3358.Определение коэффициентов влияния параметров режима электроэнергетической системы на ее устойчивость

pb0410.fm Page 74 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ “≈’Ќ»„≈— »ћ» —»—“≈ћјћ» » “≈’ЌќЋќ√»„≈— »ћ» ѕ–ќ÷≈——јћ»
”ƒ 681.5.015.3;621.311
ќѕ–≈ƒ≈Ћ≈Ќ»≈ ќЁ‘‘»÷»≈Ќ“ќ¬ ¬Ћ»яЌ»я
ѕј–јћ≈“–ќ¬ –≈∆»ћј ЁЋ≈ “–ќЁЌ≈–√≈“»„≈— ќ…
—»—“≈ћџ Ќј ≈≈ ”—“ќ…„»¬ќ—“№
ј.≈. ≈фимов, ќ.Ћ. ќпалев, ».Ѕ. ядыкин
????л??? ???л?? ?????ч?????? ?л?????????г???ч????? ?????м? ????м ???л?д??????
??????? м????ц? д???м??? ?? л?????????????? м?д?л?. ???д??? м??? ?????ч??????, ????????? ?? ????м????? ?л?????????г???ч????? ?????м?, ??ш??? ??д?ч? ?ц???????? ?????? ?????ч?????? ?? ????м??. ?????????? ?лг????м ??ч??л???? ??????ц?????? ?л????? ????м????? ????м? ?? ????????ль ?????ч??????.
???????? ?????: ?л?????????г???ч????? ?????м?, м???м???ч????? м?д?ль, ?????ч?????ь ?? ????????, ????? ?????ч??????, м????ц? д???м???, ????????ль ?????ч??????, ??????ц???? ?л?????.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
?л?????????г???ч????? ?????м? (???), ??????ч???ю??? ?????? ???м?шл???????, ??????????,
??? ????л???? ? ??ю ?????д????ль????ь ????ч????? ?л?????ч????? ???ью ??????????, д?л??? ???????ь ??д????, ????д? ???г?, ?????ч??? [1]. ??д
?????ч???? ??????? ??? (?л?, ??????, ?????ч?????ью ???) ????м????? ???????????ь ?????? ??
г?????????? ?л?, ? ???м???? ????м??г? ?????л????, ??????????? ????????ль??? ??????? ?гл??
?? ???.
???л?д?????? ?????ч?????? ??? ?????????? ??
м???м???ч????? м?д?л? ? ??д? ?????м? д???????ц??ль??? ?????????, ???????ю??? ?? ??????
? ????м?д??????? ?? ?л?м?????. ? д????? ????ь?
??д ?????ч?????ью ??? ????м????? ?????ч?????ь
?? ????????, ? дл? ?? ???л?д?????? ???м???????
м???д ?????г? ????л?????? ? ?????м? ????????.
??? ???л??? ?????ч?????? ??? ????? ?ц????ь
??????ц????? ?л????? ????м????? ????м? ??
?????ч?????ь. ??д ????м????м? ????м? ????м?ю??? ????????л?, ??л?ч???????? ????д?л?ю???
??л???? ?????? ?????м?. ? ??м ????????? ?м?л???д? ? ???? ??????????, ?????, ???, ? ????? ???????? ? ?????????? м??????? ? д?.
74
2. ќѕ–≈ƒ≈Ћ≈Ќ»≈ ѕќ ј«ј“≈Ћя ”—“ќ…„»¬ќ—“»
2.1. ќписание электроэнергетической системы.
ћатрица динамики системы
? ??ч????? м???м???ч????? м?д?л? ??? ????м?????????? ?????м? д???????ц??ль??? ????????? д??????? ??????? г?????????? ??? ?ч???
д?м??????????, ????????м?м? ????м????м? ?л???? ????лю???? ? ????????ль??? ??????? ?гл?
??? г??????????:
2
d ?
T1 ----------1- = P10 ? P1(?12, ?13, ..., ?1n),
2
dt
...
2
d ?
Tn ----------n- = Pn0 ? Pn(?12, ?13, ..., ?1n),
2
dt
(1)
гд? Pi0 ? м?????ч????? м??????ь ?? ??л? i-г? г?????????; i = 1, ..., n; Pi ? ?л?????ч????? м??????ь, ??д????м?? ? ???ь i-м г?????????м; ?i ? ????
??? i-г? г?????????; ?1i = ?1 ? ?i ? ????????ль???
??????? ?г?л м??д? ??????м? ?гл?м? ??? ?????г? ? i-г? г??????????; Ti ? ?????????? ????ц??
?????? г?????????; n ? ч??л? г??????????. ???д??л?г?????, ч?? ??м?????? ???????? ???????? ?????? ??д?ль??г? г????????? ?? ?????????? ???г?
CONTROL SCIENCES є 4 ? 2010
pb0410.fm Page 75 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ “≈’Ќ»„≈— »ћ» —»—“≈ћјћ» » “≈’ЌќЋќ√»„≈— »ћ» ѕ–ќ÷≈——јћ»
???м??? ????м???????м?г? ???ц???? ???ч???ль??
м??ьш?, ч?м ?????????? ???????ь [1].
??д ?????м? ????????? (1) ?????л??? ????????
?? ? ???м?ль??? ???м? ??ш? ? ???м????ь м???д
?????г? ????л?????? ? ?????м? ???????? ?? ?????ч??????.
???л? л????????ц?? ? ??????????? ?????????
????д??? ???ц???????? ??ч?? {?i(0), ..., ?n(0)} ?????м? ????????? (1) ???м?? ??д
2
d ??
?P
?P 1
T1 --------------1- + ---------1- ??12 + ... + ---------- ?? = 0,
2
?
?
?
? 1n 1n
12
dt
? = max (Re(?k)) = Re(??),
k
2
?P
?P n
d ??
Tn --------------n- + ---------n- ??12 + ... + ---------- ?? = 0,
2
?
?
?
? 1n 1n
12
dt
(2)
гд? ??i = ?i(t) ? ?i(0).
??л???? ???д?г? ?? ????????? ?????м? (2) ??
???????????ю??? ???ч???? Ti ? ??ч?????? ???д?г?
????????? ?? ?????г? ?????л?ю? ???????? ?? ? ??д?
2
d ?? 12
1 ?P
1 ?P
---------------- + ? ------ ---------1- ? ------ ----------1-? ??12 + ...
2
? T 1 ?? 12 T 1 ?? 12 ?
dt
1 ?P 1 1 ?P 2 ?
... + ? ------ ---------- ? ------ ----------- ?? = 0,
? T 1 ?? 1n T 2 ?? 1n ? 1n
2
d ?? 1n
1 ?P
1 ?P
----------------- + ? ------ ---------1- ? ------ ----------n-? ??12 + ...
2
? T 1 ?? 12 T n ?? 12 ?
dt
1 ?P 1 1 ?P n ?
... + ? ------ ---------- ? ------ ----------- ?? = 0,
? T 1 ?? 1n T n ?? 1n ? 1n
T
Ј
????м ??м??? X = Y ?????м? ?????д???? ? ??д?:
0 ?A ? Y .
E 0
X
(4)
?????ц? д????? ?????м? д???????ц??ль???
????????? ??л????? ???????? ???????? ????г??????м?.
2.2. ѕоказатель устойчивости
?????м? д???????ц??ль??? ????????? (4) ?
л??????? ?д????д??? ?????м? ? ?????????м? ??????ц?????м?, ?????????? ? ???м?ль??? ???м?
??ш?. ??л? ??д??ь ??ч?ль??? ??л????, ?? ??ш????
??д?ч? ??ш? м???? ????? ???л???ч????. ???
???м ???????? д??????? ?????м? ??л????ью ????д?л????? ??????????м? ч??л?м? м????ц? ????-
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 4 ? 2010
гд? ?k ? ??????????? ч??л? м????ц? д???м???,
2n ? 2 ? ?? ???г.
???л?? ???л???ч????г? ??ш???? [3] ?????м?
(4) ??????????, ч?? ??л? ????????ль ?????ч??????
??л?????л??, ?? ??? ???????ч??? ?, ?л?д?????ль??, ??? ????????м м?л?м ??ч?ль??м ???м??????
?????? ?????ч?????ь.
?????ль?? ????л???? ??????????? ч??л? м????ц ?????м (3) ? (4) ?????д?ю?, ?? ????????л? ?????ч?????? д????? ?????м ????? ?????д?ю?. ?л?д?????ль??, дл? ???ч???? ?????ч?????? ??? д??????ч?? ?г????ч??ь?? ????м???????м м????ц?
?????м? (3) ? м????ц? A. ??л?? ?? ?????? ??д м????ц?? д???м??? ??д????м??????? ?.
(3)
??13, ..., ??1n) .
=
k = 1, 2n ? 2 ,
3. ќѕ–≈ƒ≈Ћ≈Ќ»≈ ќЁ‘‘»÷»≈Ќ“ќ¬ ¬Ћ»яЌ»я
ЈЈ
?л? ? м????ч??? ???м? X + ?? = 0, гд? X = (??12,
Ј
Y
Ј
X
??ц?????? д???????ц??ль??? ?????????, ?. ?.
м????ц? д???м??? ????г??????м?.
????? ?? ?????? ?????ч??? ?л? ???????ч???
????г??????м?, ????????м?? ?????м?? ?????????
(4), д?ю? д?? ?????м? ???????? [2], ??гл???? ??????м ??????ь ?????ч?????? ????д?л????? ??????????м ч??л?м ? м????м?ль??? д????????ль???
ч???ью.
??????м д????????ль??ю ч???ь ????г? ??????????г? ч??л? ??????????? ???????????? ?????м? (4) ? ??????ч?м ?г? ?:
?л? ????д?л???? ??????ц????? ?л????? ????м????? ????м? ?? ?????ч?????ь ????г??????м?
????м????м ???????ль??? ???ц???????? ????м
?? ??????, ????????м?? ?????м?? ????????? (3) ?
???????????ю??м ????????л?м ?????ч??????. ???
м?л?м ??м?????? ????г?-л??? ?д??г? ????м????
????м? ????д??? ????м ?????д?? ? д??г??, ?л????? ?м? ? ???? ???ц????????. ????????ль ?????ч?????? ????г? ????м? ??? ???м ??д?? ??л?ч??ь??
?? ????д??г? ????????л? ?????ч?????? ?? ????ю
м?л?ю ??л?ч???. ????м ??????м, м???? ????д?л??ь ??????ц???? ?л????? д????г? ????м????
????м? ??? ??????ц???? ??????ц????ль?????
м??д? м?л?м ??м??????м ????м???? ????м? ? ???????????ю??м м?л?м ??м??????м ????????л? ?????ч?????? ????г??????м?.
???г?м? ?л???м? ??????ц???? ?л????? ????м???? ????м? ?? ?????ч?????ь ????г??????м? ???ь
ч?????? ???????д??? ????????л? ?????ч?????? ??
д????м? ????м???? ??? ????????ц???????м ??м?????? ????м?: k p = ??/?pg, гд? pg ? ????м??? ??g
??м? ????г??????м?.
75
pb0410.fm Page 76 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ “≈’Ќ»„≈— »ћ» —»—“≈ћјћ» » “≈’ЌќЋќ√»„≈— »ћ» ѕ–ќ÷≈——јћ»
? ???????????? ? ?????л?м д???????ц???????? ?л????? ????ц??
n?1
kp =
g
?
i, j = 1
?? ?a
--------- ? --------ij- ,
?a ij ?p g
?л? ???ч??? ?л?????ч????г? ???? ч???? k-? г???????? ???м??????? м???д ??л??????, ? ???????????? ? ??????м
(5)
n
? EiYki.
Ik = E1Yk1 + E2Yk2 + ... + EnYkn =
гд? aij ? ?л?м??? м????ц? A д???м??? ????г??????м? ???г? n ? 1 (n ? ч??л? г?????????? ?????м?)
? ????????л?м ?????ч?????? ?.
3.1. Ћемма о вычислении частных производных
собственного числа матрицы динамики
по элементам матрицы
????????? (5) дл? ???ч??? ??????ц????? ?л????? ????м???? ????м? ??люч??? ? ???? ч??????
???????д??? д????????ль??? ч???? ??????????г?
ч??л? м????ц? д???м??? A ?? ?л?м????м ????
м????ц? aij. ??? ??? ??? ?л?м???? м????ц? д???м??? ч??л? д????????ль???, ?? дл? д????? ч?????? ???????д??? ??????дл???
i=1
??????????? ? ????м??? ?????д?м???? ?л?????ч????? ?????м? (Yii ? Yki) ????д???? ????м ??м????ц?? м???д? ?д???ч??? ??? [1] ? ??ш????
?????м? ????????? ??л???? м????????.
??м?л?????? ???ч???? м???????, ??д????м??
г?????????м ? ???ь, ????д?л????? ??? ???????д????
??м?л?????г? ??????????, д??????ю??г? ?? ш???? г?????????, ?? ??????????? ??м?л?????? ???:
Sk = Uk I k = Uk E 1 Y k1 + Uk E 2 Y k2 + ...
n
... + Uk E n Y kn = Uk
? Et Ykt .
t=1
?Re ( ? k )
??
-------------------- = Re ? ---------k-? .
? ?a ij ?
?a ij
??л? ??????? ? ????????ц??ль??? ???м? ????-
?л? ??ч??л???? ч?????? ???????д??? ? ??????
ч???? д????г? ????????? ????м?л????м ?л?д?ю??ю л?мм?.
?????. ??л? ?k ? ??????????? ч??л? м????ц?
A = ||aij||,
x ji
??
--------k- = ------------,
?a ij
tr ( X )
?? U1 = U1 e
, Ek = Ek e
j? k
n
Sk = Uk
?
E t Y kt = Uk e
, Ypq = Ypq e
j? k
i=1
n
? Et e
? j? i
f? pq
Yki e
, ??
f? ki
=
i=1
n
=
? UkEiYki e
j ( ? k ? ? i ? ? ki )
.
i=1
(6)
??????????????, ??д????м?? ???????? м??????ь
г?????????
гд? X ? ??????д??????? (??ю????) м????ц? ?
????????????ч????? м????ц? м????ц? A: X =
= adj(A ? ?kE). ?
??м???м, ч?? ч?????? ???????д??? ??????????? ч???л ?? ?л?м????м м????ц? м?г?? ?м??ь ??ч?? ???????. ?д???? ??? ????д???? ?? ??л???ью
????????????? ????м?? ????ч????? ?????м?,
????????м?? ???д????л????? ? ????ь? м?д?лью, ?
?????м? ?д??ь ?? ????м??????ю???.
????????ль???? л?мм? ?????д??? ? ???л??????.
3.2. –асчет элементов матрицы динамики
?л?д?ю??? ш?г ???ч??? ??????ц?????? ?л????? ??????? ? ????д?л???? ?л?м????? м????ц? д???м??? ????г??????м?. ?л? ???г? ??????д?м? ???????ь ???????ю м??????ь, ??д????м?ю ? ???ь k-м
г?????????м, ч???? ????????ль??? ??????? ?гл?
???. ????ю ??????м???ь ??????? ???????ь ??????????????? м??????? г????????? [1, 4].
76
j? 1
n
Pk =
? UkEiYkicos(?k ? ?i ? ?ki).
i=1
???л? ??м??? ??г?м????? ?pq д???л??ю??м?
?? д? 90∞ ??г?м????м? ?pq = 90∞ ? ?pq ? ???д????
???????? ??? м??д? ??????????м ? ??? k-г? г?0
???????? ( ? k = ?k ? ?k) ? ???????? ??? м??д? ???
k-г? ? i-г? г?????????? (?ki = ?k ? ?i) ?????????????? м??????? ? ????????ль??? ??????? ?гл??
?????м??? ??д
Pk(?11, ..., ?1n) =
n
=
0
? UkEtYki sin( ?k
+ (?1i ? ?1k) + ?ki).
(7)
i=1
???ч?? ч?????? ???????д??? ??л?ч????? ????ц?? м???????? г?????????? ?????л??? ??л?ч??ь
CONTROL SCIENCES є 4 ? 2010
pb0410.fm Page 77 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ “≈’Ќ»„≈— »ћ» —»—“≈ћјћ» » “≈’ЌќЋќ√»„≈— »ћ» ѕ–ќ÷≈——јћ»
? ???л???ч????м ??д? ?л?м???? м????ц? д???м??? ????г??????м? (?м. ?????м? (3)):
1 ?P 1
1 ?P j + 1 =
aj, k = ------ ------------------ ? ------------ -----------------T 1 ?? 1, k + 1
T j + 1 ?? 1, k + 1
??? 3. ??ч??л???? ч?????? ???????д??? ?л?м????? м????ц? д???м??? ?? ???????м ????м????м ? ???????????? ? ?????л?м д???????ц???????? ?л????? ????ц??
?a ij
--------- =
?b l
0
1- U E
Y
cos( ? 1 + ?1, k + 1) ?
= ----T 1 1 k + 1 1, k + 1
+ (?1, k + 1 ? ?1, j + 1) + ?j + 1, k + 1) +
n
i=1
(8)
гд? ?( j, k) ? ??м??л ?????????, Ti ? ??????????
????ц?? i-г? г?????????, Pi ? ???????? м??????ь
i-г? г?????????, Ui ? ?????????? ? ??л?, ? ??????м? ??????д???? i-? г????????, Ei ? ??? i-г? г?????????, Yjk ? ?л?м??? м????ц? ?????д?м?????,
?jk ? ??л?ч???, д???л??ю??? д? 90∞ ??????? ?г?л
?????д?м????
0
Yjk, ? i
?ч?????ю??? ?? ????????? (8).
??? 4. ??ч??л???? ч?????? ???????д??? ?л?м????? м????ц? д???м??? ?? ????м????м pg ????м?:
?a ij
--------- =
?p g
??? i-г? г?????????, ?1i= ?1 ? ?i ? ????????ль???
?г?л м??д? ??? 1-г? ? i-г? г??????????, n ? ч??л?
г??????????.
3.3. јлгоритм поиска коэффициентов вли¤ни¤
?лг????м ?????? ??????ц?????? ?л????? ????м????? pg ????м? ?? ?????ч?????ь ?л?????ч????? ????г??????м? ??????? ?? ?л?д?ю??? ???????? ш?г??.
??? 1. ????д?л???? ?????? ????????м?? ????м?????, ?д?????ч?? ???????ю??? ????м ????г??????м? ??? ????????? ?????м??? ????м?????, ????? ??? ?????д?м???? л????, ??????????? ????????л???? г?????????? ? д?. ?????м??, ? ??ч?????
????г? ?????? м???? ????ль?????ь ?м?л???д? ?
???? ??? ???? г?????????? ?????м? л??? ???????? ? ?????????? м??????? г??????????:
b = {E1, ..., En, ?1, ..., ?n} ?л?
b = {P1, ..., Pn, Q1, ..., Qn}.
??? 2. ??ч??л???? ч?????? ???????д??? ????м????? ????м?, ???д???? ? ?????????????? м??????? г?????????? (7), ? ????м????? pg ????м? ??
????????м ???????м ????м????м. ?л? ???г? ??????д?м? ???????ь ????????? ??л????? ????????
? ?????????? м???????? ? ??л?? ??? (?????????
?????????ш?г??? ????м? [5]) ? ???????? ????м????? ? ???????ь ?? ??? ????м?? ч?????? ?????0
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 4 ? 2010
2n
?a ij ?p g
- ? --------?
? -------? b l ? ?b l ?
?1
.
i=1
??? 5. ????д?л???? ??????ц?????? ?л?????
? ?г?л м??д? ??????????м ?
??д??? ?Uk/?bl, ? ? k /?bl, ?Ek/?bl, ??1k/?bl, ?pg/?bl.
(9)
?a ij ?a ij ?a ij ?a ij
гд? ч?????? ???????д??? --------, --------- , --------- , ---------- ????U k ?E k ?? 0 ?? 1k
k
0
? Uj + 1EiYj + 1, i cos( ?j + 1 +
+ (?1i ? ?1, j + 1) + ?j + 1, i),
k
?a ? E
+ --------ij- --------k- +
?E k ?b l
0
?a ? ?
?a ij ?? 1k ?
+ --------ij- -------k- + ------------------- ? ,
0 ?b
?? 1k ?b l ?
l
?? k
0
1
? ------------ Uj + 1Ek + 1Yj + 1, k + 1cos( ? j + 1 +
Tj + 1
1
+ ?( j, k) -----------Tj + 1
? ?a ij ?U k
--------? ?? --------?U k ? b l
??
k p = ------- =
g
?p g
n?1
=
?
i, j = 1
n?1
?
i, j = 1
??
Re ? ---------?-?
? ?a ij ?
2n
?
l=1
?? ? a
--------- --------ij- =
?a ij ?p g
?a ij
--------?b l
?p g ?
? ------? ?b l ?
?1
,
(10)
гд? ?? ? ??????????? ч??л? м????ц? д???м??? ?
м????м?ль??? д????????ль??? ч???ью.
????, ??????ц????? ?л????? ????м????? ????м? ?? ?????ч?????ь ????г??????м? ??ч??л?ю??? ?? ????????ю (10) ч???? ч?????? ???????д???
(6) ??????????г? ч??л? м????ц? д???м??? ?? ?л?м????м м????ц? (8) ? ч?????? ???????д??? ?л?м????? м????ц? д???м??? ?? ???????м ????м????м (9).
???????????? ????ч??????м?? ???ч???? ??????ц?????? ?л????? ??? ?????д???? ????????л? ?????ч?????? ? ???? м???м?ль??г? ?????? ?????ч?????? ?л? ??????д? ? ??л???ь, ???????????ю??ю ???????ч???м? ????????ю ?????м?, ?????л??
?д??????ц??????ь ?????л?? ????л?м??? ?л?м???? ????г??????м?.
«ј Ћё„≈Ќ»≈
????????? м???д??? ?ц???????? ?????ч??????
????м?? ?л?????????г???ч????? ?????м ????????
?? ?л????ч????? ?????? ?????ч?????? ?? ????????
? ???д????л???? ????г??????м? ? ??д? ??????-м???м???ч????? м?д?л?. ?? ?????? ?????м ????????
???дл????? м??? ?????ч?????? ????г??????м?,
77
pb0410.fm Page 78 Tuesday, July 27, 2010 12:31 PM
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ “≈’Ќ»„≈— »ћ» —»—“≈ћјћ» » “≈’ЌќЋќ√»„≈— »ћ» ѕ–ќ÷≈——јћ»
?????????? ?? ??ч??л???? ??????? м????ц? д???м??? ?????м? ? ??д?л???? ????? ????????????ч????г? ????????? ? м????м?ль??м ???ч????м ???????????? ч????. ?л? ?????????? ???????????
??????? ?????л???? ????г??????м?? ????? ????д?л??ь ?? ????м???? ????м?, ??????? ??????ч???ю? ?????льш?? ???л?? ?? ???л??????? ??м?????? ????м???? ????м?.
???дл??????? ?лг????м ???ч??? ??????ц?????? ?л????? ????м????? ????м? ?? ?????ч?????ь
?л?????????г???ч????? ?????м? м???? ???ь ???м???? дл? ????д?л???? ????м?ль??? ?????л?ю??? ???д???????, ?????л?ю??? ????? ?? ????
??????? ?л?????? ? ???д?ль??м? ????м?, л??? дл?
?????л???? ??????ц?????м ?????? ????г??????м? ?? ?????ч??????. ???????????? ???ч???? ??????ц?????? ?л????? ?????л?? ??д?л??ь ?????л?? ????л?м??? ? ?м??л? ?л????? ?? ?????ч?????ь ?л?м???? ????г??????м?.
??? ???ч??? ??????ц?????? ?л????? ????м????? ????м? ?? ?????ч?????ь ?л?????????г???ч????? ?????м? ?????ю ??ль ?г???? л?мм? ? ??ч??л???? ч?????? ???????д??? ??????????г? ч??л?
м????ц? ?? ?? ?л?м????м. ???д? ??льш?? ???м??????? м????ц? д???м??? ????г???ч????? ?????м?, лю??? ??ш???? ??д?ч? ???л??? ?????ч??????
????г??????м? ??люч??? ? ???? ??ш???? ??д?ч?
??д??ц?? м???м???ч????? м?д?л?.
???????ь ?? ????????ю м???д??? ? ????ль????
???л??? ?л????? ????м????? ????м? ?? ?????ч?????ь ?л?????????г???ч????? ?????м?, м????
????м??????ь ??????л?????? м?д?л? ???, ?д????? дл? ???л??? ?? ?????ч??????.
ѕ–»Ћќ∆≈Ќ»≈
? ? ? ? ? ? ? ? л ь ? ? ? ? л ? м м ?. ??????ч?м B = A ? ?E
? ????ш?м ????????????ч????? ????????? det(B) = 0,
?? ??????г? ?л?д??? ddet(B)= 0.
??гл???? ???м?л? ????? [6] ddet(B)= tr(adj(B)dB).
?? ????????? д???????ц??л? д????м?????? ??лю
?л?д???, ч??
tr(adj(B)dB) = tr(adj(A ? ?E)(dA ? d?E)) = 0.
??????ч?м X = adj(A ? ?E), ??гд?
tr(X(dA ? d?E)) = tr(XdA) ? d?tr(X ) = 0.
78
(11)
? 0, i ? r, j ? s,
??л? daij = ?
? da rs, i = r, j = s,
??
n
(XdA)ij =
j ? s,
? 0,
xikdakj = ?
? x ir da rs, j = s.
k=1
?
??????????????, ? м????ц? (XdA) ??ль?? ? s-м ???л?ц? ?м?ю??? ?л?м????, ??л?ч??? ?? ??л?. ?? ???г?
?л?д???
tr(XdA) = (XdA)s,s = xsrdars.
??д?????? д????? ????????? ? ???м?л? (11), ??л?ч?м
xsr dars ? d?tr(X ) = 0.
?л?д?????ль??
x sr
??
---------- = ------------. ?
?a rs
tr ( X )
Ћ»“≈–ј“”–A
1. ??????? ?.?. ??????д??? ?л?????м?????ч????? ???ц???? ?
?л?????ч????? ?????м??. ? ?.: ???ш?? ш??л?, 1985. ?
536 ?.
2. ?????? ?л????ч????? ? ?????м????? ?????? ?????л???? /
??д ??д. ?.?. ??????? ? ?.?. ?г????? ? ?.: ??д-??
???? ?м. ?.?. ???м???, 2004.
3. ??????? ?.?., ??????? ?.?., ??????? ?.?. ????д?л???? ?????ч????? ??ч???? ????г??????м ? ???д?ль??? ????м?? //
?????????? ???д?м?? ????. ????г????? ? ?????????. ?
?л??-?д?: 1992. ? ??м 38.
4. ??????? ?.?. ??????д??? ???ц???? ? ?л?????ч????? ?????м??. ? ???????????: ??д-?? ????, 2002. ? 283 ?.
5. ???????? ?.?. ???ч??? ?????????ш???? ????м?? ?л?????ч????? ?????м. ? ?.: ????г??, 1977. ? 192 ?.
6. Magnus J.R., Neudecker H. Matrix Differential Calculus with
Applications in Statistics and Econometrics. ? N.Y.: John Willey & Sons, 1999. ? 395 ?.
?????? ???????????? ? ?????????? ?????? ???????????
?.?. ??????????.
?????? ????? ?????????? ? ???л???? ???????м????
?? ???????ю, ??? Ђ???????? ????г???ч????? ?????мї,
efimov.artem@gmail.com,
?????? ???? ?????????? ? ??д. ???ц??л???,
??? Ђ?????м??? ???????? ?д???? ????г???ч????? ?????м?ї,
opalev_oleg@mail.ru,
?????? ????? ????????? ? д-? ????. ????, ???. л???????????,
???????? ????л?м ?????л???? ?м. ?.?.???????????? ???,
(495) 334-90-31, Jad@ipu.ru.
CONTROL SCIENCES є 4 ? 2010