close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Методы моделирования гармонических электромагнитных полей.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Бутюгин Дмитрий Сергеевич
Методы моделирования гармонических
электромагнитных полей
05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Новосибирск – 2013
Работа выполнена на кафедре Вычислительной математики Федераль­
ного государственного бюджетного образовательного учреждения выс­
шего профессионального образования “Новосибирский национальный
исследовательский
государственный
университет”
(Новосибирский государственный университет, НГУ).
Научный
руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Ильин Валерий Павлович
Официальные
оппоненты:
Мацокин Александр Михайлович,
доктор физико-математических наук, профессор,
Федеральное государственное бюджетное учрежде­
ние науки Институт вычислительной математики
и математической геофизики Сибирского отделения
Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН), за­
ведующий лабораторией
Кудрявцев Алексей Николаевич,
кандидат физико-математических наук,
Федеральное государственное бюджетное учрежде­
ние науки Институт теоретической и прикладной ме­
ханики им. С.А. Христиановича Сибирского отделе­
ния Российской академии наук, старший научный со­
трудник
Ведущая
организация:
Федеральное государственное бюджетное образова­
тельное учреждение высшего профессионального
образования “Новосибирский государственный
технический университет”
Защита состоится 30 апреля 2013 г. в 16 часов 30 минут на заседании
диссертационного совета Д 003.061.02 на базе Федерального государ­
ственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной
математики и математической геофизики Сибирского отделения Рос­
сийской академии наук (ИВМиМГ СО РАН), расположенном по адре­
су: 630090, г. Новосибирск, проспект академика Лаврентьева, 6.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВМиМГ СО РАН.
Автореферат разослан 29 марта 2013 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
д.ф.-м.н.
Сергей Борисович Сорокин
2
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Проблема моделирования трехмерных
электромагнитных полей с гармонической зависимостью от времени
возникает при исследовании излучения электромагнитных волн в мно­
гочисленных электрофизических устройствах: мобильные телефоны,
микроволновые печи, различные антенные устройства, а также в ря­
де задач геоэлектроразведки. Высокие требования к точности расче­
тов вызваны необходимостью обработки сложной геометрии расчетной
области в присутствии разномасштабных объектов и наличии сред с
высококонтрастными физическими параметрами. При этом естествен­
ным оказывается желание построить единообразный подход к решению
всех указанных выше задач, учитывая в то же время их специфику.
Решение данной проблемы требует построения трехмерных адап­
тивных неструктурированных сеток с большим (106 ÷ 107 ) числом уз­
лов, что делает задачу вычислительно сложной. Аппроксимация непре­
рывных постановок с использованием метода векторных конечных эле­
ментов (МКЭ) высоких порядков приводит к системам линейных ал­
гебраических уравнений (СЛАУ) с большим числом степеней свободы.
Матрицы получаемых систем являются комплексными, неэрмитовыми,
знаконеопределенными и плохо обусловленными. Решение таких СЛАУ
часто оказывается невозможным без использования современных мно­
гопроцессорных вычислительных систем (МВС), а также эффективных
и экономичных параллельных предобусловленных итерационных мето­
дов, поскольку прямые алгоритмы требовательны к вычислительным
ресурсам и потребляют большое количество памяти.
Важным этапом построения и апробации вычислительных моде­
лей является проведение численного эксперимента, причем обработка
полученных результатов может оказаться довольно нетривиальной за­
дачей. Необходимость постобработки решения, представленного в ви­
де коэффициентов разложения по базисным функциям и распределен­
ного по разным процессам, а также вычисления различных целевых
функционалов может приводить к отдельным сложным вычислитель­
ным проблемам. В связи с этим большую роль приобретает автома­
тизация процесса построения конечно-элементных аппроксимаций. Не
менее важным является и наглядное представление решения в графи­
ческом виде. Здесь можно отметить проблему визуализации и постро­
ения различных срезов сложных разномасштабных электромагнитных
полей, нестационарных по своей природе. Данная задача является ал­
горитмически сложной и может потребовать использования существен­
ных вычислительных мощностей, включая графические ускорители.
3
Актуальность задачи подтверждена большим количеством иссле­
дований отечественных и зарубежных авторов, посвященных данной
тематике. В работах Монка, Алонсо, Хиптмаера, Альбанезе, Дикци­
Эдлингера, Хабера, Грейфа, Григорьева А. Д., Урева М. В., Кремера
И. А., Соловейчика Ю. Г., Персовой М. Г., Шуриной Э.П. и многих
других рассматриваются подходы, связанные с решением задач в про­
странствах Соболева, использованием конечно-объемных аппроксима­
⃗
ций, переформулировкой задачи нахождения электрического поля 
на проблему поиска ряда других вспомогательных функций, построе­
нием различных предобуславливателей, а также различными варианта­
ми регуляризации задачи. Здесь можно отметить подходы, связанные
с калибровкой на основе деревьев и кодеревьеви регуляризацией при
помощи вспомогательных членов.
В настоящее время имеется ряд зарубежных и отечественных
пакетов прикладных программ (ППП), таких как Ansoft HFSS, CST
Microwave Studio, SPEAG SEMCAD, Radio Frequency Simulator и ряда
других, предназначенных для расчета электромагнитных полей высо­
кой и низкой частоты. Тем не менее, многие из перечисленных мето­
дов и программных реализаций имеют определенные недостатки либо
ограничения на область применимости. Можно отметить также и высо­
кую стоимость лицензии на многие из данных продуктов, достигающую
100000 долларов в год. Поэтому разработка новых экономичных, на­
дежных и эффективных вычислительных методов и программных тех­
нологий моделирования гармонических электромагнитных полей явля­
ется актуальной научной и практической проблемой.
Цель диссертационной работы состоит в комплексном иссле­
довании методов моделирования электромагнитных полей с гармониче­
ской зависимостью от времени, включающих оригинальные формули­
ровки задач, построение и исследование конечно-элементных аппрок­
симаций с высоким разрешением, разработку итерационных методов
решения СЛАУ и постобработки полученных решений.
Для достижения поставленных целей были решены следующие
задачи:
∙ Построение обобщенных формулировок классических, смешан­
ных и регуляризованных задач для полей с гармонической зави­
симостью от времени, исследование вопросов их разрешимости, а
также конструирование оптимальных по порядку предобуславли­
вающих операторов.
∙ Построение и теоретическое и численное обоснование сходимости
схем для аппроксимации рассматриваемых постановок задач ко­
4
нечными элементами Неделека высоких порядков, в том числе
при наличии сингулярностей в решениях.
∙ Разработка эффективных параллельных предобусловленных ите­
рационных методов для МВС с общей и распределенной памя­
тью, ориентированных на решение больших СЛАУ, возникающих
в результате аппроксимации вариационных формулировок иерар­
хическими векторными базисными функциями.
∙ Разработка концепции и реализация параллельного пакета
прикладных программ Helmholtz3D, решение методических и
практических задач геоэлекроразведки и моделирования СВЧ
устройств.
Научная новизна
1. Построены обобщения смешанных и регуляризованных постано­
вок задач электромагнетизма для случая комплексной диэлектри­
ческой проницаемости при ненулевой проводимости среды, пред­
ложены эффективные спектрально эквивалентные предобуслав­
ливающие операторы.
2. Проведено исследование сходимости конечно-элементных реше­
ний при использовании элементов Неделека 1-го и 2-го рода вы­
соких порядков и апостериорного анализа ошибки с локальным
сгущением неструктурированных тетраэдральных сеток в окрест­
ности сингулярностей. Предложены подходы к автоматизации по­
строения алгоритмов для МКЭ аппроксимаций с применением
символьных вычислений и технологий оптимизаций выражений.
3. Предложены эффективные многоуровневые параллельные итера­
ционные методы в подпространствах Крылова для решения боль­
ших распределенных СЛАУ, возникающих при дискретизации
краевых задач электромагнетизма, ориентированные на вычисли­
тельные системы с общей и распределенной памятью. Построен­
ные предобуславливатели включают в себя параллельные алгеб­
раические мультисеточные методы и грубосеточную коррекцию
с использованием блочной структуры СЛАУ при аппроксимации
вариационных постановок иерархическими базисными функция­
ми высоких порядков.
4. Разработана концепция и программная реализация расширяемо­
го пакета Helmholtz3D, проанализированы и выбраны наиболее
5
подходящие для построения такого пакета вычислительные тех­
нологии и предложен подход к отображению вычислительных ал­
горитмов на МВС с распределенной и общей памятью.
Практическая значимость. В рамках работы реализован па­
кет параллельных прикладных программ Helmholtz3D, предназначен­
ный для расчетов гармонических электромагнитных полей в устрой­
ствах СВЧ, а также для решения прямых задач геоэлектроразведки.
Исследования были поддержаны грантами РФФИ №11-01–205 и
Президиума РАН №2.5, а также ГОУ ВПО “Санкт-Петербургский го­
сударственный университет информационных технологий, механики и
оптики” в рамках контракта №11.G34.31.0019.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. Непрерывные и дискретные математические модели электромаг­
нетизма в классической, смешанной и регуляризованной вариаци­
онных постановках для решения смешанных краевых задач элек­
тромагнетизма с гармонической зависимостью полей от времени,
включая построенные оптимальные по порядку предобуславлива­
ющие операторы.
2. Методы автоматизированного построения аппроксимаций вектор­
ными конечными элементами Неделека первого и второго рода
высоких порядков на адаптивных неструктурированных тетраэд­
ральных сетках, учитывающих особенности решений.
3. Алгоритмы декомпозиции области и решения разреженных ко­
нечно-элементных СЛАУ электромагнетизма, возникающих как
результат аппроксимации вариационных формулировок задач, на
МВС с общей и распределенной памятью.
4. Открытый
расширяемый
пакет
прикладных
программ
Helmholtz3D для решения прямых задач геоэлектроразвед­
ки и моделирования различных СВЧ устройств, таких как
антенны мобильных телефонов, микроволновые печи и др.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докла­
дывались на следующих семинарах и конференциях: объединенном
семинаре ИВМиМГ СО РАН и кафедры вычислительной математи­
ки НГУ, декабрь 2012; семинаре кафедры прикладной математики
НГТУ, январь 2013; семинаре по геоэлектрике ИНГГ СО РАН, ян­
варь 2013; международной конференции “Дифференциальные урав­
нения. Функциональные пространства. Теория приближений“ (Ново­
сибирск, 2008); международной научной студенческой конференции
6
“Студент и научно-технический прогресс” (Новосибирск, 2009, 2010,
2012); international conference “Progress in Electromagnetics Research
Symposium” (PIERS-2009, Москва, 2009); конференции молодых уче­
ных ИВМиМГ СО РАН (Новосибирск, 2009, 2010, 2012); сибирской кон­
ференции по параллельным и высокопроизводительным вычислениям
(Томск, 2009, 2011); Всероссийской конференции “Теоретические осно­
вы и конструирование численных алгоритмов решения задач матема­
тической физики” (Абрау-Дюрсо, 2010, 2012); международной школе­
конференции “Математика. Компьютер. Образование” (Пущино, 2011);
международной научной конференции “Параллельные вычислитель­
ные технологии” (Москва, 2011; Новосибирск, 2012); международной
конференции “Современные проблемы прикладной математики и меха­
ники: теория, эксперимент и практика” (Новосибирск, 2011); Всероссий­
ской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (Новоси­
бирск, 2011); international Young Scientists Conference “High Performance
Computing and Simulation” (Амстердам, 2012); Всероссийской научно­
технической конференции “Микроэлектроника СВЧ” (Санкт-Петер­
бург, 2012); Всероссийской конференции “Актуальные проблемы вы­
числительной математики и математического моделирования” (Новоси­
бирск, 2012); Всероссийской конференции “Актуальные проблемы при­
кладной математики и механики” (Абрау-Дюрсо, 2012).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 20 пе­
чатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [1–4], 7
статей в сборниках трудов конференций и 9 тезисов докладов.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные
положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад ав­
тора в опубликованные работы.
В совместных публикациях автору принадлежат следующие ре­
зультаты. В работах [5–8] автору принадлежит разработка подходов
к решению комплексного уравнения Гельмгольца векторными метода­
ми конечных элементов, а также итерационных решателей для СЛАУ
электромагнетизма и проведение численных экспериментов с исполь­
зованием МКЭ. В работах [3, 9] автором исследованы вопросы проек­
тирования модульных алгоритмов и отображения их на существующие
аппаратные платформы. В [3] автору дополнительно принадлежит раз­
работка алгоритмов экономичной декомпозиции, получение оценок эф­
фективности разработанных алгоритмов, а также проведение числен­
ных экспериментов для СЛАУ электромагнетизма.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из
введения, 4 глав, заключения, библиографии и приложения. Общий
объем диссертации 173 страницы, включая 19 рисунков и 14 таблиц.
7
Библиография включает 101 наименование на 12 страницах.
Содержание работы
Во введении кратко обоснована практическая и теоретическая
актуальность проблемы, сделан обзор подходов к решению задач элек­
тромагнетизма, сформулированы цель и задачи диссертационной рабо­
ты, аргументирована научная новизна исследований, показана практи­
ческая значимость полученных результатов, представлены выносимые
на защиту научные положения.
В первой главе содержится исследование трехмерных матема­
тических моделей электромагнетизма. Рассматривается полная систе­
ма дифференциальных уравнений Максвелла и векторное комплексное
уравнение Гельмгольца
(︁
)︁
2
⃗
⃗
⃗
∇ × −1
(1)
 ∇ ×  − 0 ˙  = 0 0  ,
⃗  в случае гармо­
для амплитуд напряженности электрического поля 
нической зависимости от времени. Решения соответствующих краевых
задач ищутся в⋃︀ограниченной односвязной области Ω с липшицевой гра­
ницей Ω = Γ Σ, на каждой из частей которой поставлены условия
⃒
⃒
⃗  ⃒⃒ = ⃗ × 
⃗ 0,
⃗  ⃒⃒ = ⃗ × 
⃗ 0,
⃗ × 
⃗ × 
(2)
Γ
Σ
⃗ 0, 
⃗ 0 — заданные функции ко­
где ⃗ — внешняя нормаль к границе, а 
ординат. После введения стандартных соболевских пространств  1 (Ω)
и  rot (Ω), а также их подпространств  и  для учета краевого усло­
вия на Γ, записывается вариационная постановка задачи. Приводится
обоснование существования и единственности решения данной задачи
[15], а также доказывается оценка
(︁
)︁
⃗  rot (Ω) ≤ 1 ||⃗ ||(2 (Ω))3 + ||
⃗ 0 ||( 1/2 (Σ))3 + ||
⃗ Γ || rot (Ω) . (3)
||||
Построены обобщения вариационных формулировок для смешан­
ной задачи с множителем Лагранжа
⃗ + * (, )
⃗ =
⃗ )
(,
⃗
(, ) =
⃗
(),
∀ ∈ ,
(),
∀ ∈ ,
(4)
и постановки задачи с регуляризирующим параметром  ∈ C,  ̸= 02
⃗ + * ( −1 ℬ ,
⃗ = ()
⃗ + * (, ),
⃗
⃗ ∈ ,
⃗ )
⃗ )
(,
∀
(, ) = ( − 02 )() − (∇), ∀ ∈ ,
8
(5)
в случае комплексного ˙ при наличии проводимости. Здесь  и  —
⃗ и  и ищутся
непрерывные линейные функционалы, а решения для 
в пространствах  и  соответственно. Билинейные формы , , * и 
определены как
(⃗, ⃗ ) = (⃗, ⃗ ) − 02 (⃗, ⃗ ),
* (, ⃗ ) = (∇, ⃗ ),
(⃗, ) = (⃗, ∇),
⃗, ⃗ ∈  rot ,
(, ) = (∇, ∇), ,  ∈  1 ,
(6)
а билинейные формы ,  :  rot ×  rot → C заданы соотношениями
Z
Z
(⃗, ⃗ ) = −1
(∇
×
⃗

)
·
(∇
×
⃗

)Ω,
(⃗

,
⃗

)
=
˙ ⃗ · ⃗ Ω.
(7)

Ω
Ω
Найдены достаточные условия разрешимости данных задач, доказана
непрерывная зависимость их решений от правой части, а также уста­
⃗ в обоих постановках задачи.
новлено равенство решений для 
Для данных формулировок предложены оптимальные по поряд­
ку предобуславливающие операторы. Показано, что спектр предобу­
словленной регуляризованной задачи отделен от нуля и состоит из соб­
ственных значений
+ = 1,
 =
 − 02
,
 − 02 + 
(8)
где  — максвелловские собственные числа, связанные с резонансными
частотами и являющиеся ненулевыми решениями собственной пробле­
⃗ ∈  и  ∈ C:
мы для 
⃗ = (,
⃗
⃗ )
⃗ ),
(,
⃗ ∈ .
∀
(9)
В случае смешанной задачи спектр состоит из значений + ,  и
− = −/( − 02 ). При достаточно малом шаге сетки ℎ число обу­
словленности соответствующих предобусловленных дискретных задач
не зависит от ℎ, и в случае  ∈ R,  ≥ 202 может быть оценено как
κ ≤ 1 + / ,
 = min | − 02 | − ,
 > 0.
(10)
Помимо этого, доказана возможность использования предобусловлен­
ных постановок для поиска резонансных частот системы.
Описано построение дискретных аналогов вариационных крае­
вых задач на основе  1 - и  rot -конформных конечных элементов высо­
ких порядков и приведено обоснование квази-оптимальной сходимости
данных методов для используемых в работе иерархических базисных
функции порядка  = 1, . . . , 4.
9
Доказано выполнение теорем об оптимальном предобуславли­
вании смешанной и регуляризованной задач на конечно-элементном
уровне. Для предоубсловленных матриц получены оценки числа обу­
словленности. Кроме этого, предложен подход для поиска резонансных
частот с использованием обобщенных задач на собственные числа для
регуляризованной и смешанной формулировок задач.
Результаты первой главы опубликованы в работах [5, 7, 10, 11].
Во второй главе обсуждаются предобусловленные итерацион­
ные алгоритмы, предлагаемые для решения больших СЛАУ вида
 = ,
(11)
возникающих в результате аппроксимации вариационных краевых за­
дач. Приводится описание ряда итерационных методов в подпростран­
ствах Крылова [16], подходящих для решения комплексных симмет­
ричных неэрмитовых СЛАУ со знаконеопределенным спектром. Для
решения задач на МВС с общей памятью построены параллельные ал­
гебраические мультисеточные предобуславливатели (algebraic multigrid
methods, AMG) на иерархических базисах, использующие рекурсивные
итерационные Крыловские процессы. В качестве оператора сглажива­
ния используется итерация симметричной последовательной верхней
релаксации (SSOR), для которой предложены подходы к распаралле­
ливанию [1, 12].
Для решения задач на МВС с распределенной памятью необходи­
мо провести разделение задачи на подзадачи. Предложено два метода
— геометрической и алгебраической — экономичной декомпозиции об­
ласти, приведены оценки их трудоемкости. Для метода геометрической
декомпозиции с использованием упрощенных BSP-деревьев доказано
существование и единственность решения при выполнении некоторых
естественных условий [2].
В качестве распределенных методов решения СЛАУ использует­
ся итерационный процесс FGMRES (Flexible GMRES) совместно с ад­
дитивным методом Шварца в качестве предобуславливателя. При ис­
пользовании алгоритма FGMRES допускается приближенное обраще­
ние предобуславливателей, за счет чего существенно повышается эф­
фективность алгоритма. Построен алгебраический метод грубосеточ­
ной коррекции (coarse grid correction, CGC) для ускорения внешних
итераций по подобластям, а также рассмотрено его введение в каче­
стве предобуславливателя [4]. Для грубосеточной коррекции предлага­
ется использовать итерации в подпространстве следов, что позволяет
снизить коммуникационные потери алгоритма.
10
Основной вычислительный модуль
Генератор
сеток
Импорт
сеток
Внешние
генераторы
сеток
Построение
декомпозиции
сетки
(для MPI)
Аппроксиматор
(построение
распределенной
СЛАУ)
Модуль символьных
вычислений (генерация кода
для вычисления локальных
матриц и векторов)
Итерационные
решатели СЛАУ
Модуль
постобработки
(визуализации)
решения
Рис. 1. Архитектура пакета Helmholtz3D
Третья глава содержит описание разработанных и активно
используемых в работе вычислительных и программных технологий.
На рис. 1 схематично представлена архитектура расширяемого ППП
Helmholtz3D. В главе обсуждаются аспекты его проектирования и ре­
ализации, а также возможность интеграции со сторонними модулями.
Предложена и реализована методология автоматизации построения ко­
нечно-элементных аппроксимаций высоких порядков с применением
символьных вычислений. В главе проанализированы различные алго­
ритмические оптимизации и оптимизации кода итерационных методов
для повышения их быстродействия на современных МВС, в частности,
подходы к реорганизации обращений к памяти, повышению быстро­
действия решателей на NUMA-системах (non-uniform memory access),
а также пути снижения коммуникационных потерь.
Помимо этого, исследуются технологические аспекты постобра­
ботки и визуализации геометрических объектов расчетной области. Об­
суждаются вопросы динамической визуализации электромагнитных по­
лей, нестационарных по своей природе. Приводится описание методов
и используемых технологий визуализации пакета Helmholtz3D.
Результаты третьей главы опубликованы в работах [1, 9, 13].
В четвертой главе обсуждаются результаты проведенных чис­
ленных экспериментов по моделированию электромагнитных полей с
гармонической зависимостью от времени в модельных и практических
задачах геоэлектроразведки и проектирования СВЧ устройств.
Представлены результаты исследования сходимости конечно-эле­
ментных решений на последовательности сгущающихся сеток, в том
числе для областей, содержащих входящие ребра, когда решение имеет
особенности. Предложенный способ апостериорной оценки локальной
ошибки в тетраэдрах и методика адаптивного сгущения сетки позво­
11
Относительная ошибка в норме Hrot(Ω)
ляет уменьшить глобальную интегральную ошибку и обеспечить опти­
мальный порядок сходимости (ℎ ) в норме  rot (Ω), включая случай
решений с сингулярностями на ребрах расчетной области. Сходимость
конечно-элементных решений, в сравнении с численным решением для
 = 3 на самой мелкой сетке, а также результат адаптивного сгуще­
ния сетки для задачи с волноводом и резонатором с диэлектрической
пластиной изображен на рис. 2.
1,0E+00 l=1 l=2 l=3 1,0E-­‐01 1,0E-­‐02 1,0E-­‐03 1,0E+03 1,0E+04 1,0E+05 1,0E+06 Количество тетраэдров
а)
б)
Рис. 2. Волновод с резонатором и диэлектриком: а) сетка после адаптивного
сгущения и б) относительная ошибка конечно-элементных решений
Экспериментально подтверждена возможность использования
предобусловленных постановок задач для поиска резонансов. Прове­
денные численные расчеты подтверждают установленный теоретиче­
ски порядок сходимости резонансных частот (ℎ2 ).
В главе также приводится сравнительных анализ эффективности
предложенных итерационных алгоритмов на представительном наборе
задач. Результаты исследования производительности и масштабируе­
мости предобусловленных параллельных итерационных методов для
систем с общей (параллелизм OpenMP) и распределенной (MPI) памя­
тью при решении задачи электромагнитного каротажа представлены
в табл. 1 и 2 соответственно. В расчетной области используется сетка
с 490282 тетраэдрами, число неизвестных СЛАУ при аппроксимации
базисными функциями порядка  = 3 равно 8946864, максимальное
количество построенных во время декомпозиции подобластей для па­
раллельного решения решения задачи равно 512.
В таблицах приведены значения  — количество внешних итера­
ций распределенного решателя, 3 и 2 — общее количество внешних
и внутренних (в предобуславливателе AMG) итераций OpenMP реша­
12
Таблица 1. Результаты тестирования параллельного метода FGMRES с AMG
для задачи электромагнитного каротажа
3
2

1
14
33
7.5e3
Количество OpenMP потоков
2
4
8
16
32
14
14
14
14
14
33
33
33
33
33
4.1e3 2.2e3 1.3e3 8.8e2 6.1e2
Таблица 2. Результаты тестирования кластерного метода FGMRES с AMG и
CGC для задачи электромагнитного каротажа

c
A

4
14
86
49
8.8e2
Количество подобластей (MPI процессов)
8
16
32
64
128* 256*
19
19
36
35
36
38
131
148
310
310
341
383
61
61
111
109
113
123
4.9e2 2.3e2 1.9e2 9.2e1 6.2e1 5.5e1
512*
42
445
126
4.9e1
теля, c — общее количество итераций грубосеточной коррекции, A —
максимальное количество внешних итераций метода FGMRES в подоб­
ластях,  — время решения СЛАУ в секундах. При числе MPI процессов
больше 64 запускалось более одного процесса на узел с пропорциональ­
ным уменьшением числа используемых OpenMP потоков, так как всего
в распоряжении имелось 64 узла кластера. Результат решения данной
задачи показал хорошее соответствие с данными других авторов, по­
лученных методом выделения поля источника, при этом расхождение
вычисленной разности фаз ЭДС в приемниках составило 1.8%.
Предлагаемые в работе алгоритмы решения СЛАУ показывают
высокую абсолютную эффективность и масштабируемость, позволяя
решать системы уравнений из 200 миллионов неизвестных за 15 минут
на 512 MPI процессах, и обгоняют прямые методы на примере кластер­
ного пакета MUMPS более чем на порядок как по времени решения
задач, так и по максимальному размеру решаемых СЛАУ.
Результаты четвертой главы опубликованы в работах [4, 8, 14].
В заключении подводятся итоги и обсуждаются результаты
диссертационной работы, а также рассматриваются перспективные пу­
ти дальнейших исследований. В приложении А содержатся копии
свидетельств о регистрации программного кода итерационных методов.
13
Основные результаты работы
∙ Исследованы вариационные постановки классических, смешан­
ных и регулязриованных задач для полей с гармонической зависи­
мостью от времени. Построены и обоснованы обобщения смешан­
ных и регулязриованных формулировок на случай комплексной
диэлектрической проницаемости вещества с ненулевой проводи­
мостью среды и найдены достаточные условия их разрешимости.
На непрерывном и дискретном уровне построены оптимальные по
порядку предобуславливающие операторы.
∙ Обоснована сходимость решений дискретных постановок вариа­
ционных задач при использовании  1 - и  rot -конформных ко­
нечных элементов для аппроксимации скалярных и векторных
функций соответственно. Показана зависимость скорости сходи­
мости от регулярности решений в соболевских пространствах и
предложены подходы к адаптивному сгущению сеток к их особен­
ностям для обеспечения высоких порядков сходимости. Разрабо­
тана технология автоматизации построения конечно-элементных
аппроксимаций задач гармонического электромагнетизма.
∙ Разработаны эффективные параллельные предобусловленные
итерационные методы решения разреженных комплексных неэр­
митовых СЛАУ высоких порядков для МВС с общей и распреде­
ленной памятью. Предлагаемые алгоритмы включают в себя спек­
трально-эквивалентные предобуславливатели для смешанной и
регуляризованной постановок задач, алгебраические мультисеточ­
ные предобуславливатели, построенные с использованием особен­
ностей аппроксимации задач иерархическими векторными базис­
ными функциями высоких порядков, а также методы алгебраиче­
ской грубосеточной коррекции.
∙ Представлены концепция и технологии разработки ППП
Helmholtz3D для моделирования трехмерных гармонических
электромагнитных полей, распространяющихся в областях со
сложной геометрией и различными контрастными средами.
Разработанные вычислительные и программные технологии
позволили создать открытый расширяемый пакет, с помощью
которого решен ряд модельных и практических задач геоэлектро­
разведки и расчета устройств СВЧ, демонстрирующих высокую
эффективность и производительность предложенных методов, а
также их параллельных реализаций.
14
Список публикаций в рецензируемых журналах
1. Бутюгин Д. С. Параллельный предобуславливатель SSOR для реше­
ния задач электромагнетизма в частотной области // Вычислитель­
ные методы и программирование. 2011. Т. 12, № 1. С. 110–117.
2. Бутюгин Д. С. Алгоритмы решения СЛАУ на системах с распре­
деленной памятью в применении к задачам электромагнетизма //
Вестник ЮУрГУ. Серия “Вычислительная математика и информа­
тика”. 2012. Т. 46, № 305. С. 5–18.
3. Бутюгин Д. С., Ильин В. П., Перевозкин Д. В. Методы параллель­
ного решения СЛАУ на системах с распределенной памятью в биб­
лиотеке Krylov // Вестник ЮУрГУ. Серия “Вычислительная мате­
матика и информатика”. 2012. Т. 47, № 306. С. 5–19.
4. Butyugin D. S. Efficient iterative solvers for time-harmonic Maxwell
equations using domain decomposition and algebraic multigrid // Jour­
nal of Computational Science. 2012. Vol. 3, no. 6. P. 480–485.
Список публикаций в других изданиях
5. Butyugin D. S., Il’in V. P., Petukhov A. V. Comparative analysis of
approaches for high frequency electromagnetic simulation // PIERS
2009 Moscow Proceedings. The Electromagnetics Academy, 2009.
P. 1483–1487.
6. Бутюгин Д. С., Петухов А. В. Экспериментальный сравнительный
анализ МКЭ и МКО для моделирования трехмерных электромаг­
нитных полей // Пятая Сибирская конференция по параллельным
и высокопроизводительным вычислениям / Под ред. п. А. Старчен­
ко. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010. С. 56–60.
7. Бутюгин Д. С., Ильин В. П. Конечно-элементные решения различ­
ных порядков точности трехмерных задач электромагнетизма //
Тезисы докладов XVIII Всероссийской конференции “Теоретиче­
ские основы и конструирование численных алгоритмов решения
задач математической физики”. М: Институт прикладной матема­
тики им. М.В.Келдыша, 2010. С. 16.
8. Бутюгин Д. С., Ильин В. П. Параллельные методы и технологии мо­
делирования электромагнитных полей // Микроэлектроника СВЧ,
сборник трудов конференции. СПБГЭУ “ЛЭТИ”, 2012. С. 223–227.
15
9. Бутюгин Д. С., Ильин В. П., Ицкович Е. А. и др. Krylov: библиотека
алгоритмов и программ для решения СЛАУ // Современные про­
блемы математического моделирования. Математическое модели­
рование, численные методы и комплексы программ. Сборник тру­
дов Всероссийских научных молодежных школ. Ростов-на-Дону:
Изд-во Южного федерального университета, 2009. С. 110–128.
10. Бутюгин Д. С. О решении комплексного уравнения Гельмгольца
в смешанной поставноке для задач электромагнетизма // Труды
конференции молодых ученых. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН,
2009. С. 22–33.
11. Бутюгин Д. С. Предобуславливание систем линейных уравнений в
задачах электромагнетизма в постановке с множителями Лагран­
жа // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск: ИВ­
МиМГ СО РАН, 2010. С. 32–44.
12. Бутюгин Д. С. О параллельном решении СЛАУ задач моделирова­
ния трехмерных гармонических электромагнитных полей в частот­
ной области // Шестая Сибирская конференция по параллельным
и высокопро- изводительным вычислениям / Под ред. п. А. Стар­
ченко. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2011. С. 49–55.
13. Бутюгин Д. С. Об автоматизации построения алгоритмов модели­
рования трехмерных электромагнитных полей в частотной обла­
сти // Математика. Компьютер. Образование. Сборник научных
тезисов. Пущино: 2011. С. 163.
14. Бутюгин Д. С. О генерации нерегулярных адаптивных сеток и их
декомпозиции для задач трехмерного электромагнетизма // Тези­
сы докладов VI Всероссийской конференции “Актуальные пробле­
мы прикладной математики и механики“. Екатеринбург: УрО РАН,
2012. С. 18–19.
Цитированная литература
15. Monk P. Finite Element Methods for Maxwell’s Equations. Oxford
University Press, 2003.
16. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. second edition.
Philadelphia: SIAM, 2003.
16
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
682 Кб
Теги
поле, моделирование, метод, гармонические, электромагнитная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа