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АСИМПТОТИКА ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ И НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧ ОПИСЫВАЮЩИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛА В НЕОДНОРОДНОМ МАТЕРИАЛЕ С ТРЕЩИНОЙ.

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Guo, Erdogan, Hu, Zhou, Ou, Yong ʹ Zhou, V. Birman, J. Sladek, V. Sladek, Ch.
Zhan , P. A. Martin, J. D. Richardson, L. J. Gray, J. Berger, Youn-Sha Chan, L. J.
Gray, T. Kaplan, Glaucio H. Paulino, H. Wang, Q-H. Qin, Y-l.Kang, ͹ͬͻʹͽͬͮ΄ʹ΁
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4
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ͬͽͻʹͼͬ͹;ͺͮ ͽ ͸ͱͲͰͿ͹ͬͼͺͰ͹·͸ Ϳ΃ͬͽ;ʹͱ͸ «͚͍͓͚͎͙͔͌͌͑͜. ͙͖͌͌͟.
͚͔͓͎͚͎͚͛͐͜͝͞. ͎͙͔͛͌͗͑͑͟͜» (24-25 ͹ͺ΋ͭͼ΋ 2010 ͯͺͰͬ, ͝;ͬͼ·͵ ͚ͽͶͺͷ);
͎ͺͼͺ͹ͱͲͽͶͺ͵ ͳʹ͸͹ͱ͵ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͺ͵ ΄Ͷͺͷͱ «͝ͺͮͼͱ͸ͱ͹͹·ͱ ͸ͱ;ͺͰ· ;ͱͺͼʹʹ
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵ ʹ ͽ͸ͱͲ͹·ͱ ͻͼͺͭͷͱ͸·» (25 ΋͹ͮͬͼ΋ – 1 ΀ͱͮͼͬͷ΋ 2011 ͯͺͰͬ, ͎ͺͼͺ͹ͱͲ);
XXV ͎ͺͼͺ͹ͱͲͽͶͺ͵ ͮͱͽͱ͹͹ͱ͵ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͺ͵ ΄Ͷͺͷͱ «͛ͺ͹;ͼ΋ͯʹ͹ͽͶʹͱ ΃;ͱ͹ʹ΋ XXII» «͚͎͙͙͚͑͑ͧ͑͑͐ͧ͘͘͜͝͞ ͚͔͔͑͜͞ ͖͎͌͑ͧ͜͡ ͓͌͐͌ͣ» (3 – 9 ͸ͬ΋
2011 ͯͺͰͬ, ͎ͺͼͺ͹ͱͲ); IV͘ͱͲͰͿ͹ͬͼͺͰ͹ͺ͵ ͹ͬͿ΃͹ͺ͵ Ͷͺ͹΀ͱͼͱ͹΂ʹʹ «͝ͺͮͼͱ͸ͱ͹͹·ͱ
ͻͼͺͭͷͱ͸· ͻͼʹͶͷͬͰ͹ͺ͵ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹͶʹ, ;ͱͺͼʹʹ Ϳͻͼͬͮͷͱ͹ʹ΋ ʹ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͺͯͺ
͸ͺͰͱͷʹͼͺͮͬ͹ʹ΋ (͛͘͘͟͞ - 2011)» (12 – 17 ͽͱ͹;΋ͭͼ΋ 2011 ͯͺͰͬ, ͎ͺͼͺ͹ͱͲ);
͹ͬͿ΃͹·΁ ͽͱ͸ʹ͹ͬͼͬ΁ ͻͺͰ ͼͿͶͺͮͺͰͽ;ͮͺ͸ ͻͼͺ΀. ͌. ͎. ͏ͷͿ΄Ͷͺ (2011 ͯͺͰ, ͎ͺͼͺ͹ͱͲ);
͸ͱͲͰͿ͹ͬͼͺͰ͹ͺ͵ Ͷͺ͹΀ͱͼͱ͹΂ʹʹ «͎ͺͼͺ͹ͱͲͽͶͬ΋ ͳʹ͸͹΋΋ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͬ΋ ΄Ͷͺͷͬ ͝.
͏. ͖ͼͱ͵͹ͬ - 2012» (25 – 30 ΋͹ͮͬͼ΋ 2012 ͯͺͰͬ, ͎ͺͼͺ͹ͱͲ); ͎ͽͱͼͺͽͽʹ͵ͽͶͺ͵ ͹ͬͿ΃͹ͺ͵
Ͷͺ͹΀ͱͼͱ͹΂ʹʹ ͽ ͸ͱͲͰͿ͹ͬͼͺͰ͹·͸ Ϳ΃ͬͽ;ʹͱ͸ «ͬ͘;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͬ΋ ;ͱͺͼʹ΋ Ϳͻͼͬͮͷͱ͹ʹ΋
ʹ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͸ͺͰͱͷʹͼͺͮͬ͹ʹͱ» (14 ͸ͬ΋ – 18 ͸ͬ΋ 2012 ͯͺͰͬ, ͔ͲͱͮͽͶ).
͛ͿͭͷʹͶͬ΂ʹʹ. ͚ͽ͹ͺͮ͹·ͱ ͼͱͳͿͷΈ;ͬ;· Ͱʹͽͽͱͼ;ͬ΂ʹʹ ͺͻͿͭͷʹͶͺͮͬ͹· ͮ ͼͬͭͺ;ͬ΁
[1]-[15]. ͬͭ͜ͺ;· [1], [8], [9] ͺͻͿͭͷʹͶͺͮͬ͹· ͮ ͲͿͼ͹ͬͷͬ΁ ʹͳ ͻͱͼͱ΃͹΋
ͼͱ΂ͱ͹ͳʹͼͿͱ͸·΁ ͹ͬͿ΃͹·΁ ͲͿͼ͹ͬͷͺͮ ʹ ʹͳͰͬ͹ʹ͵, ͼͱͶͺ͸ͱ͹Ͱͺͮͬ͹͹·΁ ͎͖͌ ͜͠. ͔ͳ
ͽͺͮ͸ͱͽ;͹·΁ ͼͬͭͺ; [1], [15] ͮ Ͱʹͽͽͱͼ;ͬ΂ʹΊ ͮͺ΄ͷʹ ;ͺͷΈͶͺ ͼͱͳͿͷΈ;ͬ;·,
ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ʹͱ ͷʹ΃͹ͺ Ͱʹͽͽͱͼ;ͬ͹;Ϳ.
͝;ͼͿͶ;Ϳͼͬ ʹ ͺͭΆ΍͸ Ͱʹͽͽͱͼ;ͬ΂ʹʹ. ͐ʹͽͽͱͼ;ͬ΂ʹ΋ ͽͺͽ;ͺʹ; ʹͳ ͮͮͱͰͱ͹ʹ΋, ;ͼ΍΁
ͯͷͬͮ, ͳͬͶͷΊ΃ͱ͹ʹ΋ ʹ ͽͻʹͽͶͬ ͷʹ;ͱͼͬ;Ϳͼ·. ͚ͭΆ΍͸ Ͱʹͽͽͱͼ;ͬ΂ʹʹ ͽͺͽ;ͬͮͷ΋ͱ; 126
ͽ;ͼͬ͹ʹ΂. ͍ʹͭͷʹͺͯͼͬ΀ʹ΋ ͽͺͰͱͼͲʹ; 51 ͹ͬʹ͸ͱ͹ͺͮͬ͹ʹͱ ͼͬͭͺ; ͼͺͽͽʹ͵ͽͶʹ΁ ʹ
ͳͬͼͿͭͱͲ͹·΁ ͬͮ;ͺͼͺͮ.
5
͖ͼͬ;Ͷͺͱ ͽͺͰͱͼͲͬ͹ʹͱ ͼͬͭͺ;·
͙Ϳ͸ͱͼͬ΂ʹ΋ ͻͼʹͮͺͰʹ͸·΁ ͹ʹͲͱ ;ͱͺͼͱ͸ ͽͺͮͻͬͰͬͱ; ͽ ʹ΁ ͹Ϳ͸ͱͼͬ΂ʹͱ͵ ͮ
Ͱʹͽͽͱͼ;ͬ΂ʹʹ. ͎ͽͱ ͺͽ͹ͺͮ͹·ͱ ͼͱͳͿͷΈ;ͬ;· ͽ΀ͺͼ͸Ϳͷʹͼͺͮͬ͹· ͮͺ ͮͮͱͰͱ͹ʹʹ ʹ ʹ΁
΀ͺͼ͸ͿͷʹͼͺͮͶʹ Ͱͬͷͱͱ ͹ͱ ͻͺͮ;ͺͼ΋Ί;ͽ΋.
͎ ͼͬͭͺ;ͱ ͼͬͽͽ͸ͬ;ͼʹͮͬΊ;ͽ΋ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ͻͺͷ΋ ;ͱ͸ͻͱͼͬ;Ϳͼ· ͽ
ͻͱͼͱ͸ͱ͹͹·͸ ͶͺΉ΀΀ʹ΂ʹͱ͹;ͺ͸ ͮ͹Ϳ;ͼͱ͹͹ͱ͵ ;ͱͻͷͺͻͼͺͮͺͰ͹ͺͽ;ʹ ͮ ͺͭͷͬͽ;ʹ,
ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷ΋Ί΅ͱ͵ ͽͺͭͺ͵ ͻͷͺͽͶͺͽ;Έ ͽ ͼͬͳͼͱͳͺ͸ ͻͺ ͺ;ͼͱͳͶͿ, ͸ͺͰͱͷʹͼͿΊ΅ͿΊ
͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹·͵ ͸ͬ;ͱͼʹͬͷ ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵. ͚ͭͷͬͽ;ΈΊ, ͮ Ͷͺ;ͺͼͺ͵ ͼͬͽͽ͸ͬ;ͼʹͮͬΊ;ͽ΋
ͳͬͰͬ΃ʹ, ΋ͮͷ΋ͱ;ͽ΋ ͻͷͺͽͶͺͽ;Έ Ox1 x2 ͽ ͼͬͳͼͱͳͺ͸ l = { x | x2 = ±0; x1 ∈ [−1; 1]} ,
ͺͻʹͽ·ͮͬΊ΅ʹ͸ ;ͼͱ΅ʹ͹Ϳ ͻͺ ͺ;ͼͱͳͶͿ [−1; 1] ͺͽʹ ͬͭͽ΂ʹͽͽ.
͓ͬ͸ͱ΃ͬ͹ʹͱ 1. ͚ͭͺͳ͹ͬ΃ͱ͹ʹͱ
K 0 ( z ), K1 ( z ), K 2 ( z )
ͺͳ͹ͬ΃ͬͱ;
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ
ͬ͘ͶͰͺ͹ͬͷΈͰͬ ͹Ϳͷͱͮͺͯͺ, ͻͱͼͮͺͯͺ ʹ ͮ;ͺͼͺͯͺ ͻͺͼ΋ͰͶͺͮ ͽͺͺ;ͮͱ;ͽ;ͮͱ͹͹ͺ.
͎ ͻͱͼͮͺ͵ ͯͷͬͮͱ ʹͳͿ΃ͬͱ;ͽ΋ ͽͷͿ΃ͬ͵ ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺͯͺ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹ΋ ;ͱͻͷͬ,
ͱͽͷʹ ͮͱͶ;ͺͼ ͹ͬͻͼͬͮͷͱ͹ʹ΋ ʹͳ͸ͱ͹ͱ͹ʹ΋ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺͽ;ʹ ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͬ ͹ͬͻͼͬͮͷͱ͹ ͻͺͰ
Ϳͯͷͺ͸
π
α ∈ (0; ]
Ͷ ͻͺͷͺͲʹ;ͱͷΈ͹ͺ͵ ͻͺͷͿͺͽʹ ͬͭͽ΂ʹͽͽ. ͬ͜ͽͽ͸ͬ;ͼʹͮͬͱ͸ͺͱ
2
Ϳͼͬͮ͹ͱ͹ʹͱ ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͵ ;ͱͻͷͺͻͼͺͮͺͰ͹ͺͽ;ʹ ͻͼͱͰͽ;ͬͮʹ͸ͺ ͮ ͮʹͰͱ
div( k ( x1 , x2 ) grad u ( x1 , x2 )) = 0 , ͯͰͱ k ( x1 , x2 ) = e kx1 cos α + kx2 sin α ,
k ( x1 , x2 ) - ͶͺΉ΀΀ʹ΂ʹͱ͹; ͮ͹Ϳ;ͼͱ͹͹ͱ͵ ;ͱͻͷͺͻͼͺͮͺͰ͹ͺͽ;ʹ ͮͱ΅ͱͽ;ͮͬ.
͛ͺͽͷͱ ͹ͱͽͷͺͲ͹·΁ ͻͼͱͺͭͼͬͳͺͮͬ͹ʹ͵ ͼͬͽͽ͸ͬ;ͼʹͮͬͱ͸ͺͱ Ϳͼͬͮ͹ͱ͹ʹͱ ͸ͺͲͱ; ͭ·;Έ
ͳͬͻʹͽͬ͹ͺ ͽͷͱͰͿΊ΅ʹ͸ ͺͭͼͬͳͺ͸,
∂ 2u ( x1 , x2 ) ∂ 2 u ( x1 , x2 )
∂u ( x1 , x2 )
∂u ( x1 , x2 )
+
+
k
cos
α
+
k
sin
α
= 0.
∂x12
∂x22
∂x1
∂x2
(0.1)
͔ͽͶͺ͸ͬ΋ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ u ( x1 , x2 ) - ;ͱ͸ͻͱͼͬ;Ϳͼͬ ͮ ;ͺ΃Ͷͱ ( x1 , x2 ) ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͬ. ͏ͼͬ͹ʹ΃͹·ͱ
Ϳͽͷͺͮʹ΋ ͳͬͰͬ͹· ͽͷͱͰͿΊ΅ʹ͸ ͺͭͼͬͳͺ͸
u ( x1 , + 0) − u ( x1 , − 0) = q0 ( x1 );
(0.2)
∂u ( x1 , +0)
∂u ( x1 , −0)
+ k sin α u ( x1 , +0) −
− k sin α u ( x1 , −0) = q1 ( x1 ); x1 ∈ [−1; 1]. (0.3)
∂x2
∂x2
͟ͽͷͺͮʹͱ (0.2) ͺͻʹͽ·ͮͬͱ; ͼͬͳ͹ͺͽ;Έ ͸ͱͲͰͿ ;ͱ͸ͻͱͼͬ;Ϳͼͬ͸ʹ ͮͱͼ΁͹ͱͯͺ ʹ
͹ʹͲ͹ͱͯͺ ͭͱͼͱͯͬ ;ͼͱ΅ʹ͹·, ͬ Ϳͽͷͺͮʹͱ (0.3) – ͼͬͳ͹ͺͽ;Έ ͸ͱͲͰͿ ;ͱͻͷͺͮ·͸ʹ
ͻͺ;ͺͶͬ͸ʹ ΃ͱͼͱͳ Ή;ʹ ͭͱͼͱͯͬ. ͬ͞Ͷʹ͸ ͺͭͼͬͳͺ͸, ͼͬͽͽ͸ͬ;ͼʹͮͬͱ͸ͬ΋ ͳͬͰͬ΃ͬ ͮ
͹ͱͶͺ;ͺͼͺ͸ ͽ͸·ͽͷͱ ͻͺͰͺͭ͹ͬ ͳͬͰͬ΃ͱ ;ͼͬ͹ͽ͸ʹͽͽʹʹ, ͹ͱͽ͸ͺ;ͼ΋ ͹ͬ «ͮ·ͼͺͲͰͱ͹͹·͵»
΁ͬͼͬͶ;ͱͼ ͯͼͬ͹ʹ΂·.
͓ͬ͸ͱ΃ͬ͹ʹͱ 2. ͍ͿͰͱ͸ ͯͺͮͺͼʹ;Έ, ΃;ͺ ͯͼͬ͹ʹ΃͹ͺͱ Ϳͽͷͺͮʹͱ (0.2) ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹ͺ Ͱͷ΋
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ u ( x1 , x2 ) ͹ͬ ʹ͹;ͱͼͮͬͷͱ x1 ∈ ( −1;1) ͻͺ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺͽ;ʹ, ͱͽͷʹ Ͱͬ͹͹ͬ΋
6
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͬ ͻͺ ͻͱͼͱ͸ͱ͹͹ͺ͵ x2 ͮ ;ͺ΃Ͷͱ ±0 ͽͻͼͬͮͬ ʹ ͽͷͱͮͬ ͻͼʹ ͶͬͲͰͺ͸
x1 ∈ ( −1;1)
ʹ
lim ( u ( x1 , ξ ) − u ( x1 , −η ) ) = q0 ( x1 ) . ͍ͿͰͱ͸ ͯͺͮͺͼʹ;Έ, ͯͼͬ͹ʹ΃͹ͺͱ
ξ , η →+0
Ϳͽͷͺͮʹͱ (0.3) ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹ͺ Ͱͷ΋ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ u ( x1 , x2 ) ͮ ;ͺ΃Ͷͬ΁ x = ±1 ͮ ͽ͸·ͽͷͱ
ͯͷͬͮ͹ͺͯͺ ͳ͹ͬ΃ͱ͹ʹ΋, ͱͽͷʹ ͽͿ΅ͱͽ;ͮͿͱ; ͻͼͱͰͱͷ
lim
ξ →+0
∂
∂
u (±1, x2 )
−
u (±1, x2 )
= q1 (±1) .
∂x2
∂
x
2
x =ξ
x =−ξ
2
2
͚ͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹͱ 1. ͜ͱ΄ͱ͹ʹͱ͸ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.1)-(0.3) ͹ͬͳͺͮͱ͸ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹΊ u ( x1 , x2 ) ,
ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ͿΊ ͸͹ͺͲͱͽ;ͮͿ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵
Ϳͼͬͮ͹ͱ͹ʹΊ (0.1) ͮ ͺͭͷͬͽ;ʹ
2
C2 (
2
/ l)
ʹ
ͿͰͺͮͷͱ;ͮͺͼ΋Ί΅ͿΊ
/ l , Ͱͷ΋ Ͷͺ;ͺͼͺ͵ ͻͼʹ x1 ∈ ( −1;1) ͻͺ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺͽ;ʹ
ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹·
ͯͼͬ͹ʹ΃͹·ͱ Ϳͽͷͺͮʹ΋ (0.2)–(0.3), ʹ ;ͬͶͿΊ, ΃;ͺ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ
∂u ( x1 , x2 ) ∂u ( x1 , x2 ) ∂u ( x1 , − x2 )
∂u ( x1 ; x2 )
,
−
ʹ
(1 ± x1 )
u ( x1 , x2 ), (1 ± x1 ) 2 + x22
∂x2
∂x2
∂x2
∂x1
ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹· ͮ ͺͶͼͱͽ;͹ͺͽ;ʹ ;ͼͱ΅ʹ͹· l .
͚ͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹͱ 2. ͝ͻͱ΂ʹͬͷʹͳʹͼͺͮͬ͹͹ͺ͵ ͰͱͷΈ;ͬ-΀Ϳ͹Ͷ΂ʹͱ͵ ͹ͬͳͺͮ΍͸ ;ͬͶͿΊ
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹΊ δ[ −1,1] , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ͿΊ ͸͹ͺͲͱͽ;ͮͿ ͺͭͺͭ΅ͱ͹͹·΁ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵ D′( 2 ) , ΃;ͺ
Ͱͷ΋ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ ν ( x1 ) , ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺ͵ ͹ͬ ͺ;ͼͱͳͶͱ [−1; 1] ʹ ͷΊͭͺ͵ ͺͽ͹ͺͮ͹ͺ͵ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ
ϕ ( x1 , x2 ) , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ͱ͵ D (
2
) , ͽͻͼͬͮͱͰͷʹͮͺ ͼͬͮͱ͹ͽ;ͮͺ
1
(νδ[ −1,1] ,ϕ ( x1 , x2 ) = ∫ v( x1 )(δ ( x2 ),ϕ ( x1 , x2 ))dx1.
−1
2
͓ͬͰͬ΃ͬ (0.1)-(0.3) ͽͮͺͰʹ;ͽ΋ Ͷ ͺͭͺͭ΅΍͹͹ͺ͵ ͳͬͰͬ΃ͱ ͮ ͻͼͺͽ;ͼͬ͹ͽ;ͮͱ D′(
∆u ( x) + k cos α
∂δ
∂u
∂u
+ k sin α
= q1 ( x1 ) ⋅ δ[ −1,1] + q0 ( x1 ) ⋅ [ −1,1] .
∂x1
∂x2
∂x2
)
(0.4)
͚;͸ͱ;ʹ͸, ΃;ͺ ͮ ͺ;ͷʹ΃ʹͱ ͺ; Ͷͷͬͽͽʹ΃ͱͽͶͺͯͺ ͽͷͿ΃ͬ΋ ͽͮͱͰͱ͹ʹ΋ Ͷ ͺͭͺͭ΅΍͹͹ͺ͵
ͳͬͰͬ΃ͱ ͳͬͰͬ΃ʹ Ͱͷ΋ Ͱʹ΀΀ͱͼͱ͹΂ʹͬͷΈ͹ͺͯͺ Ϳͼͬͮ͹ͱ͹ʹ΋, ͮ Ͷͺ;ͺͼͺ͸ ͻͼͺʹͳͮͺͰ͹·ͱ
ͭͱͼͿ;ͽ΋ ͺ; ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵ ͽ ͼͬͳͼ·ͮͺ͸ ͻͱͼͮͺͯͺ ͼͺͰͬ, ͻͱͼͮͬ΋ ͻͼͺʹͳͮͺͰ͹ͬ΋ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋
ʹͳͿ΃ͬͱ͸ͺ͵ ͳͬͰͬ΃ʹ ͮ ;ͺ΃Ͷͬ΁ (±1,0) ʹ͸ͱͱ; ͼͬͳͼ·ͮ ͮ;ͺͼͺͯͺ ͼͺͰͬ ͽ ʹͳͮͱͽ;͹·͸ʹ
΁ͬͼͬͶ;ͱͼʹͽ;ʹͶͬ͸ʹ, ΃;ͺ ͺͻͼͱͰͱͷ΋ͱ; ͮ·ͭͺͼ Ͷͷͬͽͽͬ, ͮ Ͷͺ;ͺͼͺ͸ ͼͬͳ·ͽͶʹͮͬͱ;ͽ΋
ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ. ͜ͱ΄ͱ͹ʹͱ ͺͭͺͭ΅΍͹͹ͺ͵ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.4) ͽ;ͼͺʹ;ͽ΋ ͮ ͮʹͰͱ ͽͮͱͼ;Ͷʹ
΀Ϳ͹Ͱͬ͸ͱ͹;ͬͷΈ͹ͺͯͺ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͽͺ ͽͷͬͯͬͱ͸·͸ʹ ͻͼͬͮͺ͵ ΃ͬͽ;ʹ.
͚͑͑͌͘͜͞ 0.1.
͛Ϳͽ;Έ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ qi ( x1 ) , i = 0,1 , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ;
ͻͼͺͽ;ͼͬ͹ͽ;ͮͿ D ′( ), ʹ supp qi ∈ [ −1; 1], i = 1;2 . ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ E ( x1 , x2 ) ʹͳ S ′(
΀Ϳ͹Ͱͬ͸ͱ͹;ͬͷΈ͹ͺͱ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͺͻͱͼͬ;ͺͼͬ ∆ + k cos α
2
)
-
∂
∂
+ k sin α
(ͱͱ ΋ͮ͹·͵ ͮʹͰ
∂x1
∂x2
7
ͻͼʹͮͱͰͱ͹ ͮ ͷͱ͸͸ͱ 1.3 ;ͱͶͽ;ͬ ͼͬͭͺ;·). ͞ͺͯͰͬ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͺͭͺͭ΅΍͹͹ͺ͵ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.4)
ͽͿ΅ͱͽ;ͮͿͱ; ͮ D′( 2 ) ʹ ͻͼͱͰͽ;ͬͮʹ͸ͺ ͽͷͱͰͿΊ΅ʹ͸ ͺͭͼͬͳͺ͸:
u ( x1 , x2 ) = E ( x1 , x2 ) * q1 ( x1 )δ [ −1,1] + E ( x1 , x2 ) *
∂q0 ( x1 )δ[ −1,1]
∂x2
.
(0.5)
͚͑͑͌͘͜͞ 0.2. ͛Ϳͽ;Έ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ qi ( x1 ) , i = 0,1 , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ; ͸͹ͺͲͱͽ;ͮͿ
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵ C 2 [ −1,1] . ͞ͺͯͰͬ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.1)-(0.3) ʹ͸ͱͱ; ͮʹͰ
1
u = −(2π ) −1 ∫ e −0,5k (( x1 −σ1 ) cosα + x2 sin α ) K 0 (0,5k ( x1 − σ 1 ) 2 + x22 )q1 (σ 1 )dσ 1 +
−1
1
+ k (4π )−1 ∫ e −0,5 k (( x1 −σ1 ) cos α + x2 sin α ) K1 (0,5k ( x1 − σ 1 ) 2 + x22 )
−1
x2 q0 (σ 1 )
dσ 1 + (0.6)
( x22 + ( x1 − σ 1 ) 2 )0,5
1
+ k sin α (4π ) −1 ∫ e −0,5k (( x1 −σ1 ) cosα + x2 sin α ) K 0 (0,5k ( x1 − σ 1 ) 2 + x22 )q0 (σ 1 )dσ 1 .
−1
͛ͼʹ x1 ∈ ( −1;1) ͻͺ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺͽ;ʹ ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹· Ϳͽͷͺͮʹ΋ (0.2)-(0.3) . ͎ ;ͺ΃Ͷͬ΁
x1 = ±1 Ϳͽͷͺͮʹͱ
(0.3)
ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹ͺ
ͮ
ͽ͸·ͽͷͱ
ͯͷͬͮ͹ͺͯͺ
ͳ͹ͬ΃ͱ͹ʹ΋.
͑ͽͷʹ
Ͱͺͻͺͷ͹ʹ;ͱͷΈ͹ͺ ͻͺ;ͼͱͭͺͮͬ;Έ ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹ʹͱ ͼͬͮͱ͹ͽ;ͮͬ qi ( ±1) = 0 , i = 0,1 , ;ͺ Ϳͽͷͺͮʹͱ
(0.3) ͮ·ͻͺͷ͹΋ͱ;ͽ΋ ͮ ;ͺ΃Ͷͬ΁ x1 = ±1 ͮ ͽ͸·ͽͷͱ ͯͷͬͮ͹ͺͯͺ ͳ͹ͬ΃ͱ͹ʹ΋, ͬ Ϳͽͷͺͮʹͱ (0.2)
- ͻͺ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺͽ;ʹ. ͛ͼʹ ͭͺͷͱͱ ͽ;ͼͺͯͺ͸ ;ͼͱͭͺͮͬ͹ʹʹ qi′ (±1) = 0 , i = 0,1 , Ϳͽͷͺͮʹ΋
(0.2) –(0.3) ͮ·ͻͺͷ͹΋Ί;ͽ΋ ͮ ;ͺ΃Ͷͬ΁ x1 = ±1 ͻͺ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺͽ;ʹ.
͠Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ u ( x1 , x2 ) ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲʹ; ͸͹ͺͲͱͽ;ͮͿ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵ C ∞ (
2
\l ) .
͚͑͑͌͘͜͞ 0.3. ͛Ϳͽ;Έ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ qi ( x1 ) , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ; ͸͹ͺͲͱͽ;ͮͿ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵
C 2 ([−1,1]) ; qi ( ±1) ≠ 0 , qi′ (±1) ≠ 0 , i = 0,1 , ;ͺͯͰͬ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.1)-(0.3)
u ( x1 , x2 ), ͱͽ;Έ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͬ΋ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ ͬͼͯͿ͸ͱ͹;ͺͮ x1 , x2 ∉ l , ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹͹ͬ΋ ͮ
∂u
ͷΊͭͺ͸ ΄ͬͼͱ | x |< R , ;ͱͻͷͺͮͺ͵ ͻͺ;ͺͶ
ʹ͸ͱͱ; ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
∂x2
1 − x1
1 + x1
∂u
k cos α
1
q (1) +
q (−1)] +
=− [
[ln((1 −x1 ) 2 + x22 )q0 (1) −
2
2 0
2
2 0
∂x2
2π (1 − x1 ) + x2
(1 + x1 ) + x2
8π
1
−ln((1+x1 ) 2 +x22 )q0 (−1)] + [ln((1 −x1 ) 2 +x22 )q0′ (1)− ln((−1− x1) 2 +x22 )q0′ (− 1)] +R ( x1 , x2 ); (0.7)
4π
∂u
ͬ ;ͱͻͷͺͮͺ͵ ͻͺ;ͺͶ
ʹ͸ͱͱ; ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
∂x1
∂u
= −(4π ) −1[ln((1 −x1 ) 2 +x22 )q1 (1)−ln((1+x1) 2 +x22 )q1 (−1)] +ksinα (8π ) −1[ln((1− x1) 2 +x22 )q0 (1)−
∂x1
x2
x2
1
−ln((1+ x1) 2 + x22 )q0 (−1)] −
[
q (1) −
q0 (−1)] + R1 ( x1 , x2 ). (0.8)
2
2 0
2π (1 − x1 ) + x2
(1 +x1 ) 2 + x22
͛Ϳͽ;Έ ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹· Ϳͽͷͺͮʹ΋ qi ( ±1) = 0 , qi′ (±1) = 0 , ͯͰͱ i = 0,1 , ;ͺͯͰͬ
8
∂u ∂u
,
ͱͽ;Έ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ∂x2 ∂x1
͹·ͱ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ ͬͼͯͿ͸ͱ͹;ͺͮ x1 , x2 ∉ l . ͑ͽͷʹ ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹ͺ Ϳͽͷͺͮʹͱ qi ( ±1) = 0 , i = 0,1 ,
∂u
;ͺ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.1)-(0.3) u ( x1 , x2 ) ʹ ;ͱͻͷͺͮͺ͵ ͻͺ;ͺͶ
ͱͽ;Έ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹·ͱ
∂x1
ͮͻͷͺ;Έ Ͱͺ ͭͱͼͱͯͺͮ ͼͬͳͼͱͳͬ l ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ ͬͼͯͿ͸ͱ͹;ͺͮ x1 , x2 ∉ l , ͬ ;ͱͻͷͺͮͺ͵ ͻͺ;ͺͶ
∂u
ʹ͸ͱͱ; ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
∂x2
∂u
= (4π ) −1[ln((1 − x1 ) 2 + x22 )q0′ (1) − ln((−1 − x1 ) 2 + x22 )q0′ (−1)] + R ( x1 , x2 ). (0.9)
∂x2
ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.1)-(0.3) u ( x1 , x2 ) , ʹ ;ͱͻͷͺͮ·ͱ ͻͺ;ͺͶʹ
͓ͰͱͽΈ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ R ( x1 , x2 ), R1 ( x1 , x2 ) ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹· ͻͼʹ x2 → +0, x1 ∈ [ −1; 1].
͚͑͑͌͘͜͞ 0.4. ͛Ϳͽ;Έ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ qi ( x1 ) , i = 0,1 , ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹·. ͞ͺͯͰͬ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ
ͳͬͰͬ΃ʹ
u( x1, x2 ) ⋅ e
(0.1)-(0.3)
k
( x1 cosα + x2 sin α )
2
ͱͰʹ͹ͽ;ͮͱ͹͹ͺ
ͮ
Ͷͷͬͽͽͱ
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵,
΋ͮͷ΋ͱ;ͽ΋ ͼͱͯͿͷ΋ͼ͹·͸ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹͺ͹ͬͷͺ͸ ʹͳ S ′(
Ͱͷ΋
2
Ͷͺ;ͺͼ·΁
).
͜ͱͳͿͷΈ;ͬ;· ͯͷͬͮ· 1 ͺͻͿͭͷʹͶͺͮͬ͹· ͮ ͼͬͭͺ;ͬ΁ [1]-[5], [8], [11]-[12], [14].
͎ͺ ͮ;ͺͼͺ͵ ͯͷͬͮͱ ʹͳͿ΃ͬͱ;ͽ΋ ͽͷͿ΃ͬ͵ ͹ͱͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺͯͺ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹ΋ ͻͺͷ΋
;ͱ͸ͻͱͼͬ;Ϳͼ·, ͶͺͯͰͬ ͮͱͶ;ͺͼ ͹ͬͻͼͬͮͷͱ͹ʹ΋ ʹͳ͸ͱ͹ͱ͹ʹ΋ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺͽ;ʹ ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͬ
͹ͬͻͼͬͮͷͱ͹ ͻͺͰ Ϳͯͷͺ͸ α = π 2 Ͷ ͻͺͷͺͲʹ;ͱͷΈ͹ͺ͵ ͻͺͷͿͺͽʹ ͬͭͽ΂ʹͽͽ.
ͬ͜ͽͽ͸ͬ;ͼʹͮͬͱ͸ͺͱ Ϳͼͬͮ͹ͱ͹ʹͱ ͹ͱͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͵ ;ͱͻͷͺͻͼͺͮͺͰ͹ͺͽ;ʹ ʹ͸ͱͱ; ͮʹͰ
∂u ( x, t )
γ ( x) ρ ( x)
= div ( k ( x)grad u ( x, t ) ) + F ( x, t ) .
∂t
͓ͰͱͽΈ ρ ( x) - ͻͷͺ;͹ͺͽ;Έ, γ ( x) - ;ͱͻͷͺͱ͸Ͷͺͽ;Έ, k ( x) − ͶͺΉ΀΀ʹ΂ʹͱ͹; ͮ͹Ϳ;ͼͱ͹͹ͱ͵
;ͱͻͷͺͻͼͺͮͺͰ͹ͺͽ;ʹ ͮͱ΅ͱͽ;ͮͬ. ͍ͿͰͱ͸ ͽ΃ʹ;ͬ;Έ, ΃;ͺ Ͱͷ΋ ʹͳͿ΃ͬͱ͸ͺͯͺ ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͬ
ͽͻͼͬͮͱͰͷʹͮ· ͽͷͱͰͿΊ΅ʹͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹ΋ Ή;ʹ΁ ͶͺΉ΀΀ʹ΂ʹͱ͹;ͺͮ ρ ( x)γ ( x) = G0 e kx2 ,
k ( x) = a 2G0 ekx2 , ΃;ͺ ͽͺͺ;ͮͱ;ͽ;ͮͿͱ; ͽʹ;Ϳͬ΂ʹʹ, ͶͺͯͰͬ ͮͱͶ;ͺͼ ͹ͬͻͼͬͮͷͱ͹ʹ΋
ʹͳ͸ͱ͹ͱ͹ʹ΋ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺͽ;ʹ ͹ͬͻͼͬͮͷͱ͹ ͮͰͺͷΈ ͺͽʹ Ox2 . ͛ͼͱͰͻͺͷͺͲʹ͸ ;ͬͶͲͱ, ΃;ͺ
ͮ ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͱ ͹ͱ; ͮ͹Ϳ;ͼͱ͹͹ʹ΁ ʹͽ;ͺ΃͹ʹͶͺͮ ;ͱͻͷͬ, ;.ͱ. F ( x, t ) ≡ 0 . ͛ͬͼͬ͸ͱ;ͼ
t ∈ [0, +∞) ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷ΋ͱ; ͽͺͭͺ͵ ͮͼͱ͸΋.
͛ͺͽͷͱ ͹ͱͽͷͺͲ͹·΁ ͻͼͱͺͭͼͬͳͺͮͬ͹ʹ͵ ͼͬͽͽ͸ͬ;ͼʹͮͬͱ͸ͺͱ Ϳͼͬͮ͹ͱ͹ʹͱ ͸ͺͲ͹ͺ
ͻͱͼͱͻʹͽͬ;Έ ͮ ͮʹͰͱ
2
∂u ( x1 , x2 , t )
∂ 2u ( x1 , x2 , t )
∂u ( x1 , x2 , t )
2 ∂ u ( x1 , x2 , t )
−a (
+
+
k
) = 0.
∂t
∂x12
∂x22
∂x2
(0.10)
͔ͽͶͺ͸ͬ΋ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ u ( x1 , x2 , t ) − Ή;ͺ ;ͱ͸ͻͱͼͬ;Ϳͼͬ ͮ ;ͺ΃Ͷͱ ( x1 , x2 , t ) ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͬ.
͏ͼͬ͹ʹ΃͹·ͱ Ϳͽͷͺͮʹ΋ ͳͬͰͬ͹· ͽͷͱͰͿΊ΅ʹ͸ ͺͭͼͬͳͺ͸
9
u ( x1 , + 0, t ) − u ( x1 , − 0, t ) = q0 ( x1 , t );
(0.11)
∂u (x1 ,+ 0,t )
∂u (x1 ,−0,t )
+ ku (x1 ,+0,t ) −
− ku (x1 ,−0,t ) = q1 (x1 ,t ); x1 ∈ [−1; 1], t ≥ 0. (0.12)
∂x2
∂x2
͙ͬ΃ͬͷΈ͹ͺͱ Ϳͽͷͺͮʹͱ ʹ͸ͱͱ; ͮʹͰ
u ( x1 , x2 ,0) = 0 .
(0.13)
͎·ͻͺͷ͹ͱ͹· Ϳͽͷͺͮʹ΋ ͽͺͯͷͬͽͺͮͬ͹ʹ΋ q0 ( x1 ,0) = 0 ʹ q1 ( x1 ,0) = 0 .
͝ ΂ͱͷΈΊ ͻͺͽ;ͼͺͱ͹ʹ΋ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͳͬͰͬ΃ͬ (0.10) - (0.13) ͽͮͺͰʹ;ͽ΋ Ͷ ͺͭͺͭ΅ͱ͹͹ͺ͵
ͳͬͰͬ΃ͱ ͮ ͻͼͺͽ;ͼͬ͹ͽ;ͮͱ D′( 3 ) , Ͱͷ΋ ΃ͱͯͺ ʹͽͻͺͷΈͳͿͱ;ͽ΋ ͽͻͱ΂ʹͬͷʹͳʹͼͺͮͬ͹͹ͬ΋
ͰͱͷΈ;ͬ-΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋. ͐ͬͷͱͱ ʹͳͿ΃ͬΊ;ͽ΋ ͯͷͬͰͶͺͽ;Έ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ʹ ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹ʹͱ Ͷͼͬͱͮ·΁ ʹ
͹ͬ΃ͬͷΈ͹ͺͯͺ Ϳͽͷͺͮʹ͵. ͎ʹͰ (0.11)-(0.12) Ͷͼͬͱͮ·΁ Ϳͽͷͺͮʹ͵ ͰʹͶ;Ϳͱ;ͽ΋ ͯͱͺ͸ͱ;ͼʹͱ͵
ͺͭͷͬͽ;ʹ ʹ ͺͻʹͽ·ͮͬͱ; ͽͶͬ΃ͺͶ ;ͱ͸ͻͱͼͬ;Ϳͼ· ʹ ;ͱͻͷͺͮͺͯͺ ͻͺ;ͺͶͬ ͻͼʹ ͻͱͼͱ΁ͺͰͱ
΃ͱͼͱͳ ͭͱͼͱͯͬ ;ͼͱ΅ʹ͹·. ͎ ͼͬͭͺ;ͱ ͿͰͬͷͺͽΈ ͻͺͶͬͳͬ;Έ, ΃;ͺ ͻͼʹ
t → ∞ , x2 → +0, x1 ∈ [ −1; 1], ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ ͽ;ͬͭʹͷʹͳʹͼͿͱ;ͽ΋ ͹ͬ ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺͱ
ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹͱ ;ͱͻͷͬ ͮ ͺͶͼͱͽ;͹ͺͽ;ʹ ;ͼͱ΅ʹ͹·.
͟ͽͷͺͮʹͱ 1. ͝Ϳ΅ͱͽ;ͮͿͱ; N > 0 , ;ͬͶͺͱ, ΃;ͺ ͻͼʹ t > N ͽͻͼͬͮͱͰͷʹͮͺ
ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
(0.14)
qi ( x1 , t ) = qiͽ; ( x1 ), i = 0, 1 .
͟ͽͷͺͮʹͱ 2. ͐ͷ΋ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ Qi ( x1 , x2 , t ), i = 0,1 ͽͻͼͬͮͱͰͷʹͮ· Ϳ;ͮͱͼͲͰͱ͹ʹ΋:
1) ͐ͷ΋ ͷΊͭͺͯͺ Ͷͺ͸ͻͬͶ;ͬ K ʹͳ
2
͹ͬ͵Ͱͱ;ͽ΋ ͻͺͽ;ͺ΋͹͹ͬ΋ c( K ) > 0 , ;ͬͶͬ΋ ΃;ͺ
ͻͼʹ t → ∞ ʹ x ∈ K ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹ͬ ͺ΂ͱ͹Ͷͬ | Qi ( x1 , x2 , t ) | ≤ e − c ( K )t .
2) ͛ͼʹ x1 ∈ ( −1;1) ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹· Ϳͽͷͺͮʹ΋ Qi ( x1 , +0, t ) − Qi ( x1 , −0, t ) = 0;
∂Qi ( x1 , + 0, t ) ∂Qi ( x1 , − 0, t )
−
+ k (Qi ( x1 , +0, t ) − Qi ( x1 , −0, t )) = 0.
∂x2
∂x2
͚ͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹͱ 3. ͜ͱ΄ͱ͹ʹͱ͸ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.10)-(0.13) ͹ͬͳͺͮͱ͸ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹΊ
ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ͿΊ
͸͹ͺͲͱͽ;ͮͿ
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵
u ( x1 , x2 , t ) ,
͝ x2,1,t ( (
2
/ l ) × (0, ∞) ) ∩ C x2,0
,t ((
ͮ ͺͭͷͬͽ;ʹ
2
2
/ l ) × [0, ∞)) , ͿͰͺͮͷͱ;ͮͺͼ΋Ί΅ͿΊ Ϳͼͬͮ͹ͱ͹ʹΊ (0.10)
/ l , t > 0 Ͱͷ΋ Ͷͺ;ͺͼͺ͵ ͻͼʹ x1 , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ͱ͸ ( −1;1) , ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹·
ͯͼͬ͹ʹ΃͹·ͱ Ϳͽͷͺͮʹ΋ (0.11)-(0.12), ;ͬͶͿΊ, ΃;ͺ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ u ( x1 , x2 , t ), x2
∂u ( x1 , x2 , t )
,
∂x2
∂u ( x1 , x2 , t ) ∂u ( x1 , − x2 , t )
−
,
∂x2
∂x2
∂u ( x1 , x2 , t )
∂x2
(1 ± x1 )
∂u ( x1 ; x2 ; t )
∂x1
ʹ
(1 ± x1 ) 2 + x22
ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹· ͮ ͺͶͼͱͽ;͹ͺͽ;ʹ ;ͼͱ΅ʹ͹· l ͻͼʹ ͷΊͭͺ͸ t , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ͱ͸ ͺ;ͼͱͳͶͿ
[0, T ] , ͯͰͱ T > 0 .
10
͚ͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹͱ 4. ͖ͷͬͽͽͺ͸ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵ M ͹ͬͳ·ͮͬͱ;ͽ΋ ͽͺͮͺͶͿͻ͹ͺͽ;Έ ;ͬͶʹ΁ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹·΁ ͻͼʹ t ≥ 0 ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵, Ͷͺ;ͺͼ·ͱ ͺͭͼͬ΅ͬΊ;ͽ΋ ͮ ͹ͺͷΈ ͻͼʹ t < 0 ʹ
ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹· ͮ ͶͬͲͰͺ͵ ͻͺͷͺͽͱ 0 ≤ t ≤ T , ͯͰͱ T > 0 .
͚͑͑͌͘͜͞ 0.5. ͛Ϳͽ;Έ ͽͿ΅ͱͽ;ͮͿͱ; ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ u ( x1 , x2 , t ) ͳͬͰͬ΃ʹ (0.10) – (0.13).
͛Ϳͽ;Έ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ qi ( x1 , t ) , i = 0,1 , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ; ͻͼͺͽ;ͼͬ͹ͽ;ͮͿ D′(
2
) ,ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹·
ͻͼʹ t , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ͱ͸ ͺ;ͼͱͳͶͿ [0, T ] ,ͯͰͱ T > 0 , ʹ ͼͬͮ͹· ͹ͿͷΊ ͻͼʹ t < 0 . ͞ͺͯͰͬ
ͱͯͺ ͻͼͺͰͺͷͲͱ͹ʹͱ ͹Ϳͷͱ͸ ͹ͬ t < 0 ͿͰͺͮͷͱ;ͮͺͼ΋ͱ; ͽͷͱͰͿΊ΅ͱ͵ ͺͭͺͭ΅΍͹͹ͺ͵ ͳͬͰͬ΃ͱ
∂δ
∂u
∂u
− a 2 (∆u + k
(0.15)
) = − a 2 q1 ( x1 , t ) ⋅ δ[ −1,1] − a 2 q0 ( x1 , t ) ⋅ [ −1,1] .
∂t
∂x2
∂x2
͐ͬͷͱͱ ͹ͬ͸ʹ ͻͺͽ;ͼͺͱ͹ͺ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͺͭͺͭ΅΍͹͹ͺ͵ ͳͬͰͬ΃ʹ ͮ ͮʹͰͱ ͽͮͱͼ;Ͷʹ
΀Ϳ͹Ͱͬ͸ͱ͹;ͬͷΈ͹ͺͯͺ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͽͺ ͽͷͬͯͬͱ͸·͸ʹ ͻͼͬͮͺ͵ ΃ͬͽ;ʹ. ͎ ͼͱͳͿͷΈ;ͬ;ͱ ʹ͸ͱͱ͸
ͽͷͱͰͿΊ΅ͿΊ ;ͱͺͼͱ͸Ϳ.
∂
͚͑͑͌͘͜͞0.6. ͛Ϳͽ;Έ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ
( q0 ( x1 , t )δ[−1,1] ) , q1 ( x1 , t )δ[−1,1] ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ;
∂x2
ͻͼͺͽ;ͼͬ͹ͽ;ͮͿ D′(
M , E ( x1 , x2 , t ) ∈ S ′(
3
) , ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ qi ( x1 , t ) , i = 0,1 , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ; ͶͷͬͽͽͿ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵
3
) - ΀Ϳ͹Ͱͬ͸ͱ͹;ͬͷΈ͹ͺͱ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͺͻͱͼͬ;ͺͼͬ
∂
∂
− a 2 (∆ + k
).
∂t
∂x2
͞ͺͯͰͬ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.15) ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷ΋ͱ;ͽ΋ ͮ ͮʹͰͱ
u ( x1 , x2 , t ) = E ( x1 , x2 , t ) ∗ (− a 2 q1 ( x1 , t )δ [ −1,1] − a 2
∂q0 ( x1 , t )δ [ −1,1]
∂x2
),
(0.16)
͚͑͑͌͘͜͞ 0.7. ͛Ϳͽ;Έ qi ( x1 , t ) , i = 0,1 , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ; ͸͹ͺͲͱͽ;ͮͿ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵
Cx2,, t0([−1,1]×[0; ∞)) . ͞ͺͯͰͬ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.10)-(0.13) ͻͼʹ t > 0 ʹ͸ͱͱ; ͮʹͰ
u=
1
1 t 2
2 2 −1
(
a
τ
k
+
x
)(
a
τ
)
exp[− (4a 2τ )−1(( x1− σ 1 ) 2 + (a 2τ k + x2 )2 )]q0 (σ ,t − τ )dσ dτ −
2
∫
∫
0
−
1
8π
t
1
0
−1
−(4π ) −1 ∫ τ −1 ∫ exp[−(4a 2τ ) −1((x1−σ 1) 2 +(a 2τ k + x2 )2 )] ⋅q1(σ ,t−τ )dσ dτ .
(0.17)
͛ͼʹ x1 ∈ ( −1;1) ͻͺ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺͽ;ʹ ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹· Ϳͽͷͺͮʹ΋ (0.11)-(0.12). ͑ͽͷʹ
Ͱͺͻͺͷ͹ʹ;ͱͷΈ͹ͺ ͻͺ;ͼͱͭͺͮͬ;Έ ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹ʹͱ ͼͬͮͱ͹ͽ;ͮ qi ( ±1, t ) = 0 , i = 0,1 Ϳͽͷͺͮʹͱ
(0.12) ͮ·ͻͺͷ͹΋ͱ;ͽ΋ ͮ ;ͺ΃Ͷͬ΁ x1 = ±1 ͮ ͽ͸·ͽͷͱ ͯͷͬͮ͹ͺͯͺ ͳ͹ͬ΃ͱ͹ʹ΋, Ϳͽͷͺͮʹͱ (0.11)
- ͻͺ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺͽ;ʹ. ͛ͼʹ ͭͺͷͱͱ ͽ;ͼͺͯͺ͸ ;ͼͱͭͺͮͬ͹ʹʹ
∂qi (±1, t )
= 0 , i = 0,1
∂x1
Ϳͽͷͺͮʹ΋ (0.11)-(0.12) ͮ·ͻͺͷ͹΋Ί;ͽ΋ ͮ ;ͺ΃Ͷͬ΁ x1 = ±1 ͻͺ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺͽ;ʹ. ͬ͞ͶͲͱ
ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹ͺ ͹ͬ΃ͬͷΈ͹ͺͱ Ϳͽͷͺͮʹͱ (0.13).
͛ͼʹ Ͱͺͽ;ͬ;ͺ΃͹ͺ ͭͺͷΈ΄ʹ΁ ͳ͹ͬ΃ͱ͹ʹ΋΁ t ( ;.ͱ. t → ∞ ) Ͱͷ΋ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͽͻͼͬͮͱͰͷʹͮͺ
11
ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
k
− x2 1
2
u (x1 ,x2 ,t ) =−
e
2π
k
∫ K (2
0
(x1− σ ) 2 + x22 )q1ͽ; (σ )dσ +
−1
k
− x2 1
2
k
− x2 1
2
k⋅ e
4π
k
∫ K (2
0
( x1 − σ ) 2 + x22 ) ⋅
−1
q (σ ) x2
k
( x1− σ ) 2 + x22 ) ⋅ 0ͽ;
dσ +O (exp[−c1t]), (0.18)
2
( x1−σ ) 2 +x22
−1
ͯͰͱ c1 = const > 0 . ͠Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ u ( x1 , x2 , t ) ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲʹ; ͸͹ͺͲͱͽ;ͮͿ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵
⋅q0ͽ; (σ )dσ +
k⋅ e
4π
∫ K1 (
C ∞ (( 2 / l ) × (0, ∞)) .
͚͑͑͌͘͜͞ 0.8. ͛Ϳͽ;Έ
͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͬ΋
t > 0 . ͞ͺͯͰͬ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.10)-(0.13) ͱͽ;Έ
ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹͹ͬ΋
͹ͺͼ͸ͬͷΈ͹·͵ ;ͱͻͷͺͮͺ͵ ͻͺ;ͺͶ
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋
ͬͼͯͿ͸ͱ͹;ͺͮ
x1 , x2 ∈
2
\ l, t ≥ 0 ,
∂u
ͻͼʹ x2 → +0, x1 ∈ [−1; 1] , t , ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ͱ͸
∂x2
[0, T ] , ͯͰͱ T > 0 - ͷΊͭͺͱ ΃ʹͽͷͺ, ʹ͸ͱͱ; ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
∂u
k
(1 − x1 )
(1 + x1 )
(0.19)
= exp[− x2 ][−
q (1, t ) −
q0 (−1, t ) +
2
2 0
∂x2
2
(1 − x1 ) + x2
(1 + x1 ) 2 + x22
1
∂q (1, t ) 1
∂q (−1, t )
+ ln((1 − x1 ) 2 + x22 ) 0
− ln((−1 − x1 ) 2 + x22 ) 0
] + R2 ( x1 , x2 , t ).
2
2
∂x1
∂x1
∂u
͞ͱͻͷͺͮͺ͵ ͻͺ;ͺͶ
ͻͼʹ x2 → +0, x1 ∈ [−1; 1] , t ,ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ͱ͸ [0, T ] , ͯͰͱ
∂x1
T > 0 - ͷΊͭͺͱ ΃ʹͽͷͺ, ʹ͸ͱͱ; ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
∂u
1
k
−2 x2
2 x2
=
exp[− x2][
q (1,t ) +
q0(−1, t) −
2
2 0
∂x1 4π
2 (1 − x1 ) + x2
(1 + x1 ) 2 + x22
−ln((1 − x1)2 +x22 )q1 (1, t)+ ln((1 +x1) 2 +x22)q1 (−1, t) + 0,5kln((1 −x1) 2 +x22)q0 (1,t ) −
−0,5kln((1+ x1) 2+ x22)q0(−1,t)] +R3(x1 , x2 ),
͓ͰͱͽΈ
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ
R2 ( x1 , x2 , t ), R3 ( x1 , x2 , t ) ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹·
(0.20)
ͻͼʹ
x2 → +0, x1 ∈ [ −1,1] ,
t ∈[0, T ] , ͯͰͱ T > 0 - ͷΊͭͺͱ ΃ʹͽͷͺ.
͚͑͑͌͘͜͞ 0.9. ͛Ϳͽ;Έ t ͹ͱͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹͹ͺ ͮͺͳͼͬͽ;ͬͱ;. ͞ͺͯͰͬ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ
(0.10)-(0.13) ͱͽ;Έ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͬ΋ ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹͹ͬ΋ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ ͬͼͯͿ͸ͱ͹;ͺͮ x1 , x2 ∈
͹ͺͼ͸ͬͷΈ͹·͵ ;ͱͻͷͺͮͺ͵ ͻͺ;ͺͶ
2
\l,
∂u
ʹ͸ͱͱ; ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
∂x2
∂u
1
k
(1 − x1 )
(1 + x1 )
=
exp[− x2 ][−
q (1) −
q0ͽ; (−1) + (0.21)
2
2 0 ͽ;
∂x2 2π
2
(1 − x1 ) + x2
(1 + x1 )2 + x22
+2−1 ln((1 − x1 ) 2 + x22 )q0ͽ;′ (1) − 2−1 ln((−1 − x1 )2 + x22 )q0 ͽ;′ (−1)] + R3 ( x1 , x2 ).
12
͞ͱͻͷͺͮͺ͵ ͻͺ;ͺͶ
∂u
ʹ͸ͱͱ; ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
∂x1
k
− x2
∂u e 2 k
k
2 x2
=
[ ln((1− x1) 2 + x22)q0 ͽ; (1) − ln((1+ x1) 2 + x22)q0ͽ; (−1) −
q0 ͽ; (1) +
∂x1 4π 2
2
(1 − x1) 2 + x22
2 x2
+
q (−1) − ln((1 −x1) 2 +x22 )q1ͽ; (1) + ln((1 +x1) 2 +x22 )q1ͽ; (−1)] + R4 (x1 , x2 ) . (0.22)
2
2 0 ͽ;
(1+ x1) +x2
͠Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ R3 ( x1 , x2 ), R4 ( x1 , x2 ) ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹· ʹ ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹· ͻͼʹ x2 → +0, x1 ∈ [−1; 1] .
͚͑͑͌͘͜͞ 0.10. ͎ Ϳͽͷͺͮʹ΋΁ ;ͱͺͼͱ͸ 0.7-0.9, ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ʹͽ΁ͺͰ͹ͺ͵ ͳͬͰͬ΃ʹ
ͱͰʹ͹ͽ;ͮͱ͹͹ͺ ͮ Ͷͷͬͽͽͱ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵, ͮͮͱͰͱ͹͹·΁ ͮ ͺͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ 3.
͜ͱͳͿͷΈ;ͬ;· ͯͷͬͮ· 2 ͺͻͿͭͷʹͶͺͮͬ͹· ͮ ͼͬͭͺ;ͬ΁ [6]-[7], [9], [10], [13].
͞ͼͱ;Έ΋ ͯͷͬͮͬ ͻͺͽͮ΋΅ͱ͹ͬ ʹͳͿ΃ͱ͹ʹΊ ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺͯͺ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹ΋ ;ͱͻͷͬ ͮ
ͻͷͺͽͶͺͽ;ʹ ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵ ͻͼʹ ͻͱͼͱ͸ͱ͹͹ͺ͸ ͶͺΉ΀΀ʹ΂ʹͱ͹;ͱ ͮ͹Ϳ;ͼͱ͹͹ͱ͵
;ͱͻͷͺͻͼͺͮͺͰ͹ͺͽ;ʹ, ͳͬͰͬ͹͹ͺ͸ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹͱ͵ G ( x2 ) = ek ( x2 ) .
͟ͼͬͮ͹ͱ͹ʹͱ ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͵ ;ͱͻͷͺͻͼͺͮͺͰ͹ͺͽ;ʹ ͮ Ͱͬ͹͹ͺ͸ ͽͷͿ΃ͬͱ ʹ͸ͱͱ; ͮʹͰ
∂ 2u ( x1 , x2 ) ∂ 2 u ( x1 , x2 )
∂u ( x1 , x2 )
′
+
+
k
(
x
)
= 0, x = ( x1 ; x2 ) ∈
2
∂x12
∂x22
∂x2
2
/ l,
(0.23)
ʹͽͶͺ͸ͬ΋ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ u ( x1 , x2 ) − Ή;ͺ ;ͱ͸ͻͱͼͬ;Ϳͼͬ ͮ ;ͺ΃Ͷͱ ( x1 , x2 ) ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͬ.
͏ͼͬ͹ʹ΃͹·ͱ Ϳͽͷͺͮʹ΋ ͳͬͰͬ͹· ͽͷͱͰͿΊ΅ʹ͸ ͺͭͼͬͳͺ͸ ( x1 ∈ [ −1;1].
u ( x1 , + 0) − u ( x1 , − 0) = exp[ −0,5k (0)]q0 ( x1 ),
k (0)
−
∂u ( x1 , +0) k ′(0)
∂u ( x1 , −0) k ′(0)
+
u ( x1 , +0) −
−
u ( x1 , −0) = e 2 q1 ( x1 ),
∂x2
2
∂x2
2
(0.24)
(0.25)
ͯͰͱ x1 ∈ [ −1;1].
͟ͽͷͺͮʹͱ
3. ͍ͿͰͱ͸ ͻͼͱͰͻͺͷͬͯͬ;Έ, ΃;ͺ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ k ( x2 ) ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲʹ;
͸͹ͺͲͱͽ;ͮͿ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵ ͝ 4 (
) ; ͽͿ΅ͱͽ;ͮͿΊ; Ͷͺ͹ͽ;ͬ͹;· ε1
ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ΅ͱ͸
ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹·
,
ͺ΂ͱ͹Ͷʹ
ʹ ε 2 , ;ͬͶʹͱ ΃;ͺ ͻͼʹ x2 ,
ͯͰͱ
ε 2 > k% 2 ( x2 ) > ε1 > 0 ,
2
k% 2 ( x2 ) = ( k ′( x2 ) ) + 2k ′′( x2 ) .
͓ͬ͸ͱ͹ͺ͵ u ( x1 , x2 ) = exp[− k ( x2 )2 −1 ]V ( x1 , x2 ) (0.22)-(0.23) ͽͮͺͰʹ;ͽ΋ Ͷ ͳͬͰͬ΃ͱ
∆V ( x1, x2 ) − k% 2 ( x2 )0,25 ⋅ V ( x1 , x2 ) = 0, x ∈ 2 \ l ,
(0.26)
V ( x1 , +0) − V ( x1 , −0) = q0 ( x1 ), x1 ∈ (−1;1),
(0.27)
∂V ( x1 , +0) ∂V ( x1 , −0)
−
= q1 ( x1 ), x1 ∈ (−1;1).
(0.28)
∂x2
∂x2
͜ͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.26)-(0.28) ͻͼͱͰͽ;ͬͮʹ͸ͺ ͮ ͮʹͰͱ
V ( x1 , x2 ) = uˆ ( x1, x2 ) +W ( x1, x2 ) ,
(0.29)
13
ͯͰͱ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ uˆ ( x1 , x2 ) ΋ͮͷ΋ͱ;ͽ΋ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ͸ ͳͬͰͬ΃ʹ
∆uˆ ( x1 , x2 ) − k% 2 (0)4−1 uˆ ( x1 , x2 ) = 0, x ∈ 2 \ l ,
uˆ ( x1, +0) − uˆ ( x1 , −0) = q0 ( x1 ), x1 ∈ (−1;1),
∂u ( x1 , +0) ∂u ( x1 , −0)
−
= q1 ( x1 ), x1 ∈ (−1;1),
∂x2
∂x2
ͬ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ W ( x1 , x2 ) ΋ͮͷ΋ͱ;ͽ΋ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ͸ ͳͬͰͬ΃ʹ
∆W ( x1 , x2 ) − k% 2 ( x2 )4 −1W ( x1 , x2 ) = 0, 25 k% 2 ( x2 ) − k% 2 (0) u ( x1 , x2 ), x ∈
(
)
(0.30)
(0.31)
(0.32)
2
\ l , (0.33)
W ( x1, +0) − W ( x1, −0) = 0, x1 ∈ (−1;1),
(0.34)
∂W ( x1 , +0) ∂W ( x1 , −0)
−
= 0, x1 ∈ (−1;1).
(0.35)
∂x2
∂x2
͚͑͑͌͘͜͞ 0.11. ͛Ϳͽ;Έ k ( x2 ) ∈ ͝ k + 2 ( ) , ͯͰͱ k = 2,... , ʹ ͮ·ͻͺͷ͹ͱ͹ͺ Ϳͽͷͺͮʹͱ 3,
;ͺͯͰͬ Ϳ Ϳͼͬͮ͹ͱ͹ʹ΋ (0.33) ͽͿ΅ͱͽ;ͮͿͱ; ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ, ͺͰʹ͹ ͼͬͳ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺ
Ͱʹ΀΀ͱͼͱ͹΂ʹͼͿͱ͸ͺͱ ͮ ͺͶͼͱͽ;͹ͺͽ;ʹ l ʹ k ͼͬͳ ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͺ Ͱʹ΀΀ͱͼͱ͹΂ʹͼͿͱ͸ͺͱ ͮ͹ͱ l .
͚͑͑͌͘͜͞ 0.12. ͛Ϳͽ;Έ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ qm ( x1 ); m = 0; 1 ͻͼʹ͹ͬͰͷͱͲͬ; ͸͹ͺͲͱͽ;ͮͿ
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵ C 2 ([−1,1]) , ͻͼʹ΃ͱ͸ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ
qm ( x1 ) , qm′ ( x1 ) ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹·. ͛Ϳͽ;Έ
k ( x2 ) ∈ ͝ k + 2 ( ) , ͯͰͱ k = 2,... , ;ͺͯͰͬ Ϳ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.23)-(0.25) ͽͿ΅ͱͽ;ͮͿͱ; ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ
u ( x1 , x2 ) ʹ u ( x1 , x2 ) ∈ C k (
2
\l ) . ͖ͼͺ͸ͱ ;ͺͯͺ ͼͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ (0.23)-(0.25)
u ( x1 , x2 ), ͱͽ;Έ
͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹ͬ΋ ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹͹ͬ΋ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ΋ ͬͼͯͿ͸ͱ͹;ͺͮ
∂u
;ͱͻͷͺͮͺ͵ ͻͺ;ͺͶ
ʹ͸ͱͱ; ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
∂x1
x1 , x2 ∉ l ,
∂u exp[−k2−1 x2 ]
−2 x2
2 x2
=
[
q (1) +
q (− 1) − ln((1 − x1)2 +x22)q1 (1) +
2
2 0
2
2 0
∂x1
4π
(1 − x1 ) + x2
(1 + x1 ) + x2
+ ln((1 + x1 )2 + x22 )q1 (−1)] + R5 ( x1 , x2 ),
∂u
ʹ͸ͱͱ; ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ
∂x2
∂u
1
k
(1 − x1 )
(1 + x1 )
=−
exp[− x2 ][
q (1) +
q0 (−1) −
2
2 0
∂x2
2π
2
(1 − x1 ) + x2
(1 + x1 )2 + x22
−2−1 ln((1 − x1 ) 2 + x22 )q0′ (1) + 2−1 ln((−1 − x1 )2 + x22 )q0′ (−1)] + R 6( x1 , x2 ),
΀Ϳ͹Ͷ΂ʹʹ R5 ( x1 , x2 ), R6 ( x1 , x2 ) ͹ͱͻͼͱͼ·ͮ͹· ʹ ͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹· ͻͼʹ x2 → +0, x1 ∈ [ −1,1] .
͜ͱͳͿͷΈ;ͬ;· ͯͷͬͮ· 3 ͺͻͿͭͷʹͶͺͮͬ͹· ͮ ͼͬͭͺ;ͱ [15].
͛ͿͭͷʹͶͬ΂ʹʹ ͬͮ;ͺͼͬ ͻͺ ;ͱ͸ͱ Ͱʹͽͽͱͼ;ͬ΂ʹʹ
1. ͏ͷͿ΄Ͷͺ ͌.͎., ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑.͌. ͌ͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶʹͱ ͽͮͺ͵ͽ;ͮͬ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ
ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͸ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͵ ͻͷͺͽͶͺͽ;ʹ ͽ
;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵ /
͌. ͎. ͏ͷͿ΄Ͷͺ, ͑. ͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ // ͎ͱͽ;͹ʹͶ ͎͏͟ ͽͱͼʹ΋ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹͶͬ ΀ʹͳʹͶͬ. – 2010.
- № 2. – ͝. 47 – 50.
2. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑. ͌. ͛ͺͽ;ͼͺͱ͹ʹͱ ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹͶʹ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͸
ͬ ;ͱͻͷͺͮͺ͵ ͻͺ;ͺͶ
14
ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͵ ͻͷͺͽͶͺͽ;ʹ ͽ
;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵. ͝ͷͿ΃ͬ͵
͹ͬͻͼͬͮͷͱ͹ʹ΋ ͮͱͶ;ͺͼͬ ʹͳ͸ͱ͹ͱ͹ʹ΋ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺͽ;ʹ ͻͺͰ ͺͽ;ͼ·͸ Ϳͯͷͺ͸ Ͷ ͺͽʹ
ͬͭͽ΂ʹͽͽ / ͑. ͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ // ͭ͝ͺͼ͹ʹͶ ͹ͬͿ΃͹·΁ ʹ ͹ͬͿ΃͹ͺ͸ͱ;ͺͰʹ΃ͱͽͶʹ΁ ;ͼͿͰͺͮ
͹ͬͿ΃͹ͺ ͻͼͬͶ;ʹ΃ͱͽͶͺ͵ Ͷͺ͹΀ͱͼͱ͹΂ʹʹ ͻͼͱͻͺͰͬͮͬ;ͱͷͱ͵, ͽͺ;ͼͿͰ͹ʹͶͺͮ ʹ ͬͽͻʹͼͬ͹;ͺͮ
ͽ ͸ͱͲͰͿ͹ͬͼͺͰ͹·͸ Ϳ΃ͬͽ;ʹͱ͸ «͚ͭͼͬͳͺͮͬ͹ʹͱ.
͙ͬͿͶͬ. ͛ͼͺʹͳͮͺͰͽ;ͮͺ.
͟ͻͼͬͮͷͱ͹ʹͱ». – 2010. – ͞.1. – ͝. 215 – 217.
3. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑. ͌. ͌ͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹͶͬ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͸ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ
;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͵ ͻͷͺͽͶͺͽ;ʹ ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵ ͮ ͽͷͿ΃ͬͱ ͹ͱͺͼ;ͺͯͺ͹ͬͷΈ͹ͺͯͺ
ͮͱͶ;ͺͼͬ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺͽ;ʹ / ͑.͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ // ͬ͘;ͱͼʹͬͷ· ͎ͺͼͺ͹ͱͲͽͶͺ͵ ͳʹ͸͹ͱ͵
͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͺ͵ ΄Ͷͺͷ· «͝ͺͮͼͱ͸ͱ͹͹·ͱ ͸ͱ;ͺͰ· ;ͱͺͼʹʹ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵ ʹ ͽ͸ͱͲ͹·ͱ
ͳͬͰͬ΃ʹ» . – 2011. – ͝. 200 – 201.
4. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑. ͌. ͛ͺͽ;ͼͺͱ͹ʹͱ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͸ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ
;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͵ ͻͷͺͽͶͺͽ;ʹ ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵ ʹ ͱͯͺ ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹͶͬ / ͑.͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ
// ͬ͘;ͱͼʹͬͷ· ͎ͺͼͺ͹ͱͲͽͶͺ͵ ͳʹ͸͹ͱ͵ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͺ͵ ΄Ͷͺͷ· «͝ͺͮͼͱ͸ͱ͹͹·ͱ
͸ͱ;ͺͰ· ;ͱͺͼʹʹ ΀Ϳ͹Ͷ΂ʹ͵ ʹ ͽ͸ͱͲ͹·ͱ ͳͬͰͬ΃ʹ» . – 2011. – ͝. 202 – 203.
5. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑. ͌. ͌ͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͼͱͰͽ;ͬͮͷͱ͹ʹͱ ;ͱͻͷͺͮ·΁ ͻͺ;ͺͶͺͮ Ͱͷ΋
ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͸ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͵ ͻͷͺͽͶͺͽ;ʹ ͽ
;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵ / ͑. ͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ // ͝ͺͮͼͱ͸ͱ͹͹·ͱ ͸ͱ;ͺͰ· ;ͱͺͼʹʹ Ͷͼͬͱͮ·΁ ͳͬͰͬ΃:
͸ͬ;ͱͼʹͬͷ· ͎ͺͼͺ͹ͱͲͽͶͺ͵ ͮͱͽͱ͹͹ͱ͵ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͺ͵ ΄Ͷͺͷ· «͛ͺ͹;ͼ΋ͯʹ͹ͽͶʹͱ
΃;ͱ͹ʹ΋ XXII». – 2011. – ͝. 104 – 105.
6. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑. ͌. ͜ͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͸
͸ͬ;ͱͼʹͬͷͱ ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵ ͮ ͽͷͿ΃ͬͱ Ͷͺ͹ͱ΃͹ͺͯͺ ͮͼͱ͸ͱ͹ʹ// ͬ͘;ͱͼʹͬͷ· ΃ͱ;ͮͱͼ;ͺ͵
͸ͱͲͰͿ͹ͬͼͺͰ͹ͺ͵ ͹ͬͿ΃͹ͺ͵ Ͷͺ͹΀ͱͼͱ͹΂ʹʹ "͝ͺͮͼͱ͸ͱ͹͹·ͱ ͻͼͺͭͷͱ͸· ͻͼʹͶͷͬͰ͹ͺ͵
͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹͶʹ, ;ͱͺͼʹʹ Ϳͻͼͬͮͷͱ͹ʹ΋ ʹ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͺͯͺ ͸ͺͰͱͷʹͼͺͮͬ͹ʹ΋
(͛͘͘͘͟͞–2011)».– 2011.– ͝.179–181.
7. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑. ͌. ͜ͱ΄ͱ͹ʹͱ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͸
͸ͬ;ͱͼʹͬͷͱ ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵ ͻͼʹ ͹ͱͺͯͼͬ͹ʹ΃ͱ͹͹ͺ ͭͺͷΈ΄ͺ͸ ͮͼͱ͸ͱ͹ʹ //ͬ͘;ͱͼʹͬͷ·
΃ͱ;ͮͱͼ;ͺ͵ ͸ͱͲͰͿ͹ͬͼͺͰ͹ͺ͵ ͹ͬͿ΃͹ͺ͵ Ͷͺ͹΀ͱͼͱ͹΂ʹʹ "͝ͺͮͼͱ͸ͱ͹͹·ͱ ͻͼͺͭͷͱ͸·
ͻͼʹͶͷͬͰ͹ͺ͵ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹͶʹ, ;ͱͺͼʹʹ Ϳͻͼͬͮͷͱ͹ʹ΋ ʹ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͺͯͺ ͸ͺͰͱͷʹͼͺͮͬ͹ʹ΋
(͛͘͘͘͟͞–2011). – 2011. – C.181–182.
8. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑. ͌. ͌ͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶͺͱ ͻͺͮͱͰͱ͹ʹͱ ;ͱͻͷͺͮͺͯͺ ͻͺ;ͺͶͬ Ͱͷ΋ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ
ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͸ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͵ ͻͷͺͽͶͺͽ;ʹ ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵/͑.
͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ//͎ͱͽ;͹ʹͶ ͎͏͟ ͽͱͼʹ΋ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹͶͬ ΀ʹͳʹͶͬ. –2012.- № 1.–ͽ.157 – 161.
9. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑. ͌. ͛ͺͽ;ͼͺͱ͹ʹͱ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ
͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͸ ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͱ ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵/ ͑. ͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ // ͎ͱͽ;͹ʹͶ ͛ͭ͝͏͟ ͽͱͼʹ΋
1. ͬ͘;ͱ͸ͬ;ʹͶͬ. ͘ͱ΁ͬ͹ʹͶͬ. ͌ͽ;ͼͺ͹ͺ͸ʹ΋. – 2012. – ͎·ͻͿͽͶ 1. – ͽ. 40 – 47.
10. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑.͌. ͓ͬͰͬ΃ͬ ͺ ͹ͱͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͸ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͻͷͺͽͶͺ͸
15
͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͸ ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͱ ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵/ ͑.͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ // ͐ͱͻ. ͮ ͎͔͙͔͔͞
05.04.2012. - № 148-͎ 2012.
11. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑.͌. ͓ͬͰͬ΃ͬ ͺ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͸ ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͱ
ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵. ͝ͷͿ΃ͬ͵ ;ͼͱ΅ʹ͹·, ͺͼ;ͺͯͺ͹ͬͷΈ͹ͺ͵ ͹ͬͻͼͬͮͷͱ͹ʹΊ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺͽ;ʹ
ͶͺΉ΀΀ʹ΂ʹͱ͹;ͬ ;ͱͻͷͺͻͼͺͮͺͰ͹ͺͽ;ʹ/ ͑.͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ // ͐ͱͻ. ͮ ͎͔͙͔͔͞
05.04.2012. - № 146 – ͎2012.
12. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑.͌. ͓ͬͰͬ΃ͬ ͺ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͸ ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͱ ͽ
;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵. ͝ͷͿ΃ͬ͵ ;ͼͱ΅ʹ͹·, ͹ͬͶͷͺ͹͹ͺ͵ Ͷ ͹ͬͻͼͬͮͷͱ͹ʹΊ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺͽ;ʹ
ͶͺΉ΀΀ʹ΂ʹͱ͹;ͬ ;ͱͻͷͺͻͼͺͮͺͰ͹ͺͽ;ʹ//͐ͱͻ. ͮ ͎͔͙͔͔͞ 05.04.2012.-№ 147 – ͎2012.
13. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑.͌. ͌ͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹͶʹ ͻͼͺʹͳͮͺͰ͹·΁ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ
ͼͬͽͻͼͺͽ;ͼͬ͹ͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͹ͱͺͰ͹ͺͼͺͰ͹ͺ͸ ͸ͬ;ͱͼʹͬͷͱ ͽ ;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵ ͽ Ϳ΃ͱ;ͺ͸
ͮͼͱ͸ͱ͹ʹ// ͑.͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ//
ͬ͘;ͱͼʹͬͷ· ͸ͱͲͰͿ͹ͬͼͺͰ͹ͺ͵ Ͷͺ͹΀ͱͼͱ͹΂ʹʹ
«͎ͺͼͺ͹ͱͲͽͶͬ΋ ͳʹ͸͹΋΋ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͬ΋ ΄Ͷͺͷͬ ͝.͏. ͖ͼͱ͵͹ͬ 2012». - 2012. - ͽ.
142 – 144.
14. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ ͑.͌. ͓ͬͰͬ΃ͬ ͺ ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͸ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͻͷͺͽͶͺͽ;ʹ ͽ
;ͼͱ΅ʹ͹ͺ͵//͑.͌.͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ//ͬ͘;ͱͼʹͬͷ·
͸ͱͲͰͿ͹ͬͼͺͰ͹ͺ͵
Ͷͺ͹΀ͱͼͱ͹΂ʹʹ
«͎ͺͼͺ͹ͱͲͽͶͬ΋ ͳʹ͸͹΋΋ ͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͬ΋ ΄Ͷͺͷͬ ͝.͏. ͖ͼͱ͵͹ͬ 2012».- 2012.–ͽ. 144
– 147.
15. ͏ͷͿ΄Ͷͺ ͌.͎. ͔ͳͿ΃ͱ͹ʹͱ ͬͽʹ͸ͻ;ͺ;ʹ΃ͱͽͶʹ΁ ͽͮͺ͵ͽ;ͮ ͼͱ΄ͱ͹ʹ΋ ͳͬͰͬ΃ʹ ͺ
ͽ;ͬ΂ʹͺ͹ͬͼ͹ͺ͸ ͼͬͽͻͼͱͰͱͷͱ͹ʹʹ ;ͱͻͷͬ ͮ ͻͷͺͽͶͺͽ;ʹ ͽ ͻͱͼͱ͸ͱ͹͹·͸ ͶͺΉ΀΀ʹ΂ʹͱ͹;ͺ͸
ͮ͹Ϳ;ͼͱ͹͹ͱ͵ ;ͱͻͷͺͻͼͺͮͺͰ͹ͺͽ;ʹ// ͌.͎. ͏ͷͿ΄Ͷͺ, ͌.͝. ͜΋ͭͱ͹Ͷͺ, ͑.͌. ͗ͺͯʹ͹ͺͮͬ//
͝ͺͮͼͱ͸ͱ͹͹·ͱ ͸ͱ;ͺͰ· ;ͱͺͼʹʹ Ͷͼͬͱͮ·΁ ͳͬͰͬ΃: ͸ͬ;ͱͼʹͬͷ· ͎ͺͼͺ͹ͱͲͽͶͺ͵ ͮͱͽͱ͹͹ͱ͵
͸ͬ;ͱ͸ͬ;ʹ΃ͱͽͶͺ͵ ΄Ͷͺͷ· «͛ͺ͹;ͼ΋ͯʹ͹ͽͶʹͱ ΃;ͱ͹ʹ΋ XXIII». – 2012. – ͝. 47 – 49.
ͬͭ͜ͺ;· [1], [8], [9] ͺͻͿͭͷʹͶͺͮͬ͹· ͮ ͲͿͼ͹ͬͷͬ΁ ʹͳ ͻͱͼͱ΃͹΋ ͼͱ΂ͱ͹ͳʹͼͿͱ͸·΁
͹ͬͿ΃͹·΁ ͲͿͼ͹ͬͷͺͮ ʹ ʹͳͰͬ͹ʹ͵, ͼͱͶͺ͸ͱ͹Ͱͺͮͬ͹͹·΁ ͎͖͌ ͜͠.
16
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