close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Зеркальная симметрия для простых эллиптических особенностей с действием группы

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
УДК 515.179.2
Басалаев Алексей Андреевич
Зеркальная симметрия
для простых эллиптических особенностей
с действием группы
01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел
автореферат диссертации
на соискание ученой степени
кандидата физикоматематических наук
Научный руководитель
доктор физикоматематических наук
С.К. Ландо.
Москва 2016
Работа выполнена на факультете математики Национального исследовательского
университета Высшая школа экономики.
Научный руководитель:
доктор физикоматематических наук, Сергей Константинович Ландо, профессор факультета математики Национального исследовательского университета Высшая школа
экономики.
Официальные оппоненты:
?
доктор физикоматематических наук, Сабир Меджидович ГусейнЗаде, профессор механикоматематического факультета Московского Государственного
университета.
?
доктор физикоматематических наук Леонид Олегович Чехов, ведущий научный сотрудник отдела геометрии и топологии математического института им.
В. А. Стеклова Российской академии наук.
Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск.
Защита диссертация состоится
на засе-
дании диссертационного совета Д 002.077.03 при Институте проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН, расположенном по адресу: 127051, г. Москва, Большой
Каретный переулок, 19, стр. 1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН и на сайте iitp.ru.
Автореферат разослан ѕ
ї
2016 года
Ученый секретарь
диссертационного совета
А. Н. Соболевский
доктор физико-математических наук
1
Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования.
Зеркальная симметрия, идея которой пришла изначально из физики, является в настоящее время большим и интересным разделом математики. Определяемая изначально как соответствие между объектами одного и того же типа, например, между двумя
многообразиями КалабиЯу (см. [15, 4]), в настоящее время зеркальная симметрия
обобщенно формулируется как некоторая связь между объектами, имеющими, вообще
говоря, различное происхождение, и порой определенными различно (см. [23, 10, 21]).
Вне зависимости от выбора формулировки зеркальной симметрии важная роль в ней
отведена теории особенностей. Идеологически, зеркальная симметрия является соответствием между Амоделью и Бмоделью некоторой суперсимметрической квантовой
теории поля. Согласно подходу физиков (см. [4, 24]), Бмодель должна рассматриваться как некоторое семейство над базой
S,
такое, что зеркальная симметрия имеет место
только для некоторых специальных точек
свою фазу
N = 2
s ? S.
Каждая специальная точка задает
суперсимметрической квантовой теории поля. Бмодель в такой
точке должна быть зеркально симметричной некоторой Амодели, причем различным
специальным точкам одной и той же глобальной Бмодели могут соответствовать
различные Амодели. Мы будем следовать подходу КиодоРуана [5], предложивших
математически строгую программу глобальной зеркальной симметрии с Бмоделью,
построенной по некоторой особенности. В таком случая глобальная Бмодель называется Бмоделью ЛандауГинзбурга (см. [22]). В физике могут иметь приложения в
первую очередь те примеры зеркальной симметрии, в которых Амодель задается теорией ГромоваВиттена некоторого многообразия КалабиЯу. Зеркальная симметрия
такого типа называется кратко зеркальной симметрий типа CYLG.
Последние исследования в физике предполагают более общее понимание Бмоделей
ЛандауГинзбурга, учитывающее также их группу симметрий (см. [8]). Такие Бмодели
называются орбифолдовыми. Однако (математическое) определение орбифолдовых
Бмоделей является открытой проблемой.
Степень разработанности темы исследования.
В случае простых эллиптических особенностей зеркальная симметрия типа CYLG
была предъявлена в [20, 16, 17, 13]. Другим типом зеркальной симметрии, изученным в
тех же статьях, является так называемая зеркальная симметрия типа ЛандауГинзбург
ЛандауГинзбург. Для пары
(W, G),
рованную особенность, и группы
G
состоящей из многочлена
W,
задающего изоли-
его симметрий, Амодель ЛандауГинзбурга была
построена в [7]. Амодели такого типа известны в настоящее время под именем теорий
ФанаДжарвисаРуанаВиттена (сокращенно FJRW). В отличие от Бмоделей, которые строятся с помощью теории особенностей, теории FJRW не являются глобальными
и даже их пространство состояний определяется иначе.
2
Работа по построению орбифолдовых Бмоделей велась Р. Кауфманом ([11]) с физической точки зрения и М.Кравитцом ([12]) с математической точки зрения. Однако
же в этих работах сделаны лишь первые шаги по направлению к зеркальной симметрии. Совершенно иной подход, приведший, впрочем, к тем же зеркальным гипотезам,
что были сформулированы Кауфманом с физической точки зрения, был предложен В.
Эбелингом и А. Такахаши в [6].
Цели и задачи диссертационной работы.
Основной целью данной работы является изучение глобальной зеркальной симметрии для орбифолдовых моделей ЛандауГинзбурга.
Научная новизна.
Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации это
(1) Аксиоматизация фробениусова многообразия орбифолдовых А и Бмоделей
ЛандауГинзбурга
(2) Теорема о единственности фробениусова многообразия, удовлетворяющего аксиомам орбифолдовой Бмодели ЛандауГинзбурга пары
(E?8 , Z3 )
(3) Теорема о зеркальной симметрии типа CYLG для пары
(E?8 , Z3 ),
(4) Теорема о зеркальной симметрии типа LGLG для пары
(E?8 , Z3 ).
Теоретическая и практическая значимость.
Предложенная
в
данной
диссертации
аксиоматизация
орбифолдовых
А
и
Б
моделей, подкрепленная доказанными примерами зеркальной симметрии для пары
(E?8 , Z3 ), может быть использована для доказательства гипотезы зеркальной симметрии
в ее полной формулировке. Также полученные результаты могут найти применение в
построении эквивариантной теории плоских структур Саито, не существующей в настоящее время.
Методология и методы исследования.
Для того, чтобы сделать соответствие зеркальной симметрии математически строгим, мы будем рассматривать Амодели и Бмодели в общем классе фробениусовых
многообразий, введенных и детально изученных Б.А. Дубровиным. Мы используем теории модулярных форм и эллиптических кривых, теорию чисел и различные аспекты
алгебраической независимости, а также классическую теорию особенностей.
Степень достоверности и апробация результатов.
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и
семинарах:
?
4th Workshop on Combinatorics of moduli spaces, cluster algebras and topological
recursion, г. Москва, 2631 Мая 2014 г.,
?
Symposium on singularities and their topology, Ганновер, Германия, 1417 Июля
2014 г.,
3
?
Научноисследовательский семинар Geometry and Mathematical Physics, университет Амстердама, Нидерланды, 9 Декабря 2014 г.,
?
Oberwolfach
Workshop
Mirror
Symmetry,
Hodge
Theory
and
Dierential
Equations, Обервольфах, Германия, 1925 Апреля 2015 г.,
?
Научноисследовательский семинар Характеристические классы и теория пересечений, факультет математики НИУ ВШЭ, 20142015 гг..
Публикации.
Материалы диссертации опубликованы в
2
печатных работах, из них
2
статьи в
рецензируемых журналах, входящих в список ВАК.
Личный вклад автора.
Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают
персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта
был определяющим. В частности раздел 2 главы 8 является результатом совместной
работы с проф. А. Такахаши. Все представленные в диссертации основные результаты
получены лично автором.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, обзора литературы,
объем диссертации
наименований на
2
P
страниц, из них
p1
8 глав и библиографии. Общий
страницы текста. Библиография включает
50
страницах.
Краткое содержание работы
Содержание главы 1.
В первой главе формулируются гипотезы зеркальной симметрии, доказательству
частного случая которых посвящена данная диссертация. В ней вводятся основные
понятия и определяются объекты диссертации. В частности, даются определения Фробениусовой структуры, плоской структуры Саито особенности и теории Громова
Виттена. Также, следуя [3], для всякого многочлена
определяем двойственный многочлен
R = {rij }
W
T
W (x1 , . . . , xN ) ? C[x1 , . . . , xN ]
мы
следующим образом. Определим матрицу
равенством
W (x1 , . . . , xN ) =
M
X
i=1
С помощью матрицы
R
ai
N
Y
r
xj ij .
j=1
определим двойственный многочлен
4
WT
следующим образом.
Определение. Квазиоднородный многочлен
соответствующая ему матрица
родный многочлен
R
W
задает обратимую особенность, если
является квадратной и обратимой над
T
W (x1 , . . . , xN ),
N
X
ai
i=1
W
Квазиодно-
определенный равенством
W T (x1 , . . . , xN ) :=
называется двойственным к
Q.
N
Y
r
xj ji ,
j=1
по БерглюндуХубшу.
Мы также будем предполагать, что оба многочлена
особенности в начале координат
0 ? C.
W
и
WT
задают изолированные
Для всякого многочлена
W (x)
рассмотрим
следующие группы его симметрий.
Определение.
?
W := (?1 , . . . , ?N ) ? (C? )N | W (?1 x1 , . . . , ?N xN ) = W (x) .
Максимальная диагональная группа симметрий многочлена
GW
Ее подгруппу
?
Пусть
W (x)
JW := (e
2?iq1
чаться через
SLW ? GW
определим равенством
квазиоднороден с весами
,...,e
2?iqN
).
это группа
SLW = GW ? SLN .
q 1 , . . . , q N ? Q.
Определим оператор
Порожденная им циклическая группа будет обозна-
G0 :
G0 := hJW i.
?
Для всякой подгруппы
G ? GW
определим двойственную к ней группу :
GT := Hom(GW /G, C? ).
Пусть многочлен
W
задает обратимую особенность с некоторой группой симметрий
G, т.ч. G0 ? G. Предположим также, что многочлен W удовлетворяет условию Калаби
P
Яу:
qi = 1. Рассмотрим теорию ГромоваВиттена орбифолда XW,G :
.
XW,G := x ? CN | W (x) = 0
(G/G0 ) .
Гипотеза 0.1 (зеркальная симметрия типа CYLG). Для всякого обратимого много-
члена
W
с группой симметрий
усовых многообразий для пары
G ? SLW
(W, G),
существует семейство структур фробени-
фиксируемое примитивной формой
ствует также выбор примитивной формы
??
?G .
Суще-
в специальной точке, такой, что по-
тенциал соответствующей Фробениусовой структуры совпадает с точностью до линейной замены переменных с фробениусовым потенциалом теории ГромоваВиттена
орбифолда
XW T ,GT .
Выбор примитивной формы, устанавливающий приведенную выше зеркальную симметрию, называется примитивной формой в LCSL.
5
Гипотеза 0.2 (зеркальная симметрия типа LGLG). Для всякого обратимого много-
члена
W
G ? SLW
с группой симметрий
(W, G),
усовых многообразий для пары
существует семейство структур фробени-
фиксируемое примитивной формой
ствует также фробениусова структура для пары
формы
??
(W T , GT )
?G .
Суще-
и выбор примитивной
в специальной точке, такой, что потенциал соответствующей фробе-
ниусовой структуры совпадает с точностью до линейной замены переменных с фро-
(W T , GT ).
бениусовым потенциалом пары
Гипотеза 0.3 (соответствие CY/LG). Существует действие группы на пространстве
всех фробениусовых структур, такое, что для некоторого элемента этой группы
R
имеет место равенство:
A
GW
R? · FW
,
T ,GT = FX
W T ,GT
где
R?
обозначает действие элемента
R
на потенциале фробениусовой структуры.
Содержание главы 2.
Данная глава посвящена фробениусовым многообразиям и зеркальной симметрии с
тривиальной группой
G = {id}
мы рассматриваем особенности
для простых эллиптических особенностей. В частности
E?6 , E?7 , E?8 ,
заданные многочленами
E?6 : W? (x) = x31 + x32 + x33 + ?x1 x2 x3 ,
E?7 : W? (x) = x41 + x42 + x23 + ?x21 x22 ,
(1)
E?8 : W? (x) = x61 + x32 + x23 + ?x41 x2 .
где
??C
комплексный параметр. Примитивная форма
?
таких особенностей имеет
следующий простой вид ([19]):
? = ?(?) =
где
d3 x
,
?A (?)
?A (?) решение уравнения ПикараФукса, задаваемого семейством эллиптических
кривых
{W? (x) = 0}.
решения
?A
Такое решение не единственно и, соответственно, разный выбор
дает разные примитивные формы, задающие априори разные фробениу-
совы структуры для одной фиксированной особенности
W? (x).
Несколько разделов второй главы посвящены именно вопросу выбора примитивной
формы простой эллиптической особенности и фробениусовым структурам, которые по
ним строятся.
Для таких пар
(W? , {id})
гипотезы зеркальной симметрии были доказаны в работах
СатакеТакахаши, ТакахашиШираиши, МилановРуан и МилановШень ([20, 20, 16,
17]).
Теорема 0.1 (Теорема 3.6 в [20], Теорема 6.6 в [16] и Теорема 1.5 в [17]). Для простой
эллиптической особенности
E?N
имеют место следующие изоморфизмы:
ME?6 ?
,
= MPGW
1
3,3,3
ME?7 ?
,
= MPGW
1
4,4,2
6
ME?8 ?
,
= MPGW
1
6,3,2
которые доказывают зеркальную симметрию CYLG. Зеркальная симметрия LGLG
устанавливается следующим изоморфизмом:
ME?N ?
= ME?FJRW
N ,Gmax
N = 6, 7, 8,
где FJRW обозначает теорию ФанаДжарвисаРуанаВиттена.
Данная теорема утверждает также существование подходящей примитивной формы
для всех приведенных выше изоморфизмов. В частности для особенности
E?8
такая
примитивная форма имеет вид
?LCSL
d3 x
,
=
?? (?)
где
?? =
2 F1
1 7
4 3
, ; 1; 1 + ? .
12 12
27
Содержание главы 3.
Отдельная глава посвящена теории ГромоваВиттена так называемых эллиптических орбифолдов. Это четыре орбифолда
P12,2,2,2 , P13,3,3 , P14,4,2 , P16,3,2 ,
получаемые фак-
торизацией эллиптической кривой по действию конечных групп порядков
2,3,4,6
соот-
ветственно. Сатаке и Такахаши обнаружили в [20], что фробениусов потенциал орбифолда
P12,2,2,2
имеет следующий явный вид (при определенном выборе базиса в кольце
когомологий):
P1
F0 2,2,2,2 (t?1 , t0 , t1 , t2 , t3 , t4 ) =
4
t0 X 2
1
t20 t?1
+
(ti ) ? (t21 t23 + t22 t24 ) X3? (t?1 )
2
4 i=1
16
4
? (t21 t24 + t22 t23 )
где
1 ?
1
1 X 4 ?
X4 (t?1 ) ? (t23 t24 + t21 t22 ) X2? (t?1 ) ?
(ti ) ? (t?1 ),
16
16
64 i=1
?
log ?k ,
Xk? (? ) логарифмические производные тетаконстант Якоби: Xk? (? ) := 2 ??
для
2 ? k ? 4.
Важным свойством этих функций является то, что они являются реше-
нием системы уравнений Альфана:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Сатаке
и
Такахаши
{X2 (? ), X3 (? ), X4 (? )},
ляя
Xk (? )
d
(X ? (? ) + X3? (? )) = 2X2? (? )X3? (? ),
d? 2
d
(X ? (? ) + X4? (? )) = 2X3? (? )X4? (? ),
d? 3
d
(X ? (? ) + X2? (? )) = 2X4? (? )X2? (? ).
d? 4
заметили,
также
что
для
являющейся
всякой
решением
?
вместо Xk (? ) в выражении для потенциала
другой
тройки
функций
системы
Альфана, подставP12,2,2,2
F0
, мы получаем новые
фробениусовы структуры. Мы используем в дальнейшем этот факт для построения
семейства фробениусовых многообразий пары
7
(E?8 , Z3 ).
В дальнейшем нам будет важен фробениусов потенциал теории ГромоваВиттена
P16,3,2 . Однако этот фробениусов потенциал еще не вычислен явно. С помощью некоторых утверждений о квазимодулярности коэффициентов этого фробениусова потенциала (обнаруженных в [18]) и некоторой теоремы единственности ([9]) в главе 3 приводятся первые члены ряда Фурье фробениусова потенциала теории ГромоваВиттена
P16,3,2 .
Содержание главы 4.
Напомним, что частью гипотез о зеркальной симметрии были также предположения
о существовании определенных фробениусовых структур, ассоциированных с парой
(W, G)
и
(W T , GT ).
В данной главе мы предлагаем аксиоматическое определение этих
фробениусовых структур. Будем предполагать, что многочлен
g ? G ? GW
особенность. Для всякого
x
=
x} и натуральное число
ограничение многочлена
W
Ng
определим множество
равенством
?g
а через
также
?
g ? G
задает обратимую
Fix(g) := {x ? CN | g ·
Ng := dim Fix(g).
Обозначим через
на подпространство неподвижных точек элемента
обозначим через
LWg
g ? G:
резидуальное спаривание особенности
локальную алгебру особенности
Wg ,
ограниченное на
некоторая примитивная форма Саито особенности
мы определяем фробениусово многообразие
M(W,G),?
W
и
G
(LWg )
G ? SLW .
Wg ,
. Пусть
В главе 4
аксиоматически.
Определение. Фробениусовым многообразием Бмодели ЛандауГинзбурга
согласованным с примитивной формой
Wg
Wg : CNg ? C.
Wg := W |Fix(g) ,
Также для всякого
W
(W, G),
? , называется фробениусово многообразие, удо-
влетворяющее следующим аксиомам.
?
Для
G = {id}
выполнено:
M(W,G),? = M(W,{id}),? ?
= MW,? .
?
Пространство состояний:
T M(W,G),? |t=0 ?
= H :=
M
(LWg )G .
g?G
?
Спаривание фробениусовой структуры
?H
M(W,G),?
совпадает в плоских координа-
H.
?
G
? ? (u, v), для u ? (L )G , v ? (L
Wg?1 ) ,
g
Wg
u, v ? H ? ? H (u, v) =
? 0 во всех остальных случаях.
тах со спариванием
?
Ограничение
M(W,G),?
на
на
(LW )G
изоморфно
совой структуры Саито особенности
Gинвариантной
W:
G
?
= (MW,? ) .
M(W,G),? |LG
W
8
части фробениу-
?
Существует понятие замены примитивной формы для
M(W,G),? ,
совано с заменой примитивной формы Саито в ограничении на
которое согла-
(LW )G
.
?
Существует понятие специальной точки в пространстве примитивных форм.
?
Пусть
G
F(t) потенциал фробениусовой структуры. Пусть e единица группы
и элементы
gi ? G
выполнено:
для всех
1?i?k
таковы, что
g1 · · · · · gk 6= e ? G.
Тогда
?kF
|t=0 = 0 ?i1 , . . . , ik .
?tg1 ,i1 . . . ?tgk ,ik
Ввиду того, что в приведенную выше систему аксиом входит также примитивная
форма самой особенности
всякой пары
W,
мы имеем семейство фробениусовых многообразий для
(W, G). Однако из данной аксиоматизации не следует, что при всякой фик-
сированной примитивной форме
Определение. Пусть группа
?
фробениусово многообразие
M(W,G),?
единственно.
G такова, что G0 ? G ? GW . Фробениусовым
зием орбифолдовой Амодели ЛандауГинзбурга пары
многообра-
(W, G) называется фробениусово
A
многообразие MW,G , удовлетворяющее следующим аксиомам:
?
Для всякого
h?G
Hh := ?Nh (CNh )/(dWh ? ?Nh ?1 ),
!G
M
|t=0 ?
Hh
.
= HW,G :=
положим
A
T MW,G
тогда
h?G
?
Потенциал
F(t)
фробениусовой структуры
A
MW,G
имеет разложение в ряд с
рациональными коэффициентами.
?
Фробениусово многообразие
ГромоваВиттена
XW
A
MW,G
связано с фробениусовой структурой теории
некоторым действием на пространстве всех фробениусо-
вых многообразий, соответствующим замене примитивной формы для
G = GW .
В дальнейших главах мы демонстрируем состоятельность данной аксиоматики, доказывая с ее помощью все гипотезы о зеркальной симметрии для пары
(E?8 , Z3 ).
Содержание главы 5.
Глава 5 полностью посвящена доказательству гипотезы зеркальной симметрии типа
CYLG для пары
z 2 + ?x4 y
(E?8 , Z3 ). В частности мы рассматриваем многочлен W? (x) = x6 +y 3 +
с действием циклической группы
G = hhi,
где для
? 3 = 1, ? 6= 1,
мы полагаем
h : (x, y, z) ? (?x, ? 2 y, z).
Первая теорема данной диссертации о зеркальной симметрии утверждает:
Теорема. Пусть
?LCSL
примитивная форма особенности
о зеркальной симметрии с
бифолдовой Бмодели
G = {id}).
(E?8 , Z3 )
E?8
в LCSL (см. теорему
Тогда потенциал фробениусова многообразия ор-
с примитивной формой, согласованной с
9
?LCSL ,
имеет
вид:
F
Z3
t21,2
t21,1
+
12
4
!
1 4
t f1 (t1,3 )
36 1,1
1
1
1
1
+ t21,1 t21,2 f2 (t1,3 ) + t1,1 t31,2 f0 (t1,3 ) + t41,2
f1 (t1,3 ) + f2 (t1,3 )
18
9
12
18
2 2
2
2
2
2 2
+ th th2
t f2 (t1,3 ) + 2t1,2 f1 (t1,3 ) ? t1,1 t1,2 f0 (t1,3 ) + th th2
f2 (t1,3 ) + 2f1 (t1,3 )
9 1,1
3
3
1
= t21,0 t1,3 + t1,0
2
+ t1,0 th th2 +
+ (t3h + t3h2 ) (t1,1 f0 (t1,3 ) + t1,2 (3f1 (t1,3 ) ? f2 (t1,3 ))) ,
где функции
f0 ,f1 ,f2 заданы явно:
?
?
?
f0 (? ) := 81 X3? (? ) ? 18 X4? (? ),
?
?
1
1
X2? (? ) ? 48
X3? (? ) ?
f1 (? ) := ? 12
?
?
?
? f (? ) := ? 3 X ? (? ) ? 3 X ? (? ).
2
16
3
16
1
?
48 X4 (? ),
4
Из этой теоремы вытекает теорема о зеркальной симметрии типа CYLG.
Теорема. Фробениусово многообразие Бмодели ЛандауГинзбурга пары
(E?8 , Z3 )
морфно фробениусову многообразию теории ГромоваВиттена орбифолда
изо-
P12,2,2,2 .
Доказательство основано на аксиомах Бмодели ЛандауГинзбурга пары
(E?8 , Z3 ),
предложенных в предыдущей главе, явных вычислениях части фробениусова потенциала теории ГромоваВиттена орбифолда
P16,3,2
и анализе некоторых дифференциальных
уравнений.
Напомним, что гипотезы зеркальной симметрии предполагают наличие семейства
фробениусовых структур для пары
(E?8 , Z3 ).
Приведенная выше теорема идентифици-
рует всего лишь одну фробениусову структуру (которую мы обозначаем аббревиатурой
LCSL) из этого семейства. Для того, чтобы построить все семейство, мы используем
некоторое техническое утверждение, которое анализируется в следующей главе.
Содержание главы 6.
Б.А. Дубровин определил структуру фробениусова многообразия на пространстве
разветвленных накрытий сферы. Такие фробениусовы многообразия носят в настоящее
время название гурвиц-фробениусовых многообразий. В данной главе доказывается
следующая теорема, опубликованная автором в [1].
Пусть
z
координата на эллиптической кривой
Рассмотрим пространство функций
E2?1 ,2?2 , имеющей периоды 2?1 , 2?2 .
H1,(2,2,2,2) := {? : E2?1 ,2?2 ? P1 },
имеющих следу-
ющий общий вид.
4 X
1 ?0 (z ? ai ; 2?1 , 2?2 )
si + c,
?(z) :=
?(z ? ai ; 2?1 , 2?2 )ui +
2 ?(z ? ai ; 2?1 , 2?2 )
i=1
10
?1 , ?2 , ai , ui , si , c параметры отображения ?. Рассмотрим также подпространство
R
H1,(2,2,2,2) ? H1,(2,2,2,2) состоящее из таких ?, что:
где
a1 = 0,
a2 = ?1 + ?2 ,
a3 = ?1 ,
a4 = ?2 ,
s1 = s2 = s3 = s4 = 0.
Теорема (Теорема 1 в [1]). Пространство
R
H1,(2,2,2,2)
имеет структуру фробениусова
многообразия, изоморфную фробениусовой структуре теории ГромоваВиттена ор-
P12,2,2,2 .
бифолда
Доказательство теоремы техническое.
Содержание главы 7.
В этой главе мы возвращаемся к вопросу построения семейства фробениусовых
структур для пары
(E?8 , Z3 ).
Заметим, однако, что использованные методы могут быть
также применены для более общих случаев
(W? , G),
где
W?
задает простую эллипти-
ческую особенность.
G = {id}
Напомним, что при
семейство фробениусовых структур было построено
К.Саито в помощью т.н. примитивных форм. По настоящий момент теория примитивных форм для орбифолдовых моделей ЛандауГинзбурга еще не построена. Ввиду
этого в главе 7 мы предлагаем рассмотреть эффект от изменения примитивной формы
только в классе фробениусовых многообразий. С помощью зеркальной симметрии типа
CYLG, доказанной в теореме , мы имеем в явном виде фробениусов потенциал одного представителя всего семейства пары
действие
(?0 ,?0 )
A
(где
?0 ? H, ?0 ? C
?
(E?8 , Z3 ).
В главе 7 мы предлагаем некоторое
параметры) на пространстве фробениусовых
структуры, эквивалентное замене примитивной формы при
Напомним также, что фробениусова структура пары
G = {id}.
(E?8 , Z3 ), задающая зеркальную
симметрию типа LGLG, в соответствии с гипотезой зеркальной симметрии, должна
быть согласована с примитивной формой в специальной точке. Такое понятие также
не определено для орбифолдовых моделей ЛандауГинзбурга. Аналогично зеркальной
симметрии с тривиальной группой симметрии мы предлагаем называть специальными
те точки, для которых
?
?0 ? Q ?D
для некоторого
(W, {id})
?
замена примитивной формы
?
D ? N+ .
(W, G)
действие
?
? ?0 ? Q ?D,
специальная точка
A(?0 ,?0 )
D ? Z+ .
В следующих разделах мы мотивируем использование действия
A(?0 ,?0 )
для замены
примитивной формы.
Для простой эллиптической особенности
кривых
E? := {x ? C3 | W? (x) = 0}.
W?
рассмотрим семейство эллиптических
Поскольку примитивная форма
?
простой эллип-
тической особенности фиксируется выбором решения уравнения ПикараФукса кривой
11
E?
для всякого
?,
для классификации всех примитивных форм необходимо и доста-
точно классифицировать все решения
Заметим, что все решения
?A
?A
соответствующего уравнения ПикараФукса.
могут быть представлены в виде
Z
?A (?) :=
resE?
A?
для некоторого фиксированного класса
?? ,
dx1 ? dx2 ? dx3
dW?
A? ? H1 (E? ).
Фиксируем одно такое решение
тогда все остальные решения могут быть получены действием группы
пространстве гомологий кривой
E? .
GL(2, C)
на
В главе 7 мы продолжаем это действие до дей-
H1;(2,2,2,2) и теории ГромоваВиттена орбифолда
1
P2,2,2,2 . В первом случае действие возникает канонически из определения простран-
ствия на фробениусовых структурах
ства РиманаГурвица. Теорема об изоморфизме фробениусовых структур из главы 6
продолжает это действие на теорию ГромоваВиттена орбифолда
P12,2,2,2 .
Идея такого
действия была разработана автором в совместной работе с А.Такахаши [2]. Получаемое действие эквивалентно следующему действию на пространстве решений системы
Альфана:
XkA (t)
det(A)
:=
Xk
(ct + d)2
at + b
ct + d
c
?
,
ct + d
A=
!
a
b
c
d
? GL(2, C).
Однако для действия на пространстве решений уравнения ПикараФукса достаточно
ограничиться матрицами вида
??0
? 4??0 Im(?0 )
:= ?
1
4??0 Im(?0 )
?
A(?0 ,?0 )
?0 ?0
?0
?
?
?
?0 ? H, ?0 ? C? .
В результате мы получаем семейство шестимерных фробениусовых структур
действием
A(?0 ,?0 )
(?0 ,?0 )
M6
на фробениусовой структуре теории ГромоваВиттена орбифолда
P16,3,2 . Будем обозначать через
(? ,? )
?
ствием A 0 0 на тройке Xk .
(?0 ,?0 )
Xk
соответствующие функции, полученные дей-
Содержание главы 8.
Следующая теорема доказывает гипотезу зеркальной симметрии типа LGLG и гипотезу о соответствии CY/LG для пары
(E?8T , ZT3 ).
Теорема 0.2. Фробениусово многообразие орбифолдовой Амодели ЛандауГинзбурга
пары
(E?8T , ZT3 )
изоморфно фробениусову многообразию
?0 :=
?
?
( ?1,?0 )
M6
, где
1 2
4
3
4? 2
.
Глава 8 посвящена ее доказательству. Заметим, что ввиду результатов главы 7 для
доказательства данной теоремы необходимо рассмотреть орбиту фробениусова многообразия теории ГромоваВиттена орбифолда
12
P16,3,2
под действием
A(?0 ,?0 )
для всех
?0 ? H, ?0 ? C?.
Поскольку одной из аксиом орбифолдовой Амодели Ландау
Гинзбурга является условии определенности фробениусова потенциала над
главе рассматриваются условия на
делен над
Q, в данной
(?0 ,?0 )
?0 ,?0 , гарантирующие, что потенциал M6
опре-
Q.
Из явного вида системы Альфана следует, что потенциал
(?0 ,?0 )
тогда и только тогда, когда Xk
(? )
? Q[[? ]]
определен над
2 ? k ? 4,
что, в свою
(?0 ,?0 )
очередь, имеет место тогда и только тогда, когда значения в нуле Xk
(0) ? Q для
Q
всех
для всех
(?0 ,?0 )
M6
2 ? k ? 4.
Заметим, что для всякой тройки
(?0 ,?0 )
решением системы Альфана, функция
(?0 ,?0 )
(? ,? )
(? ), X4 0 0 (? )}, являющейся
P
(? ,? )
4
? (?0 ,?0 ) (? ) := 23 k=2 Xk 0 0 (? ) является реше-
{X2
(? ), X3
нием уравнения Шази:
? 000 = 6?? 00 ? 9(? 0 )2 .
Классификация решений уравнения Шази вида
? (?0 ,?0 ) ,
имеющих разложение над
?
Q, была получена автором вместе с А. Такахаши в [2]. Заметим, что ? ?1E2 (? ) =
P4
2 k=2 Xk? (? ). С помощью данного равенства проблема классификации таких ? (?0 ,?0 )
имеет следующее решение:
Теорема
0.3.
Фиксируем
?0
? H
и
? C\{0}.
?0
Следующие
утверждения
эквивалентны:
(i) Функция
? (?0 ,?0 ) (t)
?
(ii) Выполнено: E2 (?0 )
?
(iii) Выполнено: E2 (?0 )
здесь
E2 ,E4 ,E6
имеет разложение в ряд над
?
?
Q;
Q?02 , E4 (?0 ) ? Q?04 , E6 (?0 ) ? Q?06 ;
Q?02 и эллиптическая кривая E?0 определена над
ряды Эйзенштейна, а
Q;
E2? (? ) := E2 (? ) ? 3/(?Im(? )).
Данная теорема позволяет применить технику и методы теории чисел для доказательства гипотезы зеркальной симметрии. В частности, вопрос описания всех
таких, что выполнено условие
?0 ? H,
(ii) приведенной выше теоремы, является открытой про-
блемой. Также заметим, что согласно главе 7 для доказательства зеркальной симметрии
типа LGLG достаточно ограничиться
?0 ?
лентно тому, что на эллиптической кривой
?
?DQ
E?0
для
D ? N+ .
Это условие эквива-
имеется так называемое комплексное
умножение. С точностью до изоморфизма существует ровно 13 эллиптических кривых,
имеющих комплексное умножение и определенных над
Q
(см. [14]).
Таким образом для классификации шестимерных фробениусовых структур
определенных над
Q,
достаточно рассмотреть лишь 13 значений
?
?0 ? SL(2, Z) ?1 существует ненулевое
(? ,? )
(? ,? )
(? ,? )
X2 0 0 , X3 0 0 , X4 0 0 рациональны.
вается, что только для
что все три числа
Заметим, что полученное число
дулем
?
?1.
?0
?0 .
(?0 ,?0 )
M6
,
В главе 8 доказы-
число
? 0 ? C? ,
такое,
является периодом эллиптической кривой с мо-
Такой период определен с точностью до множителя, однако в теореме о
зеркальной симметрии типа LGLG данное число строго фиксировано.
13
Список публикаций по теме диссертации из списка ВАК
1. A. Basalaev. Orbifold GW theory as the HurwitzFrobenius submanifold . J. Geom.
Phys., 77, (2014), pp. 3042; 1,5 п.л..
2. A. Basalaev, A. Takahashi. On rational Frobenius Manifolds of rank three with
symmetries . J. Geom. Phys., 84, (2014), pp. 7386; 1,5 п.л. (вклад автора 1,3
п.л.).
Список литературы
[1] A. Basalaev. Orbifold GW theory as the HurwitzFrobenius submanifold. J. Geom. Phys., 77, 2014,
pp. 3042.
[2] A. Basalaev, A. Takahashi. On rational Frobenius Manifolds of rank three with symmetries. J. Geom.
Phys., 84, 2014, pp. 7386.
[3] P. Berglund, M. Henningson. LandauGinzburg orbifolds, mirror symmetry and the elliptic genus. Nucl.
Phys. B, 433, 1995, pp. 311332.
[4] P. Candelas, X. De La Ossa, P. Green, L. Parkes. A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble
superconformal theory. Nucl. Phys. B, 359, 1991, pp. 2174.
[5] A. Chiodo, Y. Ruan. A global mirror symmetry framework for the Landau-Ginzburg/Calabi-Yau
correspondence. preprint arXiv: 1307.0939, 2013.
[6] W. Ebeling, A. Takahashi. Mirror Symmetry between Orbifold Curves and Cusp Singularities with
Group Action. Int. Math. Res. Not., 2013(10), 2013, pp. 22402270.
[7] H. Fan, T. Jarvis, Y. Ruan. The Witten equation, mirror symmetry, and quantum singularity theory.
Ann. Math., 178(1), 2013, pp. 1106.
[8] K. Intriligator, C. Vafa. LandauGinzburg orbifolds. Nucl. Phys. B, 339(1), 1990, pp. 95120.
[9] Y. Ishibashi, Y. Shiraishi, A. Takahashi. A Uniqueness Theorem for Frobenius Manifolds and Gromov
Witten Theory for Orbifold Projective Lines. preprint arXiv:1209.4870, 2012.
[10] L. Katzarkov, M. Kontsevich, T. Pantev. Hodge theoretic aspects of mirror symmetry. Proc. Symp.
Pure Math., 78, 2008, pp. 87174.
[11] R. Kaufmann. Singularities with Symmetries, orbifold Frobenius algebras and Mirror Symmetry.
Contemp. Math., 403, 2006, pp. 146.
[12] M. Krawitz. FJRW rings and Landau-Ginzburg Mirror Symmetry. preprint arXiv:0906.0796, 2009.
[13] M. Krawitz, Y. Shen. LandauGinzburg/CalabiYau Correspondence of all Genera for Elliptic Orbifold
P1 . preprint arXiv:1106.6270, 2011.
[14] D. Lawden. Elliptic Functions and Applications. Appl. Math. Sci., Springer, 1989.
[15] W. Lerche, C. Vafa, N. P. Warner. Chiral rings in N = 2 superconformal theories. Nucl. Phys. B, 324(2),
1989, pp. 427474.
[16] T. Milanov, Y. Ruan. GromovWitten theory of elliptic orbifold P1 and quasi-modular forms. preprint
arXiv:1106.2321, 2011.
[17] T. Milanov, Y. Shen. Global mirror symmetry for invertible simple elliptic singularities. preprint
arXiv:1210.6862, 2012.
[18] T. Milanov, Y. Shen. The modular group for the total ancestor potential of Fermat simple elliptic
singularities. preprint arXiv:1401.2725, 2014.
[19] K. Saito. Period mapping associated to a primitive form. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 19, 1983, pp.
12311264.
[20] Ikuo Satake, A. Takahashi. GromovWitten invariants for mirror orbifolds of simple elliptic singularities.
Ann. Inst. Fourier, 61, 2011, pp. 28852907.
14
[21] A. Strominger. Mirror symmetry is Tduality. Nucl. Phys. B, 479(1-2), 1996, pp. 243259.
[22] A. Varchenko, B. Blok. Topological Conformal Field Theories and the Flat Coordinates. Mod. Phys.
Lett. A, 7(07), 1992, pp. 14671490.
[23] E. Witten. Mirror Manifolds And Topological Field Theory. preprint arXiv:hep-th/9112056, 1991.
[24] E. Witten. Phases of N = 2 theories in two dimensions. Nucl. Phys. B, 403(1-2), 1993, pp. 159222.
15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
320 Кб
Теги
особенности, эллиптическая, группы, простые, зеркальная, действие, симметрия
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа