close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Ершов Александр Анатольевич
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
01.01.02 Дифференциальные уравнения,
динамические системы и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Челябинск-2013
Работа выполнена на кафедре вычислительной математики в
ФГБОУ ВПО Челябинский государственный университет
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
академик РАН, профессор кафедры
вычислительной математики ЧелГУ
А.М. Ильин
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры математики
и статистики БГПУ Р.Р. Гадыльшин,
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры дифференциальных
уравнений БашГУ Р.Н. Гарифуллин
Ведущая организация:
Институт математики и механики
Уральского отделения РАН.
Защита состоится 20 сентября 2013 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт математики
с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112, ауд. 24, факс (8-347) 272-59-36, тел. 273-33-42.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института
математики с ВЦ УНЦ РАН.
Автореферат разослан 2013 г.
Ученый секретарь
совета Д 002.057.01,
к.ф.-м.н.
С.В. Попенов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Математические модели физических
явлений в электродинамике, акустике, теории упругости и т.п.,
описываются при помощи краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Все краевые задачи
можно условно разделить на регулярные1 и сингулярно возмущенные. К последнему типу задач относятся краевые задачи в
областях с малыми отверстиями, задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границе, краевые задачи в
перфорированных областях и другие.
Значительный вклад в исследование сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич, Н. C. Бахвалов, В. Ф. Бутузов, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, В. В. Жиков, А. М. Ильин,
Л. А. Калякин, О. А. Ладыженская, В. Г. Мазья, В. П. Маслов,
С. А. Назаров, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олейник, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк,
Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, D. Gomez, R. Hempel, C. Leal,
Sh. Ozawa, J. S
anchez-Hubert и многие другие.
В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Лапласа с граничным условием, изменяющимся на одном или двух малых участках. Такие задачи
возникают, например, в электротехнике в связи с необходимостью учјта контактного сопротивления в случае малого сечения
контактов.
В диссертации исследованы поведения решений этих задач
при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего
размер участков изменения граничных условияй, а также получены равномерные асимптотические разложения решений таких
краевых задач.
Задачи, подобные исследуемым, начали изучать относительно недавно, что стало возможным во многом благодаря появле1 Т.
Като. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.
1
нию метода согласования, широкие возможности которого были
продемонстрированы в монографии А.М. Ильина2 . Там, например, исследованы эллиптические краевые задачи, в том числе с
переменными коэффициентами, в ограниченной области, из которого исключено малое подмножество. Решения таких задач
имеют схожую структуру асимптотики и еј коэффициентов со
случаями, рассматриваемыми в данной диссертации.
Поведение собственных значений эллиптических краевых задач в ограниченных областях с граничными условиями, изменяющимися на одном малом участке, исследовано в работах Р.Р.
Гадыльшина4, 5 .
Степень разработанности темы. Контактному сопротивлению и его вычислению посвящено множество работ различных
авторов: Р. Хольм, Н.Н. Поляков, В.В. Филиппов, А.В. Дмитриев, С.Ф. Смирнов, В.Т. Неумержицкий и др.
Результаты настоящей диссертации позволяют практически
полностью закрыть этот вопрос в двумерном случае.
Цель диссертационной работы. Основная цель работы построение и обоснование полного равномерного асимптотического разложения решений уравнения Лапласа в ограниченной
области с граничными условиями, изменяюшимися на малых
участках.
Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
1. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика
решения уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющиимися на двух малых участках, в двумерной ограниченной
области.
2 Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
336 с.
4 Гадыльшин Р. Р. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны,
закреплјнной на малом участке границе // Сиб. матем. журн. 1993. Т. 34. ќ 3. С. 43-61.
5 Гадыльшин Р. Р. О возмущении спектра Лапласиана при при смене типа граничного условия на
малой части границы // ЖВМ. 1996. Т. 36. ќ 7. С. 77-88.
2
2. Построена и обоснована асимптотика некоторых функционалов от исследуемых решений, имеющих физическое приложение, а именно, найдена асимптотика электрического сопротивления пластинчатого образца в случае малых контактов и
асимптотика толщины приповерхностного слоя, в котором выделяется заданная часть энергии.
3. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа
с граничными условиями, изменяющимися на малом участке,
в трјхмерной ограниченной области. Выписаны в явном виде
первые два члена асимптотических разложений.
Теоретическая значимость:
1. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решение смешанной задачи для уравнения Лапласа в двумерной ограниченной области с гладкой границей, на которой
задано условие Неймана, кроме двух малых участков, на которых задано условие Дирихле.
2. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решения аналогичной задачи в трјхмерном случаи с одним
малым участком смены типа граничного условия.
Практическая значимость:
1. Найдена асимптотика электрического сопротивления образца, подключенного с помощью двух малых контактов.
2. Найдена асимптотика толщины приповерхностного слоя, в
котором выделяется заданная часть энергии, связанной с контактным сопротивлением.
Методы исследования. Решения краевых задач понимаются в классическом смысле, т.е. рассматриваются решения, бесконечно дифференцируемые в области и непрерывные вплоть
до границы, или большей гладкости. Оценки точности асимптотических приближений решений доказываются в непрерывной
норме. Асимптотики строятся в два этапа. Вначале, методом со3
гласования асимптотических разложений, проводится формальное построение асимптотических разложений, затем формальные асимптотики строго обосновываются. Обоснование формальных асимптотик осуществляется с помощью оценивания точности выполнения граничных условий и последующего использования принципа максимума.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Получена полная асимптотика суммы ряда, сингулярно зависящего от малого параметра, и которая физически интерпретируется как электрическое сопротивление.
2. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика
решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной двумерной области с краевыми условиями, изменяющимися на двух малых участках границы. Приведена физическая
интерпретация решения.
3. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика
решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной трјхмерной области с краевыми условиями, изменяющимися на одном малом участке. Явно выписаны два первых
члена асимптотических разложений.
Степень достоверности результатов. Обоснованность и
достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задач, корректным использованием математического аппарата. Полученные в работе исследовательские результаты согласуются с результатами других авторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ, на Международной конференции ѕДни дифракции2010ї (Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова РАН, 2010), на фи4
нале конкурса Августа Мјбиуса (Москва, МЦНМО, 2012), где
работа заняла третье место.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1][7].
Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены лично автором. Из шести опубликованных статей пять написаны автором диссертации, и одна в соавторстве А.В. Дмитриевым. Научному руководителю А.М. Ильину принадлежат общий замысел работы, постановки задач, выбор пути и методов
их решения и оценка достоверности и согласованности с предполагаемым результатом.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трјх глав, разбитых в совокупности на 14 параграфов и
списка литературы, содержащего 79 наименований. Общий объем диссертации 98 страниц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении дается обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации,
а также кратко описывается содержание параграфов.
В первой главе рассматривается асимптотика одного функционала от решения краевой задачи Неймана для эллиптического
уравнения, возникшей на основе следующей физической задачи.
Через пластинчатый образец прямоугольный формы пропускается электрический ток I12 . Ширина электродов предполагается малой и равной 2?. Данный процесс был смоделирован Н.Н.
Поляковым6 с помощью следующей краевой задачи для электрического потенциала.
6 Поляков Н. Н. Об измерении коэффициента Холла и электропроводимости анизотропных проводников // Заводская лаборатория. 1989. ќ 3. С. 20-22.
5
? 2
? ? ?y ? 2 ?
?
?
?
+
= 0, 0 < x < a, 0 < y < b,
?
2
2
?
?x
?
?y
x
?
?
? ?? ?I12 /(2??x d), y ? (b/2 ? ?, b/2 + ?),
=
?x x=0,a
0, y ? (b, b/2 ? ?) ? (b/2 + ?, b),
?
?
?
?
?? ?
?
?
= 0, x ? (0, a),
? ?y y=0,b
где a, b, d длина, ширина и толщина образца, ?x , ?y удельная проводимость вдоль и поперјк образца.
В результате исследований Н.Н. Полякова6 было получено
выражение в виде ряда для электрического сопротивления
q
?y ?a
?
2 2??
th
X
sin ( b n)
b
?x n
2
a
+?
.
R=
2
?x db
?x ?y d? n=1 ( 2??
n
n)
b
Асимптотику R выписать не так просто, поскольку при ? = 0
ряд расходится. Однако, в ходе опытов, описанных в монографии А.В. Дмитриева7 , обнаружились асимптотические закономерности измерений R. В первом параграфе строго обосновано,
что сумма такого ряда, сингулярно зависящая от малого параметра ?, имеет следующую асимптотику при ? ? 0
? ?y
?a
?
a
2
e3/2 b X e? b ?x n
2
q
R=
+?
ln
?
+O(? ln ?),
?x db
?x ?y d?
4??
n=1
n ch
?a
b
?y
?x n
и дана точная оценка остатка. Во втором параграфе построено
полное асимптотическое разложение суммы этого сингулярного
ряда. В частности, доказано, что при ? ? 0
7 Дмитриев А. В. Научные основы разработки способов снижения удельного электрического сопротивления графитированных электродов. Челябинск: Изд-во ЧГПУ, 2005. 197 с.
6
?
X
? ?a
b
? ?y
?x n
e b
e
q
ln
+
?
?y ?a
4??
n
n
ch
n=1
b
?x
?
?y
?a
?
1
1 X ne? b ?x n 2?? 2
q
+
+
+
36 3 n=1 ch( ?a ?y n)
b
b
?x
? ?y ?a
?
1
2 X n3 e? b ?x n 2?? 4
6
q
+
?
+ O(? ) .
2700 45 n=1 ch( ?a ?y n)
b
b
?x
a
2
R=
+?
?x db
?x ?y d?
3/2
Основные результаты первой главы опубликованы в работах
[1], [4].
Во второй главе рассматривается следующая задача. Пусть ?
ограниченная односвязная область в R2 c гладкой границей
??, которая имеет два прямолинейных участка AB и CD. На
этих отрезках находятся две точке O1 и O2 , не совпадающие с
точками A, B , C , D.
Введјм две системы координат O1 x1 x2 и O2 y1 y2 , направив оси
O1 x2 и O2 y2 по направлению внутренней нормали так, как показано на рис. 1.
Рис. 1.
7
Обозначим за ?1 = {x : x2 = 0, |x1 | 6 ?}, ?2 = {y : y2 =
0, |y2 | 6 ??}, ??1 = {x : x = (±?, 0)}, ??2 = {y : y = (±??, 0)},
где 0 < ? << 1, ? > 0.
Задача состоит в построении и обосновании асимптотики функции u(x, ?) ? C ? (?\{??1 ? ??2 }) ? C(?) по малому параметру
?, являющейся решением смешанной краевой задачи:
?
?u = 0, x ? ?,
?
?
?
?
?u
?
?
= ?(x), x ? ??\{?1 ? ?2 },
?
?n
x (1)
1
?
u(x1 , 0) = ?1
, x1 ? [??, ?],
?
?
? y ?
?
?
? u(x(y1 , 0)) = ?2 1 , y1 ? [???, ??],
?
где n внешняя нормаль, ? ? C ? (??), ?1 ? C ? ([?1, 1]),
?2 ? C ? ([??, ?]). Существование и единственность решения
данной задачи в рассматриваемом классе функций можно доказать, например, с помощью конформного отображения области
? на полуплоскость и последующего использования формулы
Келдыша-Седова8 .
Приведјм ряд обозначений для формулировки основного результата второй главы.
p
p
2
2
Обозначим r1 = x1 + x2 , r2 = y12 + y22 , ? = (?1 , ?2 ), ? =
(?1 , ?2 ), ?1 = {? : ?2 = 0, ?1 6 ?1 6 1}, ?2 = {? : ?2 = 0, ?? 6
?1 6 ?}, ??1 = {? : ? = (±1, 0)}, ??2 = {? : ? = (±?, 0)}.
Пусть функции v?0 (?) ? C ? ({? : ?2 > 0}\?1 ) ? C({? : ?2 >
0}), w?0 (?) ? C ? ({? : ?2 > 0}\?2 ) ? C({? : ?2 > 0}) являются
8 Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука,
1973. 736 с.
8
ограниченными решениями следующих краевых задач:
?
?v?0 = 0, ?2 > 0,
?
?
v?0 = ?1 (?1 ), ? ? ?1 ,
?v?0
?
?
= 0, ? ? {? : ?2 = 0}\?1 ,
??2
?
?w?0 = 0, ?2 > 0,
?
?
w?0 = ?2 (?1 ), ? ? ?2 ,
? w?0
?
?
= 0, ? ? {? : ?2 = 0}\?2 .
??2
По формуле Келдыша-Седова можно выписать их явные решения:
Z??
v?0 (?) = ?1 (0) + Re
0
r
где ?? = ?1 + i?2 , ?1 (z) =
1
?i?1 (?)
Z1
?01 (t)?1 (t)
dtd?,
t??
?1
z?1
,
z+1
Z??
w?0 (?) = ?2 (0) + Re
0
1
?i?2 (?)
r
Z?
??
?02 (t)?2 (t)
dtd?,
t ? ??
z??
, причјм в обеих функциях ?1 и
z+?
?2 рассматриваются те ветви корня, которые положительны на
интервалах действительной оси (1, ?) и (?, ?) соответственно
и аналитически продолжены на верхнюю полуплоскость.
Обозначим E0,0 = lim v?0 (?), H0,0 = lim w?0 (?),
|?|??
|?|??
Z
1
Z(?, ?) =
?(x)dS , I1 = g1 (O2 ), I2 = g2 (O2 ),
?
где ?? = ?1 +i?2 , ?2 (z) =
??
9
где функция g1 (x) ? C ? (?) является решением задачи
?
?
? ?g1 = 0, x ? ?,
?g1
? ln r1
= ? ? Z(?, ?)
,
?
?n
? ?n
g1 (0) = 0,
x ? ??\O1 ,
функция g2 (x) ? C ? (?) является решением задачи
?
?
? ?g2 = 0, x ? ?,
?g2
? ln r1 ? ln r2
=
?
,
?
?n
?n
? ?n
g2 (0) = 0.
x ? ??\{O1 ? O2 },
Также обозначим
1
+ Z · ln(2|O1 O2 |) + I1 + E0,0 ? H0,0
?
.
D0 (?) =
1
2 ln + 2 ln(2|O1 O2 |) ? ln ? ? I2
?
Основным результатом второй главы является следующая теорема.
Z · ln
Теорема 2.1.
Для любых M > 0 и 0 < ? < 1 функция u(x, ?),
являющаяся решением задачи (1), имеет следующие равномерные асимптотические разложения при ? ? 0:
u(x, ?) =
u(x, ?) =
u(x, ?) =
?
X
k=0
?
X
j=0
?
X
j=0
?k uk (x, ?),
j
? vj
j
? wj
x
?
r1 > M ?? , r2 > M ?? ,
,? ,
y
?
,? ,
10
r1 6 M ?? ,
r2 6 M ?? ,
где
1
u0 (x, ?) = Z ? D0 (?) ln +
?
+ Z ? D0 (?) ln 2 + E0,0 + g1 (x) + D0 (?) g2 (x) ? ln |O1 O2 | =
Z 1
= ln + O(1),
2 ?
q
v0 (?, ?) = v?0 (?) + Z(?, ?) ? D0 (?) ln |?? + ??2 ? 1|,
r 2
??
?
?
w0 (?, ?) = w?0 (?) + D0 (?) ln +
? 1,
?
?
uk ? C ? (?\{O1 ? O2 }),
vj ? C ? ({? : ?2 > 0}\??1 ) ? C ({? : ?2 > 0}),
wj ? C ? ({? : ?2 > 0}\??2 ) ? C ({? : ?2 > 0}).
а остальные функции
Также приведен алгоритм последовательного построения uk
и vj методом согласования асимптотических разложений. Заметим, что хотя асимптотические коэффициенты uk (x, ?), vj (?, ?) и
wj (?, ?) также зависят от ?, но это это более слабая зависимость
все они являются рациональными функциями от ln ?.
Используя этот результат, можно построить более сложную,
но более точную математическую модель процесса протекания
тока через платинчатый образец, в которой потенциал моделируется решением смешанной краевой задачей для эллиптического уравнения. Соответственно, можно получить следующую
асимптотику для электрического сопротивления:
? ?y
?
? ?a
X
b
?x n
a
2
b
e
q
R=
ln
+?
?
+ O(?).
?x db
?x ?y d?
??
n=1
n ch
?a
b
?y
?x n
Основные результаты второй главы опубликованы в работах
[6], [2], [3].
11
В третьей главе диссертации рассмотрен случай пространства
размерности n = 3.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть теперь x = (x1 , x2 , x3 ),
? ограниченная односвязная область в R3 , совпадающая в
окрестности начала координат с полупространством x3 > 0,
?? ? C ? , ? ограниченная односвязная область на плоскости
x3 = 0, ?? ? C ? , а 0 < ? 1. Обозначим ?? = {x : x??1 ? ?}
(см. рис. 2).
Рис. 2.
Наша цель заключается в построении и обосновании асимптотического разложения по малому параметру ? гармонической в
? функции u ? C ? (?\??? ) ? C(?) со следующими смешанными
граничными условиями
?u
= ?(x), x ? ??\? ? ,
u = ? (x) , x ? ? ? ,
(2)
?n
где n внешняя нормаль, ?, ? ? C ? (??). Из работы С. Заремба9
и теорем о повышении гладкости решений эллиптических уравнений10 следует существование и единственность гармонической
9 Zaremba S. Sur un probleme mixte relatif a l'
equation de Laplace // Bulletin de l'Academie des sciences
de Cracovie, Classe des sciences mathematiques et naturelles, serie A. 1910. P. 313-344.
10 Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 391 с.
12
функции cо смешанными граничными условиями (2) в рассматриваемом классе функций.
Для формулировки основного результата третьей главы приведем ряд обозначений.
Обозначим r = |x|, O = (0, 0, 0),
Z
Z(?, ?) =
1
2?
?(x)dS.
??
Известно, что
Z
?
?n
1
dS = ?2?.
r
??\O
Следовательно,
Z ?
?(x) + Z(?, ?) ·
?n
1
dS = 0.
r
??\O
e0 ? C ? (?) краевой задачи
Поэтому существует решение u
?
e0 = 0, x ? ?,
?u
?
?
? ?u
e0
? 1
= ?(x) + Z(?, ?) ·
, x ? ??\O,
?
?n
?n
r
?
?u
e0 (0) = 0.
Обозначим ? = (?1 , ?2 , ?3 ), ? = |?|, R3+ = {? : ?3 > 0},
R3+ = {? : ?3 > 0}, ? = {? : ?3 = 0, ? 6? ?}, где ? диск уже на
плоскости ?3 = 0. Из вспомогательной леммы 3.3, доказательство которой приведено в диссертации, следует существование
13
решения E ? C
?
R3+ \??
?C
R3+
краевой задачи
?
?E = 0, ? ? R3+ ,
?
?
?
? E = 1, ? ? ?,
?E
= 0, ? ? ?,
?
?
?
? ??3
E ? 0, ? ? ?.
Обозначим через c? > 0 јмкость11,12 диска ? . Известно13 , что
если ? единичный круг, то
1/2
2
2
2
arctg 2
,
c
=
,
?
2
?
?
? ? 1 + ((?2 ? 1)2 + 4?3 )1/2
а если ? эллипс с осями a и b вдоль координатных осей ?1 и
?2 соответственно, то
Z?
a
dt
a
p
E(?) =
·
, c? =
2K(c/a)
K(c/a)
(t + a2 )(t + b2 )t
E(?) =
h(?)
?
Z?/2
dt
полный эллипти1 ? z 2 sin2 t
0
ческий интеграл I-го рода, h(?) наибольший действительный
корень кубического уравнения
где c =
a2 ? b2 , K(z) =
p
?12
?22
?32
+
+
= 1.
a2 + h b2 + h
h
Основным содержанием третьей главы является доказательство следующего утверждения:
11 Полиа Г., Сегј Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1962. 336 с.
12 Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. 515 с.
13 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика (в 10 т). Т. VIII. Электродинамика сплошных
сред. М.: Физматлит, 2005. 656 с.
14
Теорема 3.1.
Для любых M > 0 и 0 < ? < 1 гармоническая в
? функция u(x, ?), удовлетворяющая смешанным условиям (2),
имеет следующие равномерные асимптотические разложения
при ? ? 0:
u(x, ?) =
u(x, ?) =
?
X
k=?1
?
X
?k uk (x),
k
? vk
x
?
k=?1
r > M ?? ,
,
r 6 M ?? ,
где
Z(?, ?)
,
c?
Z(?, ?)
v?1 (?) =
(E(?) ? 1),
c?
Z(?, ?)
u0 (x) = u?0 (x) + ?(0) +
,
r
v0 (?) = ?(0),
?
?
3
остальные функции uk ? C (?\O), vj ? C
R+ \?? ?C R3+ .
u?1 (x) = ?
Также приведен алгоритм последовательного построения uk и
vj методом согласования асимптотических разложений. Основные результаты третьей главы опубликованы в работе [5].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Физической интерпретацией асимптотики в первой и второй
главе является процесс протекания электрического тока через
пластинчатый проводник некоторой формы формы, т.е. рассмотрен двумерный процесс протекания тока. В третьей главе такую
15
интерпретацию привести нельзя, поскольку не хватает второго малого участка, однако построенная там асимптотика весьма
полезна для перехода к случаю двух участков. Отметим, что
нахождение асимптотики электрического сопротивления трјхмерного образца, подключјнного с помощью малых контактов,
тоже является в некоторой степени актуальной задачей.
Рассмотрим задачу построения асимптотики электрического
сопротивления цилиндра относительно малого сечения контактов. Математически задачу можно поставить следующим образом.
p
Обозначим r = x21 + x22 , ? = {x : 0 6 r < a, 0 < x3 < h}
цилиндр радиуса a и высоты h, ?1 = {x : x3 = 0, r 6 ?},
?2 = {x : x3 = h, r 6 ?}, ?1 = {x : x3 = 0, r = a}, ?2 = {x : x3 =
h, r = a}.
И пусть функция u(x) из класса бесконечно-дифференцируемых
внутри области ?, непрерывных вплоть до границы ?? и имеющих производную по нормали на гладких участках границы
функций, является решением следующей краевой задачи:
?
?u = 0, x ? ?,
?
?
?
? u = 1, x ? ?1 ,
u = ?1, x ? ?2 ,
?
?
?
? ?u = 0, x ? ??\{?1 ? ?2 ? ?1 ? ?2 }.
?n
Требуется найти асимптотику интеграла
Z
?u
(x1 , x2 , 0, ?)dS при ? ? 0.
I(?) =
?x3
r<?
С учјтом результатов третьей главы легко заметить, что
1/2
2
u(x1 , x2 , x3 , ?) =
2
?
arctg
2?
r2 ? ?2 + ((r2 ? ?2 )2 + 4?2 x23 )1/2
16
?
1/2 2?2
+ O(?).
? arctg 2
r ? ?2 + ((r2 ? ?2 )2 + 4?2 (h ? x3 )2 )1/2
Используя это асимптотическое приближение, можно вычислить
?u 2
?
+ O(1). Здесь дифференцирование по
=
?
?x3 x3 =0
? ?2 ? r 2
x3 законно, поскольку u ? C ? , а асимптотические ряды нельзя
дифференцировать только по малому параметру. Отсюда,
Z
?u I(?) =
dS = ?4? + O(?2 ).
?x3 x3 =0
r<?
Итак, по закону Ома мы получаем, что электрическое сопротивление
R=
2
1
?U
=
=
+ O(1).
|I(?)| 4? + O(?2 ) 2?
Но этот главный член был уже известен в работе Р. Хольма14 ,
однако интерес представляет, по-крайней мере, ещј один следующий член асимптотического разложения. Его получение является ближайшей перспективой дальнейшей разработки темы.
Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф.-м.н., академику РАН, профессору
Ильину Арлену Михайловичу за постановку задач, внимание и
помощь на протяжении всей работы над диссертацией.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в изданиях, включенных в перечень ВАК:
[1] Ершов, А.А. Асимптотика решения задачи Неймана с дельтообразной граничной функцией / А.А.Ершов // Журнал
14 Хольм
Р. Электрические контакты. М.: Иностранная литература, 1961. 314 с.
17
вычислительной математики и математической физики. 2010. Том 50. ќ3. С. 479-485.
[2] Ершов, А.А. Асимптотика решения уравнения Лапласа со
смешанными условиями на границе / А.А.Ершов // Журнал вычислительной математики и математической физики.
2011. Том 51. ќ6. С. 1064-1080.
[3] Дмитриев, А.В. Контактное электрическое сопротивление чешуек в экструдированных заготовках композиции
на основе природного явнокристаллического графита /
А.В.Дмитриев, А.А.Ершов // Химия твјрдого топлива. 2011. Том 45. ќ6. С. 53-60.
[4] Ершов, А.А. К задаче об измерении электропроводности /
А.А.Ершов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53. ќ 6. С. 1004-1007.
[5] Ершов, А.А. О смешанной задаче для гармонической функции / А.А.Ершов // Журнал вычислительной математики и
математической физики. 2013. Т. 53. ќ 7. С. 1094-1106.
Публикации в других изданиях:
[6] Ершов, А.А. Асимптотика решения краевой эллиптической
задачи со смешанными условиями на границе / А.А.Ершов
// Вестник Челябинского государственного университета.
Сер. Математика. Механика. 2010. Вып. 12. ќ 23 (204).
С. 12-19.
[7] Асимптотика решения смешанной краевой эллиптической задачи: тезисы международной конференции ѕДни
дифракции-2010ї / Ершов А.А. С.-П.: СПбГУ, 2010. С. 29.
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
583 Кб
Теги
решение, уравнения, асимптотика, эллиптическая, некоторые, задачи, краевых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа