close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

uploaded 0C56BB201B

код для вставкиСкачать
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Предмет исследования. В данной диссертации рассматриваются диффеоморфизмы, заданные на замкнутых многообразиях размерности три. Основное внимание уделяется исследованию A-диффеоморфизмов, в предположении, что их нетривиальные базисные множества являются поверхностными.
Актуальность темы. Данная работа относится к одному из важнейших
разделов качественной теории динамических систем — топологической классификации каскадов на многообразиях.
История вопроса. Под топологической классификацией некоторого
класса G диффеоморфизмов понимается решение следующих задач:
• нахождение топологических инвариантов для диффеоморфизмов из выделенного класса G;
• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение множеств топологических инвариантов является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух диффеоморфизмов из выделенного класса;
• реализация, то есть построение по заданному множеству топологических
инвариантов стандартного представителя, принадлежащего рассматриваемому классу.
До 60-х годов прошлого века основной прогресс в решении проблемы топологической классификации динамических систем был достигнут для грубых
каскадов на окружности и грубых потоков на поверхностях. Понятие грубости было введено в 1937 году российскими математиками А.А. Андроновым,
Л.С. Понтрягиным для потоков, определенных в конечной части плоскости
и затем обобщено в 1939 году А.Г. Майером для отображений окружности.
М. Пейшото обобщил понятие грубости для потоков на поверхностях, введя понятие структурной устойчивости, которое, как оказалось впоследствии,
эквивалентно понятию грубости. Он установил необходимые и достаточные
условия структурной устойчивости потоков на поверхностях, которые включали в себя требование гиперболичности и конечности множества состояний
равновесия и замкнутых траекторий. Начало 60-х годов прошлого века ознаменовалось революционным открытием, связанным с именами С. Смейла, и
3
Д.В. Аносова. Было обнаружено, что структурно устойчивые отображения
поверхности и потоки на трехмерных многообразиях могут обладать счетным множеством седловых гиперболических периодических орбит. Топологическая классификация таких систем потребовала новых подходов, так как их
топологические инвариантны не исчерпываются комбинаторными объектами,
а характеризуются алгебраическими инвариантами, включающими автоморфизмы фундаментальных групп носителей сложных предельных множеств.
Д.В. Аносов ввел в 1961 году класс структурно устойчивых систем, названных им У-системами и получивших позднее название потоков и диффеоморфизмов Аносова. С. Смейл обобщил это понятие и ввел в рассмотрение класс
систем, удовлетворяющих аксиоме А, для которых неблуждающее множество
обладает гиперболической структурой и является замыканием множества периодических точек (диффеоморфизмы, обладающие этими свойствами, получили название A-диффеоморфизмов). Неблуждающее множество систем из
этого класса допускает разложение на конечное число замкнутых инвариантных базисных множеств, на каждом из которых система действует транзитивно.
Исследованию динамики систем с гиперболическим неблуждающим множеством, а также системам близких к гиперболическим посвящены работы
таких математиков как Д.В. Аносов, В.И. Аpнольд, В.Н. Белых, В.З. Гринес,
С.В. Гонченко, А.Ю Жиров, Е.В. Жужома, Ю.С. Ильяшенко, Л.М. Лерман,
В.С. Медведев, Ю.И. Неймаpк, В.А. Плисс, Р.В. Плыкин, Е.А. Сатаев, Я.Г.
Синай, А.М. Степин, А.Н. Шарковский, Л.П. Шильников, Хр. Бонатти, P.
Боуэн, М. Брин, А. Каток, P. Мане, Ш. Ньюхаус, Ж. Палис, Я. Песин, P.
Pобинсон, С. Смейл, Д. Сулливан, Ф. Такенс, У. Терстен, Дж. Фpенкс, М.
Шуб и многих дpугих.
На поверхностях топологическая классификация структурно устойчивых
каскадов с нетривиальными базисными множествами была исчерпывающим
образом получена в работах Р.В. Плыкина, Х. Бонатти, В.З. Гринеса, А.Ю.
Жирова, Х.Х. Калая, Р. Ланжевена, Я.Г. Синая в 60-х, 70-х годах прошлого
века.
К настоящему времени аналогичная задача на трехмерных многообразиях M 3 далека от завершения. В случае когда неблуждающее множество
А-диффеоморфизма f содержит базисное множество, размерность которого
равна трём, f является диффеоморфизмом Аносова, многообразие M 3 является тором, и согласно Дж. Фрэнксу и Ш. Ньюхаусу диффеоморфизм f
4
топологически сопряжен с алгебраическим гиперболическим автоморфизмом
тора.
Если базисное множество А-диффеоморфизма на M 3 имеет размерность
два, то согласно Р. В. Плыкину оно является аттрактором или репеллером.
В.З. Гринесом и Е.В. Жужомой получена топологическая классификация
структурно устойчивых диффеоморфизмов f : M 3 → M 3 в предположении,
что их неблуждающее множество содержит двумерный растягивающийся аттрактор (сжимающийся репеллер), то есть размерность такого аттрактора
(репеллера) совпадает с размерностью неустойчивых (устойчивых) многообразий его точек. Ими было доказано, что в этом случае несущее многообразие
диффеоморфно трехмерному тору и неблуждающее множество содержит в
точности одно нетривиальное (отличное от периодической орбиты) базисное
множество.
Примером базисного множества, не являющегося растягивающимся аттрактором (сжимающимся репеллером), является двумерный аттрактор (репеллер) диффеоморфизма трехмерного многообразия, принадлежащий замкнутой инвариантной поверхности, называемый, соответственно, поверхностным аттрактором (репеллером).
Как было показано А. Брауном в 2010 году, все двумерные базисные множества исчерпываются растягивающимися аттракторами или сжимающимися репеллерами и поверхностными аттракторами и репеллерами.
В работе В.З. Гринеса, В.С. Медведева и Е.В. Жужомы 2005 года доказано, что любое поверхностное двумерное базисное множество совпадает со
своим носителем, являющимся объединением конечного числа многообразий,
каждое из которых ручно вложено в M 3 и гомеоморфно двумерному тору.
Кроме того, ограничение некоторой степени диффеоморфизма f на носитель
сопряжено с гиперболическим автоморфизмом тора.
Настоящая диссертация посвящена исследованию А-диффеоморфизмов
замкнутых 3-многообразий, неблуждающее множество которых содержит
двумерные и одномерные поверхностные базисные множества.
Цель
работы
1)
Глобальное
исследование
динамики
Aдиффеоморфизмов из класса G, неблуждающее множество которых
состоит только из поверхностных двумерных базисных множеств:
• доказать, что многообразие, допускающее диффеоморфизмы из класса
G, является локально тривиальным расслоением над окружностью со
слоем тор и получить полную топологическую классификацию таких
5
многообразий;
• построить класс модельных диффеоморфизмов, неблуждающее множество которых является двумерным и поверхностным, и доказать критерий топологической сопряженности двух модельных диффеоморфизмов;
• доказать, что каждый диффеоморфизм из класса G объемлюще Ωсопряжен некоторому модельному диффеоморфизму;
• доказать, что если диффеоморфизм из класса G является топологически когерентным, то он топологически сопряжен некоторому модельному
диффеоморфизму;
• доказать, что, если f ∈ G является структурно устойчивым диффеоморфизмом, то f является топологически когерентным, и, следовательно, f
топологически сопряжен некоторому модельному диффеоморфизму.
2) Для A-диффеоморфизмов f и f 0 , неблуждающие множества которых
содержат одномерные поверхностные связные канонически вложенные аттракторы Λ, Λ0 соответственно, найти и доказать необходимые и достаточные условия топологической сопряженности ограничений диффеоморфизмов
f |MΛ2 , f 0 |MΛ20 , где MΛ2 , MΛ2 0 — носители аттракторов Λ и Λ0 соответственно.
3) Исследовать динамику диффеоморфизмов класса G1 , состоящего из сохраняющих ориентацию структурно устойчивых диффеоморфизмов f : S 3 →
S 3 трехмерной сферы S 3 , неблуждающее множество N W (f ) которых состоит в точности из связного одномерного просторно расположенного канонически вложенного поверхностного аттрактора Λ, принадлежащего гладкому
совершенному трансверсально притягивающему носителю S, гомеоморфному
двумерной сфере, двух источников α1 , α2 и конечного числа седловых периодических точек σ1 , . . . , σn (σi ∈ ∆i , ∆i ⊂ S \ Λ).
4) Установить структуру неприводимого трехмерного многообразия, допускающего A-диффеоморфизм с просторно расположенным одномерным базисным множеством на торе.
Методы исследования. Используются топологические и геометpические методы исследования глобальных свойств и аналитические методы изучения локальных свойств динамических систем на многообразиях.
Научная новизна. Диссеpтация посвящена pазвитию важного напpавления в теоpии динамических систем на многообpазиях — отысканию топологических инваpиантов, опpеделяющих глобальное поведение тpаектоpий
6
диффеоморфизмов на гладких замкнутых многообразиях размерности три и
пpименению этих инваpиантов к решению проблемы топологической классификации.
Автоpом pешены следующие задачи, опpеделяющие новизну pаботы.
1) Исследована динамика диффеоморфизмов, неблуждающее множество
которых состоит только из поверхностных двумерных базисных множеств
(класс G), а именно:
• установлено, что для любого диффеоморфизма f ∈ G множества A, R
(за A, R обозначены объединения всех аттракторов, репеллеров диффеоморфизма f соответственно) не пусты и граница каждой компоненты связности V множества M 3 \ (A ∪ R) состоит в точности из одной
периодической компоненты A ⊂ A и одной периодической компоненты
R ⊂ R. При этом замыкание cl V гомеоморфно многообразию T2 × [0, 1];
• доказано, многообразие M 3 допускает диффеоморфизм f из класса G,
тогда и только тогда, когда M 3 диффеоморфно многообразию MJb, поb
лученному из T2 × [0, 1] отождествлением точек (z, 1) и (J(z),
0), где
Jb алгебраический автоморфизм тора, заданный матрицей J, которая
либоявляется
гиперболической, либо совпадаетс единичной
матрицей
1 0
−1 0
I=
, либо совпадает с матрицей −I =
;
0 1
0 −1
• построен класс модельных диффеоморфизмов, неблуждающее множество которых является двумерным и поверхностным и доказано, что
каждый модельный диффеоморфизм топологически сопряжен с частично гиперболическим диффеоморфизмом;
• найден и доказан алгебраический критерий топологической сопряженности двух модельных диффеоморфизмов;
• доказано, что каждый диффеоморфизм из класса G объемлюще Ωсопряжен некоторому модельному диффеоморфизму;
• введено понятие топологически когерентного диффеоморфизма и доказано, что если диффеоморфизм f ∈ G является топологически когерентным, то он топологически сопряжен некоторому модельному диффеоморфизмому;
7
• установлено, что если диффеоморфизм f ∈ G является структурно
устойчивым, то f является топологически когерентным и, следовательно, f топологически сопряжен некоторому модельному диффеоморфизму.
2) Для A-диффеоморфизмов f и f 0 , неблуждающие множества которых содержат одномерные связные канонически вложенные аттракторы Λ, Λ0 соответственно, найдены необходимые и достаточные условия топологической
сопряженности ограничений диффеоморфизмов f |MΛ2 , f 0 |MΛ20 , где MΛ2 , MΛ2 0 носители аттракторов Λ и Λ0 соответственно.
3) Исследована динамика диффеоморфизмов класса G1 , состоящего из
из сохраняющих ориентацию структурно устойчивых диффеоморфизмов f :
S 3 → S 3 трехмерной сферы S 3 , неблуждающее множество N W (f ) которых
состоит в точности из связного одномерного просторно расположенного канонически вложенного поверхностного аттрактора Λ, принадлежащего гладкому совершенному трансверсально притягивающему носителю S, гомеоморфному двумерной сфере, двух источников α1 , α2 и конечного числа седловых
периодических точек σ1 , . . . , σn (σi ∈ ∆i , ∆i ⊂ S \ Λ). Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия топологической сопряженности
диффеоморфизмов из класса G1 .
4) Доказано, что если замкнутое, неприводимое, ориентируемое многообразие M 3 допускает A-диффеоморфизм, неблуждающее множество которого
содержит одномерное просторно расположенное базисное множество, принадлежащее поверхности гомеоморфной двумерному тору, то M 3 гомеоморфно
многообразию MJb.
Теоpетическая и пpактическая значимость. Pабота носит теоpетический хаpактеp. Полученные в ней pезультаты и методы могут быть пpименены в теоpии гладких динамических систем.
Апpобация pаботы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на конфеpенциях: на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2014, 2012, 2010,
2008); на международной конференции “Дифференциальные уравнения и топология”, посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва
2008); на всероссийской конференции “Нелинейные колебания механических
систем” (Нижний Новгород 2008); на междунаpодной конфеpенции “Диффеpенциальные уpавнения и их пpиложения” (Саpанск 2009); на междунаpодной конфеpенции “Современные проблемы математики, механики и их при8
ложений”, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего
(Москва 2009); на междунаpодной конфеpенции “Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, посвященной 110-ой годовщине со дня рождения
И.Г. Петровского (Москва 2011); на междунаpодной конфеpенции “Анализ и
особенности”, посвященной 75-летию В.И. Арнольда (Москва 2012); на междунаpодной конфеpенции “Моделирование, управление и устойчивость”, посвященной 110-летию Н.Г. Четаева и 80-летию В.М. Матросова (Украина,
Севастополь 2012); на междунаpодной конфеpенции “Боголюбовские чтения.
Дифференциальные уравнения, теория функций и их приложения”, посвященной 75-летию академика А.М. Самойленко (Украина, Севастополь 2013);
на междунаpодной конфеpенции “Динамика, бифуркации и странные аттракторы”, посвященной памяти Л.П. Шильникова (Нижний Новгород 2013); на
междунаpодной конфеpенции “Аттракторы, слоения и предельные циклы”,
посвященной 70-летию Ю.С. Ильяшенко (Москва, 2014).
По теме диссеpтации были также сделаны следующие доклады: на научных семинарах отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете
(2013-2014 г., руководитель проф. С.В. Гонченко); на научном семинаpе кафедры теории функций механико-математического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (2008 - 2014 гг.,
руководитель проф. М.И. Сумин); на семинаpах кафедpы высшей математики Нижегоpодской государственной сельскохозяйственной академии (20082012 гг., pуководитель пpоф. В.З. Гринес).
Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из них
3 статьи опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК
РФ для публикации диссертации. Все основные pезультаты диссеpтации являются новыми и пpинадлежат автоpу. В работах, выполненных совместно,
автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов,
В. З. Гринесу принадлежит постановка задачи и общее руководство, О. В.
Починка и В. С. Медведев являлись консультантами по топологическим вопросам.
Структура диссертации: оглавление, введение, формулировка результатов, четыре главы, заключение, список литературы. Объем диссертации:
стр. 120, рис. 10, наименований литературы 66. Основные утверждения диссертации составляют лемма 2.1, теоремы 2.1, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 4.1, 4.3,
9
4.4 и 4.6.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении описан предмет исследования, обоснована актуальность темы
исследования, сформулирована цель работы и ее научная новизна, освещена
история вопроса. В разделе “Формулировка результатов” сформулированы
основные результаты работы.
В главе 1 приводятся основополагающие определения и факты, необходимые для изложения и понимания последующего материала.
Главы 2, 3 посвещены изучению динамики A-диффеоморфизмов с двумерными поверхностными базисными множествами.
В главе 4 изучаются A-диффеоморфизмы трехмерного многообразия с одномерными поверхностными базисными множествами.
Будем рассматривать диффеоморфизмы, заданные на гладком замкнутом
ориентируемом 3-многообразии M 3 и удовлетворяющие аксиоме A С. Смейла
(A-диффеоморфизмы). Согласно спектральной теореме С. Смейла, неблуждающее множество N W (f ) A-диффеоморфизма f пpедставляется в виде объeдинения конечного числа попаpно непеpесекающихся замкнутых инваpиантных множеств, называемых базисными, каждое из котоpых содеpжит всюду
плотную тpаектоpию. В силу работ Д.В. Аносова и Р. Боуэна каждое базисное множество B представляется в виде объединения B1 ∪ . . . ∪ Bk , k ≥ 1
замкнутых подмножеств таких, что f k (Bi ) = Bi , f (Bi ) = Bi+1 (Bk+1 = B1 ).
Множества B1 , . . . , Bk называются периодическими компонентами, а число
k — периодом базисного множества B.
Базисное множество B диффеоморфизма f называется аттрактором, если существует
замкнутая окрестность U множества B такая, что f (U ) ⊂
T j
int U ,
f (U ) = B. Аттрактор для диффеоморфизма f −1 называется реj≥0
пеллером диффеоморфизма f . Аттрактор B A-диффеоморфизма f называется растягивающимся аттрактором если топологическая размерность dim B
равна размерности неустойчивого многообразия Wxu , x ∈ B. Репеллер диффеоморфизма f называется сжимающимся, если он является растягивающимся, аттрактором для f −1 .
Базисное множество B диффеоморфизма f : M 3 → M 3 называется поверхностным, если оно принадлежит f -инвариантной замкнутой поверхности MB2 (не обязательно связной), топологически вложенной в многообразие
M 3 и называемой носителем множества B.
10
Будем рассматривать класс G, состоящий из A-диффеоморфизмов f :
M → M 3 , неблуждающее множество N W (f ) которых состоит только из
поверхностных двумерных базисных множеств.
Пусть f ∈ G. Обозначим через A (R) объединение всех аттракторов
(репеллеров), принадлежащих N W (f ). В главе 2 диссертации установлено,
что множества A, R не пусты и несущее многообразие M 3 гомеоморфно
фактор-пространству Mτ , полученному из T2 × [0, 1] отождествлением точек (z, 1) и (τ (z), 0), где τ : T2 → T2 некоторый гомеоморфизм. Будем называть многообразие Mτ локально тривиальным расслоением над окружностью со слоем тор. Тогда многообразие Mτ гомеоморфно многообразию MJb,
где J ∈ GL(2, Z) является матрицей, определенной действием автоморфизма
τ∗ : π1 (T2 ) → π1 (T2 ).
Представим многообразие MJb как пространство орбит MJb = (T2 × R)/Γ,
где Γ = {γ k , k ∈ Z} группа степеней диффеоморфизма γ : T2 × R → T2 × R,
b
заданного формулой γ(z, r) = (J(z),
r − 1). Обозначим через pJb : T2 × R →
MJb естественную проекцию. Пусть C — множество гиперболических матриц
b централизатор C,
b то есть
из GL(2, Z). Для C ∈ C обозначим через Z(C)
b = {Jb : J ∈ GL(2, Z), C
b b bb
Z(C)
J = J C}.
1 0
−1 0
Положим Id =
, −Id =
и J = C ∪ Id ∪ (−Id).
0 1
0 −1
Основная теорема главы 2 выделяет множество всех многообразий, которые допускают диффеоморфизмы из класса G.
Теорема 2.1 Пусть многообразие M 3 допускает диффеоморфизм f из
класса G. Тогда M 3 диффеоморфно многообразию MJb, где J ∈ J .
Пусть M S(S1 ) - класс структурно устойчивых преобразований окружности, который совпадает, согласно результатам А.Г. Майера, с классом диффеоморфизмов Морса-Смейла на S1 . Разобьем M S(S1 ) на два подкласса
M S+ (S1 ) и M S− (S1 ), состоящих из сохраняющих ориентацию и меняющих
ориентацию диффеоморфизмов соответственно.
Пусть ϕ ∈ M S+ (S1 ). Обозначим через 2n число периодических орбит диффеоморфизма ϕ и через k - их период. Перенумеруем периодические точки
из N W (ϕ): p0 , p1 , . . . , p2nk−1 , p2nk = p0 начиная с произвольной периодической точки p0 по часовой стрелке, тогда существует целое число l такое, что
ϕ(p0 ) = p2nl , и l = 0 для k = 1, l ∈ {1, . . . , k − 1} для k > 1 и, при этом, числа (k, l) являются взаимно-простыми1 . Заметим, что l не зависит от выбора
3
1
На самом деле, А. Г. Майер вместо числа l использовал число r1 , которое называл порядковым чилом,
11
точки p0 . Для n, k ∈ N и целого l, такого что для k = 1, l = 0 и для k > 1,
l ∈ {1, . . . , k − 1}, построим стандартного представителя ϕ+ in M S+ (S1 ) с
параметрами n, k, l. Для q ∈ N построим стандартного представителя ϕ− в
M S− (S1 ) с числом периодических точек 2q.
Представим S1 как S1 = {ei2πr = (cos2πr, sin2πr) ∈ R2 : r ∈ R}. Обозначим через π : R → S1 проекцию, заданную формулой π(r) = ei2πr . Введем
следующие отображения:
ψm : R → R - сдвиг на единицу времени потока ṙ = sin(2πmr) для m ∈ N;
χk,l : R → R - диффеоморфизм, заданный формулой χk,l (r) = r − kl ;
χ : R → R - диффеоморфизм, заданный формулой χ(r) = −r;
ϕ̃+ = ψn·k χk,l : R → R и ϕ̃− = ψq χ : R → R.
Непосредственно проверяется, что ϕ̃+ (r + ν) = ϕ̃+ (r) + ν и ϕ̃− (r + ν) =
ϕ̃− (r) − ν для ν ∈ Z. Следовательно, для σ ∈ {+, −} диффеоморфизмы
ϕσ = π ϕ̃σ π −1 : S1 → S1 (где π −1 (s) - полный прообраз точки s ∈ S1 ) корректно определены.
Используя ϕσ и гиперболическую матрицу C, построим модельный диффеоморфизм φσ на MJb для J ∈ J из класса G.
Обозначим через φ̃σ : T2 × R → T2 × R произведение диффеоморфизма
b C ∈ C, то есть φ̃σ (z, r) = (C(z),
b
ϕ̃σ и автоморфизма C,
ϕ̃σ (r)). Так как MJb =
b
(T2 × R)/Γ и Γ - циклическая группа с образующей γ(z, r) = (J(z),
r − 1),
то либо φ̃σ γ = γ φ̃σ , либо φ̃σ γ −1 = γ φ̃σ является необходимым и достаточным
условием, позволяющим задать диффеоморфизм φσ : MJb → MJb как φσ =
−1
pJ φ̃σ p−1
= JC для
J . Из этого следует, что CJ = JC для σ = + и CJ
b2 ), следовательно,
σ = −. Так как CJ −1 = JC, то C 2 J = JC 2 и Jb ∈ Z(C
J ∈ {Id, −Id} для σ = −.
Пусть J+ ∈ J и C+ ∈ C, такие что C+ J+ = J+ C+ . Пусть J− ∈ {Id, −Id}
bσ (z), ϕ̃σ (r)). Легко проверяется, что φ̃σ γσ =
и C− ∈ C. Положим φ̃σ (z, r) = (C
γσ φ̃σ , где γσ (z, r) = (Jσ (z), r − 1) - образующая группы Γσ = {γσi , i ∈ Z}.
Тогда корректно следующее определение.
Определение 3.1 Будем говорить, что диффеоморфизм φσ : MJbσ →
bσ и ϕσ , если
MJbσ , σ ∈ {+, −} является локально прямым произведением C
bσ ⊗ ϕσ .
φσ = pJσ φ̃σ p−1
, и писать φσ = C
Jσ
Будем обозначать через Φ+ (Φ− ) множество всех локально прямых произведений φ+ (φ− ). Таким образом, каждый диффеоморфизм φ+ ∈ Φ+ единтаким что l · r1 ≡ 1(mod k)
12
ственным образом определяется параметрами {J+ , C+ , n, k, l} и каждый диффеоморфизм φ− ∈ Φ− единственным образом определяется параметрами
{J− , C− , q}. Положим Φ = Φ+ ∪ Φ− . Используя приведенную конструкцию
и теорему 2.1 получаем следующий результат.
Теорема 3.1 Многообразие M 3 допускает диффеоморфизм f из класса
G, тогда и только тогда, когда M 3 диффеоморфно многообразию MJb, где
J ∈ J.
В разделе 3.1 главы 3 устанавливается алгебраический критерий топологической сопряженности диффеоморфизмов из класса Φ.
Теорема 3.2 1. Два диффеоморфизма φ+ ; φ0+ ∈ Φ+ с параметрами
{J+ , C+ , n, k, l}; {J+0 , C+0 , n0 , k 0 , l0 } топологически сопряжены тогда и только
тогда, когда n = n0 , k = k 0 , и существует матрица H ∈ GL(2, Z), такая что
C+ H = HC+0 и выполняется одно из следующих утверждений:
•
J+ H = HJ+0 и l = l0 ,
•
J+−1 H = HJ+0 и либо l = l0 = 0, либо l = k 0 − l0 .
2. Два диффеоморфизма φ− ; φ0−
∈
Φ− с параметрами
0
0
0
{J− , C− , q}; {J− , C− , q } топологически сопряжены тогда и только тогда,
когда J− = J−0 , q = q 0 и существует матрица H ∈ GL(2, Z), такая что
C− H = HC−0 .
3. Не существует топологически сопряженных диффеоморфизмов φ+ ∈ Φ+
и φ− ∈ Φ− .
Напомним, что диффеоморфизм g называется частично гиперболическим, если существует N ∈ N и Dg-инвариантное непрерывное разложение T M 3 = E s ⊕ E c ⊕ E u на одномерные подрасслоения, такие что
||Dg N |Exs || < ||Dg N |Exc || < ||Dg N |Exu || и ||Dg N |Exs || < 1 < ||Dg N |Exu || для каждого x ∈ M 3 . При этом g является динамически когерентным, если существует
g-инвариантное слоение касательное к E cs = E s ⊕ E c , E cu = E c ⊕ E u ,(и,
следовательно, также к E c ). Из конструкции модельных диффеоморфизмов
и теоремы 3.1 следует, что каждый диффеоморфизм φ из класса Φ топологически сопряжен с динамически когерентным диффеоморфизмом.
Напомним, что два диффеоморфизма f : M 3 → M 3 , f 0 : M 03 → M 03
называются объемлюще Ω-сопряженными, если существует гомеоморфизм
h : M 3 → M 03 такой, что h(N W (f )) = N W (f 0 ) и hf |N W (f ) = f 0 h|N W (f ) .
Следующая теорема доказана в разделе 3.2.
Теорема 3.3 Любой диффеоморфизм из класса G является объемлюще
Ω-сопряженным некоторому диффеоморфизму из класса Φ.
13
Следующее определение является топологическим аналогом определения
динамически когерентного диффеоморфизма.
Определение 3.3 Будем говорить, что f ∈ G является топологически
когерентным, если выполняются следующие условия:
(i) если пересечение W s (x) ∩ W u (y) не пусто для некоторых точек x ∈ A,
y ∈ R, то каждая компонента связности пересечения W s (x)∩W u (y) является
открытой дугой, имеющей в точности две граничные точки, одна из которых
принадлежит A, другая R;
(ii) на M 3 существует непрерывное f -инвариантное одномерное слоение If ,
каждый слой которого есть объединение замыканий всех дуг, определенных
в (i).
Следующие теоремы 3.4-3.6 являются основными в результатами главы
3. Теорема 3.4 Если диффеоморфизм из класса G является топологически
когерентным, то он топологически сопряжен некоторому диффеоморфизму
из класса Φ.
Теорема 3.5 Пусть f ∈ G. Если f структурно устойчивый диффеоморфизм, то f является топологически когерентным.
Теорема 3.6 Каждый структурно устойчивый диффеоморфизм из класса
G топологически сопряжен некоторому диффеоморфизму из класса Φ.
Заметим, что в классе G существуют диффеоморфизмы, которые не являются топологически сопряженными ни с одним диффеоморфизмом класса
Φ (см. раздел 3.5, где построен такой пример).
Предположим теперь, что неблуждающее множество А-диффеоморфизма
f : M 3 → M 3 содержит одномерное поверхностное базисное множество B с
носителем MB2 .
Пусть B — базисное множество диффеоморфизма f . Положим a =
dim EBs , b = dim EBu , и назовем пару (a, b) типом базисного множества
B.
Для базисного множества B типа (1, 2) существуют следующие возможности:
S u
i) B =
Wx ;
x∈B
S s
ii) B = MB2 ∩ (
Wx ).
x∈B
Cогласно Р.В. Плыкину, в случае i) базисное множество B является аттрактором, а в случае ii) — не является ни аттрактором, ни репеллером и
мы называем его седловым.
14
Определение 4.1 Будем называть одномерное поверхностное базисное
множество B типа (1, 2) канонически вложенным, если
в случае i), Wxs , x ∈ B пересекается с поверхностью MB2 по единственной
кривой;
в случае ii), Wxu ⊂ MB2 , x ∈ B.
Одномерное поверхностное базисное множество B типа (2, 1) называется
канонически вложенным в MB2 , если оно является таковым для диффеоморфизма f −1 .
Пусть базисное множество B канонически вложено в поверхность MB2 . Положим Ŵxs = Wxs ∩ MB2 и Ŵxu = Wxu ∩ MB2 для x ∈ B. Следуя Р.В. Плыкину,
множество B назовем просторно расположенным на MB2 , если для различных
точек x, y ∈ B любая замкнутая кривая, составленная из дуг [x, y]s ⊂ Ŵxs и
[x, y]u ⊂ Ŵxu не гомотопна нулю на MB2 .
Следуя работам Р.В. Плыкина и В.З. Гринеса назовем периодическую точку p ∈ B граничной периодической точкой базисного множества B, если одна
из компонент связности хотя бы одного из множеств Ŵ s (p) \ p, Ŵ u (p) \ p не
пересекается с B.
Следующая теорема доказана в разделе 4.2 главы 4.
Теорема 4.1 Пусть B одномерное нетривиальное канонически вложенное
в поверхность MB2 просторно расположенное базисное множество и принадлежащее совершенному носителю MB2 , ручно вложенному в M 3 . Тогда B обладает конечным (не равным нулю) числом граничных периодических точек.
Определение 4.2 Назовем носитель MB2 совершенным, если дополнение
MB2 \ B состоит из конечного числа областей гомеоморфных диску и внутри
каждой такой области находится в точности по одной периодической точке
диффеоморфизма f .
Предположим теперь, что неблуждающее множество N W (f ) диффеоморфизма f содержит нетривиальное поверхностное базисное множество Λ,
являющееся связным одномерным аттрактором, для которого несущая поверхность (носитель) является ручной и удовлетворяет условию совершенности. Достижимая изнутри граница каждой области ∆ принадлежащей
MΛ2 \ Λ состоит из конечного числа одномерных неустойчивых многообразий W u (p1 ), . . . W u (prC ) (rC ≥ S
1) граничных периодических точек p1 , . . . prC
C
множества Λ. Множество C = ri=1
W u (pi ) назовем связкой степени rC 2 .
Предложение 4.2 Пусть Λ одномерный связный аттрактор диффеомор2
Понятие связки принадлежит Плыкину Р.В.
15
физма f . Тогда существует окрестность V множества Λ, компактное двумерное подмногообразие NΛ с краем и диффеоморфизм fΛ подмногообразия NΛ
на себя такие, что
1) Λ ⊂ V ⊂ NΛ
2) fΛ | V = f | V ;
3) подмногообразие NΛ имеет k(Λ) > 0 компонент края, род q ≥ 0 и
отрицательную эйлерову характеристику χ(NΛ ) = 2 − 2q − k(Λ), где (числа
q и k(Λ) однозначно определяются по Λ);
4) Множество NΛ \ (Λ ∪ ∂NΛ ) состоит из блуждающих точек диффеоморфизма fΛ и является объединением k(Λ) непересекающихся областей, являющихся непрерывной иммерсией открытого кольца в многообразие MΛ2 . Достижимая изнутри граница каждой такой области состоит в точности из одной
связки C и одной компоненты края ∂NΛ многообразия NΛ , содержащей в
точности rC седловых и rC источниковых периодических точек диффеоморфизма fΛ .
Определение 4.3 Подмногообразие NΛ назовем каноническим носителем,
а пару (NΛ , fΛ ) - канонической формой аттрактора Λ.
Диффеоморфизм fΛ индуцирует автоморфизм τ фундаментальной группы F подмногообразия NΛ (определенный с точностью до внутреннего автоморфизма).
Пару (F, τ )Λ назовем алгебраическим представлением аттрактора Λ.
Определение 4.4 Пусть f и f 0 сохраняющие ориентацию Aдиффеоморфизмы, неблуждающие множества которых содержат связные одномерные просторно расположенные и канонически вложенные аттракторы Λ, Λ0 , носители MΛ2 , MΛ2 0 которых являются совершенными ручно вложенными в M 3 поверхностями. Тогда алгебраические представления (F, τ )Λ ,
(F 0 , τ 0 )Λ0 диффеоморфизмов f и f 0 назовем сопряженными, если существует
изоморфизм ψ : F → F 0 такой, что τ 0 = ψτ ψ −1 .
Следующая теорема доказана в разделе 4.3.
Теорема 4.3 Ограничения f 0 |MΛ20 , f |MΛ2 топологически сопряжены тогда и
только тогда, когда представления (F, τ )Λ , (F 0 , τ 0 )Λ0 алгебраически сопряжены.
Обозначим через G1 класс сохраняющих ориентацию структурно устойчивых диффеоморфизмов f : S 3 → S 3 трехмерной сферы S 3 , неблуждающее
множество N W (f ) которых состоит в точности из связного одномерного просторно расположенного канонически вложенного поверхностного аттракто16
ра Λ, принадлежащего гладкому совершенному носителю S, гомеоморфному
двумерной сфере, двух источников α1 , α2 и конечного числа седловых
S периs
одических точек σ1 , . . . , σn (σi ∈ ∆i , ∆i ⊂ S \ Λ). Положим N =
W s (x).
x∈Λ
Определение 4.5 Назовем поверхность S трансверсально притягивающей, если существует одномерное слоение F s множества S 3 \ (α1 ∪ α2 ), удовлетворяющее следующим условиям.
1) W s (σi ) ∈ F s ;
2) каждый слой слоения F s отличный от W s (σi ) трансверсально пересекает (в топологическом смысле) поверхность S в точности в одной точке и
принадлежит некоторому слою слоения N s .
Пусть f и f 0 - два диффеоморфизма из класса G1 , неблуждающие множества которых содержат одномерные связные аттракторы Λ, Λ0 , принадлежащие трансверсально притягивающим гомеоморфным двумерной сфере
поверхностям S, S 0 соответственно. Обозначим через (F, τ )Λ и (F 0 , τ 0 )Λ0 алгебраические представления диффеоморфизмов f и f 0 , тогда справедлив следующий результат, доказанный в разделе 4.4.
Теорема 4.4 Диффеоморфизмы f, f 0 ∈ G1 топологически сопряжены
тогда и только тогда, когда сопряжены их алгебраические представления
(F, τ )Λ , (F 0 , τ 0 )Λ0 .
Пусть f : M 3 → M 3 диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме A С.
Смейла, неблуждающее множество которого содержит одномерное, канонически вложенное, просторно расположенное базисное множество B, периодическая компонента B которого имеет период k и принадлежит поверхности
TB2 , гомеоморфной двумерному тору. Тогда справедливо утверждение, доказанное в разделе 4.5.
Предложение 4.5. Ограничение диффеоморфизма f k |TB2 индуцирует гиперболический автоморфизм фундаментальной группы тора TB2 (то есть матрица, индуцирующая этот автоморфизм, не имеет собственных значений равных по модулю единице).
Теорема 4.6 Пусть f : M 3 → M 3 A-диффеоморфизм, заданный на
замкнутом, неприводимом, ориентируемом трехмерном многообразии M 3 ,
неблуждающее множество которого содержит одномерное канонически вложенное просторно расположенное базисное множество B. Тогда если носитель
периодической компоненты B базисного множества B гомеоморфен двумерному тору, то многообразие M 3 гомеоморфно многообразию MJb, где J ∈ J .
17
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ.
Публикации в изданиях из перечня ВАК:
[1] Гринес В.З., Левченко Ю.А. О топологической классификации
диффеоморфизмов трехмерных многообразий с двумерными поверхностными аттракторами и репеллерами // Доклады Академии Наук. 2012. Т. 447,
№ 2, С. 127–129.
[2] Grines V., Levchenko Yu., Medvedev V., Pochinka O. On the
Dynamical Coherence of Structurally Stable 3-diffeomorphisms // Regular and
Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, No. 4, pp. 482-–488.
[3] В. З. Гринес, Ю.А.Левченко, О.В.Починка. О топологической
классификации диффеоморфизмов на 3-многообразиях с поверхностными
двумерными аттракторами и репеллерами // Нелинейная динамика. 2014.
Т. 10, № 1. С. 17-33.
Публикации в прочих изданиях:
[4] Гринес В.З., Левченко Ю.А. О топологической классификации Aдиффеоморфизмов на 3-многообразиях с поверхностными двумерными аттракторами и репеллерами // Труды СВМО. 2011. Т. 13. № 1. С. 29–31.
[5] Гринес В.З., Левченко Ю.А. О топологической классификации
диффеоморфизмов на 3-многообразиях с двумерным неблуждающим множеством // Труды СВМО. 2011. Т. 13. № 4. С. 7-13.
[6] Гринес В.З., Левченко Ю.А. Реализация структурно устойчивых
диффеоморфизмов с двумерными поверхностными базисными множествами // Труды СВМО. 2012. Т. 14. № 2. С. 48-56.
[7] Гринес В.З., Медведев В.С., Левченко Ю.А. О структуре 3многообразия, допускающего A-диффеоморфизм с двумерным поверхностным неблуждающим множеством // Труды СВМО. 2010. Т. 12, № 2. С.
7–12.
[8] Левченко Ю.А. О структуре трехмерного многообразия, допускающего диффеоморфизмы с одномерными базисными множествами// Труды
СВМО. 2013. Т. 15, № 1. С. 71–76.
[9] Левченко Ю.А. О классификации одномерных аттракторов диффеоморфизмов 3-многообразий// Труды СВМО. 2008. Т. 10, № 1. С. 174–180.
[10] Левченко Ю.А. О классификации диффеоморфизмов на 3многообразиях с поверхностными аттракторами и репеллерами // Труды
СВМО. 2009. Т. 11. № 1. С. 77-81.
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
1 330 Кб
Теги
0c56bb201b, uploaded
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа