close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование обратных задач восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
ДЕРЕВЯНЧУК Екатерина Дмитриевна
Исследование обратных задач восстановления
электромагнитных параметров многосекционной
диафрагмы в прямоугольном волноводе
по коэффициентам прохождения или отражения
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Пенза 2016
Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский
государственный университет».
Научный руководитель –
Смирнов Юрий Геннадьевич,
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
«Математика и суперкомпьютерное моделирование» ФГБОУ ВПО
«Пензенский государственный университет»
Официальные оппоненты: Голованов Олег Александрович,
доктор физико-математических наук,
профессор, Пензенский артиллерийский инженерный институт,
заведующий
кафедрой
общепрофессиональных
дисциплин;
Ильинский Анатолий Серафимович, доктор физико-математических
наук, профессор кафедры «Математическая физика», ФГБОУ ВПО
«Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова»,
заведующий лабораторией вычислительной электродинамики факультета
вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова;
Ведущая организация –
ФГАОУ ВО «Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королева (национальный исследовательский университет)»
Защита диссертации состоится 22 апреля 2016 г. в 13-00 на заседании
диссертационного совета Д 212.131.03 Московского технологического
университета (МИРЭА), г. Москва, пр-т Вернадского, 78, ауд. Г 412.
С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке
МИРЭА и на сайте http://www.mirea.ru.
Автореферат разослан «
Ученый секретарь
диссертационного совета,
д.т.н., профессор
» ............
2016. г.
Тягунов Олег Аркадьевич
Общая характеристика работы
Диссертация посвящена задачам восстановления электромагнитных
параметров образца материала, помещенного в прямоугольный волновод.
Для определения свойств материала используют различные линии
передачи электромагнитных волн. В диссертационной работе в качестве
линии передачи выбран наиболее распространенный прямоугольный волновод, который представляет собой полый металлический цилиндр с прямоугольным поперечным сечением. Предполагается, что волновод бесконечен и работает в одномодовом режиме, т.е в волноводе распространяется только одна волна H10 , остальные волны (моды) будут экспоненциально затухающими. В волноводе расположена диафрагма, представляющая собой параллелепипед, поперечное сечение которого совпадает
с сечением самого волновода. Задача восстановления электромагнитных
параметров образца, помещенного в прямоугольный волновод, заключается в том, чтобы по известным коэффициентам отражения или коэффициентам прохождения, измеренным на различных частотах, определить
диэлектрическую (магнитную) проницаемость образца. Измерения коэффициентов отражения и прохождения на практике осуществляются с
помощью использования измерительной системы.
Актуальность работы
С развитием современных технологий и электроники стала актуальной задача определения электромагнитных параметров (анизотропных)
образцов нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур c различной геометрией 1 . В силу композитного характера материала и неоднородности образца прямое определение его электромагнитных характеристик затруднительно с помощью экспериментальных установок.
Однако возможно использовать методы математического моделирования для определения характеристик образца материала, например,
предложенный А. Н. Тихоновым метод регуляризации решения соответствующей обратной задачи 2 . Аналогичные задачи изучались А. Н. Тихоновым, А. В. Тихонравовым, А. Г. Свешниковым, А. С. Ильинским, Д.
А. Усановым и другими учеными 3 . Вместе с тем практически не исследованы вопросы разрешимости, единственности решения обратной задачи,
реализации и обоснования численных методов для ее решения, особенно
1
Усанов Д. А., Скрипаль А. В., Романов А. В. Комплексная диэлектрическая проницаемость композитов на основе диэлектрических матриц и входящих в их состав углеродных нанотрубок // ЖТФ. – 2011. – T. 81, вып. 1. – С. 106–110; Baena J. D., Marques J., Medina F.
Near-perfect tunneling and amplification of evanescent electromagnetic waves in a waveguide filled by
a metamaterial: Theory and experiment // Physical Review B. – 2005. – Vol. 72, – P. 075116-1–8;
Smirnov Yu. G. Inverse boundary value problem for determination of permittivity of a dielectric body in
a waveguide using the method of volume singular integral equation // IEEJ. Transactions Fundamentals
and Materials. – 2009. – Vol. 129, N. 10. – P. 675–680.
2
Гласко В. Б., Тихонов А. Н., Тихонравов А. В. О синтезе многослойных покрытий //
Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1974. – Т. 14. –№ 1. – С. 135–144.
3
Свешников А. Г., Тихонравов А. В. Математические методы в задачах анализа и синтеза
слоистых сред // Матем. моделирование. – 1989. – Т. 1. –№ 7. – С. 13–38.
3
в анизотропном случае. Поэтому для решения данной задачи необходимо
развивать методы математического моделирования, позволяющие определять искомые характеристики, используя результаты измерений.
Цели диссертационной работы
1. Исследование обратных задач восстановления электромагнитных
характеристик многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициентам отражения или прохождения.
2. Разработка численных и аналитических методов решения обратных задач восстановления электромагнитных характеристик многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициентам отражения или прохождения; исследование разрешимости
поставленных задач.
3. Разработка комплекса программ, реализующих численные методы восстановления электромагнитных характеристик многосекционной
диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициентам
отражения или прохождения.
Методы исследования
Проведенные исследования опираются на методы решения краевых
задач для уравнений Максвелла, методы теории функций комплексных
переменных, численные методы исследования систем нелинейных уравнений.
Научная новизна
1. Рассмотрены обратные задачи восстановления электромагнитных
характеристик многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод как обратные задачи электродинамики и впервые исследованы строгими математическими методами.
2. Доказаны теоремы существования и единственности решения обратных задач восстановления электромагнитных характеристик многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод.
3. Исследованы аналитические решения в ряде частных случаев обратных задач.
4. Предложены и разработаны численные методы для решения обратных задач, реализованные в виде комплекса программ.
Основные результаты диссертации
1. Проведено исследование обратных задач восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном
волноводе: получены аналитические формулы решения ряда обратных
задач для изотропной и анизотропной односекционной диафрагм, а также аналитические формулы для приближенного решения обратных задач для тонкой односекционной диафрагмы; доказаны теоремы суще4
ствования и единственности решения ряда обратных задач в случае односекционной изотропной и анизотропной диафрагм, а также доказаны теоремы существования и единственности решения обратных задач в
случае изотропной многосекционной диафрагмы.
2. Предложены и обоснованы численные методы решения поставленных обратных задач. Отдельным результатом диссертации является
предложенный метод поворота, с помощью которого были решены обратные задачи восстановления электромагнитных параметров односекционной анизотропной диафрагмы.
3. Предложенные численные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ и тестированы на модельных задачах. В работе выполнено
сравнение решений модельных задач с решением задач, в которых использовались экспериментальные данные.
Теоретическая и практическая значимость
С теоретической точки зрения разработаны методы решения обратных задач восстановления электромагнитных характеристик (диэлектрической или магнитной проницаемости) многосекционной диафрагмы,
помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициентам прохождения или отражения.
Предложенные в рассматриваемой работе методы могут быть использованы для практического нахождения диэлектрической (магнитной) проницаемости материала.
Метод эффективен и позволяет находить диэлектрическую и магнитную проницаемость.
Обоснованность и достоверность результатов
Представленные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование; численный метод обоснован и тестирован на модельных задачах; проведено сравнение с экспериментом.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на конференциях
и семинарах:
− международном семинаре «Workshop on Large-Scale Modeling» (г.
Сунна, Швеция, 2012);
− международных симпозиумах «Progress in Electromagnetic Research
Symposium» (PIERS ) (г. Москва, Россия, 2009; г. Москва, Россия,
2012; г. Тайбей, Тайвань, март 2013; г. Стокгольм, Швеция, август
2013; г. Гуанчжоу, Китай, август 2014);
− международных конференциях «Days on Diffraction» (г. СанктПетербург, Россия, май 2013, май 2014 и май 2015);
− международной конференции «Donosita International Conference on
Nanoscaled Magnetism and Applications» (г. Сан-Себастьян, Испания,
сентябрь 2013);
5
− международном семинаре «16th Seminar Computer Modeling in
Microwave Power Engineering: Multiphysics Models and Material
Properties» (г. Карлсруэ, Германия, май 2014);
− 57-й научной конференции МФТИ (г. Долгопрудный, Россия, ноябрь
2014).
Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты грантов
РНФ № 14-11-00344, Госзадания РФ № 2.11.02.2014/K (проектная часть),
программы Visby (2011–2013, Швеция). Работы автора по теме диссертации поддержаны стипендией Президента РФ для молодых ученых и
аспирантов № СП-1311.2015.5.
Личный вклад автора
Постановка задачи принадлежит профессору, доктору физикоматематических наук Смирнову Ю. Г.
Экспериментальные данные, с которыми проводилось сравнение
численных результатов, были предоставлены профессором, доктором
физико-математических наук Шестопаловым Ю. В.
Результаты, изложенные в главах 1-3, получены автором самостоятельно:
– исследование задачи восстановления диэлектрической проницаемости многосекционной диафрагмы по коэффициенту прохождения (или
по коэффициенту отражения);
– формулировка и доказательство теоремы о существовании решения
обратной задачи, записанного в явном виде, в случае односекционной
диафрагмы;
– исследование задачи восстановления диэлектрической проницаемости тонкой многосекционной диафрагмы по коэффициенту прохождения;
– приближенные формулы решения обратной задачи восстановления
диэлектрической проницаемости в случае тонкой односекционной диафрагмы.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, в том
числе 12 – в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных
ВАК РФ.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений и
списка литературы, содержащего 88 наименований. Полный объем диссертации составляет 130 страниц текста, включая 12 рисунков и 21 таблицу.
6
Содержание диссертации
Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты диссертации.
Первые две главы посвящены теоретическим результатам решения
обратных задач, которые условно разделены на три класса:
– класс I – для изотропной односекционной диафрагмы;
– класс A – для анизотропной односекционной диафрагмы;
– класс M – для анизотропной многосекционной диафрагмы.
В классе I исследовано 8 задач, в классе A – 4 задачи и в классе M –
9 задач.
Обратные задачи класса I и класса A представлены в главе 1, обратные задачи класса M – в главе 2.
Глава 1 посвящена обратным задачам восстановления электромагнитных параметров односекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе, а также приведены результаты решения задачи дифракции электромагнитной волны для многосекционной анизотропной диафрагмы,
которые записаны в виде рекуррентных соотношений и используются
в диссертации для решения обратных задач.
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат задан прямоугольный волновод P := x : 0 < x1 < a, 0 < x2 < b, −∞ < x3 < ∞ с идеально проводящими стенками ∂P .
В волновод помещена многосекционная диафрагма Q
S с секциями
Qj := (x, y, z) : 0 < x < a, 0 < y < b, lj−1 < z < lj , Q = nj=1 Qj , здесь
lj -lj−1 – толщина j-й секции, l0 = 0, ln = l, l – полная длина диафрагмы
(рисунок 1).
Рисунок 1 – Диафрагма в волноводе
В P \Q̄ среда изотропна и однородна с известными диэлектрической и
магнитной проницаемостями ε0 > 0, µ0 > 0, k02 = ω 2 ε0 µ0 , k0 – волновое
число, ω > 0 – круговая частота. Секции Qj заполнены анизотропной
средой, характеризующейся диагональными тензорами магнитной проницаемости:
 j

µ11 (ω)
0
0
b(j) (ω) =  0
µ
(1)
µj22 (ω)
0 ,
j
0
0
µ33 (ω)
7
и диагональными тензорами диэлектрической проницаемости:
 j

ε11 (ω)
0
0
εb(j) (ω) =  0
(2)
εj22 (ω)
0 .
j
0
0
ε33 (ω)
Электромагнитное поле E, H внутри волновода удовлетворяет уравнениям Максвелла вне диафрагмы:
rot H = −iωε0 E
,
(3)
rot E = iωµ0 H
и внутри диафрагмы
rot H = −iω εb E
;
(4)
b H,
rot E = iω µ
где E – вектор напряженности электрического поля, H – вектор напряженности магнитного поля.
Предполагается, что волновое число k0 удовлетворяет неравенству
π/a < k0 < π/b. В этом случае в волноводе распространяется только
волна H10 , т.е. волновод работает в одномодовом режиме, при этом высшие моды экспоненциально затухают. Bолна H10 имеет поляризацию 4
E = (0, Ey , 0), H = (Hx , 0, Hz ).
(5)
Внешнее электрическое поле имеет
πx вид:
E0 = A sin
e−iγ0 z e2 ,
a
где A – известная амплитуда; γ0 = γ0 (ω) 6= 0; γ0 – постоянная распространения волны H10 ; e2 – орт вдоль оси Oy. Вектор H0 определяется из
второго уравнения системы (3). На границах областей должны выполняться условия:
[Eτ ]|L = 0,
[Hτ ]|L = 0,
где L := {(x, y, z) : z = 0, . . . , z = lj , . . . ; z = ln }, j = 1, . . . , n, [·]|L – скачок предельных значений функции на границе раздела сред L; Eτ ,Hτ –
тангенциальные составляющие векторов E, H соответственно.
Для решения обратных задач были выведены рекуррентные зависимости коэффициента прохождения F/A от компонент диагональных
тензоров магнитной и диэлектрической проницаемостей и длин секций
многосекционной диафрагмы, которые получены при решении соответствующей задачи дифракции:
n
Q
γj
2
(j)
µ
F
j=0 11
,
=
(6)
γn (+)
γ0 (+)
A
−iγ
l
0
n
e
+ µ0 qn+1
(n) p
µ11 n+1
где
γj−1 (+)
γj (+)
(+)
(+)
pj+1 = (j−1) pj cos αj + (j) qj i sin αj , p1 = 1,
(7)
µ11
µ11
4
Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. – М.: Радио и связь, 1988.
8
(+)
qj+1 =
γj−1
(+)
p i sin αj +
(j−1) j
µ11
γj
(+)
q
(j) j
µ11
(+)
cos αj , q1
v
u
(j)
u
π 2 µ11
(j) (j)
t
2
ω ε22 µ33 − 2 (j) ,
γj =
a µ
= 1,
(8)
33
αj = γj (lj − lj−1 ), j = 1, n, l0 = 0,
здесь γj (j = 1, n) – постоянная распространения внутри каждой секции
диафрагмы.
Выражение (8) выводится непосредственно при подстановке (5) в
уравнения Максвелла. Для решения обратных задач получены рекуррентные зависимости коэффициента отражения B/A от компонент диагональных тензоров магнитной и диэлектрической проницаемостей и
длин секций многосекционной диафрагмы:
(−)
γn (−)
+ µγ00 qn+1
(n) p
B
µ11 n+1
= γ (+)
,
(9)
γ0 (+)
n
A
+ µ0 qn+1
(n) p
µ11 n+1
где
γ1
γ0
(±)
(10)
p1 = 1, p2 = p1 cos α1 ± (1) q1 i sin α1 ,
µ0
µ11
γj−1 (±)
γj (±)
(±)
pj+1 = (j−1) pj cos αj + (j) qj i sin αj ,
µ11
µ11
γ1
γ0
(±)
q1 = 1, q2 = p1 i sin α1 ± (1) q1 cos α1 ,
µ0
µ11
γj−1 (±)
γj (±)
(±)
qj+1 = (j−1) qj i sin αj + (j) qj cos αj , j = 1, n,
µ11
µ11
здесь γj определяются по формуле (8).
Полученные рекуррентные соотношения (6)–(10) используются для
решения обратных задач, исследуемых в диссертации.
Для рассматриваемых задач вводятся обозначения: задачи, в которых используются значения коэффициента прохождения F/A, обозначим буквой P , а задачи, в которых используются значения коэффициента отражения B/A – буквой Q. В нижнем индексе записываются неизвестные величины, в верхнем – поле чисел, в котором разыскиваются
искомые величины.
Постановка обратных задач для изотропной односекционной
диафрагмы (класс I)
Постановка обратных задач PεR1 , PεC1 (QRε1 , QCε1 ): требуется по
известному коэффициенту прохождения F/A (или отражения B/A)
электромагнитного поля определить вещественную или комплексную диэлектрическую проницаемость ε1 изотропной односекционной
диафрагмы.
9
Постановка обратных задач PεR1 , l1 (QRε1 , l1 ): требуется по известному коэффициенту прохождения F/A (или отражения B/A) электромагнитного поля определить вещественную диэлектрическую проницаемость ε1 и толщину l1 изотропной односекционной диафрагмы.
Постановка обратных задач PεC1 (l1 ≪ 1) QCε1 (l1 ≪ 1): требуется по известному коэффициенту прохождения F/A (или отражения
B/A) электромагнитного поля определить комплексную диэлектрическую проницаемость ε1 изотропной тонкой (l1 ≪ 1) диафрагмы.
Постановка обратных задач для анизотропной односекционной диафрагмы (класс A)
Постановка обратных задач PεbR1 : требуется по известному коэффициенту прохождения F/A электромагнитного поля определить
тензор диэлектрической проницаемости εb1 анизотропной диафрагмы.
Постановка обратных задач PµbR1 (QRµb1 ): требуется по известному коэффициенту прохождения F/A (или коэффициенту отражения
B/A) электромагнитного поля определить тензор магнитной проb1 анизотропной диафрагмы.
ницаемости µ
Постановка обратных задач PεbR1 ,µb1 : требуется по известному коэффициенту прохождения F/A электромагнитного поля определить
тензор диэлекрической проницаемости εb1 и тензор магнитb1 анизотропной диафрагмы.
ной проницаемости µ
Для обратной задачи PεR1 доказаны следующие теоремы и утверждение. Приведенные ниже теоремы 1.1 и 1.2 полностью отвечают на вопрос о существовании и единственности решения задачи PεR1 .
Теорема 1.1. Пусть
диафрагмы
известны магнитная
проницаемость
iγ0 l1
iγ0 l1
2
2
µ1 , ρ = Re Ae /F , ζ = Im Ae /F и |ρ| < 1, ρ + ζ ≥ 1. Тогда
решение обратной задачи PεR1 существует и единственно и выражается по
формулам:
π 2 τ 2
−2
+
,
(11)
ε1 = k0
a
l1
где
p
|ζ| + ρ2 + ζ 2 − 1
p
,
τ = τ1 = γ 0 l 1
1 − ρ2
при условии, что τ1 /γ0 l1 > 1, ε1 > ε0 , cos τ1 = ρ, sign (ζ) = sign (sin τ1 ).
Если τ2 /γ0 l1 <1, π 2 /(a2 ω 2 µ0 )< ε1 <ε0 , cos τ2 =ρ и sign (ζ)=sign (sin τ2 ),
то обратная задача имеет единственное
pрешение, выраженное формулой
1 − ρ2
p
τ = τ2 = γ 0 l 1
.
|ζ| + ρ2 + ζ 2 − 1
В противном случае обратная задача PεR1 не имеет решений.
Замечание 1.1. Если ρ =1, тогда ζ = 0 и τ = 2πn, n ∈ Z. Если ρ = −1,
тогда ζ = 0 и τ = π + 2πn, n ∈ Z.
10
В этих случаях рассматриваемая обратная задача PεR1 имеет бесконечно много решений, поэтому они исключены из теоремы 1.1.
Теорема 1.2. Если
(12)
F = ±Aeiγ0 l1 ,
или
Aeiγ0 l1
F =
,
(13)
g(τ1∗ )
где
(γ0 l1 )2
∗
p
τ1 =
, n ≥ 0,
(14)
πn + π 2 n2 + (γ0 l1 )2
то решение задачи PεR1 не единственно.
Если оба эти условия не выполнены, то задача PεR1 имеет единственное
решение.
Утверждение 1.1. Если известна только величина |F/A| < 1 при
вещественном ε1 , то обратная задача PεR1 не имеет единственного решения.
Ответом на вопрос о существовании и решении обратной задачи QRε1
является следующая теорема.
Теорема 1.3. Если
Re( B
1
π 2 n2
A)
(15)
< −1, ε1 6= 2
2 + a2 , n ∈ Z
2
ω
µ
l
|B
|
0
1
A
и
−Im( B
A)
r
ctg(γ1 l1 ) =
,
2
B
)
Re(
A
2
|B
−1
A|
| B |2
A
то решение обратной задачи
формулой
QRε1
существует и единственно и выражается
Re(B/A)
2 − 1
1
π 2
|B/A|
+ γ02 Re(B/A)
.
ε1 = 2
ω µ0 ε0
a
+
1
2
|B/A|
QRε1 не
(16)
В противном случае обратная задача
имеет решений.
R
Для обратной задачи Qε1 , l1 доказана следующая теорема.
Теорема 1.4. Если выполняются условия (15), то решение обратной
задачи QRε1 , l1 существует и единственно и выражается формулами (16) и
(17):
πn
1
2γ0 γ1 1
)
+
l1 =
arctg( 2
.
(17)
A
γ1
γ1 − γ02 Im B
γ1
Толщина диафрагмы l1 восстанавливается однозначно, если существуют два числа l2 и l1 такие, что l2 > l1 и π/γ1 < |l2 − l1 | < 2(π/γ1 ).
Для обратных задач PεC1 (l1 ≪ 1) и QCε1 (l1 ≪ 1) доказаны следующие
теоремы соответственно.
11
Теорема 1.5. Решение задачи PεC1 (l1 ≪ 1) выражается формулой
2i
A iγ0 l1
π2
ε1 ≈ γ0
1− e
− γ0 + 2 k0−2 .
(18)
l1
F
a
Теорема 1.6. Решение обратной задачи QCε1 (l1 ≪ 1) в случае тонкой
односекционной диафрагмы выражается следующей
! формулой:
B
B
π2
2γ0
2A −1
A − γ0 B
+ 2 k0−2 .
(19)
ε1 ≈ i
B
l1 A + 1
a
+
1
A
Для анизотропной односекционной диафрагмы предложен метод поворота диафрагмы, с помощью которого решаются поставленные обратные задачи: PεbR1 , PµbR1 , QRµb1 , PεbR1 ,µb1 .
Суть метода состоит в том, чтобы, пространственно ориентируя диафрагму относительно волновода определенным образом, получить ряд измерений для каждого положения диафрагмы в волноводе и
на основе данных измерений (коэффициентов F ) определить все три
компоненты тензора.
Обозначим измерения при поворотах диафрагмы верхним индексом
j = 1, 2, 3, где j = 1 – исходное положение диафрагмы; j = 2 – поворот
на угол ϕ = π2 относительно оси Oz и j = 3 – поворот на угол ϕ = π2
относительно оси Ox.
Для обратных задач PεbR1 и PεbR1 ,µb1 доказаны следующие теоремы.
Теорема 1.7. Пусть известны
проницаемости
(j) тензор магнитной
iγ0 l1
(j)
(j)
iγ0 l1
(j)
b1 , ρ
и ρ(j) < 1,
= Im Ae /F
µ
= Re Ae /F , ζ
(ρ(j) )2 + (ζ (j) )2 ≥ 1, j = 1, 2, 3. Тогда решение обратной задачи PεbR1 существует и единственно и выражается формулами:
1
π 2 µ22 τ (2) 2
ε11 = 2
+
,
ω µ22 ε0
a µ33
l1
1
π 2 µ11 τ (1) 2
ε22 = 2
+
,
(20)
ω µ11 ε0
a µ33
l1
π 2 µ11 τ (3) 2
1
+
,
ε33 = 2
ω µ11 ε0
a µ22
l1
где
(1) p
+ (ρ(1) )2 + (ζ (1) )2 − 1
µ
11 ζ
(1)
p
,
τ (1) = τ1 = γ0 l1
µ0
1 − (ρ(1) )2
(2) p
+ (ρ(2) )2 + (ζ (2) )2 − 1
µ
22 ζ
(2)
(2)
p
τ = τ1 = γ 0 l 1
,
(21)
µ0
1 − (ρ(2) )2
(3) p
ζ + (ρ(3) )2 + (ζ (3) )2 − 1
µ
11
(3)
p
τ (3) = τ1 = γ0 l1
,
µ0
1 − (ρ(3) )2
12
(j)
(2)
(j)
(2)
при условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) ≥ 1 (j = 1, 3) и (τ1 µ0 )/(γ0 l1µ22 ) ≥ 1,
(j)
(j)
(j)
(j)
= sign sin τ1
ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ1 = ρ , sign ζ
(j = 1, 2, 3) и
p
µ
1 − (ρ(1) )2
11
(1)
(1)
p
τ = τ2 = γ 0 l 1
,
µ0 ζ (1) + (ρ(1) )2 + (ζ (1) )2 − 1
p
1 − (ρ(2) )2
µ
22
(2)
p
τ (2) = τ1 = γ0 l1
,
(22)
µ0 ζ (2) + (ρ(1) )2 + (ζ (2) )2 − 1
p
1 − (ρ(3) )2
µ
11
(3)
(3)
p
,
τ = τ1 = γ 0 l 1
µ0 ζ (3) + (ρ(3) )2 + (ζ (3) )2 − 1
при условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) < 1 (j = 1, 3) и (τ1 µ0 )/(γ0 l1µ22 ) < 1,
(j)
(j)
(j)
(j)
= sign sin τ2
ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ2 = ρ , sign ζ
(j = 1, 2, 3).
Иначе обратная задача PεbR1 не имеет решения.
Теорема 1.8. Пусть известны значение
магнитной
(j)прони (j) µ33 тензора
iγ0 l1
(j)
(j)
iγ0 l1
(j)
b1 , ρ = Re Ae
и ρ < 1,
цаемости µ
/F , ζ = Im Ae /F
(ρ(j) )2 + (ζ (j) )2 ≥ 1, j = 1, 2, 3. Тогда решение обратной задачи PεbR1 ,µb1
существует и единственно и выражается формулами:
2
−2
−2
π 2
(ω
−
ω
)
µ0
1
2
µ11 = a 2 µ−1
(23)
33 ,
2
e (1) (ω2 )
e (1) (ω1 )
γ0
Q
Q
−
ω2
ω1
2
−2
−2
π 2
(ω
−
ω
)
µ0
(24)
µ−1
µ22 = a 2 1 2 2
33 ,
(2)
(2)
e
e
γ0
Q (ω2 )
Q (ω1 )
−
ω2
ω1
где
(j) p
ζ + (ρ(j) )2 + (ζ (j) )2 − 1
(j)
e
p
Q =
, j = 1, 2,
1 − (ρ(j) )2
компоненты диэлектрического тензора определяются либо по форму(j)
лам (20)–(21) при условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) ≥ 1 (j = 1, 3) и
(2)
(j)
(τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ22 ) ≥ 1, ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ1 = ρ(j) ,
(j)
(j = 1, 2, 3), либо по формулам (20), (22) при
sign ζ (j) = sign sin τ1
(j)
(2)
условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) < 1 (j = 1, 3) и (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ22 ) < 1,
(j)
(j)
(j)
(j)
ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ2 = ρ , sign ζ
= sign sin τ2
(j = 1, 2, 3).
Иначе обратная задача PεbR1 ,µb1 не имеет решения.
13
Таким образом, теоремы 1.7 и 1.8 дают ответ на вопрос существования и единственности решения обратных задач PεbR1 и PεbR1 ,µb1 .
В главе 2 рассматриваются задачи восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе.
Постановка обратных задач для анизотропной многосекционной диафрагмы (класс M)
Сформулируем постановки обратных задач в случае изотропной
многосекционной диафрагмы:
Постановка обратных задач PεRj , PεCj (QRεj , QCεj ): требуется по
известному коэффициенту прохождения F/A (или отражения B/A)
электромагнитного поля определить вещественную или комплексную диэлектрическую проницаемость εj (j = 1, . . . , n) каждой секции
изотропной диафрагмы.
Постановка обратных задач PεRj , lj (QRεj , lj ): требуется по известному коэффициенту прохождения F/A (или отражения B/A ) электромагнитного поля определить вещественную диэлектрическую
проницаемость εj (j = 1, . . . , n) и толщину lj (j = 1, . . . , n) каждой
секции изотропной диафрагмы.
Постановка обратных задач PεCj (lj ≪ 1)( QCεj (lj ≪ 1)): требуется по известному коэффициенту прохождения F/A (или отражения
B/A) электромагнитного поля определить комплексную диэлектрическую проницаемость εj каждой секции изотропной тонкой (l1 ≪ 1)
многосекционной диафрагмы.
Сформулируем постановку обратной задачи в случае анизотропной
многосекционной диафрагмы.
Постановка обратной задачи PεbRj : требуется по известному коэффициенту прохождения F/A электромагнитного поля определить
тензор диэлектрической проницаемости εbj каждой секции анизотропной многосекционной диафрагмы.
Для решения обратной задачи PεCj используется следующая форма
записи формул (6)–(7):
2Aγ0 eiγ0 ln
G (h) = H, H =
,
(25)
F
где
(+)
(+)
γn pn+1 + γ0 qn+1
, h := (ε1 , . . . , εn ) .
(26)
G (h) =
n
Q
γj
j=0
Тогда рассматривая (26) как комплексную функцию n комплексных
переменных, доказываются теорема 2.1 и теорема 2.2 методами теории функции комплексных переменных, а именно с использованием теоремы Хартогса. В этом случае постановка обратной задачи имеет следующий вид.
14
Постановка обратной задачи PεCj :Пусть даны n различных частот Ω = (ω1 , . . . , ωn ) и функции Gj (h) := G (h, ωj ), j = 1, n. Необходимо найти решение нелинейной системы из n уравнений относительно
неизвестных ε1 , . . . , εn :
Gj (h) = Hj , Hj = H (ωj ) , j = 1, n.
(27)
Ответ на вопрос существования и единственности решения обратной задачи PεCj дает следующая теорема.
Теорема 2.1. Функция G (h) – голоморфная функция на Cn как
функция n комплексных переменных.
Теорема 2.2. (теорема существования и единственности решения обратной задачи PεCj ). Если (27) выполняется при h=h∗ , и если
1 ,G2 ,...,Gn )
∗
якобиан ∂(G
∂(ε1 ,ε2 ,...,εn ) 6= 0 в точке h , тогда функция G (h) локально обратима в окрестности точки h∗ и обратная задача имеет единственное
решение для каждого h из этой окрестности.
Для решения обратной задачи QCεj используется следующая форма
записи формул (9)–(10):
A
G(B) (h) = H, H = ,
(28)
B
где
(+)
(+)
γn pn+1 + γ0 qn+1
(B)
G (h) =
(29)
(−)
(−)
γn pn+1 + γ0 qn+1
и h := (ε1 , . . . , εn ).
Тогда рассматривая (29) как комплексную функцию n комплексных
переменных, доказываются теоремы 2.3, 2.4. В этом случае постановка
обратной задачи имеет следующий вид.
Постановка обратной задачи QCεj :Пусть даны n различных ча-
(B)
стот Ω = (ω1 , . . . , ωn ) и функции Gj (h) := G(B) (h, ωj ), j = 1, . . . , n.
Необходимо найти решение нелинейной системы из n уравнений относительно неизвестных ε1 , . . . , εn :
(B)
(30)
Gj (h) = Hj , Hj = H (ωj ) , j = 1, . . . , n.
Для обратной задачи QCεj доказаны следующие теоремы.
Теорема 2.3. Функция G(B) (h) – голоморфная функция на Cn как
функция n комплексных переменных.
Теорема 2.4. (теорема существования и единственности решения обратной задачи QCεj ). Если (30) выполняется при h = h∗ , и
(B)
(B)
(B)
∂ (G1 ,G2 ,...,Gn )
6= 0 в точке h∗ , тогда функция G(B) (h)
если якобиан
∂(ε1 ,ε2 ,...,εn )
локально обратима в окрестности точки h∗ , и обратная задача имеет
единственное решение для каждого h из этой окрестности.
Условия неравества нулю якобиана в теоремах 2.3, 2.4 можно проверить численно. Таким образом, теорема 2.3, 2.4 показывают возможность корректного решения рассматриваемых задач.
15
Глава 3 посвящена численному методу решения систем нелинейных
уравнений, которые соответствуют рассматриваемым в диссертации обратным задачам. Разработанный метод представляет собой модифицированный метод Левенберга–Марквардта. Новизна заключается в выборе
начального приближения. Выбор начального приближения осуществляется двумя способами:
1) с помощью решения задачи для тонких диафрагм;
2) с помощью решения задачи для односекционной диафрагмы.
В случае решения реальной задачи значения коэффициентов прохождения или отражения известны из эксперимента.
Рассмотрим алгоритм решения обратной задачи для многосекционной диафрагмы.
1. На первом шаге мы предполагаем, что исходная многосекционная
диафрагма представляет собой односекционную диафрагму. С помощью
аналитических формул (10)-(11) определяем так называемую эффективную диэлектрическую проницаемость εef f всей диафрагмы.
2. Значение эффективной диэлектрической проницаемости, полученное на первом шаге, используется в качестве начального приближения
x0 для решения обратной задачи для многосекционной диафрагмы.
3. Далее решается нелинейное уравнение или система нелинейных
уравнений исходной обратной задачи для многосекционной диафрагмы
методом Левенберга–Марквардта по следующему алгоритму.
3.1. Выполняется вычисление по следующей формуле:
xi+1 = xi − (H + λdiag[H])−1 ∇f (xi ),
где H – матрица Гессе, вычисленная в точке xi ; diag[H] – диагональ
гессиана; λ – задаваемый параметр,
m
X
∇f (x) =
rj (x)∇rj (x) = J(x)T r(x),
j=1
n
Q
γj (ωj )
F
j=0
.
rj (x) = (ωj ) −
(+)
(+)
A
e−iγ 0 ln γn (ωj ) p̃n+1 (ωj ) + γ0 (ωj ) q̃n+1 (ωj )
2
3.2. Оценивается невязка rj в новом векторе параметров. Если
|f (xi )| < δ для ранее заданной погрешности δ, то переходим к шагу
4. Если нет, то переходим к следующему шагу.
3.3. Если в результате вычисления параметра невязка увеличилась,
вернуться на шаг назад и увеличить λ в 10 раз. Затем повторить выполнение, начиная с шага 1.
4. В результате решения уравнения или системы уравнений находим
значения диэлектрической проницаемости каждой секции диафрагмы.
Данный алгоритм применяется в изотропном случае. Расчеты показали эффективность выбора метода Левенберга–Марквардта.
В случае односекционной диафрагмы, заполненной средой с комплексной диэлектрической проницаемостью, выбор начального приближения может быть осуществлен с помощью решения соответствующей
задачи для тонкой диафрагмы с комплексной проницаемостью.
16
В анизотропном случае выбор начального приближения осуществляется аналогично. Здесь в качестве начального приближения выбирается
диагональный тензор с равными εef f ненулевыми компонентами.
В главе 4 представлены описания комплексов программ (Приложение 2) и численные результаты. Численные результаты представлены в
системе СГС. Для ряда обратных задач было проведено сравнение численных результатов с экспериментальными данными.
В таблице 1 представлены численные результаты для трехсекционной диафрагмы. Параметры волновода a = 2 см, b = 1 см, длины секций l1 = 1, 2 см, l2 = 1, 5 см и l2 = 1, 9 см; частоты f1 = 11, 94 ГГц,
f2 = 8, 12 ГГц и f3 = 9, 55 ГГц , что соответствует ω1 = 75, 0212 ГГц,
ω2 = 51, 0195 ГГц и ω2 = 60, 0044 ГГц (ω = 2πf ). В первом столбце представлены значения коэффициента прохождения F/A, во втором
столбце – вычисленные значения действительной части диэлектрической
проницаемости каждой секции диафрагмы, в третьем столбце представлены вычисленные значения мнимой части каждой секции диафрагмы,
в четвертом столбце – точные значения комплексной диэлектрической
проницаемости.
Таблица 1
F
(ω)
A
0, 0298 − 2, 10862i,
0, 665 + 0, 00223i,
−2, 127 + 3, 0197i
0, 17744 − 0, 0494i,
0, 1277 − 0, 10066i,
0, 1707 − 0, 08031i
−1, 0305 + 0, 8308i,
0, 1459 + 0, 67994i,
−2, 1786 + 0, 674i
Вычисленные
(1)
значения ε̃1
1, 299974,
1, 50004,
1, 800047
1, 300101,
−1, 499193,
1, 799989
1, 299999,
6, 999992,
4, 000003
Вычисленные
значения σ̃(1)
1, 599978,
1, 700028,
1, 39961
−1, 600838,
1, 704267,
−1, 400378
1, 600001,
1, 69999,
−1, 400012
Точные
значения ε1
1, 3 + 1, 6i,
1, 5 + 1, 7i,
1, 8 + 1, 4i
1, 3 − 1, 6i,
−1, 5 + 1, 7i,
1, 8 − 1, 4i
1, 3 + 1, 6i,
7 + 1, 7i,
4 − 1, 4i
Численные результаты решения обратной задачи PεbRj в случае двухсекционной диафрагмы представлены в таблице 2. Предполагается, что
параметры волновода: a = 2 см, b = 1 см, длина первой секции диафрагмы l1 = 0, 5 см, длина второй секции l2 = 1 см; частоты f = 11, 93
ГГц, f = 8, 12 ГГц, которые соответствуют значениям круговых частот
(ω1 = 75, 02 ГГц и ω2 = 51, 02 ГГц, ω = 2πf ). Амплитуда падающей волны A = 1, тензоры магнитной проницаемости каждой секции диафрагмы
имеют вид:
!
!
1, 7 0 0
3 0 0
0 1, 9 0 , µˆ2 = 0 4 0 .
µˆ1 =
0
0 2
0 0 4, 7
Известны третьи компоненты каждой секции анизотропной диафраг(1)
(2)
0,001
мы ε33 = 1, 4 + i 0,001
ω , ε33 = 1, 8 + i ω .
В первом столбце таблицы 2 представлены значения коэффициента
прохождения F/A до поворота (F (1) /A) и после поворота (F (2) /A) на
17
двух частотах ω1 , ω2 , во втором столбце даны вычисленные значения
тензора диэлектрической проницаемости.
Таблица 2
F (i)
(ωj )
A
F1
(ω1 )
A
F1
(ω2 )
A
F2
(ω1 )
A
F2
(ω2 )
A
Вычисленные значения ε̂
= −0, 8111 − i0, 5843,
= −0, 5355 − i0, 8249,
= −0, 994 + i0, 0985,
= −0, 8952 − i0, 4407


1, 2 + i 0,001
0
0
ω
,

0
1, 3 + i 0,001
0
ω
0,001
0
0
1, 4 + i ω


0,0001
2+i ω
0
0


0
0
1, 699 + i 0,001
ω
0,001
0
0
1, 8 + i ω
Точные значения диэлектрической проницаемости


1, 2 + i 0,001
0
0
ω
,
ε1 (ω) = 
0
0
1, 3 + i 0,001002
ω
0
0
1, 4 + i 0,001
ω


0,0001
2+i ω
0
0
.
ε2 (ω) = 
0
0
1, 699 + i 0,000997
ω
0
0
1, 8 + i 0,001
ω
Численные результаты показывают высокую эффективность метода.
Для обратной задачи PεCj было проведено сравнение решения модельной задачи и решения задачи, в которой использовались экспериментальные данные, представленные в приложении 1. В результате эксперимента были получены значения F/A на различных частотах, представленных во втором столбце таблицы 3.
Таблица 3
Частота,
Ггц
8, 41
8, 431
8, 452
8, 473
8, 494
8, 515
8, 536
8, 557
8, 562
Экспериментальные
значения FA
0, 5357 − 0, 6719i
0, 5379 − 0, 6723
0, 5388 − 0, 6751i
0, 5446 − 0, 6777i
0, 5399 − 0, 6767i
0, 542 − 0, 6795i
0, 5402 − 0, 679i
0, 5432 − 0, 6796i
0, 5477 − 0, 6868i
Вычисленные
значения ε11
1, 996
1, 993
1, 994
1, 987
1, 994
1, 994
1, 996
1, 992
1, 991
Вычисленные
значения σ1
0, 001000006
0, 00100005
0, 00100005
0, 00100004
0, 00100003
0, 00100003
0, 00100002
0, 00100001
0, 000999997
Параметры волновода и односекционной диафрагмы: a = 2, 274 см,
b = 1, 004 см и ε1 = ε11 + iσ1 /ω = 2, 05 + i0, 00095/ω (точное значение
используется для решения прямой задачи.) Вычисленные значения действительной части диэлектрической проницаемости ε и проводимости σ
представлены в третьем и четвертом столбцах таблицы 3.
18
В результате был определен материал – тефлон. Точные значения
действительной диэлектрической проницаемости для тефлона и вычисленные значения тефлона представлены на рисунке 2. Синим цветом
выделены точные значения диэлектрической проницаемости в заданном
диапазоне частот, красным цветом отмечены вычисленные с помощью
разработанного метода значения проницаемости.
Рисунок 2 – Вычисленные и точные значения действительной части диэлектрической
проницаемости ε = 2, диапазон частот f ∈ (8, 2; 12) ГГц
Из результатов сравнения с экспериментом можно видеть, что относительная погрешность определения ε не превосходит 3 %. Это показывает возможность применения предложенного метода для определения
электромагнитных параметров диафрагмы на практике.
Основные публикации по теме диссертации
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ
1. Деревянчук, Е. Д. Численное и аналитическое решение задачи
дифракции электро - магнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью, расположенных в прямоугольном
волноводе / E. E. Гришина, E. Д. Деревянчук, М. Ю. Медведик,
Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. – № 4. – С. 73–
81.
2. Деревянчук, Е. Д. Решение обратной задачи определения диэлектрической проницаемости диафрагмы в волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.
Физико-математические науки. – 2011. – № 4. – С. 36–43.
3. Деревянчук, Е. Д. Решение обратной задачи определения тензора магнитной проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1. –
С. 34–44.
19
4. Деревянчук, Е. Д. Задача дифракции электромагнитной волны
на многосекционной анизотропной диафрагме в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1.
– С. 20–29.
5. Derevyanchuk, E. D. Inverse problem method for complex
permittivity reconstruction of layered media in a rectangular waveguide
/ Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov and E. D. Derevyanchuk //
Physica Status Solidi (C) Current Topics in Solid State Physics. – 2014.
– N. 11(5–6). – P. 969–974 (Scopus).
6. Derevyanchuk, E. D. Permittivity determination of thin multisectional diaphragms in a rectangular waveguide / Yu. G. Smirnov,
Yu. V. Shestopalov and E. D. Derevyanchuk // Days on Diffraction
2013 : Proceedings of the International Conference ( St. Petersburg,
Russia, 2013). – St. Petersburg, 2013. – P. 32–35 (WoS, Scopus).
7. Derevyanchuk, E. D. Tensor permittivity reconstruction of twosectional diaphragm in a rectangular waveguide / E. D. Derevyanchuk,
Yu. G. Smirnov // Days on Diffraction 2014 : Proceedings of
the International Conference ( St. Petersburg, Russia, 2014). –
St. Petersburg, 2014. – P. 65–68 (WoS, Scopus).
8. Derevyanchuk, E. D. Inverse problem method for permittivity of an
n-sectional diaphragm in a rectangular waveguide / Yu. V. Shestopalov,
Yu. G. Smirnov and E. D. Derevyanchuk // PIERS 2014 : Proceedings of
Progress in Electromagnetic Research Symposium (Guangzhou, China,
August, 2014). – Guangzhou, 2014. – P. 2610–2613 (Scopus).
9. Derevyanchuk, E. D. Permittivity reconstruction of layered
dielectrics in a rectangular waveguide from the transmission coefficient
at different frequencies / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov
and E. D. Derevyanchuk // Inverse Problems and Large-Scale
Computations, Series : Springer Proceedings in Mathematics and
Statistics. – 2013. – Vol. 52. – P. 169–181 (WoS, Scopus).
10. Derevyanchuk, E. D. Permittivity determination of multi-sectional
diaphragm with metamaterial layers in rectangular waveguide /
Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov and E. D. Derevyanchuk // PIERS
2013 : Proceedings of Progress in Electromagnetic Research Symposium
(Taipei, March, 2013). – Taipei, 2013. – P. 135–139 (Scopus).
11. Derevyanchuk, E. D. Reconstruction of permittivity and
permeability tensors of anisotropic materials in a rectangular waveguide
from the reflection and transmission coefficients at different frequencies
/ Yu. G. Smirnov,Yu. V. Shestopalov and E. D. Derevyanchuk //
PIERS 2014 : Proceedings of Progress in Electromagnetic Research
Symposium (Stockholm, Sweden, August, 2013). – Stockholm, 2013. –
P. 290–295 (WoS, Scopus).
12. Derevyanchuk, E. D. Solution to the inverse problem of
reconstructing permittivity of an n-sectional diaphragm in a
rectangular waveguide / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov and
E. D. Derevyanchuk // Algebra, Geometry and Mathematical Physics,
20
Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Ser. 10533. –
2014. – Vol. 85. – P. 555–567 (Scopus).
Публикации в других изданиях
1. Деревянчук, Е. Д. Определение диэлектрической проницаемости
диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициенту отражения / Е. Д. Деревянчук // Вестник Пензенского государственного университета. – 2013. – № 1. – С. 97–102.
2. Derevyanchuk, E. D. Frequency-dependent complex permittivity
reconstruction of layered diaphragm in a rectangular waveguide:
comparison with experiment / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov and
E. D. Derevyanchuk // 16th Seminar Computer Modeling in Microwave
Power Engineering : Multiphysics Models and Material Properties :
Proceedings of the 16th Seminar Computer Modeling in Microwave
Power Engineering ( Karlsruhe, Germany, May, – 2014). –Karlsruhe, –
2014. – P. 30–34.
3. Деревянчук, Е. Д. Метод восстановления длин многосекционной
диафрагмы с экспериментальной верификацией / Е. Д. Деревянчук,
А. С. Шутков // Труды 57-й научной конференции МФТИ. – М :
МФТИ, 2014. – Т. 2. – С. 61–62.
4. Деревянчук, Е.Д. Обратная задача определения геометрических
параметров слоистой диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициенту прохождения / Е.Д. Деревянчук, А.С. Шутков // XL
Гагаринские чтения : Науч. тр. Междунар. молодежной науч. конф.
в 9 т. ( Москва, 7–11 апреля, 2014 г.). – М.: МАТИ, 2014. – Т. 5. –
С. 92–94.
5. Деревянчук, Е.Д. Численный метод решения обратной задачи
определения геометрических параметров двухслойной диафрагмы
в прямоугольном волноводе по коэффициенту прохождения / Е. Д.
Деревянчук, А. С. Шутков // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : cб. ст.
VIII Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов ( Пенза, 26–30 мая, 2014 г. ). – Пенза : Изд-во ПГУ,
2014. – С. 212–217.
21
Научное издание
Исследование обратных задач восстановления
электромагнитных параметров многосекционной
диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам
прохождения или отражения
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
Редактор Н. А. Сидельникова
Технический редактор Н. А. Сидельникова
Компьютерная верстка
Подписано в печать . .2016. Формат 60×841 16 .
Усл. печ. л. 1,63. Заказ № 008474. Тираж 100.
Пенза, Красная, 40, Издадельство ПГУ
Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа