close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение разрывного метода Галеркина для решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных сетках

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Масягин Виктор Федорович
ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА ГАЛЕРКИНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА НА
НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ
05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Ульяновск – 2016
Диссертационная работа выполнена на кафедре прикладной математики,
дифференциальных уравнений и теоретической механики в ФГБОУ ВО
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Тишкин Владимир Федорович
доктор физико-математических наук, профессор,
ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный
технический университет», кафедра «Высшая
математика», заведующий кафедрой
Вельмисов Петр Александрович
доктор физико-математических наук, профессор,
ФГБОУ ВО «Пензенский государственный
университет», кафедра «Высшая и прикладная
математика», заведующий кафедрой
Бойков Илья Владимирович
Ведущая организация:
ФГБОУ
ВО
«Донской
технический университет»
государственный
Защита состоится «28» сентября 2016 г. В 1130 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВО «Ульяновский
государственный университет» по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная
р. Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского
государственного университета и на сайте ВУЗа – http://ppo.ulsu.ru, с
авторефератом – на сайте ВУЗа http://ppo.ulsu.ru и на сайте Высшей
аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской
Федерации – http://vak.ed.gov.ru.
Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации,
просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, УлГУ,
Отдел подготовки кадров высшей квалификации.
Автореферат разослан « __» ___________2016 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.278.02
кандидат физико-математических наук, доцент
М. А. Волков
Общая характеристика работы
Актуальность диссертационной работы определяется необходимостью
создания программных средств для проведения эффективных термометрических
исследований нефтедобывающих скважин и пластов и для решения обратных
задач о диффузии лекарственных веществ из полимерных пленок методами
математического моделирования и выполнения вычислительных экспериментов с
целью определения требуемых параметров.
Развитие нефтяной и газовой промышленности России в последние
десятилетия происходит на фоне заметного ухудшения структуры запасов нефти
и газа, что в основном связано со значительной выработкой многих уникальных и
крупных месторождений, а также вводом в разработку месторождений с
трудноизвлекаемыми запасами. Степень выработки запасов существенно зависит
не только от правильного регулирования разработки с целью максимального
извлечения остаточных запасов углеводородов, но и от полноты и достоверности
информации о пласте и скважине.
Одним
из
важнейших
источников
информации
являются
гидродинамические (промысловые) исследования пластов и скважин.
Совершенствование систем разработки нефтяных месторождений связано с
применяемыми на промыслах мероприятиями по интенсификации добычи нефти.
Промысловые исследования скважин и пластов, поэтому приобретают все более
важное значение как инструмент для оценки эффективности применяемых
мероприятий1.
Для более полного обеспечения информативности гидродинамических
методов исследований скважины, особенно для скважин с гидравлическим
разрывом пласта2, необходимо совместное рассмотрение гидродинамического
состояния системы "скважина - пласт" с температурным полем, или
термометрией3.
Другой важной задачей является решение обратной задачи о диффузии
лекарственных веществ из полимерных пленок.
Перспективным направлением в современной медицине является
заживление ран с помощью полимерных пленок4,5, пропитанных лекарственным
Деева, Т.А. Гидродинамические исследования скважин: анализ и интерпретация данных / Т. А. Деева,
М. Р. Камартдинов, Т. Е. Кулагина, П. В. Мангазеев. – Томск : Издательство ТПУ, 2009. – 243с.
2
Кузнецов, Д. С. Гидродинамический разрыв пласта / Д. С. Кузнецов, Т. Е. Кулагина, Д. А. Малахов,
В. П. Меркулов. – Томск, 2008. – 114 с.
3
Чекалюк, Э. Б. Термодинамика нефтяного пласта / Э. Б. Чекалюк. – М. : Недра, 1965. – 238 с.
4
Кулиш, Е. И. Особенности транспортных свойств лекарственных хитозановых пленок / Е. И. Кулиш,
А. С. Шуршина, С. В. Колесов // Высокомолекулярные соединения. Серия А. – 2014. – Т. 56. – № 3. –
С. 282-288.
5
Кулиш, Е. И. Транспортные свойства пленок хитозан – амикацин / Е. И. Кулиш, А. С. Шуршина,
С. В. Колесов // Химическая физика. – 2014. – Т. 33. – № 8. – С. 76-84.
1
3
веществом. Для эффективного применения этих пленок необходимо знать такую
их характеристику, как коэффициент диффузии, что позволит оценивать скорость
впитывания лекарственного вещества из пленки в кожу и ткани пациента.
Цели диссертационной работы – разработка высокоточных проекционных
сеточных схем на основе разрывного метода Галеркина (РМГ), или discontinuous
Galerkin method (DGM), для численного моделирования процесса
распространения температуры в системе с вертикальной нагнетательной
скважиной и трещиной гидроразрыва и моделирования диффузии лекарственных
веществ из полимерных пленок и реализация разработанных численных схем и
алгоритмов в рамках программного комплекса DGM. В первой задаче
моделируется температурное поле в пласте с вертикальной нагнетательной
скважиной и трещиной гидроразрыва. Во второй задаче требуется определить
коэффициент диффузии пленок по имеющимся экспериментальным данным. Для
достижения поставленных целей были решены следующие основные задачи:
 разработать и исследовать семейство проекционных сеточных схем
повышенного порядка точности для решения начально-краевой задачи для
решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных
сетках;
 разработать алгоритм расчета температурного поля в системе «скважинатрещина-пласт», проанализировать влияние эффектов, возникающих в ходе
эксплуатации скважины;
 разработать алгоритм расчета коэффициента диффузии для хитозановых
пленок, учитывающий особенности проведения экспериментов.
 реализовать предложенные численные схемы и алгоритмы в рамках
программного комплекса DGM;
 провести численное моделирование распространения температуры в системе
«скважина-трещина-пласт» средствами созданного программного комплекса;
 провести численное моделирование процесса диффузии лекарственных веществ
из полимерных пленочных систем с помощью разработанного программного
обеспечения с целью нахождения коэффициентов диффузии пленок.
Основным методом исследования задач, поставленных в диссертационной
работе является вычислительный эксперимент.
Объект исследования – модели распространения температурного поля в системе
«скважина-трещина-пласт» и высвобождения лекарственных веществ из
полимерных пленочных систем.
Предмет исследования – математические модели, описывающие изменение
температурного поля в системе с нагнетательной скважиной и трещиной
гидроразрыва и диффузию лекарственных веществ из полимерных пленок.
Научная новизна работы заключается в разработке и применении нового
семейства проекционных сеточных схем на основе РМГ для моделирования
изменения температурного поля со временем в системе с вертикальной
нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва и моделирования процесса
диффузии лекарственных веществ из полимерных пленочных систем.
4
Моделирование показало высокую степень соответствия полученных численных
результатов и экспериментальных данных.
Разработаны численные алгоритмы для расчета температурного поля в
системе «скважина-трещина-пласт» коэффициента диффузии пленочных систем
на основе хитозана.
Особенность построенных численных схем состоит в том, что искомая
функция рассматривается на основной сетке, в то время как вспомогательные
функции рассматриваются на двойственной сетке, состоящей из медианных
ячеек. В случае разрыва коэффициента диффузии производится усреднение
коэффициента на ячейках двойственной сетки, внутри которых проходит разрыв.
Методы исследования. Математическая модель распространения температуры в
системе «скважина-трещина-пласт» получена опираясь на основное положение
теории теплопроводности – закон Фурье и использовании уравнения переноса.
Для построения математической модели процесса диффузии лекарственных
веществ из полимерных пленок использовалась гипотеза о сплошности и
однородности диффундирующего вещества. При анализе и исследовании
полученных математических моделей использовались численные методы
решения уравнений математической физики, в частности метод Галеркина с
разрывными базисными функциями для решения уравнений диффузионного типа,
приближенные методы вычисления определенных интегралов, методы решения
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные расчеты были
выполнены с помощью комплекса программ DGM, написанного на языке С++.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы
заключается в том, что построено и исследовано новое семейство проекционных
сеточных схем повышенного порядка точности на основе РМГ для решения
уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках.
Практическая значимость диссертационной работы заключается в создании
программного комплекса DGM, реализующего разработанные автором
численные схемы и алгоритмы, и использовании созданного ПО для решения
задачи термометрии в системах с вертикальной скважиной и трещиной
гидроразрыва и для решения обратной задачи о диффузии лекарственных веществ
из полимерных пленок.
Положения, выносимые на защиту:
 проекционные сеточные схемы повышенного порядка точности на основе РМГ
для решения уравнений диффузионного типа на неструктурированных
разнесенных сетках;
 численный алгоритм усреднения тензорных коэффициентов диффузии на
двумерных медианных контрольных объемах на основе метода опорных
операторов. Показана работоспособность алгоритма на задачах с разрывными
коэффициентами диффузии;
 математическая модель распространения температуры в системе с вертикальной
нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва, полученная на основе
применения закона Фурье и уравнения переноса;
5
 математическая модель диффузии лекарственных веществ из полимерных
пленочных систем, полученная на основе гипотезы о сплошности и
однородности диффундирующего вещества;
 программный комплекс DGM, реализующий разработанные численные схемы и
алгоритмы.
Достоверность результатов гарантируется строгостью используемого
математического аппарата и подтверждается сравнением результатов численного
моделирования с известными экспериментальными данными, а также данными
вычислительных экспериментов, выполненных известными численными
методами.
Апробация результатов. Основные результаты были представлены на
следующих конференциях и семинарах: XVI научно-практическая конференция
молодых ученых, аспирантов и студентов мордовского университета им. Н.П.
Огарева, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарева, 14-18 мая 2012 г.; Девятая
Всероссийская
научная
конференция
с
международным
участием
«Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, СамГТУ, 20-23 мая
2013 г.; VI международная математическая школа-семинар «Математическое
моделирование, численные методы и комплексы программ» имени Е.В.
Воскресенского, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарева, 6-12 июля 2013 г.; VIII
Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные
методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза,
ПГУ, 22-25 октября 2013 г.; VIII Международная научно-техническая
конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и
компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем»,
Пенза, ПГУ, 26-30 мая 2014 г.; XI научная конференция «Дифференциальные
уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием
зарубежных ученых, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарева, 14-16 июля 2014 г.; IX
Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные
методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», Пенза,
ПГУ, 28-31 октября 2014 г.; XII научная конференция «Дифференциальные
уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием
зарубежных ученых, Саранск, МГУ им. Н.П. Огарева, 28-30 августа 2015 г.;
Международная научная конференция "Параллельные вычислительные
технологии (ПаВТ) 2016", Архангельск, Северный (Арктический) федеральный
университет имени М.В. Ломоносова, 28 марта - 1 апреля 2016 г.; Международная
научная конференция «Математические методы и модели: теория, приложения и
роль в образовании», Ульяновск, УлГТУ, 28-30 апреля 2016 г.
Личный вклад автора. Все научные результаты, вынесенные на защиту,
получены лично автором. Цели, задачи, основные идеи и результаты работы
детально обсуждались с научным руководителем В. Ф. Тишкиным. Из
совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который
непосредственно принадлежит автору, заимствованный материал обозначен в
работе ссылками.
6
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано
семнадцать статей, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 5
из списка, рекомендованного ВАК РФ и получено свидетельство о
государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016611467.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения,
трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации
составляет 114 страниц. Список литературы включает 84 наименования.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в
рамках диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по
изучаемой проблеме, формулируется цель и ставятся задачи, раскрывается
научная новизна и практическая значимость работы, приводится развернутое
описание содержания работы.
Первая глава посвящена построению методом Галеркина с разрывными
базисными функциями семейства проекционных сеточных схем для начальнокраевых задач диффузионного типа в различных пространствах.
В двумерном случае рассматривалась модельная начально-краевая задача
u
(1)
 divW  0,
t
W  u,
где    x, y, t  - тензорный коэффициент диффузии, u  ux, y, t  - искомая
функция. Решение уравнения (1) будем искать в области   0, T  , где   R 2 с
кусочно-гладкой границей  , при начальных и граничных условиях
ux, y, t  0  u0 x, y  и u  F u  соответственно.
Дискретизация расчетной области задается в виде множества
непересекающихся треугольников, удовлетворяющих критерию Делоне и
обозначается как h  Ti . Также примем в рассмотрение двойственную сетку,
составленную из медианных ячеек вокруг узлов треугольной сетки (рисунок 1).
Рис. 1 Медианная ячейка
7
Для применения РМГ необходимо понизить порядок уравнения. Для этого
вводятся вспомогательные переменные:
u
u
u
u
 x   xx
  xy
,  y   yx
  yy
.
x
y
x
y
Тогда уравнение (1) можно переписать в виде системы:
 u


  x   y ,
y
 t x

u
u
  xy
,
(2)
 x   xx
x
y


u
u
  yy
.
 y   yx

x
y

В каждом треугольнике Ti   h решение искомой функции будем искать в
виде проекции u на пространство полиномов первой степени в базисе
x  x ci
y  y ci
i
i
,  2i 
, где xci , yci  - центр
 ij x, y   P1 :  0  1, 1 
x i
y i


треугольника Ti , xi , yi - проекции треугольника на оси координат.
u i  x, y , t  
2
u
ji
t  ij x, y  .
j 0
На каждой ячейке двойственной сетки Di решение вспомогательных
функций
x ,  y
будем искать в виде проекции на пространство полиномов


первой степени в базисе  ij x, y   P 1 : 0i  1 , 1i 
x

x  x ci'
x i'
, 2i 
y  y ci'
y i'
, где
y ci' – центр медианной ячейки Di , xi' , y i' –проекции ячейки двойственной
сетки на оси координат.
'
ci ,
 xi x, y, t  
2

 xji t  ij x, y  ,  yi x, y, t  
j 0
2

yji
t  ij x, y  .
j 0
Определим коэффициенты разложения u ji из условия ортогональности
невязки всем пробным функциям  ij на каждом треугольнике Ti :
2

j 0

u ji
t
 x
Ti
   dS   n 
i
j
i
k
x
Ti
Ti
 ki
x

dS   y
Ti
 ki
y
 i
x  k dl

n 
y
 i
y  k dl
Ti

(3)
dS , k  0,2.
8
Определим коэффициенты  xji ,  yji из условия ортогональности невязки
всем пробным функциям  ij на каждой ячейке двойственной сетки Di :
2
   
i
j
xji
j 0
Di
Di

 u xx
Di
 ki
x
   
i
j
yji

j 0
 u
Dk
yx
x
y
y
xy u

 ki dl 
dS , k  0,2,

 n x  yx u  ki dl 
Di
Di
 ki
 ki
Di
i
k dS
n 
Di
dS  u xy
2


 n x  xx u  ki dl 
i
k dS
n 
y
yy u

 ki dl 
Di

dS  u yy
 ki
Di
y
dS , k  0,2.
~
Существует проблема определения тензора проницаемости  на ячейках
двойственной сетки в случае наличия разрывов внутри расчетной области.
Предполагается, что разрыв коэффициента  проходит по ребрам
треугольников, а компоненты тензора  ps , p, s  x, y суть постоянные величины
в ячейках. В том случае, если компоненты тензора являются переменными
величинами, будем брать значение в центре треугольника. Для усреднения
~
тензора  будем использовать метод опорных операторов6,7. Воспользуемся
соотношением, приводимым в работе8, потребовав выполнения этого равенства
  на каждой ячейке
для элементов линейной оболочки базисных функций  ij
двойственной сетки:
~ ps  p u s ij dS  g ab  a u b ij ,

Di
где g ab 
S 


ps l
a , p b, s
l
p, s  x, y,
j  1,2,
. Суммирование ведется по всем ребрам ячейки
двойственной сетки,  ps l a, p l b, s есть евклидово скалярное произведение векторов
 ps l a , p и l b,s , где l a , l b – векторы, сопряженные векторам l a , lb (векторы,
Самарский, А. А. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А.
Повещенко, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский // Минск, 1996. – 273 с.
7
Самарский, А. А. Использование метода опорных операторов для построения разностных аналогов
операций тензорного анализа / А. А. Самарский, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский, М. Ю. Шашков //
Диф. Уравнения. – 1982. – Т. 18. – № 7. – С. 1251-1256.
8
Пергамент, А. Х. Метод опорных операторов для эллиптических и параболических краевых задач с
разрывными коэффициентами в анизотропных средах / А. Х. Пергамент, А. В. Семилетов // Мат.
Моделирование. – 2007. – Т. 19. – № 5. – С. 105-116.
6
9
выходящие из вершины  ячейки двойственной сетки и равные по длине
выходящим из этой вершины ребрам), S – некоторые площади, присоединенные
к узлу  и сумма которых равна площади S Di ячейки Di , ~ps – значения
~
компонентов тензора  в ячейке Di .
Таким образом, при расчете интегралов на ячейках двойственной сетки
окончательно получаем:
2
   
i
j
xji
j 0
i
k dS
Di
Di

 u~xx
 kj

dS  u~xy
x
Di
Di
2
   
i
j
yji
j 0
i
k dS

 ki
Di
x
y


Di
y
~ u  i dl 
xy
k
(4)
dS , k  0,2,
 n x ~ yx u  ki dl 
dS  u~ yy
n 
Di
 ki
Di
Di
 u~ yx

 n x ~xx u  ki dl 
n 
y
~ u  i dl 
yy
k
Di
 ki
y
(5)
dS , k  0,2.
В системах (3) - (5) при нахождении интегралов по границам
соответствующих ячеек необходимо вычислить потоковые значения величин
u  ,  x ,  y . Это значения вычисляются с использованием стабилизирующих
добавок:
u
 x , y Di
 u  x , y D ,
i




 x u  , u  , n
 y u  , u  , n
x , y Ti
x , y Ti

 
  x  x, y T  С11   u 
u
, n  ,
i
 x, y Ti
 x, y Ti  

 y
 x, y Ti

 
 С11   u 
 u
, n ,




x
,
y


T
x
,
y


T
i
i 


где величина u  вычисляется на границе Ti элемента Ti по значению внутри
элемента Ti , в то время как величина u  вычисляется на границе Ti по
значению в соседней к данному элементу Ti ячейке. Потоковая функция зависит
от значений приближенного решения по обе стороны границы элемента и от
направления единичного нормального вектора n . На граничных ребрах значение
в соседней ячейке берем исходя из граничного условия.
Вторая глава посвящена программной реализации разработанных автором
численных методик и алгоритмов в рамках программного комплекса DGM.
10
Кратко описывается программа для подготовки данных Salome, в которой
создаются геометрия и расчетная сетка для задач. Рассказывается о формате
UNV, который хранит информацию о геометрии задачи, конечных элементах,
регионах, материале и другие настройки. Кратко рассказывается о формате
выходных данных VTK и о кросс-платформенном пакете ParaView для
визуализации и обработки полученных результатов.
Рис. 2 Архитектура программного комплекса DGM
Рассказано об основных идеях, заложенных в архитектуру кода, и о
реализации этих идей в виде иерархий взаимодействующих классов. На рисунке 2
представлена архитектура программного комплекса, показана его взаимосвязь с
модулями для препроцессинга и постпроцессинга.
Описаны разработанные автором основные классы и их место в общей
архитектуре DGM, а именно: иерархии классов методов решения в зависимости
от размерности задачи, задания граничных условий, а также подсистема вывода
расчетных данных для последующего анализа.
В третьей главе рассматривается моделирование практических задач с
помощью разработанного программного комплекса. В первой части главы
решалась обратная задача о диффузии лекарственных веществ из хитозановых
пленок для определения коэффициентов диффузии пленок с различным временем
термической модификации. Для таких пленок необходимо в течении длительного
времени поддерживать требуемый уровень лекарственного вещества в крови или
тканях пациента9. В условиях, когда процессами растворения или деструкции
полимера можно пренебречь, основным механизмом высвобождения ЛВ из
пленки является диффузия.
Основой для математического моделирования служат экспериментальные
данные, представленные в работах4,5. В экспериментах из вышеуказанных
9
Ala, J. Processing of polymer-based systems for improved performance and controlled release / J. Ala // PhD
Thesis (London). – 208 p.
11
работ использовались пленки с длиной и шириной, равной 0,5 см и толщиной 0,1
мм, которые помещали в емкость объемом 10 мл, заполненную водой, при этом
воду постоянно перемешивали.
На основании вышеописанных данных для описания процесса диффузии
ЛВ из пленки использовалась следующая математическая модель:
с
 2c
 D 2 , 0  x  l, 0  t  T ,
t
x
cx,0  c0 , 0  x  l ,
(6)
c0, t   cl , t   0, t  0,
где D - искомый коэффициент диффузии, t - время, x - пространственная
координата, c  cx, t  - концентрация лекарственного вещества в пленке, c0 начальная концентрация ЛВ в пленке, l - толщина пленки.
В экспериментах наблюдается интенсивный выход ЛВ в начальные
моменты времени и почти полное его отсутствие в конце эксперимента. В связи с
этим в работе рассматривается математическая модель, при которой коэффициент
диффузии меняется с течением времени. В качестве зависимости от времени
рассматривается экспоненциальная зависимость:
D  D0 e t / t0 ,
где D0 - начальное значение коэффициента диффузии, t 0 - время релаксации.
Чаще всего решение обратной задачи находят, перебирая по определенному
алгоритму серию прямых задач10 и минимизируя выбранный критерий
отклонения расчетных и экспериментальных данных. В качестве такого критерия
в работе была использована исправленная выборочная дисперсия. Для
минимизации выбранного критерия использовался генетический алгоритм11.
На рисунках 3-12 представлены кинетические кривые выхода ЛВ из
рассматриваемых пленочных систем.
Губайдуллин, И. М. Применение индексного метода глобальной оптимизации при решении
обратных задач химической кинетики / И. М. Губайдуллин, В. В. Рябов, М. В. Тихонова //
Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. – 2011. – Т. 12. –
№ 1. – С. 137-145.
11
Емельянов В. В., Курейчик В. В., Курейчик В, М., Теория и практика эволюционного моделирования,
Физматлит, Москва, 2003, 432 с.
10
12
Рис. 3 Пленочная система ХТЗАМС с мольным составом 1:0,01.
Время изотермического отжига – 30
минут
Рис. 4 Пленочная система ХТЗАМС с мольным составом 1:0,01.
Время изотермического отжига – 60
минут
Рис. 5 Пленочная система ХТЗАМС с мольным составом 1:0,01.
Время изотермического отжига – 120
минут
Рис. 6 Пленочная система ХТЗАМС с мольным составом 1:0,05.
Время изотермического отжига – 30
минут
Рис. 7 Пленочная система ХТЗАМС с мольным составом 1:0,1.
Время изотермического отжига – 30
минут
Рис. 8 Пленочная система ХТЗЦФЗ с мольным составом 1:0,01.
Время изотермического отжига – 30
минут
Рис. 9 Пленочная система ХТЗЦФЗ с мольным составом 1:0,01.
Время изотермического отжига – 60
минут
Рис. 10 Пленочная система
ХТЗ-АМС с мольным составом
1:0,01. Время изотермического
отжига – 120 минут
13
Рис. 11 Пленочная система
Рис. 12 Пленочная система
ХТЗ-ЦФЗ с мольным составом 1:0,05. ХТЗ-АМС с мольным составом 1:0,1.
Время изотермического отжига – 30
Время изотермического отжига – 30
минут
минут
В таблице 1 приводится начальное значение коэффициента диффузии D0 ,
найденное с применением созданной проекционной сеточной схемы,
коэффициент диффузии DSа , который находится в работах4,5 как константа при
малых временах эксперимента и значения полученных исправленных
выборочных дисперсий.
Таблица 1 – Значения коэффициентов диффузии для рассматриваемых
хитозановых пленок
Состав Концентрация Время изо- Исправленная D0 ·10-11, DSа ·10-11,
пленки
ЛВ в пленке, термического выборочная
см2/c
см2/c
моль/моль
отжига
дисперсия
ХТЗ
пленки, мин
ХТЗ-ЦФЗ
1:0.01
30
0.00211
254.9
92.3
ХТЗ-ЦФЗ
1:0.01
60
0.00152
224.8
85.2
ХТЗ-ЦФЗ
1:0.01
120
0.00410
156.48
78.4
ХТЗ-ЦФЗ
1:0.05
30
0.00351
200.1
57.2
ХТЗ-ЦФЗ
1:0.1
30
0.00520
128.1
41.3
ХТЗ-АМС
1:0.01
30
0.00513
17.1
24.6
ХТЗ-АМС
1:0.01
60
0.00586
13.8
23.0
ХТЗ-АМС
1:0.01
120
0.00296
14.8
21.1
ХТЗ-АМС
1:0.05
30
0.00240
23.1
24.0
ХТЗ-АМС
1:0.1
30
0.00347
17.7
23.3
Полученные результаты математического моделирования хорошо
согласуются с экспериментальными данными и результатами, полученными с
помощью другого математического аппарата. При этом в отличие от работ4,5 в
данной работе используется единая формула для нахождения коэффициента
диффузии, а не две разные формулы в зависимости от времени с начала
эксперимента. В дальнейшем планируются уточнить математическую диффузии
ЛВ из полимерных пленок и разработать информационно-вычислительную
систему для создания эффективных лечебных полимерных пленок.
14
Во второй части главы решалась задача термометрии для системы
«скважина-трещина-пласт».
Математическая
модель
распространения
температурного поля в техногенной трещине и продуктивном пласте описывается
уравнениями теплопроводности:
T
T 
T f
 
 ft f    ft f   cl lV f
,
(7)
t
x 
x 
x
Tm
Tm
 

  mt
t
x 
x
 mt
Tm
  
    mt
y
 y 

 

(8)
T
T 

 c l  l V mx m  V my m , x, y   .
x
y 

Задаются начальные и граничные условия:
Tm
y  Ly
Tm
x
 mt
Tm
 Th ,
Tm
0
при
x  Lx
 Tl ,
Tm
t 0
 Tf
Tm
y
x f  x  Lx ,
x 0
Tm
x
x x f
  ft
T f
x
x x f
 Tf
x x f
,
x x f
Tm
y
wf
2
t 0
 Tf
y
 T0 ,
Tf
0
x  0, y  0
 T0  T ,
0  y  Ly ,
при
y 0
wf ,
2
 mt
Tm
x
y
wf
2
  ft
T f
x
y
wf
,
2
,
где  ft – объемная теплоемкость в трещине,  mt – объемная теплоемкость в
пласте,  ft – коэффициент теплопроводности в трещине, mt – коэффициент
теплопроводности в пласте, cl – удельная теплоемкость,  l – плотность
жидкости, Tl , Th – температуры на границе пласта, V f – скорость фильтрации
жидкости в трещине, Vmx , V my – компоненты скорости фильтрации жидкости в
пласте, T0 – температура в начальный момент времени.
Задача решалась со следующими параметрами: T0 =363.15 К; cl =2000
Дж/(кг·К);  l =950 кг/м3;  ft = 1316676 Дж/(м3·K);  mt =1316676 Дж/(м3·K);  ft
=2.5208; mt =2.5208; Tl  Th =363.15 К; T0  T =293.15 К; скорость фильтрации
жидкости в пласте сонаправлена с радиус-вектором точки. Параметры
рассматриваемой системы «скважина-трещина-пласт»: L x =150 м; L y =25 м; W f
=0.0025 м; X f =40 м.
На рисунках 13 – 16 представлено распространение температурного фронта
по пласту на различные моменты времени с начала закачивания холодной воды в
15
скважину. На рисунке 17 выделены изолинии температурного поля на момент
времени t =4. Ввиду симметрии рассматриваемой области и граничных условий
достаточно рассматривать только четверть расчетной области. Из рисунка видно,
как во время работы нагнетательной скважины холодная закачиваемая жидкость
охлаждает пласт. Значительные изменения температуры наблюдаются вблизи
скважины и вдоль распространения трещины, в частности на створках трещины.
Рис. 13 Температурное поле в пласте на момент времени t =1
Рис. 14 Температурное поле в пласте на момент времени t =2
Рис. 15 Температурное поле в пласте на момент времени t =3
16
Рис. 16 Температурное поле в пласте на момент времени t =4
Рис. 17 Изолинии температурного поля на момент времени t =4
Полученные результаты в дальнейшем планируются использовать для
определения влияния различных эффектов на изменение температуры, а также
уточнения параметров призабойной зоны пласта.
В заключении приведены основные результаты работы, сделаны
необходимые комментарии и выводы, обозначены перспективы дальнейших
исследований по теме настоящей диссертации.
Основные результаты диссертационного исследования:
 Разработаны, реализованы и исследованы численные методики повышенной
точности для решения уравнений диффузионного типа на разнесенных сетках
нерегулярной структуры в одномерном, двумерном и трехмерном случаях;
 Разработана математическая модель диффузии лекарственных веществ из
полимерных пленок;
 Разработан и реализован алгоритм на основе РМГ для расчета коэффициента
диффузии полимерных пленок. Коэффициент диффузии находится с помощью
решения серии прямых задач, перебирающейся с помощью генетического
алгоритма с целью минимизации выбранного критерия;
 Разработана математическая модель, описывающая изменение температурного
поля в системе с вертикальной нагнетательной скважиной и трещиной
гидроразрыва;
17
 Разработан и реализован алгоритм на основе РМГ для расчета температурного
поля в пласте с трещиной гидроразрыва и вертикальной нагнетательной
скважиной, через которую закачивается охлаждающая жидкость;
 Предложенные численные схемы и алгоритмы реализованы в рамках
программного комплекса DGM, предназначенного для моделирования задач
диффузионного типа областях сложной геометрической формы;
 Средствами созданного программного комплекса исследованы методом
вычислительного эксперимента актуальные прикладные задачи. Выполнено
моделирование температурного поля в системе «скважина-трещина-пласт».
Решена обратная задача о диффузии ЛВ из полимерных пленок для нахождения
коэффициента диффузии пленок.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК
1. Жалнин, Р. В. О применении разрывного метода Галеркина для численного
решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных
разнесенных сетках [Электронный ресурс] : научный журнал / Р. В. Жалнин,
В. Ф. Масягин, Е. Н. Панюшкина // Современные проблемы науки и образования.
– 2013. – № 6. Режим доступа: www.science-education.ru/113-10929.
2. Жалнин, Р. В. Решение трехмерных уравнений теплопроводности с помощью
разрывного метода Галёркина на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин,
М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин // Вестник Самарского
государственного технического университета. Серия «Физико-математические
науки». – 2015. – Т. 19. – №3. – C. 523–533.
3. Жалнин, Р. В. Решение задач о нестационарной фильтрации вещества с помощью
разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин,
М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин // Журнал вычислительной
математики и математической физики. – 2016. – Т. 56. – № 6. – С. 989–998.
4. Масягин, В. Ф. Применение разрывного метода Галёркина для моделирования
температурного поля в вертикальной скважине с трещиной гидроразрыва /
В. Ф. Масягин, Ю. О. Бобренева, И. М. Губайдуллин, Р. В. Жалнин // Системы
управления и информационные технологии. – 2016. – Т. 63. – №1. – С. 13–16.
5. Губайдуллин, И. М. Применение разрывного метода Галеркина для решения
обратной задачи диффузии лекарственных веществ из хитозановых пленок /
И. М. Губайдуллин, Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин, А. С. Шуршина
// Журнал Средневолжского математического общества. – 2016. – Т. 18. – №2. –
С. 94–105.
Публикации в прочих изданиях
6. Масягин, В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного метода
Галёркина для численного решения уравнений диффузионного типа /
В. Ф. Масягин // «Математическое моделирование и краевые задачи», девятая
всероссийская научная конференция с международным участием, 21 – 23 мая
18
2013 г. : [материалы]. – Самара: Самарский государственный технический
университет. – 2013. – С. 42–49.
7. Масягин, В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного метода
Галёркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа на
неструктурированных сетках / В. Ф. Масягин, Р. В. Жалнин, В. Ф. Тишкин В.Ф. //
Журнал Средневолжского математического общества. – 2013. – Т. 15. – №2. –
С. 59–65.
8. Масягин, В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного метода
Галёркина для численного решения уравнений диффузионного типа /
В. Ф.Масягин, Р. В. Жалнин // «Аналитические и численные методы
моделирования
естественнонаучных
и
социальных
проблем»,
VIII
Международная научно-техническая конференция, посвященная 70-летию
Пензенского государственного университета, 22 − 25 октября 2013 г. :
[материалы]. – Пенза: Изд-во ПГУ. – 2013. – С. 23–30.
9. Масягин, В. Ф. Об одном способе аппроксимации уравнений диффузионного типа
с помощью разрывного метода Галёркина на неструктурированных сетках /
В. Ф. Масягин, Р. В. Жалнин, В. Ф. Тишкин // «Математическое и компьютерное
моделирование естественно-научных
и социальных проблем», VIII
Международная научно-техническая конференция молодых специалистов,
аспирантов и студентов, 26 − 30 мая 2014 г. : [материалы]. – Пенза: Изд-во ПГУ.
– 2014. – С. 49–56.
10. Жалнин, Р. В. Об одном способе решения уравнений диффузионного типа с
помощью разрывного метода Галёркина на неструктурированной сетке /
Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин // Журнал
Средневолжского математического общества. – 2014. – Т. 16. – №2. – С. 7–13.
11. Жалнин, Р. В. Решение задач газовой динамики с использованием неявной схемы
для метода Галеркина с разрывными базисными функциями / Р. В. Жалнин,
В. Ф. Масягин, В. Д. Сальников, Е. Е. Пескова // «Аналитические и численные
методы моделирования естественно-научных и социальных проблем», IX
Международная научно-техническая конференция, 28 − 31 октября 2014 г. :
[материалы]. – Пенза: Изд-во ПГУ. – 2014. – С. 100–104.
12. Жалнин, Р. В. Об одном способе аппроксимации трехмерных уравнений
теплопроводности
с
помощью
разрывного
метода
Галёркина
на
неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин //
«Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и
социальных проблем», IX Международная научно-техническая конференция, 28
− 31 октября 2014 г. : [материалы]. – Пенза: Изд-во ПГУ. – 2014. – С. 104–107.
13. Жалнин, Р. В. Исследование порядка точности неявной схемы для метода
Галеркина с разрывными базисными функциями для решения задач газовой
динамики / Р. В. Жалнин, А. В. Максимкин, В. Ф. Масягин, А. И. Пантюшин,
Е. Е. Пескова, В. Д. Сальников, В. Ф. Тишкин // Журнал Средневолжского
математического общества. – 2015. – Т. 17. – №1. – С. 48–54.
19
14. Жалнин, Р. В. О применении метода опорных операторов для решения
уравнений диффузионного типа с разрывными коэффициентами на
неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин //
«Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и
социальных проблем», X Международная научно-техническая конференция, 28 −
30 октября 2015 г. : [материалы]. – Пенза: Изд-во ПГУ. – 2015. – С. 57–64.
15. Жалнин, Р. В. Об использовании WENO-ограничителя в неявной схеме для
метода Галеркина с разрывными базисными функциями / Р. В. Жалнин,
А. В. Максимкин, В. Ф. Масягин, А. И. Пантюшин, Е. Е. Пескова // Журнал
Средневолжского математического общества. – 2015. – Т. 17. – №3. – С. 75–81.
16. Жалнин, Р. В. О применении разрывного метода Галёркина для решения задач
однофазной фильтрации в анизотропных средах [Электронный ресурс] : научный
журнал / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин // Огаревonline. – 2015. – №23. – Режим доступа: http://journal.mrsu.ru/arts/o-primeneniirazryvnogo-metoda-galyorkina-dlya-resheniya-zadach-odnofaznoj-filtracii-vanizotropnyx-sredax.
17. Масягин, В. Ф. Решатель уравнений диффузионного типа на основе разрывного
метода Галеркина на неструктурированных разнесенных треугольных сетках
DGM_2D / В. Ф. Масягин, Р. В. Жалнин // Свидетельство о государственной
регистрации программы для ЭВМ № 2016611467. Москва, Роспатент, 2016 г.
20
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
28
Размер файла
924 Кб
Теги
типа, решение, уравнения, метод, разрывного, галёркина, неструктурированных, сетка, диффузионного, применению
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа