close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Конструктивно-метрическое и дифференциально-геометрическое образование линейчатых поверхностей и полос.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Нитейский Антон Сергеевич
КОНСТРУКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПОЛОС
05.01.01 – Инженерная геометрия и компьютерная графика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Нижний Новгород - 2013
1
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический
университет»
Научный руководитель
доктор технических наук, доцент
Панчук Константин Леонидович
Официальные оппоненты:
Павлов Александр Сергеевич, доктор технических наук,
профессор, ООО «ЭнергоФихтнер», начальник отдела консалтинга,
Юрков Виктор Юрьевич, доктор технических наук,
профессор, ФГБОУ ВПО «Омский государственный педагогический
университет», профессор кафедры прикладной информатики и математики
Ведущая организация
ФГБОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная
академия»
Защита состоится «17» декабря 2013 г. в 15 час. 00 мин на заседании
диссертационного совета Д 212.162.09 при ФГБОУ ВПО «Нижегородский
государственный архитектурно-строительный университет» по адресу:
603950, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65, корпус 5, ауд. 202.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Автореферат разослан «15» ноября 2013 года.
Ученый секретарь диссертационного совета
кандидат педагогических наук, доцент
2
Н. Д. Жилина
Общая характеристика работы
Выполнение теоретических исследований в области образования и
конструирования различных поверхностей и практическое использование
результатов этих исследований с применением современных компьютерных
технологий является одним из основных направлений в инженерной геометрии.
Среди множества различных по форме и законам образования
поверхностей выделяются линейчатые поверхности, применяемые в различных
областях практической деятельности человека: судостроение (обшивка корпуса
судна), самолетостроение (теоретические модели элементов горизонтального
оперения), архитектурно-строительное проектирование, проектирование
пространственно-шарнирных механизмов в конструкциях роботов и
манипуляторов, разработка орудий почвообработки, проектирование сложных
технических поверхностей на основе аппроксимации линейчатыми
развертывающимися поверхностями и др.
Для образования и конструирования линейчатых поверхностей
используются известные методы: проективный, погружение в конгруэнцию
прямых, кинематический, вычислительной геометрии и др. Анализ этих
традиционных методов обнаруживает, что задача параметрического
моделирования линейчатых поверхностей как правило не рассматривается;
порядки получаемых линейчатых поверхностей не выше четвертого. В тоже
время в указанных областях практических применений актуальным является
использование алгебраических линейчатых поверхностей более высоких
порядков с математическим описанием в векторно-параметрической форме.
В судостроении, самолетостроении, архитектурно-строительной и других
областях промышленности объекты могут быть описаны линейчатыми
поверхностями, как правило, развертывающимися. Например, мелкие суда
выполняются с развертывающейся наружной обшивкой. Но не всегда
достигается описание объектов линейчатыми поверхностями. Одна из причин –
в принципе не решена задача сшивки линейчатых сегментов по общей
образующей. Математический аппарат конструирования линейчатых полос,
косых и развертывающихся, с сегментарной стыковкой определенного порядка
гладкости на данный момент времени отсутствует. Проблема конструирования
линейчатых полос и необходимость ее решения присутствуют и при
проектировании сложных технических поверхностей на основе сегментарной
аппроксимации
развертывающимися
поверхностями,
например,
при
конструировании сложных поверхностей лопаток турбин и насосов, лопастей
воздушных винтов, рабочих поверхностей орудий почвообработки и др.
Вышеизложенное позволяет сделать вывод об актуальности проблемы
образования и конструирования линейчатых поверхностей и необходимости ее
3
нового решения на основе развития известных в инженерной геометрии
методов и разработки математического инструментария для геометрического
моделирования линейчатых поверхностей и полос.
Объект исследования – образование и конструирование сложных
криволинейных поверхностей.
Предмет
исследования
–
конструктивно-метрическое
и
дифференциально-геометрическое образование линейчатых поверхностей и
полос.
Цель исследования – разработать новые методы образования
линейчатых поверхностей, линейчатых полос и плоских алгебраических
кривых, достаточно простые с математической точки зрения, реализуемые без
привлечения
значительных
вычислительных
ресурсов,
обладающие
возможностью параметризации получаемых геометрических моделей
поверхностей, полос и кривых.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие
задачи:
1. Разработать
метод
конструктивно-метрического
образования
линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых.
2. Разработать метод дифференциально-геометрического образования
развертывающихся линейчатых поверхностей на основе плоских кривых.
3. Разработать
математический
инструментарий
стыковки
развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для
образования линейчатых полос.
4. Выполнить практическую реализацию теоретических исследований на
основе параметрического конструирования торсовых поверхностей и полос с
сегментарной стыковкой, используемых в качестве лемешных поверхностей
рыхлителей почвы.
Научная новизна:
1. Разработан новый метод конструктивно-метрического образования
линейчатых поверхностей и плоских алгебраических кривых.
2. Разработан
новый
метод
дифференциально-геометрического
образования развертывающихся поверхностей на основе плоских кривых.
3. Впервые разработан математический инструментарий стыковки
развертывающихся поверхностей по различным порядкам гладкости для
образования линейчатых полос.
Теоретическая и практическая значимость работы
Геометрический инструментарий предлагаемого метода конструктивнометрического образования позволяет получать новые виды линейчатых
поверхностей и плоских алгебраических кривых и расширяет область их
4
практического применения, поскольку математически все они представляются
в векторно – параметрической форме, наиболее удобной для алгоритмической
и программной реализации в решении прикладных задач. Использование
дифференциально-геометрических свойств плоских кривых позволяет получить
новые математические модели образования различных торсовых поверхностей,
удобные для практического использования. Разработанный математический
инструментарий стыковки линейчатых поверхностей необходим для
сегментарного образования линейчатых полос по различным порядкам
гладкости, используемых в задачах конструирования и аппроксимации
сложных технических поверхностей. Результаты теоретических исследований
работы реализованы при параметрическом конструировании лемешных
поверхностей рыхлителей почвы в виде математических моделей,
вычислительных алгоритмов, листинга Maple – программ и приняты к
внедрению на ФГУП «Омский экспериментальный завод».
Методология и методы исследований
Теоретическую базу диссертационного исследования составили труды
ученых по проективной геометрии: Н.Ф. Четверухина, Н.А. Глаголева; по
аналитической геометрии: Б.Н. Делоне и Д.А. Райкова, М.М. Постникова; по
дифференциальной геометрии: П.К. Рашевского, С.П. Финникова, В. Бляшке и
других ученых; по линейчатой геометрии: Д.Н. Зейлигера, С.П. Финникова, Ф.
Клейна, Е. Штуди, А.П. Котельникова, H. Pottmann, J. Walner и других ученых;
по теории начертательной геометрии и геометрическому моделированию: Н.Ф.
Четверухина, З.А. Скопеца, И.И. Котова, А.М. Тевлина, В.А. Осипова, В.С.
Полозова, В.Е. Михайленко, А.Л. Подгорного, В.С. Обуховой, Г.С. Иванова,
В.И. Якунина, В.Я. Волкова, С.И. Роткова, В.Ю. Юркова, Н.Н. Голованова и
многих других отечественных и зарубежных ученых.
В работе принята известная в инженерной геометрии методология
геометрического
моделирования,
основанная
на
аксиоматическом,
конструктивном и аналитическом методах моделирования. Проведение
теоретических исследований в работе выполнено на основе конструктивного и
аналитического
методов
геометрического
моделирования.
Основу
математического инструментария составили аналитический метод проективной
геометрии плоскости и пространства, методы дифференциальной геометрии
плоскости и пространства, методы аналитической и вычислительной
геометрии, элементы дуального векторного исчисления, компьютерной
графики.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Метод конструктивно-метрического образования алгебраических
линейчатых поверхностей и плоских кривых.
5
2. Метод дифференциально-геометрического образования развертывающихся поверхностей на основе плоских кривых.
3. Математический инструментарий стыковки развертывающихся
поверхностей по различным порядкам гладкости для образования линейчатых
полос.
Степень достоверности и апробация работы
Результаты теоретических исследований работы подтверждены
публикациями в рецензируемых изданиях и обсуждены на научных
конференциях. Основные положения докладывались и обсуждались на 63
научно-технической конференции ГОУ «СибАДИ» (г. Омск, 2009 г.); на
региональной молодежной научно-технической конференции «Омское время взгляд в будущее»( г.Омск, 2010 г.); на 65 научно-технической конференции
ГОУ «СибАДИ» (г. Омск, 2011 г.); на международной научно-методической
конференции «Современное состояние, развитие инженерной геометрии и
компьютерной графики в условиях информационных и компьютерных
технологий», посвященной 20-летию независимости Республики Казахстан (г.
Алматы, 2011 г.); на Всероссийской молодежной конференции
«Информационно-телекоммуникационные системы и технологии (ИТСиТ2012)» (г. Кемерово, 2012 г.)
Публикации по теме диссертации
Основные результаты исследований опубликованы в 9 научных работах,
5 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки
РФ, и 3 свидетельства о регистрации электронного ресурса.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения
и библиографического списка. Общий объем составляет 138 страниц, 51
рисунок. Библиографический список включает 117 наименований, в том числе
29 на английском и немецком языках.
Основное содержание работы
Во
введении
обоснована
актуальность
разработки
методов
конструктивно-метрического и дифференциально-геометрического образования
линейчатых поверхностей и их применения при конструировании рабочих
поверхностей рыхлителей почвы. Изложены цели, задачи и краткое содержание
работы, перечислены основные результаты, приведены данные об их апробации
и практическом использовании.
В первой главе выполнен анализ существующих в инженерной
геометрии направлений исследований в области образования и
конструирования
линейчатых
поверхностей,
указаны
области
их
6
практического использования, определены цели и задачи исследования.
Для этого в параграфах 1.1–1.6 рассмотрены работы:
- основанные на использовании классического проективного подхода
(Н.Ф. Четверухин, Н.А. Глаголев) к конструированию линейчатых
поверхностей;
- по образованию линейчатых поверхностей погружением линии в
конгруэнцию прямых (В.Е. Михайленко, А.Л. Подгорный, В.С. Обухова, Г.С.
Иванов, В.Д. Трухина);
- основанные на кинематическом методе образования линейчатых
поверхностей (В. А. Осипов, С.Ф. Пилипака, А.В. Замятин, Д.Я. Ядгаров);
- по образованию линейчатых поверхностей методами вычислительной
геометрии (Д. Роджерс, Дж. Адамс, Н.Н. Голованов, H. Pottmann, J.Wallner);
- основанные на аналитическом моделировании линейчатых
поверхностей на основе принципа перенесения Котельникова-Штуди (А.П.
Котельников, Е. Штуди, В. Бляшке, Д.Н. Зейлигер, Ф.М. Диментберг);
- содержащие исследования по практическому использованию
линейчатых поверхностей, при этом выделена одна из недостаточно изученных
областей их практической востребованности - конструирование рабочих
поверхностей орудий почвообработки (В.С. Обухова, В.Д. Трухина, А.Л.
Мартиросов).
Во второй главе рассмотрено образование алгебраических линейчатых
поверхностей и кривых линий на основе
методов проективной и дифференциальной геометрий.
В параграфе 2.1 исследована
возможность конструктивно-метрического
образования линейчатых поверхностей на
основе введения позиционно-метрических
условий в коллинеарное и коррелятивное
соответствие проективных образов первой
ступени, моделируемых в расширенном
евклидовым пространством Е3+ (рис. 1).
Рассмотрим проективное соответствие
Рис. 1. Геометрическая схема
двух пучков прямых первого порядка, образования линейчатой поверхности
находящихся
в
не
совмещённых
плоскостях. Введение позиционно-метрического условия заключается в
построении общего перпендикуляра N1N2 к соответственным прямым. Матрица
коллинеарного соответствия плоских полей, которым принадлежат пучки,
имеет вид:
7
 a1
  a 2
a 3
b1
b2
b3
c1 
c 2 , |  | 0.
c 3 
(1)
Если за центры связок, к которым принадлежат эти пучки, принять точки
S1 (x1, y1, z1) и S2 (x2, y2, z2), то параметрические уравнения соответственных
прямых примут вид l и l':
l↔ [l]Tt + [x1 y1 z1]T; l'↔ [l']Tt' + [x2 y2 z2]T,
(2)
Т
T
T
причем [l'] =[Δ]∙[l], где [l]=[L M N] и [l']=[l m n] координаты направляющих
векторов прямых l и l' соответственно, t, t' - параметры положения точек на
прямых l и l'. Образуемая поверхность будет представлять собой множество
общих перпендикуляров соответственных прямых. В векторной алгебре и
аналитической геометрии известны способы получения уравнения общего
перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым. В итоге выполняя
необходимые математические операции и принимая координаты прямой в
пучке {L,M,N} за {a,1,0}, получим координатно-параметрические уравнения
линейчатой поверхности:





t n 3  t П nm2 a 3  2t П a 2 nlm  ln  2m 2  2n 2  7lm  t П n 3  t П nl2 a  7n 2  nm  2lm  7l 2
y r (t П , a)   П
,
n 2  m 2 a 2  2lam  l 2  n 2
ln  2m
x r (t П , a )  
2
2

 
 
2 2

 2n  t П n  7lm  t П nm a   7l 2  nm  7n 2  2t П nlm  2lm a  t П nl2  t П n 3 (3)
,
n 2  m 2 a 2  2lam  l 2  n 2
z r (t П , a )  t П (ma l),
3
где tП - параметр положения точки на
линейчатой образующей, а – параметр прямой
в пучке.
Исследования
этого
уравнения
показали, что полученная поверхность имеет
порядок, равный шести. Предложенный
L
подход может быть использован для
получения различного вида линейчатых
поверхностей путем увеличения порядка
соответственных в коллинеации пучков
Рис. 2. Геометрическая схема
прямых. Введение позиционно-метрического
образования квазиподэрной
поверхности
условия в коррелятивное соответствие (рис. 2)
точечного ряда l и пучка плоскостей (l')
первого порядка, принадлежащих тем же связкам S1 и S2, состоящее в
построении перпендикуляра LN из точки L ряда l на плоскость L', приводит к
образованию квазиподэрных поверхностей – линейчатых поверхностей второго
порядка. Матрица коррелятивного соответствия пространства в этом случае
имеет вид:
8
 a1
a
 2
a3

x 2
b1
b2
b3
y2
c1
c2
c3
z2
1
1
, |  | 0.
1

1
(4)
Текущая точка L на прямой l и соответственная ей плоскость пучка L'
имеют однородные координаты соответственно:
A 
 Lt 
 B
Mt 
Т
[l]   ,[L]   , причем[L'] =[Δ]∙[l].
C
 Nt 
 
 1 
D
(5)
где – t параметр положения точки на прямой l. Параметрические уравнения
искомого перпендикуляра принимают вид:
(6)
где tП - параметр положения точки на линейчатой образующей, t - параметр
положения точки на прямой l.
Найденное уравнение будет описывать в общем случае незамкнутую
поверхность. Исключительным является случай, когда сама прямая l будет
образующей получаемой поверхности. Тогда поверхность совпадет с
плоскостью. Различные виды образующейся линейчатой поверхности могут
быть получены путем увеличения порядков
соответственных в корреляции точечных рядов и
пучков плоскостей.
В параграфе 2.2 рассмотрена плоскостная
интерпретация
конструктивно-метрического
метода с целью образования алгебраических
кривых высших порядков. На плоскости введение
позиционно-метрического условия (рис. 3), а
Рис. 3. Геометрическая
именно: проведение перпендикуляра из точки на
схема образования
квазиподэры
К(1-1)
соответственную ей прямую в коррелятивном
соответствии ряда и пучка приводит к
образованию квазиподэры - алгебраической кривой третьего порядка.
Коррелятивное соответствие точек L'(x, y) ряда первого порядка s и прямых l{l,
m} пучка первого порядка (S1) имеет вид:
a x  b1y  c1 ;
a x  b 2 y  c2
l= 1
m= 2
a 3x  b3y  c3
a 3x  b3y  c3
9
(7)
Искомая кривая К(1-1), где первое и второе число – порядки проективно
соответственных ряда и пучка, определяются как множество точек пересечения
прямых l и указанных выше перпендикуляров.
Искомые уравнения квазиподэры имеют вид:
Х
m2 x  mlx  l
l2  m 2
, Y
l2 y  lmx  m
l2  m 2
.
(8)
Кривая,
построенная
на
данных
условиях,
имеет
третий
порядок
и
представляет собой известную в геометрии и
кинематике кривую – офиуриду (рис. 4).
Предложенный
метод
образования
алгебраических кривых третьего порядка более
прост в математическом описании по
сравнению
с
известными
методами.
Увеличение порядков проективных рядов и
пучков прямых позволяет конструировать
алгебраические
кривые
более
высоких
Рис. 4. Визуализация
порядков.
коррелятивного соответствия
прямой и пучка прямых.
В параграфе 2.3 на основании
Квазиподэра К(1-1)
дифференциальной геометрии плоской кривой
линии получена математическая модель
образования
линейчатой
развертывающейся
поверхности. Для плоской кривой g , можно
записать уравнения прямолинейной образующей
(рис. 5):
l =  cos  n  sin   cos   b  sin  ,
(9)
где  , n , b – касательная, нормаль и бинормаль
кривой g .
Уравнение
образуемой
линейчатой
Рис. 5. Положение
поверхности может быть записано
вектора образующей
линейчатой поверхности
(10)
L(t, s)  g (s)  l(s)T,
где s – натуральный параметр, T – параметр точки на образующей. Запишем
известное дифференциально-геометрическое условие развёртываемости
линейчатой поверхности

dl 
 , l,   0.
ds 

(11)
После выполнения необходимых математических преобразований это
условие принимает вид
10
d
 k  ctg  ds  ctg  d = 0 .
cos   sin 
(12)
Поскольку k∙ds=dδ, где dδ – приращение угла наклона δ орта  от его
первоначального положения, то приняв dδ=dβ/m, после интегрирвания
получим:
ln | tg |
ln | sin |
 ln | sin  | C ,
m
(13)
где m – скалярный параметр. В итоге получим решение для угла α:
m 1 

 = arctg eC  sin m  ,




(14)
где n∙π ≤ α < (2n+1)∙π/2, β = m∙δ.
Определяя угол    k  ds
для заданой плоской кривой g и
учитывая предыдущие формулы,
получим
развертывающуюся
линейчатую поверхность. В
зависимости от формы плоских
кривых
и
параметра
m,
определяющего
положение
Рис. 6. Семейство торсовых поверхностей
образующей прямой, можно
для окружности при m=0,2; m=1
соответственно
получать
различные
виды
торсовых поверхностей (рис. 6).
При этом вместо соотношения β=m∙δ можно принять любой закон изменения
угла β. Предложенный дифференциально-геометрический подход позволяет в
режиме прямого счета на основе изменения геометрических параметров модели
получать интерактивно различные виды развертывающихся линейчатых
поверхностей.
В третьей главе рассмотрены теоретические вопросы соприкосновения
линейчатых поверхностей.
В параграфе 3.1 приведены сведения по соприкосновению косых
линейчатых поверхностей, исследованного К.Л. Панчуком. Основные из них:
- уравнение линейчатой поверхности в дуальной векторной форме имеет
вид: А1 t   a 01 t   a11 t  , ω2=0, где a 01 t  - единичный вектор образующей
прямой, a11 t  - момент вектора a 01 относительно начала координат системы
отнесения, А1 (t ) - дуальный единичный вектор с координатным представлением
А1  ix  jy  kz , при
этом x 2  y 2  z 2  1 , t – вещественный параметр T0 ≤ t ≤ T1 ;
- существует триэдр линейчатой поверхности с дуальными ортами А1 ;
11
А 2  а 02  а12 
A1
H
;
А 3  а 03  а13  А1  А 2
и деривационными уравнениями
А1  H  А 2 ; А2  H  А1  Q  A3 ; A3  Q  A 2 ;
• дуальный вектор расхождения двух линейчатых поверхностей с общей
образующей имеет выражение:



 Δt 2
~
~ 
~ 
G t   A1 t 0  - A1* t 0    A1 t 0 A 1* t 0   Δt   A1t 0  - A 1* t 0  
 ... ;



 2!
/
//
(15)
- порядок соприкосновения линейчатых поверхностей определяется:
lim
gt 
n
Δt→ 0 Δt
 0 , где g(t) - модуль дуального вектора расхождения;
- соприкосновения начальных порядков характеризуются:
~*
~
A1 t 0   A1* t 0  ; A1t 0   A1 t 0  ;
/
n=0 (пересечение по общей образующей) -
~ */
~ *//
~*







A
t

A
t




A
t

A
t


A
t

A
n=1 - 1 0
1 0 ; 1 0
1 0 ; 1 0
1 t 0  . При n=1 в центральной
точке общей образующей соприкасающиеся линейчатые поверхности имеют
совпавшие триэдры и равные элементы дуальных дуг, их стрикции
пересекаются в центральной точке так, что касательные к стрикциям в этой
точке инцидентны касательной плоскости соприкасающихся линейчатых
~ ///*
~ */
~ *//
~*






поверхностей; n=2 - A1 t 0   A1 t 0  ; A1 t 0   A1 t 0  ; A1 t 0   A1 t 0  ; A1 (t 0 )  A1 t 0  .
~
~ ~
В общей образующей выполняются равенства H  H  ~t ; H  (H
 t )t ;
~ ~
Q  Q  t  , раскрытие которых приводит к следующим результатам: стрикции
соприкасающихся линейчатых поверхностей имеют в центральной точке
образующей соприкосновения общую касательную, инцидентную касательной
плоскости этих линейчатых поверхностей; совмещены триэдры эволют первого
порядка соприкасающихся линейчатых поверхностей; равны их дуальные
  sinR , где R=R(s) - дуальный угол между
радиусы кривизны   ~
соответствующими образующими ЛП и ее линейчатой эволюты.
В параграфе 3.2
выполнено решение задачи по построению
соприкасающихся развертывающихся поверхностей (торсов), основанное на
результатах п.п. 3.1. В отечественной и зарубежной научной литературе эта
задача, несмотря на ее практическую востребованность, находится в начальной
стадии рассмотрения. Для двух торсов условие n=0 означает пересечение по
общей образующей. Рассмотрим соприкосновение n=1. Для двух торсов А1 (t ) и
~ ~
А1( t ) параметры Р и
~
P их образующих равны нулю и поэтому элементы их
дуальных дуг ∆s и ~s - вещественные числа ∆s0 и ~s0 . Поэтому триэдры
линейчатых поверхностей в центральной точке A их общей образующей
12
совпадают
с
трехгранниками стрикций - ребер возврата торсов:
а 01, а 02 , а 03   ~а01, ~а02 , ~а03 . Исходя из условий соприкосновения n=1,
приведенных в п.п. 3.1, и учитывая, что дуальное равенство ds  d~s для торсов
становится вещественным ds 0  d~s0 , то поскольку ds0  k  dσ получаем, что
~ ~
. Следовательно, произведение кривизны на элемент дуги стрикции
k  dσ  k  dσ
для обеих стрикций в их точке касания равны. Для торсов соприкосновение n=2
исследуется на результатах этого соприкосновения для косых линейчатых
поверхностей, приведенных в п.п.3.1. На основании этих результатов, с учетом
выражений для вторых производных
~
~ ~ 2 ~
~ ~ 2 ~ ~ ~
~ ~ ~ 2 ~
A1  -H 2  A1  H  A2  H  Q  A3 , A1  H 2   t  A1   H~t   t  H  t   A 2   H  Q   t   A3 (16)




~ ~
~ ~
~ ~
следуют дуальные уравнения H  H  t ; H  (H  t)t ; Q  Q  t , раскрытие которых, с
учетом уравнений стрикций соприкасающихся торсов, приводит к выражениям
~, k  ~
dσ  dσ
k , что означает равенство элементов дуг и кривизн стрикций торсов
~
в центральных точках A  A их совмещенных образующих прямых линий
а 01  ~
а01 . На основании этого результата и, учитывая, что для элемента ds (1)
дуальной дуги, образованной перемещением бинормали а 03 , можно записать
дуальные
равенства ds (1)  ds 01  ωds11  Q  dt  (q 0  ωq1 )dt ,
из
которых,
по
разделении главных и моментных компонент
~
~
ds 01  q 0 dt  ~
q 0 t dt  ~
q 0 d t  d~s01 ,
~
~~
ds  q dt  dσ  dσ
q d t  d~s
(17)
 d~s(1) , означающий равенство элементов дуальных дуг
11
следует результат ds (1)
1
1
11
бинормалей стрикций соприкасающихся торсов. На основании известной в
линейчатой геометрии формулы ds (1)    d  e  /  , с учетом последнего
результата, получаем   ~ , что означает равенство кручений рассматриваемых
стрикций. Последовательное выполнение исследований, подробно изложенных
в настоящем параграфе работы, привело к получению следующих результатов
по соприкосновению n=2: выполняется равенство параметров дуальных дуг
~
бинормалей стрикций P(1)  P(1) ; равны элементы дуальных дуг ds  d~s ,
описываемых
P 
нормалями
ds1
~
  /( k 2   2 )  P
ds0
соприкасающихся
R  R 0  R1 ,
этих
~
à 02
элементов;
торсов
~ ~
~
R  R 0  R1 ,
и
а 02

стрикций
равны
2
2
1
k 2   2  e  /(k  )  ~

k
~
R R,
и
определяющие
~
параметры
дуальные
кривизны
и равны дуальные углы
положение
дуальных векторов главных нормалей B1 и B1 торсов;
13
равны
единичных
совмещены триэдры
эволют
первого
~
~
~
B1  B1 , B2  B2 , A 2  A 2 ;
~
~ dR dR
изгибы
 ~ 

ds
ds
порядка
равны
дуальные
соприкасающихся
торсов в их общей образующей; совмещены
триэдры
эволют
второго
порядка
~
~
~
B1  B1 , C1  C1 , C2  C2 этих торсов (рис.7). На
основании проведенных исследований сделан
общий вывод о том, что для полного
соприкосновения n=2 торсовых поверхностей
необходимо, чтобы в их общей образующей
Рис. 7. К соприкосновению двух
выполнялось равенство значений дуальных
торсовых поверхностей
~
изгибов    .
В параграфе 3.3 рассмотрены примеры применений теоретических
результатов п.п. 3.1, 3.2 в задачах конструирования линейчатых полос из
сегментов торсовых поверхностей, построенных на основе эрмитова сплайна
пятой степени, выражение для которого получается из общего уравнения
эрмитова сплайна нечетной степени:

 



Fi t  = 1  10 t 3  15 t 4  6t 5 Pi  10 t 3  15 t 4  6t 5 Pi 1  t  6t 3  8t 4  3t 5 Pi 
3
3
1 
1 
1
1
  4t 3  7 t 4  3t 5 Pi1   t 2  t 3  t 4  t 5  Pi   t 3  t 4  t 5  Pi  1
2
2
2 
2 
2
2


(18)
Последнее уравнение может быть представлено в матричном виде [Fi ]= [T][Gi],
где [Т] - матрица весовых коэффициентов, [Gi] - матрица геометрии
соответственно:
[T]  [1  10 t 3  15 t 4  6t 5 ,10 t 3  15 t 4  6t 5 , t  6t 3  3t 5  8t 4 ,7 t 4  4t 3  3t 5 ,
1 2 3 3 3 4 1 5 1 3 4 1 5
t  t  t  t , t  t  t ];
2
2
2
2 2
2
(19)
[G i ]  [ Pi , Pi 1 , Pi, Pi1 , Pi , Pi  1 ]T
[Pi] – матрица-столбец координат граничных условий (точек либо
касательных). Уравнение торсовой поверхности в этом случае может быть
записано в следующем обобщенном виде: Fi (t, u)  Fi (t )  u  Fi(t ); t  [0,1] . Первый
порядок гладкости стыковки торсов для рассматриваемого случая может быть
получен при сонаправленности векторов главных нормалей в узлах сегментов
кусочного сплайна, различающихся дополнительными множителями (рис.8).
Матрицы геометрий для трех сегментов в рассматриваемом случае имеют вид:
[G1 ]  [ P1 , P2 , P1, P2, P1, P2]T , [G 2 ]  [ P2 , P3 , P2, P3, a  P2, P3]T , [G 3 ]  [ P3 , P4 , P3, P4 , b  P3, P4]T . (20)
14
Эрмитовы сплайны пятой степени с непрерывной производной третьего и
четвертого порядков в узлах сегментов получаются на основе решений системы
уравнений:
F IV i ( t  1)  F IV i 1(t  0)  0,
F'''i (t  1)  F'''i 1t  0  0.
(21)
Раскрывая и группируя члены последних уравнений, получим систему:
3  Pi  18  Pi  1  3  Pi  2  60  Pi  2  24  Pi 2  120  Pi 1  60  Pi  24  Pi,
168  Pi  384  Pi1  168  Pi 2  360  Pi  2  24  Pi  2  360  Pi  24  Pi .
(22)
Из системы (22) определяются первые и вторые производные в узлах
интерполяции [P′′i+1], [P′i+1], где i =[1, n-1] в
точке
соединения
соседних
сегментов.
Параметрические
уравнения
сегментов
образующихся кусочных Эрмитовых сплайнов
определяются: [F1] = [T]∙[G1]; [F2] = [T]∙[G2]; [F3]
= [T]∙[G3].
Кусочные сплайны с непрерывными
производными второго и третьего порядков в
узлах дают неполный второй порядок гладкости
стыковки торсов.
Рис. 8. Линейчатая полоса
Кусочному сплайну с непрерывной
первого порядка гладкости
четвертой производной в узлах соответствуют
стыковки сегментов
торсы, состыкованные по второму порядку
гладкости (совпадают трехгранники стрикций;
равны кривизна и кручение в узлах стыка, равны
~
дуальные изгибы    ). Если добавить
циклические условия на концах, например,
сплайна (20), то получим замкнутый кусочный
сплайн и соответствующую полосу (рис. 9). При
сферическом отображении этого сплайна можно
получить линейчатые полосы второго порядка
гладкости из сегментов сферических торсов.
В
четвертой
главе
выполнено
приложение
полученных
теоретических Рис. 9. Замкнутая линейчатая
полоса неполного второго
результатов к решению прикладной задачи по
конструированию
лемешных
поверхностей порядка гладкости сегментов
рыхлителя почвы.
В параграфе 4.1 на основе анализа существующих исследований по
конструированию рыхлителей сделан вывод о необходимости геометрического
15
моделирования рабочей поверхности лемеха рыхлителя, закрепляемого на
различных видах стоек.
В параграфе 4.2
рассмотрено решение задачи конструирования
лемешной поверхности для прямой и цилиндрической стоек. Конструирование
лемешной поверхности стойки состоит в получении линейчатой поверхности,
дающей необходимую информацию и возможность изменения угла крошения
лемеха (рис. 10). Представим ее
в
виде
линейчатой
развертывающейся
полосы,
имеющей вогнутую форму и
выполненную
эквидистантно
лобовому профилю стойки
рыхлителя. Такой лемех имеет
вогнутый профиль, соответствующий минимальной энергоемкости захвата и отведения
пласта,
осуществляет
Рис. 10. а) соприкосновение пары линейчатых
сегментов;
б) линейчатая полоса, представляющая
минимальный оборот агрегатов
лемешную поверхность при m= -0.43 и αmax = 260
почвы
в
пласте,
что
способствует ровной пахоте и дополнительному крошению почвы. Все это
приближает процесс рыхления к условиям минимальной обработки почвы.
Поперечный профиль таких стоек определяется по формуле
логарифмической спирали:
g = r  e t cos t  i  r  e t sin t  j  0  k ,
(23)
при этом r – эмпирический параметр, зависящий от ширины долота и глубины
рыхления. Дуга логарифмической спирали рассчитывается, исходя из глубины
рыхления до 650 мм, при этом рекомендуется выбрать r = 7. Граничные точки
профиля стойки определяются из условия gk  1, gk  0 , из которого следует
t1=-π/4+n∙π; tk=π/4+n∙π.
На практике применяются конструкции рыхлителей с прямыми стойками
с приемлемой геометрической
формой в виде полупараболического
2
продольного профиля с началом в нижней точке: g = at  i  2  at  j , где а –
параметр, отвечающий за кривизну параболы, который может быть подобран из
условия минимизации тягового сопротивления при равенстве движущих сил и
сил сопротивления при установившемся движении рыхлителя, например, а =
40. Полученный продольный профиль в виде логарифмической спирали
удобнее аппроксимировать дугами окружности. Из получившихся линейчатых
сегментах
затем
строится
линейчатая
развертывающаяся
полоса.
16
Аппроксимация дугами окружностей выполняется радиусо-графическим
способом. В результате на основании формул п.п. 2.3 получаем линейчатые
сегменты
[L]=[o]+[l]∙T,
(24)
где l  (   cos   n  sin )  cos   b sin  ;   arctg( sin(mt )
m1
m );
[o] – коорди-
натно-параметрические уравнения дуги окружности; T – параметр положения
точки на образующей, m – скалярный параметр, t – параметр точки на кривой,
представляющей профиль стойки. Скалярный управляющий параметр m,
введенный в п.п. 2.3, определяет вид закона изменения угла рыхления от
параметра плоского профиля стойки. Он выбирается эмпирически в
зависимости от того, как нужно наращивать угол крошения и какие предельные
значения для него приняты. Из этих соображений определяем параметрическую
область (рис. 11) для уравнений поверхности п.п. 2.3, в которой угол крошения
изменяется в интервале [260, 0]: t0=0, tn=3π/4 для логарифмической спирали.
α
t
Рис. 11. Закона изменения угла рыхления α при m = -0,43 для
логарифмической спирали, t=[0; 1.4937] рад.
Приводя сегменты в соприкосновение по первому порядку гладкости,
получаем линейчатую полосу. Триангулированные уравнения полученной
линейчатой полосы распечатывается в структурированный текстовый файл
«CSV» или в форматированный файл «TXT». После чего данные о линейчатой
полосе могут быть импортированы в практически любую САПР.
В работе выполнено построение твердотельной модели рыхлителя в
системе Компас 3D. Импорт поверхности лемеха стойки в Компас 3D
выполняется при помощи выстроенной команды «Поверхность по сети точек»
(рис. 12). Благодаря наличию SDK и параметрическому моделированию в
системе Компас 3D выполнена параметрическая модель изделия. Такая модель
требует специфических сведений о типах применяемых почв и вариантах
конструкций рыхлителей. Предложенная математическая модель лемешной
17
поверхности рыхлителя и ее конструкция приняты к внедрению на ФГУП
«Омский экспериментальный завод».
1
1
2
2
2
1
3
3
Лемешная
поверхность
а)
б)
Рис. 12. Параметрическая модель рабочих органов рыхлителей со
стойкой 1, долотом 3 и лемехом 2, выполненная в САПР Компас 3D
а) с параболической стойкой; б) с криволинейной стойкой
Основные результаты и выводы
1. Разработан новый метод конструктивно-метрического образования
линейчатых поверхностей. Отличительной особенностью метода является
возможность получения алгебраических линейчатых поверхностей и плоских
алгебраических кривых высоких порядков при пониженных, в сравнении с
известными методами, порядках проективных рядов, пучков прямых и
плоскостей.
2. Разработан
новый
метод
дифференциально-геометрического
образования развертывающихся поверхностей на основе дифференциальной
геометрии плоской кривой, позволяющий выполнять математическое описание
линейчатых поверхностей в векторно-параметрической форме. Отличительной
особенностью метода является возможность получения в режиме прямого
счета, на основе изменения геометрических параметров, различные виды
торсовых поверхностей.
3. Разработан математический инструментарий стыковки развертывающихся поверхностей, позволяющий образовывать полосы из линейчатых
сегментов, состыкованных по определенным порядкам гладкости. Вопросы
сегментарного конструирования линейчатых полос по различным порядкам
гладкости рассматриваются впервые.
4. Выполнено практическое применение полученных теоретических
результатов исследований в задаче параметрического конструирования
лемешных поверхностей рыхлителей почвы с возможностью управления
18
формой рабочей
почвообработки.
поверхности
исходя
из
технологических
условий
Публикации по теме диссертационной работы
Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК:
1. Нитейский, А. С. Конструирование торсовой поверхности методом
подвижного трехгранника Френе / А. С. Нитейский // Омский научный вестник.
– 2013. – № 2 (120). – С. 151-153.
2. Нитейский, А. С. Элементы теории соприкосновения линейчатых
развертывающихся поверхностей / А. С. Нитейский, К. Л. Панчук // Вестник
кузбасского государственного технического университета. - 2012. - Вып. 6 (94).
– С. 112-117.
3. Нитейский, А. С. Соприкосновение линейчатых развертывающихся
поверхностей [Электронный ресурс] / А. С. Нитейский, К. Л. Панчук //
Инженерный вестник дона. - 2012. - № 3. – Режим доступа:
http://ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/930/
4. Панчук, К. Л. Элементы теории соприкасающихся линейчатых
поверхностей/ К. Л. Панчук, А.С. Нитейский// Вестник Сибирской
государственной автомобильно–дорожной академии (СибАДИ). – 2012. – Вып.
4(26).–С. 84–90.
5. Нитейский, А. С. Конструирование линейчатой поверхности на основе
проективных пучков прямых / А. С. Нитейский, К. Л. Панчук // Омский
научный вестник. – 2011. – № 3(103). – С. 13 – 17.
Статьи в сборниках научных трудов и сборниках конференций:
6. Нитейский, А. С. О конструировании линейчатых развертывающихся
полос / А. С. Нитейский // Информационно-телекоммуникационные системы и
технологии (ИТСиТ-2012): матер. Всерос. молодежной конф. – Кемерово, 2012.
– С. 232– 233.
7. Нитейский, А.С. Конструктивно аналитическое описание образования
квазиподэр [Электронный ресурс] / А.С. Нитейский, К. Л. Панчук // Прикладная
геометрия. - 2011. – Вып. 13. - № 27. – С. 12-21. – Режим доступа:
http://www.apg.mai.ru/Volume13/Number27/nit1327.pdf
8. Нитейский,
А.С.
Конструктивно-метрическое
образование
квазиподэр/ А. С. Нитейский, К. Л. Панчук // Ориентированные
фундаментальные и прикладные исследования – основа модернизации и
инновационного
развития
архитектурно-строительного
и
дорожнотранспортного комплексов России: матер. Всерос. 65-й науч. - техн. конф.
ФГБОУ ВПО «СибАДИ» (с междунар. участием). – Омск, 2011. – Кн. 2. – С.
270– 275.
19
9. Нитейский, А. С. Конструктивно-метрический подход к образованию
плоских алгебраических кривых/ А. С. Нитейский, К. Л. Панчук // Современное
состояние, развитие инженерной геометрии и компьютерной графики в
условиях информационных и компьютерных технологий: тр. междунар. науч.метод. конф. – АЛМАТЫ. - 2011. – С. 62-70.
Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ:
10. Нитейский, А.С. Программа моделирования лемешной поверхности
рыхлителя на основе линейчатой развертывающейся полосы / А. С. Нитейский:
М.: ИНиПИ РАО, 2013. - № 50201350848. Свидетельство о регистрации
электронного ресурса № 19375 от 22.07.2013.
11. Нитейский, А. С. Программа «Компьютерного моделирования
алгебраических линейчатых поверхностей
высших порядков на основе
проективного метода» / А. С. Нитейский, К. Л. Панчук: М.: ИНиПИ РАО,
2013. - № 50201350152. Свидетельство о регистрации электронного ресурса №
18925 от 12.02.2013.
12. Нитейский, А. С. Программа «Компьютерного моделирования
плоских
алгебраических
кривых
высших
порядков
на основе
проективного метода» / А. С. Нитейский, К. Л. Панчук: М.: ИНИПИ РАО,
2013. - № 50201350153. Свидетельство о регистрации электронного ресурса
№ 18924 от 12.02.2013.
20
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа