close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение метода быстрых разложений для анализа напряжений в упругих прямоугольных пластинах конечных размеров.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Хозяинова Наталья Алексеевна
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БЫСТРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА
НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНАХ
КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
Специальность: 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Воронеж - 2013
2
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
инженерных технологий (ВГУИТ)
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Чернышов Александр Данилович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор Коробкин Валерий Дмитриевич,
кафедра строительной
техники и инженерной механики
Воронежского государственного
архитектурно-строительного университета
доктор физико-математических наук,
профессор Семыкина Татьяна Дмитриевна,
кафедра теоретической
и прикладной механики Воронежского
государственного университета
Ведущая организация:
ГОУВПО Липецкий государственный
технический университет
Защита состоится « 18 » сентября 2013 года в 15:00 на заседании
диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном
университете по адресу: 394000, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 226
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского
государственного университета.
Автореферат разослан « 10 » июня 2013 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Чеботарев Андрей Сергеевич
3
Общая характеристика работы
Диссертационная работа посвящена нахождению и исследованию
приближенных аналитических решений
второй краевой задачи для
прямоугольных пластин конечных размеров, сплошных и ослабленных
круговым отверстием, методом быстрых разложений.
Актуальность
темы
исследования
обусловлена
сложностью
математической модели плоской задачи теории упругости, представляющей
собой систему дифференциальных уравнений в частных производных.
Существующие частные решения показывают возможность успешного
применения рядов Фурье к задачам механики деформируемого твердого тела,
но эти решения ограничены первоначальными допущениями, чаще всего, о
конкретном виде граничных условий. Метод быстрых разложений позволяет
представить искомые решения в виде суммы граничной функции и ряда
Фурье таким образом, что используемый ряд допускает многократное (в
зависимости от вида граничной функции) почленное дифференцирование и
обладает свойством быстрой сходимости. Эти свойства обеспечивают
независимость метода от вида функций, задающих граничные условия,
размеров пластин и положения отверстия относительно границ.
Применение метода быстрых разложений к решению задач теории
упругости
является
актуальным,
поскольку
позволяет
получить
приближенные решения для пластин конечных размеров в аналитическом
виде с достаточной для инженерных расчетов точностью.
Степень разработанности темы исследования. Существующие в
настоящее время методы решения задач теории упругости можно разделить
на эмпирические, аналитические и численные. Эмпирические и численные
методы применимы к широкому кругу задач механики, отличающихся
сложностью постановок, но имеют существенные недостатки. Традиционные
экспериментальные
методы
часто
обладают
недостаточной
4
чувствительностью
и
точностью,
а
проведение
испытаний,
помимо
финансовых и временных затрат, требует специального оборудования и
лабораторных условий. Недостатком вычислительных методов является то,
что многие из них являются скорее экспериментальными, чем теоретически
обоснованными, а полученные результаты требуют проверки достоверности
и оценки погрешности и не предоставляют возможностей для аналитического
исследования решений. Кроме того, решения, полученные эмпирическими и
численными
методами
не
могут
быть
исследованы
методами
функционального анализа, что затрудняет их обобщение.
Наиболее универсальными для получения решений задач механики в
аналитическом виде являются методы теории функций комплексного
переменного, малого параметра, граничных состояний, быстрых разложений.
Разработкой и реализацией аналитических методов решения задач
механики сплошной среды в разное время занимались Н. И. Мусхелишвили,
Шарафутдинов, И. В. Кучеренко, Д. В. Головин, Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов, А.
Н. Спорыхин, А. И. Шашкин, Т. Д. Семыкина, Н. В. Минаева, А. П. Соколов,
В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев, А. Д. Чернышов, С. П. Тимошенко, С.
Войновский-Кригер и другие ученые.
Цели и задачи исследования. Целью настоящей диссертации является
разработка методов решения краевых задач определения напряженнодеформированного состояния в рамках плоской деформации различных
упругих пластин конечных размеров при переменном внешнем воздействии.
Для достижения поставленной выполняются следующие задачи:
1. Определение зависимости погрешности приближенного решения,
полученного методом быстрых разложений от вида приближаемой
функции и количества слагаемых, учитываемых в рядах Фурье для
функции одной переменной.
2. На основе численных экспериментов сделать предварительные выводы
о количестве слагаемых в рядах Фурье, необходимых для приближения
5
функций напряжений и перемещений в зависимости от ГУ в
двумерных задачах механики деформируемого твердого тела.
3. Получить аналитическое решение задач о плоской деформации
сплошной упругой пластины конечных размеров и упругой пластины
конечных
размеров
с
круглым
отверстием
методом
быстрых
разложений.
4. Проанализировать решения, варьируя количество слагаемых в рядах
Фурье, размеры пластин, виды функций, задающих напряжения на
границах.
Научная новизна работы:
получено
аналитическое
решение
прямоугольной упругой пластины
нормальных
усилий,
задачи
плоской
деформации
конечных размеров под действием
являющихся
функциями
пространственных
переменных;
проведено
аналитическое
исследование
напряженно-
деформированного состояния упругих пластин, ослабленных произвольно
расположенным круговым отверстием;
использование предложенного метода быстрых разложений позволяет
рассматривать конечномерные пластины с отверстиями любой формы при
двуосном растяжении (сжатии) переменными воздействиями;
разработан программный комплекс, реализующий метод быстрых
разложений функций двух переменных, в котором входящими параметрами
являются размеры пластины и отверстия, координаты отверстия и вид
функций, определяющих нормальные напряжения на границах.
Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные
результаты могут быть использованы для расчета и исследования полей
напряжений, перемещений и деформаций в плоских упругих пластинах.
Разработанный программный комплекс позволяет варьировать размеры
пластин, исследовать пластины, изготовленные из различных материалов в
пределах теории упругости, а также проводить вычисления для случаев
6
кругового отверстия произвольного размера и расположения. Могут
рассматриваться случаи, когда нормальные напряжения на границе задаются
функциями различного вида.
Методология и методы исследования. Решения получены методом
быстрых разложений и исследованы с помощью методов математического
анализа. Все вычисления и построение графиков проводятся в Maple 9.5.
Положения, выносимые на защиту.
1. Определение напряженно-деформированного состояния сплошной
упругой конечномерной пластины под воздействием нормальных
напряжений, заданных в виде констант и линейных функций.
2. Решение задачи о плоской деформации упругой конечномерной
пластины с круговым отверстием под воздействием нормальных
напряжений на границах, заданных в виде констант и линейных
функций.
3. Разработка приближенного метода быстрых разложений для решения
плоских задач теории упругости
4. Реализация предложенного подхода в виде программного комплекса,
позволяющая рассматривать пластины различной формы, ослабленные
нецентрированными отверстиями произвольной формы.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность
научных положений обеспечивается использованием фундаментальных
соотношений теории упругости, физически корректных формулировок
математических
моделей,
корректным
применением
математического
аппарата рядов Фурье и согласованностью полученных решений с
результатами других авторов. Основные результаты диссертации были
представлены на следующих конференциях:
1. Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и
механики. Воронеж. 20-22 сентября 2010 г.
2. Отчетная
научная
конференция
сотрудников ВГУИТ за 2011 г.
преподавателей
и
научных
7
Основное содержание работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка
литературных источников, включающего 103 наименования. Объем работы
составляет 134 страницы. В приложениях A, Б и В содержится листинг
программ к первой, второй и третьей главам соответственно.
Во введении приведен обзор работ, касающихся темы исследования,
обоснованы актуальность, научная новизна, практическая значимость работы
и достоверность полученных результатов.
В первой главе указаны и продемонстрированы на примере разложения
линейной функции f  x   x при x[0,1] два недостатка классического ряда
Фурье, ограничивающих его использование при решении прикладных задач:
медленная
сходимость
ряда
и
невозможность
его
бесконтрольного
дифференцирования. Необходимым условием, по теореме Г. П. Толстова, для
корректного почленного однократного дифференцирования ряда Фурье по
синусам является непрерывность функции
f  x  , а также выполнение
равенства f  0   f 1  0 .
Согласно
методу
быстрых
разложений,
неизвестная
f  x
представляется в виде суммы граничной функции и ряда Фурье по синусам
или косинусам:
f  x   M 2 p  x    m sin m

m 1
x
,
a
f  x   M 2 p1  x   0   m cos m

m1
x
.
a
Граничных функции подбираются специальным образом, так, чтобы
выполнялись условия теоремы Толстова для приближаемой функции и для ее
производных,
если
дифференцирования.
условия
задачи
требуют
многократного
В качестве примера реализации метода построены
приближенные аналитические решения задачи Коши для дифференциальных
уравнений второго порядка:
8
d 2 y ( x)
dy( x)

a
 by( x)  F  x  , y(0)  0, y(1)  y1 ,
dx2
dx
где правая часть F  x  подобрана так, что точное решение известно. Для
получения приближенного решения задачи функция y  x  представляется в
M
виде быстрого разложения y( x)  M 2 ( x)   m sin m x с граничной функцией
m1
второго порядка:
 x 2 x3 x 
 x3 x 
M 2 ( x)  y (0)(1  x)  y (1) x  y  0       y 1    .
 2 6 3
 6 6
Граничные условия в этом случае выполняются тождественно, к
дифференциальному уравнению применяется оператор быстрых синусразложений второго порядка: вычисляются значения левой и правой частей
уравнения в крайних точках области определения при x  0 , x  1 и
интегралы
dy ( x)
j x
 d 2 y ( x)

a
 by ( x)  F  x   sin
dx  0, j  1..M . Таким

2
0
dx
dx
a


1
образом, задача Коши сводится к решению линейной системы уравнений
относительно
неизвестных
y 1 ,
y  0 ,
констант
m , являющихся
коэффициентами быстрых разложений. Проведен анализ абсолютной и
относительной погрешностей приближенного решения в зависимости от
порядка граничной функции, количества слагаемых в ряду Фурье,
параметров точного решения. Так, для точного решения, заданного функцией
y  sin  5.2 x 
на
x0,1 , имеющей 5 перегибов, для достижения
инженерной точности – абсолютной погрешности решения порядка 103 достаточно 10 слагаемых ряда Фурье, для приближения первой производной
этой функции с точностью порядка 103
требуется
приближения
слагаемых.
второй
производной
–
60
N  20 , а для
Для
функции
y  sin 1.2 x  с одним перегибом достаточно использовать 5 слагаемых, а
для монотонной функции y  sin  0.2 x  только 2.
9
В задачах теории упругости, если область односвязная, функции
напряжений и перемещений – гладкие и, как правило, имеют не более одного
перегиба в области определения. В многосвязных областях функции могут
иметь несколько точек перегибов, но так как в процессе решения
многосвязные области разбиваются на сумму односвязных,
и решение
ищется в каждой области отдельно, точность приближения будет достаточно
высока при учете уже 5 членов ряда Фурье.
Проведено также сравнение быстрого разложения и классического ряда
Фурье для функции и ее производных, показывающее расхождение первой
производной на границе и второй производной всюду в области определения
функции, для классического ряда Фурье и быструю сходимость для метода
быстрых разложений.
На рисунке представлено сопоставление графиков второй производной
функции y  sin 1.2 x  , x 0,1 (сплошные линии на графиках), и вторых
производных
(точки),
полученных
почленным
дифференцированием
разложений этой функции при учете 20 слагаемых в ряду Фурье. График
слева получен при использовании быстрого синус-разложения с граничной
10
функцией второго порядка, а график справа – при разложении в
классический ряд Фурье по синусам.
Поскольку метод быстрых разложений позволяет значительно быстрее
известных классических методов находить приближенное решение краевой
задачи с требуемой точностью, и более того, это решение можно
дифференцировать требуемое число раз, применение данного метода к
задачам МСС является целесообразным.
Во второй главе приводится постановка и решение задачи о
растяжении сплошной упругой прямоугольной пластины конечных размеров.
Перемещения, представленные в виде быстрых синус-разложений по
переменной y  0, b :
M
 m y 
u  x, y   M 2 p  x, y    um  x  sin 
,
m 1
 b 
M
 m y 
  x, y   M 2 p  x, y    m  x  sin 

m 1
 b 
подставляются в уравнения равновесия в виде Ламе и в граничные условия
(ГУ). К системе уравнений и ГУ и применяются операторы быстрых синусразложений нулевого порядка и косинус-разложений первого порядка так,
чтобы старшей производной всюду была вторая. Эти действия обусловлены
свойством используемой граничной функции M 2 p  x, y  , обеспечивающей
быструю сходимость второй производной разложения всюду в области
пластины и ее равенство по построению производной точного решения на
границах
y  0, y  b .
После
применения
операторов,
в
уравнениях
11
содержится 8  2M неизвестных функций fi  x  , i  1..8  2M переменной x ,
являющихся коэффициентами граничных функций и рядов Фурье. После
повторного представления этих
8  2M функций в виде быстрых синус-
разложений, теперь по переменной x  0, a  :
x
 x 2 x3 x  a 
 x
f i  x   f i  0  1    f i  a   f i  0   


a
2
6
a
3
 a


3
x  a  N i  n x 
x
 f i  a   
  f n sin 
, i  1..8  2M ,
6  n1
 a 
 6a
их подстановки в систему уравнений и применения операторов быстрых
разложений, задача сводится к решению замкнутой системы  2M  8 4  N 
линейных уравнений относительно неизвестных констант
fi  0 , fi  a  , fi  0 , fi  a  , f ni , i  1..4, n  1..N ,
являющихся коэффициентами граничных функций и рядов Фурье по двум
пространственным переменным. Полученное методом быстрых разложений
решение исследуется графически и аналитически на экстремум при
различных способах нагружения на границах пластины. В простейшем
случае
постоянного
двуосного
растяжения
пластины,
нормальные
напряжения всюду в области оказываются равными напряжениям на
границах, а касательные напряжения всюду равны нулю, что соответствует
известному решению, получаемому с помощью интегрирования уравнений
равновесия. Для получения решения такой задачи требуется по 2 слагаемых в
рядах Фурье и 39 секунд работы программы. При более сложных видах ГУ,
заданных несимметричными линейными функциями, вычисления проводятся
с учетом до 10 слагаемых, перемещения, деформации и напряжения
представляют собой сложные функции, включающие полиномы и ряды по
двум пространственным переменным. Второй инвариант тензора напряжений
достигает экстремума в одной из угловых точек пластины, в зависимости от
коэффициентов линейных функций, задающих ГУ:
12
При подстановке решения второй краевой задачи с несимметричными
линейными ГУ, полученного при учете M  N  10 слагаемых в рядах Фурье,
в исходные уравнения, равенства выполняются с точностью до седьмого
знака после запятой, что достаточно для инженерных расчетов.
В
a
1
третьей
главе
рассмотрена
пластина
конечных
размеров
 a2    b1  b2  с круговым отверстием радиуса R0 , находящаяся под
действием нормальных напряжений, приложенных к внешним границам и к
границе отверстия  ij n j ni   p0 ,  ij n j i  0 и заданных в виде функций
пространственных переменных.
Решение проводится в перемещениях с помощью метода быстрых
разложений по координатам
y  b1 , b2  и
x   a1 , a2  , выбираются
13
граничные функции второго порядка. В процессе решения пластина,
представляющая собой двусвязную область, мысленно разделяется на две
односвязные области с применением метода расширения границ:
вводятся условия сопряжения на границе 0 : x  a1 ,  R0    R0 , a2 , y  0
разреза для напряжений и перемещений. Перемещения для верхней и нижней
частей пластины представляются в виде быстрых разложений по переменной
y 0, b2  и y b1 ,0 соответственно:
M
u ( x, y )  M 2 p   um ( x)sin
m 1
M
U ( x, y)  M 2 p   U m ( x)sin
m 1
M
m y
m y
,  ( x, y )  M 2 p   m ( x)sin
m 1
b2
b2
M
m  y  b1 
m  y  b1 
, V ( x, y)  M 2 p   Vm ( x)sin
.
m 1
b1
b1
Рассмотрение ГУ на внешних границах и уравнений Ламе в области
пластины проходит с применением операторов быстрых разложений,
аналогично и на основе решения для сплошной пластины, приведенного во
второй главе. На границе проведенного мысленно разреза и на границе
кругового отверстия решение проводится с применением поточечного метода
нахождения коэффициентов ряда Фурье. Количество точек разбиения
линейно зависит от количества слагаемых ряда Фурье в разложении по
переменной x .
Система дифференциальных уравнений второго порядка относительно
двух пространственных переменных также сводится к замкнутой линейной
системе относительно констант. В эту систему входят три блока равенств
14
различного происхождения: две подсистемы, полученные при рассмотрении
верхней и нижней частей пластины с применением операторов быстрых
синус- и косинус-разложений, и подсистема, полученная при подстановке
координат точек разбиения в уравнения сопряжения и ГУ на границе
окружности.
По полученным перемещениям определяются деформации и напряжения
в
области
пластины,
вычисляется
второй
инвариант
напряжений.
Аналитический и графический анализ приведен для различных случаев
напряжения на границах пластины – постоянных и заданных в виде
линейных функций.
Нормальные
и
касательные
напряжения
в
области
пластины
вычисляются через перемещения, полученные в виде быстрых разложений по
двум координатам и представляют собой функции сложного вида.
Компоненты напряжений  x ,  y ,  xy в области пластины при ГУ,
заданных в виде линейных функций.
В заключении приводятся основные выводы и результаты работы.
15
Итоги исследования
1. Метод быстрых разложений в приложении к задачам МСС позволяет
получать решение в явном аналитическом виде. Метод реализуется
посредством представления неизвестных функций в виде быстрых
разложений применения операторов быстрых синус- и косинусразложений к дифференциальным уравнениям задачи. Эти действия
производятся последовательно по двум переменным.
2. Небольшое число слагаемых в ряде Фурье быстрых разложений
позволяет получить решение с достаточно высокой точностью.
3. Разработан способ нахождения решения, описывающего напряженнодеформированное состояние пластины конечных размеров, сплошной
или с круговым отверстием, в случае, когда напряжения по контуру
являются произвольными линейными функциями координат.
4. Найдены напряжения и перемещения в области пластины, круговой или
с отверстием, для частных случаев (симметричных и несимметричных)
напряжений по границам: постоянных, в виде линейных функций.
5. Определены максимальные значения второго инварианта напряжений.
6. Разработан и реализован средствами Maple 9.5 алгоритм решения задач
о плоской деформации сплошной упругой пластины и упругой
пластины с круговым отверстием для различных случаев нормальных
напряжений на границах.
Перспективы дальнейшей разработки темы. В перспективе возможно
применение
метода
быстрых
разложений
упругопластического деформирования тел.
к
задачам
упругого
и
16
Список работ, опубликованных автором по теме диссертации
1. Хозяинова, Н. А. Исследование погрешности поточечного метода
вычисления коэффициентов быстрых рядов Фурье / А. Д. Чернышов, Н.
А.
Хозяинова,
В.
государственного
В.
Горяйнов
университета
//
Вестник
инженерных
Воронежского
технологий.
Серия:
Информационные технологии, моделирование и управление. – № 2(48).
– 2011. – С. 64 – 67.
2. Хозяинова, Н. А. Применение быстрых разложений для решения задачи
о растяжении упругой пластины конечных размеров с отверстием / А.
Д. Чернышов, Н. В. Минаева, Н. А. Хозяинова // Вестник Чувашского
государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева.
Серия: Механика предельного состояния. - № 2(10). - 2011. - С. 104110.
3. Хозяинова, Н. А. Решение задачи о растяжении упругой прямоугольной
пластины методом быстрых разложений / А. Д. Чернышов, Н. А.
Хозяинова // Вестник Воронежского государственного университета
инженерных
технологий.
Серия:
Информационные
технологии,
моделирование и управление. - №4(54). – 2011. – С. 43-47.
4. Хозяинова, Н. А. О растяжении прямоугольной пластины конечных
размеров с круговым отверстием / Н. А. Хозяинова // Актуальные
проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник
трудов международной конференции. Воронеж. 20-22 сентября 2010 г.
- С. 375-380.
5. Хозяинова, Н. А. Применение метода быстрых разложений при
нахождении напряжений в растянутой прямоугольной пластине / А. Д.
Чернышов, Н. А. Хозяинова
// Материалы L отчетной научной
конференции преподавателей и научных сотрудников ВГУИТ за 2011
г. - Ч.2. - С. 132.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа