close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Отсутствие решений некоторых эллиптических и эволюционных задач

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
ТСЕГАУ БИРИЛЕУ БЕЛАЙНЕ
ОТСУТСТВИЕ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И
ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Специальность 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические
системы и оптимальное управление
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2015
Работа выполнена на кафедре Математического Анализа и Теории Функций
факультета физико – математических и естественных наук ФГАОУ ВО
«Российский университет дружбы народов»
Научный руководитель:
Галахов Евгений Игоревич д.ф.-м.н., доцент,
кафедры математического анализа и теории
функций РУДН
Официальные оппоненты:
Муравник Андрей Борисович д.ф.-м.н., заместитель
начальника научно-технического отдела ОАО
"Концерн "Созвездие""
Коньков Андрей Александрович д.ф.-м.н., доцент,
кафедры дифференциальных уравнений МГУ
Ведущая организация:
Московский Государственный
университет «Станкин»
Технологический
Защита диссертации состоится «___»________2015 года в ____ часов на заседании
диссертационного совета Д 212.203.27 по защите докторских и кандидатских диссертаций
при Российском университете дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул.
Орджоникидзе, д. 3.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы
народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.
.
Автореферат разослан «____»__________ 2015 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
А.Ю. Савин
1
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению результатов об отсутствии
решений для различных классов нелинейных эллиптических и эволюционных задач,
связанных с анизотропными особенностями и анизотропными операторами. Важность
исследования таких задач особенно велика, когда имеется необходимость в
моделировании и изучении процессов, происходящих в неоднородных средах.
В общем, все задачи, изучаемые в этой работе, могут быть условно разделены на два
класса. Задачи первого класса включают в себя как анизотропные операторы, так и особые
анизотропные нелинейные коэффициенты, а задачи второго класса связаны только с
анизотропией особых нелинейных коэффициентов. Интерес к второму классу задач
основывается на наличии анизотропной сингулярности и условий, наложенных на
решения задач вблизи нуля.
Известно, что значительные успехи достигнуты в исследовании задачи об отсутствии
решений или, другими словами, необходимых условий существования решения
дифференциальных уравнений и неравенств с изотропными особенностями и
операторами. В настоящее время существует обширная библиография, посвященная этому
вопросу. В частности, проблема отсутствия решений для нелинейных эллиптических и
эволюционных задач с изотропными нелинейными коэффициентами широко изучались
многими авторами (Э. Л. Митидиери и С.И. Похожаев1 , В.А. Галактионов, Ю.В. Егоров,
В.А. Кондратьев и С.И. Похожаев2, Г. Кай, Х. Пан и Р. Син3 в случае неограниченной
области, Е.И. Галахов4 в ограниченной области, М.Ф. Бидо-Верон и С. И. Похожаев5 в
полупространствах и внешних областях, Г.Г. Лаптев6 в области конического типа и
другие). В данной работе мы интересуемся теоремами отсутствия нетривиальных решений
различных эллиптических и обратных параболических неравенств и систем с
анизотропными нелинейными коэффициентами.
____________________________
Э.Л. Митидиери и С.И. Похожаев, Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в ℝN
// Тр.Мат. Инс. им. В.А. Стеклова РАН, 1999, Т. 227,с. 192 – 222; A priori estimates and the absence of solutions of
nonlinear partial differential equations and inequalities //Proc. Steklov Inst. of Math., 234(2001), No. 3; Nonexistence of weak
solutions for some degenerate elliptic and parabolic problems onℝN // Jour. evol. Eq., 1(2001), p. 189 – 220.
2
В.А. Галктионов, Ю.В
Егоров, В.А. Кондратьев и С.И. Похожаев, Об условиях существования решений
квазилинейного неравенства в полупространстве // мат. Зам., Московский Государственный Университет им. М.В.
Ломоносова, Москва, 2000, Т. 67, с 150 – 152.
3
G.Cai, H. Pan and R. Xing, A note on parabolic Liouville Theorems and Blow-up rates for a higher-order semi-linear parabolic
system // Int. Jour. of Diff. Equ., 2011, doi:10.1155/2011/896427.
4
Е. И. Галахов, О разрушении решений нелинейных сингулярных уравнений в частных производных // Тр. Мат. Инс. им.
В.А. Стеклова РАН, Москва. 2009; Об эллиптических и параболических неравенствах с точечными особенностями на
границе // Мат. Сборник, 2009, Т. 200, No. 10, с. 3 – 24; On the absence of local solutions of several evolutionary problems
// Math. Notes, 86(2009), No. 3, p. 314–324; Some nonexistence results for systems of nonlinear partial differential
inequalities // Rend. Ist. Mat. Univ. Trieste, 37(2005), p. 237–272.
5
M. F. Bidaut – Veron and Pohozaev S. I., Nonexistence results and estimates for some nonlinear elliptic problems // Jour.
Anal. Math., 84(2001), p. 1–49.
6
Г.Г. Лаптев,Отсутствие решений полулинейных параболических дифференциальных неравенств в конусах // Мат.
сборник, 2001, Т. 192, No. 10, c. 51 – 70.
1
2
Результаты о разрушении знакопеременных решений параболического уравнения с
оператором Лапласа и постоянным нелинейным коэффициентам были получены в
работах С.И. Похожаева7. В его исследованиях эта задача была проанализирована с
применением методом нелинейной емкости в сочетании с классическим методом
сравнения и энергетическим методом. Некоторые результаты о существовании,
отсутствии и неединственности глобальных решений с полигармоническим оператором
принадлежат В.А. Галактионову и П.Дж. Харвину8 и Г. Каристи и Э. Митидиери9.
В настоящей диссертации мы рассматриваем обратные параболические неравенства с
более общими операторами и непостоянными нелинейными коэффициентами. Мы
докажем теоремы об отсутствии глобальных решений этих задач в классе
знакопеременных функций. Обратные параболические задачи возникают во многих
областях науки, таких как электродинамика, квантовая теория рассеяния, теория
электричества и потенциала, астрономия и другие.
В этой диссертации мы также интересуемся теоремами отсутствия решений для
различных нелинейных эллиптических и эволюционных дифференциальных неравенств и
систем, связанных с анизотропными операторами и анизотропными особенностями. В
частности, анизотропный оператор Лапласа становится одним из самых естественных и
важных операторов в анизотропной теории. Интерес к анизотропному оператору Лапласа
лежит в его нелинейности, которая оказывается главным отличием от стандартного
оператора Лапласа. Тем не менее, многие результаты об отсутствии решений для
стандартного оператора Лапласа могут быть перенесены наанизотропный оператор
Лапласа.
Различные эллиптические задачи с операторами типа анизотропного оператора Лапласа
были исследованы С.О. Алвесом и А. Е. Хамиди10, С. Антонцевым и М. Шипо11, А.ди
Кастро12, М. Бендамане и С.Л. Мануни13, С.Э. Мануни14, Ж. Ветуа15 и др. Они имеют
____________________________
7
S. I. Pohozaev, Blow-up of global sign-changing solutions of a nonlinear heat equation //Dok. Math., 85(2012), No. 2, p 1–4;
Blow-up of sign-changing solutions of a quasilinear heat equation //Diff. Equ., 47(2011), No. 3, p. 373–381; On the blow-up of
sign-changing solutions to semilinear parabolic equation. Dok. Math. 81(2010), No. 2, p. 185–187.
8
V. A. Galaktionov and P.J. Harwin, Non-uniqueness and global similarity solutions for a higher-order semilinear parabolic
equation //Nonlinearity, 18(2005), p. 717–746.
9
Caristi G. and Mitidieri E. L., Existence and nonexistence of global solutions of higher-order parabolic problem with slow
decay initial data // Jour. Math. Analysis Application, 279(2003), p. 710 – 722.
10
C. O. Alves and A. E. Hamidi, Existence of solution for anisotropic equation with critical exponent // Diff. int. eq., 21(2008),p.
25 – 40.
11
S. Antontsev and M. Chipot, Anisotropic equations: uniqueness and existence results // Diff.int. Eq., 21(2008), p. 401–419.
12
Castro A. Di, Anisotropic elliptic problems with natural growth terms // Manuscripta math., 135(2011), p. 521–543; Elliptic
problems for some anisotropic operators // Ph.D. Thesis. University of Rome “Sapienza”, 2008/2009
M. Bendahmane and S. EL Manouni, Existence and regularity results for anisotropic elliptic equations in ℝN //Ing - Mat, 2006,
p. 06– 32
13
S. E. Manouni, Note on an anisotropic p – Laplacian equation in ℝN //Elec. J. of Qual. Th. of Diff. Eq., 2010, No. 73, p. 1–9.
J. Vetois, Existence and regularity for critical anisotropic equations with critical directions. Adv. Diff. equations, 16 (2011),
No. 1/2, p. 61–83.
14
15
3
большой опыт математического моделирования различных физических явлений и
механических процессов в анизотропной сплошной среде, при котором учитывается
различное поведение частных производных в различных направлениях.
Временные эволюционные версии этих проблем возникают, например, из
математического описания динамики жидкостей в анизотропных средах, когда
проводимость сред различна в разных направлениях (С. Антонцев, С.О. Диас и С.
Шмарев16, М. Михайлеску и В. Радулеску17 и Дж. Бэар18). Они также появляются в теории
обработки изображений (Ю. Чен, С. Левин и М. Рао19) и в биологии в качестве модели для
распространения эпидемических заболеваний в неоднородных областях (М. Бендамане и
K.H.Карлсен20 и Бендамане, М. Лангле, М. Саад21).
Насколько нам известно, большинство результатов в этом направлении относятся к
существованию, единственности и регулярности решений для отдельных неравенств. По
сравнению с предыдущими результатами главной особенностью тех задач, которые мы
рассмотрим в нашем исследовании, является то, что они включают как анизотропные
операторы, так и анизотропные особенности. Кроме того, нашей первоочередной задачей
является получение результатов об отсутствии решений.
Наконец, мы рассмотрим вопрос об отсутствии решений для квазилинейных
эллиптических и обратных параболических неравенств и систем высших порядков по
пространственным переменными. Мы получаем результаты об отсутствии решения этих
неравенств и систем без каких-либо предположений о знаке решений. В изотропном
случае результаты об отсутствии решений аналогичных неравенств и систем получили
Э.Л. Митидиери и С.И. Похожаев22, Г. Кай, H. Пан и Р. Син23 в неограниченной области и
Е.И. Галахов24 в ограниченной области.
____________________________
16
S. Antontsev, J. I. Diaz, and S. Shmarev, Energy methods for free boundary problems: Applications to nonlinear PDEs and
fluid mechanics // Progress in Nonlinear Diff. Eq. and their Applications, 48(2002), doi:10.1115/1.1483358
17
M. Mihailescu and V. Radulescu, A multiplicity results for a nonlinear degenerate problem arising in the theory of electrorheological fluids // Proc. R. Soc. A 462 (2006), p. 2625–2641.
18
Bear J., Dynamics of Fluids in Porous Media // American Elsevier, New York, 1972.
19
Y. Chen, S. Levine and M. Rao, Variable exponent, linear growth functional in image restoration // SIAM, Jour. Appl. Math.,
66(4)(2006), p. 1383 – 1406.
20
M. Bendahmane and K. H. Karlsen, Nonlinear anisotropic elliptic and parabolic equations in R N with advection and lower
order terms and locally integrable data // Potential Anal., 22(2005), p. 207–227.
M. Bendahmane, M. Langlais and M. Saad, On some anisotropic reaction-diffusion systems with L1 −data modeling the
propagation of an epidemic disease // Nonlinear Analysis, 54(2003), p. 617– 636
21
22
E. L. Mitidieri and S. I. Pohozaev, A priori estimates and the absence of solutions of nonlinear partial differential equations and
inequalities // Proc. Steklov Inst. ofMath., 234(2001), No. 3
23
G. Cai, H. Pan and R. Xing, A note on parabolic Liouville Theorems and Blow-up rates for a higher-order semi-linear
parabolic system // Int. Jour. Of Diff. Equations, 2011, doi:10.1155/2011/896427.
24
Е. И. Галахов, О разрушении решений нелинейных сингулярных уравнений в частных производных // Тр. Мат. Инс.
им. В.А. СтекловаРАН, Москва. 2009; On the absence of local solutions of several evolutionary problems // Math. Notes,
86(2009), No. 3, p. 314–324.
4
Цель диссертационной работы состоит в получении условий отсутствия нетривиальных
слабых решений в рассматриваемых функциональных классах для следующих типов
задач:
 различные эллиптические неравенства и системы с анизотропными особенностями в
ограниченных областях;
 нелинейные эллиптические неравенства и системы с анизотропными операторами и
анизотропными особенностями в неограниченных областях;
 нелинейные обратные параболические неравенства со знакопеременными начальными
данными в ограниченных и неограниченных областях;
 различные обратные параболические неравенства и системы с анизотропными
особенностями в ограниченных областях;
 нелинейные параболические неравенства и системы с анизотропными операторами и
анизотропными особенностями в неограниченных областях.
Научная новизна. Основные результаты, включенные в диссертацию, являются новыми.
Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:
 доказаны теоремы об отсутствии нетривиальных неотрицательных решений различных
эллиптических и обратных параболических неравенств и систем с анизотропными
особенностями;
 исследовано отсутствие нетривиальных глобальных решений квазилинейных
обратных параболических неравенств со знакопеременными начальными условиями в
классе знакопеременных функций;
 доказаны теоремы об отсутствии нетривиальных решений различных эллиптических и
параболических неравенства и системы для анизотропных операторов с
анизотропными нелинейными коэффициентами;
 получены новые достаточные условия отсутствия нетривиальных решений указанных
выше неравенств и систем, зависящие от порядков роста нелинейных слагаемых,
поведения коэффициентов и размеров пространства.
Методы исследования. В этой диссертации используются метод нелинейной емкости со
специальным выбором нетривиальных пробных функций в соответствии с особенностями
рассматриваемых задач. А именно, вводится семейство сглаженных характеристических
пробных функций с носителем в виде куба или кубического слоя в эллиптическом случае
и цилиндра или цилиндрического слоя, имеющего кубическое основание, в
эволюционном. Путем алгебраического анализа интегральных тождеств и неравенств с
этими пробными функциями получаются оптимальные априорные оценки для возможных
решений в рассматриваемых функциональных классах, исследуется асимптотическое
поведение этих оценок при стремлении к нулю параметра (в случае ограниченной
области) и к бесконечности (для неограниченных областей), характеризующего меру
носителя пробных функций или их производных. Из стремления к нулю величины,
являющейся верхней априорной оценкой положительного функционала от решения,
вытекает отсутствие нетривиальных решений. Основными инструментами являются
априорные оценки и интегральные неравенства.
5
Теоретическая и практическая ценность. Настоящая диссертация в основном носит
теоретический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы в
тех областях, где возникают вопросы об анализе разрешимости нелинейных и
квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными в анизотропных
сплошных средах. В некоторых основных теоремах приводятся примеры, которые
демонстрируют оптимальность полученных условий отсутствия решений.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались
автором на четвертой международной конференции, посвященной 90-летию со для
рождения члена–корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д.
Кудрявцева в Москве, РУДН, 25 – 29 марта 2013г.; седьмой международной конференции
по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям в Москве,
РУДН, 22 – 29 августа 2014г.; научном семинаре кафедры прикладной математики по
дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, РУДН, 9 декабря
2014г. и 17 фебраля 2015г; научном семинаре кафедры математического моделирования
НИУ«МЭИ», 11 фебраля 2015г.
Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах. Из них 2 статьи в
журнале «Вестник Российского университета дружбы народов», а остальные две в
изданиях Международной академической издательской компании (МАИК) - одна в
журнале «Математические заметки» и другая в журнале «Дифференциальные уравнения».
Список статей приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста,
разбитых на разделы (параграфы), и библиографического списка литературы. Каждая
глава делится на 5 параграфов. Нумерация параграфов двойная ведется по главам,
нумерация определений, теорем, лемм, следствий, замечаний и примеров – тройная,
единая для всех этих элементов текста и сквозная внутри каждой главы. Этим же
способом организована нумерация формул. Общий объем диссертации составляет 136
страницы кроме титульного листа, список литературы включает 70 наименований.
Обзор содержания диссертации
Первая глава является введением. Во введении дается краткое изложение содержания
диссертации, сформулирована цель, аргументирована научная новизна исследований и
обоснована актуальность диссертационной работы.
Вторая глава содержит результаты об отсутствии решений различных нелинейных
эллиптических неравенств и систем. В этой главе эллиптические задачи с анизотропной
сингулярностью и эллиптические задачи с регулярными анизотропными операторами
обсуждаются по отдельности. Глава начинается с введения основных обозначений,
важных лемм и подходящих пробных функций, используемых в изучении наших задач.
Основные результаты второй главе формулируется следующим образом.
Во-первых, исследуются отсутствие нетривиальных решений неравенства
  , 
≥ 1
1
2
2
⋯ 
≤  ≤
6

 ,
 ∈ Ω\{0}
(1)
где Ω – гладкая ограниченная область в ℝN , а  и  – действительные параметры.
Неравенство (1) исследуется при следующих предположениях.
Предположим, что  − вешественные функции Каратеодори на Ω\ 0 × ℝ+ такие, что
для некоторых констант  > 0
 , 
≤    ,
∀: 1 ≤  ≤  ≤  ,  > 0,
(2)
для почти всех ,  ∈ Ω\ 0 × ℝ+.
Здесь обозначено



Ω ≔ : Ω\{0} → ℝ+:


 ∈ 1 Ω\{0} ,
 =1
lim
inf
→0+ 2R≤≤3R
  >0 .
(3)
где
  ≔
1
 Ω
  ,
Ω =  = 1 , 2 , ⋯ ,  ∈ Ω ∶ 0 <  ≤  ,
Ω
 Ω −мера Лебега множества Ω .
Решения неравенства рассматриваются в классе функций  ∈ 
неравенство (1) выполняется в смысле распределений.

Ω
таких, что
Теорема 2.2.1: Предположим, что условие (2) выполняется с  >  > 0. Если  ∈ ℝ
таково, что

 < −
 =1
то неравенство (1) не имеет положительных решений в классе 

Ω .
Следствие 2.2.1: Пусть  > 1 и  ∈ ℕ. Если  ∈ ℝ таковы, что

 < −2,
 =1
то неравенство
∆  ≥ 1
1
2
2
⋯ 
не имеет положительного решения в классе 


 ,
 ∈ Ω\{0}
Ω .
Приводятся примеры, показывающие, что эти критические показатели являются
оптимальными. Хорошо известно, что в отличие от известных результатов в
неограниченных областях, эти и последующие критические показатели не зависят от
размерности области и порядков роста нелинейных слагаемых.
7
Далее результаты об отсутствии решений доказываются для коэрцитивных эллиптических
операторов второго порядка:
div  , , 
≥ 1
1
2
2
⋯ 

 ,
 ∈ Ω\{0}
(4)
где  −векторнозначная функция Каратеодори на Ω\ 0 × ℝ+ × ℝN и существуют  > 1 и
 > 0 такие, что
 , ,  ,  ≥   , , 

 −1
при п. в. , ,  ∈ Ω\ 0 × ℝ+ × ℝN ,
(5)
Неравенство (4) исследуется с помощью пробных функций, имеющих более сложную
структуру. Пусть  > 0 достаточно велико,  > 1 и  > 0. Определим функциональное


пространство ,,,
Ω как

,,

+
Ω ≔ : Ω\{0} → ℝ :


+ , −1  , , 

 −1
∈ 1 Ω\{0} ,
 =1
lim
inf
→0+ 2R≤≤3R
  >0 ,
(6)
Теорема 2.2.2: Предположим, что выполнено условие (5). Если  > 1,  >  − 1 и  ∈ ℝ
таковы, что

 < −,
 =1
то задача (4) не имеет нетривиальных неотрицательных слабых решений в классе

1,


Ω\{0} ∩ ,,
Ω .
Одной из модельных коэрцитивных задач является задача с оператором - Лапласа,
∆  ≔   −2  при  > 1 (т.е. случай, когда  , ,  ≡  −2 )). Для этого
случая следует отметить, что утверждение теоремы 2.2.2 справедливо. В частности,
доказывается
Следствие 2.2.2: Пусть  > 1 и  > 1. Если  ∈ ℝ, таковы, что

 < −2,
 =1
то неравенство
∆ ≥ 1
1
2
2
⋯ 

 ,
 ∈ Ω\{0}
1,2
не имеет положительного решения 
Ω\{0} ∩  Ω .
Результаты об отсутствии решений неравенств (1) и (4) распространяются на
соответствующие системы в параграфе 2.3. Приводятся примеры, свидетельствующие об
оптимальном характере полученных результатов в рассматриваемых функциональных
классах.
8
В параграфах 2.4 и 2.5 рассматриваются отсутствие нетривиальных решений нелинейных
эллиптических неравенств и систем соответственно для анизотропных операторов с
нелинейностью, включающей анизотропные коэффициенты. В частности, доказываются,
следующие утверждения:
Обозначим через  ≔ 1 , 2 , ⋯ ,  вектор вещественных чисел с  ≥ 2 и  > 1 для
всех  и
+ ≔
max
 ,
∈ 1,2,⋯,
− ≔
min

∈ 1,2,⋯,
Теорема 2.4.1: Если − > 1,  > + − 1 и  ∈ ℝ,  = 1,2, ⋯ ,  таковы, что

  − − ≤ − − 1
+
 ,
 =1
то неравенство

−
=1




  −2

≥ 1

1
2
2
⋯ 

 ,
 ∈ ℝN ,
1,  
не имеет нетривиальных неотрицательныхслабых решений в 
1,  


ℝ ∩ , ℝ , где
−анизотропное пространство Соболева, связанное с вектором  и

, ℝ ∶= : ℝN → ℝ+: 1
1
2
2
⋯ 

 () ∈ 1 ℝN .
а также результат об отсутствие решений получается для этого типа неравенства с
дополнительными нелинейными членами, имеющими естественный рост по отношению к
градиенту.
Теорема 2.4.3: Пусть − ≥ 1 и предположим, что
 > +,
если  ≤ −,
+ <  ≤
−
,
 − −
если  > −,
Тогда неравенство


  

≥   ,  ∈ ℝ
=1   ≤  ≤ 
с параметрами  ,  ∈ ℕ,  > 1 не имеет нетривиального слабого решения в классе

N
функций 
=1  ℝ .
Теорема 2.5.1: Пусть −, − > 1, 1 > + − 1 и 2 > + − 1. Если выполнено условие
1  − −
max
−
− − 1

 =1
2  − −
 ,
−
− − 1
то система
9


 =1
≤ ,

−
=1

−
=1




  −2




 −2

≥ 1


≥ 1

1
2
2

⋯ 
 1 ,
 ∈ ℝN ,
(7)
1
2
2

⋯ 
2 ,
 ∈ ℝN .
не имеет нетривиального неотрицательного слабого решения ,  в классе функций
1, 


ℝ ∩  1 , ℝ

1,  
ℝ ∩  2 , ℝ
× 
.
Следствие 2.5.2: Пусть  =  > 1,  =  = 0 для всех  = 1, 2, ⋯ , . Если
min 1 , 2 > + − 1,
+ − 1 < max 1 , 2 ≤
если  ≤ −,
 − − 1
,
 − −
если  > −,
то задача (7) не имеет нетривиальных слабых решений
1, 


1
ℝ ∩ 
ℝ
1,  
× 
, 
в классе функций

2
ℝ ∩ 
ℝ .
Теорема 2.5.2: Пусть − ≥ 1 и − ≥ 1. Если выполнено хотя бы одно из следующих
условий:
2 > +,
если  ≤ −,
+ < 2 ≤
− − + 1 −
,
1  − −
1 > +,
+ < 1 ≤
если  > −,
если  ≤ −,
− − + 2 −
, если  > −,
2  − −
то система



≥ 
1
,  ∈ ℝ ,


≥ 
2
,  ∈ ℝ ,
  
=1   ≤  ≤ 

  
=1   ≤  ≤ 
с параметрами  ,  ,  ,  ∈ ℕ,  ,  > 1 не имеет нетривиального слабого решения


N
N
(, ) в классе функций 
× 
=1  ℝ
=1  ℝ .
Кроме того, эти утверждения обобщаются на неравенства и системы с более общими
анизотропными операторами в этих параграфах.
В третьей главе исследуется отсутствие решений некоторых нелинейных эволюционных
задач первого порядка. В отличие от эллиптических задач, здесь мы имеем начальные
условия, которые влияют на отсутствие решения.
10
Глава начинается с рассмотрения обратной параболической задачи вида
 +   ≥ 


−1
,  ∈ Ω × ℝ+,
,
,  ∈ Ω × ℝ+,
 ,  = 0,
 , 0 = 0  ∈ 1 Ω ,
(8)
 ∈ Ω,
где Ω −ограниченная область с гладкой границей в ℝ и  ∙ − квазилинейный слабый
коэрцитивный дифференциальный оператор, например оператор  −Лапласа или
операторы типичных видов       −2  с параметрами  > 1 и , ,  ∈ ℝ.
Для доказательства теорем о глобальном отсутствии решений используется метод
нелинейной емкости с пробными функциями типа:
 ,  ∶= ±±



,    1
 2

, , ,  > 0

при достаточно больших 1 , 2 > 0, где +, − −положительная и отрицательная часть
решения задачи соответственно, а  и  − стандартные срезающые функции, носители
которые зависят от параметра .
Теорема 3.1.1: Пусть   =       −2  . Предположим, что 0 ∈ 1 Ω ,
 > 1,  >  1,  +  − 1 и  >  −  ( − 1)  +  − 2 . Если для любого
достаточно малого  > 0 существуют константы , 0 > 0 такие, что
0 − min
1
0+
1+
1+
1+
 1 +0 Ω
,

 

0
1
−0−
1+
1+
1+
 1 −0 Ω
≤ 0,

⊂ Ω,
где  – стандартная срезающая функция и
 ∶=
±0±
 −−+1 − +− +1
,
−−+1
1+
1
±0 
±0±
:=
1+
1
±0 


0
1
1+
,
то задача (8) не имеет нетривиальных глобальных решений.
В случае Ω = ℝ также исследуется задача (8). Точные формулировки соответствующих
теорем об отсутствии глобального решения приведены в параграфе 3.1. Следует отметить,
что в отличие от неограниченной области, отсутствие решения в ограниченной области
зависит от начальной функции.
В параграфе 3.2 доказываются результаты об отсутствии решений временных
эволюционных версий неравенств (1) и (4) с начальными условиями. Основные
результаты этого параграфа представлены в нижеследующих теоремах, в которых мы
полагаем:
11
(У-1):  и  −функции Каратеодори на Ω\ 0 × ℝ+ × ℝ+и Ω\ 0 × ℝ+ × ℝ+ × ℝ+
удовлетворяют условиям (2) и (5) соответственно.
(У-2): Пусть ,  − некоторые положительные параметры и существуют предел:
lim
inf
→0+ 2≤≤3
0≤≤ 
 , 
где
 ,  ≔
1
 Ω
 ,  ,
Ω
Ω и  Ω определены, как во второй главе.
Теперь обозначим Ԛ ≔ Ω\ 0 × ℝ+ и

,

Ԛ ≔ : Ԛ → ℝ+:


 ∈ 1 Ԛ ,
 =1
lim
inf
→0+ 2≤≤3
0≤≤ 
 ,  > 0 ,  > 0 .
Рассматривается обратная параболическая задача:
 +   ≥ 1
1
2
2
⋯ 

 ,
,  ∈ Ω\{0} × ℝ+,
,  ∈ Ω\{0} × ℝ+,
 ,  ≥ 0 ,
 , 0 = 0  ≥ 0
(9)
 ∈ Ω\{0},
где  ∙ − дифференциальный оператор, например ∆ ∙ или ∆ ∙ с параметрами  > 1 и
 ∈ ℕ.
Теорема 3.2.1: Пусть 0 ∈ 1 Ω\{0} ,   =
≤  ≤
  , , 
с параметрами
,  ∈ ℕ,  > 1 и  > max 1,  . Предположим, что  удовлетворяют условию (2) с
 >  > 0 и  ∈ ℝ,  = 1,2, ⋯ ,  такими, что

 < −,
если 0 <  ≤ 1,
 =1
 −1
−
<
−1

 < −,
если  > 1.
 =1

Тогда задача (9) не имеет нетривиальных слабых решений в классе функций , Ԛ .
Следствие 3.2.1: Пусть 0 ∈ 1 Ω\{0} и   = ∆  для  ∈ ℕ. Если  > 1 и

 < −2,
 =1
то задача (9) не имеет нетривиального слабого решения.
12
Приводятся примеры, свидетельствующие об оптимальном характере полученных
результатов в рассматриваемых функциональных классах. При дополнительных условиях,
наложенных на начальную функцию 0 , утверждение теоремы 3.2.1 может быть усилено
следующим образом.
Теорема 3.2.2: Пусть   =
≤  ≤
  , , 
с параметрами ,  ∈ ℕ,  > 1,
 > 0 и  > max 1,  . Предположим, что  удовлетворяют условию (2) с  >  > 0 и
 ∈ ℝ,  = 1,2, ⋯ , . Если существует постоянная  > 0 такая, что начальная функция
0 удовлетворяет оценке

0  ≥ 


,  = 1 , 2 , ⋯ ,  ∈ Ω\ 0 ,
=1
с

max
,
−1

=1

=1
+ 
 =1 
 < −
,
−
+ 
 =1 
 < −
,
−
если 0 <  < 1,
если  ≥ 1,

то задача (9) не имеет нетривиальных слабых решений в классе , Ԛ .
Кроме того, предполагается, что  > 0,  > 1,  > max 1,  − 1 , и определяется класс
функций:


+
,,, Ԛ ≔ : Ԛ → ℝ :



+
,
−1
 , , , 

 −1
∈ 1 Ԛ ,
 =1
lim
inf
→0+ 2≤≤3
0≤≤ 
 ,  > 0 ,  > 0 .
Теорема 3.2.3: Пусть 0 ∈ 1 Ω\{0} ,   =   , , , 
и  удовлетворяет
условию (5). Если  > 1,  >  1,  − 1 и  ∈ ℝ ,  = 1, 2, ⋯ , , такие, что

 < −,
если 1 <  ≤ 2,
 =1
( − 1)
−
<
−2

 < −,
если  > 2,
 =1

1,

то задача (9) не имеет нетривиальных слабых решений в классе 
Ԛ ∩ ,,,
Ԛ .
13
Теорема 3.2.4: Пусть  > 1,  >  1,  − 1 и  ∈ ℝ ,  = 1, 2, ⋯ , . Кроме того,
предположим, что   =   , , , 
и  удовлетворяет условию (5). Если
′
существует постоянная  > 0 такая, что начальная функция 0 удовлетворяет оценке

0  ≥ 
′


,  = 1 , 2 , ⋯ ,  ∈ Ω\ 0 ,
=1
с

max
,
−2

 < −
=1

=1
+ 
 =1 
 < −
,
−+1
+ 
 =1 
,
−+1
если 1 <  < 2,
если  ≥ 2,

1,

то задача (9) не имеет нетривиального слабого решения в классе 
Ԛ ∩ ,,,
Ԛ .
Параграф 3.3 посвящен обобщению предыдущих результатов на случай обратных
параболических систем. Аналогичные теоремы формулируются для различных систем
неравенств (9). Утверждения этих теорем усиливаются при дополнительных условиях,
наложенных на начальные функции.
В параграфе 3.4 исследуется отсутствие решений нелинейных параболических задач,
содержащих анизотропные операторы и особенности. В этом параграфе нас интересуют
следующие задачи:

(, ) −
=1




  −2

≥ () ,

(, ) ∈ ℝN × ℝ+,
 ,  ≥ 0,
(, ) ∈ ℝN × ℝ+,
 , 0 = 0  ∈ 1 ℝN
 ∈ ℝN ;
(10)


 +
   , , 
≥  ,    ,
=1   ≤  ≤ 
 , 0 = 0  ∈ 1 ℝ ,
,  ∈ ℝ × ℝ+ ,
(11)
 ∈ ℝ .
По отношению к задаче (10) предполагаются выполненными следующие условия:
(УС-3): ,  − непрерывные функции на ℝN → ℝ+ и существуют положительные
константы  ,  , 0 такие, что

  ≥ 


∀ :  ≥ 0 ,
 =1
 ,  ≤   ∀ ,  ∈ ℝN × ℝ+.
(УС-4): , ,  − вещественные параметры такие, что
 > −1,  > 1,  > max  + 1,  − 1
14
∀ = 1, 2, ⋯ , .
В отношение задачи (11) нас интересуют теоремы об отсутствии решений при некоторых
условиях на  и  , но без каких-либо предположений о знаке решений. Для ее
исследования мы будем использовать предположения:
(УС-5):  −неотрицательная непрерывная функция принадлежит пространству ∞ ℝ .
(УС-6):  −вещественные функции Каратеодори на ℝN × ℝ+ × ℝ такие, что существуют
положительная константа  и неотрицательная ограниченная измеримая функция
 : ℝ × ℝ+ → ℝ+ :
 , , 
≤  ,  

∀ : 1 <  ≤  ≤  ,  = 1, 2, ⋯ , ,
для почти всех  ∈ ℝN и всех ,  ∈ ℝ+ × ℝ.
(УС-7): ,  − вещественные параметры такие, что  >  ≥ 1 ∀ = 1, 2, ⋯ , .
Основные результаты этого параграфа таковы.
Чтобы сформулировать теорему об отсутствии для решения задачи (10) в явном виде,
введем следующие обозначения:
− + − − 1 
 =1 
0 ≔ − +
,
 − − + 1
 −  + 1  + 
 =1 
′
 ≔
,
+1
−  − 1  −  − 1 − − − 1  + 2
′′ ≔
− 2 +  −  − 1


=1 
,
, Ԛ ∶= : ℝN × ℝ+ → ℝ+: () (, ), +1 (, ) ∈ 1 ℝN × ℝ+ .
Теорема 3.4.2: Предположим, что условия (УС-3) и (УС-4) выполнены. Если выполнено
хотя бы одно из следующих условий:
− 2 +  >  + 1,
≤
а)
− 2 +  <  + 1,
 + 1 − + 
 =1 
,
 − − + 1
б)
max ′ , ′′ ≤ 0 ,
≤
 + 1 − + 
 =1 
,
 − − + 1
′ ≤ min 0 , ′′ ,
− 2 +  =  + 1,
 + 1 − + 
 =1 
≤
,
 − − + 1
− − 1  + 2 
 =1 
−1≤
,
−  −  − 1
г)
′ ≤ 0 ,
то задача (10) не имеет нетривиального неотрицательного слабого решения в

1,  
 0, ; 
ℝN

∩ , Ԛ .
15
Следствие 3.4.2: Пусть  ,  ≡ 1 ≡   , − > 1,  > max 1, + − 1 и  > 1. Если
выполнены следующие условия:
≤
−
,
 − − + 1
max   − 1 ,
−  − 1  − 1
2− −  − 1
≤
−  +  −   + 1
,
 − − + 1
то задача (10) не имеет нетривиального неотрицательного слабого решения в

1,  
 0, ; 
ℝN
∩  ℝN × ℝ+ .
Теорема 3.4.3: Предположим, что условия (УС-5) – (УС-7) выполняется. Пусть также
− ≥ 1 и
а)
+ <  ≤ − +
б)
lim
→∞
−
,

∈ℝ :   ≤,∀
0   ≥ 0.
Тогда задача (11) не имеет глобального нетривиального слабого решения в классе


=1 


0, ; 
ℝN .
В заключительном параграфе 3.5 доказывается теоремы отсутствия нетривиальных
решений для систем эволюционных неравенств, которых сформулированы в предыдущем
параграфе. Формулировка и доказательство аналогичных теорем об отсутствии решений
для задачи типа (10) и соответствующей системы с более общим оператором проводится в
этом параграфе.
Публикации по теме диссертации
1. Тсегау Б.Б. Отсутствие положительных решений полулинейных эллиптических
неравенств для полигармонических операторов // Вестник РУДН. 2013. № 4. С.24–32.
2. Тсегау Б.Б. Отсутствие глобальных решений для квазилинейных
параболических уравнений // Вестник РУДН. 2014. № 2. С. 11–26.
обратных
3. Тсегау Б.Б. Об отсутствии глобальных решений для квазилинейных обратных
параболических неравенств с оператором типа –Лапласа // Математические заметки.
2015. Выпуск 4. Т. 97. С. 591–603.
4. Тсегау Б.Б. Об отсутствии решений для некоторых анизотропных эллиптических и
обратных параболических неравенств // Дифференциальные уравнения (Планируется к
печати в 6 -7 номер 2015 г.)
16
Тезисы конференций
1. Tsegaw B.B. Nonexistence of positive solutions to semilinear elliptic inequalities for
polyharmonic operators. Функциональные пространства, дифференциальные операторы,
общая топология, проблемы математического образования, «Тезисы докладов
Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения
член-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева»,
Москва, РУДН, 25 - 29 марта 2013г., С. 274.
2. Tsegaw B.B. Some nonexistence results for anisotropic elliptic and backward parabolic
inequalities. Обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы,
уравнения в частных производных, полугруппы операторов, нелокальные
пространственно – временные системы, функционально – дифференциальные
уравнения, приложения, «Тезисы докладов Седьмой Международной конференции по
дифференциальным и функционально – дифференциальным уравнениям», Москва,
РУДН, 22 - 29 августа 2014г., С. 119
17
Тсегау Бирилеу Белайне
Отсутствие решений некоторых эллиптических и эволюционных задач
Аннотация
Диссертация посвящена изучению проблемы отсутствия решений для различных классов
нелинейных эллиптических и эволюционных задач, связанных с анизотропными
особенностями и анизотропными операторами. В общем, все задачи, изучаемые в
диссертации, могут быть условно разделены на два класса. Задачи первого класса
включают в себя как анизотропные операторы, так и особые анизотропные нелинейные
коэффициенты, а задачи второго класса связаны только с анизотропией особых
нелинейных коэффициентов. Важность исследования таких задач особенно велика, когда
имеется необходимость в моделировании и изучении процессов, происходящих в
неоднородных средах.
Основной целью является нахождение достаточных условий отсутствия нетривиальных
решений этих задач в соответствующих функциональных пространствах. Доказательства
результатов об отсутствии решений в диссертации основаны на методике, предложенной
С.И. Похожаевым и разработанной Э.Л. Митидиери и С.И. Похожаевым, которая
опирается на метод пробных функций.
Tsegaw Birilew Belayneh
Nonexistence of Solutions for Some Elliptic and Evolution Problems
Abstract
The thesis is devoted to the study of the problem of nonexistence of solutions for various classes
of nonlinear elliptic and evolution problems involving anisotropic singularities and anisotropic
operators. In general, all problems studied in the thesis can be roughly divided into two classes.
Problems of the first class involve both anisotropic operators and anisotropic singular nonlinear
coefficients, while those of the second class involve only anisotropic singular nonlinear
coefficients. The importance of the study of such problems is especially great when there is a
need for modeling and studying the processes occurring in heterogeneous domains.
The main goal is to find sufficient conditions for the nonexistence of nontrivial solutions to these
problems in an appropriate function spaces. The proofs of the nonexistence results in the thesis
are based on a technique introduced by S.I. Pohozaev and developed by E.L. Mitidieri and S.I.
Pohozaev, which relies on the method of test functions.
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
854 Кб
Теги
решение, эллиптическая, некоторые, эволюционная, отсутствии, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа