close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Нестационарные колебания и устойчивость провисающих проводов воздушных линий при ветровых и гололёдных нагрузках.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
СОКОЛОВ АЛЕКСАНДР ИГОРЕВИЧ
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
ПРОВИСАЮЩИХ ПРОВОДОВ ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ ПРИ
ВЕТРОВЫХ И ГОЛОЛЁДНЫХ НАГРУЗКАХ
Специальность:
01.02.06 – Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени
кандидата технических наук
Москва – 2012
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном
образовательном учреждении высшего профессионального образования
«Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана»
на кафедре – «Прикладная механика».
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор
Светлицкий Валерий Александрович
Научный консультант:
доктор технических наук, профессор
Воронов Сергей Александрович
Официальные оппоненты:
Пановко
Григорий
Яковлевич,
доктор
технических наук, профессор, ФГБУН ИМАШ
им. А.А. Благонравова
РАН,
заведующий
лабораторией
Чирков Виктор Петрович, доктор технических
наук,
профессор,
«Московский
ФГБОУ
ВПО
энергетический
«НИУ
институт»,
профессор
Ведущая организация:
ФГБОУ ВПО «НИУ «Московский авиационный
институт»
Защита состоится «14» февраля 2013 г. в 1200 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.129.01 при Федеральном государственном
бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального
образования «Московский государственный индустриальный университет»
по адресу: 115280, г. Москва, ул. Автозаводская, д. 16, ауд. 1804.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО
«МГИУ».
Автореферат разослан «09» января 2013 г.
Учёный секретарь
диссертационного совета
Иванов Юрий Сергеевич
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Провода воздушных линий электропередачи
(ЛЭП, рис. 1), канатные подвесные дороги, шланги, трубопроводы и т.п. при
эксплуатации воспринимают ветровые нагрузки, а в ряде
случаев подвержены оледенению. Указанные факторы, по
отдельности и в сочетании, могут привести к авариям
(обрывы и пережоги проводов, разрушение опор, разрывы
шлангов и трубопроводов).
Поскольку, выход из строя ЛЭП приводит к значительным экономическим потерям, механическая часть
ЛЭП должна обеспечивать высокий уровень надёжности.
Этим обстоятельством определяется применение как
инженерных методов, так и высокоточных расчётов при
проектировании, учитывающих основные особенности
эксплуатации ЛЭП в реальных условиях. ПроектировщиРис. 1
кам необходимо учесть экстремальные условия, в
частности, обледенение и возможное галопирование
проводов, обусловленное взаимодействием с ветром, что приводит к более
сложным задачам аэроупругости. Основная особенность этих задач невозможность получения полной информации о силах, действующих на
стержень. Экспериментально удаётся определить аэродинамические силы
только для частных случаев обтекания коротких стержней. Задача
усложняется наличием провисания (обусловленного ограничением усилий на
опоры, температурным расширением и пр.), из-за которого провода
получают заметные перемещения под действием ветра.
Поэтому исследование взаимодействия провисающих проводов с
ветром в условиях обледенения является актуальной проблемой.
Цель диссертации. Целью диссертации является повышение
надёжности воздушных линий в условиях обледенения провисающих
проводов за счёт разработки методики расчёта нестационарных колебаний
провода относительно положения равновесия в ветровом потоке для
определения конструктивных параметров воздушных линий.
Задачи, рассмотренные в диссертации
1. Вывод выражений для аэродинамических нагрузок, действующих на
произвольно ориентированный относительно потока движущийся элемент
стержня.
2. Определение статических внутренних силовых факторов (ВСФ) и
деформированного состояния пространственно-криволинейных стержней из
нелинейных уравнений равновесия провода под действием произвольно
направленного стационарного ветрового потока.
3
3. Определение собственных значений колебаний (действительных и
комплексных) и собственных векторов для проводов круглого и некруглого
(в условиях обледенения) сечений.
4. Определение по действительной части комплексных собственных
значений критических скоростей потока, при которых возможна потеря
устойчивости положения равновесия провода (динамическим или
статическим образом).
5. Определение динамических ВСФ и максимальных отклонений точек
провода при нестационарных колебаниях, вызванных воздействием потока.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы
были использованы основные положения и уравнения механики стержней и
нитей, применялись численные методы интегрирования дифференциальных
уравнений, решения систем алгебраических уравнений и решения задач на
собственные значения.
Научная новизна
1. Разработана новая динамическая модель провисающего провода,
взаимодействующего с ветром, учитывающая крутильную и изгибные
жёсткости провода, а также возможное оледенение с учётом жёсткости льда
и несовпадение центров масс и жёсткости сечений.
2. Разработана методика численного решения нелинейных уравнений
равновесия пространственно-криволинейных стержней в потоке воздуха с
определением статических ВСФ при произвольном направлении ветра.
3. Разработана методика численного определения собственных значений и собственных векторов колебаний, позволяющая найти критические
скорости ветра, при которых возможна потеря устойчивости равновесия
провода в зависимости от параметров системы “провод-поток”.
4. Разработана методика численного решения уравнений колебаний
провода, вызванных нестационарным ветровым потоком, с определением
динамических ВСФ.
5. Получены скорректированные уравнения, с учётом нормировки
производной от радиус-вектора, для приближённого решения нелинейных
колебаний нити методом разложения по собственным векторам.
Практическая ценность полученных результатов
1. Разработаны численные алгоритмы и программное обеспечение
(ПО), позволяющие рассчитывать ВСФ длиннопролётных стержневых
систем под действием аэродинамических нагрузок с использованием нитяной
и стержневой моделей.
2. Разработаны численные алгоритмы и ПО определения критических
параметров потока, обтекающего протяжённую тросовую систему, при
которых возможна потеря устойчивости положения равновесия.
4
3. Разработана методика для определения максимальных ветровых
нагрузок, действующих на стержневые конструкции.
4. Разработанная инженерная методика расчёта пространственнокриволинейных стержней, взаимодействующих с ветром, может быть
применена при расчёте стержневых конструкций, взаимодействующих с
потоком газа или жидкости.
Достоверность научных положений и выводов вытекает из
обоснованности использованных теоретических подходов, подтверждается
решением тестовых примеров, их сравнением с аналитическими
результатами, сравнением решений, полученных при помощи различных
моделей, а также сравнением результатов с расчётами, полученными
другими авторами.
Реализация результатов работы. Полученные в диссертации алгоритмы и ПО численного решения уравнений статики и динамики стержней
внедрены в расчётную практику ИМАШ им. А.А. Благонравова РАН и
Конструкторско-технологического бюро Департамента промышленности
ЗАО «СУ-155».
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях аспирантов в МГТУ
им. Н.Э. Баумана (2005-2007, 2012 г.г.), на НТС отделения ГНЦ ФГУП
“Центр Келдыша” (2012 г.), на XXXII Всероссийской конференции по
проблемам науки и технологий (г. Миасс, 2012 г.), на научном семинаре
“МЕСМУС” и в отделе “Вибрационная биомеханика” ИМАШ
им. А.А. Благонравова РАН (2012 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ, в
том числе 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
шести глав, основных выводов, списка литературы из 85 наименований,
приложения; содержит 177 страниц, 122 рисунка и 7 таблиц.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении рассмотрены основные проблемы, возникающие в практике проектирования стержневых элементов конструкций, взаимодействующих с потоком; дается обзор научных публикаций наиболее близких к теме
диссертации; сформулированы цели и основные задачи, которые рассматриваются в диссертации.
В первой главе дан вывод аналитических выражений для проекций
аэродинамических нагрузок при следующих допущениях:
1) набегающий и обтекающий потоки считаются стационарными, а при
движении стержня – квазистационарными;
5
2) справедлива аэродинамическая гипотеза плоских сечений (рис. 2).
qL
µa
αa
vот n
e2(1)
O1
~
O
e2
O
qn1
e3
d (1)
l1
Лёд
Провод
Рис. 2
Рис. 3
Подробное описание форм оледенения (рис. 3) проведено в работе
В.Е. Бучинского. Аэродинамические характеристики сечений приводятся,
например, в работах С.В. Валандера, С.М. Горлина и др.
Для распределённых аэродинамических нагрузок в работе предложено
следующее их описание:
q1 = qɶ10 ⋅ (v OT v 0 )2 cos2 ϕ a1e1sign (cos ϕa1 ),
q n1 = qɶn1 0 ( αa ) ⋅ (v OT v 0 )sin ϕa1 (ev( OT) 2e 2 + ev( OT) 3e 3 ),
1
1
(1)
(1)
(1)
q L = qɶ L 0 (αa ) ⋅ (v OT v 0 )sin ϕa1 ( evOT 2 e 3 − evOT 3e 2 ),
µ a = µɶ 10 ( αa ) ⋅ (v OT v 0 )2 sin 2 ϕ a1e1 ,
qɶ10 = c1ρd (1) v 02 /(2m0 g ),
qɶn1 0 ( αa ) = cn1 ( αa )ρd (1) v 02 /(2m0 g ),
qɶ L 0 (αa ) = cL (αa )ρd (1) v 02 /(2m0 g ),
µɶ 10 ( αa ) = cm (αa )ρd (1) l1v 02 /(2m0 gl ),
ev(10)j = cos α П cos β П l (j11) + sin β П l (j12) + sin α П cos β П l (j13) ,
sin αa = v 0 (cos α П cos β П l21(1) + sin β П l22(1) + sin α П cos β П l23(1) − β0 uɺ2 ) /(| v ОТ | sin ϕa1 ) ,
vОТ = v 0 − uɺ (η ,τ ) ,
ev(1ОТ) j = ev(10)j − β0uɺ j ,
β0 = lp0 / v 0 ,
p0 = g / l ,
где v 0 - скорость потока; ϕa1 - угол между единичным вектором ( e1 ),
касательным к осевой линии и относительной скоростью потока ( v ОТ ); u вектор перемещений точек осевой линии стержня; l – длина провода; p0 размерный параметр; lij(1) - элементы матрицы преобразования L(1) исходного
базиса {e j 0 } к базису {e j } ; α П , β П - направляющие углы потока; c j аэродинамические коэффициенты; ρ - плотность воздуха; d (1) и l1 параметры сечения; m0 - масса единицы длины провода; g - ускорение
свободного падения; αa - угол атаки.
Из приведённых соотношений, полагая L(1) = L(0) ( L(0) - матрица
преобразования базиса {i j } к базису {e j 0 } ), u ≡ 0 , можно получить
выражения для аэродинамических сил, действующих на неподвижный
стержень.
6
При малых колебаниях в потоке, разложив выражение (1) в ряд по θ ( θ
- вектор углов поворота) и uɺ около нуля, получаем линейные приращения
аэродинамических сил
∆q n1 = N (3)θ + N (4) ∂u / ∂τ ,
∆q L = N (5) θ + N (6) ∂u / ∂τ ,
(2)
∆q1 = N (7)θ + N (8) ∂u / ∂τ ,
∆µ a = P(1) θ + P(2) ∂u / ∂τ .
Матрицы N ( k ) и P( k ) приводятся в приложении к диссертации
x2
K
x 2K
v0
v0
e2
e1
e2
v1
ϕa0
e1
q1
Q +d Q
ϕa0
Q
e3
g
x 1K
O
M +d M
x1
M
vn
e3
v0
qn
αП
x3
Рис. 4
Во второй главе приводятся нелинейные уравнения равновесия (в безразмерном виде) “жёсткого” провода в стационарном потоке газа в связанных осях (рис. 4)
dQ / d η + κ × Q + q = 0,
dM / d η + κ × M + e1 × Q + µ = 0,
L1dθ / d η + L 2 κ 0(1) − A −1M = 0,
(3)
du / d η + κ × u + (l11 − 1)e1 + l21e 2 + l31e 3 = 0,
M = A( κ − κ (1)
0 ),
где η - безразмерная дуговая координата (отнесённая к длине провода); κ ,
κ (1)
0 - векторы кривизны осевой линии стержня соответственно в нагруженном и естественном состояниях; Q , M - внутренние сила и момент; q , µ внешние распределенные силы и моменты; A – матрица жёсткости стержня.
Вывод данных уравнений приведён в работах В.А. Светлицкого.
Система (3) – базовая для определения напряжённо-деформированного
состояния (НДС) отклонённого провода, относительно которого, в
дальнейшем, рассматриваются задачи динамики. Эта система решается
численно с использованием метода последовательного нагружения
r
r
m=1
m=1
( q = ∑ ∆q m ; µ = ∑ ∆µ m ), что позволяет на каждом шаге нагружения ( m )
решать линеаризованную систему уравнений и методом итераций уточнять
решение до заданной точности. Линеаризованные уравнения имеют вид:
7
dQ(m)( k ) / d η+ κ( m)( k −1) × Q(m)( k ) + ∆qn(m) + ∆q1( m) + ∆q(gm) = 0,
dM( m)(k ) / d η+ κ(m)( k −1) × M(m)( k ) + e1 × Q( m)(k ) = 0,
dθ(m)( k ) / d η+ κ( m)(k −1) × θ( m)(k ) − A-1M( m)(k ) = 0,
(4)
du(m)( k ) / d η+ κ( m)(k −1) × u(m)( k ) − ϑ(3m)(k )e2 + ϑ(2m)( k )e3 = 0,
M(m)( k ) = A∆κ(m)(k ) .
Рис. 5
На рис. 5 представлены формы упругой линии, полученные при решении уравнений равновесия защемлённого провисающего “жёсткого” провода
при следующих параметрах: l=20 м, d=10-2 м, m0=0,61 кг/м – длина, диаметр и
погонная масса провода; Eпр=2·105 МПа, µ=0,25 - механические характеристики материала; x1K=0,7, x2K=0,4 – безразмерные координаты крепления
правого конца провода; ρ=1,25 кг/м3 – плотность потока; c1=0,1, cn=1,25 –
аэродинамические коэффициенты. Вектор скорости потока (v0=15 м/с; 30 м/с;
50 м/с) ортогонален плоскости x1Ox2 (αП=90º; βП=0).
В третьей главе для описания движения стержня в потоке воздуха
используются нелинейные уравнения механики стержней, которые после
линеаризации принимают вид:
−∂ 2 u / ∂τ2 + ∂∆Q / ∂η + ∆κ × Q0 + κ 0 × ∆Q = −∆qɶ ,
− I∂ 2 θ / ∂τ2 + ∂∆M / ∂η + ∆κ × M 0 + κ 0 × ∆M + e1 × ∆Q = −∆µɶ ,
∂θ / ∂η + κ 0 × θ − ∆κ = 0,
(5)
∂u / ∂η + κ 0 × u − ϑ3e 2 + ϑ2e 3 = 0,
∆M = A ⋅ ∆κ,
где τ - безразмерное время; I – матрица физических моментов инерции;
величины со знаком ∆ - приращения соответствующих векторов.
В матричной форме система уравнений (5) имеет вид
A (1) ∂ 2 Z / ∂τ2 + ∂Z / ∂η + A (2) Z = ∆b ,
(6)
где Z = {∆Q, ∆M, θ, u}T ; A ( j ) - матрицы коэффициентов, стоящих при компонентах вектора Z в выражении (5); ∆b = −{∆qɶ , ∆µɶ ,0,0}T - вектор приращений
аэродинамических и гравитационных нагрузок.
8
Полученные уравнения в дальнейшем используются для:
1) исследования численными методами колебаний пространственнокриволинейных стержней (определение динамического НДС), нагруженных
произвольными динамическими распределенными силами и моментами с
помощью собственных значений и векторов, определяемых из (6) при
∆b = 0 ;
2) определения комплексных собственные значений при ∆b ≠ 0 ,
зависящих от скорости потока, по которым находятся критические скорости
ветра.
В конце главы приводятся уравнения малых колебаний провода при
обледенении, когда центры масс и центры жесткости сечений не совпадают,
позволяющие исследовать влияние взаимного расположения указанных
точек на динамические характеристики провода.
В четвёртой главе рассмотрена задача определения собственных значений и собственных векторов при колебаниях “жёсткого” стержня в
стационарном потоке. По действительной составляющей комплексного
собственного значения определяется устойчивость положения равновесия
провода в потоке. Находятся критические скорости потока, при которых
возможна потеря устойчивости.
1. Определение собственных частот и собственных векторов. Рассматриваются малые колебания стержня относительно состояния равновесия
стержня в потоке, которое определяется из нелинейных уравнений
равновесия стержня, без учета “динамических” составляющих аэродинамических сил, т.е. из однородного уравнения (6).
Решение однородного уравнения (6) (при ∆b = 0 ) ищется в виде
Z = Z0eiβτ .
(7)
Подставив (7) в уравнение (6), получаем
dZ0 / dη + ( A (2) − β2 A (1) )Z0 = 0 ⇒
Z0 = K (η, β)C .
(8)
Решение уравнения (8) должно удовлетворять краевым условиям, что
позволяет определить β j ( j = 1, 2,... ).
Каждому β j соответствует собственный вектор Z(0 j ) , равный
Z(0 j ) = KC( j ) ,
(9)
который должен удовлетворять краевым условиям при η = 0 и η = 1 . Для
частного случая однородных краевых условий (защемления по концам)
6
∑k
ν=1
iν
(1, β j )cν( j ) = 0 .
(10)
Из системы (10), задавшись одной из констант, можно определить
остальные, после чего задача о нахождении собственного вектора решена.
9
2. Определение комплексных собственных значений. Рассматриваются
колебания стержня (неоднородное уравнение (6)) относительно состояния
равновесия
в
потоке
с
учётом
динамических
составляющих
аэродинамических сил и моментов.
Динамические составляющие нагрузок зависят от динамических углов
θ и производной вектора перемещений uɺ (2). В этом случае система
“стержень-поток” неконсервативна, а собственные значения - комплексные
числа ( λ j = α j ± iβ j ).
Вектор приращений аэродинамической нагрузки можно представить в
виде ∆b = − A (3) ∂Z / ∂τ − A (4) Z . С учётом вектора ∆b , получаем уравнение
ɶ (2) Z = 0 ,
A (1) ∂ 2 Z / ∂τ2 + A (3) ∂Z / ∂τ + ∂Z / ∂η + A
(11)
ɶ (2) = A (2) + A (4) .
где A
Решение уравнения (11) ищем в комплексном виде
Z = ( Z01 + iZ02 )e( α+iβ ) τ .
(12)
Подставляя (12) в (11), после преобразований получаем уравнение
dZ0 / dη+ B(ηα
, ,β)Z0 = 0
( Z0 = {Z01 , Z02 }T ).
(13)
Задавшись α( ν ) и β( ν ) , получаем численное решение уравнения (13)
Z0 =K (η,α( ν ) ,β( ν ) )C .
(14)
Компоненты вектора Z0 должны удовлетворять краевым условиям, из
которых (при η = 1 ) получаем однородную систему линейных уравнений
относительно компонент вектора C , определитель которой должен быть равен нулю. Значения ( α( ν ) ; β( ν ) ) при этом соответствуют комплексным
собственным значениям λ j = α j ± iβ j .
На рис. 6 приведены графики изменения α j , β j в зависимости от
скорости потока при следующих параметрах провода: l=100 м; l1=0,05 м;
d(1)=0,02 м; d=10-2 м; Eпр=2·105 МПа; µ=0,25; m0=1,18 кг/м; x1K=0,7; x2K=0,4;
ρ=1,25 кг/м3; αП=135º; βП=0. Как видно из рисунка, при скорости потока
~27 м/с действительная часть третьего собственного значения становится
положительной, т.е. провод теряет устойчивость динамическим образом.
Для того же провода, но без обледенения (m0=0,61 кг/м; c1=0,1;
cn=1,25), графики изменения собственных значений приведены на рис. 7. Из
рисунка видно, что провод не теряет устойчивости. Следовательно, основное
влияние на динамические характеристики провода оказывает форма его
сечения (значения аэродинамических коэффициентов).
10
Рис. 6
Рис. 7
В пятой главе исследуются нестационарные колебания провода в потоке воздуха при действии распределенных сил. Рассмотрены три типа
нагружения: импульсное, внезапным стационарным потоком, нестационарным потоком в виде суммы постоянной и гармонической составляющих с
малой амплитудой.
В уравнении (6)
∆b = bɶ (η, τ) − ( A (3) ∂Z / ∂τ + A (4) Z ) ,
(15)
где bɶ – вектор нагрузок, отвечающий за возмущение потока.
Подставив (15) в (6), получаем
A (1)∂ 2 Z / ∂τ 2 + A (3) ∂Z / ∂τ + ∂Z / ∂η + ( A ( 2 ) + A (4) )Z = bɶ .
Приближённое решение уравнения (16) ищется в виде
(16)
n
Z = ∑ f j ( τ ) Z(0 j ) ( η) ,
(17)
j =1
где f j - неизвестные временные функции; Z(0 j ) - известные собственные
векторы, полученные из (6) с однородной правой частью, компоненты которых удовлетворяют краевым условиям задачи.
Подставив выражение (17) в (16), получим невязку γ
n
∑ A ( ) ɺɺf + A
1
j
j =1
(3)
1
fɺ j + ( A (4) + β2j A ( ) ) f j  Z(0 j ) − bɶ = γ .
(18)
Для решения (18) применяется обобщенный метод Галёркина (данный
метод подробно изложен В.А. Светлицким). В результате, получаем n
дифференциальных уравнений относительно
fj
с постоянными
коэффициентами:
n
∑ a
j =1
kj
ɺɺ
f j + bkj fɺ j + ckj f j  = d k ,
11
( k = 1, n ).
(19)
Для решения системы (19) необходимы начальные условия, которые
определяются в зависимости от типа нагружения.
1. Импульсное нагружение. Будем считать, что время действия импульса ∆τ мало по сравнению с периодом, соответствующим первой частоте
( ∆τ ≪ T1 ), и после окончания действия импульса, точки осевой линии
провода получают скорости, а их перемещения практически равны нулю.
Движение провода после окончания действия импульса описывается уравнением (16) с однородной правой частью и начальными условиями
ɺ (η,0) ≠ 0 .
Z(η,0) = 0 , Z
Для определения fɺ (0) применим к уравнению (16) обобщённый метод
j
Галёркина и проинтегрируем полученное выражение по времени от 0 до ∆τ .
Меняя порядок интегрирования и пренебрегая малыми величинами после
интегрирования по времени можно получить
1
()
∫ ([A ( ∂Z / ∂τ )
1
0
− b ИМ ],E0 Z0( k ) )d η = 0 ,
(20)
0
где b ИМ = ∆τ( −∆q a ; −∆µ1 ;0;0)T .
Величины “статических” приращений аэродинамических сил и моментов при импульсе можно записать следующим образом
∆qa = qa (v) − qa (v0 ), ∆µ1 = µ1 (v) − µ1 (v0 ).
(21)
Раскрывая в (20) величину Z , согласно (17) имеем
1
2
(1)
( j)
(k )
∫ ([A ∑ fɺj (0)Z0 − b ИМ ],E0 Z0 )d η = 0 .
(22)
j =1
0
В результате получаем систему относительно начальных условий
( fɺ j (0) ) для интегрирования уравнения (19)
n
∑a
j =1
kj
fɺ j (0) = bkИМ
( k = 1, n ),
(23)
На рис. 8 показано изменение максимальных эквивалентных
напряжений, возникающих в круглом проводе для данного нагружения с
параметрами провода, рассмотренного в главе 4, при l=20 м, начальной
скорости ветра v0=5 м/с, скорости при порыве v=15 м/с, времени действия
импульса 0,1·T1.
2. Внезапное нагружение стационарным потоком. В данном случае
вектор d в уравнении (19) отличен от нуля. Вектор приращения нагрузок,
отвечающий за изменение “статической” аэродинамической составляющей,
равен bɶ = ( −∆q a ; −∆µ1 ;0;0)T , компоненты которого вычисляются по
выражению (21). При этом уравнение (19) решается при нулевых начальных
условиях.
12
Рис. 8
Рис. 9
На рис. 9 показано изменение максимальных эквивалентных
напряжений, возникающих в ранее рассмотренном проводе для данного
нагружения при начальной скорости
ветра v0=10 м/с и скорости порыва
v=12 м/с.
3. Чередующиеся порывы ветра.
Скорость потока для данного нагружения можно представить в виде
v=v 0 (1+ζsinωτ) ,
(24)
Рис. 10
ческих
нагрузок
при
( ω)
( ω)
( ω)
T
b = ( −∆q a ; −∆µ1 ;0;0) .
где v0 - среднее значение скорости
ветра; ζ и ω - относительная амплитуда и частота гармонической составляющей потока ( | ζ |≪ 1 ).
Вектор d в уравнении (19) отличен от нуля. Приращения аэродинамичередующихся
порывах
ветра
Оставляя только линейные слагаемые, получаем
∆q(aω) = 2ζqa (v0 ) ⋅ sin ωτ,
∆µ1(ω) = 2ζµ1(v0 ) ⋅ sin ωτ.
(25)
На рис. 10 представлены максимальные эквивалентные напряжения,
возникающие в круглом проводе, рассчитанные для данного нагружения с
параметрами v0=10 м/с, ζ = 0,1 , ω = β1 при нулевых начальных условиях.
В шестой главе исследуются нестационарные колебания нити в
ветровом потоке для получения уточнённой оценки сверху максимально
возможных отклонений точек провода.
Для решения задачи выводятся выражения аэродинамических сил,
действующих на элемент нити в неподвижной системе координат,
13
использующие допущения, приведённые в главе 1. Выражения для проекций
аэродинамических нагрузок имеют вид
3
3
q1m = qɶ10 ( xm′ 0 + um′ )∑∑(ev0 j −β0uɺ j )(ev0k −β0uɺk )( x′j 0 + u′j )( xk′ 0 + uk′ ) ⋅
j =1 k =1
 3

⋅sign  ∑ (ev0 j −β0uɺ j )( x′j 0 + u′j )  ;
 j=1

qnm = qɶn 0
3
3
∑∑(e
j =1 k =1
v0 j
(26)
−β0uɺ j )(ev0k −β0uɺk )(δ jk − ( x′j 0 + u′j )( xk′ 0 + uk′ )) ⋅
3
⋅∑(ev0 j −β0uɺ j )(δ jm − ( x′j 0 + u′j )( xm′ 0 + um′ )),
j =1
где x j 0 - координаты центров тяжести сечений провода в декартовых осях.
Приращения аэродинамических сил при колебаниях можно получить,
разложив (26) в ряд по u′ и uɺ . Ограничившись линейными слагаемыми,
имеем
q1 = q10 +A (1) u′ − A (2) uɺ ,
(27)
q n = q n 0 +A (3) u′ − A (4) uɺ .
Статическое положение равновесия нити в потоке воздуха, относительно которого будут исследоваться колебания провода, получается из
системы
dQ xj 0 d η + q nj 0 + q1 j 0 − δ 2 j = 0,
( j = 1, 2, 3),
dx j 0 d η − Q xj 0 Q10 = 0,
∑ Q xj2 0 ,
(28)
k =1
оси; qnj 0 , q1 j 0 - проекции нормальной и касательной
1
2
аэродинамических сил на декартовы оси; δ2 j - сим-
x20
0
v0=0
-0.2
0
0.2
0.4
x10
0.6
0.25
1
0.2
x300.15
2
0.1
0.05
0
0
3
где Qxj 0 - проекция осевой силы Q10 на декартовы
0.4
0.2
Q10 =
0.2
0.4
x10
Рис. 11
0.6
вол Кронекера.
На рис. 11 представлены формы упругой
линии, полученные при решении уравнений
равновесия нити с теми же параметрами, что и в
примере главы 2, для скорости ветра 50 м/с (кривая
1). Там же, для сравнения, приведены результаты
для стержневой модели при тех же условиях
(кривая 2).
Собственные частоты и собственные векторы
получаются при рассмотрении уравнений движения
и условия нерастяжимости нити:
14
2
∂  ∂x j  ∂ x j
Q1
−
= 0,
∂η  ∂η  ∂τ2
Полагаем
x j = x j 0 + u xj ,
3
∑ (∂x
j =1
j
Q1 = Q10 + ∆Q1 ,
∂η) 2 = 1.
(29)
Qxj = Qxj 0 + ∆Qxj ,
(30)
где u xj , ∆Q1 , ∆Qxj – малые величины.
После преобразований получаем систему линейных уравнений
∂∆Q / ∂η − ∂ 2 u / ∂τ2 = 0,
∂u / ∂η + C0∆Q = 0.
Решение системы векторных уравнений (31) ищем в виде
∆Q(η, τ) = ψ(η)eiβτ ,
u( η, τ) = φ( η)eiβτ .
После подстановки (32) в (31) получим систему уравнений
dψ / d η + β 2φ = 0,
dφ / d η + C0 ψ = 0,
(31)
(32)
(33)
решение которой
Z = K ( η, β, x0′ j , Q10 )C .
(34)
Привлекая граничные условия φ(0) = 0 и φ(1) = 0 , будем иметь
det K (1,β) = 0 ,
(35)
откуда получаем собственные значения β j . Подставляя их в (34) и полагая
одну из констант заданной, получаем собственные векторы.
При рассмотрении нелинейных вынужденных колебаний будем исходить из уравнений
∂Q X / ∂η − ∂ 2 x / ∂τ 2 + q = 0,
Q1e1 = Q X .
(36)
При решении нелинейных уравнений колебаний нити можно
воспользоваться методом разложения решения по собственным векторам
этой же системы. Однако собственные
векторы выводились из уравнений
малых
колебаний
(33)
при
предположении нерастяжимости нити
(29), которое сводится, к условию
e10 ⊥ ( dφ( j ) d η) . Вектор e1 = x′ , где e1 Рис. 12
касательный вектор к осевой линии
нити при колебаниях; x - радиус-вектор
элемента нити при колебаниях. С
другой стороны, x = x 0 + u , где x 0 -
радиус-вектор элемента нити в положении равновесия; u - вектор конечных
перемещений. Таким образом, e1 = e10 + u′ , где e10 = x ′0 (рис. 12). Так как
перемещения будут раскладываться по собственным векторам, то e10 ⊥ φ′ ,
где
φ
-
вектор,
аппроксимирующий
15
перемещения.
Следовательно,
| e1 |= 1 + (φ ') 2 ≥ 1 , т.е. не удовлетворяется второе уравнение (36). Как
следствие, применять метод разложения нелинейных колебаний по
собственным векторам без каких-либо модификаций нельзя. Поэтому
предлагается нормировать получаемый вектор e1 = x′ | x ′ | .
Величины, входящие в (36), записываем, учитывая уравнения равновесия, в виде:
Q X = Q X 0 + ∆Q X ,
x = x 0 + u,
q = q a 0 + ∆ q a + A (5) u ′ − A ( 6 ) uɺ − i 2 ,
Q1 = Q10 + ∆ Q1 ,
e1 = x ′ x ′ = ( x ′0 + u ′) x ′0 + u ′ ,
(37)
где q a 0 - аэродинамические силы, действующие на деформированный провод
в стационарном потоке;
∆q a
- приращения аэродинамических сил,
обусловленные изменением скорости потока; A (5) u′ и A (6) uɺ - приращения
аэродинамических сил, обусловленные движением провода, где
A (5) = A (1) + A (3) , A (6) = A (2) + A (4) (в соответствии с (27)).
Считая, что скорость потока меняет только модуль, компоненты ∆q a
можно записать в виде
∆qaj = qaj (v)-qaj (v 0 ).
(38)
Приближенное решение уравнений (36) ищем в виде
n
n
u = ∑ f j ( τ)φ( j ) ( η),
∆Q X = ∑ g j ( τ)ψ( j ) ( η).
j =1
(39)
j =1
После подстановки (37) и (39) в (36) применяем обобщённый метод
Галёркина. В результате получаем
ɺɺf + B(1) fɺ + B(3) f + B(2) g = d,
B(4) g = B(5) f .
(40)
Для решения задачи Коши необходимы начальные условия. Рассматриваются два случая:
1) Внезапное приложение нагрузки ( f (0) = 0 , fɺ (0) = 0 ).
Для провода с числовыми параметрами: l = 20 м; x1 (1) = 14 м; x2 (1) = 8 м;
ρ = 1, 25 кг/м3; d =0,01 м; m0 = 0,61 кг/м; c1 =0,1; cn =1,25; α П = 135° и β П = 0 ;
v 0 =5 м/с; v =15 м/с. Максимальные отклонения точек провода для внезапно
приложенной нагрузки представлены на рис. 13.
2) Импульсное нагружение ( f (0) = 0 , fɺ (0) ≠ 0 ). Проделывая операции,
аналогичные рассмотренным в главе 5, имеем fɺ (0) = ∆τd .
Для провода, рассмотренного в предыдущем примере, при v0=5 м/с,
v=15 м/с и ∆τ ≈ 0,1T1 , на рис. 14 представлены максимальные отклонения
точек провода для импульсного нагружения.
16
Рис. 13
Рис. 14
В приложении приводится ряд формул в развёрнутом виде и
производится оценка достоверности применяемых методов и получаемых
результатов.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1. Разработана новая модель обледеневшего нерастяжимого
провисающего провода, взаимодействующего с потоком воздуха,
учитывающая крутильную и изгибные жёсткости провода, для решения задач
аэроупругости.
2. Полученные аналитические выражения для аэродинамических нагрузок, действующих на произвольно расположенный элемент провода, дают
возможность исследовать задачи статики и динамики проводов,
взаимодействующих с потоком воздуха.
3. Разработаны методика и ПО численного определения: статических
внутренних силовых факторов провода в стационарном ветровом потоке;
собственных значений и собственных векторов колебаний провода
относительно состояния равновесия, позволившие найти критические
скорости ветра, при которых могут возбуждаться колебания с нарастающими
во времени амплитудами.
4. Оценены компоненты напряжённого состояние провода в
зависимости от скорости ветра при нестационарных колебаниях на основе
разработанной методики и созданного ПО решения линейных уравнений
вынужденных колебаний провода в потоке воздуха.
5. Предложена поправка в метод разложения нелинейных колебаний
нити по собственным векторам линеаризованной системы в отклонённом
состоянии, позволившая уточнить алгоритм и создать ПО решения
17
уравнений нестационарных колебаний провода в потоке воздуха для оценки
максимальных перемещений точек провода.
6. Показано, что: причиной галопирования проводов является как оледенение, так и нестационарность потока; основное влияние на динамические
характеристики протяжённых стержневых элементов оказывает форма оледенения, а смещение между центрами масс и жёсткости за счёт оледенения
играет несущественную роль.
Основное содержание диссертации опубликовано в рецензируемых
научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ:
1. Наумов, А.М. Определение напряженно-деформированного
состояния “жестких” проводов, находящихся в потоке воздуха / А.М.
Наумов, А.И. Соколов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2008. – №2.
Серия: “Машиностроение”. – С. 11–21.
2. Соколов, А.И. Определение частот свободных колебаний провода,
находящегося в стационарном потоке / А.И. Соколов // Известия вузов.
Машиностроение. – 2008. – №9. – С. 25–34.
3. Соколов, А.И. Нелинейные колебания абсолютно гибкого провода в
потоке воздуха / А.И. Соколов // Наука и образование [Электронный ресурс].
– 2008. – №4 (http://technomag.edu.ru/doc/87224.html).
4. Соколов, А.И. Устойчивость стержней в потоке воздуха /
А.И. Соколов // Наука и технологии: материалы XXXII Всероссийской
конференции по проблемам науки и технологий. – Миасс: МСНТ, 2012. –
С. 152-154.
в других изданиях:
5. Наумов, А.М. Численные методы исследования устойчивости
стержней в потоке / А.М. Наумов, В.А. Светлицкий, А.И. Соколов //
Проблемы прикладной механики, динамики и прочности машин : сб. ст. – М.:
Из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. – С. 229-243.
18
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа