close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближение решений задач тензорной томографии рядами по локальным и ортогональным базисам.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
ПОЛЯКОВА Анна Петровна
Приближение решений задач тензорной томографии
рядами по локальным и ортогональным базисам
05.13.18 — математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Новосибирск – 2013
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского
отделения Российской академии наук.
Научный руководитель:
Деревцов Евгений Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент
Официальные оппоненты:
Пикалов Валерий Владимирович, доктор физико-математических наук,
ФГБУН Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, главный научный сотрудник
Шишленин Максим Александрович, кандидат физико-математических
наук, ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, старший научный сотрудник
Ведущая организация: ФГБУН Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН
Защита состоится 10 октября 2013 г. в 15 ч. 00 м. на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при ФГБУН Институт математики
им. С. Л. Соболева СО РАН, 630090, г. Новосибирск, пр. Академика
Коптюга, 4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУН Института
математики им. С. Л. Соболева СО РАН.
Автореферат разослан
Ученый секретарь
диссертационного совета
к.ф.-м.н.
августа 2013 г.
В. Л. Мирошниченко
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Методы томографического, то есть послойного исследования структуры неоднородных объектов, благодаря успехам вычислительной математики и современному аппаратному оснащению, последние 50 лет развивались очень интенсивно. Наибольшее признание вычислительная томография завоевала в биологии и медицине.
Особенно стремительным был рост популярности сначала рентгенодиагностической, а затем ЯМР-диагностической вычислительной томографии. В то же время быстрый прогресс медицинской томографии сопровождался зарождением и развитием многих других приложений этого весьма универсального и информативного метода интроскопии. Методы вычислительной томографии стали все глубже проникать в технику
физического эксперимента, геофизику, физику космоса и астрономию,
биологию и аналитическую химию, внесли кардинальные перемены в
дефектоскопию промышленных изделий. Таким образом, крупные достижения диагностической вычислительной томографии в 70-ые годы
явились мощным стимулом для развития приложений в различных областях естествознания и техники.
Кратко упомянем основные математические средства, на которых
основаны приближенные методы и алгоритмы томографии. Наиболее
привлекательны, с математической точки зрения, формулы обращения.
Широкое распространение получили также и алгебраические методы, в
которых на первом этапе задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений, а на втором эта система решается, как правило, итерационными методами. Ряд алгоритмов томографии основан на Фурьеанализе и так называемой теореме о центральном сечении, связывающей
преобразования Фурье и Радона. Наконец, применимы и хорошо известные вариационные подходы типа метода наименьших квадратов или, с
привлечением функционального анализа, сингулярного разложения соответствующих томографических операторов.
Ранее метод наименьших квадратов (МНК) успешно использовался
для решения двумерных задач эмиссионной, векторной и 2-тензорной
томографии. В частности, в работах Е.Ю. Деревцова МНК применялся
для восстановления соленоидальной части векторного и 2-тензорного поля, соответственно, для случая прямолинейного характера распространения лучей. В этих работах в качестве аппроксимирующей последовательности выступали поля, построенные на основе однородных многочленов. В дальнейшем было предложено для решения задачи двумер3
ной эмиссионной томографии использовать в качестве аппроксимирующей последовательности двумерные B-сплайны. Численные эксперименты показали безусловное преимущество предложенного алгоритма.
Далее подход с использованием МНК с базисными полями, построенными на основе двумерных B-сплайнов, был развит и на случай векторных и симметричных 2-тензорных полей. Однако у этого подхода есть и
недостаток, а именно для численной реализации алгоритма необходимы
большие временные затраты (по сравнению с другими подходами). Это
связано с тем, что для хорошей точности восстановления необходимо с
большой точностью вычислять образы базисных полей под действием
лучевых преобразований.
Для обращения томографических операторов также часто используется метод разложения по сингулярным числам. Суть метода заключается в том, что оператор представляется в виде ряда по сингулярным
числам и базисным элементам в пространстве образов, тогда обратный
оператор будет представлять собой ряд со схожей структурой, где задействованы прообразы этих базисных элементов и те же сингулярные
числа. В скалярном и векторном случаях задача решена ранее, построены разложения как оператора Радона, так и некоторых операторов лучевых преобразований векторных полей. С.Г. Казанцевым и А.А. Бухгеймом построено сингулярное разложения оператора продольного лучевого преобразования веерного типа, действующего на соленоидальные
тензорные поля. В задачах томографии метод сингулярного разложения
позволяет также сконструировать приближенное обращение, в котором
используется априори вычисленное ядро реконструкции.
Целью диссертационной работы является разработка и исследование алгоритмов численного решения задач по восстановлению двумерных тензорных полей малого ранга по их известным лучевым преобразованиям; разработка и исследование алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона. Рассматриваются вопросы, связанные с
численной реализацией всех предложенных алгоритмов.
В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:
1) Модификация алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей ранга m 6 2, основанных на методе наименьших
квадратов с использованием базисных элементов, построенных на основе
двумерных B-сплайнов. Получение аналитических выражений для вы-
4
числения образов тензорных полей малого ранга, построенных на основе
двумерных B-сплайнов, под действием операторов лучевых преобразований.
2) Разработка алгоритмов для численного восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей, основанных на методе усеченного сингулярного разложения. Построение сингулярных разложений
операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля.
3) Разработка алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона, основанному на методе усеченного сингулярного разложения. Построение сингулярного разложения оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля.
4) Создание программ для численной реализации на ЭВМ всех предложенных алгоритмов и проведение численных экспериментов.
Методы исследования. Основные результаты работы получены с
использованием интегральной геометрии тензорных полей, методов вычислительной математики, теории обратных и некорректных задач, методов математического моделирования. Для численного моделирования
и программной реализации разработанных алгоритмов использовались
методы прикладного программирования.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1) Получены аналитические выражения для образов симметричных
тензорных полей ранга m 6 2, построенных на основе двумерных
B-сплайнов, под действием лучевых преобразований. Эти формулы легли в основу модификации алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей малого ранга, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисов, построенных на основе
двумерных B-сплайнов.
2) Построены сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля. Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанные на методе усеченного сингулярного разложения. Получены оценки для норм операторов приближенного обращения операторов лучевых преобразований.
3) Построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля. Разра-
5
ботан алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного полей по их известному нормальному преобразованию Радона,
основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Получена
оценка для нормы оператора приближенного обращения оператора нормального преобразования Радона.
Основные положения, выносимые на защиту:
1) Предложены модификации алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей ранга m 6 2, основанных на методе
наименьших квадратов с использованием базисов, построенных на основе двумерных B-сплайнов. Модификации заключаются в использовании
полученных автором аналитических выражений для образов тензорных
полей, построенных на основе двумерных B-сплайнов, под действием
лучевых преобразований.
2) Разработан алгоритм восстановления двумерных симметричных
2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Построены сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного
лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2тензорные поля.
3) Разработан алгоритм для численного решения задачи по восстановлению потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона, основанный на методе
усеченного сингулярного разложения. Построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на
трехмерные векторные поля.
Практическая ценность работы. В работе предложены модификации алгоритмов восстановления двумерных тензорных полей малого
ранга по их известным лучевым преобразованиям, основанных на МНК с
использованием базисов, построенных на основе двумерных B-сплайнов.
Построены и численно реализованы алгоритмы восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанные на методе усеченного сингулярного разложения. Предложен и программно реализован алгоритм восстановления
потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному
нормальному преобразованию Радона. Все эти алгоритмы могут быть
применены для обработки экспериментальных данных в физической томографии, доплеровской томографии, томографии океана, при решении
задач теории упругости, в теории электромагнетизма и в других обла-
6
стях.
Достоверность полученных результатов и выводов обоснована теоретически, подтверждается анализом разработанных численных
алгоритмов и проведением численных экспериментов.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XLVI, XLVIII международных
научных студенческих конференциях “Студент и научно-технический
прогресс” (Новосибирск, 2008 и 2010гг.), международной конференции
“Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория
приближений”, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2008г.), всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009 (Новосибирск, 2009г.), первой, второй и
четвертой молодежных международных научных школах-конференциях
“Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач” (Новосибирск, 2009, 2010 и 2012гг.), всероссийской конференции
“Методы сплайн-функций”, посвященной 80-летию со дня рождения
Ю.С. Завьялова (Новосибирск, 2011г.), международной конференции
“Моделирование – 2012” (Украина, Киев, 2012г.), шестой международной конференции “Inverse problems: modeling and simulation” (Турция,
Анталия, 2012г.), всероссийской конференции “Актуальные проблемы
вычислительной математики и математического моделирования” (Новосибирск, 2012г.), международной конференции “International Conference
on Mathematical Modeling in Physical Sciences” (Венгрия, Будапешт,
2012г.), а также на семинаре отдела условно-корректных задач ИМ
им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. Романов В.Г., Аниконов Д.С.), семинаре “Математика в приложениях” ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН (рук.
Годунов С.К.), семинаре “Избранные вопросы математического анализа” ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. Демиденко Г.В.), семинаре
ИВМиМГ СО РАН (рук. Кабанихин С.И.).
Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 17 работ, из них 2 входят в перечень ВАК.
Личный вклад автора. Основные научные результаты диссертационной работы получены автором лично. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в работу вошли только те результаты, в получении которых автор принял непосредственное творческое
участие.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из
введения, трех глав, заключения, списка литературы из 56 наименова-
7
ний и четырех приложений. Содержание основного текста работы изложено на 148 страницах, содержит 25 иллюстраций, 13 таблиц.
Содержание диссертационной работы
Во введении обоснована актуальность проблем, рассматриваемых в
диссертационной работе, определены основные цели и задачи исследования, показана ее научная новизна и практическая ценность, сформулированы выносимые на защиту положения и представлен краткий обзор
содержания работы.
Первая глава посвящена вычислению образов тензорных полей
ранга m 6 2, построенных на основе двумерных B-сплайнов, под действием операторов лучевых преобразований. Полученные аналитические выражения легли в основу модификаций алгоритмов восстановления тензорных полей, основанных на МНК.
В п. 1.1 введены определения, используемые в главах 1 и 2. В частности, сформулированы теоремы разложения двумерных векторных и 2тензорных полей; даны определения преобразования Радона и лучевых
преобразований векторных и симметричных 2-тензорных полей, описаны их свойства; определены двумерные B-сплайны. А также сформулированы основные цели главы 1.
Преобразованием Радона функции f называется оператор, который
задается формулой:
+∞
Z
(Rf )(s, ϕ) =
f (−t sin ϕ + s cos ϕ, t cos ϕ + s sin ϕ) dt.
(1)
−∞
Переменные s, ϕ определяют положение единственной (отстоящей на
расстояние |s| от начала координат) прямой в пучке параллельных
прямых, который, в свою очередь, задается нормальным вектором
η = (cos ϕ, sin ϕ). Направляющий вектор прямой, вдоль которой ведется
интегрирование, обозначим через ξ = (− sin ϕ, cos ϕ).
Продольное P, поперечное P⊥ и смешанное P† лучевые преобразования симметричного 2-тензорного поля w задаются формулами
Z∞
(Pw)(s, ϕ) =
wij (−t sin ϕ + s cos ϕ, t cos ϕ + s sin ϕ)ξ i ξ j dt,
−∞
8
(2)
Z∞
⊥
(P w)(s, ϕ) =
(P† w)(s, ϕ) =
−∞
Z∞
wij (−t sin ϕ + s cos ϕ, t cos ϕ + s sin ϕ)η i η j dt,
(3)
wij (−t sin ϕ + s cos ϕ, t cos ϕ + s sin ϕ)η i ξ j dt.
(4)
−∞
Продольное P и поперечное P⊥ лучевые преобразования, действующие
на векторные поля определяются аналогично.
В п. 1.2 приведены подробные вычисления преобразования Радона
от двумерных B-сплайнов нулевой и первой степеней. Отмечены особенности задачи, которые позволили сократить количество необходимых
вычислений. Приведена общая формула для преобразования Радона от
двумерных B-сплайнов степеней 0–4. Пусть Bn — двумерный B-сплайн
степени n 6 4, заданный на равномерной сетке с шагом h, с центром в
начале координат. Тогда имеем:
[RBn ](s, ϕ) = Kn (ϕ)
n+2
X
n n
Cij
χij (s, ϕ),
i,j=1
где
1
Kn (ϕ) =
;
(2n + 1)!h2n cosn+1 (ϕ) sinn+1 (ϕ)
i−1 j−1
n
Cij
= (−1)i+j Cn+1
Cn+1 ;
(
(snij (ϕ) − s)2n+1 , snij (θ) − s > 0,
χnij (s, ϕ) =
0,
snij (ϕ) − s 6 0;
snij (ϕ) = h(((n + 3)/2 − i) cos ϕ + ((n + 3)/2 − j) sin ϕ).
Используя полученные формулы и связи лучевых преобразований
и преобразования Радона, был указан способ вычисления образов векторных и симметричных 2-тензорных полей, построенных на основе Bсплайнов, под действием соответствующих лучевых преобразований.
В п. 1.3 приведена математическая постановка задач двумерной скалярной, векторной и 2-тензорной томографии. Описано применение полученных выше формул, которое состоит в замене ими блока численного
интегрирования в имеющемся алгоритме решения поставленных задач,
основанном на МНК. Модифицированный алгоритм численно реализован. Проведена серия экспериментов, которая показана выигрышность
этого алгоритма по времени без потери точности.
9
Вторая глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации алгоритмов восстановления двумерных симметричных
2-тензорных полей (или их части) по известным продольным P, поперечным P⊥ и смешанным P† лучевым преобразованиям. Алгоритмы основаны на методе усеченного сингулярного разложения.
В п. 2.1 формулируется постановка задачи 2-тензорной томографии, состоящая в определении двумерного симметричного 2-тензорного
поля или его части по известным лучевым преобразованиям. Далее приводится общая схема метода сингулярного разложения, а также вводится понятие усеченного сингулярного разложения. Затем подробно описывается построение сингулярных разложений операторов продольного,
поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на
симметричные 2-тензорные поля. А именно:
1) Построены ортонормированные системы симметричных 2-тензорных полей в основном пространстве с использованием потенциалов
cos,sin
Φkn
(x, y) = e(n, k)(1 − x2 − y 2 )2 Hkcos,sin (x, y)Pn(k+3,k+1) (x2 + y 2 ),
q
k
Cn+k
cos,sin
— однородные гаргде константа e(n, k) = 21 k+2n+3
2π
(n+1)(n+2) , Hk
(p,q)
— полиномы Якоби степени n с
монические полиномы степени k, Pn
индексами (p, q).
2) Построена соответствующая ортонормированная система функций
в пространстве образов лучевых преобразований
√
cos p
G
cos kα
(1)
n 2
2
(s, α) = (−1)
1 − s Ck+2n+2 (s)
,
Gsin kn
sin kα
π
(ν)
где Cm (s) — полином Гегенбауэра степениqm с параметром ν.
π
3) Найдены сингулярные числа σkn = 2 k+2n+3
операторов P⊥ и P.
Сингулярные числа оператора P† равны σkn /2.
В п. 2.2 предлагаются алгоритмы численного решения задачи восстановления симметричного 2-тензорного поля (или его части) по известным лучевым преобразованиям. Получены оценки для норм операторов приближенного обращения операторов лучевых преобразований.
Поставлена серия экспериментов по исследованию пределов применимости предлагаемых алгоритмов.
Третья глава посвящена разработке, исследованию и численной реализации алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного
10
векторного поля по известному нормальному преобразованию Радона.
Алгоритм основан на методе усеченного сингулярного разложения.
В п. 3.1 приведена математическая постановка задачи и введены
необходимые определения. В частности, сформулирована теорема разложения трехмерных векторных полей; даны определения трехмерного
преобразования Радона и нормального преобразования Радона, действующего на векторные поля, описаны их свойства.
Плоскость Pξ,s в R3 задается уравнением hξ, xi − s = 0 для
x = (x, y, z), ξ = (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ). Здесь |s|
— расстояние от плоскости до начала координат, а ξ — нормальный
вектор плоскости. Нормальное преобразование Радона векторного поля
w = w(x, y, z) = (w1 , w2 , w3 ) задается формулой
ZZ
⊥
R w(s, θ, ϕ) =
wi (ue1 + ve2 + sξ)ξ i du dv.
Pξ,s
Интеграл не зависит от выбора базиса e1 , e2 на плоскости Pξ,s .
Векторное поле u называется потенциальным, если
существует
функция φ (потенциал), такая, что u = dφ = φ0x , φ0y , φ0z .
Постановка задачи. Пусть в единичном шаре задано некоторое векторное поле. Требуется восстановить потенциальную часть этого поля
по его известному нормальному преобразованию Радона.
В п. 3.2 подробно описывается построение сингулярного разложения оператора нормального преобразования Радона, действующего на
трехмерное векторное поле. А именно:
1) Построена ортонормированная система потенциальных векторных
полей в основном пространстве с использованием потенциалов
Φkln (x) = h(k, n)(1 − |x|2 )Hkl (x)Pn(k+2.5,k+1.5) (|x|2 ),
q
Γ(n+k+1.5)
2n+k+2.5
(Ykl — сферическая
где константа h(n, k) = (n+1)!Γ(k+1.5)kY
2
kl k
функция), Hkl — однородные гармонические полиномы степени k и порядка l.
2) Построена соответствующая ортонормированная система функций
в пространстве образов нормального преобразования Радона
√
(−1)n−1 2n + k + 2.5
(1.5)
Ψkln (s, θ, ϕ) = p
(1 − s2 )C2n+k+1 (s)Ykl (θ, ϕ).
(2n + k + 3)(2n + k + 2)kYkl k
11
3) Найдены сингулярные
числа оператора нормального преобразова√
2 2π
√
ния Радона σkn =
.
(2n+k+2)(2n+k+3)
В п. 3.3 предлагается алгоритм численного решения задачи восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона. Получена оценка для
нормы оператора приближенного обращения оператора нормального
преобразования Радона. Проведена серия экспериментов по исследованию пределов применимости предлагаемого алгоритма.
В приложениях A–C приведены подробные вычисления преобразования Радона от двумерных B-сплайнов 2-ой, 3-ей и 4-ой степеней.
В приложении D приведены определения и основные свойства специальных функций, используемых в диссертационной работе.
Публикации по теме исследования
Публикации в журналах из списка ВАК
[1] Полякова, А.П. Восстановление 2-тензорных полей, заданных в единичном круге, по их лучевым преобразованиям на основе МНК с
использованием B-сплайнов / А.П. Полякова, И.Е. Светов // Сиб.
журн. выч. мат. – 2010. – Т.13, №2. – С. 183–199.
[2] Деревцов, Е.Ю. Решение задачи интегральной геометрии
2-тензорных полей методом сингулярного разложения / Е.Ю. Деревцов, А.П. Полякова // Вестник НГУ. – 2012. – Т. 12, №3. –
С. 73–94.
Публикации в рецензируемых журналах
[3] Полякова, А.П. Сравнение двух алгоритмов численного решения задачи двумерной векторной томографии / А.П. Полякова, И.Е. Светов // Сибирские электронные математические известия. – 2013. –
Т. 10. – С. 90–108.
Публикации в трудах конференций
[4] Полякова, А.П. Способ вычисления образов В-сплайнов при преобразовании Радона и их использование в задачах тензорной томографии / А.П. Полякова // XLVI международная научная студенческая конференция: труды конференции. – Новосибирск, 2008. –
С. 26.
12
[5] Полякова, А.П. Приближенное решение задачи тензорной томографии с помощью B-сплайнов / А.П. Полякова, И.Е. Светов // Международная конференция “Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений”, посвященная 100летию со дня рождения С.Л. Соболева: труды конференции – Новосибирск, 2008. – С. 562.
[6] Полякова, А.П. Численное решение задачи 2-тензорной томографии в случае среды без рефракции / А.П. Полякова, И.Е. Светов // Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2009: труды конференции. – Новосибирск, 2009. – URL:
http : //www.sbras.ru/ws/show abstract.dhtml?ru + 199 + 15524
[7] Полякова, А.П. Применение аналитически вычисленных образов
лучевых преобразований 2-тензорных полей, построенных на основании B-сплайнов, при численном решении задач 2-тензорной томографии / А.П. Полякова // Молодежная международная научная
школа-конференция “Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач”: труды конференции. – Новосибирск,
2009. – С. 77.
[8] Полякова, А.П. Восстановление 2-тензорных полей по их лучевым
преобразованиям на основе МНК с использованием В-сплайнов /
А.П. Полякова // XLVIII Международная научная студенческая
конференция: труды конференции. – Новосибирск, 2010. – С. 217.
[9] Полякова, А.П. О получении аналитических выражений для образов В-сплайнов при преобразовании Радона и их использование в
задачах скалярной томографии / А.П. Полякова // Сибирские электронные математические известия: труды первой международной
молодежной школы-конференции “Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач”, часть I. – Новосибирск,
2010. – С. 248–257.
[10] Полякова, А.П. Восстановление векторных полей по их известным
лучевым преобразованиям на основе метода наименьших квадратов с использованием В-сплайнов / А.П. Полякова // Российская
конференция “Методы сплайн-функций”, посвященная 80-летию со
дня рождения Ю.С. Завьялова: труды конференции. – Новосибирск,
2010. – С. 75–76.
13
[11] Полякова, А.П. Сингулярное разложение лучевых преобразований
симметричных 2-тензорных полей в единичном круге / А.П. Полякова // Молодежная международная научная школа-конференция
“Теория и численные методы решения обратных и некорректных
задач”: труды конференции. – Новосибирск, 2011. – С. 46–47.
[12] Полякова, А.П. Восстановление симметричных 2-тензорных полей
по томографическим данным методом сингулярного разложения /
А.П. Полякова // Международная конференция “Моделирование —
2012”: труды конференции. – Киев, 2012. – С. 347–348.
[13] Polyakova, A.P. Numerical solution of 2-tensor tomography problem
by using singular value decomposition / A.P. Polyakova // The 6-th
international conference “Inverse problems: modeling and simulation”:
conference proceedings. – Antalya, 2012. – P. 74–75.
[14] Полякова, А.П. Алгоритм восстановления потенциальной части
трехмерного векторного поля по его известным нормальным преобразованиям Радона / А.П. Полякова // Всероссийская конференция
“Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования”: труды конференции. – Новосибирск, 2012. –
URL: http://parbz.sscc.ru/fcp/apm2012/pdf/Polyakova.pdf
[15] Полякова, А.П. Сингулярное разложение оператора нормального
преобразования Радона векторного поля, заданного в единичном
шаре / А.П. Полякова // Четвертая международная молодежная
научная школа-конференция “Теория и численные метода решения
обратных и некорректных задач”: труды конференции. – Новосибирск, 2012. – С. 98.
[16] Polyakova, A.P. Reconstruction of potential part of 3D vector field by
using singular value decomposition / A.P. Polyakova // International
Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences: conference
proceedings. – Budapest, 2012. – P. 12.
[17] Polyakova, A.P. Reconstruction of potential part of 3D vector
field by using singular value decomposition / A.P. Polyakova //
Journal of Physics: Conference Series. – 2013. – Vol. 410. – 012015,
doi:10.1088/1742-6596/410/1/012015
14
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
294 Кб
Теги
локальные, решение, томография, приближение, тензорного, рядами, базиса, задачи, ортогональных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа