close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численные и аналитические методы и модели исследования динамики пространственных структур в многокомпонентных стохастических системах реакция-диффузия

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Максимов Валерий Владимирович
ЧИСЛЕННЫЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТРУКТУР
В МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ «РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ»
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ
Самара – 2015
Работа выполнена на кафедре физики ФГАОУ ВО "Самарский
государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.
Королева (национальный исследовательский университет)" и на кафедре
высшей математики ФГБОУ ВПО "Самарский государственный университет
путей сообщения".
Научный консультант
Курушина Светлана Евгеньевна,
доктор физико-математических наук, доцент
Официальные оппоненты: Храмов Александр Евгеньевич,
доктор физико-математических наук, профессор,
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный
технический университет имени Гагарина Ю.А.»,
заведующий
кафедрой
«Автоматизация,
управление, мехатроника»
Радченко Владимир Павлович,
доктор физико-математических наук, профессор,
ФГБОУ ВПО «Самарский государственный
технический университет»,
заведующий кафедрой «Прикладная математика и
информатика»
Ежов Евгений Григорьевич,
доктор физико-математических наук, доцент,
ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный
университет архитектуры и строительства»,
профессор
кафедры
«Информационновычислительные системы»
Ведущая организация: Нижегородский национальный исследовательский
университет им. Н.И.Лобачевского (ННГУ)
Защита состоится «17» декабря 2015 г. в __ часов на заседании
диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский
государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу:
410054, Россия, г.Саратов, ул. Политехническая, 77, ауд.
.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте
http://www.sstu.ru/aspirantu/dissertation/
ФГБОУ
ВПО
«Саратовский
государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» .
Автореферат разослан «__» __________ 2015 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
2
Терентьев А.А.
Общая характеристика работы
Актуальность работы
В настоящее время значительный интерес вызывают исследования
пространственно-временной
динамики
реальных
многокомпонентных
пространственно-распределенных систем, находящихся под влиянием внешней
флуктуирующей среды и учитывающих внутренние шумы. Одной из широко
распространенных моделей таких систем является система стохастических
уравнений реакционно-диффузионного типа – система нелинейных уравнений в
частных производных параболического типа, в которую включены
мультипликативные и аддитивные случайные поля. Примерами таких моделей
являются модель CDIMA реакции и модель пигментации рыбы с аддитивными
шумами [S.S. Riaz, S. Dutta, S. Kar, D.S. Ray (2005)], модель фитопланктонзоопланктон-рыба шумами параметров [H. Malchow, F.M. Hilker, S.V. Petrovskii
(2004)], модель Сфифта-Хоенберга с аддитивным шумом [O. Carrillo, M.A.
Santos, J. García-Ojalvo, J.M. Sancho (2004)], стохастическая модель ФитцХьюНагумо [M. Gosak, M. Marhl, M. Perc (2007)], брюсселятор с
мультипликативным шумом [S.E. Kurushina, V.V. Maximov, Yu.M. Romanovskii,
(2014)] и т.д.
Исследование эволюции стохастических пространственно распределенных
систем может быть проведено различными методами. Приближение среднего
поля (MFT) является эффективным инструментом для изучения
шумоиндуцированной
динамики
систем
различной
природы
и
шумоиндуцированных явлений [B. Lindnera, J. García -Ojalvo, A. Neimand, and
L. Schimansky-Geier, (2004)]. Оно успешно применено для исследования
шумоиндуцированного разделения фаз в консервативных системах с
параметром порядка [M. Ibañes, J. García-Ojalvo, R. Toral, and J. M. Sancho,
(1999)], управляемого шумом механизма формирования структур [J. Buceta, M.
Ibañes, J. M. Sancho, and K. Lindenberg, (2003)], внутренних
шумоиндуцированных фазовых переходов [O. Carrillo, M. Ibañes, J. GarcíaOjalvo, J. Casademunt, and J. M. Sancho, (2003).], неравновесных фазовых
переходов первого рода, индуцированных аддитивным [A. A. Zaikin, J. GarcíaOjalvo, and L. Schimansky-Geier, (1999)] и мультипликативным [R. Müller, K.
Lippert, A. Kühnel, and U. Behn, (1997); O. Carrillo, M. Ibañes, and J.M. Sancho,
(2002)] шумами, шумоиндуцированных реентерабельных переходов в
нелинейных цепочках [P. S. Landa, A.A. Zaikin, L. Schimansky-Geier, (1998)],
чистых шумоиндуцированных неравновесных реентерабельных фазовых
переходов второго рода [C. Van den Broeck, J.M.R. Parrondo, R. Toral, and R.
Kawai, (1997)], реентерабельных фазовых переходов «беспорядок-порядокбеспорядок» и «порядок-беспорядок-порядок» с фазовой диаграммой, имеющей
седловую точку [J. Buceta, J. M. R. Parrondo, and F. Javier de la Rubia, (2001)].
Однако в указанных выше и других работах рассматриваются только
однокомпонентные пространственно распределенные системы с аддитивным,
мультипликативным или обоими видами шумов. Поэтому актуальным является
3
развитие MFT для многокомпонентных систем «реакция-диффузия»,
являющихся частным, но чрезвычайно важным случаем пространственно
распределенных систем.
Применение
приближения
среднего
поля
к
исследованию
шумоиндуцированных явлений, возникающих в однокомпонентных задачах,
приводит к необходимости численного решения одномерного одноточечного
нелинейного самосогласованного уравнения Фоккера-Планка (NSCFPE).
Различные методы применяются для численного интегрирования NSCFPE. В
работах [D. S. Zhang, G. W. Wei, and D. J. Kouri, (1997); D. S. Zhang, G. W. Wei,
D. J. Kouri, and D. K. Hoffman, (1997)] представлен элегантный и эффективный
метод, основанный на распределенных аппроксимационных функционалах на
базе полиномов Эрмита. Высокая точность решения достигается при малом
числе точек решетки. В [A. N. Drozdov and M. Morillo, (1996)] предложен
конечно-разностный метод, основанный на К-точечной интерполяционной
формуле Стирлинга. В [H. Chen, J. Duan, and Ch. Zhang, (2012)] использована
конечно-разностная схема в дифференциальной части и правило трапеций в
интегральной части NFPE. Методы конечных элементов [P. Kumar and S.
Narayanan, (2006)] и конечных разностей [P. Kumar and S. Narayanan (2006); F.
Campillo, M. Joannides, and I. Larramendy-Valverde, (2014)], алгоритм
дискретной сингулярной свертки [G. W. Wei, (1999); (2000)], прямой
основанный на квадратурах метод моментов [D. L. Otten and P. Vedula, (2011);
R. O. Fox and P. Vedula, (2010)], псевдо - спектральный метод [Y. Kawamura
(2007)], методы интегралов по траекториям [M. H. Wehner and W. G. Wolfer,
(1987); H. Haken, (1976)] и разложения по собственным функциям [N. G. van
Kampen, (1977); H. Tomita, A. Ito, and H. Kidachi, (1976)] и другие [D. Moroni, B.
Rotenberg, J.-P. Hansen, S. Succi, and S. Melchionna, (2006); D. L. Ermak and H.
Buckholtz, (1980)] также используются для нахождения численных решений
NFPEs.
Несмотря на многообразие существующих численных методов решения
NFPE, лишь немногие из них успешно применяются для интегрирования
многомерных уравнений. Поэтому численное решение многомерного NSCFPE
все еще является сложной и актуальной проблемой.
Еще один метод для изучения эволюции систем рассматриваемого типа в
окрестности точки бифуркации Тьюринга основан на выводе обобщенных
уравнений Гинзбурга-Ландау (ОУГЛ) [H. Haken, (2004); S.Е. Kurushina, (2012)].
Но получаемые в результате ОУГЛ являются также стохастическими и требуют
дальнейшего сложного математического анализа. Подход, использующий
метод динамической ренормализационной группы, применяется только для
одномерных однокомпонентных систем [W. Genovese, M.A. Muñoz, J.M.
Sancho, (1998); J.M. Sancho, J. García-Ojalvo, H. Guo, (1998)]. Анализ моментов
функций состояния изучаемых систем и их структурных функций [J. GarcíaOjalvo, J.M. Sancho, (1996); C. Van den Broeck, J.M.R. Parrondo, R. Toral, R.
Kawai, (1997)], как правило, проводится численно или при аналитическом
исследовании
дополнительно
используются
другие
приближения:
4
корреляционное, MFT и др. Для таких систем может быть записано
функциональное УФП [H. Haken, (2004); V.I. Klyatskin, (2005)]. Однако
нахождение его решения представляет значительную сложность, если вообще
это возможно. Разрабатываются и другие методы, применяемые для
исследования стохастических пространственно распределенных систем,
моделируемых интегро-дифференциальными уравнениями [A. Hutt, A. Longtin,
and L. Schimansky-Geier, (2008)].
Представленные выше аналитические методы результативны в
определенной области значений параметров задачи или имеют ограничения на
число компонент или размерность пространства системы.
По причине значительной математической сложности аналитических
методов, применяемых для изучения эволюции многокомпонентных
многомерных стохастических реакционно-диффузионных систем и того факта,
что большинство из них дает качественное соответствие с численным или
натурным экспериментом, возникает необходимость дальнейшей разработки
численных методов и алгоритмов для таких исследований.
Поэтому актуальным является разработка новых численных и
приближенных аналитических методов, позволяющих исследовать состояние
изучаемых систем в более широкой области значений параметров самой
системы и шумов или распространение известных приближенных
аналитических методов для изучения многокомпонентных многомерных
систем.
Все вышеизложенное определяет актуальность темы исследования и
позволяет сформулировать цель и задачи исследования.
Целью работы является разработка математических моделей,
приближенных аналитических методов, численных методов, алгоритмов и
комплексов
программ
для
исследования
процессов
образования
пространственных
структур
в
многокомпонентных
многомерных
стохастических системах «реакция-диффузия».
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи
диссертации:
1. Развитие приближенных аналитических методов на основе концепции
параметров порядка и с использованием приближения среднего поля для
описания и предсказания шумоиндуцированных эффектов при образовании
пространственных
структур
в
многокомпонентных
многомерных
стохастических реакционно-диффузионных системах, а также исследования
шумоиндуцированного перехода «беспорядок – порядок – беспорядок» в
системах рассматриваемого типа.
2. Разработка и верификация численного метода решения многомерного
нелинейного самосогласованного уравнения Фоккера – Планка.
3. Разработка алгоритмов и создание комплексов программ для
моделирования эволюции конкретных двухкомпонентных двумерных
стохастических систем реакция-диффузия, обработки и визуализации
результатов.
5
4. Аналитическое и численное исследование закономерностей эволюции
плотностей распределения вероятностей значений функций, определяющих
состояние, и амплитуды критической моды изучаемых систем, а также
зависимостей их статистических характеристик от параметров внешнего шума с
применением разработанных приближенных аналитических методов и
комплексов программ.
Научная новизна полученных результатов
1. Получено уравнение Фоккера-Планка для амплитуд неустойчивых мод
двухкомпонентных многомерных стохастических реакционно-диффузионных
систем. В явном виде найдено его стационарное решение для амплитуды
критической моды, позволяющее в окрестности точки бифуркации Тьюринга
определить границу перехода «порядок-беспорядок» и изучить поведение
статистических характеристик модуля амплитуды критической моды.
2. Предложено равенство, определяющее условные средние дискретного
аналога
функций,
характеризующих
состояние
многокомпонентных
многомерных
стохастических
реакционно-диффузионных
систем,
эквивалентное приближению среднего поля. В таком приближении получено
УФП для многомерной плотности вероятности состояния этих систем в
отсутствие взаимной корреляции случайных полей. Для частного случая
двухкомпонентных систем специального вида получено УФП, учитывающее
взаимную корреляцию случайных полей.
3. Предложен численный метод решения УФП для многомерной плотности
вероятности состояния изучаемых систем, записанного в приближении
среднего поля, отличающийся от эффективного метода, основанного на
распределенных аппроксимационных функционалах на базе полиномов Эрмита
тем, что он сохраняет положительность значений, монотонность и высокую
точность решения.
4. Впервые разработаны алгоритмы численного исследования эволюции
конкретных двухкомпонентных двумерных стохастических систем реакциядиффузия. Созданы комплексы программ для проведения численных
экспериментов, обработки и визуализации их результатов.
5. Исследована зависимость плотности стационарного распределения
вероятностей значений амплитуды критической моды конкретных систем
рассматриваемого типа от значений интенсивности внешнего шума и
бифуркационного параметра. На плоскости «бифуркационный параметр–
интенсивность шума» построена граница перехода «порядок-беспорядок».
Проведено сравнение граничных значений интенсивности шума с граничными
значениями, полученными в численном эксперименте. Показано, что
предложенный приближенный аналитический метод вблизи точки бифуркации
Тьюринга дает удовлетворительное количественное соответствие граничных
значений интенсивности шума с граничными значениями, полученными в ходе
численного эксперимента.
6. Исследованы зависимости наиболее вероятного и среднего значений,
относительных флуктуаций (чувствительности) и кумулянта второго порядка
6
модуля амплитуды критической моды от интенсивности внешнего шума и
бифуркационного параметра в стационарном состоянии для этих систем.
Показано, что поведение стационарных статистических характеристик модуля
амплитуды критической моды второго порядка аналогично случаю чистых
индуцированных шумом переходов.
7. Численно изучены закономерности эволюции плотности совместного
распределения вероятности функций, характеризующих состояние конкретных
систем рассматриваемого типа в области бифуркации Тьюринга,
заключающиеся в том, что при возрастании интенсивности внешнего шума
происходит последовательное изменение типов решений: одномодальное
распределение - одномодальное распределение с временной бимодальностью сложное распределение, при котором происходит чередование одно- и
бимодального распределений. В приближении среднего поля исследованы
зависимости от интенсивности внешнего шума наиболее вероятного и среднего
значений, а также дисперсии функций, характеризующих состояние этих
систем. Показано, что предложенный метод адекватно описывает динамику
изучаемых систем в области бифуркации Тьюринга на качественном уровне.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Полученное уравнение Фоккера-Планка для амплитуд неустойчивых
мод определяет совместную плотность распределения вероятности некоторой
конфигурации
неустойчивых
мод
двухкомпонентных
многомерных
стохастических
реакционно-диффузионных
систем.
Найденное
его
стационарное решение для амплитуды критической моды позволяет определить
границу перехода «порядок-беспорядок» в окрестности точки бифуркации
Тьюринга и исследовать статистические характеристики модуля амплитуды
критической моды как функции интенсивности шума и бифуркационного
параметра.
2. Существует критическое значение интенсивности внешнего шума, при
котором бимодальная плотность распределения вероятности значений
амплитуды критической моды изучаемых систем заменяется одномодальной,
что определяет границу перехода порядок-беспорядок.
3. При увеличении интенсивности шума изменение стационарных
статистических характеристик второго порядка модуля амплитуды критической
моды систем рассматриваемого типа аналогично случаю чистых
индуцированных шумом переходов.
4. Полученное нелинейное многомерное самосогласованное уравнение
Фоккера-Планка определяет в приближении среднего поля многомерную
плотность вероятности состояния систем рассматриваемого типа, в отсутствие
взаимной корреляции случайных полей.
5. Предложенный конечно-разностный метод интегрирования нелинейного
многомерного самосогласованного уравнения Фоккера – Планка сохраняет
монотонность, положительность значений и высокую точность решения.
6. В области бифуркации Тьюринга при увеличении интенсивности
внешнего шума происходит изменение вида плотности совместного
7
распределения вероятности функций, характеризующих состояние конкретных
систем рассматриваемого типа: одномодальное распределение заменяется
одномодальным распределением с временной бимодальностью, а затем
сложным распределением, при котором происходит чередование одно- и
бимодального распределений. То есть, при увеличении интенсивности
внешнего шума упорядоченное состояние системы сменяется упорядоченным
состоянием с временной разупорядоченной фазой, а затем происходит
чередование упорядоченной и разупорядоченной фаз.
7. Сравнение полученных в приближении среднего поля зависимостей от
интенсивности внешнего шума наиболее вероятного и среднего значений, а
также дисперсии функций, характеризующих состояние систем изучаемого
типа, с соответствующими зависимостями модуля амплитуды критической
моды, а также с зависимостями, полученными в результате численного
эксперимента, показало, что предложенный MFT-метод адекватно описывает
динамику изучаемых систем в области бифуркации Тьюринга на качественном
уровне.
8. Разработанные алгоритмы и комплексы программ позволяют провести
численные эксперименты по исследованию эволюции конкретных
двухкомпонентных двумерных стохастических систем реакция-диффузия, а
также обработать и визуализировать их результаты.
Cвязь с государственными программами
Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами
фундаментальных
научно-исследовательских
работ
по
следующим
программам: аналитической ведомственной целевой программе «Развитие
научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», проекты 1.2.08,
2.1.1/309, федеральной целевой программе «Научные и научно-педагогические
кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт №
16.740.11.0145 и соглашение №14.В37.21.0767), Минобрнауки РФ в рамках в
рамках Программы повышения конкурентоспособности СГАУ на 2013-2020 гг.
и Государственного задания вузам и научным организациям в сфере научной
деятельности на 2014 -2016 гг., проект № 102. Работа поддержана Губернским
грантом Самарской области в области науки и техники 2010 г.
Теоретическая значимость проведенных исследований заключается в
том, что полученные в диссертационной работе результаты являются важным
вкладом
в
теорию
самоорганизации
нелинейных
неравновесных
пространственно распределенных систем, находящихся во внешней
флуктуирующей среде. Они имеют общий характер и поэтому могут быть
распространены на большое количество систем различной природы –
физические, биологические, экологические, экономические и т.д. Это
обусловлено тем, что все теоретические методы разрабатывались для
обобщенной модели, а численный эксперимент проводился для такой, ставшей
уже классической, модели, как брюсселятор, и хорошо известной
биофизической системы. Полученные результаты позволяют продвинуться в
понимании роли внешних шумов в процессах структурообразования и получить
8
общие
статистические
закономерности,
характерные
для
систем
рассматриваемого типа.
Практическая значимость проведенных исследований заключается в
том, что разработанные методы могут использоваться для предсказания
режимов поведения реальных сложных нелинейных неравновесных
пространственно распределенных систем, находящихся под влиянием внешнего
шума.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием
строгих математических процедур, общеизвестных уравнений, методов и
подходов, которые строго обоснованы в научной литературе, апробированы и
хорошо себя зарекомендовали при проведении научных исследований.
Достоверность результатов подтверждается их верификацией при
разнообразном тестировании, включающем сравнение с точными решениями
(при их наличии) и с известными из литературы численными решениями,
полученными другими методами, а также сравнением с известными
теоретическими результатами, адекватностью полученных результатов, их
непротиворечивостью известным в научной литературе достоверным
общепринятым результатам.
Апробация результатов диссертации
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на
семинарах Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова,
Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского,
Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П.
Королева,
Саратовского
государственного
университета
им.
Н.Г.
Чернышевского, Самарского государственного университета путей сообщения
и были представлены на следующих Всероссийских и Международных
конференциях:
● Международной научно-технической конференции «Компьютерные и
вычислительные технологии в задачах естествознания и образования». (Пенза,
2005),
● II малом университетском форуме «Россия – великая держава» (Москва,
2005),
●
Международных
междисциплинарных
научных
конференциях
«Курдюмовские чтения. Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь,
2006-2011),
● VIII международной школе «Хаотические автоколебания и образование
структур» ХАОС-2007 (Саратов, 2007),
● Международных конференциях по вычислительной механике и современным
прикладным системам (ВМСППС) (Алушта, 2007, 2009, 2011),
● Международной конференции с элементами научной школы для молодежи
«Перспективные информационные технологии для авиации и космоса»
(Самара, 2006, 2010),
● Международной конференции по математической физике и ее приложениям
(Самара 2008, 2010),
9
● 5 международной научно-технической конференции «Аналитические и
численные методы моделирования естественнонаучных и социальных
проблем» (Пенза, 2010),
● IX, X Международной школе-конференции «Хаотические автоколебания и
образование структур», (Саратов, 2010, 2013),
● VII Всероссийской научной конференции с международным участием
"Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2010).
Основные публикации
По материалам диссертации опубликована 41 печатная работа, в том
числе 16 - в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных
Высшей аттестационной комиссией, 1 монография, 3 свидетельства о
государственной регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы
(200 наименований), изложена на 169 страницах, содержит 46 иллюстраций.
Основное содержание работы
Во Введении обоснована актуальность темы диссертационной работы,
сформулированы ее цель и задачи, показана научная новизна, теоретическая и
практическая ценность полученных результатов, приводятся положения,
выносимые на защиту, описана структура и приведено краткое содержание
диссертации. Введение содержит сведения о достоверности и апробации
результатов.
Первая глава посвящена аналитическим методам к исследованию
стохастических пространственно распределенных систем.
В разделе 1.1 дан краткий обзор известных широко распространенных
методов исследования стохастических распределенных систем (MFT, методы,
основанные на анализе моментов, корреляционных и структурных функций,
теории динамической ренормализационной группы, ОУГЛ). Сформулированы
их достоинства и ограничения.
В разделе 1.2 развит аналитический метод на основе концепции
параметров порядка для описания и предсказания шумоиндуцированных
эффектов при образовании пространственных структур в системах вида
Ik
xk
 Pk ( x1 ,...,xm , 10 ,..., J k 0 ,..., n )   f ki (r, t )Gki ( x1 ,...,xm ,  J k 1 ,..., n ) 
t
i 1
 Fk (r, t )  Dk 2 xk ,
(1)
где k=1,…,m, xk – функции состояния системы, Pk ( x1,.., xm , χ) , Gki ( x1,..., xm , χ) функциональные зависимости, определяющие взаимодействие и эволюцию
компонент xk в пространстве и во времени, Dk – коэффициенты диффузии
компонент, χ=(χ1,…,χn) – вектор, компоненты которого являются
управляющими параметрами, описывающими воздействие на систему
10
внешнего окружения, Ik – число флуктуирующих параметров k-ой компоненты,
χi0 – их пространственно-временные средние, f ki (r, t ) – мультипликативные и
Fk (r, t ) - аддитивные шумы с заданными статистическими характеристиками,
причем f ki (r, t )  0, Fk (r, t )  0 .
Данный метод позволяет сопоставить ОУГЛ уравнение Фоккера-Планка
для плотности распределения вероятности, определяющей вероятность
реализации некоторой конфигурации неустойчивых мод.
В работе (Курушина С.Е., (2009)) показано, что ОУГЛ для
двухкомпонентных систем типа (1) имеют вид:
dk(1u)
 Fku ( ),
d
Fku ( )  1 (k u )k(1u)   1 (k u , ku , k s , z( )) k(1u) 
k u
  11(k u , ku , ku , k s , z( ))k(1u)k(1u) 
kuku
2
  O(1) (k u ) p( 0) z ,ku ( ) 
 1

kukuku
(k u , ku , ku , ku, k s , z( ))k(1u)k(1u)k(1)u 
111
2
     (k
 , ,  1 ks
, , 
u
, k s ) z ,ku  ks ( )z ,ks ( )
(2)
Здесь k(1u) - амплитуды неустойчивых мод (параметры порядка) системы (1),
k u , k s - волновые числа неустойчивых и устойчивых мод соответственно, z ( ) случайное векторное поле, компоненты которого z ,k ( )   f (r, )eikrdr имеют
нулевые
средние
и
заданный
корреляционный
тензор
K[ z j ,k (t ), zl ,k ( )]  g jl ( k ) (k  k ) (t   ) jl , φ и k – индексные аргументы этого
поля, функции 1 (k u ) , 1 (k u , ku , k s , z( )) , 11(k u , ku , ku , k s , z( ) и др., введенные в (2)
здесь не приводятся ввиду громоздкости и представлены в приложении к
диссертационной работе. Система уравнений (2) все еще сложна для анализа,
так как содержит случайные компоненты. Дальнейший анализ уравнений (2)
может заключаться или в усреднении их по ансамблю реализаций (Курушина
С.Е., (2010)), или в получении для них уравнения Фоккера-Планка. В данной
работе выбран второй способ.
Для системы (2) УФП может быть представлено в общем виде следующим
образом
  
0

 
Fku ( )

 w



F
(

)


K
[
,
F
(
t
)]

d
t
 ku


q
u
(1)



qu 

qu
 


0
2

 


 w


 
K
[
F
(

),
F
(
t
)]

d
t
.

k
u
q
u
(1)
(1)  
 

ku ,qu ku qu 
 
  
Здесь wk(1u) ,  - многомерная плотность распределения
w k(1u) ,

  (1)

ku ku
(3)
вероятности,
определяющая вероятность некоторой конфигурации неустойчивых мод k(1u) .
Корреляционные функции, входящие в уравнение (3), в силу громоздкости,
приводятся только в диссертации.
11
В важном частном случае, когда в двумерном пространстве неустойчивой
является только одна мода с волновым вектором k c и амплитудой kc ,
уравнение (3) существенно упрощается:
w(kc , )
 
w 
3
2
4

(h  akc  bkc ) w  (c  dkc  ekc )
.

kc 
kc 
(4)
Все обозначения приведены в [S.E. Kurushina, V.V. Maximov, Yu.M.
Romanovskii, Phys. Rev. E 86, 011124 (2012)].
В разделе 1.2 показано, что стационарное решение уравнения (4) имеет вид:
2 ae bd
wst (kc )  N c  dk2c  e
b
4 4e
kc
 N c  dk2c  e
b
4 4e
kc
2e  d  d  4ec
2
kc
2
kc
2
4 e d 2  4 ec
d 2  4ec,
exp I ,
2e  d  d  4ec
2
(5)
 2ae  bd
 2e  d
exp 
arctg
2
2
 4ec  d
 2e 4ec  d
2
kc

 exp I ,

4ec  d 2 .
Здесь
eh
I
d  4ec
2
h

4e sin 
( I1  I 2 ),
d 2  4ec,


 2

2 
  2  q2
   kc  2qkc cos 2  q 



 kc
sin
ln

2
cos
arctg


2
2
2
2
   2q cos  q 
 2q sin 

kc
kc
kc
2
2




cos   d /( 2 ec ),
q  4 c / e,

1
e 
arctg kc
,


f
ef1, 2
1, 2 

 f1, 2  ikc ef1, 2
1

ln 
2i ef1, 2  f1, 2  ikc f1, 2


 ,


4ec  d 2 .
f1, 2  d / 2  (d 2  4ec )1 / 2 / 2.
I1, 2 
ef1, 2  0,

,


ef1, 2  0.
N – нормировочная постоянная:
2 ae bd

N  1/
 exp I c  d
2
kc
 e
b
4 4e
kc


 1/
2
4
 exp I c  dkc  ekc

b
4e
2ek2c  d  d 2  4ec
2e  d  d  4ec
2
kc
2
4 e d 2  4 ec
dkc ,
 2ae  bd
 2ek2c  d

exp 
arctg
2
2
2
e
4
ec

d
 4ec  d


dkc ,

d 2  4ec,
4ec  d 2 .
Основное ограничение данного метода определяется областью
применимости системы (2), справедливой только вблизи точки бифуркации, а
также ограничениями применения УФП.
Преимущества развитого метода заключаются в том, что он применим к
многокомпонентным многомерным системам. Стационарное решение УФП для
плотности распределения вероятности значений амплитуды критической моды
системы записывается в явном виде и позволяет определить границу перехода
«порядок-беспорядок». Предложенный метод не содержит произвола,
связанного с дискретизацией непрерывного пространства системы. Он может
быть использован и в случае шумов с конечными характерными
12
пространственным и временным масштабами. Численный анализ эволюции
стохастической биофизической системы, результаты которого приведены в
главе 4, дает удовлетворительное количественное соответствие между теорией
и численным экспериментом для граничных значений интенсивности шума
вблизи точки бифуркации.
В разделе 1.3 разработан приближенный аналитический метод для
исследования
пространственно-временной
динамики
неравновесных
многокомпонентных многомерных стохастических реакционно-диффузионных
систем, основанный на приближении среднего поля. Важное отличие этого
метода от метода, разработанного в разделе 1.2, заключается в том, что он
применим и вдали от точки бифуркации.
В работах [B. Lindner, J. García-Ojalvo, A. Neiman, L. Schimansky-Geier,
Phys. Rep. 392, 321 (2004); J. Garcia-Ojalvo, J.M. Sancho, New York. Springer
Verlag, (1999); C. Van den Broeck, J.M.R. Parrondo, R. Toral, Phys. Rev. Lett. 73,
3395 (1994); W. Genovese, M.A. Muñoz, J.M. Sancho, Phys. Rev. E 57, R2495
(1998); P.S. Landa, A.A. Zaikin, L. Schimansky-Geier, Chaos, Solitons & Fractals 9,
1367 (1998); M. Ibañes, J. García-Ojalvo, R. Toral, J.M. Sancho, Phys. Rev. E 60,
3597 (1999) и др.] приближение среднего поля успешно применяется для
исследования неравновесных шумоиндуцированных фазовых переходов в
моделях A и B по терминологии литературы критических явлений. Однако в
этих работах рассматриваются только однокомпонентные системы. Здесь этот
метод обобщен на многокомпонентные системы (1) (модель А).
Далее изложены основные моменты разработанного метода в приложении
к многокомпонентным системам (1). Ограничимся здесь случаем, когда все
Ik=1, однако как будет видно из дальнейшего изложения, предложенная
процедура легко обобщается на произвольное Ik. При Ik=1 система (1)
приобретет вид:
xk
 Pk ( x1 ,..., xm )  f k (r, t )Gk ( x1 ,..., xm )  Fk (r, t )  Dk  2 xk .
(6)
t
Ниже представлена последовательность действий, необходимых для
решения поставленной задачи.
1. Проводится дискретизация непрерывного пространства системы (6),
полагая, что оператор  2 можно представить конечно-разностным выражением
с аппроксимацией второго порядка. В результате получается регулярная dмерная решетка с единичной (для определенности) ячейкой ( r  1) и точками
решетки r1,..., rp . Для удобства используется только один индекс, нумерующий
точки. В результате система (6) превратится в систему m p ОДУ:
dxkl
D
~ x , l  1,..., p, k  1,..., m
 Pk ( x1l ,..., xml )  f kl (t )Gk ( x1l ,..., xml )  Fkl (t )  k  D
,
ll  kl 
dt
2d l 
xkl  xk (rl , t ) ,
где
дискретный
оператор
Лапласа:
 D~ll 
l
~  
  D
 nn(l ), l   2dl ,l  , nn(l) – представляет индекс совокупности всех
ll 
2
l
l
точек, являющихся ближайшими соседями точки l. Здесь предполагается, что
13
взаимодействие происходит только с ближайшими соседями. Дискретные
шумы f kl (t ) и Fkl (t ) - гауссовы с нулевым средним и корреляционными
функциями K[ Fkl (t ), Fk l  (t)]  2 k k ,k l ,l  (t  t), K[ fkl (t ), fk l  (t)]  2k ck ,|l l | k , k  (t  t) , где
ck ,|l l | - соответствующий дискретный аналог пространственной части функции
K[ f k (r, t ), f k  (r, t)] . Значения сk,0 вычисляются численно в соответствии с
методикой, описанной в работе [Garcia-Ojalvo J., Sancho J.M. New York.
Springer Verlag, (1999)].
2. Для полученной системы ОДУ, описывающей совокупность реальных
случайных процессов, методом, изложенным в [Р.Л. Стратонович, Случайные
процессы в динамических системах, Москва-Ижевск, ИКИ, 2009.] выводится
уравнение Фоккера-Планка в интерпретации Стратоновича для многомерной
~(x , t ) :
плотности вероятности совместного распределения величин w
kl
m p  
~


 ~
w
Dk 




 Pkl 
  
x

2
dx



G

c
g


kl 
kl 
kl k k ,|l l |
kl   w, (7)
 k x
t

x
2d (r )2  l  nn(l )



k
l
k
l


k 1l 1 xkl 
l

l
,
nn
(
l
)

где Pkl  Pk ( x1l ,..., xml ), Gkl  Gk ( x1l ,..., xml ) .
3. Проводится интегрирование (7) в бесконечных пределах по всем
переменным, кроме тех, которые соответствуют данной точке решетки, что
дает возможность получить УФП для многомерной плотности вероятности
совместного распределения величин w( x1l ,..., xml , t ) для данной точки с индексом l.
m
w

D
 
{Pkl  k
t
2d
k 1 xkl
[M ( x
l   nn( l )
kl 
x1l ,..., xml )  2dxkl ]   k


 Gkl k ck ,0
Gkl }w.
xkl
xkl
(8)
M ( xkl  x1l ,..., xml ) - условные средние в соседних точках.
4. Учитывая, что xkl связаны уравнениями (6), вводится приближение
среднего поля, которое здесь заключается в предположении, что условные
средние M ( xkl  x1l ,..., xml ) в (8) могут быть заменены на условные средние
M ( xkl x1l ,..., xk 1l , xk 1l ,..., xml ) соответственно:
M ( xkl  x1l ,..., xnl )  M ( xkl x1l ,..., xk 1l , xk 1l ,..., xml ) .
(9)

M ( xkl x1l ,..., xk 1l , xk 1l ,..., xml ) 
x
kl
w( xkl x1l ,..., xk 1l , xk 1l ,..., xml , t )dxkl ,


w( xkl x1l ,..., xk 1l , xk 1l ,..., xml , t )  w( x1l ,..., xml , t )
 w( x
1l
,..., xkl ,..., xml , t )dxkl .

5. В результате, с учетом равенства (9) уравнение (8) приобретает
окончательный вид:
w m 

t k 1xkl


 k


k
Cdiff
({x}, t ) w 
Cdrift ({x}, w, t ) w 
xkl


k
где Cdrift
({x}, w, t )   Pkl  Dk [ M ( xkl x1l ,..., xk 1l , xk 1l ,..., xml )  xkl ]  Gkl k ck ,0
k
Cdiff
({x}, t )   k  k ck ,0Gkl2
соответственно.
14
(10)

Gkl и
xkl
- обобщенные коэффициенты дрейфа и диффузии
Для частного случая двухкомпонентных систем специального вида, часто
встречающихся в приложениях,
x1
 P1 ( x1 , x2 )  f 2 (r, t )G1 ( x1 , x2 )  D1 2 x1 ,
t
x2
 P2 ( x1 , x2 )  f 2 (r, t )G1 ( x1 , x2 )  f1 (r, t )G2 ( x1 , x2 )  D2 2 x2
t
с применением изложенной процедуры в первой главе получено следующее
УФП:
 
G1l  w( x1l , x2l , t ) 
 

 
 
 

G1l  G2l1c1,0


G2l  w( x1l , x2l , t ).
 P2l  D2 [ M ( x2l | x1l )  x2l ]  G1l 2c2,0 
x2l 
x2l
 x2l x1l 

w( x1l , x2l , t )


t
x1l

 


 P1l  D1[ M ( x1l | x2l )  x1l ]  G1l 2c2,0 

x

x
2l
 1l

(11)
Уравнения (9),(10) образуют самосогласованную систему, анализ которой
показывает, что для нее невозможно записать стационарное решение даже в
неявном виде (в отличие от однокомпонентных систем). Численное нахождение
решения затруднено, если в функциях Pkl , Gkl имеются разрывы второго рода.
Таким образом, для многокомпонентных систем вида (1) разработан метод,
эквивалентный приближению среднего поля. Численное решение записанных
для конкретных систем уравнений (9)-(10), представленное в третьей главе,
показывает, что предложенный метод дает удовлетворительное качественное
соответствие с результатами моделирования эволюции этих систем вдали от
детерминированной точки бифуркации Тьюринга.
Во второй главе предложен численный метод решения многомерного
NSCFPE и представлены численные методы исследования многокомпонентных
многомерных стохастических реакционно-диффузионных систем. Описана
работа подсистем разработанных программных комплексов.
В разделе 2.1 предложен численный метод решения УФП (9),(10).
Проведено его тестирование на одномерных задачах, одна из которых имеет
аналитическое решение, вторая решена численно методом распределенных
аппроксимационных функционалов (DAF) [D.S. Zang,G.W. Wei, D.J. Kouri, and
D.K. Hoffman, Phys. Rev. E 56, 1197 (1997)] на базе полиномов Эрмита.
Следуя работе [Н.В. Кареткина, ЖФММФ, (1978)] представим УФП
(9),(10) в виде:

 m
w
 k ( x, t )
  ( x, t ) w    L w, k ( x, t )  0,
x

  1

({x}, t ), k ( x)  0,
где x  ( x1,..., xm ),   1,..., m, , k ( x)  Cdiff
G

 ( x, t )  Cdrift
({x}, w, t )  2 c ,0G  ,
x
w m


t  1 x
(12)

M ( x x1 ,..., x 1 , x 1 ,..., xm ) 
 x w( x x ,..., x
1
1
, x 1 ,..., xm , t )dx ,

(13)

w( x x1 ,..., x 1 , x 1 ,..., xm , t )  w( x1 ,..., xm , t )
 w( x ,..., x ,..., x
1
m
, t )dx .

15
Индекс l опущен для простоты записи.
Выберем естественные граничные условия для плотности вероятности
w( x, t )  0 при x   и начальные условия w( x,0)  w0 ( x). Преобразуем
операторы Lα к виду:
 k 



(q w) ,
q  exp   dx .
k
 q x

Функцию q возможно получить, так как M ( x x1,..., x 1, x 1,..., xm ) являются
L 

x
функциями x1 ,..., x 1 , x 1 ,..., xm , а не x . Для задачи (12)-(13) выберем
прямоугольную пространственную сетку h  ({xi }  {i1h1,..., i h ,..., inhn}  G) , где
i1,..., in (i  0,1,..., I ) и h1,..., hn - индексы узлов сетки и шаги соответственно, и  временную сетку с шагом  на отрезке 0  t  T . Для сеточных функций,
заданных на h   , будем использовать следующие обозначения:
y  y j  / n  y( xi , t j  / n ), yx  [ y( x1,i1 ,..., x ,i ,..., xn,in , t )  y( x1,i1 ,..., x ,i 1,..., xn,in , t )] / h
для
левой
разностной
производной
в
точке
x1,i1 ,..., x ,i ,..., xn,in ,
yx  [ y( x1,i1 ,..., x ,i 1,..., xn,in , t )  y( x1,i1 ,..., x ,i ,..., xn,in , t )] / h - для правой разностной
производной в точке x1,i1 ,..., x ,i ,..., xn,in .
С помощью интегроинтерполяционного метода сопоставим Lα разностные
аналоги
1
 y  (a (q y ) x ) x , a  
 h

q
dx
 k  
x ,i 1 

x ,i
1
.
Локально одномерная безусловно устойчивая схема с порядком аппроксимации
O(   h2 ) будет иметь вид:

y
j  / n
 y j  ( 1) / n

  y  0, y j  / n   j  / n , y 0  w0 .
(14)

В зависимости от знака  ( x, t ) нужно использовать правостороннюю,
левостороннюю или, если  ( x, t ) меняет знак, встречную прогонки или другие
методы решения СЛАУ. Интегралы (13) вычисляются методом Симпсона с
предыдущего целого слоя.
Тестирование схемы (14) проведено на одномерной задаче
f ( x, t ) {[x  M ( x(t ))] f ( x, t )}
 2 f ( x, t )

D
,
t
x
x 2
(15)

где M ( x(t ))   xf ( x, t )dx - первый момент, ,  и D - постоянные. При начальном

распределении f ( x,0)   ( x  x0 ) точное решение задачи (15) имеет вид [D.S.
Zang,G.W. Wei, D.J. Kouri, and D.K. Hoffman, Phys. Rev. E 56, 1197 (1997)]
(рис.1)
f ( x, t ) 
16
 [ x  M ( x(t ))]2 
exp 
,
2

(
t
)
2 (t )


1
M ( x(t ))  x0 e (  )t ,  (t ) 
D

(1  e  2t ). (16)
Точность и достоверность схемы (14) определялась относительной ошибкой:
Выражение
M ( x 2 (t ))  [M ( x(t ))]2  Num
 (t )  M ( x2 (t ))  [ M ( x(t ))]2 
 (t )  1.
Num
f(x,t)
представляет собой второй центральный момент, полученный при решении (15)
различными численными методами. Дополнительный контроль осуществлялся
проверкой выполнения условия нормировки вероятности на единицу

l(t )   f ( x, t )dx на каждом шаге по времени.

Рис. 1. Аналитическое решение (16) для задачи (15).
Это условие также использовалось в качестве критерия правильности выбора
размера области интегрирования, от которого зависит соблюдение граничных
условий. На рис. 2,3 для сравнения представлены графики lg |  (t ) | и lg | 1 - l(t ) | , а
рис. 4 и рис. 5 демонстрируют численные решения (15), полученные на
основании схемы (14) и метода, основного на DAF. На рис. 6 показаны
зависимости f(x) при t = 0.01. Соответствующие графики получены при
рекомендуемых (дающих наименьшую ошибку) в [D.S. Zang,G.W. Wei, D.J.
Kouri, and D.K. Hoffman, Phys. Rev. E 56, 1197 (1997)] параметрах DAF-метода в
соответствующем порядке аппроксимации по времени ( O( ) ), таком же, как в
схеме (14). Решение по схеме (14) получено при h1    0.001 .
Из представленных графиков видно, что точность решения, полученного с
помощью схемы (14) выше, особенно в стационарном состоянии и в моменты
времени, близкие к начальному. Кроме того, схема (14) асимптотически (при
больших временах) сохраняет условие нормировки вероятности на единицу и
обеспечивает положительность значений плотности вероятности в области, где
решение близко к разрывному (см. рис. 6). К недостаткам схемы можно отнести
необходимость выбора достаточно густой равномерной сетки, однако этого
можно избежать, выбрав сетку с переменным шагом.
Вторая задача, использованная для тестирования схемы (14)
f ( x, t ) {[ x 3  (  1) x  M ( x(t ))] f ( x, t )}
 2 f ( x, t )

D
,
t
x
x 2
(17)
17
имеет большую вычислительную сложность, чем (15). Она решена численно в
[D.S. Zang,G.W. Wei, D.J. Kouri, and D.K. Hoffman, Phys. Rev. E 56, 1197 (1997)]
методом распределенных аппроксимационных функционалов на базе
полиномов Эрмита.
Рис.2. Зависимости lg|ε(t)| от времени.
Пунктирная линия – DAF- метод [D.S.
Zang,G.W. Wei, D.J. Kouri, and D.K. Hoffman,
Phys. Rev. E 56, 1197 (1997)], сплошная линия
– конечно-разностный метод (14). Здесь и
далее для задачи (15) выбраны параметры
модели: ω=1, θ=1, D=0.1, x0=1.
Рис. 3. Зависимость от времени логарифма
отклонения
нормировки
плотности
вероятности lg|1-1(t)| от единицы. Пунктирная
линия – DAF- метод, сплошная линия –
конечно-разностный метод (14).
Рис. 4. Поверхность , полученная в результате
численного решения (15) методом (14).
Рис. 5. Поверхность f(x,t), полученная в
результате численного решения (15) DAFметодом.
Рис.6. Зависимость f(x) при t = 0.01. Сплошная линия – аналитическое решение (16), пунктирная
линия - схема (14), линия с длинным штрихом – DAF – метод.
18
M2
Ниже для сравнения на рис. 7-11 представлены распределения f(x) в различные
моменты времени, зависимости от времени среднего M ( x(t )) , дисперсии
M 2 (t )  M ( x 2 (t ))  [M ( x(t ))]2 , величины lg | 1 - l(t ) | и десятичного логарифма
относительной ошибки lg |  num(t ) | M 2 (t ) |Eq.14 M 2 (t ) |DAF  1, где M 2 (t ) |Eq.14 дисперсия, полученная на основании схемы (14), M 2 (t ) |DAF - дисперсия,
полученная на основании метода DAF.
Рис. 9. Зависимости M2(t) от времени для задачи
(17). Пунктирная линия – DAF- метод, сплошная
линия – конечно-разностный метод (14).
Рис. 10. Зависимость lg|εnum(t)| от времени для
задачи (17).
Mx
Рис.7. Распределения f(x) в моменты времени t = 1,
4, 72, 105.5. Сплошные линии – схема (14);
отдельные символы – DAF - метод. t=1: сплошная
линия, кружки; t=4: точечная линия, треугольники;
t=72:
линия с длинным штрихом, квадраты;
t=105.5:
пунктирная
линия,
перевернутые
треугольники. Здесь и далее для задачи (17)
выбраны параметры модели: θ=0.5, D=0.01, x0=10-4.
Рис. 8. Зависимости M(x(t)) от времени. Пунктирная
линия – DAF- метод, сплошная линия – метод (14).
Рис. 11. Зависимость lg | 1 - l(t ) | от времени для
задачи (17). Пунктирная линия – DAF- метод,
сплошная линия – конечно-разностный метод (14).
Как видно из рис. 7 различие между численными решениями начинает
появляться на временах порядка 105.5. Объяснение этому дает рис. 11. Из него
следует, что в то же время происходит значительное нарушение условия
нормировки. Очевидно, с этим же связаны незначительные различия в
зависимостях M(x(t)) и M2(t) (см. рис. 8,9) и возрастание относительной
погрешности  num(t ) (см. рис.10).
Таким образом, в задачах с большой вычислительной сложностью сильнее
проявляются ограничения метода DAF, связанные с нарушением условия
нормировки вероятности, отчего при больших временах теряется его
19
устойчивость и достоверность решения. Этот метод также локально нарушает
положительную определенность решений, требуемую для выполнения
стандартных свойств плотности вероятности. Несмотря на достоинства метода
его нельзя использовать для многомерных задач (12,13) с большей
вычислительной сложностью.
Метод (14) свободен от указанных выше особенностей.
В разделе 2.2 представлены численные модели, описан численный метод,
используемый
для
моделирования
эволюции
стохастических
многокомпонентных систем типа реакция-диффузия, и обосновано его
применение к решению задач данного класса. Описана аппроксимация,
сходимость и устойчивость этого метода. Описана методика моделирования
случайного
поля
с
функцией
корреляции
K[ f ki (r, t ), f k j (r, t )]   k ( r  r ) exp( ktk t  t  ) kk  ij .
В разделе 2.3 описана работа подсистем, входящих в комплексы программ
(ПК) «Моделирование пространственных и пространственно-временных
диссипативных структур в системах типа «реакция-диффузия» в поле
мультипликативных
флуктуаций»
и
«Исследование
статистических
характеристик стохастических систем «реакция-диффузия»». Структурная
схема последнего показана на рис. 12.
Рис. 12. Структурная схема комплекса
программ «Исследование статистических
характеристик
стохастических
систем реакция-диффузия» 1. Подсистема ввода. 2. Подсистема проверки и
контроля данных. 3. Подсистема анализа
дисперсионного соотношения детерминированной модели брюсселятор. 4.
Подсистема анализа дисперсионного
соотношения стохастической модели
брюсселятор. 5. Подсистема анализа плотности стационарного распределения вероятности значений
амплитуды критической моды с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ.
6. Подсистема анализа плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды
критической моды с точностью до слагаемых, имеющих пятый порядок малости в ОУГЛ. 7.
Подсистема расчета статистических характеристик модуля амплитуды критической моды системы. 8.
Подсистема моделирования эволюции стохастической модели брюсселятор. 9. Подсистема моделирования случайного поля. 10. Подсистема вывода в текстовые файлы. 11. Подсистема вычисления
усредненных по поверхности слоя флуктуаций функций состояния систем. 12. Подсистема оценки
энтропии информации состояния систем. 13. Подсистема генерации видеоизображений и графической визуализации. 14. Подсистема решения УФП в приближении среднего поля для стохастической модели брюсселятор. 15. Подсистема расчета статистических характеристик функций состояния систем. 16. Подсистема вычисления особых точек детерминированной системы (7) и определения
их устойчивости. 17. Подсистема анализа дисперсионного соотношения детерминированной системы
(7). 18. Подсистема анализа дисперсионного соотношения стохастической системы (7). 19.
Подсистема моделирования эволюции стохастической системы (7).
Его основными функциями являются: моделирование динамики
химической (брюсселятор) и биофизической (фитопланктон-зоопланктон)
систем в поле внешних флуктуаций; расчет статистических характеристик
систем; исследование динамики плотности вероятности и расчет
20
статистических
характеристик
функций
состояния
стохастического
брюсселятора в приближении среднего поля; расчет собственных чисел задач;
расчет статистических характеристик параметра порядка систем; ввод-вывод,
проверка и контроль данных; визуализация исследований. Программный код
комплекса написан в средах программирования Delphi и MATLAB. Для работы
ПК требуется компьютер с процессором не ниже Pentium Dual-Core 2.10 GHz,
оперативной памятью не менее 8.00 Гб, жестким диском не менее 500 Гб и
операционной системой не ниже Windows 7.
В третьей главе разработанные аналитические методы применены для
исследования процессов образования пространственных структур в конкретных
двухкомпонентных двумерных стохастических реакционно-диффузионных
системах.
Раздел
3.1
посвящен
аналитическому
изучению
поведения
пространственно-распределенной стохастической биофизической системы на
основе теории, развитой в разделе 1.2. Представленные исследования
показывают, что в этой системе возможен переход порядок-беспорядок и
шумоиндуцированное
образование
солитоноподобной
структуры
в
докритической области. В 4 главе эти выводы подтверждены численно.
В разделе 3.2 рассматривается модель химической реакции – брюсселятор,
являющаяся основополагающей при изучении процессов образования структур
Тьюринга. Предполагается, что наиболее подвержено влиянию внешней
случайной среды исходное вещество, имеющее концентрацию Bin.
x1
 A  x12 x2  ( B  1  1(r, t )) x1  D12 x1,
t
x2
  x12 x2  ( B   2 (r, t )) x1  D2 2 x1,
t
(18)
где x1 , x2 - концентрации промежуточных компонент, D1 , D2 - их коэффициенты
диффузии, A, Bin. – концентрации исходных веществ, причем Bin  B  i (r, t ) .
Параметр B - пространственно-временное среднее концентрации исходного
вещества Bin. Убыль концентрации x1 происходит за счет двух распадов: с
образованием одного из конечных веществ и с образованием промежуточного
вещества x2 и второго конечного вещества. Эти распады имеют различные
скорости реакций, на которые внешние шумы влияют различным образом. Это
учтено в (18) включением в них различных некоррелированных между собой
полей i (r, t ) . Статистические свойства полей i (r, t ) описаны в разделе 1.3.
В разделе 3.2.1 для системы (18) получено уравнение Фоккера - Планка
для плотности распределения вероятности значений амплитуды критической
моды, имеющее вид (4). На рис. 13 представлено изменение плотности
стационарного распределения вероятности значений амплитуды этой моды с
увеличением интенсивности шума в закритической области.
Из рис. 13 видно, что при θ1=θ2=5.5·10-3 (пунктирная линия) два
максимума сливаются в один и бимодальное распределение заменяется
одномодальным. График wst (kc ) приобретает плоскую вершину (плато). При
21
этом стационарное наиболее вероятное значение модуля амплитуды
критической моды kc mp становится равным нулю (см. рис. 14). Из рис. 14 также
следует, что при удалении от точки бифуркации, т.е. при увеличении
бифуркационного параметра B, интенсивность шума, при которой kc mp  0
увеличивается. Стационарное среднее kc всегда отлично от нуля и различие
между kc mp и kc возрастает как при увеличении интенсивности шума, так и
при увеличении параметра B.
(a)
Рис. 13. Плотность стационарного распределения
вероятности значений амплитуды критической
моды системы (18) в закритической области для
шести значений интенсивности шума. B=5.5. Линия
с длинным штрихом: θ1=θ2=θ=3.5·10-5 , линия две
точки – тире: θ=2.0·10-4, линия точка – тире:
θ=8.0·10-4, точечная линия: θ=3.0·10-3, пунктирная
линия: θ=5.5·10-3, сплошная линия: θ=2.0·10-2.
(б)
Рис.
2 
Кумулянт
15.
k2c
kc
2
и
второго
порядка
чувствительность
   k2c  kc
2
как
функции



интенсивности шума в стационарном состоянии.
θ1=θ2=θ. Сплошная линия B=5.5, пунктирная линия
B=6.0, точечная линия B=7
Рис. 14. Стационарные среднее <|ξkc|> и наиболее
вероятное |ξkc mp| значений модуля амплитуды
критической моды как функция интенсивности
шума. Сплошная линия B=5.5, пунктирная линия
B=6.0, точечная линия B=7
Исследование стационарных статистических характеристик модуля
амплитуды критической моды представлено в разделе 3.2.2. Рис. 15
иллюстрирует поведение стационарных кумулянта второго порядка и
чувствительности параметра порядка при увеличении интенсивности шума при
различных значениях бифуркационного параметра. Кумулянт второго порядка
при малых шумах является монотонно возрастающей функцией. Тогда как
чувствительность имеет максимум. Этот максимум наблюдается при значениях
22
интенсивности шума немного меньших, чем значения, при которых kc mp  0 .
Этот максимум можно назвать «предвестником» изменения состояния системы.
Наличие максимумов чувствительности (см. рис. 15б) показывает
увеличение флуктуаций в окрестности двух критических точек. Вид кривых  2
(см. рис. 15a) и χ, полученных для неустойчивых мод системы (18) качественно
совпадает в соответствующей области с аналогичными кривыми, полученными
ранее численно в [C. Van den Broeck, J. M. R. Parrondo, R. Toral, and R. Kawai,
Phys. Rev. E 55, 4084 (1997)] для системы, в которой наблюдается чистый
индуцированный шумом переход – неравновесный фазовый переход второго
рода. Это свидетельствует о том, что в системе (18) шумоиндуцированный
переход «порядок - беспорядок» имеет ту же природу.
В разделе 3.2.3 представлен анализ поведения системы (18), проведенный
на основании теории среднего поля, разработанной в разделе 1.3.
Система уравнений (18) является частным случаем уравнений (6) при n = 2.
Поэтому, используя (10), для модели (18) можно записать многомерное
одноточечное NSCFPE в интерпретации Стратоновича:


w( x1, x2 , t )
 
2
2 w 

  A  x1 x2  ( B  1  1) x1  D1( M ( x1 | x2 )  x1) w  11,0 x1

t
x1 
x1 
  2
2 w 
 x1 x2  Bx1  D2 ( M ( x2 | x1)  x2 ) w   2 2,0 x1
,
x2 
x2 

M ( x1 | x2 , t ) 


 x1w( x1 | x2 , t )dx1,
M ( x2 | x1, t ) 

w( x1 | x2 , t )  w( x1, x2 , t )

 w( x1, x2 , t )dx1 ,

(19)

 x2w( x2 | x1, t )dx2 ,

w( x2 | x1, t )  w( x1, x2 , t )

 w( x1, x2 , t )dx2 .

Для (19) получены численные решения с помощью конечно-разностной
схемы (14). Уравнение (19) имеет большую вычислительную сложность, чем,
например, задачи (15) и (17). Это связано с тем, что, во-первых, обобщенные
1
коэффициенты дрейфа Cdrift
( x1, x2 , w, t )   A  x12 x2  ( B  1  11,0 ) x1  D1[M ( x1 | x2 , t )  x1]
1
( x1, x2 , w, t )  x12 x2  Bx1  D2[M ( x2 | x1, t )  x2 ] нелинейные и знакопеременные.
и Cdrift
Это приводит к тому, что на плоскости x1, x2  возникают области с различным
направлением дрейфа плотности вероятности (см. рис. 16). Причем границы
1, 2
( x1, x2 , w, t )  0 , подвижны, так как
этих областей, определяемые уравнениями Cdrift
условные средние M ( x1 | x2 , t ), M ( x2 | x1, t ) являются функциями времени. Вовторых, диффузионные коэффициенты пропорциональны x12 , что приводит к
значительному увеличению области интегрирования, необходимой для
удовлетворения ГУ. В-третьих, задача (19) двумерна, а увеличение размерности
пространства всегда приводит к увеличению вычислительной сложности.
23
Рис. 16. Направления дрейфа плотности вероятности (19) на плоскости
x1, x2  . Параметры A=3, B=7,
1  2  0.1 , D1=1, D2=5, M ( x1 | x2 , t )  A, M ( x2 | x1, t )  B / A , 1,0   2,0  1 .
Ниже представлены характерные виды решений (19), полученных при
различных значениях параметров задачи и интенсивности шума. Начальное
распределение – Гауссово с дисперсиями 1 и  2 и математическими
ожиданиями равными стационарным значениям x10 и x20 в отсутствие шума.
Выбраны следующие, остающиеся постоянными при наших вычислениях,
параметры для численного интегрирования (19): A=3, D1=1, D2=5, 1,0   2,0  1 .
Остальные параметры указаны под рисунками. При данных A, D1, и D2
критическое значение параметра Bс в детерминированном случае 5.4833.
Рис. 17 демонстрирует эволюцию плотности вероятности w( x1, x2 , t ) в
окрестности детерминированной точки бифуркации при малой интенсивности
шума. Из рисунка видно, что симметрия начального распределения в процессе
эволюции нарушается. Оно «размывается» и становится негауссовым.
Распределение остается одномодальным в течение всего времени до
достижения стационарного состояния. Следовательно, состояние системы (18)
остается упорядоченным, несмотря на шум.
Соответствующие зависимости дисперсии концентраций x1 и x2 от времени
при увеличении интенсивности шума показаны на рис. 18. Из рисунка видно,
что чем больше интенсивность внешнего шума, тем быстрее возрастает
дисперсия и тем больше ее значение в статистически стационарном состоянии.
Зависимости среднего и наиболее вероятного значений от времени при разных
интенсивностях шума демонстрирует рис. 19. Увеличение интенсивности шума
приводит к увеличению разности между средним и соответствующим наиболее
вероятным в статистически стационарном состоянии. Это более наглядно
демонстрирует рис. 20. Все приведенные выше результаты вполне ожидаемы.
Совершенно
иная
картина
наблюдается
при
удалении
от
детерминированной точки бифуркации. На рис. 21 представлен более сложный
тип эволюции плотности вероятности w( x1, x2 , t ) . Мы видим, что сначала
сохраняется одномодальное распределение, но оно сильно «размывается» и
максимум плотности дрейфует прочь от начального положения. Затем в
некоторый момент времени происходит расщепление плотности с
образованием двух максимумов. Бимодальное распределение вероятности
«живет» в течение некоторого промежутка времени. При этом между
24
максимумами происходит конкурентная борьба, в результате которой один из
максимумов
подавляет
другой.
Распределение
вновь
становится
одномодальным. То есть, в упорядоченной фазе наблюдается временная
бимодальность (transient bimodality).
Поведение статистических характеристик при увеличении интенсивности
шума также изменяется. Зависимости дисперсии Dx1 концентрации первого
вещества от времени при увеличении интенсивности шума показано на рис. 22.
Соответствующие изменения средних и наиболее вероятных демонстрируют
рис. 23,24.
a)
b)
Рис. 18. Зависимости дисперсии Dx
концентрации от времени при увеличении
интенсивности шума: a) первой компоненты, b)
второй
компоненты.
Сплошная
линия
θ1=θ2=θ=0.0005, линия с длинным штрихом
θ=0.001, пунктирная линия θ=0.002, точечная линия
θ=0.003, линия штрих-пунктирная θ=0.005, линия
две точки – тире θ=0.008, линия три точки – тире
θ=0.01. B=5.5
Рис. 17. Эволюция плотности вероятности
(19) для модели (18) – одномодальное
распределение (слева вид сверху). Градиент цвета,
представленный на рисунке,
визуализирует
изменение w(x1,x2,t) от минимума к максимуму.
Параметры модели: B=5.5, θ1=θ2=0.005. Момент t=7
соответствует
установлению
стационарного
состояния.
25
a)
б)
Рис. 19. Зависимости среднего Ex (сплошные линии) и наиболее вероятного xmp (пунктирные линии)
значений от времени при увеличении интенсивности шума: a) первого вещества, б) второго вещества. B=5.5.
θ1,θ2 как на рис. 18. Чем больше интенсивность шума, тем больше отклонение значений Ex и xmp от
стационарных значений x10 и x20 (t=0).
Рис. 20. Изменение среднего Ex (сплошные линии) и наиболее вероятного xmp (пунктирные линии)
значений x1 и x2 при увеличении интенсивности шума для одномодального распределения. B=5.5. θ1,θ2 как на
рис.18. Чем больше интенсивность шума, тем больше размер «витка» кривой
При шумах 1, 2  0.09 зависимости Dx1(t), Exi (t ), ximp (t ), аналогичны
зависимостям, приведенным на рис. 18,19,20. Распределение остается
одномодальным. При 1, 2  0.09 в зависимости Dx1(t) наблюдается хорошо
выраженный
«провал»,
соответствующий
исчезновению
временной
бимодальности. При этом в зависимостях от времени наиболее вероятных
значений x1 и x2 наблюдается разрыв первого рода. На рис. 24 исчезновению
временной бимодальности соответствует срыв с витка кривой x2mp ( x1mp ) .
Совершенно неожиданное решение (19) появляется при удалении от
детерминированной точки бифуркации (см. рис. 25-28). Сначала плотность
дрейфует от начального положения к границе области интегрирования в
соответствие с направлениями, указанными на рис. 16. Затем, как и при
временной бимодальности, происходит расщепление плотности при t~5
(рис.25,26). Наблюдается своеобразная «перекачка» плотности вероятности из
одного максимума в другой через бимодальность до момента времени t~6.5
(рис. 26). Можно заметить, что длительности существования одно- и
бимодального распределений сравнимы по порядку величины. Потом снова
происходит дрейф к границе. Процесс повторяется до установления
стационарного состояния, при этом он сопровождается «колебаниями»
зависимостей Dxi(t) (рис. 27) и уменьшением размера витка кривой Ex2 ( Ex1)
26
(рис.28). На рис. 28 показаны два срыва с витка кривой x2mp ( x1mp ) , что
соответствует двукратному появлению и исчезновению «перекачки» плотности
вероятности через бимодальность. Такое поведение плотности вероятности
свидетельствует о многократном проявлении в упорядоченной фазе другого
состояния (другой фазы), которой соответствует бимодальное распределение.
Можно предположить, что наблюдается своего рода «перемежаемость» фаз.
Рис. 22. Зависимости дисперсии Dx1 концентрации
x1 от времени при увеличении интенсивности
шума. Сплошная линия θ1=θ2=θ=0.01, линия с
длинным штрихом θ=0.03, пунктирная линия
θ=0.05, точечная линия θ=0.09, линия точка – тире
θ=0.12. B=6
a)
Рис. 21. Эволюция плотности вероятности
(19) для модели (18). Временная бимодальность
наблюдается в интервале времени t  [1.5,4] .
Параметры модели: B=6, θ1=θ2=0.09. Момент t=11
соответствует
установлению
стационарного
состояния
b)
Рис. 23. Зависимости среднего Ex (сплошные линии) и
наиболее вероятного xmp (пунктирные линии) значений
от времени при увеличении интенсивности шума: a)
первого вещества, b) второго вещества. B=6. θ1,θ2 как
на рис. 22. Чем больше интенсивность шума, тем
больше отклонение значений Ex и xmp от стационарных
x10 и x20 (t=0). Исчезновению бимодальности
соответствует скачок наиболее вероятного (разрыв
первого рода)
27
Рис. 24. Изменение среднего Ex (сплошная линия) и наиболее вероятного xmp (пунктирная линия) значений x1 и x2 при
увеличении интенсивности шума. B=6, остальные параметры модели как на рис. 22. Исчезновению бимодальности
соответствует срыв с витка кривой x2mp(x1mp), показанный на рисунке тонкой линией с длинным штрихом и стрелкой.
Рис. 25. Эволюция плотности вероятности (19) для модели (18) – «перекачка» плотности вероятности через бимодальность
(вид сверху). Параметры модели: B=7, θ1=θ2=0.10. На рисунке представлен один «период» «перекачки».
Последовательности кадров слева и справа соответствуют одномодальному распределению, в центре – бимодальному
28
Рис. 27. Зависимости дисперсий Dx1 и Dx2 от
времени при B=7, θ1=θ2=0.1. На рисунке
представлен один «период» «перекачки»
Рис. 28. Изменение среднего (сплошная
линия) и наиболее вероятного (пунктирная линия)
значений x1 и x2 при «перекачке». Представлены
два «периода»
Р
Рис. 26. «Перекачка» плотности вероятности через
бимодальность (соответствует центральному ряду
рис.25)
Таким образом, в результате численного изучения решений (19) мы
обнаружили, что в области бифуркации Тьюринга при возрастании
интенсивности внешнего шума могут возникать различные типы решений:
одномодальное распределение, одномодальное распределение с временной
бимодальностью и сложное распределение, при котором происходит
чередование одно- и бимодального распределений. Иными словами, при малой
интенсивности шума наблюдается только упорядоченная фаза. Увеличение
интенсивности шума приводит к появлению временной бимодальности
(разупорядоченной фазы) в упорядоченной фазе. Дальнейший рост
интенсивности шума еще больше нарушает упорядоченность: наблюдается
«перемежаемость» фаз, которая как бы «раскачивает» упорядоченное
состояние.
29
Анализ графиков, представленных на рисунках 18, 22 показывает, что в
области малых шумов дисперсия системы (18) в стационарном состоянии
возрастает.
Это
качественно
соответствует
участкам
возрастания
чувствительности параметра порядка на рисунке 15(б). Следует отметить, что
поведение стационарных среднего и наиболее вероятного функций x1 и x2 в
окрестности детерминированной точки бифуркации (см. рис. 20) качественно
соответствует поведению стационарных среднего и наиболее модуля параметра
порядка (см. рис. 14). Полученные результаты исследования динамики
плотности вероятности двухкомпонентной системы (18), и в частности
появление временной бимодальности, не противоречат известным из
литературы достоверным общепринятым результатам исследования динамики
плотности вероятности однокомпонентных систем вида (1) в приближении
среднего поля. Так в работах [D. S. Zhang, G. W. Wei, D. J. Kouri, and D. K.
Hoffman, Phys. Rev. E 56, 1197 (1997); D. S. Zhang, G. W. Wei, D. J. Kouri, and D.
K. Hoffman, J.Chem. Phys. 106, 5216 (1997); A. N. Drozdov and M. Morillo, Phys.
Rev. E 54, 931 (1996)] для уравнений (15), (17), определяющих плотности
вероятности состояния моделей Шимизу-Ямады и Кометани-Шимизу, также
описаны бимодальные решения. Все вышеизложенное свидетельствует об
адекватности предположения (9).
В четвертой главе представлены результаты численного моделирования
пространственной динамики стохастического брюсселятора и биофизической
системы в области бифуркации Тьюринга, полученные с помощью
разработанных комплексов программ. Моделирование эволюции систем
необходимо для подтверждения предсказанных в
первой
главе
шумоиндуцированных переходов, проверки правомерности предложенного
тождества, вводящего MFT, и интерпретации результатов, полученных в
приближении среднего поля в третьей главе.
В разделе 4.1 представлены результаты исследования динамики
биофизической системы под действием шума. Показаны процессы
формирования структур Тьюринга, как в окрестности точки бифуркации, так и
вдали от нее. Моделирование динамики этой системы при различных
отношениях диффузионных коэффициентов и интенсивностях шума θ2
позволило определить границу перехода порядок-беспорядок на плоскости
параметров D и θ2. Полученные граничные значения интенсивности шума θ2 в
окрестности
детерминированной
точки
бифуркации
Тьюринга
удовлетворительно количественно соответствуют граничным значениям,
полученным в результате численного эксперимента. При удалении от
детерминированной точки бифуркации наблюдается только качественное
соответствие. Объяснение этого факта приводится в разделе 3.1.
В этом же разделе показана возможность образования пространственных
структур в докритической области, рождающихся на крупномасштабных
флуктуациях. Причем сценарий их “рождения” полностью соответствует
предсказанному в разделе 3.1.
30
Раздел 4.2 посвящен моделированию структур в системе (18). Процесс
формирования пространственных структур в системе (18) при различной
интенсивности флуктуаций демонстрируют рис. 29-31. На рисунках показан
вид сверху, дающий более наглядное представление о конфигурации структур.
Рис. 29. Эволюция функции x1
модели (18). Момент t=45
соответствует
установлению
статистически стационарного
состояния.
Рис. 30. Эволюция функции x1
модели (18). Здесь отмечены
области,
внутри
которых
структура
изменена
по
сравнению
с
предыдущим
кадром. Наблюдается последовательное изменение конфигурации «лабиринта». Параметры
модели соответствуют рис. 25.
Рис. 31. Эволюция функции x1
модели
(18).
Параметры
модели: A=3, B0=5.5, D1=1,
D2=5,
θ1=θ2=1,
kf1=kf2=1.
Стационарная структура не
устанавливается.
На рис. 29 показан процесс установления пространственной структуры в
этой системе при интенсивности внешнего шума, соответствующей появлению
бимодальности в упорядоченной фазе (см. рис. 21). Из рисунка видно, что в
процессе установления на фоне общей вполне упорядоченной структуры
наблюдается разупорядочение при t  (10,35) , заключающееся в изменении
положений и значений локальных минимумов и максимумов функции x1.
31
Статистически стационарное состояние достигается при временах порядка 45
единиц модельного времени.
Рис. 30 демонстрирует влияние шума на эволюцию системы (18) при
значениях параметров, соответствующих многократной перекачке плотности
вероятности через бимодальность (см.рис.25). Анализ рисунка 30 показывает,
что при этих параметрах происходит чередование конфигураций «лабиринта»,
«живущих» некоторое время. Время, за которое происходит замена одной
конфигурации на другую значительно меньше «времени жизни» самой
конфигурации. При этом в процессе такой замены на некотором участке
«лабиринта» наблюдается значительное разупорядочение. Если каждую
конфигурацию считать отдельной упорядоченной фазой, то можно сказать, что
при данных параметрах системы и внешнего шума наблюдается
перемежаемость упорядоченных фаз через разупорядочение.
Итак, в области малых шумов вдали от точки бифуркации Тьюринга
результаты аналитического исследования, основанные на MFT, качественно
соответствуют результатам численного эксперимента.
Эволюция функции x1 модели (18) в окрестности точки бифуркации
1 интенсивности шума показана на рисунке
Тьюринга при относительно большой
31. При выбранных параметрах σстатистически стационарное состояние не
устанавливается. Наблюдается беспорядок, появление которого предсказано
теоретически в разделе 3.2.
Таким образом, результаты численного моделирования эволюции
рассматриваемых систем подтверждают теоретические выводы главы 3.
σ
1
2
σ
σ
Рис. 32. Усредненные по поверхности флуктуации    x 2    x  2
1
1
3
σ
t
функции x1 модели (18). Линия 1:
S
B=7, θ1=θ2=0.1. Линия 2: B=6, θ1=θ2=0.12. Линия 3: B=5.5, θ1=θ2=0.005. Остальные параметры: A=3, D1=1, D2=5.
Рис. 32 демонстрирует зависимости от времени усредненных по
поверхности флуктуаций функции x1 модели (18) при различных значениях
бифуркационного параметра B и интенсивности шума. Сравнение рис. 32 с
рисунками 18, 22 показывает, что графики, полученные в приближении
среднего поля при малой интенсивности шума, качественно правильно
отражают динамику дисперсии системы (18).
Сопоставление результатов, представленных в разделах 3.2.3 и 4.2, а также
факты, приведенные в конце раздела 3.2.3, показывают, что многомерное
нелинейное самосогласованное уравнение Фоккера-Планка (19), основанное на
тождестве-предположении (9), адекватно описывает динамику системы (18) и
ее статистические характеристики на качественном уровне.
32
Учитывая математическую общность изучаемых биофизической и
химической моделей, следует ожидать идентичности поведения в области
бифуркации Тьюринга под действием шума всех двухкомпонентных систем
вида (1).
Таким образом, в работе на основании выполненных автором
исследований разработаны теоретические положения и проведены численные
исследования, совокупность которых можно квалифицировать как научное
достижение в теории самоорганизации нелинейных неравновесных
диссипативных систем, находящихся во внешней флуктуирующей среде.
В заключении перечислены основные результаты, полученные при
выполнении данной диссертационной работы:
1. Развит приближенный аналитический метод на основе концепции
параметров порядка для описания и предсказания шумоиндуцированного
перехода «беспорядок – порядок – беспорядок» в двухкомпонентных
многомерных стохастических реакционно-диффузионных системах в
окрестности точки бифуркации Тьюринга. В рамках этого метода:
• Получено уравнение Фоккера-Планка для некоторой конфигурации
амплитуд неустойчивых мод двухкомпонентных многомерных стохастических
реакционно-диффузионных систем. В явном виде найдено его стационарное
решение для амплитуды критической моды.
• Аналитически изучена зависимость плотности стационарного
распределения вероятности значений амплитуды критической моды
конкретных систем рассматриваемого типа от значений интенсивности
внешнего шума и бифуркационного параметра.
• Исследованы зависимости наиболее вероятного и среднего значений,
относительных флуктуаций (чувствительности) и кумулянта второго порядка
модуля амплитуды критической моды от интенсивности внешнего шума в
стационарном состоянии для этих систем. Показано, что поведение
стационарных статистических характеристик модуля амплитуды критической
моды второго порядка аналогично случаю чисто индуцированных шумом
переходов.
• На плоскости бифуркационный параметр–интенсивность шума построена
граница перехода «порядок-беспорядок». Проведено сравнение граничных
значений интенсивности шума с граничными значениями, полученными в
численном эксперименте. Показано, что предложенный аналитический метод
вблизи точки бифуркации Тьюринга дает удовлетворительно количественное
соответствие граничных значений интенсивности шума с граничными
значениями, полученными в ходе численного эксперимента.
2. Разработан аналитический метод с использованием приближения
среднего поля для исследования шумоиндуцированного перехода «беспорядок
– порядок – беспорядок» в системах рассматриваемого типа вдали от точки
бифуркации Тьюринга. В рамках этого метода
• Предложено равенство, определяющее условные средние дискретного
аналога функций, определяющих состояние многокомпонентных многомерных
33
стохастических
реакционно-диффузионных
систем,
эквивалентное
приближению среднего поля.
• В таком приближении получено уравнение Фоккера-Планка для
многомерной плотности вероятностей функций, характеризующих состояния
этих систем в отсутствие взаимной корреляции случайных полей.
• Для частного случая двухкомпонентных систем получено уравнение
Фоккера-Планка, учитывающее взаимную корреляцию случайных полей.
3. Предложен численный метод решения УФП для многомерной плотности
вероятности состояния изучаемых систем, записанного в приближении
среднего поля.
4. Численно изучены закономерности эволюции плотности распределения
вероятностей значений функций, характеризующих состояние конкретных
систем рассматриваемого типа. В приближении среднего поля исследованы
зависимости от интенсивности внешнего шума наиболее вероятного и среднего
значений, а также дисперсии функций, определяющих состояние этих систем.
Показано, что предложенный метод адекватно описывает динамику изучаемых
систем в области бифуркации Тьюринга на качественном уровне.
5. Разработаны алгоритмы и созданы комплексы программ для численного
моделирования эволюции конкретных двухкомпонентных двумерных
стохастических систем реакция-диффузия, обработки и визуализации
результатов.
Публикации по теме диссертации
Статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК России
1. Svetlana E. Kurushina, Valery V. Maximov, and Yuri M. Romanovskii. Weiss mean-field approximation for
multicomponent stochastic spatially extended systems // Phys. Rev. E 90, 022135 (2014) [18 pages].
2. Svetlana E. Kurushina, Valery V. Maximov, and Yuri M. Romanovskii. Spatial Pattern Formation in External Noise:
Theory and Simulation // Phys. Rev. E 86, 011124 (2012) [16 pages].
3. Максимов В.В. Переход «беспорядок – порядок – беспорядок» в биофизической системе реакционнодиффузионного типа // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физикоматематические науки», 2012. Вып. 3(28). C. 81-88.
4. Курушина С.Е., Громова Л.И., Максимов В.В. Стохастические уравнения и уравнение Фоккера – Планка для
параметров порядка в исследовании динамики шумоиндуцированных пространственных диссипативных
структур // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2011. Т.19 №5. C. 45-63.
5. Курушина С.Е., Максимов В.В. Шумоиндуцированные фазовые переходы в процессах конкуренции во
флуктуирующих средах // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2010. № 1. С. 88-101.
6. Курушина С.Е., Завершинский И.П., Максимов В.В., Желнов Ю.В., Иванов А.А. Моделирование
пространственно-временных структур в системе хищник-жертва во внешней флуктуирующей среде //
Математическое моделирование. 2010. Т.22. №10. С. 3-17.
7. Курушина С.Е., Завершинский И.П., Максимов В.В., Желнов Ю.В. Образование диссипативных структур в
двухкомпонентных системах типа «реакция-диффузия» во флуктуирующей среде // Вестник Самарского
государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2010. № 1(20). С. 143–
153.
8. Курушина С.Е., Иванов А.А., Желнов Ю.В., Завершинский И.П., Максимов В.В. Aвтоволновые структуры
во внешней флуктуирующей среде // Известия Самарского научного центра РАН. 2010. Т.12(36). №4. С.41-50.
9. Курушина С.Е., Громова Л.И., Максимов В.В. Численный анализ влияния флуктуаций параметров на
образование пространственно-временных структур в системе фитопланктон-зоопланктон-рыба // Обозрение
прикладной и промышленной математики. 2010. Т.17. В.3. 433-434.
10. Курушина С.Е., Завершинский И.П., Максимов В.В., Желнов Ю.В., Иванов А.А. Уравнения ГинзбургаЛандау и дисперсионное соотношение для системы фитопланктон-зоопланктон-рыба с флуктуирующими
параметрами // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т.17. В.3. C. 432-433.
11. Курушина С.Е., Максимов В.В. Конкуренция видов в стохастической среде // Обозрение прикладной и
промышленной математики. 2008. Т.15. В.6. С. 1102-1103.
34
12. Курушина С.Е., Левченко Л.В., Максимов В.В. Моделирование процесса конкуренции в системах ресурс потребитель // Вестник СГЭУ. 2007. №12(38). С. 94-101.
13. Курушина С.Е., Левченко Л.В., Максимов В.В. Математическое моделирование процесса конкуренции в
системе ресурс-потребитель во флуктуирующей среде // Обозрение прикладной и промышленной математики.
2006. Т.13. В.4. С. 660-661.
14. Курушина С.Е., Максимов В.В. Об оптимизации стратегии финансирования высшей школы // Вестник
ОГУ. 2006. №9. С.270-274.
15. Курушина С.Е., Максимов В.В. Взаимодействие связанных образовательных подсистем // Вестник
СамГАПС. 2005. №3. С.82-96.
16. Максимов В.В., Левченко Л.В. Проблемы оптимизации стратегии финансирования российской высшей
школы. // Известия СНЦ РАН. Спец вып. Актуальные проблемы экономики и права. Дек 2005 г. с .190-195.
Монография
17. Курушина С.Е., Максимов В.В. Диссипативные структуры в поле внешних флуктуаций. Самара:
СамГУПС, 2011. 126 с.
Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ
18. Курушина С.Е., Желнов Ю.В., Иванов А.А., Максимов В.В. Исследование статистических характеристик
стохастических систем реакция-диффузия // Свидетельство о государственной регистрации программы для
ЭВМ № 2013610753 от 09.01.2013г.
19. Курушина С.Е., Иванов А.А., Максимов В.В. Моделирование пространственных и пространственновременных диссипативных структур в системах типа «реакция-диффузия» в поле мультипликативных
флуктуаций // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010613948 от
18.06.2010г.
20. Курушина С.Е., Максимов В.В., Москаленко П.С., Прохоров С.А. Автоматизированная система
моделирования и анализа эволюции систем типа «реакция-диффузия» во внешних флуктуирующих средах //
Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009616215 от 11.11 2009 г.
В других изданиях
21. Курушина С.Е., Максимов В.В., Кайдалова Л.В. Переход «порядок-беспорядок» в многокомпонентных
стохастических реакционно-диффузионных системах: приближение среднего поля // Материалы 10-й
Международной школы-конференции «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС-2013) 7 –
12 октября 2013 г. С. 125
22. Курушина С.Е., Желнов Ю.В., Максимов В.В. Образование пространственных структур под действием
внешнего шума // Третья международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: Материалы
Межд. конф. / Под ред. чл.-корр. РАН И.В.Воловича и д.ф.-м.н., проф. В.П. Радченко –Самара: СамГТУ – 340
с., 27 авг.-1 сент. 2012. C. 131-133.
23. Курушина С.Е., Желнов Ю.В., Максимов В.В. Уравнение Колмогорова – Фоккера - Планка для параметров
порядка системы реакция-диффузия // Материалы Международной междисциплинарной научной конференции
«Синергетика в естественных науках» с элементами научной школы для молодежи. г. Тверь, 14-17 апреля 2011
г. C. 143-146
24. Курушина С.Е., Громова Л.И., Желнов Ю.В., Максимов В.В. Математическое моделирование динамики
двухкомпонентных систем реакция-диффузия во внешней флуктуирующей среде // Материалы XVII
Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным
системам (ВМСППС'2011) 25-31 мая 2011 г. Алушта, Крым. М.: МАИ-Принт. 2011. 832 с. C. 577-579.
25. Курушина С.Е., Желнов Ю.В., Иванов А.А., Максимов В.В. Моделирование тьюринговых структур и
спиральных волн в системе фитопланктон-зоопланктон-рыба с флуктуирующим окружением // Материалы
Международной междисциплинарной научной конференции «Синергетика в естественных науках», Тверь. 2010. - С. 167-171.
26. Курушина С.Е., Иванов А.А., Желнов Ю.В., Максимов В.В., Завершинский И.П. Эволюция спиральных
волн в системе фитопланктон-зоопланктон-рыба с флуктуирующим окружением //Труды VII Всероссийской
научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара:
СамГТУ. - 2010.- Ч.2. C. 158-160.
27. Курушина С.Е., Громова Л.И., Завершинский И.П., Максимов В.В. Шумоиндуцированное возбуждение
диссипативных структур в системах реакция-диффузия // Труды IX Международной школы «Хаотические
автоколебания и образование структур», Саратов. - 2010. - C. 114.
28. Курушина С.Е., Максимов В.В. Устойчивость стохастической системы Шеффера вблизи точки бифуркации
Тьюринга // Материалы Второй международной конференции «Математическая физика и ее приложения».
Самара: Изд-во «Книга». - 2010. C.195-196.
29. Курушина С.Е., Иванов А.А., Желнов Ю.В., Завершинский И.П., Максимов В.В.
Влияние мультипликативных флуктуаций на эволюцию спиральных волн и траекторию дрейфа кончика
спирали в экологической модели Шеффера // Сборник трудов 5 международной научно-технической
конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных
проблем», Пенза.- 2010. С. 12-14
35
30. Максимов В.В. Программный комплекс для исследования пространственно-временной динамики систем
реакция-диффузия в поле мультипликативных флуктуаций параметров // Избранные труды Международной
конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для
авиации и космоса». Самара, 2010. С.393.
31. Курушина С.Е., Желнов Ю.В., Максимов В.В. Влияние нелинейной трофической функции на устойчивость
статистического положения равновесия системы хищник-жертва в случайной среде // Труды XVI
Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным
системам, М.: МАИ-Принт. - 2009. - С.296-298.
32. Курушина С.Е., Максимов В.В. Кинетические переходы в одной нелинейной стохастической модели
конкуренции // Тезисы докладов Международной конференции по математической физике и ее приложениям.
Самара. - 2008. - С.110-111.
33. Курушина С.Е., Максимов В.В. Иерархия шумовых фазовых переходов в модели конкуренции в
распределенных средах с флуктуирующей компонентой скорости прироста ресурса // Материалы VIII
международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур» ХАОС-2007, Саратов. 2007.С.40.
34. Курушина С.Е., Максимов В.В. Конкуренция мод в модели взаимодействия видов Лотки – Вольтерры с
учетом диффузии и флуктуаций среды // Труды XV Международной конференции по вычислительной
механике и современным прикладным системам, М: Вузовская книга, типография «Знак почета» издательства
МГУ. - 2007. - С.328-329.
35. Максимов В.В. Моделирование систем типа ресурс-потребитель в средах со стохастической составляющей
скорости прироста ресурса // Труды научно-технич. конф. «ПИТ-2006», Самара, 2006, с. 193-203.
36. Курушина С.Е., Левченко Л.В., Максимов В.В. Особенности процесса конкуренции в системе ресурс –
потребитель со случайным фоном // Материалы международной междисциплинарной научной конференции «II
Курдюмовские чтения. Идеи синергетики в естественных науках», Тверь. 2006. - С.137-141.
37. Курушина С.Е., Левченко Л.В., Максимов В.В. Эффекты конкуренции в системе высшего образования //
Труды Второго малого университетского форума «Россия–Великая держава», М.: МФТИ. - 2005. - С.101-105.
38. Максимов В.В. Моделирование процессов взаимодействия образовательных подсистем высшего учебного
заведения // Междунар. научно-технич. конф. «Компьютерные и вычислительные технологии в задачах
естествознания и образования». Пенза: 2005. – C.113-115.
39. Максимов В.В. Моделирование процесса взаимодействия связанных образовательных подсистем //
Материалы Международной научно-техн. конф. , посвященной 110-летию изобретения радио и 75-летию
Саратовского государственного технического университета. 18-20 мая 2005 г. Саратов 2005. С.-27-30.
40. Максимов В.В., Ратис Ю.Л. Конкуренция производителей, ориентированных на один ресурс //
Перспективы развития регионов в условиях глобализации: экономика, менеджмент, право. Материалы
Международного научного симпозиума 22-23 мая 2003 г. Самара, СГАЭ.
41. Максимов В.В., Ратис Ю.Л. Модель экономического равновесия предприятия, на котором внедрена
система управления качеством // Перспективы развития регионов в условиях глобализации: экономика,
менеджмент, право. Материалы Международного научного симпозиума 22-23 мая 2003 г. Самара, СГАЭ.
Подписано в печать 15.09.2015г.
Усл. печ. л. 2,25. Тираж 100 экз.
_________________________________________________________
Отпечатано с готового оригинал-макета в СГАУ
443086, г. Самара, Московское шоссе, 34
36
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа