close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов. httpitam.nsc.ruuploadiblock4ccershoviv disser

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Ершов Игорь Валерьевич
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЙ РЕЛАКСИРУЮЩИХ
МОЛЕКУЛЯРНЫХ ГАЗОВ
01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Новосибирск 2014
Работа выполнена в ФГБУН Институте вычислительных технологий
Сибирского отделения Российиской академии наук и в ФГБОУ ВПО Новосибирском государственном архитектурно-строительном университете (Сибстрин).
Научный консультант:
Григорьев Юрий Николаевич, доктор физ.-мат. наук, профессор.
Официальные оппоненты:
Пухначев Владислав Васильевич, член-корр. РАН, доктор физ.-
мат. наук, профессор, гл. научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН;
Бойко Андрей Владиславович, доктор физ.-мат. наук, профессор,
гл. научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН;
Васенин Игорь Михайлович, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав.
кафедрой прикладной аэромеханики, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный
исследовательский Томский государственный университет.
Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учре-
ждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова РАН.
Защита состоится ѕ
ї
2015 г. в
часов на
заседании диссертационного совета Д 003.035.02 при ФГБУН Институте
теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН
по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН и на сайте
совета: www.itam.nsc.ru/ru/thesis/?ID=348373.
Автореферат разослан ѕ
ї
2014 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
доктор техн. наук
Засыпкин И.М.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. В последние несколько десятилетий ведется
активный поиск новых возможностей управления газовыми потоками посредством воздействия на процессы ламинарно-турбулентного перехода и
генерации турбулентности. При этом основное внимание уделяется эффектам, ранее находившимся вне поля зрения исследователей. Один из путей
воздействия на сжимаемые течения молекулярных газов связан с диссипативным эффектом, возникающим при релаксации термически возбужденных внутренних степеней свободы молекул газа.
Этот эффект проявляется, например, как аномальное поглощение уль-
1
тразвука в молекулярных газах . В сверхзвуковых течениях неравновесное
распределение внутренней энергии молекул во многих случаях возникает
естественным образом, например, в соплах, нерасчетных струях, за косыми
скачками уплотнения. В гидродинамическом приближении, описываемом
полной системой уравнений Навье Стокса, при небольшой термической
неравновесности этому диссипативному процессу соответствует коэффициент объемной вязкости в тензоре напряжений.
В уравнения теории гидродинамической устойчивости течений сжимае-
2
мого газа объемная вязкость впервые была введена в 1969 году Мэком .
Тем не менее в работах по устойчивости сжимаемых течений, как правило,
использовалось феноменологическое соотношение Стокса, позволяющее не
рассматривать объемную вязкость. Хотя из кинетической теории молекулярных газов известно, что исключение объемной вязкости возможно только для одноатомных газов.
В этой связи можно констатировать, что в общем случае влияние объемной вязкости, а также релаксации внутренних степеней свободы молекул
газа при более глубоком возбуждении, когда релаксируют возбужденные
колебательные моды молекул, на устойчивость сжимаемых течений исследовано недостаточно полно.
Таким образом, исследование влияния релаксационных процессов в термически неравновесных молекулярных газах на устойчивость и диссипативные свойства течений является современной и актуальной задачей.
Цель диссертационной работы состоит в изучении влияния релак-
сационных процессов в термически неравновесных молекулярных газах на
1 Михайлов И.С., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. Основы молекулярной акустики.
М.: Наука, 1964. 514 с.
2 Mack L.M. Boundary layer stability theory. Pasadena, California, USA, 1969 / (Rev.
A. / Jet propulsion lab.; Doc. 900 277). 388 p.
3
устойчивость и диссипативные свойства течений. Для достижения поставленной цели выполнены численные и аналитические исследования линейной и нелинейной устойчивости плоскопараллельных сжимаемых течений
термически неравновесного газа; диссипации вихревых структур в сдвиговом несущем потоке термически неравновесного газа; расчеты критических чисел Рейнольдса в плоском течении Куэтта термически неравновесного газа; нелинейного развития неустойчивости Кельвина Гельмгольца
в сдвиговом течении термически неравновесного газа с точкой перегиба на
профиле скорости.
Основные результаты и их научная новизна состоят в следующем.
1. Впервые проведено численные и аналитические исследования линейной устойчивости плоскопараллельных сжимаемых невязких течений
колебательно-неравновесного газа. Получено обобщение первой и второй
теорем Рэлея и теоремы Ховарда на случай рассматриваемых течений.
Доказано, что колебательная релаксация создает дополнительный диссипативный фактор, повышающий устойчивость потока.
2. Для свободного слоя сдвига колебательно-неравновесного газа рассчитаны наиболее неустойчивые невязкие моды с максимальными инкрементами нарастания. Исследования зависимостей инкрементов роста этих
мод возмущений от числа Маха и параметров колебательной релаксации
показали, что колебательная релаксация подобно сжимаемости снижает
инкременты нарастания возмущений. При этом с ростом числа Маха снижение инкрементов, обусловленное релаксационным процессом, становится все более заметным.
3. Для сжимаемого невязкого течения Куэтта колебательно-возбужденного газа рассчитаны семейства четных и нечетных невязких мод возмущений. Анализ фазовых скоростей этих мод возмущений показал, что рост
параметров колебательной релаксации слабо влияет на их поведение. При
этом для широкого диапазона изменения значений параметров колебательной релаксации и числа Маха первая невязкая мода всегда остается устойчивой. В то же время инкременты наиболее неустойчивой второй невязкой
моды, напротив, увеличиваются с возрастанием сжимаемости (числа Маха M), асимптотически стремясь к определенному конечному пределу при
M
? ?. Рост степени неравновесности колебательной энергии молекул га-
за приводит к уменьшению значений инкрементов второй невязкой моды
возмущений по сравнению с их значениями для термически равновесного
газа.
4. Для сжимаемого вязкого плоского течения Куэтта термически нерав-
4
новесного газа исследованы семейства четных и нечетных вязких мод возмущений. Показано, что рост значений числа Рейнольдса Re приводит к
росту значений инкрементов наиболее неустойчивых вязких мод возмущений и тем самым оказывает дестабилизирующее воздействие на течение.
Возрастание же степени термической неравновесности приводит к стабилизации течения, поскольку сопровождается падением значений инкрементов
роста наиболее неустойчивых вязких мод возмущений. Расчетные кривые
нейтральной устойчивости этих мод возмущений показали, что критические числа Рейнольдса возрастают примерно на 12 % при достижении максимального рассмотренного уровня термической неравновесности газа.
5. Впервые проведено обобщение энергетической теории гидродинамической устойчивости на случай сжимаемых течений термически неравновесных молекулярных газов. Получены уравнения энергетического баланса полной пульсационной энергии возмущений, учитывающие физические
особенности сжимаемого течения термически неравновесного молекулярного газа. На базе этих уравнений поставлены и решены вариационные
задачи на определение критических значений числа Рейнольдса для умеренного уровня термической неравновесности и колебательно-возбужденного газа.
6. Впервые построены длинноволновые асимптотические оценки критических чисел Рейнольдса для плоского течения Куэтта, показывающие,
что возрастание значений объемной вязкости, параметров термической релаксации и числа Маха потока приводит к росту критических чисел Рейнольдса. Для произвольных волновых чисел спектральные задачи решались численно методом коллокаций. В результате было показано, что на
фоне максимального уровня возбуждения внутренних степеней свободы
молекул газа рост критических чисел Рейнольдса может достигать примерно 40 %.
7. Впервые на базе модельного течения, представляющего собой суперпозицию вихря Рэнкина и линейного сдвигового потока, в рамках полных
уравнений Навье Стокса проведено численное моделирования влияния
объемной вязкости
?b
(слабой термической неравновесности) на нелиней-
ное взаимодействие вихревого возмущения конечной амплитуды с несущим
сдвиговым потоком. Расчеты показали, что в слабо сжимаемом течении с
возрастанием объемной вязкости в диапазоне
0 ? ?b ? 2 ? (?
сдвиговая
вязкость) относительное снижение абсолютной величины рейнольдсовых
напряжений и кинетической энергии возмущения увеличивается, приближаясь к 10 % при
?b = 2? .
При увеличении значения числа Маха M оба
5
предела возрастают, и при M
=2
достигают значения порядка 20 %.
8. Впервые в рамках полных уравнений двухтемпературной аэродинамики проведено численное моделирование влияния термической релаксации на нелинейное взаимодействие вихревого возмущения конечной амплитуды с несущим сдвиговым потоком колебательно-возбужденного газа.
Вычисления показали, что когда объемная вязкость и степень колебательной неравновесности возрастают, стремясь к своим максимальным значениям, принятым в расчетах, полные относительные снижения осредненных по условному времени ѕжизниї вихревой структуры величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений также растут,
приближаясь к 20 %. В приближении релаксационной газовой динамики,
когда все диссипативные коэффициенты в системе уравнений двухтемпературной аэродинамики равны нулю, относительные снижения осредненных по условному времени ѕжизниї вихревой структуры величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений при возрастании степени колебательной неравновесности и скорости неупругих VTэнергообменов достигают величин порядка 10 %.
9. Впервые проведены исследования диссипативного влияния релаксации внутренних мод молекул на процесс ламинарно-турбулентного перехода на основе моделирования полного цикла развития инерционной неустойчивости в эволюционирующем во времени сдвиговом слое с точкой перегиба на профиле скорости. Расчеты показали, что независимо от уровня
термической неравновесности эволюция вихревой структуры носит универсальный характер: рост и достижение через некоторое время максимального значения завихренности, затем ее спад и стабилизация к значению,
несколько превышающему начальное. При этом рост значений параметров термической релаксации сопровождается усилением расплывания вихревой структуры. Проведенные вычисления выявили однонаправленность
воздействия сжимаемости, объемной вязкости и возбуждения колебательных степеней свободы, возрастание которых вызывает увеличение диссипации энергии возмущений. В отсутствие у молекул газа возбужденных колебательных мод возрастание объемной вязкости сопровождается ростом
среднего по времени ѕжизниї структуры относительного увеличения диссипации энергии возмущений, которое достигает величины порядка 13,1 %.
При повышении же степени неравновесности колебательной энергии молекул газа в отсутствие объемной вязкости относительное увеличение диссипации энергии возмущений достигает примерно 11,4 %, а при достижении
объемной вязкости своего максимального значения
6
?b = 2? , используемого
в расчетах, приближается к 14,6 %.
Достоверность результатов диссертационной работы основывается на
использовании адекватных физико-математических моделей течений релаксирующих молекулярных газов, строгих математических методов теории гидродинамической устойчивости, тщательном тестировании реализуемых численных алгоритмов с контролем практической точности расчетов,
в частности, с помощью исследований сходимости на последовательности
вложенных сеток и устойчивости численных решений, сопоставлении результатов работы с численными и экспериментальными данными других
авторов.
Научная и практическая ценность работы состоят в том, что ре-
зультаты исследований, представленных в диссертационной работе, проливают свет на понимание роли релаксационных процессов, в частности,
объемной вязкости и колебательной релаксации, в задачах механики, учитывающих эффекты реального газа. Полученные численные и аналитические результаты позволяют оценить влияние дополнительного канала диссипации, связанного с релаксацией различных возбужденных внутренних
мод молекул газа, на гидродинамическую устойчивость течений и подавление турбулентности в возбужденных молекулярных газах. Впервые проведенные обобщения необходимых условий неустойчивости (теорем Рэлея
и Ховарда) и энергетической теории устойчивости на случай сжимаемых
течений термически неравновесных молекулярных газов могут рассматриваться в качестве новых дополнительных критериев устойчивости таких
течений.
Отметим, что во всех выполненных исследованиях рассматривались
уровни возбуждения внутренних мод молекул, которые можно получить
в двухатомных газах в течениях в соплах, недорасширенных струях или
умеренной лазерной накачкой. Это позволяет предположить, что лазерная накачка колебательных мод молекул может стать реальным способом
управления течениями молекулярных газов.
Исследования, представленные в диссертационной работе, неоднократно поддерживались грантами Российского фонда фундаментальных исследований (проекты ќ 01-01-00827, ќ 03-01-00160, ќ 05-01-00359, ќ 08-0100116, ќ 11-01-00064, ќ 14-01-00274). В 2014 году решением Президиума
Национального комитета по теоретической и прикладной механики РАН
цикл этих работ был удостоен премии имени академика Г.И. Петрова.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной ра-
боты докладывались и обсуждались на Всероссийских съездах по теорети-
7
ческой и прикладной механике (2006, 2011), International conference on the
methods of aerophysical research (ICMAR) (2002, 2004, 2007, 2008, 2010, 2012,
2014), Международной конференции ѕНелинейные задачи теории гидродинамической теории устойчивости и турбулентностьї (Не-За-Те-Ги-Ус)
(2012, 2014), Международной школе-семинаре ѕМодели и методы аэродинамикиї (2008 2014), Международной конференции ѕСовременные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практикаї (2001, 2011), Международной конференции по механике ѕШестые
Поляховские чтенияї (2012), Международной конференции ѕДифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближенийї (2008, 2013), Международной конференции ѕСовременные проблемы
вычислительной математики и математической физикиї (2009), Международной конференции ѕЗабабахинские научные чтенияї (2003, 2007), Юбилейной научной конференции, посвященной 40-летию Института механики МГУ (1999), Всероссийской конференции ѕНелинейные волныї (2009,
2011, 2014), Всероссийской конференции ѕНовые математические модели в
механике сплошных сред: построение и изучениеї (2004, 2009, 2014), Всероссийской конференции ѕФундаментальные и прикладные проблемы современной механикиї (2011, 2013), Всероссийской конференции по математике и механике (2008, 2013), XXVII Сибирском теплофизическом семинаре (СТС-XXVII) (2004), Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике
(2008), Всероссийском семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (2012), а таже на объединенном видеосеминаре по аэрогидродинамике ЦАГИ ИТПМ СО РАН СПбГПУ (руководитель академик
РАН В.М. Фомин), научных семинарах Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН (руководители академик РАН В.М. Фомин, профессор В.В. Козлов, г. Новосибирск), Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (руководитель членкорреспондент РАН В.В. Пухначев, г. Новосибирск), Института вычислительных технологий СО РАН, (руководители академик РАН Ю.И. Шокин,
профессор В.М. Ковеня, г. Новосибирск), Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель профессор В.К. Андреев, г. Красноярск), НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета (руководители профессора А.А. Глазунов, И.М. Васенин,
г. Томск).
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Обобщение первой и второй теорем Рэлея и теоремы Ховарда на
случай плоскопараллельных сжимаемых невязких течений колебательно-
8
возбужденного газа.
2. Результаты исследований линейной устойчивости свободного слоя
сдвига колебательно-возбужденного газа.
3. Результаты численных и аналитических исследований линейной устойчивости сжимаемого течения Куэтта термически неравновесного газа.
4. Результаты энергетического анализа линейной и нелинейной устойчивости сжимаемых плоскопараллельных течений термически неравновесных молекулярных газов.
5. Результаты исследований численного моделирования влияния релаксации внутренних мод молекул на нелинейное взаимодействие вихревого
возмущения конечной амплитуды с несущим сдвиговым потоком на базе
модельного течения, представляющего собой суперпозицию вихря Рэнкина
и линейного сдвигового потока.
6. Результаты исследований диссипативного влияния релаксации внутренних мод молекул на процесс ламинарно-турбулентного перехода на основе моделирования полного цикла развития инерционной неустойчивости
в эволюционирующем во времени сдвиговом слое термически неравновесного газа с точкой перегиба на профиле скорости.
Публикации. Материал диссертационной работы опубликован в 65 на-
учных работах, среди которых одна монография и 19 статей в научных
журналах из перечня ВАК.
Личный вклад автора состоит в непосредственном участии в поста-
новках исследуемых задач, разработке и реализации аналитических и численных методов решения этих задач, получении и обсуждении результатов
исследований, подготовке печатных работ и докладов на конференции. Результаты совместных работ представлены с согласия соавторов.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит
из Предисловия, Введения, шести глав, Заключения и списка литературы,
содержащего 187 наименований. Объем работы составляет 302 страницы,
включая 59 рисунков и 19 таблиц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В Предисловии дано обоснование актуальности темы диссертации,
сформулированы цели и задачи исследования, представлены научная новизна и практическая ценность работы, приведены основные положения,
выносимые на защиту. Описана структура и дано краткое описание диссертационной работы.
9
В Введении представлен обзор современного состояния исследуемого
в диссертации вопроса. Из приведенного анализа следует, что в совокупности полученные результаты документируют реальное существование рассмотренного эффекта и возможность его практического применения для
управления течениями молекулярных газов. Тем не менее влияние объемной вязкости и релаксации внутренних степеней свободы молекул газа при
более глубоком возбуждении, когда релаксируют возбужденные колебательные моды молекул, на устойчивость сжимаемых течений исследовано
недостаточно полно.
В Первой главе представлены физико-математические модели тече-
ний термически неравновесных молекулярных газов, которые используются в последующих главах. Приведены конечные формулы и экспериментальные данные для объемной вязкости и времен вращательной и колебательной релаксации, дающие представление о реальных диапазонах изменения этих параметров.
В п. 1.1 показано, что течения при умеренном уровне возбуждения
внутренних мод молекул газа удовлетворительно описываются в рамках
системы полных уравнений Навье Стокса вязкого теплопроводного газа, в которых релаксационный процесс учитывается посредством слагаемых с объемной вязкостью в тензоре напряжений. Появление в тензоре
напряжений вклада объемной вязкости и его связь с релаксационным процессом является строгим результатом кинетической теории многоатомных
3,4.
газов
В случае сильно неравновесного колебательно-возбужденного газа течение описывается в рамках полной системой уравнений двухтемпературной
аэрогазодинамики, где уравнения неразрывности и импульсов совпадают
с аналогичными уравнения из системы уравнений Навье Стокса, а релаксация колебательных мод молекул моделируется источниковым членом
в уравнении энергии и уравнением Ландау Теллера для колебательной
3,4
температуры
, которое имеет вид
(
)
?Tv
?Tv
?2 ? ? 2 Tv
?v ? (Tv ? T )
?v ?
+ uj
=
?
.
?t
?xj
Re Pr ?x2i
?vt
Здесь
?, ui , T , Tv , ?vt
(1)
плотность, компоненты вектора скорости, статиче-
ская и колебательные температуры газа, время колебательной релаксации
3 Жданов В.М., Алиевский М.Е. Процессы переноса и релаксации в молекулярных
газах. М.: Наука, 1989. 336 с.
4 Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.:
Мир, 1976. 554 с.
10
соответственно.
Параметры, входящие в уравнение (1), определяются следующим образом:
?2 = ?v /(?t + ?r ) (?t , ?r , ?v
коэффициенты теплопроводности, опи-
сывающие перенос энергии соответственно поступательными и вращательными степенями свободы молекул, а также квантами колебательной энергии); параметр
?v = cV, v /(cV, t + cV, r ) характеризует степень неравновесcV, r и cV, v удельные теплоемкости при
ности колебательной моды (cV, t ,
постоянном объем, обусловленные соответственно поступательным, вра-
? = (cV, t + cV, r +
R)/(cV, t + cV, r ) показатель адиабаты (R газовая постоянная); Re =
?0 hU0 /? и Pr = ?(cV, t + cV, r + R)/(?t + ?r ) числа Рейнольдса и Прандтля
щательным и колебательным движением молекул газа);
несущего потока соответственно. Все определенные здесь теплоемкости и
коэффициенты переноса предполагаются постоянными.
В п. 1.2 представлены, собранные из различных источников, экспериментальные данные по объемной вязкости, полученные из измерений поглощения ультразвука в молекулярных газах и электронно-оптических измерений времен вращательной релаксации
? rt
в ударных волнах и недо-
расширенных струях (см. табл. 1). Расчеты значений объемной вязкости
?b
для различных температур потока
T , проведенные для трех молекуT значения ?b также возрастают.
лярных моделей, показали, что с ростом
В последующих главах диссертации принималось, что объемная вязкость
меняется в интервале
0 ? ?b ? 2? ,
где
?
сдвиговая вязкость.
Значения объемной вязкости некоторых газов при
нормальных условиях T = 273 K, p = 105 Па
Газы
N2
CO
Воздух
CO2
H2
? · 105 , Па · с
1,750
1,750
1,820
1,460
0,880
(s)
?b · 105 , Па · с
0,348 12,274
1,178
54,015 34,570
(s)
(s)
?1 = ?b /?
0,199
7,014
0,647
39,997 39,280
(r)
?b · 105 , Па · с 0.966
1.231
(r)
(r)
?1 = ?b /?
0,552
0,703
Таблица 1.
Анализ экспериментальных и расчетных данных по времена колебательной релаксации
температуры газа
значения
с ростом
?vt
T.
T
?vt ,
проведенный в п. 1.2, показал, что при изменении
в диапазоне от
500 до 3000 K и давлении газа p = 1 атм
10 до 10?6 с, уменьшаясь
изменяются примерно в пределах от
Вторая глава посвящена численным и аналитическим исследованиям
линейной устойчивости плоскопараллельных течений невязкого нетеплопроводного колебательно-возбужденного газа.
11
В п. 2.1 в рамках системы уравнений двухтемпературной газовой динамики изучается линейная устойчивость плоскопараллельного сдвигового
течения колебательно-возбужденного двухатомного газа. Релаксация колебательных мод молекул в этой системе моделируется источниковым членом
в уравнении энергии и уравнением Ландау Теллера для колебательной
температуры. Основной (несущий) поток равномерной плотности
T0
Us = Us (x2 ).
пературы
направлен вдоль оси абсцисс
x1
?0
и тем-
и имеет профиль скорости
Путем линеаризации относительно стационарного решения уравнений
системы двухтемпературной газовой динамики получена система уравнений, описывающих эволюцию малых возмущений. Предполагается, что все
возмущения периодичны вдоль оси абсцисс
x1 .
Это позволяет рассматри-
вать решения системы уравнений, описывающих эволюцию малых возмущений, в некоторой полосе вдоль оси ординат
x2 ,
конечной или неограни-
ченной. При этом как на конечных границах полосы по оси
x2 ,
так и в
асимптотических пределах для всех малых возмущений ставятся нулевые
граничные условия.
При этих предположениях выведено уравнение энергетического баланса возмущений
)
? (
?v T 2
u2 + v 2 + M 2 p 2 + 2 v2 d? =
? M
?
?
?
?Us
?v
? (T ? Tv )
3
(T ? Tv )2
= ? uv
d? ? 2 2
d? ?
d?, (2)
?x2
? M
?vt
2 Rer
? ?vt
?
где M = U0 / ?RT0 число Маха несущего потока.
По сравнению со случаем идеального газа, в интеграл энергии E кроме
слагаемого с давлением p, определяющим возмущение внутренней энергии
dE
1 d
?
dt
2 dt
газа в состоянии локального термодинамического равновесия, входит слагаемое с
Tv ,
связанное с возмущением колебательных степеней свободы.
5 следует, что в любом внут-
Из общих термодинамических соображений
реннем процессе (релаксации), который является переходным к термодинамическому равновесию, независимо от знака отклонения проявляется
необратимость, т.е. процесс сопровождается возрастанием энтропии и, следовательно, диссипацией энергии. Это наглядно демонстрирует уравнение
энергетического баланса возмущений (2), где последний интеграл в правой
5 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. М.: Наука, 1988. 736 с.
12
части положительно определен и в явном виде показывает диссипативный эффект процесса термической релаксации колебательной моды, который естественно отсутствует в идеальном газе. Чтобы подчеркнуть это, по
6
аналогии с уравнениями энергетического баланса в вязких средах , перед
этим интегралом выделен диссипативный параметр
Rer = ?0 U0 Lr /?b , котоLr = U0 ?vt
рый рассчитывается по характерной релаксационной длине
и объемной вязкости
4
формулой
?b ,
связанный с релаксацией колебательной моды
?b =
2
?v
p 0 ?vt .
3 (1 + ?v )
Таким образом, наличие термической релаксации повышает устойчивость сжимаемого плоскопараллельного течения по сравнению со случаем
7
идеального газа в локальном термодинамическом равновесии .
Для развития неустойчивости возмущений в виде плоских волн с ве-
? > 0 и комплексной фазовой скоростью
c = cr +ici , было получено обобщение необходимых условий неустойчивости
щественным волновым числом
(первой и второй теорем Рэлея и теоремы Ховарда) на случай плоскопараллельных сжимаемых течений колебательно-возбужденного газа.
Показано, что для развития неустойчивости в рассматриваемом течении необходимо выполнение условия Рэлея (первой теоремы Рэлея) в той
же форме, что и для случаев однородной и стратифицированной несжима8
7
емых жидкостей и идеального газа : min(Us ) ? u < cr < U ? max(Us ). Из
данного неравенства следует, что для любого нарастающего возмущения
комплексная фазовая скорость
ci > 0
c
должна лежать в верхней полуплоскости
в полуполосе, ширина которой равна
|U ? u|.
Обобщение на случай колебательно-возбужденного газа более жесткого ограничения на фазовую скорость c, известное как теорема о полукруге
7,8
(теорема Ховарда
), и известной теоремы Рэлея о необходимости существования точки перегиба на неустойчивом профиле скорости в идеальной
8
жидкости (вторая теорема Рэлея ) можно здесь получить лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, которые необходимо проверять для конкретных профилей скорости и температуры несущего потока
термически неравновесного газа.
6 Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 639 с.
7 Blumen W. Shear layer instability of an inviscid compressible uid // J. of Fluid Mech.
1970. V. 40, part 4. P. 769 781.
8 Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Под ред.
А.Т. Ильичева. М.: Физматлит, 2005. 288 с.
13
В п. 2.2 для свободного слоя сдвига с профилем скорости
x2 ? (??, ?)
Us = th(x2 ),
приведены расчеты наиболее неустойчивых невязких мод
возмущений с максимальными инкрементами нарастания. Рассматриваются возмущения в виде бегущих плоских волн, для которых
На рис. 1 приведены изолинии инкрементов
(M, ?)
для режима
?vt = 1, ?v = 0, 667.
?ci
cr = Us (0) = 0.
в координатной плоскости
Там же для сравнения штрихо7
для идеального газа.
выми линиями нанесены воспроизведенные данные
Кривые a, b показывают изменение максимальных инкрементов для идеального и колебательно-возбужденного газов в зависимости от числа Маха
M. Некоторые числовые значения для этих кривых даны в табл. 2. Наибольший инкремент
M
= 0, ? = 0, 44469 .
?ci = 0, 1897
достигается в идеальной жидкости при
Рис. 1. Изолинии инкрементов роста для времени колебательной релаксации
?vt = 1 (штриховая линия ?v = 0, сплошная линия ?v = 0, 667, a, b кривые инкрементов роста наиболее неустойчивых мод соответственно для ?v = 0 и
?v = 0, 667)
Кривая
b
на рис. 1 и соответствующие числовые данные табл. 2 выде-
ляют наиболее неустойчивые моды для фиксированного набора других режимных параметров релаксирующего газа. Видно, что релаксация подобно сжимаемости снижает инкременты нарастания неустойчивых мод. При
этом с ростом числа Маха снижение инкрементов, обусловленное релаксационным процессом, становится все более заметным. Расчеты показывают,
что с ростом уровня возбуждения, который задается здесь коэффициен-
9 Michalke A. On the inviscid instability of the hyperbolic-tangent velocity prole // J. of
Fluid Mech. 1964. V. 19. P. 543 556.
14
том
?v ,
влияние релаксации усиливается. Надо отметить, что в расчетах
использовались умеренные значения
?v .
В то же время модель двухтемпе-
ратурной газовой динамики применима и для более высоких уровней воз10 , 11 . Можно предположить, что на уровне возбуждения, близком
буждения
к началу диссоциации, эффект релаксации по порядку величины снижения
?ci
будет сравним с действием сжимаемости.
Спектральные характеристики и инкременты роста
наиболее неустойчивых невязких мод при ?vt = 1 и ?v = 0; 0, 667
Таблица 2.
?
M
?v = 0
0.4446
0.4260
0.3970
0.2790
0.0
0.0
0.2
0.5
0.8
1.0
0.667
0.4446
0.4377
0.3890
0.2895
0.0
ci
?v = 0
0.4266
0.4255
0.3556
0.2790
0.0
0.667
0.4266
0.4115
0.3449
0.2142
0.0
? ci
?v = 0 0.667
0.1897 0.1897
0.1813 0.1801
0.1413 0.1341
0.0778 0.0620
0.0
0.0
Третья глава посвящена численным и аналитическим исследованиям
линейной устойчивости сжимаемого течения Куэтта колебательно-возбужденного газа. Для данного течения в невязком пределе вычислены семейства четных и нечетных невязких мод возмущений (см. рис. 2). Классификация невязких мод на четные и нечетные и характер их поведения,
12 , 13 , сохраняются и для колебательно-возизвестные для идеального газа
14 .
бужденного газа
Из рис. 2 следует, что для нечетных мод при волновом числе
cr > 1
и для всех мод, кроме моды I,
мод при
? ? 0 cr < 0
c r ? ?.
и для всех мод, за исключением моды II,
Выделенные моды I и II при
? = 0
? ? 0
В то же время для четных
cr ? ??.
имеют конечные пределы. Анализ
поведения фазовых скоростей невязких мод возмущений показал, что рост
параметров колебательной релаксации слабо влияет на их поведение.
При этом для широкого диапазона изменения значений параметров колебательной релаксации и числа Маха невязкая мода I всегда остается
10 Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. 686 с.
11 Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных
волнах. М.: Наука, 1965. 484 с.
12 Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini N.Y. On the linear stability of compressible plane
Couette ow // J. of Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 131 165.
13 Malik M., Dey J., Alam M. Linear stablity, transient energy growth, and role of viscosity
stratication in compressible plane Couette ow // Phys. Rev. E. 2008. V. 77. P. 036322(15).
14 Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных
газов / Отв. ред. А.Д. Рычков. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012. 230 с.
15
Рис. 2. Зависимости cr (?) для чисел Маха M = 2 (a ) и M = 5 (б ) (1, 1 ? мода I,
2, 2 ? мода II, 3, 3 ? мода III, 4, 4 ? мода IV, 5, 5 ? мода V, 6, 6 ? мода VI,
7, 7 ? мода VII, 8, 8 ? мода VIII; сплошная линия ?v = 0, пунктирная линия ?v = 0, 667, ?vt = 1)
Рис. 3. Зависимости ci (?) (а мода I (1, 1 ? M = 2, 2, 2 ? M = 3, 3, 3 ? M = 5);
? M = ?, 2, 2 ? M = 10, 3, 3 ? M = 5, 4, 4 ? M = 2, 5, 5 ? б мода II (1, 1
M = 0, 5, 6, 6 ? M = 0); сплошная линия ?v = 0, пунктирная линия ?v = 0, 667,
?vt = 1)
16
устойчивой (см. рис. 3, а ). В то же время мнимые фазовые скорости
ci
наиболее неустойчивой невязкой моды II, напротив, увеличиваются с возрастанием сжимаемости (числа Маха M), асимптотически стремясь к определенному конечному пределу при M
? ?
(см. рис. 3, б ). Рост степени
неравновесности колебательной энергии молекул газа приводит к уменьшению значений
ci
невязкой моды II по отношению к их значениям для
термически равновесного газа.
Рис. 4. Зависимости ?i (?) для моды I (а ) и моды II (б ) в совершенном газе при
M=2 (линия в виде точек Re = 107 , штрихпунктирная Re = 106 , штриховая Re = 105 , сплошная Re = ?)
Для сжимаемого вязкого течения Куэтта термически неравновесного
газа показано, что рост значений числа Рейнольдса Re приводит к росту
значений инкрементов
?i = ?ci
наиболее неустойчивых вязких мод возму-
щений и тем самым оказывает дестабилизирующее воздействие на течение
(см. рис. 4). Возрастание же параметра
?1 = ?b /? (?b , ?
объемная и
сдвиговая вязкости соответственно) и степени термической неравновесности
?v
приводит к стабилизации течения, поскольку сопровождается паде-
нием значений инкрементов роста наиболее неустойчивых вязких мод возмущений (см. рис. 5). Кривые нейтральной устойчивости этих мод возмущений показали, что критические чисела Рейнольдса возрастают примерно
на 12 % при достижении максимального уровня термической неравновесности газа. Примеры изолиний инкрементов
?i (Re, ?)
для совершенного и
термически неравновесного газов при различных значения числа Маха M
представлены на рис. 6.
17
Рис. 5. Зависимости ?i (?) для Re = 5·105 и M=3 (а мода I; б мода II; сплошная
линия совершенный газ, штриховая ?1 = 2, ?v = 0, 667)
Рис. 6. Изолинии поверхностей ?i (Re, ?) (а M=3,
совершенный газ, штриховая ?1 = 2, ?v = 0, 667)
18
б
M=5; сплошная линия В частности, расчеты показали, что критические значения числа Рейнольдса и соответствующие им значения волновых чисел вязкой моды I при
I
5
I
числе Маха M = 3 равны Recr = 1, 239 · 10 , ?cr = 2, 837 для ?1 = ?v = 0
I
5
I
и Recr = 1, 256 · 10 , ?cr = 2, 859 для ?1 = 2, ?v = 0, 667, а вязкой моды
II
II
4
II
4
II Recr = 5, 006 · 10 , ?cr = 2, 546 для ?1 = ?v = 0 и Recr = 5, 606 · 10 ,
II
?cr = 2, 604 для ?1 = 2, ?v = 0, 667.
В Четвертой главе на основе энергетической теории устойчивости
рассчитаны критические числа Рейнольдса
Recr
для сжимаемого течения
Куэтта с линейным профилем скорости. В рамках полных моделей Навье Стокса и двухтемпературной аэромеханики выводятся уравнения энергетического баланса возмущений для энергетических функционалов, адекватно отражающих эволюцию полной пульсационной энергии. На их основе ставятся вариационные задачи, определяющие критическое число Рейнольдса возможного начала развития ламинарно-турбулентного перехода.
Рис. 7. Зависимости Re(?) при различных значениях ?1 (1 ?1 = 0, 2 ?1 = 0, 5,
(?)
?1 = 1, 4 ?1 = 1, 5, 5 ?1 = 2; штриховые линии асимптоты Recr (3),
штрихпунктирная линия зависимость критического числа Рейнольдса от волнового числа Recr (?))
3
В п. 4.1 в случае умеренного уровня термической неравновесности (приближение Навье Стокса) для длинноволновых продольных (?
<< 1,
? = 0) и поперечных (? = 0, ? << 1) мод возмущений получены асимптотические оценки критических чисел Рейнольдса Recr , которые с точностью
2
2
до членов порядка O(? + ? ) имеют вид
?
?
?2
?2
??(1 + 3?1 )
4
4
(?)
(?)
Recr =
, Recr =
(3)
?1 + ?
?1 + .
2
3
6
2
3
19
Оценки (3) показывают, что с ростом параметра
значения
Recr
?1
(объемной вязкости)
также увеличиваются.
Полученные асимптотики являются длинноволновыми приближениями. Это позволяет заключить, что полученная зависимость описывает воздействие объемной вязкости на крупномасштабные вихревые структуры,
характерные для развития неустойчивости Кельвина Гельмгольца. На основе численных расчетов для широкого диапазона волновых чисел возмущений показано, что критические значения числа Рейнольдса достигаются
на продольных модах возмущений (см. рис. 7) и с ростом объемной вязкости в реальных границах для двухатомных газов возрастают, увеличиваясь
приблизительно на треть по сравнению со случаем нулевой объемной вязкости.
В п. 4.2 представлены аналогичные результаты для течения Куэтта колебательно-возбужденного газа, описываемого системой уравнений двухтемпературной аэродинамики. Используя уравнения этой системы, было
построено уравнение энергетического баланса полной пульсационной энергии
1
Et (t) =
2
? [ (
? u ?2
i +T
?2
+
?v Tv?2
)
]
? ?2
+
d?,
?M2
?
которое имеет вид
dEt
=?
dt
? {
?Us, i
?v
? u ?i u ?j
+
? (Tv? ? T ? )2 +
?xj
?vt
?
[
]
? ? ?? ? u?i
1
?u ?
+
(?
?
1)T
?
?T ? i+
(4)
2
2
?M ?xi
?M
?xi
[(
((
)2 (
)( ? )2
)2
(
)2 )]}
?u ?i
1
?u i
?
?T ?
20?v ?Tv?
1
+ ?1 +
+
+
d?,
+
Re
?xj
3
?xi
Pr
?xi
33
?xi
+
Для (4) поставлена и решена вариационная задача на определение критического значения числа Рейнольдса Recr . В результате в длинноволновом
приближении получена асимптотическая формула для зависимости критического числа Рейнольдса Recr от числа Маха M, коэффициента объемной
вязкости (параметра
?1 )
и времени колебательной релаксации
(
Recr = ?
2
a0
b0
4
3 +
?vt
?vt M (?1 + 4/3)
20
?vt :
)?1/3
,
(5)
где
a0
и
b0
некоторые положительные постоянные порядка
следует, что с ростом указанных параметров значения
Recr
O(1).
Из (5)
также возрас-
татют.
Для произвольных волновых чисел задача решена численно с помощью метода коллокаций. Показано, что в реальных для двухатомных газов пределах изменения параметров режима критические значения числа
Рейнольдса
Recr
также достигаются на модах продольных возмущений и
возрастают с ростом указанных параметров (см. рис. 8). При этом в рассмотренном диапазоне изменения параметров термической релаксации для
дозвукового течения число
Recr
в пределе возрастает примерно в два ра-
за, а для сверхзвукового течения максимальный диапазон изменения
Recr
приближается к полутора порядкам. Анализ степени влияния каждого параметра на
Recr
при фиксированных значениях остальных параметров, по-
M > 1 наибольшее воздействие на возрасRecr оказывает рост числа M (сжимаемость). При этом в диапазоне
значений M = 2 ч 5 критические числа Рейнольдса увеличиваются более
казывает, что при числах Маха
тание
чем на порядок. В то же время при изменении числа Маха в дозвуковом
диапазоне
M = 0, 2 ч 0, 8
действие при
M ? 1,
Recr лежит в пределах 10 %. Вместе
?v и ?vt , определяющих основное воз-
возрастание
с тем степень влияния параметров
при переходе к сверхзвуковому режиму остаются на
прежнем уровне.
Было отмечено, что полученные здесь значения
Recr остаются более чем
на порядок ниже критических чисел Рейнольдса, рассчитанных в рамках
линейной теории устойчивости.
В п. 4.3 для оценки реального вклада нелинейности в значения критических чисел Рейнольдса были получены данные для
Recr ,
рассчитанные на
основе энергетической теории устойчивости, примененной к линеаризованной системе уравнений двухтемпературной аэродинамики. Количественное
сравнение данных
Recr
для линейной и нелинейной постановок задач по-
казывает, что критические значения числам Рейнольдса линеаризованной
задачи существенно смещаются в сторону меньших значений, а их числовые значения примерно в два раза меньше по сравнению с нелинейной.
В Пятой главе представлены результаты исследования влияния ре-
лаксационных процессов на эволюцию крупной вихревой структуры в
плоском сдвиговом течении молекулярного газа. Несмотря на простоту, такая постановка представляет несомненный интерес, так как нестационарное поведение относительно интенсивного вихря в локально однородном
поле сдвига является обязательным атрибутом процессов ламинарно-тур-
21
Рис. 8. Зависимость Re(?) для продольных мод возмущений при числах Маха M = 3
(а, б) и M = 5 (в, г) (а, в ?1 = 0; б, г ?1 = 2; 1, 1 ? ?v = 0, 250; 2, 2 ? ?v = 0, 429; 3, 3 ? ?v = 0, 667; сплошные линии ? = 1, штриховые ? = 3,
штрихпунктирные зависимость критического числа Рейнольдса Recr от волнового
числа ?)
22
булентного перехода и генерации турбулентности в плоских следах, слоях
смешения, затопленных струях. Поскольку ожидаемый относительный эффект подавления вихревого возмущения оценивался в пределах нескольких
процентов, для использованной в расчетах конечно-разностной схемы Ко-
15 предварительно были выполнены многочисленные тесты,
вени Яненко
показавшие ее адекватность исследуемой задаче.
Рис. 9. Временные зависимости от времени кинетической энергии возмущений E(t)
для M = 0, 5, Re = 100, Pr = 0, 74, ? = 0, 2, ? = 3, ? = 1, 4 (1 ?1 = 0; 2 ?1 = 0, 5;
3 ?1 = 1; 4 ?1 = 1, 5; 5 ?1 = 2)
Исследование двумерного модельного течения с начальными данными,
представляющими суперпозицию вихря Рэнкина и линейного сдвигового
потока, позволили получить количественные оценки влияния релаксационных процессов в молекулярных газах на подавление гидродинамических
возмущений. Расчеты проводились как для умеренного уровня возмущений
на основе уравнений Навье Стокса, так и для сильно неравновесного газа
с возбуждением колебательных мод, описываемого полными уравнениями
двухтемпературной аэродинамики.
Расчеты, проведенные в п. 5.1, при умеренном уровне термической неравновесности газа, показали, что кинетическая энергия возмущений
с ростом коэффициента объемной вязкости
?b
E(t)
затухают более интенсивно
(см. рис. 9). При этом, как вытекает из рис. 9, максимальное расслоение
кривых
E(t)
наблюдаются на временном интервале
4 ? t ? 5. Отмечено,
?12 (t, ?b ) анало-
что поведение зависимостей рейнольдсовых напряжений
гично поведению кривых
E(t, ?b ).
15 Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Методы расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1981. 304 с.
23
Показано, что при умеренном уровне термической неравновесности в
слабо сжимаемом течении с возрастанием объемной вязкости в диапазоне
0 ? ?b ? 2 ? (? сдвиговая вязкость) увеличивается, приближаясь к 10 %
при ?b = 2? . При увеличении значения числа Маха M оба предела возрастают, и при M = 2 достигают значения порядка 20 %.
Рис. 10. Временные зависимости кинетической энергии возмущения E(t) (а ? =
?b = = ?tr = ?rt = ?vv = 0, ?vt = 3 и ? = 1 ч 6 (1 ? = 1, 5, 2 ? = 2, 3 ? = 2,
4 ? = 4, 5 ? = 5, 6 ? = 6); б ?1 = 0, 5, ? = 3 и ?vt = 1 ч 5 (1 ?vt = 0, 5, 2 ?vt = 1, 3 ?vt = 2, 4 ?vt = 3, 5 ?vt = 4, 6 ?vt = 5))
Для
колебательно-возбужденного газа вычисления,
п. 5.2, показали, что кривые зависимостей
E(t)
проведенные
в
в приближении релакса-
ционной газовой динамики (когда все диссипативные коэффициенты в системе уравнений двухтемпературной аэродинамики равны нулю) спадают
более интенсивно с ростом уровня возбуждения колебательной энергии
?
(см. рис. 10, а).
Влияние изменения времени колебательной релаксации
E(t)
?vt
на затуха-
?vt здесь
? выбраны умеренными. Видно, что с уменьшением времени релаксации ?vt при
фиксированном уровне возбуждения колебательной энергии ? (что соот-
ние энергии возмущения
иллюстрирует рис. 10, б. Параметр
меняется в пределах одного порядка, а значения параметров
?1
и
ветствует росту скорости VT-энергообмена) пульсации подавляются более
?vt . Зависимости
?12 (t) при различных ?vt и ? ведут себя
интенсивно, хотя и не в прямой пропорции с изменением
модуля рейнольдсовых напряжений
аналогично кривым, представленным на рис. 10.
Проведенные вычисления также показали, что когда объемная вязкость
и степень колебательной неравновесности возрастают, стремясь к своим
24
максимальным значениям, принятым в расчетах, полные относительные
снижения осредненных по условному времени ѕжизниї величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений также растут, приближаясь к 20 %. В приближении релаксационной газовой динамики относительные снижения осредненных по условному времени ѕжизниї величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений при
возрастании степени колебательной неравновесности и скорости неупругих
VT-энергообменов достигают величин порядка 10 %.
Таким образом, приведенные в пятой главе результаты численного моделирования дали возможность сделать вывод о заметном демпфирующем
влиянии термической неравновесности на нелинейную динамику возмущений при уровнях возбуждения, которые реально можно получить при течениях в соплах, недорасширенных струях или умеренной лазерной накачкой.
В Шестой главе приведены результаты численного моделирования
нелинейного развития неустойчивостей Кельвина Гельмгольца, которое
достаточно полно воспроизводит локальный механизм турбулизации свободного сдвигового течения. Задача рассматривалась как в рамках уравнений Навье Стокса для умеренного уровня термической неравновесности,
так и на основе полной системы уравнений двухтемпературной аэродинамики для колебательно-возбужденного газа. В качестве начальных возмущений использовались плоские волны с максимальными инкрементами нарастания, предварительно рассчитанные на базе соответствующих линеаризованных систем невязких уравнений газовой динамики во второй главе.
Детально воспроизведена известная картина динамики развития крупной
вихревой структуры ѕcat's-eyeї, характерная для возникновения и развития инерционной неустойчивости.
Расчеты показали, что независимо от уровня термической неравновесности эволюция вихревой структуры носит универсальный характер: рост
и достижение через некоторое время максимального значения полной завихренности потока, затем ее спад и стабилизация при
t>5
к значению,
несколько превышающему начальное. При этом рост значений параметров
термической релаксации сопровождается усилением расплывания вихревой структуры. Характерная картина изолиний завихренности, близкая к
достигаемому максимуму, для умеренного уровня термической неравновесности приведена на рис. 11, а, а для колебательно-возбужденного газа на
рис. 11, б, где параметр
?
температуры Tv .
?
задает амплитуду возмущения колебательной
25
Рис. 11. Изолинии поля завихренности ? при M = 0, 5 (а ?1 = 2, ? = 0;
? = 5, ?vt = 1)
б
?1 = 0 ,
Рис. 12. Временные зависимости энергии возмущений E(t) для Re = 100, M = 0, 5 и
?vt = 1 (а ?1 = 0; б ?1 = 2; 1 ? = 1; 2 ? = 3; 3 ? = 5)
Проведенные вычисления выявили однонаправленность воздействия
объемной вязкости, степени возбуждения колебательной энергии молекул
газа и числа Маха (сжимаемости), возрастание которых вызывает увеличение диссипации энергии кинетической возмущений
E(t)
(см. рис. 12).
Для количественного сравнения вклада термической релаксации в диссипацию кинетической энергии возмущений вычислялись средние по вре-
26
мени относительные отклонения
?E (?1 , ?) = ?
?1
?? E(t, ?1 , ?) ? E(t, 0) · 100 % dt, ?1 = 0 ч 2, ? = 0 ч 5.
E(t, 0)
0
Осреднение здесь осуществляется по условному времени ѕжизниї структуры
? = 6.
Результаты расчетов относительных отклонений
?E (?1 , ?)
представлены в табл. 3.
Таблица 3.
M
0, 2
0, 5
Относительные отклонения ?E (?1 , ?), %, для Re = 100, ?vt = 1
?1 = 0
?=0 ?=1
?=5
0, 0
1, 986
9, 721
0, 0
2, 750
11, 348
?=0
3, 148
5, 772
?1 = 1
?=1
?=5
2, 121 10, 448
3, 799 12, 009
?=0
7, 511
13, 074
?1 = 2
?=1
2, 332
3, 096
?=5
11, 455
14, 567
Из данных табл. 3 следует, что в отсутствие у молекул газа возбужденных колебательных мод (?
сти (параметра
?1 )
= 0)
возрастание значений объемной вязко-
сопровождается ростом среднего по времени ѕжизниї
структуры относительного увеличения диссипации энергии возмущений,
которое достигает величины порядка 13,1 %. При повышении же степени
неравновесности колебательной энергии
(параметра
?1 = 0)
?
в отсутствие объемной вязкости
относительное увеличение диссипации энергии возму-
щений достигает примерно 11,4 %, а при достижении объемной вязкости
своего максимального значения, равного
?1 = 2 (тоже самое, что ?b = 2?
),
приближается к 14,6 %.
Приведенные в шестой главе результаты численного моделирования
нелинейного развития дозвуковых вихревых возмущений в эволюционирующем во времени сдвиговом слое термически неравновесного молекулярного газа позволяют еще раз подтвердить сделанный в предыдущих главах вывод о заметном демпфирующем влиянии релаксации возбужденных
внутренних мод молекул на линейную и нелинейную динамику возмущений. Следует отметить, что диапазон изменения диссипативного эффекта
при релаксации колебательной моды сопоставим с механическим способом воздействия на крупные вихревые структуры (LEBU)
16 . Это позволя-
ет предположить, что лазерная накачка колебательных мод может стать
реальным способом управления течениями молекулярных газов.
16 Savill A.M. Drag reduction by passive devices a review of some recent developments //
Structure of Turbulence and Drag Reduction / Ed. by A. Gry. Berlin etc.: SpringerVerlag, 1990. P. 429 465.
27
В Заключении представлены основные результаты и выводы диссер-
тационной работы, которые состоят в следующем.
1. В области линейной теории устойчивости плоскопараллельных сдвиговых течений сжимаемого термически неравновесного молекулярного газа :
1.1. Получено обобщение первой и второй теорем Рэлея и теоремы Ховарда на случай плоскопараллельных сжимаемых течений колебательновозбужденного газа.
1.2. Доказано, что колебательная релаксация создает дополнительный
диссипативный фактор, повышающий устойчивость потока.
1.3. Для свободного слоя сдвига рассчитаны наиболее неустойчивые
невязкие моды с максимальными инкрементами нарастания. Показано, что
с возрастанием степени неравновесности колебательной энергии молекул
газа инкременты роста этих мод возмущений существенно понижаются.
При этом варьирование времени колебательной релаксации практически
не оказавает влияние на их поведение.
1.4. Исследования зависимостей инкрементов роста наиболее неустойчивых невязких мод от числа Маха и параметров колебательной релаксации показали, что колебательная релаксация подобно сжимаемости (числа
Маха M) снижает инкременты нарастания этих мод возмущений. При этом
с ростом числа Маха снижение инкрементов, обусловленное релаксационным процессом, становится все более заметным.
1.5. Для сжимаемого течения Куэтта колебательно-возбужденного газа
вычислены параметры четных и нечетных невязких мод возмущений. Анализ фазовых скоростей этих мод возмущений показал, что рост параметров
колебательной релаксации слабо влияет на их поведение.
1.6. Установлено, что для широкого диапазона изменения значений параметров колебательной релаксации и числа Маха первая невязкая мода
всегда устойчива. В то же время инкременты наиболее неустойчивой второй невязкой моды, напротив, увеличиваются с возрастанием сжимаемости (числа Маха M), асимптотически стремясь к определенному конечному
пределу при M
? ?.
Рост степени неравновесности колебательной энер-
гии молекул газа приводит к уменьшению значений инкрементов второй
невязкой моды возмущений по отношению к их значениям для термически
равновесного газа.
1.7. Для сжимаемого течения Куэтта термически неравновесного газа
вычислены четные и нечетные вязкие моды возмущений. Показано, что
рост значений числа Рейнольдса Re приводит к росту значений инкремен-
28
тов наиболее неустойчивых вязких мод возмущений и тем самым оказывает
дестабилизирующее воздействие на течение. Возрастание степени термической неравновесности приводит к стабилизации течения, поскольку сопровождается падением значений инкрементов роста наиболее неустойчивых
вязких мод возмущений.
1.8. Для наиболее неустойчивых первой и второй вязких мод возмущений в сверхзвуковом течении Куэтта рассчитаны кривые нейтральной
устойчивости, показывающие, что возрастание критических чисел Рейнольдса в зависимости от уровня термической неравновесности может достигать 12 %.
2. В рамках энергетической теории нелинейной устойчивости течений
сжимаемого термически неравновесного газа :
2.1. Проведено обобщение энергетической теории гидродинамической
устойчивости на случай сжимаемых течений термически неравновесных
молекулярных газов.
2.2. Получены уравнения энергетического баланса полной пульсационной энергии возмущений, учитывающее физические особенности сжимаемого течения термически неравновесного молекулярного газа.
2.3. На основе полученных уравнений энергетического баланса пульсационной энергии для умеренного уровня термической неравновесности
и колебательно-возбужденного газа поставлены вариационные задачи на
определение критических значений числа Рейнольдса.
2.4. В рамках обобщенной энергетической теории проведен асимптотический анализ устойчивости плоского течения Куэтта термически неравновесного газа. В результате построены длинноволновые асимптотические
оценки критических чисел Рейнольдса для плоского течения Куэтта, показывающая, что возрастание объемной вязкости, параметров термической
релаксации и числа Маха потока приводит к росту критических чисел Рейнольдса.
2.5. Для произвольных волновых чисел спектральные задачи, вытекающие из вариационных постановок, решались численно. Показано, что на
фоне максимального исследованного уровня возбуждения внутренних степеней свободы молекул газа рост критических чисел Рейнольдса может
достигать 40 %.
2.6. Проведена оценка вклада нелинейности на критические значения
числа Рейнольдса Recr . Рассчитанные для линеаризованной задачи Recr
примерно в два раза меньше по сравнению со значениями для нелинейной.
29
3. На основе расчетов модельных задач при закритических числах Рейнольдса :
3.1. На базе модельного течения, представляющего собой суперпозицию
вихря Рэнкина и линейного сдвигового потока, в рамках полных уравнений Навье Стокса проведено численное моделирование влияния объемной
вязкости
?b
(слабой термической неравновесности) на нелинейное взаимо-
действие вихревого возмущения конечной амплитуды с несущим сдвиговым потоком. Расчеты показали, что в слабо сжимаемом течении с возрастанием объемной вязкости в диапазоне
0 ? ?b ? 2 ?
относительное сни-
жение абсолютной величины рейнольдсовых напряжений и кинетической
энергии возмущения увеличивается, приближаясь к 10 % при
?b = 2? . При
=2
увеличении значения числа Маха M оба предела возрастают, и при M
достигают значения порядка 20 %.
3.2. Численное моделирование влияния термической релаксации на нелинейное взаимодействие вихревого возмущения конечной амплитуды с несущим сдвиговым потоком колебательно-возбужденного газа проводилось в
рамках полных уравнений двухтемпературной аэродинамики на базе того
же модельного течения. Вычисления показали, что когда объемная вязкость и степень колебательной неравновесности возрастают, стремясь к
своим максимальным значениям, принятым в расчетах, полное относительное снижение осредненных по условному времени ѕжизниї структуры
величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений
также растет, приближаясь к 20 %.
3.3. В приближении релаксационной газовой динамики, когда все диссипативные коэффициенты в системе уравнений двухтемпературной аэродинамики равны нулю, относительное снижение осредненных по условному времени ѕжизниї структуры величин кинетической энергии возмущения и рейнольдсовых напряжений при возрастании степени колебательной
неравновесности и скорости неупругих VT-энергообменов достигает величин порядка 10 %.
3.4. Исследования диссипативного влияния релаксации внутренних мод
молекул на процесс ламинарно-турбулентного перехода на основе моделирования полного цикла развития инерционной неустойчивости в эволюционирующем во времени сдвиговом слое с точкой перегиба на профиле
скорости показали, что независимо от уровня термической неравновесности эволюция вихревой структуры носит универсальный характер: рост и
достижение через некоторое время максимального значения полной завихренности
?
потока, затем ее спад и стабилизация при
30
t > 5
к значению,
несколько превышающему начальное. При этом рост значений параметров
термической релаксации сопровождается усилением расплывания вихревой структуры.
3.5. Проведенные вычисления выявили однонаправленность воздействия
сжимаемости, объемной вязкости и возбуждения колебательных степеней
свободы, возрастание которых вызывает увеличение диссипации энергии
возмущений. В отсутствие у молекул газа возбужденных колебательных
мод возрастание значений объемной вязкости сопровождается ростом среднего по времени ѕжизниї структуры относительного увеличения диссипации энергии возмущений, которое достигает величины порядка 13,1 %. При
повышении же степени неравновесности колебательной энергии молекул
газа в отсутствие объемной вязкости относительное увеличение диссипации энергии возмущений достигает примерно 11,4 %, а при достижении
объемной вязкости своего максимального значения
?b = 2? , используемого
в расчетах, приближается к 14,6 %.
Таким образом, результаты исследований устойчивости сдвиговых течений термически неравновесного молекулярного газа позволяют сделать вывод о заметном демпфирующем влиянии релаксации возбужденных внутренних мод молекул на линейную и нелинейную динамику возмущений.
Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук,
профессору Юрию Николаевичу Григорьеву за плодотворное сотрудничество, постоянное внимание к работе и обсуждение ее результатов, а также Российскому фонду фундаментальных исследований, гранты которого
поддерживали исследования, представленные в работе, на протяжении более чем десяти лет.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Монография:
1. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов / Отв. ред. А.Д. Рычков. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012. 230 с.
Научные журналы из перечня ВАК:
2. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Генерация турбулентности в потоках неравновесного молекулярного газа // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6 (Спец. вып.).
C. 225 232.
3. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Подавление вихревых возмущений релаксационным процессом в молекулярном газе // Прикл. мех. и техн. физика. 2003. Т. 44,
ќ 4. С. 22 34.
31
4. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Влияние колебательной релаксации
на пульсационную активность в течениях возбужденного двухатомного газа //
Прикл. мех. и техн. физика. 2004. T.45, ќ 3. С. 15 23.
5. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Зырянов К.В., Синяя А.В. Численное моделирование эффекта объемной вязкости на последовательности вложенных сеток //
Вычислительные технологии. 2006. Т.11, ќ 3. С. 36 49.
6. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Влияние объемной вязкости на неустойчивость
Кельвина Гельмгольца // Прикл. мех. и техн. физика. 2008. Т. 49, ќ 3. С. 73 84.
7. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Зырянов К.И. Численное моделирование волн
Кельвина Гельмгольца в слабо неравновесном молекулярном газе // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, ќ 5. С. 25 40.
8. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в сжимаемом течении Куэтта. Влияние объемной вязкости // Прикл.
мех. и техн. физика. 2010. Т. 51, ќ 5. С. 59 67.
9. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Зырянов К.И. Численное моделирование инерционной неустойчивости в колебательно неравновесном двухатомном газе // Вычислительные технологии. 2010. Т.15, ќ 6. С. 25 40.
10. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость невязкого сдвигового
течения колебательно возбужденного двухатомного газа // Прикл. матем. и механика. 2011. Т. 45, вып. 4. С. 581 593.
11. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений колебательно возбужденных газов. Энергетический подход // Вестн. Нижегородского гос. ун-та им.
Н.И. Лобачевского. МЖГ. 2011. ќ 4 (3). С. 735 737.
12. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Критические числа Рейнольдса в течении Куэтта колебательно возбужденного двухатомного газа. Энергетический подход //
Прикл. мех. и техн. физика. 2012. Т. 53, ќ 4. С.57 73.
13. Ершов И.В., Зырянов К.И. Диссипация волн Кельвина Гельмгольца в колебательно неравновесном двухатомном газе // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем.
и механика. 2012. ќ 1. С. 68 80.
14. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Диссипация вихревых возмущений в колебательно неравновесном газе // Теплофизика и аэромеханика. 2012. Т. 19, ќ 3.
С. 291 300.
15. Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в течении
Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа // Вестн. Томск. гос.
ун-та. Матем. и механика. 2012. ќ 2. С. 99 112.
16. Ершов И.В. Устойчивость течения Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа. Энергетический подход // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и
32
мех. 2013. ќ 3. С. 76 88.
17. Ершов И.В. Линейная устойчивость течения Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа // Известия вузов. Физика. 2013. Т. 56, ќ 6/3. С. 125 127.
18. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость течения Куэтта колебательно-возбужденного газа. 1. Невязкая задача // Прикл. мех. и техн. физика.
2014. Т. 55, ќ 2. С. 57 73.
19. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Критические числа Рейнольдса в сверхзвуковом течении Куэтта колебательно-возбужденного двухатомного газа // Вычислительные технологии. 2014. Т. 19, ќ 2. С. 20 32.
20. Ершов И.В. Линейная устойчивость невязкого сдвигового течения термически неравновесного молекулярного газа // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и
мех. 2014. ќ 1. С. 71 81.
Труды и материалы конференций:
21. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Зарождение и генерация турбулентности в
релаксирующем молекулярном газе // Современные проблемы механики: Тр.
межд. конф., Алматы, 5 7 сентября 2001 г. Часть I: Механика жидкости и газа.
Алматы: Казахский национальный ун-т, 2001. С. 90 92.
22. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Влияние термического возбуждения на генерацию турбулентности в потоке молекулярного газа // Матем. модели
и методы их исследования: Тр. межд. конф., Красноярск, 16 21 августа 2001 г.
Том 1. Красноярск: Ин-т вычисл. моделир. СО РАН, 2001. С. 197 202.
23. Grigoryev Yu.N., Ershov I.V. The organized vortex structure in relaxing gas //
Proc. XI Intern. Conf. on the Methods of Aerophys. Res., Part II. Novosibirsk: Publ.
House ѕParallelї, 2002. P. 68 72.
24. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Подавление вихревых возмущений в течении
возбужденного молекулярного газа // Модели и методы аэродинамики: Материалы 3-ей межд. школы-семинара, Евпатория, 5 14 июня 2003 г. М.: МЦНМО,
2003. С. 36 37.
25. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Подавление вихревых возмущений в потоке релаксирующего молекулярного газа // VII Забабахинские научные
чтения: Тр. межд. конф., Снежинск, 8 12 сентября 2003 г. Снежинск: Изд-во
РФЯЦ ВНИИТФ, 2003.http://www.vniitf.ru/rig/konfer/7zst/reports/s4/4-30.pdf
26. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. К проблеме ламинарно-турбулентного перехода
в течениях молекулярного газа при конечных числах Маха // Модели и методы
аэродинамики: Материалы 4-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 7 14 июня
2004 г. М.: МЦНМО, 2004. С. 34 35.
33
27. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Подавление вихревых возмущений в потоке
сильно неравновесного двухатомного газа // XXVII Сибирский теплофизический
семинар: Сборник трудов, Москва Новосибирск, 1 5 октября 2004 г. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО РАН, 2004. Статья ќ 041. http://www.vniitf.ru/rig/
konfer/7zst/reports/s4/4-30.pdf
28. Grigoryev Yu.N., Ershov I.V. Suppression of vortex disturbances in vibrationally
excited diatomic gas // Proc. XII Intern. Conf. on the Methods of Aerophys. Res.,
Part II. Novosibirsk: Publ. House ѕParallelї, 2004. P. 89 93.
29. Grigoryev Yu.N., Ershov I.V. Inuence of bulk viscosity on the Kelvin Helmholts
instability // Proc. XIII Intern. Conf. on the Methods of Aerophys. Res., Part III.
Novosibirsk: Publ. House ѕParallelї, 2007. P. 123 128.
30. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Влияние термической неравновесности молекулярного газа на критическое число Рейнольдса в плоском течении Куэтта //
IX Забабахинские научные чтения: Тр. межд. конф., Снежинск, 10 14 сентября 2007 г. Снежинск: Изд-во РФЯЦ ВНИИТФ, 2007. http://www.vniitf.ru/
rig/konfer/9zst/s4/4-12.pdf
31. Grigoryev Yu. N., Ershov I.V., Zyryanov K.I. The Kelvin-Helmholtz waves in
non-equilibrium molecular gas ow // Proc. XIV Intern. Conf. on the Methods of
Aerophys. Res., Part II. Novosibirsk: Publ. House ѕParallelї, 2008. P. 128 133.
32. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Нелинейная устойчивость течения Куэтта слабо возбужденного молекулярного газа // Всеросс-й семинар по аэрогидродинамике: Избран. труды, С.-Петербург, 5 7 февраля 2008 г. СПб.: Изд-во С.Петербургского ун-та, 2008. С. 28 33.
33. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Влияние релаксации возбужденных молекулярных мод на нелинейную стадию ламинарно-турбулентного перехода // Модели и
методы аэродинамики: Материалы 8-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 4 13 июня 2008 г. М: МЦНМО, 2008. С. 37 39.
34. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость внутренних течений релаксирующих молекулярных газов // Модели и методы аэродинамики: Матер. 9-ой межд.
школы-семинара, Евпатория, 4 13 июня 2009 г. М.: МЦНМО, 2009. С. 58 60.
35. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов // Тр. XV Междун. конф. ѕМетоды аэрофиз. исследованийї.
Новосибирск: Изд-во ѕПараллельї, 2010. C. 123 128.
36. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Релаксация: влияние на устойчивость и диссипация турбулентности // Модели и методы аэродинамики: Матер. 10-ой межд.
школы-семинара, Евпатория, 3 14 июня 2010 г. М: МЦНМО, 2010. С. 49 51.
37. Ершов И.В., Григорьев Ю.Н. Энергетический анализ устойчивости течения
Куэтта релаксирующего молекулярного газа // Фундаментальные и прикладные
34
проблемы современной механики: Сборник материалов всеросс-й конф., Томск,
12 14 апреля 2011 г. Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 2011. С. 445 447.
38. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Переход к турбулентности в течении колебательно-возбужденного газа // Модели и методы аэродинамики: Материалы 11ой межд. школы-семинара, Евпатория, 4 13 июня 2011 г. М.: МЦНМО, 2011.
С. 55 57.
39. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов // Современные проблемы прикладной математики и механики:
теория, эксперимент и практика: Тр. межд. конф., Новосибирск, 30 мая 4 июня
2011 г. ќ гос. регистр. 0321101160, ФГУП НТЦ ѕИнформрегистрї. Новосибирск,
2011. http://conf.nsc.ru/les/conferences/niknik-90/fulltext/38025/65074/yugrigordokl-new.pdf
40. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Релаксация: влияние на устойчивость и диссипация турбулентности // Межд. науч. конференция по механике ѕШестые Поляховские чтенияї: Избран. труды, С.-Петербург, 31 января - 3 февраля 2012 г.
СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2012. C. 176 184.
41. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная и нелинейная устойчивость течений
колебательно неравновесных газов // Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность (НеЗаТеГиУс-2012): Материалы межд.
конфер., Моск. обл., панс. ѕЗвенингородскийї РАН, 5 11 февраля 2012 г. М:
Изд-во НИИ механики МГУ, 2012. С. 64 66.
42. Ершов И.В. Устойчивость течения Куэтта термически неравновесного молекулярного газа. Энергетический подход // XXIII семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям: Сборник трудов / под ред. Г.В. Кузнецова и
др., Томск, 26 29 июня 2012 г. Томск: Изд-во Томск. политехн. ун-та, 2012.
С. 129 133.
43. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость течения Куэтта колебательно-возбужденного газа // Модели и методы аэродинамики: Материалы
13-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 4 13 июня 2013 г. М.: МЦНМО, 2013.
С. 67 68.
44. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость сверхзвукового течения Куэтта
колебательно возбужденного газа // Модели и методы аэродинамики: Материалы 14-ой межд. школы-семинара, Евпатория, 4 13 июня 2014 г. М.: МЦНМО,
2014. С. 51 52.
35
Ответственный за выпуск Ершов И.В.
Подписано в печать 24 октября 2014 г.
Формат 60 Ч 84/16
Усл.-печ.л. 2,0
Тираж 150 экз.
Уз.-изд.л. 1,6
Заказ ќ
Новосибирский государственный архитектурно-строительный
университет (Сибстрин)
630008, Новосибирск, ул. Ленинградская, 113
Отпечатано мастерской оперативной полиграфии НГАСУ (Сибстрин)
?ффект релаксации по порядку величины снижения
?ci
будет сравним с действием сжимаемости.
Спектральные характеристики и инкременты роста
наиболее неустойчивых невязких мод при ?vt = 1 и ?v = 0; 0, 667
Таблица 2.
?
M
?v = 0
0.4446
0.4260
0.3970
0.2790
0.0
0.0
0.2
0.5
0.8
1.0
0.667
0.4446
0.4377
0.3890
0.2895
0.0
ci
?v = 0
0.4266
0.4255
0.3556
0.2790
0.0
0.667
0.4266
0.4115
0.3449
0.2142
0.0
? ci
?v = 0 0.667
0.1897 0.1897
0.1813 0.1801
0.1413 0.1341
0.0778 0.0620
0.0
0.0
Третья глава посвящена численным и аналитическим исследованиям
линейной устойчивости сжимаемого течения Куэтта колебательно-возбужденного газа. Для данного течения в невязком пределе вычислены семейства четных и нечетных невязких мод возмущений (см. рис. 2). Классификация невязких мод на четные и нечетные и характер их поведения,
12 , 13 , сохраняются и для колебательно-возизвестные для идеального газа
14 .
бужденного газа
Из рис. 2 следует, что для нечетных мод при волновом числе
cr > 1
и для всех мод, кроме моды I,
мод при
? ? 0 cr < 0
c r ? ?.
и для всех мод, за исключением моды II,
Выделенные моды I и II при
? = 0
? ? 0
В то же время для четных
cr ? ??.
имеют конечные пределы. Анализ
поведения фазовых скоростей невязких мод возмущений показал, что рост
параметров колебательной релаксации слабо влияет на их поведение.
При этом для широкого диапазона изменения значений параметров колебательной релаксации и числа Маха невязкая мода I всегда остается
10 Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. 686 с.
11 Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных
волнах. М.: Наука, 1965. 484 с.
12 Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini N.Y. On the linear stability of compressible plane
Couette ow // J. of Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 131 165.
13 Malik M., Dey J., Alam M. Linear stablity, transient energy growth, and role of viscosity
stratication in compressible plane Couette ow // Phys. Rev. E. 2008. V. 77. P. 036322(15).
14 Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных
газов / Отв. ред. А.Д. Рычков. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012. 230 с.
15
Рис. 2. Зависимости cr (?) для чисел Маха M = 2 (a ) и M = 5 (б ) (1, 1 ? мода I,
2, 2 ? мода II, 3, 3 ? мода III, 4, 4 ? мода IV, 5, 5 ? мода V, 6, 6 ? мода VI,
7, 7 ? мода VII, 8, 8 ? мода VIII; сплошная линия ?v = 0, пунктирная линия ?v = 0, 667, ?vt = 1)
Рис. 3. Зависимости ci (?) (а мода I (1, 1 ? M = 2, 2, 2 ? M = 3, 3, 3 ? M = 5);
? M = ?, 2, 2 ? M = 10, 3, 3 ? M = 5, 4, 4 ? M = 2, 5, 5 ? б мода II (1, 1
M = 0, 5, 6, 6 ? M = 0); сплошная линия ?v = 0, пунктирная линия ?v = 0, 667,
?vt = 1)
16
устойчивой (см. рис. 3, а ). В то же время мнимые фазовые скорости
ci
наиболее неустойчивой невязкой моды II, напротив, увеличиваются с возрастанием сжимаемости (числа Маха M), асимптотически стремясь к определенному конечному пределу при M
? ?
(см. рис. 3, б ). Рост степени
неравновесности колебательной энергии молекул газа приводит к уменьшению значений
ci
невязкой моды II по отношению к их значениям для
термически равновесного газа.
Рис. 4. Зависимости ?i (?) для моды I (а ) и моды II (б ) в совершенном газе при
M=2 (линия в виде точек Re = 107 , штрихпунктирная Re = 106 , штриховая Re = 105 , сплошная Re = ?)
Для сжимаемого вязкого течения Куэтта термически неравновесного
газа показано, что рост значений числа Рейнольдса Re приводит к росту
значений инкрементов
?i = ?ci
наиболее неустойчивых вязких мод возму-
щений и тем самым оказывает дестабилизирующее воздействие на течение
(см. рис. 4). Возрастание же параметра
?1 = ?b /? (?b , ?
объемная и
сдвиговая вязкости соответственно) и степени термической неравновесности
?v
приводит к стабилизации течения, поскольку сопровождается паде-
нием значений инкрементов роста наиболее неустойчивых вязких мод возмущений (см. рис. 5). Кривые нейтральной устойчивости этих мод возмущений показали, что критические чисела Рейнольдса возрастают примерно
на 12 % при достижении максимального уровня термической неравновесности газа. Примеры изолиний инкрементов
?i (Re, ?)
для совершенного и
термически неравновесного газов при различных значения числа Маха M
представлены на рис. 6.
17
Рис. 5. Зависимости ?i (?) для Re = 5·105 и M=3 (а мода I; б мода II; сплошная
линия совершенный газ, штриховая ?1 = 2, ?v = 0, 667)
Рис. 6. Изолинии поверхностей ?i (Re, ?) (а M=3,
совершенный газ, штриховая ?1 = 2, ?v = 0, 667)
18
б
M=5; сплошная линия В частности, расчеты показали, что критические значения числа Рейнольдса и соответствующие им значения волновых чисел вязкой моды I при
I
5
I
числе Маха M = 3 равны Recr = 1, 239 · 10 , ?cr = 2, 837 для ?1 = ?v = 0
I
5
I
и Recr = 1, 256 · 10 , ?cr = 2, 859 для ?1 = 2, ?v = 0, 667, а вязкой моды
II
II
4
II
4
II Recr = 5, 006 · 10 , ?cr = 2, 546 для ?1 = ?v = 0 и Recr = 5, 606 · 10 ,
II
?cr = 2, 604 для ?1 = 2, ?v = 0, 667.
В Четвертой главе на основе энергетической теории устойчивости
рассчитаны критические числа Рейнольдса
Recr
для сжимаемого течения
Куэтта с линейным профилем скорости. В рамках полных моделей Навье Стокса и двухтемпературной аэромеханики выводятся уравнения энергетического баланса возмущений для энергетических функционалов, адекватно отражающих эволюцию полной пульсационной энергии. На их основе ставятся вариационные задачи, определяющие критическое число Рейнольдса возможного начала развития ламинарно-турбулентного перехода.
Рис. 7. Зависимости Re(?) при различных значениях ?1 (1 ?1 = 0, 2 ?1 = 0, 5,
(?)
?1 = 1, 4 ?1 = 1, 5, 5 ?1 = 2; штриховые линии асимптоты Recr (3),
штрихпунктирная линия зависимость критического числа Рейнольдса от волнового числа Recr (?))
3
В п. 4.1 в случае умеренного уровня термической неравновесности (приближение Навье Стокса) для длинноволновых продольных (?
<< 1,
? = 0) и поперечных (? = 0, ? << 1) мод возмущений получены асимптотические оценки критических чисел Рейнольдса Recr , которые с точностью
2
2
до членов порядка O(? + ? ) имеют вид
?
?
?2
?2
??(1 + 3?1 )
4
4
(?)
(?)
Recr =
, Recr =
(3)
?1 + ?
?1 + .
2
3
6
2
3
19
Оценки (3) показывают, что с ростом параметра
значения
Recr
?1
(объемной вязкости)
также увеличиваются.
Полученные асимптотики являются длинноволновыми приближениями. Это позволяет заключить, что полученная зависимость описывает воздействие объемной вязкости на крупномасштабные вихревые структуры,
характерные для развития неустойчивости Кельвина Гельмгольца. На основе численных расчетов для широкого диапазона волновых чисел возмущений показано, что критические значения числа Рейнольдса достигаются
на продольных модах возмущений (см. рис. 7) и с ростом объемной вязкости в реальных границах для двухатомных газов возрастают, увеличиваясь
приблизительно на треть по сравнению со случаем нулевой объемной вязкости.
В п. 4.2 представлены аналогичные результаты для течения Куэтта колебательно-возбужденного газа, описываемого системой уравнений двухтемпературной аэродинамики. Используя уравнения этой системы, было
построено уравнение энергетического баланса полной пульсационной энергии
1
Et (t) =
2
? [ (
? u ?2
i +T
?2
+
?v Tv?2
)
]
? ?2
+
d?,
?M2
?
которое имеет вид
dEt
=?
dt
? {
?Us, i
?v
? u ?i u ?j
+
? (Tv? ? T ? )2 +
?xj
?vt
?
[
]
? ? ?? ? u?i
1
?u ?
+
(?
?
1)T
?
?T ? i+
(4)
2
2
?M ?xi
?M
?xi
[(
((
)2 (
)( ? )2
)2
(
)2 )]}
?u ?i
1
?u i
?
?T ?
20?v ?Tv?
1
+ ?1 +
+
+
d?,
+
Re
?xj
3
?xi
Pr
?xi
33
?xi
+
Для (4) поставлена и решена вариационная задача на определение критического значения числа Рейнольдса Recr . В результате в длинноволновом
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
454 Кб
Теги
газов, молекулярная, nsc, ruuploadiblock4ccershoviv, устойчивость, disser, течение, релаксирующих, httpitam
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа