложения МП: общего порядка, а также первого и второго вариантов УСН. Схема ЕНВД не рассматривается ввиду ограниченного ее распространения (в ряде регионов она отсутствует).
2. Упорядочение схем по предпочтительности их для МП осуществляется по критерию
величины налоговых отчислений.
3. Предполагается, что множество анализируемых вариантов выбора налоговых схем конечно и, более того, число их невелико (в данном случае ? три), что позволяет эффективно
реализовать принцип бинарных (парных) сравнений этих вариантов.
4. Рассматривается ситуация добросовестного налогоплательщика. «Теневая» компонента и стратегия ухода от налогов (а также возможности, предоставляемые каждой из схем налогообложения для реализации этой стратегии) не рассматриваются, как не рассматриваются суммы возможных пеней и штрафов.
5. Учитываются все основные виды налогов, действующих в российском законодательстве: налог на добавленную стоимость (НДС), налог на имущество организаций (НИО), взносы
на обязательное пенсионное страхование (ВОПС), единый социальный налог (ЕСН), налог на
прибыль организаций (НПО), а также единые налоги по первому и второму вариантам УСН,
составляющие в среднем не менее 90% совокупных налоговых отчислений МП.
3
CART ? Classification and Regression Trees (классификационные и регрессионные деревья).
R ????????? ????????
5
?. ?. ???????, ?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
6. Считается, что малая фирма удовлетворяет необходимым ограничениям, накладываемым в соответствии с законодательством на применение УСН (таким как величина выручки,
стоимость основных фондов, численность работающих и т. д.).
2. ?????? SET???????
Введем индексное обозначение схем налогообложения МП: I ? общая; II-1 и II-2 ? первая и вторая модификации УСН. Соответствующие этим схемам модели ? SETI, SETII-1
и SETII-2 ? содержат следующие переменные:
?????? ??????????? ??????? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ???????????
n ? индекс вида налога (n = 1; 7): 1 ? НДС; 2 ?НИО; 3 ? ВОПС; 4 ? ЕСН; 5 ? НПО; 6 и 7 ?
единый налог по первому и второму вариантам УСН; S n и hn ? сумма, руб. и ставка (в долях
единицы) налога вида n; S nH и S nУ ? сумма начисленного налога вида n и величина его уменьшения, руб.; NalI, Nal II-1 и NalII-2 ? общая сумма налогов по схемам I, II-1 и II-2, руб.
В моделях используется также группа индикаторов, характеризующих экономическую
деятельность МП в стоимостном выражении: P ? выпуск продукции (работ, услуг); A ?
среднегодовая стоимость основных фондов; T ? величина затрат на оплату труда; G ? величина произведенных материальных затрат; М0 ? общая прибыль до налогообложения,
руб.
Модель SETI предполагает, что
S1 = h1( P - G),
(3)
S 2 = h 2 A,
(4)
S 3 = h 3T ,
(5)
S 4 = S 4H - S 4У = ( h 4 - h 3 )T ,
(6)
S 5 = h 5 ( M 0 - S1 - S 2 - S 3 - S 4 ) = h 5 ( M 0 - h1( P - G) - h 2 A - h 4 T ),
(7)
5
NalI = е S n .
(8)
n =1
Соотношение (3) представляет собой расчет НДС как произведение его расчетной ставки4 и добавленной стоимости, являющейся разницей между выпуском продукции (работ, услуг) P и величиной произведенных материальных затрат G. Соотношения (4) и (5) определяют
порядок расчета НИО и ВОПС как произведение ставок этих налогов и среднегодовой стоимости основных фондов А, а также величины затрат на оплату труда T соответственно. Соотношение (6) представляет собой расчет суммы ЕСН, подлежащей уплате в бюджет5, то есть
начисленной по нему суммы за вычетом корректирующей величины S 4У , которая в данном
4
Здесь используется расчетная ставка НДС, которая в соответствии с налоговым законодательством определяется как отношение налоговой ставки к налоговой ставке, увеличенной на единицу (или на 100%).
5
Величина S4 > 0, поскольку h4 > h3 , так как действующим законодательством предусмотрена ставка ВОПС,
меньшая, чем ставка ЕСН.
6
????????? ???????? R
случае равна ВОПС ( S 4У = S 3 ). Начисленная сумма ЕСН представляет собой произведение
ставки этого налога и величины затрат на оплату труда T, вычисляется по формуле:
S 4H = h 4 T .
(9)
Соотношение (7) определяет расчет НПО как произведение его ставки и налоговой базы,
представляющей собой общую прибыль М0 за вычетом четырех налогов, рассмотренных
выше: S1, S2, S3 и S4. Соотношение (8) представляет собой общую сумму налоговых отчислений
по общей схеме налогообложения, которая после математических преобразований приобретает вид:
NalI = ( 1 - h 5 )( h1( P - G) + h 2 A + h 4 T ) + h 5 M 0 .
(10)
S 6 = S 6H - S 6У ,
(11)
NalII -1 = S 3 + S 6 .
(12)
Модель SETII-1:
Соотношение (11) представляет собой величину единого налога по первому варианту
УСН, в соответствии с которым объектом налогообложения являются доходы. Сумма начисленного единого налога S 6H является произведением налоговой ставки и величины доходов P:
S 6H = h 6 P .
(13)
В соответствии с законодательством сумма начисленного единого налога снижается на
величину ВОПС, но не более чем в два раза, поэтому размер этого уменьшения S 6У составляет:
мS 3 , если S 3 < 0,5 S 6H
.
S 6У = н
H
H
о0,5 S 6 , если S 3 і 0,5 S 6
(14)
Преобразуя, получим следующую систему соотношений, определяющую сумму единого
налога по данной схеме:
мh 6 P - h 3T , если h 3T < 0,5 h 6 P
.
S6 = н
о0,5 h 6 P , если h 3T і 0,5 h 6 P
(15)
Введем коэффициент t, характеризующий соотношение ставок единого налога по первому варианту УСН и ВОПС:
t = 0,5 h 6 / h 3
(16)
мh 6 P - h 3T , если T < tP
.
S6 = н
о0,5 h 6 P , если T і tP
(17)
и упростим систему соотношений (15):
Подставив (17) и (5) в (12), получим выражение для общей суммы налогов по схеме II-1:
мh 6 P , если T < tP
.
NalII -1 = н
о0,5 h 6 P + h 3T , если T і tP
R ????????? ????????
(18)
7
?. ?. ???????, ?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Модель SETII-2:
S 7 = h 7 [ M 0 - S 3 ] = h 7 [ M 0 - h 3T ],
(19)
NalII -2 = S 3 + S 7 .
(20)
В силу того что объектом налогообложения в этой схеме являются доходы, уменьшенные
на величину расходов (в которые включена сумма ВОПС), то при исчислении единого налога
в соотношении (19) налоговой базой является общая прибыль М0 за вычетом величины ВОПС
S3. Соотношение (20) представляет собой общую сумму налоговых отчислений по схеме II-2,
которую представим как:
NalII -2 = h 3T + h 7 [ M 0 - h 3T ].
(21)
Преобразованное соотношение (21) имеет вид:
?????? ??????????? ??????? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ???????????
NalII -2 = ( 1 - h 7 ) h 3T + h 7 M 0 .
(22)
3. ???????? SET???????
Методика SET-анализа базируется на следующих предпосылках:
1. Анализ предпочтительности рассматриваемых схем налогообложения осуществляется
на основе парных сравнений. Пусть выполняется следующая система соотношений:
мNalI < NalII -1 Ю j( v I ) > j( v II -1 ) Ю v I f v II -1
п
нNalI < NalII -2 Ю j( v I ) > j( v II -2 ) Ю v I f v II -2 ,
пNalII -1 < NalII -2 Ю j( v II -1 ) > j( v II -2 ) Ю v II -1 f v II -2
о
(23)
где vI ? общий порядок налогообложения; vII-1 и vII-2 ? соответственно первый и второй варианты УСН.
Согласно гипотезе о транзитивности предпочтений получаем ранжированный ряд:
v I f v II -1 f v II - 2 ,
(24)
откуда следует, что общий порядок налогообложения является более предпочтительным
для МП по сравнению с обоими вариантами УСН. Аналогичным образом записывается любая
комбинация парных предпочтений из множества рассматриваемых схем налогообложения.
2. Используется принцип дедукции: от общего к частному (рис. 1). На первом этапе анализа на основе моделей SETI, SETII-1 и SETII-2 формируются общие соотношения между различными видами налогов по разным схемам налогообложения МП, которые соответствуют некоторой системе предпочтительности этих схем, принятой априори; на втором этапе осуществляется модификация полученных соотношений с учетом порядка расчета различных
видов налогов; на третьем этапе производится дальнейшая конкретизация этих условий с учетом действующих ставок налогообложения (в реальных экономических условиях
могут варьироваться); на четвертом этапе формируются тестовые соотношения и строится
дерево принятия решений, а также проводится конкретный анализ, зависящий от целей
исследования (либо для реального МП, либо для определенного класса МП, обладающих
некоторыми общими характеристиками). Соответственно, на четвертом этапе после подста-
8
????????? ???????? R
?. ?. ???????, ?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 1. Схема этапов SET-анализа
новки величин параметров, специфических для каждого МП, выявляется индивидуальная
предпочтительность налоговых схем либо (уже на мезоуровне) исследуются усредненные
значения параметров для групп МП, характеризующихся определенным уровнем эффективности работы (который, как правило, тесно связан с отраслевой спецификой производства), и выявляется групповая (например, отраслевая) предпочтительность схем налогообложения.
4. ????? ??????????? ??????? ????????? ???? ??????????????? ??
В ряде случаев предпочтительность варианта налогообложения может быть установлена
на основе общих соотношений налогов разных схем, т. е. путем сопоставления не всех, а отдельных видов налогов. Выявленные налоговые соотношения позволяют упростить процесс принятия решения, поскольку в предлагаемом методе при сравнении vI с vII-1, а также
vII-1 с vII-2 не требуется полного расчета всей величины налоговых отчислений. Однако «платой» за упрощенность оценки является неполнота результата и наличие в нем так называемых зон неопределенности. Для выявления основных налоговых соотношений следует доказать несколько утверждений.
А. Сравнение схем I и II-1
Для того чтобы имело место соотношение v I f v II-1 , необходимо выполнение неравенства
Nal I < Nal II-1 , или
R ????????? ????????
9
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
S1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 < S 3 + S 6 ,
(25)
S1 + S 2 + S 4 + S 5 < S 6 .
(26)
Утверждение 1
Если сумма четырех налогов S1, S2, S4 и S5 общей схемы налогообложения меньше половины начисленного единого налога S 6H по первому варианту УСН, то v I f v II-1 .
Доказательство
Из соотношения (11) следует, что:
S 6 = S 6H - S 6У ,
причем
S 6У Ј 0,5 S 6H .
(27)
S 6 - S 6У і S 6H - S 6У - 0,5 S 6 ,
(28)
S 6 і 0,5 S 6H .
(29)
?????? ??????????? ??????? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ???????????
Из соотношений (27) и (11) получим:
откуда:
Так как соотношение (26) является ограничением сверху на сумму рассматриваемых налогов схемы I, то предпочтительность схем налогообложения сохранится и при более жесткой верхней границе, то есть если вместо S6 границей будет меньшая величина0 , 5 S 6H (рис. 2).
Таким образом, заменив в выражении (26) правую часть контрольной величиной 0 , 5 S 6H , получим следующее условие предпочтительности схемы I перед схемой II-1:
S1 + S 2 + S 4 + S 5 < 0,5 S 6H Ю v I f v II -1.
(30)
Рис. 2. Схема приближенного (упрощенного) анализа предпочтительности схем налогообложения МП
Утверждение 2
Если сумма четырех налогов S1, S2, S4 и S5 общей схемы налогообложения больше суммы
начисленного единого налога S 6H по первому варианту УСН, то v II-1 f v I .
Доказательство аналогично.
Для того чтобы v II-1 f v I , необходимо выполнение условия:
S1 + S 2 + S 4 + S 5 > S 6 .
(31)
Поскольку S 6H > S 6 (соотношение (27) при S 6У > 0), то правую часть ограничения снизу в неравенстве (31) можно заменить более жесткой границей. Если левая часть неравенства (31)
будет больше некоторого числа, превышающего S6, то она будет заведомо больше и величины S6. В качестве новой границы может быть взята величина S 6H > S 6 (рис. 2). Таким образом:
S1 + S 2 + S 4 + S 5 > S 6H Ю v II -1 f v I .
10
(32)
????????? ???????? R
Б. Сравнение схем II-1 и II-2
Выполнение условия v II-2 f v II-1 требует выполнения условия Nal II-1 > Nal II-2 , или:
S3 + S6 > S3 + S7 ,
(33)
S6 > S7 .
(34)
Согласно законодательству сумма начисленного единого налога S 6H по первому варианту
УСН уменьшается на величину S3 (ВОПС), но не более чем в два раза, поэтому можно сформулировать следующие утверждения.
Утверждение 3
Если сумма единого налога S7 по схеме II-2 меньше половины начисленного единого налога S 6H по схеме II-1, то v II-2 f v II-1 .
Доказательство
Используя соотношения (29) и (34) и опираясь на те же приемы, что и при доказательстве
предыдущих утверждений (вместо S6 в качестве новой границы рассматривается меньшая
величина 0 , 5 S 6H ), получим следующее условие предпочтительности схемы II-2 перед схемой II-1:
0,5 S 6H > S 7 Ю v II - 2 f v II -1 .
(35)
Утверждение 4
Если сумма единого налога S7 по схеме II-2 больше суммы начисленного единого налога
S 6H по схеме II-1, то v II-1 f v II-2 .
Доказательство
Используя неравенство S 7 > S 6 (выполнение которого необходимо для того, чтобы
v II-1 f v II-2 ), неравенство S 6H > S 6 и те же самые приемы, что и при доказательстве предыдущих
утверждений (замена S6 более жесткой границей S 6H ), получаем
S 7 > S 6H Ю v II -1 f v II - 2 .
(36)
Заметим, что при несоблюдении неравенств (30), (32), (35) и (36) предпочтительность
сравниваемых схем налогообложения не может быть установлена (эти условия являются необходимыми, но не достаточными). В этом случае, если при сопоставлении соответствующих схем налогообложения рассчитанная величина налогов находится в интервале
(0 , 5S 6H , S 6H ), это означает попадание в зону неопределенности принятия решения (рис. 2). Как
уже указывалось, в предлагаемом методе «платой» за упрощение процедуры оценки предпочтительности рассматриваемых схем налогообложения является искусственное уменьшение области анализа и формирование областей неопределенности, требующих дополнительных исследований.
5. ???????, ????????????? ?? ????????? ???????????????
Под параметрами налогообложения понимаются ставки по различным видам налогов,
переменные, характеризующие соотношения между ставками, а также некоторые ограничения, определяющие величину этих налогов. Рассматриваемые далее соотношения также могут применяться для оценки предпочтительности схем налогообложения; однако, в отличие
R ????????? ????????
11
?. ?. ???????, ?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
от приведенных выше общих соотношений (предполагающих известными величины отдельных налогов), они ориентированы на использование исходных данных, используемых при
их расчете. Несмотря на то что в реальных условиях параметры налогообложения имеют
тенденцию изменяться, в данном случае они рассматриваются как константы. Приводимые
далее соотношения формируют две группы методов: 1) метод неполной оценки (с наличием
зоны неопределенности); 2) метод полной оценки (без зоны неопределенности предпочтений).
А. Сравнение схем I и II-1
Введем константы, характеризующие соотношения ставок различных налогов:
?????? ??????????? ??????? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ???????????
h1 = ( 1 - h 5 ) h1/ h 6 ,
h 2 = (1- h5 )h2 / h6 ,
h 3 = ( h3 - (1- h5 )h4 / h6 ,
h 4 = (1- h5 )h4 / h6 ,
h 5 = h5 / h6 .
(37)
Метод неполной оценки
Подставив в условие (30) Утверждения 1 формулы расчета налогов S1, S2, S4 и S5, получим
следующее неравенство:
( 1 - h 5 )[ h1( P - G) + h 2 A] - ( h 3 - ( 1 - h 5 ) h 4 )T + h 5 M 0 < 0,5 h 6 P.
(38)
Разделив выражение (38) наh6 P и используя новые константы h1 , h2 , h3 , h4 и h5 , получим:
h1 - h1G / P + h 2 A/ P - h 3T / P + h 5 M 0 / P < 0,5.
(39)
Преобразуя аналогичным образом соотношение (32) Утверждения 2, получим неравенство:
( 1 - h 5 )[ h1( P - G) + h 2 A] - ( h 3 - ( 1 - h 5 ) h 4 )T + h 5 M 0 > h 6 P.
(40)
Разделим обе части неравенства наh6 P и придем (с учетом новых констант) к следующему
условию:
h1 - h1G/ P + h 2 A/ P - h 3T / P + h 5 M 0 / P > 1.
(41)
Таким образом, а) если выполняется соотношение (39), то v I f v II-1 ; б) если выполняется
соотношение (41), то v II-1 f v I ; в) в случае 0 , 5 Ј h1 - h1G / P + h2 A / P - h3 T / P + h5 M 0 / P Ј 1 имеется область неопределенности. При попадании в эту область следует применять рассматриваемый далее метод диагностики предпочтительности, который более точно учитывает
структуру налогов и условия их расчета.
Метод полной оценки
Для того чтобы выполнялось v I f v II-1 , необходимо, чтобы Nal I < Nal II-1 , где в соответствии
с формулой (18) величина Nal II-1 определяется двумя условиями:
T / P < tь
э.
T / P і tю
12
(42)
????????? ???????? R
Первое из них соответствует такой ситуации на МП, при которой его трудоемкость T/P
меньше коэффициента t, интегрально отражающего соотношение ставок единого налога по
первому варианту УСН и ВОПС (соотношение (16)), а второе условие ? ситуации, при которой его трудоемкость больше коэффициента t. Это означает, что предпочтительность схем
налогообложения связана с понятием налогового бремени для МП и зависит от экономических показателей его работы.
Первый случай (T / P < t )
После преобразований неравенство Nal II-1 - Nal I > 0 трансформируется в соотношение:
h 6 P - ( 1 - h 5 ) h1( P - G) - ( 1 - h 5 ) h 2 A - ( 1 - h 5 ) h 4 T - h 5 M 0 > 0.
(43)
Разделим обе части неравенства на h6 P и подставим константы h1 , h2 , h3 , h4 , h5 .
Получим:
1 - h1[ 1 - G/ P ] - h 2 A/ P - h 4 T / P - h 5 M 0 / P > 0.
(44)
Второй случай (T / P і t )
В этом случае неравенство Nal II-1 - Nal I > 0 преобразуется в соотношение:
0,5 h 6 P + [ h 3 - ( 1 - h 5 ) h 4 ] T - ( 1 - h 5 ) h1( P - G) - ( 1 - h 5 ) h 2 A - h 5 M 0 > 0.
(45)
Разделим его на h6 P и подставим константы h1 , h2 , h3 , h4 и h5 .
Тогда получим:
0,5 - h1[ 1 - G/ P ] - h 2 A/ P + h 3T / P - h 5 M 0 / P > 0.
(46)
Таким образом, если трудоемкость МП ниже коэффициента t и при этом выполняется неравенство (44), то v I f v II-1 ; если она выше коэффициента t и при этом выполняется неравенство (46), то v I f v II-1 .
Заметим, что полученные условия ? соотношения (39), (41), (44) и (46) ? представляют
собой линейные комбинации, в которых переменными величинами являются такие экономические показатели деятельности МП, как фондоемкость A/P, трудоемкость T/P, ресурсоемкость (материалоемкость) G/P, удельная общая прибыль М0/P, а коэффициентами ? некоторые константы, зависящие от размера ставок соответствующих налогов.
Б. Сравнение схем I и II-2
Метод неполной оценки и искусственного формирования зоны неопределенности к данным схемам не применялся, поэтому далее рассматривается только метод полной оценки.
Введем следующие константы, отражающие соотношения ставок различных налогов по
рассматриваемым схемам:
l 1 = ( 1 - h 5 ) h1,
l 2 = (1- h5 )h2 ,
l 3 = (1- h7 )h3 ,
l 4 = (1- h5 )h4 ,
l 5 = h7 - h5 .
R ????????? ????????
(47)
13
?. ?. ???????, ?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Метод полной оценки
Условие v I f v II-2 выполняется, если имеет место неравенство Nal II-2 - Nal I > 0, которое
с учетом соотношений (10) и (22) принимает вид:
( 1 - h 7 ) h 3T - ( 1 - h 5 ) h1( P - G) - ( 1 - h 5 ) h 2 A - ( 1 - h 5 ) h 4 T + ( h 7 - h 5 )M 0 > 0,
(48)
или (используя константы l 1 , l 2 , l 3 , l 4 и l 5 ):
( l 3 - l 4 )T - l 1( P - G) - l 2 A + l 5 M 0 > 0.
(49)
Разделив неравенство (49) на P, получим:
?????? ??????????? ??????? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ???????????
( l 3 - l 4 )T / P - l 1( 1 - G/ P ) - l 2 A/ P + l 5 M 0 / P > 0.
(50)
Таким образом, если выполняется неравенство (50), то v I f v II-2 .
Соотношение (50) также представляет собой линейную комбинацию, в которой переменными величинами являются те же экономические показатели деятельности МП, что и в соотношениях (39), (41), (44) и (46), а коэффициентами ? некоторые другие константы, зависящие от размера ставок соответствующих налогов.
В. Сравнение схем II-1 и II-2
Введем константы, характеризующие соотношения ставок различных налогов:
w1 = ( 1 - h 7 ) h 3 / h 6 ,
w 2 = h7 / h6 ,
(51)
w 3 = h7 h3 / h6 .
Метод неполной оценки
Преобразуем соотношение (35) Утверждения 3 следующим образом:
h 7 ( M 0 - h 3T ) < 0,5 h 6 P .
(52)
Разделим обе части неравенства на h7 P и получим:
( M 0 - h 3T )/ P < 0,5 h 6 / h 7 ,
(53)
где величина ( M 0 - h3 T ) есть общая прибыль рассматриваемого МП до налогообложения,
а отношение ( M 0 - h3 T )/ P является его рентабельностью (удельной прибылью). Обозначив
рентабельность через
R = ( M 0 - h 3T )/ P ,
(54)
R < 0,5 h 6 / h 7 .
(55)
получим:
Аналогично преобразуем соотношение (36) Утверждения 4 и придем к соотношению:
h 7 ( M 0 - h 3T ) > h 6 P .
(56)
Разделим его на h7 P. Опираясь на соотношение (54), приходим к неравенству:
R > h6 / h7 .
14
(57)
????????? ???????? R
Таким образом, если выполняется неравенство (55), то v II-2 f v II-1 ; если выполняется неравенство (57), то v II-1 f v II-2 ; в случае если 0 , 5 h6 /h7 Ј R Ј h6 /h7 , имеется область неопределенности (предпочтительность схем II-1 и II-2 не выявлена).
Метод полной оценки
Для того чтобы v II-1 f v II-2 , необходимо выполнение неравенства Nal II-2 - Nal I > 0. Опираясь
на те же рассуждения, которые использовались при сравнении схем I и II-1 (см. соотношения (43)?(46)), можно показать, что v II-1 f v II-2 в двух случаях:
· если трудоемкость МП ниже некоторого уровня t, определяемого соотношениями
налоговых ставок (T / P < t ), и при этом отдельные экономические показатели деятельности предприятия (трудоемкость, удельная общая прибыль) связаны между собой соотношением:
w1T / P + w 2 M 0 / P > 1;
(58)
· если трудоемкость МП не меньше некоторого уровня t, определяемого соотношения-
ми налоговых ставок (T / P і t ), и при этом те же экономические показатели связаны между
собой соотношением:
w 2 M 0 / P - w 3T / P > 0,5.
(59)
6. ???????? ??????????? ???????
? ?????? ??????????? ????????? ??????
Действующие налоговые ставки, а также параметры SET-анализа, зависящие от них, представлены в табл. 1.
Таблица 1
Расчет параметров системы налогообложения МП
Действующие
налоговые ставки
hn , n = 1; 7
h i , i = 1; 5
l j , j = 1; 5
h2 = 0,022
h1 = 1932
,
l1 = 0,116
h3 = 0,14
h2 = 0,279
l 2 = 0,017
w1 = 1983
,
h4 = 0,26
h3 = -0,96
l 3 = 0,119
w1 = 2,5
h5 = 0,24
h4 = 3,293
l 4 = 0,198
w3 = 0,35
h6 = 0,06
h5 = 4
l 5 = -0,09
w k , k = 1; 3
t
h1 = 0,18 / 118
,
t = 0,214
h7 = 0,15
Подставив численные значения параметров налогообложения в соответствующие соотношения, получим следующие условия предпочтительности схем налогообложения МП
в рамках действующего налогового законодательства (табл. 2).
R ????????? ????????
15
?. ?. ???????, ?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Таблица 2
Условия предпочтительности схем налогообложения МП
Сравниваемые
схемы налогообложения
Соотношения
Предпочтения
0,279 A / P - 1932
,
G / P + 0,96T / P + 4 M 0 / P < -1432
,
vI f vII -1
0,279 A / P - 1932
,
G / P + 0,96T / P + 4 M / P > -0,932
vII -1 f vI
-1432
,
Ј 0,279 A / P - 1932
,
G / P + 0,96T / P + 4 M / P Ј -0,932
Зона
неопределенности
0
0
vI и vII -1
?????? ??????????? ??????? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ???????????
vI и vII - 2
vII -1 и vII - 2
при T / P < 0,214; 1932
,
G / P - 0,279 A / P - 3,293T / P - 4 M 0 / P > 0,932
vI f vII -1
при T / P і 0,214; 1932
,
G / P - 0,279 A / P - 0,96T / P - 4 M 0 / P > 1432
,
vI f vII -1
0,116 G / P - 0,017 A / P - 0,079T / P - 0,09 M / P > 0,116
vI f vII - 2
R < 0,2
vII - 2 f vII -1
0
R > 0, 4
vII -1 f vII - 2
0,2 Ј R Ј 0, 4
Зона
неопределенности
при T / P < 0,214; 1983
, T / P + 2,5 M 0 / P > 1
vII -1 f vII - 2
при T / P і 0,214; 2,5 M / P - 0,35T / P > 0,5
vII -1 f vII - 2
0
Особенность математической структуры представленных в табл. 2 линейных соотношений позволяет высказать некоторые суждения относительно величины участвующих в них
переменных и наличии соответствий между типом МП и предпочтительностью схемы налогов.
· В каждом неравенстве наблюдается лишь один случай совпадения знака коэффициента при переменной и его правой части. Например, для выполнения первого неравенства
табл. 2 с отрицательной правой частью величина переменной G/P (имеющей также отрицательный коэффициент) должна быть достаточно большой (естественно, при выполнении условия неотрицательности остальных участвующих переменных, являющихся экономическими индикаторами).
· Поскольку переменные, входящие в рассматриваемые неравенства, являются экономически интерпретируемыми показателями, характеризующими деятельность МП (трудоемкость, материалоемкость, фондоемкость и удельная прибыль, см. выше), имеется возможность сформулировать некоторые качественные оценки и дать характеристику экономической специфике такого МП, для которого эти условия будут соблюдаться (иными словами, та
или иная схема налогообложения может оказаться предпочтительной в зависимости от
имеющейся структуры затрат производства).
· Анализ соотношений, характеризующих предпочтительность общей (v I ) и упрощенной
(в двух ее модификациях ? v II-1 и v II-2 ) схем налогообложения, свидетельствует о том, что общий порядок исчисления налогов будет более предпочтителен для таких МП, структура затрат которых характеризуется относительно большой материалоемкостью (в этих соотношениях переменная G/P должна быть достаточно большой).
16
????????? ???????? R
· Для тех предприятий, структура затрат которых характеризуется соотношением, попадающим в зону неопределенности, материалоемкость должна быть относительно выше в тех
случаях, когда трудоемкость тоже относительно велика и составляет более 21% стоимости
продукции (T / P і 0 , 214 ) и относительно ниже при T / P < 0 , 214; только в этом случае можно
ожидать, что общий порядок налогообложения окажется более предпочтительным, нежели
первая модификация УСН. Данный вывод следует из того, что оба тестовых неравенства,
описывающие данный случай, имеют одинаковые левые и различные правые части (причем
1432
,
> 0 ,932 для T / P і 0 , 214).
· Предпочтительность второй модификации УСН перед общей схемой будет соблюдаться в преобладающем числе случаев. Неравенство 0 ,116 G/P - 0 ,017 A /P - 0 ,073 T /P - 0 ,09 M 0 /P > 0 ,116 может быть трансформировано в эквивалентное ему соотношение
G/P > 1+ 0 ,146 A /P + 0 ,681T /P + 0 ,776 M 0 /P (путем деления обеих частей на 0,116), которое по
своему экономическому смыслу мало реально, так как предполагает превышение материальных затрат над стоимостью произведенного продукта. Таким образом, следует ожидать,
что условие v I f v II-2 не будет выполнено; иными словами, схема II-2 будет предпочтительнее схемы I.
· Предпочтительность первой модификации УСН (налоговая база ? валовой доход) перед второй (налоговая база ? прибыль) в условиях действующих ставок налогов будет обеспечиваться лишь при очень высоком (более 40%) уровне удельной прибыли МП (что недостаточно типично для российских МП); поэтому второй вариант УСН окажется, по-видимому,
более предпочтительным в подавляющем числе ситуаций (при уровне удельной прибыли
ниже 20%).
· В зоне неопределенности (при «усредненном» уровне удельной прибыли) большую
значимость для предпочтительности вариантов УСН имеет показатель трудоемкости. Разделив каждое из двух неравенств 1983
, T /P + 2, 5M 0 /P > 1 и 2, 5M 0 /P - 0 ,35T /P > 0 , 5 на соответствующий множитель у переменной Т/Р (1,983 и -0 ,35 соответственно), приходим к следующему выводу: первая модификация окажется предпочтительнее при трудоемкости МП выше
21% от стоимости продукции, но ниже чем 7 ,143 M 0 /P - 143
, ; вторая ? при трудоемкости
ниже 21%, но выше, чем 0 , 5 - 1261
, M 0 /P .
7. ?????????? ??? ???????? ???????????
? ?????? ???????? ??????? SET???????
Данный раздел работы непосредственно ориентирован на поддержку процедур принятия решений, осуществляемых руководителями МП при выборе схемы налогообложения.
На основе табл. 3 сформулирована система тестовых соотношений, имеющих компактный вид и зависящих от основных показателей деятельности МП (фондоемкости f, материалоемкости g, трудоемкости tr, удельной общей прибыли R0, удельной прибыли с учетом взносов на обязательное пенсионное страхование R):
R ????????? ????????
a = 0,279 f - 1932
,
g + 0,96 t r + 4 R 0 ,
(60)
b 1 = 1932
,
g - 0,279 f - 3,293 t r - 4 R 0 ,
(61)
b 2 = b 1 + 2,333 t r ,
(62)
g = 0,116 g - 0,017 f - 0,079 t r - 0,09 R 0 ,
(63)
17
?. ?. ???????, ?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 3. Дерево принятия решений при парном сравнении схем налогообложения МП по критерию минимизации налоговых отчислений
?????? ??????????? ??????? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ???????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
18
????????? ???????? R
d 1 = 1983
, t r + 2,5 R 0 ,
(64)
d 2 = d 1 - 2,333 t r .
(65)
Предложенная система тестовых соотношений предназначена для экспресс-анализа
предпочтительности вариантов налогообложения с точки зрения минимизации налогового
бремени при действующих в настоящее время ставках соответствующих налогов и приведена в табл. 3.
Таблица 3
Основные соотношения SET-анализа
№
п/п
Тестовые соотношения
Парная предпочтительность схем
налогообложения
1
a < -1432
,
vI f vII -1
2
a > -0,932
vII -1 f vI
t < 0,214 и b1 > 0,932
vI f vII -1
,
t r і 0,214 и b 2 > 1432
vI f vII -1
r
-1432
,
Ј a Ј -0,932
3
4
g > 0,116
vI f vII - 2
5
R < 0,2
vII - 2 f vII -1
6
R > 0, 4
+ 0,2 Ј R Ј 0, 4
7
vII -1 f vII - 2
t r < 0,214 и d1 > 1
vII -1 f vII - 2
t r і 0,214 и d 2 > 0,5
vII -1 f vII - 2
Сравниваемые схемы
налогообложения
Общий порядок
и первый вариант УСН
Общий порядок
и второй вариант УСН
Первый и второй
варианты УСН
На основе тестовых соотношений SET-анализа построено дерево принятия решений при
выборе схемы налогообложения МП (рис. 3).
Приведем примеры микро- и мезоанализа с применением предложенного инструментария.
8. ?????????????????? ??????
Деятельность малой фирмы характеризуется показателями, представленными в табл. 4.
Таблица 4
Показатели деятельности МП, руб.
Показатели деятельности МП
Среднегодовая стоимость основных средств
Величина
42 851
Выручка (доход)
394 279
Материальные затраты
176 813
Затраты на оплату труда
97 916
ВОПС
13 708
R ????????? ????????
19
?. ?. ???????, ?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Показатели ее фондоемкости, материалоемкости, трудоемкости и рентабельности представлены следующими величинами:
f = 42 851 : 394279 = 0,109,
g = 176 813 : 394279 = 0, 448 ,
t r = 97916 : 394279 = 0,248 ,
R 0 = ( 394279 - 176 813 - 97 916 ) : 394279 = 0,303,
R 0 = ( 394279 - 176 813 - 97 916 - 13 708 ) : 394279 = 0,268 .
С использованием этих индикаторов вычисляются значения показателей системы тестовых соотношений SET-анализа.
?????? ??????????? ??????? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ???????????
a = 0,279 Ч 0,109 - 1932
,
Ч 0, 448 + 0,96 Ч 0,248 + 4 Ч 0,303 = 0, 615.
Поскольку показатель a не находится в зоне неопределенности (и нет необходимости
рассчитывать значения b 1 и b 2 ), предпочтительность общей схемы налогообложения v I
и первого варианта УСН v II-1 устанавливается с помощью одного неравенства: a > -0 ,932 Ю
Ю v II-1 f v I .
g = 0,116 Ч 0, 448 - 0,017 Ч 0,109 - 0,079 Ч 0,248 - 0,09 Ч 0,303 = 0,003.
Сравнение общей схемы налогообложения v I и второго варианта УСН v II-2 производится
на основе следующего неравенства: g < 0 ,116 Ю v II- 2 f v I .
Так как вычисленное значение R попадает в зону неопределенности (0 , 2 Ј R Ј 0 , 4 ), то сопоставление двух вариантов УСН осуществляется в два этапа: определяется условие на величину трудоемкости tr, в соответствии с которым далее выбирается и рассчитывается величина d 1 (или d 2 ).
Так как t r і 0 , 214 , то в данном случае определяется величина d 2 :
d 2 = 1983
,
Ч 0,248 + 2,5 Ч 0,303 - 2,333 Ч 0,248 = 0, 671.
Поскольку d 2 > 0 , 5 Ю v II-1 f v II- 2 .
Таким образом, ранжированный ряд предпочтительности схем налогообложения для
рассматриваемого МП выглядит следующим образом: v II-1 f v II- 2 f v I .
9. ????????????????? ??????
В качестве примера сравним предпочтительность двух модификаций упрощенной системы налогообложения (варианты v II-1 и v II-2 ) для отдельных отраслей экономики на основе усредненных статистических данных о деятельности российских МП [Малое предпринимательство в России (2004)]. Использование этих данных позволяет провести расчет уровня
удельной прибыли, приведенный в Приложении 1.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что для российских МП, существующих
практически во всех отраслях экономики, наиболее предпочтительным является второй вариант УСН, поскольку они низкодоходны (уровень их удельной прибыли ниже 0,2). Первый
вариант УСН является наиболее предпочтительным для МП сферы общей коммерческой
деятельности по обеспечению функционирования рынка, науки и научного облуживания,
а также финансов, кредита, страхования и пенсионного обеспечения, так как данные отрасли являются высокодоходными (уровень их удельной прибыли выше 0,4).
20
????????? ???????? R
10. ??????????
Разработанный метод оценки предпочтительности схем налогообложения МП, включающий в себя систему тестовых соотношений и дерево принятия решений, дает возможность
произвести в режиме экспресс-анализа быструю и приближенную оценку вариантов налогообложения малых фирм в условиях действующих налоговых ставок и обосновать выбор
одного из них по критерию минимизации налоговых отчислений. Быстрота и простота метода выгодно отличают его от традиционного метода альтернативного бухгалтерского расчета. Поскольку тестовые соотношения включают такие показатели деятельности МП, как фондоемкость, ресурсоемкость (материалоемкость), трудоемкость и удельная прибыль, сформулированная методика SET-анализа позволяет осуществить оценку предпочтительности
схем налогообложения как на микроуровне, так и на мезоуровне (например, для отраслевых секторов МБ), а также дать рекомендации по целесообразности применения для отдельных видов малых производств: для ресурсоемких МП ? общего порядка налогообложения;
для высокодоходных ? первого, а для низкодоходных МП ? второго варианта УСН. При изменении ставок налогов или внесении других изменений в налогообложение МП методика
SET-анализа может быть легко модифицирована, поскольку опирается на достаточно общие
налоговые соотношения и доказательства Утверждений 1?4, обосновывающие предпочтительность выбора налоговой схемы.
Предложенный метод является в известном смысле приближенным: его точность определяется, прежде всего, выбором показателя прибыли в качестве критерия предпочтительности схем налогообложения, а также другими предпосылками моделирования. Тем
не менее его можно считать достаточно эффективным инструментом, поскольку достоверность метода подтверждена результатами традиционных (в частности ? бухгалтерских) методов расчета налогов на примере значительного числа реально функционирующих малых фирм. Характеризуя сферу применения рассматриваемого метода, следует отметить, что он предназначен для решения проблемы выбора в статике, в то время как
МП ? это динамический объект, в котором изменяются показатели фондоемкости, ресурсоемкости (материалоемкости), трудоемкости, удельной прибыли, а следовательно, меняется и предпочтительность схем его налогообложения. В целях более комплексного и динамического исследования рассматриваемой проблемы методы SET-анализа целесообразно дополнить имитационными моделями МП, разработанными авторами Егоровой Н. Е.,
Хромовым И. Е. [Егорова, Хромов (2005)].
Приложение
Расчет уровня удельной прибыли МП по отраслям экономики
(по данным на 2003 год)
Отрасль экономики
Все отрасли
Промышленность
R ????????? ????????
Объем
произведенной
продукции,
млн руб.
Сальдированный
финансовый результат
деятельности,
млн руб.
Уровень
удельной
прибыли
1 682 380
362 575
0,22
390 982
?8966
?0,02
21
?. ?. ???????, ?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Окончание
Объем
произведенной
продукции,
млн руб.
Отрасль экономики
Сельское хозяйство
Уровень
удельной
прибыли
19 287
?461
?0,02
402 159
33 736
0,08
Транспорт
64 825
5934
0,09
Связь
17 569
1398
0,08
501 057
44 191
0,09
Оптовая торговля продукцией производственно-технического назначения
52 509
6671
0,13
Информационно-вычислительное обслуживание
14 178
2538
0,18
Операции с недвижимостью
31 834
3514
0,11
Общая коммерческая деятельность по
обеспечению функционирования рынка
48 474
43 227
0,89
Жилищно-коммунальное хозяйство
7454
565
0,08
Непроизводственные виды бытового обслуживания населения
8601
60
0,01
Здравоохранение, физическая культура
и социальное обеспечение
21 844
?417
?0,02
1409
59
0,04
Культура и искусство
11 443
1144
0,10
Наука и научное обслуживание
53 473
207 526
3,88
616
20 428
33,16
34 667
1428
0,04
Строительство
Торговля и общественное питание
?????? ??????????? ??????? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ???????????
Сальдированный
финансовый результат
деятельности,
млн руб.
Образование
Финансы, кредит, страхование, пенсионное обеспечение
Другие отрасли
Источник: Федеральная служба государственной статистики России.
?????? ??????????
Егорова Н. Е., Хромов И. Е. Модели и методы выбора схемы налогообложения при обосновании стратегии развития малого предприятия // Аудит и финансовый анализ. 2005. № 3.
Малое предпринимательство в России. Росстат. М., 2004.
Налоговый кодекс Российской Федерации. М.: ГроссМедиа, 2006.
Altman E.., Avery R., Eisenbeis R., Sinkey J. Application of Classification Techniques in Business // Banking and
Finances. 1981.
Braiman L., Friedman J., Olshen R., Stone Ch. Classification and Regression Trees. Belmont, CA: Wadsworth
International Group, 1984.
Frydman H., Altman E., Kao D. Introduction Recursive Partitioning for Financial Classification: The Case of
Financial Distress // Journal of Finances. 1985. March.
22
????????? ???????? R
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
А. М. Либман
Эндогенная (де)централизация
и российский федерализм
Статья посвящена эконометрическому исследованию факторов распределения налогового дохода между уровнями власти в Российской Федерации на основе теории эндогенной (де)централизации. В первой части статьи анализируется распределение налогового
дохода между федеральным центром и регионами за счет стратегического сбора налогов;
вторая часть посвящена субрегиональным аспектам (де)централизации. Анализ опирается как на традиционную эконометрику панельных данных, так и на байесовские методы.
1. ????????
ормирование нового направления исследований экономики федеративных государств ? так называемой «теории федерализма второго поколения» ? вызвало
к жизни обширную литературу, посвященную проблеме эндогенной (де)централизации в федерациях. В отличие от традиционного подхода к экономике федераций, в центре
внимания которого находились оптимальные критерии распределения полномочий между
различными уровнями власти в федеративном государстве, теория эндогенной (де)централизации концентрирует свое внимание на позитивном анализе структуры федераций, то
есть на выявлении факторов, содействующих росту или сокращению централизации. Действительно, реализуемость рекомендаций традиционной нормативно ориентированной литературы в реальных федеративных государствах не может не вызывать сомнения; речь идет
как о наличии собственных интересов у политиков и групп влияния, так и о зависимости от
уже сформировавшихся институциональных сред, во многом определяющих особенности
нового равновесия. В связи с этим необходимо понять, как в реальности развивается федеративная структура тех или иных государств во времени.
Во многом примером таких «отклонений» от оптимальной структуры федерации можно
считать и Россию. Эксперименты с политическим и бюджетным федерализмом в России в течение полутора десятилетий привели к неоднозначным во многих аспектах результатам.
Предлагаемая читателю работа представляет собой попытку исследования проблем эндогенной (де)централизации в Российской Федерации. Основное внимание мы уделяем распределению налогового дохода между уровнями власти в федеративном государстве. Конечно, данный показатель отражает лишь один из аспектов (де)централизации российского федерализма. Вопросами распределения налоговых поступлений взаимоотношения между
уровнями власти в России не исчерпываются. Не менее важными являются конфликты в области регулирования рынков или соперничество за привлекательные активы. Тем не менее
налоговый доход в силу унифицированности и доступности показателя представляет собой,
наверное, наиболее простую «точку отсчета».
В дальнейшем работа построена следующим образом. В первом разделе мы коротко
рассмотрим особенности политической экономики российского федерализма и связанную
Ф
R ????????? ????????
23
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
с ними специфику использованной нами исследовательской стратегии. Второй раздел работы посвящен анализу распределения налогового дохода на уровне взаимодействия Федерации и регионов, основанному на применении байесовских методов. В третьем разделе
мы рассматриваем проблематику эндогенной (де)централизации на уровне взаимодействия
субъектов Федерации и органов местного самоуправления.
2. ????? ??????? ? ????????? ????????????
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
2.1. Особенности российского федерализма
Прежде всего необходимо отметить, что исследование эндогенной (де)централизации
в России должно учитывать две важные особенности российского федерализма. Первая
и них: Россия представляет собой асимметричную федерацию. Понятие «асимметричного
федерализма» было введено в общественные науки в шестидесятые годы [Tarlton (1965)] и до
сих пор остается достаточно расплывчатым. В общем и целом целесообразно дифференцировать экономическую асимметрию, характеризующую диспропорции между экономическим развитием и ресурсным потенциалом отдельных регионов, политическую асимметрию, включающую в себя как формальные привилегии, предоставленные отдельным регионам, так и неформальные преимущества, полученные некоторыми из них, и фискальную
асимметрию, основанную на дифференциации доли налогового дохода, поступающей
в бюджет отдельных регионов (за вычетом части налогового дохода, поступающей в бюджет
Федерации).
Экономическая асимметрия, свойственная Российской Федерации, не требует комментариев. Несмотря на существование формально децентрализованной политической
и бюджетной системы, для России характерна крайне высокая пространственная концентрация экономической активности. Точно также хорошо известна и проблема политической асимметрии, свойственной российскому «договорному» федерализму в 1990-е годы,
когда соглашения о распределении полномочий и президентские указы предоставляли
отдельным регионам особые права. В 2000-е годы масштабы такой формальной политической дифференциации резко сократились, однако неформальные возможности влияния регионов все еще существенным образом различаются (например, за счет значительной дифференциации внимания федерального центра к отдельным регионам [Петров
(2007)]).
Несколько сложнее оценить тенденцию развития фискальной асимметрии. Доли консолидированных бюджетов субъектов Российской Федерации в совокупном налоговом доходе с их территории по-прежнему сильно различаются (достаточно сказать, что уже в 2000-е
годы доля Магаданской области в налоговом доходе с ее территории превышала 90%, в то
время как в некоторых северокавказских республиках она оказывалась ниже 30%). Для исследования динамики асимметрии в федерациях необходимо использовать показатели
s-дивергенции и b-дивергенции. Первая определяется как изменение стандартного отклонения показателя асимметрии во времени и отражает общую вариацию регионов Федерации; рост стандартного отклонения (s-дивергенция) свидетельствует о том, что крайние регионы все больше отдаляются друг от друга, в то время как сокращение этой величины
(s-конвергенция) свидетельствует об уменьшении различий между регионами. b-дивергенция определяется на основе регрессии следующего вида:
24
????????? ???????? R
g i = a + by i , t -T + e i ,
(1)
где y i, t -T ? показатель в момент времени, предшествовавший текущему моменту времени t
на T периодов (как правило, начальный период анализа);
a и b ? подлежащие оценке коэффициенты;
gi ? средние темпы изменения показателя в i-том регионе за T периодов;
e ? случайная ошибка.
Величина b-дивергенции, как следует уже из самого определения, измеряется с помощью коэффициента b. Если последний является отрицательным, то регионы со сравнительно небольшим значением показателя y растут более быстрыми темпами, чем регионы со значительным y, то есть происходит b-конвергенция. В противном случае наблюдается
b-дивергенция. Значениеb < 0 отражает не столько «общее» сближение регионов друг с другом, сколько внутреннюю динамику системы, когда происходит постоянная «смена лидера»1.
Для Российской Федерации можно говорить о существовании s-дивергенции в структуре распределения налогового дохода (стандартное отклонение доли региона в налоговом
доходе выросло с 9,7% в 1994 г. до 14,2% в 2004 г., причем тенденция к росту была практически постоянной). С другой стороны, как показывают результаты табл. 1, для российской
экономики характерна достаточно заметная b-конвергенция доли регионов в налоговом доходе.
Таблица 1
b-конвергенция распределения налогового дохода в Российской Федерации (МНК)
Переменная
Темпы прироста доли
Темпы прироста бюджета региона
консолидированного бюджета региона
в совокупных налоговых доходах
в совокупных налоговых доходах
консолидированного бюджета региона
Период
1994?1998
1998?2003
1994?2003
1992?1998
1998?2003
1992?2003
Первоначальная
доля
?0,7597
(0,1592)***
0,2733
22,78***
88
?0,5865
(0,1699)***
0,2287
11,92***
88
?0,7920
(0,1365)***
0,2321
33,67***
88
?0,4254
(0,1442)***
0,2486
8,71***
88
?0,6234
(0,1217)***
0,3902
26,23***
88
?0,7501
(0,1292)
0,4861
33,69***
88
24,00***
4,11
4,88**
21,26***
4,25
2,39
R2
F-test
Количество
наблюдений
SK-test
П р и м е ч а н и я: в скобках приводятся стандартные ошибки Хубера-Уайта. Здесь и далее: *** ? значимость на
1% уровне; ** ? значимость на 5% уровне; * ? значимость на 10% уровне. SK test ? тест КолмогороваСмирнова на нормальное распределение остатков (нулевая гипотеза: нормальное распределение). Знак
и значимость коэффициентов устойчивы после исключения резко выделяющихся значений для обеспечения нормального распределения остатков.
1
Например, в чемпионате по футболу s-конвергенция невозможна в принципе: лидер всегда находится на
первом месте, последний по силе клуб ? на последнем (разве что меняется число команд в лиге). Однако
b-конвергенция вполне реальна: она свидетельствует о том, что слабые команды постоянно усиливаются и обгоняют традиционных лидеров, и происходит постоянная циркуляция ведущих клубов. См. [Sala-i-Martin (1996)].
R ????????? ????????
25
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
В связи с приведенными данными исследование эндогенной (де)централизации в России, по сути дела, должно включать в себя две компоненты. Первая направлена на изучение
распределения налоговых доходов между центром и отдельными регионами. Каждое наблюдение в такой выборке соответствует доле консолидированного бюджета региона в совокупных налоговых доходах с его территории в определенный год. Вторая компонента связана с более традиционным анализом распределения доходов «внутри» регионов, между
региональным бюджетом и органами местного самоуправления. Несмотря на то что для анализа могут использоваться прежние гипотезы, движущие силы (де)централизации могут
серьезно отличаться от присутствующих на уровне регионов и Федерации. Достаточно сказать, что в данном случае на протяжении 1990?2000-х гг. наблюдалась как b-конвергенция
(см. табл. 1), так и довольно существенная s-конвергенция (стандартное отклонение доли
региона в налоговых доходах консолидированного бюджета субъекта Федерации сократилось с 1994 по 2004 гг. с почти 50% до 14%).
Второй важной особенностью российского федерализма является его высокая централизация. Можно говорить, что в России функционирует административный федерализм, предполагающий, что подавляющее большинство налоговых полномочий сконцентрировано на уровне Федерации. Заметим, что такая ситуация вовсе не является результатом развития последних лет; формально административный федерализм с высокой степенью централизации сложился в России еще в 1994 г. при формировании современной
бюджетной системы. В этой связи особый интерес представляет роль неформальных факторов распределения налогового дохода. В частности, речь идет о так называемом стратегическом сборе налогов, то есть манипулировании налоговым аудитом и сбором налогов с целью перераспределения налогового дохода между уровнями власти. Именно стратегический сбор налогов, как представляется, входит в число ключевых факторов, определяющих
структуру распределения налоговых доходов между центром и регионами, поэтому мы
сконцентрируем внимание именно на этом явлении. На уровне взаимодействия регионов
и органов местного самоуправления «игроки» обладают большим «пространством для принятия решений».
2.2. Литература
Данная работа, конечно, не является первой попыткой исследования процессов эндогенной (де)централизации в России с использованием эконометрических методов. На уровне взаимодействия федерации и регионов данная проблема рассматривается в [Libman,
Feld (2007)], где, опираясь на методы традиционной эконометрики (панельные данные, инструментальные переменные и медианные регрессии), показывается, что эффекты стратегического сбора налогов действительно присутствовали в Российской Федерации, а также
рассматривается влияние других факторов на процессы распределения налогового дохода.
Проблемы эндогенной (де)централизации в начале 1990-х гг. анализируются в [Treisman
(1999)].
Проблематика (де)централизации на уровне регионов и органов местного самоуправления исследуется в [Freinkman, Yossifov (1999); Freinkman, Plekhanov (2005)], фиксирующих так
называемый «парадокс децентрализации» ? логика децентрализации на субрегиональном
уровне в России во многом противоречит как теоретическим результатам, так и выводам
многих других эмпирических исследований, а именно, регионы со сравнительно более вы-
26
????????? ???????? R
соким уровнем ВВП на душу населения и высокой этнолингвистической фракционализацией
(то есть высоким развитием и высокой разнородностью) характеризовались более высоким
уровнем централизации. Переменная «демократизация» являлась статистически незначимой, хотя знак коэффициента свидетельствовал о росте централизации при росте демократизации.
Предлагаемая статья в какой-то степени дополняет указанные выше исследования. С одной стороны, вновь рассматривается проблема стратегического сбора налогов в Российской Федерации. Однако, в отличие от [Libman, Feld (2007)], мы воспользуемся не методами
классической («фреквентистской») эконометрики, а подходами, разработанными в байесовском анализе.
С другой стороны, исследуются проблемы (де)централизации на субрегиональном уровне, для чего применяются традиционные методы анализа панельных данных. В результате
удается (хотя бы частично) разрешить проблему «парадокса децентрализации» в России за
счет коррекции используемых показателей.
2.3. Данные
Исследование охватывает период с 1995 по 2003 гг. На протяжении всего этого периода
могут использоваться два типа «выборки» регионов Российской Федерации. Во-первых, мы
рассматриваем все 88 регионов (кроме Чеченской Республики), по которым имеются стабильные ряды данных на протяжении всего периода. Во-вторых, мы рассматриваем выборку
в объеме 79 регионов, из которой исключены 9 автономных округов, являющихся частью
других субъектов Федерации (соответственно, Чукотский автономный округ остается в выборке). Причины для использования двух выборок обусловлены, во-первых, ограниченностью данных для автономных округов и, во-вторых, небольшим размером последних (в результате чего «микрорегионы» могут оказать серьезное воздействие на оценки как доставляющие резко выделяющиеся значения). Тем не менее сравнение результатов обоих подходов к анализу может оказаться крайне продуктивным с точки зрения оценки устойчивости
результатов. Для анализа стратегического сбора налогов в силу ограниченности данных может использоваться только вторая выборка (79 регионов).
В основном нами используются данные Федеральной службы государственной статистики, в большинстве своем приведенные в базе Регионы России2. Использованные нами характеристики бюджетной системы основываются на отчетах об исполнении бюджетов, по данным Министерства финансов и Федерального казначейства, и в основном взяты из базы
данных Центра фискальной политики и поддерживаемой МГУ базы данных «Бюджетная система Российской Федерации», а также (для более ранних периодов) в [Freinkman, Treisman
et al. (1999)]. Данные о национальном составе населения регионов основаны на результатах
переписи 2002 г. Для оценки институциональных характеристик политических систем мы
используем также индексы, опубликованные как отдельными исследователями, так и независимыми исследовательскими организациями (в частности, Московским центром Карнеги, Российским союзом промышленников и предпринимателей (РСПП), Независимым институтом социальной политики, Институтом экономики города, Институтом «Обществен2
Регионы России: Основные характеристики субъектов Российской Федерации. М.: Госкомстат. 2001, 2002,
2003, 2004, 2005.
R ????????? ????????
27
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ная экспертиза»). Для «матрешечных» регионов показатели приводятся, включая автономные округа.
3. ?????????????? ???? ??????? ? (??)?????????????: ??????????? ??????
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
3.1. Модель и методы
Концепция стратегического сбора налогов в какой-то степени может рассматриваться
как «антипод» проблематики уклонения от налогообложения. Если последняя пытается выявить, почему индивиды и корпорации способны в конкретной ситуации избежать уплаты
налогов, то стратегический сбор налогов концентрирует внимание на проблематике сознательного отказа государственных органов от сбора налогов. А именно, речь идет о манипулировании интенсивностью налогового контроля с целью изменения фактического налогового бремени экономических агентов (поэтому, возможно, точнее было бы говорить не
о стратегическом, а об «оппортунистическом» сборе налогов). В условиях централизованной Федерации стратегический сбор налогов может выполнять множество различных функций, например выступать инструментом горизонтальной конкуренции юрисдикций [Stowhase, Traxler (2005)]. Однако с точки зрения эндогенной (де)централизации интерес вызывают другие аспекты стратегического сбора налогов, в частности, его способность выступать
инструментом перераспределения налогового дохода между уровнями власти.
Допустим, в налоговой системе присутствуют как налоги, подлежащие выплате в федеральный бюджет, так и налоги, поступающие в бюджет региона. Если в экономике страны существует значительная теневая экономика, это означает, что потенциал налоговых органов,
направленный на то, чтобы осуществлять эффективное администрирование налогообложения, ограничен: какая-то часть налога все равно остается «сокрытой». Соответственно, налоговые органы получают возможность «распределять» свои усилия между различными типами налогов. Если допустить, что поддержка региональных властей является более важной
для налоговых органов (например, за счет неформальных выплат и привилегий, лучшей способности региональных властей к мониторингу деятельности налоговых органов или их
возможности «защитить» руководство территориальных налоговых органов от «недовольства» федерального центра), логично было бы предположить, что основные силы будут направлены на сбор налогов, в большей степени поступающих в региональный бюджет (последняя оговорка важна потому, что речь идет о «расщепляемых» между уровнями власти
налогах). В обратной ситуации усилия будут сосредоточены на сборе федеральных налогов.
В этой связи важно понимать, что налоговое администрирование четко распадается на
два типа деятельности. Во-первых, речь идет о налоговом аудите, т. е. выявлении «сокрытой»
налоговой базы. Тем не менее предъявление налоговыми органами на основе налогового
аудита претензий хозяйствующему субъекту не гарантирует, что налог в реальности будет
взыскан. Важную роль может сыграть результат судебного процесса. В России налоговые органы нередко сознательно предъявляют налогоплательщикам «проигрышные» с судебной
точки зрения претензии [Трунин (2008)], и можно предположить, что результативность судебных процессов также зависит от затраченных налоговыми органами усилий (например,
на сбор и подготовку доказательств). Однако в экономиках с «дефицитом права» (по типу
российской) даже судебное решение не гарантирует, что налоги удастся собрать в полном
объеме.
28
????????? ???????? R
Во-вторых, за налоговым аудитом следует собственно сбор налогов.
Если эффективность собственно налогового аудита по отношению к совокупным масштабам уклонения от налогов может быть оценена лишь косвенно (поскольку масштабы уклонения по определению неизвестны), то эффективность сбора налогов по отношению к налоговому аудиту получает воплощение в четко измеримом показателе ? налоговой задолженности. В силу этого при осуществлении налоговыми органами стратегического сбора налогов «в пользу» регионального уровня власти можно предположить, что основная часть
налоговой задолженности будет формироваться за счет федеральных налогов. Но в такой
ситуации при прочих равных условиях большая налоговая задолженность будет соответствовать большей доле региональных органов власти в совокупных налоговых поступлениях
с территории региона. Конечно, если налоговые органы осуществляют стратегический сбор
налогов «в пользу» Федерации, ситуация является прямо противоположной: большая налоговая задолженность соответствует меньшей доле региона в совокупных налоговых поступлениях.
Российская Федерация кажется «очевидным» кандидатом к применению стратегического сбора налогов с точки зрения стратегического сбора налогов. С одной стороны, как
уже отмечалось, с 1994 г. в России функционирует высокоцентрализованный формальный
федерализм, дополняющийся многочисленными неформальными каналами (де)централизации. С другой ? Россия является классической страной масштабного уклонения от налогов. Правда, в России формально существует и централизованная система сбора налогов, осуществляющегося исключительно федеральными органами власти, однако именно
в этой связи интерес представляет эволюция российского федерализма. Насколько можно
судить, в 1990-е годы достаточно распространенным был «захват» региональных налоговых администраций региональными же органами власти [Еникополов, Журавская и др.
(2000)], способными с помощью разнообразных неформальных инструментов оказывать
существенное воздействие на принимаемые налоговыми органами решения. В сочетании
со сравнительно высокой переговорной властью регионов последнее вполне могло привести к формированию стратегического сбора налогов в их пользу. В 2000-е годы в период
президентства В. В. Путина масштабы влияния региональных органов власти на налоговые
инспекции резко сократились, что связано как с более жесткой кадровой политикой центра, так и с общим изменением баланса влияния между центром и регионами. Следовательно, можно предположить, что доминирующую роль играл стратегический сбор налогов
в пользу центра.
Именно эти явления и будут предметом анализа в настоящем разделе. Мы предполагаем,
что в 1990-е годы высокая налоговая задолженность вела к большей доле региона в налоговых доходах с его территории, в то время как в 2000-е годы ситуация была обратной: высокая
налоговая задолженность вела к меньшей доле региона в налоговом доходе с его территории. Последняя (SHAREREGION) выступает в качестве объясняемой переменной в анализе.
Объясняющей переменной служит квадрат отношения совокупной налоговой задолженности (TAXARREARS) к валовому региональному продукту (GRP) (мы используем эту форму, вопервых, для нормализации величины налоговой задолженности, которая, конечно, сильно
варьируется в зависимости от размера региона; во-вторых, для учета возможных нелинейных эффектов: стратегический сбор налогов сам по себе является сложной деятельностью,
нуждающейся в организации, и при значительной задолженности более вероятно получеR ????????? ????????
29
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ние инвестиций для сбора налогов, чем при небольшой). Моделируемая зависимость в общем случае имеет вид:
SHAREREGION = a + b ( TAXARREARS GPR ) 2 + e
(2)
В [Libman, Feld (2007)] при помощи методов классической эконометрики показывается,
что стратегический сбор налогов в пользу регионов действительно имел место в период
Ельцина. Ситуация в период президентства В. В. Путина является гораздо менее устойчивой
и зависит как от методов оценки, так и от эффектов эндогенности и резко выделяющихся значений. В настоящей работе используется байесовский подход для исследования стратегического сбора налогов. Как известно, основное отличие байесовского подхода от стандартного состоит в том, что исследователь исходит из определенных предположений о распределении оцениваемого параметра (априорное распределение). При «конфронтации» этих
предположений с данными формулируется апостериорное распределение параметра. Байесовский анализ основан не на точечной оценке параметра или выявлении доверительных
интервалов в традиционном смысле этого слова, а на оценке свойств апостериорного распределения (например, его моментов или интервала концентрации массы распределения).
Более точно, если рассматривается параметр q и данные D, справедливо:
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
p ( q| D ) µ l ( D |q) p ( q),
(3)
то есть апостериорное распределение пропорционально произведению априорного распределения и функции правдоподобия l.
С технической точки зрения известной проблемой байесовских методов, длительное
время сдерживавшей их развитие в эконометрике, были вычислительные сложности: лишь
в отдельных случаях апостериорное распределение может быть получено аналитически.
В связи с этим байесовские методы стали одним из основных «победителей» роста вычислительных мощностей, позволяющего определять моменты апостериорного распределения
с помощью имитационного моделирования. Конкретно речь идет об использовании метода
MCMC (Markov chain Monte Carlo): конструируется цепь Маркова, стационарным распределением которой является распределение, которое требуется оценить. С технической точки
зрения «качество» полученной оценки определяется, во-первых, автокорреляцией (то есть
тем, в какой степени МСМС смог «охватить» пространство параметров) и, во-вторых, статистикой Гельмана-Рубина, использующейся для оценки того, было ли достигнуто стационарное распределение цепи (для этого в рамках метода МСМС обычно одновременно «запускается» имитация нескольких цепей).
Наша работа основана на оценке апостериорного распределения с помощью метода
МСМС. Мы отдельно оцениваем две парные линейные регрессии (2): для 1995?1999 гг. («период Ельцина») и 2000?2003 гг. («период Путина»). Параметр, который мы оцениваем, ? коэффициент b при объясняющей переменной. Для оценки используется пакет WinBUGS в сочетании с языком R. Код большинства программ, используемых нами, основан на [Lancaster
(2005)].
3.2. Результаты
Простейший подход основан на методе наименьших квадратов (МНК) для всех имеющихся данных (pooled OLS). Как уже говорилось, в «панель» включены показатели распределе-
30
????????? ???????? R
ния налогового дохода и налоговой задолженности для отдельных регионов в отдельные
годы. Однако метод «pooled OLS» не предполагает использования панельной структуры данных (как в случае фиксированных эффектов, о чем пойдет речь далее). Необходимо оценить
жa ц
общее апостериорное распределение вектора параметров j = з ч из уравнения (2) и точиb ш
ность t3. Используем априорное распределение:
1
p ( j, t) µ .
t
(4)
Если через Х обозначить матрицу значений независимых п??ременных, а через у ? вектор зависимой переменной (показателя децентрализации, то есть доли региона в совокупном налоговом доходе с его территории), то функция правдоподобия для линейной модели может
быть записана как
n
t
l ( y , X |j, t) µ t 2 exp й - ( y - Xj) ў( y - Xj) щ
кл 2
ъы
(5)
для n наблюдений (в нашем случаеn = 711)4. Отсюда определяется апостериорное распределение:
n
-1
t
p ( j, t| y , X ) µ t 2 exp й - ( y - Xj) ў( y - Xj) щ.
кл 2
ъы
(6)
Можно показать, что
p ( t| y , X ) µ t
n -k
-1
2
й e ўe щ
exp к - t ъ,
2 ы
л
(7)
где е ? вектор остатков при оценке, полученной на основе стандартного МНК, а k = 2.
Опишем процедуру для получения случайных значенийj5. Сначала вычисляем оценку параметров (2) МНК и на ее основе получаем вектор остатков е; потом генерируем значение t
из апостериорного распределения (7), а затем подставляем полученное значениеt в апостериорное распределение (6). Последнее является нормальным ? j ~ N {( X ўX ) -1 X ўy ;[t( X ўX )] -1 },
где t( X ўX ) ? матрица точности (precision matrix). Теперь из (6) можно сгенерировать случайное значение j. Было проведено всего 5000 итераций.
Гистограмма полученного в данном случае апостериорного распределения для b для
«периода Ельцина» приведена на рис. 1, а для «периода Путина» ? на рис. 2.
Видно, что мода апостериорного распределения для «периода Ельцина» положительна,
но близка к нулю. Масса распределения рассредоточена так, что вероятность отрицательных значений b является существенной. Для «периода Путина» распределение коэффициента b в основном сосредоточено в отрицательной области числовой прямой. Таким образом,
3
Точность (precision) ? величина, обратная дисперсии. В байесовском анализе традиционно принято оперировать именно этой величиной.
4
В выборке присутствует 79 регионов, для которых имеются данные за 9 лет.
5
Частное распределение для j может быть также получено непосредственно из (6) (см. консультации в этом
номере). Но данная процедура в нашем случае упрощает получение случайных значений j.
R ????????? ????????
31
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
Рис. 1. Апостериорное распределениеb
для «периода Ельцина».
Вертикальная черта показывает среднее значение b
Рис. 2. Апостериорное распределениеb
для «периода Путина».
Вертикальная черта показывает среднее значение b
полученные результаты в большей степени соответствуют нашей гипотезе о стратегическом
сборе налогов в пользу Федерации в период Путина; результаты для периода Ельцина являются неопределенными.
Конечно подход, основанный на «pooled OLS», не использует преимущества анализа панельных данных, связанные с возможностью избежать проблемы ненаблюдаемой гетерогенности. Поэтому воспользуемся байесовским методом для оценки параметров апостериорного распределения на основе как фиксированных, так и случайных эффектов. Модель (2)
в этом случае имеет вид:
SHAREREGION it = b ( TAXARREARS it GPR it ) 2 + a i + e it .
(8)
С байесовской точки зрения разница между этими двумя подходами состоит в следующем. В оценке на основе фиксированных эффектов, помимо коэффициента b, оценивается
также распределение индивидуального (фиксированного) эффекта a i для каждого из регионов.
В оценке на основе случайных эффектов предполагается, что индивидуальные эффекты
a i для всех регионов i распределены в соответствии с общим законом, и, соответственно,
оценивается распределение математического ожидания и параметра точности этого распределения (а не математического ожидания и параметра точности фиксированного эффекта для каждого из регионов).
Применяется модификация модели, устойчивая к гетероскедастичности. Применим метод МСМС с двумя Марковскими цепями. Этот анализ основывается на допущении, что случайные ошибки e it имеют математическое ожидание, равное 0, гомоскедастичны и взаимнонекоррелированы. Априорное распределение b ? нормальное с математическим ожиданием 0 и параметром точности 0,0001; априорное распределениеt ? гамма-распределение
с параметрами 0,01 и 0,01.
32
????????? ???????? R
Различия между фиксированными и случайными эффектами появляются при моделировании индивидуального эффекта a i .
Случайные эффекты. Индивидуальные эффекты a i для всех регионов i распределены
в соответствии с общим законом (нормальным распределением) с математическим ожиданием a и параметром точности p (говорят о так называемом «иерархическом априорном
распределении» ? hierarchical prior). Для a и p, соответственно, используются те же априорные распределения, что и для b и t. Оцениваются апостериорные распределения четырех
параметров: b, t, a и p.
Процесс МСМС характеризуется хорошими свойствами для всех моделей. На рис. 3 приводится движение цепей 1 и 2 для оценки по методу случайных эффектов, а также статистики
Гельмана-Рубина и показатели автокорреляции. Видно, что автокорреляция для всех лагов,
кроме первого, является низкой (как и должно быть в марковском процессе). Статистика
Гельмана-Рубина подтверждает конвергенцию цепей после 1000 итераций (все линии на рисунке практически «сливаются» в прямую).
Наш анализ позволяет получить следующие выводы (нас интересует, прежде всего, апостериорное распределениеb). Как следует из табл. 2, для «периода Ельцина» распределение
b в основном сосредоточено в положительной части числовой прямой, что в целом соответствует нашему предположению об использовании «стратегического сбора налогов в интересах регионов» как инструмента децентрализации в этот период.
Таблица 2
Характеристики апостериорного распределения основных переменных
для «периода Ельцина», случайные эффекты
Математическое
ожидание
Стандартное
отклонение
квантили
2,50%
25%
50%
75%
97,50%
b
1
0,4
0,1
0,7
1
1,3
1,9
t
494,7
51,7
394,5
460,5
494,2
530
601,2
a
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
0,7
p
131,5
27
87,2
112,3
128,4
147,6
192.5
Для «периода Путина» мы можем подтвердить ожидаемый нами отрицательный знак коэффициента b, сосредоточенного в отрицательной области числовой прямой (табл. 3).
Таблица 3
Характеристики апостериорного распределения основных переменных
для «периода Путина», случайные эффекты
квантили
Математическое
ожидание
Стандартное
отклонение
2,50%
25%
50%
75%
97,50%
b
?0,1
0,1
?0,2
?0,1
?0,1
0
0
t
349,9
41,5
277,6
318,8
346,8
379,1
437,5
a
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,6
0,6
p
88,9
16,1
60
77,7
88
98,8
124,3
R ????????? ????????
33
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 3.b ? beta;t ? tau; a ? alphabar;p ? pi. (а): протекание процесса MCMC для основных
из переменных были инициализированы две цепи Маркова. На рис. (а) и (в) на оси абсцисс откладывается номер
полученные в результате i-той итерации, на рис. (б) ? величина автокорреляции между текущим значением
34
????????? ???????? R
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
переменных модели; (б): автокорреляция процессов; (в): статистика Гельмана?Рубина. Для каждой
итерации процесса МСМС, на рис. (б) ? лаг. На рис. (а) на оси ординат откладываются значения переменной,
переменной и i-тым лаговым значением переменной, на рис. (в) ? величина статистики Гельмана-Рубина.
R ????????? ????????
35
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Фиксированные эффекты. Каждый индивидуальный эффект a i распределен в соответствии с собственным законом; поэтому мы оцениваем апостериорное распределение каждого из индивидуальных эффектов отдельно. Мы предполагаем, что индивидуальный эффект для каждого из регионов имеет нормальное априорное распределение с математически ожиданием 0 и параметром точности 0,0001. Если в случайных эффектах мы оценивали 4
параметра, то теперь оценивается 81 параметр (фиксированные эффекты для 79 регионов, b
и t). Это позволяет, например, анализировать специфику конкретных регионов (рассматривая распределение их индивидуальных эффектов).
Для «периода Ельцина» применение фиксированных эффектов не меняет результат в отношении b по сравнению с случайными эффектами. Однако, как уже говорилось, оценки математического ожидания апостериорных распределений индивидуальных эффектов также
представляют интерес. Для четырех регионов ? Москвы, Республики Алтай, Калмыкии
и Ингушетии ? величина ожидания меньше, чем для остальных. Все четыре региона обладали особым статусом с точки зрения эволюции российского федерализма: если Ингушетия,
Калмыкия и Алтай в отдельные периоды использовали схемы «внутренних квазиоффшоров»,
то Москва является крупнейшим регионом России с точки зрения сбора налогов (на нее
приходится примерно четверть их совокупного поступления в Российской Федерации), что
не может не свидетельствовать о специфике ее ситуации (табл. 4).
Таблица 4
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
Характеристики апостериорного распределения основных переменных
для «периода Ельцина», фиксированные эффекты
Квантили
Математическое
ожидание
Стандартное
отклонение
2,50%
25%
50%
75%
a (Москва)
0,4
0
0,4
0,4
0,4
0,4
a (Санкт-Петербург)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
a (Еврейская АО)
0,8
0
0,7
0,7
0,8
0,8
a (Чукотский АО)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,8
a (Краснодарский край)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Красноярский край)
0,7
0
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Приморский край)
0,7
0
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Ставропольский край)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Амурская обл.)
0,7
0
0,6
0,7
0,7
0,7
a (Архангельская обл.)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,7
a (Астраханская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Белгородская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Брянская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Челябинская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Читинская обл.)
0,7
0
0,6
0,7
0,7
0,7
a (Иркутская обл.)
0,7
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Ивановская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
36
????????? ???????? R
Продолжение табл. 4
Квантили
Математическое
ожидание
Стандартное
отклонение
2,50%
25%
50%
75%
a (Калининградская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Калужская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Камчатская обл.)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,7
a (Кемеровская обл.)
0,7
0
0,6
0,7
0,7
0.7
a (Кировская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Костромская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Курганская обл.)
0,7
0
0,6
0,7
0,7
0,7
a (Курская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Ленинградская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Липецкая обл.)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,7
a (Магаданская обл.)
0.7
0
0,7
0,7
0,7
0,7
a (Московская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
a (Мурманская обл.)
0,7
0
0,6
0,7
0,7
0,7
a (Нижегородская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
a (Новгородская обл.)
0,7
0
0,6
0,7
0,7
0,7
a (Новосибирская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Омская обл.)
0.6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Орловская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Оренбургская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Пензенская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Пермская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Оренбургская обл.)
0,7
0
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Ростовская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Рязанская обл.)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
a (Сахалинская обл.)
0,7
0
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Самарская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
a (Саратовская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Смоленская обл)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Свердловская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Тамбовская обл.)
0,7
0
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Томская обл.)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
a (Тульская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Тверская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Тюменская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Ульяновская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
R ????????? ????????
37
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
Окончание табл. 4
Квантили
Математическое
ожидание
Стандартное
отклонение
2,50%
25%
50%
75%
a (Владимирская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Волгоградская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Вологодская обл.)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,8
a (Воронежская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Ярославская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Адыгея)
0,7
0
0,6
0,7
0,7
0,7
a (Республика Алтай)
0,4
0,1
0,3
0,4
0,4
0,5
a (Башкортостан)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,7
a (Бурятия)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,7
a (Чувашия)
0,7
0
0,6
0,7
0,7
0,7
a (Дагестан)
0,7
0
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Ингушетия)
0,2
0
0,1
0,1
0,2
0,2
a (Кабардино-Балкария)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,8
a (Калмыкия)
0,3
0
0,3
0,3
0,3
0,4
a (Карачаево-Черкесия)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Карелия)
0,8
0
0,7
0,7
0,8
0,8
a (Хакасия)
0,8
0
0,7
0,7
0,8
0,8
a (Коми)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Марий Эл)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Мордовия)
0,7
0
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Северная Осетия)
0,7
0
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Саха)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,8
a (Татарстан)
0,8
0
0,7
0,8
0,8
0,8
a (Тыва)
0,8
0
0,7
0,7
0,8
0,8
a (Удмуртия)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
b
0,9
0,5
0
0,6
0,9
1,2
t
505,3
51,6
408,7
468,9
504,2
540,9
Для «периода Путина», однако, в отношении параметра b ситуация меняется по сравнению со случайными эффектами. Мы более не можем сделать вывод о сосредоточенности
массы распределения b в отрицательной области числовой прямой. Резко выделяющиеся
значения фиксированного эффекта в данный период характерны опять же для четырех налоговых квазиоффшоров: Чукотского АО, Калмыкии, Ингушетии и Мордовии (причем последний активно использовался именно в конце 1990-х ? начале 2000-х годов). Отметим, что
в большинстве случаев математическое ожидание апостериорного распределения фиксированных эффектов меньше, чем в «период Ельцина», что может свидетельствовать об общем смещении переговорной власти от регионов к центру.
38
????????? ???????? R
Таблица 5
Характеристики апостериорного распределения основных переменных
для «периода Путина», фиксированные эффекты
Математическое
ожидание
Стандартное
отклонение
Квантили
2,50%
25%
50%
75%
97,5%
a (Москва)
0,4
0
0,3
0,4
0,4
0,4
0,5
a (Санкт-Петербург)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Еврейская АО)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Чукотский АО)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Краснодарский край)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Красноярский край)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Приморский край)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Ставропольский край)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,6
0,6
a (Амурская обл.)
0,7
0
0,6
0,6
0,7
0,7
0,7
a (Архангельская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Астраханская обл.)
0,4
0
0,4
0,4
0,4
0,5
0,5
a (Белгородская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Брянская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,6
0,6
a (Челябинская обл.)
0,5
0
0,4
0,4
0,5
0,5
0,5
a (Читинская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Иркутская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Ивановская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,6
0,6
a (Калининградская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,6
0,6
a (Калужская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Камчатская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Кемеровская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Кировская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Костромская обл.)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Курганская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Курская обл.)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Ленинградская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Липецкая обл.)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,7
0,8
a (Магаданская обл.)
0,8
0
0,8
0,8
0,8
0,9
0,9
a (Московская обл.)
0,5
0
0,4
0,5
0,5
0,5
0,5
a (Мурманская обл.)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Нижегородская обл.)
0,4
0
0,4
0,4
0,4
0,5
0,5
a (Новгородская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Новосибирская обл.)
0,5
0
0,4
0,4
0,5
0,5
0,5
R ????????? ????????
39
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
Продолжение табл. 5
Квантили
Математическое
ожидание
Стандартное
отклонение
2,50%
25%
50%
75%
97,5%
a (Омская обл.)
0,5
0,1
0,4
0,4
0,5
0,5
0,6
a (Орловская обл.)
0,5
0
0,4
0,4
0,5
0,5
0,5
a (Оренбургская обл.)
0,5
0
0,4
0,4
0,5
0,5
0,5
a (Пензенская обл.)
0,5
0
0,4
0,5
0,5
0,5
0,5
a (Пермская обл.)
0,5
0
0,4
0,4
0,5
0,5
0,5
a (Оренбургская обл.)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Ростовская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Рязанская обл.)
0,4
0
0,3
0,4
0,4
0,4
0,5
a (Сахалинская обл.)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Самарская обл.)
0,4
0
0,4
0,4
0,4
0,5
0,5
a (Саратовская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Смоленская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,6
0,6
a (Свердловская обл.)
0,5
0
0,4
0,5
0,5
0,5
0,5
a (Тамбовская обл.)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Томская обл.)
0,4
0
0,3
0,4
0,4
0,4
0,4
a (Тульская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Тверская обл.)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Тюменская обл.)
0,4
0
0,3
0,4
0,4
0,4
0,5
a (Ульяновская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Владимирская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Волгоградская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Вологодская обл.)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,7
a (Воронежская обл.)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Ярославская обл.)
0,5
0
0,4
0,4
0,5
0,5
0,5
a (Адыгея)
0,7
0
0,6
0,6
0,7
0,7
0,7
a (Республика Алтай)
0,4
0,1
0,2
0,3
0,4
0,4
0,5
a (Башкортостан)
0,5
0
0,4
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Бурятия)
0,7
0
0,6
0,7
0,7
0,7
0,7
a (Чувашия)
0,5
0
0,4
0,5
0,5
0,5
0,6
a (Дагестан)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Ингушетия)
0,3
0,1
0,2
0,2
0,3
0,5
0,6
a (Кабардино-Балкария)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Калмыкия)
0,1
0,1
0
0,1
0,1
0,2
0,2
a (Карачаево-Черкесия)
0,6
0
0,5
0,6
0,6
0,6
0,6
a (Карелия)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,8
0,8
40
????????? ???????? R
Окончание табл. 5
Квантили
Математическое
ожидание
Стандартное
отклонение
2,50%
25%
50%
75%
97,5%
a (Хакасия)
0,8
0
0,8
0,8
0,8
0,8
0,9
a (Коми)
0,5
0
0,4
0,5
0,5
0,5
0,5
a (Марий Эл)
0,6
0
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
a (Мордовия)
0,2
0
0,1
0,2
0,2
0,2
0,3
a (Северная Осетия)
0,5
0
0,5
0,5
0,5
0,6
0,6
a (Саха)
0,6
0
0,6
0,6
0,6
0,7
0,7
a (Татарстан)
0,6
0,1
0,5
0,5
0,6
0,6
0,7
a (Тыва)
0,7
0
0,7
0,7
0,7
0,7
0,8
a (Удмуртия)
0,5
0
0,4
0,5
0,5
0,5
0,6
b
0
0
-0,1
0
0
0
0,1
t
355,4
41,6
279,3
327,1
353,1
381
442,6
Как уже отмечалось, российский федерализм характеризуется крайне высоким уровнем
фискальной и экономической асимметрии. В налоговой сфере особенно выделяется Калмыкия, в начале «периода Путина» аккумулировавшая значительную налоговую задолженность
(даже превышавшую ее ВРП). Это заставляет предположить, что наблюдаемые нами эффекты
в какой-то степени могут зависеть от «резко выделяющихся значений». Стандартным методом оценки, «смягчающим» влияние последних, являются медианные регрессии, минимизирующие не квадрат отклонений, а модуль отклонений:
( y - x ib)
.
b$ = argminе | y i - x i b| = argminе i
b
b
| y i - x i b|
2
(9)
Одним из способов получения оценки параметра b$ может служить следующая формула:
b ў = argminе
b
( y i - x ib)2
,
| y i - x i b$|
т. е. минимизируется взвешенная сумма квадратов отклонений, где «весами» выступает мо$ полученной, возможно,
дуль отклонения, вычисленный с помощью некоторой оценки b,
с помощью МНК. Мы используем эту процедуру, причем в качестве b$ применяется мода апостериорного распределения b, полученная на основе метода «pooled OLS». В остальном
наша модель идентична описанной выше. Мы оцениваем только спецификацию для фиксированных эффектов и для экономии места приводим только данные по оценкам апостериорного распределения b и t.
Как следует из табл. 6 и 7, результаты для «периода Путина» существенным образом меняются по сравнению с «pooled OLS», более не подтверждая нашу гипотезу о стратегическом
сборе налогов. Этого можно было бы ожидать, исходя хотя бы из описанных проблем с Калмыкией. Результаты для «периода Ельцина» вновь свидетельствуют о существовании стратегического сбора налогов в пользу регионов.
R ????????? ????????
41
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Таблица 6
Характеристики апостериорного распределения основных переменных
для «периода Ельцина», медианная регрессия
Квантили
Математическое
ожидание
Стандартное
отклонение
2,50%
25%
50%
75%
97,5%
b
0,6
0,3
0,1
0,4
0,6
0,8
1,1
t
496,7
51,9
405
461,2
493,4
531,7
598,5
Таблица 7
Характеристики апостериорного распределения основных переменных
для «периода Путина», медианная регрессия
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
Математическое
ожидание
Стандартное
отклонение
Квантили
2,50%
25%
50%
75%
97,5%
b
0,1
0
0
0
0
0,1
0,1
t
356,5
41,8
283,4
326,1
354,5
383,2
447,7
Подводя итог, приходим к выводу, что большинство используемых нами методов оценки
(фиксированные и случайные эффекты, медианные регрессии) действительно подтверждают существование стратегического сбора налогов в период президентства Б. Н. Ельцина. Результаты для президентства В. В. Путина являются значительно менее устойчивыми и в основном присутствуют в «pooled OLS», что свидетельствует о возможном влиянии резко выделяющихся значений и ненаблюдаемой гетерогенности.
4. (??)????????????? ?? ??????????????? ??????
4.1. Модель и методы
Второй аспект процессов распределения налогового дохода между уровнями власти
в России ? эндогенную (де)централизацию на субрегиональном уровне ? исследуем с использованием традиционного эконометрического анализа, и прежде всего панельных данных. Поскольку возможности для структурирования отношений между органами власти
субъектов Федерации и органами местного самоуправления были боґльшими, чем на уровне
отношений регионов и центра, целесообразно рассмотреть и более широкий спектр объясняющих факторов. На сегодняшний день теоретическая литература по проблемам эндогенной (де)централизации включает в себя множество разнообразных подходов и моделей.
Сильно упрощая, можно говорить о пяти основных группах работ, концентрирующих внимание на различных факторах эндогенной (де)централизации.
Во-первых, (де)централизация может определяться соотношением разнородности предпочтений и выигрышей от централизации, связанных со страхованием рисков, экономией
от масштаба и интернализацией внешних эффектов. В основе данной логики лежит представление о том, что разнородность страны (связанная, например, с национальным составом, экономической структурой или климатическими особенностями отдельных регионов)
42
????????? ???????? R
с точки зрения предпочтений или дохода стимулирует рост децентрализации [Alesina,
Spolaore (2003), Bolton, Roland (1997)]. По большому счету, такой подход лишь фиксирует традиционное нормативное представление теории федерализма, рассматривая его как проверяемую эмпирическую гипотезу.
Между тем в большинстве случаев структура Федерации является не только и не столько
результатом непосредственного волеизъявления населения, сколько продуктом переговоров органов власти различных уровней. Поэтому, во-вторых, (де)централизация может формироваться как побочный продукт конфликтов за перераспределение ренты между уровнями власти. В этом случае федерализм представляет собой своеобразный механизм «дележа
пирога», создаваемого обществом, между элитами и группами интересов различных регионов и уровней [Buchanan, Faith (1987), Warneryd (1998)]. Различные схемы перераспределения доходов ведут к различному уровню централизации или децентрализации.
В-третьих, в этой связи ключевую роль в определении уровня (де)централизации могут
играть правила переговоров между правительствами различных уровней. Эти правила могут быть заложены, например, в федеральной конституции, определяющей характер взаимодействия органов власти, или носить неформальный характер. В любом случае, существующий механизм переговоров может серьезно повлиять на их результаты [Figueiredo,
Weingast (2005); Filippov, Ordeshook et al, (2004); Gradstein (2000)].
В-четвертых, очевидно, что поведение правительств определяется не только ограничениями системы правил для переговоров, но и структурой стимулов. Было бы чрезмерным
упрощением сводить последние к максимизации «доли пирога». В реальности они зависят
от особенностей политического процесса и политических институтов в регионах и в федерации. Речь идет, например, о соотношении элементов демократического и недемократического политического режимов, прямой и представительной демократии, президентского
и парламентского режимов [Cremer, Palfrey (1996); Redoano, Scharf (2004); Lockwood (2004)].
Один из распространенных выводов связан с ростом децентрализации по мере демократизации общества [Panizza (1999)] или при введении институтов прямой демократии по сравнению с представительной [Feld, Schaltegger et al. (2006)].
В-пятых, помимо собственно правительств, в формировании структуры Федерации участвуют и группы интересов ? региональные и центральные. В данном случае экономическая
теория не выработала однозначных представлений о возможном направлении влияния. С одной стороны, централизация может снизить прозрачность принимаемых решений и повысить
пространство для вмешательства групп интересов, но, с другой ? интенсифицируется сама
конкуренция групп интересов [Bordignon, Colombo et al, (2005); Ruta (2005); Redoano (2004)].
В настоящем разделе мы попытаемся оценить влияние всех пяти «каналов» на процесс
(де)централизации на субнациональном уровне. В качестве первого «ориентировочного»
подхода к оценке мы используем регрессии для каждого года наблюдений (cross-sections),
позволяющие нам, помимо всего прочего, исследовать эволюцию системы во времени. Однако основное внимание уделяется панельным данным. Главным образом мы получаем оценки с помощью метода наименьших квадратов (pooled OLS); для проверки устойчивости
результатов используются также оценки с фиксированными эффектами для регионов. Последние представляют меньший интерес для задач настоящего исследования, поскольку
институциональные переменные практически не меняются во времени (даже в России адекватному отображению изменений препятствует качество данных).
R ????????? ????????
43
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Для решения возможных проблем распределения остатков используются стандартные
ошибки Ньюи-Уэста (Newey/West standard errors) для авторегрессии первого порядка. Во
всех случаях тестируется соответствие распределения остатков нормальному распределению, и статистический вывод осуществляется только в отношении результатов, стабильных
после исключения резко выделяющихся значений для обеспечения нормального распределения. Мы также оцениваем регрессии, где все объясняющие переменные являются лаговыми, для определения стабильности результатов.
Для исследования (де)централизации на уровне взаимодействия регионов и органов местного самоуправления используется выборка, включающая в себя, в свете ограниченной
доступности данных, восемь лет (1995?1996 и 1998?2003 гг.); поскольку в данном случае
применение стандартных ошибок Ньюи-Уэста может оказаться проблематичным, мы приводим оценки как для всего периода восьми лет, так и только для 1998?2003 гг. В качестве объясняемой переменной используется доля регионального правительства в налоговых доходах консолидированного регионального бюджета. Для учета изменения структуры российского федерализма во времени мы также включаем фиктивную переменную для всех лет, когда В. В. Путин был президентом России, учитывая тем самым произошедшие в структуре
Федерации трансформации с изменением политического лидерства.
Оценивается следующая регрессия:
REGSHARE = a 1 + a 2PREFERENCES + a 3 FED _ BARGAINING + a 4 REG_ BARGAININIG +
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
+ a 5LOBBYING + a 8 PATH _ DEPENDANCE + a 7 TAXES + a 7 ARREAES + e .
(10)
В данном случае PREFERENCES включают в себя переменные, характеризующие «внутреннюю» разнородность региона. Используются следующие показатели: площадь территории
региона (млн кв. км), его население (млн чел.), а также рассчитанные в соответствии
с [Alesina, La Ferrara (2005)] индексы этнической поляризации и этнолингвистической фракционализации (ELF). Два этих индекса исходят из различных концепций фракционализации
общества: если индекс поляризации предполагает, что фракционализация максимальна при
наличии двух примерно сопоставимых по размеру групп, то ELF трактует фракционализацию как общее количество разнородных групп. Отметим, что последние практически идентичны друг другу, за исключением Дагестана, где индекс поляризации значительно ниже этнолингвистической фракционализации (что связано с высокой разнородностью населения).
Логика рассуждений является достаточно простой: крупные регионы и с территориальной
точки зрения, и с точки зрения численности населения при прочих равных условиях скорее
всего окажутся более разнородными. Поскольку соотношение издержек и выгод (де)централизации зависит от уровня экономического развития, к данной группе переменных относятся также доход на душу населения (тыс. руб.) и уровень урбанизации; оба показателя могут
свидетельствовать о сравнительно высоком уровне экономического развития региона.
REG_BARGAINING включает в себя переменные, описывающие как правила переговоров,
так и структуру политических институтов внутри региона. Нами используются показатели
демократизации власти: индекс демократизации Московского Центра Карнеги и индексы
свободы прессы и свободы выборов Института «Общественная экспертиза», а также индексы концентрации власти в руках регионального лидера, рассчитанные РСПП, Институтом
экономики города и в [Jarocinska (2004)].
44
????????? ???????? R
Особенность (де)централизации на субрегиональном уровне состоит, однако же, в том,
что структура распределения налогового дохода определяется в процессе своеобразной
«трехуровневой игры», где участвуют как федеральные, так и региональные органы власти.
Поэтому FED_BARGAINING включает в себя влияние федеральных институтов на внутрирегиональные переговоры. Во-первых, это переменные, отражающие способность федерального центра контролировать происходящие в регионе процессы (фиктивная переменная
для приграничного региона, а также для дистанции между столицей региона и Москвой
(в тыс. км.)). Во-вторых, отношение доли региона в его представительстве в Государственной
Думе к доли региона в населении России, а также аналогичный показатель для Совета Федерации: данный индекс, по сути дела, отражает «дополнительную» переговорную власть региона за счет институциональной организации федерального парламента (в политической
науке данная проблематика получила название «чрезмерного представительства» [Samuels,
Snyder (2001)]). В третьих, мы используем показатели формального статуса региона (фиктивная переменная для республик, а в «большей» выборке ? и для автономных округов). Используется также фиктивная переменная для городов федерального значения Москвы
и Санкт-Петербурга, отражающая особый характер (де)централизации в этих субъектах Федерации. В-четвертых, мы включаем в регрессии два индекса напряженности и конфликтов,
рассчитанных РСПП и «МФК Ренессанс» для отношений между центром и регионами. Последние представляют особенный интерес в связи с участием мэров крупных городов в конфликтах между губернаторами и федеральным центром в 1990-е годы. Наконец, в качестве
показателя влияния Федерации на структуру бюджета используется доля федеральных
трансфертов в совокупных расходах регионального бюджета.
Как уже отмечалось ранее, структура Федерации, конечно, в значительной степени зависит не только от текущих политических решений, но и от общего «пути развития» федеративных отношений, для характеристики которого мы вводим показатель PATH_DEPENDENCE. Одним из факторов, влияющих на путь развития, является формальный статус региона (действительно, достаточно четко «предопределенный» его прошлым статусом в составе СССР ?
только Еврейская АО и Чукотский автономный округ несколько отклоняются от общей
структуры развития в данной сфере). Но мы, кроме него, используем и индекс «деклараций
региональных элит» [Dowley, 1998], оценивающий масштабы «публичной политической активности» регионов в начале 1990-х годов с точки зрения их стремления к большей автономии. Заявления регионального руководства в «точке бифуркации» в начале 1990-х годов
действительно могут рассматриваться как фактор, предопределивший путь их развития
в дальнейшем. Впрочем, для субрегионального уровня (де)централизации они представляют интерес, скорее исходя из описанной выше проблемы «трехуровневой игры» Федерации, регионов и субрегиональных властей.
Для измерения масштабов лоббирования, LOBBYING, мы используем индекс «захвата власти» (regulatory capture), рассчитанный в [Slinko, Yakovlev et al, (2005)] и представляющий собой оценку влияния привилегированных бизнес-структур на формирование экономической
политики в регионе.
Показатели TAXES носят характер «контрольных» переменных, т. е. призваны «скорректировать» полученные результаты с точки зрения влияния дифференциации в налоговой базе
на структуру налогообложения; в централизованной федерации, подобной российской, это
автоматически «транслируется» в определенную форму децентрализации. Мы используем
R ????????? ????????
45
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
такие показатели, как стоимость основных фондов (млрд руб.), чистая прибыль всех предприятий региона (млрд руб.) и оборот розничной торговли (млрд руб.) для характеристики
налоговой базы для налога на имущество юридических лиц и прибыль с продаж соответственно (корреляция показателей составляет в 1997?2003 гг. 92%, 96% и 95% соответственно).
Показатели среднего дохода на душу населения также могли бы интерпретироваться как характеристики налоговой базы по другим налогам (например, корреляция среднедушевого
дохода и подоходного налога в 1997?2003 гг. составляет 81%). Кроме того, мы используем
среднюю величину доли нефти, добываемой в регионе в общероссийской добыче, и доли
газа, добываемой в регионе в общероссийской добыче, для учета налогов и платежей, связанных с природными ресурсами.
Наконец, регрессии включают в себя показатель налоговой задолженности (ARREARS) для
анализа стратегического сбора налогов, возможно, присутствовавшего и на региональном
уровне. Мы используем в наших регрессиях показатель отношения налоговой задолженности к ВРП.
4.2. Результаты
Основные результаты регрессий для каждого года (cross-sections) для большей и меньшей выборки приводятся в табл. 8 и 9. В табл. 106 приводятся результаты анализа панельных
данных. Некоторые выводы являются достаточно очевидными. Например, фиктивная переменная для городов является значимой и положительной во всех регрессиях. Это едва ли
может вызывать удивление, если вспомнить, что органы местного самоуправления, независимые от городского правительства, в большинстве случаев или в принципе отсутствовали,
или играли второстепенную роль. В некоторых оценках положительной и значимой является фиктивная переменная для республик. Последнее может свидетельствовать о сравнительно большой свободе республик в организации их внутреннего устройства; в некоторых
случаях органы местного самоуправления практически отсутствовали на протяжении длительного периода.
Несколько неожиданным является тот факт, что более крупные регионы (по площади)
и регионы, расположенные ближе к Москве, характеризуются более высоким уровнем децентрализации. Наверное, в какой-то степени это отражает тот факт, что ближе к Москве
расположены более населенные и развитые регионы, однако, данное обстоятельство должно было бы найти отражение в регрессиях.
Необычным и интересным результатом является статистически значимый и устойчивый
эффект представительства в палатах Федерального Собрания: регионы, представительство
которых в Совете Федерации превышает долю их населения, являлись ceteris paribus менее
централизованными, а регионы с повышенным представительством в Государственной
Думе более централизованными. Данный результат, однако, должен рассматриваться с осторожностью в связи с проблемой мультиколлинеарности.
Индекс власти, рассчитанный [Jarocinska (2004)], во всех регрессиях характеризовался
положительным и в большинстве случаев значимым коэффициентом. Таким образом, концентрация власти в руках губернатора, не влияющая, согласно [Libman, Feld (2007)] на уровень централизации при взаимоотношении регионов и федерального центра, могла эффек6
Табл. 10 можно найти на сайте редакции журнала «Прикладная эконометрика»: www.marketds.ru
46
????????? ???????? R
тивно использоваться при взаимодействии с муниципалитетами и конфликтах внутри субъектов Федерации [Туровский (2003)]. Результаты подтверждаются и при использовании других индексов власти.
В отличие от [Freinkman, Plekhanov (2005)], не выявляется какое бы то ни было значимое
воздействие показателей этнолингвистической фракционализации или поляризации на
структуру распределения налоговых доходов. Это может свидетельствовать как об отсутствии реальных расхождений между этническими группами с точки зрения предпочтений, так
и об игнорировании последних в рамках переговоров между элитами. Наконец, как отмечают некоторые исследователи [Arzaghi, Henderson (2005)], рост разнородности может сопровождаться давлением со стороны элит, сокращающим децентрализацию во избежание сецессии. Важную роль может сыграть и высокий уровень коррупции во многих этнических
республиках, делающий распределение налоговых доходов менее значимым. В то же время
результат может быть порожден и коллинеарностью (показатели фракционализации коррелируют с фиктивной переменной для республик).
Наверное, наиболее интересным результатом, если сравнивать с существующей литературой [Freinkman, Plekhanov (2005)], можно считать значимую негативную связь между демократизацией и централизацией, соответствующую теоретическим ожиданиям. Данный эффект наблюдается для двух из трех показателей демократизации. На наш взгляд, причины
расхождения связаны с использованием различных показателей демократизации: примененные в работе [Freinkman, Plekhanov (2005)] электоральная статистика и индекс коррупции лишь косвенно отражают процессы демократизации. В то же время наши оценки подтверждают выводы предшествующих работ в отношении других показателей: например, более высокий среднедушевой доход связан с большей централизацией.
Большая доля федеральных трансфертов в расходах консолидированного бюджета ведет
к более низкому уровню централизации на уровне налогообложения, что противоречит эффекту, выявленному [Freinkman, Plekhanov (2005)], но, по-видимому, этот факт связан с использованием другой объясняемой переменной (централизацией налогов, а не расходов).
Данный вывод можно интерпретировать следующим образом: регионы с высокой долей федеральных трансфертов в меньшей степени заинтересованы в интенсификации сбора налогов и, соответственно, доля муниципальных образований, в меньшей степени выигрывающих от трансфертов, возрастает. Наконец, как и в предшествующих источниках, выявилась
позитивная и соответствующая теории связь между ростом урбанизации и ростом децентрализации.
Не удалось выявить влияния факторов лоббирования и факторов зависимости от пути
развития на процесс (де)централизации на субрегиональном уровне. Подчеркнем, однако,
что в последнем случае важную роль может сыграть проблема коллинеарности (высокая
корреляция фиктивной переменной для республик и индекса деклараций).
Включение в регрессию фиктивной переменной для периода президентства В. В. Путина
дает значимый и отрицательный эффект, лишь подтверждая эффект централизации в период
второго президента России, наблюдавшийся не только на общефедеральном, но и на региональном уровне. Следует отметить, что многие результаты оказываются нестабильными при
введении фиксированного эффекта для регионов, что, однако, достаточно сложно интерпретировать (учитывая все проблемы моделирования институциональных факторов с использованием фиксированных эффектов).
R ????????? ????????
47
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
48
Представительство в ГД
Представительство в СФ
Демократизация
Индекс власти (Jarocinska)
Декларации элит
ELF
Население
Территория
Расстояние от Москвы
Приграничный регион
Республика
Город
0,0199
(0,0656)
0,0592
(0,0266)
(0,0326)
(0,0752)
?0,0218
?0,0468
?0,0035
(0,0018)*
?0,0052
(0,0183)
?0,0273
(0,0026)**
(0,0201)
?0,0054
?0,0063
(0,0377)
?0,0162
(0,1077)**
(0,157)
(0,0519)
0,2704
(0,0201)***
(0,0331)
0,2403
?0,0841
(0,0342)
(0,034)
?0,0366
0,0094
(0,0066)
(0,0072)
0,0330
?0,0086
?0,0090
?0,0405
(0,0253)
?0,0052
(0,0546)
(0,0752)
(0,0286)
?0,0295
?0,0433
0,5886
(0,0608)***
0,5997
1996
(0,0705)***
1995
(0,0563)
0,0163
(0,0231)
?0,0194
(0,0031)**
?0,0076
(0,0204)***
0,0548
(0,0366)
?0,0117
(0,1585)
?0,0027
(0,0258)***
?0,0823
(0,0253)
?0,0120
(0,0045)
?0,0074
(0,0247)
0,0317
(0,0754)
0,0925
(0,0569)***
0,7481
1998
(0,0613)
0,0026
(0,0259)
?0,0272
(0,0037)**
?0,0078
(0,0235)***
0,0658
(0,0418)
0,0481
(0,1719)
0,0459
(0,0338)*
?0,0602
(0,0518)
0,0006
(0,0072)
?0,0061
(0,0276)
0,0032
(0,0921)
?0,0447
(0,0726)***
0,7519
1999
(0,0806)
0,0207
(0,0318)
?0,0288
(0,0026)**
?0,0061
(0,0251)**
0,0612
(0,0452)
0,0209
(0,1415)
0,0648
(0,0337)**
?0,0680
(0,0557)
0,0346
(0,0068)
0,0010
(0,0316)
0,0081
(0,0861)
0,0014
(0,0698)***
0,7423
2000
(0,0771)
0,0998
(0,032)
?0,0368
(0,0748)
0,0836
(0,0311)
?0,0306
?0,0009
(0,0028)
?0,0030
(0,024)
?0,0151
(0,0579)
0,0006
(0,1441)
?0,0399
(0,0377)
?0,0019
(0,0594)
0,0573
(0,0051)*
0,0099
(0,0292)
?0,0101
(0,0799)
0,1158
(0,0565)***
0,5700
2002
(0,0024)
(0,0228)
0,0154
(0,0499)
0,0067
(0,1397)
?0,0290
(0,0408)
?0,0226
(0,0667)
0,0676
(0,0056)
0,0012
(0,0299)
0,0008
(0,0655)*
0,1142
(0,0567)***
0,6167
2001
Регрессии для распределения налогового дохода между региональным бюджетом
и органами местного самоуправления, без автономных округов (МНК)
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
(0,0682)
0,0813
(0,0295)
?0,0232
(0,0023)
?0,0034
(0,0215)
?0,0093
(0,0651)
?0,0429
(0,1329)
?0,1147
(0,0335)
?0,0296
(0,031)
?0,0209
(0,0055)
0,0080
(0,0333)
?0,0037
(0,0937)*
0,1849
(0,0527)***
0,4635
2003
Таблица 8
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
????????? ???????? R
R ????????? ????????
3,77
?
SK test
Резко выделяющиеся значения
?
1,59
79
637,23***
Ингушетия
14,98***
79
1495,19***
0,7564
(0,1581)
0,2012
(0,3698)**
0,8931
(0,0026)***
0,0083
(0,0014)
0,0013
(0,262)***
?0,9946
(0,0251)
?0,0233
(0,0186)
0,0009
(0,0899)
?0,1498
(0,0680)
?0,0986
(0,2159)
0,2002
Ингушетия
14,15***
79
165,81***
0,6734
(0,1509)
0,2560
(0,4420)
0,6113
(0,003)
0,0014
(0,0011)
?0,0014
(0,3754)*
?0,6554
(0,0295)
?0,0151
(0,032)
?0,0071
(0,1038)
?0,1187
(0,0730)
?0,0001
(0,2747)
?0,1755
Ингушетия
20,31***
79
145,25***
0,6500
(0,1835)
0,4582
(0,3229)
0,4914
(0,0015)
?0,0000
(0,0011)
?0,0003
(0,5154)
?0,6297
(0,025)**
?0,0517
(0,0102)
0,0020
(0,1187)**
?0,2720
(0,0580)
?0,0112
(0,207)
?0,3114
?
1,70
79
202,93***
0,6013
(0,1935)
0,6222
(0,2908)
0,0940
(0,0025)
?0,0019
(0,0011)
0,0003
(0,7049)
?0,0067
(0,0295)
?0,0196
(0,0062)***
?0,0187
(0,1309)**
?0,2695
(0,0415)
0,0315
(0,2182)
?0,3251
?
2,44
79
452,12***
0,5714
(0,2453)
0,9017
(0,2635)
?0,1231
(0,0019)
?0,0015
(0,0008)
0,0006
(0,9238)
0,8512
(0,0429)
?0,0037
(0,0033)**
?0,0070
(0,1415)**
?0,3342
(0,0254)
0,0222
(0,2211)**
?0,4549
?
4,42
79
371,38***
0,5387
(0,2558)
1,0080
(0,1904)
0,1879
(0,0008)
?0,0007
(0,0008)
0,0002
(0,7401)
?0,3572
(0,0515)
?0,0099
(0,0034)
0,0028
(0,1682)**
?0,3424
(0,0255)
?0,0039
(0,2241)
?0,2452
49
?. ?. ??????
П р и м е ч а н и я: в скобках приведены стандартные ошибки Хубера-Уайта; *** ? значимость на 1% уровне, ** ? значимость на 5% уровне; * ? значимость на 10% уровне, SK test ? тест Колмогорова-Смирнова на нормальное распределение остатков (нулевая гипотеза: нормальное распределение). Результаты, остающиеся значимыми как минимум на 10% уровне и сохраняющие знак после исключения резко выдяляющихся значений для
обеспечения нормальности остатков, выделены жирным шрифтом.
78
253,17***
0,8083
(0,1405)
(0,2037)
0,7306
0,3847
0,4534
1,3674
(0,3567)***
0,4040
(0,0122)
(0,013)
(1,4271)
0,0102
(0,0027)**
0,0170
?0,0054
?0,0055
(0,2451)***
(0,5764)
(0,0042)
?0,9381
?0,3153
?0,0034
(0,0252)
?0,0071
(0,0173)
(0,0461)
(0,0593)
?0,0230
(0,0951)
(0,164)
?0,0274
?0,0630
(0,1128)
(0,1737)
?0,1519
0,0600
(0,142)*
(0,195)
0,0348
0,2617
0,2349
Количество наблюдений
F-test
R2
Константа
Основные фонды
Чистая прибыль предприятий
Оборот розничной торговли
Доля в добыче нефти и газа
Соглашение о распределении
полномочий
Налоговая задолженность
Трансферты
Среднедушевой доход
Урбанизация
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
50
Представительство в СФ
Демократизация
Индекс власти (Jarocinska)
Декларации элит
ELF
Население
Территория
Расстояние от Москвы
Приграничный регион
Республика
Город
Автономный округ
?0,0122
(0,0305)
?0,0186
(0,0025)
(0,0031)
(0,0307)
?0,0026
?0,0035
?0,0273
(0,0226)
?0,0142
(0,0517)
(0,0227)
(0,0581)
0,0344
(0,1491)
(0,1763)
?0,0079
0,1770
(0,0173)
(0,021)
0,1603
0,0038
(0,0226)***
(0,0299)**
0,0000
0,0780
(0,0063)***
(0,0068)***
0,0746
?0,0180
(0,0249)
(0,0299)
?0,0215
?0,0235
0,0090
?0,0425
(0,0934)
?0,0189
(0,0616)***
(0,0695)***
(0,1029)
0,5147
0,5242
?0,0420
(0,1053)
?0,0049
1996
(0,1148)
1995
(0,0242)
?0,0049
(0,003)*
?0,0052
(0,0228)*
0,0439
(0,0462)
?0,0125
(0,1865)
?0,0087
(0,0168)
?0,0192
(0,023)*
(0,0278)
0,0034
(0,0034)***
?0,0093
(0,026)**
0,0591
(0,0456)
0,0130
(0,1773)
0,0199
(0,0221)
?0,0166
(0,0451)**
0,1069
(0,0077)
(0,0059)
0,0424
?0,0039
(0,03)
0,0133
(0,0842)
0,0718
(0,0746)***
0,7094
(0,1015)**
0,2669
1999
?0,0120
(0,0258)*
0,0431
(0,0867)
0,1125
(0,0814)***
0,6864
(0,1091)
0,1581
1998
(0,0327)
?0,0034
(0,0027)**
?0,0054
(0,0246)**
0,0565
(0,0517)
0,0014
(0,1656)
0,0366
(0,0198)
?0,0279
(0,0483)**
0,1047
(0,0069)
?0,0036
(0,0317)
0,0287
(0,0948)
0,0745
(0,0688)***
0,6558
(0,1132)
0,1842
2000
(0,0297)
?0,0249
(0,0023)
?0,0032
(0,0238)
0,0246
(0,0471)
0,0482
(0,1312)
?0,0041
(0,0189)
(0,0282)
?0,0325
(0,0024)
?0,0008
(0,0238)
?0,0082
(0,0483)
0,0352
(0,1358)
0,0060
(0,0186)
?0,0091
(0,0545)
(0,0677)
?0,0161
0,0819
(0,0053)
0,0070
(0,0285)
?0,0029
(0,0648)
0,0780
(0,0548)***
0,5501
(0,0737)
0,0372
2002
0,0983
(0,0067)
?0,0068
(0,0295)
0,0211
(0,0615)
0,0621
(0,0515)***
0,5857
(0,083)
?0,0110
2001
Регрессии для распределения налогового дохода между региональным бюджетом
и органами местного самоуправления, включая автономные округа (МНК)
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
(0,0276)
?0,0290
(0,0023)
?0,0023
(0,0212)
?0,0016
(0,0593)
0,0024
(0,1304)
?0,0977
(0,0232)
0,0027
(0,0228)
?0,0063
(0,0048)
0,0055
(0,031)
0,0009
(0,0807)*
0,1452
(0,0468)***
0,4427
(0,0762)
0,0657
2003
Таблица 9
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
????????? ???????? R
R ????????? ????????
5,39**
87
233,19***
14,83***
88
318,78***
0,6686
(0,19)
(0,2219)
0,6533
0,1663
0,3398
0,0000
(0,0104)
?0,0012
(0,0016)
(0,0027)
(0,0098)
?0,0002
(0,146)
?0,0004
?0,0248
(0,1579)
?0,1181
(0,0245)
(0,0679)
13,09***
88
178,70***
0,6681
(0,1773)
0,2191
(0,0039)
?0,0007
(0,0013)
0,0012
(0,2242)
0,0432
(0,0283)
?0,0137
(0,0188)
?
0,0173
0,0410
0,0120
(0,1253)**
(0,1134)
(0,1599)*
?
?0,3095
(0,0652)*
?
?0,1288
?0,2865
П р и м е ч а н и я: см. табл. 8
Ингушетия
5,23**
88
255,68***
0,6262
(0,1553)
0,2868
(0,001)
?0,0017
(0,0007)**
0,0016
(0,1801)
0,2078
(0,0295)
?0,0030
(0,0267)
?0,0399
(0,1094)***
?0,4168
(0,0396)***
?0,1250
(0,2135)
(0,1815)
?0,1262
(0,1204)***
(0,1796)*
0,2875
(0,0703)
?0,0059
0,2276
(0,0612)
0,0137
?
0,4261
(0,0765)
(0,0767)
0,3541
0,0420
0,0587
Резко выделяющиеся значения Ненецкий АО Ненецкий АО Ингушетия
SK test
Количество наблюдений
F-test
R
2
Константа
Чистая прибыль предприятий
Оборот розничной торговли
Доля в добыче нефти и газа
Соглашение о распределении
полномочий
Налоговая задолженность
Трансферты
Среднедушевой доход
Урбанизация
Представительство в ГД
Ингушетия
10,03***
88
155,76***
0,6013
(0,1882)
0,4280
(0,0005)
?0,0004
(0,0005)*
0,0009
(0,2057)
0,0740
(0,0288)*
?0,0510
(0,0104)
?0,0054
(0,1059)***
?0,4720
(0,0293)*
?0,0577
(0,1847)
?0,0415
(0,0833)
0,0078
?
1,63
88
113,19***
0,6032
(0,2081)
0,4150
(0,0004)**
?0,0010
(0,0003)
0,0003
(0,1471)
?0,0533
(0,0265)
?0,0314
(0,0071)***
?0,0150
(0,1026)**
?0,2807
(0,0194)
0,0143
(0,2005)
?0,1805
(0,0757)
0,0740
?
1,35
88
109,64***
0,5967
(0,2188)
0,7346
(0,0007)
0,0006
(0,0004)
?0,0002
(0,166)
?0,1017
(0,0451)
?0,0721
(0,0024)***
?0,0069
(0,1139)***
?0,3196
(0,0134)
0,0117
(0,1816)**
?0,3825
(0,0716)
0,0857
?. ?. ??????
?
3,38
88
93,10***
0,5681
(0,2421)
0,7866
(0,0005)
0,0003
(0,0005)
?0,0002
(0,1241)
0,0273
(0,05)
?0,0621
(0,0026)*
0,0048
(0,1135)***
?0,3369
(0,0116)
0,0036
(0,1744)
?0,2195
(0,0694)
0,0810
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
51
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Результаты индивидуальных регрессий для каждого отдельного года также заслуживают
внимания. Во-первых, индексы власти и демократизации, в основном, были значимы в 1990-х ?
начале 2000-х гг., что может свидетельствовать об относительной конвергенции политических систем в России после 2000 г. за счет воздействия федеральной власти. Мы не смогли выявить никаких стабильных эффектов в отношении стратегического сбора налогов: показатель
налоговой задолженности ассоциировался с более высокой децентрализацией в 2001?
2002 гг. и более низкой ? в 2003 г. Интересным является тот факт, что знак коэффициента переменной «урбанизация» изменился с отрицательного (в 1990-х гг.) на положительный
(в 2000-х гг.). Были получены значимые результаты для обоих периодов, поэтому, скорее всего, речь не идет о статистической флуктуации. Возможно, данный эффект связан опять же
с ослаблением конфликтов между мэрами крупных городов и губернаторами в 2000-е гг.
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
5. ??????????
В настоящей работе была предпринята попытка оценить основные факторы, влияющие
на процесс (де)централизации в Российской Федерации, исходя из логики теории эндогенной (де)централизации. Анализ (де)централизации на уровне регионов и федерального центра показал, что в период президентства Б. Н. Ельцина важную роль в данном процессе, как
минимум, играл стратегический сбор налогов ? манипуляция интенсивностью мероприятий по сбору налогов, ведущая к сравнительно более быстрым темпам роста налоговой задолженности по федеральным налогам, чем по региональным. Результаты для периода президентства В. В. Путина остаются расплывчатыми. Таким образом, байесовский анализ подтверждает выводы традиционной эконометрики в [Libman, Feld (2007)].
В отношении субрегионального уровня (де)централизации, где возможности игроков по
структурированию своих отношений были несколько боґльшими, мы протестировали все
пять основных гипотез, сформировавшихся в рамках литературы об эндогенной (де)централизации. Можно констатировать, что в условиях российского федерализма регионы с более
высоким уровнем демократии и меньшей концентрацией власти в руках губернатора характеризовались также более высокой децентрализацией. Рост доли федеральных трансфертов
также сокращает централизацию налогового дохода. В то же время не выявляется четкого
воздействия разнородности населения на централизацию, что может быть связано с качеством демократических институтов на субрегиональном уровне в целом. Наша работа рассматривает лишь некоторые аспекты процессов (де)централизации. Не менее значимыми
(хотя и более сложными для количественного измерения) являются проблемы: 1) (де)централизации расходов [East-West Institute (2001)]; 2) контроля над активами и 3) регулятивных
полномочий, которые предоставляют большой простор для дальнейших исследований.
Приложение
???????? ??????????
Переменная
ELF
Описание
Период
Источник
Индекс этнолингвистической фрак2002
Всероссийская перепись насеционализации
(применяет- ления 2002 г.
ся для всех
периодов)
52
????????? ???????? R
Продолжение
Переменная
Декларации элит
Описание
Период
Индекс деклараций элит в 1991?1995 гг.,
основан на подсчете количества заявлений и событий. Более высокая величина индекса свидетельствует о большей
публичной активности в поддержку децентрализации Российской Федерации. Варьируется от 1,6 до 4,33
1995
Источник
Dowley (1998)
Дистанция от Москвы Расстояние между столицей региона и 1995?2003 Федеральная служба государг. Москвой (тыс. км), 0 для Москвы и
ственной статистики
Московской области, для Ленинградской области применяется тот же показатель, что и для Санкт-Петербурга
Доля нефти и газа
(Доля добычи нефти в регионе в общей 1995?2003 Федеральная служба государдобыче по России + доля добычи газа в
ственной статистики
регионе в общей добыче по России) / 2
Доля региона в сово- Налоговый доход бюджета региона / 1995?1996 1995?1996: Freinkman, Treisman
купных
налоговых Налоговый доход консолидированноet al. (1999)
доходах консолиди- го бюджета региона
1998?2003 1998?2003: Министерство фированного бюджета
нансов РФ
Доля региона в сово- Налоговый доход консолидированно- 1995?2003 До 1997: Freinkman, Treisman
купных налоговых до- го бюджета региона / Совокупный наet al, (1999)
ходах с его террито- логовый доход с его территории
С 1998: Министерство финанрии
сов, Федеральная налоговая
служба и Федеральная служба
государственной статистики
Доля федеральных Доля трансфертов из других бюджетов 1995?2003 До 1997: Freinkman, Treisman et
трансфертов
в совокупных расходах консолидироal. (1999)
ванного бюджета
После 1998: Министерство финансов РФ
Индекс «State captu- Индекс влияния бизнес-структур на
2000
Slinko, Yakovlev et al. (2005)
re»
регулирование; масштабы привиле- (применяетгий, предоставленных бизнесу регио- ся для всех
нальным законодательством
периодов)
Индекс власти (Jaro- Индекс власти региональных губернаторов, основанный на количестве лет у
cinska)
власти, доле на региональных выборах, контроле парламента и др. Варьируется от 5,7 до 8,5; более высокий
уровень индекса соответствует более
высокой власти губернатора
1995?2000 Jarocinska (2004)
(применяется для всех
периодов)
Индекс демократиза- Индекс демократизации Центра Кар- 1995?2003 Московский Центр Карнеги
ции
неги: более высокий уровень соответствует большему развитию демокра-
R ????????? ????????
53
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Продолжение
Переменная
Описание
Период
Источник
тии в политической системе региона,
варьируется от 14 до 45
Индекс напряженно- Индекс напряженности между феде1997
MFK Renaissance
сти (MFK)
ральным и региональным правитель- (применяетствами, рассчитанный на основе числа ся для всех
критических заявлений губернатора периодов)
по отношению к президенту, электоральной поддержки президента в регионе и существования соглашения о
разделе полномочий. Варьируется от 1
до 5, более высокий уровень свидетельствует о большей интенсивности
конфликтов
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
Индекс напряженно- Индекс напряженности между феде1997
РСПП
ральным и региональным правитель- (применяетсти (РСПП)
ствами. Варьируется от 1 до 3, более ся для всех
высокий уровень свидетельствует о периодов)
большей интенсивности конфликтов
Индекс переговор- Индекс переговорной власти региона
1996
Институт экономики города
ной власти (Институт по отношению к федерации, варьиру- (применяетэкономики города) ется от 1 до 3 (3 ? максимальный уро- ся для всех
вень влияния). Индекс включает в себя периодов)
нарушения федерального законодательства в региональном законодательстве, наличие ресурсов, результаты выборов в регионе
Индекс переговор- Индекс переговорной власти региона
1996
РСПП
ной власти (РСПП)
по отношению к федерации, варьиру- (применяетется от 1 до 3 (3 ? максимальный уро- ся для всех
вень влияния Index of bargaining po- периодов)
wer of the region vis-a-vis the federation,
ranging from 1 to 3, higher value indicates higher bargaining power)
Индекс свободы вы- Индекс свободы выборов. Оценивает- 1995?2003 Институт «Общественная эксся в соответствии с числом мест проборов
пертиза»
президентской партии, числом соперников, дистанцией между победителем и вторым конкурентом, долей
голосов против всех, барьером для
входа в законодательное собрание,
дифференциацией доли голосов и доли мест в региональном законодательном собрании. Варьируется от 1 до 5,
более высокий уровень соответствует
более высокому уровню свободы
54
????????? ???????? R
Продолжение
Переменная
Описание
Период
Индекс свободы прес- Индекс свободы прессы; оценивается
1999
сы
в соответствии со свободой доступа, (применен
производства и распространения ин- для всех
формации. Варьируется от 0,101 до периодов
0,631, более высокий уровень соответ- до 1999),
ствует более высокому уровню свобо2000
ды
(применен
для всех
периодов
после 2000)
Налоговая задолжен- Налоговая задолженность на единицу 1995?2003
ность
ВРП (и налоговая задолженность на
единицу ВРП в квадрате)
Население
Численность населения, млн чел.
Источник
Институт «Общественная экспертиза»
Федеральная служба государственной статистики
1995?2003 Федеральная служба государственной статистики
Оборот розничной Оборот розничной торговли в теку- 1995?2003 Федеральная служба государторговли
щих ценах, млрд руб.
ственной статистики
Основные фонды
Стоимость основных фондов в регио- 1995?2003 Федеральная служба государне, млрд руб.
ственной статистики
Поляризация
Индекс этнической поляризации насе2002
Всероссийская перепись населения
(применяет- ления 2002 г.
ся для всех
периодов)
Представительство
в ГД
Доля мест региона в ГД (из расчета 225 1995?2003
депутатов) / Доля региона в населении
РФ
Представительство
в СФ
Доля мест региона в СФ (включая авто- 1995?2003
номные округа) / Доля региона в населении РФ
Средний доход на ду- Средний доход на душу населения в 1995?2003 Федеральная служба государшу населения
регионе, тыс. руб.
ственной статистики
Территория
Территория региона, млн кв. км,
0 ? для Москвы и Санкт-Петербурга
1995?2003 Федеральная служба государственной статистики
Урбанизация
Доля городского населения
1995?2003 Федеральная служба государственной статистики
Фиктивная перемен- 1 ? для автономных округов, кроме 1995?2003
ная для автономного Чукотского,
округа
0 в остальных случаях
Фиктивная перемен- 1 для г. Москвы и г. Санкт-Петербурга,
ная для города
0 в остальных случаях
1995?2003
Фиктивная перемен- 1 ? для 2000?2003 гг.,
ная для президентст- 0 в остальных случаях
ва Путина
1995?2003
R ????????? ????????
55
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Окончание
Переменная
Описание
Период
Источник
Фиктивная перемен- 1 ? для приграничных регионов (учи- 1995?2003
ная для пригранич- тывается только сухопутная граница),
ного региона
0 в остальных случаях
Фиктивная перемен- 1 ? для республик,
ная для республики 0 в остальных случаях
1995?2003
Фиктивная переменная для соглашения о
распределении полномочий
1 ? для регионов, подписавших с фе- 1995?2003 Справочная система «Гарант»
деральным центром соглашение о
распределении полномочий (включая
год подписания),
0 в остальных случаях (включая год отмены соглашения)
Чистая прибыль
Чистая прибыль всех хозяйствующих 1995?2003 Федеральная служба государсубъектов региона, млрд руб.
ственной статистики
?????????? (??)????????????? ? ?????????? ??????????
?????? ??????????
Еникополов Р., Журавская Е., Гуриев С. Российский федерализм: сценарии развития. М.: ЦЭФИР,
2002.
Петров Н. Корпоративизм vs, регионализм // Pro et contra. 2007. № 4?5. С. 75?89.
Трунин И. Налоговая система: итоги и перспективы. Интервью. www.polit.ru/analytics/2008/01/17/
nalog.html, 2008.
Туровский Р. Конфликты на уровне субъектов Федерации: типология, содержание, перспективы урегулирования // Общественные науки и современность. 2003. № 6. С. 79?89.
Alesina A., La Ferrara E. Ethnic Diversity and Economic Performance // Journal of Economic Literature. 2005.
Vol. 43. P. 762?800.
Alesina A., Spolaore E. The Size of Nations. Cambridge. MA: MIT Press, 2003.
Arzaghi M., Henderson J. V. Why Countries Are Fiscally Decentralizaing // Journal of Public Economics. 2005.
Vol. 89. P. 1157?1189.
Bolton P., Roland G. The Break-up of Nations: A Political Economy Analysis // Quarterly Journal of Economics.
1997. Vol. 112. P. 1057?1091.
Bordignon M., Colombo L., Galmarini U. Fiscal Federalism and Lobbying. Mimeo, 2005.
Buchanan J. M., Faith R. L. Secession and the Limits of Taxation: Towards a Theory of Internal Exit // American Economic Review. 1987. Vol. 77. P. 1023?1031.
Cremer J., Palfrey T. A. In or Out? Centralization by Majority Vote // European Economic Review. 1996. Vol. 40.
P. 43?60.
Dowley K. M. Striking the Federal Bargain in Russia: Comparative Regional Government Strategies // Communist and Post-Communist Studies. 1998. Vol. 31. P. 359?380.
The Federal Budget and the Regions: Structure of Financial Flows, East-West Institute (Ed.) Moscow.
2001.
Feld L. P., Schaltegger C. A., Schnellenbach J. The Impact on Referndums on the Centralization of Public
Good Provision: A Political Economy Approach. CESIfo Working Paper. 2006. № 1083.
Figueiredo R. J. P. de, Weingast B. R. Self-Enforcing Federalism // Journal of Law, Economics and Organization.
2005. Vol. 21. P. 103?135.
56
????????? ???????? R
Filippov M., Ordeshook P.C., Shvetsova O. Designing Federalism: A Theory of Self-Sustainable Federal Institutions. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
Freinkman L., Plekhanov A. What Determines the Extent of Fiscal Decentralization? The Russian Paradox.
World Bank Working Paper. 2005.
Freinkman L., Treisman D., Titov S. Subnational Budgeting in Russia. World Bank Technical Paper. 1999.
№ 452.
Freinkman L., Yossifov P. Decentralization in Regional Fiscal Systems in Russia: Trends and Links to Economic Performance. World Bank Policy Research Working Paper. 1999. № 2100.
Gradstein M. The Political Economy of Sustainable Federations. CESifo Working Paper. 2000. № 315.
Jarocinska E. Determinants of Intergovernmental Transfers in Russia: Political Factors versus Objective Criteria. Mimeo, 2004.
Lancaster T. An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. Oxford: Blackwell, 2005.
Libman A., Feld L. P. Strategic Tax Collection and Fiscal Decentralization: The Case of Russia. CESifo Working
Paper. 2007. № 2031.
Lockwood B. Decentralization via Federal and Unitary Referenda // Journal of Public Economic Theory. 2004.
Vol. 6. P. 79?108.
Panizza U. On the Determinants of Fiscal Centralization: Theory or Evidence // Journal of Public Economics.
1999. Vol. 74. P. 93?139.
Redoano M., Scharf K. A. The Political Economy of Policy Centralization: Direct versus Representative Democracy // Journal of Public Economics. 2004. Vol. 88. P. 799?817.
Redoano M. Does Centralization Affect the Number and Size of the Lobbies? CSGR Working Paper. 2004.
№ 146/04.
Ruta M. Lobbying for Decentralization. Mimeo, 2005.
Sala-i-Martin X. Regional Cohesion: Evidence and Theories of Regional Growth and Convergence // European Economic Review. 1996. Vol. 40.
Samuels D., Snyder R. The Value of a Vote: Malapportionment in Comparative Perspective // British Journal
of Political Science. 2001. Vol. 31. P. 651?671.
Slinko I., Yakovlev E., Zhuravskaya E. Laws for Sale: Evidence from Russia // American Law and Economics
Review. 2005. Vol. 7. P. 284?318.
Stowhase S., Traxler C. Tax Evasion and Auditing in a Federal Economy // International Tax and Public Finance. 2005. Vol. 12. P. 515?531.
Tarlton C. D. Symmetry and Asymmetry as Elements of Federalism: A Theoretical Speculation // Journal of
Politics. 1965. Vol. 27. P. 861?874.
After the Deluge: Regional Crises and Political Consolidation in Russia. Ann Arbour: University of Michigan
Press, 1999.
Warneryd K. Distributional Conflict and Jurisdictional Organization // Journal of Public Economics. 1998.
Vol. 69. P. 435?450.
R ????????? ????????
57
?. ?. ??????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Г. А. Лавринов, О. Е. Хрусталев
Метод формирования интегрированных структур
в наукоемком производственном комплексе1
В статье обосновываются основные принципы процесса создания крупных интегрированных структур, предназначенных для повышения эффективности и конкурентоспособности российских наукоемких высокотехнологичных производств.
1. ????????
условиях рынка природа экономической деятельности такова, что если ее проблемы
насущны, то рыночные инстинкты инициируют их разрешение путем самоорганизации хозяйствующих субъектов. Нынешняя ситуация не является исключением: интеграционные процессы, наметившиеся в последнее время на мезоэкономическом уровне,
активизировали создание стратегических альянсов различного типа ? холдингов, концернов, корпораций, финансово-промышленных групп ? не только в частном, но и в государственном секторе экономики [Дементьев (2000)], [Мезоэкономика (2001)].
Повышение научно-технического и технологического уровня экономики предполагает
завершенное построение технологических цепочек производств (как последовательных,
так и параллельных; как новых, так и уже действующих) в одной структуре на основе не только распространения новейших технологий, но и усложнения связей в самих цепочках, включая платежеспособных потребителей продукции. Непосредственные результаты консолидации проявляются не только в снижении трансакционных издержек, но и в прогрессивных
структурных сдвигах, укрупнении бизнеса, в повышении рентабельности и конкурентоспособности производства [Хрусталев (2006)].
Интеграция должна обеспечивать построение горизонтальных технологических цепочек, включающих завершающие стадии производственного цикла. Важным фактором является создание управленческой вертикали, способной осуществлять маркетинговую стратегию с целью увеличения совокупной доли предприятий на рынке России и аккумулирования
необходимых ресурсов, и в первую очередь ? финансовых.
Оптимизация производства и бизнеса возможна при объединении предприятий
в горизонтально- и/или вертикально-интегрированные бизнес-группы с соответствующей
финансовой и торгово-сбытовой инфраструктурой. Нарастающая конкуренция вынуждает
предприятие (самостоятельно или при поддержке правительства) искать партнеров для
создания новых структур холдингового типа с тем, чтобы повысить конкурентоспособность
отечественной промышленности на основе технического перевооружения [Бендиков
(2000)].
В
1
Статья подготовлена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 06-0680230), грант Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ
(НШ-3489.2006.10).
58
????????? R
2. ????? ???????????? ??????????????? ????????
Метод основан на принципах конструктивно-технологической близости между создаваемыми образцами высокотехнологичной продукции (ВТП) с длительным жизненным циклом
и предполагает следующие этапы интеграции наукоемких предприятий [Лавринов, Хрусталев (2005)].
Этап I. Изучение предметной области и ее адекватное описание
Анализируются:
а) структура системы разработки и создания образцов высокотехнологичной продукции,
обусловленная промышленной политикой государства;
б) номенклатура образцов высокотехнологичной продукции, создаваемых на промышленных предприятиях, составляющих наукоемкий сектор экономики;
в) взаимосвязи между наукоемкими отраслями промышленности и функциональноцелевой направленностью создаваемых образцов высокотехнологичной продукции.
Результатом анализа является структурная схема, отображающая состав наукоемких производств в виде интегрированных производственных блоков, необходимых при создании
образцов ВТП, и связи между ними. Таким образом, на первом этапе производится формирование структуры наукоемкого комплекса, определяется количество интегрированных
структур, обеспечивающих создание всего спектра высокотехнологичных изделий.
Этап II. Формирование интегрированных структур
Используются следующие подходы: формирование внутри интегрированной структуры
конструктивно и технологически однородных направлений техники; выделение однотипных
групп по функционально-целевому признаку. Например, для концерна «Авиастроение» характерными будут такие направления научно-технической деятельности, как создание тяжелых самолетов с ограниченной маневренностью; высокоманевренных самолетов; вертолетной техники; экранопланов, самолетов-амфибий, судов на воздушной подушке; беспилотных
летательных аппаратов и крылатых ракет всех видов базирования; воздухоплавательной техники; авиационных двигателей; средств специального технического обеспечения.
В интегрированной структуре необходимо выделить группы, обеспечивающие создание
образцов различного предназначения: функционального и целевого. При этом интегрированная структура (в том числе и направления формирования групп внутри нее) определяется ее конструктивно-технологическими особенностями.
В рамках структуры каждое из предприятий-разработчиков и производителей ВТП выделяется информационным признаком в соответствии с определенным местом разрабатываемого образца. По окончании первых двух этапов множество W предприятий-разработчиков
и производителей ВТП, привлекаемых для выполнения наукоемких проектов, разбивается
на подмножества (интегрированные структуры) Y, удовлетворяющие условиям:
N
W = U YJ и Yi I Y j = 0,
j =1
i№j
где N ? количество интегрированных структур; i , j = 1, 2,..., N .
R ?????????
59
?. ?. ????????, ?. ?. ?????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Внутри интегрированной структуры (Yj ) предприятия разбиты по функциональноj
:
целевым и конструктивно-технологическим признакам на подмножества E klm
K
L
Yj = U U
M
UE
j
klm
,
k =1 l =1 m =1
????? ???????????? ??????????????? ???????? ? ?????????? ???????????????? ?????????
где K, L, M ? количество технологических, функциональных и целевых направлений соответственно.
Этап III. Формирование показателей финансово-экономического,
технологического состояния предприятий
Для включения предприятий в состав интегрированной структуры (Yj0 ) формируются показатели, отражающие их научно-технический потенциал.
Оценка финансово-экономического состояния производится путем анализа материалов
публичной отчетности предприятий. В основу положена методика комплексной сравнительной рейтинговой оценки финансового состояния и деловой активности предприятия,
т. е. методика анализа деятельности предприятия в условиях рыночных отношений (конкурсного размещения заказа на разработку и производство ВТП).
Итоговая рейтинговая оценка учитывает все важнейшие параметры (показатели) финансово-хозяйственной и производственной деятельности, которые выделены в четыре группы
и приведены табл. 1.
Разрабатывая итоговый показатель рейтинговой оценки, мы сравниваем каждый показатель финансового состояния предприятия с аналогичным для условного эталонного предприятия, которое имеет наилучшие результаты по всем сравниваемым показателям.
Для получения рейтинговой оценки финансового состояния точкой отсчета являются
не субъективные предложения экспертов, а сложившиеся в данной конструктивно-технологической группе (интегрированной структуре) или ее конструктивно-технологическом
направлении наиболее высокие результаты из всей совокупности сравниваемых предприятий.
Общий алгоритм сравнения предприятий есть следующая последовательность действий.
1. Исходные показатели представляются в виде матрицы (aki), т. е. таблицы, где по строкам
записаны номера показателей (k = 1, 2, ... , n ), а по столбцам ? номера предприятий
(i = 1, 2, ... , m ).
2. По каждому показателю определяется его максимальное значение и заносится в столбец условного эталонного предприятия (m + 1.)
3. Исходные показатели матрицы aki стандартизируются (нормируются) в отношении соответствующего показателя эталонного предприятия по формуле:
x ki =
a ki
,
max a ki
k
где xki ? стандартизированные показатели.
60
????????? R
R ?????????
? общая рентабельность предприятия: общая прибыль на 1 руб.
активов
X 2* ? чистая рентабельность предприятия: чистая прибыль на 1 руб.
активов
Ликвидность и рыночная
устойчивость
4 группа
X13* ? оборачиваемость банковских активов: выручка от реализации продукции на 1 руб. банковских активов
X14* ? отдача собственного капитала: выручка от реализации продукции на 1 руб. собственного капитала
?. ?. ????????, ?. ?. ?????????
X15* ? текущий коэффициент ликвидности: оборотные средства на
1 руб. срочных обязательств
X16* ? критический коэффициент
ликвидности: денежные средства,
расчеты и прочие активы на 1 руб.
срочных обязательств
Х17 ? индекс постоянного актива:
стоимость основных фондов и активов к стоимости собственных
средств
Х8 ? общая прибыль на 1 руб. объ- X12* ? отдача дебиторской задол- Х18 ? обеспеченность запасов
ема реализации продукции (това- женности: выручка от реализации собственными оборотными средров и услуг)
продукции на 1 руб. дебиторской ствами: собственные оборотные
задолженности
средства на 1 руб. запасов и затрат
X * ? чистая прибыль на 1 руб. объ-
* Показатели, далее используемые в практических расчетах.
X4 ? общая рентабельность по отношению к производственным
фондам: общая прибыль по отношению к средней величине основных производственных фондов и
оборотных средств в товарно-материальных активах
X 3* ? рентабельность собственного капитала: чистая прибыль на
1 руб. собственных средств
1
Деловая активность
3 группа
Показатели
Х9 ? отдача всех активов: выручка
5
ема реализации продукции (това- от реализации продукции на 1 руб.
ров и услуг)
активов
Х6 ? прибыль от реализации про- Х10 ? отдача основных фондов: выдукции на 1 руб. объема реализа- ручка от реализации продукции на
ции товаров
1 руб. основных производственных фондов
X7 ? прибыль от всей реализации Х11 ? отдача оборотных фондов:
на 1 руб. объема реализации услуг выручка от реализации продукции
на 1 руб. запасов и затрат
Эффективность управления
Прибыльность хозяйственной
деятельности
X*
2 группа
1 группа
Группы финансово-хозяйственной и производственной деятельности
Таблица 1
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
61
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
4. Для каждого из анализируемых предприятий значение его рейтинговой оценки определяется по формуле:
ij
R фхд
=
е (1- x
j
ki
)2 ,
k
ij
где R фхд
? рейтинговая оценка и x kij ? стандартизированные показатели для i-го предприятия, включенного в j-ю интегрированную структуру.
????? ???????????? ??????????????? ???????? ? ?????????? ???????????????? ?????????
5. Предприятия ранжируются в порядке убывания их рейтинговой оценки (наивысший
ранг присваивается предприятию с минимальным значением рейтинга).
ij
Данный алгоритм расчета R фхд
может применяться для сравнения предприятий на
момент составления их балансовых отчетов или же в динамике. В случае расчета динамики показатели (табл. 1) рассчитываются как темповые коэффициенты роста: данные на
конец отчетного периода делятся на значение соответствующего показателя на начало
периода.
Оценка технологических характеристик предприятий производится с использованием
системы показателей, приведенной в табл. 2. По данной системе показателей производится
ij
. Перед расчесравнительный анализ и расчет технологического рейтинга предприятия R тех
том итогового показателя, характеризующего предприятие с точки зрения эффективности
технологии, из всего множества предприятий, составляющих интегрированную структуру
Yj , исключается подмножество предприятий Yjу , обладающих уникальными технологиями.
Такие предприятия должны включаться в интегрированные структуры безусловно. (Под уни-
Таблица 2
Показатели технологической характеристики предприятий
Экономические показатели
Технические показатели
Y1 ? общая текущая фондоотдача: отношение
стоимости годового объема продукции к среднегодовой стоимости основных производственных
фондов (ОПФ)
Y2 ? реальная фондоотдача: отношение стоимости годового объема продукции к среднегодовой
стоимости активной части ОПФ (машин и оборудования) с учетом коэффициента их использования
Y6 ? распространенность технологического процесса:
Y6 = m/n, где m ? количество предприятий, использующих данный технологический процесс, n ? количество
предприятий в данном технологическом направлении
Y7 ? полнота технологического цикла: отношение количества технологических операций, выполняемых на
данном предприятии, к их общему числу в технологическом процессе изготовления данного образца (системы)
Y3 ? материалоотдача: выход продукции на 1 руб. Y8 ? степень использования технологий двойного назатраченных предметов труда
значения: отношение количества технологических
операций, используемых при производстве продукции гражданского назначения, к общему количеству
операций в технологическом процессе
Y4 ? энергоотдача: выход продукции на 1 руб. затрат на энергетические ресурс
Y5 ? среднегодовая выработка продукции на одного рабочего
62
????????? R
кальными технологиями следует понимать технологии, в отсутствие которых невозможно
создание целого класса образцов ВТП, соответствующих современному уровню, причем
указанная технология не может быть закуплена за рубежом по причине ее уникальности или
наличия ограничений на распространение отдельными государствами или международными договорами.)
Для оценки научно-производственного потенциала используется следующая система
показателей:
Z1 ? стоимость основных производственных фондов на момент приобретения;
Z2 ? доля активной части (машины, оборудование и др.) основных производственных
фондов в общей стоимости основных производственных фондов;
Z3 ? коэффициент износа основных производственных фондов;
Z4 ? коэффициент морального старения основных производственных фондов;
Z5 ? среднесписочная численность основных производственных рабочих (научнотехнических работников);
Z6 ? фондовооруженность труда (отношение стоимости активной части ОПФ, с учетом
коэффициента износа, к среднесписочной численности рабочих).
Данная система показателей, с помощью нашего метода, дает возможность провести
ij
научно-технического потенциала предприятия и провести сравнительрасчет рейтинга Rнпп
ный анализ его положения среди других предприятий, относящихся к данной интегрированной структуре.
По результатам третьего этапа каждому предприятию присваиваются рейтинговые оценки, отражающие:
ij
· финансово-хозяйственное состояние ? R фхд ;
ij
· эффективность используемых технологий ? R тех
;
ij
· научно-технический потенциал ? Rнпп
.
Этап IV. Формирование состава предприятий,
включаемых в интегрированную структуру Y j
В дополнение к уже сформированным на третьем этапе для каждого предприятия, относящегося к данной интегрированной структуре, определяются такие показатели, как:
N1 ? доля ассигнований, приходящихся на данное предприятие по инвестиционному
проекту, в общем объеме ассигнований, выделяемых на соответствующую интегрированную структуру;
N2 ? доля ассигнований, приходящихся на данное предприятие по инвестиционному
проекту на определенный год, в общем объеме ассигнований, выделяемых на интегрированную структуру;
N3 ?? степень проникновения предприятия в группу (отношение количества функционально-целевых и конструктивно-технологических групп интегрированной структуры, в которых предприятие осуществляет создание образцов ВТП, к общему числу этих групп в интегрированной структуре);
R ?????????
63
?. ?. ????????, ?. ?. ?????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
N4 ? приоритетность создаваемых образцов (числовая величина, отображающая значимость образца для формирования инновационной экономики в условиях финансовых ограничений); максимальное значение N4 соответствует приоритетному;
N5 ? степень современности образца: перспективный, современный и устаревший.
????? ???????????? ??????????????? ???????? ? ?????????? ???????????????? ?????????
Определение степени современности проводится на временном интервале установленного периода долгосрочного планирования, а в качестве основных для этой оценки целесообразно принять следующие показатели:
· оперативная значимость образца (комплекса) ВТП, характеризующая важность решаемой научно-технической, экономической или социальной задачи, и вклад этого образца в ее
решение;
· степень соответствия тактико-технических характеристик образца (комплекса) оперативно-тактическим требованиям и уровню лучших зарубежных аналогов;
· уровень использования в образце новейших достижений науки и техники;
· способность промышленности серийно производить образец и комплектующие для
него.
Исходя из этого можно сформулировать следующие определения категорий качества
ВТП.
Перспективным можно считать: а) впервые созданный или созданный взамен предшествующему высокоэффективный образец ВТП с качественными показателями, которые не могут быть существенно превзойдены аналогами в других странах мира в течение 10?15 лет;
б) образец, полностью удовлетворяющий оперативно-тактическим требованиям (ОТТ) на
том же отрезке времени, производство которого может быть обеспечено отечественной
промышленностью (имеются производственные мощности, комплектующие и сырье).
Современным целесообразно считать образец ВТП: а) по качественным показателям не
уступающий лучшим зарубежным аналогам в течение ближайших 5?10 лет; б) полностью соответствующий ОТТ на том же временном отрезке; в) с достаточным запасом технического
ресурса, ремонт или модернизация которого могут быть обеспечены отечественной промышленностью.
Устаревшим следует считать образец: а) морально и/или физически устаревший; б) по качественным показателям уступающий современным отечественным и зарубежным аналогам; в) с ограниченным применением; г) не соответствующий современным ОТТ; д) с незначительным запасом технического ресурса, производственные мощности которого демонтированы, при отсутствии комплектующих и сырья.
Для отбора предприятий в состав формируемой интегрированной структуры можно
предложить следующую последовательность действий.
1. Из всего множества предприятий Yj , приходящихся на данную интегрированную
структуру, формируется подмножество Q j , для которого выполняется условие:
N 4 > 0 и Q j I Y jy = Ж.
Оставшиеся предприятия образуют подмножество Aj.
64
????????? R
2. Формируется опорная база для ранжирования предприятий внутри каждой группы.
С этой целью из множества Q j выбирают по одному предприятию для каждой группы, удовлетворяющему условию:
Fmax = ( N1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 ),
ij
ij
ij
и все показатели данных предприятий ( R фхд
, R тех
, Rнпп
) принимают за опорные.
3. Для всех предприятий, принадлежащих Aj, определяется рейтинг опорных показателей, рассчитанных на предыдущем шаге, с использованием следующего выражения:
1
щ2
йM
rl = ке ( P lm - P0 m ) 2 ъ ,
ъы
кл
где l ? номер предприятия в подгруппе;
М ? количество показателей, используемых для ранжирования;
Р0m ? опорное значение m-го показателя;
rl ? рейтинг l-го предприятия.
Предприятия ранжируются в порядке убывания рейтинговой оценки, то есть предприятию с минимальным рейтингом присваивается максимальный ранг.
4. В состав интегрированной структуры Yj0 включаются предприятия, которые вошли
в подмножества Q j и Yjу , и осуществляется проверка выполнения условия для каждой группы из состава интегрированной структуры:
ПS » k П TP ,
(А)
где П S ? суммарная производственная мощность подгруппы;
П TP ? производственная мощность подгруппы, обеспечивающая потребности в ВТП при
условии жесткого ограничения ассигнований;
k ? коэффициент резервирования мощностей.
5. В зависимости от результатов выполнения условия (А) возможны две ситуации:
а) П S > k П TP ? в этом случае необходимо проводить реструктуризацию самих предприятий, составляющих подгруппу;
б) П S Ј k П TP ? следует добавлять очередное предприятие в соответствии с его рангом
в группу до тех пор, пока не будет выполнено условие (А).
6. Головным в конкретном конструктивно-технологическом направлении выбирается
предприятие, доля ассигнований на которое по проекту максимальна.
Таким образом, в ходе выполнения четвертого этапа формируется подмножество предприятий Yj0 М Yj , составляющих интегрированную структуру и удовлетворяющих требованиям
по созданию современных образцов ВТП в условиях жесткого ограничения ассигнований.
3. ???????? ???????????? ??????????????? ????????
Решая задачи формирования интегрированных структур по конструктивно-технологическим признакам, используем алгоритм, основанный на методе распознавания образов без
учителя. Суть алгоритма сводится к следующему.
R ?????????
65
?. ?. ????????, ?. ?. ?????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
1. Формируются исходные данные. Каждое из множества М предприятий рассматриваемого типа описывается набором из N признаков или характеристик и представляется в виде
вектора X = ( X 1 , X 2 ,... X N ) в N-мерном пространстве. Поэтому исходную информацию о совокупности рассматриваемых объектов можно представить матрицей:
X = X ij , i = 1,..., M, j = 1,..., N,
где i ? номер, присвоенный каждому из объектов;
j ? номер признака или характеристики.
2. Нормирование исходных данных. Для совместного использования различных признаков и характеристик проводится нормирование их значений:
????? ???????????? ??????????????? ???????? ? ?????????? ???????????????? ?????????
X * = X ij* ,
где X * ? матрица нормированных значений исходных данных.
X ij = ( X ij - min X ij ) / (max X ij - min X ij ).
jОN
jОN
jОN
3. Определение меры близости между объектами. Так как каждый объект представляется
вектором в N-мерном пространстве, в качестве меры близости используется потенциальная
функция:
K ij = K ( X i , X j ) =
1
,
1 + a Ч R ( X i*, X *j )
p
где a, p ? параметры потенциальной функции.
Вычисляется расстояние R ( X k , X l ) между векторами X k и X l в N-мерном пространстве:
1
йN
щ2
R( X k , X l ) = ке ( X l j , X kj ) 2 ъ ,
л j =1
ы
и формируется матрица меры близости K = K ij , i , j = 1,... , М.
4. Произвольно выбирается первый вектор. Например, Х1.
5. В первом цикле определяются все расстояния в смысле меры близости между выбранным вектором и остальными. Затем определяется вектор, ближайший к первому отобранному. В следующем цикле ? вектор, ближайший к первому и второму отобранным
и т. д. (В дальнейшем вычисляются расстояния между отобранными векторами и оставшимися.)
6. Осуществляется перестановка векторов в исходном массиве Хi. На первое место ставится первый выбранный вектор, на второе ? вектор, ближайший к первому, на третье ?
вектор, ближайший к первым двум, и т. д. Формируется последовательность Хi.
7. Соответственно последовательности Хi образуется последовательность Кi, которая характеризует меру близости между группой векторов, объединенных на i-м шаге перестановки, и ближайшим к этой группе вектором.
66
????????? R
Такая перестановка обладает следующей важной особенностью. Предположим, что совокупность векторов X i принадлежит двум достаточно удаленным подмножествам А и В.
Если X i О A, то сначала будут отобраны все векторы, принадлежащие подмножеству А, а затем ? векторы, принадлежащие В. Причем на границе перехода между А и В, т. е. в момент,
~
когда впервые будет отобран вектор X i О B , величина K i скачкообразно уменьшится.
8. Последовательность величин K i преобразуется в последовательность:
Di =
K i -1 - K i
.
Ki
9. Вычисляется значение величины D гр , определяющей границы формирования группы
векторов. Значение D гр может быть вычислено как минимальное из N0 наибольших значений
D i (N0 ? заданное количество первичных разбиений).
10. Последовательность векторов X i разбивается на множества A1 , A2 ,... , AN 0 . Сначала
строится множество Аi по следующему правилу.
Полагается X i О A1 . Далее, если к А1 отнесены векторы X 1 ,... , X k , то вектор X k +1 относится
к А1, если D k < D гр . В противном случае построение множества А1 заканчивается, и начинается построение множества А2, причем X k +1 относится к А2. Аналогично строятся остальные
множества.
11. Вычисляется значение критерия классификации F:
F=
I1 - I 2
I1 + I 2
при
I 1( N 0 ) =
где K ( Ai , A j ) =
1
N0
N0
е K ( Ai , A j ); I 2 ( N 0 ) =
i =1
N 0 -1
2
е е K ( Ai , A j ),
N 0 ( N 0 - 1) i =1 j >1
nA i
1
е е K ( X i , X j ) ? средняя мера близости между векторами внутри
n Ai (n A j - 1) i >1 j >1
множества Аi;
1
е е K ( X i , X j ) ? средняя мера близости между множествами Аi и Аj;
n Ai n A j X i ОAi X j ОA j
n Ai ? число объектов, попавших в множество Ai = ( X i О Ai );
n Ai ? число объектов, попавших в множество A j = ( X j О A j ).
K ( Ai , A j ) =
12. Определяются наиболее близкие множества Аk и Аl.
13. Множества Аk и Аl объединяются в одном множестве. В результате получается новое
разбиение совокупности объектов на(N 0 - 1) класс, для которого вновь определяется значение критерия классификации. На каждом шаге объединения фиксируется значение F. Алгоритм прекращает работу в тот момент, когда в результате объединения множеств получается один общий класс.
14. Выбирается наилучшее разбиение множества на классы по максимальному значению
критерия классификации F.
При разбиении массивов небольшой размерности (например, M Ј 20) после перестановки векторов каждое предприятие рассматривается как отдельная структура, и в дальнейшем объединение продолжается с пункта 11.
R ?????????
67
?. ?. ????????, ?. ?. ?????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
В результате образуются группы (классы) предприятий, способных создавать наиболее
схожие по конструктивно-технологическому облику образцы ВТП.
????? ???????????? ??????????????? ???????? ? ?????????? ???????????????? ?????????
4. ?????? ???????????? ??????????????? ?????????
Рассмотрим создание интегрированной структуры в наукоемком секторе обороннопромышленного комплекса, состав которой формируется на базе 8 потенциальных предприятий (П 1,?, П 8). Для этого выберем условные предприятия и на основе анализа их
финансово-хозяйственной и производственной деятельности, технико-экономического
состояния и научно-производственного потенциала осуществим отбор тех предприятий, которые имеют наилучшие показатели для включения их в состав формируемой
интегрированной структуры. При этом суммарная производственная мощность выбранных предприятий должна равняться заданной производственной мощности формируемой интегрированной структуры, обеспечивающей в рамках запланированных ассигнований потребности в данном виде (типе) ВТП, а также их поставки в рамках техникоэкономического сотрудничества Российской Федерации с иностранными государствами.
Например, требуемая производственная мощность формируемой интегрированной структуры ПТР должна находиться в диапазоне 200,0?250,0 млрд руб./год, т. е. 200 ,0 < П ТР <
< 250 ,0.
Далее формируются исходные данные (значения показателей), необходимые для проведения рейтинговой оценки предварительно отобранных в состав интегрированной структуры предприятий и характеризующие: финансово-хозяйственную и производственную
деятельность; технико-экономическое состояние; научно-производственный потенциал
[ТС-ВПК (2006)].
Для выбранной системы показателей финансово-хозяйственной и производственной
деятельности формируется матрица исходных данных (табл. 3).
Таблица 3
Исходные данные для оценки финансово-хозяйственной
и производственной деятельности предприятий
Показатели
X1
Предприятия
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П8
УЭП*
0,3
0,25
0,29
0,27
0,26
0,25
0,28
0,29
0,3
X2
0,2
0,21
0,22
0,25
0,24
0,23
0,21
0,24
0,25
X3
0,15
0,2
0,16
0,19
0,17
0,18
0,16
0,19
0,2
X5
0,4
0,35
0,39
0,36
0,38
0,37
0,36
0,39
0,4
X12
0,1
0,01
0,09
0,05
0,07
0,04
0,08
0,09
0,1
X13
0,3
0,2
0,1
0,25
0,19
0,2
0,15
0,29
0,3
X14
0,2
0,3
0,25
0,1
0,22
0,15
0,19
0,3
0,3
X15
1
1,5
1,1
2
1,6
1,7
1,8
1,9
2
X16
1,5
2
1,4
1,8
1,9
1,3
1,6
2
2
* Условное эталонное предприятие.
68
????????? R
Устанавливается рейтинговая оценка в части финансово-хозяйственной и производственной деятельности для каждого анализируемого предприятия. В результате определяются матрица стандартизированных коэффициентов и значения рейтинговой оценки предприятий, представленные в табл. 4.
Таблица 4
Рейтинговая оценка предприятий по результатам финансово-хозяйственной
и производственной деятельности
Показатели
Предприятия
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П8
УЭП
X1
1
0,83
0,96
0,9
0,86
0,83
0,93
0,96
1
X2
0,8
0,84
0,88
1
0,96
0,92
0,84
0,96
1
X3
0,75
1
0,8
0,95
0,85
0,9
0,8
0,95
1
X5
1
0,87
0,97
0,9
0,95
0,92
0,9
0,97
1
X12
1
0,1
0,9
0,5
0,7
0,4
0,8
0,9
1
X13
1
0,66
0,33
0,83
0,63
0,66
0,5
0,96
1
X14
0,66
1
0,83
0,33
0,73
0,5
0,63
1
1
X15
0,5
0,75
0,55
1
0,8
0,85
0,9
0,95
1
X16
0,75
1
0,7
0,9
0,95
0,65
0,8
1
1
Рейтинговая оценка
i
i-го предприятия Rфхд
0,72
1,02
0,91
0,86
0,61
0,95
0,74
0,13
0
Ранг i-го предприятия
3
8
6
5
2
7
4
1
?
Предприятия ранжируются в порядке убывания рейтинговой оценки, то есть наивысший
i
.
ранг имеет предприятие с минимальным значением рейтинга R фхд
Формируется матрица исходных данных для системы показателей технико-экономического состояния, а также для показателей финансово-хозяйственной и производственной
деятельности, приведенная в табл. 5.
Таблица 5
Исходные данные для оценки технико-экономического состояния предприятий
Показатели
Предприятия
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П8
УЭП
Y1
1,1
2
3,5
3,8
4
5
3,5
4,5
5
Y2
2
3,8
4
4,5
5
7
4
6
7
Y3
5
7
9,5
10
11
15
7
13
15
Y4
1
2
1,5
2,5
1,8
3
2
2
3
Y5
200
250
300
330
400
600
325
450
600
Y6
0,2
0,5
0,6
0,3
0,7
0,4
0,5
0,3
0,7
Y7
0,1
0,6
0,9
0,7
0,4
0,3
0,7
0,8
0,9
Y8
0,1
0,3
0,2
0,7
0,8
0,6
0,9
0,7
0,9
R ?????????
69
?. ?. ????????, ?. ?. ?????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Аналогично алгоритму определения рейтинга предприятий по финансово-хозяйственным
и производственным показателям производится рейтинговая оценка предприятий по технико-экономическим показателям, результаты которой представлены в табл. 6.
Таблица 6
Рейтинговая оценка предприятий по технико-экономическим показателям
????? ???????????? ??????????????? ???????? ? ?????????? ???????????????? ?????????
Показатели
Предприятия
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П8
УЭП
Y1
0,22
0,4
0,7
0,76
0,8
1
0,7
0,9
1
Y2
0,28
0,54
0,57
0,64
0,71
1
0,57
0,85
1
Y3
0,33
0,46
0,63
0,66
0,73
1
0,46
0,86
1
Y4
0,33
0,66
0,5
0,83
0,6
1
0,66
0,66
1
Y5
0,33
0,41
0,5
0,55
0,66
1
0,54
0,75
1
Y6
0,28
0,71
0,85
0,42
1
0,57
0,71
0,42
1
Y7
0,11
0,66
1
0,77
0,44
0,33
0,77
0,88
1
Y8
0,11
0,33
0,22
0,77
0,88
0,66
1
0,77
1
Рейтинговая оценка
i
i-го предприятия Rтех
2,13
1,39
1,23
0,97
0,88
0,85
1,00
0,78
0
В соответствии с выбранной системой показателей z 1 ,..., z 6 (см. п. 1) формируются исходные данные, характеризующие показатели научно-производственного потенциала анализируемых предприятий, которые приведены в табл. 7.
Таблица 7
Исходные данные для оценки научно-производственного потенциала предприятий
Показатели
Предприятия
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П8
УЭП
Z1
100
200
300
700
800
500
732
650
800
Z2
0,3
0,25
0,35
0,15
0,2
0,25
0,3
0,2
0,35
Z3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,75
0,45
0,33
0,5
0,75
Z4
0,3
0,5
0,5
0,5
0,7
0,55
0,45
0,35
0,7
Z5
0,5
1
0,9
1,5
2
0,89
1,7
1,8
2
Z6
40
50
100
163,3
150
126,4
71
90,3
163,3
Стандартизованные коэффициенты и результаты расчета рейтинговых оценок анализируемых предприятий по показателям научно-производственного потенциала приведены в табл. 8.
Далее в этой группе определяется опорное предприятие, удовлетворяющее условию:
Fmax = ( N1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 ).
При определении опорного предприятия допустим, что дополнительные показатели изменяются в диапазоне от 0 до 1 и максимальное их значение соответствует наивысшему приоритету. Показатель, характеризующий степень современности образца N5, принимает значения: 0,6 ? перспективный, 0,3 ? современный и 0,1 ? устаревший.
70
????????? R
Таблица 8
Рейтинговая оценка предприятий по показателям
научно-производственного потенциала
Показатели
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Рейтинговая оценка
i
i-го предприятия Rнпп
Предприятия
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П8
УЭП
0,13
0,86
0,53
0,43
0,25
0,24
1,57
0,25
0,71
0,67
0,71
0,50
0,31
1,25
0,38
1,00
0,80
0,71
0,45
0,61
0,98
0,88
0,43
0,93
0,71
0,75
1,00
0,70
1,00
0,57
1,00
1,00
1,00
0,92
0,44
0,63
0,71
0,60
0,79
0,45
0,77
0,89
0,92
0,86
0,44
0,64
0,85
0,43
0,90
0,81
0,57
0,67
0,50
0,90
0,55
0,89
1
1
1
1
1
1
0
В табл. 9 приведены значения дополнительных показателей (N1, N2, N3, N4 и N5) и результат
расчета Fmax.
Таблица 9
Значения дополнительных показателей и результат расчета Fmax
Показатели
N1
N2
N3
N4
N5
Fmax
Предприятия
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П8
0,1
0,35
0,33
0,2
0,1
1,08
0,7
0,4
0,88
0,4
0,6
2,98
0,3
0,5
0,58
0,54
0,6
2,52
0,2
0,45
0,35
0,7
0,3
2
0,5
0,3
0,67
0,1
0,3
1,87
0,8
0,5
0,85
0,5
0,6
3,25
0,6
0,35
0,9
0,3
0,3
2,45
0,3
0,45
0,39
0,6
0,6
2,34
В группе предприятий единой конструктивно-технологической направленности опорным является предприятие № 6, так как для него Fmax принимает значение 3,25.
Результаты расчета итоговых рейтинговых оценок анализируемых предприятий и их ранги приведены в табл. 10.
Таблица 10
Итоговая оценка рейтинга и ранги предприятий
Показатели
i
Rфхд
i
Rтех
i
Rнпп
Рейтинговая оценка
i-го предприятия ri
Ранг предприятия
R ?????????
Предприятия
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П8
0,73
2,13
1,57
1,46
1,03
1,39
1,25
0,64
0,91
1,24
0,98
0,39
0,87
0,98
0,7
0,24
0,62
0,89
0,44
0,56
0,96
0,86
0,89
0,00
0,74
1,01
0,9
0,27
0,14
0,78
0,89
0,82
8
6
4
2
5
1
3
7
71
?. ?. ????????, ?. ?. ?????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Полученные рейтинговые оценки предприятий размещаются по ранжиру и определяется приоритетность их включения в формируемую интегрированную структуру. Первое место занимает шестое предприятие (опорное), рейтинг которого ? 0, второе место ? четвертое предприятие с рейтингом 0,24 и так далее.
Для окончательного формирования состава интегрированной структуры осуществляется проверка выполнения условия П S » П ТР .
Исходные данные, характеризующие производственные мощности исследуемых предприятий, приведены в табл. 11.
Таблица 11
Производственная мощность предприятий
????? ???????????? ??????????????? ???????? ? ?????????? ???????????????? ?????????
Показатели
Производственная мощность, млрд руб./год
Ранг предприятия
Предприятия
П1
П2
П3
П4
П5
П6
П7
П8
35,0
15,0
40,0
50,0
40,0
70,0
30,0
60
8
6
4
2
5
1
3
7
Суммарная производственная мощность П S первых пяти по рейтингу предприятий
(предприятия № 3, 4, 5, 6, 7) равна 230,0 млрд руб./год, и ее значение принадлежит требуемому диапазону ( 200 ,0 < П ТР < 250 ,0 ). Следовательно, в состав интегрированной структуры
целесообразно включить предприятия: 3, 4, 5, 6, 7.
Таким образом формируется группа предприятий, составляющих интегрированную
структуру, удовлетворяющуют требованиям по созданию необходимой ВТП в объемах ассигнований, запланированных в соответствующих государственных программах.
5. ??????????
Разработанный метод позволяет существенно повысить качество формируемых в наукоемком
производственном комплексе российской экономики интегрированных структур, что, в свою очередь, обеспечит положительный экономический эффект благодаря действию таких факторов,
как концентрация ресурсов на важнейших направлениях расширенного воспроизводства, укрепление позиций по отстаиванию интересов на зарубежных рынках, улучшение качества менеджмента (управленческих технологий и кадрового состава) на каждом предприятии объединения.
?????? ??????????
Бендиков М. А. Стратегическое планирование развития наукоемких технологий и производств. М.:
Academia, 2000.
Дементьев В. Е. Финансово-промышленные группы в стратегии реформирования российской экономики // Российский экономический журнал. 2000. № 11?12.
Информационный фонд предприятий военно-промышленного комплекса. М.: ТС-ВПК, http://www.vpk.ru
Лавринов Г. А., Хрусталев Е. Ю. Формирование интегрированных структур в военно-промышленном
комплексе // Менеджмент в России и за рубежом. 2005. № 3.
Мезоэкономика переходного периода: рынки, отрасли, предприятия. М.: Наука, 2001.
Хрусталев О. Е. Интеграция наукоемких производств как фактор роста инновационного потенциала экономики: Математические и инструментальные методы в инновационной экономике / Сборник
научных трудов. М.: МЭСИ, 2006.
72
????????? R
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Л. П. Бакуменко, П. А. Коротков
Интегральная оценка качества и степени
экологической устойчивости окружающей среды региона
(на примере Республики Марий Эл)
В статье предложена методика интегральной оценки, мониторинга и анализа качества и степени экологической устойчивости окружающей среды региона, основанная на идеологии факторного анализа. Демонстрируется реализация этой методики на данных 1990?2005 гг., характеризующих Республику Марий Эл. Результаты использования методики позволяют исследовать динамику
интегрального экологического индикатора (интегральных индикаторов), выявлять проблемные области, определять ключевые направления совершенствования экологической политики региона, строить прогноз экологической ситуации.
1. ????????
ациональное использование природных ресурсов является необходимым условием
для устойчивого развития любого государства или региона. К сожалению, экономический рост России остается «сырьевым» и переход на новый технологический уровень
развития производства является приоритетной, но пока еще не выполненной задачей. Сложившиеся тенденции сохраняются в большинстве регионов нашей страны. Реализация задачи удвоения ВВП, мировой рост цен на продовольствие увеличивают антропогенную нагрузку на окружающую природную среду. В силу этого на первый план выходит экологическая безопасность территорий, а значит интегральная оценка состояния окружающей их
среды (ОС).
В большинстве исследований проводятся межтерриториальные или межрегиональные сравнения регионов с последующим их ранжированием по экологическому состоянию. Между тем как с практической, так и с научной точки зрения представляет интерес
оценка абсолютного уровня качества ОС региона и степени его экологической устойчивости.
Цель исследования: разработка методики интегральной оценки, мониторинга и анализа абсолютного уровня экологического развития региона в аспекте экологической устойчивости, а также ее реализации на данных 1990?2005 гг. в условиях Республики Марий Эл (РМЭ)
для того, чтобы выявить ключевые направления улучшения экологической ситуации в регионе.
Интегральная оценка сводится к обоснованному отбору наиболее информативных показателей, определению классов состояния окружающей среды, нахождению градаций (качества, устойчивости) для этих показателей по выбранным классам, выбору типа и правила
нормирования и нормированию этих показателей, выбору формы построения интегрально-
Р
R ????????
73
???????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? (?? ??????? ?????????? ????? ??)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
го индикатора, введению уровней свертки отобранных показателей, выполнению первого
и последующих уровней обобщения информации.
2. ???????? ?????????????? ???????????
В наиболее общем виде интегральный индикатор (ИИ), характеризующий качество ОС
для отдельных территорий, в статистике формируется как линейная комбинация отдельных
показателей, взятых с определенными весовыми коэффициентами, характеризующих качество ОС [Осиневич (2003)]:
n
I = еb i Ч x i ,
i =1
где I ? интегральный индикатор качества ОС территории;
bi ? весовой коэффициент («вес») i-го показателя в результирующем значении интегрального индикатора;
xi ? значение i-го показателя качества ОС;
n ? количество исходных показателей (приведенных к единому масштабу), входящих
в интегральный индикатор.
При агрегировании информации в интегральные индикаторы основной проблемой является выбор весовых коэффициентов. Простейший эгалитарный подход предполагает использование равных весов для всех исходных показателей. Помимо этого, веса могут быть
установлены путем экспертной оценки в зависимости от значимости показателей. Перечисленные подходы в некотором смысле субъективны, так как основываются на мнении экспертов или исследователя.
Между тем существует принципиально другой, так называемый «объективистский» подход, основанный на идеологии факторного анализа [Айвазян и др. (2006)].
К «плюсам» «объективистского» подхода относится исключение из процесса построения
системы интегральных индикаторов трудоемких, неоднозначных экспертных процедур,
требующих специальных знаний в конкретных предметных областях. Однако эти «плюсы» одновременно могут быть отнесены и к недостаткам, поскольку квалифицированная экспертная оценка значимости каждого из интегрируемых показателей, установление научно обоснованных (там, где это возможно) их нормативных значений повышают практическую ценность получаемых результатов.
Процесс агрегирования информации реализуется следующим образом:
· На первом уровне определяют веса показателей по выделенным проблемам, чтобы получить индекс по каждой проблеме.
· На втором уровне взвешиваются промежуточные интегральные индикаторы и определяется ИИ по выделенным областям.
· На третьем уровне взвешиваются интегральные индикаторы второго уровня и определяется единый ИИ.
Агрегирование можно проводить до уровня основных аспектов развития ? экологического, экономического, социального, институционального.
74
???????? R
В контексте проводимого исследования особого внимания заслуживают интегральные
агрегированные индикаторы, базирующиеся на экологических параметрах.
3. ???? ?????????? ???????????? ????????????? ???????????
3.1. Мировой опыт в области построения
интегральных экологических индикаторов
В мире довольно активно предпринимаются попытки рассчитать подобные индикаторы.
3.1.1. Индекс «живой планеты»
Агрегированный индекс «живой планеты» (ИЖП) (Living Planet Index) для оценки состояния природных экосистем планеты исчисляется в рамках ежегодных докладов «Живая планета» Всемирного Фонда Дикой Природы (World Wild Fund). Индекс живой планеты измеряет
природный капитал лесов, водных и морских экосистем и рассчитывается как среднее из
трех показателей: численность животных в лесах, в водных и морских экосистемах. Каждый
показатель отражает изменение популяции наиболее представительной выборки организмов в экосистеме [Экономика сохранения биоразнообразия (2002)]. Индекс живой планеты
показывает, что потеря биологического разнообразия происходит быстрыми темпами. Так,
численность популяций видов позвоночных снизилась примерно на треть с 1970 г., что подтверждает ранее выявленные тенденции [Живая планета (2006)].
3.1.2. Показатель «экологический след»
Показатель «экологический след» (давление на природу) (ЭС) (The Ecological Footprint)
также исчисляется в рамках ежегодных докладов Всемирного Фонда Дикой Природы. ЭС измеряет потребление населением продовольствия и материалов в эквивалентах площади
биологически продуктивной земли и площади моря, которые необходимы для производства этих ресурсов и поглощения образующихся отходов, а потребление энергии ? в эквивалентах площади, необходимой для абсорбции соответствующих выбросов СО2. ЭС, приходящийся на одного человека, представляет собой сумму 6 слагаемых: площадь пашни для выращивания потребляемых человеком зерновых, площадь пастбищ для производства продукции животноводства, площадь лесов для производства древесины и бумаги, площадь
моря для производства рыбы и морепродуктов, территория, занятая под жилье и инфраструктуру, площадь лесов для поглощения выбросов СО2. Метод ЭС позволяет сравнить фактическое давление общества на природу и возможное с точки зрения потенциальных запасов природных ресурсов и ассимиляционных процессов [Экономика сохранения биоразнообразия (2002)]. Последние данные (2003 г.) свидетельствуют о том, что экологический след
человечества вырос более чем в три раза с 1961 г. В настоящее время этот показатель превышает регенеративную способность планеты приблизительно на 25% [Живая планета (2006)].
3.1.3. Индекс экологической устойчивости
Индекс экологической устойчивости (ИЭУ) (Environmental Sustainability Index), рассчитывается Йельским и Колумбийским университетами США [Environmental Sustainability Index
Report (2005)], опираясь на 76 показателей, сгруппированных в 21 индикатор, которые
в свою очередь сведены в 5 компонентов: «Экологическая система», «Снижение экологичеR ????????
75
?. ?. ?????????, ?. ?. ????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? (?? ??????? ?????????? ????? ??)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ского стресса», «Снижение уязвимости человечества», «Социальные и институциональные
возможности» и «Глобальный надзор».
«Экологическая система» включает в себя индикаторы: «качество атмосферы», «качество
воды», «количество воды», «биологическая вариативность», «земля»;
«Снижение экологического стресса» включает индикаторы: «уменьшение атмосферных
выбросов», «уменьшение стресса на экосистему», «уменьшение стресса на население»,
«уменьшение выбросов и отходов», «уменьшение стресса на водные ресурсы», «управление
природными ресурсами».
Формально все показатели получают равный вес при расчете индекса, поскольку отсутствуют общепризнанные приоритеты в ранжировании экологических проблем. Фактически
значимость отдельных проблем усиливается за счет введения большего количества показателей их характеризующих. Считается, что индекс позволяет проводить сравнение между
странами по уровню экологической устойчивости, оценивать результаты природоохранной
политики, выявлять наилучшие результаты, определять страны, которым грозит экологический кризис, сопоставлять экономический рост и охрану природы. Изучение взаимосвязи
между индексом экологической устойчивости и наиболее распространенными синтетическими показателями в области экономики позволило сделать заключение, что в странах
с близкими экономическими условиями экологическое состояние определяется управлением и хозяйствованием [Экономика сохранения биоразнообразия (2002)].
3.2. Опыт России в области построения
интегральных экологических индикаторов
В России имеется опыт построения интегральных индикаторов на региональном уровне
и использования их в аналитической работе. По этой тематике имеется значительное число
публикаций (см., например, [Айвазян и др. (2006)], [Греков, Садков (2007)], [Зубаревич
(2003)], [Музалевский (2003)], [Петров (2007)], [Полоусова (2003)], [Рубанов, Тикунов (2007)],
[Шихова (2007)] и др.). Рассмотрим исследования в этой области, выполненные в последние
годы (2005?2007 гг.), которые либо непосредственно касаются различных аспектов оценки
экологического состояния регионов России, либо содержат методические подходы для решения поставленной задачи.
3.2.1. Исследования под руководством С. А. Айвазяна (ЦЭМИ РАН),
посвященные проблеме интегральной оценки качества жизни населения
Исследуемая автором категория «качество жизни населения» понимается в синтетическом, комплексном смысле, далеко выходящем за пределы таких более привычных и более
частных (но тоже интегральных) категорий, как «качество населения», «благосостояние населения», «качество социальной сферы», «качество окружающей среды» [Айвазян и др.
(2006)]. Была предложена методология оценки интегральных характеристик качества жизни
населения (КЖН) регионов России и рейтингования субъектов РФ по каждой из анализируемых синтетических категорий. Она основана на свертке статистически регистрируемых объективных показателей (частных критериев) различных категорий КЖН, а также на некоторых
методах многокритериального ранжирования объектов, т. е. ее методы разработаны в рамках так называемой «объективистской» теории. В частности, веса исходных показателей
в интегральных индикаторах подбираются таким образом, чтобы по значению (значениям)
76
???????? R
интегрального индикатора (интегральных индикаторов) можно было бы наиболее точно
(в определенном смысле) восстановить значения всех исходных показателей априорного
набора, характеризующего анализируемую синтетическую категорию КЖН. Данные берутся
из официальных источников государственной статистики. Методология исследования предполагает реализацию следующих шагов:
1. Создание информационной базы исследования предусматривает два этапа. На первом
этапе с целью структуризации и классификации статистических показателей и интегральных
индикаторов КЖН строится их общая иерархическая система. На втором этапе эта иерархическая система наполняется конкретным содержанием. Для осуществления второго этапа
последовательно решаются две задачи:
· определение (на содержательном, экспертном уровне) исходного априорного перечня статистических показателей для каждой из анализируемых синтетических категорий
(в том числе «качество экологической ниши»);
· отбор (по определенной методике, использующей математико-статистические методы) из каждого априорного набора относительно небольшого числа частных критериев,
играющих решающую роль в формировании соответствующего интегрального индикатора (или интегральных индикаторов); этот сокращенный набор авторы называют апостериорным.
2. Унификация шкал измерений анализируемых частных критериев предусматривает специальные преобразования всех показателей, в результате чего они оказываются измеренными в безразмерной N-балльной шкале, в которой нулевое значение свидетельствует
о наихудшем качестве, а значение в N баллов ? о наилучшем. Для определения унифицирующих параметров используется эмпирический подход.
3. Анализ структуры статистических связей между компонентами (частными критериями)
исследуемой синтетической категории КЖН включает в себя: определение числа блоков, на
которые разбивается набор частных критериев; определение состава показателей в каждом
блоке.
4. Построение интегрального индикатора (ИИ) анализируемой синтетической категории:
· случай линейной свертки (число блоков = 1);
· случай нелинейного ИИ КЖН (число блоков ? 2).
Формальным аппаратом этой методологии являются современные методы математической статистики.
3.2.2. Исследования И. Н. Рубанова, В. С. Тикунова (МГУ),
посвященные проблеме интегральной оценки экологического состояния
окружающей среды регионов России
Методика построения интегрального индикатора разработана в рамках «субъективистской» теории и представляет собой многоэтапную процедуру [Рубанов, Тикунов (2007)].
R ????????
77
?. ?. ?????????, ?. ?. ????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? (?? ??????? ?????????? ????? ??)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
На первом этапе определяется круг доступных данных.
На втором этапе оценка интегрального индекса разделяется на ряд дополнительных задач ? тем. Таковыми являются оценки экологического состояния для основных компонентов окружающей среды ? литосферы, гидросферы, атмосферы и биосферы. Затем определяются основные проблемы (подтемы), характеризующие неблагоприятное экологическое
состояние каждого из компонентов окружающей среды. Для оценки остроты этих проблем
используются один или несколько показателей. При их отборе исходят из содержательных
соображений.
На третьем этапе производится обработка исходных данных. Сначала проводят нормировку исходных данных, т. е. производят их пересчет в абсолютную шкалу от 0 (наихудшее
возможное значение) до 100 (наилучшее возможное значение) с использованием нижних
и верхних «пороговых значений», определяющихся экспертным путем. Затем путем экспертной оценки, в зависимости от значимости показателей, им присваивается определенный
вес.
На четвертом этапе для каждой территориальной единицы рассчитывается интегральный индекс экологического состояния окружающей среды как среднее значение частных
индексов экологического состояния отдельных компонентов окружающей среды. Значимость всех компонентов считается равноценной.
В результате проведенных расчетов получают сводный индекс экологического состояния окружающей среды и индексы экологического состояния отдельных ее компонентов
для каждого из избранных регионов по шкале 0 до 100.
4. ???????????? ?????????????? ???? ??????????????? ???????
?????????????? ????????? ???????
Формирование информационной базы статистического анализа экологического состояния ре??иона представляет собой двухэтапную процедуру.
На первом этапе строится иерархическая система статистических показателей и частных
критериев в виде общей схемы (рис. 1). Иерархическая система строится в соответствии
с ресурсно-компонентным подходом, т. е. нами были выделены следующие разделы (темы),
которые описывают экологическое состояние или ущерб, нанесенный отдельным компонентам или ресурсам окружающей среды: атмосферный воздух, водные ресурсы, почвы
и земельные ресурсы, лес, животный мир, биологическое разнообразие.
Затем определялись подразделы (подтемы), описывающие специфику и проблемы экологического состояния региона.
На втором этапе в соответствии с принятой структуризацией формируется (из содержательных соображений) исходный набор статистически регистрируемых показателей. Затем
производится отбор (по определенной методике, использующей, в частности, метод главных компонент) наиболее информативных частных критериев среди показателей исходного
набора каждого раздела ОС. Этот набор частных критериев мы назвали сокращенным. Под
критерием мы подразумеваем описание совокупности показателей, позволяющих охарактеризовать ухудшение состояния окружающей среды по степени экологического неблагополучия. Предложенный набор частных критериев, или ключевых индикаторов, может быть
использован для анализа сложившейся экологической ситуации, выявления факторов и условий экологического развития региона. Кроме того, он рассматривается в качестве необ-
78
???????? R
?. ?. ?????????, ?. ?. ????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Рис. 1. Иерархическая система статистических показателей, частных критериев качества
окружающей среды региона
ходимого условия для последующей интегральной оценки экологической ситуации и качества ОС региона.
5. ???????? ?????????? ????????????? ?????????? (???????????)
???????? ? ??????? ????????????? ????????????
?????????? ????? ???????
Расчет интегрального экологического индикатора производился на основе методики измерения синтетических категорий КЖН и многокритериального рейтингования регионов РФ и их муниципальных образований по КЖН, предложенной в [Айвазян и др. (2006)], которая была модифицирована и адаптирована под цели нашего исследования.
В работе интегральный индикатор (ИИ) качества окружающей среды и степени экологической устойчивости региона представляет собой линейную свертку (взвешенную сумму)
нормированных (в N-балльной шкале) значений частных критериев сокращенного набора
и вычисляется по формуле:
R ????????
79
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? (?? ??????? ?????????? ????? ??)
s
Yсв( t ) = е w j Ч ~
xj ,
(1)
j =1
где ~
x j (t ) ? значение j-го нормированного частного критерия в год t, а wj ? «веса» критериев.
(
s
)
В качестве весов w j w j і 0 , е w j = 1 используются значения c 2j (w j = c 2j ), где C = ( c1 , c 2 , ..., cs ) ?
j =1
собственный вектор ковариационной матрицы показателей ~
x (t ),... , ~
x (t ), соответствующий
1
s
наибольшему собственному значению l 1 этой матрицы.
Построенная таким образом линейная комбинация частных критериев (названная в [Айвазян (2003)] модифицированной первой главной компонентой) обладает полезным свойством наилучшего автопрогноза частных критериев ~
x1 (t ),... , ~
xs (t ). Значения Y(t) могут варьироваться в рамках той же шкалы [0; 10], что и нормированные значения ~
x1 (t ),... , ~
xs (t ), а веса говорят о сравнительной значимости частных критериев в смысле их влияния на интегральный индикатор.
Этап 1. Нормирование частных критериев
Перед тем, как переходить непосредственно к процедуре свертки частных разнородных
критериев x1 ,..., xs i-го раздела, необходимо их нормировать, т. е. применить к каждому из
них такое преобразование, в результате которого все они будут измеряться в N-балльной
(безразмерной) шкале. Для этого используется метод линейного масштабирования, позволяющий отслеживать динамику реального роста/снижения каждого критерия относительно
стабильных референтных точек (стабильных максимальных и минимальных значений критерия ? параметров), а также более точно учитывать различия по отдельным критериям при
суммировании. Расчет нормированного частного критерия ~
x производится по формуле (2),
если частный критерий х связан с анализируемым качеством компонента ОС монотонновозрастающей зависимостью (т. е. чем больше значение х, тем выше качество):
x - x min
~
x =
Ч N,
x max - x min
(2)
и по формуле (3), если связь отрицательна.
x -x
~
x = max
Ч N.
x max - x min
(3)
Определение референтных точек, или абсолютных значений нормирующих параметров
напрямую связано с важнейшей проблемой прикладной экологии ? выявлением пределов
устойчивости экологических систем разного пространственного масштаба к различным антропогенным нагрузкам. Существующий подход к квантованию и выделению граничных значений числовых признаков, используемых для группировки экологических ситуаций по
классам качества, чаще всего достаточно произволен и основывается на опыте исследователя [Шитиков, Розенберг и др. (2003)]. Между тем Федеральный закон «Об охране природы»
[2002] в главе VIII для оценки зон экологического бедствия и зон чрезвычайных ситуаций
предписывает использовать соответствующий документ Минприроды РФ [Критерии оценки
(1992)], в котором экологическая обстановка классифицируется по возрастанию степени неблагополучия следующим образом:
80
???????? R
·
·
·
·
·
относительно удовлетворительная;
напряженная;
критическая;
кризисная (или зона чрезвычайной экологической ситуации);
катастрофическая (или зона экологического бедствия).
В нашем исследовании параметры ? это границы интервалов, соответствующих степеням экологического неблагополучия территорий. В частности, за минимальное (максимальное) нормативное значение xmin (xmax) принимается значение нижней границы интервала, соответствующего либо относительно удовлетворительной (нормальной), либо
кризисной экологической обстановке территории. Поскольку зона экологического кризиса характеризуется потерей устойчивости, угрозой здоровью населения, устойчивыми отрицательными изменениями состояния естественных экосистем [Критерии оценки
(1992)], то предлагаемая методика нормирования частных критериев и выбора их параметров позволяет оценивать не только реальное состояние и качество ОС, но и, что
особенно важно, степень экологической устойчивости ОС региона. Параметры определяются на основании нормативов либо на основании научных, экспериментальных
данных.
Таким образом, нулевое значение нормированного критерия будет соответствовать кризису, или потере экологической устойчивости, а максимальное (N баллов) ? норме. Мы используем десятибалльную шкалу, т. е. N = 10.
Известно, что устойчивость природной среды определяется самым слабым ее элементом, или звеном [Теоретические и практические аспекты (2004)]. Поэтому «выход» какоголибо критерия за пределы параметров означает потерю устойчивости природной среды
в целом.
Этап 2. Определение числа интегральных индикаторов,
характеризующих качество и степень экологической устойчивости ОС региона
Считается, что интегральный индикатор, построенный в виде первой главной компоненты по частным критериям сокращенного набора, должен объяснять не менее 55% общей дисперсии этих критериев [Айвазян и др. (2006)]. В противном случае, не существует
сколько-нибудь удовлетворительного решения задачи построения единственного интегрального индикатора в виде первой главной компоненты, аппроксимирующего (с приемлемой точностью) значения всех частных критериев сокращенного набора. Подобные ситуации возникают, в частности, когда в составе рассматриваемого набора частных критериев имеется определенное количество взаимно слабо коррелированных переменных,
хотя каждая из них вносит существенный вклад в описание и интерпретацию качества ОС
региона.
Для определения числа интегральных индикаторов по имеющимся значениям нормиро$ ~ ковариационной матрицы е ~
ванных частных критериев ~
x i1 (t ),... , ~
x is (t ) строится оценка е
X
X
~ ~ ~
вектора нормированных частных критериев X = ( x1 , x 2 ,... , ~
xs ) T , определяются собственные числа l 1 і l 2 і... і l s і 0 этой матрицы (т. е. решается характеристическое уравнение
(|е$ ~X - l Is | = 0, где Is обозначает единичную матрицу размерности s ґ s ), а затем определяется
m0 из условия
R ????????
81
?. ?. ?????????, ?. ?. ????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? (?? ??????? ?????????? ????? ??)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
м l +... + l m
ь
m 0 = min нm: 1
і 0,55 э.
1Ј mЈ s -1
l
+
...
+
l
1
s
о
ю
Если оказалось, что m 0 = 1, то переходят к этапу 3, если же m 0 > 1, то реализуют вначале
процедуры этапа 2а, после чего переходят к этапу 3а. Общая методологическая схема расчета ИИ качества и степени экологической устойчивости ОС региона на разных иерархических
уровнях общности представлена на рис. 2.
Рис. 2. Иерархическая схема построения интегральных индикаторов КОС региона
Этап 2а. Разбиение анализируемого набора частных критериев ~
x1 (t ),... , ~
xs (t ) на m0 относительно однородных непересекающихся групп M1 , M 2 , K , Mm 0 . Для структуризации и определения числа групп (блоков) Mj, на которые целесообразно разбить сокращенный набор
нормированных частных критериев, применяется факторный анализ. Значимыми считаются
факторные нагрузки больше 0,7. Полученная факторная структура должна иметь четкую экологическую интерпретацию.
Этап 3. Построение единственного ИИ,
характеризующего качество и степень экологической устойчивости
ОС региона (случай m 0 = 1)
В этом случае значение сводного интегрального индикатора Y(t) качества ОС региона определяется по указанной выше формуле (1).
Этап 3а. Построение блочных ИИ в виде модифицированных первых главных компонент
отдельно по частным критериям, входящим в каждый из блоков M1 , M 2 ,..., Mm 0 . Значения модифицированной первой главной компоненты yj(t) частных критериев ~
x i1( M j ), ~
x i 2 ( M j ),..., ~
x is j ( M j ),
вошедших в блок M j ( s1 + s 2 + ... + sm 0 = s ), определятся по формуле:
sj
y j (t ) = е w j ( M j ) Ч ~
x iq ( t ).
(4)
q =1
Отметим, что возможны ситуации, когда блок Mj состоит из единственного частного критерия ~
x i1 ( M j ). Тогда значения интегрального индикатора yj(t) определятся значениями этого
частного критерия.
82
???????? R
Этап 4. Построение единственного ИИ, характеризующего качество
и степень экологической устойчивости ОС региона (случай m 0 > 1)
Значение сводного интегрального индикатора Yсв(t) качества окружающей среды региона и ее экологической устойчивости для года t определяется по значениям блочных ИИ
( y 1 (t ), y 2 (t ),... , y m 0 (t )) следующим образом [Айвазян и др. (2006)]:
Вычисляется взвешенное евклидово расстояние p(t) между вектором качества ОС региона в год t ? ( y 1 (t ), y 2 (t ),... , y m 0 (t )) и эталоном (10; 10; ?; 10) в пространстве блочных ИИ по
формуле:
p( t ) =
m0
е (v
j
( y j ( t ) - 10 ) 2 )
(5)
j =1
ц
ж m0
где v 1 , v 2 ,..., vm 0 зз е v j = 1, v j і 0 чч ? нормированные неотрицательные веса блочных ИИ. Вес
ш
и j =1
vj определяется долей дисперсии блочного ИИ y j (t ) в суммарной дисперсии y 1(t ), y 2 (t ), ym 0 (t ).
Cводный интегральный индикатор качества окружающей среды региона и степени ее экологической устойчивости (ИИ КО) для года t определяется по формуле:
Yсв(t) = 10 ? p(t).
(6)
6. ?????????? ?????????? ???????????? ??????????? ????????
? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ???????
(?? ??????? ?????????? ????? ??)
Использование двухэтапной процедуры, описанной в разделе 3, привело к сокращенному набору частных критериев:
1. Атмосферный воздух
x1.1 ? выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от стационарных источников в среднем на 1 кв. км территории региона, т/год;
x1.2 ? выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от автотранспорта в среднем на
1 кв. км территории региона, т/год.
2. Водные ресурсы
x2.3 ? доля загрязненных сточных вод в общем объеме сточных вод, сброшенных в поверхностные водоемы, %;
x2.4 ? количество сброшенных в поверхностные водоемы загрязненных сточных вод на
1 кв. км территории региона, т/год.
3. Почвы и земельные ресурсы
x3.5 ? содержание гумуса, %;
x3.6 ? распаханность территории, %;
x3.7 ? площадь нарушенных земель, га.
R ????????
83
?. ?. ?????????, ?. ?. ????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? (?? ??????? ?????????? ????? ??)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
4. Лес
x4.8 ? лесная площадь, пройденная пожарами, га/год;
x4.9 ? лесистость, %;
x4.10 ? использование расчетной лесосеки, %.
5. Животный мир
x5.11 ? плотность тетерева на 1000 га лесных угодий, голов.
6. Биологическое разнообразие
x6.12 ? доля особо охраняемой природной территории (ООПТ) федерального значения
(национальные парки и государственные природные заповедники) в общей площади региона, %.
В качестве исходных данных использовались:
· официальные статистические данные Федеральной службы государственной стати-
стики [Основные показатели охраны окружающей среды (2007)];
· информационные и аналитические материалы Министерства природных ресурсов РФ
и других министерств и ведомств, деятельность которых связана с природопользованием,
экологическим контролем и охраной окружающей среды [Государственные доклады (1993?
2006), Государственный доклад (2006)].
Для нормирования частных критериев использовался этап 1 методики, описанной
в разделе 4. Как уже было сказано, основной проблемой является выбор абсолютных нормирующих параметров. Для некоторых частных критериев определить параметры на основании законодательно установленных нормативов оказалось невозможно. Вместо них
использовались экспериментальные и научные данные. Так, для частного критерия x4.8 ?
лесная площадь, пройденная пожарами, ? за максимальное нормативное значение мы
приняли площадь опустошительных лесных пожаров 1972 года, создавших чрезвычайную
экологическую ситуацию на территории РМЭ. Для частных критериев: x1.1 ? выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от стационарных источников на площадь территории
региона; x1.2 ? выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от автотранспорта на площадь территории региона; x2.4 ? сброс загрязненных сточных вод в поверхностные водоемы на площадь территории региона ? абсолютные нормирующие параметры определялись экспериментальным путем. В частности, по значениям каждого из этих частных критериев, находящихся в открытом доступе, проводилась классификация укрупненных субъектов РФ по степени неблагополучия экологической обстановки методом «k-средних»
(табл. 1, 2, 3). Учитывая, что на территории РФ зоны экологического бедствия (по этим критериям) отсутствуют [Егоренков, Кочуров (2005)], субъекты РФ разбивались на четыре,
а не на пять кластеров. По причине отсутствия информации из расчетов была исключена
Чеченская Республика. В целях лучшей сопоставимости регионов г. Москва и Московская
84
???????? R
область, а также г. Санкт-Петербург и Ленинградская область рассматривались как единые
регионы.
Таблица 1
Классификация субъектов РФ по выбросам загрязняющих веществ в атмосферу
от стационарных источников в среднем на 1 кв. км территории региона, т/год
Экологическая обстановка
Выбросы
Количество
субъектов РФ
Относительно удовлетворительная
0,04?2,23
60
Напряженная
2,66?4,19
9
Критическая
5,76?7,12
5
11,33?15,74
3
Кризисная
Таблица 2
Классификация субъектов РФ по выбросам загрязняющих веществ в атмосферу
от автотранспорта в среднем на 1 кв. км территории региона, т/год
Экологическая обстановка
Выбросы
Количество
субъектов РФ
Относительно удовлетворительная
0,01?2,05
36
Напряженная
2,19?4,59
27
Критическая
5,10?10,14
13
Кризисная
10,14?41,23
1
Таблица 3
Классификация субъектов РФ по количеству сброшенных загрязненных сточных вод
в поверхностные водоемы на 1 кв. км территории региона, тыс. м3/год
Выбросы
Количество
субъектов РФ
0?2,03
45
2,27?5,46
19
Критическая
6,42?17,68
12
Кризисная
17,68?51,54
1
Экологическая обстановка
Относительно удовлетворительная
Напряженная
Результаты классификации субъектов РФ по рассматриваемым критериям согласуются
с официальной информацией МПР РФ ([Государственный доклад (2005)], [Национальный
план (1999)]), а также с результатами исследований в этой области ведущих ученых России
[Егоренков, Кочуров (2005)].
Параметры, необходимые для нормирования всех частных критериев сокращенного набора, представлены в табл. 4.
R ????????
85
?. ?. ?????????, ?. ?. ????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? (?? ??????? ?????????? ????? ??)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Таблица 4
Абсолютные нормирующие параметры частных критериев
№ Крип/п терий
Название частного критерия
Параметры
xmin
xmax
Тип
Источнорминик
рования
1
x1.1
Выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от стационарных источников / S, тыс. т/год
0
11,33
2
Табл. 1
2
x1.2
Выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от автотранспорта / S, тыс. т/год
0
10,14
2
Табл. 2
3
x2.3
Доля загрязненных сточных вод в общем объеме сточных вод, %
0
100
2
4
x2.4
Cброc загрязненных сточных вод в поверхностные водоемы / S, тыс. т/год
0
17,68
2
5
x3.5
Содержание гумуса, %
1,49
1,98
1
6
x3.6
Распаханность территории, %
10
40
2
7
x3.7
Площадь нарушенных земель, га
10
5000
2
8
x4.8
Лесная площадь, пройденная пожарами, га/год
0
186 000
2
9
x4.9
Лесистость, %
9
60
1
10
x4.10
Использование расчетной лесосеки, %
0
100
1
11
x5.11
Плотность тетерева на 1000 га лесных угодий, голов
5
30
1
12
x6.12
Доля ООПТ федерального значения / S, %
0
6
1
Табл. 3
П р и м е ч а н и е: для экономии места в таблице даны краткие названия частных критериев; S ? общая площадь территории региона, кв. км.
Определение числа интегральных индикаторов, характеризующих качество ОС РМЭ,
осуществлялось в соответствии с этапом 2 методики. Построенная первая главная компонента по 12 нормированным частным критериям ~
x1.1 (t ),... , ~
x 6 .12 (t ) (для периода времени
1990?2005 гг.) объясняет лишь 50,42% общей дисперсии этих критериев. Следовательно, построение единственного интегрального индикатора качества окружающей среды региона
и ее экологической устойчивости в виде первой главной компоненты не имеет удовлетворительного решения.
С целью структуризации и определения числа блоков M, на которые целесообразно
разбить набор частных критериев (этап 2а), был проведен факторный анализ по значениям
12 нормированных частных критериев ~
x1.1 (t ),... , ~
x 6 .12 (t ) для периода времени 1990? 2005 гг.;
метод вращения «varimax normalized». Значимыми считаем факторные нагрузки, превышающие 0,7. Рассчитанные факторные нагрузки, отражающие вклад каждого частного критерия
и дисперсии факторов, представлены в табл. 5.
Решено было ограничиться двумя блоками (табл. 6), так как доля объясненной дисперсии
двумя первыми факторами (78,75%) превышает заданный пороговый уровень (55%), а структура корреляционных связей между критериями ~
x1 (t ),... , ~
x12 (t ) позволяет дать блокам содержательную интерпретацию.
86
???????? R
Таблица 5
Оценки нагрузок и дисперсий специфических факторов
Частный критерий
Оценки нагрузок на факторы
F1
F2
x1
0,7145
?0,3214
x2
0,8926
0,2955
x3
0,8191
?0,2666
x4
0,8951
0,3239
x5
?0,6806
?0,7020
x6
?0,2234
0,8940
x7
0,0315
0,9806
x8
?0,0800
?0,2019
x9
0,2771
0,8943
x10
?0,9005
?0,1902
x11
0,0323
0,9108
x12
0,7831
0,5667
Оценка доли вклада Fj в общую дисперсию, %
50,42
28,33
П р и м е ч а н и е: для краткости индекс i при частных критериях опускается.
Таблица 6
Блоки частных критериев, характеризующих качество и степень
экологической устойчивости окружающей среды региона
Блок 1: «Качество техносферы»
Блок 2: «Качество экосистем»
x1 ? выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от стацио- x5 ? содержание гумуса
нарных источников в среднем на 1 кв. км территории региона
x2 ? выбросы загрязняющих веществ в атмосферу от авто- x6 ? распаханность территории
транспорта в среднем на 1 кв. км территории региона
x3 ? доля загрязненных сточных вод в общем объеме сточных x7 ? площадь нарушенных земель
вод, сброшенных в поверхностные водоемы
x4 ? сброс загрязненных сточных вод в поверхностные водо- x8 ? лесная площадь, пройденная пожаемы в среднем на 1 кв. км территории региона
рами
x10 ? использование расчетной лесосеки
x9 ? лесистость
x12 ? доля ООПТ федерального значения в общей площади ре- x11 ? плотность тетерева на 1000 га лесгиона
ных угодий, голов
П р и м е ч а н и е: два блочных интегральных индикатора объясняют около 79% общей вариации всех частных
критериев сокращенного набора.
R ????????
87
?. ?. ?????????, ?. ?. ????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? (?? ??????? ?????????? ????? ??)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Первый блок (M1) включает в себя показатели изменения состояния окружающей среды
от поступления отходов (газообразных, жидких, твердых) в различные ее компоненты и показатели противодействия этому негативному воздействию (использование расчетной лесосеки, площадь ООПТ). Поэтому этот блок получил название «Качество техносферы».
Второй блок (M2) включает с себя показатели, характеризующие изменение состояния
элементов экосистем. Следовательно, этот блок назвали «Качество экосистем».
Применение метода главных компонент к нормированным частным критериям каждого
блока M1, M2 дало следующие результаты (табл. 7):
Таблица 7
Собственные значения корреляционной матрицы частных критериев
блоков M1, M2 и процент объясненной дисперсии, t = 1990?2005
Номер главной
компоненты
Блок 1 (M1) «Качество техносферы»
Блок 2 (M2) «Качество экосистем»
Собственные
значения
% объясненной
дисперсии
Собственные
значения
% объясненной
дисперсии
1
4,364
72,728
4,045
67,411
2
0,708
11,800
0,976
16,268
3
0,546
9,092
0,598
9,974
4
0,151
2,511
0,198
3,305
5
0,132
2,204
0,147
2,449
6
0,100
1,665
0,036
0,592
Первая компонента, построенная по критериям блока M 1, объясняет около 73%
(больше порогового значения 55%) общей дисперсии этих критериев. Первая компонента, построенная по критериям блока M2, объясняет около 67% общей дисперсии этих
критериев.
После подсчета значений блочных интегральных индикаторов y1(t), y2(t) для каждого года
t (этап 3а) и их дисперсий вычислялись веса блочных ИИ v1, v2 (табл. 8).
Значение сводного интегрального индикатора Yсв(t) качества и экологической устойчивости окружающей среды РМЭ для каждого года t (t = 1990, ?, 2005) определялось по значениям блочных ИИ y1(t), y2(t) в соответствии с процедурой этапа 4 (табл. 8).
Детальный анализ динамики интегральных индикаторов с учетом влияния факторов воздействия выходит за рамки данной работы, поэтому мы ограничимся лишь общими комментариями.
Траектория ИИ «Качество техносферы». Траектория блочного ИИ y1(t) имеет «точку
перегиба» в 1999 г. Если до 1999 г. в целом прослеживается позитивная динамика, то после
1999 г. ? отрицательная. Такое развитие вполне логично, поскольку с 1999 г. в РФ, и в Марий Эл в том числе, наблюдается устойчивый экономический рост, который способствует
ухудшению качества и снижению степени экологической устойчивости техносферы. Между
тем в последние годы (2004?2005) на фоне экономического роста наблюдается стабилизация качества техносферы. Это свидетельствует о сбалансированности проводимой экологи-
88
???????? R
Таблица 8
Динамика двух блочных интегральных индикаторов y1(t), y2(t) и сводного ИИ
качества и степени экологической устойчивости ОС РМЭ Yсв(t) за 1990?2005 гг.
Веса (v1, v2)
0,658
0,342
Год
y1(t)
«Качество техносферы»
y2(t)
«Качество экосистем»
p
Yсв(t)
Качество и степень
экологической
устойчивости ОС РМЭ
1990
5,69
5,04
4,54
5,46
1991
5,63
5,24
4,50
5,50
1992
5,81
4,92
4,52
5,48
1993
5,83
5,23
4,38
5,62
1994
6,05
5,17
4,27
5,73
1995
5,88
5,12
4,39
5,61
1996
5,88
5,31
4,32
5,68
1997
6,10
5,36
4,17
5,83
1998
6,12
5,38
4,15
5,85
1999
6,22
6,07
3,83
6,17
2000
6,14
6,20
3,84
6,16
2001
6,09
6,85
3,67
6,33
2002
6,02
6,58
3,79
6,21
2003
5,88
6,55
3,90
6,10
2004
5,91
7,04
3,74
6,26
2005
5,90
7,60
3,61
6,39
Рис. 3. График динамики двух блочных интегральных индикаторов y1(t), y2(t)
и сводного ИИ качества и степени экологической устойчивости ОС РМЭ Yсв(t) за 1990?2005 гг.
R ????????
89
?. ?. ?????????, ?. ?. ????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? (?? ??????? ?????????? ????? ??)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ческой политики, а также об эффективности проводимых природоохранных мероприятий
по этому блоку.
Траектория динамики ИИ «Качество экосистем». Траектория блочного ИИ y2(t) имеет
тенденцию к росту с 1990 г. Вероятно, это связано с упадком сельского хозяйства, снижением рекреации, относительно благоприятными погодными условиями. Тревожным сигналом
является низкое финансирование природоохранных мероприятий по этому блоку.
Траектория динамики сводного ИИ «Качество и степень экологической устойчивости ОС региона». Траектория этого сводного ИИ имеет тенденцию к росту ? ухудшение
качества техносферы нивелируется более быстрым ростом качества экосистем. Именно эта
особенность экологического развития РМЭ и создает «резерв» качества и экологической устойчивости ОС в целом. Однако можно предположить, что в условиях роста антропогенной
нагрузки (например, наметившееся развитие агропромышленного комплекса) на экосистемы качество экосистем будет ухудшаться, что в конечном итоге приведет к ухудшению качества и снижению степени экологической устойчивости ОС региона в целом. Учитывая эффект запаздывания, для сохранения этого экологического «резерва», необходимо заранее
делать капиталовложения в природоохранные мероприятия по сохранению и росту качества экосистем. Следует отметить, что руководство региона осознает эту опасность, и в 2005 г.
капиталовложения в охрану ОС и природных ресурсов по блоку «Качество экосистем» увеличились более чем в три раза.
По нашему мнению, для детального анализа динамики экологического развития РМЭ
необходимо исследовать и количественно оценить взаимосвязи между рассчитанными
интегральными индикаторами качества окружающей среды региона и группой показателей (промышленность, транспорт, сельскохозяйственное производство, городские агломерации), характеризующих давление на ОС. Результаты такого исследования позволят
выявить (на количественном уровне) ключевые направления совершенствования экологической политики региона, построить точечный прогноз качества и степени экологической устойчивости ОС РМЭ. Такое исследование мы планируем представить в следующей
работе.
7. ??????????
1. Необходимость построения и численной оценки интегрального индикатора качества и
степени экологической устойчивости окружающей среды региона диктуется, с одной стороны, наличием большого числа показателей, принимаемых во внимание при оценке экологического состояния региона, а с другой стороны, ограниченными возможностями человека за
конечное время осмысливать и обобщать большие массивы разнородной информации.
2. Значения построенных интегральных индикаторов и их динамика могут интерпретироваться как оценки степени эффективности управления административных служб, деятельность которых связана с природопользованием, экологическим контролем и охраной окружающей среды.
3. Предложенная иерархическая система статистических показателей, частных критериев и интегральных индикаторов качества окружающей среды региона (рис. 1) допускает как
90
???????? R
последовательную иерархическую декомпозицию каждого из разделов, так и анализ частных критериев сокращенного набора, причем эти критерии также могут рассматриваться
как ключевые индикаторы в рамках известной системы индикаторов устойчивого развития
«ключевые/базовые индикаторы».
4. Предложенная методика нормирования частных критериев и выбора их параметров
позволяет оценивать не только реальное состояние и качество окружающей среды региона, но и степень ее экологической устойчивости.
5. Возможность измерения и мониторинга интегральных индикаторов качества и степени
экологической устойчивости окружающей среды регионов (субъектов) РФ позволяет:
· выявлять их позитивную или негативную динамику для региона;
· анализируя «веса» в свертках, представляющих собой соответствующие интегральные
индикаторы, определять, какие именно факторы (статистические показатели) оказывают
наиболее сильное влияние на формирование выявленной позитивной (негативной) тенденции;
· определять ключевые направления совершенствования экологической политики региона;
· строить прогноз экологической ситуации, результатов принимаемых управленческих
решений.
6. В соответствии с предложенной в данной работе методикой построены следующие интегральные индикаторы:
· качество техносферы;
· качество экосистем;
· качество и степень экологической устойчивости ОС (сводный ИИ).
Проведенный эмпирический анализ динамики этих интегральных индикаторов за
1990?2005 гг. позволил выявить проблемные области, наметить ключевые направления экологической политики, оценить степень эффективности управления административных
служб, деятельность которых связана с природопользованием, экологическим контролем и
охраной окружающей среды.
?????? ??????????
Айвазян С. А. К методологии измерения синтетических категорий качества жизни населения // Экономика и математические методы. 2003. № 2. С. 33?53.
Айвазян С. А., Степанов В. С., Козлова М. И. Измерение синтетических категорий качества жизни населения региона и выявление ключевых направлений совершенствования социально-экономической
политики (на примере Самарской области и ее муниципальных образований) // Прикладная эконометрика. 2006. № 2. С. 18?84.
Государственные доклады «О состоянии окружающей природной среды Республики Марий Эл»
в 1992?2005 гг. Йошкар-Ола, 1993?2006.
Государственный доклад «О состоянии и об охране окружающей среды Российской Федерации
в 2005 году». М.: АНО «Центр международных проектов», 2006. С. 500.
R ????????
91
?. ?. ?????????, ?. ?. ????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? (?? ??????? ?????????? ????? ??)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Долгосрочная Государственная программа охраны природы Марийской ССР на 1991?1995 годы
и на перспективу до 2005 года. Йошкар-Ола, 1991.
Егоренков Б. И. Геоэкология. М.: Финансы и статистика, 2005.
«Живая планета?2006» Доклад WWF // Internet resource: http://www.panda.org/news_facts/publications/
living_planet_report/index.cfm
Зубаревич Н. В. Социальное развитие регионов России: проблемы и тенденции переходного периода. М.: Едиториал УРСС, 2003.
Рыбальский Н. Г., Кузьмин В. Н., Морозов Н. П., Назаревский Н. В., Шакин В. В. Критерии оценки экологической обстановки территорий для выявления зон чрезвычайной экологической ситуации и зон
экологического бедствия. М.: Министерство охраны окружающей среды и природных ресурсов РФ,
1992.
Музалевский А. А. Новые подходы к решению проблемы обеспечения экологической безопасности окружающей среды на основе экологической парадигмы // Internet resource: http://www.eatu.ru/
eatu.ru.page(DOC).doc(1032).html
Национальный план действий по охране окружающей среды Российской Федерации на 1999?2001
годы. М.: Государственный комитет РФ по охране окружающей среды, 1999 // Internet resource: http://
infopravo.by.ru/fed1998/ch02/akt12629.shtm
Осиневич Л. М. Методы экономико-статистического анализа окружающей природной среды [Электронный ресурс]: дис. ? канд. экон. наук: 08.00.12. М.: РГБ, 2003. (Из фондов Российской государственной библиотеки.)
Основные показатели охраны окружающей среды / Статистический бюллетень / Федеральная
служба государственной статистики (Росстат). М., 2007.
Петров С. Э. Анализ агроэффективности территории на базе системы показателей мониторинга состояния земель [Электронный ресурс]: на примере Республики Татарстан: дис. ... канд. геогр. наук:
25.00.26. Астрахань: РГБ, 2007. (Из фондов Российской государственной библиотеки.)
Полоусова Г. Ю. Статистический анализ влияния экологических факторов на здоровье населения
Тульской области [Электронный ресурс]: дис. ... канд. экон. наук: 08.00.12. М.: РГБ, 2003. (Из фондов Российской государственной библиотеки.)
Рубанов И. Н., Тикунов В. С. Методика оценки экологического состояния окружающей среды регионов России // Проблемы региональной экологии. 2007. № 3. С. 20?28.
Садков В. Г., Греков И. Е. Высшие ценности цивилизации и измерение результатов общественного
развития стран мирового сообщества // Материалы Интернет-конференции «Интеллектуальные силы
человечества и гармония мирового развития» (2007) // Internet resource: http://www.plproject.ru/
planetary02.php
Теоретические и практические аспекты устойчивого природопользования: управление, принципы
организации природно-хозяйственных систем, ландшафтное планирование / Под общей ред. д-ра
биол. наук Ю. П. Демакова. Йошкар-Ола: МарГТУ, 2004.
Шитиков В. К., Розенберг Г. С., Зинченко Т. Д. Количественная гидроэкология: методы системной
идентификации. Тольятти: ИЭВБ РАН, 2003.
Шихова О. А. Статистическая оценка социально-экономического и экологического состояния территории: автореф. дис. ? канд. экон. наук: 08.00.12. М., 2007.
Экономика сохранения биоразнообразия / Под ред. А. А. Тишкова. М.: Проект ГЭФ «Сохранение
биоразнообразия Российской Федерации», Институт экономики природопользования, 2002.
2005 Environmental Sustainability Index Report // Internet resource: http://www.yale.edu/esi
92
???????? R
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
С. А. Айвазян
Байесовский подход в эконометрическом анализе
Предлагаемая в данном номере журнала консультация посвящена так называемому
байесовскому подходу в эконометрическом анализе, основанному на субъективновероятностном способе операционализации принципа максимального использования
(наряду с исходными статистическими данными) а п р и о р н о й информации об исследуемом процессе.
Байесовские методы широко распространены в теории и практике эконометрического анализа и являются обязательной составной частью современных учебных программ магистерского уровня по эконометрике в ведущих университетах мира. Особенно заметные преимущества (по сравнению с классическими методами) с точки зрения
точности получаемых статистических выводов они имеют в условиях о т н о с и т е л ь н о м а л ы х выборок, что весьма характерно для эконометрического моделирования.
1. «?????????» ? ????? ?????????? ????? ???????????? ???????
усть в описании рассматриваемой эконометрической модели (закона распределения
анализируемой случайной величины, функции регрессии, временноґго ряда, системы
одновременных уравнений и т. п.) участвует s-мерный параметр Q = (q1 , q 2 ,... , qs ) T
и нашей задачей является построение наилучшей, в определенном смысле, статистической
$ этого параметра по имеющимся k-мерным наблюдениям X i = ( x i(1) , x i( 2 ) ,... , x i( k ) ) T ,
оценки Q
i = 1, 2,... , n. Верхний индекс T здесь и в дальнейшем означает операцию транспонирования
вектора или матрицы, прописными буквами будут обозначаться векторные величины (записываемые как векторы-столбцы), а строчные буквы будут использоваться для обозначения одномерных (возможных или наблюденных) значений анализируемых случайных величин.
Байесовский подход является одним из возможных способов формализации и операционализации тезиса, в справедливости которого нет видимых причин сомневаться: степень
нашей разумной уверенности в некотором утверждении (касающемся, например, неизвестного численного значения интересующего нас параметра) возрастает и корректируется по мере пополнения имеющейся у нас информации относительно исследуемого явления. Могут быть различные формы интерпретации и подтверждения этого тезиса, в том числе не имеющие отношения к байесовскому подходу. Одна из них выражена, например,
$ n неизвестного параметра Q: чем больше объем выв свойстве состоятельности оценки Q
$ n , тем бoґльшей информацией об
борки n, на основании которой мы строим свою оценку Q
$ n к Q по вероятности)
этом параметре мы располагаем и тем ближе (в смысле сходимости Q
к истине наше заключение.
Специфика именно байесовского способа операционализации этого тезиса основана на
двух положениях.
П
R ????????????
93
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
1) Во-первых, «степень нашей разумной уверенности» в справедливости некоторого
утверждения численно выражается в виде вероятности. Это означает, что вероятность
в байесовском подходе выходит за рамки ее интерпретации в терминах условий статистического ансамбля (см. п. В.2.1 в [Айвазян, Мхитарян (2001а)]), но относится к одной из категорий субъективной школы теории вероятностей.
2) Во-вторых, статистик при принятии решения использует в качестве исходной информации одновременно информацию двух типов: априорную и содержащуюся в исходных
статистических данных (см. п. В.3.2 в [Айвазян, Мхитарян (2001а)]). При этом априорная информация пр??доставлена ему в виде некоторого априорного распределения вероятностей
анализируемого неизвестного параметра, которое описывает степень его уверенности
в том, что этот параметр примет то или иное значение, еще до начала сбора исходных статистических данных. По мере же поступления исходных статистических данных статистик
уточняет (пересчитывает) это распределение, переходя от априорного распределения к апостериорному, используя для этого известную формулу Байеса:
P { A i |B } =
P { Ai } Ч P {B | Ai }
N
е P {B | A j } Ч P {A j }
,
(1)
j =1
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
которая определяет правило вычисления условной вероятности события Ai (при условии,
что событие B уже имело место) по безусловной вероятности события Ai и условным вероятностям P {B |A j }, j = 1, 2, ... , N. При этом предполагается, что A1 , A2 ,... , AN образуют полную систему событий, а событие B имеет ненулевую вероятность (т. е. P {B } > 0).
Общая логическая схема байесовского метода оценивания значений параметров
представлена на рис. 1.
Рис. 1. Общая логическая схема байесовского подхода в статистическом оценивании
Рассмотрим реализацию схемы байесовского оценивания неизвестного параметра.
Априорные сведения о параметре Q основаны на предыстории функционирования
анализируемого процесса (если таковая имеется) и на профессиональных теоретических
соображениях о его сущности, специфике, особенностях и т. п. В конечном итоге эти априорные сведения должны быть представлены в виде функции p( Q ), задающей априорное распределение параметра и интерпретируемой как вероятность того, что параметр примет
значение, равное Q, если параметр дискретен, или как функция плотности распределения
в точке Q, если параметр непрерывен по своей природе.
Исходные статистические данные X 1 , X 2 ,... , X n порождаются в соответствии с законом
распределения вероятностей f ( X | Q ), где под f ( X | Q ) понимается значение функции плотно-
94
???????????? R
сти наблюдаемой случайной величины x = ( x (1) , x ( 2 ) , ... , x ( k ) ) T в точке X, если x ? непрерывна, или вероятность P { x = X | Q}, если x дискретна (при условии, что значение неизвестного
параметра равно Q). По умолчанию предполагается, что наблюдения
X 1, X 2 ,K, X n
(2)
при фиксированном Q являются статистически взаимонезависимыми, т. е. образуют случайную выборку из анализируемой генеральной совокупности. Так что, получая исходные статистические данные (2), мы к имеющейся априорной информации о параметре (в виде функции p( Q )) присоединяем соответствующую выборочную (эмпирическую) информацию.
Соответственно, функция правдоподобия L( X 1 ,... , X n | Q ) (условная, при данном Q)
имеющихся наблюдений (2) определится (с учетом их условной взаимонезависимости) соотношением
L( X 1, X 2 ,..., X n |Q) = f ( X 1|Q) Ч f ( X 2 |Q) Ч ... Ч f ( X n |Q).
(3)
Вычисление апостериорного распределения ~
p ( Q| X 1 ,... , X n ) осуществляется с помощью формулы Байеса (1) (или ее непрерывного аналога), в которой роль события Ai играет
событие, заключающееся в том, что значение оцениваемого параметра равно Q, а роль условия B ? событие, заключающееся в том, что значения n наблюдений, произведенных
в анализируемой генеральной совокупности, зафиксированы на уровнях X 1 , X 2 ,... , X n . Соответственно, имеем:
~
p( Q| X 1,..., X n ) =
p( Q)L( X 1,..., X n |Q)
тL( X ,..., X
1
n
|Q) Ч p( Q) dQ
.
(4)
Построение байесовских точечных и интервальных оценок основано на использовании знания апостериорного распределения ~
p ( Q| X 1 , K , X n ), задаваемого соотношением
$ (Б ) используют среднее или мо(4). В частности, в качестве байесовских точечных оценок Q
дальное значение этого распределения, т. е.:
$ (Б ) = E( Q| X 1,K, X n ) = Q~
Q
( ср )
т p(Q| X 1,K, X n )dQ,
(5)
Б)
$ (мод
Q
= arg max~
p( Q| X 1,..., X n ).
Q
Отметим, что для определения общего вида апостериорной плотности ~
p ( Q| X 1 ,... , X n ) нам
достаточно знать только числитель правой части (4), так как знаменатель этого выражения
играет роль нормирующего множителя и от Q не зависит (это существенно упрощает проБ)
$ (мод
$ (срБ) и Q
).
цесс практического построения оценок Q
$ ( X 1 ,... , X n ) ? лю$ (срБ) . Пусть Q
Отметим также одно важное оптимальное свойство оценки Q
$
бая оценка параметра Q. Оказывается, если качество любой оценки Q( X 1 ,... , X n ) измерять
так называемым апостериорным байесовским риском
2
$ ( X 1,..., X n ) - Q) 2 | X 1,..., X n } = ( Q
R (Б ) ( X 1,..., X n ) = E{( Q
т $ ( X 1,..., X n ) - Q) ~p(Q| X 1,..., X n )dQ
(Б )
или его средним (усреднение ? по всем возможным выборкам (2)) значением R ср
, то байесовская оценка (5) является наилучшей и в том и в другом смысле.
R ????????????
95
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Для построения байесовского доверительного интервала для параметра Q необходимо
вычислить по формуле (4) функцию ~
p ( Q| X 1 , K X n ) апостериорного закона распределения
1+ P0
и
параметра Q, а затем по заданной доверительной вероятности P0 определить 100
2
1- P0
%-ные точки этого закона, которые и дают соответственно левый и правый концы
100
2
искомой интервальной оценки.
Заметим, что байесовский способ оценивания может давать весьма ощутимый выигрыш
в точности при ограниченных объемах выборок по сравнению с традиционным «частотным»
подходом. В процессе же неограниченного роста объема выборки n оба подхода будут давать, в силу их состоятельности, все более похожие результаты.
«Узкие места» или три главных вопроса, возникающие при практической реализации
байесовского подхода:
i) как выбрать общий вид (т. е. параметрическое семейство p( Q ; D )) априорного распределения оцениваемого параметра?
ii) как подобрать численные значения D0 параметров D, определяющие конкретный вид
априорного распределения при уже сделанном выборе общего вида p( Q ; D )?
iii) как преодолеваются трудности реализации формулы (4) при вычислении апостериорного распределения ~
p ( Q| X 1 , K , X n )?
2. ????????? ?????????????,
??????????? ? ??????????? ??????????? ?????????????
(??????????? ? ??????? ?????????????)
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
В решении сформулированных выше трех главных вопросов практической реализации
байесовского подхода существенную роль играют распределения, сопряженные с наблюдаемой генеральной совокупностью (или, что то же, ? распределения, сопряженные с функцией правдоподобия L( X 1 , K X n | Q )).
Определение 1. Семейство априорных распределений G = { p( Q ; D )} называется сопряженным по отношению к наблюдаемой генеральной совокупности f ( X | Q ) (или по отношению к функции правдоподобия L( X 1 ,... , X n | Q ), если и апостериорное распределение
~
p ( Q| X 1 ,... , X n ), вычисленное по формуле (4), снова принадлежит этому же семейству G.
Другими словами, семейство распределений G сопряжено с L( X 1 ,... , X n | Q ), если оно замкнуто относительно операции (4) пересчета априорного распределения в апостериорное.
Таким образом, использование в качестве априорных законов распределения вероятностей (з.р.в.) сопряженных по отношению к L плотностей «расшивает» узкое место (iii): поскольку общий вид апостериорного з.р.в. в этом случае известен, остается лишь уметь пересчитывать значения его параметров D при переходе от априорного распределения к апостериорному.
Как мы увидим позже (см. ниже п. 3), использование сопряженных з.р.в. в качестве априорных оказывается в широком классе случаев вполне естественным и оправданным, что позволяет получить ответ и на вопрос (i).
Но всегда ли существует сопряженное по отношению к заданной функции L( X 1 , X 2 ,... X n | Q )
распределение, и если оно существует, то как его найти?
96
???????????? R
Условие существования сопряженного семейства априорных распределений:
если функция правдоподобия L( X 1 ,... , X n | Q ) представима в форме
L( X 1,... X n |Q) = v ( T1( X 1,... X n ), ..., T m ( X 1,... X n ); Q) Ч y( X 1,... X n ),
(6)
где T j ( X 1 ,... X n ) ( j = 1, 2, ... , m ) и y( X 1 ,... X n ) ? некоторые функции от наблюдений X 1 , ... , X n , не
зависящие от параметров Q, то существует семействоG = p( Q ; D ) априорных распределений,
сопряженное с L( X 1 , ... , X n | Q )1.
Проверка условия существования сопряженного априорного распределения на ряде
примеров.
Пример 1.
Анализируемая (наблюдаемая) генеральная совокупность нормальна с неизвестным значением среднего Ex = q и известной дисперсией Dx = s 20 (будем обозначать в дальнейшем
подобный факт в форме x О N q (q ; s 20 ), где x ? наблюдаемая случайная величина, а нижний
индекс q определяет ее размерность; так что, если x = ( x (1) ,... , x ( k ) ) T ? вектор, то
x ОN k ( Q ; S x ) означает, что многомерная случайная величина размерности k распределена
нормально с вектором средних значений Q = (q1 , q 2 ,... , q k ) T и ковариационной матрицей
S x ). В данном примере
ж 1
L( x 1,..., x n |q) = Хf ( x i |q) = зз
i =1
и 2 ps 0
n
n
1
n
n
( xi - q )
- 2 (x -q )
ц - 2s 20 е
ж 1
i=1
= e 2s 0
Ч зз
чч e
ш
и 2 ps 0
2
2
n
1
n
( xi - x )
ц - 2s 20 е
i=1
.
чч e
ш
2
(7)
Мы видим, что роль функции v (T ( x1 ... x n ); q ) из правой части (6) играет первый сомножи1 n
тель в правой части (7), причем m = 1, T ( x1 ,... , x n ) = x = е x i (достаточная статистика),
n i =1
а следующие за v ( x ; q ) сомножители правой части (7) от q не зависят. Следовательно, семейство априорных, сопряженных с L распределений существует.
Пример 2.
1 ц
ж
ж 1ц
x О N1 зq1 ; ч, где и среднее значение q1 = Ex, и q 2 ? параметр точности зq 2 =
ч неизq
xш
D
2 ш
и
и
вестны (т. е. Q = (q1 , q 2 )). Воспользовавшись тем же представлением (7) для функции правдо1 n
подобия L, убеждаемся, что T1 ( x1 ,... , x n ) = x , T 2 ( x1 ,... , x n ) = s 2 = е ( x i - x ) 2 (достаточные стаn i =1
тистики), так что в данном случае m = 2 и семейство априорных, сопряженных (по отношению к L) распределений существует.
1
Функции T j ( X 1 ,... , X n ), участвующие в представлении (6) (если таковое существует), называются достаточными статистиками в задаче статистического оценивания параметровQ = (q1 ,q 2 ,K ,q s ) T . Размерность m векторной
достаточной статистики T ( X 1 ,... , X n ) = (T1( X 1 ,... , X n ),... ,Tm ( X 1 ,... , X n )) конечна при n ® Ґ и зависит от специфики функции L и размерности s оцениваемого параметраQ. Достаточные статистики играют важную роль в теории и приложениях математической статистики. В частности, они используются в задаче построения наилучших несмещенных
оценок в следующей схеме: пусть Q$ ? некоторая несмещенная оценка параметров Q и tr S < Ґ; тогда Q$ 1 = E(Q$ | T )
будет снова несмещенной оценкой параметров Q, причем tr S Q$ 1 Ј tr S Q$ (под S Q$ понимается ковариационная
$
матрица вектора Q).
R ????????????
97
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Пример 3.
Анализируется биномиально распределенная случайная величина x q ( M ) ? число «успехов» в серии из M испытаний Бернулли, где q ? неизвестная вероятность «успеха» в одном
таком испытании, а M ? общее число (известное) испытаний Бернулли в рассматриваемой
серии, так что
f ( x |q) = P { x q ( M ) = x |q} = C Mx q x ( 1 - q) M - x , x = 0, 12
, ,..., M.
Наблюдаются n таких серий. Тогда
n
n
L( x 1, x 2 , ..., x n |q) = Х C q ( 1 - q)
xi
M
xi
M - xi
=q
е xi
i=1
n
( 1 - q)
nM -
е xi
i=1
n
ХC
xi
M
,
i =1
i =1
где xi ? число «успехов» в i-й серии.
n
Поэтому в рамках общего представления (6) в данном случае имеем:m = 1, T ( x1 ,..., x n ) =е x i ?
i =1
достаточная статистика, что подтверждает существование априорного, сопряженного с L
распределения параметра q.
Пример 4.
Анализируется отрицательно биномиально распределенная случайная величина x(q ; K ) ?
число испытаний в схеме Бернулли до K-го появления интересующего нас события, гдеq ? неизвестная вероятность появления этого события при одном испытании, а K ? некоторое заданное целое положительное число. Тогда
f ( x |q) = P { x( q; K ) = x |q} = C xK--11q K ( 1 - q) x - K , x = K , K + 1,...,
так что
n
n
L( x 1,..., x n |q) = Х C
q ( 1 - q)
K -1 K
x i -1
xi - K
= q ( 1 - q)
Kn
е x i - Kn
i=1
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
i =1
n
Ч Х C xKi --11.
i =1
n
Поэтому в рамках общего представления (6) в данном случае имеем:m = 1, T ( x1 ,..., x n ) =е x i ?
i =1
достаточная статистика, что подтверждает существование априорного, сопряженного с L
распределения параметра q.
Пример 5.
В данном примере речь идет об оценивании параметра q пуассоновского з.р.в., т. е.
f ( x |q) = P { x = x |q} =
qx -q
e , x = 0, 12
, ,...,
x!
так что
n
е xi n ж 1 ц
q xi - q
L( x 1, x 2 , ..., x n |q) = Х
e = e - nq Ч q i=1 Ч Х з ч.
i =1 x i !
i =1 и x i ! ш
n
n
Сравнивая с общим представлением (6), в данном случае имеем: m = 1, T ( x1 ,..., x n ) =е x i ?
i =1
достаточная статистика, что подтверждает существование априорного, сопряженного с L
распределения параметра q.
98
???????????? R
Пример 6.
Анализируется экспоненциально распределенная (без сдвига) случайная величина с неизвестным значением параметра масштаба q, т. е.
мq e - qx при x і 0
.
f ( x | q) = н
при x < 0
о0
Соответственно:
ж n
ц
м
x i ч Чq
-з
ч
пq n e зи е
i=1
ш
при x i і 0 .
L( x 1,K, x n |q) = н
п0
при x i < 0
о
n
В рамках общего представления (6) в данном случае имеем: m = 1; T ( x1 ,..., x n ) = е x i ?
i =1
достаточная статистика, что подтверждает существование априорного, сопряженного с L
распределения параметра q.
Пример 7.
Анализируется случайная величина, распределенная равномерно на отрезке [0 ; q ] при
неизвестном значении параметра q, т. е.
мп 1 при 0 Ј x Ј q
.
f ( x |q) = нq
по0 при x П [ 0 ; q]
Соответственно:
n
1
L( x 1, ..., x n |q) = жз цч при q і x max ( n) = max x i .
1Ј i Ј n
иqш
Следовательно, в рамках общего представления (6) имеем: m = 1; T ( x1 ,..., x n ) = xmax (n ) ?
достаточная статистика, что подтверждает существование априорного, сопряженного с L
распределения параметра q.
Пример 8.
Анализируется модель распределения Парето с неизвестным значением параметра формы q, т. е.
мq x 0q
п
f ( x |q) = н x q+1 при x і x 0 ,
по0
при x < x 0
где пороговое значение x 0 считается заданным.
Соответственно:
1
ж n ц
L( x 1, ..., x n |q) = q n x 0nq Ч ззХ x i чч
и i =1 ш
-( q+1)
жg ц
= qn з n ч
иx0 ш
- nq
Ч g n- n ,
ж n цn
где gn = зХ x i ч ? среднее геометрическое значение наблюдений x1 , x 2 , ... , x n анализируеи i =1 ш
мой случайной величины. Следовательно, обращаясь к (6), имеем m = 1, T ( x1 ... x n ) = gn ?
R ????????????
99
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
достаточная статистика, что подтверждает существование априорного, сопряженного с L
распределения параметра q.
Пример 9.
Рассмотрим классическую линейную модель множественной регрессии (КЛММР, см., например, [Айвазян (2001), §2.2]) с нормальными, в среднем нулевыми, взаимонезависимыми
и гомоскедастичными остатками e 1 , e 2 , ... , e n :
Y = XQ + e,
Y = ( y 1, y 2 ,K, y n ) T
где
ж1
з
з1
X=з
M
з
з1
и
и
(8)
x 1(1) K x 1( k ) ц
ч
x (21) K x (2k ) ч
?
K K Kч
ч
x (n1) K x (nk ) чш
наблюденные значения соответственно зависимой (y) и объясняющих ( X = (1, x (1) , ... , x ( k ) ) T )
переменных, e = (e 1 , e 2 ,... , e n ) T ? случайные регрессионные остатки, а Q = (q 0 , q1 , ... , q k ) T и
h = (De i ) -1 ? неизвестные значения параметров модели. Напомним, что значения X, в соответствии с требованиями КЛММР, являются неслучайными и что упомянутые выше свойства
регрессионных остатков формулируются в форме условий:
1
eО N n жз 0; I n цч,
h
и
ш
(9)
1
гдеI n ? единичная матрица размерности n, ковариационная матрица остатковS e = I n , а паh
раметр h = (De i ) -1 обычно называют параметром точности.
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
С учетом (8)?(9) функция правдоподобия наблюдений ( X , Y ) может быть представлена
в форме:
n
L( X, Y |Q; h) =
h2
( 2p )
n
2
e
h
- (Y - X Q ) T (Y - X Q )
2
.
(10)
$ - Q )] T ґ
$ + XQ
$ - XQ ) T (Y - XQ
$ + XQ
$ - XQ ) = [(Y - XQ
$ ) + X( Q
Но (Y - XQ ) T (Y - XQ ) = (Y - XQ
T
1
T
$ ) + X( Q
$ - Q )], где Q
$ = ( X X ) X Y ? оценка метода наименьших квадратов параґ [(Y - XQ
метров регрессии Q.
Поэтому
$ ) T ( Y - XQ
$ ) + (Q
$ - Q) T X T X( Q
$ - Q),
( Y - XQ) T ( Y - XQ) = ( Y - XQ
(11)
$ ) T X (Q
$ - Q) = [ X (Q
$ - Q)] T (Y - XQ
$ ) = (Y T X - Q
$ T X T X )(Q
$ - Q) = [ Y T X - (( X T X )-1 X TY ) T ґ
так как (Y - XQ
$ - Q ) = [Y T X - Y T X ( X T X ) -1 ( X T X )]( Q
$ - Q ) = 0.
ґ ( X T X )]( Q
Возвращаясь к (10) и выражая в (11) сумму квадратов МНК-оцененных остатков
1
$ ) T (Y - XQ
$ ), имеем:
$ )T ( Y - XQ
$ ) через оценку остаточной дисперсии s$ 2 =
(Y - XQ
(Y - XQ
n-k -1
L( X; Y |Q; h) =
(2p )
100
n
1
n
2
Чh 2 e
h $
ж n - k -1 $ 2 ц
$ -Q )
- Q ) T X T X( Q
-з
s чh- (Q
2
и 2
ш
.
(12)
???????????? R
$ в конечном счете, определяются по Y T Y , X T Y и X T X, так что и в данОтметим, что s$ 2 и Q,
ном случае функция правдоподобия L представима в форме (6), в которой набор достаточных статистик T ( X ; Y ) конечен (при n ® Ґ) и определяется статистиками Y T Y и X T Y. Следовательно, существует априорное распределение параметров Q и h, сопряженное с L.
3. ??????? ????????? ??????????? ?????????????
Оказывается, для широкого класса наблюдаемых генеральных совокупностей, функции
правдоподобия которых допускают представление (6) (т. е. эти генеральные совокупности
располагают сопряженным с L априорным распределением своих параметров), справедливо следующее утверждение о генезисе сопряженных априорных распределений:
если в байесовском подходе стартовать с априорного распределения, не несущего никакой дополнительной по отношению к имеющимся статистическим данным полезной информации об оцениваемых параметрах, то первый же переход от нее по формуле (4) к апостериорному распределению приведет нас к семейству распределений, сопряженному с наблюдаемой генеральной совокупностью2.
Именно этот прием поиска априорного распределения, сопряженного с анализируемой
функцией правдоподобия, представимой в формуле (6), и предлагается использовать в байесовском подходе.
3.1. Априорные распределения, отражающие «скудость априорных знаний»
(САЗ-априорные распределения)
Для математической формализации ситуаций, в которых исследователь не располагает
никакой полезной априорной информацией о значениях оцениваемого параметра, Джеффрис (см. [Jeffreys (1957)]) предложил следующие два правила выбора соответствующего априорного распределения:
(а) если оцениваемый скалярный параметр q может (теоретически) принимать значения на конечном интервале [qmin , qmax ] или на бесконечном интервале от -Ґ до +Ґ, то априорную функцию плотности p(q ) следует считать постоянной на соответствующем интервале;
(б) если же из смысла оцениваемого параметра вытекает, что он может принимать любые положительные значения, то следует считать постоянной на всей числовой прямой
( -Ґ ; + Ґ ) функцию плотности распределения логарифма от значения параметра, т. е.
p(ln q ) = const при qО (0 ; + Ґ ).
Будем называть такие априорные распределения «распределениями, отражающими скудость априорных знаний» или коротко ? «САЗ-априорными распределениями». Соответственно, их одномерные функции плотности будем обозначать p САЗ (q ), а многомерные ?
p САЗ ( Q ).
Тот факт, что для определенных таким образом на бесконечной прямой (полупрямой) априорных распределений нарушается известное правило нормировки функции плотности
2
Строгое доказательство этого утверждения для однопараметрического экспоненциального семейства наблюдаемых генеральных совокупностей см. в [Ghosh et al. (2006), п. 5.1.5]. Однако справедливость этого утверждения подтверждается (непосредственной проверкой) и для весьма широкого класса наблюдаемых генеральных совокупностей, не принадлежащих экспоненциальному семейству.
R ????????????
101
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
вероятности (поскольку при этом т p САЗ (q ) dq № 1, но т p САЗ (q ) dq = Ґ , где интегрирование
проводится по всем возможным значениям q), не доставляет «технических неудобств»:
во-первых, пересчет такой «несобственной» априорной функции плотности p САЗ (q ) в апостериорную по формуле (4) дает уже обычную (собственную) функцию плотности
~
p САЗ (q| X 1 , K , X n ), а во-вторых, при любых сколь угодно больших значениях C плотность
мп 1 при q О [ - C ; +C ]
p САЗ ( q) = н2 C
при q П [ - C ; +C ]
оп0
C
минимизирует энтропийную меру информации ?H =
т p(q)ln p(q) dq, содержащейся в плот-
-C
ности p(q ) относительно параметра q (см., например, [Зельнер (1980), с. 59]). Последнее обстоятельство подтверждает обоснованность использования равномерных распределений
p САЗ (q ) = const или p САЗ (ln q ) = const в качестве априорных распределений, отражающих скудость априорных знаний (или САЗ-априорных распределений).
Замечание 1. Общий вид апостериорного распределения ~
p (q| X 1 , K , X n ), вычисляемого
по формуле (4), определяется, с точностью до нормирующей константы, лишь числителем
правой части этой формулы. Поэтому в дальнейшем при анализе равенств, справедливых
с точностью до нормирующей константы, мы будем использовать знак ~. Следуя этому правилу, сама формула (4) может быть представлена в виде:
~
p( Q| X 1, ..., X n ) ~ p( Q) Ч L( X 1, ..., X n |Q).
(4')
Замечание 2. При анализе многомерных параметров Q = (q1 , K , qs ) T априорные, в том
числе САЗ-априорные, распределения обычно предполагают статистическую независимость компонент q1 ,... qs , т. е.
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
p( Q) = p( q1 ) Ч p( q 2 ) Ч ... Ч p( q s ).
(13)
И, наконец, в заключение этого пункта определим вид априорной плотности p(q ) для случая p(ln q ) = const, т. е. в ситуации, когда параметрq может принимать любые, но только положительные значения.
Пусть Fq ( y ) = P {q < y } ? функция распределения параметра q. Тогда
Fq ( y ) = P {q < y } = P {lnq < ln y } = Fln q (ln y ).
Соответственно, функция плотности распределения q будет:
fq ( y) =
¶Fq ( y ) ¶Fln q (ln y ) ¶ (ln y )
1 1
=
Ч
= f ln q (ln y ) Ч ~ ,
¶y
¶ (ln y )
¶y
y y
так как по условиюf ln q (ln y ) = p(ln q ) = const. Так что в сокращенной записи имеем для положительнозначных параметров q:
1
p САЗ ( q) ~ ,
q
(14а)
а для параметров q с возможными значениями, заполняющими всю числовую прямую,
p САЗ ( q) = const.
102
(14б)
???????????? R
3.2. Общий подход к выводу семейства априорных распределений,
сопряженных с наблюдаемой генеральной совокупностью
Общий подход к выводу семейства априорных распределений, сопряженных с наблюдаемой генеральной совокупностью, основан на утверждении об их генезисе, сформулированном в начале пункта 3. Из этого утверждения вытекает, в частности, следующая общая
схема определения такого семейства.
Шаг 1: проверка условия (6) существования семейства априорных распределений, сопряженных с функцией правдоподобия L для наблюдаемой генеральной совокупности.
Шаг 2: если функция правдоподобия L допускает представление (6) (т. е. если существует
семейство сопряженных априорных распределений p( Q ; L)), то осуществляется вывод САЗапостериорного распределения ~
p САЗ ( Q| X 1 , K , X n ) по формуле (4'), т. е.
~
p САЗ ( Q| X 1,K, X n ) ~ p САЗ ( Q) Ч L( X 1,K, X n |Q).
(15)
Правая часть соотношения (15) и будет определять общий вид семейства априорных распределений, сопряженных с наблюдаемой генеральной совокупностью, характеризуемой
функцией правдоподобия L( X 1 , X 2 , K , X n | Q ).
Продемонстрируем реализацию этой общей схемы на рассмотренных выше примерах 1?9. Очевидно, нам остается реализовать лишь шаг 2 из этой схемы, так как шаг 1 уже был
реализован выше (см. п. 2).
Пример 1 (продолжение).
x О N1 (q ; s 20 ), где q = Ex ? оцениваемый (неизвестный) параметр, а s 20 = Dx ? известное
(заданное) значение дисперсии наблюдаемой случайной величины. Ранее было установлено
(см. выше, пример 1, формулу (7)), что в этом случае существует семейство сопряженных апn
риорных распределений параметра q.
(x - q)2
2
(см. выше, формуОпределим p САЗ (q ) = const и с учетом того, что L( x1 , K , x n | q ) ~ e 2 s 0
лу (7)), имеем:
~
p САЗ ( q| x 1, ..., x n ) ~ p САЗ ( q) Ч L( x 1, ..., x n |q) ~ e
-
n
2 s 20
( x -q ) 2
.
Но правая часть этого соотношения представляет собой (с точностью до нормирующего
множителя, не зависящего от q) плотность нормального распределения со средним значением x и дисперсией s 20 /n. Следовательно, семейство сопряженных априорных распределений неизвестного среднего значения q нормально распределенной генеральной совокупности (при известной дисперсииs 20 = Dx) само принадлежит классу нормальных законов
распределения.
Пример 2 (продолжение).
ж 1ц
x О N1 з q ; ч, где и среднее значение q, и параметр точности h = 1/ Dx являются неизвести hш
ными (т. е. Q = (q , h )). Ранее было установлено (см. выше, пример 2), что в этом случае существует семейство двумерных сопряженных априорных распределений параметра Q = (q , h ).
1
Определим p САЗ (q ) = const и p САЗ (h ) ~ и с учетом (13) и того, что
h
R ????????????
103
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
n
2
L( x 1, ..., x n |q, h) ~ h e
h n
- Ч ( xi - q ) 2
2 i=1
е
n
2
=h e
n
щ
hй
- к n( q - x ) 2 + ( x i - x ) 2 ъ
2 кл
ы
i=1
е
1
2
~ ( nh) e
-
nh
(q-x )2
2
Чh
n 1
2 2
e
ж1
- зз
и2
n
ц
i=1
ш
е ( x i - x ) 2 чч h
,
(16)
имеем:
1
nh
- ( q-x )
~
p САЗ ( q, h| x 1, ..., x n ) ~ p САЗ ( q) Ч p САЗ ( h) Ч L( x 1, ..., x n |q, h) ~ ( nh) 2 e 2
Чh
2
ж1
n -1
з
-1 - з 2
и
2
e
n
ц
i=1
ш
е ( x i - x ) 2 чч h
.
(17)
Но правая часть (17) представляет собой (с точностью до нормирующего множителя, не
зависящего от q и h, см. Приложение 2) плотность двумерного гамма-нормального распределения
1
p( q, h) ~ ( l 0 h) 2 e
с параметрами l 0 = n, q 0 = x, a =
-
l0 h
( q-q0 )2
2
Ч h a -1e - bh
(18)
1
n-1
и b = е(xi - x )2 .
2
2 i =1
n
Следовательно, семейство сопряженных априорных распределений двумерного параметра Q = (q , h ), где q и h соответственно среднее значение и параметр точности наблюдаемой нормальной генеральной совокупности, принадлежит классу двумерных гамманормальных распределений (18).
Пример 3 (продолжение).
Наблюдаемая случайная величина x q ( M ) подчиняется биномиальному з.р.в. с неизвестным значением вероятности «успеха» q и заданным числом испытаний Бернулли М.
Ранее было установлено (см. выше, пример 3), что существует семейство сопряженных
n
n
априорных распределений параметра q.
nM - е x i
е xi
Определим p САЗ (q ) = 1для qО (0 ; 1) и с учетом того, что L( x1 , ... , x n | q ) ~ q i=1 Ч (1- q ) i=1 ,
имеем:
n
е i
~
p САЗ ( q| x 1,K, x n ) ~ p САЗ ( q) Ч L( x 1, ..., x n |q) ~ q i=1 Ч ( 1 - q)
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
x
n
nM -
е xi
i=1
.
(19)
Но правая часть соотношения (19) представляет собой (с точностью до нормирующего
множителя, не зависящего от q) плотность бета-распределения
p( q) =
G( a + b ) a -1
q ( 1 - q) b -1
G( a ) ЧG( b )
n
n
i =1
i =1
(20)
с параметрами a = е x i + 1и b = nM - е x i + 1 (участвующая в правой части (20) в выражении
нормирующего множителя функция G( z ) ? это известная гамма-функция Эйлера, т. е.
Ґ
G( z ) = т x z -1e - x dx).
0
Следовательно, семейство сопряженных априорных распределений параметра q (вероятности «успеха») наблюдаемой биномиально распределенной генеральной совокупности
принадлежит классу бета-распределений (20).
Пример 4 (продолжение).
Ранее было установлено (см. выше, пример 4), что отрицательно биномиально распределенная случайная величина x(q ; K ) имеет сопряженное априорное распределение пара-
104
???????????? R
метра q ? вероятности «успеха» в одном испытании Бернулли. Как и в предыдущем примеn
е x i - Kn
ре, определяем p САЗ (q ) = 1(для qО (0 ;1).
) Тогда с учетом того, что L( x1 , ... , x n | q ) ~ q Kn (1- q ) i=1
(см. выше, пример 4), имеем:
n
е
~
p САЗ ( q| x 1,K, x n ) ~ p САЗ ( q) Ч L( x 1, ..., x n |q) ~ q Kn ( 1 - q) i=1
x i - Kn
(21)
.
Правая часть (21) представляет собой (с точностью до нормирующего множителя, не завиn
сящего отq) плотность бета-распределения (20) с параметрами a = Kn + 1 и b = е x i - Kn + 1.
i =1
Так что семейство сопряженных априорных распределений параметра q (вероятности
«успеха») наблюдаемой отрицательно биномиально распределенной случайной величины
x(q ; K ) принадлежит классу бета-распределений (20).
Пример 5 (продолжение).
Ранее было установлено (см. выше, пример 5), что параметр q пуассоновского з.р.в. имеет
сопряженное априорное распределение. Из смысла параметра q следует, что он может при1
нимать только положительные
значения, поэтому определяем p САЗ (q ) ~ . Тогда с учетом
n
q
е xi
того, что L( x1 , ... , x n | q ) ~ q i=1 Ч e - nq (см. выше, пример 5), имеем:
n
е
~
p САЗ ( q| x 1,K, x n ) ~ p САЗ ( q) Ч L( x 1, ..., x n |q) ~ q i=1
x i -1
Ч e - nq .
(22)
Правая часть (22) представляет собой (с точностью до нормирующего множителя, не зависящего от q) плотность гамма-распределения
p( q) =
ba
Ч q a -1 e - bq , q > 0,
G( a )
(23)
n
с параметрами a = е x i и b = n.
i =1
Следовательно, семейство сопряженных априорных распределений параметра q наблюдаемой генеральной совокупности принадлежит классу гамма-распределений (23).
Пример 6 (продолжение).
Ранее было установлено (см. выше, пример 6), что параметр масштаба q экспоненциального распределения имеет сопряженное априорное распределение. Поскольку q > 0, опреж
ц
n
- зз е x i ч q
1
ч
деляем p САЗ (q ) ~ . Тогда с учетом того, что L( x1 , ... , x n | q ) ~ q n Ч e и i=1 ш (см. выше, пример 6),
q
имеем:
~
p САЗ ( q| x 1,..., x n ) ~ p САЗ ( q) Ч L( x 1, ..., x n |q) ~ q Ч e
n -1
ж
- зз
и
n
ц
i=1
ш
е x i чч q
(24)
.
Правая часть (24) определяет (с точностью до нормирующего множителя, не зависящего
n
от q) плотность гамма-распределения (23) с параметрами a = n и b = е x i . Так что семейство
i =1
R ????????????
105
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
сопряженных априорных распределений параметра масштаба q экспоненциально распределенной генеральной совокупности принадлежит классу гамма-распределений (23).
Пример 7 (продолжение).
Как мы видели (см. выше, пример 7), и при равномерно распределенной на отрезке
[0 ; q ] случайной величине неизвестный параметр q имеет сопряженное априорное распределение. Поскольку параметр q может принимать любые положительные значения,
n
1
ж 1ц
определяем p САЗ (q ) ~ . Тогда с учетом того, что L( x1 , K , x n | q ) = з ч (и xmax (n ) = max x i Ј q),
1Ј i Ј n
q
иq ш
имеем:
n+1
м
ж 1 ц при q і x ( n)
Ч
p
(
)
L
(
x
,...,
x
|
)
~
q
q
п САЗ
max
1
n
з ч
~
.
p САЗ ( q| x 1,..., x n ) ~ н
иqш
п0 при q < x max ( n)
о
(25)
Но правая часть соотношения (25) представляет собой (с точностью до нормирующего
множителя, не зависящего от q) плотность распределения Парето вида
a
мaqmin
п
p( q) = н q a+1
по0
при q і qmin
(26)
при q < qmin
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
с параметром формы a = n и некоторым параметром сдвига qmin і xmax (n ). Следовательно,
семейство сопряженных априорных распределений параметра q равномерно (на [0 ; q ]) распределенной случайной величины принадлежит классу распределений Парето вида (26).
Пример 8 (продолжение).
В данном примере речь идет о наблюдаемой генеральной совокупности, подчиняющейся распределению Парето с неизвестным значением параметра формы q и некоторым заданным значением параметра сдвига x 0 (см. выше, пример 8), так что
1
n
жg ц
L( x 1, ..., x n |q) = q n з n ч
иx0 ш
- nq
Ч g n- n ~ q n Ч e
й
ж gn
- к n ln з
и x0
л
цщ
чч ъ Чq
шы
,
ж n ц
где gn = зХ x i ч . Но тогда САЗ-апостериорная функция плотности распределения парамети i =1 ш
1ц
ж
ра q будет иметь вид з с учетом того, что p САЗ (q ) ~ ч :
qш
и
~
p САЗ ( q| x 1, ..., x n ) ~ p САЗ ( q) Ч L( x 1, ..., x n |q) ~ q n -1 Ч e
й
ж gn
- к n ln з
и x0
л
цщ
чч ъ Чq
шы
.
(27)
Мы видим, что правая часть соотношения (27) определяет (с точностью до нормирующего множителя, не зависящего от параметра q) плотность гамма-распределения (23) с параж gn ц
метром a = n и параметром b = n lnз ч, так что сопряженные априорные распределения
и x0 ш
параметра формы q наблюдаемой Парето-распределенной генеральной совокупности принадлежат семейству гамма-распределений.
106
???????????? R
Пример 9 (продолжение).
Выше при рассмотрении нормальной классической линейной модели множественной
регрессии с неизвестными значениями коэффициентов регрессии Q = (q 0 , q1 , K , q k ) T и па1
раметра точности h = 2 (где s 2 = De i ) мы убедились в том, что у параметров q 0 , q1 , ... , q k , h
s
существуют сопряженные априорные распределения. Определим теперь общий вид сопряженного априорного распределения p( Q ; h ) параметров Q и h. С учетом «Замечания 2» (см.
выше) и положительных значений параметра h имеем:
1
p САЗ ( q 0 , q1, ..., q k ; h) = p САЗ ( q 0 ) Ч p САЗ ( q1 ) Ч ... Ч p САЗ ( q k ) Ч p САЗ ( h) ~ .
h
Используя полученное ранее выражение (12) для функции правдоподобия L( X ; Y | Q ; h ),
имеем:
ж n - k -1 $ 2 ц
s чh
2
ш
1 n -з
~
p САЗ ( Q; h| X; Y ) ~ p САЗ ( Q; h) Ч L( X; Y |Q; h) ~ Ч h 2 Ч e и
h
=h
n - k -1
-1
2
Чe
ж n - k -1 $ 2 ц
s чh
-з
и 2
ш
Чh
k+1
2
Чe
Чe
h $
$ -Q )
- (Q
- Q ) Т ( X Т X )( Q
2
h $
$ -Q )
- (Q
- Q ) Т ( X Т X )( Q
2
=
(28)
.
Но правая часть соотношения (28) определяет (с точностью до нормирующего множителя, не зависящего от Q и h) так называемое многомерное гамма-нормальное распределение
$ матрицей точности( Х Т Х ) и параметрамиa = n - k - 1иb = n - k - 1s$ 2
с параметром сдвига Q,
2
2
(подробнее о многомерном гамма-нормальном распределении и его свойствах см. в Прило$ = ( X Т X ) -1 X Т Y ? это МНК-оценка параметров регрессии Q, а
жении 2). Напомним, что Q
1
$ ) Т (Y - XQ
$ ) ? оценка остаточной дисперсии s 2 .
s$ 2 =
(Y - XQ
n-k -1
Таким образом, сопряженные априорные распределения параметров ( Q ; h ) нормальной
классической линейной множественной регрессии имеют общий вид:
k+1
1
p( Q; h) ~ h 2 |L 0 | 2 e
h
- ( Q - Q 0 )Т L 0 ( Q - Q 0 )
2
Ч h a -1e - bh ,
(29)
в котором конкретное задание векторного параметра сдвига Q 0 , (k + 1) ґ (k + 1)-матрицы точности L 0 и скалярных параметров a и b однозначно определяет априорный закон распределения параметров Q и h (напомним, что k + 1? это общее число объясняющих переменных, включая свободный член, в анализируемой модели регрессии).
Очевидно, семейство многомерных гамма-нормальных распределений (29) является
многомерным обобщением двумерного гамма-нормального распределения (18).
3.3. ???????????? ?? ??????? ?????????? ???????? ??????????
? ??????????? ????????? ??????????????
Использование в качестве априорных законов распределения вероятностей (з.р.в.), сопряженных с наблюдаемой генеральной совокупностью (в ситуациях, когда они существуют),
позволяет нам определить их общий вид, т. е. задает целое семейство априорных распределений { p( Q ; D )}. Однако при реализации байесовского подхода мы должны оперировать
конкретным априорным распределением, что требует знания числовых значений D0 параметров D, от которых наш априорный з.р.в. зависит. Как же подбирать эти значения D0 в кажR ????????????
107
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
дом конкретном случае? Ниже описывается один из возможных подходов к решению данной
задачи.
В широком классе ситуаций можно исходить из того, что нам известны априорные средние значения оцениваемого параметра Q 0 = EQ = (Eq1 , Eq 2 , ... , Eqs ) Т и их среднеквадратические ошибки D 1 = Dq1 , D 2 = Dq 2 , ... , D s = Dqs . Тогда параметры априорного распределения, как правило, могут быть определены методом моментов (в случае многомерного
параметра Q ? с учетом «Замечания 2» о статистической независимости компонент вектора
Q в априорном распределении, см. (13)).
Продемонстрируем реализацию этого подхода на рассмотренных выше примерах.
1) Определение параметров априорного гамма-распределения (см. формулу (23)
и примеры 5, 6, 8). Как известно (см., например, [Айвазян, Мхитарян (2001)]), среднее значение (Eq ) и дисперсия (Dq ) гамма-распределения выражаются через параметры a и b этого
распределения по формулам:
Eq =
a
a
, Dq = 2 .
b
b
Подставляя в эти соотношения вместоEq иDq соответственно заданные значенияq 0 и D2 ,
получаем в качестве решений системы из двух уравнений (относительно a и b):
a=
q 20
q
, b = 02 .
2
D
D
(30)
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
2) Определение параметров априорного бета-распределения (см. формулу (20)
и примеры 3 и 4). Используя выражения для среднего и дисперсии бета-рапсределения (см.,
например, [Айвазян, Мхитарян (2001)]) и решая систему из двух уравнений
мEq = a = q
0
п
a +b
н
ab
= D2
пDq =
( a + b ) 2 ( a + b + 1)
о
(31)
относительно a и b, получаем:
a=
q 20 ( 1 - q 0 )
ж q 2 (1- q )
ц 1- q 0
.
- q0 , b = з 0 2 0 - q0 ч
2
D
D
и
ш q0
3) Определение параметров априорного распределения Парето (см. формулу (26)
и пример 7). В данном случае параметр формы a и параметр сдвига qmin определяются по заданным значениям q 0 = Eq и D2 = Dq из системы уравнений
мEq = aqmin = q
0
п
a -1
.
2
н
aqmin
2
=
D
пDq =
( a - 1) 2 ( a - 2 )
о
(32)
Решение этой системы относительно a и qmin дает:
a = 1+ 1+
108
q 20
,
D2
qmin =
1
q 0 Ч ( a - 1).
a
(32?)
???????????? R
4) Определение параметров двумерного гамма-нормального распределения (см.
формулу (18) в примере 2). Из свойств двумерного гамма-нормального распределения следует (см. Приложение 2), что частное априорное распределение параметра h есть гаммараспределение с параметрами a и b. Поэтому, воспользовавшись заданными значениями
h0 = Eh и D2h = Dh, составляем систему из двух уравнений относительно a и b:
мEh = a = h
0
пп
b
.
н
a
пDh = 2 = D2h
по
b
Получаем решение:
a=
h 02
h
и b = 20 .
2
Dh
Dh
(33)
Для определения параметра l 0 и параметра сдвига q 0 воспользуемся тем, что частное
априорное распределение параметра сдвига q есть обобщенное распределение Стьюдента
a
с 2a степенями свободы, параметром сдвига q 0 и параметром точности, равным l 0 (свеb
aц
ж
дения о t з 2a| q 0 ; l 0 ч-распределении см. в Приложении 1). Из свойств этого распредеbш
и
aц
aц
b
2a
ж
ж
ления следует, чтоEt з2a| q 0 ; l 0 ч = q 0 иDt з2a| q 0 ; l 0 ч =
(см. Приложение 1),
Ч
bш
b ш l 0 Ч a 2a - 2
и
и
так что при заданных значениях q 0 = Eq и D2q = Dq имеем:
· Значение параметра сдвига в распределении (18) равно q 0 ;
· D2q =
b
b
a
1
, откуда l 0 = 2 Ч
Ч
l 0 Чa a - 1
Dq a -1
(34)
(напомним, что a и b уже определены соотношениями (33)).
5) Определение параметров многомерного гамма-нормального распределения
(см. формулу (29) в примере 9). Воспользуемся свойствами многомерного гамма-нормального распределения (см. Приложение 2). В соответствии с ними:
(i) частное распределение числового сомножителя h является гамма-распределением
с параметрами a и b;
(ii) частное распределение параметра Q есть обобщенное (k + 1-мерное
распределение
)
Стьюдента с 2a числом степеней свободы, параметром сдвига Q 0 и матрицей точности
a
B = L 0 (мы обозначаем его как t ( 2a| Q 0 ; B )-распределение).
b
Свойство (i) позволяет (при заданных значениях h0 = Eh и D2h = Dh) определить значения
параметров a и b по той же формуле (33).
Свойство (ii), дополненное «Замечанием 2» и правилами вычисления вектора средних
a
ж
ц
значений и ковариационной матрицы (k + 1-мерной
случайной величины t з 2a| Q 0 ; L 0 ч
)
b
и
ш
R ????????????
109
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
(см. Приложение 1), позволяет определить остальные параметры распределения (29) ? параметр сдвига Q 0 и элементы матрицы L 0 . Действительно:
ж
a ц
EQ = Et зз2a|Q 0 ; L 0 чч = Q 0 (задано!)
b ш
и
2a ж a ц
з L0 ч
SQ = S
=
a
t ( 2 a| Q 0 ; L 0 )
2a - 2 зи b чш
b
-1
ж D20
з
з
=з
з
з 0
и
D21
0 ц
ч
ч
ч,
O
ч
D2k чш
(35)
где D2j ? заданные значения априорных дисперсий компонент вектора Q = (q 0 , q1 , ... , q k ),
j = 0 , 1, ... , k .
Таким образом, векторный параметр сдвига в распределении (29) определяется заданным вектором априорных средних значений Q 0 , а диагональные элементы l(0j ) ( j = 0 , 1, ... , k )
матрицы L 0 определяются ??з уравнений (35) по формуле:
l( 0j ) =
b
1
Ч
,
2
D j a -1
(36)
где значения a и b определены соотношениями (33).
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
4. ???????? ???????? ??????????
??? ???????? ?? ?????????? ???????????? ?????????????
? ??????????????
Поскольку, по определению, семейство сопряженных априорных распределений
{ p( Q ; D )} замкнуто относительно операции (4) пересчета априорного распределения в апостериорное, то общий вид апостериорного распределения ~
p ( Q| X 1 , ... , X n ) при использовании сопряженных априорных распределений нам известен, и нам лишь надо уметь пересчи~
тывать параметры D ( X 1 , ... , X n ) этого апостериорного распределения по заданным параметрам D0 априорного распределения и имеющимся наблюдениям X 1 , X 2 , ... , X n .
Общая схема такого пересчета следующая. Пусть { p( Q ; D )} ? семейство априорных распределений, сопряженных с функцией правдоподобия L( x1 , K , x n | Q ) имеющихся у нас наблюдений (D = ( d1 , ... , d q ) ? вектор параметров, от которых зависит сопряженное априорное распределение p( Q ; D )), и пусть D 0 ? заданные (известные) значения параметров D в
анализируемом случае. Тогда с помощью ряда тождественных преобразований правая часть
соотношения
~
p( Q| X 1, ..., X n ) ~ p( Q; D 0 ) Ч L( X 1, ..., X n |Q)
(37)
приводится, с точностью до множителей, не зависящих от Q, к виду p( Q ; D( X 1 , ... , X n )), где
последняя функция принадлежит семейству p( Q ; D ), а каждая из компонент d j ( X 1 , ... , X n )
( j = 1, 2, ... , q) вектора параметров D( X 1 , ... , X n ) является функцией от D0 и { X 1 , X 2 , ... , X n }.
Продемонстрируем реализацию этой общей схемы на наших примерах (с разной степенью подробности).
110
???????????? R
n
( q- q0 ) 2
Пример 1 (продолжение).
(x - q)2
1
2
2 s 20
(см. (7)), p(q ; D ) =
В данном примере L( x1 , x 2 , ... , x n | q )~ e
e 2 D 0 (т. е. d1 = q 0 ,
2p D 0
d 2 = D20 ), так что
~
p( q| x 1, ..., x n ) ~ e
( q - d1 ) 2
2d 2
Чe
-
1
2 s 20 n
(x -q )2
~e
1
~
- ~ ( q -d1 ) 2
2d 2
,
где
1
1
Чq 0
s n
D20
~
d1( x 1, ..., x n ) = E( q| x 1, ..., x n ) =
1
1
+ 2
2
s0 n D0
2
0
Чx +
ж 1
1
~
d 2 ( x 1, ..., x n ) = D( q| x 1, ..., x n ) = зз 2 + 2
иs 0 n D 0
и
(38)
-1
ц
ч .
ч
ш
Необходимые промежуточные выкладки нацелены на выделение полного квадрата раз~
1
1
ности (q - d1 ) 2 из выражения
(q - d1 ) 2 +
(q - x ) 2 и не представляют принципиальad 2
2 s 20 n
ных трудностей.
~
~
Мы видим, что среднее ( d1 ) и дисперсия ( d 2 ) апостериорного нормального распределения являются определенным образом средневзвешенными значениями априорных и выборочных соответственно средних и дисперсий.
Пример 2 (продолжение).
При реализации общей схемы пересчета априорных параметров в апостериорные в данном случае следует учесть представление функции правдоподобия L в форме (16) (см. выше,
пример 2), вид (18) априорной плотности двумерного гамма-нормального распределения
(в котором вектор параметров D 0 = ( l 0 ; q 0 ; a ; b )), а также справедливость тождества
2
l n
ж l q + nx ц
n( q - x ) 2 + l 0 ( q - q 0 ) 2 = ( l 0 + n) зq - 0 0
ч + 0 (q 0 - x ) 2 .
l0 + n ш
l0 + n
и
Тогда вычисление ~
p (q ; h ) по схеме (37) приводит нас снова к двумерному гамманормальному распределению вида (18), но с параметрами
~
l 0 = l 0 + n,
nx + l 0 q 0
~
q0 =
,
n+ l0
n
~
a =a+ ,
2
1 n
( x - q0 ) 2
~
b = b + е( x i - x ) 2 +
.
2 i =1
ж1 1 ц
2з +
ч
иn l0 ш
(39)
Пример 3 (продолжение).
Непосредственная реализация соотношения (37) в данном случае дает:
R ????????????
111
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
n
е i
~
p( q| x 1, ..., x n ) ~ q a -1( 1 - q) b -1 Ч q i=1 ( 1 - q)
x
n
nM -
е xi
i=1
n
n
=q
е x i -1
a+
i=1
( 1 - q)
b+nM -
е x i -1
i=1
.
(40)
Но правая часть (40) определяет (с точностью до нормирующего множителя) снова бетараспределение с параметрами:
n
~
a = a +еx i ,
i =1
(41)
n
~
b = b + nM - е x i .
i =1
Пример 4 (продолжение).
Подставляя в правую часть соотношения (37)
p( q; D 0 ) = p( q; a, b ) ~ q a -1( 1 - q) b -1,
n
L( x 1, ..., x n |q) ~ q ( 1 - q)
Kn
е x i - Kn
i=1
,
имеем:
n
b+е x i - Kn -1
~
p( q| x 1, ..., x n ) ~ q a+Kn -1( 1 - q) i=1
.
Мы видим, что апостериорное распределение параметра (вероятности «успеха»)
отрицательно-биномиального закона, так же как и априорное, является бета~
~
распределением и что его параметры D = ( ~
a , b ) определяются соотношениями:
n
~
~
a = a + Kn, b = b + е x i - Kn.
(42)
i =1
Пример 5 (продолжение).
Как мы видели ранее, функция правдоподобия наблюдений пуассоновской генеральной
совокупности имеет вид:
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
n
е xi
L( x 1, ..., x n |q) ~ q i=1 e - nq .
Так что, используя в качестве априорного распределения p(q ; D ) = p(q ; a , b ) параметра q
гамма-распределение (23), имеем:
n
n
a+е x i -1
е xi
~
p( q| x 1, ..., x n ) ~ q a -1e - bq Ч q i=1 e - nq = q i=1 e -( b+n ) q .
Тем самым подтверждается сопряженность априорного гамма-распределения, причем
~
~
апостериорное гамма-распределение определяется параметрами D = (~
a , b ), где
n
~
~
a = a + е x i ; b = b + n.
(43)
i =1
Пример 6 (продолжение).
Функция правдоподобия экспоненциально распределенных наблюдений (с параметром
масштаба q) имеет вид:
L( x 1, ..., x n |q) = q e
n
112
ж
- зз
и
n
ц
i=1
ш
е x i чч q
.
???????????? R
Так что при априорном гамма-распределении параметра q имеем:
ж
n
ц
ж
n
ц
- зз е x i ч q
- зз b+е x i ч q
ч
ч
~
p( q| x 1, ..., x n ) ~ q a -1e - bq Ч q n e и i=1 ш = q a+n -1e и i=1 ш .
Мы видим, что апостериорное распределение параметра q снова подчиняется закону
гамма-распределения (23), но с параметрами:
n
~
~
a = a + n, b = b + е x i .
(44)
i =1
Пример 7 (продолжение).
Подставляя в правую часть соотношения (37) функцию правдоподобия равномерно распределенных (на отрезке [0 ; q ]) наблюдений и функцию плотности распределения Парето
(26) в качестве априорного распределения p(q ; D ) = p(q ; a ; qmin ), имеем:
1
aq a
~
p( q| x 1, ..., x n ) ~ amin
Ч n
+1
q
q
( при q і max{qmin ; x 1, x 2, ..., x n }).
Отсюда следует, что апостериорное распределение параметра q описывается, так же как
и априорное, законом Парето (26), но с параметрами:
~
~
a = a + n, qmin = max{qmin ; x 1, x 2, ..., x n }.
(45)
Пример 8 (продолжение).
Как мы видели (см. выше, пример 8), функция правдоподобия Парето-распределенных
наблюдений имеет вид:
L( x 1, ..., x n |q) ~ q Ч e
n
й
ж gn
- к n ln з
и x0
л
цщ
чч ъ Чq
шы
.
Подставляя ее в правую часть соотношения (37), а также, в качестве априорного распределения p(q ; D 0 ), плотность гамма-распределения (23), имеем:
~
p( q| x 1, ..., x n ) ~ q a -1e - bq Ч q n e
й
ж gn ц щ
- к n ln з
чч ъ q
и x0 ш ы
л
= q a+n -1e
ж
ж gn ц ц
- зз b+n ln з
чч ч q
и x 0 ш чш
и
,
что определяет гамма-распределение с параметрами:
1
n
жg ц
~ = a + n, ~
a
b = b + n lnз n ч,
иx0 ш
(46)
ж n ц
где gn = зХ x i ч ? среднее геометрическое наблюдений x1 , ... , x n , а x 0 ? параметр сдвига
и i =1 ш
в анализируемом распределении Парето (его значение считается заданным).
Пример 9 (продолжение).
Байесовское оценивание коэффициентов регрессии Q = (q 0 , q1 , ... , q k ) и параметра h в
нормальной классической модели множественной регрессии (8)?(9) предполагает использование апостериорного распределения ~
p ( Q ; h | X , Y ) этих параметров, определяемого по
схеме (37). Подставляя в правую часть соотношения (37) в качестве априорного многомерR ????????????
113
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ное гамма-нормальное распределение (29), а также функцию правдоподобия L( X , Y | Q , h )
(12), преобразованную к виду
L( X, Y |Q; h) ~ h
n - k -1
2
e
ж n - k -1 $ 2 ц
-з
s чh
и 2
ш
k+1
Чh 2 e
h $
$ -Q )
- (Q
- Q ) Т ( X Т X )( Q
2
,
получаем после ряда тождественных преобразований (см. [Де Грот (1974)]) апостериорную
плотность ~
p ( Q ; h | X , Y ) в форме многомерного гамма-нормального распределения (29), параметры которого определяются по параметрам Q 0 , L 0 ,a и b априорного распределения
и наблюдениям ( X , Y ) следующими соотношениями:
м
п
п
п
н
п
п
п
о
~
Q 0 = ( L 0 + X Т X) -1( L 0 Q 0 + X Т Y ) ? параметр сдвига;
~
L 0 = L 0 + X Т X ? матрица точности;
n
)
ь параметры частного апостериорного
a =a+ ;
пп
2
э гамма-распределения параметра
1
~
~
~
b = b + [( Y - XQ 0 ) Т Y + ( Q 0 - Q 0 ) Т L 0 Q 0 ] п точности h.
пю
2
(47)
5. ??????? ????? ?? ???????? ? ???????????? ??????????? ??????????
?????????? ??????
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
Задача 1. Анализ закона распределения домашних хозяйств определенной социальноэкономической страты в заданном регионе страны по величине среднедушевого дохода h.
Мы располагаем следующей информацией об анализируемой генеральной совокупности:
(а) логарифм (натуральный) величины среднедушевого дохода (т. е. x = ln h) домашних хозяйств рассматриваемой страты данного региона распределен нормально с неизвестным
средним значением q и известной дисперсией s 20 = 0 , 28 ;
(б) имеются результаты обследования n = 10 случайно отобранных от анализируемой
страты домашних хозяйств по среднедушевому доходу y i (в нижеследующей таблице даны
значения x i = ln y i ):
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
0,54
1,20
0,36
0,80
0,42
2,10
0,70
0,25
0.90
0,48
(в) из предыстории и опыта обследования домашних хозяйств той же страты в других регионах страны получены априорные значения среднего Eq = q 0 = 0,60 и дисперсии
Eq = D20 = 0,03.
Требуется:
Используя сопряженное априорное распределение параметра q, получить байесовские
точечную и интервальную (с уровнем доверия P0 = 0 ,95) оценки средней величины логарифма среднедушевого дохода и сравнить их с соответствующими оценками метода максимального правдоподобия.
114
???????????? R
Решение. Мы уже знаем (см. выше, пример 1), что сопряженное априорное распределение в данном случае существует и является нормальным, причем параметры этого распределения непосредственно заданы (Eq = q 0 = 0,60 и Dq = D20 = 0,03 ). В соответствии с выведенными выше формулами пересчета (см. п. 4, формулы (38)) имеем:
1
1
Чq 0
s n
D20
~
q0 = E( q| x 1, ..., x n ) =
= 0, 691,
1
1
+
s 20 n D20
2
0
Чx +
ж 1
1
~
D20 = D( q| x 1, ..., x n ) = зз 2 + 2
D
s
n
0
0
и
ц
ч
ч
ш
-1
= 0,015.
Соответственно:
q$ (Б ) = E( q| x 1, ..., x n ) = 0, 691
~
~
и с вероятностью P0 = 0 ,95 можем утверждать, что q$ (Б ) - u 0 , 025 Ч D 0 < q < q$ (Б) + u 0 , 025 Ч D.
С учетом того, что 2,5%-ная точка стандартного нормального распределения u 0 , 025 = 196
,
~
~2
и D 0 = D 0 = 0 ,120, имеем:
qО [ 0, 451; 0,931] с вероятностью P 0 = 0,95.
Решение этих же задач, основанное на методе максимального правдоподобия, дает:
q$ мп = x = 0,775 и qО [ 0, 447 ; 1103
, ] с вероятностью P 0 = 0,95
(концы последнего доверительного интервала вычислены по формулам q$ мп ± u 0 , 025 Ч
s0
).
n
Мы видим, что использование априорной информации о неизвестном значении параметра q = E(ln h) и применение, соответственно, байесовского подхода в данной задаче позволили уточнить оценку и, в частности, сузить интервальную оценку по сравнению с классическим подходом почти в полтора раза.
Задача 2. Оценка интенсивности вызовов, поступающих на пункт «Скорой помощи»
в час.
Число вызовов x, поступающих на пункт «Скорой помощи» в час, описывается распределением Пуассона с неизвестным значением параметра q = Ex (см. выше, пример 5). Результаты регистрации числа вызовов xi (в час), зафиксированные в течение одной смены (длящейся
8 часов), приведены в следующей таблице:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
3
1
4
2
6
3
3
2
Из опыта работы аналогичных пунктов определено априорное среднее значение
q 0 = Eq = 3 ,6 , причем случайный разброс значений этого параметра характеризуется дисперсией D20 = Dq = 0 ,09.
R ????????????
115
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Требуется:
Используя сопряженное априорное распределение параметра q, получить байесовские
точечную и интервальную (с уровнем доверия P0 = 0 ,95) оценки средней интенсивности
q = Ex вызовов, поступающих на пункт «Скорой помощи», и сравнить их с соответствующими
оценками метода максимального правдоподобия.
Решение. Как было установлено выше (см. пример 5), сопряженное априорное распределение параметра q в этом случае существует и описывается гамма-законом, параметры a и b
которого определяются (в соответствии с рекомендациями п. 3.3) из системы уравнений:
мEq = a = 3, 60
пп
b
.
н
пDq = a = 0,09
по
b2
Отсюда a = 144 и b = 40.
В соответствии с выведенными выше (см. п.4) формулами пересчета (43) параметров апостериорного гамма-распределения имеем:
8
~
a = a + е x i = 144 + 24 = 168 ,
i =1
~
b = b + n = 40 + 8 = 48 .
Таким образом:
~
a
q$ ( Б ) = E( q| x 1, ..., x n ) = ~ = 3,5,
b
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
и можно утверждать, что с вероятностью P0 = 0 ,95 справедливы неравенства
~
~, ~
g 0 , 975 ( ~
a, b ) < q < g 0 , 025 ( a
b ),
~
~
где g q (~
a , b ) ? 100q%-ная точка гамма-распределения с параметрами ~
a и b. Воспользовавшись известными формулами (см. приложение 2):
1
~
g q (~
a ; b ) = ~ c 2q ( 2~
a)
2b
и, при m > 100:
c 2q ( m ) » m + u q Ч 2 m ,
где c 2q (m ) и uq ? 100q%-ные точки «хи-квадрат»-распределения и стандартного нормального
распределения, соответственно, имеем:
qО [ 2,97 ; 4,03 ] с вероятностью P 0 = 0,95.
Решение этих же задач, основанное на методе максимального правдоподобия, дает:
q$ мп = x = 3,0 ;
116
???????????? R
qО [ 180
, ; 4,20 ; ] с вероятностью P 0 = 0,953.
Мы видим, что в данном случае использование априорной информации о параметре q
в рамках байесовского подхода позволило сузить размах интервальной оценки более чем
в два раза!
Задача 3. Оценка «необходимой доли брака» q в продукции, производимой автоматической линией.
Предприятие приобрело новую автоматическую линию (АЛ). Для оценки так называемой
«необходимой доли брака» q ? вероятности того, что произведенное этой АЛ в режиме стационарного функционирования изделие окажется некондиционным, ? было проконтролировано n = 5 партий по M = 80 изделий в каждой партии. Число дефектных изделий x, обнаруженных в партии изделий объема M, адекватно описывается биномиальным з.р.в. с параметрами q и М. Результаты контроля представлены в таблице (xi ? это число дефектных изделий, обнаруженных в i-й проконтролированной партии):
i
xi
1
2
2
0
3
3
4
1
5
2
Кроме того, проведенный анализ работы аналогичных АЛ, установленных на других
предприятиях, показал, что «необходимая доля брака» в среднем равна 0,01 и имеет разброс, характеризуемый среднеквадратическим отклонением 0,003.
Требуется:
Используя сопряженное априорное распределение параметра q, получить байесовские
точечную и интервальную (с уровнем доверия P0 = 0 ,90) оценки «необходимой доли брака» q
и сравнить их с соответствующими оценками метода максимального правдоподобия.
Решение. Выше (см. п. 3) было установлено, что сопряженное априорное распределение
параметра q в данном случае существует и описывается бета-распределением, параметры a
и b которого определяются из системы (см. п.3.3):
м a = 0,01
пп a + b
.
н
ab
2
п
= ( 0,003 )
по( a + b ) 2 ( a + b + 1)
Решение этой системы дает a = 10 и b = 990. Воспользовавшись формулами пересчета
~
(41), получаем значения параметров ~
a и b апостериорного распределения q:
5
~
a = a + е x i = 10 + 8 = 18,
i =1
5
~
b = b + 5 Ч 80 - е x i = 1382.
i =1
ж
qц
ч-нормальности оценки максимального
Данная интервальная оценка основана на асимптотической ззq;
n чш
и
правдоподобия q$ мп .
3
R ????????????
117
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Таким образом:
q$ ( Б ) = E( q| x 1, ..., x n ) =
~
a
~ = 0,01286,
~
a +b
и можно утверждать, что с вероятностью P0 = 0 ,90 справедливы неравенства
~
~
b 0 , 95 ( ~
a , b ) < q < b 0 , 05 ( ~
a , b ),
~
~
где b q ( ~
a , b ) ? 100q%-ная точка бета-распределения с параметрами ~
a и b . Воспользовавшись
известными равенствами
~
~
a Fq ( 2~
a ;2b )
1
~
b q (~
a ;b ) = ~
~ , F1- q ( n1, n 2 ) = F ( n , n )
b +~
a Fq ( 2~
a ;2b )
q
2
1
и таблицами 100q-процентных точек Fq (n1 , n 2 ) распределения F с числами степеней свободы
числителя n1 и знаменателя n 2 , имеем:
qО [ 0,0083 ; 0,0182 ] с вероятностью P 0 = 0,90.
Решение этих же задач, основанное на методе максимального правдоподобия (см., например, [Айвазян, Мхитарян (2001б), задача 1.18]), дает:
1 n
q$ мп =
е x i = 0,02,
пМ i =1
qО [ 0,0085 ; 0,0315 ] с вероятностью P 0 = 0,90.
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
Размах этой интервальной оценки в 2,3 раза превосходит ширину байесовской интервальной оценки!
Задача 4. Оценка интервала движения автобуса.
Приходящий в случайные моменты времени на остановку пассажир в течение пяти своих
поездок фиксировал время ожидания автобуса (в минутах): x1 = 12
, ; x 2 = 2, 5; x3 = 0 , 5; x 4 = 3 , 2;
x 5 = 2,9. Известно, что автобус ходит строго по расписанию с интервалом в q минут, так что
время ожидания автобуса пассажиром можно считать случайной величиной x, подчиненной
[0 ; q ]-равномерному з.р.в. (см. выше, пример 7). Пытаясь оценить интервал движения автобуса, пассажир сумел получить дополнительную информацию о параметре q: из анализа опыта
работы различных автобусных маршрутов города, функционирующих в едином регламентном режиме, следовало, что среднее значение этого параметра равно 5,38 мин., а случайный разброс в его значениях характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 1,39 мин.
Требуется:
Используя сопряженное априорное распределение параметра q, получить байесовские
точечную и интервальную (с уровнем доверия P0 = 0 ,95) оценки для неизвестного интервала
движения автобуса и сравнить их с соответствующими оценками, основанными на методе
максимального правдоподобия.
Решение. В п. 3 (см. пример 7) было установлено, что сопряженное априорное распределение параметра q в данном случае существует и описывается распределением Парето с па-
118
???????????? R
раметром формы a и параметром сдвига qmin , которые определяются из системы уравнений
(32), т. е. по формулам (32?). В нашем случае имеем:
a = 1+ 1+
qmin =
q 20
5,38 2
= 1+ 1+
= 5,00,
2
139
D
, 2
1
1
q 0 Ч ( a - 1) = Ч 5,38 Ч 4 = 4,30 ( мин. ).
a
5
Параметры апостериорного распределения Парето определяются формулами пересчета (45):
~
a = a + n = 5 + 5 = 10,
~
qmin = max {qmin ; x 1, ..., x 5 } = 4,30 ( мин. ).
Соответственно:
~ Ч~
a
q
q$ (Б ) = E( q| x 1, ..., x 5 ) = ~ min = 4,78 ( мин. )
a -1
~
~; ~
~; ~
и q О [q 0 , 975 (~
a ; qmin ); q 0 , 025 (a
qmin )] с вероятностью P0 = 0 ,95, где q q (a
qmin ) ? это 100q%-ная
~
точка распределения Парето с параметрами(~
a ; qmin ). Поскольку функция распределения Парето определяется соотношением
~
a
ж~
q ц
~
F( q) = P { x( ~
a ; qmin ) < q} = 1 - зз min чч ,
и q ш
~; ~
~; ~
то значения q 0 , 975 (a
qmin ) и q 0 , 025 (a
qmin ) определяется из уравнений соответственно:
~
a
~
ж
ц
qmin
з
ч = 0,975,
~
з q 0 , 975 ( ~
a ; qmin ) чш
и
~
a
~
ж
ц
qmin
з
ч = 0,025.
~
з q 0 , 025 ( ~
a ; qmin ) чш
и
~
~;~
~;~
Решение этих уравнений относительно q 0 , 975 (a
a = 10 и qmin = 4 ,3
qmin ) и q 0 , 025 (a
qmin ) при ~
дает:
~
~; ~
q 0 , 975 ( ~
a ; qmin ) = 4,31 и q 0 , 025 ( a
qmin ) = 6,22,
так что
qО [ 4,31; 6,22 ] с вероятностью P 0 = 0,95.
Решение тех же задач, основанное на методе максимального правдоподобия, дает (см.
[Айвазян, Мхитарян (2001б), задача 1.22]):
q$ мп = 3, 84 ( мин. ),
qО [ 3,22 ; 6, 69 ] с вероятностью P 0 = 0,95
(здесь дается оценка максимального правдоподобия q$ мп , подправленная на несмещенность). И в данном случае байесовский подход позволил сузить ширину доверительного интервала почти в 2 раза (точнее, в 1,82 раза).
R ????????????
119
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Задача 5. Оценка параметров модели зависимости душевых доходов от объема автономных инвестиций.
В нижеследующей таблице приведены макроэкономические данные по США, характеризующие среднедушевой доход y t и автономные инвестиции x t (в долларах, в дефлированных, с помощью индекса стоимости жизни, ценах) за 1922?1941 годы. Инвестиции определены приближенно как разность между среднедушевым доходом и душевым расходом на личное потребление (данные заимствованы из работы Haavelmo T. Methods of Measuring the
Marginal Propensity to Consume. ? JASA, vol. 42 (1947), pp 105?122).
t
xt
yt
1
(1922)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
(1941)
39 60 42 52 47 51 45 60 39 41 22 17 27 33 48 51 33 46 54 100
433 483 479 486 494 498 511 534 478 440 372 381 419 449 511 520 477 517 548 629
Анализируется нормальная классическая линейная модель парной регрессии (см. пример 9 в пункте 2 при k = 1):
y t = q 0 + q1x t + et , t = 1, 2, ..., 20.
(48)
Анализ предыстории и экспертных оценок модели позволил получить следующую априорную информацию о значениях параметров q0 , q1 и h = (De t ) -1 :
q 00 = Eq 0 = 330 ; q10 = Eq1 = 2, 85 ; h 0 = Eh = 0,002;
D20 = Dq 0 = 225 ; D21 = Dq1 = 0,01; D2h = Dh = 25 Ч 10 -8 .
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
Требуется:
Используя сопряженное априорное распределение параметров (q 0 ; q1 ; h ), получить байесовские точечные и интервальные (с уровнем доверия P0 = 0 ,90) оценки этих параметров
и сравнить их с соответствующими оценками метода максимального правдоподобия.
Решение. Проведенный в пунктах 2 и 3 анализ примера 9 показал, что в данном случае существует сопряженное с наблюдаемой генеральной совокупностью распределение параметров (q0 ; q1; h ) и что оно описывается трехмерным гамма-нормальным распределением
(29) с параметрами Q 0 = (q 00 ; q10 ) T , L 0 , a и b, определяемыми в соответствии с рекомендаh02
h0
циями (33) и (36), т. е.: Q 0 = (330 ; 2, 85) T ; a = 2 = 16; b = 2 = 8000;
Dh
Dh
0 ц
ж2,37
чч.
L 0 = зз
и 0 53333,3 ш
Параметры апостериорного гамма-нормального распределения вычисляются в соответствии с формулами пересчета (47):
907 ц
ж349,0 ц ~
ж22,37
~
~
~
чч, a = 26, b = 14578 , L 0 = зз
чч.
Q 0 = зз
и 2,9 ш
и 907 100 176 ш
Точечные байесовские оценки параметров (q 0 ; q1 ; h ) определяются средними значениями соответствующих частных апостериорных распределений. С учетом свойств (i) и (ii) многомерного гамма-нормального распределения (см. выше, п. 5 раздела 3.3) имеем:
120
???????????? R
~
T
$ (Б ) = E( Q| X, Y ) = Q
Q
0 = ( 349,0 ; 2,90 ) ,
~
a
h$ (Б ) = E( h| X, Y ) = ~ = 0,00178.
b
При выводе интервальных байесовских оценок также используются свойства (i) и (ii)
~ )-распределенномногомерного гамма-нормального распределения, а также факт t( 2a
(Б)
~
~
сти случайных величин (q$ j - q j ) c j , где параметр точности c j вычисляется по блочным ком~
понентам матрицы точности B частного апостериорного обобщенного многомерного
~
~| Q
$ (Б) ; B )-распределения по формуле
t ( 2a
~ ~
~
~c j = ~
b jj - B j . Ч B ( j ) Ч B . j
(49)
~
~
(см. Приложение 1б). Участвующие в этом соотношении число b jj , 1ґ (k - 1)-матрица B j . ,
~
~
)
B ( j ) определяются следующим блочным пред(k - 1) ґ1-матрица B . j и (k - 1) ґ (k - 1-матрица
~
ставлением матрицы B :
~
~ жзb jj
B = ~
зB . j
и
~ ц
B j.
~ чч .
B ( j )ш
(50)
~
,
ж 0 ,040 1618
ц
~ a
~
В нашем случае k = 2, j = 0 или 1, матрица B = ~ L 0 = з
ч, так что
178 ,665 ш
,
b
и 1618
~
c 0 = 0 ,040 - (1618
,
) 2 178 ,665 = 0 ,0254 и ~
c1 = 178 ,665 - (1618
,
) 2 0 ,040 = 113 , 217. Следовательно, с вероятностью P0 = 0 ,90 мы можем утверждать, что | q$ (Б) - q 0 |Ч 0 ,0254 < t 0 , 05 ( 52) и
0
| q$ 1(Б) - q1 |Ч 113 , 217 < t 0 , 05 ( 52), так что (с учетом того, что t 0 , 05 ( 52) = 1676
, ) имеем:
q 0 О [ 338 ,5 ; 359,5 ] с вероятностью P 0 = 0,90,
q1 О [ 2,743 ; 3,057 ] с вероятностью P 0 = 0,90.
Поскольку параметр h подчиняется апостериорному гамма-распределению с параметра~
ми ~
a и b, то
~; ~
~; ~
hО [ g 0 , 95 ( a
b ); g 0 , 05 ( a
b )] с вероятностью P 0 = 0,90.
1
~;~
~ ), имеем (с учетом c 2 ( 52) » 36 , 4 и c 2 ( 52) »
Используя соотношение g q(a
b ) = ~ c 2q ( 2a
0 , 95
0 , 05
2b
» 69 , 8 ):
hО [ 0,00125 ; 0,00239 ] с вероятностью P 0 = 0,90.
Оценивание модели (48) с помощью метода максимального правдоподобия (дающего
в данном случае те же результаты, что и метод наименьших квадратов) приводит к следующим точечным и интервальным оценкам:
$ мп = Q
$ мнк = ( X T X) -1 X T Y = ( 344,7 ; 3,05 ) T ,
Q
-1
1
$ мп ) T ( Y - XQ
$ мп ) щ = 0,0015,
h$ мп = й ( Y - XQ
кл 18
ъы
316,1< q 0 < 373,3; 2, 45 < q1 < 3, 64 с вероятностью P 0 = 0,90,
hО [ 0,00093 ; 0,00285 ] с вероятностью P 0 = 0,90.
R ????????????
121
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Мы видим, что байесовский подход позволяет сузить доверительный интервал для q 0
в 2,6 раза, для q1 ? в 3,7 раза и для h ? в 1,4 раза по сравнению с подходом, основанным на
методе максимального правдоподобия.
6. ??????????? ??????? ????????? ??????????,
?????????? ?? ?????????? ???????????? ???????? ??????
????????????? ?????????
Мы продолжаем рассматривать нормальную КЛММР
k
y t = q 0 + е q j Ч x t( j ) + et , t = 1, 2, ..., n,
j =1
или, в матричной записи, модель (8)?(9) (см. выше), в которой остатки e i = e( X i ) нормальны,
гомоскедастичны и взаимнонекоррелированы при любом (а не только наблюденном) наборе значений объясняющих переменных.
Введем в рассмотрение, наряду с наблюденными значениями X и Y анализируемых переменных X = (1; x (1) , x ( 2 ) , ... , x ( k ) ) T и y, их прогнозные (на q тактов времени вперед) значения:
ж1 x (n1+) 1
з
(1)
~ з1 x n+2
X=з
M
M
з
з1 x (n1+) q
и
x (n2+)1 K x (nk+)1 ц
ж y n+1 ц
ч
з
ч
( 2)
(k)
x n+2 K x n+2 ч ~ з y n+2 ч
и Y =з
,
M ч
M
K
M ч
ч
з
ч
з y n+q ч
x (n2+)q K x (nk+)q чш
и
ш
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
а также соответствующие остатки ~e = (e n +1 , e n + 2 , ... , e n + q ) T .
Тогда в соответствии с (8)?(9):
мпY~ = ~
XQ + ~e
.
н~
-1
опe О N q ( 0; h Ч I q )
~
Для того чтобы строить точечные и интервальные оценки для Y по заданным значениям
~
~ ~
X , X и Y, очевидно, надо располагать плотностью условного распределения p(Y | X ; X ; Y ), которую обычно называют «прогнозной функцией плотности вероятности». Но поскольку
~
из (8а)?(9а) следует, что распределение вектора Y зависит также от параметров Q и h, а они
в байесовском подходе интерпретируются как случайные величины, имеющие соответствующее апостериорное распределение, то реализуется следующая схема определения про~ ~
гнозной функции плотности p(Y | X ; X ; Y ):
~ ~
p( Y | X; X; Y ) =
~
~
~
~
~
т т p(Y ; Q; h| X; X; Y )dQdh = т т p(Y |Q; h; X; X; Y ) Ч p(Q; h| X; X; Y ) dQdh.
Qh
(51)
Qh
Правая часть (51) получена с использованием формулы произведения условных вероятностей
q
h ~
~
- ( Y - XQ ) T ( Y - XQ )
~
~
~
~
P( AB |C ) = P( A|B , C ) Ч P(B |C ). С учетом того, что p(Y |Q ; h ; X; X; Y ) = p(Y |Q ; h ; X )~ h 2 Ч e 2
,
~
~ ~ ~
а p( Q ; h| X ; X ; Y ) = p( Q ; h| X ; Y ) ? гамма-нормальное распределение с параметрами Q0 , L0 , a
~
и b, определяемыми по параметрам Q 0 , L0 , a и b априорного гамма-нормального распределения p( Q , h ) по формулам (47), интегрирование в правой части (51) дает:
122
???????????? R
1 ~ ~~
~ ~
~~
p( Y | X; X; Y ) ~ й1 + ( Y - XQ 0 ) T B ў( Y - XQ 0 ) щ
кл v
ъы
-
v +q
2
(52)
,
~
a
~
~ ~ ~
где v = n - k - 1 и B ў = ~ [I q - X (L 0 + X T X + X T X ) -1 X T ]
(53)
b
(подробное доказательство этого факта читатель найдет, например, в [Зельнер (1980)]). Та~
ким образом, мы пришли к тому, что условное распределение q-мерного вектора Y при за~
данных значениях X,Y и X описывается обобщенным многомерным t-распределением с
~~
n - k - 1степенями свободы, параметром сдвига XQ 0 и матрицей точности B ў, определенной
~ ~
~~
соотношением (53) (т. е. (Y | X ; X ; Y ) = t (n - k - 1| XQ 0 ; B ў ), см. Приложение 1б).
Используя известные свойства обобщенного t-распределения Стьюдента (см. Приложе~
ние 1б), получаем следующие байесовские прогнозы для Y :
~
· точечный байесовский прогноз для компонент вектора Y определяется соотношением:
$ (Б) ) T Ч X n+m , m = 12
y$ n+m (прогнозное) = ( Q
, ,..., q;
(54)
~
· интервальный байесовский прогноз для компонент вектора Y с вероятностью P0 оп-
ределяется соотношением:
й
1 щ
1
y n+m О к y$ n+m - t 1- P0 ( n - k - 1) Ч
; y$ n+m + t 1- P0 ( n - k - 1) Ч
ъ , m = 1, 2, ..., q,
c ўm ъы
c ўm
2
2
кл
(55)
где t e (v ) ? 100e% -ная точка стандартного t (v )-распределения Стьюдента, а величины cmў вы~
числяются по схеме (49)?(50) с заменой (k ґ k )-матрицы B на q ґ q-матрицу B ў, определенную
соотношением (53);
~
~
· байесовская прогнозная доверительная область DY для вектора Y = ( y n +1 , K , y n + q ) T
~
T
состоит, с заданной вероятностью P0 , из всех тех Y = ( y n +1 , K , y n + q ) , которые удовлетворяют неравенству
1 ~ ~ $ (Б) T -1 ~ ~ $ (Б)
( Y - XQ ) SY~ ( Y - XQ ) < F1- P0 ( q; n - k - 1),
q
(56)
$ (Б) ? байесовская точечная оценгде Fe (v 1 , v 2 ) ? 100e% -ная точка F (v 1 , v 2 )-распределения, Q
n-k-1
~
ка параметров регрессии Q, аS Y~ =
(B ў ) -1 ? ковариационная матрица вектора Y . Можn-k-3
но показать, что для модели (8а)?(9а) эта область имеет форму q-мерного эллипсоида.
Рассмотрим реализацию описанной выше схемы построения точечных и интервальных
байесовских прогнозов значений зависимой переменной в нормальной КЛММР на нашем
примере, проанализированном в задаче 5.
Задача 5 (продолжение).
В условиях примера, рассмотренного выше в задаче 5, требуется:
по заданным (планируемым) значениям автономных инвестиций x 21 = 120 и x 22 = 140 построить точечные и интервальные байесовские прогнозы для среднедушевых доходов насе~
ления y 21 и y 22 , а также прогнозную доверительную область DY для этих значений с уровнем
R ????????????
123
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
доверия P0 = 0 ,90. Сравнить полученные решения с решениями, основанными на методе
максимального правдоподобия.
Решение. Итак, в нашем случае:
~ ж1 120 ц ~ ж y 21 ц
чч ; Y = зз чч = ?
X = зз
и1 140 ш
и y 22 ш
~
~
В соответствии с (52) плотность условного распределения вектора Y при заданных X , X
и Y описывается обобщенным многомерным t-распределением с числом степеней свободы
ж 1 120 ц ж 349 ,0 ц
чз
ч и матрицей точности B ў, определенной
v = 20 - 1- 1 = 18, параметром сдвига з
1
140
2
9
,
и
ш
и
ш
соотношением (53).
Произведя необходимые вычисления по формулам (53)?(56) и используя известные свойства обобщенного многомерного t-распределения (см. Приложение 1б), имеем:
y$ 21(прогн. ) = 349 + 2,9 Ч 120 = 697, 4,
y$ 22 (прогн. ) = 349 + 2,9 Ч 140 = 755,5,
ж721, 8 106, 8 ц
ж 0,00159 -0,00022 ц
чч ,
чч ; SY~ = зз
B ў = зз
и106, 8 757, 4 ш
и -0,00022 0,00152 ш
y 21 О [ 653, 6 ; 7412
, ] с вероятностью P 0 = 0,90,
y 22 О [ 710,7 ; 800,3 ] с вероятностью P 0 = 0,90,
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
пмж y 21 ц 1 ж y 21 - 697, 4 ц
чч
D Y~ = нзз чч : зз
пои y 22 ш 2 и y 22 - 755,5 ш
T
ьп
ж 0,00159 -0,00022 ц ж y 21 - 697, 4 ц
зз
чч зз
чч < 2, 62 э .
пю
и -0,00022 0,00152 ш и y 22 - 755,5 ш
Сравним эти результаты с соответствующими прогнозами, основанными на оценках метода максимального правдоподобия:
· точечный прогноз
мп
y$ 21
(прогнозное) = 344,7 + 3,05 Ч 120 = 710,7,
мп
y$ 22
( прогнозное ) = 344,7 + 3,05 Ч 140 = 7717
, ;
· интервальный прогноз строится на основе t (n - 2)-распределенности случайных вели-
чин
y$ nмп+m ( прогн. ) - y n+m
1 (x
- x)2
s$ мп Ч 1 + + n n+m
n
е( x i - x ) 2
, m = 1, 2 ;
i =1
в нашем случае n = 20, x n+1 = 120, x n+ 2 = 140, s$ 2мп =
1
=
1
= 666 ,67; s$ мп = 25, 82;
0 ,0015
h$ мп
5572,6
( x n+ 2 - x ) 2
8958 ,6
и t 0 , 05 (18 ) = 1734
,
,
, так что:
=
= 0 ,976; 20
=
= 1569
20
5711
5711
2
2
(
x
x
)
(
x
x
)
е i
е i
( x n +1 - x ) 2
i =1
i =1
124
???????????? R
y 21 О [ 647,1; 774,3 ] с вероятностью P 0 = 0,90,
y 22 О [ 699,2 ; 844,2 ] с вероятностью P 0 = 0,90.
Мы видим, что и в прогнозе байесовский подход позволяет сузить ширину прогнозной
интервальной оценки для y22 в 1,45 раза, а для y22 ? в 1,62 раза!
Приложения
????????? ???????? ?? ?????????? ? ??????????? ???????
????????????? ????????????, ???????????? ? ??????????? ???????
Приложение 1а
Обобщенное одномерное распределение Стьюдента с n степенями свободы,
параметром сдвига q 0 и параметром точности c (t(n|q 0 ; c )-распределение)
Как известно (см., например, [Айвазян, Мхитарян (2001), гл. 3]), стандартный з.р.в. Стьюдента с n степенями свободы (ст. св.) описывает распределение случайной величины
t ( n) =
x0
1 n 2
е x1
n i =1
(П.1)
,
где x 0 , x 1 , K , x n ? статистически взаимонезависимые (0 ; s 2 )-нормально распределенные
случайные величины. Значение соответствующей функции плотности вероятности f t(n ) ( x )
в точке x задается соотношением:
n + 1ц
n+1
G жз
ч
2 и 2 ш ж x ц 2
ft ( n ) ( x ) =
з1 + ч ,
n
nш
np ЧG жз цч и
и2 ш
(П.2)
n
(n > 2).
n-2
Введем в рассмотрение случайную величину t (n| q 0 ; c ), являющуюся линейной функцией
от t(n ), а именно:
причем Et(n ) = 0 и Dt(n ) =
t( n|q 0 ; c ) =
1
t ( n) + q 0 .
c
(П.3)
Легко показать, что функция плотности вероятности f t (n |q 0 ; c ) ( x ) случайной величины
t (n| q 0 ; c ) в точке x имеет вид:
f t ( n| q 0 ; c ) ( x ) =
n + 1ц
n+1
c ЧG жз
ч
2 и 2 ш ж c( x - q 0 ) ц 2
ч ,
з1 +
nц и
n
ж
ш
np ЧG з ч
и2 ш
(П.4)
1 n
причем Et (n| q 0 ; c ) = q 0 и Dt (n| q 0 ; c ) = Ч
(n > 2).
c n-2
R ????????????
125
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Распределение, задаваемое плотностью (П.4), называют обобщенным распределением
Стьюдента (или t (n| q 0 ; c )-распределением) с параметром сдвига q 0 и параметром точности c. Отметим, что в данном случае параметр точности c не есть величина, обратная к дисперсии случайной величины t (n| q 0 ; c ): дисперсия может и не существовать (при n Ј 2).
Приложение 1б
Обобщенное k-мерное (k і 2) распределение Стьюдента с n степенями свободы,
параметром сдвига Q 0 = (q10 ,q 02 ,...,q k0 ) T и (k ґ k)-матрицей точности B
(или так называемое t (n|Q 0 ; B)-распределение)
Стандартный k-мерный з.р.в. Стьюдента с n ст. св. описывает распределение k-мерной
случайной величины
t ( n) = ( t (1) ( n), t ( 2) ( n), ..., t ( k ) ( n)) T ,
(П.5)
где каждая из компонент t j (n ) ? стандартная стьюдентовская случайная величина (П.1), и все
компоненты t j (n ) ( j = 1, 2,..., k ) взаимнонекоррелированы. Функция плотности вероятности
f t (n ) ( X ) в точке X = ( x (1) , x ( 2 ) ,..., x ( k ) ) T задается соотношением
n+ kц
n+k
G жз
ч
и 2 ш Ч ж1 + 1 X T Ч X ц 2 ,
ft ( n ) ( X ) =
ч
з
k
ш
n и n
( pn) 2 ЧG жз цч
и2 ш
(П.6)
n
Ч I k , где 0 k обозначает k-мерный
n-2
вектор-столбец из нулей, а I k ? единичная матрица размерности k.
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
причем Et (n ) = 0 k и ковариационная матрица S t (n ) =
Обобщенное k-мерное распределение Стьюдента (или t (n | Q 0 ; B )-распределение)
с n ст. св., параметром сдвига Q 0 и матрицей точности B описывает распределение случайной величины
t ( n|Q 0 ; B ) = C Ч t ( n) + Q 0 ,
(П.7)
где C ? некоторая невырожденная k ґ k -матрица, B = (CC T ) -1 , Q 0 = (q10 , q 02 ,... , q k0 ), а t (n ) ?
стандартная стьюдентовская k-мерная случайная величина (П.5), подчиняющаяся з.р.в. с плотностью (П.6). Значение функции плотности вероятности f t (n |Q 0 ; B ) ( X ) случайной величины
t (n| Q 0 ; B ) в точке X = ( x (1) , x ( 2 ) ,..., x ( k ) ) T задается соотношением
n+ kц
n+k
G жз
ч
1
2
1
2 ш
и
ж
ц
T
2
f t ( n| Q 0 ; B ) ( X ) =
,
Ч|B | з1 + ( X - Q 0 ) B ( X - Q 0 ) ч
k
и n
ш
n
( pn) 2 G жз цч
и2 ш
(П.8)
n
Ч B.
n-2
Именно этим з.р.в. описывается сопряженное априорное (а следовательно, и апостериорное) частное распределение вектора Q = (q 0 , q1 , K , q k ) T коэффициентов регрессии
~
в нормальной КЛММР, а также условное (при фиксированных X,Y и X) апостериорное рас~
пределение вектора Y = ( y n +1 , y n + 2 ,... , y n + q ) T прогнозных значений зависимой переменной
в этой модели (см. в тексте консультации пример 9 и задачу 5).
причем Et (n| Q 0 ; B ) = Q 0 и ковариационная матрица S t (n |Q 0 ; B ) =
126
???????????? R
При построении байесовских интервальных оценок и доверительных областей для параметров Q, так же как и при построении байесовских интервальных оценок и доверительных
~
областей для прогнозных значений Y , используются следующие свойства t (n| Q 0 ; B )-распределения.
Свойство (А). Пусть анализируемая k-мерная случайная величина t (n| Q 0 ; B ) разбита на
два подвектора t (1) (n| Q 0 ; B ) и t ( 2 ) (n| Q 0 ; B ) соответственно размерностей k1 и k2 (k 1 + k 2 = k ),
т. е.
жt (1) ( n|Q 0 ; B ) ц
ч.
t ( n|Q 0 ; B ) = з ( 2)
зt ( n|Q 0 ; B ) ч
и
ш
Соответственно этому разобьются на блоки вектор средних значений Q 0 и матрица точности B:
жQ1( 1) ц
жB 11 B 12 ц
чч и B = зз
чч.
Q 0 = зз
иQ1( 2 ) ш
иB 21 B 22 ш
Сформулируем свойство (А).
Частное (маржинальное) распределение вектора t (1) (n| Q 0 ; B ) является k1-мерным обобщенным распределением Стьюдента t (n|Q 0 (1); B (1)) с параметром сдвига Q 0 (1) = (q10 , ..., q k01 ) T
и матрицей точности B (1) = B 11 - B 12 B 22-1 B 21 .
При построении интервальных оценок нас интересует частное распределение отдельной (j-й) компоненты t ( j ) (n| Q 0 ; B ) анализируемой k-мерной обобщенной стьюдентовской
случайной величиныt (n| Q 0 ; B ). Соответственно, при этом используется частный случай данного свойства, когда в роли t (1) (n| Q 0 ; B ) выступает компонента t ( j ) (n| Q 0 ; B ). Тогда:
k 1 = 1; Q 0 ( 1) = q 0j ; B ( 1) = b jj - B j Ч Ч B ( j ) Ч B Ч j ,
(П.9)
где b jj ? j-й диагональный элемент матрицы точности B, B jЧ = (b j 1 , K , b jЧ j -1 , b jЧ j +1 , K , b jk ) ?
столбец матрицы B ( j ), а
строка, B Ч j = (b1 j ,... , b j -1Ч j , b j +1Ч j ,... , b kj ) T ? (k - 1-мерный
)
(k - 1-мерная
)
получающаяся из матрицы B вычеркиванием из нее j-й строB ( j ) ? это (k - 1) ґ (k - 1-матрица,
)
ки и j-го столбца.
Заметим, что в данном случае B(1) ? это числовой параметр точности в частном обобщенном одномерном стьюдентовском распределении компоненты t ( j ) (n| Q 0 ; B ).
Свойство (В) используется при построении доверительных областей для неизвестных
значений параметров КЛММР или одновременно для нескольких прогнозных значений зависимой переменной и заключается в том, что статистика
g=
1
(t ( n|Q 0 ; B ) - Q 0 )T B (t ( n|Q 0 ; B ) - Q 0 )
k
асимптотически (по n ® Ґ) подчиняется F (k ; n )-распределению.
Поэтому, определяя из таблиц по заданной доверительной вероятности P0 значение
100(1-P0)%-ной точки F1-P0 (k ; n ) соответствующего F-распределения, мы можем с помощью
неравенства
R ????????????
127
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
1
(t ( n|Q 0 ; B ) - Q 0 )T B (t ( n|Q 0 ; B ) - Q 0 ) < F1- P0 ( k ; n)
k
(П.10)
определить k-мерную область, в которую попадает 100 P0 % наблюдений случайной величины t (n| Q 0 ; B ).
Приложение 2а
Двумерное гамма-нормальное распределение и его свойства
Совместное двумерное распределение случайной величины (q ; h ) называется гамманормальным, если его функция плотности вероятности p(q ; h ) задается (с точностью до
нормирующего множителя) соотношением
1
p( q; h) ~ ( l 0 h) 2 e
-
l0 h
( q-q0 )2
2
Ч h a -1e - bh ,
(П.11)
где l0 , q0 , a иb ? некоторые числовые значения параметров этого семейства распределений.
Свойства двумерного гамма-нормального распределения
(I) Частное распределение параметра q есть одномерное обобщенное распределение
Стьюдента (П.4) с 2a ст. св., параметром сдвига q 0 и параметром точности c = l 0 Ч a / b, т. е.
ж
aц
q = t зз2a|q 0 ; l 0 чч.
bш
и
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
a
Отсюда, в частности, следует, что случайная величина l 0 (q - q 0 ) подчиняется станb
дартному распределению Стьюдента с 2a ст. св.
(II) Частное распределение параметра h есть гамма-распределение (23) с параметрами
a
a
(a , b ) и, следовательно, Eh = , Dh = 2 и hО [ g 1- e (a ; b ); g e (a ; b )] с вероятностью P0 = 1- 2e,
b
b
где g q (a , b ) ? это 100q%-ная точка гамма-распределения с параметрами a и b.
Отметим, что при a, кратном 0,5, справедлива формула:
g q ( a, b ) =
1 2
c q ( 2a ),
2b
(П.12)
где c 2q (m ) ? это 100q%-ная точка «хи-квадрат»-распределения с m ст. св.
(III) Условное распределение параметраq (при условии заданности значения параметра h,
т. е. при h = h0 , где h0 ? заданное число) является (q 0 ; 1/ l 0 h0 )-нормальным распределением (вытекает из (П.11) при подстановке в правую часть этого соотношения заданного значения h = h0 ).
Приложение 2б
Многомерное (k + 1-мерное, k > 1) гамма-нормальное распределение и его свойства
Совместное k + 1-мерное распределение параметров Q = (q1 , q 2 , K , q k ) T и h называется
многомерным гамма-нормальным, если его функция плотности вероятности p( Q ; h ) задается (с точностью до нормирующего множителя) соотношением:
k
1
p( Q; h) ~ h 2 |L 0 | 2 e
128
h
- ( Q -Q 0 ) T L0 ( Q -Q 0 )
2
Ч h a -1e - bh ,
(П.13)
???????????? R
где заданные численные значения векторного параметра сдвига Q 0 = (q10 , q 02 ,... , q 0k ) T , элементов (k ґ k )-матрицы точности L 0 , а также параметров a и b однозначно определяют з.р.в.
параметров Q и h.
Свойства многомерного гамма-нормального распределения
(I) Частное распределение векторного параметра Q = (q1 , q 2 ,... , q k ) T есть многомерное
обобщенное распределение Стьюдента (П.8) с 2a ст. св., параметром сдвига Q = (q10 , q 02 , ... , q k0 ) T
a
и матрицей точности B = Ч L 0 .
b
(II) Частное распределение скалярного параметра h есть гамма-распределение (23) с параметрами a и b.
(III) Условное распределение векторного параметра Q (при условии заданности значения
параметра h, т. е. при h = h0 , где h0 ? заданное значение) является k-мерным (Q 0 ; (h0 L 0 ) -1 )нормальным распределением.
Приложение 3
Некоторые сведения об априорных з.р.в., сопряженных по отношению к наблюдаемым
генеральным совокупностям, зависящим от единственного неизвестного параметра
№
пп
З.р.в. наблюдаемой
генеральной совокупности
Сопряженный априорный
з.р.в. p (q ), выражения для Eq
и Dq
1 ( q ; s 2 )-нормальный,
( q 0 ; s 20 )-нормальный;
( x - q )2
Eq = q 0 ; Dq = s 02
1
f ( x |q) =
e 2s 2
(q 0 и s 20 ? заданы)
2 ps
2
(значение дисперсииs известно)
Апостериорный з.р.в.
p (q| x1 , x 2 ,... , x n ), выражения
для его параметров
( qў0 ; sў02 )-нормальный, где
x + gq 0
и sў02 = s 2 / n( 1 + g ),
qў0 =
1+ g
а g = s 2 / ns 20
2 Экспоненциальный
мqe - qx при x і 0
f ( x |q) = н
при x < 0
о0
b a a-1 - bq
q e
(q > 0) ?
G( a )
гамма-распределение;
Eq = a / b ; Dq = a / b 2
(a и b ? заданы)
Гамма-распределение
с параметрами
aў = a + n,
3 [ 0 ; q ]-равномерный:
мп 1 для 0 Ј x Ј q
f ( x |q ) = нq
оп0 для x П [ 0 ; q ]
мaq при x і 0
п
; (q > 0) ?
p( q ) = н q a+1
при x < 0
оп0
распределение Парето;
aq 20
aq 0
Eq =
; Dq =
a -1
( a - 1) 2 ( a - 2 )
(a и q 0 ? заданы)
Распределение Парето
с параметрами
aў = a + n,
qў0 = max{q 0 ; x 1, x 2 ,K, x n}
4 Распределение Пуассона:
qx
P {x = x} = e - q
x!
x = 0, 1, 2, ...
b a a-1 - bq
q e
(q > 0) ?
G( a )
гамма-распределение;
a
a
Eq = ; Dq = 2
b
b
Гамма-распределение с параметрами
p( q ) =
a
0
p( q ) =
n
bў = b + е x i
i =1
n
aў = a + е x i ,
i =1
bў = b + n
(a и b ? заданы)
R ????????????
129
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Окончание
№
пп
З.р.в. наблюдаемой
генеральной совокупности
Сопряженный априорный
з.р.в. p (q ), выражения для Eq
и Dq
5 Биномиальное распределение: p( q ) = G( a + b ) q a-1( 1 - q ) b-1
G( a )G( b )
P { x = x } = C Nx q x ( 1 - q ) N - x
(значение параметра N известно) ( 0 Ј q Ј 1) ? бета-распределение;
a
;
Eq =
a +b
ab
Dq =
( a + b ) 2 ( a + b + 1)
(a и b ? заданы)
6 Отрицательное биномиальное p( q ) = G( a + b ) q a-1( 1 - q ) b-1
распределение
G( a )G( b )
P { x = x } = C xk --11 q k ( 1 - q ) x - k
( 0 Ј q Ј 1) ? бета-распределе(значение параметра k известно) ние;
a
x = k , k + 1K
,
;
Eq =
a +b
ab
Dq =
( a + b ) 2 ( a + b + 1)
(a и b ? заданы)
b a a-1 - bq
q e
(q > 0) ?
G( a )
гамма-распределение;
a
a
Eq = ; Dq = 2
(значение параметра x 0 ? изb
b
вестно)
(a и b ? заданы)
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
7 Распределение Парето
мqx 0q
п
при x і x 0
f ( x |q ) = н x q+1
при x < x 0
оп0
p( q ) =
Апостериорный з.р.в.
p (q| x1 , x 2 ,... , x n ), выражения
для его параметров
Бета-распределение с параметрами
n
aў = a + е x i ,
i =1
n
b ў = b + nN - е x i
i =1
Бета-распределение с параметрами
a ў = a + kn,
n
b ў = b + е x i - kn
i =1
Гамма-распределение с параметрами
aў = a + n,
жg ц
bў = b + n lnз n ч,
и x0 ш
1
ж n цn
где gn = зХ x i ч
и i =1 ш
?????? ??????????
Айвазян С. А. (2001). Прикладная статистика и основы эконометрики. Том 2: Основы эконометрики.
Издание 2-е. Юнити. §§ 2.1?2.3.
Айвазян С. А., Мхитарян В. С. (2001а). Прикладная статистика и основы эконометрики. Том 1: Теория
вероятностей и прикладная статистика. Издание 2-е. Юнити. § 7.6.
Айвазян С. А., Мхитарян В. С. (2001б). Прикладная статистика в задачах и упражнениях. М.:
Юнити.
Де Гроот М. (1974). Оптимальные статистические решения. Пер. с англ. М.: Мир. Гл. 4, 5, 9 и
§§ 11.10?11.12.
Зельнер А. (1980). Байесовские методы в эконометрике. Пер. с англ. М.: Статистика. Главы 1?3.
Ghosh J. K., Delampady M., Samanta T. (2006). An Introduction to Bayesian Analysis. Theory and Methods.
Springer.
Jeffreys H. (1957). Scientific Inference. 2nd ed. Cambridge University Press.
Lancaster A. (2004). An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. Blackwell Publ.
130
???????????? R
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
VII Международная школа-семинар
«Многомерный статистический анализ
и эконометрика»
21?30 сентября 2008 г., пос. Цахкадзор (Респ. Армения)
Программа проведения и тематика работы Школы-семинара
1. ?????????????????????? ?????????????
Центральный экономико-математический институт РАН (ЦЭМИ)
Московская школа экономики МГУ им. М. В. Ломоносова (МШЭ)
Журнал «Прикладная эконометрика» (ПЭ)
Российско-Армянский (Славянский) государственный университет (РА(С)ГУ)
Армянский государственный экономический университет (Арм ГЭУ)
2. ????????????????????????? ??????? ?????????????
Председатель ? Айвазян С. А. (зам. директора ЦЭМИ РАН, зав. кафедрой МШЭ МГУ, доктор физ.-мат. наук, профессор, заслуженный деятель науки России)
Сопредседатели:
Дарбинян А. Р. (ректор РА(С)ГУ, чл.-корр. НАН Армении),
Суварян Ю. М. (ректор Арм ГЭУ, чл.-корр. НАН Армении)
Ученый секретарь ? Макарчук Н. И. (старший научный сотрудник ЦЭМИ РАН, кандидат
экономических наук)
Члены Комитета:
Аветисян П. С. (проректор РА(С)ГУ, доктор физ.-мат. наук, профессор), Бухштабер В. М.
(гл. научн. сотр. Математического института им. В. А. Стеклова РАН, чл.-корр РАН), Елисеева И. И. (зав. кафедрой С.-Петерб. государственного университета экономики и финансов,
чл.-корр. РАН), Карлеваро Ф. (ординарный профессор Женевского университета, Швейцария), Макаров В. Л. (директор ЦЭМИ РАН, Академик-секретарь Отделения общественных
наук РАН, академик), Митоян А. А. (профессор Арм. ГЭУ, доктор экон. наук), Некипелов А. Д.
(директор МШЭ МГУ, Вице-президент РАН, академик), Рудзкис Р. О. (зав. отделом Института
математики и информатики Литвы, доктор математических наук, профессор), Сандоян Э. М.
(проректор РА(С)ГУ, доктор экономических наук, профессор), Харин Ю. С. (зав. кафедрой Белорусского государственного университета, чл.-корр. АН Республики Белоруссия).
R ??????? ?????
131
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
3. ???????? ???????? ?????? ?????????????
Программа Школы-семинара включает в себя следующие темы:
VII ????????????? ?????5??????? «??????????? ?????????????? ?????? ? ????????????»
1. Теория и методология построения и идентификации моделей регрессии, классификации, снижения размерности, временных рядов.
2. Экспериментально-вычислительные процедуры в многомерном статистическом анализе и эконометрике (бутстреп- и Монте-Карло-моделирование, cross-validation, data
mining, нейронные сети, генетические алгоритмы).
3. Многомерный статистический анализ (МСА) и эконометрика в моделировании реальных процессов и систем.
4. Эконометрика и МСА в диалоге общества и власти.
5. МСА и эконометрика в учебном процессе вузов.
Регламент работы Школы-семинара предусматривает пленарные доклады/лекции
(35-минутные, приглашенные), а также 15-минутные сообщения по теме, прямо или косвенно связанной с указанной выше проблематикой.
Желающих принять участие в работе Школы-семинара Программно-организационный
комитет просит прислать название доклада (лекции), одно-двухстраничную аннотацию доклада (лекции) и краткие сведения о себе (в формате, предусмотренном для авторов журнала
ПЭ) электронной почтой до 30 апреля 2008 года по адресу: nimak@cemi.rssi.ru, копия по адресу: aivazian@cemi.rssi.ru .
Работа Школы-семинара будет проходить в поселке Цахкадзор в помещениях «Дома творчества писателей Армении». Стоимость проживания одного человека (с питанием) в день от
1000 до 1300 рублей (в одноместных и двухместных номерах). Организационный взнос установлен в размере 1500 рублей. Более подробная информация о программе, расписании работы, условиях проживания будет разослана участникам в мае 2008 г.
Получить дополнительную информацию о Школе-семинаре можно по указанным выше
электронным адресам, а также непосредственно у Ученого секретаря Нины Ивановны Макарчук (тел.: 7(495)1291233).
4. ??????? ???????????? ???????
а) История
Шесть предыдущих Школ-семинаров состоялись в пос. Цахкадзор (Армения) в 1979, 1983,
1987, 1991, 1995 и 2004 годах.
Инициатором и председателем Программного комитета 1-й Школы-семинара был Андрей Николаевич Колмогоров, организаторами ? ЦЭМИ РАН, МГУ им. М. В. Ломоносова и Математический институт им. В. А. Стеклова АН СССР, местными организаторами ? Ереванский
государственный университет, Вычислительный центр Госплана Армении и Ереванский институт народного хозяйства. В дальнейшем учреждения-организаторы Школы оставались
теми же, а руководство программно-организационными комитетами поручалось Ю. В. Прохорову (1983 г.) и С. А. Айвазяну (1987, 1991, 1995 и 2004 гг.).
К сожалению, в 1999 г. из-за сложной экономической и политической ситуации, несмотря
на согласие местных организаторов, очередную Школу провести не удалось.
132
??????? ????? R
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
б) Программа и участники
Программа Школы-семинара традиционно включала теорию и методологию многомерного статистического анализа (МСА) и эконометрики, программно-алгоритмические аспекты реализации методов и наиболее интересные приложения МСА и эконометрики, в первую
очередь, из области экономики, промышленности, медицины, экологии.
Среди участников ? ведущие ученые стран бывшего СССР и дальнего зарубежья. Имеются программы и сборники трудов прошедших шести Школ-семинаров. Так, на последних (5-й
и 6-й) Школах-семинарах были представлены доклады А. Когана (Мэрилендский университет, США), Ф. Карлеваро (Женевский университет), А. Нагаева (университет Торуни, Польша),
Р. Рудзкиса, М. Радавичуса (Институт математики и информатики, Литва), Ю. Харина, В. Малюгина (Белорусский государственный университет), российских ученых С. Айвазяна, Ю. Благовещенского, Э. Ершова, Г. Канторовича, В. Бухштабера, Ю. Гаврильца, М. Лугачева, Л. Мешалкина и др., а также ведущих армянских ученых, в том числе Е. Арутюнян, Д. Асатряна, М. Гиновяна, А. Митояна, Ю. Суваряна и др.
Председатель Программно-организационного комитета
VII Международной Школы-семинара «Многомерный
статистический анализ и эконометрика»
R ??????? ?????
С. А. Айвазян
133
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
FISCAL POLICY
Natalya Yegorova, Ivan Khromov
Models of Decision Choices of the Tax-Paying Scheme for a Small Enterprise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Alexander Libman
Endogenous (De)Centralization and the Russian Federalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
INNOVATIONS
Gennadiy Lavrinov, Oleg Chrustalev
A Method of Constructing Integrated Structures in the High-Tech Production Complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
SOCIETY
Ludmila Bakumenko, Peter Korotkov
An Integrated Estimate of the Quality and Degree of Ecological Sustainability of the Region Environment
(Case of the Mari El Republic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
CONSULTATION
Sergei Aivazian
Bayesian Methods in Econometrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
NEWS FROM THE SCIENTIFIC COMMUNITY
The VII International Conference (School-Seminar) «Multivariate Statistical Analysis and Econometrics» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
134
Content R
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Natalya Yegorova, Ivan Khromov
Models of Decision Choices of the Tax-Paying Scheme for a Small Enterprise
The existence and profitability of a small enterprise depend on its tax-paying method. In the paper
a mathematically sound but simple enough algorithm is suggested for a choice of the best tax-paying
scheme of a small enterprise. It allows comparing different variants of tax-paying schemes in the expressanalysis regime and then choosing the optimal one with the minimum tax assignment sum being a criterion
of optimization.
Alexander Libman
Endogenous (De)Centralization and the Russian Federalism
The paper provides the econometric study of the factors of distribution of the tax revenue between
the levels of government in the Russian Federation based on the framework of the endogenous centralization theory. The first part of the paper considers the distribution of tax revenue between the federal center and the regions based on strategic tax collection; the second part deals with sub-regional aspects of
decentralization. The work applies both the traditional econometrics of panel data and Bayesian econometrics.
Gennadiy Lavrinov, Oleg Chrustalev
A Method of Constructing Integrated Structures in the High-Tech Production Complex
Basic principles and stages of the process of creating large integrated structures for raising effectiveness
and competitiveness standards of Russian high-tech enterprises are considered in the paper.
Ludmila Bakumenko, Peter Korotkov
An Integrated Estimate of the Quality and Degree of Ecological Sustainability of the Region
Environment (Case of the Mari El Republic)
The paper proposes a methodology of integrated estimate, monitoring and analysis of the quality and
degree of ecological sustainability of the region environment based on the factor analysis approach. It is then
demonstrated on the example of the Mari El Republic. The results allow studying the dynamics of the
integrated ecological indicator(s), determining problematic places, identifying the main directions in improving ecological policy of the region and, finally, forecasting the ecological situation.
Sergei Aivazian
Bayesian Methods in Econometrics
This consultation deals with the Bayesian approach to econometric analysis. It is based on subjective
probability methods of maximizing utilization of both the prior information and observations of a given
process.
Bayesian methods are generally used in the theory and practice of econometrics and included in the
curriculum of master programs of the leading world universities. The advantage of using the Bayesian
approach (in comparison with the traditional one) may be particularly seen in a higher precision of statistical
inference when dealing with small samples what is typical in econometric modeling.
R Abstracts
135
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
The VII International Conference (School-Seminar) «Multivariate Statistical Analysis and Econometrics»
September 21?30, 2008, Tsakhkadzor (Armenia)
The main topics:
1. Theory and methodology of construction and identification of regression models, problems of
classification, dimension reduction, time series.
2. Computer intensive procedures in the multidimensional statistical analysis and econometrics (bootstrap and Monte-Carlo simulation, cross-validation, data mining, neural networks, genetic algorithms).
3. Multidimensional statistical analysis (MSA) and econometrics of modeling real processes and systems.
4. Econometrics and MSA in the dialogue of the society and authority.
5. MSA and econometrics in the higher school education process.
The program of the School-Seminar will include plenary talks (35-min. invited) as well as 15-minute communications on subjects related to the above topics.
Those wishing to take part in the School-Seminar should send the title of the talk (communication), its
summary (1?2 pages), and personal data by e-mail before April 30 '08 on the address: nimak@cemi.rssi.ru,
copy to: aivazian@cemi.rssi.ru.
The School-Seminar will be held in the village of Tsakhkadzor. The accomodations include single and
double rooms for the cost of 1000 to 1300 roubles per person per day. The organization fee is 1500 roubles.
More detailed information will be sent to participants in May 2008.
For additional information, please, contact us by the above e-mail addresses.
136
Abstracts R
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Айвазян Сергей Артемьевич ? доктор физико-математических наук, профессор МГУ,
заместитель директора ЦЭМИ РАН, заведующий кафедрой эконометрики и математических
методов экономики Московской школы экономики МГУ им. М. В. Ломоносова, заведующий
кафедрой эконометрики МФПА
117418, Москва, Нахимовский просп., д. 47
ЦЭМИ РАН, оф. 503
Бакуменко Людмила Петровна ? кандидат экономических наук, профессор Марийского
государственного университета
424000, Йошкар-Ола, ул. Волкова, д. 206, кв. 4
Егорова Наталья Евгеньевна ? доктор экономических наук, главный научный сотрудник
ЦЭМИ РАН
117463, Москва, ул. Голубинская, д. 29, корп. 3, кв. 103
Коротков Петр Анатольевич ? аспирант Марийского государственного университета
424000, Йошкар-Ола, ул. Волкова, д. 206, кв. 4
Лавринов Геннадий Алексеевич ? доктор экономических наук, заместитель начальника
46 ЦНИИ Минобороны РФ по научной работе
109544, Москва, ул. Библиотечная, д. 15/8, кв. 7
Либман Александр Михайлович ? кандидат экономических наук, старший научный
сотрудник Института экономики РАН (ИЭ РАН)
125130, Москва, ул. З. и А. Космодемьянских, д. 11, кв. 2
Хромов Иван Евгеньевич ? кандидат экономических наук, преподаватель Экономического факультета Государственного университета гуманитарных наук (ГУГН)
117342, Москва, ул. Введенского, д. 13, корп. 2, кв. 259
Хрусталев Олег Евгеньевич ? младший научный сотрудник ЦЭМИ РАН, аспирант Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ)
111397, Москва, ул. Братская, д. 17, корп. 1
R ???????? ?? ???????
137
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Условия публикации статьи
Для публикации в журнале автору предлагается предоставить электронную версию статьи ? главному редактору: aivazian@cemi.rssi.ru и заместителю главного редактора: levslutskin@yandex.ru.
· Статья предполагает:
q быть оригинальной, то есть не опубликованной ранее в другом издании;
q опираться на эконометрические методы;
q содержать конкретные расчеты, относящиеся к этим методам и основанные на реальной экономической информации;
q представлять полученные результаты в свете последних достижений в данной области.
Требования к оформлению материала
· Автору следует предоставить аннотацию к статье (не более 1000 знаков). Редакция размещает на страницах
журнала ее изложение по-русски и по-английски.
· Статья должна быть структурирована: иметь пронумерованные разделы и, возможно, подразделы с названиями, начиная с «Введения», и в конце иметь «Заключение».
· Ссылки на литературу в тексте статьи даются в квадратных скобках. Сначала идет фамилия автора, а затем,
в круглых скобках, год публикации.
Пример: [Кузнецов (2005)], [Smith (1995)].
· Если предполагается коллектив авторов, то в ссылке следует указывать только первых двух.
Пример: [Петров, Смирнов и др. (2001)], [Smith, Crott et al. (2001)].
· Ссылки на сборники также приводятся в квадратных скобках. После наименования, в круглых скобках, указывается год публикации.
Пример: [Регионы России (2002?2004)].
· Если наименование сборника содержит более 60 знаков, можно дать одно или два первых слова названия
либо аббревиатуру организации или проекта, вынесенных в название.
Пример: [ЦЭМИ (2000)], [FRAME (2006)].
· Перед ссылкой на сайт необходимо давать условное название (это может быть последняя страница сайта
или краткое название организации, разместившей сайт).
· В конце статьи приводится полный список литературы в алфавитном порядке: сначала на русском языке, затем также в алфавитном порядке ? на иностранных языках. Ссылка должна быть, по возможности, как можно более полной (фамилия автора (авторов), затем его инициалы, название, место и год издания и т. п.).
Пример: Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. М.: Финансы и статистика, 1981.
· Все таблицы должны иметь названия, а рисунки ? подрисуночные подписи.
· Оси графиков должны быть подписаны (названия могут быть весьма условными, главное ? чтобы читатель
мог легко понять, к чему относится данный график).
· Текст в таблицах и рисунках должен быть кратким, но сокращения не допускаются.
· Если статья содержит много переменных, то их следует привести в качестве приложения в конце статьи или
дать в тексте, оформив их в виде таблицы.
· Формулы нумеруются справа в круглых скобках.
Технические требования
· Электронная версия рукописи предоставляется в Microsoft Word. Шрифт основного текста Times New
Roman, кегль ? 14 пт, межстрочный интервал ? 1,5.
· Текст следует размечать специальными стилями, четко следуя структуре статьи. Например, если в тексте
есть главы, разделы, подразделы и т. д., то следует выстроить структуру примерно так:
q основной текст ? стиль «Обычный»;
q названия глав ? стиль «Заголовок 1»;
q названия разделов ? стиль «Заголовок 2»;
q названия подразделов ? стиль «Заголовок 3» и т. д.
138
?????????? ? ???????? R
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Не следует выделять заголовки за счет изменения атрибутов стиля «Обычный».
· Простые формулы набираются при помощи шрифта Symbol. Латинские буквы в формулах пишутся курсивом
(за исключением общепринятых математических выражений типа max, min, cos, ln и т. п.); русские буквы, цифры
и греческие буквы ? прямым шрифтом.
Пример: A2 ґ B4 = С; X max ; a < b; DY; a і 10; Yсв(t) и т. д.
· Сложные формулы (при наличии знаков квадратного корня, суммы, многоэтажности и пр.) следует создавать единым блоком (в пределах полосы набора по ширине) при помощи редактора формул MS Word (Formula
Equation 3.1 или более новой версии) либо использовать программный пакет MathType, начиная с версии 5.2S.
· Рисунки должны быть черно-белыми (Grayscale) и предоставляться в форматах EPS, CDR (выполненные в
Corel Draw) или AI (выполненные в Adobe Illustrator).
· Растровые рисунки (например, фотографии, сканированные рисунки) также должны быть черно-белыми
(Grayscale), их следует предоставлять в отдельных файлах формата TIF с расширением не менее 300 dpi (без компрессии). Не следует уменьшать объем за счет сжатия файла в JPEG.
· При оформлении статьи отображениями экрана (Print Screen) следует выбирать максимальное разрешение
(Свойства экрана ® Параметры ® Разрешение экрана: 1600х1200).
· При подготовке рисунков также можно использовать графический редактор, встроенный в Microsoft Word.
Все элементы рисунка, во избежание их смещения, должны быть сгруппированы (при нажатой клавише Shift выделить последовательно каждый элемент и выполнить команду Group (группировать).
· Любые графики и диаграммы рекомендуется выполнять с помощью Microsoft Excel. При этом файл с рисунком должен иметь формат XLS.
· Каждый рисунок желательно оформлять отдельным файлом.
· При передаче материала в редакцию желательно к соответствующей электронной версии приложить подписанный автором оригинал, пронумерованный постранично.
Редакция оставляет за собой право отказать в публикации при невыполнении авторами вышеуказанных
требований. Решение о принятии к публикации или отклонении рукописи принимается редколлегией по результатам анонимного рецензирования.
Автору (или каждому из авторов, если их несколько) необходимо отправить отдельным файлом
данные для карточки:
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МАРКЕТ ДС»
ЖУРНАЛ «ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА»
ФИО
Фамилия и имя по-английски
Дата рождения
Высшее профессиональное образование (наименование образовательного учреждения, квалификация по диплому, специальность)
Высшая ученая степень
Дата присуждения ученой степени
Ученое звание (старший научный сотрудник, доцент, профессор и др.)
Дата присвоения ученого звания
Место работы
Должность
Номер телефона:
рабочий
домашний
мобильный
E-mail:
Почтовый адрес, по которому редакция может выслать экземпляр
журнала
П р и м е ч а н и е. Учетная карточка заполняется автором, впервые сотрудничающим с журналом, а также при изменении информации, предоставленной ранее.
R ?????????? ? ????????
139
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?????????
?? ? . : ( 495 ) 9 87- 4 3 -74; e - m a i l : b o o k @ m a r ke t d s . r u
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
????????????
??????? ???????
?. : ?????? ??, 2007. ? 112 ?.
??????????????? ?????
ISBN 978-5-7958-0161-2
??????? ??????? ???????????? ????? ??????? ???? ????????????, ?????????? ?????????? ?????? ?????????? ??????? ??
?????????????? ??????. ?????? ?? ?????? ???? ???????? ???????? ????????????? ??????, ??????? ???????? ???????? ? ??????? ??????? ?????.
????? ???? ???????????? ??? ???????? ?????????? ??? ???????? ????????????.
125190, ?. ??????, ????????????? ????????, ?. 80, ????. ?, ??. 505
???.: (495) 987-43-74
e-mail: book@marketds.ru; www.marketds.ru
??????????? ???????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
?????????
?? ? . : ( 495 ) 9 87- 4 3 -74; e - m a i l : b o o k @ m a r ke t d s . r u
??????
????????????
? ??????????????
??????????
??? ???. ?. ?. ?????????
??????? ???????
?. : ?????? ??, 2007. ? 240 ?.
??????????????? ?????
ISBN 978-5-7958-0169-8
??????? ??????? ?????????? ??? ???????? ??????? ????? ?????? ???????????? ? ?????????????? ??????????, ????????? ???
????????? ????????????? ??????????????. ? ?????? ?????? ????? ?????? ?????????? ???????? ????????????? ?????????, ?????????? ??????????? ?????????? ?????????????? ???????, ?????????? ??????? ??????? ?????, ? ????? ???????????? ?????? ???
??????????????? ?????? ?????????.
????????????? ??? ????????? ????????????? ??????????????
?????? ??????? ?????????. ????? ????, ????????????? ???????? ????? ?????????, ??????????? ?????? ?????? ????????????
? ?????????????? ?????????? ? ????? ??????? ? ???????????? ????????????.
125190, ?. ??????, ????????????? ????????, ?. 80, ????. ?, ??. 505
???.: (495) 987-43-74
e-mail: book@marketds.ru; www.marketds.ru
??????????? ???????????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Ґ ¤ Ў ќЇ ў Ё № ® Ї џ «
– ЈРНКЅИШ
БИЬКЅРЗЕ
ЕѕЕДКВОЅ
А©ЛОЗїЅ
ЁВКЕКАНЅБОЗЕЖМНЛОМВЗПБ ЗЛНМ ЛС ПВИ
FNBJMCPPL!NBSLFUETSV
XXXNBSLFUETSV
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Исправления
Когда статья уже находилась в верстке, редакция получила от одного из авторов статьи
«Econometric Modeling and Analysis of Residential Water Demand Based on Unbalanced Panel Data» (№
4 (8) 2007) следующий список опечаток:
1) с. 89, 4 строка сверху, должно быть «centimeters», а не «millimeters»;
2) с. 99?100, в таблицах 4 и 5 должно быть в ссылках на формулы: (84) вместо (91), (85)?(86) вместо
(92)?(93) и (87)?(88) вместо (94)?(95).
Редакция приносит свои извинения читателям журнала.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
???????? 2008
?????? ?????????? ???????????? ??????? 4 ???? ? ???:
???? ???? ???????? ???????
?? ?????? ??????? ????? ??????? ??? ??? ??? ????????:
· ???????? ????? ????????
????????? ???????? ?? 2008 ???:
3 ??????
6 ???????
1000 ???.
2000 ???.
9 ???????
3000 ???.
???????
4000 ???.
???????? ????? ???????? ? ?????? ??????
???./????: (495) 9874374, 7853988, e&mail: magazine@marketds.ru
· ???????? ?? ?????
?? ???????? ????????? «?????????»
?? ????????????? ???????? «?????? ??????»
?????? 20496
?????? 88058
???????? ?????????????? ???????? ?????????? ? ????????????
?????????? ? ???????? ??? «?????? ?? ??????????»
????????????? ? ??????????? ?? ???77?18788
????????:
???????? ???????????? ?. ?. ????????
???????????? ???????????? ????????? ?. ?. ???????
??????? ?. ?. ??????????
?????? ?????? ?. ?. ????????
????????? ?. ?. ???????
????? ????????:
125190, ??????, ??????, ????????????? ?????., ?. 80, ????. ?, ??. 505
???? ?????????:
??? «?????? ?? ??????????»
??? 7702267103
??? 770801001
?/? 40702810100100223100
? ??? ??? «?? ????», ?. ????????????
?/? 30101810100000000259
??? 044552259
??? ??????????? ? ??????????? ??????????
?????? ?? ?????? ?????????? ???????????? ???????????.
???????? ?? ????? ??????????????? ?? ????????????? ??????????,
?????????????? ? ????????? ???????????.
?????? ??????? ? ???????? ????? ?? ?????????.
© ??? «?????? ?? ??????????»
????? 1000 ???.
?ельство этого факта читатель найдет, например, в [Зельнер (1980)]). Та~
ким образом, мы пришли к тому, что условное распределение q-мерного вектора Y при за~
данных значениях X,Y и X описывается обобщенным многомерным t-распределением с
~~
n - k - 1степенями свободы, параметром сдвига XQ 0 и матрицей точности B ў, определенной
~ ~
~~
соотношением (53) (т. е. (Y | X ; X ; Y ) = t (n - k - 1| XQ 0 ; B ў ), см. Приложение 1б).
Используя известные свойства обобщенного t-распределения Стьюдента (см. Приложе~
ние 1б), получаем следующие байесовские прогнозы для Y :
~
· точечный байесовский прогноз для компонент вектора Y определяется соотношением:
$ (Б) ) T Ч X n+m , m = 12
y$ n+m (прогнозное) = ( Q
, ,..., q;
(54)
~
· интервальный байесовский прогноз для компонент вектора Y с вероятностью P0 оп-
ределяется соотношением:
й
1 щ
1
y n+m О к y$ n+m - t 1- P0 ( n - k - 1) Ч
; y$ n+m + t 1- P0 ( n - k - 1) Ч
ъ , m = 1, 2, ..., q,
c ўm ъы
c ўm
2
2
кл
(55)
где t e (v ) ? 100e% -ная точка стандартного t (v )-распределения Стьюдента, а величины cmў вы~
числяются по схеме (49)?(50) с заменой (k ґ k )-матрицы B на q ґ q-матрицу B ў, определенную
соотношением (53);
~
~
· байесовская прогнозная доверительная область DY для вектора Y = ( y n +1 , K , y n + q ) T
~
T
состоит, с заданной вероятностью P0 , из всех тех Y = ( y n +1 , K , y n + q ) , которые удовлетворяют неравенству
1 ~ ~ $ (Б) T -1 ~ ~ $ (Б)
( Y - XQ ) SY~ ( Y - XQ ) < F1- P0 ( q; n - k - 1),
q
(56)
$ (Б) ? байесовская точечная оценгде Fe (v 1 , v 2 ) ? 100e% -ная точка F (v 1 , v 2 )-распределения, Q
n-k-1
~
ка параметров регрессии Q, аS Y~ =
(B ў ) -1 ? ковариационная матрица вектора Y . Можn-k-3
но показать, что для модели (8а)?(9а) эта область имеет форму q-мерного эллипсоида.
Рассмотрим реализацию описанной выше схемы построения точечных и интервальных
байесовских прогнозов значений зависимой переменной в нормальной КЛММР на нашем
примере, проанализированном в задаче 5.
Задача 5 (продолжение).
В условиях примера, рассмотренного выше в задаче 5, требуется:
по заданным (планируемым) значениям автономных инвестиций x 21 = 120 и x 22 = 140 построить точечные и интервальные байесовские прогнозы для среднедушевых доходов насе~
ления y 21 и y 22 , а также прогнозную доверительную область DY для этих значений с уровнем
R ????????????
123
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
доверия P0 = 0 ,90. Сравнить полученные решения с решениями, основанными на методе
максимального правдоподобия.
Решение. Итак, в нашем случае:
~ ж1 120 ц ~ ж y 21 ц
чч ; Y = зз чч = ?
X = зз
и1 140 ш
и y 22 ш
~
~
В соответствии с (52) плотность условного распределения вектора Y при заданных X , X
и Y описывается обобщенным многомерным t-распределением с числом степеней свободы
ж 1 120 ц ж 349 ,0 ц
чз
ч и матрицей точности B ў, определенной
v = 20 - 1- 1 = 18, параметром сдвига з
1
140
2
9
,
и
ш
и
ш
соотношением (53).
Произведя необходимые вычисления по формулам (53)?(56) и используя известные свойства обобщенного многомерного t-распределения (см. Приложение 1б), имеем:
y$ 21(прогн. ) = 349 + 2,9 Ч 120 = 697, 4,
y$ 22 (прогн. ) = 349 + 2,9 Ч 140 = 755,5,
ж721, 8 106, 8 ц
ж 0,00159 -0,00022 ц
чч ,
чч ; SY~ = зз
B ў = зз
и106, 8 757, 4 ш
и -0,00022 0,00152 ш
y 21 О [ 653, 6 ; 7412
, ] с вероятностью P 0 = 0,90,
y 22 О [ 710,7 ; 800,3 ] с вероятностью P 0 = 0,90,
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
пмж y 21 ц 1 ж y 21 - 697, 4 ц
чч
D Y~ = нзз чч : зз
пои y 22 ш 2 и y 22 - 755,5 ш
T
ьп
ж 0,00159 -0,00022 ц ж y 21 - 697, 4 ц
зз
чч зз
чч < 2, 62 э .
пю
и -0,00022 0,00152 ш и y 22 - 755,5 ш
Сравним эти результаты с соответствующими прогнозами, основанными на оценках метода максимального правдоподобия:
· точечный прогноз
мп
y$ 21
(прогнозное) = 344,7 + 3,05 Ч 120 = 710,7,
мп
y$ 22
( прогнозное ) = 344,7 + 3,05 Ч 140 = 7717
, ;
· интервальный прогноз строится на основе t (n - 2)-распределенности случайных вели-
чин
y$ nмп+m ( прогн. ) - y n+m
1 (x
- x)2
s$ мп Ч 1 + + n n+m
n
е( x i - x ) 2
, m = 1, 2 ;
i =1
в нашем случае n = 20, x n+1 = 120, x n+ 2 = 140, s$ 2мп =
1
=
1
= 666 ,67; s$ мп = 25, 82;
0 ,0015
h$ мп
5572,6
( x n+ 2 - x ) 2
8958 ,6
и t 0 , 05 (18 ) = 1734
,
,
, так что:
=
= 0 ,976; 20
=
= 1569
20
5711
5711
2
2
(
x
x
)
(
x
x
)
е i
е i
( x n +1 - x ) 2
i =1
i =1
124
???????????? R
y 21 О [ 647,1; 774,3 ] с вероятностью P 0 = 0,90,
y 22 О [ 699,2 ; 844,2 ] с вероятностью P 0 = 0,90.
Мы видим, что и в прогнозе байесовский подход позволяет сузить ширину прогнозной
интервальной оценки для y22 в 1,45 раза, а для y22 ? в 1,62 раза!
Приложения
????????? ???????? ?? ?????????? ? ??????????? ???????
????????????? ????????????, ???????????? ? ??????????? ???????
Приложение 1а
Обобщенное одномерное распределение Стьюдента с n степенями свободы,
параметром сдвига q 0 и параметром точности c (t(n|q 0 ; c )-распределение)
Как известно (см., например, [Айвазян, Мхитарян (2001), гл. 3]), стандартный з.р.в. Стьюдента с n степенями свободы (ст. св.) описывает распределение случайной величины
t ( n) =
x0
1 n 2
е x1
n i =1
(П.1)
,
где x 0 , x 1 , K , x n ? статистически взаимонезависимые (0 ; s 2 )-нормально распределенные
случайные величины. Значение соответствующей функции плотности вероятности f t(n ) ( x )
в точке x задается соотношением:
n + 1ц
n+1
G жз
ч
2 и 2 ш ж x ц 2
ft ( n ) ( x ) =
з1 + ч ,
n
nш
np ЧG жз цч и
и2 ш
(П.2)
n
(n > 2).
n-2
Введем в рассмотрение случайную величину t (n| q 0 ; c ), являющуюся линейной функцией
от t(n ), а именно:
причем Et(n ) = 0 и Dt(n ) =
t( n|q 0 ; c ) =
1
t ( n) + q 0 .
c
(П.3)
Легко показать, что функция плотности вероятности f t (n |q 0 ; c ) ( x ) случайной величины
t (n| q 0 ; c ) в точке x имеет вид:
f t ( n| q 0 ; c ) ( x ) =
n + 1ц
n+1
c ЧG жз
ч
2 и 2 ш ж c( x - q 0 ) ц 2
ч ,
з1 +
nц и
n
ж
ш
np ЧG з ч
и2 ш
(П.4)
1 n
причем Et (n| q 0 ; c ) = q 0 и Dt (n| q 0 ; c ) = Ч
(n > 2).
c n-2
R ????????????
125
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Распределение, задаваемое плотностью (П.4), называют обобщенным распределением
Стьюдента (или t (n| q 0 ; c )-распределением) с параметром сдвига q 0 и параметром точности c. Отметим, что в данном случае параметр точности c не есть величина, обратная к дисперсии случайной величины t (n| q 0 ; c ): дисперсия может и не существовать (при n Ј 2).
Приложение 1б
Обобщенное k-мерное (k і 2) распределение Стьюдента с n степенями свободы,
параметром сдвига Q 0 = (q10 ,q 02 ,...,q k0 ) T и (k ґ k)-матрицей точности B
(или так называемое t (n|Q 0 ; B)-распределение)
Стандартный k-мерный з.р.в. Стьюдента с n ст. св. описывает распределение k-мерной
случайной величины
t ( n) = ( t (1) ( n), t ( 2) ( n), ..., t ( k ) ( n)) T ,
(П.5)
где каждая из компонент t j (n ) ? стандартная стьюдентовская случайная величина (П.1), и все
компоненты t j (n ) ( j = 1, 2,..., k ) взаимнонекоррелированы. Функция плотности вероятности
f t (n ) ( X ) в точке X = ( x (1) , x ( 2 ) ,..., x ( k ) ) T задается соотношением
n+ kц
n+k
G жз
ч
и 2 ш Ч ж1 + 1 X T Ч X ц 2 ,
ft ( n ) ( X ) =
ч
з
k
ш
n и n
( pn) 2 ЧG жз цч
и2 ш
(П.6)
n
Ч I k , где 0 k обозначает k-мерный
n-2
вектор-столбец из нулей, а I k ? единичная матрица размерности k.
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
причем Et (n ) = 0 k и ковариационная матрица S t (n ) =
Обобщенное k-мерное распределение Стьюдента (или t (n | Q 0 ; B )-распределение)
с n ст. св., параметром сдвига Q 0 и матрицей точности B описывает распределение случайной величины
t ( n|Q 0 ; B ) = C Ч t ( n) + Q 0 ,
(П.7)
где C ? некоторая невырожденная k ґ k -матрица, B = (CC T ) -1 , Q 0 = (q10 , q 02 ,... , q k0 ), а t (n ) ?
стандартная стьюдентовская k-мерная случайная величина (П.5), подчиняющаяся з.р.в. с плотностью (П.6). Значение функции плотности вероятности f t (n |Q 0 ; B ) ( X ) случайной величины
t (n| Q 0 ; B ) в точке X = ( x (1) , x ( 2 ) ,..., x ( k ) ) T задается соотношением
n+ kц
n+k
G жз
ч
1
2
1
2 ш
и
ж
ц
T
2
f t ( n| Q 0 ; B ) ( X ) =
,
Ч|B | з1 + ( X - Q 0 ) B ( X - Q 0 ) ч
k
и n
ш
n
( pn) 2 G жз цч
и2 ш
(П.8)
n
Ч B.
n-2
Именно этим з.р.в. описывается сопряженное априорное (а следовательно, и апостериорное) частное распределение вектора Q = (q 0 , q1 , K , q k ) T коэффициентов регрессии
~
в нормальной КЛММР, а также условное (при фиксированных X,Y и X) апостериорное рас~
пределение вектора Y = ( y n +1 , y n + 2 ,... , y n + q ) T прогнозных значений зависимой переменной
в этой модели (см. в тексте консультации пример 9 и задачу 5).
причем Et (n| Q 0 ; B ) = Q 0 и ковариационная матрица S t (n |Q 0 ; B ) =
126
???????????? R
При построении байесовских интервальных оценок и доверительных областей для параметров Q, так же как и при построении байесовских интервальных оценок и доверительных
~
областей для прогнозных значений Y , используются следующие свойства t (n| Q 0 ; B )-распределения.
Свойство (А). Пусть анализируемая k-мерная случайная величина t (n| Q 0 ; B ) разбита на
два подвектора t (1) (n| Q 0 ; B ) и t ( 2 ) (n| Q 0 ; B ) соответственно размерностей k1 и k2 (k 1 + k 2 = k ),
т. е.
жt (1) ( n|Q 0 ; B ) ц
ч.
t ( n|Q 0 ; B ) = з ( 2)
зt ( n|Q 0 ; B ) ч
и
ш
Соответственно этому разобьются на блоки вектор средних значений Q 0 и матрица точности B:
жQ1( 1) ц
жB 11 B 12 ц
чч и B = зз
чч.
Q 0 = зз
иQ1( 2 ) ш
иB 21 B 22 ш
Сформулируем свойство (А).
Частное (маржинальное) распределение вектора t (1) (n| Q 0 ; B ) является k1-мерным обобщенным распределением Стьюдента t (n|Q 0 (1); B (1)) с параметром сдвига Q 0 (1) = (q10 , ..., q k01 ) T
и матрицей точности B (1) = B 11 - B 12 B 22-1 B 21 .
При построении интервальных оценок нас интересует частное распределение отдельной (j-й) компоненты t ( j ) (n| Q 0 ; B ) анализируемой k-мерной обобщенной стьюдентовской
случайной величиныt (n| Q 0 ; B ). Соответственно, при этом используется частный случай данного свойства, когда в роли t (1) (n| Q 0 ; B ) выступает компонента t ( j ) (n| Q 0 ; B ). Тогда:
k 1 = 1; Q 0 ( 1) = q 0j ; B ( 1) = b jj - B j Ч Ч B ( j ) Ч B Ч j ,
(П.9)
где b jj ? j-й диагональный элемент матрицы точности B, B jЧ = (b j 1 , K , b jЧ j -1 , b jЧ j +1 , K , b jk ) ?
столбец матрицы B ( j ), а
строка, B Ч j = (b1 j ,... , b j -1Ч j , b j +1Ч j ,... , b kj ) T ? (k - 1-мерный
)
(k - 1-мерная
)
получающаяся из матрицы B вычеркиванием из нее j-й строB ( j ) ? это (k - 1) ґ (k - 1-матрица,
)
ки и j-го столбца.
Заметим, что в данном случае B(1) ? это числовой параметр точности в частном обобщенном одномерном стьюдентовском распределении компоненты t ( j ) (n| Q 0 ; B ).
Свойство (В) используется при построении доверительных областей для неизвестных
значений параметров КЛММР или одновременно для нескольких прогнозных значений зависимой переменной и заключается в том, что статистика
g=
1
(t ( n|Q 0 ; B ) - Q 0 )T B (t ( n|Q 0 ; B ) - Q 0 )
k
асимптотически (по n ® Ґ) подчиняется F (k ; n )-распределению.
Поэтому, определяя из таблиц по заданной доверительной вероятности P0 значение
100(1-P0)%-ной точки F1-P0 (k ; n ) соответствующего F-распределения, мы можем с помощью
неравенства
R ????????????
127
?. ?. ???????
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
1
(t ( n|Q 0 ; B ) - Q 0 )T B (t ( n|Q 0 ; B ) - Q 0 ) < F1- P0 ( k ; n)
k
(П.10)
определить k-мерную область, в которую попадает 100 P0 % наблюдений случайной величины t (n| Q 0 ; B ).
Приложение 2а
Двумерное гамма-нормальное распределение и его свойства
Совместное двумерное распределение случайной величины (q ; h ) называется гамманормальным, если его функция плотности вероятности p(q ; h ) задается (с точностью до
нормирующего множителя) соотношением
1
p( q; h) ~ ( l 0 h) 2 e
-
l0 h
( q-q0 )2
2
Ч h a -1e - bh ,
(П.11)
где l0 , q0 , a иb ? некоторые числовые значения параметров этого семейства распределений.
Свойства двумерного гамма-нормального распределения
(I) Частное распределение параметра q есть одномерное обобщенное распределение
Стьюдента (П.4) с 2a ст. св., параметром сдвига q 0 и параметром точности c = l 0 Ч a / b, т. е.
ж
aц
q = t зз2a|q 0 ; l 0 чч.
bш
и
??????????? ?????? ? ???????????????? ???????
a
Отсюда, в частности, следует, что случайная величина l 0 (q - q 0 ) подчиняется станb
дартному распределению Стьюдента с 2a ст. св.
(II) Частное распределение параметра h есть гамма-распределение (23) с параметрами
a
a
(a , b ) и, следовательно, Eh = , Dh = 2 и hО [ g 1- e (a ; b ); g e (a ; b )] с вероятностью P0 = 1- 2e,
b
b
где g q (a , b ) ? это 100q%-ная точка гамма-распределения с параметрами a и b.
Отметим, что при a, кратном 0,5, справедлива формула:
g q ( a, b ) =
1 2
c q ( 2a ),
2b
(П.12)
где c 2q (m ) ? это 100q%-ная точка «хи-квадрат»-распределения с m ст. св.
(III) Условное распределение параметраq (при условии заданности значения параметра h,
т. е. при h = h0 , где h0 ? заданное число) является (q 0 ; 1/ l 0 h0 )-нормальным распределением (вытекает из (П.11) при подстановке в правую часть этого соотношения заданного значения h = h0 ).
Приложение 2б
Многомерное (k + 1-мерное, k > 1) гамма-нормальное распределение и его свойства
Совместное k + 1-мерное распределение параметров Q = (q1 , q 2 , K , q k ) T и h называется
многомерным гамма-нормальным, если его функция плотности вероятности p( Q ; h ) задается (с точностью до нормирующего множителя) соотношением:
k
1
p( Q; h) ~ h 2 |L 0 | 2 e
128
h
- ( Q -Q 0 ) T L0 ( Q -Q 0 )
2
Ч h a -1e - bh ,
(П.13)
???????????? R
где заданные численные значения векторного параметра сдвига Q 0 = (q10 , q 02 ,... , q 0k ) T , элементов (k ґ k )-матрицы точности L 0 , а также параметров a и b однозначно определяют з.р.в.
параметров Q и h.
Свойства многомерного гамма-нормального распределения
(I) Частное распределение векторного параметра Q = (q1 , q 2 ,... , q k ) T есть многомерное
обобщенное распределение Стьюдента (П.8) с 2a ст. св., параметром сдвига Q = (q10 , q 02 , ... , q k0 ) T
a
и матрицей точности B = Ч L 0 .
b
(II) Частное распределение скалярного параметра h есть гамма-распределение (23) с параметрами a и b.
(III) Условное распределение векторного параметра Q (при условии заданности значения
параметра h, т. е. при h = h0 , где h0 ? заданное значение) является k-мерным (Q 0 ; (h0 L 0 ) -1 )нормальным распределением.
Приложение 3
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
143
Размер файла
1 946 Кб
Теги
1130
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа