close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Двойственная геометрия сетей и тканей на подмногообразиях в пространствах с проективной структурой.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Кондратьева Надежда Викторовна
ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕТЕЙ И ТКАНЕЙ
НА ПОДМНОГООБРАЗИЯХ В ПРОСТРАНСТВАХ
С ПРОЕКТИВНОЙ СТРУКТУРОЙ
01.01.04 – геометрия и топология
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
КАЗАНЬ – 2013
Работа выполнена на кафедре геометрии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор, Чувашский государственный педагогический университет имени И. Я. Яковлева, профессор кафедры геометрии
Столяров Алексей Васильевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор, Институт проблем управления имени
В. А. Трапезникова, заведующий лабораторией
Кушнер Алексей Гурьевич
кандидат физико-математических наук, профессор, Пензенский государственный университет, профессор кафедры «Алгебра»
Султанов Адгам Яхиевич
Ведущая организация:
ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет имени
Р. Е. Алексеева»
Защита состоится «21» марта 2013 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 в ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского
(Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).
Автореферат разослан «__» февраля 2013 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
канд. физ.-мат. наук, доцент
Липачев Е. К.
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Постановка вопроса и актуальность темы. Начала теории многомерных
сетей были положены исследованиями Э. Картана1, Чжень Шэн-шэня2, В. Т. Базылева3,4.
В этом направлении разными авторами получены многочисленные результаты по изучению внутренней геометрии различных многообразий, несущих
сети того или иного класса.
Вопросы внутренней геометрии плоской сети  относительно нормализации проективного пространства Pn полем гармонических плоскостей, изучаются в работах В. Т. Базылева3,5, А. В. Столярова6,7, А. И. Чахтаури8.
Различным вопросам инвариантного оснащения (в смысле A. П. Нордена
или Э. Картана) поверхности Vm  Pn , определяемого заданной сетью   Vm ,
посвящены работы М. А. Акивиса9,10, В. Т. Базылева4, Н. М. Остиану11,
А. В. Столярова12,13,14. B статье В. Т. Базылева4 определены чебышевские сети
на поверхностях Vm  Pn . Некоторые вопросы геометрии поверхностей Vm  Pn ,
несущих чебышевские и геодезические сети, изучаются в работах А. В. Столярова12,13,14.
В работах Ж. Н. Багдасаряна15, А. К. Рыбникова16 находятся критерии реализации линейных связностей в касательных расслоениях подмногообразия, несущего сеть того или иного строения.
1
Cartan E. Sur les varietes de courbure constante d'un espace euclidiene ou non euclidiene/ E. Cartan // Bull. Soc. Math,
de France. – 1919. – V. 47. – P. 125–160; 1920. – V. 48. – P. 132–208.
2
Chern S. S. Laplace transforms of a class of higher dimensional varieties in a projective space of n dimensions / S. S.
Chern // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. – 1944. – V. 30. – № 4. – Р. 95–97.
3
Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В.
И. Ленина, 1965. – №243. – С. 29–37.
4
Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия
вузов. Матем. – 1966. – № 2. – С. 9–19.
5
Базылев В. Т. О нормализациях проективного пространства, порождаемых заданной в нем сетью / В. Т. Базылев // Лит. мат. сб., 1966. – Т. 6.– №3. – С. 313–322.
6
Столяров А. В. О внутренней геометрии двух классов плоских многомерных сетей в проективном прстранстве
/ А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. – 1969. – № 8. – С. 104–111.
7
Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Моно-графия / А. В. Столяров. – Чебоксары:
изд-во Чуваш. педин-та, 1994. – 290 с.
8
Чахтаури А. И. О внутренней геометрии трехмерной сети / А. И. Чахтаури // Тр. Тбилисск. ун-та. – 1966. – С.
129–133.
9
Акивис М. А. О нормалях Фосса поверхности, несущей сеть сопряженных линий / М. А. Акивис // Матем. сб. –
1962. – Т. 58(100). – № 2. – С. 695-706.
10
Акивис М. А О строении сопряженных систем на многомерных поверхностях / М. А. Акивис // Известия вузов. Матем. – 1970. – № 10. – С. 3–11.
11
Остиану Н. М. Инвариантное оснащение поверхности, несущей сеть / Н. М. Остиану // Известия вузов. Матем., 1970. – №7. – С. 72–82.
12
Столяров А. В. О сетях с совпавшими псевдофокусами, заданных на гиперповерхностях проективного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. – 1970. – № 2. – С. 86–93.
13
Столяров А. В. О внутренней геометрии двух классов плоских многомерных сетей в проективном прстранстве
/ А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. – 1969. – № 8. – С. 104–111.
14
Столяров А. В. О внутренней геометрии многомерных поверхностей, несущих проективно чебышевскую сеть
/ А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. – 1971. – № 11. – С. 99–103.
15
Багдасарян Ж. Н. Об инвариантных аффинных связностях на гиперповерхности в Pn , оснащенной семейством
конусов / Ж. Н. Багдасарян // Соврем. Геометрия. – Л., 1978, – С. 7–18.
16
Рыбников А. К. О реализации аффинных связностей без кручения на по-верхностях, несущих сеть сопряженных линий / А. К. Рыбников // Вестн. Моск. ун-та. Мат., мех. – 1973. – № 6 – С. 64–71.
3
Чебышевские и геодезические сети  в пространствах аффинной связности
An,n рассматриваются в работах А. Е. Либера17,18. С. Е. Степанов19,20,21 в пространстве аффинной связности An,n (n  2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью.
Отметим некоторые другие исследования по проективной и аффинной теории поверхностей, несущих сети (или их обобщения) того или иного класса. В
работе В. Т. Базылева22 на поверхности Vm  Pn полного ранга рассмотрены поля сопряженных и фокальных направлений, голономные сопряженные сети и
преобразования Лапласа поверхности. Обзор работ по теории многомерных сетей приведен в работе В. Т. Базылева23.
В работах В. И. Шуликовского24,25 дается систематическое изложение теории сетей двумерного пространства X 2 методом тензорного анализа.
В работе С. И. Билчева и Д. Т. Дочева26 дана классификация гиперповерхностей пространства E5 , несущих голономную сеть линий кривизны по наличию равенств между их главными кривизнами.
Однако следует заметить, что практически все исследования по теории сетей и тканей проводились без привлечения теории двойственности; исключение
составляют работы А. И. Чахтаури27,28,29 – по двумерным сетям и некоторые работы А. В. Столярова по многомерным сетям (см. например30,31).
В работе32 А. В. Столяровым положено начало по изучению двойственной
17
Либер А. Е. К теории сетей в многомерном пространстве / А. Е. Либер // Сб. «Дифференциальная геометрия» /
Саратовский ун-т, 1974. – Вып. 1. – С. 72–84.
18
Либер А. Е. О чебышевских сетях и чебышевских пространствах / А. Е. Либер // Тр. семинара по векторному и
тензорному анализу. – М. : МГУ, 1974. – Вып. 17. – С. 177–183.
19
Степанов С. Е. Геометрия декартовых пространств / С. Е. Степанов // ВИНИТИ. – М., 1978. – № 3414 – 78деп.
– 8 с.
20
Степанов С. Е. Чебышевские оснащения поверхности / С. Е. Степанов // ВИНИТИ. – М., 1978. – № 3414 –
78деп. – 8 с.
21
Степанов С. Е. Реализация чебышевской связности на гиперповерхности аффинного пространства / С. Е. Степанов // Современная геометрия: Вопросы дифференциальной геометрии. – Л., 1980. – С. 73–76.
22
Базылев В. Т. О полях сопряженных направлений на многомерных поверхностях полного ранга / В. Т. Базылев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. – 1967. – № 271. С. 7–33.
23
Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях / В. Т. Базылев // Итоги науки и техники ВИНИТИ
АН СССР. – 1965. – С. 138–164.
24
Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия/ В. И. Шуликовский. – М. : Физматгиз, 1963.
– 540 с.
25
Шуликовский В. И. Проективная терия сетей / В. И. Шуликовский. – Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1964. – 78 с.
26
Билчев С. И., Дочев Д. Т. Четырехмерные поверхности пятимерного евклидова пространства, несущие вполне
голономную 4-ткань линий кривизны / С. И. Билчев, Д. Т. Дочев // Изв. Мат. ин-т. Болг. АН. – 1973. – 14. – С.
287–305.
27
Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чахтаури // Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН
ГрССР. – Тбилисси, 1947. – Т. 15. – С. 101–148.
28
Чахтаури А. И. Приложения внутренних геометрий плоских сетей в теорию поверхностей / А. И. Чахтаури //
Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН ГрССР. – Тбилисси, 1954. – Т. 20. – С. 89–130.
29
Чахтаури А. И. О внутренней геометрии трехмерной сети / А. И. Чахтаури // Тр. Тбилисск. ун-та. – 1966. – С.
129–133.
30
Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхности / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. – 1972. – № 4. – С. 109–119.
31
Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. – 1977. – № 8. – С. 68–78.
32
Столяров А. В. Двойственная геометрия m-тканей на распределении H  Pn,n / А. В. Столяров // Тез. Докладов 8-й Всес. конф. по совр. проблем. диф. геометрии – Одесса, 1984. – С. 151.
4
геометрии m-тканей на регулярном гиперполосном распределении m-мерных
линейных элементов, вложенном в пространство проективной связности.
Актуальность диссертационного исследования обусловлена тем, что:
1) вопросы построения основ двойственной геометрии плоских многомерных сетей, а также основ двойственной теории многомерных сетей и тканей на
различных подмногообразиях (на гиперповерхности Vn 1 , на m-мерной поверхности Vm (m  n  1) , на распределении гиперплоскостных элементов), вложенных в пространства проективной структуры (проективное Pn , проективнометрическое K n ) до настоящего времени в математической литературе оставались слабо разработанными; поэтому в дифференциальной геометрии назрела
задача разрешения этих вопросов;
2) решение ключевой задачи 1) оказалось тесно связанным с разработкой
основ теории двойственных аффинных связностей, определяемых произвольной нормализацией изучаемых подмногообразий; одной из центральных задач
диссертационного исследования явилась задача приложения этих связностей к
исследованию двойственной геометрии многомерных сетей и тканей на них.
Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является
решение указанных ключевых задач №1, №2.
Методы исследования. В диссертационном исследовании рассматриваемая
теория развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических
исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева33, методом внешних дифференциальных форм Э. Картана34 и методом нормализации А.
П. Нордена35. Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей
получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым33,36.
Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Все рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции
предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые
подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования – аналитическими.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач (см. цель работы), являются новыми.
Научная новизна обусловлена тем, что изучением двойственной геометрии многомерных сетей и тканей геометры ранее почти не занимались.
В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов,
которые сформулированы в виде теорем.
33
Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. о-ва, 1953. – Т. 2. – С. 275–382.
34
Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. – М. ; Л. :
ГИТТЛ, 1948. – 432 с.
35
Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. – М. : Наука, 1976. – 432 с.
36
Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей / Г. Ф. Лаптев // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. – 1965. – С. 5–64.
5
Теоретическая и практическая ценность результатов. Диссертационная
работа имеет теоретическое значение, полученные в ней результаты могут быть
использованы при исследовании многомерных сетей и тканей на многообразиях,
вложенных в пространства более общей структуры (например, в пространства
Pn,n и An,n соответственно проективной и аффинной связности).
Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве
факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов
математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных
и научных работ.
Апробация и внедрение результатов. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и
семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научноисследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии
Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева
(2008–2011 гг.), на научно-практических конференциях преподавателей, докторантов и аспирантов Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2008–2011 гг.), на XLVIII и XLIX Международных
научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2010г. и 2011 г.), в II Всероссийской научной конференции «Научное творчество XXI века» c международным участием (г. Красноярск, 2010 г.) (работа была признана лучшей в секции «Физикоматематические науки»); в научной конференции с международным участием
«Геометрия многообразий и ее приложения» (г. Улан-Удэ, 2010 г.); в Девятой
молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения – 2010» (г. Казань, 2010
г.), на II Международной научно-практической конференции «Наука и современность – 2010» (г. Новосибирск, 2010 г.); на Международной конференции
«Геометрия в Одессе–2010»; во Второй Российской школе-конференции для
молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (г. Тверь, 2010 г.); во II Международной научной конференции
молодых ученых «Актуальные проблемы науки и техники» (г. Уфа, 2010 г.),
в международной школе-конференции «Геометрия. Инварианты. Управление» (г. Москва, 2012 г.).
Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 26 печатных работах автора, общим объемом 13 печатных листов, в том числе 4 из них в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований.
Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа
является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные
работы по теме исследования выполнены без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический
обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и
списка литературы, включающего 134 наименования. Полный объем диссертации
составляет 125 страниц машинописного текста.
6
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Диссертационная работа состоит из общей ее характеристики и трех глав.
В главе I разрабатывается двойственная теория плоских многомерных сетей
в проективном и в проективно-метрическом пространствах.
В §§ 1, 2 главы I доказаны следующие предложения (теорема 1.1, 1.2):
– При невырожденной нормализации проективного пространства Pn индуцируется нормализованное проективное пространство Pn , двойственное исходному в смысле А. В. Столярова7;
– Невырожденная нормализация проективного пространства Pn индуцирует двойственные пространства аффинной связности An,n и An,n без кручения,
(проективно-евклидовы связности 1-го и 2-го родов35), которые соответствуют
двойственным друг другу проективным пространствам Pn и Pn .
В § 3 найдены приложения двойственных аффинных связностей  и 
пространств An,n и An,n к изучению плоских сетей   Pn .
Вводится понятие двойственного образа сети  – тангенциальная плоская
сеть  в Pn . Записаны дифференциальные уравнения указанной сети, приведены инвариантные геометрические образы этой сети – псевдофокальные гиперплоскости  IJ и гармонические полюса  I (гиперплоскости), двойственные соответствующим образам FIJ , FI сети   Pn .
В § 4 изучается нормализация проективного пространства Pn , определяемая
сетью  , в частности, взаимногармоническая нормализация (при n  2 взаимногармоническая нормализация является взаимнолапласовой относительно сети
  P2 27) и нормализация пространства, гармоничная сети  . Найдены аналитические условия указанных нормализаций.
В этом параграфе приведены также геометрические характеристики чебышевской и геодезической сети (теоремы 1.7, 1.8):
– в невырожденной нормализации A0   0 проективного пространства Pn ,
гармоничной сети   Pn , рассматриваемая сеть есть геодезическая второго
(первого) рода тогда и только тогда, когда она является сетью с совпавшими
псевдофокусами первого (второго) рода и поле гиперплоскостей  0 (точек A0 )
совпадает с полем ее гармонических гиперплоскостей FI  (гармонических точек F );
– чебышевская сеть первого (второго) рода   Pn при n  2 есть
n –сопряженная система, являющаяся геодезической сетью второго (первого)
рода относительно данной нормализации проективного пространства Pn .
В § 5 рассматриваются приложения геометрии нормализованного проективно-метрического пространства K n к изучению плоских сетей. В частности, доказаны следующие предложения:
7
– В случае сети   K n , сопряженной относительно поля конусов направлений aST 0S 0T  0 , полярная нормализация пространства K n является нормализацией, гармоничной сети (теорема 1.13).
– Если сопряженная относительно поля невырожденного тензора a IS сеть
  K n , n  2 при некоторой нормализации пространства K n есть чебышевская
первого рода, то она не может быть геодезической первого рода, что равносильно тому, что нормализация пространства K n не может быть полярной (теорема 1.18).
– Если относительно невырожденной нормализации пространства K n
( tIK  0 ), гармоничной сети   K n , n  2 ( t IK  0, I  K ), сеть  является чебышевской второго рода, то  есть геодезическая сеть первого рода и при n  2
она является геодезической первого рода и n-сопряженной системой одновременно (теорема 1.20).
– Пространство аффинной связности An,n , индуцируемое полем гармонических гиперплоскостей чебышевской сети   K n первого рода, при n  2 является эквиаффинным; при этом нормализация исходного проективнометрического пространства K n гармонична сети  (теорема 1.21).
Глава II посвящена построению двойственной геометрии сетей на многомерных поверхностях в пространствах с проективной структурой, а именно, в
проективном Pn и в проективно-метрическом K n .
В § 1 с использованием теоремы Картана – Лаптева получены двойственные
аффинные связности  и  на нормализованной гиперповерхности Vn 1 в пространстве Pn (теоремы 2.1, 2.2), найдены приложения этих связностей к изучению внутренней геометрии сопряженных сетей   Vn1 (теоремы 2.3–2.5). Найден произвол существования гиперповерхности Vn 1 , несущей сопряженную
чебышевскую сеть первого и второго рода   Vn1 (n  3) (теорема 2.6).
В § 2 исследование сетей на оснащенной многомерной поверхности Vm
2  m  n  1 проективного пространства Pn проводится с использованием
внутренним образом ассоциированной с ней (в 3-й дифференциальной окрестности) гиперполосы H m в Pn , для которой исходная поверхность Vm является
базисной (см. теоремы 2.11 и 2.12).
В п. 3 § 2 найдены и изучаются (теоремы 2.14–2.17) две двойственные аффинные связности без кручения на нормализованной в смысле Нордена – Чакмазяна ассоциированной с поверхностью Vm (2  m  n  1) гиперполосе Н m в
Pn ; все это позволяет построить двойственную геометрию сетей на рассматриваемой поверхности.
Действительно,
инвариантное
присоединение
к
поверхности

Vm  Pn ( 2  m  n  1) регулярной (тензор b  ij невырожден) гиперполосы
H m  Pn с учетом наличия ее двойственного образа, а, следовательно, двойственного образа сети   Vm привело к построению инвариантной нормализации
базисной поверхности Vm полями гармонических (n-m)-мерных и (m-1)- мер8
ных плоскостей сети   Vm , слабо сопряженной относительно поля симметричного тензора b ij (теорема 2.18); последнее на Vm индуцирует две двойственные аффинные связности без кручения. С учетом этого на поверхности
Vm  Pn ( 2  m  n  1) вводятся в рассмотрение, в частности, различные двойственные подклассы сетей (геодезические сети первого и второго рода, чебышевские сети первого и второго рода).
§ 3 посвящен разработке двойственных вопросов геометрии сетей  на невырожденном абсолюте Qn21 в проективно-метрическом пространстве K n .
В п.1 получен один из центральных результатов § 3 (теорема 2.22): проективно-метрическое пространство K n с невырожденным абсолютом Qn21 в первой дифференциальной окрестности индуцирует двойственное относительно
инволютивного преобразования структурных форм проективно-метрическое
пространство K n с невырожденным абсолютом Qn21 ; абсолют Qn21 пространства K n есть семейство касательных гиперплоскостей второго порядка к абсолюту Qn21 пространства K n . В тангенциальном репере  I  найдено уравнение
абсолюта Qn21 .
В п. 2:
1) при n  4 найдено условие голономности сопряженной относительно
поля конусов направлений gik0i 0k  0 сети   Qn21 ; геометрически это условие эквивалентно тому, что абсолют Qn21 пространства K n является гиперсопряженной системой37 (теорема 2.23);
2) доказана теорема существования абсолюта Qn21  K n (n  4) , являющегося гиперсопряженной системой относительно сопряженной сети   Qn21
(теорема 2.24).
В п. 3 найдены поля гармонических прямых qni и гиперпрямых qi0 сети
  Qn21 , определяемые внутренним образом. Доказаны следующие предложения (теоремы 2.25, 2.26):
– поля гармонических прямых qnj и гиперпрямых qi0 сопряженной сети  ,
заданной на невырожденном абсолюте Qn21 проективно-метрического пространства K n ( n  3) двойственны по отношению друг к другу и нормализуют
гиперквадрику Qn21 взаимно.
В п. 4 строятся различные инвариантные оснащения абсолюта Qn21  K n .
Вводятся понятие сильно оснащенного и согласованно оснащенного абсолюта
Qn21  K n . К основному результату этого пункта можно отнести теорему 2.27:


нормализация
невырожденного абсолюта Qn21 проективно ni ,  i0
метрического пространства K n является взаимной тогда и только тогда, когда
37
Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа p–сопряженных систем / Р. В. Смирнов // ДАН СССР. – 1950. – Т.71. –
№3. – С. 437–439.
9
гиперквадрика Qn21 согласованно оснащена полями геометрических объектов

i
n,
 n0  и  i0 ,  n0  в смысле соответственно Э. Картана и Э. Бортолотти.
~
Доказано, что пространство проективной связности Pn 1, n 1 , индуцируемое
оснащением в смысле Э. Картана невырожденного абсолюта Qn21  K n , вырождается в проективное пространство тогда и только тогда, когда оснащающая
точка Картана неподвижна (теорема 2.28).


1 
2 
Найдены поля геометрических объектов qni , qn0  и qi0 , qn0  на невырож



2
денном абсолюте Qn1 проективно-метрического пространства K n , определяемые сопряженной сетью   Qn21 , которые задают согласованное оснащение
гиперквадрики Qn21 (теорема 2.9).
В п. 5 вводятся в рассмотрение аффинные связности, индуцируемые нормализацией абсолюта Qn21  K n полями гармонических прямых qni и гиперпрямых qi0 сопряженной сети   Qn21 .
В п. 6 для сети главных линий на абсолюте Qn21  K n доказано утверждение (теорема 2.33): если сопряженная сеть   Qn21  K n есть сеть главных линий первого рода конгруэнции ее гармонических прямых, то линии сети  суть
кривые второго порядка.
Глава III посвящена получению новых результатов по геометрии проективных и двойственных аффинных связностей, а также двойственной геометрии тканей  на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов М первого
рода в проективно-метрическом пространстве K n .
В § 1 приводится необходимый в дальнейшем изложении материал, носящий, в основном, реферативный характер. Здесь даются основные определения,
приводятся дифференциальные уравнения многообразия M и его двойственного
образа M , а также дифференциальные уравнения полей фундаментальных и охваченных геометрических объектов на M.
В § 2 рассматривается распределение гиперплоскостных элементов М, внутренним образом оснащенное в смысле Э. Картана38 полем геометрического объекта H ni , H n ; при этом найдена система форм Пфаффа  ij , определяющая на
M пространство проективной связности Pn,n1 , приведено строение тензора кри-

 

визны-кручения R ijST этого пространства.
Основным результатом § 2 является теорема 3.2: пространство проективной
связности Pn,n1 , индуцируемое оснащением в смысле Э. Картана регулярного
распределения гиперплоскостных элементов M в проективно-метрическом пространстве K n полем геометрического объекта H ni , H n , вырождается в плоское

38

Cartan E. Les espaсes a connexion projective / E. Cartan // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. –
М. : МГУ, 1937. – Вып. 4. – С. 147–159.
10
пространство тогда и только тогда, когда оснащающая точка S n неподвижна.
Доказано предложение, определяющее геометрическую характеристику
оснащающей точки распределения: оснащающая точка S n распределения гиперплоскостных элементов M в проективно-метрическом пространстве K n совпадает с полюсом текущего элемента  n1   A0 Ai  этого распределения относительно абсолюта Qn21 .
В § 3 внутренним образом построено двойственное инвариантное оснащение
распределения гиперплоскостных элементов М в смысле А. П. Нордена полями
квазитензоров H ni , H i , взаимное относительно абсолюта Qn21 .
К основным результатам этого параграфа относятся следующие утверждения:
1) Если центр распределения M в K n смещается вдоль кривой, принадле-




жащей подмногообразию M, то нормализация Н ni , H i распределения индуцирует риманову связность с полем невырожденного тензора aij (теорема 3.5 и
следствие).
2) Нормализация распределения гиперплоскостных элементов M в проективно-метрическом пространстве K n полями квазитензоров Н ni и H i индуцирует риманово пространство Rn1 постоянной кривизны K , когда поле нормалей первого рода Н ni есть связка прямых с центром в точке S n ; при этом
1
K   (теорема 3.6).
с
В § 4 найдены приложения двойственных аффинных связностей пространств
An,n1 и An,n1 к изучению геометрии сопряженной ткани  на распределении
гиперплоскостных элементов M в K n .
Найдены условия параллельного перенесения направления касательной A0 Ai
к i-ой линии ткани   М вдоль ее линии 0k в аффинной связности пространства An,n1 или An,n1 , индуцируемого нормализацией А. П. Нордена регулярного
распределения гиперплоскостных элементов M. Дано определение геодезической и чебышевской тканей первого и второго рода, получены необходимые и
достаточные аналитические условия существования их.
Основным результатом § 4 является предложение (теорема 3.9): сопряженная ткань  на регулярном распределении гиперплоскостных элементов M в
проективно-метрическом пространстве K n является тканью с совпавшими
псевдофокусами Fi k (псевдофокальными гиперплоскостями  ik ) тогда и только
тогда, когда относительно поля гармонических гиперпрямых qi0 (гармонических прямых q ni ) данная ткань является геодезической второго (первого) рода.
11
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ,
ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
1. Построены основы двойственной геометрии плоских многомерных сетей в проективном и в проективно-метрическом пространстве.
2. На различных подмногообразиях, вложенных в пространство с проективной структурой, построена двойственная теория сетей и тканей.
3. Разработаны основы теории двойственных аффинных связностей, определяемые нормализацией рассматриваемых подмногообразий.
4. Найдены приложения аффинных связностей, индуцируемых нормализацией различных подмногообразий проективного Pn
и проективнометрического K n пространств, к изучению двойственной геометрии сетей и
тканей на них.
Публикации по теме диссертации
Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ
1. Кондратьева Н. В. О некоторых классах сетей, заданных на регулярной
гиперповерхности проективного пространства / Н. В. Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я.
Яковлева / Чувашский госпедун-т. – Чебоксары, 2010. – № 4 (68). – С. 94–
101. (0,5 п. л.)
2. Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия тканей на распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве / Н. В.
Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического
университета им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. – Чебоксары,
2011. – № 2 (70). – С. 55–62. (0,5 п. л.)
3. Кондратьева Н. В. Некоторые приложения геометрии проективнометрического пространства к изучению плоских сетей / Н. В. Кондратьева
// Вестник Чувашского государственного педагогического университета
им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. – Чебоксары, 2011. – № 2 (70).
– С. 63–69. (0,4 п. л.)
4. Кондратьева Н. В. Связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов / Н. В. Кондратьева // В мире научных открытий. – Красноярск : Научно-инновационный центр, 2011. – №8(11). – Ч. 1. – С. 14–19.
(0,4 п. л.)
5.
6.
Публикации в других изданиях
Кондратьева Н. В. Нормализованное проективное пространство / Н. В.
Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического
университета им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. – Чебоксары,
2008. – № 3 (59). – С. 32–39. (0, 3 п. л.)
Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия плоских многомерных сетей / Н.
В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. – М., 2008. – № 449 – В2008. – 20 с. (1,3
п. л.)
12
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия плоских сетей в проективнометрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. – М.,
2008. – № 22 – В2008. – 14 с. (0,9 п. л.)
Кондратьева Н. В. Плоские сети в нормализованном проективнометрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. – М.,
2008. – № 61 – В2008. – 11 с. (0,7 п. л.)
Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия сопряженных сетей на гиперповерхности / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. – М., 2008. – № 148 –
В2008. – 16 с. (1,0 п. л.)
Кондратьева Н. В. Геометрия сопряженных сетей на невырожденном абсолюте проективно-метрического пространства / Н. В. Кондратьева //
ВИНИТИ РАН. – М., 2008. – № 434 – В2008. – 18 с. (1,1 п. л.)
Кондратьева Н. В. Сопряженные сети на регулярной гиперповерхности
проективного пространства / Н. В. Кондратьева // Наука и современность –
2010 : материалы I Международной научно-практической конференции : в
3 ч. – Новосибирск : Изд-во «СИБ-ПРИНТ», 2010. – Ч. 2. – С. 160–165.
(0,06 п. л.)
Кондратьева Н. В. О сопряженных сетях в нормализованном проективнометрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // В мире научных открытий. – Красноярск : Научно-инновационный центр, 2010. – №4(10). – Ч. 5. –
С. 7–9. (0,2 п. л.)
Кондратьева Н. В. О гиперповерхности, несущей сопряженную сеть /
Н . В. Кондратьева // Геометрия многообразий и ее приложения : материалы научной конференции с международным участием. – Улан-Удэ : Изд-во
Бурятского гос. ун-та, 2010. – C. 28–34. (0,3 п. л.)
Кондратьева Н. В. Приложения геометрии проективно-метрического пространства к изучению некоторых классов сетей / Н . В. Кондратьева // Студент и научно-технический прогресс : материалы XLVIII Международной
научной студенческой конференции. – Новосибирск : Изд-во Новосиб. гос.
ун-та, 2010. – C. 73. (0,06 п. л.)
Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия сетей на невырожденном абсолюте проективно-метрического пространства / Н. В. Кондратьева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. – Чебоксары, 2010. – №1(15). – С. 3–9. (0,4 п. л.)
Кондратьева Н. В. О сопряженной сети на гиперквадрике проективнометрического пространства / Н. В. Кондратьева // В мире научных открытий. – Красноярск : Научно-инновационный центр, 2010. – №5(11). – Ч. 1. –
С. 14–19. (0,5 п. л.)
Кондратьева Н. В. О сопряженных сетях, заданных на гиперповерхности /
Н. В. Кондратьева // Геометрия в Одессе – 2010 : тезисы докладов Международной конференции. – Одесса : Фонд «Наука», 2010. – С. 38. (0,06 п. л.)
Кондратьева Н. В. Аффинные связности на абсолюте проективнометрического пространства / Н. В. Кондратьева // Труды математического
центра имени Н. И. Лобачевского : материалы Девятой молодежной научной школы–конференции «Лобачевские чтения – 2010». – Казань : Казанское математическое общество, 2010. – Т. 40. – С. 184–188. (0,3 п. л.)
13
19. Кондратьева Н. В. Сети и аффинные связности на гиперполосе, ассоциированной с поверхностью / Н. В. Кондратьева // Научно-информационный
вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. – Чебоксары, 2010. – №2(16). – С. 19–23. (0,3 п. л.)
20. Кондратьева Н. В. Некоторые классы сетей в проективно-метрическом
пространстве / Н. В. Кондратьева // Диф. геометрия многообразий фигур :
Межвуз. темат. сб. науч. тр. – Калининград: Российский гос. ун-т им.
И. Канта, 2010. – Вып. 41. – С. 61–69. (0,6 п. л.)
21. Кондратьева Н. В. Сопряженные сети на поверхности проективного пространства / Н. В. Кондратьева // Актуальные проблемы науки и техники :
сб. трудов II Международной научной конференции молодых ученых. –
Уфа : Нефтегазовое дело. – 2010. – Т. I. – С. 11–15. (0,3 п. л.)
22. Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия многомерной поверхности в
проективном пространстве / Н. В. Кондратьева // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании : Материалы второй Российской
школы-конференции с междун. участием для молодых ученых. – Тверь :
Твер. гос. ун-т, 2010. – С. 150–155. (0,4 п. л.)
23. Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия сетей на поверхности проективного пространства / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. – М., 2008. – №
704 – В2010. – 20 с. (1,25 п. л.)
24. Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия распределения гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. – М., 2011. – № 154 – В2008. – 12 с. (0,75 п. л.)
25. Кондратьева Н. В. Проективные связности на распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // Студент и научно-технический прогресс : материалы XLIX Международной научной студенческой конференции. – Новосибирск : Новосиб.
гос. ун-т, 2011. – С. 78. (0,06 п. л.)
26. Кондратьева Н. В. Приложения теории гиперполос к изучению двойственной геометрии сетей на поверхности / Н. В. Кондратьева // Диф. геометрия
многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. – Калининград: Российский гос. ун-т им. И. Канта, 2011. – Вып. 42. – С. 48–56. (0,5 п. л.)
14
Подписано к печати ______________ . Формат 60×84 / 16.
Бумага ксероксная. Печать трафаретная.
Усл. печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ ____ .
Отдел оперативной полиграфии
Чувашского государственного педагогического университета
428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.
15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
462 Кб
Теги
структура, двойственной, пространство, проективные, геометрия, сетей, подмногообразиях, тканей
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа