close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Модельные представления процесса теплопроводности в области с движущейся границей.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Кротов Герман Сергеевич
Модельные представления процесса
теплопроводности в области с движущейся
границей
Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Москва 2013
2
Работа выполнена на кафедре «Высшей и прикладной математики» ФГБОУ
ВПО Московского Государственного Университета тонких химических
технологий имени М.В. Ломоносова.
Научный руководитель
Заслуженный деятель науки РФ, доктор
физико-математических наук, профессор
Карташов Эдуард Михайлович
Официальные оппоненты:
Чернова Татьяна Александровна
доктор технических наук, профессор
кафедры «Электроники и информатики»
«МАТИ – Российского государственного
технологического университета имени К.Э.
Циолковского (МАТИ)»
Ломовской Виктор Андреевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий Лабораторией
структурообразования и дисперсных систем
Института Физической химии и
электрохимии РАН
Ведущая организация:
Защита
состоится
диссертационного совета
Московский
авиационный
институт
(Национальный
исследовательский
университет).
21
ноября
2013
года
в
14.00
на
заседании
Д.212.110.08 при «МАТИ – Российском
государственном технологическом университете имени К.Э. Циолковского
(МАТИ)» по адресу: 121552, г. Москва, ул. Оршанская, д.3.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «МАТИ – Российского
государственного технологического университета имени К.Э. Циолковского
(МАТИ)» по адресу: 121552, г. Москва, ул. Оршанская, д.3.
Автореферат разослан ___________________2013 г.
Учёный секретарь
диссертационного совета Д.212.110.08
кандидат физико- математических наук
Спыну Марина Валерьевна
3
Общая характеристика диссертации.
Диссертация посвящена исследованию математических моделей тепловых процессов
в областях с подвижными во времени границами и возникающих в этих областях
температурных напряжений.
В диссертации сосредоточено основное внимание на модельных представлениях
процесса
теплопроводности
в
областях
с
движущимися
во
времени
границами,
функциональных конструкциях в качестве аналитических решений для конкретных законов
движения границы, простых примерах иллюстративного и содержательного характера. В
связи с этим в диссертации не рассматриваются вопросы качественной теории уравнений
параболического типа, асимптотические подходы. Развитые в работе подходы позволили
рассмотреть важную для физической теории прочности материалов проблему теплового
удара в терминах динамической термоупругости при наличии движения во времени границы
области термонапряженного состояния по линейному закону yt   l  vt и закону yt    t ,
где l , v,  — постоянные. Построены многочисленные графики и произведён сравнительный
анализ термонапряженных состояний для этих типов областей.
В литературе принято называть область нецилиндрической, если хотя бы одна из частей
её границы движется во времени. Если границы области не меняют во времени своей формы,
то область называют цилиндрической.
Актуальность работы
До последнего времени в работах, посвященных данной тематике, предполагалось, что
геометрия тела остается неизменной с течением времени. Однако во многих практически
важных ситуациях это предположение о неизменности во времени геометрии тела не
выполняется и возникает необходимость развивать модельные представления задач
теплопроводности и термомеханики в областях с движущимися во времени границами, то
есть находить температуры, напряжения и деформации в этих областях. Стоит отметить, что
краевые задачи для этих случаев чрезвычайно сложны, и для их аналитического решения
классические методы математической физики оказываются неэффективными, так как не
удается согласовать решение параболического уравнения с движением границы. В
результате остро актуальной становится проблема создания нового математического
аппарата, позволяющего находить аналитические решения вышеуказанных модельных задач
для различных законов движения границы. Указанная проблема определила направление
исследований. И хотя работы академиков Лыкова А.В., Тихонова А.Н., Самарского А.А.,
4
Гринберга Г.А. и его сотрудников (Чекмарева О.М., Косс В.А.), Карташова Э.М. и других
заложили в этой области прочный фундамент, мы все же ещё находимся в начале пути.
Краевые задачи теплопроводности в нецилиндрической области, рассматриваемые в
диссертации, включают случаи, когда движение границы области задано, а также случаи,
когда это движение требуется определить из дополнительных условий задачи (условие
Стефана
T x, t 
dy
 A , t  0 , выражающее баланс энергии при переходе среды из
x x  y t 
dt
одного агрегатного состояния в другое, или типа Стефана
T x, t 
 t , t  0 в более
x x  y t 
общих задачах для уравнения теплопроводности с движущейся во времени границей). В
качестве приложений развитых методов рассмотрена динамическая реакция для упругого
полупространства на тепловой удар.
Цель работы
Цель диссертации — развитие модельных представлений процессов теплопроводности
и термоупругости в областях с движущимися во времени границами. Это достигается путём
развития
методов
нахождения
точных
аналитических
решений
краевых
задач
теплопроводности и термоупругости для этих указанных областей, получением новых
функциональных конструкций в качестве аналитических решений для конкретных законов
движения границы, построением точных решений в областях с границей, движущейся по
закону yt    t , проведением соответствующих численных экспериментов, развитием
численных методов и построения комплекса программ для нахождения корней ряда сложных
трансцендентных уравнений, возникающих при нахождении аналитических решений в
областях с границей, движущейся по закону yt    t .
Научная новизна
Развит метод функции Грина для областей нецилиндрического типа. Установлена
разница в постановке краевых задач для областей канонического типа и областей
нецилиндрического типа.
Получены точные аналитические решения указанных краевых задач теплопроводности


в области  t  x   t , t  0 с помощью метода функции Грина.
Численно решена проблема нахождения нецелых корней p n уравнения D p z   0
( z  D p   — специальная функция параболического цилиндра) при фиксированном
5
значении аргумента и построена таблица первых 10 корней этого уравнения с точностью до
седьмого знака после запятой для каждого z с шагом 0,1 в интервале от 0 до 10 с помощью
программы, написанной в среде Mathcad.
В результате рассмотрения проблемы теплового удара при температурном нагреве
z  l  vt , t  0 , v  const
упругих полупространств
и
z   t , t 0,
  const в
квазистатическом случае выведена точная формула для этих напряжений, когда граница
движется по закону z   t .
Практическая значимость
В диссертации разработан математический аппарат, позволяющий получать важную
информацию об особенностях теплового и термонапряженного состояния, возникающего в
упругих твердых телах, подвергающихся резким термическим воздействиям, в том числе при
изменении геометрических размеров тел. Развитые подходы позволили рассмотреть важную
для физической теории прочности проблему теплового удара в терминах динамической
термоупругости при наличии движения границы. Изученные в диссертации закономерности
могут быть использованы при разработке методов применения лазеров в технологических
операциях и при производстве самих лазероактивных материалов; при исследовании синтеза
и свойств высокопрочных термостабильных полимеров и эластомеров; при изучении
термоупругих и динамических эффектов в проводниках и диэлектриках; при исследовании
термических напряжений, возникающих в космических аппаратах при вхождении в плотные
слои атмосферы и разработке термостойких покрытий для них, способных выдерживать
экстремальные термические воздействия, в геологических породах, нефтеносных пластов;
при изучении распространения термоупругих волн в мантии Земли; в реакторостроении и
ядерной энергетике — как при проектировании реакторов, так и при математическом
моделировании аварий на них; а также в ряде других фундаментальных и прикладных
исследований.
Большую
практическую
ценность
работа
имеет
для
исследования
термических эффектов при распространении трещин, когда на берегах распространяющейся
трещины (область с движущейся границей) задается постоянная температура, приводящая к
разрушению материалов, механизмов или летательных аппаратов; при исследовании
процессов плавления электрических контактов; при изучении процесса горения, воздействия
электрической дуги на контакты; при исследованиях промерзании растворов, грунтов; при
исследовании кинетического роста кристаллов. Разработанные методы решения краевых
задач могут найти применение в разных областях техники, связанных с авиацией и
космическими исследованиями, в химической технологии и других сферах деятельности
6
человека, например, в МФТИ, ИПМ РАН, РНЦ «Курчатовский институт» и других научных
центрах и организациях, а также при обучении магистров и студентов, обучающихся по
направлению (специальности). Результаты диссертации, касающиеся краевых задач в
областях с движущимися границами, используется в учебном курсе «Прикладная
термомеханика» в ФГБОУ ВПО Московского Государственного Университета тонких
химических технологий имени М.В. Ломоносова при обучении специалистов по
направлению «Прикладная математика» (специализация «Математическое моделирование»).
Апробация работы
Материалы
диссертации
докладывались
на
Международной
конференции
"Математические модели физических процессов" (Таганрог, 2007 г.), на Международной
научно – технической конференции "Повышение эффективности теплообменных процессов
и систем" (Вологда, 2005 гг.), на городском семинаре по проблемам тепломассопереноса в
МИТХТ им. М.В. Ломоносова (2000-2011 гг.), на 3-й Российской национальной конференции
по теплообмену (Москва, 2002 г.), на 5-й Российской национальной конференции по
теплообмену (Москва, 2010 г.).
Личный вклад автора
Автор принимал участие на всех стадиях работы: в постановке проблемы и цели
исследования, в разработке теоретических подходов при выполнении основной части
работы, в обобщении и анализе полученных результатов.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 9 работ.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка цитируемой
литературы. Работа содержит 181 страницу машинописного текста, 32 рисунка, список
литературы из 410 наименований.
7
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Использование
метод
функции
Грина
для
областей
нецилиндрического типа.
цилиндрического

и

2. Метод отыскания функции Грина в области  t  x   t , t  0 . Определение её
аналитического вида для первой и второй краевых задач. Дан анализ частных
случаев, который приводит к выявлению локальных максимумов температурной


функции в области  t  x   t , t  0 .
p n уравнения D p z   0 при
3. Решена проблема нахождения нецелых корней
фиксированном значении аргумента. В результате рассмотрения получена Таблица
первых 10 корней этого уравнения с точностью до седьмого знака после запятой для
каждого z с шагом 0,1 в интервале от 0 до 10.
4. Показана эквивалентность решений задачи Стефана, полученных методом
дифференциальных рядов и методом обобщенного интегрального преобразования,
что
расширяет
возможность
использования
решений
в
различного
рода
приложениях.
5. Рассмотрены математические модели термоупругости и проблема теплового удара в
области, границы которой неподвижны во времени, области Gt  {z  l  vt; t  0} и


области  t  x   t , t  0 .
6. Установлено влияние движения границы на поведение основной компоненты
тензора напряжения  zz
для упругого полупространства, граница которых
неподвижна или движется по линейному закону.
7. Рассмотрено
поведение
компонент
 xx   yy
тензора
напряжений
в
полуограниченных областях с неподвижной границей и с границей, движущейся по
линейному закону. Приводятся их точные решения. Проведен анализ компонент  zz
и  xx   yy в этих областях.
8. Дано описание термической реакции упругих полупространств z  l  vt , t  0 ,
v  const и z   t , t  0 ,   const в квазистатическом случае и выведены
аналитические формулы для различных компонент тензора напряжений при
температурном нагреве в частично ограниченной области, когда граница движется
по закону z   t .
8
Краткое содержание диссертации
Во введении обоснована актуальность исследования, приведен перечень практических и
теоретических ситуаций, изложены цели диссертационной работы и сформулированы
возникающие при этом задачи; показана научная новизна и практическая значимость
полученных результатов.
В первой главе даётся постановка краевой задачи нестационарной теплопроводности в
нецилиндрической области, приводится обзор современных аналитических методов решения
краевых задача нестационарной теплопроводности. Приведены две теоремы об основных
свойствах тепловых потенциалов, причем первая доказывается для общего случая движения
границы области, а вторая для случая yt   l  vt .
Во второй главе рассматривается метод функции Грина как для канонических
областей, так и для областей нецилиндрического типа. Объясняется разница в постановках
краевых задач для функций Грина для этих областей. Показывается, что в областях с
движущимися границами не сохраняется эквивалентность в записи граничных условий в
постановках задач для функции Грина Gx, t , x' ,  по
x, t 
и
 x' ,  
в отличие от
цилиндрических областей.
Для температурной функции T M , t  в цилиндрической (канонической) области,
удовлетворяющей условиям указанной ниже задачи:
T M , t 
1
 aT M , t  
f M , t , M x, y, z   D, t  0,
t
c
T M , t  t 0   0 M , M x, y, z   D,
1
(1)
T M , t 
  2T M , t    3 M , t , M x, y, z   S , t  0,
n
рассмотрены 1-я, 2-я и 3-я краевые задачи в зависимости от условий на границе: если
параметрам 1, 2 и 3 задать значения 1= 0, 2= –3= 1 — в случае первой краевой задачи,
2= 0, 1= 3= 1 — в случае второй краевой задачи, 1= 1, 2= 3= –h (h — относительный
коэффициент теплообмена) в случае третьей краевой задачи.
В силу принципа суперпозиции, справедливого для линейных задач теплопроводности,
можно записать интегральное представление для T M , t  в виде
 T
G 
 dd P 
T ( M , t )    0 ( P)G ( M , P, t ,0)dVP  a    G
T

n

n
P
P  P S
D
0 S 
t
1

c
t
  F ( P, )G(M , P, t , )dV d ,
P
0
D
(2)
9
если известна соответствующая функция Грина GM , P, t ,  для данной области как решение
более простой задачи для однородного уравнения, соответствующего задаче (1) с
однородными граничными условиями того же вида, что и для исходной задачи
G( M , P, t , )
 a M G( M , P, t , ),
t
M ( x,y,z   D, t   ,
(3)
G(M , P, t , ) t   (M , P), M ( x,y,z   D, P( x,y,z   D,
1
(4)
G( M , P, t , )
  2G( M , P, t , )  0, M ( x,y,z   S , t   .
nM
(5)
Здесь M , P  — дельта-функция Дирака. Если рассматривать GM , P, t ,  как функцию
точки P и времени , то для нахождения функции GM , P, t ,  следует решать
эквивалентную задачу для сопряженного уравнения
G( M , P, t , )
 a P G( M , P, t , )  0,

P( x,y,z   D,   t ,
(6)
G(M , P, t , ) t   (M , P), P( x,y,z   D, M ( x,y,z   D ,
(7)
1
G(M , P, t , )
  2G( M , P, t , )  0, P( x,y,z   S ,   t .
nP
(8)
Если область D ограничена, то функция Грина имеет вид
 n ( M ) n ( P)  a
e
2
n
n 1

G(M,P,t,) = G(M,P,t-) =

2
n ( t  )
,
(9)
где  n (M ) и  n — собственные функции и собственные значения соответствующей
однородной задачи для (6)—(8) (задача Штурма-Лиувилля)
Пусть теперь область t имеет вид t = {(x,t): x > y(t), t  0}, где y(t) — непрерывно
дифференцируемая функция. Тогда T(x,t) — температурное поле в области t может быть
найдено в результате решения задачи
T
 2T
 a 2  f ( x, t ), x  y (t ), t  0;
t
x
(10)
T ( x, t ) t 0   0 ( x), x  y(0), y(0)  0 .
(11)
с граничными условиями первого рода T ( x, t ) x y t   (t ), t  0 , второго рода
T ( x, t )
x
 (t ), t  0 или третьего рода
x  y t 
T x, t 
 hT x, t   (t )  x y t  , t  0 . Для всех
x x  y t 
10
случаев T ( x, t )  . Здесь f ( x, t )  C 0 (t );  0 ( x)  C1 (t );  (t ) C 0 [0;); искомое решение
T ( x, t )  C 2 (t )  C 0 (t ) ; grad x T ( x, t )  C 0 (t ) .
Функция Грина Gx, t , x' ,  — функция температурного влияния мгновенного
точечного теплового импульса мощности Q  c в точке x ' в момент времени  .
Для функции Грина G( x, t , x ,  ) по переменным (x',) имеем следующую задачу
G
 2G
 a 2 ,

x
x  y(),
G( x, t , x, )  t   ( x  x),
  t;
(12)
x  y( ) .
(13)
с краевыми условиями в случае первой краевой задачи G( x, t , x, ) x y ( )  0,   t ; в случае
 G 1 dy 

G
 0,   t или в случае третьей краевой задачи
второй краевой задачи 
 x a d  x y ( )
 G 
1 dy  
 h 
 0,   t . Во всех случаях G( x, t , x, )   .

G 
a d   x y ( )
 x 
Основная формула, дающая интегральное представление аналитического решения уравнения
(10) в области t  x, t  : x  yt , t  0 для всех типов краевых условий имеет вид:

T ( x, t ) 
 T ( x, )G( x, t , x, ) 
0
dx 
y (0)

 T
 G 1 dy  
 a   G
T

G  
d   d  G ( x, t , x, ) f ( x, )dx .



x

x
a
d





0
0
y ( )
x y ( )
t
t
(14)
Построение функции Грина Gx, t , x' ,  для второй и третьей краевых задач, если исходить
из постановки задачи по переменным
 x' ,   ,
представляет серьёзные трудности и для
большинства законов движения границы технически не осуществимо. Если исходить из
постановки
задачи
по
переменным
x, t  ,
то
ситуация
существенно
упрощается.
Действительно, рассмотрим, функцию Gx, t , x' ,  , определяемую условием
G
2 G
a 2,
t
x
G( x, t , x, )
t 
x  y(t ),
t  ;
 ( x  x), x  y() .
(15)
(16)
11
в случае первой краевой задачи G( x, t , x, )
G
x
x y (t )
x y (t )
 0 , t   ; в случае второй краевой задачи
 G

 hG 
 0 , t   . Во всех
 0 , t   ; в случае третьей краевой задачи 
 x
 x y (t )
случаях G( x, t , x, )   . Во §2 второй главы доказывается, что Gx, t , x' ,   Gx, t , x' ,  .
Таким образом, функция G( x, t , x, ) может быть получена как решение какой-либо из
двух эквивалентных задач для уравнений (12) и (15) с соответствующими им краевыми
условиями, приведенными выше. Из сказанного следует, что в областях с движущимися
границами не сохраняется эквивалентность в записи граничных условий в постановках задач
по ( x, t ) и ( x, ) в отличие от классических цилиндрических областей.
Искомые интегральные представления для аналитических решений
ограниченной
t  x, t  : 0  x  yt , t  0
области
и
T x, t 
полуограниченной
в
области
t  x, t  : x  yt , t  0 имеют вид
T ( x, t ) 
y 2 0 
2
 T ( x, )




T
(
x
,
0
)
G
(
x
,
t
,
x
,
0
)
d
x

a
 i 2T ( x, ) 
i1



x

i  0 0 
y1 0 
t
 G ( x, t , x, )

   i1
  i 2G ( x, t , x, ) 
d,
x

 x yi (  )
(17)
где
i1   i 2  0; i 2   1 ;  i1  1 — первая краевая задача;
i 1
i 2   i1  0; i1   1 ;  i 2  1 — вторая краевая задача;
i 1
i1   1 ; i 2  hi ;  i1  0;  i 2  1 — третья краевая задача.
i
Из (17) нетрудно получить аналогичные представления и для области  yt ,  ; t  0 ;
x'  y2    с учетом того, что при этом функции T и G и их производные по x '
стремятся к нулю.
Формула (17) позволяет в следующей главе построить точные аналитические решения


первой и второй краевых задач в области  t  x   t , t  0 .
В
третьей
главе
приведены
постановки
первой
и

второй
краевых

задач
нестационарной теплопроводности и их решения в области  t  x   t , t  0 , записанные
в интегральной форме через функции Грина. Указывается метод отыскания функций Грина,
а затем приводится их аналитический вид для первой и второй краевых задач.
Действительно, функция Грина для этих задач удовлетворяет условиям
12
G
 2G
 a 2 ,  t  x  , t  0 ;
t
x
Gx, t , x' ,  t    x  x',    x   ;
Gx, t , x' ,  

 1Gx, t , x' ,    2

x

 x 
(18)
(19)
 0, t    0 ; Gx, t , x' ,   ,  t  x  , t  0 . (20)
t
При 1  1, 2  0 получаем первую краевую задачу, при 1  0, 2  1 — вторую краевую задачу.
Формулируется и доказывается теорема.
Теорема. Задача
d 2W x 
dW x 
 a1
 a2W x   A  x  x', x  0 ;
2
dx
dx
W  x  x 0  0 ; W  x  x   0 ,
(21)
(22)
где ai  const i  1,2 , эквивалента следующей
d 2W x 
dW x 
 a1
 a2W x   0, x  0 ;
2
dx
dx
(23)
W  x  x 0  0 ; W  x  x   0 ;
(24)
W x  x x '0  W x  x x '0 ;
dW x 
dW x 

 A  ,
dx x x '0
dx x x '0
(25)
то есть решения задач (21)—(22) и (23)—(25) совпадают.
Используя эту теорему, в главе 3 выводится аналитический вид функций Грина задач
(18)—(20) и показывается, что они могут быть представлены в двух формах: в интегральной
форме и форме ряда.
В случае первой краевой задачи функция Грина может быть выписана:
в интегральной форме
13
G  x, t , x ' ,   
e
1  x ' 2 x 2

8 a  
t


 i

4i a

D p 1  



D p 1 

 Г p  1D
 p 1
 i
 x' 

x

 D p 1  
2at
 2a 

 

 x
2a 
D p 1 
 
 2at

2a 


 p ln
e




 

(26)
t

dp
или в виде ряда
  
D pn 1  

e
2a 

G x, t , x' ,   

 Г pn  1  
2 a n1
  

 D p 1 
p  n  2a  p  p
n
1  x '2 x 2

8 a  
t





x
 x' 

 D pn 1 
 D pn 1  
2at
 2a 

(27)
pn
 t  2
  ,
  
где p n — нецелые корни уравнения
  
D p 1 
  0.
 2a 
(28)
В случае второй краевой задачи функция Грина может быть выписана:
в интегральной форме
G x, t , x' ,  



 c i

e
4i a
D p   0 
D p  0 
1  x '2 x 2

8 a  
t

  p  1 D
 p 1
c i
 x
D p 1 
 2at

 x'
 D p 1 

 2a

x
 
2at


 

(29)
p
2
 t 
  dp
  
или в виде ряда
  
D p n  

e
 x 
 x'
2a 

G x, t , x' ,  
 pn  1
D pn 1 
D pn 1 

2 a n1
 2at 
 2a
 
  

 D p 
p 
 2a   p  p
1  x '2 x 2

8 a  
t





pn
 t  2
  , (30)
  
n
где p n — нецелые корни уравнения
  
D p 
0.
 2a 
В §5 главы 3 рассмотрена проблема нахождения нецелых корней p n уравнения
D p z   0
(31)
(32)
14
при фиксированном значении аргумента z . Как несложно заметить, зная корни уравнения
(32) при фиксированном значении аргумента z , можно легко получить корни уравнений (28)
и (31), значения которых необходимо знать, чтобы построить функции Грина первой и
второй краевых задач в виде ряда.
Приводится график функции D p z  (рисунок 1) при действительных значениях
переменных p и z для того, чтобы понять поведение этой функции.
D p z 
p
z
Рисунок 1. График функции параболического цилиндра D p z  в зависимости от
действительного p в интервале от 0 до 25 и действительного z в интервале от 0 до 10.
Легко заметить, что при возрастании аргумента z колебание функции увеличивается, и
амплитуда этих колебаний растёт очень быстро.
Для отыскания корней уравнения (32) использовался метод половинного деления.
Используя этот метод, автором была написана программа для отыскания корней в
программной среде Mathсad 11.0a.
15
rootD  a  b  z   n  0
a1  a
b1  b
while a1  b1 

2
nn1
middle 
a1  b1
2
a1  middle if sign ( D( a1  z) )
sign ( D( middle z) )
b1  middle if sign ( D( b1  z) )
sign ( D( middle z) )
 middle 
 n 


 a1 
 b1 
 D( a1  z) 


 D( b1  z) 
Здесь D p, z  — функция параболического цилиндра, sign z  — функция знака.
Аргументами определяемой функции rootDa, b, z,   являются: a — левая граница отрезка,
где находится отыскиваемый корень уравнения (32), b — правая граница отрезка, где
находится отыскиваемый корень уравнения (32), z — фиксированное значение аргумента
функции параболического цилиндра D p z  , при котором решается уравнение (54),  —
погрешность вычисления. Значением функции rootDa, b, z,   является вектор размера 1х6.
Его первой координатой является середина последнего интервала, получающегося в
результате делений отрезков пополам, в котором находится отыскиваемый корень. Второй
координатой является количество делений исходного отрезка, третьей — левая граница
последнего отрезка, четвертая — правая граница последнего отрезка, пятая — значение
функции параболического цилиндра D p z  на левой границе последнего отрезка, шестая —
значение этой функции на правой границе последнего отрезка.
На рисунках 2 и 3 приведены графики функции D p z  при z  0.5 и при z  1 .
16
D p z 
p
Рисунок 2. График функции параболического цилиндра D p z  при z  0.5 в
зависимости от действительного p в интервале от 0 до 25.
D p z 
p
Рисунок 3. График функции параболического цилиндра D p z  при z  1 в
зависимости от действительного p в интервале от 0 до 25.
Далее в этой главе построена таблица первых 10 корней уравнения (32) с точностью до
седьмого знака после запятой для каждого z с шагом 0,1 в интервале от 0 до 10.
17
z
p1
p2
p3
…
p7
0,1
1,0817496
3,1216944
5,1516245
7,1765615
13,2360156
15,2527293 17,2683983 19,2831968
p8
0,2
1,1674515
3,2474369
5,3073019
7,3571803
13,4760908
15,5095182 17,5408562 19,5704531
0,3
1,2571485
3,3772190
5,4670482
7,5418695
13,7202351
15,7703756 17,8173819 19,8617765
0,4
1,3508809
3,5110918
5,6308788
7,7306421
13,9684580
16,0353102 18,0979836 20,1571750
0,5
1,4486867
3,6490658
5,7988093
7,9235111
14,2207688
16,3043307 18,3826696 20,4566563
…
…
…
…
…
…
…
p9
…
p10
…
9,7
29,9669726 35,4689880 40,1547642 52,2501949
55,9258545
59,4875355 62,9670319 66,3068749
9,8
30,4988793 36,0323776 40,7430228 52,8964401
56,5882642
60,1653036 63,6537034 67,0354127
9,9
31,0356542 36,6005608 41,3360246 53,5473278
57,2552160
60,8463446 64,3479075 67,7439982
10,0 31,5772987 37,1735398 41,9337720 54,2028892
57,9276483
61,5360962 65,0576091 68,5563119
В §6 приведен пример использования метода Грина для конкретной задачи,
аналитические решения и графики, которой приведены в безразмерных переменных
z
x
at

, Fo  2 ,  
,W z, Fo  T x, t  ,
l
l
a
(33)
где l — масштабная единица длины.
Постановка этой задачи имеет следующий вид
W  2W

,  Fo  z  , Fo  0 ;
Fo z 2
W z, Fo Fo0  0, z  0 ;
W z, Fo z  
Fo
Fo,0  Fo  1

;
0, Fo  1
(34)
W z, Fo   ,
(35)
а её решением является функция

 z 

1  2 z 2  D3 


 
2
Fo
8 
Fo 

 ,0  Fo  1
Fo  e

  
D 3 


2



W  z , Fo  
 z 
 1 2 z2 
D pn 1 

pn
   
 8  Fo 
1
2Fo 

Fo 2 , Fo  1

e
2

p


n 1 
  
n


 D pn 1 

p 
 2   p  pn

Графики решения (36) имеют вид
(36)
18
W z, Fo
W z, Fo
z
z
Рисунок 4. Изменение безразмерной
температурной функции W z, Fo при   1 в
зависимости от z при:
Fo  0.3 ;
Fo  0.4 ;
Fo  0.5 .
Рисунок 5. Изменение безразмерной
температурной функции W z, Fo при   1 в
зависимости от z при:
Fo  3 ;
Fo  5 ;
Fo  7 .
Рисунок 4 описывает распределение температуры во время нагрева на границе: чем
ближе точка к границе, тем выше её температура. Рисунок 5 указывает на распределение
температуры, когда нагрев на границе прекращен. При удалении от границы виден рост
температуры до некоторого максимального значения, а затем стабилизация температуры со
стремлением к нулю на бесконечности. Вероятно, такой эффект обусловлен наличием
движущейся границы.
Стоит отметить, что эта глава является одной из ключевых в диссертации.
В четвертой главе подробно рассмотрен метод обобщенных рядов. Такое название
метод получил в силу того, что решение краевой задачи отыскивается в виде
функционального ряда специального типа:
W , t  
k 
 N t
k 
W , t  
k
n
k
n
k  
 M t
k  
k
m
 M k  t
k
m


— в случае области  t  0  x   t , t  0 ,
m
k
m


— в случае области  t  x   t , t  0 , где   i
x
2at
, i  1 .
Функциональные коэффициенты N k   и M k   в W , t  находятся из удовлетворения
n
граничным условиям.
m
19
В первом параграфе данной главы рассматривается метод обобщенных рядов при
решении краевых задач нестационарной теплопроводности в области 0  x   2at , t  0 , а
во втором — для области x   2at , t  0 .
Показано, что в частных случаях эти ряды сводятся к уже известным решениям, но
имеющим иные функциональные конструкции. Например, если в области x   2at , t  0 в
случае первой краевой задачи граничная функция является одночленом t   At n , то,
используя метод обобщенных рядов, получим решение в виде
T  x, t   e
D
x 2  2 k  


8 at 4
c
k  
k
m
k
 2 1
m
D
 x 


 2at 
k
 2 1
m
 
k
m
t .
(37)
С помощью (38)—(39)
i
i


Г  1  2
D ( z ) 
e D 1 (iz )  e 2 D 1 (iz ) ,
2 

D 2 s 1 ( z )  2
s

s2
4 2s
 x 
e i erfc
,
2
 2
(38)

i erfcz   i 2 s 1erfcd ,
2s
(39)
z
решение (37) приводится к
 x 
A  i n erfc
 n
2 at  2

T  x, t  
t .
  
n
i erfc

 2
(40)
В такой форме решение было получено ранее другими авторами, но с помощью другого
подхода. Показано, что метод обобщенных рядов вобрал в себя множество более частных
подходов и позволяет получать решения тепловых задач в иных, более удобных для анализа
и более общих, конструкциях.
В пятой главе подробно рассмотрен метод дифференциальных рядов в приложении к
задаче Стефана. Решая задачу Стефана при неизвестном законе движения границы области,
получаем, как хорошо известно, закон yt    t . Также в этой главе задача Стефана решена
с помощью метода обобщенного интегрального преобразования. Показана эквивалентность
решений, полученных методом дифференциальных рядов и методом интегрального
преобразования, что расширяет набор инструментов, позволяющих решать задачи Стефана.
Действительно, задача Стефана имеет вид
20
T
1   m T 
a m
r
,0  r  yt , t  0;
t
x 
r r 
dy
 T r , t  
 A , t  0;
T r , t  r  y t    t , t  0 ; 

dt
 r  r  y t 
T r , t  r 0   t , t  0  y0  0 ;
T x, t  x0  t , t  0 ,
(41)
(42)
(43)
(44)
при m  0 — в декартовом, m  1 — в цилиндрическом, m  2 — в сферическом случае.
Решение задачи Стефана (41)—(44) в декартовом случае с граничными условиями
T ( x, t ) x 0  Tc=const
и (t)=TП может быть получено в различных эквивалентных формах.
Например, решая эту задачу в декартовых координатах ( m  0 ) с помощью
обобщенного интегрального преобразования
y t 


T  p, t    T x, t sh x p dx ,
(45)
0
где p=+i  комплексное число, 


 arg p  , получим решение в виде
4
4
 an2 2 
(

1)
 2 
A2 
  
где an 

n k 1
k!
k
k

T ( x, t )   an sin
n 1
nx
 t
,

2 m m !
 a m (2m  1)! .
mk
(46)
С другой стороны, решая ту же задачу с помощью метода дифференциальных рядов,
получаем закон движения границы области yt    t , а также решение в виде
A 
1
n
 x 
T

T


П

2 n 0 a n (2n  1)! t n
 2 at 
2
2 n 1 1 

  t  x 

t

2
   
A
A
 x 
 x 
 TП 
ae 4a  
ae 4a  
  
   0 
.
2
2
 2 at  
 2 at 
 2 a 
Используя соотношение
(47)
2

ae 4a 
   2n 1m!
, (46) приводится к виду (47).

  m
 2 a  m0 a (2m  1)!
В §4 построены графики безразмерной температурной функции сначала при
фиксированных временах, а затем при фиксированных значениях пространственной
переменной и проведен их сравнительный анализ. Также построена с помощью
вычислительных методов таблица возможных значений  в законе движения yt    t .
В шестой главе изучается проблема теплового удара для упругого полупространства
z  l  vt
(для общности l  0 ),
t  0 , v  const в динамическом и квазистатическом
случаях, а также для упругого полупространства z   t , t  0 ,   const . Рассмотрение
21
линейного закона движения границы обусловлено тем, что при малых временах 10 7  10 4 с,
а именно при таких временах и наблюдаются инерционные эффекты, линейный и корневой
законы близки (рисунком 6), т.е.  t 

t  vt .
2
y t 
t
и yt   vt
Рисунок 6. Поведение графиков функций yt   t
окрестности точки 0.
в
Сначала даётся общая математическая постановка задачи термоупругости для произвольной
области Gt  {M  Dt ; t  0} , затем рассматривается интересующая нас математическая
модель о тепловом ударе в терминах динамической термоупругости
 2 zz 1  2 zz (1   )
 2T ( z , t )




, z  yt , t  0
T
(1  )
z 2
v 2p t 2
t 2
 zz z, t  t 0  0 ,
 zz z, t 
 0, z  y0 ,
t
t 0
(48)
 zz z, t  z  y t    zz z, t  z   0
(49)
В правую часть уравнения (48) входит температурная функция. Теперь необходимо
рассмотреть конкретные режимы нагрева, то есть записать краевую задачу нестационарной
теплопроводности
T
 2T
 a 2 , z  yt , t  0
t
z
(50)
T ( z, t ) t 0  T0 , z  y0
(51)
и рассмотреть 3 режима: T ( z, t ) z  y  y   TC , t  0 — температурный нагрев;
T
T ( z, t )
z
z y y 
 qT , t  0 — тепловой нагрев;
T ( z, t )
z
средой. Во всех случаях T ( z, t )  , z  yt , t  0 .

 hT
z  y t 
z  y t 

 TC , t  0 — нагрев
22
Задача (48) – (49) содержит большое количество параметров, что неудобно для
численного анализа, поэтому эту задачу целесообразно рассматривать в обобщённых
переменных.
В §3 приведено решение динамической задачи для компоненты  zz
тензора
напряжений в полуограниченной области, граница которой движется по закону yt   l  vt
при температурном нагреве
z

при 0  Fo  ,
0,
α0

 zz ( z, Fo)   (zz1) ( z, Fo)  
 ( 2) ( z, Fo) при z  Fo  z ,
 zz
α0
Pe
(52)
где
1  Pe 2
 z-2  Pe  Fo 
 e Pez-PeFo  erfc
 
2
2
2  α0  Pe
 2 Fo 
 zz(1) ( z, Fo)  
e
α02 Fo
1
 2 Pe-α0 α0 z
 z-2  α0  Fo 
 e erfc
 

 2 Fo 
 α0  Pe

(53)
1

Pe  α0
 
z

2

α

Fo


0
2
 e α0 z erfc
 ,
α0  Pe
2 Fo

 
 
1  Pe 2
 Pe

erfc 
Fo  Fo  
2
2
2  α0  Pe
 2

 zz( 2) ( z, Fo)   
1
Pe-α0
 Pe


2

 e α0 α0 Pe Fo  Fo erfc   α0  Fo  Fo  
α 0  Pe

 2

(54)
1

Pe  α0
 Pe


2
 e α0 α0  Pe Fo  Fo erfc   α0  Fo  Fo  .
α0  Pe

 2


Проводится сравнительный анализ поведения компоненты тензора напряжения  zz для
областей, граница которых неподвижна, и когда граница движется по линейному закону. В
§4 рассматривается вопрос поведения компонент
 xx   yy
тензора напряжений в
полуограниченных областях с неподвижной границей и с границей, движущейся по
линейному закону. Приводятся точные решения этих задач и рассматривается вопрос о
поведении компонент  xx   yy тензора напряжений для упругого полупространства в
23
зависимости от движения границы. Также проводится сравнительный анализ компонент  zz
и  xx   yy в этих областях, который даёт следующий результат: напряжения вдоль оси z
опаснее напряжений вдоль осей x и y , так как превосходят их примерно в два раза.
В §5 рассматривается вопрос термической реакции упругих полупространств z  l  vt
и z   t , при t  0 и v,   const в квазистатическом случае при температурном нагреве.
Выводится точная формула для напряжений, когда граница движется по закону z  Fo
 z 
erfc

1  2
2 Fo 

.
 xx z, Fo   yy z, Fo 
 1
 Pe 
erfc 
 2 
(55)
 xx
Fo
Рисунок 7. Изменение напряжения  xx (55) при температурном нагреве, при
движении границы по корневому закону в квазистатическом случае в
зависимости от безразмерного времени Fo в интервале от 0 до 30,   0.3 ,
; z 5
; z7
.
Pe  0.000893 в сечениях: z  3
Один из важных новых результатов, рассмотренных в этой главе, — поведение
компонент  xx   yy тензора напряжения при движении границы по корневому закону в
квазистатическом случае, что хорошо иллюстрирует рисунок 7. Напряжение всё время
остаётся сжимающим, растёт не резко, а плавно, незначительно меняется при росте времени.
Из этого можно сделать вывод, что квазистатический случай является менее опасным с точки
зрения напряжений, возникающих при температурном нагреве.
24
Рассмотрено поведение компоненты  xx при малых временах в различных областях.
 xx
 xx
Fo
Fo
Рисунок 8. Изменение напряжения  xx (58)
при температурном нагреве, при движении
границы по корневому закону в
квазистатическом случае в зависимости от
безразмерного времени Fo в интервале от 0
до 0.01,   0.3 , Pe  0.00083 в сечениях:
; z  0.015
;
z  0.01
.
z  0.02
Рисунок 9. Изменение напряжения  xx при
температурном нагреве, при движении
границы по линейному закону в
квазистатическом случае в зависимости от
безразмерного времени Fo в интервале от 0
до 0.01,   0.3 , Pe  0.00083 в сечениях:
; z  0.015
;
z  0.01
.
z  0.02
Легко заметить практически полное совпадение рисунков 8 и 9, построенных при
разных видах движения границы: линейном и корневом.
Рисунки 8 и 9 иллюстрируют другой важный новый результат, приведённый в этой
главе, который заключается в следующем. Предполагалось, что, так как при малых временах
именно линейный закон наилучшим образом приближает корневой закон, то и точное
решение задачи о нахождении напряжений в случае линейного закона будет наилучшим
образом приближать решение этой задачи в случае корневого закона движения границы. Это
предположение оказалось верным в квазистатическом случае.
Поскольку выражения для термоупругих напряжений имеют весьма сложный и
громоздкий вид, дальнейшее изучение термонапряженного состояния проводилось с
помощью
вычислительного
эксперимента.
Для
этих
целей
была
использована
вычислительная среда MathCAD, позволяющая производить сложные математические
расчеты в удобной для пользователя форме, варьировать входящие в формулы параметры и
анализировать одновременно множество кривых при различных значениях параметров.
Такой подход позволил обработать большой объем графического материала, выявить ряд
закономерностей в поведении термоупругих напряжений, установить влияние различных
факторов на характер их изменения.
25
Основные выводы и заключение
В диссертации последовательно рассмотрен и решен следующий комплекс вопросов:
1. Построены и исследованы модели процессов теплопроводности и термоупругости в
областях с движущимся во времени границами в терминах краевых задач для
динамических и квазистатических задач. Разработан математический аппарат решения
краевых задач в указанных областях, что позволило получить соответствующие
аналитические решения и провести численные эксперименты.
2. Показано, что метод функции Грина для канонических областей принципиально
отличается от этого метода для областей нецилиндрического типа. Основная разница
функций Грина для этих областей заключается в следующем: в канонических областях
Gx, t , x' ,  зависит от разности t   , а в нецилиндрической области для функции Грина
определяющим будет t и  , т.е. не только время действия t   , но и  — момент
возникновения теплового импульса мощностью Q  c . Также показывается, что в
областях с движущимися границами не сохраняется эквивалентность в записи граничных
условий в постановках задач по x, t  и x' ,  в отличие от цилиндрических областей. Эти
свойства функции Грина являются настолько важными, что упустив их из вида можно
получить неверные решения. Приведены постановки ряда краевых задач нестационарной
теплопроводности и их решения в области


 t  x   t , t  0 , записанные в
интегральной форме и выраженные через функции Грина. Указывается метод отыскания
функций Грина, а затем приводится их аналитический вид для первой и второй краевых
задач. Изучены важные частные случаи и построены графики полученных решений.
3. Решена
проблема
нахождения
нецелых
фиксированном значении аргумента
и
корней
pn
уравнения
D p z   0
при
построена таблица первых 10 корней этого
уравнения с точностью до седьмого знака после запятой для каждого z с шагом 0,1 в
интервале от 0 до 10 с помощью программы, написанной в среде Mathcad.
4. Показана
эквивалентность
решений
задачи
Стефана,
полученных
методом
дифференциальных рядов и методом интегрального преобразования, что расширяет
возможность использования решений в различного рода приложениях.
5. Проводится сравнительный анализ поведения компоненты тензора напряжения  zz для
областей, граница которых неподвижна, и когда граница движется по линейному закону.
Рассматривается
вопрос
поведения
компонент
 xx   yy
тензора
напряжений
в
полуограниченных областях с неподвижной границей и с границей, движущейся по
26
линейному закону. Приводятся точные решения этих задач и рассматривается вопрос
влияния движения границы на поведение компонент  xx   yy тензора напряжений. Также
проводится сравнительный анализ компонент  zz и  xx   yy в этих областях, который даёт
важный для практики результат. Рассматривается вопрос термической реакции упругих
полупространств
z  l  vt ,
t  0,
v  const
и
z t,
t 0,
  const
в
квазистатическом случае. Выводится точная формула для напряжений, когда граница
движется по закону z   t . Показывается, что напряжение всё время остаётся
сжимающим, растёт не резко, а плавно, незначительно меняется при росте времени. Из
этого следует, что квазистатический случай не является опасным с точки зрения
напряжений, возникающих при температурном нагреве.
27
Список опубликованных работ
По теме диссертации опубликовано 9 работ.
1. Карташов Э.М., Кротов Г.С. Аналитическое решение однофазной задачи Стефана //
Математическое моделирование, 2008, том 20, 3, стр.77-86.
2. Карташов
Э.М.,
Кротов
Г.С.
Функции
Грина
в
задачах
нестационарной
теплопроводности в области с границей, движущейся по корневой зависимости //
Известия РАН, Энергетика, №4, 2006, стр. 134-149.
3. Карташов Э.М., Кротов Г.С. Проблема Стефана в вырожденной области //
Математическое модели физических процессов. Таганрог: 2007. Том 1. С. 103-109.
4. Кротов Г.С., Карташов Э.М. Функция Грина для области с движущейся границей //
Математические
модели
физических
процессов.
Таганрог:
Издательство
Таганрогского государственного педагогического института. 2005. Том 1. С. 89-95.
5. Кротов Г.С. Корни функции параболического цилиндра при фиксированном значении
аргумента // Ученые Записки МИТХТ. Москва. 2005. Выпуск 14. С. 41-48.
6. Кротов Г.С., Карташов Э.М. Задачи нестационарной теплопроводности в области с
границей, движущейся по корневой зависимости // МНТК. Вологда. 2005.
7. Кротов Г.С. Метод решение краевых задач теплопроводности для области, с границей,
движущейся по параболическому закону // Третья Российская национальная
конференция по теплообмену. Москва. 2002. Т. 7, стр. 161-163.
8. Кротов Г.С., Карташов Э.М. Метод решение краевых задач теплопроводности для
области, с границей, движущейся по параболическому закону // Вопросы теории и
расчета рабочих процессов тепловых двигателей. Межвузовский научный сборник
№18. Уфа. 2000. С. 113-119.
9. Кротов Г.С., Ремизова О.И. Численное и аналитическое решения краевой задачи для
уравнения параболического типа в нецилиндрической области // Вестник МИТХТ.
Том VIII. №5. 2013
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 077 Кб
Теги
модельный, области, процесс, границе, теплопроводность, представление, движущейся
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа