close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

uploaded 0C5BFA8815

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Дерягина Мадина Александровна
КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
И ЯКОБИАНЫ ГРАФОВ
01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Новосибирск – 2013
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет».
Научный руководитель:
д.ф.-м.н., профессор Медных Александр Дмитриевич.
Официальные оппоненты:
Садыков Тимур Мрадович, д.ф.-м.н., доцент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», факультет математической экономики и информатики, кафедра
вычислительных систем и телекоммуникаций, профессор.
Семенко Евгений Вениаминович, д.ф.-м.н., профессор, Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный педагогический
университет», институт физико–математического и информационно–экономического образования, кафедра математического анализа, профессор, заведующий кафедрой.
Ведущая организация:
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский
государственный университет «Высшая школа экономики»»
Защита состоится 18 декабря 2013 года в 16.30 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики имени С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090,
г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики имени
С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.
Автореферат разослан 15 ноября 2013 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Егоров Александр Анатольевич
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Данная работа посвящена исследованию карт на римановых поверхностях и якобианов конечных графов.
Картой (S, G) называется замкнутая риманова поверхность S вместе с
вложенным в нее графом G, таким, что S \ G представляет собой дизъюнктное объединение связных компонент, называемых гранями, каждая
из которых гомеоморфна открытому диску. Вершины графа представляют
собой различные точки на римановой поверхности, ребра — несамопересекающиеся кривые на римановой поверхности, не имеющие общих точек,
отличных от вершин. Заметим, что мы рассматриваем только связные графы, так как для несвязного графа появляется «грань», не гомеоморфная
диску.
Для карты, имеющей V вершин, E ребер и F граней, на римановой
поверхности рода g выполнена формула Эйлера–Пуанкаре [16]:
V − E + F = 2 − 2g.
Карты на римановой поверхности рода 0 будем называть плоскими.
Две карты (S, G) и (S1 , G1 ) называются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм h : S → S1 такой, что
h(G) = G1 . Указанный гомеоморфизм будем называть изоморфизмом карт.
Систематическое исследование карт было начато в работах Татта в 1960-е
годы, в них заложены основы теории карт с точки зрения топологии и комбинаторики. Поставленная им проблема о подсчете числа неэквивалентных
карт с заданным числом ребер на римановой поверхности заданного рода
g (см. [27]) стала уже классической в рамках данной теории. Для решения
этой проблемы Таттом были введены корневые карты, то есть карты, у которых одно ребро отмечено. Корневые карты могут быть подсчитаны без
учета автоморфизмов, так как только тривиальный автоморфизм сохраняет отмеченное ребро [28]. Решение корневой версии проблемы для карт с
E ребрами на римановой поверхности рода g = 0 получено Таттом [27] и
выражается следующей формулой:
N0 (E) =
2 × 3E × (2E)!
.
E!(E + 2)!
Явная формула для числа корневых карт с E ребрами на торе (g = 1)
3
была получена Д. Арком [6] :
N1 (E) =
E−2
∑
E−3−k
2
(3
k=0
E−1
(
)
E+k
.
−3 )
k
k
В работе [10] Бендером и Кенфилдом получены производящие функции
для числа корневых карт с E ребрами на поверхности рода g = 2 и g = 3.
В [29] Т. Уолшем и А. Гиоргетти подсчитаны корневые карты с E ребрами
на поверхности рода g = 4, g = 5 и g = 6.
В. А. Лисковцом получена формула для подсчета плоских карт с заданным числом ребер [22].
В работе [4] А. Д. Медных предложен новый метод вычисления числа классов сопряженных подгрупп в произвольной конечно порожденной
группе. Приложением этого метода является полное решение проблемы
Татта для карт с заданным числом ребер на поверхности заданного рода [23]. С помощью этого метода также получена новая формула для числа
пар близнецов (карт, между которыми существует меняющий ориентацию
гомеоморфизм, но не существует сохраняющего ориентацию) с заданным
числом ребер [13].
В первой главе диссертации автором введено понятие круговых карт,
а также, с помощью указанного метода, найдена явная формула для числа круговых карт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности. Интерес к изучению круговых карт связан с тем, что круговые
карты эквивалентны картам, допускающим раскраску граней в два цвета.
Последние, в свою очередь, двойственны двудольным картам.
В своей знаменитой программе [18] А. Гротендик связал исследование
карт со многими задачами комплексного анализа, комбинаторной теории,
теории чисел и теории фуксовых групп. Важным аспектом этой теории
является теорема Г. Белого, устанавливающая связь между римановыми
поверхностями, определенными над Q̄, и мероморфными функциями, имеющими три критических значения [2]. Указанные функции называют функциями Белого. Вычислению этих функций посвящены работы Г. Б. Шабата,
А. К. Звонкина и других авторов ( [1], [3], [26]).
Гиперкартой будем называть карту, вершины которой раскрашены в
два цвета таким образом, что каждое ребро соединяет вершины двух разных цветов. Другие определения гиперкарты и их эквивалентность данному можно найти в работе Т. Уолша [30]. В ней также подсчитано число
плоских корневых гиперкарт с заданным числом ребер. Д. Арком получена
4
формула для числа корневых гиперкарт с заданным числом ребер на поверхности рода g = 1 [5]. А. Д. Медных и Р. Неделя предложена формула
для подсчета гиперкарт с заданным числом ребер на римановой поверхности заданного рода [24].
Во второй главе доказана теорема о числе гиперкарт, самосопряженных
относительно смены раскраски вершин, с заданным числом ребер в независимости от рода римановой поверхности. Для рода g = 0 этот результат
получен в работе [21].
В последние десятилетия появилось множество работ, посвященных дискретным версиям теории римановых поверхностей ([7], [8], [9]). Роль римановых поверхностей в этой теории отводится конечным графам. Для них
доказаны аналоги теорем Римана-Гурвица и Римана-Роха. А также построена теория якобианов. Понятие якобиана графа (также известное как
группа Пикара или критическая группа) было независимо введено многими авторами ([7], [8], [11], [15]). Якобиан является важным алгебраическим
инвариантом конечного графа. В частности, его порядок совпадает с числом порождающих деревьев графа. Последнее число хорошо известно для
некоторых простейших семейств графов, таких как колесо, лестница, веер,
призма и лестница Мёбиуса [12]. В то же время структура группы якобиана
известна только в некоторых случаях (см. [17], [20], [25]).
Следуя Бейкеру и Норину [8], определим якобиан (или группу Пикара)
графа следующим образом.
Рассмотрим конечный связный граф G, допускающий кратные ребра,
но не имеющий петель. Пусть V (G) и E(G) — это множества вершин и ребер G соответственно. Обозначим через Div(G) свободную абелеву группу,
порожденную V (G). Элементы Div(G) являются целочисленными линейными комбинациями элементов V (G), то есть
∑ для любого D ∈ Div(G) существует единственное представление D = x∈V (G) D(x)(x), D(x) ∈ Z. По
аналогии с теорией римановых поверхностей элементы Div(G) будем называть дивизорами на графе G. Определим степень элемента D следующей
∑
0
формулой deg(D) =
x∈V (G) D(x). Обозначим через Div (G) подгруппу
группы Div(G), состоящую из дивизоров нулевой степени.
Пусть f — Z−значная функция на V (G). Определим дивизор f по следующей формуле
∑ ∑
div(f ) =
(f (x) − f (y))(x).
x∈V (G) xy∈E(G)
5
Дивизор div(f ) естественным образом может быть отождествлен с оператором Лапласа функции f на графе G. Дивизоры вида div(f ), где f —
Z−значная функция на V (G), называются главными дивизорами. Обозначим через P rin(G) группу главных дивизоров на G. Нетрудно заметить,
что каждый главный дивизор имеет степень 0, поэтому группа P rin(G)
является подгруппой группы Div 0 (G).
Определим группу Jac(G), называемую якобианом (или группой Пикара) графа G, как фактор-группу
Jac(G) = Div 0 (G)/P rin(G).
По теореме Кирхгофа [19], группа Jac(G) является конечной абелевой
группой порядка tG , где tG — число порождающих деревьев графа G. Более
того, любая конечная абелева группа является группой якобиана некоторого графа.
В третьей главе предложен новый метод для нахождения якобианов
графов, с его помощью установлены структурные теоремы для якобианов
графов лестницы Мёбиуса и призматического графа, найдена связь этих
якобианов с полиномами Чебышева первого и второго рода. Эти группы
были ранее вычислены совершенно другими методами в работах [25], [17] в
терминах, не связанных с полиномами Чебышева. Указанный метод будет
использован в четвертой главе для построения примера неединственности
решения задачи Дирихле для дискретного оператора Лапласа.
Цель работы. Получить точные аналитические формулы для числа
круговых, двудольных карт, а также гиперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин. Разработать новый метод для нахождения структуры якобиана конечного графа, основанный на рекуррентных
соотношениях заданной степени. Применить его к вычислению якобианов
лестницы Мёбиуса и призматического графа. Исследовать структуру якобиана дискретного тора. Построить пример неединственности решения задачи Дирихле для дискретного оператора Лапласа в классе функций, принимающих значения в конечной абелевой группе.
Методы исследования. Для получения основных результатов используются методы классического комплексного анализа, комбинаторного анализа, теории групп и топологической теории графов.
Основные результаты диссертации.
6
1. Получена точная аналитическая формула для подсчета круговых карт
с заданным числом ребер. Доказана эквивалентность круговых карт и карт,
допускающих раскраску в два цвета. Как следствие этих результатов, получены формулы для числа двудольных карт, а также гиперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин.
2. Разработан новый метод для нахождения якобианов графов. С его помощью установлены структурные теоремы для якобианов графов лестницы
Мёбиуса и призматического графа, найдена связь этих якобианов с полиномами Чебышева первого и второго рода. В частности, предложенный метод позволяет установить, что задача Дирихле для дискретного оператора
Лапласа имеет неединственное решение в классе функций, принимающих
значения в конечной абелевой группе.
Научная новизна. Результаты, полученные в главах 1, 2 и 4 диссертации, являются новыми. В главе 3 предложен новый метод нахождения
якобианов графов. С его помощью получен ранее известный результат
для структур якобианов лестницы Мёбиуса и призматического графа. При
этом, использование разработанного метода позволило связать указанный
результат с полиномами Чебышева и, как следствие, получить ранее неизвестные связи между структурами якобианов рассматриваемых графов.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Результаты диссертационного исследования носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в области геометрической теории функций, комбинаторного и комплексного анализа и теории графов. Материалы диссертации могут быть полезны при организации
спецкурсов по дополнительным вопросам вещественного, комплексного и
функционального анализа, предназначенных для магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались
на семинарах Института математики СО РАН под руководством д.ф.-м.н.,
академика Ю. Г. Решетняка, д.ф.-м.н., профессора В. В. Асеева, д.ф.-м.н.,
чл.-корр. А. Ю. Веснина и д.ф.-м.н., профессора А. Д. Медных, а также
на семинарах д.ф.-м.н., профессора С. К. Ландо и д.ф.-м.н., профессора
М. Э. Казаряна (НИУ ВШЭ, г. Москва) и д.ф.-м.н., профессора Г. Б. Шабата (МГУ, г. Москва).
Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: летних школах по геометрическому анализу (г.
7
Горно-Алтайск, 2009 г., 2 –8 августа 2010 г., 13–19 августа 2011 г.); Российской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Топоногова (6 марта 2010 год, Новосибирск); XLVIII Международной научной
студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г.
Новосибирск, 2010 г.); XLIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2011
г.); Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19 – 26 июня 2011 г.); Десятой Казанской летней школе-конференции
«Теория функций, ее приложения и смежные вопросы – 2011» (г. Казань, 30
июня–7 июля 2011 г); XV International Conference on Geometry, Integrability
and Quantization ( June 7 - 12, 2013, Varna, Bulgaria); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2013» (г. Новосибирск, 28–31
августа 2013 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1*] – [9*]. Работы [2*] –[3*] опубликованы в журналах, входящих в
перечень ВАК, [1*] — в электронных научных изданиях. Вклад авторов в
совместные работы [1*] – [3*] и [5*] равноценный. Все положения, выносимые на защиту, принадлежат лично диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
четырех глав основного содержания, приложения и списка литературы из
50 использованных источников. Общий объем диссертации – 83 страниц.
Краткое содержание диссертации.
Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых
в рамках данной диссертационной работы и дается обзор научной литературы по изучаемой проблеме.
Первая глава диссертации посвящена нахождению явной формулы
для числа круговых карт с заданным числом ребер в независимости от
рода поверхности.
Элементарной круговой картой (S◦ , G◦ ) будем называть карту на сфере S◦ , имеющую 1 ребро, 1 вершину и 2 грани.
Карту (S, G) будем называть круговой, если существует разветвленное
накрытие f : (S, G) → (S◦ , G◦ ), допускающее ветвление только над центрами граней и вершиной графа G◦ , и такое, что f (G) = G◦ .
8
Основной результат составляет следующая теорема.
Теорема 1.5 Обозначим через C(n) число круговых карт с n ребрами.
Тогда
m
m
1 ∑( +
m
m
C(n) =
s (m, 0) φm+1 (ℓ) + Int( ) (s( , 0) − s+ ( , 0)) φodd
(ℓ)+
2 +1
2n
2
2
2
ℓ|n
ℓm=n
+
m
∑
Int(
H=1
)
m − H T (m, H)
)
φ m−H +1 (ℓ) ,
2
2
(m − 1)!
где φm (ℓ) – функция Жордана, φodd
m+1 (ℓ) – нечетная функция Жордана,
+
s(m, 0) и s (m, 0) вычисляются по следующим рекуррентным формулам
n
∑
s(n, 0) = (2n + 1)!! −
(2k − 1)!! s(n − k, 0), s(0, 0) = 1
k=1
и
s (n, 0) = (n + 1)! −
+
n
∑
k! s+ (n − k, 0), s+ (0, 0) = 1,
k=1
соответственно.
Далее, T (m, H) вычисляется из рекуррентного соотношения:
H m−1
∑
∑ (m − 1)
T (m, H) = B(m, H) −
T (i, h) B(m − i, H − h) ,
m
−
i
i=1
h=0
где
B(i, j) = i!
i!
1j j! 2
B(0, 0) = 1, T (0, 0) = 0,
Int(x) =
{
i−j
2
(
i−j
( i−j ) Int
2
2 !
)
,
1, if x ∈ Z и x > 0,
0, иначе.
Вторая глава диссертации посвящена нахождению точных аналитических формул для числа гиперкарт, самосопряженных относительно смены
раскраски вершин, с заданным числом ребер.
Теорема 2.3. Число Shyp(n) гиперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин, с заданным числом ребер выражается следующей формулой
1 ∑(
m
m
m
m
Shyp(n) =
Int( ) (s( , 0) − s+ ( , 0)) φodd
(ℓ)+
2 +1
n
2
2
2
ℓ|n
ℓm=n
9
+
m
∑
H=1
Int(
)
m − H T (m, H)
)
φ m−H +1 (ℓ) ,
2
2
(m − 1)!
+
где φm (ℓ), φodd
m+1 (ℓ), s(m, 0), s (m, 0), T (m, H) и Int(x) те же, что и в теореме 1.5.
Кроме того, во второй главе доказана эквивалентность круговых карт и
карт, допускающих раскраску граней в два цвета. Через понятие двойственности карт продемонстрирована связь между двудольными и круговыми
картами, получена формула для подсчета двудольных карт с заданным
числом ребер в независимости от рода поверхности. Отметим, что число
двудольных карт с заданным число ребер на поверхности рода g = 0 ранее
получено В. А. Лисковцом в [21].
В третьей главе предложен новый метод для нахождения якобианов
графов, с его помощью установлены структурные теоремы для якобианов
графов лестницы Мёбиуса и призматического графа, найдена связь этих
якобианов с полиномами Чебышева первого и второго рода. Указанный
метод также положен в основу результатов четвертой главы.
Теорема 3.2. Якобиан лестницы Мëбиуса Mn имеет следующее представление
Jac(Mn ) = Z (n,T,U ) ⊕ Z (T,nU ) ⊕ Z (2,n)nT ,
(2,n)
(n,T,U )
(T,nU )
где
m, n)√= GCD(ℓ, m, n), T = Tn (2)
(2),√а Tn (2) = ((2 +
√ +n 1, U =√Un−1
√ (ℓ,
n
n
n
3) + (2 − 3) )/2 и Un−1 (2) = ((2 + 3) − (2 − 3) )/(2 3) — полиномы
Чебышева первого и второго рода, соответственно.
Теорема 3.3. Якобиан призматического графа P rn имеет следующее
представление
Jac(P rn ) = Z (n,L,U ) ⊕ Z (L,nU ) ⊕ Z (2,n)nL ,
(2,n)
(n,L,U )
(L,nU )
где L = Tn (2) − 1.
Заметим, что L = Tn (2) − 1 и T = Tn (2) + 1, a формула для якобиана
P rn получается из формулы для якобиана Mn заменой T на L. Это связано
с топологическим фактом о том, что оба графа, лестница Мëбиуса Mn и
призматический граф P rn , двулистно накрываются графом P r2n .
В четвертой главе мы рассмотрим граф T orn = Cn ×Cn , представляющий из себя дискретный тор, и изучим строение якобиана данного графа.
10
Будут изучены гармонические функции на T orn и их поднятия на универсальную накрывающую Z × Z. Такие функции решают задачу Дирихле на дискретном квадрате с попарно отождествленными противоположными сторонами. Анализ полученных решений позволяет построить пример неединственности решения задачи Дирихле для дискретного оператора
Лапласа в классе функций, принимающих значения в конечной абелевой
группе. Это не противоречит классическому принципу максимума для гармонических функций, поскольку конечная абелева группа не может быть
упорядочена.
Задача Дирихле на торе T orn = Cn × Cn ставится следующим образом. Пусть A — конечная абелева группа. Найти двояко n-периодическую
функцию φ : Z × Z → A, удовлетворяющую условиям:

∆xx φ + ∆yy φ = 0


φ(1, j) = φ(n + 1, j) = φ1 (j) ,


φ(i, 1) = φ(i, n + 1) = φ2 (i)
где φ1 (j) и φ2 (i) — заданные n-периодические функции такие, что φ1 (1) =
φ2 (1) = 0.
В дальнейшем нас будет интересовать частный случай этой задачи, когда φ1 (i) ≡ 0 и φ2 (j) ≡ 0, i, j ∈ Z.
Теорема 4.1. Решение задачи Дирихле на дискретном торе T or2 для
функций, принимающих значения в абелевой группе
Jac(T or2 ) = Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z8
и имеющих нулевые значения на границе дискретного 2 × 2 квадрата,
неединственно.
Теорема 4.2. Решение задачи Дирихле на дискретном торе T or3 для
функций, принимающих значения в абелевой группе
Jac(T or3 ) = Z6 ⊕ Z6 ⊕ Z18 ⊕ Z18
и имеющих нулевые значения на границе дискретного 3 × 3 квадрата,
неединственно.
В Приложении к диссертации можно найти уравнения и графики некоторых плоских круговых карт, метод построения которых описан в соответствующем параграфе первой главы.
11
Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору А. Д. Медных за постоянное внимание к работе и всестороннюю
поддержку.
Работы автора по теме диссертации
[1*]. Zindinova, M. A. On the structure of Picard group for Moebius
ladder / I. A. Mednykh, M. A. Zindinova // Sib. Electron. Math.
Reports. – 2011.– V. 8. – P. 54–61.
[2*]. Зиндинова, М. А. О структуре группы Пикара для лестницы Мëбиуса и призматического графа / М. А. Зиндинова, И. А. Медных // Вестник КемГУ.– 2011.– № 3/1 (47).– С. 50–57.
[3*]. Дерягина, М. А. О подсчете круговых карт с заданным
числом ребер / М. А. Дерягина, А. Д. Медных // Сиб. мат.
журн.– 2013.– Т. 54, №4.– С. 788–806.
[4*]. Зиндинова, М. А. Круговые карты на римановых поверхностях /
М. А. Зиндинова // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика
/ Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2010.– С. 95.
[5*]. Зиндинова, М. А. О вычислении группы Пикара для лестницы
Мёбиуса / М. А. Зиндинова // Материалы XLIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»:
Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011.– С. 98.
[6*]. Зиндинова, М. А. О подсчете круговых карт / М. А. Зиндинова
// Материалы школы-конференции по геометрическому анализу – ГорноАлтайск: РИО ГАГУ, 2010.– С. 13.
[7*]. Зиндинова, М. А. О подсчете круговых карт с заданным числом ребер / М. А. Зиндинова // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // материалы Десятой международной
Казанской летней научной школы-конференции.– Казань: Издательство
Казанского математического общества, Издательство Казанского государственного университета, 2011.– T. 43. – C. 152–153.
[8*]. Zindinova, M. A. On the structure of Jacobian of Moebius ladder
and Prism graphs / I. A. Mednykh, M. A. Zindinova // Материалы школыконференции по геометрическому анализу – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ,
2011.– С. 34.
[9*]. Deryagina, M. Enumeration of two-colored map with given number of
edges / M. Deryagina // Дни геометрии в Новосибирске, 2013: Тезисы Меж12
дународной конференции. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2013.– C. 39.
Список литературы
[1] Адрианов H. М., Амбург Н. Я., Дремов В. А., Кочетков Ю. Ю.,
Крейнес Е. М., Левицкая Ю. А., Насретдинова В. Ф., Шабат Г. Б.
Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя
рëбрами // Фундамент. и прикл. матем.– 2007.– Т. 13, №6.– С. 35–112.
[2] Белый Г. В. О расширениях Галуа максимального кругового поля //
Изв. АН СССР. Сер. матем.– 1979.– T. 43, №2.– С. 267—276.
[3] Бычков Б. С., Дремов В. А., Епифанов Е. М. Вычисление пар Белого
шестирëберных рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков
12 и 3 // Фундамент. и прикл. матем.– 2007.– Т. 13, №6.– С. 137–148.
[4] Медных А. Д. Новый метод подсчета числа накрытий над многообразием с конечно-порожденной фундаментальной группой// Докл. АН.–
2006.– Т. 409, №2. – С. 158–162.
[5] Arqués D. Hypercartes pointées sur le tore: Décompositions et
dénombrements // J. Combin. Theory Ser B.– 1987.– V. 43, №3.– P. 275—
286.
[6] Arqués D. Relations fonctionelles et dénombrement des cartes pointées sur
le torre // J. Combin. Theory Ser B.– 1987.– V. 43, №3.– P. 253–274.
[7] Bacher R., de la Harpe P. and Nagnibeda T. The lattice of integral flows
and the lattice of integral cuts on a finite graph // Bull. Soc. Math. Fr.–
1997.– V. 125.– P. 167–198.
[8] Baker M., Norine S. Harmonic morphisms and hyperelliptic graphs // Int.
Math. Res. Notices.– 2009.– V.2009, №15.– P. 2914–2955.
[9] Baker M., Norine S. Riemann–Roch and Abel–Jacobi theory on a finite
graph // Adv. Math.– 2007.– Vol. 215, №2.– P. 766–788.
[10] Bender E., Canfield E. The number of rooted maps on an orientable surface
// J. Combin. Theory Ser B.– 1991.– V. 53, №2.– P. 293—299.
[11] Biggs N.L. Chip-firing and the critical group of a graph // J. Algebraic
Combin.– 1999.– V.9, №1.– P. 25–45.
13
[12] Boesch F.T. and Prodinger H. Spanning tree formulas and chebyshev
polynomials // Graphs and Combinatorics.– 1986.– V.2, №1.– P. 191–200.
[13] Breda A., Mednykh A., Nedela R. Enumeration of maps regardless of genus.
Geometric approach // Discrete Math.– 2010.– V.310, №6–7.– P. 1184–1203.
[14] Bujalance E., Cirre J. F., Gamboa J. M. and Gromadzki G. Symmetries
of Compact Riemann Surfaces (Lecture Notes in Mathematics 2007).–
Springer: Berlin, 2010.
[15] Cori R., Rossin D. On the sandpile group of a graph // European J.
Combin.– 2000. – V. 21, №4.– P. 447–459.
[16] Coxeter H.S.M. Poincaré’s Proof of Euler’s Formula, in: Regular
Polytopes. – 3rd ed.– Dover: New York, 1973.– chapter 9.– P. 165—172.
[17] Dartois A., Fiorenzi F. and Francini P. Sandpile group on the graph Dn
of the dihedral group // European J. Combin.– 2003. – V.24.– P. 815-824.
[18] Grothendieck A. Esquisse d’un programme (1984) // Geometric Galois
Action , Schneps L., Lochak P. eds. V. 1: Around Grothendieck’s Esquisse
d’un Programme. Cambridge Univ. Press.– 1997.– P. 5–48. (London Math.
Soc. Lecture Notes Series V.242.) / English translation: Sketch of a
programme, the same volume.– P. 527–569.
[19] Kirchhoff G. Über die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der
untersuchung der linearen verteilung galvanischer Ströme geführt wird //
Ann. Phys. Chem. – 1847.–V. 72.– P. 497–508.
[20] Lorenzini D. Smith normal form and laplacians // J. Combin. Theory Ser
B. – 2008. – V. 98, №6.– P. 1271–1300.
[21] Liskovets V. A. Enumerative formulae for unrooted planar maps: A pattern
// Electronic J. Comb. – 2004.– V. 11. – 14 pages.
[22] Liskovets V. A. Enumeration of nonisomorphic planar maps // Selecta
Math. Sovietica.– 1985.– V. 4.– P. 303–323.
[23] Mednykh A., Nedela R. Enumeration of unrooted maps with given genus
// J. Combin. Theory Ser B. – 2006.– V. 96.– P. 706–729.
[24] Mednykh A., Nedela R. Enumeration of unrooted hypermaps of a given
genus // Discrete Mathematics. – 2010.– V. 310, №3.– P. 518–526.
14
[25] Chen P., Hou Y. and Woo C. On the critical group of the Möbius ladder
graph// Australasian J. Combin. – 2006.– V. 36.– P. 133–142.
[26] Shabat G. B., Zvonkin A. K. Plane trees and algebraic numbers: Jerusalem
Combinatorics’93 / Ed by H. Barcelo, G. Kalai // Contemp. Mathematics.–
1994.– V. 178.– P. 233–275.
[27] Tutte W. T. A census of planar maps // Canad. J. Math. – 1963.– V. 15.–
P. 249–271.
[28] Tutte W. T. On the enumeration of planar maps // Bull. Amer. Math.
Soc. – 1968.– V. 74.– P. 64—74.
[29] Giorgetti A., Walsh T. R. S. Efficient enumeration of rooted maps of a
given orientable genus by number of vertices and faces. // Ars Mathematica
Contemporanea. – 2014. – V. 7. – P. 263–280.
[30] Walsh T. R. S. Hypermaps versus bipartite maps // J. Combin. Theory
Ser B. – 1975. – V. 18, №2.– P. 155–163.
15
КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
И ЯКОБИАНЫ ГРАФОВ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Дерягина Мадина Александровна
Подписано в печать 11.11.2013. Формат 60x84 1/16.
Усл. печ. л. 1,0. Усл.–изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
122 Кб
Теги
0c5bfa8815, uploaded
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа