close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

uploaded 0C4F0B5312

код для вставкиСкачать
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт математики с вычислительным центром
Уфимского научного центра Российской академии наук
На правах рукописи
Павленко Виктор Александрович
Формулы Лефшеца для потоков
на многообразиях со слоением
01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и
оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Уфа – 2015
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении
науки Институт математики с вычислительным центром
Уфимского научного центра Российской академии наук.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
доцент Кордюков Юрий Аркадьевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор Юмагулов Марат Гаязович,
Башкирский государственный университет,
доктор физико-математических наук,
Назайкинский Владимир Евгеньевич,
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлин­
ского РАН
Ведущая организация:
Нижегородский филиал Национального иссле­
довательского университета "Высшая школа
экономики"
Защита состоится 27 ноября 2015 года в 15 часов на заседании диссертацион­
ного совета Д 002.057.01 при Институте математики с вычислительным
центром Уфимского научного центра РАН, расположенном по адресу: 450008,
г. Уфа, ул.Чернышевского, 112
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математи­
ки с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН и на сайте
http://matem.anrb.ru/diss.
Автореферат разослан «
»
2015 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 002.057.01,
кандидат физико-математических наук
Попенов С.В.
Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. Классическая формула Лефшеца
была установлена впервые Лефшецом в 1926 году для непрерывного отображе­
ния конечномерного компактного топологического многообразия. Эта формула
связывает некоторый гомотопический инвариант отображения (число Лефше­
ца) с его неподвижными точками. В случае, когда  — -мерное гладкое ком­
пактное многообразие, и  :  →  — гладкое отображение, число Лефшеца
отображения  определяется формулой:
( ) =

∑︁
(−1) tr( * :   ( ) →   ( )),
(1)
=0
где  * — индуцированное отображение на когомологиях де Рама   ( ) мно­
гообразия  . Если произвольная неподвижная точка  ∈  отображения  —
простая (то есть,  := sgn det(Id − ) ̸= 0), то формула Лефшеца имеет вид:
∑︁
( ) =
 .
(2)
: ()=
Из формулы Лефшеца вытекает знаменитая теорема Лефшеца о неподвижной
точке: если число Лефшеца отображения  отлично от нуля, то  имеет хотя
бы одну неподвижную точку.
Естественно возникает вопрос о формулах Лефшеца для потоков (то есть,
для динамических систем с непрерывным временем), которые связывают неко­
торые инварианты потока с его замкнутыми орбитами. Напомним, что орбитой
потока  = { :  → ,  ∈ R} на многообразии , проходящей через точку
 ∈ , называется множество  = { () ∈  :  ∈ R}. Орбита  называется
замкнутой, если  () =  для некоторого  ̸= 0 и  ̸= {} (т.е.  не являет­
ся неподвижной точкой потока). Интерес к таким формулам Лефшеца возник
достаточно давно (см., например, работы Фуллера1 , Смейла2 , Фрида3 ,4 ). Оказа­
1
Fuller, F.B. An index of fixed point type for periodic orbits//Amer. J. Math. 89 (1967) 133–148.
2
Smale, S. Differentiable dynamical systems// Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967) 747–817
3
Fried, D. Homological identities for closed orbits//lnv. Math. 71 (1983) 419–442.
4
Fried, D. Lefschetz formulas for flows// The Lefschetz centennial conference, Part III (Mexico City, 1984),
3
лось, что доказать такую формулу Лефшеца для произвольного потока нельзя.
Как показано Вилсоном5 и Швайцером6 , любой поток на замкнутом многообра­
зии размерности ≥ 3, не имеющий неподвижных точек, можно деформировать
в классе таких потоков так, что полученный поток не будет иметь замкнутых
орбит. Поэтому для вывода формул Лефшеца необходимо накладывать ограни­
чения на исследуемый класс потоков. Одним из классов потоков, для которых
формула типа Лефшеца справедлива, является класс потоков Аносова. Роль
инварианта, описывающего вклады замкнутых орбит, играет дзета-функция по­
тока, которая была введена Артином-Мазуром7 и Смейлом8 . Соответствующие
формулы Лефшеца и их обобщения в дальнейшем изучались многими авторами
(см., например, Ruelle, Fried, Rugh, Sanchez-Morgado, Deitmar, Juhl).
Другой класс потоков и формула Лефшеца для них были предложены
Денингером9 в пленарном докладе на Международном конгрессе математиков
в Берлине в 1998 году. Данный класс состоит из потоков на многообразии со
слоением, которые сохраняют слоение, то есть, переводят слои слоения в слои.
Интерес Денингера к подобным формулам Лефшеца связан с замеченными им
аналогиями таких формул с явными формулами следов в теории чисел. Эти
аналогии были использованы Денингером при разработке подхода к доказатель­
ству гипотезы Римана (по поводу более подробной информации о подходе Де­
Contemp. Math., 58, III, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 19–69.
5
Wilson, F.W. On the minimal sets of non-singular vector fields// Ann. Math. 84 (1966) 529–536.
6
Schweitzer, P. Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations// Ann.
Math. 100 (1971) 386–400.
7
Artin, M., Mazur, B. On periodic points// Ann. Math. 81 (1965) 82–89.
8
Smale, S. Differentiable dynamical systems// Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967) 747–817
9
Deninger, Ch. Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces//
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. I,
163–186 (electronic).
4
нингера см.10 ,11 ,12 и имеющиеся в них ссылки.). В случае, когда поток не имеет
неподвижных точек, формула Лефшеца, предложенная Денингером в качестве
гипотезы, была доказана Х.А. Альваресом Лопесом и Ю.А. Кордюковым13 .
Пусть  — компактное многообразие размерности  и ℱ — гладкое слое­
ние коразмерности один на . Предположим, что  = { :  →  :  ∈ R}
— поток на , сохраняющий слоение ℱ, орбиты которого трансверсальны сло­
ям слоения. Рассмотрим послойный комплекс де Рама (Ω(ℱ), ℱ ), задаваемый
пространством Ω(ℱ) =  ∞ (, Λ * ℱ) гладких послойных дифференциальных
форм на  и послойным дифференциалом де Рама ℱ : Ω(ℱ) → Ω(ℱ). Пусть 
— риманова метрика на . Обозначим через ℱ = *ℱ соответствующий послой­
ный кодифференциал де Рама и через ∆ℱ = ℱ ℱ + ℱ ℱ послойный оператор
Лапласа. Для любого  = 0, . . . ,  − 1 обозначим через ℋ (ℱ) ортогональный
проектор в пространстве 2 Ω (ℱ) на подпространство ℋ (ℱ) = ker ∆ℱ послой­
ных гармонических -форм. Для любой функции  ∈ 0∞ (R) определим опера­
тор  в пространстве Ω(ℱ) по формуле:
Z
 = * ·  ()  ,
R
где * — оператор в Ω(ℱ), индуцированный диффеоморфизмом  . Тогда опера­
тор  ∘ℋ (ℱ) является оператором с гладким ядром, что позволяет определить
10
Deninger, Ch. Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces//
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. I,
163–186 (electronic).
11
Deninger, Ch. Analogies between analysis on foliated spaces and arithmetic geometry// Groups and
analysis, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 354, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2008, 174–190.
12
Leichtnam, E. An invitation to Deninger’s work on arithmetic zeta functions// Geometry, spectral theory,
groups, and dynamics, Contemp. Math., 387, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, 201–236.
13
Álvarez López, J., Kordyukov, Yu. A. Distributional Betti numbers of transitive foliations of codimension
one // Foliations: Geometry and Dynamics. (Warsaw, 2000), World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 2002, 159–183.
5
функцию Лефшеца ( )14 как обобщенную функцию на R по формуле:
⟨( ),  ⟩ =
−1
∑︁
(−1) Tr( ∘ ℋ (ℱ) ),
 ∈ 0∞ (R).
(3)
=0
Теорема 1 (Х.А. Альварес Лопес, Ю.А. Кордюков). В некоторой окрестности
0 в R имеет место равенство
( ) = Λ (ℱ) · 0 .
Здесь Λ (ℱ) ∈ R — эйлерова 2 -характеристика слоения ℱ, введенная
Конном, и 0 ∈ ′ (R) — дельта-функция в 0.
Напомним, что замкнутая орбита  потока  называется простой, если
det(id − () :  ℱ * →  ℱ * ) ̸= 0 для любого периода  . Положим ( ) =
sgn det (id − () :  ℱ * →  ℱ * ).
Теорема 2 (Х.А. Альварес Лопес, Ю.А. Кордюков). Если все замкнутые ор­
биты потока  просты, то на R ∖ {0} имеет место равенство
( ) =
∑︁

 ()
∑︁
( ()) ·  () ,
̸=0
где  пробегает множество всех замкнутых орбит потока  ,  () обозначает
примитивный период орбиты .
Позднее Денингер15 показал, что, если мы хотим интерпретировать явную
формулу следов для дзета-функции Римана как формулу Лефшеца для некото­
рого потока, сохраняющего слоение, то этот поток обязательно должен иметь
неподвижные точки. Поэтому разработка подходов к выводу формул Лефше­
ца для потоков на многообразиях со слоением, имеющих неподвижные точки,
является актуальной и интересной задачей.
14
В работе Х.А. Альвареса Лопеса и Ю.А. Кордюкова функция ( ) обозначается через dis (ℱ) и
называется обобщенной эйлеровой характеристикой слоения ℱ
15
Deninger, Ch. Number theory and dynamical systems on foliated spaces// Jahresber. Deutsch. Math. -
Verein. 103 (2001), no. 3, 79–100.
6
Основная проблема здесь заключается в том, что, если поток  имеет непо­
движные точки, то оператор  ∘ ℋ (ℱ) , введенный выше, не является операто­
ром с гладким ядром, и потому его след не определен. Для решения этой про­
блемы Ю.А. Кордюковым [2] был предложен следующий подход: необходимо
построить алгебру интегральных операторов на многообразии , содержащую
операторы вида  ∘ℋ (ℱ) , и функционал регуляризованного следа r-Tr на этой
алгебре, совпадающий с функционалом следа на операторах с гладким ядром.
Ядра операторов из этой алгебры, вообще говоря, могут быть негладкими на
некотором подмногообразии, содержащем неподвижные точки потока. Такая
конструкция позволит нам определить регуляризованную функцию Лефшеца
по формуле (3), используя функционал r-Tr вместо функционала следа Tr. Яв­
ное вычисление регуляризованной функции Лефшеца даст нам формулу типа
Лефшеца в данном случае.
Алгебры операторов, ассоциированные с компактным многообразием с от­
меченным подмногообразием, строились ранее в работах В.Е. Назайкинского,
А.Ю. Савина, Б.Ю. Стернина, В.Е. Шаталова (см., напр.,16 ,17 ,18 , и имеющиеся
в них ссылки) в связи с исследованием краевых задач для эллиптических урав­
нений на компактном многообразии, для которых граничные условия задаются
как на крае многообразия, так и на гладких подмногообразиях (коразмерности
≥ 1), не являющихся краем (задачи подобного типа часто называются задача­
ми Соболева). В частности, было показано, что теория задач Соболева может
быть представлена как относительная эллиптическая теория, т.е. эллиптиче­
ская теория, ассоциированная с гладким вложением замкнутых многообразий.
В дальнейшем относительная эллиптическая теория была распространена на
16
Стернин, Б. Ю., Шаталов, В. Е. Относительная эллиптическая теория и задача Соболева// Матем.
сб., 187, № 11 (1996), 115–144.
17
Nazaikinskii, V. E., Sternin, B. Yu. Relative elliptic theory// Aspects of boundary problems in analysis
and geometry, Oper. Theory Adv. Appl., 151, Birkhauser, Basel, 2004, 495–560.
18
Стернин, Б. Ю., Савин, А. Ю. Эллиптические трансляторы на многообразиях с многомерными
особенностями// Дифференциальные уравнения, 49, № 4 (2013), 513–527.
7
случай стратифицированного подмногообразия.
Следует отметить, что алгебры операторов, построенные в цитированных
выше работах, по-видимому, не совсем подходят для вывода формул Лефше­
ца. Представляется более целесообразным использовать методы, разработанные
Мельроузом19 ,20 для исследования вырождающихся эллиптических уравнений
на многообразиях с углами, в частности, построить классы сингулярных ин­
тегральных операторов и функционал регуляризованного следа, являющиеся
аналогами соответствующих объектов, введенных Мельроузом.
Цели и задачи диссертационной работы: Целью данной работы яв­
ляется реализация описанного выше подхода к построению регуляризованной
функции Лефшеца для потоков на многообразии со слоением, сохраняющих
слоение и имеющих неподвижные точки, и вывод соответствующих формул
Лефшеца.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа
носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использо­
ваны в теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем,
теории операторов, функциональном анализе и аналитической теории чисел.
Методология и методы исследования. В диссертации используются
методы математического и функционального анализа, теории дифференциаль­
ных уравнений, теории динамических систем, дифференциальной геометрии.
Для построения алгебры сингулярных операторов и функционала регуляризо­
ванного следа мы использовали методы работ Мельроуза, в частности, предло­
женный им геометрический подход к построению и исследованию алгебр сингу­
лярных интегральных операторов (см.
19
21
).
Melrose, R. B. Pseudodifferential operators, corners and singular limits// Proceedings of the International
Congress of Mathematicians, Vol. I, II (Kyoto, 1990), Math. Soc. Japan, Tokyo, 1991, 217–234.
20
Melrose, R. B. The Atiyah-Patodi-Singer index theorem// Research Notes in Mathematics, 4. A K Peters,
Ltd., Wellesley, MA, 1993.
21
Melrose, R. B. Calculus of conormal distributions on manifolds with corners// Internat. Math. Res.
8
Положения, выносимые на защиту. В диссертационной работе пред­
ставлены следующие новые результаты:
1. Построена алгебра сингулярных интегральных операторов на компакт­
ном многообразии с отмеченным подмногообразием коразмерности один и функ­
ционал регуляризованного следа на этой алгебре; доказана теорема о регуляри­
зованном следе коммутатора.
2. Определена регуляризованная функция Лефшеца и доказана формула
типа Лефшеца для потока, сохраняющего слоение, на многообразии со слоени­
ем, задаваемым слоями расслоения над окружностью.
3. Определены сглаженные регуляризованные функции Лефшеца и дока­
заны формулы типа МакКина-Зингера для потока, сохраняющего слоение, на
двумерном торе, наделенном модельным одномерным слоением, имеющим ров­
но один компактный слой.
Степень достоверности и апробация результатов. Основные резуль­
таты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:
Международная школа-конференция «Фундаментальная математика и ее при­
ложения в естествознании» (2009, 2012, 2014, Уфа). Молодежная школа-конфе­
ренция «Лобачевские чтения» (2009, 2010, 2011, Казань). Международная кон­
ференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (2009, Уфа). Между­
народная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы»
(2011, Москва). Шестая Уфимская международная конференция «Комплекс­
ный анализ и дифференциальные уравнения» (2011, Уфа). Международная
научная конференция «Спектральные задачи, нелинейный и комплексный ана­
лиз» (2014, Уфа). Семинар по дифференциальным уравнениям математической
физики (Уфа, ИМ ВЦ УНЦ РАН, 2010, 2011, 2013, 2014).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 работах, из них
3 статьи в рецензируемых журналах [1–3]. При этом, статьи [1, 2] опубликованы
в российских изданиях перечня ВАК.
Notices 1992, no. 3, 51–61.
9
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­
ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опублико­
ванные работы. Работы выполнены самостоятельно. В совместных работах [1, 2]
научному руководителю Ю. А. Кордюкову принадлежит постановка задачи и
общее руководство работой, а диссертанту - доказательство основных результа­
тов. Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Ю. А.
Кордюкову за постановку задач, плодотворные обсуждения, помощь в работе
над диссертацией и всестороннюю поддержку.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 134
страниц. Библиография включает в себя 31 наименование.
Содержание работы
Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­
мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований.
Первая глава диссертационной работы носит вспомогательный характер.
В ней мы вводим некоторые понятия и устанавливаем некоторые факты, необ­
ходимые для построения алгебры сингулярных интегральных операторов на
многообразии с отмеченным подмногообразием.
Во второй главе диссертационной работы мы приводим конструкции ал­
гебры сингулярных интегральных операторов на компактном многообразии с
отмеченным подмногообразием коразмерности один и функционала регуляри­
зованного следа на этой алгебре, а также доказываем теорему о регуляризован­
ном следе коммутатора. Эти объекты являются аналогами соответствующих
объектов, введенных ранее Мельроузом для многообразий с углами.
Пусть  — гладкое компактное многообразие размерности ,  0 — глад­
кое подмногообразие коразмерности один,  — эрмитово векторное расслоение
на . Предположим, что на  задана риманова метрика  , и нормальное рас­
10
слоение  ( 0 ) :=  /  0 ∼
= (  0 )⊥ ориентировано. Зафиксируем гладкую
положительную плотность |0 | на  0 .
Нам понадобятся некоторые специальные координаты на , определен­
ные вблизи  0 . Пусть exp :  ( 0 ) →  — экспоненциальное отображение
римановой метрики  для подмногообразия  0 . Можно рассматривать  0
как подмногообразие в  ( 0 ) (в качестве нулевого сечения). Существует такая
окрестность  ⊃  0 в  ( 0 ), что ограничение exp | на  является диффео­
морфизмом  на некоторую окрестность exp( ) =:  подмногообразия  0 в
, называемую трубчатой окрестностью подмногообразия  0 . Каждой точке
 ∈  можно поставить в соответствие пару (, 0 ) ∈  ( 0 ), где 0 ∈  0 и
 ∈ 0 ( 0 ), exp() = . Легко показать, что точка  однозначно задается
парой (, 0 ), где  ∈ R, 0 ∈  0 . Без потери общности можно считать, что
 ∈  ⇔  ∈ (−, ) при некотором  > 0. Мы будем называть отображение
 → (−, ) ×  0 ,  ↦→ (, 0 ) нормальной системой координат около  0 . Ес­
ли  — эрмитово векторное расслоение на , то можно предположить, что
(,0 ) ∼
= (0,0 ) =  00 для любого  ∈ (−, ), где  0 — ограничение расслоения

0
 на  ,  — слой расслоения  в точке  ∈ . В таком случае скажем, что
на exp( ) задана адаптированная тривиализация расслоения .
1
1
Рассмотрим оператор  : 0∞ ( ∖  0 ,  ⊗ Ω2 ) →  ∞ ( ∖  0 ,  ⊗ Ω2 ) с
(︁
)︁
1
1
∞
0
0
2
ядром  ∈ 
( × ) ∖ ({ × } ∪ { ×  }), ℒ() ⊗ Ω× , где Ω2 —
расслоение полуплотностей на , ℒ() — векторное расслоение на  × , слой
которого в точке (1 , 2 ) ∈  ×  состоит из линейных отображений из 2 в
1
1 . Действие  на полуплотность  ∈ 0∞ ( ∖  0 ,  ⊗ Ω2 ) задается формулой:
Z
 =  .
(4)

Возьмем нормальную систему координат с координатами (, 0 ) ∈ (−, )×
 0 и адаптированную тривиализацию расслоения  в трубчатой окрестности
 подмногообразия  0 . Пусть (1 , 2 , 01 , 02 ) ∈ (−, ) × (−, ) ×  0 ×  0 —
11
соответствующие координаты на  ×  . Запишем ядро  в виде
 =
⃒
⃒
⃒1
⃒2
1 2 0 0 ⃒
 (1 , 2 , 01 , 02 ) ⃒⃒
 
1 2 1 2 ⃒
,
где  (1 , 2 , 01 , 02 ) — линейное отображение из (2 ,02 ) ∼
= 00 .
= 00 в (1 ,01 ) ∼
1
2
На множестве ( ∖  0 ) × ( ∖  0 ) введем систему координат (, , 01 , 02 ) ∈
((−, ) ∖ {0}) × (R ∖ {0}) ×  0 ×  0 по формулам  = 1 и  =
1
2 .
В этой
системе координат ядро  принимает вид
⃒
⃒1
⃒
⃒2


0
0⃒
̃︀  (, , 01 , 02 )⃒


 = 
⃒   1 2⃒ ,
где для любого (, , 01 , 02 ) ∈ (−, ) × (R ∖ {0}) ×  0 ×  0
̃︀  (, , 01 , 02 ) =  (,  , 01 , 02 ) :  00 →  00 .

2
1

(5)
Определение 3. Скажем, что  ∈ (,  0 , ), если выполнены следующие
условия:
1. Для любого  > 0 найдется  > 0, такое что, если (1 ,  0 ) > ,
(2 ,  0 ) <  или (2 ,  0 ) > , (1 ,  0 ) < , то  (1 , 2 ) = 0 (здесь 
обозначает геодезическое расстояние, определенное метрикой  ).
̃︀  (, , 01 , 02 ), определяемая формулой (5), является гладкой
2. Функция 
на (−, ) × (R ∖ {0}) ×  0 ×  0 (в часности, при  = 0).
3. Существуют такие ,  , 0 <  <  < ∞, что носитель функции
̃︀  содержится в множестве всех (, , 01 , 02 ) ∈ ((−, ) ∖ {0}) × (R ∖

{0}) ×  0 ×  0 таких, что  < || <  .
Множество (,  0 , ) является алгеброй.
Плотность  ∈  ∞ ( ∖  0 , Ω ) называется гладкой относительной плот­
ностью, если в нормальной системе координат около  0 она имеет вид:
⃒
⃒
⃒
⃒

 = (, 0 ) ⃒⃒ 0 ⃒⃒ , (, 0 ) ∈ (−, ) ×  0 ,

12
(6)
где  — гладкая функция на (−, )× 0 . Для гладкой относительной плотности
 определим плотность  | 0 на  0 следующим образом. Если записать  в виде
(6), то  | 0 = (0, 0 )|0 |.
Определение 4. Регуляризованный интеграл гладкой относительной плот­
ности  по  определяется формулой
⎛
Z

⎜
⎜
 = lim ⎜
→0 ⎝
Z
Z
 + 2 ln 
0

(, 0 )>
⎞
⎟
⎟
 | 0 ⎟ .
⎠
(7)
Можно показать, что предел в правой части формулы (7) существует.
Для ядра  оператора  ∈ (,  0 ; ) естественно определяется его
ограничение на диагональ ∆ = {(, ) ∈  ×  :  ∈ } ∼
=  как мат­
)︀
(︀
ричнозначная плотность  |Δ ∈  ∞  ∖  0 , ℒ() ⊗ Ω . Ее поточечный след
tr  |Δ является гладкой относительной плотностью на , что позволяет дать
следующее определение.
Определение 5. Регуляризованный след оператора  ∈ (,  0 , ) с ядром
 определяется по формуле
Z
tr  |Δ .
r-Tr() =

Прежде чем сформулировать теорему о регуляризованном следе комму­
татора операторов из (,  0 , ), введем понятие определяющего семейства.
Это понятие является аналогом известного понятия конормального символа
(см., напр.,22 ,23 ) в рассматриваемой ситуации.
Определение 6. Определяющим оператором, ассоциированным с оператором
 ∈ (,  0 , ), называется оператор (), действие которого на полуплот­
22
Melrose, R. B. The Atiyah-Patodi-Singer index theorem// Research Notes in Mathematics, 4. A K Peters,
Ltd., Wellesley, MA, 1993.
23
Nazaikinskii, V. E., Savin, A. Yu., Schulze, B. W., Sternin, B. Yu. Elliptic theory on singular manifolds//
Chapman Hall CRC, Boca Raton, FL, 2006.
13
1
⃒1
⃒
0 ⃒ 
0⃒ 2
2
ность  ∈ 0∞ ((R ∖ {0}) ×  0 , 2*  0 ⊗ Ω(∖{0})×

0 ) вида  = (,  )

задается формулой:
⃒1
⃒
1
⃒  0 ⃒ 2
2
() = ()(,  ) ⃒⃒  ⃒⃒ ∈ 0∞ ((R ∖ {0}) ×  0 , 2*  0 ⊗ ΩR∖{0}×
0 ),

0
где
Z +∞
Z
0
()(,  ) =
(︁  )︁ 
0 0
̃︀
01 ,
 (0, ,  , 1 ) , 01


 ∈ R ∖ {0}, 0 ∈  0 .
 0 −∞
Здесь 2*  0 обозначает расслоение на (R∖{0})× 0 , являющееся поднятием
расслоения  0 при проекции 2 : (R ∖ {0}) ×  0 →  0 : (2*  0 )(,0 ) = 00 .
Определение 7. Определяющими семействами оператора  ∈ (,  0 , )
называются семейства { ± (, ) :  ∈ C} интегральных операторов в про­
странстве  ∞ ( 0 ,  0 ) с гладкими ядрами, задающимися формулами:
+∞
Z
̃︀  (0, , 01 , 02 )
− 
 + (,) (01 , 02 ) =

: 002 → 001 ,

0
Z0
̃︀  (0, , 0 , 0 )
||− 
1 2
 − (,) (01 , 02 ) =

: 002 → 001 .
||
−∞
Теорема 8. Если  ∈ (,  0 , ) и  ∈ (,  0 , ), то
1
r-Tr([, ]) = −

+∞
Z
Tr(  + (, ) ∘  + (, ) +   − (, ) ∘  − (, )),
−∞
где Tr означает след интегрального оператора в пространстве  ∞ ( 0 ,  0 ).
В третьей главе мы изучаем формулы Лефшеца для потоков с неподвиж­
ными точками на многообразиях со слоением. Мы рассматриваем два случая:
первый случай — это слоение, задаваемого слоями расслоения над окружно­
стью. Второй случай — это простейший модельный случай нетривиального сло­
ения (рассматривается слоение типа Риба на двумерном торе).
14
В первом разделе третьей главы мы изучаем формулы Лефшеца в
случае, когда слоение ℱ на гладком компактном многообразии  задается сло­
ями расслоения  :  →  1 над окружностью  1 . На  мы рассматриваем
поток  = { :  → ,  ∈ R}, удовлетворяющий условиям:
(P1) Для любого  ∈ R диффеоморфизм  отображает каждый слой сло­
ения ℱ в какой-либо (возможно, другой) слой.
(P2) Поток  имеет конечное число неподвижных точек, которые просты.
(P3) Орбиты потока  трансверсальны ко всем слоям слоения, кроме тех
слоев, которые содержат неподвижные точки потока.
В качестве отмеченного гладкого подмногообразия  0 возьмем объедине­
ние слоев расслоения , содержащих неподвижные точки потока. Можно дока­
зать, что операторы  ∘ ℋ (ℱ) принадлежат (,  0 , Λ ( ℱ)). Поэтому мы
можем определить регуляризованную функцию Лефшеца  ( ) ∈ ′ (R) по
формуле
⟨ ( ),  ⟩ =
−1
∑︁
(−1) r-Tr( ∘ ℋ (ℱ) ),
 ∈ 0∞ (R).
=0
Согласно условию (P1) существует такой поток  на  1 , что ( ()) =
  (()) для любого  ∈ . Запишем инфинитезимальный генератор  =

   |=0

потока  в виде  () = () 
,  ∈  1 , где  ∈  ∞ ( 1 ). По условию
(P3) поток  имеет конечное число неподвижных точек 1 , . . . ,  ∈  1 , причем
( ) = 0 и ′ ( ) ̸= 0 для любого  = 1, . . . , .
Основным результатом первой части третьей главы является следующая
теорема (ср. с теоремой 1):
Теорема 9. Имеет место формула
Z
 ( ) = ( )

0 ,
|()|
1
где ( ) — эйлерова характеристика типичного слоя  расслоения , и регу­
ляризованный интеграл определяется подмногообразием {1 , . . . ,  } ⊂  1 .
15
Во втором разделе третьей главы мы изучаем формулы Лефшеца для
слоения ℱ на двумерном торе  = T2 = R2 /(2Z × Z), подъем которого на R2
при естественном отображении R2 → Z2 , слоение ℱ̃︀ на R2 , задается множе­
(︀ )︀
ствами уровня отображения  : R2 → R, (, ) =  cos 2  . Данное слоение
имеет один компактный слой  0 = {(, ) ∈ T2 :  = 1}, все другие слои
некомпактны и наматываются на него. Отметим, что слоение ℱ не является
трансверсально ориентируемым. Рассмотрим поток, удовлетворяющий сформу­
лированным выше условиям (P1), (P2), (P3). Неподвижные точки такого по­
тока принадлежат  0 . Можно показать, что для любого  ∈ R отображение
 :  / ℱ →  / ℱ имеет вид  ↦→   с некоторым  ̸= 0. Поток имеет
единственную замкнутую орбиту  = 0 с примитивным периодом  = 1 .
В данном случае оператор  ∘ ℋ (ℱ) , вообще говоря, не принадлежит ал­
гебре (,  0 , Λ ( ℱ)). Поэтому мы рассматриваем сглаженную регуляризо­
ванную функцию Лефшеца. Обозначим через  множество функций  : R → C,
продолжающихся до целых функций на всей комплексной плоскости, таких, что
для любого компакта  ⊂ R множество функций  ↦→ ( + );  ∈  ограни­
чено в пространстве Шварца (R). Зафиксируем четную функцию  ∈  вида
() = (2 ),  ∈ R, где  ∈  ∞ (R). Для любых  > 0 и  ∈ 0∞ (R) определим


операторы ,,
: Ω (ℱ) → Ω (ℱ),  = 0, 1 по формуле ,,
=  ∘ (∆ℱ )2 ,
где ∆ℱ — послойный оператор Лапласа в Ω (ℱ). Можно доказать, что оператор

,,
,  = 0, 1 принадлежит алгебре (,  0 , Λ ( ℱ)), и поэтому существу­

ет регуляризованный след r-Tr(,,
). Сглаженная регуляризованная функция
Лефшеца , ∈ ′ (R) определяется формулой
(︀ 0 )︀
(︀ 1 )︀
⟨, ,  ⟩ = r-Tr ,,
− r-Tr ,,
,
 ∈ 0∞ (R).
Явное вычисление функции , представляется достаточно сложной за­
дачей. В данной работе мы делаем первый шаг, а именно, мы вычисляем ее
производную по , что дает следующую формулу типа МакКина-Зингера.
16
Теорема 10. Для любого  > 0 имеет место формула
(︁  )︁
∑︁

⟨ , ,  ⟩ =
 (, )
,


 ∈ 0∞ (R),
∈Z
где коэффициенты  (, ) определяются громоздкими явными формулами.
В заключении кратко резюмируются результаты диссертации.
Список публикаций
1. Кордюков, Ю. А., Павленко, В. А. Сингулярные интегральные операторы на
многообразии с отмеченным подмногообразием// Уфимск. матем. журн. 6,
№ 3 (2014), 35 – 71.
2. Кордюков, Ю. А., Павленко, В. А. О формулах Лефшеца для потоков на
многообразиях со слоением// Уфимск. матем. журн. 7, № 2 (2015), 71 – 106.
3. Павленко, В. А. Относительные интегральные операторы и их алгебра// Рос­
сийский электронный научный журнал, № 1 (2014).
4. Павленко, В. А. Некоторые асимптотические разложения на многообразиях и
операции над ними// Сборник трудов Международной школы-конференции
«Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» Уфа 1
(2009), 311 – 320.
5. Павленко, В. А. Некоторые асимптотические разложения на многообразиях
и операции над ними// Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. –Казань:
Изд-во Казан. матем. об-ва 39 (2009), 317 – 319.
6. Павленко, В. А. Алгебра относительных интегральных операторов на много­
образии с выделенным многообразием// Тр. Матем. центра им. Н. И. Лоба­
чевского. –Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва 40 (2010), 261 – 264.
17
7. Павленко, В. А. Интегральные операторы специального вида и их свойства//
Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. –Казань: Изд-во Казан. матем.
об-ва 44 (2011) 232 – 234.
8. Павленко, В. А. Интегральные операторы специального вида и их свойства//
Сб. трудов Международной школы-конференции «Фундаментальная матема­
тика и ее приложения в естествознании» Уфа (2012) 131 – 135.
9. Павленко, В. А. Формула Лефшеца для потока на расслоенном многообра­
зии// Материалы Международной школы-конференции «Спектральные за­
дачи, нелинейный и комплексный анализ» Уфа (2014) 70 – 72.
10. Павленко, В. А. Формулы Лефшеца для потоков с неподвижными точками
на расслоенных многообразиях// Сборник трудов Международной школы­
конференции «Фундаментальная математика и ее приложения в естество­
знании» Уфа, (2014) 108 – 111.
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
355 Кб
Теги
0c4f0b5312, uploaded
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа