close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Гармонический анализ некоторых классов линейных операторов

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Дикарев Егор Евгеньевич
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Воронеж 2016
Работа выполнена в Воронежском государственном университете.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор
Баскаков Анатолий Григорьевич.
Официальные оппоненты:
Глушак Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, кафедра математики, профессор,
Сторожук Константин Валерьевич, кандидат физико-математических наук, Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской
академии наук, старший научный сотрудник.
Ведущая организация: Северо-Осетинский государственный универси-
тет имени К. Л. Хетагурова, г. Владикавказ.
Защита состоится 24 мая 2016 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского
государственного университета, а также на сайте
http://www.science.vsu.ru/disserinfo&cand=2865
Автореферат разослан
марта 2016 г.
Ученый секретарь Диссертационного совета
доктор физико-математических наук,
профессор
Гликлих Ю. Е.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Одно из основных направлений развития теории операторов связано с изучением аксиоматически выделяемых классов линейных
операторов, допускающих определјнные аналоги спектральных разложений самосопряжјнных и нормальных операторов в гильбертовом пространстве. Определяющим является требование наличия у вводимого класса операторов инвариантных подпространств таких, что спектры сужения оператора на эти подпространства лежат в наперјд заданных компактах и порождающих в том или
ином смысле исходное пространство. На таком подходе основано определение и
изучение классов нормальных, самосопряжјнных, спектральных (по Данфорду), обобщјнных спектральных, разложимых (по Фойашу), неквазианалитических (по Любичу Мацаеву) и многих других классов линейных операторов.
Данная диссертация посвящена изучению некоторых классов линейных операторов, действующих в банаховых пространствах. Основными методами исследования являются методы гармонического анализа, которые используются
благодаря наличию достаточно обширного функционального исчисления для
рассматриваемых классов операторов. Спектральный анализ достаточно широких классов операторов, находящих применение при изучении дифференциальных и разностных уравнений, в данной диссертации делает задачу их изучения
актуальной.
Цель работы состоит в развитии методов гармонического анализа линейных операторов, доказательстве существования инвариантных подпространств
для линейных операторов, действующих в вещественных банаховых пространствах, обобщении неравенств Бернштейна и БораФавара на более широкий
класс операторов, получении приложений указанных неравенств, в частности,
к методу подобных операторов.
Методы исследования. Основными методами исследования являются методы гармонического анализа, спектральной теории операторов, теории функций, теории представлений групп и полугрупп линейных операторов в банаховых пространствах.
Научная новизна. В диссертации получен ряд новых результатов.
1. Доказано существование нетривиальных инвариантных подпространств
для операторов, действующих в вещественных банаховых пространствах.
3
2. Получен абстрактный аналог неравенства Бернштейна для векторов и
некоторых классов операторов.
3. Получены приложения неравенства Бернштейна к оценкам норм производных функций из однородных пространств, целых на бесконечности функций, оценкам норм операторов коммутирования.
4. Получен абстрактный аналог неравенства Бора Фавара для векторов и
некоторых классов операторов.
5. Получены оценки проекторов на спектральное подпространство.
6. Получены приложения неравенства Бора Фавара к методу подобных операторов (теорема
о расщеплении ),
оценке интеграла от функций из одно-
родных пространств.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития методов гармонического анализа, получения приложений к
спектральной теории операторов, в частности, оценок типа Бернштейна и Бора Фавара. Также результаты могут использоваться при чтении спецкурсов
в университетах для студентов математических специальностей и применяться специалистами в области гармонического и функционального анализа при
исследовании вопросов, связанных с тематикой диссертации.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С. Г. Крейна (2013, 2014
гг.), на Крымских осенних математических школах (Украина, г. Севастополь,
2010, 2011, 2012 г.), на Крымской международной математической конференции
(Украина, г. Судак, 2013 г.), на математическом интернет-семинаре ISEM-2014
(Германия, г. Блаубойрен, 2014 г.), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Левитана (г. Москва, 2014 г.), на семинарах А. Г. Баскакова и научных сессиях Воронежского государственного
университета.
Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1-9]. Работы [6,8,9] опубликованы в журналах из
перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендован-
4
ных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных публикаций [1,7,8,9] в диссертацию
включены результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырјх глав, разбитых на параграфы, и библиографии, включающей 72 наименования. Основные результаты содержатся во 2, 3 и 4 главах. Общий объем
диссертации составляет 101 страницу.
Глава 1 содержит сводку широко используемых в диссертации определений
и результатов из спектральной теории замкнутых операторов, теории топологических групп, банаховых алгебр, банаховых модулей, представлений групп и
полугрупп линейных операторов.
Глава 2 содержит результаты по спектральной теории линейных операторов
в вещественных банаховых пространствах. В большинстве известных монографий, в которых подробно излагается либо существенно используется спектральная теория линейных операторов в банаховых пространствах, их авторы, как
правило, предполагают, что эти пространства являются комплексными либо
указывают на возможность комплексификации вещественного банахова пространства. Тем не менее, при построении спектральной теории линейных операторов в вещественных банаховых пространствах иногда необходимо подробно
отслеживать переход в комплексификацию пространства и обратный переход.
Для неквазианалитического оператора в вещественном банаховом пространстве получены результаты о существовании нетривиального инвариантного подпространства.
Пусть
X
вещественное банахово пространство,
End X
линейных ограниченных операторов, действующих в
A
спектр оператора
X.
банахова алгебра
Если
A ? End X ,
то
может быть пустым множеством. Тем самым, возникает
проблема построения по спектру инвариантных подпространств для операторов, действующих в вещественных банаховых пространствах.
При изучении оператора
хова пространства
из векторов вида
A обычно осуществляется комплексификация бана-
X , т. е. рассматривается банахово пространство X, состоящее
x1 + ix2 ,
где
x1 , x2 ? X .
A расширяется на X до оператора A ? End X. Определјнные свойства оператора A (например, неквазианалитичность) индуцируют аналогичные
Оператор
свойства для оператора
A.
Проводится исследование оператора
A
методами
гармонического анализа. Затем, следуя подходу, разработанному А. Г. Баскако-
5
1
вым , свойства оператора
A распространяются для исследования оператора A.
Таким способом получены условия разложимости по Фойашу, а также устанавливается существование нетривиальных инвариантных подпространств для
оператора
A. Используя полученные результаты для A, соответствующее свойA ? End X . Пусть X банахово пространство
K ? {R, C}. Подмножество ? ? C будем называть симметричным,
ство переносится на оператор
над полем
если для любых
?1 + i?2 ? ? ?1 ? i?2 ? ?.
комплексификация оператора
торе
x = x1 + ix2
равенством
комплексным спектром
значим отображение
A,
т. е. оператор
A
A ? End X
A ? End X
и
определяется на любом век-
Ax = Ax1 + iAx2 . Спектр оператора A называется
оператора
A
и обозначается
?C (A).
Символом
J : X ? X, J(x + iy) = x ? iy , x, y ? X ,
аддитивным, но не однородным. Ясно, что
Определение 2.11. Оператор
разложимым,
Пусть
J
обо-
которое будет
J2 = I, J?1 = J.
A ? End X
называется
симметрично суперn
если для любого конечного открытого покрытия
? Ui
i=1
симмет-
ричными множествами
Ui , 1 6 i 6 n, комплексного спектра ?C (A) оператора A
существуют операторы
R1 , . . . , Rn ? End X
со свойствами: 1)
I = R1 + · · · + Rn ;
Rk , k = 1, . . . , n, перестановочны между собой, с оператором A
(
)
и оператором J; 3) ?C A|Im Rk = ?k ? Uk , k = 1, . . . , n, где Im Rk образ
оператора Rk .
2) операторы
Одними из основных результатов главы являются следующие утверждения.
Теорема 2.1.
Пусть X вещественное банахово пространство, T : G ?
End X неквазианалитическое сильно непрерывное представление. Тогда
операторы T (g), g ? G, T (f ), f ? L? (G, R), где оператор T (f ) определјн
?
формулой T (f )x = f (g)T (?g), dg, x ? X , симметрично суперразложиG
мы.
Теорема 2.2.
?
?
n=??
ln ?T ?
1+n2
n
Пусть T ? End X обратимый оператор, для которого
< ?. Тогда оператор T является симметрично суперразложи-
мым. Если ?C (T ) содержит более двух точек, то оператор T имеет нетривиальное инвариантное подпространство.
Пусть
T : R ? End X
сильно непрерывная группа операторов, удовле-
творяющая условию неквазианалитичности
iA : D(A) ? X ? X .
?
R
ln ?T (t)?
1+t2
dt < ?,
с генератором
Тогда имеет место
1 Баскаков
А. Г. К спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах
/ А. Г. Баскаков, А. С. Загорский // Матем. заметки. 2007. Т. 81. ќ 1. С. 17-31.
6
Теорема 2.3.
Для любого числа 0 ?= a ? R оператор (A ? aI)?1 ? End X ,
где A генератор группы T : R ? End X , является симметрично суперразложимым. Если множество ?C (A) содержит более двух точек, то оператор
A имеет нетривиальное инвариантное подпространство.
Глава 3 содержит результаты, связанные с получением неравенств типа
Бернштейна, связывающих норму оператора (вектора) с его спектральным радиусом. С. Н. Бернштейном
2
было получено неравенство
любого тригонометрического многочлена
из пространства
Э. Ландау:
C2? (R) = C2? (R, C).
?x? ?? 6 n · ?x?? .
n
?
x(t) =
?x? ?? 6 2n · ?x??
?k eikt ,
для
|??n |+|?n | > 0,
k=?n
Практически сразу оно было уточнено
Константа
n
является точной.
3
В 1914 году М. Рисс , используя интерполяционную формулу, обобщил неравенство на случай произвольного тригонометрического полинома с комплексными коэффициентами.
Затем С. Н. Бернштейном
4
было получено неравенство
?x? ?? 6 ? · ?x??
для целой функции
ству
Cb (R).
(3.3)
x экспоненциального типа ? > 0, принадлежащей простран-
Отметим статьи В. И. Иванова
5
6
и Э. А. Стороженко , где аналоги
неравенства Бернштейна были получены в других функциональных пространствах.
В 70-х годах прошлого столетия многие авторы стали получать аналоги неравенства Бернштейна для специальных классов линейных ограниченных опера-
7
торов, действующих в банаховом пространстве. В статье А. П. Терјхина
нера-
венство Бернштейна для операторов было получено с использованием оценки (3.3) для функций. В статье А. Г. Баскакова
2 Bernstein
8
неравенство для оценки нор-
S. N. Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes / S. N.
Bernstein // Academie Royale de Belgique, Classe des Sciences, Memores Collection in 4., ser. II, 1922. V. 4. 577 p.
3 Riesz M. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen f
ur Polynome / M. Riesz //
Deutch Mat. Ver. 1914. V. 23. P. 354-368.
4 Bernstein S. N. Sur une propriete des fonctions entieres / S. N. Bernstein // C. R. Acad. Sci. 1923. V. 176.
P. 1603-1605.
5 Иванов В. И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных в разных
метриках / В. И. Иванов // Матем. заметки. 1975. Т. 18. ќ 4. С. 489-498.
6 Стороженко Э. А. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp , 0 < p < 1 / Э. А.
Стороженко, В. Г. Кротов, П. Освальд // Матем. сб. 1975. Т. 98. ќ 140. С. 395-415.
7 Терјхин А. П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение / А. П. Терјхин // Саратов,
изд-во Саратовск. ун-та. Дифферен. ур. и выч. матем. 1975. Вып. 3. С. 3-28.
8 Баскаков А. Г. Неравенства бернштейновского типа в абстрактном гармоническом анализе / А. Г. Бас-
7
мы оператора было получено на основе аналога интерполяционной формулы
9
Боаса , полученной для оцениваемого оператора. Это представление использовалось в статье [6] для оценки нормы векторов из банахова пространства. Сразу
отметим, что, хотя полученные здесь оценки для векторов и операторов, действующих в комплексных банаховых пространствах, с помощью комплексификации банахова пространства и результатов статьи [8] и статей А. Г. Баскакова
11
и К. В. Сторожука
10
они распространяются и для операторов, действующих в
вещественных банаховых пространствах.
Пусть
где
X
iA
генератор изометрической группы операторов
T : R ? End X ,
комплексное банахово пространство. Отметим, что оператор
A может
являться неограниченным.
Спектром Бјрлинга вектора x
Определение 3.1.
модуля
X
называется множество
{?0 ? R |
множеству
и
f0 x = 0}.
???(x)
Теорема 3.1.
из
R,
существует функция
Если множество
rB (x) = max |?|,
?(x)
называемое
?(x)
из банахова
L1 (R)
являющееся дополнением в
f0 ? L1 (R)
компактно, то через
спектральным радиусом
такая, что
rB (x)
R
к
fb0 (?0 ) ?= 0
обозначим число
вектора
x?X.
Если вектор x из X имеет компактный спектр Бјрлинга,
то x ? D(Am ) для всех m ? N, ?(Am x) ? ?(x) и справедливы оценки ?Am x? 6
rB (x)m · ?x? при m > 1.
Через
Cb (R, X ) будем обозначать банахово пространство непрерывных огра-
ниченных функций, определјнных на вещественной оси со значениями в комплексном банаховом пространстве
Cb (R, X ).
Символом
Cbu (R, X )
но непрерывных функций из
X,
с нормой
?x?? = sup x(t), x ?
t?R
будем обозначать подпространство равномер-
Cb (R, X ).
Также рассматривается подпростран-
C0 (R, X ) ? Cbu (R, X ) функций, исчезающих на бесконечности, а именно,
x ? C0 (R, X ), если lim x(t) = 0.
ство
|t|??
x ? Cbu (R, X ) будем называть целой на бесэкспоненциального типа ? > 0, если для каждого ? > 0
Определение 3.5. Функцию
конечности
найдјтся
функцией
x0 ? Cbu (R, X ),
xe0 : C ? X
допускающая расширение на
экспоненциального типа
C
до целой функции
? + ? такая, что x(t) = x0 (t) + y0 (t), t ? R,
каков // Сиб. матем. журн. 1979. Т. 20. ќ 5. С. 942952.
9 Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. М.: Наука, 1965. 408 с.
10 Баскаков А. Г. К спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах
/ А. Г. Баскаков, А. С. Загорский // Матем. заметки. 2007. Т. 81. ќ 1. С. 17-31.
11 Сторожук К. В. Симметричные инвариантные подпространства у комплексификаций линейных операторов / К. В. Сторожук // Матем. заметки. 2012. Т. 91. ќ 4. С. 938-940.
8
где
y0 ? C0 (R, X ).
Пусть функция x ? Cbu (R, X ) является целой на беско-
Теорема 3.2.
нечности функцией экспоненциального типа ? > 0. Тогда для любого ? > 0
существуют такая целая функция x0 экспоненциального типа ? + ? и функция y0 ? C0 (R, X ) такие, что x(t) = x0 (t) + y0 (t), t ? R, и имеет место
оценка sup x?0 (t) 6 (? + ?) lim sup x(t).
??? |t|>?
t?R
X1 , X2
Пусть
банаховы пространства. Через
Hom (X1 , X2 )
будем обо-
значать пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов ),
действующих из
X1
X2 .
в
ры изометрических групп
Пусть
iA1 , iA2 , Ak ? End Xk , k = 1, 2,
T1 : R ? End X1
и
T2 : R ? End X2
генерато-
соответственно.
Hom (X1 , X2 ) наделяется структурой банахова модуT : R ? End Hom (X1 , X2 ) вида T (t)X = T2 (t)XT1 (?t),
Банахово пространство
ля по представлению
t ? R, X ? Hom (X1 , X2 ).
любого оператора
X ? Hom (X1 , X2 ).
adA1 ,A2 X = A2 X ? XA1 .
вида
adA X = AX ? XA
XD(A1 ) ? D(A2 )
на
Следовательно, определјн спектр Бјрлинга
X1 .
Обозначим символом
В случае, когда
коммутатор. Оператор
и оператор
A2 X ? XA1
X
adA1 ,A2
?(X)
оператор
A1 = A2 = A, adA1 ,A2 X =
принадлежит
D(adA1 ,A2 ),
если
допускает ограниченное расширение
В дальнейшем это расширение будет обозначаться тем же символом
A2 X ? XA1 .
Теорема 3.3.
Если спектр Бјрлинга ?(X, T ) оператора X ? Hom (X1 , X2 )
является компактным множеством, то справедливо следующее неравенство:
adA ,A X 6 rB (X) · ?X?, где rB (X) = max |?|.
1
2
???(X)
1
Далее символом Lloc (R, X
)
будем обозначать пространство локально сум-
мируемых функций, определјнных на вещественной оси, со значениями в комплексном банаховом пространстве
[0, ?),
X . Пространством Степанова Sp , p ?
будем называть совокупность локально суммируемых функций
таких, что
?x?Sp
( ?1 p )1/p
= sup
x(s + t) ds
< ?.
t?R
0
Функциональное банахово пространство
родным,
x ? L1loc
F = F(R, X ) будем называть одно-
если оно обладает следующими свойствами: 1)
F
непрерывно вложено
S1 ; 2) для всех t ? R и x ? F имеет место S(t)x ? F,
(
)
S(t)x (s) = x(s + t), s, t ? R, x ? F, является изометрией
в пространство Степанова
где оператор сдвига
из
End F;
жит
3) для
x?X
и
C ? End X
функция
y(t) = Cx(t), t ? R,
принадле-
F и имеет место оценка ?y? 6 ?C? · ?x?; 4) для любых функций f ? L1 (R),
9
x?F
их свјртка
место оценка
для всех
(f ? x)(t) =
?
R
f (s)x(t ? s) ds,
?f ? x? 6 ?f ?1 ?x?;
f ? L1 (R),
то
t ? R, принадлежит F
5) если Функция
x?F
такова, что
ставлением
f ?x = 0
x = 0 (свойство невырожденности ).
Непосредственно из определения однородное пространство
ляется банаховым
и имеет
L1 (R)
F = F(R, X ) яв-
модулем, структура которого определяется пред-
S : R ? End F.
Теорема 3.4.
Если спектр Бјрлинга ?(x) функции x ? F является ком-
пактным множеством, то x допускает расширение на C до целой функции
экспоненциального типа ? = rB (x) и для производной x(k) , k > 1, имеют ме
сто оценки x(k) F 6 ? k ?x?F , k > 1.
Рассматривается группа операторов (представление)
T : R ? End X ,
допус-
кающих оценку
?T (?t)? 6 ?(t) = c1 (1 + c2 |t|)? ,
где
c1 > 1, c2 > 0
и
? > 0.
t ? R,
(3.8)
Основные результаты
( главы
) получены с использо-
ванием следующих величин:
CB,? (a) = a
?
?
k=??
?
(
k???
a
?/2?k?
)2 ,
a > 0,
в предположе-
? (отметим, что CB,? (a) = }a в случае
{
? = 1); CB = inf ?f ?? f ? L? (R), fb(?) = ? в окрестности [?1, 1] , а также
( )
? ? /a
CB (a) = a sup ?(? ) CB .
нии, что выполнено условие (3.8) на вес
? >0
Теорема 3.5.
Пусть вес ?(t) = ?T (?t)?, t ? R, удовлетворяет усло-
вию (3.8) с 0 < ? < 1. Тогда любой вектор x ? X с компактным спектром
Бјрлинга ?(x) принадлежит области определения оператора A. Имеет ме?
(
)
?
T ( k??? )x
( r(x) )2 и оценка ?Ax? 6 CB,? rB (x) ·
сто представление Ax = rB (x)
?x?,
n > 1.
Теорема 3.6.
k=??
?/2?k?
Пусть ?(t) = ?T (?t)?, t ? R, весовая функция, удовле-
творяющая условию (3.8), и вектор x ? X имеет компактный спектр Бјр(
)
линга. Тогда x ? D(A) и имеет место оценка ?Ax? 6 CB rB (x) · rB (x). В
(
)
частности, если A ограниченный оператор, то ?A? 6 CB r(A) · r(A), где
r(A) = max |?| спектральный радиус оператора A.
???(A)
Глава 4 содержит результаты, касающиеся неравенств БораФавара для
операторов. Для генераторов изометрических групп операторов и групп опе-
10
раторов полиномиального роста получены оценки нормы обратного оператора
через его спектральный радиус. Полученные оценки находят применение в теории приближений функций и в исследованиях, где применяется метод подобных
операторов.
В 1935 году Х. Бором
12
было доказано неравенство (оценка нормы инте-
?
max x(t) для любой непрерыв2n t?[0,2?]
?
ной 2? периодической функции с рядом Фурье вида x(t) ?
an eikt , t ? R,
|k|>n
? 1
ikt
и интеграла Jx = Jn x =
ik an e , t ? R. Таким образом, получена оцен|k|>n
?Jx?? 6
грального оператора)
ка нормы
?
2n ?x??
=
?Jn ? оператора интегрирования в подпространстве C2?,n (R) банахова
пространства
C2? (R)
жит вне интервала
периодических периода
2?
функций, спектр которых ле-
(?n, n). Полученная оценка является точной, т. е. ?Jn ? =
Затем эта оценка была распространена Ж. Фаваром
13
и Б. М. Левитаном
14
?
2n .
на
почти периодические функции.
Рассматривается
X X ? X.
где
сильно
непрерывное
представление
T : R ? End X ,
комплексное банахово пространство, с генератором
iA : D(A) ?
Одним из основных результатов главы является
Теорема 4.1.
Пусть спектр Бјрлинга ?(X ) банахова L1 (R) модуля
(X , T ) представим в виде ?(X ) = ?0 ? ?1 непересекающихся замкнутых
множеств ?0 и ?1 , где ?0 компактное множество. Тогда X представимо
в виде X = X (?0 ) ? X (?1 ). Это разложение осуществляют проекторы P0 ,
P1 = I ? P0 (т. е. Im Pk = X (?k ), k = 0, 1), где проектор P0 определяется
x ? X , т. е. P0 = T (f0 ), где f0 любая функция
из L1 (R) со свойством: fb0 = 1 в некоторой окрестности ?0 и fb0 = 0 в неко-
формулой P0 x = f0 x,
торой окрестности ?1 , причјм ?P0 ? 6 inf ?f ?, где инфимум берјтся по всем
f
функциям f с указанным свойством для f0 .
Теорема 4.2.
Пусть спектр Бјрлинга ?(y) вектора y из банахова L1 (R) модуля (X, T ) не содержит нуля. Тогда существует единственный вектор
x ? D(A) такой, что: 1) ?(x) ? ?(y); 2) x ? D(A); 3) Ax = y ; 4) ?x? 6
12 Bohr
H. Ein allgemeinerung Satz u
ber die Integration eines trigonometrischen Polynomials / H. Bohr // Prace
Math. Fiz. 1935. V. 43. P. 273288.
13 Favard J. Application de la formule sommatoire d'Euler a la demonsration de quclques propertietes extremales
des integrales des fonctions peeriodiques on presque-periodiques / J. Favard // Mat. Tidskr. 1936. P. 81-95.
14 Левитан Б. М. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения / Б. М. Левитан, В. В.
Жиков. М.: Изд-во МГУ, 1978. 205 с.
11
?
(
) ?y?.
2 dist 0, ?(y)
1
Символом T : L (R) ? End X будем обозначать представление алгебры
L1 (R) операторами из алгебры End X , определяемое равенствами T (f )x =
x ? X , f ? L1 (R).
f x,
физмом алгебр, т. е.
T (f1 ? f2 ) = T (f1 )T (f2 ).
T (f ) является
T (f ) 6 ?f ?1 .
оператор
оценка
Теорема 4.3.
Отметим, что представление
T
является гомомор-
Для каждой функции
f ? L1 (R)
линейным ограниченным оператором и имеет место
Пусть ?0 = [?a, a], ?1 = R r (?b, b), где 0 6 a < b. Тогда
X = X (?0 ) ? X (?1 ) и норма проектора P0 допускает оценку вида ?P0 ? 6
?P0 ? 6
4
?
+ ?2 ln b+a
b?a .
Теорема 4.4.
Пусть вектор y ? X представим в виде y = y0 + y1 , где
?(y0 ) ? [?a, a] и ?(y1 ) ? R r (?b, b), где 0 6 a < b. Тогда существует единственный вектор x ? X со свойствами: 1) ?(x)
( ? ?(y1 ) ? (??,
) ?b]?[b, +?);
2) x ? D(A); 3) Ax = y1 = y ? y0 ; 4) ?x? 6
?
2b
1+
4
?
+ ?2 ln b+a
b?a ?y?.
A : D(A) ? X1 ? X1 , B : D(B) ? X2 ? X2 замкнутые линейоператоры, C ? Hom (X2 , X1 ), D ? Hom (X1 , X2 ), и имеет место условие
Пусть
ные
равномерной отделимости спектров
(
)
d = dist ?(A), ?(B) = inf |? ? µ| > 0
(4.9)
???(A)
µ??(B)
?(A), ?(B)
операторов
A, B .
Рассмотрим линейный оператор
A : D(A) Ч D(B) ? X1 Ч X2 ? X1 Ч X2 ,
заданный операторной матрицей
A C ), т. е. A(x , x ) = (Ax + Cx , Dx + Bx )
(D
1 2
1
2
1
2
B
для любой упорядоченной пары
(x1 , x2 ) ? D(A) Ч D(B).
вим в виде
A = A ? B,
задајтся матрицей
цей
(
)
?C
0
?D 0
где оператор
( A0 B0 ),
а оператор
Оператор
A
предста-
A : D(A) Ч D(B) ? X1 Ч X2 ? X1 Ч X2
B ? End (X1 Ч X2 )
определяется матри-
P1 x = (x1 , 0), P2 x = (0, x2 ),
X ? End (X1 Ч X2 ) рассмот-
. Рассмотрим канонические проекторы
x = (x1 , x2 ) ? X1 Ч X2 .
Для любого оператора
Pi XPj ? End (X1 Ч X2 ), i, j ? {1, 2}. Таким образом, любой
( 11 X12 )
X ? End (X1 Ч X2 ) задајтся матрицей X = X
X21 X22 , где операторы
рим операторы
оператор
Xij ? Hom (Xj , Xi ), i, j ? {1, 2} сужение оператора Pi XPj
значений
Xi .
Cимволом
U
обозначим пространство
дальнейшем будем называть
лами
Uij
на
Xj
с областью
End (X1 Ч X2 ),
которое в
пространством допустимых возмущений. Симво-
будем обозначать банаховы пространства
12
Hom (Xj , Xi ), i, j ? {1, 2}.
Будем считать, что операторы
лим формулой
и
iB
являются генераторами сильно непре-
TA : R ? End X1
рывных групп изометрий
но. Трансформатор
iA
J ? End U
и
TB : R ? End X2
соответствен-
(оператор блочной диагонализации) опреде-
JX = P1 XP1 + P2 XP2 , (JX)x = (P1 XP1 + P2 XP2 )(x1 , x2 ) =
x = (x1 , x2 ) ? X1 Ч X2 , X ? U, Xii ? Uii , i ? {1, 2}.
Рассмотрим трансформаторы adAB : D(adAB ) ? U21 ? U21 , adAB X = AX ?XB ,
(X11 x1 , 0) + (0, X22 x2 ),
где
X ? D(adAB ), adBA : D(adBA ) ? U12 ? U12 , adBA X = BX ? XA, X ?
D(adBA ), которые являются генераторами групп изометрий TAB : R ? End U21 ,
TAB (t)X = TA (t)XTB (?t), t ? R, X ? U21 , TBA : R ? End U12 , TBA (t)X =
TB (t)XTA (?t), t ? R, X ? U12 ,
соответственно. Трансформаторы
обратимы. Обратные к ним операторы обозначим соответственно
и
?21 ? End U21 .
уравнений
Операторы
?12 X12
AY ? Y A = X ? JX ,
Применяя проекторы
P1 , P2
?21 X21
и
где
adAB
и
adBA
?12 ? End U12
являются решениями линейных
Y ? U
обладает свойством
JY = 0.
к последнему уравнению, получаем следующую
эквивалентную систему операторных уравнений:
?
?A? X ? ? X B = X ,
12 12
12 12
12
?B? X ? ? X A = ?X ,
21 21
21 21
21
где
?12 X12 ? U12 , ?21 X21 ? U21 .
В случае, когда оператор
ограничен, из результатов работ А. Г. Баскакова
15 16
( ? ? End
)U
нений (4.11) разрешима. Трансформатор
разом:
(?X)x =
(
0
?21 X21
)
?12 X12
0
( xx12 ) =
(?12 X12 )x2
(?21 X21 )x1
(4.11)
A
или оператор
B
следует, что система уравопределим следующим об-
x = (x1 , x2 ) ? X1 Ч X2 .
J и ? следует, что имеет
, где
Непосредственно из определения трансформаторов
место равенство
A(I + ?X) = (I + ?X)(A ? JX),
(4.14)
проверяемое для матриц указанных операторов. Уравнение (4.14) эквивалентно
15 Баскаков
А. Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории
возмущений / А. Г. Баскаков // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50. ќ 4. С. 435-457.
16 Баскаков А. Г. Расщепление возмущјнного дифференциального оператора с неограниченными операторными коэффициентами / А. Г. Баскаков // Фундамент. и прикл. матем.. 2002. Т. 8. ќ 1. С. 1-16.
13
выполнению условий
?
?
?
X11 = C?21 X21 ,
?
?
?
?
?X = ?(? X )D? X + C,
12
12 12
12 12
?
?
X21 = ?(?21 X21 )C?21 X21 + D,
?
?
?
?
?X = D? X ,
22
21 12
(4.15)
где второе и третье уравнения рассматриваются в пространствах
?
ответственно. Символом
Теорема 4.5.
будем обозначать величину
U12
и
U21
со-
?
2d из оценки (4.9).
При условии
2?
?
?C? · ?D? =
??
?C? · ?D? < 1
d
(0)
(4.16)
(0)
система (4.15) разрешима, причјм решения X12 , X21 могут быть найдены
(1)
методом последовательных приближений с начальными значениями X12 =
(0) (0) (1)
X 6
X21 = 0. При этом имеют место оценки X12 6 ? 2?C?
,
21
2
1?4? ?C?·?D?
1+
?
1+
2?D?
1?4? 2 ?C?·?D?
.
Определение 1.20. Два линейных оператора
i ? {1, 2},
будем называть
мый оператор
U ? End X
A1 U x = U A2 x
для всех
подобными,
такой, что
x ? D(A2 ).
ратором преобразования
оператора
Ai : D(Ai ) ? X ? X ,
если существует непрерывно обрати-
U D(A2 ) = D(A1 ) и имеет место равенство
При этом оператор
A1
в
U
будем называть
опе-
A2 .
Одним из основных результатов параграфа 2 является следующая
добны, где X (0)
?
?C? · ?D? < 1 операторы A и A ? JX (0) по( (0)
)
X11 0
(0)
единственное решение системы (4.15) и JX =
.
(0)
Теорема 4.6.
При условии
?
d
0
X22
Отметим, что для операторов, действующих в гильбертовых пространствах,
где
A, B
самосопряжјнные операторы, соответствующий результат получен
А. К. Мотовиловым и А. А. Шкаликовым.
Таким образом, оператор
оператору
A ? JX ,
A C ), подобен
A, заданный операторной матрицей ( D
( A?X11 0 )B
заданному операторной матрицей
0
B?X22 .
Опишем приложения полученных в теоремах 4.5 и 4.6 результатов к оценкам
интеграла от функций из однородных пространств
Теорема 4.7.
F(R, X ).
Пусть спектр Бјрлинга ?(y) функции y из однородного про-
странства функций F = F(R, X ) не содержит нуля. Тогда существует един14
ственная функция x ? F(1) = F(1) (R, X ) такая, что: 1) ?(x) ? ?(y); 2)
?
(
) ?y?F .
x? = y ; 3) ?x?F 6
2 dist 0, ?(y)
Теорема 4.8. Пусть функция y принадлежит однородному пространству
функций F = F(R, X ) и допускает представление вида y = y0 +y1 , где ?(y0 ) ?
[?a, a] и ?(y1 ) ? R r (?b, b), где 0 6 a < b. Тогда существует единственная
(1)
функция x
1) ?(x) ? ?(y1 ); 2) x? = y1 = y ? y0 ; 3)
( ? F со свойствами:
)
?
1 + ?4 + ?2 ln b+a
?x?F 6 2b
b?a ?y?F .
Публикации автора по теме диссертации
1. Дикарев Е. Е. Исследование спектра одного класса дифференциального
оператора
4
го порядка / Т. Л. Джонга, Е. Е. Дикарев, Д. М. Поляков //
Сб. тезисов Междунар. конф. ѕКрымская Осенняя Математическая Школа Симпозиумї (Украина, Крым, Ласпи-Батилиман, 17 29 сентября 2010г.). Украина, Семфирополь: КНЦ НАНУ, 2010. С. 38.
2. Дикарев Е. Е. Неравенства бернштейновского типа для операторов / Е. Е.
Дикарев // Сб. тезисов Междунар. конф. ѕКрымская Осенняя Математическая
Школа Симпозиумї (Украина, Крым, Ласпи-Батилиман, 17 29 сентября
2011г.). Украина, Семфирополь: КНЦ НАНУ, 2011. С. 18.
3. Дикарев Е. Е. О неравенстве Бернштейна для векторов из банаховых пространств / Е. Е. Дикарев // Spectral and Evolution Problems. 2012. V. 22.
P. 58-61.
4. Дикарев Е. Е. О неравенстве Бернштейна для векторов из банаховых пространств / Е. Е. Дикарев // Сб. тезисов Междунар. конф. ѕКрымская Осенняя
Математическая Школа Симпозиумї (Украина, Крым, Ласпи-Батилиман,
17 29 сентября 2012г.). Украина, Симферополь: КНЦ НАНУ, 2012. С.
21.
5. Дикарев Е. Е. О неравенстве Бернштейна для векторов из банаховых пространств / Е. Е. Дикарев // Материалы Воронежской змней математической
школы (Воронеж, 27 января 2 февраля 2013г.). Воронеж: Издательскополиграфический центр Воронежского государственного университета, 2013. С. 83.
6. Дикарев Е. Е. О неравенстве Бернштейна для векторов из банаховых пространств / Е. Е. Дикарев // Уфимск. матем. журн. 2013. Т. 5. ќ 4. С.
7783.
15
7. Дикарев Е. Е. Об инвариантных подпространствах неквазианалитических
операторов в вещественном банаховом пространстве / Е. Е. Дикарев, Д. М. Поляков // Материалы Воронежской змней математической школы С. Г. Крейна
2014 Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2014. С. 18-19.
8. Дикарев Е. Е. Гармонический анализ неквазианалитических операторов
в вещественном банаховом пространстве / Е. Е. Дикарев, Д. М. Поляков //
Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. 2014. Т. 14. ќ
3. С. 19-28.
9. Дикарев Е. Е. Гармонический анализ некоторых классов линейных операторов в вещественном банаховом пространстве / Е. Е. Дикарев, Д. М. Поляков
// Матем. заметки. 2015. Т. 97. ќ 5. С. 670-680.
Работы [6,8,9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных
журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
239 Кб
Теги
анализа, классов, оператора, линейный, некоторые, гармонические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа