close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

uploaded 0C54068009

код для вставкиСкачать
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт проблем передачи информации им А. А. Харкевича
Российской академии наук
На правах рукописи
УДК 512.774.42, 512.772.3, 512.623.23
Трепалин Андрей Сергеевич
Факторы поверхностей дель Пеццо
Специальность:
01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел
Автореферат
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Москва — 2013
Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-матема­
тического факультета Московского Государственного Университета им.
М. В. Ломоносова.
Научный руководитель:
профессор кафедры высшей алгебры
механико-математического факультета
Московского Государственного Университета,
доктор физико-математических наук,
профессор Юрий Геннадьевич Прохоров.
Официальные оппоненты: профессор кафедры алгебры и геометрии
Тольяттинского Государственного Университета,
доктор физико-математических наук,
профессор Марат Харисович Гизатуллин;
начальник сектора Объединённого
Института Ядерных Исследований,
доктор физико-математических наук,
профессор Николай Андреевич Тюрин.
Ведущая организация:
Ярославский Государственный
Педагогический Университет
им. К.Д. Ушинского
Защита диссертации состоится 28 января 2014 г. в 17:00 на заседании дис­
сертационного совета Д002.077.03 при федеральном государственном бюджет­
ном учреждении науки Институте проблем передачи информации им. А.А.
Харкевича Российской академии наук, расположенном по адресу:
127994, г. Москва, ГСП-4, Большой Каретный переулок, 19, стр. 1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем
передачи информации им. А. А. Харкевича.
Автореферат разослан
декабря 2013 г.
Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные пе­
чатью, просьба высылать по указанному адресу на имя учёного секретаря
диссертационного совета.
Учёный секретарь
диссертационного совета
Д002.077.03 в ИППИ
кандидат физико-математических наук
А. Н. Соболевский
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Диссертация посвящена изучению свойств рациональности факторов по­
верхностей дель Пеццо.
Пусть  — конечная группа, а k — поле. Рассмотрим следующее чи­
сто трансцендентное расширение K/k степени трансцендентности  = ord .
Отождествим K с k{( )}, где индекс  пробегает все элементы группы .
Группа  естественно действует на K перестановками переменных: ℎ( ) =
ℎ . Проблема Э. Нётер1 заключается в следующем: является ли поле инва­
риантов K рациональным (то есть чисто трансцендентным) над k?
Наиболее полный ответ на этот вопрос известен для абелевых групп,
но даже в этом случае фактормногообразие может быть нерациональным.
Р. Г. Сван2 доказал, что если  — циклическая группа порядка 47 и k = Q, то
K не рационально. Для меньшей циклической группы порядка 8 пример был
дан Х. В. Ленстрой3 . Дальнейшие результаты для абелевых групп получены
в работах С. Эндо и Т. Мията4 и В. Е. Воскресенского5 .
Для неабелевых групп существуют примеры нерациональных полей ин­
вариантов даже в случае k = k. Д. Дж. Сальтман6 доказал, что для лю­
бого простого числа  существует неабелева группа порядка 9 такая, что
K не рационально, если char k ̸= . Позже этот результат был усилен
Ф. А. Богомоловым7 , который доказал, что существует такая группа поряд­
ка 6 , и П. Моравецом8 , А. Хоши и М. Кангом9 , доказавшим этот результат
для группы порядка 5 .
Проблему Нётер можно обобщить следующим способом. Пусть k — поле
1
E. Noether, “Rationale Functionenkörper”, Jahresber. Dtsch. Math.-Ver., 22 (1913), 316–319
R. G. Swan, “Invariant rational functions and a problem of Steenrod”, Invent. Math., 77 (1984), 71–84
3
H. W. Lenstra, Jr., “Rational functions invariant under a finite abelian group”, Invent. Math., 25 (1974),
299–325
4
S. Endo, T. Miyata, “Invariants of finite abelian groups”, J. Math. Soc. Japan, 25 (1973), 7–26
5
В. Е. Воскресенский, “Поля инвариантов абелевых групп”, Успехи математических наук , 28:4(172)
(1973), 77–102
6
D. J. Saltman, “Noether’s problem over an algebraically closed field”, Invent. Math., 77 (1984), 71–84
7
Ф. А. Богомолов, “Группа Брауера факторпространств линейных представлений”, Изв. АН СССР. Сер.
Матем., 51:3 (1987), 485–516
8
P. Moravec, “Unramified Brauer groups of finite and infinite groups”, Amer. J. Math., to appear
9
A. Hoshi, M. Kang, “Unramified Brauer groups for groups of order 5 ”, preprint aviable at
http://arxiv.org/abs/1109.2966
2
1
характеристики 0, K = k (1 , . . .  ) — его чисто трансцендентное расшире­
ние, а  — конечная группа, действующая на k. Возникает вопрос: когда K
рационально и как устроены нерациональные поля инвариантов? Дальней­
шим обобщением этой проблемы является задача классификации всех проме­
жуточных подполей k ⊂ K′ ⊂ K.
Напомним следующее определение:
Определение. Многообразие , определённое над полем k, называется
k-рациональным, если  бирационально эквивалентно Pk .
Многообразие  называется рациональным, если многообразие
 =  ⊗ k является k-рациональным.
Многообразие , определённое над полем k, называется
k-унирациональным, если существует k-рациональное многообразие 
и доминантное отображение  :  99K .
На языке алгебраической геометрии проблема Нётер переформулиру­
ется следующим способом. Пусть  — k-рациональное многообразие и
 — конечная подгруппа Autk (). Когда фактомногообразие / является
k-рациональным? Какова k-бирациональная классификация факторов /?
Дальнейшим обобщением является проблема описания k-унирациональных
многообразий.
В таком обобщении естественно начать с маломерных случаев. Наиболее
общий результат известен для размерностей 1 и 2. Классический результат
Люрота10 состоит в том, что любая унирациональная кривая рациональна.
Из критерия рациональности Кастельнуово11 следует, что над алгебраически
замкнутым полем характеристики нуль любая унирациональная поверхность
рациональна.
Для больших размерностей известно гораздо меньше. Например, в слу­
чае алгебраически замкнутого поля k неизвестно, является ли всякий фактор
P3k по конечной группе k-рациональным12 . Если поле k не является алгебра­
ически замкнутым, то фактор P3k / может быть нерациональным даже для
абелевой группы 13 .
10
J. Lüroth, “Beweis eines Satzes tiber rationale Kurven”, Math. Ann., 9 (1876), 163–165
G. Castelnuovo, “Sulla razionalità delle involuzioni piane”, Math. Ann., 44 (1894), 125–155
12
Yu. Prokhorov, “Fields of invariants of finite linear groups”, In: Cohomological and geometric approaches to
rationality problems, Progr. Math., 282 (2010), 245–273
13
H. Ahmad, M. Hajja, M. Kang, “Rationality of some projective linear actions”, J. Algebra, 228 (2000),
643–658
11
2
С другой стороны, если поле k не является алгебраически замкнутым,
полного ответа о рациональности не существовало даже для факторов P2k .
В статье14 доказано, что поле k(, ) рационально для мономиального дей­
ствия группы  на множестве {, }. Это соответствует k-рациональности
факторов торических поверхностей по группам, имеющим инвариантный дву­
мерный тор на такой поверхности. Из результатов статьи13 следует, что фак­
(︀
)︀
тор P2k / и фактор P1k × P1k / являются k-рациональными, если  цикли­
ческая ( может быть бесконечной).
Известны примеры, когда факторы k-рациональных поверхностей по ко­
нечной группе не являются k-рациональными15 .
В диссертации изучены все возможности действия конечных групп 
на рациональной поверхности , такие что фактор / может не являть­
ся k-рациональным, приведены примеры, когда эти факторы не являются
k-рациональными и показано, что в остальных случаях фактор является
k-рациональным.
Цель работы
Гладкая проективная поверхность  называется поверхностью дель
Пеццо, если её антиканонический дивизор − обилен.
Пусть  — поверхность дель Пеццо над полем k характеристики 0,
 (k) — всюду плотно, конечная группа  действует на  автоморфизма­
ми. В диссертации решалась следующая задача:
Когда факторповерхность / является k-рациональной?
Основным результатом является следующая теорема.
Теорема. Пусть k — произвольное поле характеристики ноль,  — поверх­
ность Дель Пеццо степени , на которой действует группа . Тогда верно
следующее:
∙ если  > 5 и (k) ̸= ∅, то / является k-рациональной поверхно­
стью;
∙ если  = 4 и (k) ̸= ∅, то / является k-рациональной поверхно­
стью, если группа  не изоморфна ⟨id⟩, C2 , C22 или C4 ;
14
M. Hajja, “Rationality of finite groups of monomial automorphisms of (, )”, J. Algebra, 109 (1987),
46–51
15
Ю. И. Манин, “Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика”, Наука, Москва, 1987
3
∙ если  = 3 и (k) ̸= ∅, то / является k-рациональной поверхно­
стью, если группа  не изоморфна ⟨id⟩ или C3 ;
∙ если  = 2 и множество (k) всюду плотно, то / является
k-рациональной поверхностью, если группа  не изоморфна ⟨id⟩, C2 ,
C3 , C22 , C4 , S3 , D8 или 8 ;
∙ если  = 1 и множество (k) всюду плотно, то / является
k-рациональной поверхностью, если группа  не изоморфна ⟨id⟩, C2 ,
C3 или C6 ,
где C — циклическая группа порядка , D2 — диэдральная группа по­
рядка 2, S — симметрическая группа степени , а 8 — группа кватер­
нионов.
Конкретные способы действия групп и условия, для которых фактор не
является k-рациональным, указаны в тексте диссертации.
Методы исследования
В диссертации используются методы программы минимальных моделей,
теории особенностей алгебраических многообразий, торической геометрии,
теории групп и комбинаторики.
Научная новизна
Результаты лиссертации являются полностью новыми. Основные из них
состоят в следующем:
1. Полностью исследовано в каких случаях фактор поверхности дель Пец­
цо по конечной группе автоморфизмов может не являться рациональ­
ным. Для каждого случая, когда факторповерхность может не являться
рациональной найдены условия, когда она не является таковой и постро­
ена гладкая минимальная модель.
2. Показано, что всякий фактор расслоения на коники по конечной группе
автоморфизмов бирационально эквивалентен фактору некоторого рас­
слоения на коники по группе, эффективно действующей на базе этого
расслоения, порядка 2 , 12, 24 или 60. Для любой из перечисленных
4
групп построено бесконечномерное семейство примеров рациональных
над основным полем расслоений на коники, факторы которых не явля­
ются рациональными поверхностями.
3. В качестве следствия получено, что поле инвариантов чисто трансцен­
дентного расширения двумя переменными любого поля характеристи­
ки 0 конечной группы нечётного порядка, не равного 3, является чисто
трансцендентным.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты мо­
гут быть использованы в теории инвариантов и алгебраической геометрии.
Апробация результатов
Основные результаты диссертации докладывались
∙ на международном алгебраическом симпозиуме, посвященному
80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факуль­
тета МГУ и 70-летию профессора А.В. Михалева (Москва, 2010),
∙ на конференции «Instantons and Rationality of Moduli Spaces» (Berlin,
2010),
∙ на второй школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и
теория инвариантов» (Москва, 2011),
∙ на конференции «Ломоносов» (Москва, 2011),
∙ на конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу
(Лютово, 2011),
∙ на международной конференции по алгебре и алгебраической геомет­
рии (Екатеринбург, 2011),
∙ на третьей школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы
и теория инвариантов» (Тольятти, 2012),
∙ на международной конференции «Homological projective duality and non­
commutative geometry» (Coventry, Warwick university, 2012),
5
∙ на международной конференции, посвященной 60-летию Виктора Сте­
пановича Куликова (Москва, 2012),
∙ на конференции «Ломоносов» (Москва, 2013)
∙ на летней школы-конференции по алгебраической геометрии и ком­
плексному анализу для молодых ученых России (Лютово, 2013),
∙ на международной конференции «Геометрия алгебраических многооб­
разий», посвященной памяти В. А. Исковских (Москва, 2013).
∙ на семинаре в Department of Pure Mathematics, University of Liverpool
(Liverpool, 2012),
∙ на семинаре в University of Edinburgh (Edinburgh, 2012),
∙ на
семинаре
«Геометрия
алгебраических
многообразий»
им.
В. А. Исковских
под
руководством
Ю. Г. Прохорова,
В. В. Пржиялковского, Д. О. Орлова, К. А. Шрамова в МИАН (Москва,
2013),
∙ на семинаре Лаборатории алгебраической геометрии и её приложений
НИУ ВШЭ (Москва, 2013).
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в трёх единоличных работах.
Список публикаций приведён в конце автореферата.
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из четырёх глав, разбитых на параграфы. В конце
приводится список литературы, состоящий из 29 наименований. Общий объём
диссертации — 87 страниц.
Краткое содержание работы
6
Первая глава — введение. В ней формулируется основная задача, изу­
чаемая в диссертации, обсуждается история вопроса, даётся общий обзор хода
доказательства, обозначаются дальнейшие направления применения получен­
ных результатов, вводятся используемые обозначения.
Вторая глава содержит предварительные сведения, используемые при
доказательстве результатов.
В параграфе 2.1 вводятся основные понятия программы минимальных
моделей. В ней даются определения поверхностей дель Пеццо и расслоений
на коники. Одно из ключевых утверждений16 относительно минимальных
рациональных поверхностей следующее:
Теорема. Пусть

является
-минимальной
рациональной
-поверхностью. Тогда либо  обладает -эквивариантной структу­
рой расслоения на коники и Pic() ∼
= Z2 , либо  является поверхностью
дель Пеццо и Pic() ∼
= Z.
Таким образом, всякий фактор рациональной поверхности по конечной
группе автоморфизмов является бирационально эквивалентным фактору по
конечной группе автоморфизмов минимальной поверхности дель Пеццо или
минимального расслоения на коники.
Также в этом параграфе даётся критерий17 , позволяющий определять,
является ли поверхность k-рациональной или нет.
Теорема. Минимальная рациональная поверхность , определённая над со­
вершенным полем k, является k-рациональной тогда и только тогда, когда
выполнены два следующих условия:
(i) (k) ̸= ∅;
2
(ii) 
> 5.
В параграфе 2.2 вводится понятие торического многообразия и даются
основные свойства торических поверхностей.
В параграфе 2.3 вводятся обозначения, касающиеся конечных групп, опи­
сываются подгруппы групп PGL2 (k) и PGL3 (k) и нормальные подгруппы в
подгруппах S5 .
16
В. А. Исковских, “Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольными полями”,
Изв. АН СССР. Сер. Матем., 43:1 (1979), 19–43
17
В. А. Исковских, “Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей с точки
зрения теории Мори”, УМН, 51:4(310) (1996), 3–72
7
В параграфе 2.4 даются основные сведения, касающиеся факторов по­
верхностей по конечным группам. Ключевую роль во всей диссертации игра­
ет следующая лемма:
Лемма. Пусть  — -поверхность,  — нормальная подгруппа , а
 — (/ )-ММП-редукция поверхности / . Тогда поверхности / и
 /(/ ) являются k-бирационально эквивалентными.
Таким образом, если  — (/ )-минимальная гладкая модель факто­
ра k-рациональной -поверхности  по нормальной подгруппе  C , то
k-рациональность  /(/ ) влечёт k-рациональность /. Если в группе
/ есть нетривиальная нормальная подгруппа  , то можно повторить эту
процедуру, применяя эту лемму к поверхности  и нормальной подгруппе
 C / .
Эта лемма позволяет свести доказательство k-рациональности многих
факторов поверхностей к случаям факторов поверхностей большей степени
или факторов поверхностей по меньшим группам.
В доказательстве k-рациональности факторов торических поверхностей,
к которым относятся поверхности Хирцебруха и поверхности дель Пеццо сте­
пеней 9, 8 и 6, ключевую роль играет следующая лемма:
Лемма. Пусть  — -мерное торическое многообразие над произвольным
(︀ )︀
алгебраически замкнутым полем k, а  — конечная подгруппа Aut  , со­

пряжённая подгруппе -мерного тора T ⊂ , действующего на . Тогда
фактор / является торическим многообразием.
В частности, если  — конечная циклическая подгруппа связной ком­
поненты единицы Aut0 () ⊂ Aut(), то фактор / — торическое мно­
гообразие.
В параграфе 2.5 описываются циклические фактор-особенности, возни­
цающие в ходе исследования факторов поверхностей, и описывается, как из­
меняются численные свойства поверхности и кривых на ней при разрешении
такой особенности.
В третьей главе исследуются факторы расслоений на коники по конеч­
ным группам автоморфизмов.
Основным результатом параграфа 3.1 является следующая теорема:
8
Теорема. Пусть конечная группа  эффективно действует на поверхно­
сти , и  обладает структурой -эквивариантного расслоения на коники
 :  → . Любая относительная ММП-редукция  над / фактора /
обладает структурой расслоения на коники. Обозначим  образ группы 
при естественном отображении Aut() → Aut(). Тогда
2
> 5, то 2 > 5;
1. Если 
2
2
2
2
=
= 2 , то 
. Если, кроме того, 
< 5, то 2 > 
2. Если 
2
 = 4 и  ∼
= C2 или  ∼
= V4 .
Непосредственное следствие из этой применяется для доказательства
k-рациональности факторов поверхностей дель Пеццо.
Следствие. Если  является k-рациональном расслоением на коники и
2

> 5, то / — k-рациональная поверхность.
В параграфе 3.2 доказывается следующая теорема — главный результат
третьей главы:
Теорема. Пусть k — поле характеристики ноль. Пусть  —
k-рациональное расслоение на коники,  — конечная группа, действу­
ющая на . Тогда фактор / является k-бирационально эквивалентным
фактору k-рационального расслоения на коники по одной из групп C2 , D2 ,
A4 , S4 или A5 .
Здесь C — циклическая группа порядка , D2 — диэдральная группа по­
рядка 2, A — альтернированная группа степени , S — симметрическая
группа степени .
Для каждой из перечисленных групп строится бесконечномерная серия
примеров факторов k-рациональных расслоений на коники, не являющихся
k-рациональными.
В параграфе 3.3 исследуются факторы одного специального расслоения
на коники — поверхности Исковских. Полученные результаты нужны для
изучения факторов поверхности дель Пеццо степени 2.
Четвёртая глава посвящена исследованию факторов поверхностей
дель Пеццо. В ней рассматриваются все возможные действия групп автомор­
физмов на поверхностях дель Пеццо и для каждого из них либо доказывается,
9
что фактор является k-рациональным (при условии плотности k-точек на по­
верхности), либо приводятся условия, когда факторповерхность не является
рациональной и строится её гладкая минимальная модель.
В параграфах 4.1, 4.2 и 4.3 изучаются факторы поверхностей дель Пеццо
степени 9, 8 и 6 соответственно. Эти поверхности являются k-формами тори­
ческих поверхностей. В каждой группе, действующей на одной из этих поверх­
ностей, находится нетривиальная нормальная подгруппа такая, что фактор
по ней эквивариантно перестраивается в k-форму торической поверхности.
Повторяя эту процедуру, получаем следующее предложение:
Предложение. Пусть  — k-форма торической поверхности,  — ко­
нечная подгруппа автоморфизмов Autk (). Тогда существует гладкая мо­
дель /, являющаяся k-формой торической поверхности. Более того, если
(k) ̸= ∅, то / — k-рациональна.
В параграфе 4.4 изучаются факторы поверхности дель Пеццо степени 5 и
показывается, что они всегда k-рациональны (при условии плотности k-точек
на поверхности).
В параграфе 4.5 изучаются факторы поверхностей дель Пеццо степени
4. Такие поверхности задаются парой уравнений в P4k :
5
∑︁
2
5
∑︁
= 0,
=1
 2 = 0.
=1
(︀ )︀
Группа C42 действует на Pk4 и  как диагональная подгруппа PGL5 k .
Обозначим через  элемент, меняющий знак координат  и  на противопо­
ложный, а через () элемент, меняющий координаты  и  местами. Тогда
верно следующее предложение.
Предложение. Пусть  — поверхность дель Пеццо степени 4,  — конеч­
ная подгруппа Autk () и (k) ̸= ∅. Тогда / является k-рациональной
поверхностью, если  не сопряжена одной из следующих групп ⟨id⟩, ⟨12 ⟩,
⟨12 , 13 ⟩ или ⟨(12)(34)15 ⟩.
Для четырёх перечисленных групп явно построены примеры факторов,
не являющихся k-рациональными.
В параграфе 4.6 изучаются факторы поверхностей дель Пеццо степени
3. Такие поверхности являются гладкими кубическими поверхностями в P3k .
10
Пусть группа  — циклическая группа порядка 3, действующая на кубике
2
 так, что  действует на P3k как ( :  :  :  2 ), где  =  3 . Тогда верно
следующее предложение.
Предложение. Пусть  — поверхность дель Пеццо степени 3,  — конеч­
ная подгруппа Autk () и (k) ̸= ∅. Тогда / является k-рациональной,
если  не тривиальна и  не сопряжена группе .
Для группы  приведены условия, когда фактор / не является
k-рациональным. Показано, что такой фактор бирационально перестраива­
ется в гладкую кубику.
В параграфе 4.7 изучаются факторы поверхностей дель Пеццо степени
2. Доказывается следующее предложение:
Предложение. Пусть  — поверхность дель Пеццо степени 2,  — ко­
нечная подгруппа Autk () и (k) плотно. Тогда / может не быть
k-рациональным, если группа  одна из следующих: ⟨id⟩, C2 , C3 , C4 , C22 , S3 ,
D8 , 8 . Для любой другой группы  фактор / является k-рациональным.
Здесь C — циклическая группа порядка , D2 — диэдральная группа поряд­
ка 2, S — симметрическая группа степени , 8 — группа кватернионов.
В диссертации указаны конкретные способы действия этих групп, для
которых факторы не являются k-рациональными, описаны условия при кото­
рых это так, и построены гладкие минимальные модели. Большое количество
факторов, не являющихся k-рациональными, связано с тем, что фактор по­
верхности дель Пеццо степени 2 по группе порядка 2 бирационально эквива­
лентен поверхности Исковских, обладающей большим количеством факторов
по конечным группам, не являющихся k-рациональными.
В параграфе 4.8 изучаются факторы поверхностей дель Пеццо степени
1. Доказывается следующее предложение:
Предложение. Пусть  — поверхность дель Пеццо степени 1,  — ко­
нечная подгруппа Autk () и (k) плотно. Тогда / может не быть
k-рациональным, если группа  тривиальна или является циклической
группой порядка 2, 3 или 6.
Для любой другой группы  фактор / является k-рациональным.
11
В диссертации описываются конкретные действия групп, факторы по
которым не являются k-рациональными, и строятся гладкие минимальные
модели факторов по этим группам.
Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководите­
лю доктору физико-математических наук профессору Юрию Геннадьевичу
Прохорову за постановку задачи и неоценимую помощь при её исследовании
и оформлении текстов. Автор сильно признателен кандидату физико-матема­
тических наук Константину Александровичу Шрамову за постоянную под­
держку, помощь и многочисленные полезные обсуждения. Также автор хо­
тел бы поблагодарить весь коллектив отделов алгебраической геометрии и
алгебры и теории чисел Математического института им. В. А. Стеклова Рос­
сийской академии наук за создание прекрасной творческой атмосферы для
исследований.
12
Список литературы
[1] A. S. Trepalin, “Rationality of the quotient of P2 by finite group of automorphisms over
arbitrary field of characteristic zero”, Cent. Eur. J. Math., 12(2) (2014), 229–239.
[2] А. С. Трепалин, “Нерациональные факторы рациональных поверхностей”, Тезисы
летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу
для моложых учёных России, Ярославль, ЯГПУ, 2013.
[3] А. С. Трепалин, “Нерациональные факторы рациональных поверхностей”, Материа­
лы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2013» / Отв.
ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, К.К. Андреев, М.В. Чистякова.
[Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2013.
[4] A. S. Trepalin,
“Quotients
of
conic
bundles”,
preprint
available
at
http://arxiv.org/abs/1312.6867.
[5] A. S. Trepalin, “Quotients of del Pezzo surfaces of high degree”, preprint available at
http://arxiv.org/find/math/1/au:+Trepalin A/0/1/0/all/0/1.
Подписано в печать: 24.12.2013
Тираж 120 экз. Заказ №125
Отпечатано в типографии «Реглет»
8(495)790-47-77, www.reglet.ru
13
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
429 Кб
Теги
0c54068009, uploaded
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа