close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Квантовый континуум в коллективной динамике систем слаборелятивистских заряженных частиц

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Иванов Алексей Юрьевич
КВАНТОВЫЙ КОНТИНУУМ В КОЛЛЕКТИВНОЙ ДИНАМИКЕ СИСТЕМ
СЛАБОРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
01.04.02 – теоретическая физика.
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2016
Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета
Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова
Научный руководитель:
Кузьменков Леонид Стефанович
Доктор физико-математических наук
профессор
Официальные оппоненты:
Доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
теоретической физики и механики
Российского университета дружбы народов
Рыбаков Юрий Петрович
Кандидат физико-математических наук,
заведующий лабораторией Института
физики Земли Российской академии наук
Алешин Игорь Михайлович
Ведущая организация:
Институт общей физики РАН
имени А.М. Прохорова
Защита состоится 16 июня 2016 г. в 15:30 часов на заседании Диссертационного совета
Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по
адресу 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2, Физический факультет МГУ,
аудитория СФА.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета Московского
государственного университета имени М.В. Ломоносова.
Автореферат разослан “____” ______________ 2016 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 501.002.10
доктор физико-математических наук
профессор
Поляков П.А.
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
В
последние
10-15
лет
активное
развитие
получает
метод
квантовой
гидродинамики - метод, описывающий с помощью системы континуальных уравнений
системы многих квантовых частиц. Данный метод применяется к различным
совокупностям частиц, от газов нейтральных частиц до электрон-позитронной плазмы.
Соответствующие задачи могут быть применены к разработке разнообразных устройств.
Обычно
система
уравнений
квантовой
гидродинамики
состоит
из
уравнения
непрерывности, уравнения баланса импульса и уравнения баланса энергии, а также
уравнений для других гидродинамических величин, число которых определяется
физической постановкой задачи. Данные уравнения могут быть применены для
исследования разных линейных и нелинейных задач. Задачи расчета и анализа
дисперсионных свойств электронного газа в различных физических ситуациях являются
актуальными по сей день.
Научная новизна
В основополагающих работах по методу квантовой гидродинамики описывались
системы частиц с кулоновским взаимодействием, а также со спин-спиновым
взаимодействием;
взаимодействия.
далее
рассматривались
спин-токовое
Данные
взаимодействия
в
теории
и
спин-орбитальное
составляют
известный
слаборелятивистский (т. е. описывающий систему частиц с электромагнитным
взаимодействием с точностью до второго порядка по v / c ) гамильтониан Брейта. В
гамильтониан
Брейта
входят
также
ток-токовое
взаимодействие,
контактное
взаимодействие (пропорциональное дельта-функции), а также релятивистская поправка к
кинетической энергии. Таким образом, в данной работе гидродинамика строится на
основании известного гамильтониана Дарвина (плюс контактное взаимодействие).
Предварительно также выводятся уравнения классической гидродинамики для их
последующего сопоставления с квантовыми аналогами. В диссертации впервые
исследован вклад указанных выше взаимодействий в уравнения многочастичной
3
квантовой гидродинамики, и на основе этого произведено исследование некоторых
важных с экспериментальных позиций явлений, в частности, волновых явлений в
системах многих квантовых частиц. В сочетании с предыдущими работами по квантовой
гидродинамике исследован вклад всего гамильтониана Брейта в уравнения баланса,
которые определяют эволюцию квантовых систем. Также в диссертации исследована
дисперсия квантовых электростатических волн с учетом уравнения баланса тепловой
энергии. Рассчитана и исследована динамика собственных волн на поверхности
нанотрубки с учетом обменного кулоновского взаимодействия.
Объект исследования
В диссертационной работе дается последовательный вывод континуальных
гидродинамических
уравнений
для
квантовой
системы
заряженных
частиц
с
электромагнитным взаимодействием; аналогичные уравнения квантовой гидродинамики
могут быть использованы для расчета эффектов и явлений в системах нейтральных
частиц. Основной физической системой, исследуемой в данной работе, является
электронный газ в плазме и плазмоподобных средах. Эта система изучается также в
низкоразмерных случаях, в том числе на поверхности нанотрубки.
Метод исследования
В качестве метода исследования в работе используется метод квантовой
гидродинамики. В основе метода лежит уравнение Шредингера для системы N частиц с
электромагнитным взаимодействием в слаборелятивистском случае. Исходя из него
выводится система уравнений гидродинамики в пятимоментном приближении. Для
исследования линейных физических явлений в плазме на основе уравнений квантовой
гидродинамики активно используются развитые в современной научной литературе
методы.
Цели и задачи диссертации
Основной целью данной диссертационной работы является вывод системы
уравнений гидродинамики для слаборелятивистских систем заряженных частиц, а также
анализ их следствий в виде различных линейных и нелинейных явлений. Вывод
уравнений квантовой гидродинамики представляет собой самостоятельную важную
4
задачу. В диссертации проведено сравнение полученных результатов квантовой
гидродинамики с известными результатами физики электронной плазмы.
Достоверность научных положений
Все результаты данной работы являются следствиями уравнения Шредингера для
системы N частиц, преобразованного к континуальным переменным обычного
трехмерного пространства, и эти результаты получены путем строгих математических
вычислений. Для расчета линейных эффектов в плазме также используется широко
известный и распространенный аппарат теории возмущений. Таким образом, научные
положения данной работы являются в высокой степени достоверными.
Научные положения, выносимые на защиту
1. Представлен вывод уравнений слаборелятивистской квантовой гидродинамики
на основе уравнения Шредингера с гамильтонианом Дарвина, учитывающем, помимо
кулоновского, ток-токовое взаимодействие и релятивистскую поправку к кинетической
энергии (а также в работе учтено контактное взаимодействие). В диссертации получены
уравнения непрерывности, эволюции скорости и баланса энергии для систем с
преобладанием указанных взаимодействий.
2. Для слаборелятивистского электронного газа (а также потока электронов) на
основе полученных уравнений исследована дисперсия собственных плазменных волн.
Отдельно проанализирован низкоразмерный (двумерный) случай.
3.
Исследован вклад контактного взаимодействия в уравнения квантовой
гидродинамики, и на этой основе также исследована дисперсия ленгмюровских волн в
слаборелятивистских системах. Проведено сопоставление результатов с теорией,
полученной на основе гамильтониана одной частицы во внешнем поле, являющегося
следствием уравнения Дирака.
4. Проведен анализ влияния эволюции плотности энергии на характер дисперсии
электронных колебаний. Показано, что если замкнуть функцию теплового потока с
помощью закона Фурье, то в этом случае электронные колебания испытывают затухание.
5
5.
Рассмотрено
обменное
кулоновское
взаимодействие
электронов
на
поверхности нанотрубки и получено дисперсионное соотношения для собственных
плазменных волн в такой системе.
Практическая ценность результатов
Полученные уравнения могут применяться для расчета нестационарных физических
процессов в системах многих взаимодействующих частиц во внешних электромагнитных
полях. В данной работе был завершен учет всех взаимодействий, составляющих
гамильтониан Брейта в смысле рассмотрения их вклада в уравнения квантовой
гидродинамики. Исследование свойств электронов на нанотрубке может быть
использовано при проектировании различных объектов на микроскопическом уровне.
Апробация результатов
Результаты докладывались на международных конференциях ”Ломоносов-2011”,
”Ломоносовские чтения-2011”, First ICTP-NCP International College on Plasma Physics,
”Ломоносов-2014”, ”Ломоносов-2015”.
Публикации
По материалам работы опубликовано шесть статей в рецензируемых научных
журналах, входящих в список ВАК, и пять тезисов докладов в сборниках трудов
международных конференций.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, списка литературы, включающего
148 наименований. Общий объем текста - 144 машинописных страницы с 16 рисунками.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
1-ая глава является введением в работу, в ней приводится анализ поставленной
проблемы и дается обзор литературы, посвященной развитию основ метода квантовой
гидродинамики.
Во 2-ой главе производится вывод уравнений слаборелятивистской квантовой
гидродинамики на основе гамильтониана Дарвина:
6
N

ei e j
 D2
 1 N 
D4
 

Hˆ =   i  3i 2  eii  
e
e
G

G
D
D

  i j ij 2m m c 2 ij i j  ,
8mi c
i =1  2mi
i
j
 2 i , j =1,i  j 

(1)
где Di = ( / i ) i  (ei / c) Ai ,  i - производная по координате i-ой частицы, функции
i = i (ri , t ) , Ai = Ai (ri , t ) - потенциалы внешнего электромагнитного поля, rij = ri  r j .
Gij , Gij - функции Грина кулоновского и ток-токового взаимодействий соответственно,
определяющиеся следующим образом:
 
1    xij xij
Gij = , Gij =
 3 .
rij
rij
rij
(2)
Первая группа членов в гамильтониане соответствует нерелятивистской кинетической
энергии, вторая - релятивистской поправке к кинетической энергии, и в связи с этим,
представляет интерес в данной работе; третья описывает взаимодействие с внешним
электрическим полем. Далее идут группы членов, описывающих взаимодействие между
частицами
системы,
соответственно.
взаимодействие
а
именно
Ток-токовое
двух
кулоновское
взаимодействие
движущихся
зарядов.
и
ток-токовое
представляет
Гамильтониан
взаимодействия
собой
магнитное
Дарвина
описывает
рассматриваемую систему частиц на микроскопическом уровне; перед выводом
уравнений квантовой гидродинамики выводятся также соответствующие уравнения
классической гидродинамики. Уравнения получены в пятимоментном приближении,
включающем уравнения непрерывности, баланса импульса и баланса энергии. Уравнение
непрерывности имеет стандартный вид:
 t n(r, t )    n(r, t )v (r, t )  = 0,
(3)
тогда как уравнение Эйлера, описывающее эволюцию поля скоростей, имеет более
богатую форму:
mn(r, t )[ t  v (r, t )  ]v (r, t )    p (r, t )    T (r, t )
e
= enE  n  v B  F cl  F q ,
c
где плотности силы F cl и F q имеют вид
7
(4)
F cl (r, t ) = 

e
1
[ ( mnv 2   )  ( mnv v  p )]E
2
mc
2
e2
dr'[ G (r  r')    G (r  r')]  (r, r', t )
2c 2 
e2

n dr' G (r  r')[mn(r', t )v (r', t )v (r', t )  p (r', t )  T (r', t )]
2 
2mc

e3
n dr'G (r  r') E (r', t )n(r', t ),
2mc 2 
F q (r, t ) =

(5)
e 2
  ( E  n)
4m 2 c 2
e2 2
 n(r, t ) dr' G (r  r')' n(r', t ).
2 2 
8m c
Слаборелятивистская
плотность
силы
F cl
(6)
наличествует
и
в
классической
слаборелятивистской гидродинамике. Слагаемые в первой строке в формуле для F cl
связаны
с
релятивистской
поправкой
к
кинетической
энергии
и
описывают
слаборелятивистский вклад в ”электрическую” часть силы Лоренца. Слагаемые во
второй строке связаны с магнитным полем, создаваемым тепловым движением частиц;
третья строка - это вклад ток-токового взаимодействия, не вошедший в силу Лоренца.
Наличие слагаемого в четвертой строке происходит оттого, что выражение для импульса
частицы pi содержит в случае лагранжиана Дарвина также функцию Грина Gij в явном
виде. Члены в плотности F q - это специфические квантовые члены, появляющиеся в
квантовой гидродинамике.
В левой части уравнения Эйлера содержится тензор T , соответствующий
известному квантовому потенциалу Бома. Он имеет следующий вид:

T  = Tn
.r .  Ts .r . ,
(7)
где нерелятивистская часть Tn
. r . представлена формулой
Tn
.r . = 
2
4m
   n 
8
 n    n
,
4m
n
2
(8)
тогда как слаборелятивистская часть Ts
. r . имеет более громоздкий вид:
Ts
.r . = 

4
3 2
4m c

n      n      n   n    n     n    n     n


v 2  1   
T  2  v v Tn.r .  v  v Tn.r . 
2 n.r .
c
c
2
2mc 2
2
4mc 2
  n  v 



 
v  v   v 
n   v     v   v      v   
2
4mc 2
n  v    v    v.
(9)
Помимо прочего, в тензоре Ts
. r . содержится немало слагаемых, содержащих тепловые
скорости частиц ui . Для краткости (а также ввиду пренебрежения ими) они здесь не
представлены.
Также в работе подробно выведено и представлено уравнение баланса энергии для
рассматриваемого типа систем, но для краткости оно здесь не приводится.
3-я глава посвящена получению дисперсионного соотношения для ленгмюровских
волн в слаборелятивистском случае на основе полученного во 2-ой главе аппарата (а
также в этой главе исследуются волны в слаборелятивистском потоке частиц). После
получения фундаментальных уравнений слаборелятивистской квантовой гидродинамики
естественно рассмотреть известную задачу о собственных волнах в электронной плазме
(в
данном
случае
квантовой
слаборелятивистской
плазме).
Ионы
полагаются
неподвижными, в равновесии потоки частиц отсутствуют. Для электронной компоненты
записываются уравнения, представленные в предыдущей главе, в первом порядке теории
возмущений. В конечном итоге, получается следующее дисперсионное соотношение:
2 2
4 6

k  2k 4
k
T 2
 ( k ) =  1  2 2  
 4 2
k ,
2
m
 4m c  4m 8m c
2
2
p
(10)
где  p = 4 e2 n0 / m - плазменная частота,  = 3 в классическом адиабатическом
одномерном случае. Данное выражение отличается от классического наличием трех
слагаемых, первое из которых пропорционально k 2 / c 2 и является следствием наличия
9
новых квантово-слаборелятивистских поправок в правой части уравнения баланса
импульса, а второе и третье пропорциональны k 4 и k 6 соответственно и происходят от
представленного выше выражения для квантового вклада в давление.
Уравнение Эйлера содержит богатый набор слагаемых, содержащих скорости
частиц. С целью проследить вклад этих слагаемых дисперсия, в данной главе
рассмотрена также дисперсия волн в потоке заряженных частиц.
В 4-ой главе соответствующая задача о собственных волнах рассмотрена в
двумерном случае. Система заряженных частиц рассматривается на плоскости,
расположенной в трехмерном пространстве (плотности частиц пропорциональны дельтафункции  ( z ) , выражения для электрического и магнитного полей используются в
интегральном виде). При переходе на плоскость меняет вид фурье-образ функции Грина
ток-токового взаимодействия, важный для вычисления дисперсии волн:
2
k
  k  k 
 2  2
k


,

(11)
8   k  k  
G3 D (k ) = 2    2  .
k 
k 
(12)
G2D (k ) =
тогда как в трехмерном случае он имеет другой вид:

После вычислений, аналогичных проведенным в предыдущей главе, было
выведена
следующая
формула
для
частоты
волн
в
двумерной
электронной
слаборелятивистской плазме:

 2 = Le2 1 

2
Le
2 4
4 6
k2 
k
k
2 2

3
v
k


s
2 2 
2
2m c 
4m 8m4c 2
2
2 4
2T0
Le2  2
k 
2 2



3
v
k

,
s
2
2 2  Le
mc 2k c 
4m2 
(13)
2 e 2 n0 k
m
(14)
где
Le2 =
есть двумерная ленгмюровская частота, появление которой вызвано кулоновским
взаимодействием между зарядами, ˆ0 = n0T0 и p0 = n0T0 , так что ˆ0  p0 = 2n0T0 (эти
10
выражения дают первый член во второй строке); в этих формулах n0 - двумерная
концентрация, имеющая размерность см 2 . В двумерном случае k  G  0 , поэтому
далее во второй строке появляется конструкция, отсутствующая в трехмерном случае.
В 5-ой главе производится учет контактного взаимодействия, и производится
сравнение соответствующих дисперсионных формул с формулами других авторов,
полученными из квантовой кинетики, разработанной на основе одночастичного
гамильтониана. Включение контактного взаимодействия завершает (в совокупности с
предыдущими
работами
по
квантовой
гидродинамике)
рассмотрение
всех
взаимодействий, составляющих гамильтониан Брейта. Если мы имеем дело с двумя
электронами, контактное взаимодействие равно
2
e 
H D =  
  (ri  r j ).
 mc 
(15)
Наличие данного взаимодействия приводит к члену в уравнении Эйлера в виде
F D =
e 2
n   E .
4m 2 c 2
(16)
Однако некоторые авторы часто берут за основу гидродинамику, базирующуюся
на гамильтониане одной частицы во внешнем поле (которое затем полагается
самосогласованным).
В
этом
случае
соответствующий
член
в
гамильтониане
(полученном из разложения дираковского гамильтониана по степеням 1/ c ) равен
e 2
Hˆ D =  2 2 E.
8m c
(17)
Данный член приводит к вдвое меньшему слагаемому в уравнении Эйлера. В связи с
этим, конечное выражение для дисперсии является разным в двух описанных случаях. В
”многочастичном” случае оно имеет вид
2 2
2 2
4 4

k   2
k
k 
 =  1  2 2    3vse 
 4 2  k2,
2
4m 8m c 
 2m c  
2
2
Le
(18)
однако, если выбрать следствие слаборелятивистского приближения уравнения Дирака,
то в результате получим
11

 2 = Le2 1 

2 2
4 4
3 2k 2   2
k
k  2

3
v


k .
se
2 2  
2
8m c  
4m 8m4c 2 
(19)
2
k2
Таким образом, коэффициент в скобках перед 2 2 в двух случаях различен; в первом
mc
он равен 1/ 2 (необходимо отметить, что половину этого коэффициента дает вклад от
Fq ), во втором - 3/ 8 . Объяснить разницу в величине контактного взаимодействия можно
следующим образом. Потенциал взаимодействия двух частиц имеет общий вид
HD = 
 2 ei e j  1
2c 2
1 
 2  2   (ri  r j ).
 mi m j 
(20)
Если m j   , то получается потенциал взаимодействия электрона с неподвижным
заряженным центром, который фактически используется в приближенном дираковском
гамильтониане; коэффициент в формуле уменьшится в два раза по сравнению
потенциалом взаимодействия двух электронов. Тот факт, что квантовая гидродинамика,
построенная на гамильтониане многих взаимодействующих частиц, дает результат,
отличный от ”одночастичной” гидродинамики, представляет весьма большой интерес.
В конце главы выводится формула для дисперсии волн в электрон-позитронной
плазме. Полученные ранее уравнения квантовой гидродинамики записываются для двух
сортов частиц - электронов и позитронов, и в итоге получена следующая формула для
дисперсии волн в электрон-позитронной плазме с учетом рассмотренных в данной главе
взаимодействий:

 2 = 2 p2 1 

2 4
4 6
k2
5T 
T 2
k
k



k


,
2 2
2 
2
2m c 2mc 
m
4m 8m4c 2
2
(21)
где  p2 = 4 e2 n0 / m . Таким образом, данное выражение очень похоже на полученную
ранее формулу для дисперсии в электронной плазме, за исключением того, что перед  p2
имеется числовой коэффициент, равный двум.
6-ая глава посвящена изучению вклада уравнения баланса энергии в дисперсию
ленгмюровских
рассмотрении
волн в кулоновской
дисперсионных
явлений
плазме. Обычно при
в
12
плазме
гидродинамическом
ограничиваются
уравнением
непрерывности и уравнением Эйлера (при рассмотрении спиновых явлений также
учитывается уравнение эволюции магнитных моментов), однако уравнение баланса
энергии, как правило, остается без внимания. Имеется интерес, связанный с выяснением
его влияния на дисперсию плазменных волн.
Уравнение баланса энергии имеет вид
n( t  v   )  ( p  T ) v   q =
=
e2
n dr'(v (r', t )  v (r, t )) G (r  r')n(r', t )   ,
2 
(22)
где n - плотность тепловой энергии, q - вектор потока тепловой энергии,  плотность работы, G (r  r') = 1/ | r  r' | - функция Грина кулоновского взаимодействия.
Функции n и q имеют следующий вид:
2
N
i a e2
1
n = dR (r  ri )a 2 ( mui2 
)  n dr'G(r  r')n(r', t ),
2
2m a
2
i =1
(23)
2
i a
1 2
q = dR (r  ri )a [ui ( mui 
)
2
2m a
i =1
N
2


2
2m
 i (vi  i ln a) 
2
4m
 i  i vi ] 
N
1
2
d
r
'
e
G
(
r

r
')
dR
 (r  ri ) (r'  r j )a 2ui ,
 i, j
2
=1, j i
(24)
где ui - тепловая скорость частицы, ui = vi  v . Вектор теплового потока q имеет
также квантовую часть. Для того, чтобы система уравнений была замкнутой, вектор q
связывается с другими величинами с помощью закона Фурье.
После получения уравнения для дисперсии можно получить следующие решения
вблизи ветвей  p , i k 2 :

1,2 =  p 1 

2 4 
2 6
1  5 T0 2
k 
i  2 T0 4
k 
k



k



.
q
2 
2 
2 
2 p  3 m
4m   2 p  3 m
6m 2 
Подобным образом может быть найдено решение вблизи затухающей ветви  = i k 2 :
13
(25)
3 = i k 2 
2 6
i  2 T0 4
k 

k


.
q
2 
p  3 m
6m 2 
(26)
Таким образом, глядя на эти выражения, легко прийти к выводу, что решения 1,2
действительно соответствуют хорошо известной плазменной ветви, а 3 есть ветвь,
описывающая затухание тепловой энергии. Если продолжить итерационный процесс,
будет
найдено,
что
реальная
температуропроводности 

часть
также
зависит
от
коэффициента
нетривиальным образом. При конечных темпертурах
плазменные волны испытывают затухание (это - новый интересный результат), и это
затухание более медленное в сравнении с ветвью 3 , поскольку
1 T0 k 2
= 1.
 p2 m
В 7-ой главе исследована дисперсия плазменных волн на двумерной поверхности
нанотрубки с учетом обменного взаимодействия.
Уравнения
квантовой
гидродинамики
записываются
в
двумерном
цилиндрическом случае:
t n 
1
 (nv )   z (nvz ) = 0,
R
(27)
2
1
1  n
1

Ex
mn t v  mn  v   vz  z  v   P 
n  
 = qe nE  F ,
R
2m R  n 
R

(28)
2
 n
1

Ex
mn t vz  mn  v   vz  z  vz   z P 
n z 
 = qe nEz  Fz ,
R
2
m


 n 
(29)
и
где FEx и FzEx - плотности силы, связанные с обменным кулоновским взаимодействием,
P
- давление, относящееся к распределению частиц по различным квантовым
состояниям, qe = e - заряд электрона.
Вычисления плотности силы обменного взаимодействия представляет отдельную
нетривиальную задачу. В случае фермионов F Ex имеет следующую форму:
F Ex = e 2 dr' G (r  r') |  (r, r', t ) |2 ,
функция  (r, r', t ) имеет следующее определение:
14
(30)
 (r, r', t ) = n f  *f (r, t ) f (r', t ),
(31)
f
где n f есть число частиц в квантовом состоянии, определяемом набором чисел f ,
 f (r, t ) есть волновые функции этих состояний. Можно переписать формулу для
плотности силы следующим образом:
F Ex = e2 dr' G(r  r')  n f n f  *f (r, t ) f (r', t ) f  (r, t ) *f  (r', t ).
(32)
f,f
Для вычисления плотности силы обменного взаимодействия приближенно используются
решения уравнения Шредингера для свободных частиц в цилиндрических координатах:
1
 p ,l (r, t ) =
2 RL
i
exp( Et ) exp(il  ipz / ),
(33)
где L и R - длина и радиус цилиндра (нанотрубки) соответственно, l - квантовое число,
характеризующее импульс по координате 
(спектр данного числа принадлежит
множеству целых чисел), p - импульс, связанный с движением вдоль оси z .
Также отдельную задачу представляет вычисление давления Ферми электронов на
нанотрубке. В результате получается следующее выражение для давления частиц с
поляризованными спинами:
P =
2 4
3m
2
R 2 n3 ,
(34)
для случая промежуточной спиновой поляризации имеем
P = (1  3 2 )
4
6m
2
R 2 n3 ,
(35)
где  - коэффициент поляризации.
В итоге, после вывода уравнений для вычисления дисперсии, при полной
поляризации  = 1 получаем формулу для квадрата частоты
 2 (k ) =
e2 n0 k
8 4
G (k )  2
m
m
2
R 2 n02 k 2 
8 e2
Rn0 k 2 [1    ln(2 2 n0 R 2 )].
m
при 1    ln(2 2 n0 R 2 ) > 0 , поскольку ln(2 2 n0 R 2 ) < 0 .
15
(36)
Первый член в дисперсионной зависимости соответствует плазменной частоте
Le2 ,Cyl = e2 n0 kG(k ) / m . Фурье-образ функции Грина кулоновского взаимодействия на
цилиндрической
поверхности
G(k ) = 4 I 0 (kR) K0 (kR) .
Эта
в
трехмерном
функция
пространстве
характеризует
выглядит
геометрические
как
свойства
описываемой системы. В плоском двумерном электронном газе она имеет вид
Le2 , Pl = 2 e2n0k / m . Все эти ленгмюровские частоты являются аналогами известного
2
2
n0,3D
выражения для трехмерной среды: Le
,3 D = 4 e n0,3 D / m , где
- трехмерная
концентрация частиц, [n0,3D ] = cm3 . Второй член происходит от давления Ферми, третий
- от квантового потенциала Бома. Последний член в дисперсионной зависимости
происходит от обменного взаимодействия. Все члены, за исключением последнего,
являются положительными, тогда как обменное взаимодействие дает отрицательный
вклад.
В
случае
произвольной
степени

поляризации
получена
следующая
дисперсионная зависимость ленгмюровских волн на цилиндрической поверхности
нанотрубки :
 2 (k ) =

e2 n0 k
2 4
G(k )  (1  3 2 ) 2
m
m
2
R 2 n02 k 2
 1  
4 e2
1
2
2
2
Rn0 k 2 {2(1   )  (1   2 ) ln 
  [ln(1   )  2ln(2 n0 R )]}.
m
2
1




(37)
Также в данной главе представлено большое количество графиков и изображений,
наглядно иллюстрирующих свойства представленной системы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной диссертационной работе представлены следующие результаты:
1. Основным результатом работы является вывод уравнений слаборелятивистской
квантовой гидродинамики на основе уравнения Шредингера с гамильтонианом Дарвина,
учитывающем,
помимо
кулоновского,
также
16
ток-токовое
взаимодействие
и
релятивистскую поправку к кинетической энергии (помимо этого, в работе учтено
контактное взаимодействие). Уравнения получены в пятимоментном приближении,
включающем уравнения непрерывности, эволюции скорости и баланса энергии для
систем с преобладанием указанных взаимодействий.
2.
На основе полученных уравнений исследованы дисперсионные свойства
слаборелятивистского электронного газа в трехмерном, а также в низкоразмерном
(двумерном) случае. Кроме того, была рассмотрена дисперсия в потоке электронов с
целью проследить вклад более широкого набора слагаемых в уравнениях баланса.
3.
Исследован вклад контактного взаимодействия в уравнения квантовой
гидродинамики, и на этой основе также рассмотрена дисперсия ленгмюровских волн в
слаборелятивистских системах. Проведено сопоставление результатов с теорией,
полученной на основе гамильтониана для одной частицы во внешнем поле, являющегося
следствием уравнения Дирака. Показано, что следствие уравнения Дирака и контактное
взаимодействие в гамильтониане Брейта дают разный коэффициент в слагаемом,
соответствующем квантовому сдвигу в квадрате плазменной частоты в дисперсионном
соотношении. После включения контактного взаимодействия в гамильтониан Дарвина
была рассмотрена двухкомпонентная система - электрон-позитронная плазма, и получен
закон дисперсии для данного случая.
4. Проведен анализ влияния эволюции плотности энергии на характер дисперсии
электронных колебаний. Это представляет большой интерес, т. к. обычно уравнение
баланса энергии при расчете дисперсионных свойств не учитывается. Показано, что если
замкнуть функцию теплового потока с помощью закона Фурье, то в этом случае
известные электронные колебания испытывают затухание.
5.
Рассмотрено
обменное
кулоновское
взаимодействие
электронов
на
поверхности нанотрубки и получено дисперсионное соотношения для собственных
плазменных волн в такой системе, в том числе в случае частично поляризованных
частиц.
Вычисление
плотности
обменного
отдельную интересную задачу.
17
взаимодействия
представляет
собой
Список публикаций
Основное
содержание
диссертационной
работы
изложено
в
следующих
публикациях:
1.
Иванов А.Ю., Андреев П.А. Дисперсия волн в слаборелятивистской
квантовой плазме и пучке частиц // Известия вузов. Физика. 2013. Т. 56. N. 3. С. 80.
2. Ivanov A. Yu., Andreev P. A., Kuzmenkov L. S. Balance equations in semirelativistic quantum hydrodynamics // Int. J. Mod. Phys. B. 2014. V. 28. P. 1450132.
3. Андреев П. А., Иванов А. Ю. Слаборелятивистские квантовые эффекты в
двумерном электронном газе: дисперсия ленгмюровских волн // Известия вузов. Физика.
2014. Т. 57. N. 9. С. 54.
4. Ivanov A. Yu., Kuz’menkov L. S. Influence of quantum energy equation on
electronic plasma oscillations // Int. J. Mod. Phys. B. 2015. V. 29. N. 19. P. 15501.
5. Ivanov A. Yu., Andreev P. A., Kuzmenkov L. S. Langmuir waves in semirelativistic spinless quantum plasmas // Prog. Theor. Exp. Phys. 2015. V. 2015. P. 063102.
6. Andreev P. A., Ivanov A. Yu. Exchange Coulomb interaction in nanotubes:
Dispersion of Langmuir waves // Phys. Plasmas. 2015. V. 22. P. 072101.
7. Иванов А. Ю. О релятивистских эффектах в квантовой гидродинамике //
Сборник тезисов конференции ”ЛОМОНОСОВ-2011” , секция ”Физика”. 2011. Т. 2. С.
141.
8. Кузьменков Л. С., Андреев П. А., Иванов А. Ю. О слаборелятивистском
нелинейном уравнении Шредингера // Сборник тезисов конференции ”Ломоносовские
чтения-2011”, секция физики. 2011. С. 131.
9. Andreev P. A., Ivanov A. Yu., Kuzmenkov L. S. Semi-relativistic hydrodynamics
of three-dimensional and low-dimensional quantum plasmas // First ICTP-NCP International
College on Plasma Physics, Pakistan. 2013.
10.
Иванов А. Ю. Дисперсия собственных волн в слаборелятивистской
бесспиновой плазме с учетом дарвиновского члена // Сборник тезисов конференции
”ЛОМОНОСОВ-2014”, секция ”Физика”. 2014. С. 236.
18
11.
Иванов А. Ю. Дисперсия ленгмюровских волн с учетом обменного
взаимодействия в двумерной кулоновской квантовой плазме, расположенной на
цилиндрической поверхности // Сборник тезисов конференции ”ЛОМОНОСОВ-2015”,
секция ”Физика”. 2015.
19
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
493 Кб
Теги
динамика, заряженной, система, квантовые, коллективный, части, слаборелятивистских, континуумов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа