close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

9671.Модификация ячейки однородной структуры для решения дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами

код для вставкиСкачать
Управление, вычислительная техника и информатика
УДК 519.673
МОДИФИКАЦИЯ ЯЧЕЙКИ ОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
А.А. Хамухин
Томский политехнический университет
Email: aaxtpu@tpu.ru
Предложена модификация ячейки однородной структуры для решения дифференциальных уравнений в частных производных
с коэффициентами, зависящими от искомой переменной. Показана возможность реализации функционального наполнения
ячейки с параллельным пересчетом значений коэффициентов во внешнем устройстве. Представлены результаты моделирова
ния линейки ячеек на примере решения тестовой краевой задачи с температурнозависимыми коэффициентами.
Ключевые слова:
Ячейка однородной вычислительной структуры, параллельные вычисления, дифференциальные уравнения в частных произ
водных, переменные коэффициенты.
Key words:
Cell of homogeneous computing structure, parallel computation, partial differential equations, dependent coefficients.
Введение
В статьях [1, 2] изложены примеры реализации
вычислительного устройства для решения диффе
ренциальных уравнений в частных производных
на основе непрограммируемых ячеек однородной
структуры [3], показана возможность его реконфи
гурирования в зависимости от области решения
и вида граничных условий, с помощью моделиро
вания дана оценка выигрыша в производительно
сти на данном классе задач по сравнению с уни
версальным микропроцессором при прочих рав
ных условиях. Подобные устройства с аппаратной
реализацией алгоритма на микросхемах типа БМК
или ПЛИС находят все большее применение в вы
сокопроизводительных вычислениях [4].
В настоящей статье рассмотрено еще одно пре
имущество таких ячеек – возможность организа
ции параллельного решения дифференциальных
уравнений в частных производных с переменными
коэффициентами, значения которых могут зави
сеть от самой искомой величины.
Такие коэффициенты, характеризующие свой
ства среды, встречаются при решении реальных
физических задач, например тепломассопереноса.
Достаточно упомянуть, что один из ведущих про
изводителей программного обеспечения для моде
лирования сложных инженерных объектов MSC
Software Corporation подчеркивает учет температур
нозависимых коэффициентов (вязкости, тепло
проводности, теплоемкости и др.) в качестве до
стоинства своих программных продуктов [5].
В фундаментальном труде [6], посвященном со
временным однородным вычислительным структу
рам, этот вопрос не рассматривается. Там все по
добные коэффициенты относят к константам, ко
торые заносятся в регистры ячеек на этапе на
стройки поля структуры и во время этапа решения
остаются неизменными.
Из вычислительной практики известно, что ко
эффициенты, зависящие от искомого решения,
необходимо многократно пересчитывать и после
довательно повторять решение дифференциальных
уравнений в частных производных до тех пор, пока
отличия в рассчитанных значениях не станут ме
нее заданной погрешности. Это значительно уве
личивает время решения всей задачи.
Объект и цель исследования
Объектом исследования является вычислитель
ный процесс в ячейке однородной структуры для
решения дифференциальных уравнений в частных
производных с переменными коэффициентами,
зависящими от искомого решения.
Целью исследования является модификация
вычислительного процесса в ячейке таким обра
зом, чтобы получаемое последовательно решение
дифференциального уравнения использовалось
параллельно для пересчета зависимых от него ко
эффициентов, что позволит повысить точность ре
шения задачи без увеличения количества итера
ций.
Модификация схемы ячейки
Для достижения поставленной цели в извест
ную схему ячейки [1, 2] можно ввести либо допол
нительное вычислительное устройство для перес
чета и замены коэффициентов, либо дополнитель
ный вход для ввода новых значений коэффициен
тов, пересчитанных некоторым внешним устрой
ством.
Первый вариант приведет к существенному
усложнения схемы ячейки. Зависимость коэффи
циентов дифференциальных уравнений от иско
мой переменной может быть различной. Напри
мер, теплопроводность твердых тел часто аппрок
симируется линейной зависимостью от температу
ры, а для расчета коэффициентов теплопроводно
сти жидкостей и газов применяют более сложные
формулы, полученные путем экспериментальных
исследований. Аналогичные зависимости имеют
и другие температурнозависимые коэффициен
ты [7].
37
Известия Томского политехнического университета. 2011. Т. 318. № 5
Этот факт является дополнительным доводом
в пользу второго варианта реализации учета зависи
мости коэффициента от искомой переменной с по
мощью внешнего устройства. Эту функцию может
выполнять универсальный микропроцессор, кото
рый является необходимой составляющей для упра
вления любой однородной вычислительной струк
турой [3]. Главными задачами управляющего ми
кропроцессора является ввод коэффициентов в ре
гистры ячеек однородной структуры перед циклом
вычислений и вывод из ячеек полученных резуль
татов в конце цикла вычислений. Во время самого
рабочего цикла однородной структуры этот микро
процессор простаивает и его можно использовать
для пересчета коэффициентов.
Таким образом, схема ячейки дополняется
только устройством для ввода коэффициентов
по ходу решения, что несущественно усложнит
ее аппаратную реализацию (рис. 1).
Ячейка может находиться в двух состояниях,
задаваемых внешним устройством управления.
Первое состояние – это рабочий цикл вычислений,
во время которого сигналы с выходов других ячеек
(приращения) умножаются на коэффициенты
в БМИ, суммируются в сумматоре СП, передаются
в интегратор и при этом формируются выходные
сигналы (приращения) для соседних ячеек.
ɉɪɢɪɚɳɟɧɢɹ
ɫ ɜɵɯɨɞɨɜ
ɞɪɭɝɢɯ ɹɱɟɟɤ
3
1
x
x
x
ȻɆɂ
По сигналу окончания шага по времени от вне
шнего устройства управления ячейка переходит во
второе состояние – цикл чтения/записи. Во время
этого цикла результат интегрирования передается в
блок формирования приращений с предыдущих
шагов по времени и используется уже в следующем
рабочем цикле ячейки, а также передается во вне
шнее устройство. Во время этого цикла в БМИ за
писываются новые значения коэффициентов, по
лученные от внешнего устройства.
Блок масштабных интеграторов БМИ обычно
реализуется на сдвиговых регистрах, соединенных
через последовательные входы, поэтому запись ко
эффициентов во все регистры может быть произве
дена через один вход. В этих регистрах хранятся
коэффициенты, на которые умножаются входные
сигналы БМИ. Количество входов в БМИ необхо
димо сделать больше, чем количество выходов со
седних ячеек. Подавая на дополнительный вход
БМИ логическую единицу, можно реализовать до
полнительное слагаемое в правой части дифферен
циального уравнения, если в этом будет необходи
мость. Это слагаемое будет вычисляться внешним
устройством также как и коэффициенты и переда
ваться в соответствующий регистр блока масштаб
ных интеграторов по сигналу окончания шага
по времени через ключевой элемент КЭ2.
2
x
x
x
ɋɂ
ɋɉ
'U in ,T 1 ɧɚ
4
ɂ
5
ȻɎɉȼ
Ʉɗ1
Ʉɗ2
38
ɜɯɨɞɵ ɞɪɭɝɢɯ
ɹɱɟɟɤ ɢ ɜɯɨɞ
ɜɧɟɲɧɟɝɨ
ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ
6
7
Рис. 1.
ȼɵɯɨɞɧɵɟ
ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɹ
ɋɢɝɧɚɥ ɨɤɨɧɱɚɧɢɹ ɲɚɝɚ
ɩɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ɨɬ
ɜɧɟɲɧɟɝɨ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ
Ɂɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɨɬ
ɜɧɟɲɧɟɝɨ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ
Модифицированная функциональная схема ячейки однородной структуры для решения дифференциальных уравне
ний в частных производных с переменными коэффициентами: 1) блок масштабных интеграторов БМИ; 2) сумматор
приращений СП; 3) следящий интегратор СИ; 4) интегратор И; 5) блок формирования приращений с предыдущих ша
гов по времени БФПВ; 6,7) ключевые элементы КЭ1, КЭ2
Управление, вычислительная техника и информатика
Пример использования модифицированной ячейки
Рассмотрим в качестве примера уравнение те
плопроводности (диффузии) с коэффициентом
D(U,x), характеризующим свойства среды:
wU w §
wU ·
(1)
¨ D (U , x)
¸ F ( x, t )
wt w x ©
wx ¹
с начальными и граничными условиями
U t 0 U 0 ( x );
(2)
U xG FG (t ) ,
(3)
где t – время; U0(x) – начальные значения искомой
переменной; G – граница области решения; F(x,t) и
FG(t) – функции источника внутри и на границе
области решения.
Первое слагаемое правой части уравнения (1)
будет иметь две составляющие:
wD (U , x ) wU
w 2U
˜
D (U , x ) 2
wx
wx
wx
2
wD § wU ·
w 2U
(4)
¨
¸ D (U , x) 2 .
wU © wx ¹
wx
В работах [1, 2] показано, как реализовать ячей
ку однородной структуры для решения уравнения
вида:
wU
w 2U
(5)
D ( x) 2 F ( x, t ).
wt
wx
Анализ правой части выражения (4) показал,
что в отличие от (5) появляется дополнительное
первое слагаемое, а во втором слагаемом коэффи
циент D необходимо пересчитывать в зависимости
от получаемого решения U. Применение неявной
схемы аппроксимации для выражения (4), изло
женной в [1, 2], приведет к существенному услож
нению функциональной схемы ячейки однородной
структуры и потери ее главного достоинства – про
стоты реализации.
Поэтому в настоящей работе предлагается при
менить явнонеявную схему аппроксимации. Эта
схема должна быть такой, чтобы на текущем шаге
по времени вычислительный процесс в ячейке
протекал также, как в аналоге (по неявной схеме).
Коэффициент D и первое слагаемое правой части
выражения (4) предлагается аппроксимировать
по явной схеме. Благодаря этому их расчет можно
возложить на некоторое внешнее устройство (на
пример, на управляющий микропроцессор, ука
занный в работе [2]), которое получает текущее ре
шение от ячеек на nом шаге по времени и в про
межутке между шагами рассчитывает значение ко
эффициента D и первого слагаемого для n+1 шага
по времени.
В соответствии с предложенной схемой получа
ем расчетную формулу для внутренних узлов рав
номерной разностной сетки, наложенной на
область решения:
U in 1 U in 'tDin
1 n 1
(Ui 1 2U in 1 U in 11) ' t) in ,i,n11, (6)
h2
где 't и h – шаги по времени и пространственной
координате; n и i – их номера; переменная
n,n–1
Ф i,i–1
получена путем аппроксимации по явной
схеме и ее можно рассматривать для ячейки как
модифицированную функцию источника F:
2
)
n , n 1
i ,i 1
D in Din 1 § Uin Uin1 ·
n
¨
¸ Fi .
U in Uin 1 ©
h
¹
Выражение (6) отличается от аналогичного вы
ражения в работе [2] только наличием индексов
у модифицированной функции источника и у ко
эффициента Din. Эти индексы означают, что после
каждого шага по времени n значения указанных ве
личин нужно вводить в ячейку заново, которые
рассчитываются внешним устройством и на n+1
шаге работы ячейки используются как константы.
Выполним аналогично работе [2] переход
от выражения (6) к формуле, описывающей функ
ционирование ячейки однородной структуры. Уч
тем, что сам алгоритм работы ячейки с прираще
ниями уже содержит внутренний итерационный
процесс, который можно использовать для перес
чета коэффициентов.
Для обеспечения устойчивости решения на
каждом шаге по времени применяется метод уста
новления (итераций) по фиктивному времени. Для
этого все слагаемые конечноразностного уравне
ния (6) переносятся в правую часть, а в левой части
ноль заменяется производной от искомой пере
менной по фиктивному времени T:
wU in 1
kinU in11 (1 2kin )Uin 1 wT
kinU in11 't)in,i,n11 Uin ,
(7)
1
.
h2
Далее применяется конечноразностная ап
проксимация по явной схеме для аргумента T.
U in 1,T 1 Uin 1,T 'T [...]T ,
(8)
n
где ki
'tDin
где […]T – правая часть уравнения (7).
На первом шаге (n=0) по реальному времени
уравнение (8) имеет вид:
ª ki0U i1,T1 (1 2ki0 )Ui1,T º
U i1,T 1 U i1,T 'T « 0 1,T
»,
(9)
0
0
¬« ki U i 1 't)i ,i 1 Ui ¼»
причем Ui1,0=Ui0.
В общем виде уравнение (9) для n+1го шага
по реальному времени и для T+1 шага по фиктив
ному времени:
U in 1,T 1
ª kinU in11,T (1 2kin )Uin 1,T º
U
'T « n n 1,T
(10)
».
n ,n 1
n
«¬ ki U i 1 't )i , i 1 Ui »¼
Обмен данными между ячейками однородной
структуры производится не полными переменны
ми, а их приращениями, выражение для которых
легко получить из предыдущего уравнения:
n 1,T
i
39
Известия Томского политехнического университета. 2011. Т. 318. № 5
'U in 1,T 1
0 d x d 1;
0 d t d 1;
ª kin 'U in11,T (1 2kin )'Uin 1,T º
'U in ,T 'T « n
» . (11)
n 1,T
n ,n 1
n
¬« ki 'U i 1 't')i ,i 1 ' Ui ¼»
Ур. (10, 11) одинаковы для каждого iго вну
треннего узла разностной сетки и могут быть реа
лизованы аппаратно в виде ячейки однородной
вычислительной структуры. Приближенное реше
ние ур. (1) получается в результате совместной ра
боты ячейки и внешнего устройства, функцию ко
торого может выполнять, как было указано ранее,
управляющий микропроцессор. Функциональная
схема взаимодействия ячейки и внешнего устрой
ства для реализации ур. (10, 11) приведена на рис. 2
(сигналы управления опущены).
Внутри однородной структуры каждая ячейка
передает рассчитанное на каждом шаге прираще
ние в соседние ячейки и обрабатывает прираще
ния, полученные от соседних ячеек по формуле
(11). Одновременно приращения, отражающие из
менение искомой переменной U, с выхода каждой
ячейки поступают на внешнее устройство, которое
параллельно вычисляет новое значение коэффици
ента kin и модифицированную функцию источника
Фi,n,n–1
i–1 , которые требуются для уточнения решения
на следующем шаге по времени. После завершения
цикла итераций по фиктивному времени, вычи
сленные параллельно внешним устройством ука
занные величины передаются в виде коэффициен
тов в регистры ячеек и используются на следую
щем шаге.
Как показано в работе [3], уравнение вида (11)
может быть использовано и для граничных узлов
разностной сетки, что делает однородную вычи
слительную структуру, состоящую из таких ячеек,
масштабируемой и реконфигурируемой.
Результаты моделирования
Система уравнений (6)–(11) для сравнительной
оценки эффективности модифицированной ячей
ки была реализована и исследована на примере ре
шения тестовой краевой задачи (1)–(3) с перемен
ной U, соответствующей относительной темпера
туре, с начальными и граничными условиями:
əɈɋ
0;
U (t , 0)
0;
U (t ,1) 1.
Для D(U,x)=1 известно точное решение этой за
дачи:
U (t , x )
f
x 2¦ (1) n (S n) 1 e n S t sin(S nx).
2
2
n 1
Для численного решения тестовой задачи ис
пользовалась модель, состоящая из 11 модифици
рованных ячеек, две из которых использовались
в качестве граничных, а остальные – в качестве
внутренних узлов равномерной разностной сетки.
Для D(U,x)=1 решение на модели совпадало с точ
ным решением с погрешностью, задаваемой для
остановки итераций по фиктивному времени T.
Температурная зависимость коэффициента D
задавалась с помощью линейного уравнения
D (U , x) bU c ,
где b, c – коэффициенты линейной аппроксима
ции зависимости D от температуры.
Для оценки величины расхождения решений
ур. (1) и (5) были проведены расчеты с постоянным
коэффициентом D(U,x)=c.
По результатам расчетов приведены графики
изменения относительной разности решений ур.
(1) и (5) GU по временным шагам n и по узлам раз
ностной сетки i (рис. 3).
Графики на рис. 3 получены при одинаковом
количестве итераций (времени решения задачи)
для обычной и модифицированной ячеек. На гра
фике рис. 3, а, видно, что при удалении от гранич
ных (1, 11) ячеек расхождение решений увеличива
ется. На графике рис. 3, б, видно, что на начальных
шагах по времени расхождение решений постепен
но нарастает и выходит на стационарный уровень.
Это обусловлено использованной явнонеявной
схемой аппроксимации, которая начинает полно
ценно работать только после первых двух шагов
kin , ) in,,in11
kin 1 , ) in,i 1,1n 2
ȼɍ
U (0, x )
ȼɍ
əɈɋ
U in
n-ɵɣ ɲɚɝ ɩɨ ɜɪɟɦɟɧɢ
ȼɍ
əɈɋ
ȼɍ
əɈɋ
U in 1
n+1-ɵɣ ɲɚɝ ɩɨ ɜɪɟɦɟɧɢ
Рис. 2. Функциональная схема взаимодействия ячейки однородной структуры ЯОС и внешнего устройства ВУ на примере двух
шагов по времени
40
Управление, вычислительная техника и информатика
ɚ
ɛ
Рис. 3. Относительная разность GU решений ур. (1) и (5) по узлам разностной сетки i (а) и по временным шагам n (б): h=0,1;
't=0,25; 'T=0,1; b=4; c=4
по времени. Поэтому в практических расчетах на
чальные шаги по времени рекомендуется выбирать
меньше, чтобы снизить погрешность.
В количественном измерении расхождение ре
зультатов моделирования с учетом и без учета тем
пературной зависимости коэффициентов не пре
высило 5 % в данном примере, но оно тем значи
тельнее, чем больше разность между заданными
начальными условиями и конечным результатом
и чем значительнее температурная зависимость ко
эффициента D.
Выводы
Модификация ячейки однородной структуры
для решения дифференциальных уравнений в
частных производных позволяет организовать вы
числение значений коэффициентов, зависящих
от искомой переменной, параллельно с расчетом
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ячейка однородной структуры для решения дифференциаль
ных уравнений в частных производных: пат. 2359322 Рос. Фе
дерация. № 2007141832/09; заявл. 12.11.2007; опубл. 20.06.2009,
Бюл. № 17. – 6 с.
2. Хамухин А.А. Ячеечная модель устройства для решения диф
ференциальных уравнений в частных производных // Изве
стия Томского политехнического университета. – 2010. –
Т. 316. – № 5. – С. 62–67.
3. Хамухин А.А. Реконфигурирование однородной вычислитель
ной структуры с непрограммируемыми ячейками для решения
дифференциальных уравнений в частных производных // Из
вестия Томского политехнического университета. – 2010. –
Т. 316. – № 5. – С. 68–72.
4. Абрамов С.М., Дбар С.А., Климов А.В., Климов Ю.А., Ла
цис А.О., Московский А.А., Орлов А.Ю., Шворин А.Б. Воз
можности суперкомпьютеров «СКИФ» ряда 4 по аппаратной
поддержке в ПЛИС различных моделей параллельных вычи
самой переменной. Это дает более точный резуль
тат без дополнительного цикла итераций для пе
ресчета коэффициентов.
Модификация ячейки незначительно увеличи
вает аппаратные затраты в самой ячейке (дополни
тельный ключевой элемент) за счет выноса аппа
ратной реализации зависимости коэффициента
от искомой переменной за схему типовой ячейки
во внешнее устройство (управляющий микропро
цессор), работающее синхронно с ячейкой. Такое
решение обеспечивает гибкость замены вида зави
симости коэффициентов путем замены программы
внешнего устройства без изменения схемы ячеек
однородной структуры.
Результаты моделирования на примере реше
ния тестовой краевой задачи с температурнозави
симыми коэффициентами подтвердили работоспо
собность модифицированной ячейки.
слений // Суперкомпьютерные технологии: разработка, про
граммирование, применение (СКТ2010): Матер. Междунар.
научнотехн. конф. – г. Дивноморское, 27 сент. – 2 окт. 2010. –
Таганрог: Издво ТТИ ЮФУ, 2010. – Т. 1. – С. 11–21.
5. MSC Software. Extending Simulation to the Enterprise. 2010. URL:
http://www.mscsoftware.ru/products/nastran3 (дата обращения:
11.01.2011).
6. Каляев И.А., Левин И.И., Семерников Е.А., Шмойлов В.И.
Реконфигурируемые мультиконвейерные вычислительные
структуры. – Ростов на Дону: ЮНЦ РАН, 2008. – 393 с. 2010.
URL: http://parallel.ru/FPGA/papers/rmvs.pdf (дата обращения:
11.01.2011).
7. Александров А.А., Орлов К.А., Очков В.Ф. Webверсия спра
вочника «Теплофизические свойства веществ теплоэнергети
ки». 2010. URL: http://twt.mpei.ac.ru/rbtpp/index.html (дата об
ращения: 11.01.2011).
Поступила 11.01.2011 г.
41
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа