close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование гашения колебаний элементов механических структур

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Атамуратов Андрей Жиенбаевич
Исследование гашения колебаний элементов
механических структур
05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
Диссертации на соискание учѐной степени
кандидата технических наук
Москва – 2014
Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информационные
технологии» ФГБОУ ВПО «МАТИ – Российский государственный
технологический университет имени К.Э. Циолковского».
Научный руководитель:
Михайлов Игорь Ефимович
доктор физико-математических наук,
профессор, ведущий научный сотрудник
ФГБУН Вычислительный центр
им. А.А. Дородницына
Российской академии наук
Официальные оппоненты: Баничук Николай Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий лабораторией
ФГБУН Институт проблем механики
им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Асланов Сергей Жамболатович
кандидат технических наук,
инженер-разработчик
ООО «Майкрософт Рус»
Ведущая организация:
ГБОУ ВО МО Международный Университет
природы, общества и человека «Дубна».
Защита состоится «22» января 2015 г. в 16 ч. 00 мин. На заседании
диссертационного совета Д 212.110.08 при ФГБОУ ВПО «МАТИ – Российский
государственный технологический университет имени К.Э. Циолковского»,
расположенного по адресу: 121552, г. Москва, ул. Оршанская, д. 3, 612А.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ
ВПО «МАТИ – Российский государственный технологический университет
имени К.Э. Циолковского», http://www.mati.ru.
Автореферат разослан «10» ноября 2014 г.
Учѐный секретарь
диссертационного совета Д 212.110.08
кандидат физико-математических наук
2
Мокряков А.В.
Общая характеристика работы.
В данной работе рассматривается проблема гашения колебаний
элементов механических структур. В качестве таких элементов рассмотрим
прямоугольные мембраны, балки и прямоугольные пластины. В работе
предлагаются математические модели демпферов для гашения колебаний и
предлагаются численные методы, которые позволяют решить задачу и найти
управляющую функцию с заданной точностью.
Колебания прямоугольных мембран описываются уравнением вида
(1)
utt  a 2 u xx  u yy   g t, x, y  , t  0 , 0  x  l1 , 0  y  l 2 , a  const .
Начальное отклонение и скорость перемещения мембраны
u 0, x, y   H 0 x, y  , ut 0, x, y   H 1 x, y 
(2)
будем рассматривать как начальные условия. На границе прямоугольной
мембраны наложим условие закрепления
ut ,0, y   ut , l1 , y   ut , x,0  ut , x, l2   0 .
(3)
Задача гашения колебаний прямоугольной мембраны формулируется
следующим образом: требуется найти управляющую функцию g t , x, y  из
класса L2 0  t  T ,0  x  l1 ,0  y  l2  , позволяющую перевести мембрану из
состояния (2) в состояние
uT , x, y   0 , ut T , x, y   0
(4)
за минимальное время T . Заметим, что условие (4) равносильно обращению
интеграла энергии прямоугольной мембраны в ноль в момент времени T с
учѐтом (3):
E T    ut2  a 2u x2  a 2u y2 dydx  0 .
l1 l2
0 0
Колебания балок описываются гиперболическим по Петровскому
уравнением
u tt   a 2 u xxxx  g t , x  , 0  t , 0  x  l , a  const
(5)
Начальное отклонение и скорость перемещения первоначального возмущения
балки
u 0, x   h0 x  , u t 0, x   h1  x  ,
(6)
будем рассматривать как начальные условия. На концах балки наложим
условия нежѐсткого (шарнирного) закрепления
u t ,0  u xx t ,0  0 , u t , l   u xx t , l   0 .
(7)
Задача гашения колебаний балки формулируется следующим образом:
требуется найти управляющую функцию g t , x  из класса L2 0  t  T ,0  x  l  ,
позволяющую перевести балку из состояния (6) в состояние
u T , x   0 , ut T , x   0
(8)
за минимальное время T . Заметим, что условие (8) равносильно обращению
интеграла энергии балки в ноль в момент времени T с учѐтом (7):
l


2
E T    ut2  a 4u xx
dx  0 .
0
3
Малые поперечные колебания упругой изотропной пластины постоянной
толщины описываются уравнением Жармен-Лагранжа
utt   Du  g t , x, y  , 0  t , 0  x  l1 , 0  y  l 2
(9)
где D 
Eh 3
- изгибная жесткость пластинки;  - коэффициент Пуассона; E
12 1   2 
- модуль Юнга;  - удельная плотность на единицу площади пластинки; t время. Для большего удобства это уравнение можно привести у виду
utt   a 2 u  g~ t , x, y  , a  const
(10)
Начальное отклонение и скорость прямоугольной пластины
u 0, x, y   h0  x, y  , ut 0, x, y   h1  x, y  .
(11)
На концах пластины наложим условия шарнирного закрепления
(12)
uГ 0
u Г  0
Задача гашения колебаний прямоугольной пластины формулируется
следующим образом: требуется найти управляющую функцию g~t , x, y  из
класса L2 0  t  T ,0  x  l1 ,0  y  l2  , позволяющую перевести пластину из
состояния (11) в состояние
uT , x, y   0 , ut T , x, y   0
(13)
за минимальное время T . Заметим, что условие (13) равносильно обращению
интеграла энергии прямоугольной пластины в ноль в момент времени T с
учѐтом (12):
2
2
dydxdt  0 .
E T    ut2  a 2u xx
 a 2u yy
l1 l2
0 0
Следуя работам Лионса Ж.Л., будем называть такие ситуации строгой
управляемостью.
Актуальность темы. Задачи гашения колебаний, и, в частности,
колебаний мембран, балок и пластин, актуальны в силу многочисленных
технических приложений. Например, при создании новых космических
комплексов в мировой практике всѐ более широкое применение находят
космические платформы (КП), на которых могут размещаться различного вида
полезные нагрузки. Сами же КП имеют каркасную конструкцию, элементами
которой являются балки, пластины и мембраны. На борту КП размещаются
приборы и агрегаты технологических систем, которые могут быть источниками
механических возмущений, способствующих возникновению вынужденных
упругих колебаний составных частей КП. Кроме того, эти колебания могут
возникать после соударения стыковочных механизмов. Это вызывает влияние
на пространственную устойчивость КП и отрицательно влияет на работу
приборов, установленных на ней. Поэтому гашение таких колебаний
представляет собой важную прикладную задачу.
Цель и задачи исследования. Основными целями данной работы
являются:
4
1) математическое моделирование демпфирующего устройства, с
помощью
которого
осуществляется
гашение
колебаний
прямоугольной мембраны, балки и прямоугольной пластины.
2) разработка вычислительных методов, позволяющих найти решение
задачи гашения с заданной точностью;
3) создание комплекса алгоритмов и программ, позволяющих построить
решение задачи
Также в работе проводится аналитическое исследование существования
решения задачи гашения колебаний прямоугольных мембран, балок и
прямоугольных пластин.
В целом результаты работы являются важными для данного направления
исследований и могут быть не только инструментом для реализации
практических приложений, но и стать платформой для новых разработок.
Научная новизна. Ранее строгая управляемость колебаниями на примере
струны уж была рассмотрена в работах Лагнесса Ж.Е., Рассела Д.Л.,
Бутковского А.Г., Муравья Л.А., Билалова Б.Т., Махмудова А., Асланова С.Ж.,
Михайлова И.Е., Ишмухаметова А.З., Васильева Ф.П. в классе функций
{g (t , x)  L2 ((0  t  T )  (  x   )), g (t , x)  0, x [ ,  ]} ,
{g (t , x)  u (t ) f ( x), u (t )  L2 (0, T )} и {g (t , x)  u (t ) ( x  x0 ), u (t )  L2 (0, T )} соответственно.
В последнем случае  (x) — дельта-функция Дирака, x0 — некоторая
фиксированная точка отрезка 0, l , который характеризует размеры структуры.
Этот случай соответствует ситуации, когда управление гашением колебаний
осуществляется только в одной точке интервала.
В работах Лагнесса Ж.Е. было показано, что колебания струны можно
погасить с помощью бесконечного числа управляющих функций
w1 (t ), w2 (t ), ... , wk (t ), ... , если g (t , x) можно представить в виде бесконечного ряда

g (t , x)   wk (t ) f k ( x) . В работе Рассела Д.Л. были установлены условия на
k 1
функцию f (x) , которые позволяют решить задачу гашения колебаний струны с
помощью одной управляющей функции w(t ) . Однако при этом функция f (x)
распределена на всей длине струны (supp f(x) (0, l ) ), поэтому для решения
задачи управление должно осуществляться вдоль всей длины струны. Выше
обозначенные ограничения не позволяют использовать результаты обеих работ
в практических приложениях при достаточно длинной струне.
В работе Бутковского А.Г. рассматривался точечный стационарный
демпфер, помещенный в точку x0 на струне. Но затем было показано, что при
помещении демпфера в точку, являющуюся узлом стоячей волны, задача либо
неразрешима, либо неустойчива.
Выше указанные классические подходы базировались на методе Фурье,
получая соответствующее представление для начально-краевой задачи в виде
проблемы моментов. Эти работы использовали условие Левинсона на время
5
гашения колебаний струны Т, при котором система функций {sin  k t , cos  k t}
является базисом Рисса в L2(0,T).
В последнее время Ильиным В.А. и Моисеевым Е.И. было опубликовано
много работ, в которых была рассмотрена задача о переводе струны из
начального заданного состояния в другое конечное заданное состояние с
помощью управляющей функции, расположенной на границе.
Приближѐнные численные методы решения задачи гашения колебаний
струн рассматривались в работах Махмудова А.А., Муравья Л.А. и Асланова
С.Ж., Михайлова И.Е., Муравья Л.А. В частности, в работе А.А. Махмудова,
Л.А. Муравья использовался метод наискорейшего спуска.
В настоящей работе рассматриваются более сложные структуры:
прямоугольные мембраны, балки и прямоугольные пластины. Предложены
математические модели демпферов. Разрабатаны численные методы для
решения задачи гашения и нахождения управляющей функции. На их основе
создан комплекс программ и алгоритмов, который с применением библиотеки
параллельного программирования позволяет максимально эффективно
получить решение задачи. Также проводится аналитическое исследование
существования решения задачи гашения колебаний. В работе не содержится
некорректных
заимствований,
все
результаты
получены
автором
самостоятельно.
Методы
исследования.
В
ходе
исследования
применялись
комбинированные методики.
В работе были предложены различные математические модели
применения
демпфирующего
устройства
для
гашения
колебаний
прямоугольной мембраны, балки и прямоугольной пластины. Моделирование
осуществлялось с применением точечного стационарного, точечного
движущегося и широкого стационарного демпферов.
Для нахождения решения задачи гашения численно с заданной точностью
были разработаны вычислительные методы на основе аппроксимации
уравнений математической модели разностными схемами с необходимым
порядком аппроксимации. Для исследования устойчивости полученных
разностных уравнений использовался метод Неймана. Для нахождения
оптимального вида управляющей функции (демпфера) использовался метод
градиентного спуска.
В ходе исследования существования решения задачи гашения колебаний
прямоугольной мембраны, балки и прямоугольной пластины использовались
такие подходы как метод Фурье для получения решения уравнения колебаний,
приведение бесконечной тригонометрической проблемы моментов, методы
исследования сходимости рядов и другие.
Программный комплекс, реализующий разработанные численные
методы, создан с использованием языков программирования C/C++. Для
ускорения работы программного комплекса были разработаны специальные
методы, основанные на принципах параллельного программирования и
свободно распространяемой библиотеки Open MP. Построение графиков
осуществлялось через Excel 2003.
6
Практическая ценность. Предложенные в работе математические
модели, а также аналитические и численные результаты могут послужить
отправной точкой для дальнейших исследований проблем задачи гашения
колебаний сложных механических структур, расширив тем самым область
применения описанных подходов. Разработанные модели и методы можно
использовать для решения задач демпфирования колебаний при использовании
других типов управлений и других граничных и начальных условий.
Разработанный программный комплекс может быть использован как
будущая основа для программного обеспечения систем управления
демпфирующими устройствами.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной
работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
 XXXV Международная молодѐжная научная конференция «Гагаринские
чтения», МАТИ, Москва, 2008.
 XXXVI
Международная
молодѐжная
«Гагаринские чтения», МАТИ, Москва, 2010.
научная
конференция
 XXXVII
Международная
молодѐжная
«Гагаринские чтения», МАТИ, Москва, 2011.
научная
конференция
научная
конференция
 ICIAM2011, Vancouver, Canada, 2011
 XXXVIII
Международная
молодѐжная
«Гагаринские чтения», МАТИ, Москва, 2012.
 VII International Aerospace Congress IAC’12. Abstracts. Moscow, Russia,
2012.
 XXXIX
Международная
молодѐжная
«Гагаринские чтения», МАТИ, Москва, 2013.
научная
конференция
В основу диссертационной работы положены результаты, полученные автором
в ходе исследований, проводимых в рамках научно-исследовательской работы
по проектам Российского Фонда Фундаментальных Исследований (РФФИ):
 №10-01-00668
 №10-01-00845
 №13-01-00827
Личный вклад автора. Автор принимал участие во всех этапах работы:
в разработке математических моделей с использованием демпферов разных
типов, в разработке вычислительных методов для приближѐнного решения
задачи и разработке комплекса алгоритмов и программ.
Публикация основных результатов.
По теме диссертации
опубликовано 21 работа [1-21], из них две работы в изданиях, входящих в
перечень ведущих журналов и изданий, рекомендованных ВАК для публикации
основных результатов диссертации на соискание учѐной степени доктора и
кандидата наук [1-2].
7
Структура и объѐм диссертации. Представленная работа состоит из
введения, трѐх глав, заключения, четырѐх приложений и списка литературы.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Разработка математических моделей демпфирующих устройств для
гашения колебаний прямоугольной мембраны, балки и прямоугольной
пластины. В качестве демпферов рассматриваются точечный
стационарный и точечный движущийся демпфер, а также небольшой
демпфер конечного размера.
2. Численные методы и алгоритмы для получения решения задачи гашения
с заданной точностью. Аппроксимация уравнений математических
моделей использования демпферов конечно-разностными схемами.
Определение условий устойчивости по Нейману для конечно-разностных
схем. Использование градиентного и координатного спусков для
определения оптимального вида управляющей функции (демпфера)
путѐм минимизации интегралов энергии соответствующего объекта
гашения.
3. Комплекса программ на языке C/C++ с использованием библиотеки
параллельного программирования Open MP.
4. Исследование существования решения задачи гашения прямоугольной
мембраны, пластин и балки на основе работ Лагнесса Ж.Е. и Беллмана Р.
Содержание работы.
Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы,
сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований,
показана практическая значимость полученных результатов, представлены
выносимые на защиту научные положения.
В первой главе рассматривается задача гашения колебаний
прямоугольной мембраны.
В §1 предлагается математическая модель демпфера для гашения
колебаний прямоугольной мембраны и ставится задача гашения колебаний.
Основная идея состоит в использовании небольшого демпфера конечного
размера для гашения колебаний, с центром в точке x 0 , y 0  на прямоугольной
мембране, а именно:
1, x, y   
,
g t , x, y   wt 
0, x, y   
(14)
wt   L2 0, T  - управляющая функция, размещѐнная в области
  x, y  : x  x 0   1 , x 0   1 , y   y 0   2 , y 0   2 ,  1 ,  2  const с центром в точке
где
x 0 , y 0  на мембране.
В §2 приведено аналитическое обоснование существования решения
задачи гашения колебаний прямоугольной мембраны для произвольно заданной
управляющей функции g t , x, y  из L2 0  t  T ,0  x  l1 ,0  y  l 2  . В начале
параграфа выписано аналитического решения уравнения колебаний с помощью
8
метода разделения переменных Фурье. Затем, подставляя данное аналитическое
решение в условия гашения Бутковского А.Г., получаем проблему моментов
для прямоугольной мембраны


T
 g n , m   cos a  n ,m  d  a  n, m Bn, m
0
,
T
 g   sin a   d  a  A
n,m
n,m n,m
 n , m
0

(15)

где коэффициенты Фурье задаются следующим образом
An,m
Bn , m 
4

l1l 2
4
a n,m l1l 2
g n,m t  
  h x, y sin
l1 l2
0
0 0
l1 l2
  h x, y sin 
1
 

(16)
 

(17)
 n x sin  m y dxdy ,
 n x sin  m y dxdy ,
0 0
4
l1l 2
  g t, x, y sin 
 
l1 l 2

 n x sin  m y dx
(18)
0 0
А собственные функции и собственные числа равняются, соответственно,
(19)
 n,m x, y   sin(  n x) sin(  m y) , n  1,2,..., m  1,2,...
2
2
 n   m 
(20)
n,m   m  n , или  n,m      
 l1   l 2 
Согласно работе Лагнесса Ж.Е. функция g n, m t  существует, если сходится
ряд
   a

n , m 1
 n,m Bn,m
  a
2

2
 n , m An , m    ,

(21)
что выполняется в силу оценки коэффициентов Фурье
  a

n , m 1
 a

n , m 1
 n , m Bn , m
n,m An,m

2

2

16
 
2 2
n , m 1  n m l1 l 2
2
 l1 l2

 h1x, y xy cos  n x cos  m y dxdy  ,
 

0 0


 

2

a 2 16n,m  l1 l2 VI
  3 3 2 2    h0 x, y xxxyyy cos  n x cos  m y dxdy  ,


n , m 1  n m l1 l 2  0 0



 

(22)
(23)
из которых вытекает сходимость ряда (21) и, следовательно, существование
функции g n, m t  .
В §3 предлагается численный метод решения задачи гашения колебаний
прямоугольной мембраны. Сначала аппроксимируется уравнение колебаний
конечно-разностной схемой со вторым порядком аппроксимации. Для этого
задаются натуральные числа N X , N y , N T и разбивается рассматриваемая
область 0  t  T ,0  x  l1 ,0  x  l 2  на прямоугольные ячейки параллельными
прямыми x i  i  h x , i  0,..., N X  1 , y j  j  h y , j  0,..., N y  1 и t n  n  h , n  0,..., N T  1 ,
где hx 
l
l
T
, hy 
и ht 
. Конечно-разностная схема на этой сетке будет
Ny
NT
NX
иметь следующий вид
9
uin, j 1  2uin, j  uin, j 1
ht2
 uin1, j  2uin, j  uin1, j uin, j 1  2uin, j  uin, j 1 
  g nht , ihx , jhy 
 a2 

2
2


h
h
x
y


(24)
Начальные и граничные условия примут вид
n
n
n
(25)
ui0, j  H 0 ihx , jhy  , u0n, j  uNX
1, j  ui , 0  ui , NY 1  0 .
Для того чтобы получить значение функции на слое n  1, можно
воспользоваться
вторым
начальным
условием,
тогда
получится
u
1
i, j
a 2 ht2

2
 u i01, j  2u i0, j  u i01, j u i0, j 1  2u i0, j  u i0, j 1 
ht2
0



 u  ht H 1 ihx , jh y  
g 0, ihx , jh y 

 i, j
2
hx2
h y2


В результате конечно-разностная задача и начальные условия имеют второй
порядок аппроксимации.
Схема (24) условно устойчива. Что можно проверить, воспользовавшись
методом Неймана, подставив umn ,k ~ u0n ei mpkq в однородный вариант уравнения
(24). В результате получится условие устойчивости
ht 
hx h y
a
(26)
hx2  hy2
Для того чтобы найти управляющую функцию wt  аппроксимируем еѐ
кусочно-постоянной функцией: t  ti , ti 1  положим wt   wi , где wi - const,
i  0, N T 1 . Тогда интеграл энергии прямоугольной мембраны будет являться
функцией переменных w0 , w1 ... wN
E T   Lw0 , w1 ,..., wN 
(27)
Оптимальные значения w0 , w1... wN , минимизирующие интеграл энергии
E T  с заданной точностью  и являющиеся искомым решением задачи, будем
искать методом градиентного спуска. Для численного расчѐта интеграла
энергии прямоугольной мембраны воспользуемся следующей аппроксимацией
T
T
T
NT 1
NT  2

1 NY  2  NX  2  u i , j  u i , j
E t     
2 j 1  i 1 


2

2

 h x h y  a


2


  u NT 1  u NT 1  2 
a
i , j 1
  i, j
 h y h x






2 i 1  j 1 
hy







j 1 

1
1 2

 u iNT

 u iNT
,j
1, j


hx h y 



hx

i 1 


NY 1 NX 1
(28)
2 NX 1 NY 1
Пример №1. Рассматривается задача гашения колебаний прямоугольной
мембраны с начальными условиями в виде H 0 x, y   sin 2 * x / l1  sin y / l 2  ,
H 1 x, y   0 . Входные параметры задавались как hx  0.05 , hy  0.05 , ht  0.0353 ,
a  1 , l1  1 , l 2  1 . На рис. 1 видно как прямоугольная мембрана совершает
бесконечные свободные колебания. График значений функции ut , x, y  строился
в сечении y  0.5 .
10
1
0,5
U
0
-0,5
-1
0
0,14 0,28 0,42 0,57 0,71 0,85 0,99 1,13 1,27 1,41 1,56
1,7
0,90
0,75
0,60
0,45
0,30
0,15
0,00
x
t
Рис. 1. Процесс колебания в сечении y0=0.5
Условием полного гашения колебаний положим выполнение неравенства
E T    , где   0.001 . Задача гашения решается за время T  3.5355 . При этом
демпфер располагается в точке x0 ; y0   0.65;0.5 . На рис. 2 и рис. 3 изображено
гашение колебаний прямоугольной мембраны в разных проекциях. На этих
рисунках видно как колебания под воздействием демпфера постепенно
убывают.
1,5
1
0,5
U
0
-0,5
-1
0,90
0,75
0,60
0,45
0,30
0,15
0,00
-1,5
0
0,25 0,49 0,74 0,99 1,24 1,48 1,73 1,98 2,23 2,47 2,72 2,97 3,22 3,46
t
Рис. 2. Процесс гашения колебаний в сечении y0=0.5
11
x
0
U
-1
3,39
0,00
0,15
0,30
0,45
0,60
0,75
0,90
2,97
2,55
-0,5
2,12
1,70
1,27
0,5
0,85
t
1
0,42
0,00
1,5
-1,5
x
Рис. 3. Процесс гашения колебаний в сечении y0=0.5
Управляющая функция wt  , с помощью которой удалось погасить
колебания, будет иметь следующий вид (рис. 4)
30,00
20,00
w(t)
10,00
0,00
0,00
-10,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
-20,00
-30,00
t
Рис. 4. Управляющая функция w(t)
Во второй главе рассматривается задача гашения колебании балки.
В §1 предлагается математическая модель демпфера для гашения
колебаний балки и ставится задача гашения колебаний. Основная идея модели
состоит в использовании демпферов двух видов: точечный стационарный и
точечный движущийся
g t , x   wt  x  x0  st  ,
(29)
где x 0 - точка расположения демпфера на балке, wt  и s t  - две искомые
управляющие функции,  - дельта-функция Дирака. Мы будем предполагать,
что wt   L2 0, T  , а st   VT функция с ограниченной вариацией, или, другими
словами, для любого конечного разбиения t 0  t1  ...  t p  T отрезка 0, T 
удовлетворяет неравенству
 st   st   M
p
j 1
j
j 1
(29) является стационарным.
12
T
. В случае если st   0 , демпфер
В §2 приведено аналитическое обоснование существования решения
задачи гашения колебаний балки для произвольно заданной управляющей
функции g t , x  из L2 0  t  T ,0  x  l  . В начале параграфа выписано
аналитического решения уравнения колебаний с помощью метода разделения
переменных Фурье. Затем, подставляя данное аналитическое решение в условия
гашения согласно работе Бутковского А.Г., получаем проблему моментов для
балки
T
 g n  
0
T
 g  
 n
0
  d  a iA  B 
expia  
expia  
,
exp ia  
a iA  B 
d  
exp ia  
exp ia  
exp ia n2
2
n
n
2
n
n
2
n
2
n
2
n
n
2
n
(30)
n
2
n
где коэффициенты Фурье задаются следующим образом
2
2
2
An   h0 x sin  n x dx , Bn 
h x sin  n x dx , g n t    g t , x sin  n x dx
2  1
l 0
l 0
a n l 0
l
l
l
(31)
А собственные функции и значения равняются, соответственно,


 n x  sin 4 n x  sin n x ,  n   n4 ,  n 
n
(32)
, n  1,2,...,
l
Согласно работе Беллмана Р. функция g n t  существует, если система
функций
 exp(ia 2 )
n
 n   
2

 exp(ia n  )
,
exp(ia n2 ) 

,
2
exp(ia n  ) 

(33)
является почти ортогональной, а ряд
 a iA

2
n
n
 

 Bn   a n2 iAn  Bn   
2
2
(34)
1
сходится.
Можно показать, что система функций (33) является почти
ортогональной, поскольку выполняются все свойства почти ортогональных
функций
(Беллман
Р.).
Она
является
нормированной
T

exp(ia  )
T
2
m
d  
0
a mn
2
n
2
n
exp(ia  )
0
2
cos2 (a n2 )  sin 2 (a n2 )
d  
d  1 ,
T
0
T
T
   d , m  n
  0 m n
, то ряд
0, m  n


a
2
mn
и
если
ввести
  будет сходиться, поскольку имеет место
m ,n
следующее неравенство
T
a mn 

0
exp(ia m2  ) exp(ia n2 )
exp(ia m2  ) exp(ia n2 )
d 
2l 2
Ta 2 (m 2  n 2 )
А так как справедлива следующая оценка
 (m
n m
2
1
1
1
 2 2
 2

2 2
2 2
2
2 2
n )
m 1 n  m ( n  m )
m 1 p 1 (( m  p )  m )
13
.
(35)
 2
m 1 p 1
1
2
p p
( m (1  2  2 )  m 2 ) 2
m m
2
1
1
 2 2 2
p
m 1 p 1
m 1 p 1 4m p
( m 2 (1  2 )  m 2 ) 2
m
 2
,
то условие выполняется.
Ряд (34) является сходящимся в силу оценки коэффициентов Фурье
2
l

4a 2 

a

A

1
1 l 2  2   h0x cos n x dx    ,
n 0



2
4
n
2
n
2
l

2 
1 a  B  1 l 2  2   h1 cos n x dx    ,
n 0

и, следовательно, функция g n t  существует.


2
4
n
(36)
2
n
(37)
В §3 выводится численный метод решения задачи гашения колебаний
балки с использованием точечного демпфера (29). Уравнение колебаний балки
можно свести к системе двух уравнений второго порядка
u t  av xx ,
(38)
vt  au xx  f t , x  .
(39)
Функция f t, x  преобразуется к следующему виду
x 
l 


1 
x 
f t , x      g t , d  d     g t , d  d
a 0  0
al 0  0


(40)
В случае точечного демпфера функция (40) преобразуется в
 x
 al wt l  x0  st , x  x0  s t 
f t , x   
 1  x  x  s t wt   x l  x  s t wt , x  x  s t 
0
0
0
 a
al
(41)
В связи с переходом к системе уравнений (38), (39) начальные и
граничные условия преобразуются следующим образом
x 
l 


1 
x 


h

d

d


 1

  h1  d  d


a 0  0
al 0  0


u t ,0  0 ,
u t , l   0
u 0, x   h0 x  , v0, x  
(42)
(43)
Система (38) – (39) аппроксимируется конечно-разностной схемой со
вторым порядком аппроксимации. Для этого задаются натуральные числа N X и
N T , и разбивается рассматриваемая область 0  t  T ,0  x  l на прямоугольные
ячейки параллельными прямыми x m  m  hx , m  0,..., N X , t n  n  h , n  0,..., N T , где
hx 
l
T
и ht 
. Конечно-разностная схема на этой сетке будет иметь вид
NX
NT
 u mn 1  u mn a  v mn 1  2v mn  v mn 1 v mn 11  2v mn 1  v mn 11 
 



2
2
2 
hx
hx
 h

 n 1
n
a  u mn 1  2u mn  u mn 1 u mn 11  2u mn 1  u mn 11  f mn  f mn 1
 vm  vm





 h
2
2
2
2
h
h


x
x



14
(44)
Вводя следующие обозначения
u n 
y mn   mn  ,
 vm 

2
2h x
,
a  h
2

hx
,
a
 0  1
 ,
B  
1 0 
  f mn  f mn 1 
 и единичную матрицу E , конечно-разностную схему (44)
V  

0


можно привести к виду


y mn 11  2 E  B y mn 1  y mn 11   y mn 1  2 E  B y mn  y mn 1  V ,
(45)
которая решается методом редукции.
Схема (45) безусловно
устойчива.
Это
можно проверить,
n
n ipm
воспользовавшись методом Неймана, подставив y m   e y 0 в однородный
u 
вариант уравнения (45), где p - параметр, а y0   0   0 .. В результате
 v0 
получится условие устойчивости
 p
 p
 p
 16 sin 4     2  16 sin 4     2  16 sin 4     2 ,
(46)
2
2
2
которое выполняется для любых  , т.е. для любых h и h x . Следовательно,
схема (46) является безусловно устойчивой.
Для того чтобы найти управляющие функции wt  , s t  , аппроксимируем
их кусочно-постоянными функциями: t  ti , ti 1  положим wt   wi , st   si , где
wi , si - const, i  0, N T 1 . Тогда интеграл энергии балки будет являться функцией
переменных w0 , w1... wN , s0 , s1 ... s N
E T   Lw0 , w1 ,..., wN , s0 , s1 ,..., s N 
(47)
Оптимальные значения w0 , w1... wN , s0 , s1 ... s N , минимизирующие E T  с заданной
точностью  и являющиеся искомым решением, будем искать с помощью
метода градиентного спуска. Для численного расчѐта интеграла энергии
воспользуемся следующей аппроксимацией
T
T
T
T
2
T
T
NX  2
1
1
 uiNT

 2uiNT 1  uiNT
a2
1
 1

 hx  2
hx2


2
1
1
 viNT

 2viNT 1  viNT
1
1

 hx
(48)


2

hx
i2
i2 

Пример №2. Рассмотрим начальные условия h0 x   0.25 * sin x  , h1 x   0 ,
a2


Et 
2
NX  2
демпфер располагается в точке x0  0.5 . При численном решении будут заданы
следующие входные параметры l  1 , a  1 , h 
hx
, в методе редукции зададим
2
число M  5 , тогда hx  0.03125 , ht  0.015625 . На рис. 5 видно как балка
совершает бесконечные свободные колебания.
15
0,3
0,2
0,1
U
0
-0,1
0,94
0,84
0,75
0,66
0,56
0,47
0,38
0,28
0,19
0,09
0,00
-0,2
-0,3
0
x
0,16 0,31 0,47 0,63 0,78 0,94 1,09 1,25 1,41 1,56 1,72 1,88 2,03 2,19 2,34
t
Рис. 5. Процесс свободных колебаний балки
Условием гашения будем полагать выполнение неравенства E T    , где
  0.001 . Задача гашения решается за время T  0.1406 . На рис. 6 изображено
гашение колебаний балки, которые под воздействием демпфера постепенно
убывают.
0,25
0,2
0,94
0,84
0,75
0,66
0,56
0,47
0,38
0,28
x
0,19
0,09
0,00
0,15
U
0,1
0,05
0
-0,05
0
0,05
0,09
0,14
t
Рис. 6. Процесс гашения колебаний балки
Управляющая функция wt  , с помощью которой удалось погасить
колебания, будет иметь следующий вид (рис. 7).
60
w(t)
40
20
0
-20
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
-40
t
Рис. 7. Управляющая функция w(t)
16
0,12
0,14
0,16
При этом функция st   0 . Таким образом демпфер не двигался, был
стационарным.
В работе Бутковского А.Г. рассматривался точечный стационарный
демпфер, помещенный в точку x0 на струне, но в дальнейшем было показано,
что если эта точка является узлом стоячих волн решений однородного
уравнения колебаний струны, то задача либо неразрешима, либо неустойчива.
Этот факт также касается и балки, что можно показать на следующем примере.
Пример №3. Пусть h0 x   0.1 * sin 2x  , h1 x   0 , демпфер располагается в
точке x0  0.5 . Также будем считать, что он стационарный, то есть st   0 .
Задача не имеет решения, колебания будут продолжаться бесконечно долго (
рис. 8, T  3.125).
0,1
0,05
U
0
0,94
0,84
0,75
0,66
0,56
0,47
0,38
0,28
0,19
x
0,09
0,00
-0,05
-0,1
0
0,06 0,13 0,19 0,25 0,31 0,38 0,44
0,5 0,56 0,63 0,69 0,75
t
Рис. 8. Процесс гашения колебаний – колебания не уменьшаются
Использование же движущегося точечного демпфера позволяет решить
задачу. Функция s t  задавалась по закону, изображѐнному на рис. 9. Условием
гашения полагалось выполнение неравенства E T    , где   0.001 . Задача
гашения решается за время T  0.781. Управляющая функция wt  , с помощью
которой удалось погасить колебания, представлена на рис. 10, а процесс
гашения - на рис. 11.
0,04
0,03
0,02
s(t)
0,01
0,00
-0,01 0
0,2
0,4
0,6
0,8
-0,02
-0,03
-0,04
t
Рис. 9. Функция расположения точечного демпфера s(t)
17
1
60,00
40,00
w(t)
20,00
0,00
-20,00 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-40,00
-60,00
-80,00
t
Рис. 10. Управляющая функция w(t)
0,1
0,05
0
U
-0,05
0,94
0,84
0,75
0,66
0,56
0,47
0,38
0,28
0,19
x
0,09
0,00
-0,1
-0,15
0
0,06 0,13 0,19 0,25 0,31 0,38 0,44 0,5 0,56 0,63 0,69 0,75
t
Рис. 11. Процесс гашения колебаний балки движущимся демпфером
В третьей главе рассматривается задача гашения колебании
прямоугольной пластины.
В §1 предлагается математическая модель использования демпфера для
гашения колебаний прямоугольной пластины и ставится задача гашения
колебаний. Основная идея состоит в использовании небольшого демпфера
конечного размера для гашения колебаний
1, x  x0   , x0    & y   y0   , y0   
g t , x, y   wt 
,
(49)
0, x  x0   , x0    & y   y0   , y0   
где wt   L2 0, T  ,  x0 , y0  - центр расположения широкого демпфера на пластине.
В §2 приведено аналитическое обоснование существования решения
задачи гашения колебаний прямоугольной пластины для произвольно заданной
управляющей функции g t , x, y  из L2 0  t  T ,0  x  l1 ,0  y  l 2  . В начале
параграфа выписано аналитического решения уравнения колебаний с помощью
метода разделения переменных Фурье. Затем, подставляя данное аналитическое
решение в условия гашения Бутковского А.Г., получаем проблему моментов
для прямоугольной пластины
18
T
 g n ,m  
0
T

 g n ,m  
0

 d  a iA  B 
expia  
expia  
,
exp ia  
a iA  B 
d  
exp ia  
exp ia  
exp ia2n ,m
2
n ,m
n ,m
2
n,m
n,m
2
n ,m
2
n,m
2
n,m
n,m
2
n,m
(50)
n ,m
2
n,m
где коэффициенты Фурье задаются следующим образом
An,m
4

l1l2
Bn ,m 
l1 l2
  h x, y sin x sin y dxdy ,
0
n
(51)
m
0 0
l1 l2
  h x, y sin x sin y dxdy ,
4
a2n ,m l1l2
4
g n ,m t  
l1l2
1
n
(52)
m
0 0
l1 l2
  g t, x, y sin x sin y 
n
(53)
m
0 0
А собственные функции и значения равняются, соответственно,
 n ,m  x, y   sin  n x  sin  m y 
, n  1,2,..., m  1,2,...
4
(54)
4
 n   m 
(55)
n,m  4     4      , n  1,2,..., m  1,2,...
l
l
 1   2 
Для удобства перенумеруем индексы (n, m) через индекс k таким образом,
4
m
4
n
чтобы
k  n,m : 1  1,1 , 2  1,2 , 3  2,1 , 4  2,2 ,...
(56)
В этом случае согласно работе Беллмана Р. функция g n, m t  существует
поскольку система функций
2
2

 exp(iak ) exp(iak )
,

2
exp(
ia


)
exp(ia2k )

k



,


(57)
является почти ортогональной, а ряд
 a iA

2
n,m
 

 Bn ,m   a2n ,m iAn ,m  Bn ,m   
2
n,m
2
(58)
1
сходится поскольку имеет место следующие оценки
2
4n,m An2,m
 4
1
  a 2 4n,m 
3
l l   3
1
 12 n m
2

 4
1
 a 
2 2

1
 al1l 2  n m

a
1

a
1

4
n,m
2
n,m
B
2
2

VI
 






h
x
,
y
cos

x
cos

y
dx
dy
n
m
xxxyyy
0 0 0


l1 l 2

(59)
2

 






h
x
,
y
sin

x
sin

y
dx
dy
n
m
xxyy
0 0


l1 l2
IV
1
(60)
В §3 предлагается численное решение задачи гашения колебаний
прямоугольной пластины с использованием демпфера (49). Уравнение
колебаний прямоугольной пластины можно свести к системе двух уравнений
второго порядка
utt  av  g~t , x, y 
,

v  au
(61)
Тогда начальные и граничные условия для системы (61) будут иметь вид
u 0, x, y   h0  x, y  , v(0, x, y )  a (( h0 ) xx  (h0 ) yy ) , u Г  0 , v Г  0
(62)
19
Система (61) аппроксимируется конечно-разностной схемой со вторым
порядком аппроксимации. Для этого задаются натуральные числа N X , N y , N T и
0  t  T ,0  x  l1 ,0  x  l 2 
разбивается
рассматриваемая
область
на
прямоугольные ячейки параллельными прямыми x i  i  h x , i  0,..., N X  1 ,
y j  j  h y , j  0,..., N y  1 и t n  n  h , n  0,..., N T  1 , где h x 
l
l
T
, hy 
и ht 
.
Ny
NT
NX
Конечно-разностная схема на этой сетке будет иметь следующий вид
 u mn ,k1  2u mn , k  u mn ,k1
 v mn 1, k  2v mn ,k  v mn 1, k v mn ,k 1  2v mn , k  v mn ,m 1  ~ n
  g k ,m
 a


2
2
2


h
h
h

t
x
y



n
n
n
n
n
n
 u m  k , j  2u m, k  u m 1, k u m, k 1  2u m ,k  u m ,k 1 
 n


v


a

m
,
k

2
2


h
h
x
y



Начальные условия для конечно-разностной схемы (63)
следующим образом для функции u mn ,k и v mn ,k , соответственно
um0 ,k  h0 m,k
(63)
перепишутся
(64)
 (h )
 2(h0 ) m,k  ( h0 ) m1,k ( h0 ) m,k 1  2( h0 ) m,k  (h0 ) m,k 1 

vm0 ,k  a  0 m1,k

2
2


h
h
x
y


(65)
Граничные условия будут иметь вид
(66)
u0n,k  uNn 1,k  umn ,0  umn ,N 1  0 ,
v0n,k  vNn 1,k  vmn ,0  vmn ,N 1  0
Для того чтобы получить значение функции на слое n  1, можно
воспользоваться вторым начальным условием, тогда получится
x
u
1
m, k
y
x
y
0
0
0
0
0
0

1  2  v m1,k  2v m,k  v m1,k v m,k 1  2v m,k  v m,m1 
2 ~0 
 ah


h
g
 h h   u m0 ,k (67)
2
2

 t m, k   1 m, k
2 
h
h
x
y



В результате конечно-разностная задача и начальные условия имеют второй
порядок аппроксимации.
Схема (63) условно устойчива. Что можно проверить, воспользовавшись
методом Неймана, подставив umn ,k ~ u0n ei mpkq в однородный вариант уравнения
(63). В результате получится условие устойчивости
ht 
h x2 h y2

2a h x2  h y2
(68)

Для того чтобы найти управляющую функцию wt  , аппроксимируем еѐ
кусочно-постоянной функцией: t  ti , ti 1  положим wt   wi , где wi - const,
i  0, N T 1 . Тогда интеграл энергии прямоугольной пластины будет являться
функцией переменных w0 , w1 ... wN
E T   Lw0 , w1 ,..., wN 
(69)
Оптимальные значения w0 , w1... wN , минимизирующие интеграл энергии
E T  с заданной точностью  и являющиеся искомым решением задачи, будем
искать методом градиентного спуска. Для численного расчѐта интеграла
энергии воспользуемся следующей аппроксимацией
T
T
T
20
NT 1
NT  2

1 NY  2  NX  2  u i , j  u i , j
E t     
2 j 1  i 1 


a2

2




i 1 

NX 1 NY  2

j 2
2

2

 h x h y  a


2






j 1 

NY 1 NX  2

i 2
1
NT 1
1 2

 u iNT

 u iNT
1, j  2u i , j
1, j

 h x h y 



hx2



1
NT 1
1 2

 u iNT

 u iNT
, j 1  2u i , j
, j 1

 h y h x



h y2



Пример №4. Рассматривается задача о гашении колебании
прямоугольной
пластины
с
начальными
условиями
H 0 x, y   0.01 * sin x / l1 sin y / l 2 , H 1 x, y   0 . Параметры задавались следующими
hx  0.1 , hy  0.1 , ht  3.5355 *10 7 , a  1 , l1  1 , l 2  1 , демпфер располагается в
точке x0 ; y0   0.5;0.5 . Графики значений функции ut , x, y  строились в сечении
y  0.5 . На рис. 12 изображено поведение свободных колебаний прямоугольной
пластины
0,01
0,005
U
0
-0,005
0,90
0,60
0,30
0,00
-0,01
0
x
0,11 0,21 0,32 0,42 0,53 0,64 0,74 0,85 0,95 1,06 1,17 1,27 1,38
t
Рис. 12. Свободные колебания прямоугольной пластины
Условием гашения будем полагать выполнение неравенства E T    , где
  0.001 . Задача гашения решается за время T  1.1767 . На рис. 13 изображено
гашение колебаний прямоугольной пластины, которые под воздействием
демпфера постепенно убывают.
0,01
0,008
0,006
U
0,004
0,90
0,002
0,60
0
0,30
-0,002
0,00
0
0,02 0,04 0,05 0,07 0,08 0,11 0,12 0,14 0,15 0,18
t
Рис. 13. Процесс гашения колебаний в сечении y0=0.5
21
x
Управляющая функция wt  , с помощью которой удалось погасить
колебания, будет иметь следующий вид (рис. 14)
6,00
5,00
4,00
w(t)
3,00
2,00
1,00
0,00
-1,000,00
0,05
0,10
0,15
0,20
-2,00
t
Рис. 14. Управляющая функция w(t)
Основные результаты работы.
В диссертационной работе были рассмотрены три задачи:
- задача гашения колебаний прямоугольной мембраны с помощью
моделирования воздействия на колебания объекта небольшим демпфером
конечного размера,
- задача гашения колебаний балки с помощью моделирования
воздействия на колебания объекта точечным стационарным демпфером,
точечным движущимся демпфером,
- задача гашения колебаний прямоугольной пластины с помощью
моделирования воздействия на колебания объекта небольшим демпфером
конечного размера.
Основные результаты работы следующие:
1. Для задачи гашения колебаний прямоугольной мембраны была
предложена математическая модель небольшого демпфера конечного размера
для гашения колебаний. Получено аналитическое решение уравнения, выведена
проблема моментов и проведено доказательство существования решения этой
задачи. Для получения решения задачи гашения демпфером был разработан
численный метод на основе аппроксимации уравнения конечно-разностной
схемой, условно устойчивой, и минимизации интеграла энергии прямоугольной
мембраны.
2. Для задачи гашения колебаний балки была предложена математическая
модель демпфера точечного стационарного и точечного движущегося для
гашения колебаний. Получено аналитическое решение уравнения, выведена
проблема моментов и доказано существование решения это задачи. Для
получения решения задачи гашения демпфером был разработан численный
метод на основе аппроксимации уравнения конечно-разностной схемой,
безусловно устойчивый, и минимизации интеграла энергии балки.
22
3. Для задачи гашения колебаний прямоугольной пластины была
предложена математическая модель небольшого демпфера конечного размера.
Получено аналитическое решение уравнения, выведена проблема моментов и
доказано существование решения этой задачи. Для получения решения задачи
гашения демпфером был разработан численный метод на основе
аппроксимации уравнения конечно-разностной схемой, условно устойчивой, и
минимизации интеграла энергии прямоугольной пластины.
Предложенные численные методы и алгоритмы легли в основу комплекса
программ с применением библиотеки параллельного программирования
реализующего численный расчѐт и позволяющий проводить дальнейший
анализ полученных решений.
Список публикаций.
1. Атамуратов А.Ж., Михайлов И.Е., Муравей Л.А.. О гашении колебаний
балки. // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Том 50(1). –
М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. – С. 53-58. (№1953 в перечне
российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть
опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание
ученых степеней доктора и кандидата наук)
2. Атамуратов А.Ж. О гашении колебаний прямоугольной мембраны //
Вестник Тверского государственного университета. Серия Прикладная
математика. - 2013. - № 2. - С. 49-59. (№501 в перечне российских
рецензируемых научных журналов, в которых должны быть
опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание
ученых степеней доктора и кандидата наук)
3. Атамуратов А.Ж., Михайлов И.Е., Муравей Л.А. О гашении колебаний
сложных механических структур // Авиакосмическая техника и технология,
2012, № 4. С. 54-59.
4. Atamuratov A., Mikhailov I., Muravey L. On the numerical damping of beam's
vibrations. VII International Aerospace Congress IAC’12, August 25-31, 2012,
Moscow, Russia, Proceedings. Электронный вид. Зарегистрировано в ВГУП НГЦ
в ИНФОРМ-РЕГИСТР. Гос. рег. № 0321303652. 2013. C. 103-106.
5. Атамуратов А.Ж. Исследование подходов к решению задач математической
физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны // Молодой
ученый. №10. 2013. С. 1-5. http://www.moluch.ru/archive/57/6198/
6. Атамуратов А.Ж. Приведение к тригонометрической проблеме моментов на
примере задачи гашения колебаний прямоугольной мембраны, балки и
прямоугольной пластины. // Молодой ученый.
№11. 2013.
С. 6-10.
http://www.moluch.ru/archive/58/8092/
7. Атамуратов А.Ж. Получение интегралов энергии для прямоугольной
мембраны, балки и прямоугольной пластины. // Молодой ученый. №11. 2013.
С. 10-15. http://www.moluch.ru/archive/58/8112/
23
8. Атамуратов А.Ж. Исследование устойчивости двух конечно разностных схем
для численного решения уравнения колебаний балки. // Молодой ученый. №1.
2014. С. 1-7. http://www.moluch.ru/archive/60/8637/
9. Атамуратов А.Ж. Исследование устойчивости конечно разностных схем для
численного решения уравнений колебаний прямоугольной мембраны и
прямоугольной пластины. // Молодой ученый. №1. 2014. С. 7-13.
http://www.moluch.ru/archive/60/8638/
10. Атамуратов А.Ж. Использование методик параллельного программирования
при численном решении задач оптимизации методами координатного и
градиентного спусков на примере задач гашения колебаний. // Молодой
ученый. 2014. №1. С. 13-18. http://www.moluch.ru/archive/60/8692/
11. Атамуратов А. Ж. Решение уравнения колебаний балки при шарнирном
закреплении на границах. // Молодой ученый. 2014. №2. С. 1-7.
http://www.moluch.ru/archive/61/8996/
12. Атамуратов А. Ж. Численный метод решения уравнения колебаний балки
при разных типах граничных условий. // Молодой ученый. 2014. №2. С. 7-12.
http://www.moluch.ru/archive/61/9146/
13. Атамуратов А.Ж. Использование методик параллельного программирования
при численном решении задач оптимизации методами координатного и
градиентного спусков на примере задач гашения колебаний. // Молодой
ученый. №1. 2014. С. 13-18. http://www.moluch.ru/archive/60/8692/
14. Атамуратов А.Ж., Михайлов И.Е. Численное решение задачи о гашении
колебаний балки. Тезисы докладов Международной конференции по
прикладной математике и информатике, посвященной 100-летию со дня
рождения академика А.А.Дородницына. ВЦ РАН, Москва, 7-11 декабря 2010 г.
С. 83-84.
15. Muravey L., Mikhailov I., Atamuratov A., The damping problem of vibrations for
large mechanical systems // ICIAM2011, Abstracts, Vancouver, Canada, July 18-22,
2011. P. 87.
16. Atamuratov A., Mikhailov I., Muravey L. On the numerical damping of beam’s
vibrations // VII International Aerospace Congress IAC’12. Abstracts. Moscow,
Russia. 26-31 August, 2012. P. 31-32.
17. Атамуратов А.Ж. Решение уравнения колебаний балки. // XXXV
ГАГАРИНСКИЕ ЧТЕНИЯ. Научные труды Международной молодѐжной
научной конференции. Москва, апрель 2008 г. Москва: МАТИ, 2008. Т.5.
18. Атамуратов А.Ж. О гашении колебаний балки. // XXXVI ГАГАРИНСКИЕ
ЧТЕНИЯ. Научные труды Международной молодѐжной научной конференции.
Москва, апрель 2010 г. Москва: МАТИ, 2010. Т.5, С. 56-57
19. Атамуратов А.Ж. О гашении колебаний прямоугольной мембраны. //
XXXVII ГАГАРИНСКИЕ ЧТЕНИЯ. Научные труды Международной
молодѐжной научной конференции в 8 томах. Москва, 5-8 апреля 2011 г.
Москва: МАТИ, 2011. Т.5, С. 60-61
20. Атамуратов А.Ж. Решение уравнения колебаний круглой пластины. //
XXXVIII ГАГАРИНСКИЕ ЧТЕНИЯ. Научные труды Международной
24
молодѐжной научной конференции в 8 томах. Москва, 10-14 апреля 2012 г.
Москва: МАТИ, 2012. Т.5, С. 38-39
21. Атамуратов А.Ж. Численный метод решения колебаний прямоугольной
пластины. // XXXIX ГАГАРИНСКИЕ ЧТЕНИЯ. Научные труды
Международной молодѐжной научной конференции в 9 томах. Москва, 9-13
апреля 2013 г. Москва: МАТИ, 2013. Т.5, С. 32-33
25
Подписано в печать: 30.10.2014
Тираж: 100 экз. Заказ № 1269
Отпечатано в типографии «Реглет»
г. Москва, Ленинградский проспект д.74
(495)790-47-77 www.reglet.ru
26
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 312 Кб
Теги
структура, гашения, элементов, механической, колебания, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа