close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Особенности распространения нелинейных волн в слое гранулированной среды.

код для вставкиСкачать
Микуляк С.В. / Физическая мезомеханика 16 2 (2013) 79–84
79
УДК 550.34
Особенности распространения нелинейных волн
в слое гранулированной среды
С.В. Микуляк
Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины, Киев, 03680, Украина
Проведено компьютерное моделирование процессов распространения волны сжатия в слое гранулированной среды, находящейся в поле силы тяжести. Показано, что в слое со сферическими гранулами могут формироваться периодические волновые
структуры, параметры которых зависят от размера гранул и толщины слоя. Если слой сдавлен грузом, волновые структуры не
формируются и затухание волны существенно меньше. Также исследованы волновые процессы в слое гранулированной среды с
несферичными гранулами. Отмечено, что для такой среды характерны очень сильное затухание волны, отсутствие процесса
образования волновых структур, при этом такая среда очень чувствительна к начальному напряженному состоянию.
Ключевые слова: нелинейная волна, гранулированная среда, периодическая волновая структура, импульсная нагрузка
Features of nonlinear wave propagation in a layer of granular medium
S.V. Mykulyak
Subbotin Institute of Geophysics, NASU, Kiev, 03680, Ukraine
Computer simulation was performed to study compression wave propagation in a granular medium in a gravity field. It is shown that
in a layer with spherical granules, periodic wave structures can be formed and their parameters depend on the granule size and layer
thickness. If the layer is loaded, the wave structures fail to emerge and wave attenuation is much weaker. Wave processes in a layer of
granular medium with nonspherical granules were also studied. It is shown that the medium is characterized by very strong wave attenuation and by the absence of wave structure formation and is highly sensitive to its initial stress state.
Keywords: nonlinear wave, granular medium, periodic wave structure, impulse load
1. Введение
Процессы распространения волн в гранулированной
среде существенно отличаются от волновых процессов
в однородной сплошной среде. Здесь важную роль играют дискретность среды, ее неоднородность, нелинейный и диссипативный характер взаимодействия гранул,
их переупаковка в процессе деформирования, наличие
цепочек сил, образованных наиболее нагруженными
гранулами, вращательное движение гранул и другие
особенности. Все это приводит к возникновению таких
специфических явлений, как распространение слабых
возмущений вдоль силовых цепочек, и к качественному
изменению волновой картины при увеличении амплитуды волны в связи с переупаковкой гранул [1–4], наличию когерентной и спеклоподобной частей у акустической волны [3, 5], существованию быстрых высокочастотных и медленных низкочастотных волн при высо© Микуляк С.В., 2013
ких амплитудах нагрузок, акустической эмиссии и выделенных частот [6, 7]. Особенности волновых процессов
в гранулированных средах при малых амплитудах исследовались достаточно подробно в работах [1–5, 8],
что касается распространения волн с большими амплитудами, то эти процессы изучены значительно хуже. В
данной работе приводятся результаты численного моделирования распространения сильных нелинейных волн
в гранулированных средах, сгенерированных импульсной нагрузкой.
2. Нелинейные волны в слое гранулированной
среды
Рассматривается двумерный процесс распространения нелинейной волны в слое гранулированной среды,
находящейся в поле силы тяжести. Массив гранул, образующих гранулированную среду, состоит из 14 000 эле 80
Микуляк С.В. / Физическая мезомеханика 16 2 (2013) 79–84
y, м
0.01
0.00
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
x, м
Рис. 1. Массив сферических гранул. Темная полоса — область, в которой вычисляется средняя скорость
ментов сферической формы с гауссовым распределением по размерам с небольшой дисперсией 0.004 мм2
(средний размер элементов составляет r0 = 0.4 мм). Как
и в работах [9, 10], взаимодействие между дискретными
элементами описывается с помощью модели Герца для
упругих тел с учетом кулоновского трения. Сила взаимодействия i-го и j-го элементов Fij может быть разложена на силу Fijn , направленную вдоль линии, соединяющей центры двух элементов, и на силу Fijs , направленную перпендикулярно к этой линии. Нормальная сила Fijn нелинейно зависит от величины сближения
?ij = ri + rj ?
? ( xik ? xkj )2 ,
k =1,2
где xik , xkj — координаты центров, а ri , rj — радиусы
i-го и j-го элементов:
Fijn = C n? ?ij n ij , ? = 3 2,
(1)
где n ij — единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющей центры двух элементов; С n — коэффициент, который согласно закону Герца определяется
как
?1 2
2E ?1 1?
Cn =
? + ? .
3(1 ? ?2 ) ?? ri r j ??
Здесь E — модуль Юнга; ? — коэффициент Пуассона.
Тангенциальная сила Fijs зависит от относительного
сдвига вдоль линии, перпендикулярной к вектору n ij :
w ij n
(2)
Fijs = Cf
Fij ,
wij
где w ij — относительная скорость i-го и j-го элементов:
а
б
в
г
Рис. 2. Зависимость усредненных скоростей Va от времени на расстоянии x = 8 (а), 16 (б), 24 (в), 32 см (г)
Микуляк С.В. / Физическая мезомеханика 16 2 (2013) 79–84
а
81
б
Рис. 3. Спектры зависимостей усредненных скоростей Va от времени на расстоянии x = 24 (а), 32 (б); характерная частота ?s =
= 6 700 Гц
w ij = vi ? v j ? n ij (( vi ? v j )n ij ) +
+ (ri + rj ? ?ij )[n ij Ч (щi + щ j )],
vi и щi — линейная и угловая скорости i-го элемента;
Cf — коэффициент трения. Движение i-го элемента
задается системой дифференциальных уравнений
d 2x
(3)
mi 2i = ? Fij ,
dt
j
d 2 Цi
= ? Mij ,
(4)
Ii
dt 2
j
где xi , Цi , mi , Ii — соответственно радиус-вектор, угловая координата, масса и момент инерции i-го элемента; Mij — момент силы, действующей на i-й элемент
со стороны j-го элемента. Суммирование проводится
для всех j-х элементов, которые контактируют с элементом i.
Частицы взаимодействуют со стенками упруго по
закону Герца для сферы и плоскости. Поршень генерирует волну в результате приложенной к нему в направлении x силы
F = F0 sin 2 (?t t0 ) при t ? t0 ,
(5)
F = 0 при t > t0 .
Система уравнений (1)–(4) решается численно с помощью алгоритма Верле [11]. В расчетах выбирались
следующие значения констант: E = 5.0 ? 1010 Па, ? =
= 0.25, ? = 2.5 ? 103 кг/м, F0 = 40 Н, t0 = 100 мкс. При
такой ширине импульса длина волны ? ? 0.14 м, что
на порядок больше толщины слоя и в 4 раза меньше
длины слоя. В процессе расчета на шести различных
расстояниях от начала координат вычислялись усредненные скорости Va = 1 n ? Lix , где L ix — горизонтальi
ные составляющие скоростей частиц, которые попадают в вертикальные полосы толщиной 5r0 . На рис. 1
показан фрагмент слоя вблизи поршня с одной из полос,
находящейся на расстоянии x = 0.08 м, в которой усредняются скорости частиц.
Полученные в расчетах зависимости усредненных
скоростей от времени для шести значений расстояния
от начала координат свидетельствуют о том, что волна,
сгенерированная импульсной нагрузкой вида (5), в процессе ее распространения очень быстро затухает и со
временем трансформируется в периодическую волну.
На рис. 2 приведены эти зависимости для четырех значений расстояния от начала координат; на рис. 2, в, г
видны периодические колебания. Спектры этих зависи-
y, м
0.008
0.004
0.000
–0.002
0.28
0.29
0.30
0.31
Рис. 4. Поле скоростей в области 28 см ? x ? 32 см в момент времени t = 1.0 мс
x, м
82
Микуляк С.В. / Физическая мезомеханика 16 2 (2013) 79–84
y, м
0.02
0.00
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x, м
0.5
Рис. 5. Слой гранулированной среды, сжатый грузом (темная горизонтальная полоса)
мостей (рис. 3) показывают, что частота колебаний равна ?s ? 6 700 Гц. Анализ поля скоростей свидетельствует о том, что здесь имеет место когерентное движение
частиц среды, т.е. в этой области формируются характерные волновые структуры (рис. 4). Данные зависимости получены для коэффициента трения Cf = 0.2. В
случае если трение между элементами отсутствует, периодические структуры исчезают. Кроме того, волновая
картина слабо зависит от коэффициента трения: при
Cf = 0.1 и 0.5 характерная частота ?s практически не
меняется, хотя с увеличением коэффициента трения периодические колебания становятся более четкими. Эти
факты свидетельствуют о том, что волновые структуры связаны с вращательным движением гранул и диссипацией энергии, поскольку при отсутствии силы трения их вращение практически отсутствует.
Для исследования влияния размера гранул на свойства волновых структур были проведены расчеты распространения волн в массиве со средним размером гранул r0 = 0.2 мм. Для того чтобы толщина слоя оставалась прежней, количество гранул выбиралось равным
64 000. Расчеты показали, что характерная частота периодических колебаний при этом выросла до ?s ?
? 8 600 Гц.
Еще один параметр был предметом исследования
относительно его влияния на параметры волновых
структур — толщина слоя. Увеличенный по толщине в
2 раза слой со средним размером гранул r0 = 0.4 состоял
из 28 000 дискретных элементов. В этом случае характерная частота периодических колебаний уменьшилась
почти в 1.5 раза (?s ? 4 100 Гц).
Таким образом, в результате проведенных расчетов
установлено, что на параметры волновых структур, которые образуются в слое гранулированной среды в поле
силы тяжести, влияют размер гранул, толщина слоя,
наличие силы трения между гранулами и наличие самой
силы тяжести, поскольку в случае ее отсутствия, как
показали расчеты, отсутствуют и периодические
волновые структуры.
3. Волны в нагруженной гранулированной среде
Следующая серия расчетов проводилась для случая,
когда среда находится в напряженном состоянии, создаваемом грузом, помещенным на поверхность гранулированного слоя (рис. 5). На рис. 5 также изображены
темными полосами области, где производилось усреднение скоростей гранул. Сначала система «среда – груз»
приводилась в состояние покоя, для чего вводилась
искусственная вязкость подобно тому, как это делалось
в работе [10], а затем в ней генерировалась волна с
помощью поршня, к которому также прикладывалась
нагрузка (5). Полученные зависимости усредненной
скорости от времени для шести расстояний от начала
координат приведены на рис. 6. Видно, что в этом случае даже для малой нагрузки, которая создается грузом
массой M = 0.01 кг, волновые структуры не образуются
и затухание волны существенно меньше, чем в среде
со свободной поверхностью. В этих расчетах средний
размер частиц составлял r0 = 0.2 мм, а количество частиц — 64 000.
d
Рис. 6. Зависимость усредненных скоростей Va от времени в
слое, сжатом грузом массой M = 0.01 кг, на расстоянии x = 8
(1), 16 (2), 24 (3), 32 (4), 40 (5), 48 см (6)
Рис. 7. Несферическая гранула, d — расстояние между центрами шаров
Микуляк С.В. / Физическая мезомеханика 16 2 (2013) 79–84
а
83
б
Рис. 8. Зависимость усредненных скоростей Va от времени на расстоянии x = 2 (а) и 4 см (б) для среды с несферическими
гранулами
4. Среда с несферическими гранулами
Был рассмотрен также случай распространения нелинейных волн в среде, образованной несферическими
гранулами. Каждая гранула состоит из двух пересекающихся шаров одинакового радиуса, как изображено на
рис. 7. Удобство использования такой формы гранул
состоит в том, что их взаимодействие также можно описывать с помощью модели Герца. Объем и момент инерции такого дискретного элемента легко вычислить интегрированием по двум шарам, исключая сегменты пересечения:
2
Vd = ?( r + b)2 (2r ? b),
(6)
3
?? ?16 5
Id =
r + 8r 3b 2 ?
3 ?? 5
?
1
?
(r ? b)3 (16r 2 + 3rb + b2 ) ? ,
10
?
(7)
где Vd — объем элемента; r — радиус шаров; b = d 2 —
половина расстояния между центрами шаров — параметр, который задает отклонение формы элемента от
сферической; I d — момент инерции.
Массив несферических элементов состоял из 35 100
гранул с тем же гауссовым распределением по размерам, что и для сферических элементов со средним значением r0 = 0.2. При таком количестве гранул и параметре несферичности b = r 2 массив имеет те же размеры, что и для сферических элементов. Волна сжатия
также генерировалась импульсной нагрузкой (5) с аналогичными значениями амплитуды нагрузки и ширины: F0 = 40 Н, t0 = 100 мкс. Расчеты показали, что в
этом случае имело место чрезвычайно интенсивное затухание — уже на расстоянии x = 4 см амплитуда усредненной скорости упала до значения Vam = 1.05 ?10 ?3 м/с
(рис. 8). Если сравнивать со сферическими гранулами,
то такое значение амплитуды было только на расстоянии x = 12 см. При этом, в отличие от сферических гранул, в зависимости усредненной скорости от времени
отсутствуют периодические колебания, следовательно,
волновые структуры отсутствуют. Если такую среду нагрузить грузом массой 0.01 кг, то затухание волны будет менее интенсивным (рис. 9). На расстоянии x = 4 см
в ненагруженной среде амплитуда скорости равна
Vam = 1.04 ? 10 ?3 м/с, а в нагруженной — Vam = 1.51 м/с,
т.е. амплитуды отличаются на три порядка.
5. Выводы
В результате проведенного численного моделирования установлено, что в слое гранулированной среды со
сферическими гранулами, находящемся в поле силы тяжести, могут формироваться периодические волновые
структуры, параметры которых зависят от размера гранул и высоты слоя. Величина коэффициента трения
между гранулами не влияет на параметры периодических волновых структур. При отсутствии трения, когда
также отсутствует вращательное движение гранул, волновые структуры не возникают. Если слой находится в
напряженном состоянии, создаваемом грузом, помещенным на поверхность гранулированного слоя, в отсутствии свободной поверхности, волновые структуры
Рис. 9. Зависимость усредненных скоростей Va от времени в
слое, сжатом грузом массой M = 0.01 кг, на расстоянии x = 4
(1), 8 (2), 12 (3), 16 (4), 20 (5), 24 см (6) для среды с несферическими гранулами
84
Микуляк С.В. / Физическая мезомеханика 16 2 (2013) 79–84
не формируются и затухание волны существенно меньше, чем в среде со свободной поверхностью.
Для среды с несферичными гранулами характерно
очень сильное затухание волны. В такой среде не наблюдалось образования волновых структур. Среда очень
чувствительна к начальному напряженному состоянию.
Даже при небольшой нагрузке среды (масса груза —
0.01 кг) затухание волны становится существенно менее
интенсивным.
Литература
1. Liu C.-h., Nagel S.R. Sound in sand // Phys. Rev. Lett. – 1992. –
V. 68. – P. 2301–2304.
2. Liu C.-h., Nagel S.R. Sound in granular material: Disorder and nonlinearity // Phys. Rev. B. – 1993. – V. 48. – P. 15646–15650.
3. Somfai E., Roux J.-N., Snoeijer J.H., Hecke M., Saarloos W. Elastic
wave propagation in confined granular systems // Phys. Rev. E. –
2005. – V. 72. – P. 021301-1–021301-15.
4. Owens E.T., Daniels K.E. Sound propagation and force chains in granular materials // EPL. – 2011. – V. 94. – P. 54005-p1–64005-p6.
5. Jia X., Caroly C., Velichky B. Ultrasonic propagation in externally
stressed granular media // Phys. Rev. E. – 1999. – V. 60. – P. 1863–
1866.
6. Вильчинская Н.А. Волна переупаковки песков и акустическая эмиссия // Докл. АН СССР. – 1982. – Т. 262. – № 5. – С. 569–572.
7. Вильчинская Н.А., Николаевский В.Н. Акустическая эмиссия и
спектр сейсмических сигналов // Изв. АН СССР. Физика Земли. –
1984. – № 5. – С. 91–100.
8. Mouraille O., Luding S. Sound wave propagation in weakly polydisperse granular materials // Ultrasonics. – 2008. – V. 48. – P. 498–505.
9. Mykulyak S.V., Vakhnenko V.O., Danylenko V.A. The wave spectral
evolution in a discrete medium with nonlinearity // Proc. X Int. Congr.
Sound and Vibration, 7–10 July 2003, Stockholm, Sweden. –
Stockholm: IIAV, 2003. – V. 6. – P. 3573–3579.
10. Микуляк С.В. Моделирование процессов динамического деформирования дискретной среды под воздействием импульсной нагрузки // Физ. мезомех. – 2007. – Т. 10. – № 6. – С. 69–74.
11. Swope W.C., Andersen H.C., Berens P.H., Wilson K.R. A computer
simulation method for the calculation of equilibrium constants for the
formation of physical clusters of molecules: Application to small water clusters // J. Chem. Phys. – 1982. – V. 76. – No. 1. – P. 637–649.
Поступила в редакцию 28.09.2012 г.,
после переработки 14.11.2012 г.
Сведения об авторе
Микуляк Сергей Васильевич, к.ф.-м.н., зав. отд. Института геофизики НАН Украины, mykulyak@ukr.net
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
322 Кб
Теги
особенности, нелинейные, среды, волна, распространение, гранулирования, слоев
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа