close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование скорости сходимости спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов

код для вставкиСкачать
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В. ЛОМОНОСОВА
ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ
На правах рукописи
Марков Алексей Сергеевич
ИССЛЕДОВАНИЕ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ
СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
01.01.02 дифференциальные уравнения,
динамические системы и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учјной степени
кандидата физико-математических наук
Москва 2014
Работа выполнена на кафедре общей математики факультета
вычислительной математики и кибернетики Московского государственного
университета имени М.В. Ломоносова.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова
Ломов Игорь Сергеевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
доцент кафедры математического и прикладного анализа Воронежского государственного
университета
Половинкин Игорь Петрович
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отделения квантовой радиофизики Физического институт имени П.Н. Лебедева РАН
Жура Николай Андреевич
Ведущая организация:
Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского,
г. Саратов
Защита диссертации состоится "20" мая 2015 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские
горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет вычислительной математики
и кибернетики, ауд. 685.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке МГУ имени
М.В. Ломоносова.
Автореферат диссертации разослан " " апреля 2015 г.
Учјный секретарь
диссертационного совета,
доктор физико-математических наук, профессор
Е.В. Захаров
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертация посвящена изучению вопросов сходимости биортогональных
разложений функций для линейных обыкновенных дифференциальных операторов чјтного и нечјтного порядков с негладкими коэффициентами, заданных на конечном отрезке числовой прямой. Указанные биортогональные разложения сравниваются с разложением функций в тригонометрический ряд
Фурье (ТРФ). Получены оценки скорости равносходимости этих разложений
для операторов в скалярном и векторном случаях как на произвольном внутреннем компакте, так и на всјм отрезке, выделена зависимость указанных
оценок от расстояния компакта до границы интервала.
Актуальность темы. Вопросами сходимости спектральных разложений
функций занимались В.А. Стеклов, Я.Д. Тамаркин, М. Стоун, А. Хаар, Б.М.
Левитан, Я.Л. Геронимус, В.А. Ильин, А.Г. Костюченко, В.А. Садовничий,
Е.И. Моисеев, А.П. Хромов, В.Б. Лидский, А.А. Шкаликов, Г.В. Радзиевский
и другие.
М.В. Келдыш установил теорему о полноте системы корневых векторов
и теорему об асимптотических свойствах собственных чисел для широкого
класса полиномиальных пучков несамосопряжјнных операторов. Эти теоремы привели также к новым сильным результатам для обыкновенных дифференциальных операторов. Работы М.В. Келдыша стимулировали исследования свойств полноты и минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов и разложимости функций в ряды по этим системам, и
в настоящее время эти задачи достаточно полно изучены.
В 1975 году В.А. Ильин опубликовал две работы, заложившие основу нового метода исследования свойств собственных и присоединјнных функций как
самосопряжјнных, так и несамосопряжјнных дифференциальных операторов (модификация спектрального метода Ильина, разработанного для исследования самосопряжјнных эллиптических операторов). Эти работы посвящены вопросам локальной базисности подсистемы корневых функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов и вопросам
равносходимости разложений. Новый подход заключался в отказе от рассмотрения конкретных краевых форм оператора. Заменяли их конструктивные и
легко проверяемые условия на собственные значения и системы корневых
функций, т.е. рассматривались некоторые сужения максимального оператора.
В дальнейшем В.А. Ильиным и его учениками В.Д. Будаевым, Н.Б. Керимовым, А.С. Макиным, И.С. Ломовым, В.М. Курбановым, Л.В. Крицковым, Т.А. Самарской, Е.И. Никольской метод был применјн к широкому
3
классу неисследованных ранее обыкновенных и эллиптических операторов,
спектральные задачи для которых содержали линейно собственные значения. Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности в
L2 (0, 1) систем корневых функций, локальной базисности и локальной равносходимости биортогональных разложений функций с ТРФ, равносходимости
этих разложений на всјм отрезке.
В основе метода лежит рассмотрение обобщјнных корневых функций оператора, являющихся только регулярными решениями соответствующего дифференциального уравнения со спектральным параметром. Идея такого подхода восходит к А.Н. Тихонову. Используются интегральные представления
(формулы среднего значения) для решений этого уравнения. В случае исследования равносходимости разложений из ядра Дирихле выделяется спектральная функция оператора и далее проводится эффективная оценка остатка с использованием априорных оценок корневых функций. Ниже приведјн
обзор некоторых результатов, имеющих непосредственное отношение к теме
диссертации.
При использовании рядов Фурье по системам корневых функций дифференциальных операторов, наряду с вопросами о полноте и базисности этих
систем в соответствующих функциональных пространствах возникает задача об оценке скорости сходимости этих рядов к рассматриваемым функциям. Хорошо известны результаты о порядке приближения широких классов
функций ортогональными рядами (см. работы Г. Алексича, С.М. Никольского, С.Б. Стечкина, С.А. Теляковского, Б.С. Кашина и А.А. Саакяна). Менее
изучены в этом отношении биортогональные ряды, каковыми в основном являются ряды по системам корневых функций несамосопряжјнных дифференциальных операторов. Наиболее естественный путь при решении отмеченной
задачи это сравнение разложений функций по исследуемой биортогональной системе и по близкой ей в каком-то смысле и хорошо изученной системе
функций.
Начиная с результатов В.А. Стеклова и Ж. Биркгофа, многие работы по
разложению по корневым функциям регулярных дифференциальных операторов посвящены тому, чтобы показать, что эти ряды ведут себя строго внутри интервала сходимости как обычные ТРФ (в дополнение к указанным выше
отметим также работы по рядам Лежандра и рядам Фурье-Бесселя У. Юнга и М.Л. Гольдмана). Вопрос о скорости равносходимости таких разложений, видимо, впервые был рассмотрен в 1978 году в работах В.А. Ильина и
И. Йо, для произвольного неотрицательного самосопряжјнного расширения
оператора Шрјдингера с потенциалом q(x) ? Lr (G), r > 1, G = (0, 1). Бы4
ла получена точная оценка O(1/?) скорости равномерной равносходимости
на любом компакте K ? G спектрального разложения ?? (x, f ) произвольной абсолютно непрерывной функции f (x) с S? (x, f ) частичной суммой
ТРФ этой функции. Этот результат перенесјн В.Е. Волковым и И. Йо на
несамосопряжјнные операторы Шрјдингера с потенциалами из L2 , затем
Е.И. Никольской на случай произвольных суммируемых потенциалов, оценка
скорости равносходимости O(ln ?/?) .
Системы функций, по которым ведјтся разложение, могут удовлетворять
разным краевым условиям (или не удовлетворять никаким краевым условиям без спектрального параметра, как в случае системы экспонент), поэтому
равномерной равносходимости соответствующих рядов на всјм отрезке G в
общем случае не может быть. Некоторые практические задачи, тем не менее, требуют оценки скорости равносходимости разложений или оценки порядка приближения функций спектральными разложениями именно на всјм
G, причјм оценку достаточно установить в интегральной метрике. В работах
И.С. Ломова для произвольного неотрицательного самосопряжјнного расширения оператора Шрјдингера с потенциалом из Lr (0, 1), r > 1 для функции
ограниченной вариации получена оценка O(ln ?/?1/p ) скорости равносходимости тех же разложений, но впервые это было сделано на всјм интервале
G в интегральной метрике Lp (G), p ? 2; получена оценка порядка приближения функций этими рядами. Этот результат перенесјн на несамосопряжјнный оператор Шрјдингера, причјм получена точная оценка O(1/?1/p ),
и на оператор второго порядка с негладким коэффициентом p1 (x) при первой производной, p1 (x) ? Ls (G), s ? 1; оператор L? для получения оценок
не привлекался. Также И.С. Ломов установил оценки скорости равносходимости с ТРФ спектральных разложений по корневым функциям дифференциального оператора произвольного чјтного порядка на внутреннем компакте и на всјм интервале; отдельно установлена зависимость рассматриваемой
скорости равносходимости от расстояния компакта до границы интервала.
Схожие вопросы локальной равносходимости для дифференциальных операторов произвольного порядка с негладкими коэффициентами изучались
В.М. Курбановым, однако доказательства полученных результатов были им
приведены лишь для операторов чјтного порядка. В работах С.В. Афонина
и И.С. Ломова установлены оценки скорости равносходимости с ТРФ спектральных разложений по корневым функциям дифференциального оператора произвольного нечјтного порядка как на внутреннем отрезке, так и на
всјм интервале.
Приведјм ещј ряд близких направлений по спектральной теории диффе5
ренциальных операторов. А.С. Макиным получены достаточные условия суммируемости методом Рисса биортогональных рядов. Отметим также работы
А.С. Макина, посвящјнные изучению базисности систем корневых функций и
асимптотики спектра, отвечающих несамосопряжјнному оператору ШтурмаЛиувилля с регулярными краевыми условиями. В последующих работах он
получил значительные результаты по спектральной теории дифференциальных операторов с нерегулярными и вырожденными краевыми условиями.
О.В. Белянцевым доказан критерий базисности Рисса для операторов второго порядка с сингулярными коэффициентами.
Обзор результатов по задачам равносходимости, полученных без использования подхода В.А. Ильина, подробно изложен в работах А.П. Хромова.
В работах В.С. Рыхлова для обыкновенного дифференциального оператора
n? го порядка с ненулевым коэффициентов p1 при (n ? 1)? ой производной
и регулярными двухточечными условиями на концах интервала G получены
оценки скорости равномерной на любом отрезке K ? G равносходимости
?? (x, f ) и S? (x, f ) . Коэффициент p1 (x) при этом из более узкого класса, чем
Ls . Условия на p1 и f накладываются в терминах классов Hr? (G) , состоящих из функций f (x) ? Lr (G) , интегральный модуль непрерывности ?r (f, ?)
которых есть величина O(ln?? (? ?1 )), ? ? 0+ . Скорость равносходимости при
этом такова: если p1 ? Hq? (G), f ? Hp? (G), ? + ? > 1, p?1 + q ?1 = 1 , то
ln ?
||?? (x, f ) ? S? (x, f )||C(K) = O( ln?+?
+ ln1? ? + ln1? ? ) .
?
Г.В. Радзиевский, А.М. Гомилко исследовали оператор, порождјнный дифференциальной операцией y (n) со слабым возмущением F y (соответствующим в случае дифференциального оператора условию p1 (x)y (n?1) ? 0 ) и
двухточечными регулярными краевыми условиями, возмущјнными интегралами Стилтьеса. В терминах интегрального модуля непрерывности функции
f (x) ? L(G) установлены оценки скорости равномерной равносходимости
?? (x, f ) с S? (x, f ) и с ??0 (x, f ) (при F y = 0 ) на ?K ? G. Система, биортогонально сопряжјнная с системой корневых функций оператора L, является
системой корневых функций оператора L? . Отдельно Г.В. Радзиевским был
рассмотрен дифференциальный оператор n? го порядка (с p1 (x)y (n?1) ? 0 )
с двухточечными регулярными краевыми условиями. Исследовано влияние
краевых условий (наличие или отсутствие в них производных) на оценку
скорости сходимости разложений по корневым функциям этого оператора
в метрике Lp (G) .
В.А. Винокуров и В.А. Садовничий опубликовали серию статей по асимптотике любого порядка собственных значений и собственных функций первой
краевой задачи для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с лишь сумми6
руемым потенциалом и потенциалом, содержащим ?? функции. Получены
формулы следов; для первой краевой задачи доказана теорема о равномерной
равносходимости разложений по собственным функциям с ТРФ на всјм отрезке для суммируемой разлагаемой функции. Близкие вопросы для операторов с сингулярными потенциалами исследовали А.А. Шкаликов и А.М. Савчук, а также И.В. Садовничая. Эти исследования активно развиваются и в
настоящее время.
В диссертации изучаются вопросы сходимости биортогональных разложений функций для линейных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка с негладкими коэффициентами,
заданных на конечном отрезке числовой прямой. Указанные биортогональные разложения сравниваются с разложением функций в тригонометрический ряд Фурье.
Цель работы.
Основные результаты работы.
1. Получены оценки скорости равносходимости спектральных разложений
функций для обыкновенного дифференциального оператора произвольного
порядка с разложением этих функций в тригонометрический ряд Фурье на
произвольном внутреннем компакте основного интервала как в скалярном,
так и в матричном случае. При этом установлена зависимость оценки скорости локальной равносходимости от расстояния внутреннего компакта до
границы интервала.
2. Получены оценки скорости сходимости и оценки скорости равносходимости спектральных разложений функций для дифференциального оператора
произвольного порядка с разложением этих функций в тригонометрический
ряд Фурье на всјм основном интервале как в скалярном, так и в матричном
случае.
В работе используются методы теории дифференциальных уравнений, общие методы комплексного и функционального
анализа, а также спектральный метод В.А. Ильина.
Методы исследования.
Научная новизна.
Все основные результаты работы, перечисленные вы-
ше, являются новыми.
Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут найти применение при обосновании метода Фурье решения задач математической физики,
при исследовании задач теории упругости, квантовой механики и других,
Теоретическая и практическая ценность работы.
7
приводящих к изучению несамосопряжјнных операторов. Также результаты
диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов по спектральной теории дифференциальных операторов для студентов и аспирантов математических и физических специальностей университетов.
Личный вклад соискателя.
Все основные результаты диссертации по-
лучены автором самостоятельно.
Результаты настоящей диссертации
были представлены в виде докладов на XV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учјных ѕЛомоносовї (2008 г.);
научной конференции ѕЛомоносовские чтенияї (2012 г.); научных семинарах кафедры общей математики факультета ВМиК, научном семинаре под
руководством В.А. Садовничего, совместном научном семинаре кафедры математического анализа и теории функций и кафедры нелинейного анализа и
оптимизации РУДН.
Апробация результатов работы.
По теме диссертации опубликовано 8 работ, 3 из которых в
изданиях, рекомендованных ВАК ([5], [6], [7]). Во всех работах автором постановки задач является научный руководитель И.С. Ломов. А.С. Марков является автором результатов, полученных с использованием метода В.А. Ильина, метода И.С. Ломова, идей и рассуждений И.С. Ломова и С.В. Афонина для рассматриваемых в работах дифференциальных операторов с новой
асимптотикой коэффициентов Фурье. Подготовка материалов [1][5] и [8] к
публикации была проведена самостоятельно автором, материалы [6][7] были
подготовлены совместно с И.С. Ломовым.
Публикации.
Диссертация состоит из введения,
четырјх глав, заключения и списка литературы. Общий объјм диссертации
122 страницы. Список литературы содержит 75 наименований.
Структура и объјм диссертации.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении проводится общий обзор исследований, связанных с темой
диссертационной работы, раскрываются еј цели и задачи, а также приводится
краткое изложение результатов диссертации.
В первой главе вводятся основные понятия, определения и леммы, используемые в диссертации. Далее рассматриваются 4 оператора, заданные на
любом внутреннем компакте K ? G .
8
Рассмотрим оператор L , порождјнный дифференциальной операцией
lu = u00 + p1 (x)u0 + q1 (x)u,
x ? G = (0, 1),
(1)
на классе функций D абсолютно непрерывных на G = [0, 1] вместе со своей
первой производной;
p1 (x) ? Ls (G, C),
s > 1,
q1 (x) ? L(G, C),
(2)
корневые функции оператора L (собственные и присоединјнные функции)
понимаются в обобщјнном (по В.А. Ильину) смысле.
Фиксируем произвольную систему собственных значений {?2k }?
k=1 и произвольную систему {uk (x)} корневых функций оператора L , отвечающую
этим собственным значениям, пусть {vk (x)} биортогонально сопряжјнная
с {uk } система функций.
Сформулируем основные ограничения на корневые системы (на оператор
L ).
Под собственной функцией оператора L , отвечающей собственному значению ?2 ? C , будем понимать любую не равную
?
тождественному нулю функцию u (x) ? D , удовлетворяющую почти всю?
?
ду в G уравнению l u +?2 u= 0 .
Определение 1.
Под присоединјнной функцией порядка m, m = 1, 2, ...,
?
отвечающей тому же ?2 и собственной функции u , будем понимать люm
бую функцию u (x) , которая почти всюду в G удовлетворяет уравнению
Определение 2.
m
m?1
m
l u +?2 u= µm u , где либо µm = 1 (задача 1), либо µm = ?, Re ? ? 0 , при
|?| ? 1 и µm = 1 при |?| < 1 (задача 2).
Потребуем, чтобы рассматриваемые системы {?k }, {uk (x), vk (x)} удовлетворяли трјм условиям Ильина (назовјм их Условия А):
1) система {uk } замкнута и минимальна в Lr (G) при некотором r ? [1, ?) ;
2) существуют c1 , c2 = const > 0 такие, что
|Im ?k | ? c1 , ?k;
X
1 ? c2 , ?? ? 0;
0?|?k |???1
3) существует c3 = const > 0 такая, что
kuk kr kvk kr0 ? c3 , ?k,
0
где vk ? Lr (G), r0 = r/(r ? 1) , через k · kr обозначается норма в Lr (G) .
9
Для произвольной функции f (x) ? Lr (G), r ? [1, ?) , составим частичные
суммы биортогонального разложения
?? (x, f ) =
X
fk uk (x),
? > 0,
fk = (f, vk ).
|?k |<?
Пусть k · kr,K норма в Lr (K), K ? G . Через S? (x, f ) обозначим частичную
сумму ТРФ функции f (x) , рассматриваемого как ортогональное разложение
f (x) для оператора L0 u = u00 с условиями периодичности в нуле и единице.
Выпишем используемые в диссертации условия на асимптотику коэффициентов fk :
?? = const > 0, ? = const :
??
?k f k = O(???
|?k |), |?k | > 1;
k ln
?k f k = O(???
k ),
?? = const > 0 :
(3)
(4)
где ?k = kvk k?1
r0 . Предполагаем, что для оператора L0 эти условия в соответствующих утверждениях выполняются.
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) . Для произвольного отрезка
K ? G обозначим ? = ?(K, ?G) > 0 расстояние до границы интервала
G . Сформулируем основной результат. Будут рассмотрены три ситуации. В
каждой из них выписываются по две оценки скорости равносходимости. Это
связано с тем, что было установлено: если стремиться получить наилучшую
оценку скорости равносходимости по параметру ? , то загрубляется оценка
по параметру ? и наоборот, если оптимизировать оценку по ? , при этом она
улучшается на порядок, то ухудшается оценка по ? .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (1), (2), (3) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел
? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 1.
1).? ?? ? k?
S? (x, f )kp,K ?
? (x, f ) ? ?
c
1
1
?
+ kq?1 k1 + n?1 +
?
2 max
2, ?
?
?
?
?
?
ln
?
?
?
?
?
?
n
ln
?
ln ?
1
?
,
,
, 1
?+kp1 ks max ?1 , ??+1/p?1/s
ln? ? ??+1/p?1/s ?? ln? ?
?
?
c
1
1
ln
?
1 k1 ln ?
?
max ? , ?? , ?? ln? ? + ?kq
+
?
?+1/p ln? ?
?
?
?
?
?
?
2
?
ln ?
1
?
,
, n1 ln ? ,
?kp1 ks max ??+1/p?1/s
ln? ? ??+1/p?1/s ?? ln? ?
(5)
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае.
10
2). Если s = ? , т.е. p1 (x) ? L? (G) , то
? ?
kq
k
?
? ?c2 max ?12 , ?? ln1 ? ? + ?1 1 + n1 max ?1 , kp1 k? ??lnln?? ? +
?? ?
?
1
1
ln
?
c
?
? ? max ? , ?? , ?? ln? ? .
kp1 k?
?
,
(6)
3). Пусть lu = u и дополнительно к условиям теоремы система {uk }
обладает свойством базисности в L? (G) для какого-либо числа ? ? [1, ?)
(то есть ?f (x) ? L? (G), ?K ? G : k?? (x, f ) ? f (x)k?,K ? 0 при ? ? ? ),
тогда можно записать равномерные оценки
? ?
?
? ?c2 max ?12 , ?? ln1 ? ? + n?1 ,
k?? (x, f ) ? S? (x, f )kC(K) ?
(7)
?
1
1
ln
?
c
?
? ? max ? , ?? , ?? ln? ? .
00
Постоянные c > 0 в оценках (5) (7) не зависят от ? и ? .
Аналогичные оценки скорости равносходимости получены для оператора
произвольного чјтного порядка, заданного операцией
2n
X
d2n
d2n?l
l = 2n +
pl (x) 2n?l ,
dx
dx
x ? G = (0, 1),
n > 1;
l=1
p1 (x) ? Ls (G, C),
s > 1,
pl (x) ? L(G, C),
(8)
l = 2, 2n,
на классе функций D2n , абсолютно непрерывных на G вместе со своими
производными до (2n ? 1)? го порядка.
Фиксируем некоторые числа r0 ? [1, ?], ?0 > 0. Выберем произвольную
последовательность чисел {?k }?
k=1 и произвольную систему {uk (x)} корневых функций оператора L, отвечающую спектральным параметрам {?k },
удовлетворяющие Условиям А. Присоединјнные функции выбираем так, что
в корневых цепочках справедлива "антиаприорная"оценка
m?1
m
k uk kr0 ? c?? k uk kr0 ,
c = const > 0,
m = 1, mk ,
(9)
c не зависит от ?k , ?? = |?k |2n?1 для задачи 1, ?? = 1 для задачи 2. Пусть
также
kuk k? ? ckuk kr0 ?k; c = const > 0.
(10)
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) .
11
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (8) (10) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 2.
???? k?
? (x,f ) ? S? (x, f )kp,K ? 2
?
c
1 1
ln ?
?
+ kp1 ks max ?1 , ln??? , ??+1/p?1/s
+
?
? 2 max ? , ??
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
ln ?
0
?
, ?ln?+1? + m
?+ kpl k1 max ??+1/p
?? ,
l=2 ?
2
?
c
ln
?
1
ln
?
ln
?
1
?
+ kp1 ks max ? , ?? , ??+1/p?1/s +
?
? max ? , ??
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
m
ln
?
ln
?
ln
?
0
?
?+ kpl k1 max ??+1/p , ??+1 + ??
(11)
l=2
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk ; если при этом
p1 ? 0, то
2n
? P
?
m
c
1
1
ln
?
?
? ?2 max ? , ?? + kpl k1 ?? + ??0 ,
l=2
k?? (x, f ) ? S? (x, f )k?,K ?
(12)
2n
P
?
m
ln
?
c
1
ln
?
ln
?
?
? ? max ? , ?? + kpl k1 ?? + 0?? .
l=2
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (8) (10), и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? ?
c
1
1
?
?
? 2 max ? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
2
?
1
1
1
ln
?
ln
?
?
+kp1 ks max ? , ?? , ??+1/p?1/s , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s ln? ? +
?
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
m
ln
?
ln
?
1
?
?+ kpl k1 max ? , ??+1/p ln? ? , ??+1 ln? ? + ?? ln0? ? ,
l=2 ?? ?
(13)
?
c
1
1
ln
?
?
?
? max ? , ?? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
2
?
1
ln ?
?
+
+kp1 ks max ?1 , ?1? , ??+1/p?1/s
, ??lnln?? ? , ??+1/p?1/s
?
?
ln? ?
?
?
?
2n
?
P
2
?
m
ln
?
1
ln
?
ln
?
?
?+ kpl k1 max ? , ??+1/p ln? ? , ??+1 ln? ? + ??0ln? ?
Теорема 3.
l=2
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk ; если при этом
12
p1 ? 0, то
k?? (x, f ) ? S? (x, f )k?,K
? ?
c
1
1
?
?
? 2 max ? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
2n
?
P
?
1
1
ln
?
?
?+ kpl k1 max ? , ?? , ?? ln? ? +
l=2 ?
?
c
?
max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? +
?
?
?
?
?
?
2n
?
P
?
?
?+ kpl k1 max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? +
l=2
m0
?? ln? ?
,
(14)
m0 ln ?
.
?? ln? ?
Результаты, полученные для оператора второго и произвольного чјтного
порядка, перенесены на случай операторов с матричными коэффициентами.
Рассмотрим оператор L , порождјнный дифференциальной операцией
lu = u00 + P (x)u0 + Q(x)u,
x ? G = (0, 1),
где
P (x) = {Pij (x)}, Pij (x) ? Ls (G, C), s > 1, i, j = 1, h,
Q(x) = {Qij (x)}, Qij (x) ? L(G, C),
(15)
u = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x)), uj (x) ? D, j = 1, h,
класс D функции, абсолютно непрерывные на G = [0, 1] вместе со своей
первой производной.
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) , произвольную систему собj
j
j
k
j
ственных значений {?2k }?
k=1 и систему {u (x)}, u (x) = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x))
корневых вектор-функций оператора L , отвечающую этим собственным значениям. Пусть существует {v k (x)} биортогонально сопряжјнная с {uk } система функций. Для произвольной вектор-функции f (x) ? Lhp (G) составим
частичные суммы биортогонального разложения
? ? (x, f ) =
X
hf, v k i · uk (x), ? > 0,
|?k |??
uk ? Lhp (G), v k ? Lhq (G), p?1 + q ?1 = 1 . Для каждого j = 1, 2, .., h рассмотрим j? ую компоненту биортогонального разложения:
X
?j? (x, f ) =
hf, v k i · ukj (x).
|?k |??
Через S ? (x, fj ) обозначим частичную сумму тригонометрического ряда Фурье соответствующей j? ой компоненты fj (x) разлагаемой вектор-функции
13
f (x), рассматриваемого как ортогональное разложение fj (x) для оператора
L0 u = u00 с условиями периодичности в нуле и единице:
Z1
1
sin ?(x ? y)
S ? (x, fj ) =
fj (y) dy.
?
(x ? y)
0
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (15) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 4.
?
1).? ??j ? k?
S ? (x, fj )kLp (K) ?
j (x, f ) ? ?
c
1
1
1
?
+ kQ(x)k
+ n?1 +
?
2 max
2, ?
?
?
?
?
?
?
ln
?
?
?
?
?
?
ln ?
1
?
,
, n1 ln ?
,
?+kP (x)ks max ?1 , ??+1/p?1/s
ln? ? ??+1/p?1/s ?? ln? ?
?
?
c
1
1
ln
?
1 ln ?
?
+
max ? , ?? , ?? ln? ? + kQ(x)k
?
?+1/p ln? ?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
ln ?
1
?
,
, n1 ln ? ,
?+kP (x)ks max ??+1/p?1/s
ln? ? ??+1/p?1/s ?? ln? ?
(16)
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае;
2). Если s = ? , то
? ?
kQ(x)k
kP (x)k ln ?
?
?
+ kP (x)k
,
? ?c2 max ?12 , ?? ln1 ? ? + ? 1 + n1 max ?1 , ?? ln?? ?
?
?
?j ?
?
?
? ?c max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? ,
(17)
для всех j = 1, m. Постоянные c > 0 в оценках (16) и (17) не зависят от
? и ?.
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (15) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? ?
n
c
1
1
1
ln
?
?
+ ?1 + kQ(x)k1 max ? , ??+1/p +
?
? 2 max ?2 , ??
?
?
?
?
?
2
?
ln ?
?
,
? +kP (x)ks max ?1 , ln??? , ??+1/p?1/s
?
1). ?j ?
(18)
?
n1
1 ln ?
c
ln ?
?
+ ?? + kQ(x)k1 ??+1/p +
?
? max ? , ??
?
?
?
?
?
2
?
ln
?
ln
?
?
? +kP (x)ks max ?? , ??+1/p?1/s ,
Теорема 5.
14
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае;
2). Если s = ? , то
? ?
kQ(x)k
?
? ?c2 max ?12 , ?1? + n?1 + ? 1 + kP (x)k? max ?1 , ln??? ,
??j ?
(19)
?
c
1
ln
?
?
? ? max ? , ?? ,
для всех j = 1, m. Постоянные c > 0 в оценках (18) и (19) не зависят от
? и ?.
Рассмотрим оператор L , порождјнный дифференциальной операцией
2n
X
d2n
d2n?l
l
L ? lu, l = 2n +
P (x) 2n?l ,
dx
dx
P
1
P l (x)
x ? G = (0, 1),
n > 1;
l=1
1
(x) = {Pij (x)}, Pij1 (x) ? Ls (G, C), ?i, j = 1, h, s > 1,
= {Pijl (x)}, Pijl (x) ? L(G, C), ?i, j = 1, h, ?l = 2, 2n,
(20)
где u = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x)), uj (x) ? D2n , j = 1, h, а класс D2n абсолютно непрерывные на G = [0, 1] вместе со своими производными до (2n ? 1)? го
порядка включительно функции.
Фиксируем некоторые числа r0 ? [1, ?], ?0 > 0. Выберем произвольную
k
последовательность чисел {?k }?
k=1 и произвольную систему {u (x)} корневых функций оператора L, отвечающую спектральным параметрам {?k },
удовлетворяющие Условиям А. Присоединјнные функции выбираем так, что
в корневых цепочках справедлива "антиаприорная"оценка
m?1
k
m
k
k u kLhr (G) ? c?? k u kLhr (G) ,
0
0
c = const > 0,
m = 1, mk ,
(21)
c не зависит от ?k , ?? = |?k |2n?1 для задачи 1, ?? = 1 для задачи 2. Пусть
также
kuk kLh? (G) ? ckuk kLhr (G) ?k; c = const > 0.
(22)
0
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (20) (22) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
Теорема 6.
15
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
?
?
??j?? k?
j (x,f ) ? S (x, fj )kLp (K) ? 2
?
c
1 1
ln ?
?
+ kP 1 kLhs (K) max ?1 , ln??? , ??+1/p?1/s
+
?
? 2 max ? , ??
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
m
ln
?
ln
?
?
?+ kP l kLh1 (K) max ??+1/p , ??+1 + ??0 ,
l=2 ?
2
?
1
c
1
ln
?
ln
?
ln
?
1
?
+ kP kLhs (K) max ? , ?? , ??+1/p?1/s +
?
? max ? , ??
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
?
ln ?
?
, ?ln?+1? + m0?ln
?+ kP l kLh1 (K) max ??+1/p
?
(23)
l=2
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk ; если при этом
P 1 ? 0, то
2n
? P l
?
m
ln
?
c
1
1
0
?
? ?2 max ? , ?? + kP kL1 (K) ?? + ?? ,
?
?
l=2
k?j (x, f ) ? S (x, fj )kL? (K) ?
2n
P
?
?
?
.
? ?c max ?1 , ln??? + kP l kL1 (K) ln??? + m0?ln
?
l=2
(24)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (20) (22) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки.
? ?
c
1
1
?
?
? 2 max ? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
2
?
ln
?
1
1
1
ln
?
1
?
+kP kLs (K) max ? , ?? , ??+1/p?1/s , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s ln? ? +
?
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
ln ?
?
, ln ?
+ ??mln0? ? ,
?+ kP l kL1 (K) max ?1 , ??+1/p
ln? ? ??+1 ln? ?
l=2 ??j ?
(25)
?
c
1 1
ln ?
?
?
? max ? , ?? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
2
?
1
1
ln
?
ln
?
1
?
+kP 1 kLs (K) max ? , ?? , ??+1/p?1/s , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s ln? ? +
?
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
m
ln
?
1
ln
?
ln
?
l
?
?+ kP kL1 (K) max ? , ??+1/p ln? ? , ??+1 ln? ? + ??0ln? ?
Теорема 7.
l=2
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk ; если при этом
16
P 1 ? 0, то
k?? (x, f )?S? (x, fj )kL? (K)
? ?
c
1
1
?
?
? 2 max ? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
2n
?
P
?
?
?+ kP l kL1 (K) max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? +
l=2 ?
?
c
?
max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? +
?
?
?
?
?
?
2n
?
P
?
?
?+ kP l kL1 (K) max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? +
l=2
m0
,
?? ln? ?
m0 ln ?
?? ln? ?
.
(26)
Во второй главе получены те же оценки, что и в первой, но уже для
оператора первого и произвольного нечјтного порядка. Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор L , порождјнный дифференциальной
операцией
Lu ? u0 + a0 (x)u,
x ? G = (0, 1), a0 (x) ? Ls (G),
s>1
(27)
на классе функций D , абсолютно непрерывных на G = [0, 1] .
Фиксируем произвольную систему собственных значений {?k }?
k=1 и произвольную систему {uk (x)} корневых функций оператора L , отвечающую этим
собственным значениям, удовлетворяющие трјм Условиям А.
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (27) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 8.
???? k?
? (x, f )kp,K ?
? (x,f ) ? S
2
?
c
1
1
ln
?
ln
?
?
+ (n1 + ka0 kp ) max ? , ?? +
?
? 2 max ?2 , ??
?
?
?
?
?
?
1
ln ?
?
, ??+1/p?1/s
,
?+ka0 ks max ??+1/p?1/s
?
2
?
c
1 ln ?
?
+ (n1 + ka0 kp ) max ln?? , ln??? +
?
? max ? , ??
?
?
?
?
?
?
ln
?
1
?
?+ka0 ks max ??+1/p?1/s , ??+1/p?1/s ,
(28)
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае. Постоянная c > 0 не зависит от ?
и ?.
17
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (27) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? 2
?
c
1
1
ln
?
ln
?
ln
?
?
?
? 2 max ?2 , ?? ln? ? + (n1 + ka0 kp ) max
? , ?? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
?
ln ?
1
?
, ??+1/p?1/s
,
?+ka0 ks max ??+1/p?1/s
ln? ?
(29)
?? ?
2
?
1 1
ln ?
ln ? ln ?
ln ?
c
?
?
? max ? , ?? , ?? ln? ? + (n1 + ka0 kp ) max
? , ?? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
?
ln
?
1
?
?+ka0 ks max ??+1/p?1/s , ??+1/p?1/s ln? ? ,
Теорема 9.
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае. Постоянная c > 0 не зависит от ?
и ?.
Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор L , порождјнный
дифференциальной операцией
(n)
Lu ? u (x) +
n?1
X
ak (x)u(k) (x), x ? G = (0, 1), n = 2l + 1, l ? Z, l ? 0;
k=0
(30)
an?1 (x) ? Ls (G), s > 1, ak (x) ? L(G), k = 0, n ? 2,
на классе функций Dn , абсолютно непрерывных на G = [0, 1] вместе со своими производными до (n ? 1) -го порядка включительно.
Зафиксируем некоторые числа r0 ? [1, ?), ?0 > 0. Выберем произвольную последовательность чисел {?k }?
k=1 и произвольную систему {uk } корневых функций оператора L , отвечающую спектральным параметрам {?k } ,
удовлетворяющие трјм Условиям А.
Присоединјнные функции выберем так, чтобы в корневых цепочках была
справедлива "антиаприорная"оценка
m?1
k
k u
m
kr0 ? c?? k uk kr0 ,
c = const > 0,
m = 1, mk ,
(31)
c не зависит от ?k , ?? = |?k |n?1 для задачи 1, ?? = 1 для задачи 2. Для
n ? 3 такую систему всегда можно построить. Пусть, кроме того,
kuk k? ? ckuk kr0
?k;
Фиксируем произвольное p ? [1, ?) .
18
c = const > 0.
(32)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (30) (32) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 10.
???? k?? (x, f ) ? S? (x, f )kp,K ?
2
?
ln ? 1
1
c
ln ?
1
?
?
+ kan?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
, ln??? +
?
? 2 max
? , ?? , ??+1/p?1/s
?
?
?
?
n?2
P
2
?
?
1
?
kaq k1 ?1/p
+ m0 max ?1 , ln??? ,
?+
q=0 ?
2
?
c
ln ?
1
1
?
+ kan?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
, ln??? +
max ln?? , ln??? , ??+1/p?1/s
?
?
?
?
?
?
n?2
?
P
2
?
1
?
kaq k1 ?1/p
+ m0 max ?1 , ln???
?
?+
q=0
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk .
(33)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (30) (32) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? ?
c
ln ?
1
1
?
?
?
? 2 max
? , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s +
?
?
?
?
2
?
1
ln
?
ln
?
ln
?
?
?
+kan?1 ks max ??+1/p?1/s , ??+1/p?1/s ln? ? , ?? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
n?2
P
2
?
?
1
?
kaq k1 ?1/p
+ m0 max ?1 , ln??? , ??lnln?? ? ,
?+
q=0 ?? ?
(34)
?
c
ln
?
1
ln
?
1
?
?
? max
? , ?? , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s +
?
?
?
?
?
2
?
1
ln ?
ln ?
ln ?
?
+kan?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
+
?
? , ?? , ?
?
ln
?
?
ln? ?
?
?
?
n?2
?
P
2
?
1
?
kaq k1 ?1/p
+ m0 max ?1 , ln??? , ??lnln?? ?
?
?+
Теорема 11.
q=0
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk .
Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор L , порождјнный
дифференциальной операцией
Lu ? u0 + A(x)u,
x ? G = (0, 1),
где
A(x) = {Aij (x)}, Aij (x) ? Ls (G, C), s > 1, i, j = 1, h,
u = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x)), uj (x) ? D, j = 1, h,
19
(35)
класс D функции, абсолютно непрерывные на G = [0, 1] вместе со своей
первой производной.
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) , произвольную систему собj
j
j
k
j
ственных значений {?2k }?
k=1 и систему {u (x)}, u (x) = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x))
корневых вектор-функций оператора L , отвечающую этим собственным значениям. Пусть существует {v k (x)} биортогонально сопряжјнная с {uk } система функций.
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (35) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 12.
?
?
??j?? k?
j (x,f ) ? S (x,fj )kLp (K) ?
2
?
c
1
1
?
+ (n1 + kA(x)kp ) max ln?? , ?lnn?u , ??lnln?? ? +
?
2 max
2, ?
?
?
?
?
?
ln
?
?
?
?
?
?
1
ln ?
?
,
, ??+1/p?1/s
?+kA(x)ks max ??+1/p?1/s
ln? ?
?
2
?
c
?
max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? + (n1 + kA(x)kp ) max ln?? , ?lnn?u , ??lnln?? ? +
?
?
?
?
?
?
?
?
1
ln ?
?
, ??+1/p?1/s
,
?+kA(x)ks max ??+1/p?1/s
ln? ?
(36)
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае. Постоянная c > 0 не зависит от ?
и ?.
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (35) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? 2
?
1 1
c
?
+ (n1 + kA(x)kp ) max ln?? , ln??? +
?
? 2 max ?2 , ??
?
?
?
?
?
?
1
ln
?
?
?+kA(x)ks max ??+1/p?1/s , ??+1/p?1/s ,
?
?j ?
(37)
2
?
c
1 ln ?
ln ? ln ?
?
+ (n1 + kA(x)kp ) max ? , ?? +
?
? max ? , ??
?
?
?
?
?
?
ln
?
1
?
?+kA(x)ks max ??+1/p?1/s , ??+1/p?1/s ,
Теорема 13.
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае. Постоянная c > 0 не зависит от ?
и ?.
20
Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор L , порождјнный
дифференциальной операцией
(n)
Lu ? u (x) +
A
n?1
X
Ak (x)u(k) (x), x ? G = (0, 1), n = 2l + 1, l ? Z, l ? 0;
k=0
n?1
n?1
s
(x) = {An?1
ij (x)}, Aij (x) ? L (G, C), s > 1, ?i, j = 1, h,
Ak (x) = {Akij (x)}, Akij (x) ? L(G, C), k = 0, n ? 2,
(38)
где u = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x)), uj (x) ? Dn , j = 1, h, а класс Dn абсолютно
непрерывные на G = [0, 1] вместе со своими производными до (n ? 1) -го
порядка включительно.
Зафиксируем некоторые числа r0 ? [1, ?), ?0 > 0. Выберем произвольk
ную последовательность чисел {?k }?
k=1 и произвольную систему {u } корневых вектор-функций оператора L , отвечающую спектральным параметрам
{?k } , удовлетворяющие трјм Условиям А.
Присоединјнные функции выберем так, чтобы в корневых цепочках была
справедлива "антиаприорная"оценка
m?1
k u
m
k
kLhr (G) ? c?? k uk kLhr (G) ,
0
0
c = const > 0,
m = 1, mk ,
(39)
c не зависит от ?k , ?? = |?k |n?1 для задачи 1, ?? = 1 для задачи 2. Пусть,
кроме того,
kuk kLh? (G) ? ckuk kLhr (G) ?k; c = const > 0.
(40)
0
Фиксируем произвольное p ? [1, ?) .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (38) (40) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 14.
??j?? k?j? (x, f ) ? S ? (x, fj )kLp (K) ?
2
?
c
ln ? 1
1
1
ln ?
?
?
+ kAn?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
, ln??? +
?
? 2 max
? , ?? , ??+1/p?1/s
?
?
?
?
n?2
P
2
?
?
?
kAq k1 ?11/p + m0 max ?1 , ln??? ,
?+
q=0 ?
2
?
ln ? ln ?
1
1
ln ?
c
?
+ kAn?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
, ln??? +
?
? max
? , ?? , ??+1/p?1/s
?
?
?
?
n?2
?
P
2
?
1
1
ln
?
?
kAq k1 ?1 /p + m0 max ? , ??
?
?+
q=0
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk .
21
(41)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (38) (40) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? ?
c
1
ln ?
1
?
?
?
? 2 max
? , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s +
?
?
?
?
2
?
ln ?
1
?
?
+kAn?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
, ln ? , ln ? +
?
ln? ? ?? ?? ln? ?
?
?
?
?
n?2
P
2
?
?
1
ln
?
ln
?
1
q
?
kA k1 ?1 /p + m0 max ? , ?? , ?? ln? ? ,
?+
q=0
?
(42)
?j ?
?
c
1
ln
?
1
ln
?
?
?
? max
? , ?? , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s +
?
?
?
?
?
2
?
1
ln ?
ln ?
ln ?
?
+kAn?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
+
?
? , ?? , ?
?
ln
?
?
ln? ?
?
?
?
n?2
?
P
2
?
?
+
kAq k1 ?11/p + m0 max ?1 , ln??? , ??lnln?? ?
?
?
Теорема 15.
q=0
с постоянной c, не зависящей от ? и ?.
посвящена получению оценок скорости равносходимости
спектральных разложений для дифференциальных операторов второго и произвольного чјтного порядков на основном интервале. Рассматриваются случаи одномерного оператора, а также оператора, порождјнного дифференциальной операцией с матричными коэффициентами.
Третья глава
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (1) (3) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
справедлива следующая оценка:
0 1
1
ln1/? ? k?? (x, f ) ? S? (x, f )kp ? max ? , ???1/?0 ln? ? , ? ln? ? ?=1+1/?0 + kq?1 k1 +
(43)
1
1
1
ln ?
ln2 ?
+kp1 ks max ? , ??+1/??1/s , ??+1/??1/s ln? ? + m0 max ? , ?? ln? ? ,
Теорема 16.
где m0 = max mk , ? = max(2, p, s0 ) постоянная c > 0 не зависит от ? .
Пусть p ? [1, ?), f ? V (G) и выполняются условия предыдущей Теоремы. Тогда
Следствие 1.
0 1
1
1
ln1/? ? kf ? ?? (x, f )kp = O max ?1/p , ? , ???1/?0 ln? ? , ? ln? ? ?=1+1/?0 +
2
1
ln ?
+kp1 ks max ?1 , ??+1/??1/s
+ m0 max ?1 , ??lnln?? ? .
, ??+1/??1/s
ln? ?
22
kq1 k1
? +
(44)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (8) (10) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? справедлива следующая оценка:
0 1
1
1
ln1/? ? k?? (x, f ) ? S? (x, f )kp ? max ? , ???1/?0 ln? ? , ? ln? ? ?=1+1/?0 + kp1 ks max ?1/s
0,
1
1
ln ?
ln ?
ln ?
ln1/Q ? ,
,
,
,
,
,
0
0
0
?
??+1/p?1/s ??+1/s ?1/Q ln
? ? ??+1/s ?1/Q ??+1/p?1/s ln? ? ?1/s ln? ? ?=1/Q
2n
P
ln1+1/Q ? 1
ln ? ln2 ? +
kp
k
max
+ ??mln0? ?
,
,
l 1
?1/p ? ? ln? ? ?=1?1/p
? ln? ? ?=1+1/Q?1/s0
Теорема 17.
l=2
с постоянной c, не зависящей ?, m0 = max mk , ? = max(2, p, s ),
Q = min(?0 , s0 ) = min(q, s, s0 ) .
(45)
0
Пусть p ? [1, ?), f ? V (G) и выполняются условия предыдущей Теоремы. Тогда
Следствие 2.
1/?0 1
, ?1 , ???1/?10 ln? ? , ln? ln? ?? ?=1+1/?0 +
kf ? ?? (x, f )kp = O max ?1/p
1
ln ?
1
ln ?
1
,
, ln ? ,
,
+kp1 ks max ?1/s
0 , ?+1/p?1/s , ?+1/s0 ?1/Q
0
?
?
ln? ? ? ??+1/s ?1/Q ??+1/p?1/s ln? ?
2n
P
2
1/Q
1+1/Q 1
ln
? ?
, ln
+ kpl k1 max ?1/p
, ln?? , ?lnln??? ?=1?1/p +
?1/s0 ln? ? ?=1/Q ? ln? ? ?=1+1/Q?1/s0
l=2
+ ??mln0? ? .
(46)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (15) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
справедлива следующая оценка:
1/?0 ??j ? k?j? (x, f ) ? S ? (x, fj )kLp (K) ? max ?1 , ???1/?10 ln? ? , ln? ln? ?? ?=1+1/?0 +
kQ(x)k1
1
ln ?
1
ln2 ?
+ ? + kP (x)ks max ?1 , ??+1/??1/s
, ??+1/??1/s
+
m
max
,
0
? ?? ln? ? ,
ln? ?
Теорема 18.
где m0 = max mk , ? = max(2, p, s0 ) постоянная c > 0 не зависит от ? .
(47)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (20) (22) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
Теорема 19.
23
чисел ? справедлива следующая оценка:
0 1
ln1/? ? 1
?
?
?
?j ? k?j (x, f ) ? S (x, fj )kLp (K) ? max ? , ???1/?0 ln? ? , ? ln? ? ?=1+1/?0 +
1
1
1
ln ?
ln ?
+kP1 ks max ?1/s
,
, ln ? ,
,
0 , ?+1/p?1/s , ?+1/s0 ?1/Q
0
?
?
ln? ? ? ??+1/s ?1/Q ??+1/p?1/s ln? ?
2n
P
1+1/Q 1/Q
2
1
ln
? , ln? ln? ?? + kPl k1 max ?1/p
, ln?? , ?lnln??? ?=1?1/p +
?1/s0 ln? ? ?=1/Q
?=1+1/Q?1/s0
l=2
+ ??mln0? ?
с постоянной c, не зависящей ?, m0 = max mk , ? = max(2, p, s ),
Q = min(?0 , s0 ) = min(q, s, s0 ) .
(48)
0
посвящена получению оценок скорости равносходимости спектральных разложений для дифференциальных операторов произвольного нечјтного порядка на основном интервале. Рассматриваются случаи одномерного оператора, а также оператора, порождјнного дифференциальной операцией с матричными коэффициентами. Фиксируем произвольное
p ? [1, ?) .
Четвјртая глава
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (30) (32) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? справедлива следующая оценка:
1
1
?? ? k?? (x, f ) ? S? (x, f )kp ? c max 1/p ,
(49)
?
???1/? ln? ?
Теорема 20.
с постоянной c, не зависящей от ?, ? = min(2, q, s), q =
p
p?1 .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (38) (40) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? справедлива следующая оценка:
1
1
??j ? k?j? (x, f ) ? S ? (x, fj )kp ? c max 1/p ,
(50)
?
???1/? ln? ?
Теорема 21.
с постоянной c, не зависящей от ?, ? = min(2, q, s), q =
p
p?1 .
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Игорю Сергеевичу Ломову за постановку задачи, постоянное
внимание и помощь в работе.
24
Публикации автора по теме диссертации
[1] Марков А.С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциального оператора на скорость равносходимости спектральных
разложений // XV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учјных Ломоносов-2008, секция Вычислительная
математика и кибернетика. Тезисы докладов, М.: Изд-во МГУ. 2008.
С. 60.
[2] Марков А.С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциального оператора на скорость равносходимости спектральных
разложений // Сборник статей молодых учјных факультета ВМиК
МГУ. 2008. Вып. 5. С. 68-72.
[3] Марков А.С. О скорости сходимости спектральных разложений для
обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка //
Сборник статей молодых учјных факультета ВМиК МГУ. 2009. Вып. 6.
С. 111-127.
[4] Марков А.С. О скорости сходимости спектральных разложений для
обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка //
Сборник тезисов лучших дипломных работ 2009 года. М.: Издательский
отдел факультета ВМК МГУ. 2009. С. 50.
[5] Марков А.С. Оценки скорости равносходимости спектральных разложений на отрезке // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, ќ 8. С. 1105-1116.
[6] Ломов И.С., Марков А.С. Оценки скорости сходимости спектральных
разложений дифференциальных операторов чјтного порядка // ДАН.
2012. Т. 445, ќ 5. С. 510-512.
[7] Ломов И.С., Марков А.С. Оценки скорости локальной сходимости спектральных разложений дифференциальных операторов чјтного порядка
// Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, ќ 5. С. 557-563.
[8] Марков А.С. Исследование скорости сходимости спектральных разложений дифференциальных операторов // Деп. в ВИНИТИ 24.10.2013
ќ 292-В2013.
25
темы корневых функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов и вопросам
равносходимости разложений. Новый подход заключался в отказе от рассмотрения конкретных краевых форм оператора. Заменяли их конструктивные и
легко проверяемые условия на собственные значения и системы корневых
функций, т.е. рассматривались некоторые сужения максимального оператора.
В дальнейшем В.А. Ильиным и его учениками В.Д. Будаевым, Н.Б. Керимовым, А.С. Макиным, И.С. Ломовым, В.М. Курбановым, Л.В. Крицковым, Т.А. Самарской, Е.И. Никольской метод был применјн к широкому
3
классу неисследованных ранее обыкновенных и эллиптических операторов,
спектральные задачи для которых содержали линейно собственные значения. Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности в
L2 (0, 1) систем корневых функций, локальной базисности и локальной равносходимости биортогональных разложений функций с ТРФ, равносходимости
этих разложений на всјм отрезке.
В основе метода лежит рассмотрение обобщјнных корневых функций оператора, являющихся только регулярными решениями соответствующего дифференциального уравнения со спектральным параметром. Идея такого подхода восходит к А.Н. Тихонову. Используются интегральные представления
(формулы среднего значения) для решений этого уравнения. В случае исследования равносходимости разложений из ядра Дирихле выделяется спектральная функция оператора и далее проводится эффективная оценка остатка с использованием априорных оценок корневых функций. Ниже приведјн
обзор некоторых результатов, имеющих непосредственное отношение к теме
диссертации.
При использовании рядов Фурье по системам корневых функций дифференциальных операторов, наряду с вопросами о полноте и базисности этих
систем в соответствующих функциональных пространствах возникает задача об оценке скорости сходимости этих рядов к рассматриваемым функциям. Хорошо известны результаты о порядке приближения широких классов
функций ортогональными рядами (см. работы Г. Алексича, С.М. Никольского, С.Б. Стечкина, С.А. Теляковского, Б.С. Кашина и А.А. Саакяна). Менее
изучены в этом отношении биортогональные ряды, каковыми в основном являются ряды по системам корневых функций несамосопряжјнных дифференциальных операторов. Наиболее естественный путь при решении отмеченной
задачи это сравнение разложений функций по исследуемой биортогональной системе и по близкой ей в каком-то смысле и хорошо изученной системе
функций.
Начиная с результатов В.А. Стеклова и Ж. Биркгофа, многие работы по
разложению по корневым функциям регулярных дифференциальных операторов посвящены тому, чтобы показать, что эти ряды ведут себя строго внутри интервала сходимости как обычные ТРФ (в дополнение к указанным выше
отметим также работы по рядам Лежандра и рядам Фурье-Бесселя У. Юнга и М.Л. Гольдмана). Вопрос о скорости равносходимости таких разложений, видимо, впервые был рассмотрен в 1978 году в работах В.А. Ильина и
И. Йо, для произвольного неотрицательного самосопряжјнного расширения
оператора Шрјдингера с потенциалом q(x) ? Lr (G), r > 1, G = (0, 1). Бы4
ла получена точная оценка O(1/?) скорости равномерной равносходимости
на любом компакте K ? G спектрального разложения ?? (x, f ) произвольной абсолютно непрерывной функции f (x) с S? (x, f ) частичной суммой
ТРФ этой функции. Этот результат перенесјн В.Е. Волковым и И. Йо на
несамосопряжјнные операторы Шрјдингера с потенциалами из L2 , затем
Е.И. Никольской на случай произвольных суммируемых потенциалов, оценка
скорости равносходимости O(ln ?/?) .
Системы функций, по которым ведјтся разложение, могут удовлетворять
разным краевым условиям (или не удовлетворять никаким краевым условиям без спектрального параметра, как в случае системы экспонент), поэтому
равномерной равносходимости соответствующих рядов на всјм отрезке G в
общем случае не может быть. Некоторые практические задачи, тем не менее, требуют оценки скорости равносходимости разложений или оценки порядка приближения функций спектральными разложениями именно на всјм
G, причјм оценку достаточно установить в интегральной метрике. В работах
И.С. Ломова для произвольного неотрицательного самосопряжјнного расширения оператора Шрјдингера с потенциалом из Lr (0, 1), r > 1 для функции
ограниченной вариации получена оценка O(ln ?/?1/p ) скорости равносходимости тех же разложений, но впервые это было сделано на всјм интервале
G в интегральной метрике Lp (G), p ? 2; получена оценка порядка приближения функций этими рядами. Этот результат перенесјн на несамосопряжјнный оператор Шрјдингера, причјм получена точная оценка O(1/?1/p ),
и на оператор второго порядка с негладким коэффициентом p1 (x) при первой производной, p1 (x) ? Ls (G), s ? 1; оператор L? для получения оценок
не привлекался. Также И.С. Ломов установил оценки скорости равносходимости с ТРФ спектральных разложений по корневым функциям дифференциального оператора произвольного чјтного порядка на внутреннем компакте и на всјм интервале; отдельно установлена зависимость рассматриваемой
скорости равносходимости от расстояния компакта до границы интервала.
Схожие вопросы локальной равносходимости для дифференциальных операторов произвольного порядка с негладкими коэффициентами изучались
В.М. Курбановым, однако доказательства полученных результатов были им
приведены лишь для операторов чјтного порядка. В работах С.В. Афонина
и И.С. Ломова установлены оценки скорости равносходимости с ТРФ спектральных разложений по корневым функциям дифференциального оператора произвольного нечјтного порядка как на внутреннем отрезке, так и на
всјм интервале.
Приведјм ещј ряд близких направлений по спектральной теории диффе5
ренциальных операторов. А.С. Макиным получены достаточные условия суммируемости методом Рисса биортогональных рядов. Отметим также работы
А.С. Макина, посвящјнные изучению базисности систем корневых функций и
асимптотики спектра, отвечающих несамосопряжјнному оператору ШтурмаЛиувилля с регулярными краевыми условиями. В последующих работах он
получил значительные результаты по спектральной теории дифференциальных операторов с нерегулярными и вырожденными краевыми условиями.
О.В. Белянцевым доказан критерий базисности Рисса для операторов второго порядка с сингулярными коэффициентами.
Обзор результатов по задачам равносходимости, полученных без использования подхода В.А. Ильина, подробно изложен в работах А.П. Хромова.
В работах В.С. Рыхлова для обыкновенного дифференциального оператора
n? го порядка с ненулевым коэффициентов p1 при (n ? 1)? ой производной
и регулярными двухточечными условиями на концах интервала G получены
оценки скорости равномерной на любом отрезке K ? G равносходимости
?? (x, f ) и S? (x, f ) . Коэффициент p1 (x) при этом из более узкого класса, чем
Ls . Условия на p1 и f накладываются в терминах классов Hr? (G) , состоящих из функций f (x) ? Lr (G) , интегральный модуль непрерывности ?r (f, ?)
которых есть величина O(ln?? (? ?1 )), ? ? 0+ . Скорость равносходимости при
этом такова: если p1 ? Hq? (G), f ? Hp? (G), ? + ? > 1, p?1 + q ?1 = 1 , то
ln ?
||?? (x, f ) ? S? (x, f )||C(K) = O( ln?+?
+ ln1? ? + ln1? ? ) .
?
Г.В. Радзиевский, А.М. Гомилко исследовали оператор, порождјнный дифференциальной операцией y (n) со слабым возмущением F y (соответствующим в случае дифференциального оператора условию p1 (x)y (n?1) ? 0 ) и
двухточечными регулярными краевыми условиями, возмущјнными интегралами Стилтьеса. В терминах интегрального модуля непрерывности функции
f (x) ? L(G) установлены оценки скорости равномерной равносходимости
?? (x, f ) с S? (x, f ) и с ??0 (x, f ) (при F y = 0 ) на ?K ? G. Система, биортогонально сопряжјнная с системой корневых функций оператора L, является
системой корневых функций оператора L? . Отдельно Г.В. Радзиевским был
рассмотрен дифференциальный оператор n? го порядка (с p1 (x)y (n?1) ? 0 )
с двухточечными регулярными краевыми условиями. Исследовано влияние
краевых условий (наличие или отсутствие в них производных) на оценку
скорости сходимости разложений по корневым функциям этого оператора
в метрике Lp (G) .
В.А. Винокуров и В.А. Садовничий опубликовали серию статей по асимптотике любого порядка собственных значений и собственных функций первой
краевой задачи для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с лишь сумми6
руемым потенциалом и потенциалом, содержащим ?? функции. Получены
формулы следов; для первой краевой задачи доказана теорема о равномерной
равносходимости разложений по собственным функциям с ТРФ на всјм отрезке для суммируемой разлагаемой функции. Близкие вопросы для операторов с сингулярными потенциалами исследовали А.А. Шкаликов и А.М. Савчук, а также И.В. Садовничая. Эти исследования активно развиваются и в
настоящее время.
В диссертации изучаются вопросы сходимости биортогональных разложений функций для линейных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка с негладкими коэффициентами,
заданных на конечном отрезке числовой прямой. Указанные биортогональные разложения сравниваются с разложением функций в тригонометрический ряд Фурье.
Цель работы.
Основные результаты работы.
1. Получены оценки скорости равносходимости спектральных разложений
функций для обыкновенного дифференциального оператора произвольного
порядка с разложением этих функций в тригонометрический ряд Фурье на
произвольном внутреннем компакте основного интервала как в скалярном,
так и в матричном случае. При этом установлена зависимость оценки скорости локальной равносходимости от расстояния внутреннего компакта до
границы интервала.
2. Получены оценки скорости сходимости и оценки скорости равносходимости спектральных разложений функций для дифференциального оператора
произвольного порядка с разложением этих функций в тригонометрический
ряд Фурье на всјм основном интервале как в скалярном, так и в матричном
случае.
В работе используются методы теории дифференциальных уравнений, общие методы комплексного и функционального
анализа, а также спектральный метод В.А. Ильина.
Методы исследования.
Научная новизна.
Все основные результаты работы, перечисленные вы-
ше, являются новыми.
Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут найти применение при обосновании метода Фурье решения задач математической физики,
при исследовании задач теории упругости, квантовой механики и других,
Теоретическая и практическая ценность работы.
7
приводящих к изучению несамосопряжјнных операторов. Также результаты
диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов по спектральной теории дифференциальных операторов для студентов и аспирантов математических и физических специальностей университетов.
Личный вклад соискателя.
Все основные результаты диссертации по-
лучены автором самостоятельно.
Результаты настоящей диссертации
были представлены в виде докладов на XV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учјных ѕЛомоносовї (2008 г.);
научной конференции ѕЛомоносовские чтенияї (2012 г.); научных семинарах кафедры общей математики факультета ВМиК, научном семинаре под
руководством В.А. Садовничего, совместном научном семинаре кафедры математического анализа и теории функций и кафедры нелинейного анализа и
оптимизации РУДН.
Апробация результатов работы.
По теме диссертации опубликовано 8 работ, 3 из которых в
изданиях, рекомендованных ВАК ([5], [6], [7]). Во всех работах автором постановки задач является научный руководитель И.С. Ломов. А.С. Марков является автором результатов, полученных с использованием метода В.А. Ильина, метода И.С. Ломова, идей и рассуждений И.С. Ломова и С.В. Афонина для рассматриваемых в работах дифференциальных операторов с новой
асимптотикой коэффициентов Фурье. Подготовка материалов [1][5] и [8] к
публикации была проведена самостоятельно автором, материалы [6][7] были
подготовлены совместно с И.С. Ломовым.
Публикации.
Диссертация состоит из введения,
четырјх глав, заключения и списка литературы. Общий объјм диссертации
122 страницы. Список литературы содержит 75 наименований.
Структура и объјм диссертации.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении проводится общий обзор исследований, связанных с темой
диссертационной работы, раскрываются еј цели и задачи, а также приводится
краткое изложение результатов диссертации.
В первой главе вводятся основные понятия, определения и леммы, используемые в диссертации. Далее рассматриваются 4 оператора, заданные на
любом внутреннем компакте K ? G .
8
Рассмотрим оператор L , порождјнный дифференциальной операцией
lu = u00 + p1 (x)u0 + q1 (x)u,
x ? G = (0, 1),
(1)
на классе функций D абсолютно непрерывных на G = [0, 1] вместе со своей
первой производной;
p1 (x) ? Ls (G, C),
s > 1,
q1 (x) ? L(G, C),
(2)
корневые функции оператора L (собственные и присоединјнные функции)
понимаются в обобщјнном (по В.А. Ильину) смысле.
Фиксируем произвольную систему собственных значений {?2k }?
k=1 и произвольную систему {uk (x)} корневых функций оператора L , отвечающую
этим собственным значениям, пусть {vk (x)} биортогонально сопряжјнная
с {uk } система функций.
Сформулируем основные ограничения на корневые системы (на оператор
L ).
Под собственной функцией оператора L , отвечающей собственному значению ?2 ? C , будем понимать любую не равную
?
тождественному нулю функцию u (x) ? D , удовлетворяющую почти всю?
?
ду в G уравнению l u +?2 u= 0 .
Определение 1.
Под присоединјнной функцией порядка m, m = 1, 2, ...,
?
отвечающей тому же ?2 и собственной функции u , будем понимать люm
бую функцию u (x) , которая почти всюду в G удовлетворяет уравнению
Определение 2.
m
m?1
m
l u +?2 u= µm u , где либо µm = 1 (задача 1), либо µm = ?, Re ? ? 0 , при
|?| ? 1 и µm = 1 при |?| < 1 (задача 2).
Потребуем, чтобы рассматриваемые системы {?k }, {uk (x), vk (x)} удовлетворяли трјм условиям Ильина (назовјм их Условия А):
1) система {uk } замкнута и минимальна в Lr (G) при некотором r ? [1, ?) ;
2) существуют c1 , c2 = const > 0 такие, что
|Im ?k | ? c1 , ?k;
X
1 ? c2 , ?? ? 0;
0?|?k |???1
3) существует c3 = const > 0 такая, что
kuk kr kvk kr0 ? c3 , ?k,
0
где vk ? Lr (G), r0 = r/(r ? 1) , через k · kr обозначается норма в Lr (G) .
9
Для произвольной функции f (x) ? Lr (G), r ? [1, ?) , составим частичные
суммы биортогонального разложения
?? (x, f ) =
X
fk uk (x),
? > 0,
fk = (f, vk ).
|?k |<?
Пусть k · kr,K норма в Lr (K), K ? G . Через S? (x, f ) обозначим частичную
сумму ТРФ функции f (x) , рассматриваемого как ортогональное разложение
f (x) для оператора L0 u = u00 с условиями периодичности в нуле и единице.
Выпишем используемые в диссертации условия на асимптотику коэффициентов fk :
?? = const > 0, ? = const :
??
?k f k = O(???
|?k |), |?k | > 1;
k ln
?k f k = O(???
k ),
?? = const > 0 :
(3)
(4)
где ?k = kvk k?1
r0 . Предполагаем, что для оператора L0 эти условия в соответствующих утверждениях выполняются.
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) . Для произвольного отрезка
K ? G обозначим ? = ?(K, ?G) > 0 расстояние до границы интервала
G . Сформулируем основной результат. Будут рассмотрены три ситуации. В
каждой из них выписываются по две оценки скорости равносходимости. Это
связано с тем, что было установлено: если стремиться получить наилучшую
оценку скорости равносходимости по параметру ? , то загрубляется оценка
по параметру ? и наоборот, если оптимизировать оценку по ? , при этом она
улучшается на порядок, то ухудшается оценка по ? .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (1), (2), (3) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел
? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 1.
1).? ?? ? k?
S? (x, f )kp,K ?
? (x, f ) ? ?
c
1
1
?
+ kq?1 k1 + n?1 +
?
2 max
2, ?
?
?
?
?
?
ln
?
?
?
?
?
?
n
ln
?
ln ?
1
?
,
,
, 1
?+kp1 ks max ?1 , ??+1/p?1/s
ln? ? ??+1/p?1/s ?? ln? ?
?
?
c
1
1
ln
?
1 k1 ln ?
?
max ? , ?? , ?? ln? ? + ?kq
+
?
?+1/p ln? ?
?
?
?
?
?
?
2
?
ln ?
1
?
,
, n1 ln ? ,
?kp1 ks max ??+1/p?1/s
ln? ? ??+1/p?1/s ?? ln? ?
(5)
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае.
10
2). Если s = ? , т.е. p1 (x) ? L? (G) , то
? ?
kq
k
?
? ?c2 max ?12 , ?? ln1 ? ? + ?1 1 + n1 max ?1 , kp1 k? ??lnln?? ? +
?? ?
?
1
1
ln
?
c
?
? ? max ? , ?? , ?? ln? ? .
kp1 k?
?
,
(6)
3). Пусть lu = u и дополнительно к условиям теоремы система {uk }
обладает свойством базисности в L? (G) для какого-либо числа ? ? [1, ?)
(то есть ?f (x) ? L? (G), ?K ? G : k?? (x, f ) ? f (x)k?,K ? 0 при ? ? ? ),
тогда можно записать равномерные оценки
? ?
?
? ?c2 max ?12 , ?? ln1 ? ? + n?1 ,
k?? (x, f ) ? S? (x, f )kC(K) ?
(7)
?
1
1
ln
?
c
?
? ? max ? , ?? , ?? ln? ? .
00
Постоянные c > 0 в оценках (5) (7) не зависят от ? и ? .
Аналогичные оценки скорости равносходимости получены для оператора
произвольного чјтного порядка, заданного операцией
2n
X
d2n
d2n?l
l = 2n +
pl (x) 2n?l ,
dx
dx
x ? G = (0, 1),
n > 1;
l=1
p1 (x) ? Ls (G, C),
s > 1,
pl (x) ? L(G, C),
(8)
l = 2, 2n,
на классе функций D2n , абсолютно непрерывных на G вместе со своими
производными до (2n ? 1)? го порядка.
Фиксируем некоторые числа r0 ? [1, ?], ?0 > 0. Выберем произвольную
последовательность чисел {?k }?
k=1 и произвольную систему {uk (x)} корневых функций оператора L, отвечающую спектральным параметрам {?k },
удовлетворяющие Условиям А. Присоединјнные функции выбираем так, что
в корневых цепочках справедлива "антиаприорная"оценка
m?1
m
k uk kr0 ? c?? k uk kr0 ,
c = const > 0,
m = 1, mk ,
(9)
c не зависит от ?k , ?? = |?k |2n?1 для задачи 1, ?? = 1 для задачи 2. Пусть
также
kuk k? ? ckuk kr0 ?k; c = const > 0.
(10)
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) .
11
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (8) (10) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 2.
???? k?
? (x,f ) ? S? (x, f )kp,K ? 2
?
c
1 1
ln ?
?
+ kp1 ks max ?1 , ln??? , ??+1/p?1/s
+
?
? 2 max ? , ??
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
ln ?
0
?
, ?ln?+1? + m
?+ kpl k1 max ??+1/p
?? ,
l=2 ?
2
?
c
ln
?
1
ln
?
ln
?
1
?
+ kp1 ks max ? , ?? , ??+1/p?1/s +
?
? max ? , ??
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
m
ln
?
ln
?
ln
?
0
?
?+ kpl k1 max ??+1/p , ??+1 + ??
(11)
l=2
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk ; если при этом
p1 ? 0, то
2n
? P
?
m
c
1
1
ln
?
?
? ?2 max ? , ?? + kpl k1 ?? + ??0 ,
l=2
k?? (x, f ) ? S? (x, f )k?,K ?
(12)
2n
P
?
m
ln
?
c
1
ln
?
ln
?
?
? ? max ? , ?? + kpl k1 ?? + 0?? .
l=2
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (8) (10), и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? ?
c
1
1
?
?
? 2 max ? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
2
?
1
1
1
ln
?
ln
?
?
+kp1 ks max ? , ?? , ??+1/p?1/s , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s ln? ? +
?
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
m
ln
?
ln
?
1
?
?+ kpl k1 max ? , ??+1/p ln? ? , ??+1 ln? ? + ?? ln0? ? ,
l=2 ?? ?
(13)
?
c
1
1
ln
?
?
?
? max ? , ?? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
2
?
1
ln ?
?
+
+kp1 ks max ?1 , ?1? , ??+1/p?1/s
, ??lnln?? ? , ??+1/p?1/s
?
?
ln? ?
?
?
?
2n
?
P
2
?
m
ln
?
1
ln
?
ln
?
?
?+ kpl k1 max ? , ??+1/p ln? ? , ??+1 ln? ? + ??0ln? ?
Теорема 3.
l=2
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk ; если при этом
12
p1 ? 0, то
k?? (x, f ) ? S? (x, f )k?,K
? ?
c
1
1
?
?
? 2 max ? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
2n
?
P
?
1
1
ln
?
?
?+ kpl k1 max ? , ?? , ?? ln? ? +
l=2 ?
?
c
?
max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? +
?
?
?
?
?
?
2n
?
P
?
?
?+ kpl k1 max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? +
l=2
m0
?? ln? ?
,
(14)
m0 ln ?
.
?? ln? ?
Результаты, полученные для оператора второго и произвольного чјтного
порядка, перенесены на случай операторов с матричными коэффициентами.
Рассмотрим оператор L , порождјнный дифференциальной операцией
lu = u00 + P (x)u0 + Q(x)u,
x ? G = (0, 1),
где
P (x) = {Pij (x)}, Pij (x) ? Ls (G, C), s > 1, i, j = 1, h,
Q(x) = {Qij (x)}, Qij (x) ? L(G, C),
(15)
u = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x)), uj (x) ? D, j = 1, h,
класс D функции, абсолютно непрерывные на G = [0, 1] вместе со своей
первой производной.
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) , произвольную систему собj
j
j
k
j
ственных значений {?2k }?
k=1 и систему {u (x)}, u (x) = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x))
корневых вектор-функций оператора L , отвечающую этим собственным значениям. Пусть существует {v k (x)} биортогонально сопряжјнная с {uk } система функций. Для произвольной вектор-функции f (x) ? Lhp (G) составим
частичные суммы биортогонального разложения
? ? (x, f ) =
X
hf, v k i · uk (x), ? > 0,
|?k |??
uk ? Lhp (G), v k ? Lhq (G), p?1 + q ?1 = 1 . Для каждого j = 1, 2, .., h рассмотрим j? ую компоненту биортогонального разложения:
X
?j? (x, f ) =
hf, v k i · ukj (x).
|?k |??
Через S ? (x, fj ) обозначим частичную сумму тригонометрического ряда Фурье соответствующей j? ой компоненты fj (x) разлагаемой вектор-функции
13
f (x), рассматриваемого как ортогональное разложение fj (x) для оператора
L0 u = u00 с условиями периодичности в нуле и единице:
Z1
1
sin ?(x ? y)
S ? (x, fj ) =
fj (y) dy.
?
(x ? y)
0
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (15) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 4.
?
1).? ??j ? k?
S ? (x, fj )kLp (K) ?
j (x, f ) ? ?
c
1
1
1
?
+ kQ(x)k
+ n?1 +
?
2 max
2, ?
?
?
?
?
?
?
ln
?
?
?
?
?
?
ln ?
1
?
,
, n1 ln ?
,
?+kP (x)ks max ?1 , ??+1/p?1/s
ln? ? ??+1/p?1/s ?? ln? ?
?
?
c
1
1
ln
?
1 ln ?
?
+
max ? , ?? , ?? ln? ? + kQ(x)k
?
?+1/p ln? ?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
ln ?
1
?
,
, n1 ln ? ,
?+kP (x)ks max ??+1/p?1/s
ln? ? ??+1/p?1/s ?? ln? ?
(16)
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае;
2). Если s = ? , то
? ?
kQ(x)k
kP (x)k ln ?
?
?
+ kP (x)k
,
? ?c2 max ?12 , ?? ln1 ? ? + ? 1 + n1 max ?1 , ?? ln?? ?
?
?
?j ?
?
?
? ?c max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? ,
(17)
для всех j = 1, m. Постоянные c > 0 в оценках (16) и (17) не зависят от
? и ?.
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (15) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? ?
n
c
1
1
1
ln
?
?
+ ?1 + kQ(x)k1 max ? , ??+1/p +
?
? 2 max ?2 , ??
?
?
?
?
?
2
?
ln ?
?
,
? +kP (x)ks max ?1 , ln??? , ??+1/p?1/s
?
1). ?j ?
(18)
?
n1
1 ln ?
c
ln ?
?
+ ?? + kQ(x)k1 ??+1/p +
?
? max ? , ??
?
?
?
?
?
2
?
ln
?
ln
?
?
? +kP (x)ks max ?? , ??+1/p?1/s ,
Теорема 5.
14
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае;
2). Если s = ? , то
? ?
kQ(x)k
?
? ?c2 max ?12 , ?1? + n?1 + ? 1 + kP (x)k? max ?1 , ln??? ,
??j ?
(19)
?
c
1
ln
?
?
? ? max ? , ?? ,
для всех j = 1, m. Постоянные c > 0 в оценках (18) и (19) не зависят от
? и ?.
Рассмотрим оператор L , порождјнный дифференциальной операцией
2n
X
d2n
d2n?l
l
L ? lu, l = 2n +
P (x) 2n?l ,
dx
dx
P
1
P l (x)
x ? G = (0, 1),
n > 1;
l=1
1
(x) = {Pij (x)}, Pij1 (x) ? Ls (G, C), ?i, j = 1, h, s > 1,
= {Pijl (x)}, Pijl (x) ? L(G, C), ?i, j = 1, h, ?l = 2, 2n,
(20)
где u = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x)), uj (x) ? D2n , j = 1, h, а класс D2n абсолютно непрерывные на G = [0, 1] вместе со своими производными до (2n ? 1)? го
порядка включительно функции.
Фиксируем некоторые числа r0 ? [1, ?], ?0 > 0. Выберем произвольную
k
последовательность чисел {?k }?
k=1 и произвольную систему {u (x)} корневых функций оператора L, отвечающую спектральным параметрам {?k },
удовлетворяющие Условиям А. Присоединјнные функции выбираем так, что
в корневых цепочках справедлива "антиаприорная"оценка
m?1
k
m
k
k u kLhr (G) ? c?? k u kLhr (G) ,
0
0
c = const > 0,
m = 1, mk ,
(21)
c не зависит от ?k , ?? = |?k |2n?1 для задачи 1, ?? = 1 для задачи 2. Пусть
также
kuk kLh? (G) ? ckuk kLhr (G) ?k; c = const > 0.
(22)
0
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (20) (22) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
Теорема 6.
15
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
?
?
??j?? k?
j (x,f ) ? S (x, fj )kLp (K) ? 2
?
c
1 1
ln ?
?
+ kP 1 kLhs (K) max ?1 , ln??? , ??+1/p?1/s
+
?
? 2 max ? , ??
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
m
ln
?
ln
?
?
?+ kP l kLh1 (K) max ??+1/p , ??+1 + ??0 ,
l=2 ?
2
?
1
c
1
ln
?
ln
?
ln
?
1
?
+ kP kLhs (K) max ? , ?? , ??+1/p?1/s +
?
? max ? , ??
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
?
ln ?
?
, ?ln?+1? + m0?ln
?+ kP l kLh1 (K) max ??+1/p
?
(23)
l=2
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk ; если при этом
P 1 ? 0, то
2n
? P l
?
m
ln
?
c
1
1
0
?
? ?2 max ? , ?? + kP kL1 (K) ?? + ?? ,
?
?
l=2
k?j (x, f ) ? S (x, fj )kL? (K) ?
2n
P
?
?
?
.
? ?c max ?1 , ln??? + kP l kL1 (K) ln??? + m0?ln
?
l=2
(24)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (20) (22) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки.
? ?
c
1
1
?
?
? 2 max ? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
2
?
ln
?
1
1
1
ln
?
1
?
+kP kLs (K) max ? , ?? , ??+1/p?1/s , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s ln? ? +
?
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
ln ?
?
, ln ?
+ ??mln0? ? ,
?+ kP l kL1 (K) max ?1 , ??+1/p
ln? ? ??+1 ln? ?
l=2 ??j ?
(25)
?
c
1 1
ln ?
?
?
? max ? , ?? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
2
?
1
1
ln
?
ln
?
1
?
+kP 1 kLs (K) max ? , ?? , ??+1/p?1/s , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s ln? ? +
?
?
?
?
?
2n
?
P
2
?
m
ln
?
1
ln
?
ln
?
l
?
?+ kP kL1 (K) max ? , ??+1/p ln? ? , ??+1 ln? ? + ??0ln? ?
Теорема 7.
l=2
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk ; если при этом
16
P 1 ? 0, то
k?? (x, f )?S? (x, fj )kL? (K)
? ?
c
1
1
?
?
? 2 max ? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
2n
?
P
?
?
?+ kP l kL1 (K) max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? +
l=2 ?
?
c
?
max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? +
?
?
?
?
?
?
2n
?
P
?
?
?+ kP l kL1 (K) max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? +
l=2
m0
,
?? ln? ?
m0 ln ?
?? ln? ?
.
(26)
Во второй главе получены те же оценки, что и в первой, но уже для
оператора первого и произвольного нечјтного порядка. Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор L , порождјнный дифференциальной
операцией
Lu ? u0 + a0 (x)u,
x ? G = (0, 1), a0 (x) ? Ls (G),
s>1
(27)
на классе функций D , абсолютно непрерывных на G = [0, 1] .
Фиксируем произвольную систему собственных значений {?k }?
k=1 и произвольную систему {uk (x)} корневых функций оператора L , отвечающую этим
собственным значениям, удовлетворяющие трјм Условиям А.
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (27) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 8.
???? k?
? (x, f )kp,K ?
? (x,f ) ? S
2
?
c
1
1
ln
?
ln
?
?
+ (n1 + ka0 kp ) max ? , ?? +
?
? 2 max ?2 , ??
?
?
?
?
?
?
1
ln ?
?
, ??+1/p?1/s
,
?+ka0 ks max ??+1/p?1/s
?
2
?
c
1 ln ?
?
+ (n1 + ka0 kp ) max ln?? , ln??? +
?
? max ? , ??
?
?
?
?
?
?
ln
?
1
?
?+ka0 ks max ??+1/p?1/s , ??+1/p?1/s ,
(28)
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае. Постоянная c > 0 не зависит от ?
и ?.
17
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (27) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? 2
?
c
1
1
ln
?
ln
?
ln
?
?
?
? 2 max ?2 , ?? ln? ? + (n1 + ka0 kp ) max
? , ?? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
?
ln ?
1
?
, ??+1/p?1/s
,
?+ka0 ks max ??+1/p?1/s
ln? ?
(29)
?? ?
2
?
1 1
ln ?
ln ? ln ?
ln ?
c
?
?
? max ? , ?? , ?? ln? ? + (n1 + ka0 kp ) max
? , ?? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
?
ln
?
1
?
?+ka0 ks max ??+1/p?1/s , ??+1/p?1/s ln? ? ,
Теорема 9.
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае. Постоянная c > 0 не зависит от ?
и ?.
Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор L , порождјнный
дифференциальной операцией
(n)
Lu ? u (x) +
n?1
X
ak (x)u(k) (x), x ? G = (0, 1), n = 2l + 1, l ? Z, l ? 0;
k=0
(30)
an?1 (x) ? Ls (G), s > 1, ak (x) ? L(G), k = 0, n ? 2,
на классе функций Dn , абсолютно непрерывных на G = [0, 1] вместе со своими производными до (n ? 1) -го порядка включительно.
Зафиксируем некоторые числа r0 ? [1, ?), ?0 > 0. Выберем произвольную последовательность чисел {?k }?
k=1 и произвольную систему {uk } корневых функций оператора L , отвечающую спектральным параметрам {?k } ,
удовлетворяющие трјм Условиям А.
Присоединјнные функции выберем так, чтобы в корневых цепочках была
справедлива "антиаприорная"оценка
m?1
k
k u
m
kr0 ? c?? k uk kr0 ,
c = const > 0,
m = 1, mk ,
(31)
c не зависит от ?k , ?? = |?k |n?1 для задачи 1, ?? = 1 для задачи 2. Для
n ? 3 такую систему всегда можно построить. Пусть, кроме того,
kuk k? ? ckuk kr0
?k;
Фиксируем произвольное p ? [1, ?) .
18
c = const > 0.
(32)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (30) (32) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 10.
???? k?? (x, f ) ? S? (x, f )kp,K ?
2
?
ln ? 1
1
c
ln ?
1
?
?
+ kan?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
, ln??? +
?
? 2 max
? , ?? , ??+1/p?1/s
?
?
?
?
n?2
P
2
?
?
1
?
kaq k1 ?1/p
+ m0 max ?1 , ln??? ,
?+
q=0 ?
2
?
c
ln ?
1
1
?
+ kan?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
, ln??? +
max ln?? , ln??? , ??+1/p?1/s
?
?
?
?
?
?
n?2
?
P
2
?
1
?
kaq k1 ?1/p
+ m0 max ?1 , ln???
?
?+
q=0
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk .
(33)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (30) (32) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? ?
c
ln ?
1
1
?
?
?
? 2 max
? , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s +
?
?
?
?
2
?
1
ln
?
ln
?
ln
?
?
?
+kan?1 ks max ??+1/p?1/s , ??+1/p?1/s ln? ? , ?? , ?? ln? ? +
?
?
?
?
?
n?2
P
2
?
?
1
?
kaq k1 ?1/p
+ m0 max ?1 , ln??? , ??lnln?? ? ,
?+
q=0 ?? ?
(34)
?
c
ln
?
1
ln
?
1
?
?
? max
? , ?? , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s +
?
?
?
?
?
2
?
1
ln ?
ln ?
ln ?
?
+kan?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
+
?
? , ?? , ?
?
ln
?
?
ln? ?
?
?
?
n?2
?
P
2
?
1
?
kaq k1 ?1/p
+ m0 max ?1 , ln??? , ??lnln?? ?
?
?+
Теорема 11.
q=0
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk .
Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор L , порождјнный
дифференциальной операцией
Lu ? u0 + A(x)u,
x ? G = (0, 1),
где
A(x) = {Aij (x)}, Aij (x) ? Ls (G, C), s > 1, i, j = 1, h,
u = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x)), uj (x) ? D, j = 1, h,
19
(35)
класс D функции, абсолютно непрерывные на G = [0, 1] вместе со своей
первой производной.
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) , произвольную систему собj
j
j
k
j
ственных значений {?2k }?
k=1 и систему {u (x)}, u (x) = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x))
корневых вектор-функций оператора L , отвечающую этим собственным значениям. Пусть существует {v k (x)} биортогонально сопряжјнная с {uk } система функций.
Фиксируем произвольное число p ? [1, ?) .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (35) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 12.
?
?
??j?? k?
j (x,f ) ? S (x,fj )kLp (K) ?
2
?
c
1
1
?
+ (n1 + kA(x)kp ) max ln?? , ?lnn?u , ??lnln?? ? +
?
2 max
2, ?
?
?
?
?
?
ln
?
?
?
?
?
?
1
ln ?
?
,
, ??+1/p?1/s
?+kA(x)ks max ??+1/p?1/s
ln? ?
?
2
?
c
?
max ?1 , ?1? , ??lnln?? ? + (n1 + kA(x)kp ) max ln?? , ?lnn?u , ??lnln?? ? +
?
?
?
?
?
?
?
?
1
ln ?
?
, ??+1/p?1/s
,
?+kA(x)ks max ??+1/p?1/s
ln? ?
(36)
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае. Постоянная c > 0 не зависит от ?
и ?.
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (35) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? 2
?
1 1
c
?
+ (n1 + kA(x)kp ) max ln?? , ln??? +
?
? 2 max ?2 , ??
?
?
?
?
?
?
1
ln
?
?
?+kA(x)ks max ??+1/p?1/s , ??+1/p?1/s ,
?
?j ?
(37)
2
?
c
1 ln ?
ln ? ln ?
?
+ (n1 + kA(x)kp ) max ? , ?? +
?
? max ? , ??
?
?
?
?
?
?
ln
?
1
?
?+kA(x)ks max ??+1/p?1/s , ??+1/p?1/s ,
Теорема 13.
где n1 = 1 , если общее число присоединјнных функций в системе {uk } бесконечно и n1 = 0 в противном случае. Постоянная c > 0 не зависит от ?
и ?.
20
Рассмотрим произвольный дифференциальный оператор L , порождјнный
дифференциальной операцией
(n)
Lu ? u (x) +
A
n?1
X
Ak (x)u(k) (x), x ? G = (0, 1), n = 2l + 1, l ? Z, l ? 0;
k=0
n?1
n?1
s
(x) = {An?1
ij (x)}, Aij (x) ? L (G, C), s > 1, ?i, j = 1, h,
Ak (x) = {Akij (x)}, Akij (x) ? L(G, C), k = 0, n ? 2,
(38)
где u = (u1 (x), u2 (x), ..., uh (x)), uj (x) ? Dn , j = 1, h, а класс Dn абсолютно
непрерывные на G = [0, 1] вместе со своими производными до (n ? 1) -го
порядка включительно.
Зафиксируем некоторые числа r0 ? [1, ?), ?0 > 0. Выберем произвольk
ную последовательность чисел {?k }?
k=1 и произвольную систему {u } корневых вектор-функций оператора L , отвечающую спектральным параметрам
{?k } , удовлетворяющие трјм Условиям А.
Присоединјнные функции выберем так, чтобы в корневых цепочках была
справедлива "антиаприорная"оценка
m?1
k u
m
k
kLhr (G) ? c?? k uk kLhr (G) ,
0
0
c = const > 0,
m = 1, mk ,
(39)
c не зависит от ?k , ?? = |?k |n?1 для задачи 1, ?? = 1 для задачи 2. Пусть,
кроме того,
kuk kLh? (G) ? ckuk kLhr (G) ?k; c = const > 0.
(40)
0
Фиксируем произвольное p ? [1, ?) .
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (4), (38) (40) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
Теорема 14.
??j?? k?j? (x, f ) ? S ? (x, fj )kLp (K) ?
2
?
c
ln ? 1
1
1
ln ?
?
?
+ kAn?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
, ln??? +
?
? 2 max
? , ?? , ??+1/p?1/s
?
?
?
?
n?2
P
2
?
?
?
kAq k1 ?11/p + m0 max ?1 , ln??? ,
?+
q=0 ?
2
?
ln ? ln ?
1
1
ln ?
c
?
+ kAn?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
, ln??? +
?
? max
? , ?? , ??+1/p?1/s
?
?
?
?
n?2
?
P
2
?
1
1
ln
?
?
kAq k1 ?1 /p + m0 max ? , ??
?
?+
q=0
с постоянной c, не зависящей от ? и ?, m0 = max mk .
21
(41)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (38) (40) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? и любого отрезка K ? G справедливы следующие оценки:
? ?
c
1
ln ?
1
?
?
?
? 2 max
? , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s +
?
?
?
?
2
?
ln ?
1
?
?
+kAn?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
, ln ? , ln ? +
?
ln? ? ?? ?? ln? ?
?
?
?
?
n?2
P
2
?
?
1
ln
?
ln
?
1
q
?
kA k1 ?1 /p + m0 max ? , ?? , ?? ln? ? ,
?+
q=0
?
(42)
?j ?
?
c
1
ln
?
1
ln
?
?
?
? max
? , ?? , ?? ln? ? , ??+1/p?1/s +
?
?
?
?
?
2
?
1
ln ?
ln ?
ln ?
?
+kAn?1 ks max ??+1/p?1/s
, ??+1/p?1/s
+
?
? , ?? , ?
?
ln
?
?
ln? ?
?
?
?
n?2
?
P
2
?
?
+
kAq k1 ?11/p + m0 max ?1 , ln??? , ??lnln?? ?
?
?
Теорема 15.
q=0
с постоянной c, не зависящей от ? и ?.
посвящена получению оценок скорости равносходимости
спектральных разложений для дифференциальных операторов второго и произвольного чјтного порядков на основном интервале. Рассматриваются случаи одномерного оператора, а также оператора, порождјнного дифференциальной операцией с матричными коэффициентами.
Третья глава
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (1) (3) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших чисел ?
справедлива следующая оценка:
0 1
1
ln1/? ? k?? (x, f ) ? S? (x, f )kp ? max ? , ???1/?0 ln? ? , ? ln? ? ?=1+1/?0 + kq?1 k1 +
(43)
1
1
1
ln ?
ln2 ?
+kp1 ks max ? , ??+1/??1/s , ??+1/??1/s ln? ? + m0 max ? , ?? ln? ? ,
Теорема 16.
где m0 = max mk , ? = max(2, p, s0 ) постоянная c > 0 не зависит от ? .
Пусть p ? [1, ?), f ? V (G) и выполняются условия предыдущей Теоремы. Тогда
Следствие 1.
0 1
1
1
ln1/? ? kf ? ?? (x, f )kp = O max ?1/p , ? , ???1/?0 ln? ? , ? ln? ? ?=1+1/?0 +
2
1
ln ?
+kp1 ks max ?1 , ??+1/??1/s
+ m0 max ?1 , ??lnln?? ? .
, ??+1/??1/s
ln? ?
22
kq1 k1
? +
(44)
Пусть для оператора L и функции f (x) выполняются
условия (3), (8) (10) и Условия А. Тогда для всех достаточно больших
чисел ? справедлива следующая оценка:
0 1
1
1
ln1/? ? k?? (x, f ) ? S? (x, f )kp ? max ? , ???1/?0 ln? ? , ? ln? ? ?=1+1/?0 + kp1 ks max ?1/s
0,
1
1
ln ?
ln ?
ln ?
ln1/Q ? ,
,
,
,
,
,
0
0
0
?
??+1/p?1/s ??+1/s ?1/Q ln
? ? ??+1/s ?1/Q ??+1/p?1/s ln? ? ?1/s ln? ? ?=1/Q
2n
P
ln1+1/Q ? 1
ln ? ln2 ? +
kp
k
max
+ ??mln0? ?
,
,
l 1
?1/p ? ? ln? ? ?=1?1/p
? ln? ? ?=1+1/Q?1/s0
Теорема 17.
l=2
с постоянной c, не зависящей ?, m0 = max mk , ? = max(2, p, s ),
Q = min(?0 , s0 ) = min(q, s, s0 ) .
(45)
0
Пусть p ? [1, ?), f ? V (G) и выполняются условия предыдущей Теоремы. Тогда
Следствие 2.
1/?0 1
, ?1 , ???1/?10 ln? ? , ln? ln? ?? ?=1+1/?0 +
kf ? ?? (x, f )kp = O max ?1/p
1
ln ?
1
ln ?
1
,
,
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа