close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Бельмесова Светлана Сергеевна
ИНВАРИАНТНЫЕ
МНОЖЕСТВА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ
ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ КВАДРАТИЧНЫХ
ОТОБРАЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ
01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и
оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Нижний Новгород – 2016
Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математического
анализа Института информационных технологий, математики и механики федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования ”Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет
им. Н. И. Лобачевского”.
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
Ефремова Людмила Сергеевна
кандидат физико-математических наук, доцент,
доцент кафедры дифференциальных уравнений,
математического и численного анализа института Информационных технологий математики
и механики ФГАОУ ВО ”Национальный исследовательский Нижегородский государственный
университет им. Н. И. Лобачевского”
Жиров Алексей Юрьевич
доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики, информационных технологий и электротехники
института № 3 ФГБОУ ВО ”Московский
авиационный институт (национальный исследовательский университет)”
Починка Ольга Витальевна
доктор физико-математических наук, заведующая кафедрой фундаментальной математики
факультета информатики, математики и
компьтерных наук ”Национальный исследовательский университет ”Высшая школа экономики ” ” (Нижний Новгород)
ФГУ ”Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук”
Ведущая организация:
2017 г. в час. мин. на засеЗащита диссертации состоится дании диссертационного совета Д 212.166.20 при ФГАОУ ВО ”Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобаческого” по
адресу: 603950, г. Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2.
С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ФГАОУ ВО
”Национального исследовательского Нижегородского государственного университета
им. Н. И. Лобачевского”.
Автореферат разослан
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.166.20,
кандидат физико-математических наук, доцент
г.
Н. В. Кротов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Диссертационная работа относится к качественной теории дискретных динамических систем и принадлежит к направлению, которое, с одной стороны, восходит к методу секущей поверхности
А. Пуанкаре и, с другой – к работам П. Фату, Г. Жулиа по исследованию
рациональных и, в частности, полиномиальных отображений плоскости
комплексного переменного.
Метод секущей Пуанкаре широко применялся в работах ученых нижегородской математической школы: А. А. Андронова, Е. А. Леонтович,
Н. Н. Баутина, Ю. И. Неймарка, Н. Ф. Отрокова, Л. П. Шильникова и
других.
Рациональные и, в частности, полиномиальные отображения плоскости
комплексного переменного изучались, например, в монографии П. Монтеля, в работах Г. Бролина, М. В. Якобсона, М. Ю. Любича.
Классическим примером квадратичного отображения плоскости R2 является отображение Эно (x, y) 7−→ (y, 1−bx+ay 2 ), где a, b – вещественные
параметры. Исследованию отображения Эно и некоторых его обобщений
посвящены работы С. Фридланда и Дж. Милнора, С. В. Гонченко, М. Ли,
М. И. Малкина и других.
Отметим наиболее близко относящиеся к данной работе статьи
Г. Свиртча1 , Ф. Балибре, Дж. Г. Гуирао, М. Лэмпарта, Дж. Ллибре2 ,
П. Малицки3 , в которых исследованы некоторые аспекты динамики отображения Лотки-Вольтерра F (x, y) = (x(4 − x − y), xy).
Численному изучению различных полиномиальных отображений плоскости посвящены работы К. Миры4,5 , Д. Фурнье-Прунаре5 , Л. Гардини5 ,
1 Swirszcz, G. On a certain map of a triangle// Fund. Math. – 1998. – V.155. – P. 45 – 57.
2 Balibrea F., Guirao J. G., Lampart M., Llibre J. Dynamics of a Lotka-Volterra map// Fund.
Math. – 2006. – V.191. – P. 265 – 279.
3 Maličký P. Interior periodic points of Lotka-Volterra map // J. of Difference Equations and
Applic. – 2012. – V.18, № 4. – P. 553 – 567.
4 Mira C. Chaotic dynamics from the one-dimensional endomophism to the two-dimensional
diffeomorphism – Singapore: World Scientific, 1987. – 449 p.
5 Gardini L., Fournier-Prunaret D., Mira C. Some contact bifurcations in two-dimensional
examples// Grazer Math. Ber. – 1997. – V.334. – P. 77 – 96.
3
К. Фрузакиса6 , Я. Кеврекидиса6 , Б. Пекама6 , Э. Лоренца7
В диссертации исследуется однопараметрическое семейство квадратичных отображений плоскости
Fµ (x, y) = (xy, (x − µ)2 ),
(0.1)
где (x; y) ∈ R2 , R2 – плоскость, µ ∈ [0, 2].
В настоящее время формируется математический аппарат для моделирования одномерных квазикристаллов8 , который основан на глубоком
изучении дискретных аналогов уравнения Шредингера. Отметим работы
Дж. Беллисарда11 , М. Бэйка12 , А. Городецкого и Д. Даманика13 , посвященные рассмотрению спектральных свойств дискретного оператора Шредингера. При изучении дискретных аналогов уравнения Шредингера в работах Ю. Авишаи14,15 , Д. Беренда14,15 и В. Ткаченко15 используется схема,
с помощью которой можно продуцировать специальные отображения, получившие название отображений следа (”trace maps”). Здесь же14 показано, что изучение коэффициентов отражения и прохождения плоской волны с заданным импульсом в поле кристаллической решетки, узлы которой
образуют цепь Тью-Морса (Thue-Morse chain), приводит к рассмотрению
последовательности разностных уравнений Шредингера, которая связана с исследованием динамики отображения, топологически сопряженного с отображением F2 (x, y) = (xy, (x − 2)2 ), входящим в семейство (0.1)
при µ = 2.
6 Frouzakis C. E., Kevrekidis I. G., Peckham B. B. Aroute computational chaos revisited:
noninvertibility and the breakup of an invariant circle // Physica D. – 2003. – V. 177. – P. 101 – 121.
7 Lorenz, E. N. Computational chaos – a prelude to computational instability// Physica D. –
1989. – V.35. – P.299 – 317.
8 Векилов Ю. Х., Черников М. А. Квазикристаллы // УФН. – 2010. – Т. 180. – С. 561 – 586.
8 Bellisard J. Spectral properties of Schrödinger’s operator with a Thue-Morse
potential// Number Theory and Phisics (Les Houches, 1989), Springer Proc. Phys, Springer,
Berlin. – 1990. – № 47. – P. 140 – 150.
12 Baake M., Grimm U., Joseph D. Trace maps, invariants, and some of their applications// Int.
J. Modern Phys. – 1993. – B 7. – P. 1527 – 1550.
8 Damanik D., Gorodetski A. Hyperbolicity of the trace map for the weakly coupled Fibonacci
hamiltonian// Nonlinearity. – 2009. – V.22 – P. 123 – 143.
14 Avishai Y., Berend D. Transmission through a Thue-Morse chain// Phys. Rev. B. – 1992. – V.
45. – P. 2717 — 2724.
15 Avishai Y., Berend D., Tkachenko V. Trace maps// Int. J. of Modern Physics B. – 1997. – V.
11(30). – P. 3525 – 3542.
4
Отметим также, что на конференции по низкоразмерностной динамике
в 1993 году А. Н. Шарковским16 была сформулирована задача существования неограниченных ω – предельных множеств траекторий отображения F2 .
В результате возникает математическая проблема изучения однопараметрического семейства (0.1) и, в частности, отображения следа F2 . Укажем также, что изучение квадратичных отображений плоскости представляет научный интерес и как изучение простейшего вида нелинейности.
Таким образом, тема диссертации является актуальной.
Цель работы. Цель диссертации состоит в исследовании динамики
отображений однопараметрического семейства (0.1), а именно:
(1) в изучении общих свойств отображений Fµ , связанных с существованием специальных инвариантных множеств (в частности, некоторых инвариантных кривых) при µ ∈ [0, 2];
(2) в полном описании неблуждающего множества Ω(Fµ ) отображений Fµ
при µ ∈ [0, 1] и доказательстве теоремы о том, что отображение Fµ при
всех µ ∈ (0, 1] является сингулярным эндоморфизмом Морса-Смейла;
(3) в доказательстве рождения замкнутой инвариантной кривой из эллиптической неподвижной точки при переходе параметра µ через значение
3
2
и численном моделировании эволюции родившейся замкнутой инвари-
антной кривой при µ ∈ ( 32 , 2), в результате которого обнаружен и описан
новый сценарий разрушения замкнутой инвариантной кривой;
(4) в доказательстве существования F2 – вполне инвариантного множества
G0 , представимого в виде объединения континуума непрерывных одномерных неограниченных кривых и обладающего следующими свойствами:
(i) в любой трубчатой окрестности произвольной кривой из G0 в R2 существует континуум кривых из G0 , причем G0 является нигде не плотным
множеством в некотором подмножестве первого квадранта плоскости;
(ii) любые две кривые множества G0 либо не пересекаются, либо пересекаются в единственной точке17 .
16 Problem list "Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. Tagungsbericht 20/1993,"In:
Low Dimensional Dynamics, 25.04.–1.05.1993. – Р. 17.
17 Заметим, что, во-первых, множество G0 содержит линии, на которых дифференциал отображе-
5
Методы исследования. В работе используются методы качественной
теории динамических систем, в частности, теории дискретных динамических систем, методы функционального анализа, теории функций и топологии.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и
получены автором самостоятельно. Перечислим основные из них.
1. Теорема A (о том, что отображение Fµ при каждом µ ∈ (0, 1] представляет собой сингулярный эндоморфизм Морса – Смейла);
2. Теорема B (о рождении замкнутой инвариантной кривой из эллиптической неподвижной точки при переходе параметра µ через значение 23 );
3. Теорема C (о существовании F2 – вполне инвариантного множества
G0 с описанными выше свойствами в пересечении замыкания первого квадранта с внешностью треугольника ∆2 = {(x; y) : x, y ≥ 0, x + y ≤ 4} и о
блуждающих точках отображения F2 ).
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут применяться к исследованию различных классов дискретных (в
частности, квадратичных) динамических систем на плоскости, а также могут быть использованы при создании математического аппарата физики
одномерных квазикристаллов.
Результаты работы являются частью научно-исcледовательских работ,
проводимых при финансовой поддержке Федеральной целевой программы ”Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на
2009 – 2013 годы (проект НК-13П/13 на 2009 – 2011 годы, проект
№ 14.В37.21.0361 на 2012 – 2013 годы) и грантом Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 1410 на 2014 – 2016 годы).
В 2009 – 2010 г. исследования автора по теме диссертации были поддержаны аспирантской стипендией имени академика Г. А. Разуваева.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждания F2 обращается в 0; во-вторых, среди кривых множества G0 существуют C 1 – гладкие кривые. Поэтому множество G0 не удовлетворяет определению множества со структурой локальной ламинации,
приведенному в работе Anosov D. V., Zhuzhoma E. V. Nonlocal asymptotic behavior of curves and leaves
of laminations on universal coverings // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. – 2005. – V.
249. – P. 1 — 221.
6
лись на Международной конференции по дифференциальным уравнениям
и динамическим системам (Суздаль, 2006, 2008, 2010, 2012, 2014), на V Iой молодежной школе-конференции (Казань, 2007), на 50 - ой, 51 - ой,
52 - ой и 55 - ой научных конференциях МФТИ ”Современная математика и ее приложения” (Москва-Долгопрудный, 2007, 2008, 2009, 2012), на
Международной конференции ”13th International Conference on Functional
Equations and Inequalities” (Закопане – Майле Сиче, Польша, 2009), на
Международной конференции ”European Conference on Iteration Theory”
(Нант, Франция, 2010), на ”Sixth International Conference on Dynamic Sytems
and Applications” (Атланта, Джорджия, США, 2011), на Международной
конференции ”Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвящённой 110 - летию со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, 2011),
на Международной конференции ”Анализ и особенности”, посвященной
75 - летию со дня рождения В. И. Арнольда (Москва, 2012), на Международной конференции ”NOMA” (Сарагоса, Испания, 2013), на ”The Seventh
Intern. Conf. on Differential and Functional Differential Equations” (Москва,
2014), на международной конференции ”20th European Conference on
Iteration Theory” (Лагов, Польша, 2014), на Международной конференции
по алгебре, анализу и геометрии (Казань, 2016), на Научном семинаре по
математической физике в ИПМ им. М. В. Келдыша в 2009, 2012 г. (научные руководители: д. ф.-м. н., проф. М. В. Масленников, д. ф.-м. н.,
проф. В. А. Дородницын, д. ф.-м. н., проф. В. В. Веденяпин, д. ф.-м. н.,
проф. Ю. Н. Орлов), на Научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ННГУ (научные руководители:
д. ф.-м. н., проф. А. Д. Морозов, д. ф.-м. н., проф. Л. М. Лерман) в 2010–
2011 гг., на Научном семинаре кафедры функционального анализа и его
приложений ВЛГУ им. А. Г. и Н. Г. Столетовых (научные руководители: д. ф.-м. н., проф. А. А. Давыдов, д. ф.-м. н., проф. В. И. Данченко) в 2011 г., на Научном семинаре ”Проблемы современной математики”
кафедры прикладной математики НИЯУ ”МИФИ” (научный руководитель: д. ф.-м. н., проф. Н. А. Кудряшов) в 2012 г., на Научном семинаре ”Бесконечномерный анализ и его приложения” кафедры теории функ-
7
ций и функционального анализа мехмата МГУ (научные руководители:
д. ф.-м. н., проф. О. Г. Смолянов, д. ф.-м. н., проф. Е. Т. Шавгулидзе) в 2012 г., на Научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДН (научный руководитель: д. ф.-м. н.,
проф. А. Л. Скубачевский) в 2013 г., на Научно-исследовательском семинаре ”Эргодическая теория и динамические системы” мехмата МГУ (научные руководители: академик РАН Д. В. Аносов, д. ф.-м. н., проф. А. М. Степин) в 2013 г, на Научно-исследовательском семинаре ”Динамические системы и дифференциальные уравнения” мехмата МГУ (научные руководители: д. ф. -м. н., проф. А. М. Степин, д. ф.-м. н., проф. А. А. Давыдов)
в 2016 г.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
4 глав, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 163 страниц, набранных в макропакете LATEX в формате машинописного текста. Библиография включает 118 наименований, в диссертации
имеется 18 рисунков.
Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [1]–[25], указанных в конце автореферата. Все результаты из совместных статей, выносимые автором на защиту, получены
им самостоятельно. Личным вкладом автора в статьи, опубликованные
совместно с научным руководителем, являются формулировки и доказательства всех результатов. Л. С. Ефремовой принадлежат постановка задачи и общее руководство. В работах [5], [19], [20] Д. Фурнье-Прунаре
принадлежит вычисление ляпуновских величин, которое в диссертацию
не включено.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении содержатся краткие исторические сведения и обзор литературы, дается общая характеристика рассматриваемых задач, излагаются
основные результаты диссертации.
Глава 1 имеет подготовительный характер. В ней исследованы общие
свойства отображений семейства Fµ при µ ∈ [0, 2]. Дано полное описа8
ние динамики невозмущенного отображения F0 , представляющего собой
новый пример интегрируемого отображения плоскости.
Пусть Fµn (x, y) = (fµ,n (x, y), gµ,n (x, y)) – n-ая итерация отображения
Fµ (n ≥ 1). Обозначим через J(Fµn (x, y)) =
∂Fµn (x, y)
∂(x, y)
и det J(Fµn (x, y)) мат-
рицу Якоби и якобиан отображения Fµn в любой точке (x; y) ∈ R2 соответственно. Пусть Ki – i - ый открытый квадрант плоскости xOy, i = 1, 2, 3, 4.
На защиту вынесены следующие свойства отображений семейства Fµ ,
играющие важную роль в доказательствах основных результатов работы.
1. При любых µ ∈ [0, 2] и n ≥ 1 равенство det J(Fµn (x, y)) = 0 справедливо в том и только том случае, если координаты точки (x; y) удовлетворяют хотя бы одному из уравнений fµ,i (x, y) = µ для некоторого
0 ≤ i ≤ n−1
18
, x = 0 или y = 0 для n ≥ 2; в частности, при n = 1
критическое множество отображения Fµ состоит из прямых x = 0,
x = µ.
2. Для каждого µ ∈ [0, 2] справедливы включения
Fµ (K 3 ) ⊂ K 1 , Fµ (K 4 ) ⊂ K 2 , Fµ (K 2 ) ⊂ K 2 , Fµ (K 1 ) ⊂ K 1 ,
где (·) означает замыкание множества.
3. При любом µ ∈ (0, 2] существует инвариантный треугольник
x
y
∆µ = (x; y) : x, y ≥ 0,
+
≤1 ,
2µ µ2
для катетов kµ,x = {(x; 0) : 0 ≤ x ≤ 2µ} и kµ,y = (0; y) : 0 ≤ y ≤ µ2
которого справедливы соотношения Fµ (kµ,x ) = kµ,y , Fµ (kµ,y ) = (0; µ2 );
отображение Fµ на гипотенузе hµ треугольника ∆µ определено в силу равенства Fµ |hµ (x, y) = (xµ(µ − x/2)); (µ − 2y/µ)2 ) так, что образ
Fµ (hµ )
гипотенузы
hµ
представляет
собой
отрезок
прямой
2x + µy = µ3 , лежащий в треугольнике ∆µ и совпадающий с гипотенузой hµ в том и только том случае, если µ = 2 (при этом граница
∂∆2 треугольника ∆2 инвариантна относительно F2 ).
18 Условимся считать, что f (x, y) = x, g (x, y) = y.
µ,0
µ,0
9
4. При всех µ ∈ [0, 2] существует неограниченный инвариантный квадрант Dµ,∞ = {(x; y) : x ≥ µ + 1, y ≥ 1}, для любой точки которого, за
исключением неподвижной точки A2 (µ + 1; 1), справедливы предельные равенства lim fµ,n (x, y) = lim gµ,n (x, y) = +∞.
n→+∞
n→+∞
5. При любом µ ∈ [0, 2] сужение Fµ |Dµ задает диффеоморфизм множества Dµ,∞ на Fµ (Dµ,∞ ).
6. При каждом µ ∈ [0, 2] существует C 1 – гладкая строго возрастающая
(1)
функция y = Γµ (x), определенная при всех x ∈ [µ + 1, +∞) так,
(1)
(1)
что Γµ ([µ + 1, +∞)) = [1, +∞); график функции y = Γµ (x) есть
Fµ – инвариантная кривая, проходящая через источник A2 (µ + 1; 1) и
лежащая в Dµ,∞ .
Результаты первой главы опубликованы в работах [3], [7] – [11], [15], [17].
В главе 2 исследовано неблуждающее множество Ω(Fµ ) отображения
Fµ при µ ∈ (0, 1] и установлена справедливость следующей теоремы.
Теорема А. Отображение Fµ при каждом µ ∈ (0, 1] представляет собой сингулярный эндоморфизм Морса-Смейла19 такой, что:
(A.1) при всех µ ∈ (0, 1) неблуждающее множество Ω(Fµ ) состоит из
трех неподвижных точек (стока A1 (0; µ2 ), источника A2 (µ + 1; 1), седла
A3 (µ−1; 1)) и периодической орбиты
образованной!источ! B периода два,
√
√
µ2 +1+ µ2 +1
µ2 +1− µ2 +1
µ2
µ2
√
√
;
;
и
B
;
никами B1
2
µ
µ
2
2
2
2
(1−
µ +1)
(1+
µ +1)
(A.2) при µ = 1 множество Ω(F1 ) состоит из двух неподвижных точек (негиперболической точки A1 (0; 1), источника A2 (2; 1)) и периодиче√
ской орбиты B периода два, образованной источниками B1 (2− 2; 3−21√2 ),
√
B2 (2 + 2; 3+21√2 );
s
(A.3) при всех µ ∈ (0, 1) локальное устойчивое многообразие Wloc
(A1 )
19 В статье Azimov D.Round handles and non-singular Morse-Smale flows// Annals of
Mathematics – 1975. – V. 102. – P. 41 – 54 рассмотрены несингулярные потоки Морса-Смейла.
По аналогии с данной работой будем говорить о несингулярных эндоморфизмах МорсаСмейла.
Эндоморфизм F : R2 7→ R2 с конечным неблуждающим множеством Ω(Fµ ) будем называть
сингулярным эндоморфизмом Морса-Смейла, если выполнено хотя бы одно из следующих
свойств: (1) в неблуждающем множестве Ω(Fµ ) существует негиперболическая периодическая
s (p0 ) и
точка; (2) существуют периодические точки p0 и q 0 ∈ Ω(F ), локальное устойчивое Wloc
u
0
глобальное неустойчивое W (q ) многообразия которых пересекаются нетрансверсально.
10
неподвижной точки A1 пересекается нетрансверсально с глобальным
неустойчивым многообразием W u (A3 ) неподвижной точки A3 по сепаратрисе, идущей из седла A3 в сток A1 .
Важную роль в доказательстве теоремы A играет одна из неограниченных инвариантных кривых, проходящих через источник A2 (µ + 1; 1), выделяемая специальными асимптотическими условиями (вытекающими из
равенства (0.2)).
Теорема 3.1. Пусть Fµ – квадратичное отображение (0.1). Тогда при
каждом µ ∈ (0, 1] существует C 1 -гладкая строго убывающая функция
(2)
y = Γµ (x), определенная при всех x ∈ (µ, +∞), так, что
Γ(2)
µ ((µ, +∞)) = (0, +∞);
(0.2)
(2)
график функции y = Γµ есть Fµ -инвариантная кривая, проходящая через неподвижную точку – источник A2 (µ + 1; 1) и лежащая в неограниченной области (K1 \ Dµ,∞ ) ∪ {A2 }.
Теорема 3.1 имеет нелокальный характер. Подчеркнем также, что необ(2)
ходимость специального рассмотрения инвариантной кривой Γµ связана
с отсутствием даже частичной гиперболичности отображения Fµ в произвольной окрестности источника A2 (µ + 1; 1).
(2)
С использованием инвариантной кривой Γµ построено разбиение первого квадранта K1 плоскости R2 и описано асимптотическое поведение
траекторий принадлежащих ему точек.
При каждом µ ∈ (0, 1]
n в K1 определим множества:
0
o
(2)
Γµ (x)
Dµ,∞ = (x; y) ∈ K1 : x ∈ (µ, +∞), y >
;
n
o
0
(2)
Dµ,A1 = (x; y) ∈ K1 : 0 < x ≤ µ + 1, 0 < y < Γµ (x) .
Теорема 4.1. Пусть Fµ – квадратичное отображение вида (0.1),
µ ∈ (0, 1]. Тогда
0
0
(4.1.1) множества Dµ,∞ и Dµ,A1 инвариантны относительно Fµ ;
0
(4.1.2) для любой точки (x; y) ∈ Dµ,A1 , за исключением периодической
орбиты B периода два и всевозможных ее прообразов, справедливы равенства lim fµ,n (x, y) = 0, lim gµ,n (x, y) = µ2 ;
n→+∞
n→+∞
11
0
(4.1.3) для любой точки (x; y) ∈ Dµ,∞ справедливы равенства
lim fµ,n (x, y) = +∞, lim gµ,n (x, y) = +∞.
n→+∞
n→+∞
Теорема 4.1 и свойства отображения Fµ позволяют убедиться в том, что
отображение Fµ при всех µ ∈ (0, 1] представляет собой сингулярный эндоморфизм Морса-Смейла.
Результаты исследования отображений семейства Fµ при µ ∈ (0, 1] детально изложены в работах [2], [4], [11]– [16], [18].
В главе 3 доказано, что при переходе параметра µ через значение
3
2
в
однопараметрическом семействе Fµ из эллиптической неподвижной точки
A3 (µ − 1; 1) рождается замкнутая инвариантная кривая (см. теорему В).
√
√
Обозначим через r(µ) = 2µ − 2 и φ(µ) = arctg 8µ − 9 соответственно радиус и аргумент комплексного числа λ1 (A3 ) =
√
1+i 8µ−9
2
(где
A3 (µ − 1; 1) – неподвижная точка отображения Fµ с мультипликаторами λ1,2 (A3 ) =
√
1± 9−8µ
).
2
Теорема В. Отображение F 32 обладает следующими свойствами:
0
(B.1) r ( 32 ) 6= 0;
3
(B.2) eikφ( 2 ) 6= 1, для k = 1, 2, 3, 4.
При этом существует окрестность эллиптической неподвижной точки A3 ( 21 ; 1), в которой единственная замкнутая инвариантная кривая
рождается из неподвижной точки A3 ( 12 ; 1) при прохождении параметра µ через значение 23 .
Техника доказательства теоремы B основана на использовании метода
нормальных форм. Отметим, что рассмотрения теоремы B имеют локальный характер. Теорема B показывает, что семейство Fµ доставляет новый,
неизвестный ранее, пример однопараметрического семейства отображений
плоскости, допускающего бифуркацию рождения замкнутой инвариантной кривой из эллиптической неподвижной точки.
В Приложении к данной работе приведены результаты численного эксперимента по нелокальному изучению деформаций инвариантной кривой,
родившейся при µ =
3
2
из эллиптической неподвижной точки A3 (µ − 1; 1)
при изменении параметра µ на интервале ( 32 , 2). При этом обнаружен и
12
описан новый сценарий разрушения замкнутой инвариантной кривой.
Результаты третьей главы опубликованы в работах [5], [19], [20].
В главе 4 доказано существование F2 – вполне инвариантного множества G0 , представимого в виде объединения континуума непрерывных
одномерных неограниченных кривых и обладающего свойствами сформулированными выше. В главе 4 описано и некоторое подмножество, состоящее из блуждающих точек отображения F2 .
Для формулировки основного результата главы 4 нам потребуются следующие множества:
G∆2 = (x; y) ∈ K 1 : x + y ≥ 4 , G◦∆2 = {(x; y) ∈ K 1 : x + y > 4}.
+∞
S
◦
e
G = G∆2 ∩ ( F2−i (D2,∞ )),
где
F2−i (D2,∞ )
i=0
– i-ый полный прообраз множества D2,∞ ,
0
e
и множество G = G∆2 \ G.
e открыто и всюду плотно в G∆ и
Теорема C. Непустое множество G
2
состоит из блуждающих точек отображения F2 . Множество G0 представляет собой объединение континуума непрерывных одномерных неограниченных кривых таких, что любые две кривые множества G0 либо не
пересекаются в G∆2 , либо пересекаются в единственной точке, лежащей на гипотенузе h2 треугольника ∆2 . В любой трубчатой окрестности произвольной кривой из G0 в G∆2 существует континуум кривых из
G0 , причем G0 является нигде не плотным множеством в G∆2 .
В главе 4 доказано также существование множества, гомеоморфного
канторову дисконтинууму на гипотенузе h2 инвариантного треугольника
∆2 . В этом множестве всюду плотны седловые периодические точки отображения F2 , являющиеся источниками относительно F2 |h2 . Существование
данного множества приводит к неизвестному ранее эффекту: во множестве
G0 ∩ G◦∆ всюду плотно множество кривых, траектории точек которых притягиваются к указанному множеству, гомеоморфному канторову дисконтинууму, и всюду плотно множество кривых, траектории точек которых
покоординатно уходят в +∞.
Результаты, полученные в теореме C, дают отрицательный ответ на вопрос А. Н. Шарковского о существовании неограниченных ω – предельных
13
множеств траекторий отображения F2 .
Основные результаты главы 4 опубликованы в работах [1], [6], [21] – [25].
Публикации автора по теме диссертации
Из списка периодических изданий, рекомендованных ВАК:
[1] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. О неограниченных траекториях одного квадратичного отображения плоскости// Современная
математика и ее приложения. Труды междунар. конф. по диф. ур. и
динам. сист. Суздаль, 2006, Часть 1. АН Грузии, институт кибернетики. Тбилиси. – 2008. – Т. 53. – С. 48 – 57. Англ. перевод: Bel’mesova S.S.,
Efremova L.S. On unbounded trajectories of a certain quadratic mapping
of the plane// Journ. Math. Sci. (N.Y.). – 2009. – 157, 3. – P. 433 – 441.
[2] Бельмесова C. C., Ефремова Л. С. О квадратичных отображениях некоторого однопараметрического семейства, близких к невозмущенному// Труды МФТИ. – 2010. – Т.2, №2. – С. 46 – 57.
[3] Бельмесова C. C., Ефремова Л. С. Об инвариантных множествах
некоторых квадратичных отображений плоскости// Вестник ННГУ.
Серия Математика. – 2012. – №2(1). – С. 152 – 158.
[4] Бельмесова C. C., Ефремова Л. С. Об однопараметрическом
семействе квадратичных отображений плоскости, содержащем эндоморфизмы Морса-Смейла// Известия вузов. Математика. – 2013. –
№8. – С. 80 – 85. Англ. перевод: Bel’mesova S. S., Efremova L. S.
A one-parameter family of quadratic maps of a plane including MorseSmale endomorphisms// Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika). – 2013. – 57:8. P. 70-74.
[5] Bel’mesova S. S., Efremova L. S., Fournier-Prunaret D. Invariant
curves of quadratic maps of the plane from the one-parameter family
containing the trace map// ESAIM: Proceedings and surveys. – 2014. –
V. 46, P. 98 – 110.
14
[6] Bel’mesova S. S., Efremova L. S. On the Concept of Integrability for
Discrete Dynamical Systems. Investigation of Wandering Points of Some
Trace Map// Nonlinear maps and their applications. – 2015. – V. 112. –
P. 127 – 158.
Публикации в других изданиях:
[7] Бельмесова С. С. О неограниченных траекториях одного квадратичного отображения плоскости // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов.
Суздаль, 10–15 июля 2006. – С. 40 – 41.
[8] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. Об однопараметрическом семействе квадратичных отображений плоскости// Труды 50–ой науч.
конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Ч. VII Упр. и прикл. матем. Т.1. Москва–Долгопрудный,
23–27 ноября, 2007. – С. 8 – 11.
[9] Бельмесова C. C. Исследование динамики одного однопараметрического семейства квадратичных отображений плоскости// Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 16–19 декабря,
2007. – С. 31 – 34.
[10] Бельмесова С. С. Предельное поведение траекторий некоторых полиномиальных отображений плоскости// Междунар. конф. по диф.
ур. и динам. сист. Тезисы докладов.– Суздаль, 27 июня – 2 июля,
2008. – С. 39 – 41.
[11] Бельмесова С. С. Асимптотические свойства траекторий одного семейства квадратичных отображений плоскости// Труды 51–ой науч.
конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Ч. VII Упр. и прикл. матем. Т.1. Москва–Долгопрудный,
23–26 ноября, 2008. – С. 100 – 101.
[12] Belmesova S. S. On the unbounded invariant curves of some polynomial
maps// Annales Universitatis Paedagogic Cracoviensis, Studia Mathem.
15
VII
(2009).
Report
of
meeting
13ICFEI,
Male
Ciche,
September 13-19, 2009. – P. 120.
[13] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. О динамике квадратичных
отображений плоскости некоторого однопараметрического семейства,
близких к невозмущенному//Труды 52–ой науч. конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Ч. VII
Упр. и прикл. матем. Т.1. Москва–Долгопрудный, 27–30 ноября, 2009. –
С. 165 – 167.
[14] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. О неограниченной инвариантной кривой и асимптотическом поведении траекторий квадратичных
отображений некоторого однопараметрического семейства// Междунар. конф. по диф. ур. и динам. сист. Тезисы докладов. Суздаль, 2–7
июля, 2010. – С. 44 – 45.
[15] Belmesova S. S. On the unbounded invariant curves of some quadratic
mappings in the plane//Europ. Conf. on Iterat. Theor. Abstracts. Nant,
France, September 12–17, 2010. – P. 9.
[16] Belmesova S. S. Continuous branches of preimages of critical lines
and asymptotic behavior of some quadratic mappings in the plane//
6th Intern. Conf. on Dyn. Syst. and Appl. Morehouse College, Atlanta,
Georgia, USA, May 25–28, 2011. – P. 62.
[17] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. Об асимптотическом поведении траекторий некоторых квадратичных отображений плоскости//
Междунар. конф. ”Дифференциальные уравнения и смежные
вопросы”, посвященная 110-летию со дня рождения И. Г. Петровского. Тезисы докладов. Москва, 30 мая – 4 июня, 2011. – C. 151 – 152.
[18] Бельмесова С. С. Эндоморфизмы Морса-Смейла, содержащиеся в
однопараметрическом семействе квадратичных отображений плоскости // Тр. 55-ой науч. конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Управление и прикладная математика. Т. 1. Москва-Долгопрудный-Жуковский, Россия, 19–25 ноября,
16
2012. – C. 18-19.
[19] Belmesova S. S., Efremova L. S., Fournier-Prunaret D. Invariant
curves of quadratic maps of the plane from the one-parameter family
containing the trace map// Intern. conf. of diff. equation and dynam.
system. Abstract. Suzdal, June 29 – Jule 4, 2012. P. 190 - 191.
[20] Belmesova S. S., Efremova L. S., Fournier-Prunaret D. On the
birth and destruction of the closed invariant curve in the one-parameter
family of quadratic maps in the plane// Intern. conf.”Analysis and
singularities” dedicated to the 75th anniversary of V. I. Arnold. Abstracts.
Steklov Mathem. Institute of the RAS, Moscow, Russia. December 17 –
21, 2012. P. 116 – 117.
[21] Belmesova S. S., Efremova L. S. On the concept of the integrability
for discrete dynamics systems: criterion, applications to the mathematical
problems of quasicrystal physics// Proceedings of NOMA’13. Workshop.
Zaragoza, Spain. September 3 – 4, 2013. P. 13 – 14.
[22] Bel’mesova S. S. Sharkovskii problems for the invariant triangle of
one trace map// Inter. conf. on diff. equat. and dynam. syst. Abstracts.
Suzdal, July 04-09, 2014. P. 193.
[23] Bel’mesova S. S. On Dynamics of the Trace Map//The Seventh Intern.
Conf. on Differential and Functional Differential Equations. Abstracts.
Moscow, August 22-29, 2014. P. 15 – 16.
[24] Bel’mesova S. S. Sharkovsky problems of one trace map//20th European
Conference on Iteration Theory. Abstracts. Lagow, Poland, September 1420, 2014. P. 6 – 7.
[25] Бельмесова С. С., Ефремова Л. С. Об обобщении понятия интегрируемости и его применении в изучении одного отображения следа//Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии.
Тезисы докладов. Казань, 26 июня – 2 июля 2016. P. 111.
17
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
422 Кб
Теги
асимптотическое, поведения, инвариантные, множества, плоскости, отображений, квадратичної, траектория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа