close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДИСЛОКАЦИОННОЙ ПЕТЛИ И ФОРМИРОВАНИЯ ЗОНЫ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОГО СДВИГА В ГЦК МЕТАЛЛАХ.

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Петелин Александр Евгеньевич
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ
ДИСЛОКАЦИОННОЙ ПЕТЛИ И ФОРМИРОВАНИЯ ЗОНЫ
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОГО СДВИГА В ГЦК МЕТАЛЛАХ
Специальность: 01.04.07 – физика конденсированного состояния
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Барнаул – 2013
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном
учреждении высшего профессионального образования «Томский государственный
архитектурно-строительный университет»
Научный руководитель:
Колупаева Светлана Николаевна,
математических наук, профессор
доктор
физико-
Официальные оппоненты: Князева
Анна
Георгиевна,
доктор
физикоматематических наук, профессор ФГБОУ ВПО
«Национальный исследовательский Томский политехнический университет», профессор
Демьянов
Борис
Федорович,
доктор
физикоматематических наук, профессор ФГБОУ ВПО
«Алтайский государственный технический университет
им. И.И. Ползунова», профессор
Ведущая организация:
Институт металловедения и физики металлов
им. Г.В. Курдюмова ФГУП ЦНИИчермет им. И.П. Бардина, г. Москва
Защита состоится «23» декабря 2013 г. в 13:00 на заседании диссертационного совета Д 212.004.04 при Алтайском государственном техническом университете
им. И.И. Ползунова по адресу: 656038, г. Барнаул, пр. Ленина, 46.
e-mail: veronika_65@mail.ru.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова.
Автореферат разослан «
» ноября 2013 г.
Ученый секретарь диссертационного совета,
кандидат физико-математических наук,
доцент
Романенко В.В.
Отзывы на автореферат с печатью в 2-x экземплярах просим присылать на
e-mail и адрес диссертационного совета АлтГТУ
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования. Пластическая деформация в широком спектре
условий реализуется преимущественно механизмами кристаллографического
скольжения, единичным процессом которого является распространение элементарного кристаллографического сдвига, ограниченного внутри кристалла замкнутой дислокацией (дислокационной петлей). Как правило, образуется не одна дислокационная петля, а серия дислокаций, формирующих зону кристаллографического сдвига. При этом образование элементарного кристаллографического
скольжения и зоны сдвига осуществляется в динамическом режиме за время много
меньшее длительности деформирующего воздействия. Именно на уровне элементарных кристаллографических скольжений и зоны сдвига, которая является связующим звеном между микро- и макропроявлениями сдвиговой деформации, начинается переход от описания на атомном уровне к описанию в терминах сплошной среды.
Основные результаты при моделировании динамики дислокаций получены
преимущественно методами имитационного моделирования движения прямолинейной (А. Формен, М. Мейкин, Б.М. Струнин, А.А. Предводителев, С.И. Зайцев,
Э.М. Надгорный, А.И. Ландау, Д. Моррис, Р. Лабуш, Р. Арсено, Т. Кэдмен,
О.Г. Тюпкина, И. Грома, Г.С. Паули, Л.П. Кубин и др.) или замкнутой (Н.А. Тяпунина, М.И. Слободской и Л.Е. Попов и др.) дислокации в поле дискретных препятствий.
В работах Л.Е. Попова и М.И. Слободского показано, что использование имитационного моделирования наиболее эффективно при описании эмиссии дислокации до достижения критической конфигурации и образования замкнутой дислокации. При описании дальнейшего развития границы элементарного кристаллографического скольжения возможна замена суммарного сопротивления расширению
образующей фронт скольжения замкнутой дислокации со стороны дискретных
препятствий распределенными силами трения.
В середине 70-х годов прошлого века в работах В.Д. Нацика и К.А. Чишко было проведено исследование испускания источником Франка-Рида серии из пятнадцати дислокационных петель. В 90-х годах прошлого века в работах Л.Е. Попова,
С.Н. Колупаевой с сотрудниками методами математического моделирования рассмотрена динамика элементарного кристаллографического скольжения при формировании зоны сдвига. Исследования проведены на меди с использованием математической модели [1], записанной исходя из закона сохранения энергии для
замкнутой дислокационной петли. В модели учтены силы Пича–Кёлера, обусловленные приложенным воздействием, и силы сопротивления движению дислокаций,
обусловленные решеточным и примесным трением, дислокационным сопротивлением, обратными полями напряжений со стороны скопления ранее испущенных
дислокаций, вязким торможением, а также линейным натяжением и генерацией точечных дефектов за порогами на дислокации.
При использовании модели [1] предполагалось, что зона сдвига формируется в
однородной изотропной среде; дислокационная петля в начальной конфигурации
3
имеет форму окружности и сохраняет её при расширении; линейное натяжение
одинаково по всем ориентациям дислокационной петли; генерация точечных дефектов отсутствует, либо осуществляется за всеми порогами на винтовой и близких к ней ориентациях дислокационной петли, при этом сопротивление, связанное
с производством точечных дефектов, равномерно распределено по всей длине дислокационной петли.
Для анализа формоизменения дислокационной петли в математической модели
элементарного кристаллографического скольжения необходимо учесть зависимость
силы линейного натяжения дислокации и интенсивности генерации точечных дефектов за порогами на дислокации от ориентации вектора Бюргерса по отношению к
линии дислокации (далее ориентационная зависимость). Важным фактором,
влияющим на характеристики формирования зоны кристаллографического сдвига,
также является упругое взаимодействие между дислокациями скопления.
Изучение роли вышеназванных факторов в закономерностях формирования зоны кристаллографического сдвига является весьма непростой задачей, поскольку в
процессе формирования зоны кристаллографического сдвига дислокационная петля преодолевает сотни и тысячи дислокаций некомпланарных систем скольжения,
а количество дислокационных петель, испущенных одним дислокационным источником, может достигать десятков и сотен дислокаций. Одной из причин недостаточной изученности процесса формирования зоны кристаллографического сдвига является большой объем информации, получаемой при исследовании. Оптимальным решением для поддержки исследования динамики дислокаций при формировании зоны сдвига является создание проблемно-ориентированного комплекса программ с развитым интерфейсом пользователя.
Целью диссертационной работы является исследование методами математического моделирования и вычислительного эксперимента динамики дислокационной
петли и формирования зоны кристаллографического сдвига в ГЦК металлах.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
1. Провести анализ математической модели динамики элементарного кристаллографического скольжения при формировании зоны сдвига, реализовать программную поддержку модели, результаты, полученные предыдущими авторами,
использовать для тестирования программы.
2. Выполнить комплексное исследование энергетических, масштабных и временных характеристик динамики дислокационной петли при формировании зоны
кристаллографического сдвига в меди, алюминии и свинце.
3. Провести анализ влияния различных механизмов блокировки дислокационного источника на формирование зоны кристаллографического сдвига.
4. Учесть в математической модели силу упругого взаимодействия между
дислокациями формирующегося дислокационного скопления и провести исследование влияния упругого взаимодействия на формирование зоны сдвига.
5. Исследовать закономерности эволюции дислокационных петель при учете
ориентационной зависимости линейного натяжения и интенсивности генерации
точечных дефектов за порогами на дислокациях и провести анализ влияния ориентационной зависимости на формирование зоны сдвига в ГЦК металлах.
4
Научная новизна. Развита математическая модель динамики элементарного
кристаллографического скольжения при формировании зоны сдвига с учетом упругого взаимодействия между дислокациями формирующегося дислокационного
скопления. Учет упругого взаимодействия дислокаций позволил определить плотность скопления дислокаций на границе зоны сдвига, время блокировки дислокационного источника, оценить количество дислокаций в скоплении и диаметр зоны
сдвига в ГЦК металлах.
Создана математическая модель, в которой впервые учтена ориентационная зависимость силы линейного натяжения дислокационной петли и интенсивности генерации точечных дефектов за порогами на дислокации. Модель записана исходя из
закона сохранения энергии для замкнутой дислокационной петли, представленной в
виде многоугольника со сколь угодно малыми сторонами. Используемый подход позволил получить закономерности изменения формы дислокационной петли при
формировании зоны кристаллографического сдвига.
Создан проблемно-ориентированный комплекс программ с развитым интерфейсом пользователя, позволяющий с использованием разработанных моделей
проводить исследование динамики дислокаций и формирования зоны кристаллографического сдвига в ГЦК металлах.
Научная и практическая ценность диссертационной работы заключается в
развитии математического аппарата описания механизмов формирования зоны
кристаллографического сдвига. Полученные результаты расширяют представление
о процессах, происходящих на микро- и макроуровне в ГЦК металлах.
Создан проблемно-ориентированный комплекс программ для проведения вычислительных экспериментов с использованием разработанных моделей. Архитектура комплекса позволяет без изменения его структуры подключать дополнительные модели, представленные в виде систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. Комплекс программ может быть использован в научных исследованиях и
в учебном процессе при подготовке бакалавров, магистров и аспирантов.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Математическая модель динамики дислокационной петли и формирования
зоны кристаллографического сдвига, в которой учтена ориентационная зависимость
линейного натяжения, сопротивления от скопления дислокаций и интенсивности
генерации точечных дефектов за порогами на дислокации, и созданный для поддержки исследований проблемно-ориентированный комплекс программ, обеспечивающий развитый интерфейс пользователя, хранение, обработку, визуализацию,
анимацию и экспорт результатов вычислительных экспериментов.
2. Результаты моделирования формоизменения дислокационной петли в процессе формирования зоны кристаллографического сдвига выявили, что на начальной стадии движения дислокационная петля приобретает форму близкую к эллипсу с малой полуосью перпендикулярной вектору Бюргерса. Эллипсоидальная форма дислокационной петли сохраняется примерно на половине пробега, после чего
на винтовой и околовинтовых ориентациях дислокационной петли возникает вогнутость, увеличивающаяся вплоть до остановки дислокации. В конечной конфигурации радиус дислокационной петли по краевой ориентации примерно в 2,5 раза
5
больше, чем по винтовой ориентации.
3. Двухстадийность зависимости скорости дислокации от напряжения, включающая стадию возрастания скорости и стадию насыщения, выявленная в результате вычислительного эксперимента и качественно согласующаяся с экспериментальными данными.
4. Результаты расчетов времени блокировки испускания дислокационным источником следующей дислокационной петли, а также плотности скопления дислокаций на границе зоны сдвига, временных, масштабных и энергетических характеристик динамики дислокаций при учете в вычислительном эксперименте упругого
взаимодействия между дислокациями формирующейся зоны кристаллографического сдвига в ГЦК металлах.
Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается
использованием современных физических представлений при разработке математических моделей динамики дислокационной петли и формирования зоны кристаллографического сдвига, проведенным тестированием вычислительного модуля
комплекса программ на задачах, имеющих аналитическое решение, а также сравнением результатов вычислительных экспериментов с данными других исследователей. Значения параметров математических моделей использовались по результатам теоретических оценок и экспериментальных исследований различных авторов.
Апробация работы. Основные положения работы и отдельные её результаты
обсуждались на следующих научных конференциях: X Международной научнопрактической конференции «Актуальные проблемы информатики и информационных технологий» (Тамбов, 2006); XIV–XVII и XX Международных научных
конференциях ученых Украины, Белоруссии, России «Прикладные задачи математики и механики» (Севастополь, 2006–2009, 2012); IV–VII, IX и X Международных
конференциях студентов и молодых учёных «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2007–2010, 2012, 2013); IV и V Международных школахконференциях «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих
явлений» (Тамбов, 2007); XIX Уральской школе металловедов-термистов «Актуальные проблемы физического металловедения сталей и сплавов» (Екатеринбург,
2008); V Международной научной конференции «Прочность и разрушение материалов и конструкций» (Оренбург, 2008); XII Всероссийской научно-практической
конференции «Научное творчество молодежи» (Анжеро-Судженск, 2008); Седьмой Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2008); XVIII Петербургских чтениях по проблемам прочности и роста кристаллов (Санкт-Петербург,
2008); Региональной научно-технической конференции «Перспективные материалы и технологии» (Томск, 2009); ХIV Международной научной конференции «Решетневские чтения» (Красноярск, 2010); VII Международном семинаре «Физикоматематическое моделирование систем» (Воронеж, 2010); Международной научно-методической конференции «Прикладные вопросы естественных наук» (АлмаАта, 2012); Международной научно-методической конференции «Автоматизация:
проблемы, идеи, решения» (Севастополь, 2012); VII Международной конференции
«Фазовые превращения и прочность кристаллов» (Черноголовка, 2012); Междуна6
родной научно-методической конференции «Актуальные вопросы естественнонаучных дисциплин» (Алма-Ата, 2013); 5-я Международная научно-практическая
конференция «Актуальные проблемы радиофизики» (Томск, 2013); Первая Всероссийская научная конференция молодых ученых с международным участием
«Перспективные материалы в технике и строительстве» (Томск, 2013); XIV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и
информационным технологиям (Томск, 2013).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 46 печатных работ, в том
числе 40 статей, из них 8 статей в журналах из перечня ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов по каждой главе и по работе в целом, заключения, трех приложений и списка использованной литературы
из 216 наименований. Диссертация изложена на 157 страницах, включая 60 рисунков и 16 таблиц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи
диссертационного исследования, изложена его научная новизна, раскрыты теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание
диссертационной работы.
В первой главе приведен обзор литературы, посвященной моделированию
формирования зоны кристаллографического сдвига. Проведен анализ проблем моделирования формирования зоны кристаллографического сдвига. Сформулированы цель и задачи исследования. Обоснована необходимость создания программной поддержки исследования.
Во второй главе проведен анализ математической модели динамики элементарного кристаллографического скольжения при формировании зоны сдвига [1]:
d k 
  k
   b   R b  0
 0,125 p j ps Gb 2 r 
dt 
r
2 
2
Gb 2 i  1 2  
1
 k
 
 k


 Bc 1    1  c 1    1 , (1)
2
21    D / 2  r
 0
 
 0


dr
2
 c 1   k  0  1 .
dt
Здесь r и  k – текущие радиус и кинетическая энергия единицы длины i-ой дислокационной петли; t – текущее время формирования зоны кристаллографического
сдвига; i – номер дислокации в дислокационном скоплении;  – действующее на
дислокационный источник напряжение;  R   f   d , f – напряжение решеточного и примесного трения,  d  Gb1/ 2 – дислокационное сопротивление распространению кристаллографического скольжения;  – параметр, характеризующий
интенсивность междислокационных взаимодействий; G – модуль сдвига;  – плот7
ность дислокаций; b – модуль вектора Бюргерса; 0 – линейное натяжение покоящейся дислокации;  – коэффициент Пуассона; B – коэффициент вязкого трения;
c  G / d – поперечная скорость распространения звука в металле, d – плотность
материала; 0 – энергия единицы длины покоящейся дислокации; pj – доля порогообразующих дислокаций некомпланарных систем скольжения; ps – доля порогообразующих дислокаций на винтовых и околовинтовых сегментах дислокационной
петли; – множитель Смоллмена; D – средний диаметр зоны сдвига [1].
Слагаемые в системе уравнений (1) представляют, соответственно, силу ПичаКёлера и диссипативные силы, обусловленные: решеточным, примесным и дислокационным сопротивлением; линейным натяжением; генерацией точечных дефектов; обратными полями напряжений со стороны скопления ранее испущенных
дислокаций и вязким торможением. Верхний знак в правой части системы (1) соответствуют расширению дислокационной петли, нижний – её сжатию (движению
от дислокационного скопления к дислокационному источнику).
Показано, что результаты исследования формирования зоны кристаллографического сдвига имеют сложную иерархическую структуру, включающую: характеристики каждой дислокационной петли по различным ориентациям в разные моменты времени; характеристики зоны кристаллографического сдвига в целом.
Проведен анализ и выбор значений параметров математической модели по результатам независимых экспериментальных и теоретических исследований или из
справочной литературы для меди, алюминия, свинца, никеля, серебра и золота.
Анализ математической модели (1) показал, что система обыкновенных дифференциальных уравнений модели (1) в широком спектре начальных условий имеет переменную жесткость, при этом на большей части интервала интегрирования,
как правило, является сильно жесткой, а её решение существует и единственно
при физически реальных значениях параметров и переменных математической
модели.
Для исследования дислокационной динамики кристаллографического скольжения в ГЦК металлах создан проблемно-ориентированный комплекс программ
Dislocation Dynamics of Crystallographic Slip (DDCS), архитектура которого позволяет подключать дополнительные модели не изменяя структуры комплекса программ.
Разработана и включена в состав комплекса программ база данных, в которой
хранятся: значения параметров математической модели, полученные из теоретических оценок и экспериментальных данных различных авторов; результаты вычислительных экспериментов и информация библиографического характера.
В вычислительном модуле комплекса программ реализована оригинальная
сборка численного метода Гира в представлении вектора Нордсика со встроенной
процедурой обработки физических ограничений математической модели формирования зоны кристаллографического сдвига. Модули пользовательского интерфейса комплекса программ разработаны в соответствии с основными правилами и
принципами проектирования пользовательского интерфейса, позволяющего организовать комфортную работу пользователя с программным продуктом. Описаны
назначение и особенности использования диалоговых окон комплекса программ
8
(рис. 1). Разработка комплекса программ выполнена в среде Visual Studio на языке
программирования C#; для хранения данных используется система управления базами данных MS Access или Oracle Express Edition по выбору пользователя.
Рис. 1. Диалоговые окна комплекса программ DDCS
В третьей главе проведено исследование с использованием математической модели (1) на меди, алюминии и свинце зависимости энергетических, масштабных и
временных характеристик от плотности дислокаций в материале, решеточного и примесного трения, вязкого трения и температуры. Показана идентичность результатов
результатам [1], ранее полученным на меди. На рис. 2 представлены некоторые результаты для алюминия.
Рис. 2. Зависимость времени формирования 1-й (кривые 1, 2) и 20-й (3, 4) испущенной дислокационным источником дислокационной петли, с учетом (1, 3) и без учета (2, 4) генерации точечных дефектов (а, е); радиуса дислокации (б, ж); средней скорости (в, з); среднего (г, и) и
максимального (д, к) значения кинетической энергии единицы длины дислокационной петли
от плотности дислокаций (а–д) и решеточного и примесного трения (е–к) в алюминии
9
В результате исследования показано, что для меди, алюминия и свинца время
движения дислокационной петли уменьшается при увеличении плотности дислокаций и незначительно увеличивается с увеличением решеточного и примесного
трения, при увеличении плотности дислокаций или решеточного и примесного
трения уменьшаются радиус, среднее значение скорости, среднее и максимальное
значения кинетической энергии дислокации. В меди время формирования дислокационной петли, средняя скорость, среднее и максимальное значение кинетической энергии единицы длины дислокационной петли примерно в 2 раза больше,
чем в алюминии, и на порядок меньше, чем в свинце.
Проведен анализ влияния механизмов блокировки дислокационного источника
на динамику дислокационной петли и формирования зоны кристаллографического
сдвига. Показано, что в меди, алюминии и свинце текущие кинетическая энергия,
скорость и радиус дислокации, а также радиус, время формирования зоны сдвига и
количество дислокаций в дислокационном скоплении (табл. 1) увеличиваются для
различных механизмов блокировки в следующем порядке: 1) удаление с источника
порога в результате его аннигиляции или ухода на сток (при данном механизме блокировки значения перечисленных характеристик меньше, чем при других рассмотренных механизмах); 2) преодоление реакций аннигиляции; 3) усредненное влияние
всех рассмотренных механизмов блокировки дислокационного источника с учетом
вероятности их реализации; 4) выход сегмента-источника из квазидипольной конфигурации с сопутствующим распадом квазидиполя; 5) выход сегмента-источника из
дипольной конфигурации с сопутствующим распадом диполя; 6) преодоление дислокационного соединения.
Таблица 1. Время формирования зоны кристаллографического сдвига и количество дислокаций в
дислокационном скоплении при различных механизмах блокировки дислокационного источника
Механизм блокировки
Алюминий
Медь
Свинец
дислокационного источника
t, с
N, шт
t, с
N, шт
t, с
N, шт
Удаление с источника порога в результате его аннигиляции или ухода 1,610-5
12
12
11
3,710-5
1,810-4
на сток
Преодоление реакций аннигиляции
20
20
19
2,610-5
5,910-5
310-4
Усредненное влияние всех рассмотренных механизмов блокировки дис20
21
20
2,610-5
610-5
310-4
локационного источника с учетом вероятности их реализации
Выход сегмента-источника из квазидипольной конфигурации с сопутст- 2,710-5
21
21
20
6,210-5
3,210-4
вующим распадом квазидиполя
Выход сегмента-источника из дипольной конфигурации с сопутст- 6,810-5
56
56
54
1,610-4
810-4
вующим распадом диполя
Преодоление дислокационного со77
77
73
9,310-5
2,110-4
110-3
единения
Далее, представлена разработанная математическая модель с учетом упругого
взаимодействия между дислокациями, формирующими зону кристаллографического сдвига:
10


   (k1)
d k1 dt        R  b  0
  (j1) b   1,k b  Bv1 v1 ,
r
k 1
1


dr1 dt   v1 ,



   (kn )
d kn  dt        R  b  0
  (jn ) b    n , k b  Bv n  v n ,
rn
k n


drn dt   v n ,
(2)
где ri и  (ik ) – текущие радиус и кинетическая энергия единицы длины i-ой дислокации; (ij ) – интенсивность генерации точечных дефектов i-ой дислокацией;

2
(2  )
2 – текущая скорость i-й дислокации; i, j  4Gb
1   (r  r )
v i  c 1   ki   0  1
i
–
j
напряжение, обусловленное силой упругого взаимодействия между i-й и j-й дислокацией.
Исследование, проведенное с использованием математической модели (2) показало, что зависимость кинетической энергии единицы длины дислокации и скорости дислокации от пробега имеет нелинейный характер – в начале пробега кинетическая энергия и скорость дислокации резко возрастают, достигая максимального значения (примерно на 15 % пробега для первой и примерно на 25 % для последней дислокации в скоплении), после чего медленно убывают (рис. 3, а, б).
Пробег, максимальное значение кинетической энергии и скорости дислокации
уменьшаются с увеличением её порядкового номера в скоплении.
Рис. 3. Зависимость кинетической энергии единицы длины дислокации (а) и скорости дислокации (б) от пробега в алюминии, рассчитанные с использованием математической модели (2) (непрерывные линии) и математической модели (1) (пунктирные линии). Номера на
кривых соответствуют номеру дислокации в скоплении. Время блокировки дислокационного источника после испускания i-ой дислокации (в) в алюминии, меди и свинце
Показано, что зависимость кинетической энергии единицы длины дислокации
и скорости дислокации от её пробега, полученные с использованием математической модели (2), подобны аналогичным зависимостям (рис. 3, а, б), полученным с
использованием математической модели (1). Однако без учета упругого взаимодействия дислокаций значения кинетической энергии и скорости первых испущенных дислокационным источником дислокаций на всем пробеге меньше, а для
последних дислокаций больше, чем при его учете. Также при учете упругого взаи11
модействия дислокаций больше пробег каждой из дислокаций в зоне кристаллографического сдвига, за исключением нескольких последних дислокаций. Количество
дислокаций, произведенных дислокационным источником, согласуется как с теоретическими оценками [2], так и с экспериментальными данными [3].
При учете упругого взаимодействия дислокаций показано, что время между
испусканием i-й и i+1-й дислокаций с ростом номера дислокации нелинейно возрастает, при этом время блокировки дислокационного источника после испускания дислокационной петли с одним и тем же номером в меди примерно в два раза
больше, чем в алюминии и практически на порядок меньше, чем в свинце (рис. 3, в).
В четвертой главе для исследования формоизменения дислокационной петли
предложено две математических модели формирования зоны кристаллографического сдвига. Одна из них построена на основе математической модели (1) с учетом
ориентационной зависимости линейного натяжения и интенсивности генерации точечных дефектов.
d k 
  k

   b   Rb  0
 0,75  H     p j ps Gb 2r 
dt 
r
 12

2 
2
Gb 2 (i  1)(2   )
 k
 



 Bc 1    1 c 1   k  1 ,
4(1  )( D / 2  r )
 0
 
 0


(3)
2
dr


  c 1   k  1 .
dt
 0



 

Здесь  0  Gb 2 (4(1  )) (1  ) cos 2 ()  (1  2) sin 2 () ln  1 / 2 b – линейное
натяжение покоящейся дислокации [4], H(x) – функция Хевисайда.
В модели предполагается, что точечные дефекты генерируются в пределах
15-ти градусов от винтовой ориентации дислокационной петли [5]. Дислокационная петля представлена в полярной системе координат, в начальной конфигурации
имеет форму окружности, центр которой совпадает с центом системы координат,
винтовые компоненты дислокационной петли нормальны полярной оси, а краевые – параллельны ей.
Исследование формоизменения дислокационной петли, проведенное для меди,
алюминия и свинца с использованием математической модели (3), показало, что
дислокационная петля, исходно представленная в форме окружности, уже на начальном этапе расширения приобретает достаточно сложную конфигурацию (рис. 4):
на близких к винтовой ориентациях дислокационной петли возникает вогнутость,
выраженность которой увеличивается с увеличением номера дислокации в скоплении. При этом в конечной конфигурации дислокационная петля, движение которой рассчитано без учета генерации точечных дефектов, приобретает эллиптическую форму, незначительно отличающуюся от окружности. Дислокационная петля, движение которой рассчитано с учетом генерации точечных дефектов, в процессе своего движения всё более отходит от формы окружности и в конечной конфигурации её радиус по винтовой и близким к ней ориентациям становится более
чем на порядок меньше радиуса по другим ориентациям.
12
Рис. 4. Форма дислокационной петли в меди в
различные моменты времени, с: а, г – 3,810-8;
б, д – 2,510-7; в, е –
1,910-5. Модель, без
учета (а–в) и с учетом
(а–е) генерации точечных дефектов, без учета
(кривая 1) и с учетом (2)
ориентационной зависимости
Показано, что средняя скорость первой испущенной дислокационным источником дислокационной петли, полученная с использованием математической модели с
учетом ориентационной зависимости (3), лучше согласуется с экспериментальными
данными, чем при использовании математической модели (1) без учета ориентационной зависимости (рис. 5). Наблюдается также лучшее согласие по количеству дислокаций в дислокационном скоплении с теоретическими оценками [2] и с экспериментальными данными [3].
Рис. 5. Зависимость средней скорости
дислокации от напряжения в свинце: экспериментальные данные V.R. Parameswaran, J. Weertman “” – 4,2К, “ ” – 77К,
“” – 298К; вычислительный эксперимент
с использованием математической модели (1) без учета (кривые 1–3) и с учетом
(7–9) генерации точечных дефектов;
(4–6) – математическая модель (3) при
температуре 4,2К (1, 4, 7), 77К (2, 5, 8),
298К (3, 6, 9).
При том, что представленная выше модель (3) расширяет возможности исследования формирования зоны кристаллографического сдвига, такой учет ориентационной зависимости дает достаточно грубую оценку формоизменения дислокационных
петель в процессе движения, особенно на винтовой близким к ней ориентациям.
Чтобы обеспечить дополнительные возможности исследования формоизменения
дислокационной петли в процессе формирования зоны сдвига разработана принципиально новая математическая модель, в которой дислокационная петля в начальной
конфигурации представлена в форме правильного многоугольника со сколь угодно
малыми сторонами, центр которого совпадает с центром полярной системы координат, краевые компоненты дислокационной петли нормальны полярной оси, а винтовые – параллельны ей. При расширении дислокационная петля имеет форму многоугольника с бесконечно малыми сторонами.
В модели учтены силы Пича–Кёлера, обусловленные приложенным воздействием; силы сопротивления движению дислокаций, обусловленные решеточным и
13
примесным трением, дислокационным сопротивлением, обратными полями напряжений со стороны скопления ранее испущенных дислокаций, вязким торможением,
а также линейное натяжение дислокации, сопротивление от скопления дислокаций и
интенсивность генерации точечных дефектов за порогами на дислокации с учетом
ориентационной зависимости.
Для i-й дислокационной петли математическая модель представлена в следующем виде:


v( j 1)

sin( ( j ) )(r ( j ) ( j )  r ( j 1) )
d(k j )  (  b  Rb  B v ( j ) ) 
v


 ( j) 2
dt
4
( j 1) 2

r
r
 2 r ( j ) r ( j 1) cos(  ( j ) )



( j 1)

( j 1)
( j) v
sin(
)(r
 r ( j 1) )

( j)
v


( j )2
( j 1) 2
( j ) ( j 1)
( j 1) 
r
r
 2r r
cos( 
)


sin 2 ( ( j ) ) 
Gb (i  1) cos 2 ( ( j ) ) 

sin( ( j ) ) 2

(1  ) 
1
2



e 2 p j p s Gb 2 r ( j ) 
( j)
( j)
2 ( r1  r )
8 2 
( j 1)
 ( j)
v ( j 1)
( j 1) v
r r
 cos(  ( j ) )( r ( j ) ( j )  r ( j 1) )
( j)
( (0 j )   (k j ) ) 
v
v



( j)2
( j 1) 2
( j ) ( j 1)
2
r

r

2
r
r
cos(
( j) )


( j 1)
( j 1)

( j)
( j 1) v
( j 1)
( j) v
r r

cos(

)(
r
 r ( j 1) ) 
( j)
( j)
v
v
  v ( j ) , j  1, m


( j)2
( j 1) 2
( j ) ( j 1)
( j 1)
r
r
 2r r
cos( 
)


 ( j)

dr ( j )
  c 1   k  1
 

dt
 0

(4)
2
, j  1, m.
Здесь r ( j ) , v ( j ) ,  (k j )  текущие радиус, скорость и кинетическая энергия единицы
длины дислокационной петли по j-й ориентации, r1( j )  радиус 1-й дислокационной
петли по j-й ориентации,  ( j )   ( j 1)   ( j ) , ( m 1)  ( 0 ) .
Результаты исследования показали, что дислокационная петля, в критической
конфигурации, представленная в форме правильного многоугольника, аппроксимирующего окружность, на начальном этапе расширения приобретает форму
близкую к эллипсу с малой полуосью перпендикулярной вектору Бюргерса
(рис. 6, а). Дальнейшее расширение дислокационной петли приводит к увеличению отношения её радиуса по краевой ориентации к радиусу по винтовой ориентации. Максимальное отличие между краевой и винтовой ориентациями наблюдается на пробеге чуть более 10 мкм (примерно 1,5 % от всего пробега), при этом радиус дислокации в направлении краевой ориентации более чем в 1,5 раза больше,
14
чем в направлении винтовой ориентации (рис. 6, б).
При дальнейшем расширении дислокации разница между малой и большой полуосью эллипсоидальной формы дислокационной петли уменьшается (рис. 6, в).
Примерно на половине пробега и до остановки дислокации по винтовой и близким
к ней ориентациям дислокационной петли наблюдается вогнутость (рис. 6, г). В
конечной конфигурации радиус дислокационной петли по краевой ориентации
примерно в 2,5 раза больше, чем по винтовой ориентации (рис. 6, д).
В результате проведенного вычислительного эксперимента показано, что на начальном пробеге дислокации её скорость существенно увеличивается по краевой и
значительно медленнее по винтовой ориентации. Примерно к половине пробега дислокации её скорость по винтовой ориентации практически достигает скорости по
краевой ориентации (отличие составляет примерно 15 %), после чего скорость дислокации по винтовой ориентации начинает убывать, при этом уменьшается скорость
и по околовинтовым ориентациям и, чуть медленнее, по другим ориентациям.
Рис. 6. Форма 1-й (черная линия) и 12-й (серая линия) испущенной дислокационным источником
дислокационной петли в различные моменты времени от начала движения, с: а, е – 4,510-9;
б, ж – 8,210-8; в, з – 2,510-7; г, и – 2,710-6; д, к – 610-6
С использованием математической модели (4) показано, что при увеличении
доли порогообразующих дислокаций некомпланарных систем скольжения или доли порогообразующих дислокаций на винтовых и околовинтовых сегментах дислокационной петли, количество дислокаций в скоплении уменьшается практически линейно (рис. 7, а, б). Количество дислокаций в алюминии несколько меньше,
чем в меди, и несколько больше, чем в свинце. При уменьшении решеточного и
примесного трения также наблюдается линейное уменьшение количества дислокаций в скоплении. В алюминии количество дислокаций в дислокационном скоплении, как правило, больше, чем в меди, и меньше, чем в свинце.
В результате проведенных вычислительных экспериментов установлено, что количество дислокаций в дислокационном скоплении в меди, алюминии и свинце существенно зависит от плотности дислокаций и длины дислокационного источника. При
уменьшении на порядок плотности дислокаций в металле количество дислокаций в
дислокационном скоплении увеличивается тоже примерно на порядок. Количество
15
дислокаций в меди, алюминии и свинце отличается незначительно.
При значениях параметров математической модели (4), характерных для комнатной температуры и длины дислокационного источника до 4 мкм, наблюдается хорошее согласие с теоретическими оценками [2] и с экспериментальными данными [3].
Рис. 7. Зависимость количества дислокаций в зоне кристаллографического сдвига
в меди (кривая 1), алюминии (2) и свинце
(3) от доли порогообразующих дислокаций
некомпланарных систем скольжения (а) и
доли порогообразующих дислокаций на
винтовых и околовинтовых сегментах дислокационной петли (б)
Учет ориентационной зависимости позволяет проводить анализ изменения
формы дислокационной петли в процессе формирования зоны кристаллографического сдвига. Однако при учете ориентационной зависимости трудоемкость вычислений значительно выше, чем при использовании модели без её учета. Поэтому
при проведении комплексных исследований динамики дислокационной петли и
формирования зоны сдвига математическую модель без учета ориентационной зависимости целесообразно использовать для выявления общих закономерностей
формования зоны сдвига, а модели (3) и (4) с учетом ориентационной зависимости – для получения более детальной информации.
В приложениях представлены: обозначения параметров математических моделей;
используемые различными авторами определения понятия жесткости задач и устойчивости численных методов; описание используемого в вычислительных экспериментах алгоритма управления порядком численного метода и размером шага интегрирования; результаты тестирования разработанного комплекса программ и акт внедрения.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1. Исследовано влияние плотности дислокаций, решеточного и примесного трения, вязкого торможения и температуры на энергетические, масштабные и временные характеристики дислокационной петли при формировании зоны кристаллографического сдвига в меди, алюминии и свинце.
2. Для различных механизмов блокировки дислокационного источника рассчитано время формирования зоны кристаллографического сдвига, количество дислокаций в дислокационном скоплении, энергетические, масштабные и временные характеристики первой испущенной дислокационным источником дислокационной петли.
3. В математической модели динамики элементарного кристаллографического
скольжения при формировании зоны сдвига учтена сила упругого взаимодействия
между испущенными дислокационным источником дислокациями, что позволило
определить плотность скопления дислокаций на границе зоны сдвига и время блокировки дислокационного источника перед испусканием следующей дислокационной петли.
4. Установлено, что при учете в расчетах силы упругого взаимодействия дислокаций примерно в 1,5 раза увеличивается диаметр зоны кристаллографического
16
сдвига, изменяется время пробега дислокаций, при этом значительно (до 2 раз)
уменьшается средняя скорость дислокаций. С увеличением номера испущенной
дислокации время блокировки дислокационного источника нелинейно возрастает,
при этом в меди оно примерно в два раза больше чем в алюминии и практически на
порядок меньше, чем в свинце; время формирования дислокационной петли
уменьшается, при этом время остановки каждой дислокации, формирующей зону
кристаллографического сдвига, отличается незначительно.
5. Показано, что учет ориентационной зависимости линейного натяжения дислокации и интенсивности генерации точечных дефектов за порогами на дислокации
приводит к достаточно сложному изменению формы дислокационной петли в процессе её формирования: на участках, близких к винтовой ориентации дислокационной петли, на начальном пробеге дислокации возникает вогнутость, выраженность
которой увеличивается с увеличением номера дислокации в дислокационном скоплении. В конечной конфигурации форма дислокационной петли всё более отходит
от формы окружности, и в конечной конфигурации её радиус по винтовой и близким
к ней ориентациям, более чем на порядок величины становится меньше радиуса в
направлении краевой ориентации.
6. Средняя скорость первой испущенной дислокационным источником дислокационной петли, полученная с использованием математической модели с учетом ориентационной зависимости, лучше согласуется с экспериментальными данными, чем
при использовании математической модели без учета ориентационной зависимости.
Наблюдается также лучшее согласие по количеству дислокаций в дислокационном
скоплении с теоретическими оценками и экспериментальными данными.
7. Разработана принципиально новая математическая модель динамики дислокаций и формирования зоны кристаллографического сдвига в ГЦК металлах, записанная для кусочно-непрерывной замкнутой дислокационной петли, которая в начальной конфигурации представлена в форме правильного многоугольника со сколь
угодно малыми сторонами. При расширении дислокационная петля имеет форму
многоугольника с бесконечно малыми сторонами. В модели учтены силы Пича–
Кёлера, обусловленные приложенным воздействием; силы сопротивления движению дислокаций, обусловленные решеточным и примесным трением, дислокационным сопротивлением, обратными полями напряжений со стороны скопления ранее
испущенных дислокаций, вязким торможением, а также линейное натяжение дислокации, сопротивление от скопления дислокаций и интенсивность генерации точечных дефектов за порогами на дислокации с учетом ориентационной зависимости.
8. Показано, что при использовании модели, записанной для кусочнонепрерывной замкнутой дислокации, на начальной стадии движения дислокационная петля приобретает форму близкую к эллипсу с малой полуосью перпендикулярной вектору Бюргерса. Эллипсоидальная форма дислокационной петли сохраняется примерно до половины пробега до остановки дислокации, после чего на
винтовой и околовинтовых ориентациях дислокационной петли возникает вогнутость, увеличивающаяся вплоть до остановки. В конечной конфигурации радиус
дислокационной петли по краевой ориентации примерно в 2,5 раза больше, чем по
винтовой ориентации.
17
9. Для поддержки моделирования динамики дислокаций и формирования зоны
кристаллографического сдвига, с использованием представленных в работе математических моделей, создан проблемно-ориентированный комплекс программ с
развитым интерфейсом пользователя, поддержкой хранения, обработки, визуализации, анимации и экспорта полученных результатов.
СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пуспешева С.И., Колупаева С.Н., Попов Л.Е. Динамика кристаллографических
скольжений в меди // Металловедение. – 2003. – № 9. – С. 14–19.
2. Ковалевская Т.А., Колупаева С.Н., Коротаева Н.В., Попов Л.Е. Высота ступеньки сдвига в металлах с г.ц.к. решеткой // ФММ. – 1991. – № 5.– С. 203–206.
3. Бернер Р., Кронмюллер Г. Пластическая деформация монокристаллов – М.:
Мир, 1969. – 272 с.
4. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. – М.: Мир, 1972. – 600 с.
5. Pfeffer K.H., Schiller P., Seeger A. Fehlstellener Zengung durch aufgespaltene Versetzungssprunge in kubisch flachenzentrientrierten Metallen // Phys. Status Solidi. –
1965. – V. 8. – No. 2. – P. 517–532.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Основное содержание диссертационной работы изложено в 46 публикациях, из
которых важнейшими являются:
Статьи, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ:
1. Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Автоматизация исследования кристаллографического скольжения в ГЦК металлах // Известия Томского политехнического
университета. – 2010. – Т. 316. – № 5. – C. 141–146.
2. Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Математическое моделирование формирования зоны кристаллографического сдвига в алюминии // Вестник ТГАСУ. – 2010. –
№ 3. – C. 175–181.
3. Колупаева С.Н., Петелин А.Е., Самохина С.И. Эволюция формы дислокационной петли при формировании зоны кристаллографического сдвига в меди //
Вестник ТГАСУ. – 2011. – № 1. – C. 156–163.
4. Колупаева С.Н., Петелин А.Е. Программная поддержка математического моделирования пластической деформации в кристаллических материалах // Вестник
ТГАСУ. – 2011. – № 3. – C. 159–163.
5. Колупаева С.Н., Петелин А.Е. Локализация деформации в зоне сдвига в ГЦК
материалах // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2013 – Т. 18. – № 4. – С. 1560–1562.
6. Петелин А.Е., Самохина С.И., Колупаева С.Н. Учет упругого взаимодействия
дислокаций в математической модели формирования зоны кристаллографического
сдвига в ГЦК-металлах // Известия вузов. Физика. – 2013. – Т. 56. – № 8. – С. 95–100.
7. Колупаева С.Н., Петелин А.Е. Формоизменение дислокационной петли в монокристаллах алюминия, меди и свинца // Известия РАН. Серия физическая. –
2013. – Т. 77. – № 11. – С. 1693– 1696.
8. Самохина С.И., Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Моделирование зоны кристаллографического сдвига в ГЦК металлах. Численное решение системы жестких
дифференциальных уравнений // Вестник ТГУ. – 2007. – № 23. – С. 333–338.
18
Прочие публикации:
9. Колупаева С.Н., Петелин А.Е. Моделирование формирования зоны кристаллографического сдвига в меди с учетом ориентационной зависимости // Вестник
ПНИПУ. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. –
№ 4. – C. 20–32.
10. Информационный образовательный ресурс локального доступа <Комплекс
программ DDCS для автоматизации исследования кристаллографического скольжения в материалах с гранецентрированной кубической структурой>: свидетельство о регистрации электронного ресурса № 16280 / А.Е. Петелин, С.Н. Колупаева, С.И. Самохина. № 50201050031; заявл. 05.10.2010; опубл. 14.10.2010. Алгоритмы и программы № 6, 1 с.
11. Самохина С.И., Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Температурная зависимость
характеристик зоны кристаллографического сдвига в меди и алюминии // V Межд.
школа-конференция «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений (MPFP)»: сборник научных трудов молодых учёных. – Тамбов: Издво ТГУ им. Г.Р. Державина, 2007. – С. 277–289.
12. Самохина С.И., Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Закономерности формирования элементарного кристаллографического скольжения в алюминии // V Международная научная конференция «Прочность и разрушение материалов и конструкций». – Оренбург: Изд-во ИПК ОГУ, 2008. – Т. 1. – С. 369–376.
13. Самохина С.И., Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Исследование динамики формирования зоны кристаллографического сдвига в свинце // XVIII Петербургские
чтения по проблемам прочности и роста кристаллов: материалы конференции –
Санкт-Петербург: СПб, 2008. – Ч. 2. – С. 135–136.
14. Петелин А.Е., С.Н. Колупаева Учет ориентационной зависимости в модели
формирования зоны кристаллографического сдвига в ГЦК металлах // Физикоматематическое моделирование систем: материалы VII Междунар. семинара. –
Воронеж. – 2010. – Ч. 1. – С. 207–209.
15. Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Модификация метода Гира для моделирования
дислокационной динамики кристаллографического скольжения / Прикладные вопросы естественных наук: сборник материалов Международной научнометодической конференции – Алматы: КазГАСА, 2012. – С. 73–77.
16. Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Математическое моделирование ориентационной зависимости скорости движения дислокационной петли в меди // XX Международная научно-техническая конференция «Прикладные задачи математики и механики «ПЗММ-2012» – Севастополь: Издательство СевНТУ, 2012. – C. 8–12.
17. Петелин А.Е., Колупаева С.Н. Локализация деформации в монокристаллах меди // Актуальные вопросы естественнонаучных дисциплин: Сб. мат-лов Межд. науч.-метод. конф. – Алматы: КазГАСА, 2013. – C. 58–62.
18. Петелин А.Е., Батуев С.П., Колупаева С.Н. Влияние плотности дислокаций, решеточного и примесного трения на динамику формирования зоны сдвига в алюминии,
меди и свинце // Перспективные материалы в технике и строительстве (ПМТС-2013).
Материалы Первой Всероссийской научной конференции молодых ученых с международным участием. – Томск: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2013. – C. 77–80.
19
Подписано в печать 14.11.13.
Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 419.
Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2.
Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ.
634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.
20
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа