close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Моделирование фильтрации жидкости при наличии трещины гидравлического разрыва пласта.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2007. — № 2 (15). — С. 128–132. — ISSN 1991–8615
УДК 517.958:532.546
В. И. Астафьев, Г. Д. Федорченко
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕЩИНЫ
ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАЗРЫВА ПЛАСТА
Исследуется процесс фильтрации жидкости к скважине при наличии трещины гидравлического разрыва
пласта (ГРП). Данная трещина представляется в виде тонкого эллипса, пересекающего скважину. Использование аппарата ТФКП позволило найти точное решение данной задачи, получить аналитическое выражение для величины скин-фактора, отражающего влияние трещины ГРП на продуктивность скважины.
В завершение представлена упрощённая постановка данной задачи, когда трещина ГРП представляется
в виде разреза нулевой толщины, но конечной проводимости.
Введение. Гидравлический разрыв пласта (ГРП) представляет собой механический метод
воздействия на продуктивный пласт, состоящий в том, что порода разрывается по плоскостям
минимальной прочности под действием избыточного давления, создаваемого закачкой в скважину жидкости с расходом, который скважина не успевает поглощать. Флюиды, посредством
которых с поверхности на забой скважины передаётся энергия, необходимая для разрыва, называются жидкостями разрыва. После разрыва под воздействием давления жидкости трещина
увеличивается, возникает её связь с системой естественных трещин, не вскрытых скважиной,
и с зонами повышенной проницаемости. Таким образом, расширяется область пласта, дренируемая скважиной. В образованную трещину жидкостями разрыва транспортируют зернистый
материал (проппант), закрепляющий трещину в раскрытом состоянии после снятия избыточного давления.
В результате ГРП повышается дебит добывающих или приёмистость нагнетательных скважин за счёт снижения гидравлических сопротивлений в призабойной зоне и увеличения фильтрационной поверхности скважины, а также повышается конечная нефтеотдача за счёт приобщения к выработке слабодренируемых зон и пропластков.
Метод ГРП имеет множество технологических решений, обусловленных особенностями конкретного объекта обработки и достигаемой целью. Технологии ГРП различаются, прежде всего, по объемам закачки технологических жидкостей и проппантов и, соответственно, по размерам создаваемых трещин [1].
Проведение гидроразрыва с образованием протяжённых трещин приводит к увеличению
не только проницаемости призабойной зоны, но и охвата пласта воздействием, вовлечением
в разработку дополнительных запасов нефти и повышению нефтеизвлечения в целом.
В данной работе рассмотрена задача о фильтрации жидкости к скважине при наличии уже
созданной трещины ГРП.
1. Постановка задачи. Рассмотрим плоскую задачу стационарной фильтрации однородной
жидкости, обусловленной стоком интенсивности Q , расположенным в центре конфокального
эллипса с полуосями l , δ и фокусным расстоянием f ( f 2 = l 2 − δ2 ).
Предполагается, что пласт имеет постоянную толщину h и проницаемость k1 .
Эллипс ограничивает включение, моделирующее трещину гидроразрыва пласта (ГРП), которая характеризуется величиной проницаемости k2 (рис. 1).
Пусть движение жидкости в пласте и трещине подчиняется линейному закону фильтрации
Дарси [1,2]
k
v = − gradp.
µ
(1)
divv = 0
(2)
Тогда из условия несжимаемости
распределение потенциала φ в области пласта и области трещины ГРП определяется уравнением Лапласа
∇φi = 0, φi =
k i hp i
,
µ
(3)
где p i — давление; µ — вязкость жидкости; h — толщина пласта; индекс i = 1 соответствует внешней области (пласту), i = 2 соответствует трещине.
128
Моделирование фильтрации жидкости при наличии трещины . . .
Перейдём к комплексному потенциалу Φ = φ + i ψ
комплексной переменной z = x + i y = r e i α , где ψ — функция тока рассматриваемого течения. Тогда общее решение задачи (3) будет иметь вид [1]:
+∞
X
Q
ln z + k 1
B n z −2n ,
2π
n=0
+∞
X
Q
Φ2 =
ln z + k 2
D n z 2n .
2π
n=0
(4)
Φ1 =
(5)
В этих выражениях чётные степени z объясняются
центральной симметрией течения, из осевой симметрии течения следует, что коэффициенты B n и D n являются вещественными.
Граница трещины в комплексной форме имеет
вид [1]:
z1 =
µ
¶
´
f eiα
q
f iα ³
1 + q 2 e −2i α ,
+ iα =
e
2 q
2q
e
(6)
q
где q = ll−δ
+δ , 0 É α É 2π.
На линии раздела трещины и пласта давление p
и функция тока ψ должны быть непрерывны, т. е. на
границе (6) должны выполняться следующие граничРис. 1. Пласт, пересеченный вертикальные условия:
ной трещиной гидроразрыва
1) равенство давлений:
1
1
Re Φ1 (z 1 ) = Re Φ2 (z 1 );
k1
k2
(7)
2) условие непрерывности линии тока:
Im Φ1 (z 1 ) = Im Φ2 (z 1 ).
(8)
2. Построение решения. Вдоль линии (6) справедливо следующее представление отрицательной степени комплексной переменной z :
z 1−2n
!2n
Ã
µ ¶−2n
´−2n µ f ¶−2n
³
∞
X
f
k 2k −2i kα
2 −2i α
2n −2i nα
2n −2i nα
=
(−1) q e
1+q e
=
q e
q e
.
2
2
k=0
(9)
Следовательно, ряд по отрицательным степеням z1 в выражении (4) может быть представлен в виде
∞
X
n=1
B n z 1−2n =
∞
X
n=1
´2n
³
.
A n qe −i α
(10)
Ряд по положительным степеням z1 в выражении (5) запишется следующим образом:
∞
X
n=1
D n z 12n
!
µ ¶2n Ã
´
³
∞
X
f
n
n−k
−i α 2k
−i α −2k
C 2n +
C 2n (qe
,
) + (qe
)
=
Dn
2
n=1
k=1
∞
X
(11)
n!
где C nk = k!(n−k)!
— биномиальные коэффициенты.
Так как |q 2 e −2i α | < 1, то вдоль кривой (6) функцию ln z можно разложить как
ln z 1 = ln
´2n
∞ (−1)n+1 ³
X
f
qe −i α
.
+iα+
2p
n
n=1
(12)
129
В. И. Астафьев, Г. Д. Федорченко
Подставляя разложения (10)–(12) в уравнения (7)–(8) и приравнивая соответствующие коэффициенты, получим:
An =
Q (−1)n λ(1 − q 4n )
;
2πk 1 n
1 − λq 4n
(13)
µ ¶2n
f
Q 2λ
f
n
C 2n
= B0 − D 0 +
ln
;
2
2πk 1 1 + λ 2q
n=1
µ ¶2k
∞
X
Q (−1)n+1 λq 4n
f
k−n
C 2k
=
,
Dk
2
2πk 2
n
1 − λq 4n
k=n
∞
X
Dn
(14)
(15)
1
где λ = kk22−k
+k 1 .
Подстановка соотношений (13)–(15) в выражения (4) и (5) дает следующее распределение
комплексного потенциала в области пласта и области трещины ГРП:
Φ1 = k 1 B 0 +
Φ1 = k 2 B 0 +
Q
2π
µ
Q
2π
µ
ln
f
2
+ (1 − λ) ln 2z
f
ln z +
f
2λ
1−λ ln 2q
+
− λ ln ν + (1 − λ)
∞
P
∞
P
m=1
¶
£
¤
4m 2
λ ln 1 + q ν ;
m
³ 2
h
´i¶
λ ln 1 + q 8m + q 4m 4z
−
2
,
f2
(16)
m
m=1
где ν = e i α .
Пусть r w ≪ f — радиус скважины, Rc ≫ f — радиус удалённого контура питания, на котором
задано постоянное давление p c . Тогда при z w = r w e i α , где |z w | = r w ≪ f , распределение (16) даёт
следующее выражение для величины давления на скважине:
pw =
·
¸
∞
X
2λ
Qµ
f
λq 4n
µ
ln r w +
.
B0 +
ln
−2
4n
h
2πk 2 h
1 − λ 2q
n=1 n(1 − λq )
(17)
Учитывая, что давление на контуре питания zc = Rc e i α определяется выражением
pc =
µ
Qµ
B0 +
ln R c ,
h
2πk 1 h
(18)
из соотношений (17) и (18) можно записать выражение для дебита скважины Q с трещиной
ГРП:
Q = Q0
ln rRwc
ln rRwc + S
.
(19)
Здесь Q 0 — дебит скважин без трещины ГРП; S — скин-фактор, отражающий наличие у скважины трещины ГРП:
2πk 1 h p c − p w
Q0 =
;
µ
ln rRwc
µ
¶
∞
X
2λ
q 4n
l +δ
S =−
− (1 − λ)
ln
.
4n
1+λ
2r w
n=1 n(1 − λq )
(20)
На практике при оценке эффективности ГРП широко используется параметр безразмерной
проводимости трещины FC D = kk21δl [3]. Обозначим ε1 = kk12 , ε2 = δl . Учитывая, что ε1 ≪ 1 и ε2 ≪ 1
q
ε2
l −δ
1
выражения для λ = kk22−k
+k 1 , q =
l +δ и FC D можно записать в виде λ = 1 − 2ε1 , q = 1 − ε2 и FC D = ε1 .
В этом случае второе выражение (20) при ε1 → 0, ε2 → 0, но FC D = const, можно представить как
функцию от FC D :
S = − ln
∞
X
1
l
+
.
2r w n=1 n(2nFC D + 1)
(21)
Характер изменения скин-фактора S как функции от FC D приведён на рис. 2. Из рис. 2
видно, что при FC D > 10 величина S меняется слабо, т. е. дальнейшее повышение FC D с целью
увеличения величины дебита скважины Q становится неэффективным.
130
Моделирование фильтрации жидкости при наличии трещины . . .
Зависимость (21) и построенный на её
основе график изменения скин–фактора
S полностью соответствует результатам
работ [4, 5], основанным на обработке
различных эмпирических данных.
3. Модифицированная постановка
задачи. Рассмотрим модифицированную
постановку задачи (1)–(3), позволяющую
наиболее просто найти выражения для
скин-фактора S .
Величину давления p 1 и комплексной
скорости u1 +i v 1 течения жидкости в пласте можно выразить через комплексный
потенциал Φ1 (z) следующим образом:
p1 =
µ
Re Φ1 (z);
k1 h
′
u 1 + i v 1 = −Φ1 (z).
(22)
Рис. 2. Зависимость величины скин–фактора S от величины FC D
Тогда нормальную компоненту скорости течения жидкости на линии раздела трещины
и пласта un можно выразить через Φ1 (z) как
µ
¶
d Φ1
,
u n = −Im
ds
(23)
где z = z1 (s) — уравнение границы трещины в комплексной форме.
С учётом граничного условия на контуре питания (18) выражение (4) для Φ1 (z) можно представить в виде
Φ1 (z) =
∞
X
Q
z
k1 h
pc +
ln
+ k1
B n z −2n .
µ
2π R c
n=1
(24)
Для записи уравнений фильтрации в области, занятой трещиной, усредним уравнения
(1)–(2) по y при |x| < l и запишем их в виде
q(x) =
где q(x) =
k2 h
d p2
w(x)
;
µ
dx
dq
= −u n (x),
dx
(25)
w(x)
Z
0
p
u 2 (x, y)d y ; u n = v 2 (x, w(x)); w(x) = δ 1 − (x/l )2 .
В безразмерной переменной ξ = x/l эти уравнения можно переписать в виде
d p2
µ
=
q(ξ)/FC D
d ξ k1 h
q
1 − ξ2 ;
dq
= −l u n (ξ).
dξ
(26)
Из второго уравнения (26) и выражения (23) для un следует, что
(27)
q(ξ) = Im Φ1 (ξ).
Первое уравнение (26) с учетом (22), граничного условия (7) и условия δ/l ≪ 1 можно переписать как
′
d p1
= Re Φ1 (ξ) = q(ξ)/FC D
dξ
q
1 − ξ2 .
(28)
Следовательно, уравнения (27)–(28) можно записать в виде дополнительного граничного условия на потенциал течения Φ1 (z):
q
′
FC D 1 − ξ2 Re Φ1 (ξ) = Im Φ1 (ξ), |ξ| É 1
(29)
или, после замены ξ = cos α, в виде
131
В. И. Астафьев, Г. Д. Федорченко
′
FC D Re Φ1 (α) + Im Φ1 (α) = 0, 0 É α É π.
(30)
Заменив последнее слагаемое в (24) выражением (10), граничное условие (30) можно записать
как
µ
¶ ∞
∞
X
X
FC D tgα +
2na n sin 2nα +
a n sin 2nα = 0,
n=1
(31)
n=1
где a n = 2πk1 A n /Q .
Из уравнения (31) легко находятся неизвестные коэффициенты a n в представлении для
потенциала Φ1 (z):
¶
µ
(−1)n
1
(−1)n 2nFC D
.
=
1−
an =
n 1 + 2nFC D
n
1 + 2nFC D
(32)
Оставшееся граничное условие (равенство давления p на контуре скважины z w = r w e i α величине p w ) позволяет связать значение дебита скважины Q с величиной перепада давления
p c − p w в виде выражения (19), где значение скин-фактора S вычисляется как
S = − ln
∞
X
l
1
+
.
2r w n=1 n(2nFC D + 1)
(33)
Как видим, выражение (33) для S полностью совпадает с (21), но получено значительно проще. Данная модифицированная постановка задачи фильтрации жидкости с учётом тонких трещиноподобных включений может быть успешно применена в различных задачах: фильтрация
с трещиной ГРП при переменном коэффициенте проницаемости в трещине k2 (x, y), фильтрация
жидкости в пласте с системой трещиноподобных включений и т.п.
Заключение. Таким образом, задача о фильтрации трещины жидкости к скважине при
наличии узкой области с более высокой проницаемостью (трещина ГРП) сводится к задаче
сопряжения двух аналитических функций на границе раздела «пласт – трещина». Наиболее
просто такая задача решается при представлении трещины в виде разреза нулевой толщины,
но конечной преводимости. В работе получена аналитическая зависимость величины скинфактора трещины S от безразмерного коэффициента проводимости FC D , которая соответствует
известным экспериментальным данным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Каневская, Р. Д. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта [Текст] / Р. Д. Каневская. — М.: Недра, 1999. — 212 с.
2. Азиз, Х. Математическое моделирование пластовых систем [Текст] / Х. Азиз, Э. Сеттари. — М.–Ижевск: Ин-т
компьютер. исслед., — 2004. — 416 с.
3. Мукерджи, Х. Производительность скважин [Текст] / Х. Мукерджи. — М.: Schlumberger, 2001. — 184 с.
4. Prats, M. Effect of Vertical Fractures on Reservoir Behavior-Incompressible Fluid Case [Text] / M. Prats // SPE
J. — 1961. — No. 1. — P. 105–118.
5. The Effect of Vertical Fractures on Well Productivity [Text] / W. Mc. Guire // J. of Petroleum Technology. — 1960. —
No. 12. — P. 72–74.
Самарский государственный университет, г. Самара
vlast@ssu.samara.ru
Поступила 15.03.2007
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
17
Размер файла
152 Кб
Теги
моделирование, фильтрация, разрыва, гидравлический, трещин, жидкости, наличие, пласта
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа