close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Планирование и стабилизация траекторий неполноприводных динамических систем.

код для вставкиСкачать
Национальный Исследовательский Университет Информационных Технологий,
Механики и Оптики
На правах рукописи
Суров Максим Олегович
Планирование и стабилизация траекторий
неполноприводных динамических систем
05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации
(в технических системах)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Санкт-Петербург – 2013
Работа выполнена в Национальном исследовательском университете
информационных технологий, механики и оптики.
Научный руководитель:
канд. техн. наук,
Пыркин Антон Александрович
Официальные оппоненты:
докт. физ.-мат. наук, профессор
Тертычный Владимир Юрьевич
канд. физ.-мат. наук,
Ананьевский Михаил Сергеевич
Ведущая организация:
Санкт-Петербургский государственный по­
литехнический университет
Защита состоится 31 октября в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного
совета Д 212.227.03 при Национальном исследовательском университете инфор­
мационных технологий, механики и оптики, расположенном по адресу: 197101,
Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, НИУ ИТМО.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследователь­
ского университета информационных технологий, механики и оптики.
Автореферат разослан 26 сентября 2013 г.
Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью,
просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссер­
тационного совета.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
докт. техн. наук, профессор
Ожиганов А.А.
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Задачи управления различными механическими
системами в условиях параметрической неопределённости, непролноприводно­
сти, при наличии односторонних механических связей и ограничений на скорости
движения являются весьма актуальными и изучаются многими исследователями
[5, 8, 10, 11]. Особый интерес представляет проблема
динамического манипулиро­
вания объектами. Подробный обзор различных подходов к решению этой задачи
представлен в работе [6].
Такие проблемы возникают при решении задач управления силой, что весь­
ма актуально в современном промышленном производстве. Например, в зада­
че программного управления шлифовальным станком при обработке материала
необходимо стабилизировать как определённую траекторию движения, так и си­
лу взаимодействия рабочей поверхности с обрабатываемой деталью, что приво­
дит к увеличению размерности объекта управления. Задача динамической ма­
нипуляции зачастую возникает в ситуациях, когда жёсткая фиксация объекта
манипулирования невозможна в силу его хрупкости (например, перекладывание
роботом стеклянных или пластиковых предметов). Как следствие, появляются
дополнительные неуправляемые степени свободы, увеличивается динамическая
размерность объекта управления. В этом случае стандартные подходы к управле­
нию, такие как линеаризация обратной связью, как правило, не работают. Кроме
того, в неполноприводной механической системе не всякая желаемая траектория
является физически реализуемой, поэтому поиск допустимых траекторий явля­
ется одной из ключевых задач.
Таким образом, рассматриваемые задачи управления промышленными ро­
ботами в конечном счёте сводятся к траекторному управлению неполнопривод­
ными механическими системами, и для их решения необходимо разработать эф­
фективные методы как для планирования, так и для стабилизации траекторий
движения.
При формализации подобные задачи зачастую очень схожи и сводятся к по­
иску траекторий динамических систем, обладающих определёнными свойствами,
и поиску закона управления, обеспечивающего устойчивость найденных траекто­
рий. Такие динамические системы как правило могут быть описаны системой
дифференциальных уравнений Лагранжа [3]. Специфические свойства Лагран­
жевых систем позволяют выработать универсальные методы и алгоритмы управ­
ления неполноприводными механическими системами.
С целью изучения задачи динамической манипуляции и для тестирования
3
различных алгоритмов управления неполноприводными механическими система­
ми была разработана робототехническая система “Бабочка” [8]. Задача управле­
ния роботом интересна наличием односторонней голономной связи [4], которая
приводит к существенным ограничениям на скорости движения объекта управле­
ния, что вносит дополнительные сложности в задачу планирования траекторий
движения. Такая робототехническая установка позволяет смоделировать непол­
ноприводные механические системы с одной пассивной степенью свободы, кото­
рые часто встречаются на практике в задачах управления с учетом сил взаимо­
действия робота с объектом манипулирования.
Диссертационная работа посвящена изучению объектов управления, пове­
дение которых может быть описано системой дифференциальных уравнений
Лагранжа. Основное внимание уделено изучению неполноприводных механиче­
ских систем [5], методам планирования траекторий и методом орбитальной стаби­
лизации траекторий [2], а также экспериментальным исследованиям алгоритмов
управления робототехнической системой "Бабочка".
Цели диссертационной работы. Целью диссертационной работы являет­
ся разработка новых методов планирования и стабилизации траекторий движе­
ния механических систем при наличии пассивных степеней свободы и парамет­
рической неопределённости. Дополнительной целью является проведение экспе­
риментальных исследований полученных алгоритмов управления робототехниче­
ской системой “Бабочка”.
Методы исследований. При получении теоретических результатов ис­
пользовались метод функций Ляпунова, метод виртуальных голономных связей
для планирования траекторий неполноприводных систем, метод построения ста­
билизирующих регуляторов для линейных нестационарных систем, различные
методы классической механики, теории обыкновенных дифференциальных урав­
нений, теории динамических систем, линейной алгебры, численных методов.
Экспериментальные результаты были получены с использованием современ­
ного программного обеспечения – пакетов Matlab и Simulink; технического осна­
щения – системы моделирования в реальном времени dSpace и робототехнической
установки “Бабочка”, предоставленной университетом Умео (Швеция). В состав
технических средств так же входила система технического зрения: видеокамера
для быстрой съёмки Point Grey Flea 3; программное обеспечение, разработанное
с использованием среды разработки Microsoft Visual Studio 2012.
Научная новизна. В рамках данной работы впервые, на сколько известно
автору диссертационной работы, была решена задача управления робототехниче­
ской системой “Бабочка”, являвшейся нерешённой с 1998 года. На основании про­
4
ведённых исследований с роботом “Бабочка” были разработаны универсальные
алгоритмы поиска виртуальных связей для неполноприводных систем, позволя­
ющие находить траектории движений, удовлетворяющие заданным критериям.
Разработан класс стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих орбитальную
устойчивость траектории неполноприводной механической системы. Разработан­
ный регулятор в отличие от ранее изученных [10] не требует численного интегри­
рования систем дифференциальных уравнений высокой размерности.
Предложен метод робастного управления ориентацией и скоростью движе­
ния шестиногого шагающего робота, гарантирующий асимптотическую устойчи­
вость заданной скорости и ориентации объекта управления при неизвестном тен­
зоре инерции.
Практическая ценность. Практическая значимость полученных методов
управления механическими системами обусловлена развитием промышленных
робототехнических систем. Полученные методы могут быть полезны при проек­
тировании алгоритмов управления станками с числовым программным управле­
нием, шагающими роботами, летательными аппаратами и другими робототехни­
ческими устройствами.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положе­
ния:
1. Метод поиска виртуальных связей для планирования траекторий неполно­
приводных робототехнических систем с одной пассивной степенью свободы.
2. Метод синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечивающего орбиталь­
ную устойчивость заданной траектории для неполноприводных механиче­
ских систем.
3. Метод робастного управления, обеспечивающий асимптотическую устойчи­
вость заданной ориентации и скорости движения динамических систем с
неизвестным тензором инерции.
4. Алгоритмы планирования и стабилизации траекторий движения для непол­
ноприводной робототехнической системы “Бабочка”.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации до­
кладывались на следующих конференциях:
– Четвертая Традиционная Всероссийская молодежная летняя школа (IV
ТМШ) «Управление, информация и оптимизация», 2012
5
– The 2012 IEEE Multi-Conference on Systems and Control, Dubrovnik, Croatia
– IFAC
Conference
of
Manufacturing,
Management
and
Control.
Saint­
Petersburg. Russia. 2013.
В 2011, 2012 и 2013 годах автор проходил стажировку в Университете Умео
(Швеция) у профессора Антона Станославовича Ширяева и Леонида Борисовича
Фрейдовича, известных своими работами в области управления робототехниче­
скими системами, занимаясь теоретическими и экспериментальными исследова­
ниями по управлению робототехнической системой “Бабочка”.
Полученные в ходе научно-исследовательской работы алгоритмы управле­
ния были апробированы на робототехнической системе “Бабочка”, изготовленной
Университетом Умео (Швеция).
На разработанное программное обеспечение для системы управления робо­
том “Бабочка” было получено свидетельство о регистрации компьютерной про­
граммы для ЭВМ № 2013611597 от 07.03.2013.
Публикации. Автор диссертационной работы имеет 10 публикаций, 8 из
которых входят в список ВАК, и свидетельство о регистрации компьютерной
программы для ЭВМ.
Объем и структура работы. Диссертационная работа объёмом в 103 стра­
ницы состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность задач, рассматриваемых в диссерта­
ционной работе и показана необходимость изучения неполноприводных механиче­
ских систем и необходимость развития метода виртуальных голономных связей.
Сформулированы цели и задачи исследования и основные положения, выноси­
мые на защиту.
В первой главе диссертационной работы представлен краткий обзор суще­
ствующих методов управления неполноприводными механическими системами.
Представлены основные проблемы и методы их решения.
Во второй главе представлены теоретические исследования в области пла­
нирования траекторий неполноприводных робототехнических систем. Рассмотре­
ны существующие методы планирования траекторий. Изучен метод виртуальных
голономных связей [10]. Предложен метод поиска виртуальных связей, позволя­
ющий планировать траектории для неполноприврдных механических систем с
одной пассивной степенью свободы с наперёд заданными ограничениями.
6
В качестве демонстрационного примера рассмотрена задача упаковки пред­
метов роботом-манипулятором. Робот должен взять предмет с конвейерной лен­
ты (точка
SE(3)).
 ∈ SE(3))
и переместить его в упаковочную коробку (точка
 ∈
При этом, манипулятор должен двигаться таким образом, чтобы не за­
деть расположенные вблизи предметы и не испортить перемещаемый предмет.
Эти условия влекут за собой ограничения на пространственные координаты ро­
бота
 ∈ SE(3)
и на скорости его движения.
Рассматривается случай, когда кинематика робота может быть описана век­
(1 , 2 , ...,  ) ,
уравнений порядка 2:
тором обобщённых координат
дифференциальных
а динамика описывается системой
¨ =  (, ,
˙ ) ,
где

(1)
– входное управляющее воздействие.
Каждая конфигурация робота соответствует точке в конфигурационном
многообразии
бота
 , 
ℳ.
Начальным и конечным пространственным координатам ро­
соответствуют точки
 , 
конфигурационного многообразия (здесь
и далее предполагается, что обратная задача кинематики разрешима). В резуль­
тате, ограничения на пространственные координаты робота
1 () < 0 могут быть
представлены как ограничения на обобщённые координаты (см. рис. 1)
 () < 0.
(2)
Как было сказано выше, в задачах подобного типа могут встречаться ограниче­
ния на скорости, которые, как правило, могут быть представлены в виде ограни­
чения на обобщённые координаты и обобщённые скорости
 (, )
˙ < 0.
(3)
В результате, задача планирования траекторий может быть формализована
следующим образом:
З а д а ч а 1.
необходимо найти такое допустимое управляющее воздей­
ствие
(), чтобы система дифференциальных уравнений
решение  * (), ˙* (), удовлетворяющее граничным условиям
 * (0) =  ,
 * ( ) = 
и ограничениям на координаты (2) и скорости (3).
7
(1)
имела частное
(4)
q2
qB
qA
q1
Рис. 1. Траектория на конфигурационном многообразии
Задача (1) может являться неразрешимой. Во второй главе рассматривается
задача планирования траекторий для случая, когда объект управления может
быть описан системой дифференциальных уравнений Лагранжа:
 () ¨ +  (, )
˙ ˙ +  () =  ()  ,
где
 ∈ R
 (, )
˙ = ˙  () ˙ −  ()
– вектор обобщённых сил;
(5)
– функция
Лагранжа для натуральных лагранжевых систем представляет собой разность
кинетической и потенциальной энергии;
 () > 0
– матрица инерции.
Для решения задачи (1) применяется метод виртуальных голономных свя­
зей [10], суть которого заключается в предположении, что искомая траектория
движения
*

(︁
*

*

 () =  () , ˙ ()
)︁
является периодической (или частью перио­
дической траектории) и полностью лежит на некотором инвариантном многооб­
разии
 = { ∈  ℳ| ( * ()) = 0, ∀ ∈ R} ,
где функция
 () = 0
 : R → R− ,
называется виртуальной голономной связью. В силу
этого предположения задача поиска допустимой траектории сводится к поиску
частного решения системы дифференциальных уравнений (5) на многообразии
 . Траекторией механической системы в этом случае будет являться
* () = ( * (); ˙* ()) при  * () = Θ(* ()) и  * () = Θ′ (* ())˙ * ().
функция
Предполагается, что виртуальная связь может быть представлена в виде
 = Θ(),  =  . Динамика системы (5) на 
описывается дифференциальным
уравнением второго порядка
 (Θ(), Θ′ ()) ¨ +  (Θ(), Θ′ (), Θ′′ ()) ˙ 2 +  (Θ()) = 0.
8
(6)
Задача планирования траекторий в конечном счёте сводится к поиску вир­
туальной связи
 = Θ(),
при которой существует частное решение уравнения
(6), удовлетворяющее заданным ограничениям.
Для решения задачи поиска виртуальной связи рассматривается частное ре­
шение уравнения (6)
() = ˙ 2 () =
⎧
⎫
Z
⎨
 (Θ () , Θ′ () , Θ′′ ()) ⎬
− 2 exp −2
 ·
⎩
⎭
 (Θ () , Θ′ ())
0
⎫
⎧ 
Z
Z
⎨
 (Θ () , Θ′ () , Θ′′ ()) ⎬
 (Θ ())

.
· exp 2
⎭  (Θ () , Θ′ ())
⎩
 (Θ () , Θ′ ())
0
(7)
0
Рассматриваются ограничения на функции
, ,  , при которых будет суще­
ствовать ограниченная периодическая траектория уравнения (6), удовлетворяю­
щая граничным условиям (4) и ограничениям (2), (3). Показано, что при опре­
делённых свойствах матриц
, , 
задача поиска виртуальных связей может
быть сведена к решению уравнения
 (Θ ())
˜ =

∑︁
 ˜2+1 ,
(8)
=0
где
˜ =  −
0 +  1
.
2
На основании проведённых исследований предложен алгоритм поиска вир­
туальной связи, позволяющий решить задачу планирования траекторий 1.
В третьей главе предложен метод стабилизации траекторий неполнопри­
водных механических систем. Для реализации найденной траектории движения
необходима разработка стабилизирующего регулятора, который должен обеспе­
чивать слежение за заданной траекторией и гарантировать робастные свойства
по отношению к возмущениям, возникающих в системе. Возмущения могут быть
вызваны внешними воздействиями на объект управления, неточностью измери­
тельных приборов. Они могут возникать по причине наличия неучтённой дина­
мики в объекте управления, датчиках, двигателе; по причине параметрической
неопределённости объекта управления.
В задачах траекторного управления при анализе устойчивости движения ди­
намической системы, как правило, рассматривается
[2].
9
орбитальная устойчивость
Задача орбитальной стабилизации применительно к механическим системам
сформулирована следующим образом.
З а д а ч а 2.
Для динамической системы вида
 () ¨ +  (, )
˙ ˙ +  () =  () 
(9)
задана реализуемая траектория движения
* () =
(︂
 * ()
˙* ()
)︂
,
 ∈ R2 .
Необходимо синтезировать такое управляющее воздействие
 (, * , ),
что траектория
* ()
(10)
замкнутой динамической системы (9), (10) будет орби­
тально асимптотически устойчивой [2].
Применительно к методу виртуальных голономных связей задача орбиталь­
ной стабилизации сводится к стабилизации виртуальной связи и найденной тра­
ектории
(* (), ˙ * ())
динамической системы (6).
Для этого вводятся новые координаты:
 =  − Θ1..−1 (),
и

 ∈ R−1
– отклонение от виртуальной связи
– отклонение от траектории. Исходная система (5) записывается в новых
координатах, производится линеаризация обратной связью по координатам
.
В
результате, как показано в работе [10], система (5) может быть представлена в
виде
¨ = ,
 () ¨ +  () ˙ 2 +  () =  (, )  +  (, )  + ˙ (, , ,
˙ )
˙ ˙ .
(11)
где
 = 1..−1,1..−1  − 1
– виртуальный закон управления.
В диссертационной работе изучены свойства фазовых траекторий уравнения
 () ¨ +  () ˙ 2 +  () = 
при различных функциях
 . Для этого вводится функция 
(12)
как мера отклонения
от заданной траектории (см. рис. 2):
 (, ,
˙ * , ˙ * ) = ˙ 2 () − ˙ * () .
10
(13)
.
φ2
.
φ2(φ)
. .
I (φ,φ, φ,*φ*)
.2
φ* (φ)
φ
Рис. 2. Отклонение от траектории.
Далее показано, что если правая часть уравнения (12) задана в виде
 = ( () −  )
˙  (, ,
˙ * , ˙ * ) ,
где

 ∈ (0, ),
– некоторая положительная константа, то траектория
(* (), ˙ * ())
явля­
ется устойчивым предельным циклом.
На основании проведённого анализа предлагается закон управления следу­
ющего вида:
 = −  − ˙ ˙ +
где коэффициенты

 () −  ˙
 (, ,
˙ * , ˙ * ) ,
 (, )
(14)
выбираются из условия устойчивости линеаризованной
вдоль траектории системы.
Предложенный закон управления в отличие от известного метода стабили­
зации [10] позволяет построить регулятор с постоянными, не зависящими от вре­
мени коэффициентами
.
В четвёртой главе диссертационной работы рассмотрен пример управле­
ния шестиногим шагающим роботом. При некоторых допущениях, как было пока­
зано, задача управления неполноприводной механической системой может быть
сведена к управлению полноприводной механической системой. В данной главе
приводится краткое описание кинематических уравнений шестиногого шагающе­
го робота. Предложен новый подход к решению задачи управления движением
робота. Синтезированный в настоящей главе закон управления не требует инфор­
мации о значениях компонент тензора инерции робота. Полученный регулятор
обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы. Для иллюстра­
ции работы алгоритма управления в диссертационной работе представлены ре­
зультаты численного моделирования.
11
Рис. 3. Преобразование координат
Рассмотрим упрощённую динамическую модель шестиногого робота. Пред­
полагаем, что значения моментов инерции и массы ног робота пренебрежимо
малы. Таким образом, мы можем использовать уравнения движения твёрдого
тела для описания движения робота. Прежде всего, нам необходимо выразить
моменты сил
щей силы

 ,
приложенные к шарнирам ног, как функции равнодействую­
и равнодействующего момента
,
приложенных к корпусу робота.
Для этого запишем кинематические уравнения и применим метод виртуальных
-й ноги робота определены как
)︀
:  = ℎ ( ) (см. рис. 3).
1 , 2 , 3
перемещений Д’Аламбера. Пусть координаты
функция обобщённых координат
 ∈
(︀
Явный вид данного соотношения может быть получен при помощи однородных
преобразований [1].
Применяя принцип Д’Аламбера, получим выражение для равнодействую­
щей силы и момента относительно системы координат робота:
 
+
3
∑︁
  = 0,
=1
где

 -му
– момент силы, приложенный к
приложенная к
-й
звену
-й
ноги робота;

– сила,
ноге робота в системе координат робота.
Подставляя выражения для вариации координат, получим:
 =
3
∑︁
ℎ ( )
=1

 .
Учитывая, что принцип Д’Аламбера справедлив для любых малых вариаций
12
 ,
получим следующее соотношение:
 ( ) =
(︁
 =
(︀
ℎ ( )
1 ,
ℎ ( )
2 ,
1 , 2 , 3
ℎ ( )
3
)︁
)︀
 ( )  = −
Выражаем приложенный к
-й
ноге момент:
 =  ×  = −ℎ ( ) × −1 ( )  ,
где знак
×
обозначает векторное произведение.
Равнодействующая сила и равнодействующий момент, приложенные к кор­
пусу робота, представляют собой сумму сил:
=
=
6
∑︁
=1
6
∑︁
 =
6
∑︁
−1 ( ) 
(15)
=1
 ×  = −
=1
6
∑︁
ℎ ( ) × −1 ( )  .
=1
Выражение (15) представляет собой систему из
уравнений с
(16)
6
линейных алгебраических
18-ю неизвестными  . Чтобы система имела единственное решение
необходимо наложить дополнительные ограничения. Если при ходьбе робота в
каждый момент времени 3 ноги опираются на поверхность и точки соприкосно­
вения с поверхностью не лежат на одной прямой, то (15) имеет единственное
решение. При некоторых типах ходьбы уравнение (15) может не иметь решений.
В этом случае система представляет собой неполноприводную механическую си­
стему.
В зависимости от количества уравнений связи задача управления роботом
может сводиться к задаче управления полноприводной, сверхприводной, или
неполноприводной системой. Рассмотрим случай, при котором уравнение (15)
имеет единственное решение. В этом случае задача управления роботом может
быть сведена к задаче управления ориентацией и линейной скоростью твёрдого
тела в пространстве, к которому приложена сила

и момент
.
и
 с началом в точке
ортами 1 , 2 ,
3 ; неподвижная система координат  с началом в точке  и ортами 1 , 2 , 3 .
Точка  совпадает с центром инерции робота. Вектор  определяет координа­
ты  в системе  . Желаемая ориентация робота задана системой координат
Пусть задана система координат
13

с началом в точке

и ортами
1 , 2 , 3 .
Система координат

вводится
аналогичным образом.
 относительно  задана нормализованным кватернионом
Φ; ориентация  относительно  – кватернионом Ψ. Скорость точки  в
 обозначим  = ˙ . Необходимо, чтобы ориентация робота  сходилась к
желаемой ориентации  и скорость движения  = ˙ сходилась к скорости  .
Ориентация
Движение робота может быть описано следующей системой дифференциаль­
ных уравнений
⎧
⎪
⎪
⎨˙ = −Φ ∘  ∘ Φ̃ + 
 ˙ = − ×  + 
⎪
⎪
1
⎩Φ̇ =
2Φ ∘ 
(17)
 ∈ R3×1 – момент, развиваемый ногами робота в системе координат  ,
 ∈ R3×3 – тензор инерции робота в  (в силу того, что моменты инерции
ног робота малы,  рассматриваем как константу),  – скорость центра масс
робота в  ,  сила, развиваемая ногами робота, задана в  ,  – масса робота,
 = (0, 0, ) – вектор ускорения свободного падения.
где
В диссертационной работе предлагается закон управления
(︁
(︁
)︁)︁
(︁
)︁
 = −1 sgn scal Ψ̃ ∘ Φ vect Ψ̃ ∘ Φ − 2 ,
 = 3 Φ̃ ∘ ( −  ) ∘ Φ + Φ̃ ∘  ∘ Φ,
где
1 , 2 , 3 > 0
и функция
sgn ()
(18)
определена как:
sgn () =
{︃
1,
≥0
−1  < 0
(19)
и доказывается асимптотическая устойчивость замкнутой системы (18), (17).
Закон управления (18) интересен тем, что не зависит от матрицы инерции
.
Это существенно упрощает его реализацию и расширяет область практического
применения.
В пятой главе главе представлено решение задачи управления робото­
технической системой “Бабочка”. Эта задача была сформулирована 1998 году в
работе [8] и до настоящего времени не имела законченного решения. Робот “Ба­
бочка” был разработан для изучения проблемы
динамической манипуляции [8] и
для тестирования различных методов управления неполноприводными механиче­
скими системами. Задача динамической манипуляции в последнее время активно
14
(а ). Установка
(б ). Система технического
зрения
Рис. 4. Робот “Бабочка”
изучается многими исследователями, подробный обзор различных подходов к её
решению приведён в работе [6].
Задача усложнена наличием системы технического зрения, предназначенной
для измерения обобщённых координат и скоростей. Система технического зрения
вносит существенные возмущения и задержки в канал измерений и требует раз­
работки робастной к подобным воздействиям системы управления.
При планировании траекторий робота “Бабочка” рассмотрены различные
подходы, в том числе, результат, представленный во второй главе данной дис­
сертационной работы. Так же внимание уделено исследованию кусочно-гладких
виртуальных голономных связей.
Робот “Бабочка” (см. рис. 4) состоит из обода в форме бабочки (далее: диск)
с моментом инерции

и шарика массы
.
Предполагается, что шарик мо­
жет быть рассмотрен как материальная точка, скользящая безотрывно по дис­
ку (такие модельные приближения были предложены в работе [8], которые в
дальнейшем будут пересмотрены). Обод приводится в движение электрическим
двигателем, развивающим момент силы
.
Робот представляет механическую систему, которая в силу приведённых вы­
 = (, ) ,
где  – угол поворота диска относительно неподвижной горизонтальной оси и  –
ше допущений может быть описана вектором обобщённых координат
угол, определяющий положение шарика в системе координат, связанной с ободом
(см. рис. 5,
а ).
Как показано в работе [8, 9], динамика данной механической системы может
15
.R
d(j)
j
φtarget
J
x
x
t
(а ). Обобщённые координаты
(б ). Положение равновесия
Рис. 5. Схематическое обозначение робота “Бабочка”
быть описана следующей системой дифференциальных уравнений:
(︂
 () ¨ +  (, )
˙ ˙ +  () =
где

0
)︂
(20)
 () – матрица инерции, (, )
˙ – кориолисова матрица, () – вектор силы
тяжести:
)︂
2
 2 + 
−

 () = 
,
2
−
 2 +  ′2
(︁
)︁ )︃
(︃
˙
 ˙   − 2˙
 (, )
˙ =  ′
,
− ˙ ˙ ( ′′ + )
(︂
)︂
− sin ( − )
 () = 
.
 sin ( − ) +  ′ cos ( − )
(︂
Здесь введены следующие обозначения:
 =  ()
– расстояние от оси вращения
диска до точки соприкасновения диска и шарика,
′ =
()
 и
 ′′ =
2 ()
2 – его
производные по угловой координате.
В диссертационной работе решены следующие задачи управления роботом:
З а д а ч а 3.
Необходимо найти такое задающее входное воздействие
 (), при котором механическая система начинает движение из точки
(0, 0) и достигает неустойчивого положение равновесия  = (0,  )
 =
 =
(см.
рис. 5, б).
З а д а ч а 4.
 (),
Необходимо найти такое задающее входное воздействие
 =
при котором механическая система совершает периодические движения,
проходя через точки 
= (0, 0)
и 
= (, )
16
с нулевой скоростью.
Для анализа безотрывного скольжения шарика записываются уравнения
Лагранжа первого рода и вычисляется сила реакции связи между шариком и
диском. Для этого вводится дополнительная степень свободы

– полярная коор­
дината шарика и уравнение связи
 =  () −  = 0.
Условие безотрывного скольжения шарика записано в виде
(︁
)︁2
)︀
˙
  ˙ +  ¨ −  ˙ −  +  cos ( − ) = −,
(21)
(, ,
˙  ) < 0.
(22)
(︀
′′ 2
′
Как показано в диссертационной работе, для решения задачи 3 достаточно
выбрать линейную виртуальную связь вида
Θ () =  +  ( −  ) .
(23)
Динамика рассматриваемой системы вдоль виртуальной голономной связи (23)
описывается уравнением:
 () ¨ +  () ˙ 2 +  () = 0,
(24)
где коэффициенты могут быть вычислены подстановкой соотношения (23) во
второе уравнение системы (20):
(︀
)︀
 = − 2 Θ′ +   2 +  ′2 ,
 = − 2 Θ′′ −  ′ Θ′2 +  ( ′  ′′ +  ′ ) ,
 =  ′ cos ( − Θ) −  sin ( − Θ) .
Чтобы уравнение (24) не меняло порядок, необходимо наложить ограничение
 () ̸= 0 ∀ ∈ R,
 ′2
′
Θ () ̸= 1 + 2 .

или
(25)
Для поиска траектории, удовлетворяющей условиям задачи 3, проведён ана­
лиз фазового портрета уравнения (24) (см. рис. 6,
а ). Показано, что существуют
такие коэффициенты виртуальной связи (23), при которых уравнение (24) имеет
периодические решения, удовлетворяющие условиям поставленной задачи. Дока­
зано, что движение шарика вдоль найденных траекторий является безотрывным,
удовлетворяет условию (22) (см. рис. 6,
б ).
17
6
4
.
j
2
0
0,2
0,2
j
0,4
0,6
0,8
jtarget
2
4
6
(а ). фазовый портрет
(б ). сила реакции связи
Рис. 6. Планирование траектории робота
Для решения задачи 4 линейная виртуальная связь не подходит, так как
не удаётся одновременно удовлетворить ограничению (25) и условиям на грани­
це
 = (0, 0) ,  = (, ) .
В связи с этим рассмотрен случай кусочно-глад­
кой голономной связи и некоторые проблемы, возникающие при использовании
негладких функций.
При дальнейших теоретических и экспериментальных исследованиях выяс­
нилось, что выбранные в работе [8] модельные приближения не описывают до­
статочно точно реальные процессы. В частности, кинетическая энергия враща­
тельного движения шарика имеет тот же порядок, что и кинетическая энергия
поступательного движения, и что вращательным движением пренебрегать нель­
зя.
Модельные приближения были пересмотрены. Была рассмотрена модель, в
которой шарик катится по поверхности диска без проскальзывания. Были полу­
чены следующие уравнения движения робота “Бабочка”, учитывающие вращение
шарика:
(︂
 ()¨
 + (, )
˙ ˙ + () =
где матрицы
, 
и


0
)︂
,
(26)
определены в (27), (28), (29).
(︂
 =


 (, )
˙ =  ′
2
+ 2
−
(︀
)︀
− 2
(ϒ + 1)  2 +  ′2
(︂
)︂
2 ˙
−2 ˙
− ˙ (ϒ + 1) ( +  ′′ ) ˙
18
,
(27)
)︂
,
(28)

= 
 () =

(︂
 sin ( − )
′
 cos ( − ) −  sin ( − )
где введены обозначения
ϒ=
)︂
,
(29)

,
2
 – момент инерции шарика,  – расстояние от оси вращения шарика до точки
соприкосновения с диском.
Аналогичным образом вычислена сила реакции связи между шариком и дис­
ком
(︂
)︂
)︀
 (︀ ′′ 2
+ 2
 ˙ +  ′ ¨ −

(︁
)︁2 

˙
−  ˙ −  − 2  ˙ 2 +  cos ( − ) = −.

(30)
Как несложно убедиться, уравнения (26) совпадают с уравнениями (20) в
случае
 = 0, ϒ = 0.
Для полученных уравнений движения (26) была решена задача поиска вир­
туальной голономной связи методом, предложенным во второй главе диссертаци­
онной работы. В этом случае виртуальная связь задаётся как решение уравнения
 () =  ′ cos ( − Θ) −  sin ( − Θ) =  ,
где функция
 )︁
 =  () =   −
( − 0 ) ( −  + 0 ) .
2
Одно из решений этого уравнения (в случае функции  , допускающей существо­
вание такого решения в рассматриваемой области  ∈ [1 , 2 ])
(︁
)︁
√︀
√︀
′
′
′2
2
2
′2
2
2
Θ () =  − arctan −  +   −  +  ,   +   −  +  .
(31)
(︁
На рисунке 7 изображены фазовые траектории при различных коэффици­
ентах виртуальной связи

функции
 . Легко видеть, что варьируя  , можно по­
лучить различные виртуальные связи, обеспечивающие различные скорости на
траектории. На рисунке 8,
а представлен фазовый портрет с зелёной областью,
обозначающей допустимые состояния системы (
< 0) и красной – области отры­
≤ 0). На рисунке 8, б представлено значение
множителя Лагранжа  как функции координаты  и скорости 
˙ . Несложно
убедиться, что фазовая траектория при  = 0, 001 удовлетворяет всем условиям
ва шарика от поверхности диска (
задачи 4.
19
.
4
k=10-2
k=5·10-3
φ
2
k=10-3
0
φ
π
2
-2
-4
Рис. 7. Фазовые траектории уравнения (6) для различных коэффициентов виртуальной связи
.
λ(φ,φ)<0
.
λ(φ,φ)>0
4
.
φ
2
10-3
8
4
0
-4
0
1
φ
2
3
-8
-12
-16
-20
2
-4
-24
-2
-28
3,0
0
2,5
2,0
4
1,5
2
1,0
0,5
0,0
(а ). фазовый портрет
4
(б ). сила реакции связи
Рис. 8. Планирование траектории робота
График виртуальной связи
Θ()
изображен на рисунке 9,
означает пересечение графиков функций
9,
б , условие
 ̸= 0
′
Θ ()
а . Условие
=0
−22 ()
и
21 () . Как видно из рисунка
на всём рассматриваемом промежутке выполняется.
Для спланированных траекторий были построены стабилизирующие регуля­
торы, основанные на результатах второй главы диссертационной работы. Пред­
ставлены результаты компьютерного моделирования и результаты проведённых
на лабораторной установке 4 экспериментальных исследований.
Заключение
В диссертационной работе решены следующие задачи:
1. Разработан метод планирования траекторий неполноприводных робототех­
нических систем с одной пассивной степенью свободы, основанный на ме­
20
4
π
3
3π
4
2
ϑ
π
1
2
π
π
4
2
0
π
4
π
4
π
2
1
0
π
4
π
2
φ
3π
4
(а ). Виртуальная связь
π
5π
4
Θ()
φ
3π
4
-M22(φ)
M21(φ)
π
5π
4
3π
2
Θ'(φ)
(б ). Производная виртуаль­
′
ной связи Θ ()
Рис. 9. Виртуальная связь
(Θ, ) =  ()
тоде виртуальных голономных связей. Предложена процедура для поиска
виртуальных связей, обеспечивающих существование траекторий, удовле­
творяющих наперёд заданным ограничениям на скорости и координаты.
2. Разработан алгоритм синтеза стабилизирующего регулятора, обеспечиваю­
щего орбитальную устойчивость заданной траектории для неполнопривод­
ных механических систем. Предложенный алгоритм не сопряжён с больши­
ми вычислительными сложностями, подходит для стабилизации систем с
одной пассивной степенью свободы.
3. Решена задача управления робототехнической системой “Бабочка”. Рас­
смотрена задача планирования траекторий для различных граничных усло­
вий и ограничений на скорости движения. Изучены различные методы за­
дания виртуальных связей. Построены стабилизирующие регуляторы, обес­
печивающие орбитальную устойчивость для найденных траекторий движе­
ния. Проведено численное моделирование и экспериментальные исследова­
ния на реальной лабораторной установке.
4. Решена задача стабилизации управления шестиногим шагающим робо­
том при наличии параметрической неопределённости. Построен стабили­
зирующий регулятор, обеспечивающий асимптотическую устойчивость за­
мкнутой системы. Проведено численное моделирование поведения объекта
управления для полученного закона управления.
21
Публикации по теме диссертации
1. Bobtsov A., Kolyubin S., Pyrkin A., Shavetov V., Chepinskiy S., Kapitanyuk
Y., Kapitonov A., Bardov V., Titov A., Surov M., Using of LEGO Mindstorms
NXT Technology for Teaching of Basics of Adaptive Control Theory // 18th
IFAC World Congress. Milan. Italy. 2011.
2. Surov M., Pyrkin A., Bobtsov A., Attitude Control of the Spacecraft with
Unknown Inertia Tensor // IEEE Multi-Conference on Systems and Control.
Dubrovnik. Croatia. 2012.
3. Surov M., Pyrkin A., Bobtsov A., Motion control of the six-legged walking robot
with unknown inertia matrix // IFAC Conference on Manufacturing Modelling,
Management, and Control, 2013, St.-Petersburg, Russia.
4. Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Surov M., Vedyakov A., Vlasov S., Feskov
A., Krasnov A., Borisov O., Gromov V., Dynamic Positioning System for
Nonlinear MIMO Plants and Surface Robotic Vessel // IFAC Conference on
Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013, St.-Petersburg,
Russia.
5. Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Surov M., Shavetov S., Borisov O.,
Gromov V., Simple Output Stabilization Approach for Robotic Systems //
IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control, 2013,
St.-Petersburg, Russia.
6. Пыркин А.А., Мальцева Т.А., Лабадин Д.В., Суров М.О., Бобцов А.А.,
Синтез системы управления квадрокоптером с использованием упрощенной
математической модели // Изв. ВУЗов. Приборостр. 2013. № 4. С. 47-51.
7. Бобцов А.А., Пыркин А.А., Суров М.О., Управление ориентацией летатель­
ного аппарата с неизвестным тензором инерции // Мехатроника, Автома­
тизация, Управление. 2013. № 3. С. 65-70.
8. М.В. Фаронов, А.А. Пыркин, И.Б. Фуртат, С.А. Колюбин, М.О. Суров,
А.А. Ведяков Робастное управление мобильными роботами с использовани­
ем технического зрения // Изв. ВУЗов. Приборостр. 2012. № 12. С. 63-65.
9. Суров М.О., Пыркин А.А., Бобцов А.А. «Программа для управления робо­
том-бабочкой «Butterfly controller»», Компьютерная программа для ЭВМ.
Заявка № 2013611597 от 07.03.2013.
22
10. Суров М.О. "Управление неполноприводными системами на примере робо­
тотехнической системы “Бабочка” Четвертая Традиционная Всероссийская
молодежная летняя школа (IV ТМШ) «Управление, информация и опти­
мизация», 2012
Список использованных источников
1. R. K. Mittal, I. J. Nagrath. Robotics And Control
Tata McGraw-Hill Education,
2003.
2. H.K. Khalil. Nonlinear Systems, Prentice Hall.
3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. 1988.
4. Козлов В.В. Трещев Д.В., Биллиарды. Издательство МГУ 1991.
5. M.W.
Spong,
"Underactuated
mechanical
systems,"in
B.
Siciliano
&
K.
Valavanis (Eds.), Control Problems in Robotics and Automation. Vol. 230 of
Lecture Notes in Control and Inf. Sci., London, UK: Springer–Verlag.
6. A. Bicchi, V. Kumar, "Robotic Grasping and Contact: A Review Robotics and
Automation, 2000. Proceedings. ICRA ’00. IEEE International Conference.
7. M.W. Spong, "Energy based control of a class of underactuated mechanical
systems"
8. M. Lynch, N. Shiroma, H. Arai, K. Tanie, “The roles of shape and motion
on dynamic manipulation: the butterfly example,” in Proceedings of IEEE
International Conference on Robotics and Automation, 1998.
9. M. Cefalo, L. Lanari, G. Oriolo, “Energy-based control of the butterfly robot,”
in Proceedings of 8th International IFAC Symposium on Robot Control, 2006.
10. A. S. Shiriaev, J. W. Perram, C. Canudas-de-Wit, "Constructive Tool for
Orbital Stabilization of Underactuated Nonlinear Systems: Virtual Constraints
Approach,"IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 50, no. 8, pp.
1164–1176, 2005.
11. A. Astolfi, D. Karagiannis, R. Ortega, “Nonlinear and Adaptive Control with
Applications”, Springer. 2005.
23
Подписано в печать 25.09.13
Тираж 100
Формат 60х841/16
Заказ 20/09
Цифровая Печ. л. 1.0
печать
Отпечатано в типографии «Фалкон Принт»
(197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
18
Размер файла
940 Кб
Теги
стабилизацией, система, планирование, траектория, динамическое, неполноприводных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа