close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Методы расчета напряженного состояния в области контакта пространственного трансверсально изотропного тела.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Давтян Давид Борисович
МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
В ОБЛАСТИ КОНТАКТА ПРОСТРАНСТВЕННОГО
ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
Специальность 01.02.04 — «Механика деформируемого твердого тела»
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Ростов-на-Дону — 2014
Диссертационная работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Донской государственный
технический университет» (ДГТУ).
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор
Пожарский Дмитрий Александрович
Официальные оппоненты:
Сметанин Борис Иванович, доктор технических наук, доцент, Южный федеральный университет, профессор кафедры теоретической и компьютерной гидроаэродинамики.
Беркович Вячеслав Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент, Донской казачий государственный институт пищевых технологий и экономики (филиал) ФГБОУ ВО «Московский государственный университет технологий и управления им. К.Г. Разумовского (Первый казачий университет)»,
заведующий кафедрой «Математика, физика и информационные технологии».
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения».
Защита состоится «3» декабря 2014 г. в 13:00 на заседании диссертационного
совета Д 212.058.03 в ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический
университет» (ДГТУ) по адресу: 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, аудитория № 252.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ДГТУ.
Автореферат разослан «23» октября 2014 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Кренев Л.И.
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Одним из аспектов проблемы обманутых дольщиков
является старение бетонных конструкций, брошенных строительными компаниями порой на 5-10 лет. Старение бетона (часто это только фундамент и 0-2
этажа) происходит как за счет циклов нагрева-охлаждения, так и за счет химического воздействия (кислотные дожди). Состаренный бетон обладает специфической анизотропией (трансверсально изотропное тело) требующей анализа
его прочности и расчета напряжений. К трансверсально изотропным материалам также относятся современные волокнистые композиты, широко используемые в различных областях, например, в строительстве. Пример: самое высокое
в мире переносное здание (15 м, 5 этажей, г.Базель, Швейцария, 2011 г.), построенное из GFRP-композита (усиленный волокнами стеклопластик). Актуален расчет контактных напряжений в подобных конструкциях. Известны 47
горных пород, проявляющие трансверсально изотропные свойства. При этом
плоскости изотропии могут быть ориентированы под углом к поверхности.
Диссертация посвящена разработке методов решения ряда новых трехмерных статических контактных задач для трансверсально изотропного упругого
тела, моделируемого полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны поверхности полупространства и области контакта. Для расчетов
выбраны материалы, проявляющие трансверсально изотропные свойства: титан
(судостроение), цинк, бериллий, кобальт, оксиды алюминия и цинка, графит
(металлургическая и химическая промышленность, реакторостроение), древесина, бетоны, эпоксидные материалы (строительство), бедренная кость (медицина), сапфир, керамика, карбид кремния, сульфид кадмия (полупроводниковая
промышленность), композит (60% волокна), углеволокно (авиастроение), и др.
Задачи механики контактного взаимодействия являются актуальными, поскольку позволяют оценить напряжения в зоне контакта и контактную прочность. В математическом плане контактные задачи являются задачами со смешанными граничными условиями, которые сводятся к интегральным уравнениям (ИУ), требующим развития специфических методов решения. В практическом — лишь в результате высокоточных расчетов (в том числе на контактную
прочность и жесткость совокупности взаимодействующих деталей) возможно
повышение надежности и снижение металлоемкости машин и механизмов.
В XX-м столетии решение задач теории упругости со смешанными граничными условиями привлекает внимание многих ученых и специалистов научно-исследовательских организаций и высших учебных заведений. Среди них
ведущую роль занимают Институт проблем механики Российской академии наук (Москва), НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета (Ростов-на-Дону), Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Донской государственный технический
университет (ДГТУ) и др. Значительный вклад в становление и развитие механики контактного взаимодействия внесли ученые С.М. Айзикович, В.М. Александров, Ю.А. Антипов, В.А. Бабешко, А.А. Баблоян, А.В. Белоконь, В.Н. Бер3
кович, Н.М. Бородачев, Ф.М. Бородич, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.А. Галанов, Л.А. Галин, Е.В. Глушков, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, А.А. Евтушенко, А.Б. Ефимов, В.В. Калинчук, Е.В. Коваленко, А.С. Кравчук, А.В. Манжиров, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Б.М. Нуллер, О.В.
Онищук, В.В. Панасюк, В.З. Партон, П.И. Перлин, Б.Е. Победря, Д.А. Пожарский, Г.Я. Попов, В.С. Проценко, О.Д. Пряхина, Ю.Н. Работнов, В.Л. Рвачев,
Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь, Д.В. Тарлаковский, В.М. Толкачев, А.Ф. Улитко,
Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков, И.Я. Штаерман, J.R. Barber, V.I. Fabrikant, G.M.L.
Gladwell, K.L. Johnson, J.J. Kalker, L.M. Keer и др.
Соответствие научному плану работ и целевым комплексным программам. Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований 12-01-00065-а «Трехмерные контактные и смешанные
задачи для однородных, составных, неоднородных упругих областей в форме
клина, слоя и полупространства», темы госзадания «Математические методы в
задачах механики для тел с усложненными свойствами» (№ госрегистрации
114030640001).
Цель исследования. Целью диссертационной работы является получение
новых знаний о напряженно-деформируемом состоянии трехмерного трансверсально изотропного упругого тела, изготовленного из востребованных в технике материалов, при контакте в областях различной формы, когда плоскости
изотропии перпендикулярны области контакта.
Идея работы заключается в постановке новых контактных задач и разработке методов их решения на основе классической трехмерной теории упругости анизотропных тел. Выбран такой случай трехмерной анизотропии, что осесимметричная постановка контактных задач в принципе неосуществима: при
внедрении кругового в плане штампа в полупространство область контакта не
будет круговой.
Методы исследования. Теоретические исследования и вычислительные
эксперименты, практические результаты работы основываются на основных законах классической механики деформируемого твердого тела, методах механики контактного взаимодействия, теории упругости, методах вычислительной
математики, математического и функционального анализа. Используются методы интегральных преобразований, асимптотические методы, методы Галанова, Ньютона, Бубнова–Галеркина, ортогональных функций.
Основные научные положения, защищаемые автором:
– построен не содержащий квадратур компонент фундаментального решения
для трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости
изотропии перпендикулярны его поверхности, играющий ключевую роль при
решении контактной задачи с неизвестной областью контакта;
–определены нормальные перемещения поверхности трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны
поверхности, характеризующие упругие свойства поверхности;
4
– развит метод решения задач о взаимодействии эллиптического в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости
изотропии перпендикулярны заданной области контакта;
– развит метод решения контактных задач с неизвестной областью контакта для
трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны области контакта;
– развиты методы решения (асимптотические, ортогональных функций) задач о
взаимодействии волнистого полосового в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта;
– развит метод решения задач о взаимодействии клиновидного в плане штампа
с трансверсально изотропным полупространством, когда плоскости изотропии
перпендикулярны заданной области контакта.
Научная новизна работы:
– получены математические модели контактного взаимодействия анизотропных
тел, имеющих плоскости изотропии, перпендикулярные области контакта; используются широко востребованные материалы (композит, бетоны и др.);
– впервые получен не содержащий квадратур компонент фундаментального
решения для трансверсально изотропного упругого полупространства, когда
плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности;
– впервые исследованы нормальные перемещения поверхности трансверсально
изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности;
– найдены точные решения задач о взаимодействии штампа в форме эллиптического параболоида с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта;
– впервые метод Галанова модифицирован для решения контактных задач с неизвестной областью контакта для трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны области контакта;
– впервые построены асимптотические решения (регулярное и сингулярное) задач о взаимодействии волнистого полосового в плане штампа с трансверсально
изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта;
– впервые построены численно-аналитические решения задач о взаимодействии
клиновидного в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области
контакта, исследованы особенности контактного напряжения в кончике клиновидного штампа.
Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается математической корректностью постановок решаемых задач, применением строгих математических аналитических и численных методов решения, совпадением результатов при применении для решения одной задачи разных методов, совпадением
результатов в частных случаях с известными результатами других авторов.
5
Научное значение результатов исследований. Развиты численные и аналитические методы решения трехмерных контактных задач при учете анизотропии специального вида, встречающейся у ряда востребованных в технике материалов. Разработанные методы решения трехмерных контактных задач для случая трансверсальной изотропии могут быть в будущем использованы для других более сложных случаев анизотропии. Результаты могут быть использованы
для контроля точности расчетов по методу конечных элементов.
Практическая ценность работы. Анизотропные материалы, из которых
могут быть изготовлены трехмерные тела, для которых получены решения новых контактных задач, включают широко востребованные материалы: титан,
керамика, карбид кремния, композит (60% волокна), бетоны. Проведенные расчеты на контактную прочность могут найти применение в металлургической и
химической промышленности, строительстве, судостроении.
Реализация работы. Полученные решения контактных задач используются
в учебном процессе кафедрой «Прикладная математика» ДГТУ.
Личный вклад автора. В совместных работах постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат соавторам, аналитические
и численные исследования и основные результаты — автору диссертации.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции «Современные проблемы механики,
посвященной 100-летию Л.А. Галина» (Москва, ИПМ РАН, 2012 г.), на X международном научно-техническом форуме «Инновация, экология, ресурсосберегающие технологии (ИнЭРТ-2012)» (Ростов-на-Дону, ДГТУ, 2012 г.), на семинаре факультета математики и информатики технического университета Мюнхена (Германия, 2013), на 7-й международной научно-практической конференции «Состояние и перспективы развития сельскохозяйственного машиностроения» (Ростов-на-Дону, 2014), на ежегодных конференциях профессорскопреподавательского состава ДГТУ (Ростов-на-Дону, 2012-2014 гг.).
Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, в том числе 3 статьях в журналах, рекомендованных ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав, заключения, библиографического списка и приложений. Общий
объем работы составляет 127 страниц машинописного текста, содержит 9 рисунков, 24 таблицы, список литературы из 119 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность тематики диссертационной работы, определяется цель исследования, излагается научная новизна и практическая значимость работы, формулируются основные положения, выносимые на
защиту, приводятся сведения об апробации работы и публикациях.
В первой главе рассмотрена задача о действии произвольно направленной
сосредоточенной силы на трансверсально изотропное упругое полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности. Решение за6
дачи получено при помощи метода интегральных преобразований (п.1.1). При
действии нормальной силы, используя обобщенные функции, выражение для
нормального перемещения на границе полупространства, определяющее ядро
ИУ в контактных задачах, удалось получить в форме свободной от квадратур.
«Податливость» поверхности характеризуется величиной нормального перемещения точек, равноудаленных от точки приложения нормальной сосредоточенной силы (чем больше нормальное перемещение, тем больше «податливость»).
В декартовых координатах, рассмотрим в качестве модели трансверсально
изотропного тела полупространство x≥0, граница которого перпендикулярна
плоскостям изотропии z=const. Закон Гука имеет вид
σ x = A11
∂u y
∂u y
∂u x
∂u
∂u
∂u
+ ( A11 − 2 A66 )
+ A13 z , σ y = ( A11 − 2 A66 ) x + A11
+ A13 z ,
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂u y
∂u y
∂u
∂u
∂u
σ z = A13 x + A13
+ A33 z , τ xy = A66 x + A66
,
∂x
∂y
∂z
∂y
∂x
∂u y
∂u
∂u
∂u
τ yz = A44
+ A44 z , τ xz = A44 x + A44 z .
∂z
∂y
∂z
∂x
Параметры упругости Aij для 37 востребованных в промышленности материалов, измеренные зарубежными исследователями в последние десятилетия,
табулированы в монографии [Ding Haojiang, Chen W., Zhang L. Elasticity of
transversely isotropic materials. Ed. G. Gladwell. Dordrecht: Springer, 2006. 435 p.].
При действии в начале координат нормальной силы Px нормальное упругое
перемещение границы тела имеет вид
u x (0, y, z ) =
(m2 − m1 ) γ 32
4π 2 A66
∞ ∞
Px
ξ2
∫ ∫ D ζ1ζ 2 exp(−izξ − iyη)dξdη,
−∞ −∞
(1)
D = m2 h12 ζ 2 − m1h22 ζ1 + 4( m1 − m2 )η 2 ζ1ζ 2 ζ 3 , ζ n = γ n2 ξ 2 + η 2 ( n = 1,2,3),
mk =
A11γ 2k − A44
, hk = (mk + 1) γ 32 ξ 2 + 2η 2 (k = 1,2), γ 3 =
A13 + A44
A44
.
A66
Здесь γ1, γ2 являются корнями уравнения
γ 4 A11 A44 − γ 2 [ A11 A33 − A13 ( A13 + 2 A44 )] + A33 A44 = 0.
При помощи теории обобщенных функций удается освободиться от квадратур
в формуле (1) и представить ее в виде
u x (0, y, z ) = Px K ( y, z ), K ( y, z ) =
γ 32 (m2 − m1 ) y 2 p1 p 2
, p n = γ n2 y 2 + z 2 ,
2πA66 D0
(2)
D0 = m 2 [( m1 + 1) γ 32 y 2 + 2 z 2 ] 2 p 2 − m1[(m 2 + 1) γ 32 y 2 + 2 z 2 ] 2 p1 + 4( m1 − m 2 ) z 2 p1 p 2 p3 .
Отсюда для перемещений точек на осях получим
u x (0, y,0) =
Px γ 32 u xy
(m 2 − m1 ) γ 1 γ 2
⋅
, u xy = 4
,
2πA66 y
γ 3 [m 2 (m1 + 1) 2 γ 2 − m1 (m 2 + 1) 2 γ 1 ]
u x (0,0, z ) =
Px γ 32 u xz
m2 − m1
⋅ , u xz =
.
2πA66 z
2[(m 2 − m1 ) γ 32 + m1 γ 22 − m2 γ 12 ]
7
(3)
В табл. 1 для ряда материалов приведены значения безразмерных параметров
анизотропии, входящих в формулы (1)-(3).
Таблица 1 ― Параметры анизотропии (безразмерные)
№
Материал
γ12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Co
SiC
Ti
CdS
GaS
GaSe
ZnO
Углеволокно
Графит
Сапфир
Древесина
Керамика
PZT-4
Композит (60%
волокон)
Бедренная
кость человека
Эпоксидное
стекло
Эпоксидный
графит
Гнейс влагопропитанный
Бетон, состарен химически
Бетон, состарен циклами
нагрев-холод
Zn
3,269
2,859
1,759
3,186
4,073
3,289
2,279
7,492
105,1
2,336
13,79
1,198
13
14
15
16
17
18
19
20
γ 22
γ 32
0,3568
1,061
0,3808
0,7786
0,6324
1,327
0,3432
0,9198
0,05629
0,1290
0,1004
0,2432
0,4412
0,9605
1,568
4,790
0,0003322 0,0007955
0,4293
0,8848
0,1227
0,7101
0,6907
0,8393
m1
m2
u xy
u xz
5,206
5,994
2,066
4,219
27,46
15,70
2,950
4,132
7256
3,921
76,22
1,415
0,1921
0,1668
0,4840
0,2370
0,03642
0,06368
0,3389
0,2420
0,0001378
0,2550
0,01312
0,7069
0,5701
0,8911
0,5204
0,5849
1,937
1,389
0,6097
0,2941
22,95
0,7695
0,5306
0,7066
0,6504
0,8304
0,6384
0,6167
0,8263
0,7803
0,6337
0,6671
0,8548
0,7523
0,6021
0,6406
22,32
0,4745
1,821
25,91
0,03859
0,4099
0,6602
4,157
0,2787
0,9429
4,443
0,2251
0,4779
0,5412
8,499
0,3725
1,135
12,23
0,08178
0,5774
0,6945
20,83
0,5543
2,020
20,94
0,04776
0,4002
0,6679
2,627
0,2999
0,5660
4,085
0,2448
0,8864
0,6828
1,008+
i0,4542
1,003+
i0,2741
1,008−
i0,4542
1,003−
i0,2741
1,266
0,7259+
i0,6878
0,8922+
i0,4517
0,7259−
i0,6878
0,8922−
i0,4517
0,7876
0,8583
0,8350
0,8637
0,2928+
i0,5507
0,2928−
i0,5507
0,6307
0,7271+ 0,7271−
i0,9974 i0,9974
1,130
0,8340
1,096
Значения безразмерных величин u xy , u xz (3) приведены в двух последних
колонках табл. 1 и характеризуют нормальные перемещения точек поверхности, лежащих на координатных осях и равноудаленных от начала координат,
где действует сосредоточенная сила. Указанные величины могут характеризовать «податливость» поверхности тела в направлении осей координат (п.1.2).
Для материалов 2, 5, 6, 9 , 10, 12, 17, 20 нормальное перемещение меньше вдоль
оси z. Для остальных материалов перемещение меньше вдоль оси y.
Расчеты также сделаны для ряда абстрактных материалов, упругие параметры
см. табл. 2. Показано, что для материалов 1*, 4*, и 5* нормальное перемещение
меньше вдоль оси z, для остальных материалов — в направлении оси y.
8
Таблица 2 ― Примеры упругих параметров
Значения упругих параметров (GPa)
Материал
A11
A13
A33
A44
A66
1*
22
9
33
4
8
2*
33
9
22
8
4
3*
22
9
33
8
4
4*
33
9
22
4
8
5*
22
15
33
4
8
Во второй главе рассмотрены методы расчета контактного напряжения
при конечных областях контакта. В п. 2.1 рассматривается контактная задача
для заданной эллиптической области контакта. Основание штампа в области
описывается функцией f(y,z)=z2/(2R1)+y2/(2R2). Штамп вдавливается без перекоса
центрально приложенной силой P, испытывая осадку δ. Штамп имеет острые
кромки, поэтому эллиптическая область контакта считается известной в виде
Ω={z2/a2+y2/b2≤1}. При заданной функции f(y,z), области контакта и осадке требуется определить нормальное контактное давление q(y,z) в области Ω и силу P.
На основании решения (1) ИУ контактной задачи можно записать в форме
(4)
∫∫ q( y0 , z 0 ) K ( y − y0 , z − z0 )d y0 dz0 = δ − f ( y, z ), ( y, z ) ∈ Ω,
Ω
K ( y, z ) =
(m 2 − m1 ) γ 32
4π 2 A66
∞ ∞
ξ2
∫ ∫ D ζ1ζ 2 exp(−izξ − iyη)dξdη.
− ∞ −∞
(5)
Пусть область контакта вытянута вдоль оси z, т.е. a ≥ b. Введем безразмерные обозначения (штрихи далее опускаем)
y
z
y
z
b
δ
, z ' = , y0 ' = 0 , z 0 ' = 0 , ξ' = ξa, η' = ηa, k = , δ' = ,
a
a
a
a
a
a
 2 y ' 2

R
R
P
q ( y, z )
R1 ' = 1 , R2 ' = 2 , P ' =
,
q
'
(
y
'
,
z
'
)
=
,
S
:
z
'
+
≤
1

.
a
a
A66


A66 a 2
k2
y' =
Решение уравнения (4), следуя идеям Л.А. Галина, будем искать в форме
q( y, z ) =
A0 + A1 z 2 + A2 y 2
1− z2 − k −2 y2
(6)
.
При использовании свойств ядра (5) найдены точные формулы для коэффициентов в формуле (6).
Затем вдавливающая штамп сила находится по формуле
P = ∫∫ q ( y, z )d ydz = ∫∫
S
S
A0 + A1 z 2 + A2 y 2
1− z2 − k −2 y2
dydz = 2πk ( A0 +
A1 A2 k 2
+
).
3
3
Аналогичное точное решение задачи построено также для случая, когда
заданный эллипс контакта вытянут вдоль оси y.
Для предельного случая эллиптического штампа с плоским основанием
(R1=R2=∞) в табл. 3 даны значения безразмерной силы (для материалов из табл.
2; ниже P и δ размерные)
9
P0 =
P
b
P
a
(a ≥ b, k = ), P0 =
(b ≥ a, k = ).
2πA66 δa
a
2πA66 δb
b
Таблица 3 ― Значения силы P0
k
Материал
1*
2*
3*
4*
5*
0,1
0,5
0,9
штамп вдоль оси z
0,3195 0,5268 0,6747
0,5328 0,9825 1,331
0,4936 0,9030 1,216
0,3834 0,6346 0,8137
0,3010 0,4850 0,6160
0,1
0,5
0,9
штамп вдоль оси y
0,2856 0,5060 0,6706
0,6969 1,082
1,351
0,6120 0,9762 1,231
0,3464 0,6111 0,8086
0,2566 0,4583 0,6106
Сравнение нормальных перемещений поверхности вдоль осей, проведенное выше, объясняет результаты из табл. 3: для материалов 1*, 4* и 5* труднее
вдавить штамп, вытянутый вдоль оси z; для материалов 2* и 3* труднее вдавить
штамп, вытянутый вдоль оси y.
Для эллиптического штампа с полиномиальным основанием доказана теорема о структуре точного решения контактной задачи, аналогичная известной
теореме Л.А. Галина для изотропного случая.
В п.2.2. исследуется контактная задача при заранее неизвестной области
контакта. Задача сводится к интегральному уравнению (4), в котором область Ω
неизвестна, с ядром в форме (2) (без квадратур). Для решения интегрального
уравнения при условии (штамп не имеет острых кромок) q(y,z)=0, (r,z)∈∂Ω,
используем разработанный Галановым метод нелинейных граничных
интегральных уравнений типа Гаммерштейна. Метод позволяет одновременно
определить область контакта, контактное давление в этой области и
нормальное перемещение упругого материала вне области контакта. Важно, что
форма ядра (2) позволяет эффективно и просто провести его регуляризацию.
Для отладки компьютерной программы метода Галанова использовалось
точное решение для эллиптического параболоида [Fabrikant V.I. Non-traditional
contact problem for transversely isotropic half-space // Quarterly J. Mech. Appl.
Math. 2011. Vol. 64. P. 151-170.], f(y,z)=z2/(2R1)+y2/(2R2), имеющее вид
q( y, z ) = q0 1 −
y2
b
(m1 − m2 ) γ 32
δ = aq 0
8 A66
c=
2π
∫
0
2
−
2π
∫
0
z2
a
2
, P = ∫∫ q( y, z )dydz =
Ω
R
2π
c
abq0 , 1 = ,
3
R2 d
(7)
ζ1 (θ)ζ 2 (θ) cos 2 θdθ
b2
a2
,
+
= δ,
D(θ)[(a / b) 2 cos 2 θ + sin 2 θ]1 / 2 2 R1 2 R2
ζ1 (θ)ζ 2 (θ) cos 4 θdθ
D(θ)[(a / b) 2 cos 2 θ + sin 2 θ]3 / 2
, d=
2π
∫
0
ζ1 (θ)ζ 2 (θ) cos 2 θ sin 2 θdθ
D(θ)[(a / b) 2 cos 2 θ + sin 2 θ]3 / 2
(8)
,
D (θ) = m1h22 (θ)ζ1 (θ) − m2 h12 (θ)ζ 2 (θ) − 4( m1 − m2 ) sin 2 θζ1 (θ)ζ 2 (θ)ζ 3 (θ),
ζ n (θ) = γ n2 cos 2 θ + sin 2 θ ( n = 1,2,3), hl (θ) = ( ml + 1) γ 32 cos 2 θ + 2 sin 2 θ (l = 1,2).
10
При заданных δ, R1, R2 отношение полуосей эллипса a/b определяется из
соотношения (7)3. Затем величина a находится из (8)2, величина q0 ― из (8)1.
Пусть область контакта содержится в квадрате S со стороной a0. Введем
безразмерные обозначения (штрихи далее опускаем)
y' =
R
R
y
z
δ
a
b
, z' =
, δ' =
, R1 ' = 1 , R2 ' = 2 , a ' = , b' =
,
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
q
b
q( y, z )
P
k = , q0 ' = 0 , q ' ( y ' , z ' ) =
, P' =
.
a
A66
A66
A66 a02
В табл. 4 приведены результаты сравнения численного и точного решений
по значениям q0 и P для случаев, когда при вдавливании эллиптического параболоида возникает круговая область контакта (a=b) при δ=0,7, R2=1.
Таблица 4 ― Сравнение для круговой области контакта
Материал
R1
Точное решение
Метод Галанова
q0
P
q0
P
a=b
1*
1,13
0,861
1,15
1,79
1,17
1,81
2*
0,750
0,775
2,55
3,21
2,59
3,24
3*
0,794
0,787
2,29
2,97
2,34
3,02
4*
1,12
0,860
1,39
2,15
1,42
2,18
5*
1,18
0,871
1,04
1,65
1,05
1,66
Как показывает анализ точного решения (7)-(8), при фиксированной осадке
штампа область контакта вытянута вдоль той координатной оси, вдоль которой
менее «податлива» поверхность полупространства. Аналогичный вывод можно
сделать при вдавливании штампа в форме правильной пирамиды, когда
f ( y, z ) = max(| y |, | z |).
(9)
Для штампа в форме кругового конуса, когда f ( y, z ) = y 2 + z 2 , область контакта вытягивается в сторону наименьшей «податливости» поверхности полупространства, см. рис. 1.
z
↑0,67
□ □ □
■ ■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
• ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ •0,67
• ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ •→y
• ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ •
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■ ■
□ □ □
Рисунок 1 ― Узлы сетки в области контакта (конический штамп, сетка в S из 13×13 узлов,
δ=1): к затемненным квадратикам (изотропный материал) добавляются незатемненные (материалы 1*, 4*, 5*) или кружки (материалы 2*, 3*)
11
Для материалов из табл. 1 на рис. 2 показаны узлы сетки в области контакта при вдавливании штампа в форме пирамиды (9). При этом брали сетку из
13×13 узлов, δ=1. Как видно, по сравнению с изотропным материалом здесь зона контакта также увеличивается в том направлении, в котором поверхность
тела менее «податлива». Из материалов, приведенных в табл. 1, наименьшая
площадь области контакта наблюдается для графита (рис. 2-б).
z
■ □
♦ ■ ■ ■
• ■ ■ ■
■ ■ ■
■ ■ ■
■ ■ ■
• ■ ■ ■
♦ ■ ■ ■
■ □
↑0,5
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■
■
■
■
■
■
■
□ ■
■♦
■ •
■0,5
■→y
■
■ •
■♦
□ ■
□
■
■
■
■
■
■
■
□
z
↑0,5
□
■
■
■
■
■
□
■
□
■
■
■
□
■
■
□
■
□
■
а
■
■
□
■
■
■
□
■
□
■
■
□
■
■
■
□
■
□
■
■
■
■
■
□
□
■
■
■0,67
■→y
■
■
■
□
б
Рисунок 2 ― Узлы сетки в области контакта (пирамидальный штамп): а) к затемненным
квадратикам для изотропного материала добавляются незатемненные для материалов 2, 12
или ромбики для материалов 1, 3, 11 или ромбики и кружки для материала 13; б) незатемненные квадратики для графита, все квадратики для углеволокна
Расчеты выше были сделаны при постоянной осадке штампа δ, вдавливающая штамп сила P при этом была разной. Ниже в табл. 5 даны результаты
расчетов, сделанных согласно точному решению (7)-(8) при одинаковой для
1
всех материалов из табл. 2 силе P ∗ = Prazm /(a 02 A66
) = 2 , где Prazm — размерная си1
ла, A66
— параметр A66 для материала 1*, R1=R2=0,5 (круговой штамп). Также
рассчитана безразмерная площадь области контакта S0.
Таблица 5 ― Полуоси эллипса, осадка, площадь (точное решение)
Материал
a
b
δ
S0=πab
1*
2*
3*
4*
5*
0,713
0,642
0,675
0,669
0,741
0,658
0,782
0,789
0,620
0,662
0,941
1,024
1,078
0,832
0,987
1,474
1,577
1,673
1,303
1,541
Как видно из табл. 5, при постоянной силе сужение и расширение эллипса
контакта происходит в тех же направлениях, что и при постоянной осадке.
Рассмотрена задача о взаимодействии штампов. Пусть в трансверсально
изотропное полупространство x≥0, граница которого перпендикулярна
12
плоскостям изотропии z=const, внедряются два одинаковых абсолютно жестких
эллиптических параболоида, расстояние между вершинами которых 2h.
Вершины штампов лежат на оси y (задача А) или z (задача Б). Штампы
вдавливаются без перекоса одинаковыми силами P, испытывая осадку δ. В
задачах А и Б формы основания штампов описываются соответственно
функциями
f ± ( y, z ) =
( y ± h) 2
z2
−
,
2 R1
2 R2
f ± ( y, z ) =
y 2 ( z ± h) 2
−
.
2 R1
2 R2
При неизвестных областях контакта для решения задач снова применяется
метод Галанова. Интегральное уравнение относительно контактного давления в
силу симметрии приводится к уравнению по одной области, априори
содержащейся в квадрате со стороной a0. Bведем безразмерные обозначения
(штрихи далее опускаем)
δ' =
R
R
δ
h
q ( y, z )
P
, R1 ' = 1 , R2 ' = 2 , h' =
, q' ( y' , z ' ) =
, P' =
.
a0
a0
a0
a0
A66
A66 a 02
В табл. 6 приведены результаты расчетов значения силы P по точному
(h=∞; a и b ― полуоси эллипса контакта по осям z и y соответственно, ε=a/b) и
численному решениям для задач А и Б при R1=R2=1, δ=0,5. Для первых пяти материалов из табл. 6 поверхность полупространства «податливее» в направлении
оси z, для последних трех материалов поверхность «податливее» вдоль оси y.
Как показывают расчеты, для первых пяти материалов немного легче вдавить
штампы, расположенные по оси z. Для последних трех материалов немного
легче вдавить штампы, расположенные по оси y.
Таблица 6 ― Значения силы для двух круговых параболоидов
Материал
Титан, Ti
Кобальт, Co
Композит
(60% волокон)
Углеволокно
Древесина
SiC
Керамика
Точное решение
Задача А
Задача Б
ε
0,934
0,958
0,852
h=∞
1,57
1,49
1,67
h=4
1,56
1,46
1,61
3
1,53
1,44
1,59
2
1,49
1,39
1,55
1
1,36
1,27
1,43
h=4
1,54
1,45
1,57
3
1,51
1,42
1,54
2
1,46
1,37
1,48
1
1,32
1,25
1,34
0,764
0,971
1,024
1,033
1,96
1,55
1,10
1,42
1,87
1,50
1,04
1,33
1,85
1,48
1,02
1,31
1,81
1,43
0,983
1,26
1,69
1,31
0,895
1,15
1,79
1,50
1,04
1,34
1,75
1,47
1,02
1,32
1,68
1,42
0,990
1,28
1,52
1,29
0,903
1,16
1,008
1,24
1,18
1,16
1,12
1,02
1,18
1,16
1,12
1,02
PZT-4
Сапфир
На рис. 3 для случая титана схематично показаны узлы в части области
контакта, пересекающей положительную полуось исходной системы координат, при вдавливании двух круговых штампов (R1=R2=1, рис. 4 а и б для задач А
и Б соответственно), когда δ=0,5, h=1 (равномерная сетка 13×13 узлов).
Взаимодействие штампов приводит к нарушению симметрии области
контакта относительно точки первоначального контакта (рис. 3).
13
z
■
■
■■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
↑0.67
■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■
а
■
■
■
■
■
■
■
■
■ ■0.67
■ ■→y
■■
■
■
■ ■
■■
■ ■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
z
↑0.67
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■ ■
■
■
■
■
■
■
■
■
■ ■0.67
■ ■→y
■ ■
■
б
Рисунок 3 ― Узлы сетки в области контакта для титана (круговые штампы)
В третьей главе рассмотрены методы расчета контактного напряжения в
полубесконечных областях контакта. В п.3.1 исследуется задача для полосовой
области контакта на трансверсально изотропном полупространстве x≥0, граница которого перпендикулярна плоскостям изотропии z=const. Полоса контакта
параллельна либо оси y (задача А) либо оси z (задача Б), см. рис. 4.
z
А
Б
y
x
x=0
z=const
Рисунок 4 ― Полосовые области контакта
В задаче А область контакта Ω описывается неравенствами |y|<∞, |z|≤a, а
форма основания штампа ― функцией f(y,z), периодической по y с периодом 2l.
Штамп вдавливается силой P, отнесенной к длине периода и приложенной на
оси y. Считаем задачу симметричной по z. Требуется найти распределения
нормальных контактных напряжений под штампом σx(0,y,z)=q(y,z), (y,z)∈Ω.
14
Затем может быть определена связь между силой P и функцией f(y,z). Пусть
функция f(y,z) представима в рядом Фурье по y. Тогда достаточно решить
задачу для случая
f ( y , z ) = f ∗ ( z ) exp(−iβ y ), q ( y, z ) = q ( z ) exp( −iβ y ) (β = πm / l )
и составить суперпозицию решений при разных m. Используя условие контакта
u x (0, y , z ) = − f ∗ ( z ) exp( −iβ y ), фундаментальное решение (1) и преобразование
Фурье, получим одномерное ИУ относительно q(z). После введения
безразмерных величин
z
f ( z)
1
q( z )
z
η
= x, 0 = ξ,
= u, λ =
, ∗
= f ( x),
= ϕ( x)
a
a
β
aβ
a
A66
ИУ задачи А можно записать в виде
∞
L1 (u )
 x−ξ
ϕ
(
ξ
)
K
d
ξ
=
π
f
(
x
),
−
1
≤
x
≤
1
,
K
(
t
)
=
cos(ut )du ,


1
1
∫
∫
λ
u


−1
0
1
L1 (u ) =
(10)
(m2 − m1 ) γ 32 u 3 ζ11ζ 21
2
2
, D1 = m2 h11
ζ 21 − m1h21
ζ11 − 4(m2 − m1 )ζ11ζ 21ζ 31 ,
D1
ζ n1 = γ 2n u 2 + 1 ( n = 1,2,3), hk1 = ( mk + 1) γ 32u 2 + 2 ( k = 1,2).
В задаче Б область контакта описывается неравенствами |y|≤a, |z|<∞, а форма основания штампа ― функцией f(y,z), периодической по z с периодом 2l.
Штамп вдавливается силой P, отнесенной к длине периода и приложенной на
оси z. Считаем задачу симметричной по y. Пусть функция f(y,z) представима в
рядом Фурье по z. Тогда достаточно решить задачу для случая
f ( y , z ) = f ∗ ( y ) exp( −iβz ), q ( y , z ) = q ( y ) exp( −iβ z ) (β = πm / l ).
Действуя
обозначения
аналогично
предыдущей
задаче,
вводя
безразмерные
y
f ( y)
y
η
1
q( y )
= x, 0 = ξ,
= u, λ =
, ∗
= f ( x),
= ϕ( x),
a
a
β
aβ
a
A66
ИУ задачи Б можно записать в виде
∞
L2 (u )
 x−ξ
ϕ
(
ξ
)
K
d
ξ
=
π
f
(
x
),
−
1
≤
x
≤
1
,
K
(
t
)
=
cos(ut )du ,


2
2
∫
∫
u
 λ 
−1
0
1
L2 (u ) =
(11)
(m2 − m1 ) γ 32 uζ12 ζ 22
2
2
, D2 = m2 h12
ζ 22 − m1h22
ζ12 − 4(m2 − m1 )u 2 ζ12 ζ 22 ζ 32 ,
D2
ζ n 2 = γ 2n + u 2 ( n = 1,2,3), hk 2 = ( mk + 1) γ 32 + 2u 2 (k = 1,2).
Введенный выше безразмерный параметр λ характеризует отношение периода волны подошвы штампа 2l к ширине области контакта 2a. Решения интегральных уравнений (10) и (11) построены при помощи регулярного асимптотического метода «больших λ» В.М. Александрова. Для случая f(x)=f асимптотическое решение, эффективное при достаточно больших λ, имеет вид
ϕ( x) =
3
1
ln 2 λ
[1 + (d 21 + d11 − d11 ln 2λ)(1 − 2 x 2 ) 2 + O( 4 )],
2
λ
λ
π 1− x2
P∗
15
(12)
1
P∗ = ∫ ϕ( x)dx =
−1
P
πf
1
ln 2 λ
[d 20 + ln 2λ + (d 21 + d11 − d11 ln 2λ) 2 + O( 4 )]−1 .
=
aA66 E1n
λ
λ
Здесь dnm ― некоторые постоянные, которые рассчитаны для разных
материалов и табулированы.
В табл. 7, 8 приведены значения величин P0 = P∗ / f , q0 = ϕ(0) / f , рассчитанные по формулам (12) при разных λ для материалов из табл. 2.
Таблица 7 ― Значения характеристик для задачи А
λ=4
Материал
1*
2*
3*
4*
5*
P0
1,540
3,266
2,955
1,857
1,393
q0
0,5066
1,030
0,9471
0,6094
0,4576
λ=6
P0
1,295
2,878
2,580
1,565
1,169
q0
0,4200
0,9100
0,8238
0,5060
0,3786
λ=8
P0
1,162
2,656
2,366
1,404
1,047
q0
0,3742
0,8413
0,7544
0,4515
0,3370
Таблица 8 ― Значения характеристик для задачи Б
λ=4
Материал
1*
2*
3*
4*
5*
P0
1,596
2,995
2,756
1,924
1,463
q0
0,5155
0,9907
0,9138
0,6227
0,4661
λ=6
P0
1,377
2,482
2,290
1,659
1,274
q0
0,4416
0,8072
0,7461
0,5327
0,4047
λ=8
P0
1,255
2,206
2,039
1,510
1,167
q0
0,4010
0,7122
0,6588
0,4832
0,3706
Сравнение табл. 7 и 8 показывает, что если поверхность более жесткая в
направлении оси z (материалы 1*, 4* и 5*), то значения силы и давления больше для задачи Б (штамп вдоль оси z). Для материалов 2* и 3*, когда поверхность менее «податливая» в направлении оси y, сила и давление больше для задачи А (штамп вдоль оси y). При возрастании параметра λ (подошва штампа
становится более плоской или полоса контакта становится более узкой) наблюдается уменьшение силы и контактного давления.
При малых значениях λ для решения ИУ (10), (11) использован сингулярный асимптотический метод, связанный с методом Винера−Хопфа. Для эффективной факторизации символов ядер использована аппроксимация на действительной оси вида
Ln (u ) u u 2 + D 2
≈
,
E1n
u2 + C2
Ln (u ) D
= 2 = B.
u → 0 uE1n
C
lim
Постоянные, входящие в эту аппроксимацию рассчитаны и табулированы.
Для материалов из табл. 2 относительная погрешность аппроксимации не превосходит 1%. Для случая f(x)=f приближенное при малых λ решение имеет вид
16
 1+ x 
1
exp(− Dt )
 1 − x 
(13)
,
 g 0  λ  + g 0  λ  , g 0 (t ) = B erf Dt +
πBt



 
2
1
1
1 2
P∗ = f [
+
(2 −
) + (1 −
) exp(−2 D / λ )].
Bλ
BD
BD
BD
В табл. 9, 10 приведены значения величин P0 = P∗ / f , q0 = ϕ(0) / f , рассчиϕ( x ) =
f
2λ
танные по формулам (13) при разных λ для материалов из табл. 2.
Таблица 9 ― Значения характеристик для задачи А
λ=1
Материал
1*
2*
3*
4*
5*
P0
3,463
1,913
2,158
3,437
3,584
λ=0,5
q0
1,290
0,5900
0,6867
1,268
1,390
P0
0,5990
3,012
3,437
5,912
6,343
q0
2,531
1,112
1,279
2,480
2,768
λ=0,25
P0
11,08
5,219
5,954
10,86
12,00
q0
5,081
2,208
2,520
4,951
5,640
Таблица 10 ― Значения характеристик для задачи Б
λ=1
Материал
1*
2*
3*
4*
5*
P0
2,539
4,194
4,011
2,547
2,273
λ=0,5
q0
0,8410
1,720
1,573
0,8544
0,7406
P0
4,107
7,677
7,151
4,136
3,672
q0
1,591
3,487
3,136
1,617
1,411
λ=0,25
P0
7,248
14,86
13,50
7,352
6,477
q0
3,144
7,160
6,334
3,213
2,805
Из табл. 9, 10 видно, что чем меньше значение λ, тем большая сила
требуется для внедрения штампа (поскольку увеличивается относительная
ширина полосы контакта).
Проведен сравнительный анализ асимптотических решений. Показано, что
при λ→∞
P0 ≈
π
ln λ,
E1n
(14)
где для задач А (n=1) и Б (n=2) соответственно имеем
[m (m + 1) 2 γ 2 − m1 (m2 + 1) 2 γ1 ]γ 32
2[(m2 − m1 ) γ 32 + m1γ 22 − m2 γ12 ]
1
1
= 2 1
,
=
. (15)
E11
(m2 − m1 ) γ1 γ 2
E12
(m2 − m1 ) γ 32
Величины (15), совпадают соответственно с величинами ( γ 32 u xy ) −1 , ( γ 32u xz ) −1 ,
см. (3), определяющими, в каком из направлений поверхности полупространства, y или z, упругий материал является менее «податливым». Поэтому, ясно, что
при достаточно больших λ (для относительно узких (менее волнистых) полосовых штампов) сила P0 (14) будет больше для штампа, расположенного в на17
правлении, в котором поверхность полупространства менее «податлива», см.
табл. 7, 8.
Для достаточно малых λ ситуация меняется на противоположную. Как
следует из второй формулы (13), при λ→0
P0 ≈
2
,
Bλ
(16)
где для задачи А (n=1)
1 2[(m2 − m1 ) γ 32 + m1 γ 22 − m2 γ 12 ]γ 1γ 2 E11 u xy
=
=
=
,
B [m 2 (m1 + 1) 2 γ 2 − m1 (m2 + 1) 2 γ1 ]γ 34 E12 u xz
(17)
а для задачи Б (n=2)
1 [m2 (m1 + 1) 2 γ 2 − m1 (m 2 + 1) 2 γ1 ]γ 34 E12 u xz
=
=
=
.
B 2[(m 2 − m1 ) γ 32 + m1γ 22 − m 2 γ 12 ]γ 1γ 2
E11 u xy
(18)
Формулы (16)-(18) объясняют данные, приведенные в табл. 9, 10. Именно,
при достаточно малых λ (для относительно широких (более волнистых) полосовых штампов) сила P0 (16) будет больше для штампа, расположенного в направлении, в котором поверхность полупространства более «податлива».
Для контроля точности асимптотических решений предложен метод ортогональных функций, основанный на специальных соотношениях для функций
Матье и позволяющий свести ИУ (10), (11) к бесконечным СЛАУ, для которых
метод редукции сходится при любых значениях параметра λ. Построено замкнутое решение ИУ (10), (11) при специальной упрощенной аппроксимации ядра
ИУ (погрешность аппроксимации удовлетворительна лишь в отдельных случаях). Решение базируется на спектральном соотношении для функций Матье, которое ранее было использовано Рвачевым В.Л. при решении задачи о полосовом штампе на изотропном полупространстве.
В п.3.2 рассматривается контактная задача для клиновидной области
контакта. Для решения применяется преобразование Меллина и метод
Галеркина. Рассматривается два случая ориентации клиновидного штампа угла
растова 2β. В задаче А область контакта симметрична по y, в задаче Б ―
симметрична по z. Введем полярные координаты (y=rcosϕ, z=rsinϕ в задаче А;
z=rcosϕ, y=rsinϕ в задаче Б) так, что область контакта описывается
неравенствами 0≤r<∞, |ϕ|≤β. Используя фундаментальное решение (1), получим
следующее интегральное уравнение относительно отнесенного к A66
неизвестного нормального контактного давления q(r,ϕ):
β∞
∫ ∫ k (r, ρ, ϕ, ψ)q(ρ, ψ)ρdρdψ =
f (r , ϕ), 0 ≤ r < ∞, − β ≤ ϕ ≤ β,
(19)
−β 0
k (r , ρ, ϕ, ψ ) =
1
4π 2
∞ 2π
∫ ∫ Φ( γ) exp{−iα[r cos(ϕ − γ) − ρ cos(ψ − γ)]}dγdα,
0 0
где функция f(r,ϕ) описывает подошву и жесткое перемещение штампа. Для задачи А
18
sin 2 γ
ζ 1ζ 2 , ζ n = γ n2 sin 2 γ + cos 2 γ (n = 1,2,3),
D
2
D = m 2 h1 ζ 2 − m1h22 ζ 1 − 4( m 2 − m1 ) cos 2 γ ζ 1ζ 2 ζ 3 ,
Φ( γ ) = (m 2 − m1 ) γ 32
hl = ( m l + 1) γ 32 sin 2 γ + 2 cos 2 γ , ml =
A11 γ l2 − A44
(l = 1,2), γ 3 =
A13 + A44
(20)
A44
.
A66
Для задачи Б в формулах (20) для Φ(γ) следует заменить γ на γ−π⁄2.
Для исключения решений уравнения (19) с бесконечной энергией будем
рассматривать случай, когда к функциям q(r,ϕ), f(r,ϕ) применимо преобразование Меллина по переменной r и
β
∞
β
∞
−β
0
−β
0
∫ dϕ ∫ q(r , ϕ)rdr < ∞,
∫ dϕ ∫ f (r , ϕ)rdr < ∞.
Применив к ИУ (19) преобразование Меллина по r, придем к ИУ вида
β
∫ N ( s, ϕ, ψ)Q( s + 1, ψ)dψ = F (s, ϕ),
− β ≤ ϕ ≤ β,
(21)
−β
∞
Q( s, ψ ) = ∫ q (ρ, ψ)ρ s −1 dρ, F ( s, ϕ) =
0
N ( s, ϕ, ψ ) =
∞
∫ f (r , ϕ)r
s −1
dr ,
0
2π
1
4π
2
∫E
−
( s, ϕ − γ ) E + (1 − s, ψ − γ )Φ( γ )dγ,
0
∞
E ± ( s, θ) = ∫ exp(±it cos θ)t s −1dt.
0
Показатель особенности функции q(r,ϕ) при r→0 связан с точками спектра
интегрального оператора (21). Полюсами sk функции Q(s+1,ϕ) будут значения s,
при которых могут существовать нетривиальные решения у соответствующего
однородного уравнения, т.е. точки спектра интегрального оператора (21). Используя обратное преобразование Меллина, имеем
1 c + i∞
q (r , ϕ) =
Q( s + 1, ϕ)r − s −1ds.
∫
2πi c−i∞
Согласно теории вычетов отсюда получим, что при r→0
q ( r , ϕ) = O( r − ε ), ε = 1 + s k , s k ∈ ( −1;0).
(22)
Для нахождения sk проводится дискретизация уравнения (23) по схеме метода Галеркина. В качестве базисных функций выберем Чебышева первого рода
с весом. В результате найдем, что искомые значения sk являются нулями определителя бесконечномерной матрицы с элементами (k,l=0,1,2,…)
a kl =
∞
π
π(k − l ) ∞
πn
cos
Γm ( s ) J k (mβ) ∑ Γn+ m (1 − s ) f n J l ((n + m)β) cos .
∑
4
2 m =−∞
2
n = −∞
Здесь fn ― коэффициенты Фурье функции Φ(γ)
Φ( γ) =
∞
∑
n = −∞
f n exp(inγ ), f n =
19
( −1) n π
Φ ( γ ) cos( nγ )dγ ,
π ∫0
s + n n − s + 2
Γn ( s) = Γ
 / Γ
.
2
 2  

В расчетах брали материалы (см. табл. 2) 3* (случай y1), 2* (случай y2), 1*
(случай z1) и 5* (случай z2). Для сравнения рассматривался изотропный материал (случай 0), когда f0=1, fn=0 (n≥1). Анализ значений нормальных перемещений
точек поверхности полупространства, лежащих на координатных осях на равных расстояниях от нормальной сосредоточенной силы, приложенной в начале
координат позволяет сделать вывод, что в случаях y1, y2 нормальные перемещения поверхности полупространства меньше вдоль оси y, чем вдоль оси z соответственно в 1,59 и 1,81 раз. Для случаев z1, z2 перемещения поверхности
меньше вдоль оси z, чем вдоль оси y соответственно в 1,27 и 1,43 раз.
В табл. 11 даны значения показателей особенности контактного давления ε
вида (22) в угловой точке. Для острых углов β значения ε для задач А и Б незначительно отличаются от соответствующих значений для изотропного полупространства и здесь не приводятся.
Таблица 11 ― Показатели особенности ε
Случай β=5π⁄8
y1
0,28
y2
0,27
0
0,36
z1
0,40
z2
0,43
Задача А
β=3π⁄4 β=7π⁄8
0,08
0,01
0,04
―
0,19
0,04
0,24
0,06
0,25
0,05
β=5π⁄8
0,44
0,48
0,36
0,32
0,31
Задача Б
β=3π⁄4
β=7π⁄8
0,29
0,08
0,30
0,07
0,19
0,04
0,13
0,02
0,10
―
Расчеты позволяют сделать следующие выводы. Пусть ось симметрии клиновидного штампа ориентирована в направлении координатной оси меньшей
«податливости» поверхности полупространства (случаи y1, y2 в задаче А; z1, z2 в
задаче Б). Тогда для острых углов β значения ε больше (а для тупых углов β
значения ε меньше), чем для изотропного полупространства. Пусть упругая поверхность существенно менее «податлива» вдоль оси симметрии штампа, чем в
перпендикулярном направлении (случай y2 в задаче А; z2 в задаче Б). Тогда существует тупой угол β, начиная с которого контактное давление уже не имеет
особенности вида (22), т.е. ограниченно. Пусть ось симметрии штампа направлена по оси большей «податливости» поверхности полупространства (случаи z1,
z2 в задаче А; y1, y2 в задаче Б). Тогда для острых углов β значения ε меньше (а
для тупых углов β значения ε больше), чем для изотропного полупространства.
В приложении 1 приведена программа на Фортране для расчета контактного давления по методу Галанова. В приложении 2 дано сравнение точных решений для трансверсально изотропного полупространство: при вдавливании
эллиптического параболоида площадка контакта параллельна или перпендикулярна плоскостям изотропии. Рассчитаны отношения вдавливающих сил (при
20
равной осадке), а также сил, отнесенных к площади эллипса контакта. Близкие
значения получаются и по методу Галанова.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В диссертационной работе решена научно-техническая задача оценки
напряженного состояния в области контакта трансверсально изотропных тел.
Развиты методы расчета контактного напряжения при контакте трансверсально
упругого тела, моделируемого полупространством, со штампами различной
формы в плане. При этом плоскости изотропии перпендикулярны границе
полупространства (осевая симметрия невозможна).
1. Получен не содержащий квадратур компонент фундаментального решения (нормальное перемещение на границе полупространства под действием заданной нормальной силы) для трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности. Отсутствие квадратур позволяет провести простую регуляризацию при численном
решении контактной задачи с неизвестной областью контакта (метод Галанова).
2. Исследовано нормальное перемещение поверхности трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности. Расчеты проведены для практически важных материалов (титан, кобальт, графит, углеволокно, бетоны, и др.).
3. Построены точные решения задач о взаимодействии штампа в форме
эллиптического параболоида с трансверсально изотропным полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта.
4. Численный метод Галанова модифицирован для решения контактных
задач с неизвестной областью контакта для трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны области
контакта. Получена отладка программы с точным решением для эллиптического параболоида. При заданной осадке и форме основания штампа увеличение
области контакта наблюдается в том направлении, в каком его поверхность менее «податливая».
5. Построены асимптотические решения (регулярное и сингулярное) задач
о взаимодействии полосового в плане штампа с трансверсально изотропным
упругим полупространством (плоскости изотропии перпендикулярны области
контакта). Для контроля точности асимптотических решений предложен метод
ортогональных функций. Показано, что при достаточно больших λ (для относительно узких (менее волнистых) полосовых штампов) вдавливающая сила будет
больше для штампа, расположенного в направлении, в котором поверхность
полупространства менее «податлива». При достаточно малых λ (для относительно широких (более волнистых) полосовых штампов) сила больше для
штампа, расположенного в направлении большей «податливости» поверхности.
6. Построены численно-аналитические решения задач о взаимодействии
клиновидного в плане штампа угла 2β с трансверсально изотропным упругим
полупространством (плоскости изотропии перпендикулярны области контакта),
21
исследованы особенности контактного напряжения в кончике клиновидного
штампа. Показано, что если упругая поверхность существенно менее «податлива» в направлении оси симметрии штампа, чем в перпендикулярном направлении, то существует тупой угол β, начиная с которого контактное давление уже
не имеет особенности порядка r − ε , ε ∈ (0;1).
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах.
Статьи в журналах из списка ВАК:
1. Давтян Д.Б., Пожарский Д.А. Действие полосового штампа на трансверсально изотропное полупространство // Прикладная математика и механика. 2012.
Т. 76. Вып. 5. С. 783-794.
2. Пожарский Д.А., Давтян Д.Б., Артамонова Е.А. Клиновидный штамп на
трансверсально изотропном полупространстве // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естеств. науки. 2013. № 1. С. 31-33.
3. Пожарский Д.А., Давтян Д.Б. Трехмерная контактная задача для трансверсально изотропного тела // Вестник Донского государственного технического
университета. 2013. Т. 13. № 7-8. С. 22-26.
Статьи в других изданиях и материалы конференций:
4. Пожарский Д.А., Давтян Д.Б. Нетрадиционные контактные задачи для трансверсально изотропного полупространства // Тезисы докладов междунар.
конф. «Современные проблемы механики, посвященной 100-летию Л.А. Галина» (Москва, ИПМех РАН, 20-21 сентября 2012г.). М.: ИПМех РАН, 2012.
С. 70.
5. Давтян Д.Б. Контактная задача для трансверсально изотропного полупространства // Инновация, экология, ресурсосберегающие технологии (ИнЭРТ2012). Труды X Международного научно-технического форума (Ростов-наДону, 9-11 октября 2012 г.). Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2012. С. 188-191.
6. Пожарский Д.А., Давтян Д.Б. Контактные задачи для трансверсальноизотропного полупространства // Развитие идей Л.А. Галина в механике. М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. С. 121-136.
7. Бедоидзе М.В., Давтян Д.Б. Контактные задачи о взаимодействии штампов //
Состояние и перспективы развития сельскохозяйственного машиностроения.
Материалы 7-й междунар. науч.-практ. конф. (Ростов-на-Дону, 25-27 февраля
2014 г.). Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2014. С. 181-182.
В печать
Объем
усл. п. л. Офсет. Формат 60x84/16.
Бумага тип №3. Заказ №
. Тираж 100. Бесплатно
Издательский центр ДГТУ
Адрес университета и полиграфического предприятия:
344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
22
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
17
Размер файла
254 Кб
Теги
контакты, метод, напряженного, области, изотропной, состояние, расчет, тела, трансверсально, пространственной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа