close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Мирошникова Елена Игоревна
РАЗРЕШИМОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ С АНИЗОТРОПНО ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ
КОМПАКТНОГО ТИПА
01.01.01 – вещественный, комплексный и функциональный анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико–математических наук
Ростов-на-Дону — 2013
Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» на кафедре алгебры и дискретной математики.
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент
Деундяк Владимир Михайлович
Официальные оппоненты:
Карапетянц Алексей Николаевич
доктор физико-математических наук, доцент
ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет»,
профессор кафедры дифференциальных и
интегральных уравнений
Павлов Игорь Викторович
доктор физико-математических наук, профессор
ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный
строительный университет»,
заведующий кафедрой высшей математики
Ведущая организация:
ФГБУ ВПО «Воронежский государственный университет»
Защита состоится «03» декабря 2013 г. в 17 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростовна-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального
университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.
Автореферат разослан «
» октября 2013 г.
Учёный секретарь диссертационного
совета Д 212.208.29
Кряквин В. Д.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Изучение одномерных интегральных операторов с
однородными степени (−1) ядрами, действующих в Lp -пространствах, было
начато Г. Харди и Дж. Литтлвудом. Далее теория таких операторов получила развитие в работах Л.Г. Михайлова, Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко,
Р.В. Дудучавы, Я.Б. Рутицкого и др. Существенным при исследовании одномерных операторов с однородными степени (−1) ядрами являлась редукция
к одномерным операторам типа свертки с суммируемыми ядрами. Данная
связь позволила использовать результаты, полученные для операторов типа
свертки, в теории одномерных операторов с однородными ядрами.
Многомерная ситуация оказывается сложнее и нуждается в принципиально других подходах. Впервые многомерные интегральные операторы с однородными степени (−n) ядрами в пространстве Lp (Rn ), где 1 < p < ∞ и
n > 2, появились в работах Л.Г. Михайлова в конце 60-х годов. Достаточные
условия ограниченности таких операторов, а при неотрицательности ядра
являющиеся и необходимыми, были получены Н.К. Карапетянцем. Вопросам разрешимости многомерных интегральных операторов с однородными
степени (−n) ядрами и переменными коэффициентами посвящены работы
Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, О.Г. Авсянкина и других авторов. При исследовании вопросов разрешимости многомерных интегральных операторов на
ядра помимо однородности накладывалось дополнительное условие инвариантности относительно диагонального действия SO(n) — группы вращений
пространства Rn . Это позволяло значительно облегчить задачу и в определенном смысле свести её к одномерному случаю. В.М. Деундяком рассмотрен
новый широкий класс ядер компактного типа, включающий в себя SO(n)инвариантные ядра. В доказательствах существенную роль играет пространственный изоморфизм подобия операторов с однородными ядрами компактного типа и операторов свертки с компактными коэффициентами. Отметим,
что операторы с однородными ядрами в весовых пространствах практически
не рассматривались. Исключение составляет лишь степенной вес. Однако,
этот случай практически сразу сводится к безвесовому.
В представленной работе рассматривается обобщение класса однородных
функций — новый класс функций, удовлетворяющих условию анизотропной
однородности, и исследуется класс интегральных операторов c анизотропно
однородными ядрами как в безвесовых, так и в весовых Lp –пространствах.
Интерес к таким операторам продиктован, в частности, их естественной связью с операторами многомерной мультипликативной свертки. Помимо этого аппарат теории многомерных интегральных операторов с однородными и
3
анизотропно однородными ядрами оказывается удобен при решении задач со
сложными особенностями (В.С. Рабинович), находит приложения в механике
(Р.В. Дудучава), в теории операторов, инвариантных относительно растяжений (И.Б. Симоненко).
Как уже упоминалось выше, в работе при исследовании разрешимости операторов с анизотропно однородными ядрами широко используются результаты из теории операторов свертки. Операторы свертки с момента их появления
были и остаются актуальным предметом исследования. Это объясняется как
внутренними потребностями различных областей математики, где они возникают (гармонический анализ, теория линейных операторов, теория вероятностей, дифференциальные и интегральные уравнения), так и прикладным
значением. Изучение различных операторов свертки началось в работах У.
Юнга, Д. Гильберта, А.Н. Колмогорова, Е. Титчмарша, М. Рисса, Г. Харди,
Дж. Литтлвуда, С.Л. Соболева и других авторов. Различные методы и примеры операторов свертки, ограниченно действующих в Lp –пространствах, рассматривались в работах Ж. Марцинкевича, А. Кальдерона и А. Зигмунда, И.
Хиршмана, С.Г. Михлина, Л. Хермандера, И. Стейна, Ч. Феффермана, С.Г.
Самко, Н.К. Карапетянца, А.Н. Карапетянца, А.Г. Баскакова, В.Б. Короткова и многих других. Значительный вклад в теорию операторов свертки был
внесен И.Б. Симоненко. С помощью локального метода им полностью изучена разрешимость операторов из алгебр, порожденных свертками с вполне
суммируемыми ядрами. Отметим, что локальным методом Б.Я. Штейнбергом исследована фредгольмовость сверток со слабо осциллирующими коэффициентами на локально компактных группах, а компактификация, впервые
возникшая в теории индекса таких операторов (В.М. Деундяк, Б.Я. Штейнберг), в более общем контексте использовалась в различных топологических
задачах (Н. Хигсон, А.Н. Дранишников, С. Ферри и др.).
Исследование свойств операторов свертки, действующих в шкалах пространств, в частности, в шкале Соболева, нашло отражение в теории псевдодифференциальных операторов. Впервые они были введены в работах
Дж.Дж. Кона, Л. Ниренберга и Л. Хермандера, далее их исследование продолжили такие ученые как Г.О. Кордесс, М.Е. Тейлор, Ф. Трев и многое другие. Псевдодифференциальные операторы на группе R+ с коэффициентами
изучаются в работах Б.А. Пламеневского, применению техники предельных
операторов в теории псевдодифференциальных операторов посвящены книги
В.С. Рабиновича. В настоящей работе рассматривается вопрос об изучении
свойств операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах пространств соболевского типа.
Цель работы. Исследование разрешимости многомерных интегральных
4
операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах
суммируемых функций, а также в Lp –пространствах с полумультипликативными весами и в шкалах гильбертовых пространств.
Задачи работы.
• Получить условия ограниченности многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах Lp ,
в Lp –пространствах с полумультипликативными весами, в шкалах пространств соболевского типа.
• Построить символическое исчисление для алгебр, порожденных такими
операторами как в безвесовом, так и в весовом случае. В терминах символа сформулировать и доказать критерии обратимости для элементов
данных алгебр.
• Построить символическое исчисление для унитализированной алгебры
Wn;p , порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами и
коэффициентами из нового класса Ωnmult мультипликативно слабо осциллирующих функций на Rn = Rn1 × ... × Rnk , n = (n1 , ..., nk ). В терминах
символа получить критерий фредгольмовости элементов данной алгебры.
Получить топологическую формулу индекса для операторов из Wn;p .
• Построить аналоги операторов с анизотропно однородными ядрами, действующие в шкале пространств соболевского типа. Построить для таких
операторов символическое исчисление и в терминах символа получить
критерий фредгольмовости.
Результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие
основные результаты:
1) Введен новый класс многомерных интегральных операторов с произвольными анизотропно однородными ядрами, расширяющий операторы с однородными ядрами. Для новых операторов получены достаточные условия
ограниченности в безвесовых Lp –пространствах, в Lp –пространствах с полумультипликативными весами.
2) Для многомерных интегральных операторов рассмотрен новый класс
анизотропно однородных ядер компактного типа. Установлен пространственный изоморфизм подобия между интегральными операторами с анизотропно
однородными ядрами компактного типа и многомерными операторами свертки с компактными коэффициентами в безвесовых Lp –пространствах и в Lp –
пространствах с полумультипликативными весами.
3) Для банаховых алгебр, порожденных операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа, как в весовом, так и в безвесовом случа5
ях, построено символическое исчисление. В терминах символа получен критерий обратимости для операторов из описанных выше алгебр.
4) Введена новая C ∗ –алгебра Ωnmult многомерных мультипликативно слабо
осциллирующих функций на Rn1 × ... × Rnk , где n1 + ... + nk = n. Исследовано пространство максимальных идеалов алгебры Ωnmult , изучены свойства короны соответствующей компактификации пространства Rn , построен изоморфизм этой алгебры на C ∗ –алгебру слабо осциллирующих функций
Ω(Rk+ × Tn−1 ), где Tn−1 = Sn1 −1 × ... × Snk −1 — произведение k сфер размерностей ni , i = 1, ..., k .
5) Для элементов банаховой алгебры, порожденной многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного
типа и операторами умножения на функции из Ωnmult , построено символическое исчисление, в терминах символа сформулирован и доказан критерий
фредгольмовости, получена топологическая формула индекса.
6) В рамках построения аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах, определены новые шкалы пространств
соболевского типа с мультипликативной структурой. В построенных шкалах
введен новый класс псевдодифференциальных операторов, для которого построен символ и получен критерий фредгольмовости. Исследована банахова
алгебра Bn;2 , порожденная операторами нулевого порядка, установлена связь
между операторами с анизотропно однородными ядрами и псевдодифференциальными операторами из Bn;2 .
Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми
и получены автором самостоятельно.
Методологическая основа исследования. В представленной работе
широко используются методы функционального анализа и теории операторов, в частности, локальный метод И.Б. Симоненко, методы исследования
псевдодифференциальных операторов, развитые В.С. Рабиновичем, метод
пространственного подобия, операторная K–теория, техника работы с банаховыми и C ∗ –алгебрами, включающая в себя теорию топологических тензорных произведений функциональных пространств и операторных алгебр,
действующих в пространствах суммируемых функций.
Апробация. Результаты диссертации были представлены на: Воронежской математической зимней школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2012), международных научных конференциях «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-наДону, 2011, 2012, 2013), международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010, 2012), VI международной конференции и международном семинаре «Аналитические методы
6
анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2011, 2012), на международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и
их приложениям, посвященной Я.Б. Лопатинскому (Донецк, 2012).
Работа частично поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них», и внутренним грантом Южного
федерального университета Мм 13-16 «Дифференциальные и интегральные
уравнения. Приложения к математической физике и финансовой математике» (2013).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1–15],
из которых три ([1], [5], [10]) являются публикациями в журналах перечня
ВАК РФ по кандидатским диссертациям, четыре ([2], [3], [6], [11]) — статьи
в других сборниках научных трудов, восемь — тезисы докладов на международных научных конференциях и семинарах. Результаты, выносимые на
защиту, получены автором самостоятельно. Из совместных работ автору принадлежат следующие результаты.
[1] — теорема об ограниченности интегрального оператора с однородным
ядром, инвариантным относительно преобразований группы SO(n) вращений
пространства Rn , конструкция символа для элементов из унитализированной
алгебры, порожденной такими операторами, формулировка и доказательство
критерия обратимости для элементов из данной алгебры.
[2] — символическое исчисление и доказательство критерия фредгольмовости для операторов из алгебры Wn;p , порожденной многомерными мультипликативными свертками с непрерывными компактными коэффициентами;
конструкция пространственного изоморфизма подобия алгебры Wn;p на алгебру многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными
ядрами компактного типа и непрерывными коэффициентами.
[5] — достаточные условия ограниченности многомерных интегральных
операторов с произвольными анизотропно однородными ядрами, определение новой алгебры Ωnmult функций на Rn = Rn1 × ... × Rnk ; конструкция изоморфизма C ∗ –алгебры Ωnmult на алгебру Ω(Rk × Tn−1 ) многомерных слабо
осциллирующих на Rk функций с компактными коэффициентами; символическое исчисление и доказательство критерия фредгольмовости операторов
из алгебры Wn;p , порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из Ωnmult .
[3] — топологическая формула вычисления индекса фредгольмовых операторов из Wn;p .
[6] — доказательство теоремы об индексе фредгольмовых операторов из
Wn;p .
7
В работах [4], [7], [8] соавтору научному руководителю В.М. Деундяку принадлежат постановка задач и обсуждение формулировок основных результатов.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав,
разбитых на 10 разделов, и библиографического списка, который содержит
68 наименований использованной литературы.
Основное содержание работы
Во введении приводится исторический обзор результатов, связанных с основными объектами работы, обосновывается актуальность выбранной темы
исследования.
Первая глава посвящена изучению ограниченности, обратимости и
фредгольмовости операторов с анизотропно однородными ядрами в Lp –
пространствах, 1 < p < ∞. Основным объектом главы является интегральный оператор вида
Z
(Kκ f )(x) =
κ(x, y)f (y)dy,
(1)
Rn
ядро которого удовлетворяет условию анизотропной однородности мультистепени (−n):
∀i ∈ {1; ...; k},
∀x(i) , y(i) ∈ Rni ,
∀βi ∈ R+ :
κ(β1 x(1) , ..., βk x(k) , β1 y(1) , ..., βk y(k) ) = β1−n1 ...βk−nk κ(x(1) , ..., x(k) , y(1) , ..., y(k) ).
и условиям суммируемости: почти для всех σi ∈ Sni −1
Z
k
Y
0
κ[1] (σ1 , ..., σk ) = |κ(x(1) , ..., x(k) , σ1 , ..., σk )|
|x(i) |−ni /p dx(1) ...dx(k) < ∞,
Rn
i=1
Z
k
Y
|κ(σ1 , ..., σk , x(1) , ..., x(k) )|
κ[2] (σ1 , ..., σk ) =
|x(i) |−ni /p dx(1) ...dx(k) < ∞,
i=1
Rn
где 1/p + 1/p0 = 1 и κ[1] , κ[2] ∈ L∞ (Tn−1 ). В разделе 1.1.2 доказывается, что
класс Mn;p , состоящий из таких функций, является банаховым пространством с нормой
kκkMn;p = max{kκ[1] k∞ ; kκ[2] k∞ }.
Основным результатом раздела 1.1 является теорема об ограниченности
интегральных операторов вида (1) с такими ядрами:
8
Теорема 1. Если κ ∈ Mn;p , то оператор Kκ вида (1) ограничен в Lp (Rn ),
1 < p < ∞, и справедлива оценка
0
1/p
kKκ k 6 kκ[1] k1/p
∞ kκ[2] k∞ .
Раздел 1.2 посвящен исследованию обратимости операторов с анизотропно
однородными ядрами. Существенным здесь является описание более узкого
класса ядер Cn;p компактного типа, естественно вложенного в Mn;p . Для этого подробно исследуется переход q к полисферической системе координат. Полисферический аналог этого класса является замыканием в M0n;p = q(Mn;p )
множества функций, анизотропно однородных мультистепени (−1):
∀i ∈ {1, ..., k},
∀ri , ρi , µi ∈ R+ :
−1
α(µ1 r1 , ..., µk rk , µ1 ρ1 , ..., µk ρk ) = µ−1
1 ...µk α(r1 , ..., rk , ρ1 , ..., ρk ),
и удовлетворяющих условиям суммируемости
Z
Z
α[0] = |α(ρ, e)|ρn/p−1 dρ = |α(e, ρ)|ρ−n/p dρ < ∞,
Rk+
e = (1, ..., 1) ∈ Rk+ ,
Rk+
по радиальным переменным и существенно ограниченных по сферическим.
Символическое исчисление для V+
n;p — унитализации алгебры Vn;p , порожденной интегральными операторами (1) с ядрами из Cn;p , строится чеK
рез пространственный изоморфизм подобия к алгебре Vp p сверток на груп+
пе Rk с компактными коэффициентами. Алгебра символов C0,p
(Rk ; Kp ), где
Kp = K(Lp (Tn−1 )), вводится в разделе 1.2.3 и является, по сути, операторнозначной версией алгебры мультипликаторов И.Б. Симоненко. В 1.2.4 по+
k
строен символ σn;p : V+
n;p → C0,p (R ; Kp ). Итогом раздела 1.2 является критерий обратимости для операторов из V+
n;p .
Теорема 2. Пусть оператор B ∈ V+
n;p . Тогда для того, чтобы B ∈
+
G(Vn;p ), необходимо и достаточно, чтобы его символ σn;p (B) был обратим
в C0+ (Rk ; Kp ).
При доказательстве этой теоремы существенным является утверждение о
+
+
наполненности алгебры C0,p
(Rk ; Kp ) в C0+ (Rk ; Kp ) = C0,2
(Rk ; Kp ).
Раздел 1.3 посвящен исследованию фредгольмовости операторов из рас∗
n
ширения V+
n;p операторами умножения функции из C –алгебры Ωmult . Подробно этот новый класс функций описывается в 1.3.1 и является аналогом C ∗ –алгебры всех мультипликативно слабо осциллирующих функций на
Rk+ × Tn−1 . Существенным в этом разделе является описание пространства
максимальных идеалов C ∗ –алгебры Ωnmult как некоторой компактификации
9
S
M(Rk × Tn−1 ) = (Rk × Tn−1 ) N(Rk × Tn−1 ) пространства Rk × Tn−1 короной N(Rk × Tn−1 ) и построение гомеоморфизма
π̃Γ : (N(Rk × Tn−1 )) → N(Rk ).
K
K
В 1.3.2 вводится алгебра символов Sp p , показывается, что Sp p есть унитализация подалгебры банаховой алгебры C0 (N(Rk ) × Rk ; Kp ), состоящей из
таких функций ϕ, что
∀η ∈ N(Rk ) :
ϕ(η, −) ∈ C0,p (Rk ; K(Lp (Tn−1 ))).
K
Доказывается, что Sp p является наполненной подалгеброй алгебры
C0+ (N(Rk ) × Rk ; Kp ).
В 1.3.3 для алгебры Wn;p , порожденной операторами вида
K = λI +
l
X
ϕi Kκi + T,
i=1
где λ ∈ C, ϕi ∈ Ωnmult , Kκi — операторы вида (1) с ядрами κi ∈ Cn;p , T —
компактный оператор в Lp (Rn ), строится символ-эпиморфизм σn;p : Wn;p →
K
Sp p .
Основным результатом раздела 1.3 является теорема о фредгольмовости
для произвольного оператора из алгебры Wn;p .
Теорема 3. Пусть оператор B ∈ Wn;p . Тогда для того, чтобы B ∈
Fr(Wn;p ), необходимо и достаточно, чтобы его символ σn;p (B) был обратим в C0+ (N(Rk ) × Rk ; Kp ).
В заключительном разделе 1.4 главы 1 получена топологическая формула
для вычисления индекса оператора B из Fr(Wn,p ):
ind(B) = indt (σn;p (B)).
Вторая глава посвящена исследованию ограниченности и обратимости интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в весовых Lp –
пространствах с полумультипликативными весами. В разделе 2.1 строится
Mn;p,ρ — весовой аналог банахова пространства Mn;p анизотропно однородных функций, введенного в 1.1, затем доказывается ограниченность интегральных операторов с ядрами из Mn;p,ρ в Lp,ρ (Rn ).
В 2.2 основным объектом исследования является банахова алгебра V+
n;p,ρ
— унитализация алгебры, порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами из пространства Cn;p,ρ — весового аналога класса Cn;p
ядер компактного типа, введенного в главе 1. Вводится алгебра символов
10
+
C0,p
(M ωρ ; K(Lp (Tn−1 ))), где ωρ — некоторая весовая функция, строящаяся
по функции ρ, Mωρ (Rk ) — трубчатая область с основанием Dωρ :
Mωρ (Rk ) = {z = x + iy, x ∈ Rk , y ∈ Dωρ },
основание Dωρ есть множество, для которого функция
ln ωρ (x)
,
|x|→∞ −|x|
w(j) = lim
x = |x|j =
k
X
! 21
|xi |2
j,
i=1
где j — единичный вектор в Rk , является опорной, M ωρ (Rk ) является замыканием трубчатой области Mωρ (Rk ) до компакта:
[
k
k
M ωρ (R ) = R
{∞} × Dωρ .
Доказан критерий обратимости в весовом случае.
Теорема 4. Пусть оператор B ∈ V+
n;p,ρ . Тогда для того, чтобы
B ∈ G(V+
n;p,ρ ), необходимо и достаточно, чтобы его символ σn;p,ρ (B) ∈
+
G(C0 (M ωρ ; K(Lp (Tn−1 )))).
Как и в безвесовом случае, важную роль играет наполненность алгебры
в алгебре C0+ (M ωρ ; K(Lp (Tn−1 ))).
В заключительном разделе 2.3 главы 2 рассматривается частный случай
операторов с однородными SO(n)–инвариантными ядрами, для элементов
SO(n),+
унитализации Vn;p,ρ
алгебры которых удается получить более эффективные условия обратимости. Показано, что в этом случае изучение обратимости таких операторов сводится к исследованию обратимости конечного числа
одномерных операторов с однородными ядрами. Конструкция символа значительно упрощается и сводится к тому, что для произвольного оператора B
SO(n),+
из Vn;p,ρ
символ есть некоторая функция, непрерывная на одноточечной
компактификации Z+ ˙× Π локально компактного пространства Z+ × Π, где
Π — это полоса в комплексной плоскости:
+
C0,p
(M ωρ ; K(Lp (Tn−1 )))
Π = {x + iy, x ∈ R, τ1 < y < τ2 }.
Здесь пределы
ln ρ(e−t )
ln ρ(et )
τ1 = lim
, τ2 = lim
(τ1 < τ2 )
t→+∞
t→+∞
−t
t
существуют и конечны.
В главе 3 исследуются псевдодифференциальные аналоги операторов с
анизотропно однородными ядрами в классах пространств соболевского типа. Раздел 3.1 посвящен псевдодифференциальным операторам, заданным
11
на аддитивной группе Rk и действующим в шкале {H s (Rk )}s∈R пространств
Соболева. В пункте 3.1.1 приведены некоторые сведения из теории классиm
ческих псевдодифференциальных операторов из OP S0,0
с характеристиками
m
из классов Хермандера S0,0 , m ∈ R. При рассмотрении вопроса о фредгольмовости псевдодифференциальных операторов вводятся более узкие классы
m
m
.В
, естественно вложенные в S0,0
слабо осциллирующих характеристик S̃0,0
пункте 3.1.2 результаты 3.1.1 распространяются на псевдодифференциальные
операторы с компактными коэффициентами.
В разделе 3.2 рассмотрены важные промежуточные классы мультипликаm,+
m,+
m,+
тивных псевдодифференциальных операторов OP S0,0
, OP S̃0,0
(OP S̃0,0
⊂
m,+
k
OP S0,0 ), заданных на мультипликативной группе R+ . В пункте 3.2.1 в случае произвольного метрического компакта X построена мультипликативная
шкала пространств Соболева H s,0 (Rk+ × X ), s ∈ R, в пункте 3.2.2 получены
условия ограниченности и фредгольмовости мультипликативных псевдодифференциальных операторов c компактными коэффициентами в этой шкале.
В разделе 3.3 получены конструкции новых псевдодифференциальных операторов, действующих в новой шкале {Hs }s∈R пространств соболевского типа
с мультипликативной структурой. В 3.3.1 для описания {Hs }s∈R строится оператор Fn — аналог оператора Фурье. Пространства Hs (Rn ), в шкале которых
далее изучаются операторы с анизотропно однородными ядрами, являются
подпространствами пространства обобщенных функций S 0 (Rn ), и состоят из
функций, удовлетворяющих условию
!s
Z
k
X
dζ
1+
ln2 |ζ(i) | |Fn (ϕ)|2 (ζ)
< ∞.
k
(2π)
i=1
Rn
Основным объектом раздела является оператор
Z
k Y
n dζ
i ln |ζ(j) |
− 2j
(K(f ))(x) = κ (x, ζ) (Fn (f ))(ζ)
|x(j) |
(|ζ(j) ||x(j) |)
, (2)
k
(2π)
j=1
Rn
где κ лежит в Sm
0,0 — некотором классе функций, гладких по радиальным
переменным. Для оператора K доказывается теорема об ограниченности в
шкале {Hs }s∈R . Далее вводится класс слабо осциллирующих характеристик
m
S̃m
0,0 , естественно вложенный в S0,0 для произвольного m ∈ R. Для операторов с характеристиками из S̃m
0,0 строится символ, в терминах символа
получен критерий фредгольмовости. Особое внимание уделено алгебре Bn;2 ,
порожденной операторами типа (2) с характеристиками из S̃00,0 . Раздел 3.3.3
посвящен установлению связи между основными объектами 1 и 3 глав. Доказывается, что алгебра операторов, исследованная в главе 1, в случае p = 2
12
вложена в алгебру Bn;2 новых псевдодифференциальных операторов нулевого порядка.
Заключение
В диссертации в рамках исследования разрешимости многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа
получены следующие результаты:
для новых многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами получены достаточные условия ограниченности как в безвесовых
Lp –пространствах, так и в Lp –пространствах с полумультипликативным весом;
установлен пространственный изоморфизм подобия между интегральными
операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и многомерными операторами свертки с компактными коэффициентами в безвесовых
Lp –пространствах и в Lp –пространствах с полумультипликативным весом;
для банаховых алгебр, порожденных операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа, как в весовом, так и в безвесовом случаях,
построено символическое исчисление, в терминах символа получен критерий
обратимости для операторов из этих алгебр;
введена новая C ∗ –алгебра Ωnmult многомерных мультипликативно слабо осциллирующих функций на Rn1 × ... × Rnk , где n1 + ... + nk = n, исследовано
пространство ее максимальных идеалов;
для элементов банаховой алгебры, порожденной многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа
и операторами умножения на функции из Ωnmult , построено символическое
исчисление, в терминах символа сформулирован и доказан критерий фредгольмовости, получена топологическая формула индекса;
в рамках построения аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах, определены новые шкалы пространств соболевского типа с мультипликативной структурой, в построенных шкалах введен
новый класс псевдодифференциальных операторов, для которого построен
символ и получен критерий фредгольмовости, изучена банахова алгебра Bn;2 ,
порожденная операторами нулевого порядка, установлена связь между операторами с анизотропно однородными ядрами и псевдодифференциальными
операторами из Bn;2 .
Полученные в диссертации результаты могут позволить исследовать вопросы фредгольмовсти операторов из алгебр, порожденных многомерными
интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами и коэффи13
циентами из Ωnmult , операторами многомерной свертки и слабо осциллирующими коэффициентами, в весовых Lp –пространствах; рассмотреть псевдодифференциальные операторы с более общими характеристиками; решить
задачу о вычислении индекса таких операторов.
Список работ, опубликованных автором по теме диссертации
[1] Мирошникова Е.И. Об обратимости многомерных интегральных операторов с однородными ядрами в весовых пространствах/ Авсянкин О.Г., Мирошникова Е.И.// Изв. вузов Сев-Кав рег. Естественные науки. — № 5. — 2010.
— C. 5–8.
[2] Мирошникова Е.И. Многомерные мультипликативные свертки и их приложения к теории операторов с однородными ядрами/ Деундяк В.М., Мирошникова Е.И.// Сборник «Труды научной школы И.Б. Симоненко». Ростов-наДону: Изд-во ЮФУ. — 2010. — C. 67–78.
[3] Мирошникова Е.И. Вычисление индекса многомерных интегральных
операторов с анизотропно однородными ядрами/ Деундяк В.М., Мирошникова Е.И.// Математика и ее приложения: журнал ивановского математического общества. — № 1(8). — 2011. — C. 39–48.
[4] Miroshnikova E.I. On Fredholmness of Integral Operators with
Anisotropically Homogeneous Kernels of Compact Type/ Deundyak V.M.,
Miroshnikova E.I.// Тезисы докладов VI международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», Минск, Беларусь, 11–17 сентября 2011 года. Минск: ИМ НАНБ. — 2011. — С. 54–55.
[5] Мирошникова Е.И. Об ограниченности и фредгольмовости интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и переменными коэффициентами/ Деундяк В.М., Мирошникова Е.И.// Известия
вузов. Математика. — № 7. — 2012. — C. 3–17.
[6] Miroshnikova E.I. On Fredholm property and index of integral operators
with anisotropically homogeneous kernels of compact type/ Deundyak V.M.,
Miroshnikova E.I.// proceedings of the 6-th International Conference «Analytical
Methods of Analysis and Differential Equations»: in two volumes (Ed. by
S.V.Rogosin). . Minsk: Institute of Mathematics of NAS of Belarus. — Vol. 1.
Mathematical Analysis. — 2012. — P. 64–68.
[7] Miroshnikova E.I. On operators with anisotropically homogeneous nonsummable kernels in Lp-spaces/ Deundyak V.M., Miroshnikova E.I.// Тезисы докладов международного научного семинара «Аналитические методы анализа
и дифференциальных уравнений», Минск, Беларусь, 10–14 сентября 2012 года. Минск: ИМ НАНБ. — 2012. — С. 29.
[8] Мирошникова Е.И. Многомерные интегральные операторы с анизотроп14
но однородными ядрами компактного типа/ Мирошникова Е.И., Деундяк
В.М.// Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2–7 июля 2010 года.
Москва: МИАН. — 2010. — С. 135–136.
[9] Мирошникова Е.И. Об условиях ограниченности и обратимости многомерных интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа
в некоторых весовых Lp-пространствах/ Мирошникова Е.И.// Тезисы докладов международного научного семинара «Современные методы и проблемы
теории операторов и гармонического анализа и их приложения», Ростов-наДону, 24–27 апреля 2011 года. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. —
2011. — С. 17.
[10] Мирошникова Е.И. Ограниченность и обратимость интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа в некоторых весовых Lpпространствах/ Мирошникова Е.И.// Изв. вузов Сев-Кав рег. Естественные
науки. — № 2. — 2012. — С. 22–26.
[11] Мирошникова Е.И. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и псевдодифференциальные операторы/ Мирошникова Е.И.//
Материалы воронежской математической зимней школы С.Г. Крейна–2012,
Воронеж, 24–30 января 2012 года. Воронеж: Издательско–полиграфический
центр Воронежского государственного университета. — 2012. — С. 151–152.
[12] Мирошникова Е.И. Об одном классе псевдодифференциальных операторов/ Мирошникова Е.И.// Тезисы докладов международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения», Ростов-на-Дону, 22–26 апреля 2012 года.
Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. — 2012. — С. 34.
[13] Мирошникова Е.И. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и их псевдодифференциальные аналоги/ Мирошникова Е.И.//
Тезисы международной конференции по дифференциальным уравнениям и
динамическим системам, Суздаль, 29 июня — 4 июля 2012 года. Москва: МИАН. — 2012. — С. 123–124.
[14] Мирошникова Е.И. Об ограниченности и фредгольмовости псевдодифференциальных аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами,
действующих в шкале пространств типа Соболева/ Мирошникова Е.И.// Тезисы докладов международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной Я.Б. Лопатинскому,
Донецк, Украина, 14–17 ноября 2012 года. Донецк: Изд-во ДонНТУ. — 2012.
— С. 55–56.
[15] Мирошникова Е.И. О некоторых вопросах теории многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами/ Мирошникова
15
Е.И.// Тезисы докладов международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их
приложения», Ростов-на-Дону, 2–6 июня 2013 года. Ростов-на-Дону: Изд-во
СКНЦ ВШ ЮФУ. — 2013. — С. 27–28.
16
Для заметок
Сдано в набор 24.10.2013. Подписано в печать 24.10.2013.
Формат 60х84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0.
Бумага офсетная.
Тираж 130 экз. Заказ 2410/01.
Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии»
340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140,
телефон 8-918-570-30-30
www.copy61.ru
e-mail: info@copy61.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
383 Кб
Теги
однородные, типа, ядрами, интегральная, компактного, оператора, анизотропные, разрешимость, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа