close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Частичные n-арные группоиды с условиями на конгруэнции

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
РЕШЕТНИКОВ АРТЁМ ВЛАДИМИРОВИЧ
ЧАСТИЧНЫЕ n-АРНЫЕ ГРУППОИДЫ С УСЛОВИЯМИ НА
КОНГРУЭНЦИИ
01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Ульяновск – 2017
Работа выполнена на кафедре «Высшей математики –1» ФГАОУ ВО «Национальный
исследовательский университет «МИЭТ».
Научный
руководитель:
Кожухов Игорь Борисович,
доктор физико-математических наук, профессор
Официальные
оппоненты:
Пинус Александр Георгиевич,
доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВО
«Новосибирский государственный технический университет»,
кафедра «Алгебры и математической логики»)
Щучкин Николай Алексеевич,
кандидат физико-математических наук, доцент (ФГБОУ ВО
«Волгоградский государственный социально-педагогический
университет», кафедра «Алгебры, геометрии и математического анализа»)
Ведущая
организация:
ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени
М. В. Ломоносова»
Защита состоится «19» апреля 2017 г. в 1200 часов на заседании диссертационного
совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный университет» по
адресу: ул. Набережная р. Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.
С диссертацией и авторефератом диссертации можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайтах вуза – http://ulsu.
ru и http://new.ulsu.ru, а также с авторефератом можно ознакомиться на сайте
Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской
Федерации – http://vak.ed.gov.ru.
Отзывы по данной работе просим направлять по адресу:
432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, Отдел подготовки кадров высшей
квалификации.
Автореферат разослан «__» ________ 2017 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
к.ф.-м.н. доцент
Волков М.А.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования. Конгруэнциям универсальных алгебр посвящено значительное число работ, как оригинальных, так и обзорных. Хорошо известно,
что конгруэнции универсальной алгебры образуют решётку. А. Г. Пинусом1 изучалась
связь между универсальными алгебрами на одном и том же множестве с разными сигнатурами, но одинаковыми решётками конгруэнций. В. А. Щербаковым, А. Х. Табаровым и Д. И. Пушкашу2 исследовались связи свойств конгруэнций группоидов и, в частности, квазигрупп со свойствами самого группоида (например, правой или левой сократимостью). А. В. Карташова3 провела обзор результатов по конгруэнциям унарных
алгебр; также конгруэнциям унарных алгебр посвящена диссертация В. Дж. ДеМео4 ,
особое внимание в которой уделено проблеме вложимости конечной решётки в решётку конгруэнций конечной алгебры. Проблеме вложимости алгебраической решётки в
решётку конгруэнций группоида посвящена работа В. А. Лампе5 . Конгруэнции полугрупп изучались в статье К. Ауингера6 , совместной статье Н. Кехайопулу и М. Цингелиса7 и во многих других работах. В обзорных статьях Х. Митча8,9 большое внимание уделено вопросу о том, как связаны строение полугруппы и строение её решётки
конгруэнций. Р. Фризом и Дж. Б. Нейшном10 выявлены некоторые свойства абстрактного класса решёток, изоморфных решёткам конгруэнций полурешёток. Конгруэнции
универсальных алгебр разных типов изучались в работах М. В. Лоусона11 , Р. Фриза,
В. А. Лампе, В. Тейлора12 , Дж. Плонки13 .
В алгебрах с бинарной операцией (группоидах) наряду с решёткой конгруэнций
часто рассматриваются решётка правых и решётка левых конгруэнций. Каждая из
этих решёток несёт гораздо более значительную информацию об алгебре, чем решётка
обычных (двусторонних) конгруэнций. Например, если решётка правых (или левых)
конгруэнций полугруппы конечна, то сама полугруппа конечна (это следует из теоре1
Пинус А. Г. Об универсальных алгебрах с идентичными производными объектами (конгруэнциями, алгебраическими множествами) // Сиб. электрон. матем. изв. T. 11. 2014. С. 752 – 758.
2
Щербаков В. A, Табаров А. Х, Пушкашу Д. И. О конгруэнциях группоидов, тесно связанных с квазигруппами. // Фундамент. и прикл. матем. Т. 14, №5. 2008. С. 237 – 251.
3
Карташова А. В. О решетках конгруэнций и топологий унарных алгебр // Чебышевский сб. Т. 12,
вып. 2. 2011. С. 27 – 33.
4
William J. DeMeo. Congruence lattices of finite algebras. – 2012. – 114 p.
5
Lampe W. A. Congruence lattices of algebras of fixed similarity type, II. // Pacific J. Math. Vol. 103,
no. 2. 1982. P. 475 – 508.
6
Auinger K. The congruence lattice of a strict regular semigroup. // Journal of Pure and Applied
Algebra. V. 81, issue 3. 7 September 1992. P. 219 – 245.
7
Kehayopulu N., Tsingelis M. g-Congruences on Semigroups, Ordered Semigroups. // International J. of
Algebra. Vol. 5, no. 24. 2011. P. 1189 – 1194.
8
Mitsch H. Semigroups and their lattice congruences. // Semigroup Forum. V. 26, №1 – 2. 1983. P. 1 –
64.
9
Mitsch H. Semigroups and their lattice congruences II. // Semigroup Forum. V. 54, Issue 1. 1997. P. 1
– 42.
10
Freese R., Nation J. B. Congruence Lattices of Semilattices. // Pacific J. of Math. Vol. 49, no. 1. 1973.
P. 51 – 58.
11
Lawson M. V. Congruences on ordered groupoids. // Semigroup Forum. Volume 47, Issue 1. 1993. P. 150
– 167.
12
Freese R., Lampe W. A., Taylor W. Congruence lattices of algebras of fixed similarity type, I. // Pacific
J. Math. Vol. 82, no. 1. 1979. P. 59 – 68.
13
Plonka J. On lattices of congruences of relational systems and universal algebras. // Algebra Universalis.
Volume 13, Issue 1. 1981. P. 82 – 88.
3
мы 9 работы Э. Хотцеля14 ). С односторонними конгруэнциям полугрупп приходится
иметь дело в теории полигонов над полугруппами (автоматов)15 . И. Б. Кожуховым16
были описаны полугруппы, у которых левые конгруэнции образуют цепь. Некоторые
классы полугрупп с условиями минимальности или максимальности на правые (левые)
конгруэнции были описаны в уже упомянутой статье Э. Хотцеля и в работе И. Б. Кожухова17 .
Большой интерес алгебраистов занимали так называемые простые алгебры, точнее,
конгруэнц-простые, т.е. универсальные алгебры A, у которых решётка конгруэнций
Con A удовлетворяет условию Con A = {4, 5}, где 4 = {(a, a)|a ∈ A} – отношение
равенства на A, а 5 = A × A – универсальное отношение. К этому направлению относятся, в частности, теории простых групп, простых колец и модулей, простых и
0-простых полугрупп. Немало интересных результатов по данному направлению исследований можно найти в обзорной статье В. А. Артамонова18 .
Но в истории развития науки известно немало примеров, когда для объектов, в
некотором смысле противоположных хорошо изученным или активно изучаемым, ставилась проблема их изучения. Например, в статье Ф. Галвина и А. Хорна19 изучались
универсальные алгебры с условием Con A = Eq A (здесь Eq A – решётка отношений
эквивалентности на A). Такие алгебры как бы противоположны конгруэнц-простым
алгебрам. В статье Л. Н. Шеврина20 (§2, п.2.3, стр. 50) дано описание полугрупп, у которых любое непустое подмножество является подполугруппой – такие полугруппы в
некотором смысле противоположны простым полугруппам. Поэтому схожие вопросы
являются актуальными: для каких группоидов каждое отношение эквивалентности
является односторонней конгруэнцией? Какие из этих группоидов являются полугруппами? Ранее в общей алгебре исследования в этом направлении не проводились.
Более общим понятием, чем универсальная алгебра, является понятие частичной
универсальной алгебры, т.е. множества с частичными операциями, не обязательно одной и той же арности (см. главу 2 монографии Г. Гретцера21 и монографию Е. С. Ляпина и А. Е. Евсеева22 ). Напомним, что частичную операцию на множестве A можно
определить как отображение некоторого подмножества множества An в множество A.
Обычные (не частичные) алгебры мы далее называем полными.
Конгруэнции частичных универсальных алгебр, по-видимому, впервые были рас14
Hotzel Е. On finiteness conditions in semigroups. // J. Algebra. V. 60. 1979. P. 352 – 370.
Lallement G. Semigroups and combinatorial applications. – New York: Wiley. – 1979. – 376 p. [Русский
перевод: Лаллеман Ж.. Полугруппы и комбинаторные приложения. – М.: Мир. – 1985. – 440 с.]
16
Kozhukhov I. B. Left chain semigroups. // Semigroup Forum. V. 22. 1981. P. 1 – 8.
17
Kozhukhov I. B. On semigroups with minimal or maximal condition on left congruences. // Semigroup
Forum. V. 21. 1980. P. 337 – 350.
18
Артамонов В. А. Универсальные алгебры. // Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А. и др.
Под общ. ред. Скорнякова Л. А. Обшая алгебра. – М.: Наука, Физматлит. – 1991. – Т. 2. СМБ. – С. 295
– 367.
19
Galvin F., Horn A. Operations preserving all equivalence relations. // Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 24,
no. 3. 1970. P. 521 – 523.
20
Шеврин Л. Н. Полугруппы. // Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А. и др. Под общ. ред.
Скорнякова Л. А. Обшая алгебра. – М.: Наука, Физматлит. – 1991. – Т. 2. СМБ. – С. 11 – 191.
21
Grätzer G. Universal algebra. Second Edition. – Springer Science + Business Media, LLC. – 2008, 2nd
ed. with updates. – 1979, Second Edition. – 586 p.
22
Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. – С.-Петербург, Росс. гос. пед. ун-т
им. А. И. Герцена: Образование. – 1991. – 163 с.
15
4
смотрены Г. Гретцером и Е. Т. Шмидтом23 . В той же работе было установлено, что
конгруэнции частичной универсальной алгебры A всегда образуют алгебраическую
решётку (то есть решётку, каждый элемент которой является точной верхней гранью
некоторого множества компактных элементов). Определение конгруэнции частичной
алгебры подробно обсуждается в одной из последующих работ Г. Гретцера, совместной
с Г. Х. Венцелем24 : она целиком посвящена конгруэнциям частичных алгебр. Доказано,
что любая алгебраическая решётка изоморфна решётке конгруэнций некоторой полной
универсальной алгебры25 , а также решётке конгруэнцией некоторой частичной универсальной алгебры, все операции которой являются унарными26 . Легко проверить,
что решётка конгруэнций частичной алгебры не обязательно является подрешёткой
решётки отношений эквивалентности на A.
Частичным алгебрам и их конгруэнциям посвящены работы П. Бурмейстера27 ,
А. Х. Клиффорда и Т. Е. Холла28 , И. Флейшера29 , В. Т. Кулика30,31 , Ф. Пастейна32 ,
Р. Х. Шелпа33 , И. Хайды и М. Коларжика34 . Вопросы переноса различных результатов с полных универсальных алгебр на частичные весьма актуальны в современной
алгебре. Особое место в теории частичных универсальных алгебр занимают вопросы
продолжаемости частичных операций до полных (например, см. статьи Е. С. Ляпина35 ,
Т. В. Апраксиной и М. Ю. Максимовского36 , А. О. Петрикова37 ).
Также одним из важнейших направлений современной алгебры является перенос
различных результатов с бинарных группоидов (в частности, групп, полугрупп, квазигрупп) на универсальные алгебры с одной операцией арности n – мы их называем
n-арными группоидами, в некоторых работах они называются n-группоидами или n23
Grätzer G., Schmidt E. T. Characterizations of congruence lattices of abstract algebras. // Acta Sci.
Math. (Szeged). Vol.24, №3. 1963. P. 34 – 59.
24
Grätzer G., Wenzel G. H. On the concept of congruence relation in partial algebras. // Math. Scand.
Vol. 20. 1967. P. 275 – 280.
25
Grätzer G. Universal algebra. Second Edition. §18, theorem 3. – Springer Science + Business Media,
LLC. – 2008, 2nd ed. with updates. – 1979, Second Edition. – 586 p.
26
Там же, §18, theorem 1.
27
Burmeister P. Free partial algebras. // J. Reine Angew. Math. Volume 1970, issue 241. January 1970.
P. 75 – 86.
28
Clifford A. H., Hall T. E. A characterisation of R-classes of semigroups as a partial groupoids. //
Semigroup Forum. Volume 6. 1973. P. 246 – 254.
29
Fleischer I. On extending congruences from partial algebras. // Fund. math. Volume 88. 1975. P. 11 –
16.
30
Кулик В. Т. О наибольших сильных отношениях конгруэнтности частичных универсальных алгебр. // Исследования по алгебре. Саратов: изд. Саратовского ун-та. 1970. С. 40 – 46.
31
Кулик В. Т. О решётках сильных отношений конгруэнтности полугруппоидов. // Упорядоченные
множества и решётки. Вып. 2. Саратов: изд. Саратов. ун-та. 1974. С. 42 – 50.
32
Pastijn F. A generalization of Green’s equivalence relations for halfgroupoids. // Simon Stevin. Volume
49. 1976 P. 165 – 175.
33
Schelp R. H. A partial semigroup approach to partially ordered sets. // Proc. London Math. Soc. Volume
24. 1972. P. 46 – 58.
34
Chajda I, Kolařik M. Very true operators in effect algebras. // Soft Computing. Volume 16, Issue 7.
July 2012. P. 1213 – 1218.
35
Ляпин Е. С. Внутреннее полугрупповое продолжение некоторых полугрупповых амальгам. // Известия вузов. Матем. №11. 1993. С. 20 – 26.
36
Апраксина Т. В., Максимовский М. Ю. Полигоны и частичные полигоны над полурешётками. //
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 12, вып. 1. 2012. С. 3 – 7.
37
Петриков А. О. Частичные полугруппы и отношения Грина. // Электр. информ. сист. №3(3).
2014. С. 65 – 72.
5
оперативами. Например, Н. А. Щучкин38 показал, что любая конечная абелева n-арная
группа представима в виде прямого произведения примарных абелевых полуциклических n-арных групп, что обобщает известную теорему о строении обычных (бинарных)
конечных абелевых групп.
Важно, что при переходе от некоторого класса K алгебраических систем к более
широкому классу K 0 одно и то же понятие может быть перенесено с K на K 0 различными неэквивалентными способами. Например, старинное понятие ортогональности
латинских квадратов, относящееся с точки зрения современной математики к теории
квазигрупп, было перенесено на n-арные квазигруппы; причём было предложено два
неэквивалентных определения: Г. Б. Белявская и Г. Л. Маллен39 изучали в своей работе ортогональные n-арные квазигруппы, а спустя некоторое время Ф. М. Сохацкий и
И. В. Фриз40 ввели для n-арных квазигрупп понятие перпендикулярности, также обобщающее ортогональность латинских квадратов, но не совпадающее в n-арном случае
с понятием ортогональности.
Поэтому понятие ассоциативности также можно перенести с бинарных операций на
n-арные различными способами. Классическое определение n-арной ассоциативности
зародилось в исследованиях Э. Казнера (согласно бюллетеню Л. Г. Вельда41 ), Х. Прюфера42 , В. Дёрнте43 (в своей статье он также упоминает Э. Нётер), Э. Л. Поста44 и в
настоящее время прочно вошло в общую алгебру. Универсальные алгебры с одной
n-арной ассоциативной операцией в различных работах называются n-арными полугруппами, n-полугруппами, или n-ассоциативами. В связи с вышесказанным исследования n-арных группоидов, которые по тем или иным причинам кажутся похожими
на полугруппы, но при этом не являются n-арными полугруппами, представляются
актуальными.
Объектом исследования в работе являются решётки конгруэнций частичных универсальных алгебр и решётки Ri -конгруэнций частичных n-арных группоидов.
Предметом исследования является строение частичных и полных универсальных
алгебр, у которых решётка отношений эквивалентности совпадает с решёткой конгруэнций, частичных и полных n-арных группоидов, у которых для некоторого фиксированного значения i решётка отношений эквивалентности совпадает с решёткой
Ri -конгруэнций, строение полугрупп с аналогичными ограничениями на решётку отношений эквивалентности, а также строение полугрупп и n-арных группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией.
Цель работы. Целью данной диссертационной работы является изучение связей
решёток конгруэнций (частичных) универсальных алгебр и решёток односторонних
38
Щучкин Н. А. Строение конечных абелевых n-арных групп. // Дискрет. матем. Т. 26, вып. 3. 2014.
С. 144 – 159.
39
Belyavskaya G. B., Mullen G. L. Orthogonal hypercubes and n-ary operations. // Quasigroups and
Related Systems. Vol. 13, no. 1. 2005. P. 73 – 86.
40
Sokhatsky F. M., Fryz I. V. Invertibility criterion of composition of two multiary quasigroups. //
Commentat. Math. Univ. Carolin. Vol. 53, no. 3. 2012. P. 429–445.
41
Weld L. G. The fifty-third annual meeting of the American Association for the Advancement of Science.
// Bull. Amer. Math. Soc. V. 10. 1904. P. 290 – 291.
42
Prüfer H. Theorie der Abelschen Gruppen. I. Grundeigenschaften. // Math. Z. Bd. 20. 1924. S. 165 –
187.
43
Dörnte W. Unterschungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegriff. // Math. Z. Bd 29. 1929. S. 1
– 19.
44
Post E. L. Poliadic groups. // Trans. Amer. Math. Soc. V. 48, № 2. 1940. P. 208 – 350.
6
конгруэнций (частичных) n-арных группоидов с (частичными) операциями самой (частичной) алгебры или (частичного) n-арного группоида.
Задачи исследования. В диссертационной работе были решены следующие задачи.
1. Пусть G – группоид, содержащий не менее четырёх элементов, у которого каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией. Доказать, что в этом случае либо все отношения эквивалентности на G являются
правыми конгруэнциями, либо все они – левые конгруэнции.
2. Характеристика универсальных алгебр, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией, изветна. Найти как можно более широкий
класс частичных алгебр, для которых аналогичная характеристика оставалась
бы справедливой.
3. Выяснить, существуют ли n-арные группоиды G при n ≥ 3, содержащие не менее
четырёх элементов, такие, что каждое отношение эквивалентности на G является
его односторонней конгруэнцией, но но при этом ни для какого значения i решётка отношений эквивалентности на G не совпадает с его решёткой Ri -конгруэнций.
Научная новизна В ходе выполнения диссертационной работы получен ряд новых
научных результатов:
1) найдены необходимые и достаточные условия того, что каждое отношение эквивалентности группоида является его односторонней конгруэнцией;
2) получена характеристика частичных универсальные алгебр A, у которых любое
отношение эквивалентности является конгруэнцией, при дополнительном условии на A, названном в диссертации квазиполнотой;
3) построены примеры n-арных группоидов G, содержащих не менее четырёх элементов, у которых каждое отношение эквивалентности является односторонней
конгруэнцией, а решётка отношений эквивалентности ни при каком значении i
не совпадает с решёткой Ri -конгруэнций на G.
Положения, выносимые на защиту.
1. Доказано, что для группоида G, содержащего хотя бы 4 элемента, каждое отношение эквивалентности на G является правой или левой конгруэнцией тогда и
только тогда, когда либо все отношения эквивалентности на G являются правыми конгруэнциями, либо все они являются левыми конгруэнциями;
2. Доказано, что для частичной универсальной алгебры A с набором частичных
операций Σ, удовлетворяющей условию «для любой частичной операции f ∈ Σ
(обозначим её арность через n), для любого индекса k, для любых элементов x1 ,
..., xk−1 , xk+1 , ..., xn ∈ A, значение f (x1 , ..., xk−1 , y, xk+1 , ..., xn ) определено по
крайней мере для трёх различных значений y» (это условие названо в диссертации квазиполнотой), если каждое отношение эквивалентности на A является
конгруэнцией, то каждая частичная операция f ∈ Σ является либо константой,
либо проекцией;
3. Доказано, что для любого n ≥ 3 существуют n-арные группоиды G, содержащие
ровно 4 элемента, у которых каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией, но при этом ни для какого знчения i решётка отношений
эквивалентности не совпадает с решёткой Ri -конгруэнций.
Достоверность результатов исследований. Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими математическими доказательствами.
7
Апробация работы. Основные теоремы были представлены и обсуждались на
семинаре «Кольца, модули и матрицы» кафедры высшей алгебры механико-тематического факультета МГУ, на семинаре «Алгебраические системы» кафедры алгебры и
дискретной математики Уральского федерального университета. Кроме того, многие
результаты диссертации были изложены в докладах во время выступлений на следующих научных конференциях:
1) на 16-й Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика – 2009». Москва, МИЭТ,
2009;
2) на VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвящённой памяти профессора А.А.Карацубы. Тула,
ТГПУ им. Л.Н.Толстого 2010;
3) на Всероссийской конференции, посвящённой 110-летию математического факультета МПГУ. Москва, МПГУ, 2011;
4) на 8-й Международной алгебраической конференции на Украине, посвящённой
памяти профессора В.М.Усенко. Луганск, 2011;
5) на Международной математической конференции по случаю 70-летия профессора В.В.Кириченко. Николаев, Украина, 2012;
6) на VIII Международной конференции, посвящённой 190-летию проф.
П. Л. Чебышева и 120-летию проф. И. М. Виноградова. Саратов, 2013;
7) на Международном симпозиуме «Абелевы группы», посвящённом 100-летию со
дня рождения проф. Л. Я. Куликова. Москва, МПГУ, 2014;
8) на Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвящённой 85-летию со дня рождения профессора С. С. Рышкова. Тула, ТПГУ, 2015;
9) на Междунродной конференции «Математика и информатика».
Москва, МПГУ, 2016;
10) на VII Международной научно-технической конференции «Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование». Донецк,
ДонНТУ, 2016.
Личный вклад автора. Постановка задач выполнена совместно с научным руководителем. Доказательства утверждений, выносимых на защиту, получены лично
автором. Публикации выполнены автором самостоятельно (кроме совместной с научным руководителем статьи [1], в которой автору диссертации принадлежит не менее
50% результатов).
Методы исследования. В работе использованы методы универсальной алгебры,
теории решёток, алгебраической теории полугрупп.
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения частичных универсальных алгебр, а также в образовательном процессе
при чтении спецкурсов.
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 19 научных работ, из
них 4 статьи – в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК
РФ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав
и списка литературы из 69 наименований. Общий объем диссертации составляет 96
страниц, основной текст диссертации изложен на 71 странице.
8
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении даётся обзор работ других авторов по теме диссертации, затем даётся
общая характеристика данной диссертации и кратко излагаются основные её результаты.
В главе 1 изучаются произвольные универсальные алгебры (A, Σ), причём подразумевается, что все операции из сигнатуры Σ имеют конечную арность. Прежде
всего, рассматриваются группоиды, то есть алгебры вида (A, {f }), где f – бинарная
операция. Вместо «f (x, y)» мы пишем просто «xy».
Используются следующие определения. Правая конгруэнция группоида G – это
такое отношение эквивалентности ρ на G, что (a, b) ∈ ρ ⇒ (ac, bc) ∈ ρ при всех a, b, c ∈
G. Левая конгруэнция определяется двойственным образом. Элемент z группоида G
называется обобщённым правым нулём, если xz = yz при всех x, y ∈ G. Обобщённый
левый нуль определяется двойственным образом.
Полугруппой правых нулей называется группоид S, в котором ab = b при всех
a, b ∈ S. Полугруппа левых нулей определяется аналогично – тождеством ab = a. Если
в группоиде S есть элемент θ такой, что ab = θ при всех a, b ∈ S, то S называется
полугруппой с нулевым умножением.
Для произвольной операции f , заданной на некотором множестве A, мы говорим,
что f – константа, если существует такой элемент c ∈ A, что f (a1 , . . . , an ) = c при
всех a1 , . . . , an ∈ A. Операция f – проекция, если существует такой индекс i, что
f (a1 , . . . , an ) = ai при всех a1 , . . . , an ∈ A.
Для группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является правой
конгруэнцией, в диссертации получена следующая характеристика, которая в дальнейшем используется при доказательстве других теорем:
Теорема 1.2. Все отношения эквивалентности группоида G являются его правыми конгруэнциями в том и только том случае, если выполняется хотя бы одно
из следующих условий:
(i) |G| ≤ 2;
(ii) каждый элемент группоида G является его правой единицей или обобщённым
правым нулём.
Характеристика группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией, известна, однако, она несложным образом получается из теоремы
1.2, и в диссертации для неё приведено полное доказательство:
Теорема 1.5. Все отношения эквивалентности группоида G являются его конгруэнциями в том и только том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
(i) |G| ≤ 2;
(ii) G – полугруппа с нулевым умножением;
(iii) G – полугруппа левых нулей;
(iv) G – полугруппа правых нулей.
Следующая теорема описывает универсальные алгебры, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. Как и в случае с группоидами, данный
результат не является новым – впервые он был получен, по всей видимости, в работе
Ф. Галвина и А. Хорна45 , причём авторы данной работы допускали операции беско45
Galvin F., Horn A. Operations preserving all equivalence relations. // Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 24,
no. 3. 1970. P. 521 – 523.
9
нечной арности. Однако, в нашем случае все операции являются конечноарными. Это
позволяет существенно упростить формулировку теоремы и получить для неё более
простое доказательство, основанное на теореме 1.5 – оно приведено в данной диссертации:
Теорема 1.6. Пусть A – универсальная алгебра с набором операций Σ. Все отношения эквивалентности на алгебре A являются её конгруэнциями в том и только
том случае, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
(i) |A| ≤ 2;
(ii) каждая операция f ∈ Σ является константой или проекцией.
Перейдём теперь к изложению новых результатов главы 1: они получены в разделах 1.5 – 1.7. В этих разделах изучаются группоиды, у которых каждое отношение
эквивалентности является односторонней конгруэнцией. В диссертации такие группоиды названы R ∨ L-группоидами; по всей видимости, ранее они в общей алгебре
не рассматривались. Леммы 1.8 – 1.29, размещённые в разделах 1.5 и 1.6, носят вспомогательный характер и фактически являются фрагментами доказательства основной
теоремы 1.31 (её формулировка будет представлена ниже). В разделе 1.7 представлена
окончательная характеристика R ∨ L-группоидов, кратко эту характеристику можно
изложить следующим образом.
Мы обозначаем решётку всех отношений эквивалентности на множестве X через
EqX, решётки правых, левых и двусторонних конгруэнций группоида G – соответственно через RCon G, LCon G и Con G.
Сделаем одно замечание, прежде чем сформулировать теорему 1.31. Пусть G –
произвольный группоид. Несложно видеть, что если выполнено хотя бы одно из следующих условий:
1) |G| ≤ 2;
2) Eq G = RCon G;
3) Eq G = LCon G,
то G обязательсно является R ∨ L-группоидом. Поэтому ставится задача получить
остальные R ∨ L-группоиды. Это несложно сделать, если |G| = 3: в этом случае с
точностью до изоморфизма и антиизоморфизма существует всего 19 различных R ∨ Lгруппоидов G таких, что (Eq G 6= RCon G) и (Eq G 6= LCon G), их таблицы Кэли
приведены в предложении 1.30, они получены с помощью компьютерной программы
методом полного перебора вариантов без отсечений.
Оказывается, что в остальных случаях (то есть когда одновременно выполнены
условия |G| ≥ 4, Eq G 6= RCon G и Eq G 6= LCon G) получить R ∨ L-группоид G невозможно; точная формулировка утверждения будет следовать из теоремы 1.31. Чтобы
установить этот факт, предварительно потребовалось доказать леммы 1.8 – 1.27, расположенные в разделе 1.5. Для того, чтобы ослабить требование (Eq G 6= RCon G)&
(Eq G 6= LCon G), насколько это возможно, в разделе 1.6 были доказаны леммы 1.28 –
1.29.
Для теоремы 1.31 нам осталось лишь сказать об используемых в её формулировке обозначениях. Пусть A – произвольное множество. Введём следующие отношения
эквивалентности:
∆ = {(a, a)|a ∈ A} (отношение равенства);
ρa,b = ∆ ∪ {(a, b), (b, a)} (при a 6= b);
10
σa = {(a, a)} ∪ ((A\{a}) × (A\{a})).
Отношения ρa,b – это в точности атомы решётки Eq A, а отношение σa осуществляет
разбиение множества A на два класса: {a} и A \ {a}.
Теорема 1.31. Пусть G – группоид такой, что |G| ≥ 4 и каждое отношение
эквивалентности вида ρa,b ∨ ρc,d (где a, b, c, d – различные элементы из G) является
правой или левой конгруэнцией на G. Если, кроме того, имеет место одна из следующих альтернатив:
(i) для любых a 6= b все отношения эквивалентности вида ρa,b и σa являются односторонними конгруэнциями на G;
(ii) |G| ≥ 5,
то группоид G удовлетворяет одному из следующих условий:
(iii) каждый элемент группоида G является его правой единицей или обобщённым
правым нулём;
(iv) каждый элемент группоида G является его левой единицей или обобщённым
левым нулём.
Следствие. Пусть G – группоид, состоящий из 4 или большего числа элементов.
Каждое отношение эквивалентности на G является односторонней конгруэнцией в
том и только том случае, если все отношения эквивалентности на G являются
правыми конгруэнциями либо все они – левые конгруэнции.
Завершая обзор первой главы диссертации, отметим, что вопрос об ослаблении требований теоремы 1.31 обсуждается в разделе 1.6. Пример 1.2 показывает, что одних
только ограничений на отношения ρa,b и σa не достаточно: существуют группоиды G,
состоящие из трёх, четырёх и любого большего количества элементов, у которых
все отношения эквивалентности вида ρa,b и σa являются односторонними конгруэнциями, но при этом G не является R ∨ L-группоидом.
Пример 1.3 показывает, что в случае |G| = 4 не достаточно одних только ограничений на отношения вида ρa,b ∨ ρc,d (при условии, что a,b,c,d – различные элементы
из G): существует четырёхэлементный группоид, у которого для любых различных
элементов a,b,c,d эквивалентность ρa,b ∨ ρc,d является односторонней конгруэнцией,
но при этом G не является R ∨ L-группоидом.
Лемма 1.10 из раздела 1.5 показывает, что ограничения на отношения вида σa
избыточны: согласно лемме, если в группоиде G для любых его различных элементов
a,b отношение эквивалентности ρa,b является правой или левой конгруэнцией, то
для любого элемента a ∈ G отношение эквивалентности σa также является правой
или левой конгруэнцией.
Не известно, являются ли ограничения на отношения вида ρa,b избыточными в теореме 1.31: данный вопрос в диссертации никак не рассматривался, что можно считать
одним из её недостатков.
Перейдём к изложению основных результатов следующей главы.
Глава 2 посвящена частичным универсальным алгебрам. Понятие частичной алгебры обобщает понятие универсальной алгебры. Напоним основные определения.
Пусть A – какое-либо множество. Отображение f : A0 → A называется частичной
n-арной операцией на A, если A0 ⊆ An . При этом множество A0 называется областью
определения частичной операции f , вводится обозначение A0 = dom f . Мы всегда будем
полагать, что для частичных операций множество A непусто, степень n – целое
неотрицательное число, однако в качестве областей определения частичных операций
11
мы будем допускать произвольные множества. В случае dom f = An будем говорить,
что f – полная операция.
Пусть Σ = {fα |α ∈ I} – семейство (конечное или бесконесное) частичных операций,
заданных на одном и том же множестве A. Тогда A называется частичной универсальной алгеброй с набором операций Σ и обозначается (A, Σ). Частичные универсальные
алгебры со всюду определёнными операциями будем называть полными.
Пусть (A, Σ) – частичная универсальная алгебра. Отношение эквивалентности ρ ⊆
A2 называется конгруэнцией 46 частичной алгебры A, если для любых элементов a1 , ...,
an , b1 , ..., bn ∈ A и любой частичной операции f ∈ Σ выполняется условие
если (a1 , b1 ) ∈ ρ, ..., (an , bn ) ∈ ρ
и f (a1 ,..., an ), f (b1 ,..., bn ) определены,
то (f (a1 ,..., an ), f (b1 ,..., bn )) ∈ ρ.
Известно47 , что конгруэнции частичной универсальной алгебры всегда образуют решётку.
Рассмотрим частичные универсальные алгебры, у которых решётка конгруэнций
совпадает с решёткой отношений эквивалентности. В общем случае проблематично
дать таким алгебрам исчерпывающую характеристику, однако такая характеристика известна в классе полных алгебр: см. изложенную выше теорему 1.6. Основная
задача второй главы – описать как можно более широкий класс частичных универсальных алгебр, для которых имеет место характеристика, аналогичная теореме
1.6.
Ключом к решению этой задачи стали введённые нами в разделе 2.1 односторонние
конгруэнции, свойства которых позволили существенно упростить выкладки, увидеть
аналогию с универсальными алгебрами и наметить путь к построению доказательства.
По аналогии с тем, как это было сделано в первой главе для полных универсальных алгебр, вторую главу мы начинаем с рассмотрения частичных алгебр, сигнатура
которых состоит из единственной частичной операции. Пусть f – частичная операция,
заданная на множестве G. В этом случае мы говорим, что G является частичным nарным группоидом с частичной операцией f и используем для него обозначение (G, f ).
Если f – полная n-арная операция, то мы говорим, что G – полный n-арный групоид.
Пусть G – частичный n-арный группоид с частичной операцией f . Зафиксируем
индекс i (1 ≤ i ≤ n). Для произвольной строчки α = (a1 , ..., ai−1 , ai+1 , ..., an ) определим
частичную унарную операцию ϕi,α (x) соотношением
ϕi,α (x) = f (a1 , ..., ai−1 , x, ai+1 , ..., an ).
Назовём отношение эквивалентности ρ ⊆ G2 Ri -конгруэнцией, или односторонней конгруэнцией, если для любого набора α ∈ Gn−1 отношение ρ является конгруэнцией
частичного унарного группоида (G, ϕi,α ).
Введённое таким образом понятие односторонней конгруэнции частичного n-арного
группоида действительно обобщает понятие односторонней конгруэнции обычного группоида: если G является полным бинарным группоидом, то R1 -конгруэнция на G – это
46
G. Grätzer. Universal algebra. Second Edition. §13. – Springer Science + Business Media, LLC. – 2008,
2nd ed. with updates. – 1979, Second Edition. – 586 p.
47
Там же, §16, теорема 1.
12
то же самое, что правая конгруэнция на G, а R2 -конгруэнция на G – это левая конгруэнция на G.
Как и в случае с полными алгебрами, решётку всех конгруэнций частичной универсальной алгебры A мы обозначим через Con A. Для частичного n-арного гурппоида
G множество всех его Ri -конгруэнций обозначим через Ri Con G. Введём также обозначение
R1 Con G ∩ ... ∩ Rn Con G = QCon G.
Элемент множества QCon G назовём квазиконгруэнцией. В общем случае Con G 6=
QCon G (см. пример 2.1 из раздела 2.1).
Отметим наиболее важные свойства односторонних конгруэнций.
Теорема 2.4. Если A – частичная универсальная алгебра, то множества QConA
и ConA являются решётками. Если G – частичный n-арный группоид, то не только
QConG и ConG, но также множества R1 ConG, ..., Rn ConG являютеся решётками.
В любой из перечисленных решёток σ ∧ τ = σ ∩ τ .
Теорема 2.7. Для любого частичного n-арного группоида имеют место включения решёток (как множеств) друг в друга:
Con G ⊆ QCon G ⊆ Ri Con G ⊆ Eq G.
Причём в общем случае ни одна из первых трёх решёток не является подрешёткой
какой-либо другой решётки из этих четырёх.
В разделе 2.2 получена характеристика частичных унарных алгебр, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. Значение этого результата мы
обсудим ниже, когда будем говорить о теореме 2.21; сейчас лишь отметим, что данный
результат обобщает теорему 2.6 и, таким образом, имеет непосредственное отношение
к основной задаче, которой посвящена глава 2.
Для формулировки теоремы понятия константы и проекции необходимо перенести с полных операций на частичные. Частичную n-арную операцию f , заданную на
множестве A, мы называем константой, если |f (A, ..., A)| ≤ 1. Мы говорим, что частичная операция f – проекция на i-ый аргумент (1 ≤ i ≤ n), если для любых (x1 , ...,
xn ) ∈ dom f выполняется равенство f (x1 , ..., xi , ..., xn ) = xi .
Теорема 2.9. Пусть U – частичная унарная алгебра с набором частичных операций Σ. Все отношения эквивалентности на частичной алгебре U являются её конгруэнциями в том и только том случае, если для любой частичной операции ϕ ∈ Σ
выполняется хотя бы одно из следующих условий:
(i) dom ϕ = {a, b} для некоторых a 6= b, причём ϕ(a) = b, ϕ(b) = a;
(ii) ϕ – проекция;
(iii) ϕ – константа.
Далее в разделе 2.3 получена характеристика частичных n-арных группоидов, у
которых для какого-либо фиксированного значения i все отношения эквивалентности
являются Ri -конгруэнциями. Используются следующие определения.
Набор (e1 , ..., ei−1 , ei+1 , ... en ) элементов частичного n-арного группоида G называется Ri -единицей, если равенство
x = f (e1 , ..., ei−1 , x, ei+1 , ...en )
справедливо для всех таких x ∈ G, при которых определено значение f (e1 , ..., ei−1 , x,
ei+1 , ... en ). Набор (z1 , ..., zi−1 , zi+1 , ... zn ) ∈ Gn−1 называется обобщённым Ri -нулём,
13
если равенство
f (z1 , ..., zi−1 , x, zi+1 , ...zn ) = f (z1 , ..., zi−1 , y, zi+1 , ...zn )
справедливо для всех таких x, y ∈ G, что при них оба значения f (z1 , ..., zi−1 , x, zi+1 ,
... zn ) и f (z1 , ..., zi−1 , y, zi+1 , ... zn ) оказываются определены.
Теорема 2.11. Пусть i ∈ {1, ..., n}. Все отношения эквивалентности частичного
n-арного группоида (G, f ) являются его Ri -конгруэнциями в том и только том случае, если для каждого элемента α ∈ Gn−1 выполняется хотя бы одно из следующих
условий
(i) α является Ri -единицей;
(ii) α является обобщённым Ri -нулём;
(iii) частичная операция ϕi,α , определённая соотношением (2.2), удовлетворяет следующему условию: для некоторых элементов x 6= y выполняются равенства
ϕi,α (x) = y и ϕi,α (y) = x, а для других аргументов значение частичной операции
ϕi,α не определено.
По поводу введённых определений необходимо сделать замечание. В данной диссертации R1 -единицу частичного бинарного группоида мы называем правой единицей.
В монографии Е. С. Ляпина и А. Е. Евсеева48 также введено понятие правой единицы
частичного группоида, однако наше определение не совпадает с определением авторов данной монографии. А именно, Е. С. Ляпин и А. Е. Евсеев требуют (глава III, §1),
чтобы для правой единицы e произведение xe было определено при всех x. Там же
вводится понятие правого (левого) нуля, которое в нашей терминологии выглядело бы
следующим образом: элемент z частичного бинарного группоида G называется правым
(левым) нулём (по Е. С. Ляпину и А. Е. Евсееву), если для любого x из G выполняется
соотношение xz = z (zx = z). Мы же обобщённым правым нулём называем просто
обобщённый R1 -нуль частичного бинарного группоида. Очевидно, что любой правый
нуль является обобщённым R1 -нулём.
Перейдём к основной теореме второй главы. Её доказательство существенно опирается на сформулированные выше теоремы 2.9 и 2.11, а также требует предварительного
доказательства ряда утверждений, представленных леммами 2.14 – 2.20.
Частичную универсальную алгебру (A, Σ) назовём квазиполной алгеброй, если она
удовлетворяет следующему условию:
для любой частичной операции f ∈ Σ
(обозначим её арность через n)
и для любых элементов a1 , ..., ai−1 , ai+1 , ..., an ∈ A
значение выражения f (a1 , ..., ai−1 , x, ai+1 , ..., an )
определено не менее, чем для трёх x ∈ A.
Теорема 2.21. Пусть (A, Σ) – квазиполная универсальная алгебра (в смысле определения 2.1).Все отношения эквивалентности на частичной алгебре A являются её
конгруэнциями в том и только том случае, если любая частичная операция f ∈ Σ
является константой или проекцией. Причём для каждой частичной операции f ∈ Σ
(обозначим её арность через n) имеет место альтернатива:
48
Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. – С.-Петербург, Росс. гос. пед. ун-т
им. А. И. Герцена: Образование. – 1991. – 163 с.
14
(i) если существует набор (a1 , ..., an ) ∈ dom f , для которого f (a1 , ..., an ) ∈
/ {a1 , ...,
an }, то f – константа;
(ii) если такого набора нет, то f – проекция.
Очень важный вопрос – можно ли класс квазиполных алгебр расширить до какоголибо другого класса K таким образом, чтобы теорема 2.21 оставалась справедливой
для нового класса K. Вообще, важно понять, не являются ли налагаемые данной теоремой ограничения на частичные алгебры избыточными. Данный вопрос был подробно
изучен в диссертации, и на него был получен отрицательный ответ. Тот факт, что
требование квазиполноты не является избыточным, следует из теоремы 2.9, согласно которой, если частичная унарная алгебра (U, Σ) не является квазиполной, то для
неё выполнение условия Con U = Eq U возможно даже в том случае, если не все
частичные операции из Σ являются константами или проекциями. Отдельный раздел 2.5 посвящён вопросу о том, можно ли в теореме 2.21 требование Con A = Eq A
ослабить до QCon U = Eq U . Пример 2.7 показывает, что этого сделать нельзя, так
как существуют частичные бинарные группоиды G с частичной операцией f , которая не является ни константой, ни проекцией, такие, что каждое отношение
эквивалентности на G является квазиконгруэнцией, но при этом не все отношения
эквивалентности частичного группоида G являются его конгруэнциями.
Перейдём к третьей главе диссертации. Она посвящена различным обобщениям
полученных результатов и обсуждению дальнейших возможных путей развития разработанной теории.
Все операции, универсальные алгебры и n-арные группоиды, рассматриваемые далее, подразумеваются полными.
Отношение эквивалентности на n-арном группоиде G, являющееся одновременно
Ri1 -, Ri2 -, ... и Rim -конгруэнцией, назовём RI -конгруэнцией, если I = {i1 , ..., im }. Для
произвольного непустого I ⊆ {1, ..., n} введём обозначение
\
Ri Con G.
RI Con G =
i∈I
В случае I = ∅ положим по определению R∅ Con G = Eq G. Таким образом, RI конгруэнцией n-арного группоида G мы называем произвольное отношение эквивалентности, являющееся элементом множества RI Con G.
В разделе 3.1 доказано несколько простых предложений, описывающих связи между различными классами RI -конгруэнций. Следовательно, не только сами RI -конгруэнции, но и их классы могут быть самостоятельными объектами исследования. Поэтому в рамках диссертации естественно возникает вопрос об изучении n-арных группоидов, у которых для какого-либо фиксированного множества индексов I каждое
отношение эквивалентности является RI -конгруэнцией. Их характеристика была получена в разделе 3.2; для её формулировки нам необходимы новые определения.
Будем говорить, что элемент z частичного n-арного группоида (G, f ) является обобщённым Li -нулём, если равенство
f (x1 , ..., zx−1 , z, xi+1 , ...xn ) = f (y1 , ..., yi−1 , z, yi+1 , ...yn )
имеет место для всех таких x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ... xn , y1 , ..., yi−1 , yi+1 , ... yn ∈ G, для
которые определены оба значения f (x1 , ..., xi−1 , z, xi+1 , ... xn ) и f (y1 , ..., yi−1 , z, yi+1 ,
... yn ). Обобщённый Li -нуль z назовём просто Li -нулём, если равенство
z = f (x1 , ..., zx−1 , z, xi+1 , ...xn )
15
выполняется для всех таких элементов x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ... xn ∈ G, для которых значение f (x1 , ..., xi−1 , z, xi+1 , ... xn ) определено. Назовём n-арным группоидом с нулевым
умножением n-арный группоид (G, f ), удовлетворяющий условию |f (G, ..., G)| = 1.
n-арный группоид G, для которого существует такой индекс i, что каждый элемент
из G является Li -нулём, будем называть n-арным группоидом Li -нулей.
Теорема 3.5. Пусть G – n-арный группоид с операцией f ; {1,..., n} = I ∪ J – разбиение множества {1,...,n} на два непересекающихся подмножества; ρ – отношение
эквивалентности на множестве G. Для каждого набора элементов {xj |j ∈ J} ⊆ G
определим на множестве G m-арную операцию
g(xi1 , ..., xim ) = f (x1 , ..., xn ),
{i1 , ..., im } = I.
Отношение ρ является RI -конгруэнцией n-арного группоида (G, f ) в том и только
том случае, если ρ является конгруэнцией каждого из группоидов (G, g).
n-арный группоид G, у которого каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией, назовём R1 ∨ ... ∨ Rn -группоидом. Очевидно, понятие R1 ∨
... ∨ Rn -группоида обобщает понятие R∨L-группоида из главы 1. Для R∨L-группоидов
в первой главе диссертации была доказана теорема 1.31, изложенная выше. Вопрос о
справедливости какой-либо аналогичной теоремы для R1 ∨ ... ∨ Rn -группоидов был
рассмотрен в разделе 3.3. Окончательного ответа на этот вопрос получить не удалось
ввиду его сложности, однако в этом направлении были получены промежуточные (не
окончательные) результаты.
Предположим, что для любого n ≥ 2 существует целочисленная функция m0 (n),
удовлетворяющая следующему условию:
(∗∗) любой n-арный R1 ∨ ... ∨ Rn -группоид G в случае |G| > m0 (n) является Ri группоидом при некотором i.
Тогда для неё будет справедлива следующая теорема:
Теорема 3.8. Пусть для любого n ≥ 2 существует целочисленная функция m0 (n),
удовлетворяющая условию (∗∗). Тогда она является неубывающей и удовлетворяет
условиям m0 (2) = 3 и m0 (3) ≥ 4.
Вопросы о характеризации R ∨ L-группоидов и группоидов, у которых каждое отношение эквивалентности является правой конгруэнцией, были отдельно рассмотрены
в классе полугурпп И. Б. Кожуховым. Полученные им результаты приведены в разделе 3.4; они включены в диссертацию для полноты изложения. Интересно отметить,
что любая R ∨ L-полугруппа S, содержащая не менее трёх элементов, представима
в виде S = S0 ∪E1 , где E1 – пустое множество или полугруппа левых (правых) нулей,
S0 – инфляция49,50,51,52,53 полугруппы правых (левых) нулей E0 , а для произвольных
элементов e ∈ E1 , f ∈ E0 , a ∈ K(f ) = {x ∈ S | ∃n xn = f } имеют место равенства
ae = a, ea = f .
49
Clarke G. T., Monzo R. A. R. A Generalisation of the Concept an Inflation of a Semigroup. // Semigroup
Forum. V. 60, issue 2. 2000. P. 172 – 178.
50
Warne R. J. TC Semigroups and Inflations. // Semigroup Forum. V. 54, issue 1. 1997. P. 271 – 277.
51
Wang Q., Wismath S. L. Generalized Inflations and Null Extensions. // Disc. Math. General Algebra
and Applications. V. 24, №2. 2004. P. 225 – 249.
52
Wang Q., Wismath S. L. Generalized Inflations of Completely Simple Semigroups. // Algebra Colloq.
V. 14, №1. March 2007. P. 103 – 116.
53
Bogdanović S. Milić S. Inflation of Semigroup. // Publications de L’Institut Mathématique. Nouvelle
série. Tome 41 (55). 1987. P. 63 – 73.
16
Завершает диссертацию раздел 3.5, посвящённый особому многообразию тернарных группоидов, которые очень близки к бинарным полугруппам, но почти не изученны в общей алгебре. Данное многообразие было обнаружено автором при более
внимательном рассмотрении результатов из раздела 3.4.
Было замечено, что все теоремы, доказанные в диссертации для Ri -конгруэнций,
не зависят от выбора значения i (точнее, если теорема доказана для какого-то одного
значения i, то для любого другого значения i легко сформулировать и доказать аналогичное утверждение). Однако, для полугрупп обнаруживается зависимость от i при
попытке обобщить соответствующие результаты на n-арные полугруппы. Так, например, если G – n-арный группоид, каждый элемент которого является Li -нулём, то в
случаях i = 1 и i = n G является n-арной полугруппой, в которой каждое отношение
эквивалентности является конгруэнцией, в то время как в случае 1 < i < n n-арный
группоид G вообще не является n-арной полугруппой (это доказано в диссертации в
предложении 3.19).
В связи с этим были рассмотрены тернарные группоиды из многообразия, заданного следующей системой тождеств:
f (f (x, a, b), y, z) = f (x, f (b, y, a), z) = f (x, y, f (a, b, z)).
(3.8)
В диссертации они были названы альтернативными тождествами ассоциативности, так как в их основу был положен принцип двойственности из теории полугрупп.
Была доказана следующая теорема. Для произвольной операции f , заданной на множестве G, и произвольной подстановки σ ∈ Sn введём операцию
f σ (x1 , ..., xn ) = f (xσ(1) , ..., xσ(n) ) при всех x1 , ..., xn ∈ G.
Теорема 3.22. Многообразие тернарных группоидов, заданное альтернативными
тождествами ассоциативности (3.8), содержит все тернарные группоиды L1 , L2
и L3 -нулей. Если тернарная операция f удовлетворяет тождестам (3.8), то для
любой подстановки σ ∈ S3 операция f σ также удовлетворяет тождествам (3.8).
Был выдвинут (и подробно обоснован) тезис, что тернарные группоиды из многообразия, заданного тождествами (3.8) ближе к полугруппам, чем классические тернарные полугруппы.
В дальнейшем предполагается исследовать условия выполнения равенства Eq G =
∪i Ri Con G в случае операции, удовлетворяющей изменённому определению ассоциативности (3.8).
Основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Следующие результаты, полученные в диссертационной работе, можно считать основными:
1) теорема 1.31, содержащая критерий того, что каждое отношение эквивалентности группоида является его односторонней конгруэнцией, а также следствие из
этой теоремы;
2) пример 1.3 и лемма 1.10, которые показывают, что в теореме 1.31 некоторые
ограничения на группоид не могут быть ослаблены;
3) теоремы 2.9 и 2.21, характеризующие квазиполные алгебры A, у которых любое
отношение эквивалентности является конгруэнцией;
17
4) пример 2.7, показывающий, что условие Con A = Eq A в теоремах 2.9 и 2.21 не
может быть ослаблено до QCon U = Eq U ;
5) теорема 3.8, позволяющая строить примеры n-арных группоидов G, у которых
каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией, а решётка отношений эквивалентности ни при каком значении i не совпадает с решёткой Ri -конгруэнций на G;
6) теорема 3.22, отражающая ключевое свойство многообразия универсальных алгебр, заданного системой тождеств (3.8).
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Кожухову И. Б. за постоянное внимание к работе.
РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ
РАБОТАХ
Публикации в журналах, входящих в список ВАК
1. Кожухов И. Б., Решетников А. В. Алгебры, у которых все отношения эквивалентности являются конгруэнциями. // Фундаментальная и прикладная математика. Т. 16, No 3. 2010. С. 161 – 192.
2. Решетников А. В. О конгруэнциях частичных n-арных группоидов. // Известия
Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. Т. 11, вып. 3, ч. 2. 2011. С. 46 – 51.
3. Решетников А. В. О частичных группоидах, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. // Вестник Московской государственной
академии делового администрирования. Серия: Философские, социальные и естественные науки. №5. 2011. С. 166 – 170.
4. Решетников А. В. О частичных n-арных группоидах, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. // Чебышёвский сборник. Т. 17,
вып. 1. 2016. С. 238 – 245.
Публикации в прочих журналах
5. Решетников А. В. Трёхэлементные R ∨ L-группоиды. // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Выпуск 13. Киров, 2011.
С. 145 – 149.
6. Решетников А. В. Об альтернативном определении тернарной полугруппы. //
Сборник научных трудов МИЭТ. Посвящается 70-летию профессора А. С. Поспелова. М.: МИЭТ, 2016. С. 100 – 116.
7. Решетников А. В. Об односторонних конгруэнциях n-арного группоида. // Электронные информационные системы. No 1 (8). 2016. С. 89 – 95.
8. Reshetnikov A. On One-sided Congruences of an Idempotent Groupoid. // 77th Workshop on General Algebra, 24th Conference for Young Algebraists. Potsdam, 2009. –
P. 27 – 28.
9. Решетников А. В. Об односторонних конгруэнциях группоида. // Микроэлектроника и информатика – 2009. Тезисы докладов. Москва, 2009. – С. 137.
18
10. Решетников А. В. О конгруэнциях частичного группоида. // Материалы VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и
приложения», посвящённой памяти профессора А. А. Карацубы. Тула, Изд. ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2010. – С. 167 – 168.
11. Решетников А. В. О тернарных группоидах, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. // Математика, информатика и методика их
преподавания. Материалы Всероссийской конференции, посвящённой 110-летию
математического факультета МПГУ. Москва, 2011. – С. 83 – 84.
12. Reshetnikov A. V. Duality for ternary operations. // Book of abstracts of the 8-th
International Algebraic Conference in Ukraine dedicated to the memory of Professor
V. M. Usenko. Lugansk, 2011. – P. 272.
13. Reshetnikov A. V. On definitions of n-ary associativity. // Book of Abstracts of the
International Mathematical Conference On occasion the 70th anniversary of Professor
V. V. Kirichenko. Mykolaiyv, Ukraine, 2012. – P. 168.
14. Решетников А. В. О конгруэнциях n-арных группоидов. // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов VIII Международной конференции, посвященной 190-летию П. Л. Чебышева и 120-летию И. М. Виноградова. Саратов, 2011. – С. 65 – 66.
15. Решетников А. В. О группоидах, у которых каждое атомарное отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией. // Абелевы группы. Материалы Международного симпозиума, посвящённого 100-летию со дня рождения
Л. Я. Куликова. Москва, 2014. – С. 66.
16. Решетников А. В. О частичных алгебрах, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. // Материалы XIII Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы
и приложения», посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора С. С. Рышкова. Тула, 2015. – С. 131 – 132.
17. Решетников А. В. О частичных n-арных группоидах, у которых все отношения
эквивалентности являются конгруэнциями. // Математика и информатика. Тезисы международной конференции. МПГУ. Москва, 2016. – С. 55.
18. Решетников А. В. О конгруэнциях частичных универсальных алгебр. // Сборник
материалов VII Международной научно-технической конференции «Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование».
ДонНТУ. Донецк, 2016. – С. 49 – 51.
19. Решетников А. В. О понятии двойственности для n-арных операций. // Микроэлектроника и информатика – 2012. Тезисы докладов. Москва, 2012. – С. 119.
19
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
411 Кб
Теги
группоиды, частичных, конгруэнции, условиями, арные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа