close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численные методы решения обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Злотник Илья Александрович
Численные методы решения обобщенного
нестационарного уравнения Шрёдингера в
неограниченных областях
01.01.07 – вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2013
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном
образовательном учреждении высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет «Московский
энергетический институт».
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор, Амосов Андрей Авенирович
Официальные оппоненты:
Поляков Сергей Владимирович, доктор фи­
зико-математических наук, старший науч­
ный сотрудник, заведующий сектором Фе­
дерального государственного бюджетного
учреждения науки Института прикладной
математики им. М.В. Келдыша Российской
академии наук
Разгулин Александр Витальевич, док­
тор физико-математических наук, про­
фессор кафедры математической физики
факультета ВМК Московского государ­
ственного университета им. М.В. Ломоно­
сова
Ведущая организация:
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего про­
фессионального образования «Казанский
(Приволжский) федеральный университет»
Защита состоится «27» мая 2013 г. в 16:30 на заседании диссертационного
совета Д 002.045.01 при Федеральном государственном бюджетном учре­
ждении науки Институте вычислительной математики Российской ака­
демии наук (ИВМ РАН), расположенном по адресу: 119333, г. Москва, ул.
Губкина, д. 8.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВМ РАН.
Автореферат разослан «
»
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 002.045.01,
доктор физико-математических наук
2013 г.
Г.А. Бочаров
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Линейное нестационарное уравнение Шрёдин­
гера играет важную роль в квантовой механике, ядерной, атомной и молеку­
лярной физике, волновой физике и акустике, микроэлектронике, нанотехно­
логиях и др. Часто его необходимо решать в неограниченных по пространству
областях. Это требует применения специальных численных методов, обычно
связанных с постановкой на искусственных границах точных или приближен­
ных неотражающих/прозрачных граничных условий (ПГУ). Используются
также абсорбирующие граничные условия (ABC), идеально соответствующие
слои (PML), комплексные абсорбирующие потенциалы (CAP) и др.
Такие задачи привлекают большое внимание как в России, так и за ру­
бежом. В этой и смежных областях работали: В.С. Рябенький, И.Л. Со­
фронов, Н.А. Зайцев, В.А. Гордин, В.А. Баскаков, А.В. Попов, Р.З. Даутов,
Е.М. Карчевский, В.А. Трофимов, М.Ю. Трофимов, А.А. Злотник, A. Arnold,
M. Ehrhardt, A. Schädle, F. Schmidt, M. Schulte (Германия), X. Antoine, C. Besse,
L. Di Menza, B. Ducomet, J. Szeftel (Франция), L. Greengard, B. Mayfield,
C.A. Moyer (США), T. Fevens, D. Yevick (Канада), J. Jin, H. Han, X. Wu
(Китай) и многие другие. Ряд аспектов численного решения уравнения Шрё­
дингера отражен в недавних работах С.В. Полякова и А.В. Разгулина.
Среди существующих подходов выделяется подход, использующий дис­
кретные ПГУ (ДПГУ), представляющие собой выводимые на дискретном
уровне аналоги аналитических ПГУ, но не какую-либо их непосредственную
аппроксимацию. Применение ДПГУ характеризуется полным отсутствием
отражений от искусственных границ и устойчивостью вычислений. Четкая
математическая основа ДПГУ позволяет построить строгую теорию устой­
чивости и обеспечить выполнение законов сохранения для использующих их
методов. Для стандартных разностных схем для одномерного и двумерно­
го уравнения Шрёдингера их впервые разработали А. Arnold, M. Ehrhardt,
И.Л. Софронов в 1998-2003 гг.
Целью диссертационной работы является разработка и анализ эф­
фективных численных методов решения одномерного и двумерного нестаци­
онарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях. Для этого вы­
полняется построение и анализ устойчивости семейств разностных схем, ме­
тода конечных элементов (МКЭ) и схемы с расщеплением по потенциалу с
3
приближенными ПГУ для обобщенного уравнения Шрёдингера на полуоси и
в полуполосе, вывод и исследование дискретных ПГУ, разработка эффектив­
ных алгоритмов реализации методов с ДПГУ, их программная реализации и
выполнение численных экспериментов.
Научная новизна. В работе построены и изучены семейства разност­
ных схем, МКЭ и схема с расщеплением по потенциалу. Для них предложен
новый естественный способ записи общих приближенных ПГУ; для дискрет­
ного ПГУ он непосредственно приводит к вычислительно устойчивой фор­
ме записи. Для семейств схем выведены новые дискретные ПГУ; для МКЭ
произвольного порядка дискретные ПГУ также новые и построены впервые.
Развита новая методика исследования устойчивости методов с дискретными
ПГУ и для них доказана абсолютная устойчивость как по начальным дан­
ным, так и по правой части. Соответствующие оценки решений установлены
не только в норме 2 , но и в энергетической норме по пространству, и яв­
ляются равномерными по времени. Значительно упрощен и сделан строгим
вывод дискретных ПГУ. Выполнены численные эксперименты, результаты
которых позволили сравнить свойства методов, дать практический анализ
их погрешности и дополнить теоретические результаты.
Практическая значимость. Построенные и изученные в работе се­
мейства разностных схем, МКЭ и схема с расщеплением по потенциалу с
дискретными ПГУ могут быть эффективно использованы для решения раз­
личных прикладных задач. В качестве примера выполнены серии численных
экспериментов по свободному распространению гауссовой волны и моделиро­
ванию туннельного эффекта для потенциалов ступенчатой формы. В них на­
глядно видна эффективность применения дискретных ПГУ, включая полное
отсутствие отражений от искусственных границ. Показано, что применение
правильных усреднений в разностных схемах позволяет повысить качество
численных решений. Продемонстрированы преимущества МКЭ высокого по­
рядка даже в случае быстро осциллирующих решений и разрывных потен­
циалов. В двумерном случае проверено, что использование расщепления по
потенциалу сохраняет хорошую точность результатов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва­
лись автором на XV–XVIII Международных научно-технических конферен­
циях студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергети­
4
ка» (Москва, 2009–2012); XIX и XX Международных научно-технических кон­
ференциях «Информационные средства и технологии» (Москва, 2011, 2012);
XVII Международной конференции «Математическое моделирование и ана­
лиз» (Таллин, 2012); V Международной конференции «Вычислительные ме­
тоды в прикладной математике» (Берлин, 2012); а также на научных семи­
нарах: «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование» в
НИУ МЭИ (2011, 2012, рук. проф. Ю.А. Дубинский и проф. А.А. Амосов);
им. К.И. Бабенко в ИПМ РАН им. М.В. Келдыша (2012); на каф. математи­
ки физфака МГУ им. М.В. Ломоносова (2012, рук. проф. А.Н. Боголюбов);
«Вычислительная математика, математическая физика, управление» в ИВМ
РАН (2012, рук. проф. Г.М. Кобельков и проф. А.В. Фурсиков).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 15 печатных
работах, из них 5 статей [1–4, 6] в журналах из Перечня ведущих рецензиру­
емых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК, 2 статьи [8, 9] в
зарубежных рецензируемых журналах и 2 статьи [5, 7] в трудах конференций,
а также 6 тезисов докладов на конференциях. Общий объем статей 6,7 п.л.
(147 стр.); из них лично автору принадлежат 4,25 п.л. (93,5 стр.).
Личный вклад автора. Утверждения 1.1, 1.4, 1.6, 1.7, 1.10 и их след­
ствия в главе 1; все результаты главы 2 (см. [3, 4, 6]); утверждения 3.1-3.4 и
их следствия и результаты раздела 3.5 в главе 3 (см. [5, 7]); утверждение 4.2 и
его следствие и результаты раздела 4.3 в главе 4 получены автором самостоя­
тельно. Остальные теоретические результаты, опубликованные в совместных
работах [1, 2, 8, 9], принадлежат соавторам в равной степени. Программная
реализация всех методов и все расчеты выполнены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе­
ния, четырех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации
146 страниц, включая 29 рисунков и 8 таблиц. Библиография содержит 88
наименований. В приложения вынесена часть результатов численных экспе­
риментов (их объем 29 страниц, включая 42 рисунка).
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­
мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана
5
практическая значимость полученных результатов, а также кратко изложено
ее содержание.
Работа посвящена численным методам c использованием ДПГУ для ре­
шения обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограничен­
ных областях. Строятся и изучаются следующие методы:
1) семейство разностных схем с усреднением по пространству для одно­
мерного уравнения Шрёдингера на полупрямой (или всей прямой);
2) семейство разностных схем с усреднением по пространству для дву­
мерного уравнения Шрёдингера в полуполосе (или полосе);
3) МКЭ произвольного порядка для одномерного уравнения Шрёдингера
на полупрямой (или всей прямой);
4) разностная схема с расщеплением по потенциалу для двумерного урав­
нения Шрёдингера в полуполосе (или полосе).
Аппроксимация по времени во всех этих схемах и МКЭ – двухслойная
симметричная (т.е. типа Кранка-Никольсон).
Исследование всех методов проводится по следующему единому плану:
1) выводятся теоремы о равномерной по времени устойчивости методов в
2 и в энергетической норме по начальным данным и правой части при общем
приближенном ПГУ типа Dirichlet-to-Neumann map (на конечной сетке);
2) изучаются варианты методов на бесконечной сетке по пространству,
доказываются аналогичные теоремы о равномерной по времени устойчивости
и выводятся законы сохранения;
3) на основе результатов, доказанных для бесконечной сетки, с помощью
аналитического решения вспомогательных сеточных задач строго выводятся
ДПГУ и обосновывается равномерная устойчивость методов с ДПГУ;
4) методы программно реализуются, проводятся серии численных экспе­
риментов и делаются выводы о практических свойствах методов.
В главе 1 решается начально–краевая задача для обобщенного нестаци­
онарного уравнения Шрёдингера на полуоси
2
~  = − ~2  () +   при  > 0,  > 0,
(0, ) = 0 и (, ) → 0 при  → ∞ и всех  > 0,
(1)
(, 0) =  0 () при  > 0.
Коэффициенты () >  > 0, () >  > 0 и потенциал  () вещественны,
~ > 0 – постоянная,  = / и  = /. Предполагается, что () =
6
∞ > 0, () = ∞ > 0,  () = ∞ при  > 0 и  0 () = 0 при  > 0 , при
некотором 0 > 0.
Известное интегро–дифференциальное ПГУ
ˆ 
1−

(, ) = − √︀
−(∞ /∞ ~)  
(,  )(∞ /∞ ~) √
−
~∞ /∞
0
при  > 0 и любых  > 0 позволяет заменить задачу на полуоси на задачу
на конечном отрезке [0, ]. Но любая дискретизация таких ПГУ ведет к появ­
лению отражений от искусственных границ, поэтому в работе используются
не они, а выводимые на дискретном уровне их аналоги – дискретные ПГУ.
Для задачи (1) строится новое семейство разностных схем с усреднения­
ми по пространству с параметром . Это делается с целью единообразного изу­
чения различных по способу построения схем: наиболее стандартной схемы
без усреднений ( = 0); линейного МКЭ с различными способами численно­
го интегрирования ( = 1/6, 1/4); векторной мультисимплектической схемы
( = 1/4); схемы типа Нумерова повышенного порядка точности ( = 1/12).
Семейство схем исследуется по указанному выше плану, в том числе,
доказываются утверждения 1.1, 1.2, 1.4 и 1.5 о равномерной по времени
устойчивости по начальным данным и правой части, строго выводятся но­
вые ДПГУ и выполняется практическое сравнение перечисленных схем. Эти
результаты здесь опускаются, поскольку ниже они переносятся на более слож­
ный двумерный случай, а соответствующие формулировки аналогичны и по­
дробно приводятся. Результаты главы 1 опубликованы в работах [1, 8].
В главе 2 решается начально-краевая задача для обобщенного уравне­
ния Шрёдингера в полуполосе
~  = ℋ при (, ) ∈ Ω := (0, ∞) × (0,  ) и  > 0,
|Ω×(0,∞) = 0, ‖(, ·, )‖2 (0, ) → 0 при  → ∞ для всех  > 0, (2)
|=0 =  0 (, ) при (, ) ∈ Ω,
содержащее двумерный оператор Гамильтона (эллиптический оператор)
2
ℋ := − ~2 [ (11  ) +  (12  ) +  (21  ) +  (22  )] +  
c вещественными матрицей B = { (, )}2,=1 , B = B >  и функциями
(, ) >  > 0 и  (, ) (потенциалом). Предполагается, что 11 (, ) =
7
1∞ , 12 (, ) = 21 (, ) = 0, 22 (, ) = 2∞ , (, ) = ∞ ,  (, ) = ∞ и
 0 (, ) = 0 при (, ) ∈ [0 , ∞) × [0,  ], при некотором 0 > 0.
При  > 0 и любых  > 0 можно записать интегро–дифференциальное
ПГУ, разложив решение в ряд Фурье по синусам по переменной . В работе
аналогичным образом применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
по синусам по переменной  при выводе двумерных дискретных ПГУ.
Вводятся неравномерные сетки:  ℎ,∞ по  на [0, ∞) с узлами 0 = 0 <
· · · <  =  < . . . и шагами ℎ :=  − −1 , где ℎ = ℎ при  > ;   по
 на [0,  ] с узлами 0 = 0 < · · · <  =  и шагами  :=  − −1 ;  
по  на [0, ∞) с узлами 0 = 0 < · · · <  < . . . и шагами  :=  − −1 .
Нам потребуются сетки ℎ,∞ :=  ℎ,∞ ∖ {0},  ℎ := { }=0 , ℎ := { }−1
=1 и

:= {ℓ }
  :=   ∖ {0}, 
ℓ=1 и сетки–произведения  h,∞ :=  ℎ,∞ ×   ,  h :=
 ℎ ×   , h := ℎ ×  . Пусть −1/2 := (−1 +  )/2, −1/2 := (−1 +  )/2.
Вводятся разностные отношения    := ( − −1 )/ℎ , ̂︀  :=
(+1 −  )/ℎ+1/2 по  и операторы усреднения
ℎ
2ℎ+1/2
 +
ℎ+1
2ℎ+1/2
+1 ,
(︀
)︀
ℎ
ℎ+1
 [κℎ ] :=  ℎ+1/2
κℎ −1 + (1 − 2) ̂︀ κℎ  +  ℎ+1/2
κℎ+1 +1 ,
̂︀  :=
+
−
 :=  [1] = −
 +  по , где   := (ℎ /ℎ+1/2 )(−1 + (1/2 − ) ),
−
+
 :=  −  . Будем использовать также их аналоги по переменной . Пусть,
кроме того,     := (  −  −1 )/ ,    := ( −1 +   )/2 и ˇ  :=  −1 .
Для задачи (2) изучается семейство разностных схем с векторным пара­
метром  = (, ) с общим приближенным ПГУ
~ [h ]  Ψ = ℋh  Ψ +  на h ×   ,
Ψ|=0 = 0, Ψ|=0, = 0,
⃒
2
Γ (Ψ, Ψ̌)⃒= + ℎ2  = ~2 1∞ Ψ|= на  ×   ,
(3)
Ψ0 = Ψ0h на  h .
Здесь ℋh – сеточный оператор Гамильтона
(︀
)︀
(︀
)︀
2 [︀
ℋh  := − ~2 ̂︀  [11h ]   + ̂︀ ̂︀ 12h     +
(︀
)︀
(︀
)︀]︀
+̂︀
 ̂︀ 21h     + ̂︀  [22h ]   +  [h ],
а  [κh ] :=  [ [κh ]] – двумерный оператор, являющийся суперпозицией
одномерных операторов усреднения по  и , где κh = κ(−1/2 , −1/2 ) для
8
κ = , B,  . Функция  добавляется в (3) для исследования устойчивости и
играет важную роль при обосновании устойчивости схем с ДПГУ.
⃒
Используются также сеточный оператор Неймана Γ (Ψ, Ψ̌)⃒= :=
:=
{︀ ~2
2
[︀
1∞     Ψ − ℎ−
  (~∞   − ∞  )Ψ +
~2
2
]︀}︀⃒
2∞ ̂︀    Ψ ⃒=
и   – произвольный линейный оператор в пространстве функций Φ:   ×
{︀ ⃒ }︀


→ C, причем Ψ |= := Ψℓ ⃒= ℓ=1 при  > 1.
Подобно одномерному случаю, семейство (3) включает немало разных по
конструкции схем. Введем множество параметров Θ := { = (, );  6 1/4,
 6 1/4}, для которых выводится абсолютная устойчивость. Нам потребу­
ются разностные аналоги скалярных произведений в пространстве 2 (0, )
(,  )ℎ := (,  )ℎ +  * ℎ2 , (,  )̃︀ℎ :=
∑︀
*
=1   ℎ ,
а также порожденные ими нормы ‖·‖ℎ , ‖·‖̃︀ℎ . В пространствах 2 (0,  ) и
2 ((0, ) × (0,  )) скалярные произведения и нормы вводятся аналогично.
Утверждение 2.1. Пусть оператор  удовлетворяет неравенству
Im
∑︀
=1 (Φ

,  Φ )  > 0 при любых  > 1
(4)
для всех функций Φ:   ×   → C таких, что Φ0 = 0 и Φ|=0, = 0. Тогда
для решения разностной схемы (3) при  ∈ Θ и любых  > 1 верна оценка
max ‖Ψ ‖ [h ] 6 ‖Ψ0h ‖ [h ] +
066
2
 ~
∑︀
=1 ‖

‖h  ,
√︁
где  := (1 − 4+ )(1 − 4 + ) с + := max {, 0},  + := max {, 0}.
Здесь ‖ · ‖ [h ] – энергетическая норма оператора  [h ], эквивалентная
сеточной норме 2 на  h при  ∈ Θ. Аналогичный результат справедлив и
при  ∈ Θ. Доказательства этой и других теорем устойчивости в работе
проводятся методом энергетических неравенств.
Выведена устойчивость еще в одной норме. Пусть ̂︀ ∈ R таково, что
оператор ℋh + ^ [h ] положительно определен и ‖ · ‖ℋh +^ [h ] – соответ­
ствующая энергетическая норма, а ‖ · ‖(−1) – двойственная к ней норма.
Утверждение 2.2. Пусть оператор  удовлетворяет неравенству
Im
∑︀
=1
(︀
Φ , ~  Φ + ̂︀  Φ
9
)︀

 
> 0 при любых  > 1
(5)
для всех функций Φ:   ×   → C таких, что Φ0 = 0 и Φ|=0, = 0. Тогда
для решения разностной схемы (3) при  ∈ Θ и любых  > 1 верна оценка
max ‖Ψ ‖ℋh +^ [h ] 6 ‖Ψ0ℎ ‖ℋh +^ [h ] +
066
⃦ ⃦(−1)
⃦
⃦ )︁
∑︀ (︁ |̂︀|
 (−1)
 ⃦(−1)
⃦
.
 + 4 ⃦ 0 ⃦
+ 2  
+2 =1 ~ ‖ ‖
Далее изучается соответствующее семейство схем на бесконечной сетке
для исходной начально–краевой задачи в полуполосе
~ [h ]  Ψ = ℋh  Ψ +  на h,∞ ×   ,
(6)
Ψ ∈ h при  > 1, Ψ0 = Ψ0h ∈ h ,
где h – гильбертово пространство функций  :  h,∞ → C таких, что  |=0 =
 |=0, = 0 и ‖ ‖h,∞ < ∞. Схема (6) не реализуема на практике из-за бес­
конечности числа неизвестных на каждом слое по времени. Однако сужение
решения схемы на конечную сетку на [0, ] × [0,  ] можно найти с помощью
вывода и применения ДПГУ с оператором  = ref при  = .
Строгий вывод ДПГУ и обоснование устойчивости разностной схемы с
ним требует анализа устойчивости схемы (6).
Утверждение 2.3. Пусть   ∈ h при любом  > 1. Тогда при  ∈ Θ
разностная схема (6) имеет единственное решение и верна оценка
⃦ ⃦
∑︀

max ‖Ψ ‖ [h ], ∞ 6 ⃦Ψ0h ⃦ [h ], ∞ + 2~ 
=1 ‖ ‖ h,∞ 
066
для всех  > 1. Более того, при  = 0 справедлив первый закон сохранения
⃦ ⃦
‖Ψ ‖ [h ], ∞ = ⃦Ψ0h ⃦ [h ], ∞ при любом  > 1.
Здесь ‖ · ‖ [h ], ∞ , ‖ · ‖h , ∞ – сеточные аналоги нормы 2 на  h, ∞ . Анало­
гичный результат справедлив и при  ∈ Θ. Доказательство существования
и единственности решения основано на теореме Лакса-Мильграма-Вишика.
⃒
Следствие 2.1. Пусть   |
= 0 при  > 1 и Ψ0 ⃒
= 0 и решение Ψ
h >
>
разностной схемы (6) удовлетворяет приближенному ПГУ из (3) с  = ref .
Тогда для любых  и  > 1 имеем
(︀   )︀
∑︀



Im
(
Ψ
,

Ψ
)
=
Ψ , Ψ h,,∞ :=
~ 1∞

· 
ref 
=1
∞
(︀
)︀
(︀
)︀
∑︀∞




:= +
Ψ
,
Ψ
+

Ψ
,
Ψ
ℎ,

·
·
·
·
=+1




где  :=  [1].
10
Выведена устойчивость еще в одной норме. Пусть ̂︀ ∈ R таково, что
оператор ℋh + ^ [h ] положительно определен и ‖ · ‖ℋh +^ [h ],∞ – соот­
(−1)
ветствующая энергетическая норма, а ‖ · ‖∞ – двойственная к ней норма.
Утверждение 2.4. Пусть   ∈ h при любом  > 1. Тогда при  ∈ Θ
разностная схема (6) имеет единственное решение и верна оценка
⃦ ⃦
max066 ‖Ψ ‖ℋh +̂︀ [h ],∞ 6 ⃦Ψ0h ⃦ℋh +̂︀ [h ],∞ +
⃦ )︁
⃦ ⃦(−1)
⃦
∑︀ (︁ |̂︀|
 (−1)
 ⃦(−1)
⃦
 + 4 ⃦ 0 ⃦∞
+2 =1 ~ ‖ ‖∞ + 2    ∞
для всех  > 1. Более того, при  = 0 справедлив второй закон сохранения
⃦ ⃦
‖Ψ ‖ℋh +̂︀ [h ],∞ = ⃦Ψ0h ⃦ℋh +̂︀ [h ],∞ для всех  > 1.
⃒
Следствие 2.2. Пусть   |> = 0 при  > 1 и Ψ0h ⃒> = 0 и решение Ψ
разностной схемы (6) удовлетворяет приближенному ПГУ из (3) с  = ref .
Тогда для любых  и  > 1 имеем
)︀
∑︀ (︀  


~ 1∞
Im

Ψ
,
~
Ψ
+

̂︀

Ψ
 ·
 ·  =
ref 
=1
∞
{︁
[︁
⃦
⃦
⃦ ]︁
)︀ ⃦
(︀ 1
∑︀∞
1∞ ⃦
~2
 ⃦2
 ⃦2
⃦
= 2
   Ψ· ̃︀ + 4 −       Ψ· ̃︀ +
=+1
∞

]︁}︁
(︁
[︁⃦
)︁ (︀ 
⃦
⃦
⃦
)︀
(︀
)︀
2
2
∞


⃦   Ψ ⃦ + 1 −  ⃦ℎ     Ψ ⃦
+ 2∞
ℎ
+
Ψ
,
Ψ
.
+

̂︀
· 
· 
4
∞
h,,∞
̃︀
̃︀
∞


Для вывода ДПГУ аналитически решается вспомогательная задача на
бесконечной сетке на [, ∞) × [0,  ]. Пусть сетки   и   – равномерные.
Тогда при  ∈ Θ оператор двумерного ДПГУ ref имеет вид
(︀
)︀
ref Φ = ℱ −1 ℓ ref,ℓ ℱΦ(ℓ) ,
где ℱ и ℱ −1 – операторы прямого и обратного ДПФ по синусам по ,
ref,ℓ Φ = (−1)ℓ
|ℓ |1/2
2
−(arg ℓ )/2 (ref,ℓ * Φ) , 1 6 ℓ 6  − 1
– операторы вспомогательных одномерных ДПГУ, а * обозначает дискретную

свертку. Их ядра {ref,ℓ
}∞
=0 выражаются через полиномы Лежандра  ()
(где  () ≡ 0 при  < 0):
]︀
κℓ [︀

ref,ℓ
= − 2−1
 (ℓ ) − −2 (ℓ ) ,
κℓ = −  arg ℓ , ℓ =
ℓ =
ℓ
2∞
2(1− 2 ℓ ) 1∞
ℓ
|ℓ | ,
ℓ = 2ℓ + (1 − 4)ℎ2 2ℓ , ℓ = 2 Re ℓ + (1 − 4)ℎ2 |ℓ |2 ,
(︀ 2
)︀
2∞
ℓ 2
+ ~2∞1∞ +   ~
,

=
sin
, ℓ = 1 −  2 ℓ > 0
ℓ

2
1∞
11
и ℓ такое целое, что arg(1 − 2ℎ2 ℓ ) − arg ℓ ∈ (2ℓ , 2(ℓ + 1)).
Утверждение 2.5. Для оператора ref двумерного ДПГУ при  ∈ Θ выпол­
нены операторные неравенства (4) и (5). Как следствие для схем с ДПГУ
верны указанные выше оценки в норме 2 и в энергетической норме.
В случае 11 , 22 , ,  зависящих только от  и 12 = 21 = 0 выполнена
эффективная прямая реализация схем с применением быстрого ДПФ по  и
прогонок по . Результаты главы 2 опубликованы в работах [3, 4, 6].
В главе 3 снова рассматривается начально-краевая задача (1) для обоб­
щенного уравнения Шрёдингера на полуоси, при прежних предположениях
на коэффициенты. Практика расчетов показывает эффективность примене­
ния методов повышенного порядка точности. Однако ранее ДПГУ для МКЭ
удалось построить только в простейшем случае линейных КЭ, см. главу 1.
Вводятся элементы Δ := [−1 ,  ],  > 1 такие, что  − −1 = ℎ при
 >  и соответствующее пространство конечных элементов ℎ,∞ := { ∈
+
(R ), (0) = 0, |Δ ∈  |Δ ,  > 1}, где  – пространство полиномов
степени не выше  с комплексными коэффициентами.
Приближенное решение Ψ ∈ ℎ,∞ ,  > 0 начально-краевой задачи
(1) с помощью дискретизации Кранка-Никольсон по времени и МКЭ по про­
странству определяется интегральным тождеством
~(  Ψ , )2 (R+ ) =
~2

+
2 ( Ψ , )2 (R )
+ (  Ψ , )2 (R+ )
для всех  ∈ ℎ,∞ и  > 1. Кроме того, Ψ|=0 = Ψ0 ∈ ℎ,∞ . Этот метод
не реализуем на практике из-за бесконечности числа неизвестных на каждом
слое по времени. Тем не менее сужение решения на конечную сетку на Ω =
[0, ] можно найти с помощью вывода и применения ДПГУ при  = .
Введем пространство конечных элементов ℎ := { ∈ (Ω), (0) = 0,
}︀
|Δ ∈  |Δ , 1 6  6  на Ω и построим схему Кранка-Никольсон-МКЭ в
Ω с Ψ ∈ ℎ ,  > 0
~(  Ψ , )2 (Ω) =
~2


2 ( Ψ , )2 (Ω) + (  Ψ , )2 (Ω) −
2

− ~2 ∞ (ref
Ψ
 )() +
(  , )2 (Ω)
для всех  ∈ ℎ и  > 1, с начальным условием Ψ|=0 = Ψ0 ∈ ℎ . Здесь


ref
– оператор ДПГУ, действующий в пространстве функций Φ: 
→ C,

ℓ 
и Ψ := {Ψ }ℓ=1 . Его явное построение является основной задачей главы.
12
Слагаемое   ∈ 2 (Ω),  > 1 снова добавляется для изучения устойчивости.
Утверждение 3.1. Пусть оператор ref удовлетворяет неравенству
Im
∑︀
 
 *
=1 (ref Φ )( Φ ) 
> 0 при любых  > 1
(7)
и для всех функций Φ:   → C таких, что Φ0 = 0. Тогда при любых  > 1
для МКЭ-решения Ψ верна оценка
⃦√
⃦
⃦
⃦√
⃦ ⃦
∑︀
⃦√ ⃦
max ⃦  Ψ ⃦2 (Ω) 6 ⃦ Ψ0 ⃦2 (Ω) + ~2 
=1
 2 (Ω) .
066
Аналогичная оценка в энергетической норме, эквивалентной норме  1 (Ω),
дана в утверждении 3.2.
Для схемы Кранка-Никольсон-МКЭ на полуоси соответствующие оценки
в нормах 2 и энергетической норме доказаны в утверждениях 3.3, 3.4.
Для построения ДПГУ вводится вспомогательное ОДУ −′′ +2 = 0 на
()
R+ с параметром  ∈ C. Ищется его модельное МКЭ–решение  ∈ ∞ :=
+
{ ∈ (R ) : |[−1,] ∈  |[−1,] ,  > 1}, удовлетворяющее интегральному
тождеству
´
′ ′
R+ (  + 2 )  = 0
()
для всех  ∈ ∞ , (0) = 0, () = 0 при  >  (с некоторым  > 1).
Здесь  (0 ) задано для некоторого 0 > 0, и ищется решение со свойством
 () → 0 при  → +∞.
Необходимо решить данную МКЭ–задачу аналитически. Для этого изу­
чаются матричные пучки  + 2  и ̃︀ + 2 ̃︀ и численно решаются две обоб­
̃︀ = ̃︀ .
̃︀ Здесь  и
щенные задачи на собственные значения  = 2  и 
2
 – бисимметричные матрицы жесткости и масс эталонного элемента [−1, 1]:
 =
´1
′
′
−1  ()  () ,  =
´1
−1  ()  () ,
0 6 ,  6 ,
(︀
)︀
где { }=0 – базис Лагранжа в  такой, что  −1 + 2
 =  , причем  –
−1
̃︀
символ Кронекера, а ̃︀ = { }−1
,=1 и  = { },=1 – их подматрицы.
Справедливы следующие свойства (утверждения 3.5 и 3.6)
()
 ∈ R,
(+1)

()
()
()
()
0 = 0 < 1 6 . . . 6  ;
(+1)
6  6 +1
13
при 0 6  6  − 1;
()
 >
()2
2
̃︀() ∈ R,


при 1 6  6 ;
̃︀() 6 . . . 6
0<
1
()
lim  =
→∞
()
̃︀ ;

−1
()2
2
при фиксированном  > 0;
()
()
()
̃︀ 6 
−1 6 
+1 при 1 6  6  − 1.

()
()
Кроме того, не менее ′ = [( + 1)/2] из собственных значений {1 , . . . ,  }
(+1)
(+1)
и {1
, . . . , +1 } совпадают.
Выполняется редукция бесконечной алгебраической системы уравнений
МКЭ к системе с трехдиагональной матрицей. Последняя система решает­
ся аналитически. В итоге оператор ДПГУ находится методом производящих
функций и имеет вид дискретной свертки (утверждение 3.8)
(),
ref
(︀ ()
)︀
∑︀
(), −
Φ =  ref * Φ =  
,
=0 ref Φ
()
где ядро ref ( – порядок КЭ) само представляет собой -кратную свертку
⎧
()
()
⎨() * · · · * ()
при  = 2′ − 1
1
′ * 1 * · · · * ′ −1
()
ref =
()
()
⎩() * · · · * ()
()
при  = 2′ .
1
′ * 1 * · · · * ′ * 
Последовательности в ней выражаются через полиномы Лежандра  :
(), 
ℓ
κ
ℓ
≡  (κℓ , ℓ ) = − 2−1
[ (ℓ ) − −2 (ℓ )] при 1 6 ℓ 6 ′ ,
(), 
ℓ
≡  (̃︀
κℓ , 
̃︀ℓ ) = κ
̃︀ ℓ  (̃︀
ℓ ) при 1 6 ℓ 6 [/2],
(),  = 0 +  1 ,
где коэффициенты зависят от  и имеют вид
(︀
)︀
2ℓ−1
2ℓ−1
κℓ = − exp  2ℓ−2 +
, ℓ = cos 2ℓ−2 −
при 1 6 ℓ 6 ′ ,
2
2
(︀
)︀
κ
̃︀ ℓ = − exp  ̃︀2ℓ−12+̃︀2ℓ , 
̃︀ℓ = cos ̃︀2ℓ −2̃︀2ℓ−1 при 1 6 ℓ 6 [/2],
()
()
 = arg
+
* +

̃︀ = arg
() ,

̃︀
+

,
*
̃︀()
 +

=
ℎ2 ∞
~2 ∞
2
∞
+  2ℎ
 ~∞
()
̃︀()
с введенными выше собственными значениями и 
 =  для четных .
Явный вид постоянной  опускается.
Утверждение 3.9. Для оператора ref ДПГУ для схемы МКЭ с любым 
выполнено неравенство (7) и, следовательно, для МКЭ-решения верна выра­
жающая устойчивость оценка в норме 2 .
Справедлива также оценка МКЭ-решения в энергетической норме.
14
Для последовательностей  и  верны рекуррентные равенства
 =
2−3

κ  −1 −
−3

κ 2 −2 ,  =
2−1

κ  −1 −
−1

κ 2 −2
при  > 2, с начальными значениями 0 = 0 = 1 и 1 = −1 = −κ .
Рис. 1 наглядно иллюстрирует эффективность применения МКЭ высокого
порядка с ДПГУ (он соответствует ~ = 1,  = 1 и  = 2). Результаты главы
3 опубликованы в работах [2, 5, 7, 9].
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n = 10
0
10
−1
−1
max ELm2
−2
10
−2
10
−3
−3
10
10
−4
−4
10
10
10
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
10
1≤m≤M
1≤m≤M
max ELm2
10
0
10
15
20
25
30
35
J
40
45
50
55
180
60
330
J
480
630
780
(б) при 60 6  6 780
(а) при 10 6  6 60
Рис. 1. Максимальные по 1 6  6 3000 абсолютные погрешности в норме 2 для МКЭ
в случае  = 1, . . . , 10 в зависимости от числа элементов  при  = 2 · 10−6 . Потенциал
 ≡ 0, а начальная функция – гауссова волна с волновым числом  = 100
В главе 4 снова рассматривается начально-краевая задача (2) для обоб­
щенного уравнения Шрёдингера в полуполосе. Запишем ℋ в виде ℋ = ℋ0 + .
Используется разложение потенциала  (, ) = ̃︀ () + Δ (, ), где ̃︀ () =
∞ при  > 0 . В простейшем случае ̃︀ () ≡ ∞ , а Δ (, ) =  (, ) − ∞ .
На основе схемы без усреднений (с  = (0, 0)) из главы 2 строится трех­
шаговая схема с симметризованным расщеплением по потенциалу (типа
Стренга) второго порядка аппроксимации
−Ψ−1
=
 /2

̃︀ 
~h Ψ −Ψ̆
 ̃︀ 
~h Ψ −/2Ψ =
~h Ψ̆

Δh Ψ̆

+Ψ−1
2
на (ℎ ∪  ) ×  ,

̃︀ 
= (ℋ0h + ̃︀ℎ ) Ψ +2 Ψ̆ на h ,
Δh Ψ

̃︀ 
+Ψ
2
на (ℎ ∪  ) ×  ,
с краевыми и начальным условиями
̃︀  |Γ = 0, Ψ |Γ = 0,
Ψ̆ |Γh = 0, Ψ
h
h
2
̃︀  на  ,
̃︀ Ψ̆) = ~ 1∞   Ψ
Γ (Ψ,


2
Ψ0 = Ψ0h на  h
15
⃒
̃︀ Ψ̆) = Γ (Ψ,
̃︀ Ψ̆)⃒
и
для всех  > 1. Здесь ℋh |=(0,0) = ℋ0h + h , Γ (Ψ,
=(0,0)
̃︀ и Ψ̆ – вспомогательные, а Ψ – основная искомая.
Δh := h − ̃︀ℎ . Функции Ψ
Кроме того, Γh := {(0,  ), 1 6  6  − 1} ∪ {( , 0), ( ,  ), 0 6  6 } –
часть границы  h без искусственной части.
Утверждение 4.1. Пусть оператор  удовлетворяет неравенству (4). То­
гда для решения разностной схемы с расщеплением по потенциалу при лю­
бых  > 1 верна оценка
⃦
∑︀ ⃦
√
√
⃦ √  ⃦
2

0
max ‖ h Ψ ‖h 6 ‖ h Ψh ‖h + ~ =1 ⃦ h ⃦  .
066
h
Для схемы с расщеплением оператор ДПГУ ref совпадает с использо­
ванным в главе 2 при  = (0, 0) и удовлетворяет неравенству (4).
Шаги 1 и 3 реализуются по простым явным формулам


−1
Ψ̆ = ℰ Ψ

 ̃︀ 
, Ψ =ℰ Ψ , ℰ

:=

1− 4~
Δh
h

1+ 4~
Δh
на (ℎ ∪  ) ×  .
h
Основной шаг 2 при 11 , 22 ,  зависящих только от  и 12 = 21 = 0 реали­
зуется следующим образом: применяется ДПФ по переменной  к уравнению
̃︀ () и Ψ̆() получают­
шага 2 и ДПГУ. Для коэффициентов Фурье решения Ψ
ся не связанные между собой одномерные разностные уравнения Шрёдингера
с ДПГУ на -ом слое
(︀
() )︀
()
2
̃︀ ()
̃︀ ()
+ ̃︀ Ψ +2 Ψ̆
на ℎ ,
= − ~2 ̂︀ 11ℎ   Ψ +2 Ψ̆
⃒
̃︀ () ⃒
Ψ
= 0,
=0
{︁ 2
[︁
]︁}︁⃒
()
()
̃︀ () +Ψ̆()
̃︀ () −Ψ̆()
̃︀
⃒
Ψ
~
ℎ
Ψ
Ψ
+
Ψ̆
− 2 ~∞
=
− ̃︀
⃒
2 1∞  
2

2
=
(︀
)︀
2
1
̃︀ () 
 * Ψ
= ~2 1∞ 2ℎ

̃︀ () −Ψ̆()

~ℎ Ψ
{︀ 1()
}︀
̃︀ () = Ψ
̃︀ , . . . , Ψ
̃︀ () , со вспомогательными потен­
для всех  > 1, где Ψ



~2
̃︀
̃︀
циалами  := 2 2∞  +  при 1 6  6  − 1.
Такой алгоритм примени́м для любого потенциала  =  (, ) и требует
(( log2  + )) операций для вычисления решения на –м временном
слое и (( log2  +  ) ) операций для вычисления решения на  вре­
менных слоях  = 1, . . . ,  . Здесь  = 2 ,  – целое. На рис. 2 представлен
один из соответствующих численных примеров, где ~ = 1,  = 1 и 21 B –
единичная матрица.
16
(а) при  = 0
(б) при  = 0.0162
Рис. 2. Пример В. Модуль и вещественная часть численного решения задачи с потенциалом
 =  ,  = 1500,  = (1.6, 1.7) × (1.3125, 1.4875) (характеристическая функция  типа
«колонны» изображена в центре) в моменты времени 0 = 0 и  = 0.0162. Начальная
функция – гауссова волна с волновым числом  = 30
В заключении сформулированы основные результаты диссертации.
Основные результаты работы состоят в следующем. Для численного
решения начально–краевых задач для обобщенного нестационарного уравне­
ния Шрёдингера в неограниченных областях – на полупрямой и в полуполосе
– изучены: 1) новые широкие семейства разностных схем с усреднением по
пространству; 2) МКЭ произвольного порядка (в случае полупрямой); 3) раз­
ностная схема с расщеплением по потенциалу (в случае полуполосы). Для
этих методов: 1) доказаны теоремы о равномерной по времени устойчивости
как в 2 , так и в энергетической норме, по начальным данным и правой части
при общем приближенном ПГУ; 2) выведены новые дискретные ПГУ, дока­
зана равномерная по времени устойчивость методов с дискретными ПГУ и
получены соответствующие законы сохранения; 3) выполнена программная
реализация и проведены серии численных экспериментов.
При этом существенно развита техника исследования устойчивости мето­
дов с приближенными и дискретными ПГУ. Разработана новая естественная
форма записи дискретных ПГУ, значительно упрощен и сделан строгим их
вывод. Вычислительные эксперименты позволили дополнить теоретические
результаты, выполнить сравнение методов и дать подробный практический
анализ их погрешности.
17
Основные публикации по теме диссертации
1. Злотник А.А., Злотник И.А. Об устойчивости семейства разностных схем
с приближенными прозрачными граничными условиями для уравнения
Шрёдингера на полуоси // Вестник МЭИ. 2008. № 6. С. 31–45.
2. Злотник А.А., Злотник И.А. Метод конечных элементов с дискретными
прозрачными граничными условиями для одномерного нестационарного
уравнения Шрёдингера // Докл. АН. 2012. Т. 447, № 2. С. 130–135.
3. Злотник И.А. Об устойчивости семейства разностных схем с приближенны­
ми прозрачными граничными условиями для нестационарного уравнения
Шрёдингера в полуполосе // Вестник МЭИ. 2009. № 6. С. 127–144.
4. Злотник И.А. Компьютерное моделирование туннельного эффекта // Вест­
ник МЭИ. 2010. № 6. С. 118–125.
5. Злотник И.А. О двухслойном методе Галёркина для уравнения Шрёдинге­
ра // Труды XIX Межд. научно-техн. конф. «Информационные средства
и технологии». Т. 1. Изд. дом МЭИ, 2011. С. 215–223.
6. Злотник И.А. Семейство разностных схем с приближенными прозрачны­
ми граничными условиями для обобщенного нестационарного уравнения
Шрёдингера в полуполосе // ЖВМиМФ. 2011. Т. 51, № 3. С. 384–406.
7. Злотник И.А. О применении МКЭ с дискретными прозрачными граничны­
ми условиями для нестационарного уравнения Шрёдингера на полуоси //
Труды XX Межд. научно-техн. конф. «Информационные средства и тех­
нологии». Т. 1. Изд. дом МЭИ, 2012. С. 172–178.
8. Ducomet B., Zlotnik A., Zlotnik I. On a family of finite-difference schemes
with discrete transparent boundary conditions for a generalized Schrödinger
equation // Kinetic and Related Models. 2009. V. 2, № 1. P. 151–180.
9. Zlotnik A., Zlotnik I. Finite element method with discrete transparent bound­
ary conditions for the time-dependent 1D Schrödinger equation // Kinetic and
Related Models. 2012. V. 5, № 3. P. 639–667.
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
754 Кб
Теги
численные, областям, решение, уравнения, обобщенного, неограниченных, метод, шрёдингера, нестационарные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа