close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Гамильтонов подход к квантовой хромодинамике на световом фронте

код для вставкиСкачать
Санкт–Петербургский государственный университет
На правах рукописи
Малышев Михаил Юрьевич
Гамильтонов подход к квантовой
хромодинамике на световом фронте
01.04.02 – Теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико–математических наук
Санкт–Петербург – 2016
Работа выполнена в ФГБОУ ВО «Санкт–Петербургский государственный
университет»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
старший научный сотрудник,
профессор кафедры физики высоких энергий
и элементарных частиц Санкт–Петербургского государственного университета
Прохватилов Евгений Васильевич
доктор физико-математических наук,
профессор, профессор Российского
государственного педагогического
университета им. А. И. Герцена
Гриб Андрей Анатольевич
Официальные оппоненты:
кандидат физико-математических наук,
доцент, доцент Санкт-Петербургского
государственного лесотехнического
университета им. С. М. Кирова
Мацкевич Елена Евгеньевна
Петербургский институт ядерной физики
им. Б. П. Константинова НИЦ "Курчатовский институт"
Ведущая организация:
Защита состоится «
»
2016 г. в
на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт–Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт–Петербург, Средний пр., В.О.,
д. 41/43, ауд. 304.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького
СПбГУ и на сайте https://disser.spbu.ru/
Автореферат разослан «
»
2016 г.
Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по адресу 198504, Санкт–Петербург, Ульяновская ул.,
д. 1, корпус И, каб. 421.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
д.ф.-м.н.
Аксёнова Елена Валентиновна
3
Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. Темой данной диссертации является подход к квантовой теории поля, связанный с квантованием на световом фронте (СФ). В настоящее время ведутся активные исследования в этом
направлении. Международная группа ведущих специалистов в области квантовой теории поля выделила эту тему как одну из наиболее актуальных, создав в 2008 году для ее поддержки специальный экспертный комитет, целью
которого является продвижение соответствующих научных исследований и
применение данного метода к различным физическим задачам. Обзор этого
метода, основных достижений и перспективных задач в данном направлении
изложен в работе этого комитета [7].
Квантовая хромодинамика (КХД) достаточно хорошо описывает экспериментальные данные при высоких энергиях элементарных частиц, поскольку при этих энергиях эффективная константа взаимодействия мала и применима теория возмущений по этой константе. В области малых и средних
энергий взаимодействие становится сильным, так что требуется непертурбативное описание. Адроны, рассматриваемые в КХД как связанные состояния
кварковых и глюонных полей, отвечают этим энергиям и поэтому для их
описания необходимы непертурбативные методы. Наиболее прямым является
введение решетки в пространстве и времени. Это позволяет регуляризовать
теорию как в ультрафиолетовой (УФ), так и в инфракрасной области, что
дает возможность искать решения численно, не используя теорию возмущений по константе взаимодействия. Однако решеточный подход сталкивается с
большими вычислительными трудностями, поэтому ищутся другие подходы
к описанию непертурбативных физических эффектов. Подход к КХД, связанный с квантованием на СФ, является альтернативным к решеточному и
носит название "Гамильтонов подход на СФ". Он подразумевает непертурбативное решение задачи на собственные значения гамильтониана, определенного на СФ. Аналогичная задача для обычного гамильтониана, получаемого
при квантовании на поверхности постоянного времени сталкивается с чрезвычайно сложной проблемой описания вакуумного состояния. В гамильтоновом
подходе на СФ эта проблема существенно упрощается.
Идея рассмотрения канонического формализма на поверхности, касательной к световому конусу, т.е. на СФ, была предложена П.А.М. Дираком в
работе 1949 года [8]. В этом формализме вместо обычных лоренцевых коорди0
3
нат x0 , x1 , x2 , x3 используются координаты СФ: x± = x √±x
, x1 , x2 , в которых
2
x+ играет роль времени, x1 , x2 − "поперечные" координаты, а СФ определяется уравнением x+ = 0. Соответственно, роль энергии играет компонента
4
3
3
импульса P+ = P0√+P
, а компоненты P− = P0√−P
, P⊥ = (P1 , P2 ) являются ана2
2
логами трехмерных пространственных компонент импульса. В квантовой теории оператор P+ играет роль квантового гамильтониана. На подпространстве
с заданными значениями импульсов P− , P⊥ задача на собственные значения
этого гамильтониана достаточно просто связана с задачей на спектр масс m:
m2 + p2⊥
P+ |p− , p⊥ i =
|p− , p⊥ i,
2p−
(1)
где квадрат массы в координатах СФ есть m2 = 2p+ p− − p2⊥ . Особенностью оператора P− , играющего на СФ роль пространственной компоненты
обычного импульса, является его неотрицательность P− > 0 (предполагается m2 > 0). Состояние, отвечающее минимальному собственному значению
(p− = 0) этого оператора, может рассматриваться как вакуумное (в случае
отсутствия безмассовых частиц). Тем самым для описания вакуумного состояния может быть использован оператор импульса P− .
Степень разработанности темы исследования. Наряду с вышеуказанными преимуществами гамильтонов подход на СФ сталкивается с трудностями описания тех эффектов, которые связывают со сложной структурой
квантового вакуума при обычном квантовании на пространственно-подобной
поверхности. Эти трудности связаны с особенностями регуляризации имеющейся в теории на СФ сингулярности для мод поля с p− = 0. Обычно применяются следующие способы трансляционно-инвариантной регуляризации:
(а) обрезание значений импульса p− снизу, p− > ε > 0, при котором фактически отбрасывается окрестность "нулевых" мод (мод полей, независящих
от x− ), (b) ограничение пространства по x− с соответствующими периодическими граничными условиями для функций поля |x− | 6 L.
Регуляризация сингулярности при p− = 0 может породить трудности
и в рамках теории возмущений по константе взаимодействия. А именно, теория возмущений, генерируемая каноническим гамильтонианом на СФ, может
после регуляризации отличаться от обычной теории возмущений в лоренцевых координатах. Так, если применять регуляризацию |p− | > ε > 0, то диаграммы теории возмущений на СФ могут отличаться от соответствующих
диаграмм обычной теории возмущений в лоренцевых координатах даже в
пределе ε → 0. Тем не менее, как было обнаружено в работах [13, 14], указанных отличий диаграмм можно избежать, применяя УФ регуляризацию
Паули-Вилларса (П-В) [15]. Однако такая УФ регуляризация не сохраняет
калибровочную инвариантность, поэтому возникает задача восстановления
этой инвариантности. В рамках теории возмущений был предложен [14] способ решения этой задачи путем надлежащей перенормировки. Такая перенормировка требует добавки к гамильтониану конечного числа контрчленов,
5
т.е. членов, зависящих от произведений полей и их производных с коэффициентами, зависящими от исходных параметров теории и параметров регуляризации. Определение этих коэффициентов в (3+1)-мерных моделях обычно
требует вычисления бесконечного числа диаграмм. Поэтому перенормированный таким образом гамильтониан на СФ будет содержать эти коэффициенты
как новые параметры теории. Однако если применять этот подход к тем же
моделям, но в (2+1)-мерном пространстве-времени, то возможны упрощения,
связанные со свойством суперперенормируемости этих моделей. Это свойство
заключается в наличии только конечного числа УФ расходящихся диаграмм.
Учёт расходимости таких диаграмм позволяет точно определить вышеуказанные коэффициенты при контрчленах. Вычисление таких коэффициентов
входит в число задач данной диссертации.
Проблема УФ регуляризации и перенормировки гамильтониана на СФ
рассматривалась также вне рамок теории возмущений К.Г. Вильсоном и С.Д.
Глазеком [16, 17].
Также широко известен развитый С. Бродским и Г. де Терамоном полуфеноменологический подход к описанию спектра масс в КХД на СФ [19, 20].
Цели и задачи диссертационной работы:
• построение квантового перенормированного гамильтониана на СФ, порождающего теорию возмущений, эквивалентную обычной теории возмущений в лоренцевых координатах;
• исследование роли "нулевых" мод полей в непертурбативном описании эффектов, возможных в области низких энергий в КХД (конфайнмента
кварков и глюонов, вакуумных конденсатов).
Научная новизна. Данная диссертационная работа является дальнейшей разработкой подхода к решению поставленных задач, предложенных
ранее в работах С.А. Пастона, Е.В. Прохватилова и В.А. Франке. В отличие от этих работ в диссертации найдены примеры как калибровочных, так
и некалибровочных теорий поля, в которых программа перенормировки гамильтониана на СФ может быть достаточно точно реализована. Кроме этого
предложена новая калибровочно-инвариантная регуляризация КХД на СФ с
применением решётки в пространстве поперечных координат. В рамках такой
регуляризации предложен способ описания "нулевых" мод калибровочных полей и построен эффективный гамильтониан на СФ, включающий эти нулевые
моды.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа является вкладом в разработку такого непертурбативного подхода к
КХД как гамильтонов подход на СФ. Полученные в диссертации результаты важны для практического решения задачи о спектре связанных состоя-
6
ний (в том числе их масс). Данные результаты могут быть использованы при
подготовки курсов лекций по квантовой теории поля.
Методология и методы исследования. В диссертации используется и обобщается метод Паули-Вилларса [15] для регуляризации ультрафиолетовых расходимостей. Использование этого метода позволяет устранить
отличия между вычислением диаграмм в обычной теории возмущений и на
СФ.
Для восстановления калибровочной инвариантности при перенормировке таким образом регуляризованной теории возмущений используется метод
сравнения ее с размерно регуляризованной теорией возмущений. Также в диссертации используется метод предельного перехода к гамильтониану на СФ
от гамильтонианов на пространственно-подобных поверхностях, приближающихся к СФ.
Далее используется метод решеточной регуляризации, сохраняющей калибровочную инвариантность. В рамках решёточной регуляризации используется метод построения гамильтониана на решётке с помощью трансферматриц.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность
результатов обеспечивается использованием хорошо развитого математического аппарата квантовой теории поля, результаты работы докладывались и
обсуждались на следующих международных научных конференциях:
• III Международная конференция "Модели квантовой теории поля",
посвященная 70-летию со дня рождения А.Н. Васильева, Санкт-Петербург,
Россия, 18−22 октября 2010 г.,
http://hep.phys.spbu.ru/conf/mktp2010/index.htm;
• Международная конференция "Конфайнмент кварков и спектр адронов XI", Санкт-Петербург, Россия, 8−12 сентября 2014 г.,
http://phys.spbu.ru/confxi.html;
• Международная конференция по физике "В поисках фундаментальных симметрий", посвящённая 90-летию со дня рождения заслуженного деятеля науки, почётного профессора СПбГУ Ю.В. Новожилова, Санкт-Петербург, Россия, 2−5 декабря 2014 г.,
http://hep.phys.spbu.ru/conf/novozhilov90/index.html;
• V международная конференция "Модели квантовой теории поля", посвященная 75-летию со дня рождения А.Н. Васильева, Санкт-Петербург, Россия, 21−25 сентября 2015 г.,
http://hep.phys.spbu.ru/conf/mqft2015/index.htm.
7
Положения, выносимые на защиту:
• построение перенормированного гамильтониана на СФ в (2+1)-мерной
теории λϕ4 скалярного поля с учетом возможности спонтанного нарушения
симметрии;
• построение перенормированного гамильтониана на СФ в (2+1)-мерной
SU(N) калибровочно-инвариантной теории Янга-Миллса;
• построение полуфеноменологической модели учета нулевых мод для
решеточно-регуляризованного гамильтониана на СФ (3+1)-мерной КХД.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных статей
в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки России и входящих в базы данных РИНЦ, Web
of Science или Scopus [1–6].
Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают
персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем
вклад диссертанта был определяющим.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
4-х глав, заключения, 4-х приложений и списка литературы из 36 наименований. Работа изложена на 112 страницах и содержит 7 рисунков.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, описаны
методология и методы исследования, степень разработанности темы исследования, а также показана теоретическая и практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.
В первой главе строится гамильтониан на СФ в (2+1)-мерной теории λϕ4 скалярного поля для случаев с ненарушенной симметрией и со спонтанным нарушением симметрии. Плотность лагранжиана для рассматриваемой модели скалярного поля имеет следующий вид:
m20 2
1
µ
ϕ − λϕ4 ,
L = ∂µ ϕ∂ ϕ −
2
2
(2)
где ϕ − скалярное поле, m0 − "голая" масса, а λ − константа связи. Для учёта
возможности спонтанного нарушения симметрии на СФ вначале рассматривается теория вне СФ на пространственно-подобных плоскостях, близких к
8
СФ, а затем совершается предельный переход на СФ. При этом получаются
два гамильтониана, каждый из которых соответствует одному из вышеуказанных случаев. Для теории вне СФ применяется вариационный подход для
определения минимума вакуумной плотности гамильтониана. Это позволяет
определить множество значений параметров теории, соответствующих случаям наличия или отсутствия симметрии (ϕ → −ϕ). Таким образом получаются следующие неравенства, ограничивающие параметры, которые следует
использовать в расчетах с полученным гамильтонианом:
λ . 3.079 m
e 1 для случая с сохранением симметрии,
λ . 0.8074 m
e 2 для случая с нарушением симметрии,
(3)
где m
e 1, m
e 2 – соответствующие перенормированные массы.
Далее используется регуляризация Паули-Вилларса. Эта регуляризация
заключается во введении дополнительного поля с большой массой, которая
играет роль параметра УФ регуляризации, а плотность лагранжиана записывается следующим образом:
L(x) =
1 µ
X
l=0
¶
1
m2l
2
2
∂+ ϕl (x)∂− ϕl (x) − (∂⊥ ϕl (x)) −
(ϕl (x)) − λ(ϕ(x))4 ,
2
2
(4)
P
где ϕ(x) = 1l=0 ϕl (x), ϕ0 − это обычное поле с массой m0 , ϕ1 − дополнительное поле с массой m1 .
Гамильтонианы на пространственно-подобных плоскостях, близких к СФ,
полученные в результате учёта возможного нарушения симметрии порождают в результате предельного перехода на СФ следующие перенормированные
гамильтонианы:
µ
¶
Z
³1
2
2
2
m
e
m
m
3λ
1
ϕ2 +
HLF = : dx− dx⊥ (∂⊥ ϕ0 )2 − (∂⊥ ϕ1 )2 + 1 ϕ20 − 1 ϕ21 + 2 ln
2
2
2
π
m
e1
´
4
+λϕ : (5)
для случая сохранения симметрии и
Z
³
m
e 22 2
m21 2
2
2
−
⊥ 1
(∂⊥ ϕ0 ) − (∂⊥ ϕ1 ) +
ϕ −
ϕ+
HLF = : dx dx
2
2 0
2 1
¶
µ
´
√
3λ2
m1
2
3
4
+ 2 ln
ϕ + 2λm
e 2 ϕ + λϕ :
π
m
e2
для случая нарушения симметрии. Здесь ϕ = ϕ0 + ϕ1 .
(6)
9
Вторая глава содержит анализ отличий диаграмм теории возмущений
на СФ и обычной теории возмущений в лоренцевых координатах на примере
модели Юкавы. Плотность лагранжиана в этой модели следующая:
1
m2 a a
a µ a
L = ∂µ ϕ ∂ ϕ −
ϕ ϕ − λ(ϕa ϕa )2 + ψ(iγ µ ∂µ − M )ψ − gϕa ψτa ψ,
2
2
(7)
где ψ − это фермионное поле с массой M , матрицы γ µ − матрицы Дирака,
τa − матрицы Паули (a = 1, 2, 3), g и λ − константы связи.
В данной главе рассматривается теория в (2+1) измерении. Эта теория
суперперенормируема, т. е. достаточно рассмотреть конечное число УФ расходящихся диаграмм для УФ перенормировки. Для УФ регуляризации этих
диаграмм достаточно ввести регуляризацию П-В с одним дополнительным бозонным и одним дополнительным фермионным полем по аналогии с предыдущим примером скалярного поля. Эти дополнительные поля приводят к улучшению сходимости по импульсам за счёт суммарных бозонных и фермионных
пропагаторов (как и в случае скалярного поля). Плотность лагранжиана теперь имеет следующий вид:
µ
¶
1
X
m2l a a
l 1
a µ a
L=
(−1)
∂µ ϕl ∂ ϕl −
ϕl ϕl − λ : (ϕa ϕa )2 : +
2
2
l=0
1
1
1
X
X
X
l
µ
a
a
a
+
(−1) ψ l (iγ ∂µ − Ml )ψl − g : ϕ ψτa ψ :, ϕ =
ϕl , ψ =
ψl ,
l=0
l=0
(8)
l=0
где ψ0 − обычное фермионное поле с массой M0 , ψ1 − это дополнительное
фермионное поле с массой M1 , ϕa0 − обычное поле с массой m0 , поле ϕa1 −
дополнительное бозонное поле с массой m1 . Для простоты не будем рассматривать фейнмановские диаграммы с петлями, содержащими только одну вершину. Чтобы подчеркнуть это, используется символ ": :" в выражении для
лагранжиана (8), который соответствует нормальному упорядочению в представлении взаимодействия.
В диссертации рассматривается пример, который показывает, как вышеупомянутое различие можно устранить в фейнмановской диаграмме собственной энергии фермиона, регуляризованной с помощью рассматриваемой
регуляризации П-В. При вычислении диаграммы в обычной ковариантной
теории возмущений интегрирование осуществляется по всем импульсам kµ , в
то время как при вычислении в теории возмущений на СФ (вычисление на
СФ) интегрирование ведётся только по области |k− | > ε из-за регуляризации
полей, упомянутой ранее. Рассмотрим интеграл по области |k− | < ε. После
10
замены k− → εk− , k+ → k+ /ε часть указанного интеграла с γ + принимает
вид:
∞
Z
ε(M12
−
M02 )(m20
−
m21 )
dk⊥
−∞
×
∞
Z
Z1
dk+
−∞
−1
γ + k+
×
dk− 2
(k − M02 + i0)
1
×
(k 2 − M12 + i0) (2(εp+ − k+ )(p− − εk− ) − ε(p⊥ − k⊥ )2 − εm20 + i0)
1
, (9)
×
(2(εp+ − k+ )(p− − εk− ) − ε(p⊥ − k⊥ )2 − εm21 + i0)
где p и k − внешний и петлевой импульсы соответственно. Область интегрирования теперь не зависит от ε, и поэтому подынтегральное выражение можно проанализировать в пределе ε → 0. Если сначала рассматривать предел
m1 → ∞, M1 → ∞, а затем ε → 0, то получаем конечное выражение, показывающее существование вышеупомянутого отличия в теории без регуляризации П-В. Если рассматривать предел ε → 0 при фиксированных значениях
параметров m1 , M1 , то получим ноль, т.е. отсутствие отличий. Аналогично,
другие части интеграла, соответствующего диаграмме собственной энергии
фермиона, и такие интегралы для других диаграмм равны нулю в пределе
ε → 0.
Таким образом, с помощью введения дополнительных полей регуляризации П-В можно получить совпадение теории возмущений на СФ и ковариантной теории возмущений в лоренцевых координатах для всех фейнмановских
диаграмм.
В третьей главе приводится перенормировка (2+1)-мерной теории ЯнгаМиллса при квантовании на СФ. Рассматривается (2+1)-мерная теория ЯнгаМиллса со следующей плотностью лагранжиана:
µ
¶
2
1 a aµν m µνα
L = − Fµν F
+ ε
Aaµ ∂ν Aaα + gf abc Aaµ Abν Acα ,
(10)
4
2
3
a
где Aaµ (x) − калибровочное поле группы симметрии SU (N ), Fµν
= ∂µ Aaν −
−∂ν Aaµ + gfabc Abµ Acν , a = 1, ..., N 2 − 1 − индексы присоединённого представления, fabc − структурные константы, m − масса, g − константа связи, εµνα −
символ Леви-Чивита. Здесь добавлен член Черна-Саймонса, необходимый
для регуляризации инфракрасных расходимостей.
В данной главе показывается, что для регуляризации диаграмм теории
возмущений и устранения отличий между диаграммами теории возмущений,
получаемой при квантовании теории на поверхности СФ (x+ = 0), и диаграммами обычной теории возмущений, порождаемой квантованием на поверхности постоянного времени, необходимо введение дополнительных полей
11
в лагранжиан теории. В этом случае лагранжиан имеет вид:
Ã
µ
¶
3
X
rl aµν m2l + 2∂+ ∂−
a
− fl
L=
fl,µν
+
2
4
Ml
l=1
m
+ rl εµνα Aal,µ
2
µ
m2l + 2∂+ ∂−
Ml2
!
¶
∂ν Aal,α
+ gf abc Aaµ Abν ∂ µ Acν ,
(11)
где Aa1,µ − исходное поле, а Aa2,µ и Aa3,µ − дополнительные поля, Aal,− = 0,
Aaµ = Aa1,µ +Aa2,µ +Aa3,µ , параметры m, ml являются параметрами масс, rl = ±1
(в диссертации для каждого индекса l выбирается определённый знак rl ).
Величины Ml2 выражаются через параметры ml и m так, чтобы обеспечить
нужную сходимость суммарного пропагатора.
Таким образом, для восстановления пертурбативной эквивалентности
между этой теорией и обычной формулировкой в лоренцевых координатах
вводятся дополнительные поля, аналогичные полям, используемым при регуляризации Паули-Вилларса. Эти же поля осуществляют ультрафиолетовую
регуляризацию теории. Полученные результаты позволяют построить перенормированный гамильтониан теории на СФ.
В четвёртой главе представлено построение гамильтониана КХД на
СФ, включающее новый способ учёта нулевой моды (моды Фурье поля, не
зависящей от x− ). Рассматриваемая в предыдущих главах регуляризация
|p− | > ε может оказаться недостаточной для учёта непертурбативных эффектов, таких как, например, вакуумные эффекты. В связи с этим рассматривается другая регуляризация: |x− | 6 L при периодических граничных условиях
для полей по x− . В данной регуляризации импульс становится дискретным,
p− = pn = πn/L, n ∈ Z, при этом нулевая мода (n = 0) чётко отделена от
остальных (ненулевых) мод. Таким образом окрестность p− = 0 моделируется
нулевой модой. В рамках такой регуляризации нулевая мода на СФ не является независимой динамической переменной. В принципе, она может быть
выражена через ненулевые моды путём решения сложных (нелинейных по
полям) связям. Однако в квантовой теории эти связи определяются неоднозначно, и их решение представляет очень сложную проблему. В данной главе
предлагается другой подход, основанный на предельном переходе к СФ от гамильтонианов на пространственно-подобных плоскостях, приближающихся к
СФ. С этой целью вводятся координаты y µ = (y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ), аппроксимирующие координаты СФ:
η2 − 3
y = x + x , y = x− , y ⊥ = x⊥ .
2
0
+
(12)
12
Предельный переход к теории на СФ соответствует пределу η → 0 параметра η. В этих координатах рассматриваются гамильтонианы на пространственно-подобных плоскостях y 0 = 0. По аналогии с регуляризацией |x− | 6 L
вводится регуляризация |y 3 | 6 L. Теперь дискретными оказываются нулевые
моды по координате y 3 , нулевая мода не зависит от этой координаты и является независимой динамической переменной. Чтобы при переходе к СФ
сохранить информацию, связанную с динамикой этой нулевой моды, предлагается при конечных значениях параметра L "заморозить" предельный
переход для нулевых мод, полагая η = η0 в тех членах гамильтониана, которые зависят только от нулевых мод. В результате получается эффективное
выражение для гамильтониана на СФ, зависящее от параметров L и η0 , в
котором присутствуют динамические нулевые моды. В пределе снятия регуляризации L → ∞ предполагается η0 L = const, т.е. η0 → 0. Такое предположение позволяет сформулировать полуфеноменологическую модель взаимодействия кварков и глюонов, однако формулировка данной модели выходит
за рамки данной диссертации.
В рассматриваемом подходе вводится калибровочно-инвариантная регуляризация УФ расходимостей с помощью решётки по поперечным координатам. При этом предлагается новая параметризация глюонных полей на этой
решётке: компоненты глюонного поля A+ , A− и кварковые поля относятся к
узлам решетки, а для поперечных компонент глюонного поля вводятся специальные переменные в виде комплексных N × N матриц следующего вида
(для модели с калибровочной группой SU(N)):
³
´
Mα (x) = I + igaα Ãα (x) Uα (x) , α = 1, 2, a1 = a 2 = a ,
(13)
где Uα (x) − унитарные N × N матрицы, отнесенные к ребрам решетки
(x − aα eα , x), eα − единичные векторы вдоль осей xα , а Ãα (x) − эрмитовы
N × N матрицы, отнесенные к соответствующим узлам решетки.
Для этих переменных определяется закон калибровочных преобразований следующим образом:
Ãα (x) → Ω(x)Ãα (x) Ω+ (x) ,
Uα (x) → Ω(x)Uα (x) Ω+ (x − aα eα ) ,
(14)
где Ω(x) − матрица калибровочного преобразования. Для матриц Mα (x) преобразование имеет следующий вид:
Mα (x) → Ω(x)Mα (x) Ω+ (x − aα eα ).
При этом для переменных A+ , A− и ψ сохраняется обычный закон преобразования:
i
A± (x) → Ω(x)A± (x) Ω+ (x) + Ω(x)∂± Ω+ (x), ψ(x) → Ω(x)ψ(x).
g
13
Определим оператор D− следующими равенствами:
h
i
D− Ãα (x) = ∂− Ãα (x) − ig A− (x), Ãα (x) ,
D− Uα (x) = ∂− Uα (x) − igA− (x)Uα (x) + igUα (x)A− (x − aα eα ),
D− Mα (x) = ∂− Mα (x) − igA− (x)Mα (x) + igMα (x)A− (x − aα eα ),
³
´
D− ψ(x) = ∂− − igA− (x) ψ(x).
Эти равенства обеспечивают перестановочность операции D− с калибровочными преобразованиями.
Теперь доопределим матрицы Uα (x) следующим калибровочно-инвариантным условием:
D− Uα (x) = 0,
(15)
а для матриц Ãα (x) потребуем отсутствия в них части, удовлетворяющей
условию D− Ãα (x) = 0. В калибровке A− = 0 эти условия просто означают
разделение нулевых и ненулевых мод Фурье по x− матриц Mα (x), где Uα (x)
и igaα Ãα (x)Uα (x) описывают нулевые и ненулевые моды соответственно.
В пределе непрерывного пространства (a → 0) потребуем, чтобы в калибровке A− = 0 для Uα (x) выполнялось следующее:
³
´
Uα (x) → exp igaα Aα0 (x) → I + igaα Aα 0 (x) ,
где Aα0 (x) − нулевая мода поля Aα (x) в непрерывном пространстве, а для
поля Ãα (x) потребуем, чтобы оно стремилось к части поля Aα (x), отвечающей ненулевым модам. Тогда при всех A− для матриц Mα (x) получается
следующее соотношение:
³
´
2
Mα (x) → I + igaα Aα (x) + O (aα g) .
(16)
Это позволяет определить решеточный аналог полей Fµν (x) теории в непрерывном пространстве следующим образом:
G+− (x) = iF+− (x),
1
G12 (x) = − 2
ga
µ
G−α (x) =
1
D− Mα (x),
gaα
¶
M1 (x)M2 (x − ae1 ) − M2 (x)M1 (x − ae2 ) ,
При a → 0 получаем Gµν (x) → iFµν (x).
При калибровочных преобразованиях имеем
G±α (x) → Ω(x) G±α (x) Ω+ (x − aα eα ),
14
Gαβ (x) → Ω(x) Gαβ (x) Ω+ (x − aα eα − aβ eβ ).
Далее можно ввести калибровочно-инвариантный аналог ультрафиолетового
обрезания по p− , используя обрезание по собственным значениям q− оператора D− : | q− | 6 Λ. Это условие позволяет придать регуляризации теории
полностью калибровочно-инвариантный вид. При рассмотрении гамильтонианов в η-координатах применяется аналогичная решёточная регуляризация.
Выражение для гамильтониана на такой решётке удаётся получить, используя метод построения "трансфер-матрицы", описанный в работе M. Creutz
[21].
В заключении диссертации представлены основные результаты, благодарности и список использованной литературы.
Заключение
В диссертации приведено построение квантового перенормированного
гамильтониана на СФ, порождающего теорию возмущений, эквивалентную
обычной теории возмущений в лоренцевых координатах. Такой гамильтониан
построен для (2+1)-мерной теории λϕ4 скалярного поля, регуляризованной с
помощью метода Паули-Вилларса для случаев с ненарушенной симметрией
и со спонтанным нарушением симметрии. При этом получены ограничения
на параметры масс и константы связи для этих гамильтонианов. Также описана перенормировка (2+1)-мерной теории Янга-Миллса при квантовании на
СФ. Кроме того, представлено построение гамильтониана КХД на СФ в рамках решёточной регуляризации и предложен способ учёта нулевой моды. Эти
результаты могут быть применены для численных расчётов спектров масс.
Список публикаций по теме диссертации из перечня
ВАК
1. М. Ю. Малышев, Е. В. Прохватилов. Калибровочно-инвариантная регуляризация КХД на световом фронте в пространстве с поперечной решёткой // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 4. − 2010. −
Вып. 2. − С. 2−7. − http://arxiv.org/abs/1311.4650.
2. М. Ю. Малышев, Е. В. Прохватилов. Квантовая хромодинамика
на световом фронте с нулевыми модами, моделирующими вакуум // ТМФ. −
2011. −
Т. 169, N 2. −
С. 272−284. −
http://mi.mathnet.ru/rus/tmf/v169/i2/p272.
15
3. M.Yu. Malyshev, S.A. Paston, E.V. Prokhvatilov, R.A. Zubov. Renormalized
Light Front Hamiltonian in the Pauli-Villars Regularization // International
Journal of Theoretical Physics, 2015, Vol. 54, Issue 1, pp. 169−184,
http://arxiv.org/abs/1311.4381.
4. М.Ю. Малышев, С.А. Пастон, Е.В. Прохватилов, Р.А. Зубов, В.А. Франке. Регуляризация Паули-Вилларса и гамильтониан на световом фронте
в (2+1)-мерной теории Янга-Миллса // ТМФ. − 2015. − Т. 184, N 3. −
С. 503−514, − http://arxiv.org/abs/1505.00272.
5. Р. А. Зубов, Е. В. Прохватилов, М. Ю. Малышев. Предельный переход
на световой фронт для квантовой хромодинамики и кварк-антикварковое приближение // ТМФ. − 2015. − Т. 184, N 3. − С. 472−480, −
http://mi.mathnet.ru/rus/tmf/v184/i3/p456.
6. M.Yu. Malyshev, S.A. Paston, E.V. Prokhvatilov, R.A. Zubov, V.A. Franke.
Pauli-Villars regularization in nonperturbative Hamiltonian approach on
the light front // AIP Conf. Proc. − Vol. 1701, − 100012 (2016), −
http://arxiv.org/abs/1504.07951.
Цитируемая литература
7. Bakker, B. L. G. Light-Front Quantum Chromodynamics: A framework
for the analysis of hadron physics / B. L. G. Bakker,
at al. //
Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.). − 2014. − Vol. 251−252. − Pp. 165−174. −
arXiv:1309.6333 [hep-ph].
8. Dirac, P. A. M. Forms of relativistic dynamics / P. A. M. Dirac //
Rev. Mod. Phys. − 1949. − Vol. 21, no. 3. − Pp. 392−398.
9. Пастон, С. А. Гамильтонов формализм на световом фронте
для
двумерной
квантовой
электродинамики,
эквивалентный
лоренц-ковариантному подходу / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов,
В. А. Франке // ТМФ. − 2002. − Т. 131, N 1. − С. 84−97. −
arXiv:hep-th/0302016.
10. Пастон, С. А. Вычисление спектра масс КЭД-2 в координатах светового
фронта. / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ЯФ. − 2005. −
Т. 68. − С. 292−303. − arXiv:hep-th/0501186.
11. Paston, S. A. On the construction of corrected light-front Hamiltonian for
16
QED2 / S. A. Paston, V. A. Franke, E. V. Prokhvatilov. − hep-th/0011224,
2000.
12. Prokhvatilov, E. V. Effective light-front quantization of scalar field theories
and two-dimensional electrodynamics / E. V. Prokhvatilov, H. W. L. Naus,
H.-J. Pirner // Phys. Rev. D. − 1995. − Vol. 51. − Pp. 2933−2943.
13. Пастон, С. А. Сравнение квантово-полевой теории возмущений на
световом фронте и в лоренцевых координатах / С. А. Пастон,
Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ТМФ. − 1999. − Т. 112, N 3. −
С. 399−416. − arXiv:hep-th/9901110.
14. Пастон, С. А. К построению гамильтониана КХД в координатах
светового фронта / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке //
ТМФ. − 1999. − Т. 120, N 3. − С. 417−437. − arXiv:hep-th/0002062.
15. Pauli, W. On the Invariant Regularization in Relativistic Quantum Theory /
W. Pauli, F. Villars // Rev. Mod. Phys. − 1949. − Vol. 21, no. 3. −
Pp. 434−444.
16. Glazek, S. D. Renormalization of Hamiltonians / S. D. Glazek,
K. G. Wilson // Phys. Rev. D. − 1993. − Vol. 48, no. 8. − Pp. 4214−4218.
17. Glazek, S. D. Perturbative renormalization group for Hamiltonians /
S. D. Glazek, K. G. Wilson // Phys. Rev. D. − 1994. − Vol. 49, no. 12. −
Pp. 5863−5872.
18. Wegner, F. Flow-equations for Hamiltonians /
Ann. Phys. (Berlin). − 1994. − Vol. 3. − Pp. 77−91.
F.
Wegner
//
19. Light-front holographic QCD and emerging confinement / S. J. Brodsky,
G. F. de Teramond, H. G. Dosch, J. Erlich // Phys. Rep. − 2015. − Vol. 584. −
Pp. 1−105.
20. De Teramond, G. F. Light-Front Holography: A First Approximation
to QCD / G. F. de Teramond, S. J. Brodsky // Phys. Rev. Lett. − 2009. −
Vol. 102, no. 081601. − 4 pp.
21. Creutz, M. Gauge fixing, the transfer matrix, and confinement on a lattice /
M. Creutz // Phys. Rev. D. − 1977. − Vol. 15. − Pp. 1128−1136.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
432 Кб
Теги
световой, квантовое, подход, гамильтон, хромодинамике, фронт
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа