close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

uploaded 0C5B466107

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Желтикова Ольга Олеговна
Управляемые системы и дифференциальные
включения с производными в среднем на
многообразиях
01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и
оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Воронеж – 2013
.
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Гликлих Юрий Евгеньевич.
Официальные оппоненты:
Каменский Михаил Игоревич, доктор
физико-математических наук, Воронежский
государственный университет, кафедра функционального
анализа и операторных уравнений, заведущий.
Соболев Владимир Андреевич,
доктор физико-математических наук, Самарский
государственный аэрокосмический университет
имени академика С.П. Королева (национальный
исследовательский университет), кафедра
технической кибернетики, профессор.
Ведущая организация: Самарский государственный университет
Защита состоится 10 декабря 2013 года в 14 часов 00 минут на заседании
диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном
университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 335.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета
Автореферат разослан " " ноября 2013 года
Ученый секретарь диссертационного совета
Гликлих Юрий Евгеньевич
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Понятие производных в среднем было введено
Э.Нельсоном в 60-х годах XX века для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в
этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым
примером уравнений с производными в среднем. Позже было показано, что
в терминах уравнений с производными в среднем описываются и другие
задачи математической физики, экономики и др. (см., например, работы
Ф.Гуэрры, Л.М. Морато, Д. Дорн, Т. Заставняка, Ю.Е. Гликлиха, С .Фаринелли, Ю.Хе и др.). В работах Ю.Е. Гликлиха уравнения с производными
в среднем начали изучаться как отдельный класс стохастических дифференциальных уравнений.
Нужно отметить, что классические производные в среднем по Нельсону
дают информацию только о сносе стохастического процесса. Решения таких уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или
даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом. В работах С.В.Азариной и Ю.Е.Гликлиха была построена
другая производная в среднем, связанная с коэффициентом диффузии и
являющаяся модификацией классических производных по Нельсону. Это
позволило корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем.
Начиная с работ Э.Д. Конвея, П. Кри, Ж.П. Обена и Дж. Да Прато
и до настоящего времени во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см., например, статьи М. Киселевича, М. Михты и Е. Мотыля и др.). Дифференциальные включения с
производными в среднем, которые были описаны в работах С.В.Азариной
и Ю.Е.Гликлиха, являются более широким классом включений. Они естественным образом возникают в приложениях и к ним могут быть сведены
обычные стохастические дифференциальные включения.
В работах К.Д. Элворти, Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого, Ю.Е.
Гликлиха и др. изучались стохастические дифференциальные уравнения
на многообразиях. Стохастические дифференциальные уравнения и вклю3
чения в терминах производных в среднем на многообразиях исследовались
в работах С.В. Азариной и Ю.Е. Гликлиха.
Вопросы оптимального стохастического управления рассматривались в
основном в векторных пространствах (см., например, работы Н.В. Крылова, П.Е. Клоедена и Е. Платена). Оптимальное управление системами,
заданными в терминах производных в среднем, а также заданными посредством дифференциальных включений с производными в среднем, ранее не
рассматривалось ни в векторных пространствах, ни на многообразиях.
Отметим работы (см., например, работы С.З. Немета, К. Удриште,
Ч.Ли, Ю. Лю, В.В. Обуховского, Дж.Яо, Д.Ванга, Б.Мордуховича и др.), в
которых задачи нестохастической оптимизации рассматривались на гладких многообразиях, однако из-за наличия технических трудностей, только
на так называемых адамаровых римановых многообразиях - некомпактных многообразиях постоянной отрицательной кривизны. Напомним, что
из теорем Топоногова следует, что все такие многообразия гомеоморфны
векторным пространствам. Это обстоятельство резко сужает общность построенных теорий. Таким образом, встал вопрос о расширении класса задач оптимального управления на многообразиях.
Цель работы. Целью данной работы является исследование задач
нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях, нахождение условий существования оптимальных решений включений с производными в среднем как в линейных пространствах, так и на многообразиях (в
частности, с использованием построенного аппарата для нестохастической
оптимизации на неадамаровых многообразиях), и изучение стохастических
управляемых систем с обратной связью с использованием включений с
производными в среднем.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже
списке.
1. Введена концепция допустимых множеств, с помощью которой удается исследовать некоторые задачи нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях.
4
2. Введено понятие совершенного решения для дифференциальных
включений с производными в среднем. Доказана теорема существования
оптимального решения на линейных пространствах, т.е. решения, которое минимизирует некоторый функционал качества. Получены обобщения
этих утверждений на случай дифференциальных включений с производными в среднем справа на гладких конечномерных многообразиях.
3. В терминах производных в среднем справа описаны управляемые системы с обратной связью. Доказана теорема о существовании измеримого
сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как
траекторию управляемой системы.
4. Описаны и исследованы дифференциальные включения типа геометрического броуновского движения с производными в среднем. Для данных
включений получены теоремы существования решения, которое минимизирует некоторый функционал качества.
5. Получены утверждения о существовании оптимальных решений для
включений с производными в среднем на допустимых множествах в многообразиях.
Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, теории многозначных отображений и дифференциальных включений, современного глобального анализа, стохастического анализа.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты
важны для исследования задач оптимизации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на V
Международной конференции “Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования” (Воронеж,
2012 г.), в Воронежской весенней математической школе “Понтрягинские
чтения – XXIV”: ”Современные методы теории краевых задач” (2013 г.), на
Крымской международной математической конференции КММК-2013, на
семинарах и научных сессиях ВГУ.
5
Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах [1] – [10]. Работы [4] – [6] опубликованы в журналах из
перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных
ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [1], [4] – [6] в диссертацию
включены результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
пяти глав, разбитых на 11 параграфов (некоторые из них разбиты на подпараграфы), и списка литературы, содержащего 61 наименование. Общий
объём работы составляет 106 страниц текста.
Краткое содержание диссертации.
Во введении дается краткий обзор работ, близких к теме диссертации,
и излагаются основные результаты диссертации.
Первая глава работы носит вспомогательный характер и содержит
необходимые сведения из теории дифференциальных включений, стохастического и глобального анализа. В частности, даются определение классической производной в среднем по Нельсону.
Рассмотрим случайный процесс ξ(t) со значениями в Rn , заданный на
вероятностном пространстве (Ω, F, P). Обозначим через Etξ условное математическое ожидание относительно σ-подалгебры σ-алгебры F, порожденной прообразами борелевских множеств при отображении ξ(t) : Ω → Rn .
Определение 1.17 Производная в среднем справа Dξ(t) процесса ξ(t) в
момент времени t есть L1 -случайная величина вида
³
´
ξ ξ(t + 4t) − ξ(t)
Dξ(t) = lim Et
,
4t↓0
4t
где предел предполагается существующим в L1 (Ω, F, P) и 4t ↓ 0 означает, что 4t стремится к 0 и 4t > 0.
Определение 1.19 Квадратичной
производной
в среднем
справа
D2 ξ(t) процесса ξ(t) в момент времени t назовем L1 (Ω, F, P )-случайную
величину вида
³
∗´
ξ (ξ(t + 4t) − ξ(t))(ξ(t + 4t) − ξ(t))
D2 ξ(t) = lim Et
,
(1.4)
4t↓0
4t
6
где (ξ(t + 4t) − ξ(t)) рассматривается как вектор-столбец в Rn , (ξ(t +
4t) − ξ(t))∗ – сопряженный вектор-строка, предел предполагается существующим в L1 (Ω, F, P) и 4t ↓ 0 означает, что 4t стремится к 0 и
4t > 0.
Для процессов на многообразиях производная в среднем справа оказывается корректно определенной только с использованием связностей и
зависит от выбора связности. Производную в среднем, построенную по
связности H, мы обозначаем DH . Квадратичная производная корректно
определена без использования связностей.
В первом параграфе второй главы вводится концепция допустимых
множеств:
Определение 2.2 Множество A ⊂ M называется допустимым, если оно
линейно связно и не пересекает множество раздела expx ∂Ux любой точки
x ∈ A.
В §2.2 рассматриваются вариационные неравенства на неадамаровых
многообразиях.
Пусть A ⊂ M – замкнутое локально выпуклое множество, а U ⊆ A –
ограниченное открытое подмножество.
Рассмотрим следующую задачу на полном римановом многообразии
(M, g): Найти x∗ ∈ Ū и v ∗ ∈ Φ(x∗ ), такие что
hv ∗ , γ̇x∗ y (0)ig ≥ 0 для всех y ∈ A, γx∗ y ∈ ΓA
x∗ y ,
(2.1)
где ΓA
x∗ y – множество геодезических {γ(t)} целиком лежащих в A, таких
что γ(0) = x и γ(1) = y.
Использование концепции допустимого множества дает нам возможность доказать вариант теоремы существования решения для данной задачи на допустимых множествах, основанной на использовании индекса разрешимости, введенного в работе Ч.Ли, Ю. Лю, В.В. Обуховского и Дж.Яо.
Теорема 2.24 Пусть задано допустимое многозначное векторное поле Ξ на замкнутом локально выпуклом допустимом множестве A и
пусть U ⊂ A является открытым счетным подмножеством, таким
что ∂U ∩Sol(Ξ, Ū ) = ∅. Пусть к тому же задано непрерывное векторное
7
поле Y (x) на ∂U , такое что оно направлено вовнутрь U во всех точках
∂U , и для всех λ > 0 в каждой точке x ∈ ∂U выполняется соотношение −λY (x) ∩ Ξ(x) = ∅. Тогда существует решение задачи вариационного
исчисления (2.1) внутри U .
В третьей главе рассматриваются включения с производными в среднем справа в линейных пространствах и доказываются теоремы о существовании решения, которое минимизирует некоторый функционал качества и о существовании измеримого сечения управления, реализующего
оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.
Рассмотрим многозначные отображения a(t, x) и α(t, x) из [0; T ] × Rn
в Rn и в S + (n)( где S+ (n) – множество всех положительно определенных
симметрических квадратных матриц порядка n), соответственно.
Определение 3.1 Дифференциальным включением с производными в
среднем справа будем называть систему вида
(
Dξ(t) ∈ a(t, ξ(t)),
D2 ξ(t) ∈ α(t, ξ(t)).
(3.1)
Определение 3.1 Будем говорить, что (3.1) имеет решение на [0; T ]
с начальным условием ξ(0) = x0 , если существует вероятностное пространство (Ω, F, P) и заданный на нем процесс ξ(t) со значениями в Rn
такой, что P-п.н. и для почти всех t ∈ [0; T ] выполняется (3.1).
Для доказательства дальнейших результатов в §3.1 вводится определение совершенного решения:
Определение 3.2 Совершенным решением включения (3.1) назовем
стохастический процесс с непрерывными выборочными траекториями,
такой что он является решением в смысле Определения 3.1, и соответствующая ему на пространстве непрерывных кривых мера является слабым пределом мер, образованным решениями последовательности
уравнений Ито диффузионного типа с непрерывными коэффициентами.
Теорема 3.4 Пусть a(t, x) – полунепрерывное сверху многозначное
отображение из [0; T ] × Rn в Rn с замкнутыми выпуклыми образами и
удовлетворяющее оценке
ka(t, x)k2 < K(1 + kxk2 ).
8
(3.2)
Пусть α(t, x) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0; T ] × Rn в S + (n) и
для каждого α(t, x) ∈ α(t, x) выполняется оценка
|tr α(t, x)| < K(1 + kxk2 )
(3.3)
для некоторого K > 0.
Тогда для любой последовательности εi → 0, εi > 0, любая пара последовательностей ai (t, x) и αi (t, x) εi -аппроксимаций многозначных отображений a(t, x) и α(t, x), соответственно, порождает совершенное решение включения (3.1) с начальным условием ξ0 .
Пусть f является непрерывной ограниченной функцией с вещественными значениями на R × Rn . Рассмотрим функционал качества вида
Z T
f (t, ξ(t))dt
(3.12)
J(ξ(·)) = E
0
Теорема 3.8 Среди совершенных решений (3.1), построенных в доказательстве теоремы 3.4, существует решение ξ(t), на котором значение функционала качества J минимально.
В §3.2. рассматриваются управляемые системы с обратной связью с производными в среднем справа. Доказана теорема о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения
как траекторию управляемой системы.
Будем рассматривать управляемую систему с обратной связью вида


Dξ(t) = a(t, ξ(t), u1 (tξ(t))),



 D ξ(t) = α(t, ξ(t), u (tξ(t))),
2
2
(3.13)

u
(t,
ξ(t))
∈
U
(t,
ξ(t)),
1
1



 u (t, ξ(t)) ∈ U (t, ξ(t)).
2
2
Здесь a : [0, T ]×Rn ×Rm → Rn и α : [0, T ]×Rn ×Rm → S + (n) – измеримые
по Борелю отображения; Rm – пространство управляющих параметров;
U1 , U2 : [0, T ] × Rn → K(Rm ) – мультифункции обратной связи.
9
Решением управляемой системы (3.13) назовём пару {ξ(t), (u1 , u2 )}, которая состоит из процесса ξ(t) и управления (u1 , u2 ). Здесь ξ(t) : [0, T ] →
Rn – процесс диффузионного типа, такой что P-п.н. удовлетворяет (3.13)
почти всюду на [0, T ], a u1 , u2 : [0, T ] × Rn → Rm – измеримые по Борелю
функции, удовлетворяющие включениям из (3.13) всюду на [0, T ].
Введём многозначные отображения a(t, x) = a(t, x, U1 (t, x)) и α(t, x) =
α(t, x, U1 (t, x)). От управляемой системы перейдём к ассоциированному с
ней дифференциальному включению типа (3.1).
Очевидно, что каждая траектория системы (3.13) является решением
включения (3.1). Установим и обратную зависимость (аналог леммы Филиппова).
Теорема 3.9 Пусть a(t, x) – полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; T ] × Rn в Rn с замкнутыми выпуклыми образами и удовлетворяющее оценке
ka(t, x)k2 < K(1 + kxk2 ).
(3.2)
Пусть α(t, x) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0; T ] × Rn в S + (n) и
для каждого α(t, x) ∈ α(t, x) выполняется оценка
|tr α(t, x)| < K(1 + kxk2 )
(3.3)
для некоторого K > 0.
Мультиотображения U1 (t, x), U2 (t, x) : [0, T ] × Rn → K(Rm ) - полунепрерывны сверху и выполняется включение 3.1 при почти всех t ∈ I.
Тогда существует такие измеримые сечения u1 ∈ SU1 и u2 ∈ SU2 , что
выполняется система (3.13) при почти всех t ∈ [0, T ] .
Четвертая глава посвящена исследованию включений типа геометрического броуновского движения, введенных С.В. Азариной и Ю.Е. Гликлихом. Мы также даем некоторую модификацию конструкции подобных
включений.
Рассмотрим следующее обобщение так называемого геометрического
броуновского движения: пусть S(t) – процесс, удовлетворяющий системе
10
стохастических дифференциальных уравнений
dS i (t) = S i ai (t, S 1 (t), . . . , S n (t))dt + S i (t)Aij (t, S 1 (t), . . . , S n (t))dwj , (4.1)
где wj – независимые винеровские процессы в R1 , которые вместе порождают винеровский процесс в Rn , a(t, x) – векторное поле на Rn , A(t, x) –
отображение из [0, T ] × Rn в пространство линейных операторов L(Rn , Rn )
и через (Aij ) обозначена матрица оператора A.
Предположим, что координаты S i решения уравнения (4.1) положительны для всех t. По формуле Ито процесс ξ(t) = log S(t) =
{log S 1 (t), . . . , log S n (t)} удовлетворяет уравнению:
1
dξ i (t) = (ai − (Aij δ jk Aik ))(t, ξ(t))dt + Aij (t, ξ(t))dwj (t),
2
(4.2)
поскольку dwi · dwj = δ ij dt (здесь δ ij – символ Кронекера: δ ii = 1. δ ij = 0
при i 6= j).
Введем следующие обозначения: симметрическую неотрицательно определенную матрицу AA∗ (где A∗ – оператор, сопряженный к оператору A)
обозначим B; вектор, составленный из диагональных элементов симметрической матрицы B, обозначим diagB.
Если процесс удовлетворяет (4.2), он также удовлетворяет следующему
уравнению с производными в среднем
(
Dξ(t) + 12 diagD2 ξ(t) = a(t, ξ(t)),
(4.5)
D2 ξ(t) = B(t, ξ(t)).
Рассмотрим многозначные отображения a(t, x) : [0, T ] × Rn → Rn и
B(t, x) : [0, T ] × Rn → S̄+ (n) и следующее включение
(
Dξ(t) + 12 diagD2 ξ(t) ∈ a(t, ξ(t)),
D2 ξ(t) ∈ B(t, ξ(t)),
(4.6)
которое назовём включением типа геометрического броуновского движения с производными в среднем справа.
Основным результатом главы является следующая теорема существования совершенных решений включения (4.6)
11
Теорема 4.3 Определим начальное значение ξ0 ∈ Rn . Пусть a(t, x) –
полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; T ] × Rn в Rn с
замкнутыми выпуклыми образами и пусть для всех a ∈ a(t, x) выполнена
оценка
ka(t, x)k2 < K(1 + kxk2 ).
(4.7)
Пусть B(t, x) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0; T ] × Rn в S + (n) и
для каждого B(t, x) ∈ B(t, x) выполняется оценка
|tr B(t, x)| < K(1 + kxk)
(4.8)
для некоторого K > 0.
Тогда для любой последовательности εi → 0, εi > 0, любая пара последовательностей ai (t, x) и Bi (t, x) εi -аппроксимаций многозначных отображений a(t, x) и B(t, x), соответственно, порождает совершенное решение включения (4.6) с начальным условием ξ0 .
В Теореме 4.8 показывается, что среди совершенных решений, полученных в доказательстве Теоремы 4.3 существует решение, которое минимизирует некоторый функционал качества.
В пятой главе рассматриваются включения с производными в среднем справа на римановых многообразиях. В §5.1 описываются понятие
включения с производными в среднем справа для случая многообразий
и доказывается теорема о существовании совершенных решений данных
включений на компактных многообразиях.
Пусть M – риманово многообразие размерности n. Для заданных многозначного векторного поля a(t, m) и многозначного симметрического неотрицательно определенного (2, 0)-тензорного поля α(t, m) на M рассматривается включение вида:
(
DH ξ(t) ∈ a(t, ξ(t)),
D2 ξ(t) ∈ α(t, ξ(t)),
(5.1)
которое называется дифференциальным включением с производными в
среднем на многообразии.
12
Теорема 5.4 Пусть a(t, m), α(t, m) являются многозначными полунепрерывными сверху, равномерно ограниченными относительно нормы,
симметрическим полуположительно определённым (2,0)-тензорным полем и векторным полем на M , соответственно, с замкнутыми выпуклыми значениями.
Тогда для любой последовательности εq → 0, εq > 0, каждая пара
последовательностей aq (t, m) и αq (t, m) εq - аппроксимаций a(t, m) и
α(t, m), соответственно, порождает совершенное решение (5.1) с начальным условием ξ(0) = m0 .
В Теореме 5.5 показано, что существует решение, которое минимизирует
некоторый функционал качества. Далее описывается управляемая система с обратной связью типа (3.13), в которой использована производная
в среднем относительно связности. Доказана Теорема 5.6 о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение
включения как траекторию управляемой системы.
В §5.2 предыдущие результаты обобщены на случай некомпактных конечномерных многообразий. Главным результатом параграфа является
следующая
Теорема 5.14 Пусть α(t, m), a(t, m) являются многозначными полунепрерывными сверху, симметрическим неотрицательно определённым
(2,0)-тензорным полем и векторным полем на M , соответственно, с
замкнутыми выпуклыми значениями. Пусть к тому же для любого компакта K ⊂ M множества α([0, T ], K) и a([0, T ], K) являются компактными, и кроме того в каждой точке (t, m) генератор Aa,α из некоторой
окрестности V графика Aa,α (t, m) удовлетворяет (5.18) с одной и той
же собственной функцией ψ.
Тогда для любой последовательности εq → 0, εq > 0, каждая пара
последовательностей aq (t, m) и αq (t, m) εq - аппроксимаций a(t, m) и
α(t, m), соответственно, порождает совершенное решение (5.1) с начальным условием ξ(0) = m0 .
В §5.3 изучаются оптимальные решения включений с производными
в среднем на допустимых множествах в многообразиях. Отличием этой
13
задачи от предыдущих является то, что в ней возникают иные условия
существования оптимальных решений.
Рассмотрим дифференциальное включения вида (5.1) на полном римановом многообразии M . Рассмотрим допустимое множество A и произвольную точку m в нем. Пусть ξ(0) = m является произвольным начальным значением. Взяв отображение exp−1 , обратное к экспоненциальному,
переведём дифференциальное включение в в область в касательном пространстве Tm M . Получим новое дифференциальное включение вида
(
Dξ(t) ∈ ã(t, ξ(t)) + 21 trΓm (A, A),
(5.29)
D2 ξ(t) ∈ α̃(t, ξ(t)),
где trΓm (A, A) является объектом с координатами Γkij αij , а ã и α̃ перенесены из a и α с помощью отображения exp−1 .
Пусть ξ(t) – решение дифференциального включения (5.29), а τω – момент 1-ого выхода выборочной траектории ξω (·) на границу допустимого
множества. Рассмотрим процесс ξ(τω ∧ t), т.е. решение, остановленное на
границе допустимого множества (напомним, что τω ∧ t = min(τω , t)).
Теорема 5.18 Пусть ã(t, x) – полунепрерывное сверху многозначное
отображение из [0; T ] × O в O с замкнутыми выпуклыми образами и
удовлетворяет оценке
1
kã(t, x) + tr Γm (A, A)k2 < K(1 + kxk2 ).
2
(5.30)
Пусть α(t, x) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0; T ] × O в S + (n) и
для каждого α̃(t, x) ∈ α̃(t, x) выполняется оценка
|tr α̃(t, x)| < K(1 + kxk2 )
(5.31)
для некоторого K > 0.
Тогда для любой последовательности εi → 0, εi > 0, любая пара последовательностей ãi (t, x) и α̃i (t, x) εi -аппроксимаций многозначных отображений ã(t, x) и α̃(t, x), соответственно, порождает совершенное решение ξ(τw ∧ t) включения (5.29) с начальным условием ξ0 .
14
Пусть f является непрерывной ограниченной функцией с вещественными значениями на R × Rn . Для решений включения (5.29) рассмотрим
функционал качества вида
Z
T
J(ξ(·)) = E
f (τw ∧ t, ξ(τw ∧ t))dt
(5.32)
0
Теорема 5.19 Среди совершенных решений включения (5.29), построенных в доказательстве теоремы 5.18, существует решение ξ(τw ∧ t), на
котором значение функционала качества J минимально.
Публикации автора по теме диссертации.
[1] Mezhova O.O. The concept of admissible sets in optimization problems
on non-Hadamard Riemannian manifolds / Y.E. Gliklikh, O.O. Mezhova//
Семинар по глобальному и стохастическому анализу. – Воронеж: ВГУ. –
2010. – Вып.5 – С. 12 - 36.
[2] Желтикова О.О. Аналог леммы Филиппова для уравнений с производными в среднем с управлением/ Желтикова О.О.// Современные
проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: материалы V международной конференции.– Воронеж:
Издательско-полиграфический центр ВГУ. – 2012. – С. 121 - 123.
[3] Желтикова О.О. Существование оптимального управления для систем с производными в среднем на компактном многообразии/ Желтикова
О.О.// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской математической школы Понтрягинские чтения - XXIV". - Воронеж:
Издательско-полиграфический центр ВГУ. – 2013. – С. 80 - 81.
[4] Zheltikova O.O. On existence of optimal solutions for stochastic
differential inclusions with mean derivatives / Y.E. Gliklikh, O.O. Zheltikova//
Applicable Analysis. – 2012. – DOI:10.1080/00036811.2012.753588. – P. 1 - 11.
[5] Желтикова О.О. Optimal solutions for inclusions of geometric brownian
motion type with mean derivatives/ Ю.Е. Гликлих, О.О. Желтикова// Вестник ЮУрГУ. Серия Математическое моделирование и программирование
– 2013. – Т.6. – №3 – С. 38 - 50.
15
[6] Zheltikova O.O. Stochastic Equations and Inclusions with Mean
Derivatives and Some Applications/ Y.E. Gliklikh, O.O. Zheltikova//
Methology and Computing in Applied Probobility. – 2013. – DOI
10.1007/s11009-013-9373-4. – P. 1 - 15.
[7] Желтикова О.О. Аналог леммы Филиппова для стохастических дифференциальных включений с производными в среднем/ Желтикова О.О.//
Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. –
Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. – 2013. – Вып. 9, ч.1
– С. 121 - 128.
[8] Желтикова О.О. Управляемые системы и стохастические дифференциальные включения с производными в среднем справа на компактных многообразиях/ Желтикова О.О.// Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. – Воронеж: Издательскополиграфический центр ВГУ. – 2013. – Вып. 9, ч.1 – С. 129 - 139.
[9] Желтикова О.О. О некоторых вопросах управления для систем с
производными в среднем на некомпактных многообразиях/ Желтикова
О.О.// Крымская Международная Математическая Конференция. Сборник тезисов. – 2013. – Т.3 – С. 7 - 8.
[10] Желтикова О.О. Исследование вопросов управления для включений с производными в среднем на многообразиях/ Желтикова О.О. //
Препринт НИИ математики ВГУ. – 2013. – № 47. – 23 с
Работы [4] – [6] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых
научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
287 Кб
Теги
0c5b466107, uploaded
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа