close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численное моделирование динамических процессов в Cолнечной атмосфере.

код для вставкиСкачать
?????????????? ??????????
??? 8, ? 2, 2003
????????? ?????????????
???????????? ????????? ? C????????
?????????
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
???????????? ??????????????? ???????-????????????? ????????,
??????
e-mail: ds@kgtei.kts.ru
The article is devoted to numerical modelling of non-stationary processes in the solar
atmosphere. For the description of atmospheric plasma the choice of approximation of
one-fluid gas dynamics taking into account the radiation heat conductivity and thermal
conduction processes is proved. The explicit conservative scheme for a numerical solution of
the written out equations set is constructed. The used interpolation algorithm of volumetric
forces allows to reduce errors of account stationary solutions found by relaxation method.
The numerical results of test problem and the solar atmospheric heating with overturning
acoustic waves problem are indicated.
????????
? ????????? ????? ??? ???????? ????????? ????????? ????????? ?????????? ???????????? ?????? ?????????? ?????????????, ??? ??? ?????????? ???????????? ?????? ???
???????? ?????????? ?????????? ????????. ? ???????? ??????? ????? ???????? ????????? ??????: ?????? ????????????? ?? ?????? ???????????????? ?????????? ?????????
???????? ???????? ?????? ?? ?????? ?????????? ? ????????? ???????????? ?????????? [1]; ??????? ????????? ????????? ????????????????? ??? ??????????????? ? ?????????????????? ????? ????????????? ??????? [2 ? 4]; ?????? ????????? ?? ??????????
??????????? ??? ???????????? ?????????? [5, 6]; ???????? ??????? ????????? ????????
? ???????? ???????? ????????? ????????? [7] ? ?????? ?????? [8].
????????? ?????? ????????? ???????????? ????????????? ???????????????? ??????? ? ????????? ?????????. ????? ???????? ?????? ???????? ? ?????????? ??????????,
????????????? ??? ??????????? ???????? ?????????????? ?????????? ?????????, ? ???????????? ??????? ???????????? ?? ???? ???????????? [8]. ? ????????? ?????? ?????????
?????????? ????? ??? ??????? ????????? ??????? ????????? ??????? ???????? ?? ????
????????? ????? [9] (???????????? ??? ??????? ????????? ?????? ????) ? ???????????
????????????? ???????? ? ?????? ????????? ????????????? ? ????????? ????????????? ?
?????????? ???????????? ?????????????? ???.
? ????. 1 ????????? ???????? ?????????? ?????????? ????????? ????????? ? ????????? ????? ?????????????? ?????? ??? ?? ????????. ? ????. 2 ???????? ?????????
c ?. ?. ???????, ?. ?. ???????, 2003.
░
74
????????????? C???????? ?????????
75
??????? ????????? ??????? ???????? ? ?????? ????????, ????????????????, ??????????
? ???????? ???????? ??????. ??????? ?????????? ??????? ????????? ??????? ???????? ????????? ????????? ????. 3?5. ? ????. 6 ??????????? ?????? ? ??????? ????????????
???????, ?????????? ??????? ????????????. ?????????? ???????? ???????? ????????? ?
????. 7. ? ???????? ??????? ????????????? ?????????? ????? ? ?????? ??????????? ??????
? ???????? ????????? ?????????? ? ?????? ????????????????? ????????????? ???????. ?????????? ???????? ???????????? ? ????. 8. ? ?????????? ??? ????? ??????????
???????????.
1. ?????????? ????????? ????????? ?????????
????????? ????????? ??????? ? ???????? ?? ?????????-???????? ??????, ?????????? ?????? ??????? ???????? ? ????. 1. ????????????? ???????????? ????????? ? ?????????
????????? ??????????? ???, ??? n(Si) = 106 ???3 [10]. ???????? ? ????????????? ?????? 104 ? ??????? ?? ????????. ???????? ????????? ?????????? ?????????? ?????????
????????? ? ?????? ?????? ?????. ??? ??????? ?? ????. 2, ??? ????????? ???????????
???????? ?????????? ?????? ????????? ? ??????????? ?? ??????.
????????? ?????? ??????? ?????? ?? ????????? ?? ??? ???????. ?????????? ????????? ???????? ?????????. ?? ?????? ???????? ?????? ??????? ??????????? ??????
? ???????????? 6600 K, ? ??????? ???????? ? ???? ?????????????? ????????, ??? ??????????? ?????? ?? 4140 K ?? ?????? ?????? [1]. ???? ???? ??????????, ? ???????
??????????? ?????????? ?? ???????? ??????? 105 K. ??????? ??? ??????????? ???????
???????. ??? ??? ??????? ?????? ??????????? ?? ????? ?????????? ???????????????.
????? ????????? ???????? ????? ????????? ?????????? ????????? ?????, ???????? ????????? ???????? ????????? ???????? ? ?????? ????????? ?????? ????? (???????? ??????
???????). ????????? ? ???????? ??????? ? ???????? ????? ?????????, ??? ??????? ??????????? ?? ?????????????? ??????. ???????????????? ? ???????? ? ??? ????????????
???? (??. ????. 2). ?????? ?????????? ??? ??????? ???????, ? ??????????? ????????? ?????????? ??? ????, ????? ????????? ??????????? ???????????????? ?? ????????,
??????????? ??? ??????? ?? ??????? ??????????? ? ??????? ????? ??????????, ??? ????????? ?????? ????? ????. ????????? ?? ?????????? ???? ? ???????? ? ???????????????? ?????????. ? ?????? ???????????????? ?????? ???????????? ????. ?????? ??????
????????????? ??? ???????????? ?????????????? ????? ????????? ?????? ??-?? ??????
???????? ????????????????.
???????? ????????? ????????? ????????? ????????? ? ????. 2. ????? х ? ????????
???????1
?????????? ?????? ?????????-???????? ??????
???????
n, ???3
???????
n, ???3
H
He
C
N
O
Ne
Na
3.32 и 1010
1.96 и 109
1.17 и 107
3.16 и 106
2.04 и 107
2.46 и 106
5.0 и 104
Mg
Al
Si
S
Ca
Fe
Ni
8.5 и 105
8.3 и 104
1.0 и 106
6.17 и 105
7.08 и 104
2.19 и 105
1.95 и 104
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
76
???????2
??????????? ????????? ?????? ????????? ????????? ?? ????????? ???????
h, ??
p, ???/??3
T, K
?, ?/??3
х, ?/????
?
g, ??/?2
2.00 и 1010
4.00 и 109
1.00 и 109
4.05 и 108
2.64 и 108
2.48 и 108
2.29 и 108
1.85 и 108
8.63 и 107
8.01 и 107
5.44 и 107
1.97 и 107
3.03 и 106
1.10 и 10?3
3.50 и 10?3
5.02 и 10?3
5.64 и 10?3
5.90 и 10?3
6.14 и 10?3
7.96 и 10?3
6.52 и 10?2
6.32 и 101
1.05 и 102
1.21 и 103
3.26 и 104
1.14 и 105
2.60 и 106
1.85 и 106
1.31 и 106
9.30 и 105
5.11 и 105
5.91 и 104
2.00 и 104
7.80 и 103
5.39 и 103
5.15 и 103
4.14 и 103
5.06 и 103
6.66 и 103
3.13 и 10?18
1.41 и 10?17
2.93 и 10?17
4.75 и 10?17
9.42 и 10?17
1.05 и 10?15
4.30 и 10?15
1.19 и 10?13
1.82 и 10?10
3.19 и 10?10
4.55 и 10?9
1.00 и 10?7
2.60 и 10?7
0.617
0.620
0.635
0.651
0.678
0.838
0.897
1.18
1.29
1.29
1.30
1.30
1.26
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.58
1.65 и 104
2.45 и 104
2.66 и 104
2.71 и 104
2.72 и 104
2.72 и 104
2.72 и 104
2.73 и 104
2.73 и 104
2.73 и 104
2.74 и 104
2.74 и 104
2.74 и 104
h, ??
?, ??
1010
2.00 и
4.00 и 109
1.00 и 109
4.05 и 108
2.64 и 108
2.48 и 108
2.29 и 108
1.85 и 108
8.63 и 107
8.01 и 107
5.44 и 107
1.97 и 107
3.03 и 106
1010
2.12 и
1.01 и 1010
6.43 и 109
4.38 и 109
2.30 и 109
2.16 и 108
6.80 и 107
2.01 и 107
1.27 и 107
1.21 и 107
9.72 и 106
1.19 и 107
1.60 и 107
?
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
8.66 и 10?1
2.23 и 10?5
1.70 и 10?9
4.06 и 10?10
1.87 и 10?13
2.32 и 10?10
5.88 и 10?7
?, ??
108
6.78 и
8.72 и 107
2.27 и 107
7.37 и 106
1.16 и 106
1.41 и 103
4.21 и 101
2.77 и 10
1.81 и 10?3
1.03 и 10?3
7.24 и 10?5
3.28 и 10?6
1.27 и 10?6
Re
Cl
1.24
4.60
1.11 и 101
2.30 и 101
7.55 и 101
5.21 и 103
5.32 и 104
2.08 и 105
1.92 и 108
3.21 и 108
3.68 и 109
9.90 и 1010
3.48 и 1011
3.17 и 10?2
1.34 и 10?1
3.42 и 10?1
7.20 и 10?1
2.34 и 10
1.32 и 102
5.17 и 102
5.68 и 102
4.81 и 105
8.01 и 105
9.20 и 106
2.47 и 108
8.71 и 108
?????; ? ? ?????????? ????????; ? = RT /хg ? ????? ????? [8] (?????? ?????????????
?? ??????? r0 = 6.959 и 1010 ??); ? = ni /na ? ??????? ????????? ??????; ? ? ???????????
????? ??????? ???????; Re ? ????? ??????????; Cl ? ????? ?????????. ??????? ????????? ?? ?????? ????? [10 ? 12]. ???? ?????? ??????????, ????? ??????? ??????????????
?????? ??? ???????? ?????????? ?????????, ??????????? ? ????????? ?????????. ??
???? ????????? ?????, ?????????????? ? ????. 2, ????? ??????? ?????? ? ????? ??????
???????????? ????????????????? ???????? ? ????? ????? ?1 , ??????? ????????? ??????????? ??????? ????????. ????????? ? ????????? ? ?????????? (T < 105 K) ?????
????????? ??????????, ? ???????????????? ??????? ????????? ?????? ? ???????? ? ?????????? ??????????? ???????: ??????????? ???????????????? ?? ??????? ?? ?????????, ?
?? ????? ??? ???????????????? ? ??????? ?????? ?? ???????????????, ??-?? ???? ???? ???????????????? ??? ????????????? ??????????? ?????? ? ??????????? ????????? ??????.
? ????????? ?????? ??????? ???????? ????? ???????? ????????? ?????????????. ????? ??????? ?????????, ??? ???????, ????? ??????, ? ??????????? ???????? ??????????
1
? = p/(?g) = p/(dp/dr) ? ???????? ?????, ?? ??????? ????????? ? ???????? ??????????? ? e ???
??-?? ???????? ???? ??????? ? ???????? ????????????.
????????????? C???????? ?????????
77
??????? ? ??? ????? ?????? ??????? (?????????? ??????? ???????? ???????? ?????
??????? ? ?????? ???? ???????? ??????? 100 ?? ?????? ????????? [4]). ?????????????,
??? ???????? ????????? ????????? ???????? ? ?????? ??????????? ????? ????????????
??????????? ???????? ?????? [11 ? 13]. ??? ???????? ????????? ????????????? ??? ??????? ??????? ????????? ???????? ??? ????? ??????? (??? ???????? ??????????? ??????
?? ???) ? ?????????? ???? (h ? [0.500] ??) ????? ???????????? ??????????????? ???????????, ????????? ??????????? ?????????? ?????? ????????? ?????? ? ??????? ???? [14].
????????? ????????? ?? ????????? ? ????????? ?????????? ?????????????????? ?????????? (???), ??????? ??????? ????????? ??????, ???????????? ?????????? ? ????????? ????? ?????????? ?????????? ??????????????? ?? ????????? ??????? ????????? ?
???????????? ? ?????? ???? ???????? ???????????????? ????????? ??? ?????????????
???????? ?????????? ??????????. ? ????????? ?????? ????????? ?????????????? ? ???????? ??????????? ??????, ? ???????????? ??????????? ?? ???? ???????????????? ??????
????????? ???????? ??????? ????????????. ??? ?????????? ????? ???????? ????????????,
? ? ???? ?????? ??????? ????????? ?????? ???????????? ?? ??????? ???????? [15]. ???????? ???????? ?????? ??? ?????? ???????????? ?????????? ??????? ? ??????? [11 ? 13].
??????? ?? ??????? (????????????) ???????????? ?????????? ? ?????????? ?????????
?????? ??? ?????? ??? [16, ??. ????????????], ??????? ?? ????????????? ?????????? ???
???????????????, ??? ???????????? ?????????? ? ????????? ??? ?? ??????? ????????????? ???????? [17].
?? ?????????????? ??????, ????????? ????????? ???????? ? ???????????? ??????? ?????????????? ????????. ???????? ????????? ?????????? ? ???????????? ??????? (??????????? ??? ??????????), ?????????? ???????? ? ????????? ???? (?????????
?????, ???????, ??????????? ?????), ? ????? ??????? ???????? ? ????????? (????????????, ??????????? ??????????, ???????) [8]. ??? ??? ??????? ? ???????????? ???????
???????????, ? ??? ?? ??????????? ???????? ?????????? ?????? ?????? ??? ??????? ?
????????? ??????????.
2. ???????? ??????? ?????????
??????? ??????? ????????? ?????????????? ???????????? ? ?????? ????????, ????????????????, ???????? ??? ?????????? ? ???????? ???????? ??????:
?U
?
?
+
(Fid + Fvisc + Fheat ) +
(Gid + Gvisc + Gheat ) = L + W.
?t
?x
?y
(1)
????? U ? ?????? ???????????????? ?????????? ?????; F ? ?????? ?????? ????? ??? x;
G ? ?????? ?????? ????? ??? y; W ? ??????, ??????????? ???????? ??????; L ? ??????, ??????????? ???????? ??????????. ?????? id ???????? ??????????????? ??????????
???????, visc ? ?????? ??????????? ???????, heat ? ?????????, ??????????????? ????????????????. ?????????????? ?????? ???? ???????? ?????????:
Й
й
?(u2 + v 2 )
,
U = ?; ?u; ?v; ?? +
2
ХЙ
й
х
?(u2 + v 2 )
T
2
,
Fid = ?u; p + ?u ; ?uv; u p + ?? +
2
T
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
78
й
х
ХЙ
?(u2 + v 2 )
2
= ?v; ?uv; p + ?v ; v p + ?? +
,
2
х
Х
х
Х
й
2
?u ?v
?u
T
+
? ? ? div v; ??
+
,
Fvisc = 0; ?2?
?x
3
?y ?x
х
Х
х
ХЙ
?u2
2
?u ?v
+u
? ? ? div v ? ?v
+
??
,
?x
3
?y ?x
й
х
Х
х
Х
?u ?v
?v
2
T
Gvisc = 0; ??
; ?2?
+
+
? ? ? div v;
?y ?x
?y
3
х
Х
х
ХЙ
2
?u ?v
?v 2
+v
? ? ? div v ? ?u
+
,
??
?y
3
?y ?x
Й
й
Й
й
?T
?T
T
T
, Gheat = 0; 0; 0; ??
,
Fheat = 0; 0; 0; ??
?x
?y
GTid
LT = {0; ?gx ; ?gy ; ?(ugx + vgy )} ,
WT = {0; 0; 0; ?Wrad (T, ?)} .
? ???? ?????????? ?, p, ?, T ?????????? ?????????, ????????, ???????? (?? ???????
?????) ?????????? ??????? ? ??????????? ??????; v = (u, v) ? ???????? ?????; ?, ? ?
???????????? ???????? [18]; ? ? ??????????? ????????????????; g = (gx , gy ) ? ??????
????????? ?????????? ???????; Wrad ? ???????? ???????? ???????? ??????. ? ??????
???????????? ?????????? ? ?, ? Wrad ???????? ????????? ?????? ?? ???????????.
3. ?????????? ?????
??????? ???????? ????????? ?????????? ????? (?max /?min └ 1022 ??? ??????????? ?????????????? ????????? ??????? ??????? 104 ?? ??? T ? 4000 K) ??????????? ??????????? ?? ????????, ???????????? ??? ????????? ??????? ?????????? ??????? ?????????,
???????? ? ?????????????? ??????? ???????. ??? ?????????? ???????? ???????? ?????????? ???????????? ????? ???????, ????? ????????? ?????????? ????????? ???? ???????????? ?? ????? ???????? ???????, ???????????? ??????? ? ????? ??????? ? ?.?.
(??., ????????, [19]). ? ?????? ????? ????? ? ????, ??? ????????? ???????? ?????????? ?
????????? ????????????? ?????????????? ??????????? ?? ??? ?? ??????? ?????? ?????
????????, ??? ???????? ???????, ??? ??????? ???????????? ????? ??????? ?????????
????? ????? ??????? ????? ?????????????? ?????.
??-?? ??????? ?????????? ????? ???????? ??????????????????, ??????? ???? ??????
?????????? ??? ??????????????? ????? ????? ?????????, ???????? ?? ????????????????? ??????. ??? ????????? ?????, ???????????? ????? ?????? ?????? ????????? ???????
?????. ??? ????? ?????????? ????????? ????????: ????????????? ???? ? ??????? ???????
????????? (????? ????? ? ?????????), ????????????? TVD-??????????? ???? ? ??????? ???????? ????????????? ? ????????????? ????????????? ???????? ??? ???????????
?????????? ?? ??????? ??????? ????.
????????????? ??????????? ???? [9] ? ???? ???? ????? ? ????????? ?????????? ???
???????????????, ??? ? ????? ????? ? ????????? ?????????? ??????? ??????????:
n+1/2
Ui+1/2, j+1/2 =
б
1А n
Ui, j + Uni+1, j + Uni, j+1 + Uni+1, j+1 + . . .
4
????????????? C???????? ?????????
79
┤
1 │ n+1/2
n+1/2
n+1/2
n+1/2
=
Ui?1/2, j?1/2 + Ui+1/2, j?1/2 + Ui?1/2, j+1/2 + Ui+1/2, j+1/2 + . . . ,
4
??-?? ????? ?? ???????????? ???????, ??? p, ? ? exp(?r/?), ?????????? ????????????
???? ????? ?? ?????????, ??????? ???????? ???????:
Un+1
i, j
n+1/2
?i▒1/2 = ?i
1 + exp(▒hx /?)
,
2
?i?1/2 + ?i+1/2
= ?i (1 + 0.5ch (hx /?)),
2
d?
= 0.5?ch (hx /?)? ?1 .
dt
???? ?????? ?????????? ????????????? ????????? ????????????? ???????, ? ??? ???????
????????? ????????????? ????? ???? ????? ? ????????? ??? ??????? ??????? ????????? ???? (1) ??? ??????????????? ?????????. ????? ?? ??????? ????????? ????????
???????????????? ? ????????? ????? ? ?????? ??????????
х
х
Х
х
ХХ
1
hx
hx
?i+1/2 =
?i и exp
+ ?i+1 и exp ?
,
2
2?i
2?i+1
?n+1
=
i
?? ??? ?? ???????? ?????????? ?????????, ?????? ???????? ???????? ????? ????? ?? ????????, ???????????????? d?/dx. ??? ??? ??? ?????????? ??????????? ???? ??????????
??????? ??????? ??????? ?????????? ?????????????? ????? ? ??????? ??????? ?????????, ?? ??? ???????? ????? ?????, ????????????? ????????????? ???????? ??? ??????????
??????????????? ?? ??????? ?????? ????? ???????? ????? ??????? ? ???????? ???????. ? ????? ? ???? ??? ??????? ???????????? ????? ??????? ????????? ??????? ?????
????? ??????? ??????? ?????????????, ??????????? ? ?????????? ?????? ? ????? ?????
? ?????????. ???????? ????? ???????????? ??? ??????? ? ??????????? ?????, ??????????????? ??? ??????? ????????? ?????? ???? ? ?????? [9].
???????? ???? ?????????? ????? ?????????? ?? ?????????? ?????? [20], ??? ????????,
??? ??? ????????????? ?????? ???????? ? ????????? ??????? ??? ??????????? ???????
?? ?????? ???????? ??????? ?? ????????? ????? ?????????? ?????? ?????????? ??????
?? ???????? ??????. ?????? ??? ?? ??????? ? ?????? ????? ?????????? (????????? ??
????????????? ????????????? ??????? ? ????????? ???????? ???????? ? ????????? ????????).
n+1/4
n+1/4
??? ?? ??????? ?????? ?? ??? ?????. ?? ?????? ??????? ???????? Ui, j+1/2 ? Ui+1/2, j
?? ??????? ?????????? ?????? ?? ??????? ??????:
б
б
1А n
? А
Ui, j + Uni, j+1 +
G(Uni, j ) ? G(Uni, j+1 ) ,
2
4hy
х
Х
б
б ?
б
? А
1А n
n
n
n
n
Ui, j + Ui+1, j .
+ Ui+1, j +
F (Ui, j ) ? F (Ui+1, j ) + L
4hx
4
2
n+1/4
Ui, j+1/2 =
n+1/4
Ui+1/2, j =
1А n
Ui, j
2
n+1/2
?? ?????? ???? ???????????? ???????? Ui+1/2, j+1/2 :
б
1А n
Ui, j + Uni+1, j + Uni, j+1 + Uni+1, j+1 +
4
│
┤
┤
? │
?
n+1/4
n+1/4
n+1/4
n+1/4
F (Ui, j+1/2 ) ? F (Ui+1, j+1/2 ) +
G(Ui+1/2, j ) ? G(Ui+1/2, j+1 ) +
+
2hx
2hy
n+1/2
Ui+1/2, j+1/2 =
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
80
?
+ L
2
х
Х
б
1А n
n
n
n
Ui, j + Ui+1, j + Ui, j+1 + Ui+1, j+1 .
4
? ?????????????? ??? ???????? ????????? ???????:
n
Un+1
i, j = Ui, j +
┤
? │
n+1/2
n+1/2
n+1/2
n+1/2
F (Ui?1/2, j+1/2 ) + F (Ui?1/2, j?1/2 ) ? F (Ui+1/2, j+1/2 ) ? F (Ui+1/2, j?1/2 ) +
+
2hx
┤
? │
n+1/2
n+1/2
n+1/2
n+1/2
+
G(Ui?1/2, j?1/2 ) + G(Ui+1/2, j?1/2 ) ? G(Ui?1/2, j+1/2 ) ? G(Ui+1/2, j+1/2 ) +
2hy
Х
х
б
1А n
n+1
.
+? L
Ui, j + Ui, j
2
(2)
????????? ??? ????????? ??????? ??-?? ????? L((Uni, j + Un+1
i, j )/2), ?? ??? ???????? ????? ????? ??????? ????????????, ??? ??? ?????? ?????????? ??????? L ????? ????, ?
????????? ??????? ?????? ?? ????? ????????? ????????? ??????? U.
4. ???? ????????
??? ??????? ?? ?????? ????. 2, ???????? ???????? ? ????????? ????????? ????? ????,
?? ??????????? ??????? ??????? ??????. ??? ?? ????? ??? ??????????? ?????????? ??????????? ??????? ????? ???????? ? ????? ??????????? ????????? ????????????? ????????.
?????? ????????? ??????? ????????? ????? ????????? ?? ??? ????? ? ???? ????? ???????? ??????????? ?????????? ?????? ?????? ?? ??????????? ??????, ??? ???? ?????
?????????? ??????????? ??????????? ??????? ? ??????? ??????? ?????? ?? ????? ?????????? (?????? 1), ? ?? ????? ??? ?????? ?????? ????????? ???????? ?????????? ?????,
?????? ??? ??????????? ??????????? ?????? ????????? ??????????? (?????? 2):
Х
х
Х Й
й
х
?v
?v
?u
4
?u
4
T
?+?
; ?? ; ??v
?u
?+?
F1 = 0; ?
,
3
?x
?x
?x
3
?x
й
х
Х
х
Х Й
?u
?u
4
?v
4
?v
T
G1 = 0; ?? ; ?
?+?
; ??u
?v
?+?
,
?y
3
?y
?y
3
?y
й х
Й
Х
х
Х
2
?u
?u
?v
2
?v
T
,
F2 = 0;
???
; ?? ; u
???
? ?v
3
?y
?y
3
?y
?y
й
Й
х
Х
х
Х
?v
?v
2
?u
2
?u
T
G2 = 0; ?? ;
.
???
; v
???
? ?u
?x
3
?x
3
?x
?x
n+1/2
???????? ? ?????? F2 , G2 ??????????? ???????????????? ????? Ui▒1/2, j▒1/2 :
и
?u
?x
И
и
?u
?y
И
n+1/2
=
hx
i, j+1/2
i+1/2, j
n+1/2
ui+1/2, j+1/2 ? ui?1/2, j+1/2
n+1/2
=
,
n+1/2
ui+1/2, j+1/2 ? ui+1/2, j?1/2
hy
,
и
?v
?x
И
и
?v
?x
И
n+1/2
n+1/2
=
vi+1/2, j+1/2 ? vi?1/2, j+1/2
=
vi+1/2, j+1/2 ? vi+1/2, j?1/2
hx
i, j+1/2
n+1/2
i+1/2, j
,
n+1/2
hy
.
????????????? C???????? ?????????
81
???????? ? ?????? F1 , G1 ??????????? ???????????????? ????? Uni, j , Uni▒1, j , Uni, j▒1 :
и И
и И
n
n
uni+1, j ? uni, j
vi+1,
?u
?v
j ? vi, j
,
,
=
=
?x i+1/2, j
hx
?x i+1/2, j
hx
и И
и И
uni, j+1 ? uni, j
vi,n j+1 ? vi,n j
?u
?v
=
,
=
.
?y i, j+1/2
hy
?x i, j+1/2
hy
??? ??????????? (? ??? ????? ? ?????????? ??????????? ??????? F1 , ..., G2 ) ??????????? ???????????? ??????????, ?? ?????? ?? ?????????? ???????????? ????????? ??
?????????, ? ?????? ?? ??????? ? ?? ????? ???? ?? ???????. ???????????????? ???????
?? ????? ?? ????????, ? ?????????? ??????? ????????????? ?? ??????? ?? ??????? ?????????????, ??? ??? ????????????? ???????? ???????? ?????? ??? ?????????? ??????????
??????? ?? ???????? ??????? ????.
? ???????? ????? ?????????? ????????????? ??????? ? ?? ??????????? ?????????? ??
n+1/2
?????????????? ???? (3), ????? ??????????? Ui▒1/2, j▒1/2 .
5. ???????? ?????????? ? ????????????????
? ????????? ?????? ? ???????? ??????????? ???????? ? ????????? ?????? ?????? ????????? ?????? ? ?????????? ? ??????, ??????? ??????? ????????? ??????????? ??????
??????????? ? ??????????? ???????? ??????. ???????? ????????? ?? ??????? ??????
?????? ????????? ? ????. 1 ??????????? ???????, ??????? ? ??????? [11?13].
? ???????? ?????????? ?????????????? ?????????, ?????????? ?????????????, ??-??
???????????????? ? ????????? ????????? ????????? ????? ???????. ????????? ?????????? ??????? ?????? ????? ??? q = (q (x) , q (y) ), ?????
(x)
qi+1/2, j = ?? (0.5(Ti+1, j + Ti, j ))
(y)
qi, j+1/2 = ?? (0.5(Ti, j+1 + Ti, j ))
(x)
(x)
(y)
Ti+1, j ? Ti, j
,
hx
Ti, j+1 ? Ti, j
,
hy
(y)
n
qi+1/2, j ? qi?1/2, j
qi, j+1/2 ? qi, j?1/2
wi,n+1
j ? wi, j
=?
?
? Wrad (T )nH ne .
?
hx
hy
????? w ?????????? ????????? (?????????) ?????????? ??????? U; nH = ?H /mH ? ???????????? ????????; ne ? ???????????? ??????????. ???????????? ?????????? ?????????
?? ??????? ??????? ????? ?????????? ??????????? ?????? ? ????????????????? [12], ??
??????????? ?? ??????????? ????????? ?? ???. 1. ??????????? ???????????? ???????????????? ?? ??????????? ???? ?? ???. 2. ??? ????????? ???????????? (ne ┐ nH ) ???????????????? ???????????? ???????????? ???????, ??? ??????? ???????????? (ne ? nH )
???????? ????? ???? ?????????. ??????????? ???????? ???????? ?????? (???????????
? ne nH ) ?? ??????????? ?????????? ?? ???. 3.
6. ??????????? ????????????? ???????
??? ??? ? ????? ????? ? ????????? ???????? ?? ????????? ???? ?? ??????? ????????????
?????? ??? ??????????? ???????, ??? ????? ????????? ?? ?????????? ? ????. 3 ?????????? ?
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
82
???. 1. ??????????? ???????????? ??????????
?? ???????????.
???. 2. ??????????? ???????????? ???????????????? ?? ???????????.
???. 3. ??????????? ???????? ???????? ?????? ?? ??????????? [12].
???????? ????? ?????. ??? ?? ????? ???????? ????????????? ??????? ???????? ? ???????
??????????? ??????? ? ? ?????????? ???????????? ??????? ???????? ?????????? ?? ????. ?????????????, ???????? ?????????????? ??? ???????????? ????? ??????? ?????????
???????? ????????? ???? ??????????? ??????? ?? ????????? ???? ?? ???????:
┤
? │
n+1/2
n+1/2
n+1/2
n+1/2
F (Ui?1/2, j+1/2 ) + F (Ui?1/2, j?1/2 ) ? F (Ui+1/2, j+1/2 ) ? F (Ui+1/2, j?1/2 ) +
2hx
┤
? │
n+1/2
n+1/2
n+1/2
n+1/2
+
G(Ui?1/2, j?1/2 ) + G(Ui+1/2, j?1/2 ) ? G(Ui?1/2, j+1/2 ) ? G(Ui+1/2, j+1/2 ) +
2hy
Х
х
б
1А n
n+1
Ui, j + Ui, j
= 0.
+ ?L
2
????????????? C???????? ?????????
83
??????? ???????? ????? ???? ?? ????????? ????? ?? ???????, ? ?? ????? ??? ?????
?????????? ?? ???? ?? ???????? ??????? O(? /2). ??????? ???????? ??????????? ??????n+1/2
??????? ??????? ??? ????????????? ???????? ???????????? U ??? ??????????? Li+1/2
???????? ?? ???. 4. ???????????? ????????? ?????? ?????????: g = ?3, hx = hy = 10?2 ,
? = 10?4 , ? = ? = 2и10?3 и ?, p0 = 0.99985, ?0 = 0.99991, ? ? 0.5. ?????, ??? ???????? ?
????? ????? ?? ??????? ????? ????? ?????????? ????????, ? ?? ??????? ?? ???? ????????
?????????? ??????? ?? ???????.
???? ?????? ?? ???? ?? ???????? ????????, ???? ?? ????????? ?? ????? ????? ??
??????? ???????? ???????? ?? ??????????????, ????? ??????????????? ??????, ??? ??????????? ??????? p, T , ? ? ?????????? ?????????????. ? ????? ????????? ???? ??????????
???? ???????? ????????? ???????????? ??? ??????????? L ? ????????? ?????.
???. 4. ?????????? ???????????? ??????? ???
????????????? ??????????? T (x) = 0.156347.
???. 5. ???????????? ?????????? ??????? ???
????????????? ???????????? (4). ?????????
????????? ?????, ??? ?? ???. 4.
???????????? ??????????????? ?????????? ??????: ????? ??? ??????? ?????? ??
????????? ???????????? ????????????? ?????????? ?? ?????????? ????? ????? ? ????????? ? ????????? ???????? ????????????? ??? ??????????? Li+1/2 . ?????????? ???????????? ??????? ?????? ????????????? ????????? ????????: ???????? ????? ????,
??????????? ?????????, ???????? ? ????????? ??????? ?? ?????????? ?? ??????????????
?????? [8]
p i = p 0 ? i , ?i = ?0 ? i .
(3)
??? ?? ??????? ???????? ??? ??????. ? ?????? ????, ??? uni ? 0,
n+1/2
(?u)i+1/2
1
n+1/2
?i+1/2 = (?ni+1 + ?ni ),
2
х
Х
? i p0
(1 ? ?) + ?g?0 + (1 ? ?)g??0 ,
= ?
2
hx
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
84
???. 6. ???????????? ?????????? ??????? ???
????????????? ????????????? ???????????
T (x) = 0.156347 + 0.05(1 ? cos(?x/2)), p0 =
1.0068, ?0 = 1.0068, ????????? ?????????, ???
?? ???. 4.
n+1/2
wi+1/2 =
???. 7. ???????????? ?????????? ??????? ???
????????????? ???????????? (4). ????????????? ??????????? ? ?????? ????????? ????????? ?? ???. 6.
p0 ? i 1 + ?
.
??1 2
????? ??? ??????????? ?????? ?????????? ??????? L ???????????? ???????? ???????????? ? ?????????????? ???? ????????????? ?. ??? ?? ??????? ????????????? ?????????
???????:
и
И
? ? p0
n+1
n
(1 ? ?) + ?g?0 + (1 ? ?)g??0 (? i?1 ? ? i ),
? i ? ?i =
hx 2 hx
(?u)n+1
? (?u)ni =
i
win+1 ? win =
? 1 + ? i?1
(? ? ? i ),
p0
hx
2
? n+1/2
?n+1 + ?ni
n+1/2
g.
(ui?1/2 ? ui+1/2 ) + ? i
hx
2
?????? ?? ??????? ?????????????? ???????? ?????????????? ????????????? ? ? ? (?
??????? ?????????? ?? exp (hx /?) ??-?? ??????? ??????????? ??????? ?? ??????????????):
p0
(1 ? ?) + g??0 + g(1 ? ?)??0 = 0,
hx
p0 1 + ?
(1 ? ?) + g?0 ? = 0.
hx 2
??????? ????? ??? ??????? ?1,2 , ?? ??? ?????????? ?????? ? > 0:
s
И2
и
?
p
?ghx
?ghx
, ?=
+ 1+
?
.
?=
p
p
? ? 1 ?ghx
(4)
????????????? C???????? ?????????
85
?????? ??? ????? ?????????? ? ? ??? ????????? ? ??????????? ? ??? exp(hx /?),
????? ? ? 1/2 ??? hx /? ? 0. ???????????? ??????? ???????? ??? ??????????? ???????????? ???????????? ?? (4) ???????? ?? ???. 5.
?????? ? ?????????? ???????????? ???????? ??? ???????????????? ?????????????
??????????? ???????, ??? ??? ????? ???????????? (? ????????? ?????? ? ??????????????), ? ??????????? ??????? p, ?, u ?? ????????? ??????? U ? ??????????. ??-?? ?????
?????? ????????? ?????????? ?????????? ??????? ?????????? ??? ??????????? ????????
??????? ?i , pi ???, ??? ??? ???? ??????? ? (3). ??? ????? ?? ??????????? ??????? ????????????, ??????????????? ????????? ???? ??????? ?? ????? ????? ?? ???????, ????????
??? ? ??????? ??????? ??????? ?????, ??? ? ?????????? ?????????? ?????????; ?????
????? ??????????? ??? ? ????????????. ?? ???. 6, 7 ????????? ?????????????? ????????????? ???????? ??? ???????? ??????????? ??????????? ?? ?????????? ??? ?????????????
?????? (? = 0.5) ? ????? (4) ????????????. ?????, ??? ??????? ??????? ??? ?????? ??????
???????????? ??????????????? ????? ?????, ? ?? ????? ??? ??? ????????????? ???????????? ???????????? (4) ??????? ?????? ????? ?? ??????? ? ??????? ?????? ????? ??? ??
??????????? d?/dx.
7. ???????????? ?????
??? ???????????? ???????????? ????? ?????? ????????? ?????, ??????? ????????? ????????????? ???????. ??? ?????? ? ??????? ??????? (??????? ?????), ?????? ????????????
(???????? ??????? ????????????), ?????? ? ??????? ???????? ????? ? ????????????? ????? ? ?????? ? ????? ?????????? ?????, ??????????? ? ?????????? ? ?????????????? ????
??? ??????? ??????????????????? ??? ????????? ?????????????? ?????????. ??????????
?????? ? ????? ????????? ???????? ?????????? ?????? ???? ????.
7.1. ?????? ???????
?????? ???????? ????????? ???????. ? ????????? ?????? ??????? ????? ????????? ????????? ??????? ????????????? ???????. ? ?????? ???????????????? ???????? ?????????
? ????????. ? ?????? t = 0 ?????? ????????? ??????? ? ???? ?????????? ??????????
???????? ???????. ???????????? ?????? ???????? ??????? ????????????? [18]. ???????? ???????. ??? ????????????, ??? ???????? ??????? ?????? ?? ?????????? ? = x/t.
????? ???????? ?????? ???????, ??? ???????? ??????? ??????????? ????????. ? ???????
?? ??????? ? ??????? ????????? ? ??????? ? ??????? ????????? ??? ????? ??????????,
?????????? ???????, ?????????? ?????? ? ?? ??? ??? ???? ??????? ??????????? ???????, ???????????????
??????? ??????. ????????? ????? ? ???? ???????? ?????????
p
(cs2 = ?p2 /?2 , I0 = p2 /??2 ):
? ? (??, ?cs2 ] : p ? p2 , ? ? ?2 , u ? 0,
Х2/(??1)
х
??1 ?
?
, u = 2(cs2 + ?)/(? + 1),
? ? [?cs2 , ? ] : p = I0 ? , ?(?) = 2.0cs2 ?
? + 1 ?I0
х
Х2/(??1)
? ? 1 ??
?
?
?
? ? ? , v : p = I0 ? , ? = 2.0cs2 ?
, u = v,
? + 1 ?I0
?
?
? ? [v, V ] : p = p3 , u = v, ? = ?3 ,
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
86
? ? [V, +?] : p = p1 , u = 0, ? = ?1 .
???????, ??? p2 > p1 , ??????? ??????? ????? ????? ????????????? ????????. ?????
?????????? V ?????????? ???????? ???????? ?????? ??????? ?????. ???????? ??????? v ?
????????? ????? ??????? ????????????? ??????? ?? ?????? ??????? ????? ? ?????????
????????????? ???????? ? ???????? ?? ?????????? ????????:
?1
(? + 1)p1 + (? ? 1)p3
=
,
?3
(? ? 1)p1 + (? + 1)p3
v=
p
(p1 ? p3 )(1/?3 ? 1/?1 ),
p1
V2
p3
(v ? V )2
+
=
+
,
??1
2
??1
2
u(? ? ) = v,
p(? ? ) = p3 .
??? ??? ?????? ????????????, ? ?????? ????????? ?????? ??? ?? ???????. ??????????
????? ????????? ? ????. 3. ????????? ?????? ?????????: ?1 = ?2 = 1.0, p2 = 2.0, p1 = 1.0,
hx = hy = 0.02. ???????????? ????????? ???????? ?????????? ??????? ???????? ?
?????? ?????? ???????; ?c = hx hy /((hx + hy ) и max{cs + |v|}). ???????? ???????? ??????
??????? ????? ? ????? ?????????? ???????????? ??? ???????? ???????? ?????, ??? u =
0.5v.
???????3
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ??????? ???????
? /?c
?
0.868
0.543
0.216
V
1.520183
1.51976
1.51962
1.5198
p3
1.483218
1.48322
1.48322
1.48322
?3
1.26438
1.26438
1.26438
1.26438
?2
0.835805
0.835756
0.835759
0.835767
vr
?1.61383
?1.61296
?1.61297
?1.61299
7.2. ????????????
???????? ?????? ? ?????????? ????????????? ????????????? ?????????? ????? ? ?????????????? ???? ??? ?????????? ???????????. ?????? ???????? ??????? ????????????.
?????????? ????? ????????? ? ????. 4. ????????? ??????: T = 0.4, ?0 = 0.3, х = 1.3,
g = ?3, ??1 = хg/(RT ) = ?1.172672756. ????????????? ??????? ?????? ?????????:
p(x) = p0 и exp(x/?),
?(x) =
хp(x)
,
RT
?=
p
?g
= 2.
?g
cs
???????4
?????????? ????????? ??????? ?????? ????????????
hx
0.04
0.02
0.01
??1
?1.17224
?1.17257
?1.17265
(5)
????????????? C???????? ?????????
87
7.3. ??????? ???????? ?????
???????? ?????? ?? ??????????? ??????? ????????? ??????? ???????? ???? ????? ????????? ? ??????? ????? ????????????? ?????. ???????????? ??? ?????????? ?????
???????? ????? ? ?????, ??????? ??????? (a ?? b) ? ???? ????????? (n, m). ?????? ???????,
??????????? ????? ?????????? ? ????? ??? ??????? r ? t, ????? ???
х 2
Х
m
n2
2
2 2
? = ? cs
+ 2 ,
a2
b
p(x, y, t) = A?? и sin(?t + ?) и cos(?mx/a) cos(?ny/b),
?m
u(x, y, t) = A
и cos(?t + ?) и sin(?mx/a) cos(?ny/b),
a
?n
и cos(?t + ?) и sin(?mx/a) sin(?ny/b).
v(x, y, t) = A
b
???????5
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ??????? ?????
hx
?
?
?d
hx
?
?
?d
hx
?
?
?d
0.04
6.0E ? 3
17.577
2.659E ? 02
0.04
3.0E ? 3
17.555
1.396E ? 02
0.02
3.0E ? 3
18.060
3.627E ? 03
0.04
1.50E ? 3
17.550
7.008E ? 03
0.02
1.50E ? 3
18.054
1.959E ? 03
0.01
1.50E ? 3
18.230
4.545E ? 04
0.04
0.75E ? 3
17.548
3.642E ? 03
0.02
0.75E ? 3
18.053
1.060E ? 03
0.01
0.75E ? 3
18.228
2.590E ? 04
???????6
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ??????? ?????
hx
?
?
?d
hx
?
?
?d
hx
?
?
?d
0.04
6.0E ? 3
12.852
1.170E ? 02
0.04
3.0E ? 3
12.841
8.429E ? 03
0.02
3.0E ? 3
12.943
5.495E ? 03
0.04
1.50E ? 3
12.839
6.542E ? 03
0.02
1.50E ? 3
12.941
5.084E ? 03
0.01
1.50E ? 3
12.966
4.716E ? 03
0.04
0.75E ? 3
12.838
5.566E ? 03
0.02
0.75E ? 3
12.940
4.847E ? 03
0.01
0.75E ? 3
1.2966
4.665E ? 03
???? ?????????? ????????? ???????: ?????????? ?????????? ???????? ? ???????? ?????, ????????? ??????????????? ?? ??????? ?? 10. . .20 ???????? ?????????, ????? ????
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
88
???????????? ??????????? ????????? ???????? ???? ?? ??????? ? ??????? ?????????????? ?????. ?????????? ??????????? ???????????? ???????? A(t) = A0 exp(??d t) sin(?t+
?). ???????? ?d ? ? ????????? ? ????. 5 (T = 0.4, ?0 = 1.0, х = 1.3, ? = 5/3, a = b = 1.0,
n = m = 2, ??? = 18.348) ? ????. 6 (????????? ?????? ???????? ??? ???????????? ????????????? ????? ?????: n = 2, m = 0, ? = ? = 1e ? 4, ??? = 12.9706, ?d ?? = 4.60582e ? 03).
7.4. ??????? ?????????????-???????? ?????
???????? ?????? ?? ??????????? ??????? ????? ????????? ?????, ????????????? ? ?????????????? ???? ? ???????????? ?????? ? ????? ???????? ????????. ??????? ????????? ?max /?min ' 109. ??? ???????????? ???????? ????? ????? ?????? ? ??????????????
??????? ?????????? ?????? ?????????? ??-?? ???????? ?????? ??? ???????????????? ?????????. ??????? ????????? ???????????? ????? ?? ???????, ??? ? ? ?????????? ?????.
????????????? ??????? ?????? ? ?????? ????????????? ?????????? ????? ????????,
???????????? ??????? ????????? (1) ???????????? ????????????? ??????? (5). ???????
????????? ?? ?????????? ???????? ????????? ??????? (??? ???????? ????????? ???????? ??????? ??? ?????????? ??????, ??? ??? ??????????? ????????? ????? ??????
?????????? ?????? ????? ??????? g):
? ?? ? ?px
+
= 0,
?t
?t
? ?px ? ?p
+
= g??,
?t
?x
? ?px
? ?qx
? ?p
+ c2s
+ (? ? 1)
= (? ? 1)g?px + (? ? 1)?W,
?t
?x
?x
х
Х
х?p
? ?T
?
хp0 (x)
qx = ??
= ??
?
?? .
?x
?x ?0 (x)R ?20 (x)R
????? ???????????? ??????????? px = ?u ? ??????????????, ??? ?????? g = ex и g. ???? ???????? ?????????????? ??????? ?? ??????????? ???????????????? ? ???????? ????????
??????, ?? ?????? ?????????? ???????? (? ?????? ??????????? ?0 (x), p0 (x), ??????????? ?
(5)). ??? ??????????? ?????????:
?(?, T ) = ??? (T ),
W (?, T ) = ?W? (T ).
????????????? ????????? ???????? ????????? ???????:
? 3 + iB? 2 ? (kx2 c2s + i?gkx )? ? iB(kx2 c2T + igkx ) = 0,
х
Х
х??
i
х dW? »»
2
.
B = (? ? 1)
kx + kx ? (? ? 1)
»
R
?
R dT T =T0
??? B = 0 ????? ?????? ????????? ?????????????:
s
i
?2
1
kx = ?
? 2.
▒
2
2?
cs
4?
?? ??????? ??????????????? ?????? ???????? ??????:
Х
х
? 2 n2
1
2
2
+ 2 ,
? = cs
4?2
L
????????????? C???????? ?????????
89
??? n = 1, 2, . . . ? ????? ????, ? L ? ?????? ???????. ????????? ???????? ?????????
??????? ????????? ? ????????????? ????????? ????????? ? ????. 7. ????????? ??????
?????????: T = 0.4, ?0 = 1.0, х = 1.3, ? = 5/3, L = 4.0, n = 1, ??? = 2.02384412.
????????? ????? ?? ?????? ????????? ??????????? ? ????????? 10?4 % ??? hx = 0.04,
10?5 ??? hx = 0.02 ? 10?6 % ??? hx = 0.01.
?????? ?????????? ?????? B 6= 0. ?????? ??????? ??????????? ????????? ??????? ??
??????? ? ?????????? ???????:
s
i
1
? 2 ?? + i?B
kx = ?
▒ ? 2+ 2 и
.
2?
4?
cs ?? + iB
?? ??????? ???????????? ?? ???????? ??????? ????? ???????? ????????? ?? ??????:
s
n?
1
? 2 ?? + i?B
= ? 2+ 2
.
(6)
L
4?
cs ?? + iB
? ?????? ???????? ???????? ?????? B ?? ??????? ?? ????????? ??????? ? ?????? ????? ??? ???????. ??? ?? ??? ???????? ?????????? ?????????????-???????????? ??????,
? ?????? ????????????? ???????? ??????????? ???????????????? ??????? (??????? ??
???????????? ??? ?????? ????????? ????????? ??????? ????????). ????????? ????????
??????? ????????? ? ?? ?????????? ??? ?????? ???????? ?????? ????????? ? ????. 8
(n = 1, dW? /dT = 1e ? 2, ??? = 2.023844040, ??? = 2.0847514 и 10?4 ).
? ?????? ??????????? B ?? ????????? ??????? ? ????????????? ????????? (6) ????
?????????? B ??? kx = ?i/2? ▒ ?n/L. ?? ? ?????? ?????? ??? ????????? ?????????????
????? ?????????? ????????? ?????? ? ?????????? ????????? ??????? ??? ???????? ??????. ??? ?????????? ?????????? ?????????? ??????????? ? ??????????? ??????? ????
??????????????? cos(k(x?x?? )), ??? ????????? ???????????? ??????? ??????????????????
???????7
?????????? ????????? ??????? ??????
? ??????? ?????????????-????????????
?????
hx
?
?
hx
?
?
hx
?
?
hx
?
?
0.04
6.0E ? 3
2.024003
0.04
3.0E ? 3
2.023987
0.04
1.50E ? 3
2.023983
0.02
3.0E ? 3
2.023884
0.02
1.50E ? 3
2.023880
0.02
0.75E ? 3
2.023879
0.01
1.50E ? 3
2.023854
0.01
0.75E ? 3
2.023853
???????8
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ?????????
??-?? ??????? ???????? ??????
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
0.04
6.0E ? 3
2.0240234
2.034281E ? 4
0.04
3.0E ? 3
2.0240066
2.0531185-4
0.04
1.50E ? 3
2.0240028
2.062304E ? 4
0.02
3.0E ? 3
2.0238888
2.074668E ? 4
0.02
1.50E ? 3
2.0238841
2.076656E ? 4
0.02
0.75E ? 3
2.0238826
2.077350E ? 4
0.01
1.50E ? 3
2.0238529
2.088439E ? 4
0.01
0.75E ? 3
2.0238520
2.088261E ? 4
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
90
???????9
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ?????????
??-?? ??????? ????????????????
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
0.04
6.0E ? 3
2.0240146
1.954377E ? 4
0.04
3.0E ? 3
2.0239962
1.972468E ? 4
0.04
1.50E ? 3
2.0239912
1.979750E ? 4
0.02
3.0E ? 3
2.0238857
1.983270E ? 4
0.02
1.50E ? 3
2.0238810
1.985893E ? 4
0.02
0.75E ? 3
2.0238796
1.987212E ? 4
0.01
1.50E ? 3
2.0238542
1.984741E ? 4
0.01
0.75E ? 3
2.0238529
1.985124E ? 4
?????? (??????? ????? ????? ?? ???????). ??? ??????? ?????????? ?????????? ??????????? ? ??????????? ??????? ?????? ??????????????? cos(k(x ? x?? )) и exp((x ? x?? )/2?),
??? ?????? ??????????? ????????????? ?????????? ??????? ?????????????????? ??????
??-?? ?????????? ????????? ??????????? ?? ???????. ?? ??? ?????? ???????????? ???????????????? ???????? ?????? ???? ????? ????? ???????. ?????????? ?????? ???????
????????? ? ????. 9 (n = 1, ?? = 1e ? 2, ??? = 2.023844046, ??? = 2.00269867 и 10?4 ).
??? ?????? ?????????? ???????????? ???????????????? ??????? ?????????? ???????
???????? ? ??????? ?????????? ???????? ??????? 0.8 %. ??? ?? ????? ??? ????????? ?
????. 10 ????????? ?????????? ???????????? ???????????? ??? g = 0 (n = 1, ?? = 1e ? 2,
? ? ? ? ? ? ? 10
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ?????????
??-?? ??????? ???????????????? ??????? ???????????? ?????
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
0.04
6.0E ? 3
1.6215930
1.289536E ? 4
0.04
3.0E ? 3
1.6214995
1.281455E ? 4
0.04
1.50E ? 3
1.6214944
1.276795E ? 4
0.02
3.0E ? 3
1.6216996
1.279414E ? 4
0.02
1.50E ? 3
1.6216945
1.278322E ? 4
0.02
0.75E ? 3
1.6216932
1.277666E ? 4
0.01
1.50E ? 3
1.6217447
1.281095E ? 4
0.01
0.75E ? 3
1.6217434
1.280599E ? 4
????????????? C???????? ?????????
91
??? = 1.62175952, ??? = 1.283429 и 10?4 ), ????? ????????? ??????? ????????? ????????????? ?????????????? ???????.
8. ??????? ?????????? ????????????????? ????????????? ???????
??? ???????? ???????????? ????????? ????? ???????? ?????? ?? ??????? ?????? ????????? ?????? ? ??????? ????????? ?????? ????????????????? ????????????? ???????. ? ???????? ??????????? ???????? ?????????? ?????? ?????????, ???????????? ???
???????????????? ??????? ?????????, ??????? ?????????:
r = 107 ??,
3
5
p = 10
p ???/??
? , 5
v = [?] = 10 и 10 ??/?,
g = [r]/[t]2 = 104 ??/?2 ,
T = 104 K,
? = 10?6 ?/??3 ,
? = [p]/[?] = ?
1011 ???/?,
10 и 10 ?,
t = [r]/[v] = ?
? = [?][v][r] = 10 и 106 ?/(?? и ?).
? ???? ???????? ???????????? ??? ??????? ????????? (1) ?? ?????????? ?? ??????????, ?? ??????????? ????????? ????????? (R = 8.31434 и 107 ???)/(K и ????) ? ???????
??????????, ?????? ?????????? ??????????????? ????????):
p? = 10?7 ??RT? /х.
?? ?????? ??????? ???????? ???? ???????????? ???????, ???????? ???????? ???????
?? ??????? ??? u = up sin(?t). ? ??????? up = 100 ?/?, ? = 2?/100 ??1 . ??? ??????????? ????????? ????????? ???????????? ???? [3, 4]. ?? ??????? ??????? ????? ???????
???. 8. ????????????? ???????????? ??????? ???????? ????? ??? ???????????????
? ?????????????????? ????????? (? ???????????? ????????).
???. 9. ???????????????? ??????? ???????
?????, ?????????????????? ?? ??????????
??????????????? ???? (? ???????????? ????????).
92
???. 10. ??????????? ??????? ???????? ???
????????????????? ?????????, ????????????
????? ??????? ???? (? ???????????? ????????).
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
???. 11. ??????????? ??????? ????????? ???
????????????????? ?????????, ????????????
????? ??????? ???? (? ???????????? ????????).
???. 12. ??????????? ??????? ??????????? ??? ????????????????? ?????????, ????????????
????? ??????? ???? (? ???????????? ????????).
??????? ????, ?? ??????????? ????? ????????????? ????????? ???????. ?????? ????????
??????? ????????????. ????????? ???????????? ??????? (? ?????????? ????????? ????)
????? ????????? ?????????: T = 4000 K, |u?| < 10?15 , ??(x?) = 0.3 и exp(?1.07053x?).
??? ????????? ? ?????? ??????? t = 0 ????????? ???? ?? ????? ??????? ????????
???????????????? ???????? ?????, ????????? ??????? ?????? ?? ????????????????? ??????. ????? ??? ????? ?????????????? ? ?????? ???????? ????? ? ????? ????????????????
??? ??????? ???? (???. 8). ??-?? ?????? (?? ????????? ?????????) ??????????? ?????
????? ????? ???? ? ????????? ??????? ????? ????????? ???????? ??????? 3.68 и 103 cs ,
????????????? C???????? ?????????
93
p
»
??? cs = ?RT /х »T =4000K = 1.03 и 106 ??/? (???. 9). ? ?????????? ??????? ?????? ???????
???? ????? ????? ?????????? ??????? ?????? (???. 11) ? ????? ??????????? ???????
5. . .8 ??????? ???? ????????? ???????? ? ????????????????? ?????????, ? ??????? ?????? ???????? ??????? ???????????? ???????? ??????. ??? ???? ???????? ?? ??????
??????? ????? ????? ????????????? ??????????? ?? ???????? ? ????? ???????? ???????
1.26 и 106 ??/? (???. 10). ????????????? ?????????? ????????? ?????????, ????????? ??
?????????? ????????? ???????????? ????, ????????? ?? ???. 10 ? 12.
9. ??????????
? ?????? ????????? ????? ??????????? ?????????????? ???????????? ? ?????? ????????? ????????? ????????????? ? ???????????????? ??? ???????? ??????? ?????? ? ????????? ?????????. ???????? ??????????????? ??????? ?????????, ????????? ????? ?????????????? ????? ??? ?? ???????, ?????????? ?????? ? ???????????? ????????????? ???????,
??????????? ??????? ????????????. ???????????? ???????? ???????????? ???????? ???
??????? ????? ???????, ????? ????????? ??????????? ??? ?????? ???????????? ???????
???? ???????. ???????????? ??????????? ????? ?????????????? ????? ???? ?????? ???????? ?????? ???????? ????????? ????????? ????????????????? ???????? ???????.
??????? ?? ????????? ? ???????? ??????? ??????????? ?? ???????? ????????? ?????????? ? ????????? ??????? ???? ???? ???????????????? ????????? ????????????? ???????
????????? ?????? ???????? ??????? ?? ??????????? ??????? ?????, ??? ? ????? ??????????? ?????????? ????????????? [4, ??. ????????????]. ?????????? ?????????? ???????????? ????????? ????? ???????? ? ???????? ??????????? ?? ??? ?? ??????? ???????????? ???????????? ?????????????? ????? ??????? (5). ??? ??????????? ????? ??????????
???? ??? ???????????? ??????? ??????, ??? ? ????? ??????????? ??????? ???????????????
?????????? ????????? ? ? ? (?????????????? ??????).
?????????? ????? ??????? ?????? ???????? ??????? ??? ?????????????????, ? ????????????? ????????? ?????????? ?????? ???????? ??????????? ??????????? ????? ?????? ?? ??????? ?????? ??????, ????? ??? ??????? ?????????????? ?? ??????? ?????????
?????????, ????????????? ???????????? ? ????????? ???? ? ????? ??? ?????? ?????
[22].
?????? ???????? ????????????? ?. ?. ??????????, ?. ?. ?????????? ? ?. ?. ????????
?? ?????? ??? ?????????? ????????? ??????.
?????? ??????????
[1] Vernazza J.E., Avrett E.H., Loeser R. Structure of the Solar chromosphere.
1. Basic computation and summary of the results // Astrophys. J. 1973. Vol. 184.
P. 605?631.
[2] Ulmschneider P., Kalkofen W. et al. Acoustic waves in the solar atmosphere. I.
The hydrodymanic code // Astronomy and Astrophys. 1977. Vol. 54, P. 61.
[3] Ulmschneider P., Kalkofen W. Acoustic waves in the solar atmosphere. III. A
Theoretical tempurature minimum // Astronomy and Astrophys. 1977. Vol. 57. P. 199.
94
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
[4] Ulmschneider P., Schmitz F., Kalkofen W., Bohn H.U. Acoustic Waves in the
Solar Atmosphere. V. On the chromosphere temperature rise // Astronomy and Astrophys.
1978. Vol. 70. P. 487?500.
[5] Nakagawa Y., Steinolfson R.S. Dynamical response of the solar corona. I. Basic
formulations // Astrophys. J. 1976. Vol. 207. P. 296?299.
[6] Steinolfson R.S., Nakagawa Y. Dynamical response of the solar corona. II. Numerical
simulations near the sun // Astrophys. J. 1977. Vol. 207. P. 300?307.
[7] Shibata K., Nozawa S., Matsumoto R. et al. Emergence of solar magnetic flux
from the convection zone into the photosphere and chromosphere // Astrophys. J. 1990.
Vol. 351. P. L25?L28.
[8] ????? ?.?. ????????? ????????????????????: ???. ? ????. ?.: ???, 1985. 592 ?.
[9] Liska R., Wendroff B. Composite schemes for conservation laws: Technical Report
LA-UR 96-3589. LANL, Los-Alamos, 1996. [SIAM J. Numer. Anal. 1997].
[10] ???? ?.?. ??????????????? ???????: ??????????? ??? ??????? ? ????????????.
?. 1. ?.: ???, 1978. 448 ?.
[11] McWhirter R.W.P., Thonemann P.C., Wilson R. The heating of the solar corona:
a model based on energy balance // Astronomy and Astrophys. 1975. Vol. 40. P. 63?73.
[12] Cox D.P., Tucker W.H. Ionization equilibrium and radiative cooling of a low-density
plasma // Astrophys. J. 1969. Vol. 157. P. 1157?1167.
[13] Cox D.P., Daltabuit E. Radiative cooling of low-density plasma // Astrophys. J. 1971.
Vol. 167. P. 113?117.
[14] Unno W., Spiegel E.A. The Eddington approximation in the radiative heat equation //
Publ. of the Astronomical Society of Japan. 1966. Vol. 18, No. 2. P. 85?95.
[15] ??????????? ?.?., ???????? ?.?. ?????? ?? ?????? ??????. ???????????: ????? ???, 1996. 128 ?.
[16] Cox A.N., Stewart J.N. Rosseland opacity tables for population I compositions //
Astrophys. J. Supplements Series. 1970. Vol. 19, No. 174.
[17] ????????? ?.?., ?????? ?.?. ?????? ??????? ???? ? ??????????????????? ????????????????? ???????. ?.: ?????, 1966.
[18] ?????? ?.?., ?????? ?.?. ????????????? ??????. ?. 6. ?????????????. ?.: ?????, 1986.
[19] ???????? ?.?., ????????? ?.?. ????????? ??????? ?????? ???????? ??? ?????????? ???? ? ?????? ??????????? ?????????????? // ??????. 1969. ?. 9, ?2.
?. 211?218.
[20] Boukadida T., LeRoux A.-Y. A new version of the two-dimensional Lax-Friedrichs
scheme // Math. Comp. 1994. Vol. 63. P. 541?553.
????????????? C???????? ?????????
95
[21] ????????? ?.?., ????? ?.?. ????????? ??????. ?.: ?????, 1989. 432 ?.
[22] Alekseenko S.V., Dudnikova G.I., Romanov V.A. et al. Computational
simulation of the low chromosphere heating by the shock waves? series // Intern. Conf. on
the Methods of Aerophysical Research. 2002. Pt II. P. 3?7.
????????? ? ???????? 17 ?????? 2002 ?.,
? ?????????????? ???? ? 10 ???????? 2002 ?.
???? ??????????? ?? ?????????????? ??????. ???????????????? ? ???????? ? ??? ????????????
???? (??. ????. 2). ?????? ?????????? ??? ??????? ???????, ? ??????????? ????????? ?????????? ??? ????, ????? ????????? ??????????? ???????????????? ?? ????????,
??????????? ??? ??????? ?? ??????? ??????????? ? ??????? ????? ??????????, ??? ????????? ?????? ????? ????. ????????? ?? ?????????? ???? ? ???????? ? ???????????????? ?????????. ? ?????? ???????????????? ?????? ???????????? ????. ?????? ??????
????????????? ??? ???????????? ?????????????? ????? ????????? ?????? ??-?? ??????
???????? ????????????????.
???????? ????????? ????????? ????????? ????????? ? ????. 2. ????? х ? ????????
???????1
?????????? ?????? ?????????-???????? ??????
???????
n, ???3
???????
n, ???3
H
He
C
N
O
Ne
Na
3.32 и 1010
1.96 и 109
1.17 и 107
3.16 и 106
2.04 и 107
2.46 и 106
5.0 и 104
Mg
Al
Si
S
Ca
Fe
Ni
8.5 и 105
8.3 и 104
1.0 и 106
6.17 и 105
7.08 и 104
2.19 и 105
1.95 и 104
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
76
???????2
??????????? ????????? ?????? ????????? ????????? ?? ????????? ???????
h, ??
p, ???/??3
T, K
?, ?/??3
х, ?/????
?
g, ??/?2
2.00 и 1010
4.00 и 109
1.00 и 109
4.05 и 108
2.64 и 108
2.48 и 108
2.29 и 108
1.85 и 108
8.63 и 107
8.01 и 107
5.44 и 107
1.97 и 107
3.03 и 106
1.10 и 10?3
3.50 и 10?3
5.02 и 10?3
5.64 и 10?3
5.90 и 10?3
6.14 и 10?3
7.96 и 10?3
6.52 и 10?2
6.32 и 101
1.05 и 102
1.21 и 103
3.26 и 104
1.14 и 105
2.60 и 106
1.85 и 106
1.31 и 106
9.30 и 105
5.11 и 105
5.91 и 104
2.00 и 104
7.80 и 103
5.39 и 103
5.15 и 103
4.14 и 103
5.06 и 103
6.66 и 103
3.13 и 10?18
1.41 и 10?17
2.93 и 10?17
4.75 и 10?17
9.42 и 10?17
1.05 и 10?15
4.30 и 10?15
1.19 и 10?13
1.82 и 10?10
3.19 и 10?10
4.55 и 10?9
1.00 и 10?7
2.60 и 10?7
0.617
0.620
0.635
0.651
0.678
0.838
0.897
1.18
1.29
1.29
1.30
1.30
1.26
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.63
1.58
1.65 и 104
2.45 и 104
2.66 и 104
2.71 и 104
2.72 и 104
2.72 и 104
2.72 и 104
2.73 и 104
2.73 и 104
2.73 и 104
2.74 и 104
2.74 и 104
2.74 и 104
h, ??
?, ??
1010
2.00 и
4.00 и 109
1.00 и 109
4.05 и 108
2.64 и 108
2.48 и 108
2.29 и 108
1.85 и 108
8.63 и 107
8.01 и 107
5.44 и 107
1.97 и 107
3.03 и 106
1010
2.12 и
1.01 и 1010
6.43 и 109
4.38 и 109
2.30 и 109
2.16 и 108
6.80 и 107
2.01 и 107
1.27 и 107
1.21 и 107
9.72 и 106
1.19 и 107
1.60 и 107
?
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
8.66 и 10?1
2.23 и 10?5
1.70 и 10?9
4.06 и 10?10
1.87 и 10?13
2.32 и 10?10
5.88 и 10?7
?, ??
108
6.78 и
8.72 и 107
2.27 и 107
7.37 и 106
1.16 и 106
1.41 и 103
4.21 и 101
2.77 и 10
1.81 и 10?3
1.03 и 10?3
7.24 и 10?5
3.28 и 10?6
1.27 и 10?6
Re
Cl
1.24
4.60
1.11 и 101
2.30 и 101
7.55 и 101
5.21 и 103
5.32 и 104
2.08 и 105
1.92 и 108
3.21 и 108
3.68 и 109
9.90 и 1010
3.48 и 1011
3.17 и 10?2
1.34 и 10?1
3.42 и 10?1
7.20 и 10?1
2.34 и 10
1.32 и 102
5.17 и 102
5.68 и 102
4.81 и 105
8.01 и 105
9.20 и 106
2.47 и 108
8.71 и 108
?????; ? ? ?????????? ????????; ? = RT /хg ? ????? ????? [8] (?????? ?????????????
?? ??????? r0 = 6.959 и 1010 ??); ? = ni /na ? ??????? ????????? ??????; ? ? ???????????
????? ??????? ???????; Re ? ????? ??????????; Cl ? ????? ?????????. ??????? ????????? ?? ?????? ????? [10 ? 12]. ???? ?????? ??????????, ????? ??????? ??????????????
?????? ??? ???????? ?????????? ?????????, ??????????? ? ????????? ?????????. ??
???? ????????? ?????, ?????????????? ? ????. 2, ????? ??????? ?????? ? ????? ??????
???????????? ????????????????? ???????? ? ????? ????? ?1 , ??????? ????????? ??????????? ??????? ????????. ????????? ? ????????? ? ?????????? (T < 105 K) ?????
????????? ??????????, ? ???????????????? ??????? ????????? ?????? ? ???????? ? ?????????? ??????????? ???????: ??????????? ???????????????? ?? ??????? ?? ?????????, ?
?? ????? ??? ???????????????? ? ??????? ?????? ?? ???????????????, ??-?? ???? ???? ???????????????? ??? ????????????? ??????????? ?????? ? ??????????? ????????? ??????.
? ????????? ?????? ??????? ???????? ????? ???????? ????????? ?????????????. ????? ??????? ?????????, ??? ???????, ????? ??????, ? ??????????? ???????? ??????????
1
? = p/(?g) = p/(dp/dr) ? ???????? ?????, ?? ??????? ????????? ? ???????? ??????????? ? e ???
??-?? ???????? ???? ??????? ? ???????? ????????????.
????????????? C???????? ?????????
77
??????? ? ??? ????? ?????? ??????? (?????????? ??????? ???????? ???????? ?????
??????? ? ?????? ???? ???????? ??????? 100 ?? ?????? ????????? [4]). ?????????????,
??? ???????? ????????? ????????? ???????? ? ?????? ??????????? ????? ????????????
??????????? ???????? ?????? [11 ? 13]. ??? ???????? ????????? ????????????? ??? ??????? ??????? ????????? ???????? ??? ????? ??????? (??? ???????? ??????????? ??????
?? ???) ? ?????????? ???? (h ? [0.500] ??) ????? ???????????? ??????????????? ???????????, ????????? ??????????? ?????????? ?????? ????????? ?????? ? ??????? ???? [14].
????????? ????????? ?? ????????? ? ????????? ?????????? ?????????????????? ?????????? (???), ??????? ??????? ????????? ??????, ???????????? ?????????? ? ????????? ????? ?????????? ?????????? ??????????????? ?? ????????? ??????? ????????? ?
???????????? ? ?????? ???? ???????? ???????????????? ????????? ??? ?????????????
???????? ?????????? ??????????. ? ????????? ?????? ????????? ?????????????? ? ???????? ??????????? ??????, ? ???????????? ??????????? ?? ???? ???????????????? ??????
????????? ???????? ??????? ????????????. ??? ?????????? ????? ???????? ????????????,
? ? ???? ?????? ??????? ????????? ?????? ???????????? ?? ??????? ???????? [15]. ???????? ???????? ?????? ??? ?????? ???????????? ?????????? ??????? ? ??????? [11 ? 13].
??????? ?? ??????? (????????????) ???????????? ?????????? ? ?????????? ?????????
?????? ??? ?????? ??? [16, ??. ????????????], ??????? ?? ????????????? ?????????? ???
???????????????, ??? ???????????? ?????????? ? ????????? ??? ?? ??????? ????????????? ???????? [17].
?? ?????????????? ??????, ????????? ????????? ???????? ? ???????????? ??????? ?????????????? ????????. ???????? ????????? ?????????? ? ???????????? ??????? (??????????? ??? ??????????), ?????????? ???????? ? ????????? ???? (?????????
?????, ???????, ??????????? ?????), ? ????? ??????? ???????? ? ????????? (????????????, ??????????? ??????????, ???????) [8]. ??? ??? ??????? ? ???????????? ???????
???????????, ? ??? ?? ??????????? ???????? ?????????? ?????? ?????? ??? ??????? ?
????????? ??????????.
2. ???????? ??????? ?????????
??????? ??????? ????????? ?????????????? ???????????? ? ?????? ????????, ????????????????, ???????? ??? ?????????? ? ???????? ???????? ??????:
?U
?
?
+
(Fid + Fvisc + Fheat ) +
(Gid + Gvisc + Gheat ) = L + W.
?t
?x
?y
(1)
????? U ? ?????? ???????????????? ?????????? ?????; F ? ?????? ?????? ????? ??? x;
G ? ?????? ?????? ????? ??? y; W ? ??????, ??????????? ???????? ??????; L ? ??????, ??????????? ???????? ??????????. ?????? id ???????? ??????????????? ??????????
???????, visc ? ?????? ??????????? ???????, heat ? ?????????, ??????????????? ????????????????. ?????????????? ?????? ???? ???????? ?????????:
Й
й
?(u2 + v 2 )
,
U = ?; ?u; ?v; ?? +
2
ХЙ
й
х
?(u2 + v 2 )
T
2
,
Fid = ?u; p + ?u ; ?uv; u p + ?? +
2
T
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
78
й
х
ХЙ
?(u2 + v 2 )
2
= ?v; ?uv; p + ?v ; v p + ?? +
,
2
х
Х
х
Х
й
2
?u ?v
?u
T
+
? ? ? div v; ??
+
,
Fvisc = 0; ?2?
?x
3
?y ?x
х
Х
х
ХЙ
?u2
2
?u ?v
+u
? ? ? div v ? ?v
+
??
,
?x
3
?y ?x
й
х
Х
х
Х
?u ?v
?v
2
T
Gvisc = 0; ??
; ?2?
+
+
? ? ? div v;
?y ?x
?y
3
х
Х
х
ХЙ
2
?u ?v
?v 2
+v
? ? ? div v ? ?u
+
,
??
?y
3
?y ?x
Й
й
Й
й
?T
?T
T
T
, Gheat = 0; 0; 0; ??
,
Fheat = 0; 0; 0; ??
?x
?y
GTid
LT = {0; ?gx ; ?gy ; ?(ugx + vgy )} ,
WT = {0; 0; 0; ?Wrad (T, ?)} .
? ???? ?????????? ?, p, ?, T ?????????? ?????????, ????????, ???????? (?? ???????
?????) ?????????? ??????? ? ??????????? ??????; v = (u, v) ? ???????? ?????; ?, ? ?
???????????? ???????? [18]; ? ? ??????????? ????????????????; g = (gx , gy ) ? ??????
????????? ?????????? ???????; Wrad ? ???????? ???????? ???????? ??????. ? ??????
???????????? ?????????? ? ?, ? Wrad ???????? ????????? ?????? ?? ???????????.
3. ?????????? ?????
??????? ???????? ????????? ?????????? ????? (?max /?min └ 1022 ??? ??????????? ?????????????? ????????? ??????? ??????? 104 ?? ??? T ? 4000 K) ??????????? ??????????? ?? ????????, ???????????? ??? ????????? ??????? ?????????? ??????? ?????????,
???????? ? ?????????????? ??????? ???????. ??? ?????????? ???????? ???????? ?????????? ???????????? ????? ???????, ????? ????????? ?????????? ????????? ???? ???????????? ?? ????? ???????? ???????, ???????????? ??????? ? ????? ??????? ? ?.?.
(??., ????????, [19]). ? ?????? ????? ????? ? ????, ??? ????????? ???????? ?????????? ?
????????? ????????????? ?????????????? ??????????? ?? ??? ?? ??????? ?????? ?????
????????, ??? ???????? ???????, ??? ??????? ???????????? ????? ??????? ?????????
????? ????? ??????? ????? ?????????????? ?????.
??-?? ??????? ?????????? ????? ???????? ??????????????????, ??????? ???? ??????
?????????? ??? ??????????????? ????? ????? ?????????, ???????? ?? ????????????????? ??????. ??? ????????? ?????, ???????????? ????? ?????? ?????? ????????? ???????
?????. ??? ????? ?????????? ????????? ????????: ????????????? ???? ? ??????? ???????
????????? (????? ????? ? ?????????), ????????????? TVD-??????????? ???? ? ??????? ???????? ????????????? ? ????????????? ????????????? ???????? ??? ???????????
?????????? ?? ??????? ??????? ????.
????????????? ??????????? ???? [9] ? ???? ???? ????? ? ????????? ?????????? ???
???????????????, ??? ? ????? ????? ? ????????? ?????????? ??????? ??????????:
n+1/2
Ui+1/2, j+1/2 =
б
1А n
Ui, j + Uni+1, j + Uni, j+1 + Uni+1, j+1 + . . .
4
????????????? C???????? ?????????
79
┤
1 │ n+1/2
n+1/2
n+1/2
n+1/2
=
Ui?1/2, j?1/2 + Ui+1/2, j?1/2 + Ui?1/2, j+1/2 + Ui+1/2, j+1/2 + . . . ,
4
??-?? ????? ?? ???????????? ???????, ??? p, ? ? exp(?r/?), ?????????? ????????????
???? ????? ?? ?????????, ??????? ???????? ???????:
Un+1
i, j
n+1/2
?i▒1/2 = ?i
1 + exp(▒hx /?)
,
2
?i?1/2 + ?i+1/2
= ?i (1 + 0.5ch (hx /?)),
2
d?
= 0.5?ch (hx /?)? ?1 .
dt
???? ?????? ?????????? ????????????? ????????? ????????????? ???????, ? ??? ???????
????????? ????????????? ????? ???? ????? ? ????????? ??? ??????? ??????? ????????? ???? (1) ??? ??????????????? ?????????. ????? ?? ??????? ????????? ????????
???????????????? ? ????????? ????? ? ?????? ??????????
х
х
Х
х
ХХ
1
hx
hx
?i+1/2 =
?i и exp
+ ?i+1 и exp ?
,
2
2?i
2?i+1
?n+1
=
i
?? ??? ?? ???????? ?????????? ?????????, ?????? ???????? ???????? ????? ????? ?? ????????, ???????????????? d?/dx. ??? ??? ??? ?????????? ??????????? ???? ??????????
??????? ??????? ??????? ?????????? ?????????????? ????? ? ??????? ??????? ?????????, ?? ??? ???????? ????? ?????, ????????????? ????????????? ???????? ??? ??????????
??????????????? ?? ??????? ?????? ????? ???????? ????? ??????? ? ???????? ???????. ? ????? ? ???? ??? ??????? ???????????? ????? ??????? ????????? ??????? ?????
????? ??????? ??????? ?????????????, ??????????? ? ?????????? ?????? ? ????? ?????
? ?????????. ???????? ????? ???????????? ??? ??????? ? ??????????? ?????, ??????????????? ??? ??????? ????????? ?????? ???? ? ?????? [9].
???????? ???? ?????????? ????? ?????????? ?? ?????????? ?????? [20], ??? ????????,
??? ??? ????????????? ?????? ???????? ? ????????? ??????? ??? ??????????? ???????
?? ?????? ???????? ??????? ?? ????????? ????? ?????????? ?????? ?????????? ??????
?? ???????? ??????. ?????? ??? ?? ??????? ? ?????? ????? ?????????? (????????? ??
????????????? ????????????? ??????? ? ????????? ???????? ???????? ? ????????? ????????).
n+1/4
n+1/4
??? ?? ??????? ?????? ?? ??? ?????. ?? ?????? ??????? ???????? Ui, j+1/2 ? Ui+1/2, j
?? ??????? ?????????? ?????? ?? ??????? ??????:
б
б
1А n
? А
Ui, j + Uni, j+1 +
G(Uni, j ) ? G(Uni, j+1 ) ,
2
4hy
х
Х
б
б ?
б
? А
1А n
n
n
n
n
Ui, j + Ui+1, j .
+ Ui+1, j +
F (Ui, j ) ? F (Ui+1, j ) + L
4hx
4
2
n+1/4
Ui, j+1/2 =
n+1/4
Ui+1/2, j =
1А n
Ui, j
2
n+1/2
?? ?????? ???? ???????????? ???????? Ui+1/2, j+1/2 :
б
1А n
Ui, j + Uni+1, j + Uni, j+1 + Uni+1, j+1 +
4
│
┤
┤
? │
?
n+1/4
n+1/4
n+1/4
n+1/4
F (Ui, j+1/2 ) ? F (Ui+1, j+1/2 ) +
G(Ui+1/2, j ) ? G(Ui+1/2, j+1 ) +
+
2hx
2hy
n+1/2
Ui+1/2, j+1/2 =
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
80
?
+ L
2
х
Х
б
1А n
n
n
n
Ui, j + Ui+1, j + Ui, j+1 + Ui+1, j+1 .
4
? ?????????????? ??? ???????? ????????? ???????:
n
Un+1
i, j = Ui, j +
┤
? │
n+1/2
n+1/2
n+1/2
n+1/2
F (Ui?1/2, j+1/2 ) + F (Ui?1/2, j?1/2 ) ? F (Ui+1/2, j+1/2 ) ? F (Ui+1/2, j?1/2 ) +
+
2hx
┤
? │
n+1/2
n+1/2
n+1/2
n+1/2
+
G(Ui?1/2, j?1/2 ) + G(Ui+1/2, j?1/2 ) ? G(Ui?1/2, j+1/2 ) ? G(Ui+1/2, j+1/2 ) +
2hy
Х
х
б
1А n
n+1
.
+? L
Ui, j + Ui, j
2
(2)
????????? ??? ????????? ??????? ??-?? ????? L((Uni, j + Un+1
i, j )/2), ?? ??? ???????? ????? ????? ??????? ????????????, ??? ??? ?????? ?????????? ??????? L ????? ????, ?
????????? ??????? ?????? ?? ????? ????????? ????????? ??????? U.
4. ???? ????????
??? ??????? ?? ?????? ????. 2, ???????? ???????? ? ????????? ????????? ????? ????,
?? ??????????? ??????? ??????? ??????. ??? ?? ????? ??? ??????????? ?????????? ??????????? ??????? ????? ???????? ? ????? ??????????? ????????? ????????????? ????????.
?????? ????????? ??????? ????????? ????? ????????? ?? ??? ????? ? ???? ????? ???????? ??????????? ?????????? ?????? ?????? ?? ??????????? ??????, ??? ???? ?????
?????????? ??????????? ??????????? ??????? ? ??????? ??????? ?????? ?? ????? ?????????? (?????? 1), ? ?? ????? ??? ?????? ?????? ????????? ???????? ?????????? ?????,
?????? ??? ??????????? ??????????? ?????? ????????? ??????????? (?????? 2):
Х
х
Х Й
й
х
?v
?v
?u
4
?u
4
T
?+?
; ?? ; ??v
?u
?+?
F1 = 0; ?
,
3
?x
?x
?x
3
?x
й
х
Х
х
Х Й
?u
?u
4
?v
4
?v
T
G1 = 0; ?? ; ?
?+?
; ??u
?v
?+?
,
?y
3
?y
?y
3
?y
й х
Й
Х
х
Х
2
?u
?u
?v
2
?v
T
,
F2 = 0;
???
; ?? ; u
???
? ?v
3
?y
?y
3
?y
?y
й
Й
х
Х
х
Х
?v
?v
2
?u
2
?u
T
G2 = 0; ?? ;
.
???
; v
???
? ?u
?x
3
?x
3
?x
?x
n+1/2
???????? ? ?????? F2 , G2 ??????????? ???????????????? ????? Ui▒1/2, j▒1/2 :
и
?u
?x
И
и
?u
?y
И
n+1/2
=
hx
i, j+1/2
i+1/2, j
n+1/2
ui+1/2, j+1/2 ? ui?1/2, j+1/2
n+1/2
=
,
n+1/2
ui+1/2, j+1/2 ? ui+1/2, j?1/2
hy
,
и
?v
?x
И
и
?v
?x
И
n+1/2
n+1/2
=
vi+1/2, j+1/2 ? vi?1/2, j+1/2
=
vi+1/2, j+1/2 ? vi+1/2, j?1/2
hx
i, j+1/2
n+1/2
i+1/2, j
,
n+1/2
hy
.
????????????? C???????? ?????????
81
???????? ? ?????? F1 , G1 ??????????? ???????????????? ????? Uni, j , Uni▒1, j , Uni, j▒1 :
и И
и И
n
n
uni+1, j ? uni, j
vi+1,
?u
?v
j ? vi, j
,
,
=
=
?x i+1/2, j
hx
?x i+1/2, j
hx
и И
и И
uni, j+1 ? uni, j
vi,n j+1 ? vi,n j
?u
?v
=
,
=
.
?y i, j+1/2
hy
?x i, j+1/2
hy
??? ??????????? (? ??? ????? ? ?????????? ??????????? ??????? F1 , ..., G2 ) ??????????? ???????????? ??????????, ?? ?????? ?? ?????????? ???????????? ????????? ??
?????????, ? ?????? ?? ??????? ? ?? ????? ???? ?? ???????. ???????????????? ???????
?? ????? ?? ????????, ? ?????????? ??????? ????????????? ?? ??????? ?? ??????? ?????????????, ??? ??? ????????????? ???????? ???????? ?????? ??? ?????????? ??????????
??????? ?? ???????? ??????? ????.
? ???????? ????? ?????????? ????????????? ??????? ? ?? ??????????? ?????????? ??
n+1/2
?????????????? ???? (3), ????? ??????????? Ui▒1/2, j▒1/2 .
5. ???????? ?????????? ? ????????????????
? ????????? ?????? ? ???????? ??????????? ???????? ? ????????? ?????? ?????? ????????? ?????? ? ?????????? ? ??????, ??????? ??????? ????????? ??????????? ??????
??????????? ? ??????????? ???????? ??????. ???????? ????????? ?? ??????? ??????
?????? ????????? ? ????. 1 ??????????? ???????, ??????? ? ??????? [11?13].
? ???????? ?????????? ?????????????? ?????????, ?????????? ?????????????, ??-??
???????????????? ? ????????? ????????? ????????? ????? ???????. ????????? ?????????? ??????? ?????? ????? ??? q = (q (x) , q (y) ), ?????
(x)
qi+1/2, j = ?? (0.5(Ti+1, j + Ti, j ))
(y)
qi, j+1/2 = ?? (0.5(Ti, j+1 + Ti, j ))
(x)
(x)
(y)
Ti+1, j ? Ti, j
,
hx
Ti, j+1 ? Ti, j
,
hy
(y)
n
qi+1/2, j ? qi?1/2, j
qi, j+1/2 ? qi, j?1/2
wi,n+1
j ? wi, j
=?
?
? Wrad (T )nH ne .
?
hx
hy
????? w ?????????? ????????? (?????????) ?????????? ??????? U; nH = ?H /mH ? ???????????? ????????; ne ? ???????????? ??????????. ???????????? ?????????? ?????????
?? ??????? ??????? ????? ?????????? ??????????? ?????? ? ????????????????? [12], ??
??????????? ?? ??????????? ????????? ?? ???. 1. ??????????? ???????????? ???????????????? ?? ??????????? ???? ?? ???. 2. ??? ????????? ???????????? (ne ┐ nH ) ???????????????? ???????????? ???????????? ???????, ??? ??????? ???????????? (ne ? nH )
???????? ????? ???? ?????????. ??????????? ???????? ???????? ?????? (???????????
? ne nH ) ?? ??????????? ?????????? ?? ???. 3.
6. ??????????? ????????????? ???????
??? ??? ? ????? ????? ? ????????? ???????? ?? ????????? ???? ?? ??????? ????????????
?????? ??? ??????????? ???????, ??? ????? ????????? ?? ?????????? ? ????. 3 ?????????? ?
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
82
???. 1. ??????????? ???????????? ??????????
?? ???????????.
???. 2. ??????????? ???????????? ???????????????? ?? ???????????.
???. 3. ??????????? ???????? ???????? ?????? ?? ??????????? [12].
???????? ????? ?????. ??? ?? ????? ???????? ????????????? ??????? ???????? ? ???????
??????????? ??????? ? ? ?????????? ???????????? ??????? ???????? ?????????? ?? ????. ?????????????, ???????? ?????????????? ??? ???????????? ????? ??????? ?????????
???????? ????????? ???? ??????????? ??????? ?? ????????? ???? ?? ???????:
┤
? │
n+1/2
n+1/2
n+1/2
n+1/2
F (Ui?1/2, j+1/2 ) + F (Ui?1/2, j?1/2 ) ? F (Ui+1/2, j+1/2 ) ? F (Ui+1/2, j?1/2 ) +
2hx
┤
? │
n+1/2
n+1/2
n+1/2
n+1/2
+
G(Ui?1/2, j?1/2 ) + G(Ui+1/2, j?1/2 ) ? G(Ui?1/2, j+1/2 ) ? G(Ui+1/2, j+1/2 ) +
2hy
Х
х
б
1А n
n+1
Ui, j + Ui, j
= 0.
+ ?L
2
????????????? C???????? ?????????
83
??????? ???????? ????? ???? ?? ????????? ????? ?? ???????, ? ?? ????? ??? ?????
?????????? ?? ???? ?? ???????? ??????? O(? /2). ??????? ???????? ??????????? ??????n+1/2
??????? ??????? ??? ????????????? ???????? ???????????? U ??? ??????????? Li+1/2
???????? ?? ???. 4. ???????????? ????????? ?????? ?????????: g = ?3, hx = hy = 10?2 ,
? = 10?4 , ? = ? = 2и10?3 и ?, p0 = 0.99985, ?0 = 0.99991, ? ? 0.5. ?????, ??? ???????? ?
????? ????? ?? ??????? ????? ????? ?????????? ????????, ? ?? ??????? ?? ???? ????????
?????????? ??????? ?? ???????.
???? ?????? ?? ???? ?? ???????? ????????, ???? ?? ????????? ?? ????? ????? ??
??????? ???????? ???????? ?? ??????????????, ????? ??????????????? ??????, ??? ??????????? ??????? p, T , ? ? ?????????? ?????????????. ? ????? ????????? ???? ??????????
???? ???????? ????????? ???????????? ??? ??????????? L ? ????????? ?????.
???. 4. ?????????? ???????????? ??????? ???
????????????? ??????????? T (x) = 0.156347.
???. 5. ???????????? ?????????? ??????? ???
????????????? ???????????? (4). ?????????
????????? ?????, ??? ?? ???. 4.
???????????? ??????????????? ?????????? ??????: ????? ??? ??????? ?????? ??
????????? ???????????? ????????????? ?????????? ?? ?????????? ????? ????? ? ????????? ? ????????? ???????? ????????????? ??? ??????????? Li+1/2 . ?????????? ???????????? ??????? ?????? ????????????? ????????? ????????: ???????? ????? ????,
??????????? ?????????, ???????? ? ????????? ??????? ?? ?????????? ?? ??????????????
?????? [8]
p i = p 0 ? i , ?i = ?0 ? i .
(3)
??? ?? ??????? ???????? ??? ??????. ? ?????? ????, ??? uni ? 0,
n+1/2
(?u)i+1/2
1
n+1/2
?i+1/2 = (?ni+1 + ?ni ),
2
х
Х
? i p0
(1 ? ?) + ?g?0 + (1 ? ?)g??0 ,
= ?
2
hx
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
84
???. 6. ???????????? ?????????? ??????? ???
????????????? ????????????? ???????????
T (x) = 0.156347 + 0.05(1 ? cos(?x/2)), p0 =
1.0068, ?0 = 1.0068, ????????? ?????????, ???
?? ???. 4.
n+1/2
wi+1/2 =
???. 7. ???????????? ?????????? ??????? ???
????????????? ???????????? (4). ????????????? ??????????? ? ?????? ????????? ????????? ?? ???. 6.
p0 ? i 1 + ?
.
??1 2
????? ??? ??????????? ?????? ?????????? ??????? L ???????????? ???????? ???????????? ? ?????????????? ???? ????????????? ?. ??? ?? ??????? ????????????? ?????????
???????:
и
И
? ? p0
n+1
n
(1 ? ?) + ?g?0 + (1 ? ?)g??0 (? i?1 ? ? i ),
? i ? ?i =
hx 2 hx
(?u)n+1
? (?u)ni =
i
win+1 ? win =
? 1 + ? i?1
(? ? ? i ),
p0
hx
2
? n+1/2
?n+1 + ?ni
n+1/2
g.
(ui?1/2 ? ui+1/2 ) + ? i
hx
2
?????? ?? ??????? ?????????????? ???????? ?????????????? ????????????? ? ? ? (?
??????? ?????????? ?? exp (hx /?) ??-?? ??????? ??????????? ??????? ?? ??????????????):
p0
(1 ? ?) + g??0 + g(1 ? ?)??0 = 0,
hx
p0 1 + ?
(1 ? ?) + g?0 ? = 0.
hx 2
??????? ????? ??? ??????? ?1,2 , ?? ??? ?????????? ?????? ? > 0:
s
И2
и
?
p
?ghx
?ghx
, ?=
+ 1+
?
.
?=
p
p
? ? 1 ?ghx
(4)
????????????? C???????? ?????????
85
?????? ??? ????? ?????????? ? ? ??? ????????? ? ??????????? ? ??? exp(hx /?),
????? ? ? 1/2 ??? hx /? ? 0. ???????????? ??????? ???????? ??? ??????????? ???????????? ???????????? ?? (4) ???????? ?? ???. 5.
?????? ? ?????????? ???????????? ???????? ??? ???????????????? ?????????????
??????????? ???????, ??? ??? ????? ???????????? (? ????????? ?????? ? ??????????????), ? ??????????? ??????? p, ?, u ?? ????????? ??????? U ? ??????????. ??-?? ?????
?????? ????????? ?????????? ?????????? ??????? ?????????? ??? ??????????? ????????
??????? ?i , pi ???, ??? ??? ???? ??????? ? (3). ??? ????? ?? ??????????? ??????? ????????????, ??????????????? ????????? ???? ??????? ?? ????? ????? ?? ???????, ????????
??? ? ??????? ??????? ??????? ?????, ??? ? ?????????? ?????????? ?????????; ?????
????? ??????????? ??? ? ????????????. ?? ???. 6, 7 ????????? ?????????????? ????????????? ???????? ??? ???????? ??????????? ??????????? ?? ?????????? ??? ?????????????
?????? (? = 0.5) ? ????? (4) ????????????. ?????, ??? ??????? ??????? ??? ?????? ??????
???????????? ??????????????? ????? ?????, ? ?? ????? ??? ??? ????????????? ???????????? ???????????? (4) ??????? ?????? ????? ?? ??????? ? ??????? ?????? ????? ??? ??
??????????? d?/dx.
7. ???????????? ?????
??? ???????????? ???????????? ????? ?????? ????????? ?????, ??????? ????????? ????????????? ???????. ??? ?????? ? ??????? ??????? (??????? ?????), ?????? ????????????
(???????? ??????? ????????????), ?????? ? ??????? ???????? ????? ? ????????????? ????? ? ?????? ? ????? ?????????? ?????, ??????????? ? ?????????? ? ?????????????? ????
??? ??????? ??????????????????? ??? ????????? ?????????????? ?????????. ??????????
?????? ? ????? ????????? ???????? ?????????? ?????? ???? ????.
7.1. ?????? ???????
?????? ???????? ????????? ???????. ? ????????? ?????? ??????? ????? ????????? ????????? ??????? ????????????? ???????. ? ?????? ???????????????? ???????? ?????????
? ????????. ? ?????? t = 0 ?????? ????????? ??????? ? ???? ?????????? ??????????
???????? ???????. ???????????? ?????? ???????? ??????? ????????????? [18]. ???????? ???????. ??? ????????????, ??? ???????? ??????? ?????? ?? ?????????? ? = x/t.
????? ???????? ?????? ???????, ??? ???????? ??????? ??????????? ????????. ? ???????
?? ??????? ? ??????? ????????? ? ??????? ? ??????? ????????? ??? ????? ??????????,
?????????? ???????, ?????????? ?????? ? ?? ??? ??? ???? ??????? ??????????? ???????, ???????????????
??????? ??????. ????????? ????? ? ???? ???????? ?????????
p
(cs2 = ?p2 /?2 , I0 = p2 /??2 ):
? ? (??, ?cs2 ] : p ? p2 , ? ? ?2 , u ? 0,
Х2/(??1)
х
??1 ?
?
, u = 2(cs2 + ?)/(? + 1),
? ? [?cs2 , ? ] : p = I0 ? , ?(?) = 2.0cs2 ?
? + 1 ?I0
х
Х2/(??1)
? ? 1 ??
?
?
?
? ? ? , v : p = I0 ? , ? = 2.0cs2 ?
, u = v,
? + 1 ?I0
?
?
? ? [v, V ] : p = p3 , u = v, ? = ?3 ,
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
86
? ? [V, +?] : p = p1 , u = 0, ? = ?1 .
???????, ??? p2 > p1 , ??????? ??????? ????? ????? ????????????? ????????. ?????
?????????? V ?????????? ???????? ???????? ?????? ??????? ?????. ???????? ??????? v ?
????????? ????? ??????? ????????????? ??????? ?? ?????? ??????? ????? ? ?????????
????????????? ???????? ? ???????? ?? ?????????? ????????:
?1
(? + 1)p1 + (? ? 1)p3
=
,
?3
(? ? 1)p1 + (? + 1)p3
v=
p
(p1 ? p3 )(1/?3 ? 1/?1 ),
p1
V2
p3
(v ? V )2
+
=
+
,
??1
2
??1
2
u(? ? ) = v,
p(? ? ) = p3 .
??? ??? ?????? ????????????, ? ?????? ????????? ?????? ??? ?? ???????. ??????????
????? ????????? ? ????. 3. ????????? ?????? ?????????: ?1 = ?2 = 1.0, p2 = 2.0, p1 = 1.0,
hx = hy = 0.02. ???????????? ????????? ???????? ?????????? ??????? ???????? ?
?????? ?????? ???????; ?c = hx hy /((hx + hy ) и max{cs + |v|}). ???????? ???????? ??????
??????? ????? ? ????? ?????????? ???????????? ??? ???????? ???????? ?????, ??? u =
0.5v.
???????3
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ??????? ???????
? /?c
?
0.868
0.543
0.216
V
1.520183
1.51976
1.51962
1.5198
p3
1.483218
1.48322
1.48322
1.48322
?3
1.26438
1.26438
1.26438
1.26438
?2
0.835805
0.835756
0.835759
0.835767
vr
?1.61383
?1.61296
?1.61297
?1.61299
7.2. ????????????
???????? ?????? ? ?????????? ????????????? ????????????? ?????????? ????? ? ?????????????? ???? ??? ?????????? ???????????. ?????? ???????? ??????? ????????????.
?????????? ????? ????????? ? ????. 4. ????????? ??????: T = 0.4, ?0 = 0.3, х = 1.3,
g = ?3, ??1 = хg/(RT ) = ?1.172672756. ????????????? ??????? ?????? ?????????:
p(x) = p0 и exp(x/?),
?(x) =
хp(x)
,
RT
?=
p
?g
= 2.
?g
cs
???????4
?????????? ????????? ??????? ?????? ????????????
hx
0.04
0.02
0.01
??1
?1.17224
?1.17257
?1.17265
(5)
????????????? C???????? ?????????
87
7.3. ??????? ???????? ?????
???????? ?????? ?? ??????????? ??????? ????????? ??????? ???????? ???? ????? ????????? ? ??????? ????? ????????????? ?????. ???????????? ??? ?????????? ?????
???????? ????? ? ?????, ??????? ??????? (a ?? b) ? ???? ????????? (n, m). ?????? ???????,
??????????? ????? ?????????? ? ????? ??? ??????? r ? t, ????? ???
х 2
Х
m
n2
2
2 2
? = ? cs
+ 2 ,
a2
b
p(x, y, t) = A?? и sin(?t + ?) и cos(?mx/a) cos(?ny/b),
?m
u(x, y, t) = A
и cos(?t + ?) и sin(?mx/a) cos(?ny/b),
a
?n
и cos(?t + ?) и sin(?mx/a) sin(?ny/b).
v(x, y, t) = A
b
???????5
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ??????? ?????
hx
?
?
?d
hx
?
?
?d
hx
?
?
?d
0.04
6.0E ? 3
17.577
2.659E ? 02
0.04
3.0E ? 3
17.555
1.396E ? 02
0.02
3.0E ? 3
18.060
3.627E ? 03
0.04
1.50E ? 3
17.550
7.008E ? 03
0.02
1.50E ? 3
18.054
1.959E ? 03
0.01
1.50E ? 3
18.230
4.545E ? 04
0.04
0.75E ? 3
17.548
3.642E ? 03
0.02
0.75E ? 3
18.053
1.060E ? 03
0.01
0.75E ? 3
18.228
2.590E ? 04
???????6
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ??????? ?????
hx
?
?
?d
hx
?
?
?d
hx
?
?
?d
0.04
6.0E ? 3
12.852
1.170E ? 02
0.04
3.0E ? 3
12.841
8.429E ? 03
0.02
3.0E ? 3
12.943
5.495E ? 03
0.04
1.50E ? 3
12.839
6.542E ? 03
0.02
1.50E ? 3
12.941
5.084E ? 03
0.01
1.50E ? 3
12.966
4.716E ? 03
0.04
0.75E ? 3
12.838
5.566E ? 03
0.02
0.75E ? 3
12.940
4.847E ? 03
0.01
0.75E ? 3
1.2966
4.665E ? 03
???? ?????????? ????????? ???????: ?????????? ?????????? ???????? ? ???????? ?????, ????????? ??????????????? ?? ??????? ?? 10. . .20 ???????? ?????????, ????? ????
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
88
???????????? ??????????? ????????? ???????? ???? ?? ??????? ? ??????? ?????????????? ?????. ?????????? ??????????? ???????????? ???????? A(t) = A0 exp(??d t) sin(?t+
?). ???????? ?d ? ? ????????? ? ????. 5 (T = 0.4, ?0 = 1.0, х = 1.3, ? = 5/3, a = b = 1.0,
n = m = 2, ??? = 18.348) ? ????. 6 (????????? ?????? ???????? ??? ???????????? ????????????? ????? ?????: n = 2, m = 0, ? = ? = 1e ? 4, ??? = 12.9706, ?d ?? = 4.60582e ? 03).
7.4. ??????? ?????????????-???????? ?????
???????? ?????? ?? ??????????? ??????? ????? ????????? ?????, ????????????? ? ?????????????? ???? ? ???????????? ?????? ? ????? ???????? ????????. ??????? ????????? ?max /?min ' 109. ??? ???????????? ???????? ????? ????? ?????? ? ??????????????
??????? ?????????? ?????? ?????????? ??-?? ???????? ?????? ??? ???????????????? ?????????. ??????? ????????? ???????????? ????? ?? ???????, ??? ? ? ?????????? ?????.
????????????? ??????? ?????? ? ?????? ????????????? ?????????? ????? ????????,
???????????? ??????? ????????? (1) ???????????? ????????????? ??????? (5). ???????
????????? ?? ?????????? ???????? ????????? ??????? (??? ???????? ????????? ???????? ??????? ??? ?????????? ??????, ??? ??? ??????????? ????????? ????? ??????
?????????? ?????? ????? ??????? g):
? ?? ? ?px
+
= 0,
?t
?t
? ?px ? ?p
+
= g??,
?t
?x
? ?px
? ?qx
? ?p
+ c2s
+ (? ? 1)
= (? ? 1)g?px + (? ? 1)?W,
?t
?x
?x
х
Х
х?p
? ?T
?
хp0 (x)
qx = ??
= ??
?
?? .
?x
?x ?0 (x)R ?20 (x)R
????? ???????????? ??????????? px = ?u ? ??????????????, ??? ?????? g = ex и g. ???? ???????? ?????????????? ??????? ?? ??????????? ???????????????? ? ???????? ????????
??????, ?? ?????? ?????????? ???????? (? ?????? ??????????? ?0 (x), p0 (x), ??????????? ?
(5)). ??? ??????????? ?????????:
?(?, T ) = ??? (T ),
W (?, T ) = ?W? (T ).
????????????? ????????? ???????? ????????? ???????:
? 3 + iB? 2 ? (kx2 c2s + i?gkx )? ? iB(kx2 c2T + igkx ) = 0,
х
Х
х??
i
х dW? »»
2
.
B = (? ? 1)
kx + kx ? (? ? 1)
»
R
?
R dT T =T0
??? B = 0 ????? ?????? ????????? ?????????????:
s
i
?2
1
kx = ?
? 2.
▒
2
2?
cs
4?
?? ??????? ??????????????? ?????? ???????? ??????:
Х
х
? 2 n2
1
2
2
+ 2 ,
? = cs
4?2
L
????????????? C???????? ?????????
89
??? n = 1, 2, . . . ? ????? ????, ? L ? ?????? ???????. ????????? ???????? ?????????
??????? ????????? ? ????????????? ????????? ????????? ? ????. 7. ????????? ??????
?????????: T = 0.4, ?0 = 1.0, х = 1.3, ? = 5/3, L = 4.0, n = 1, ??? = 2.02384412.
????????? ????? ?? ?????? ????????? ??????????? ? ????????? 10?4 % ??? hx = 0.04,
10?5 ??? hx = 0.02 ? 10?6 % ??? hx = 0.01.
?????? ?????????? ?????? B 6= 0. ?????? ??????? ??????????? ????????? ??????? ??
??????? ? ?????????? ???????:
s
i
1
? 2 ?? + i?B
kx = ?
▒ ? 2+ 2 и
.
2?
4?
cs ?? + iB
?? ??????? ???????????? ?? ???????? ??????? ????? ???????? ????????? ?? ??????:
s
n?
1
? 2 ?? + i?B
= ? 2+ 2
.
(6)
L
4?
cs ?? + iB
? ?????? ???????? ???????? ?????? B ?? ??????? ?? ????????? ??????? ? ?????? ????? ??? ???????. ??? ?? ??? ???????? ?????????? ?????????????-???????????? ??????,
? ?????? ????????????? ???????? ??????????? ???????????????? ??????? (??????? ??
???????????? ??? ?????? ????????? ????????? ??????? ????????). ????????? ????????
??????? ????????? ? ?? ?????????? ??? ?????? ???????? ?????? ????????? ? ????. 8
(n = 1, dW? /dT = 1e ? 2, ??? = 2.023844040, ??? = 2.0847514 и 10?4 ).
? ?????? ??????????? B ?? ????????? ??????? ? ????????????? ????????? (6) ????
?????????? B ??? kx = ?i/2? ▒ ?n/L. ?? ? ?????? ?????? ??? ????????? ?????????????
????? ?????????? ????????? ?????? ? ?????????? ????????? ??????? ??? ???????? ??????. ??? ?????????? ?????????? ?????????? ??????????? ? ??????????? ??????? ????
??????????????? cos(k(x?x?? )), ??? ????????? ???????????? ??????? ??????????????????
???????7
?????????? ????????? ??????? ??????
? ??????? ?????????????-????????????
?????
hx
?
?
hx
?
?
hx
?
?
hx
?
?
0.04
6.0E ? 3
2.024003
0.04
3.0E ? 3
2.023987
0.04
1.50E ? 3
2.023983
0.02
3.0E ? 3
2.023884
0.02
1.50E ? 3
2.023880
0.02
0.75E ? 3
2.023879
0.01
1.50E ? 3
2.023854
0.01
0.75E ? 3
2.023853
???????8
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ?????????
??-?? ??????? ???????? ??????
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
0.04
6.0E ? 3
2.0240234
2.034281E ? 4
0.04
3.0E ? 3
2.0240066
2.0531185-4
0.04
1.50E ? 3
2.0240028
2.062304E ? 4
0.02
3.0E ? 3
2.0238888
2.074668E ? 4
0.02
1.50E ? 3
2.0238841
2.076656E ? 4
0.02
0.75E ? 3
2.0238826
2.077350E ? 4
0.01
1.50E ? 3
2.0238529
2.088439E ? 4
0.01
0.75E ? 3
2.0238520
2.088261E ? 4
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
90
???????9
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ?????????
??-?? ??????? ????????????????
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
0.04
6.0E ? 3
2.0240146
1.954377E ? 4
0.04
3.0E ? 3
2.0239962
1.972468E ? 4
0.04
1.50E ? 3
2.0239912
1.979750E ? 4
0.02
3.0E ? 3
2.0238857
1.983270E ? 4
0.02
1.50E ? 3
2.0238810
1.985893E ? 4
0.02
0.75E ? 3
2.0238796
1.987212E ? 4
0.01
1.50E ? 3
2.0238542
1.984741E ? 4
0.01
0.75E ? 3
2.0238529
1.985124E ? 4
?????? (??????? ????? ????? ?? ???????). ??? ??????? ?????????? ?????????? ??????????? ? ??????????? ??????? ?????? ??????????????? cos(k(x ? x?? )) и exp((x ? x?? )/2?),
??? ?????? ??????????? ????????????? ?????????? ??????? ?????????????????? ??????
??-?? ?????????? ????????? ??????????? ?? ???????. ?? ??? ?????? ???????????? ???????????????? ???????? ?????? ???? ????? ????? ???????. ?????????? ?????? ???????
????????? ? ????. 9 (n = 1, ?? = 1e ? 2, ??? = 2.023844046, ??? = 2.00269867 и 10?4 ).
??? ?????? ?????????? ???????????? ???????????????? ??????? ?????????? ???????
???????? ? ??????? ?????????? ???????? ??????? 0.8 %. ??? ?? ????? ??? ????????? ?
????. 10 ????????? ?????????? ???????????? ???????????? ??? g = 0 (n = 1, ?? = 1e ? 2,
? ? ? ? ? ? ? 10
?????????? ????????? ??????? ?????? ? ?????????
??-?? ??????? ???????????????? ??????? ???????????? ?????
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
hx
?
?
?
0.04
6.0E ? 3
1.6215930
1.289536E ? 4
0.04
3.0E ? 3
1.6214995
1.281455E ? 4
0.04
1.50E ? 3
1.6214944
1.276795E ? 4
0.02
3.0E ? 3
1.6216996
1.279414E ? 4
0.02
1.50E ? 3
1.6216945
1.278322E ? 4
0.02
0.75E ? 3
1.6216932
1.277666E ? 4
0.01
1.50E ? 3
1.6217447
1.281095E ? 4
0.01
0.75E ? 3
1.6217434
1.280599E ? 4
????????????? C???????? ?????????
91
??? = 1.62175952, ??? = 1.283429 и 10?4 ), ????? ????????? ??????? ????????? ????????????? ?????????????? ???????.
8. ??????? ?????????? ????????????????? ????????????? ???????
??? ???????? ???????????? ????????? ????? ???????? ?????? ?? ??????? ?????? ????????? ?????? ? ??????? ????????? ?????? ????????????????? ????????????? ???????. ? ???????? ??????????? ???????? ?????????? ?????? ?????????, ???????????? ???
???????????????? ??????? ?????????, ??????? ?????????:
r = 107 ??,
3
5
p = 10
p ???/??
? , 5
v = [?] = 10 и 10 ??/?,
g = [r]/[t]2 = 104 ??/?2 ,
T = 104 K,
? = 10?6 ?/??3 ,
? = [p]/[?] = ?
1011 ???/?,
10 и 10 ?,
t = [r]/[v] = ?
? = [?][v][r] = 10 и 106 ?/(?? и ?).
? ???? ???????? ???????????? ??? ??????? ????????? (1) ?? ?????????? ?? ??????????, ?? ??????????? ????????? ????????? (R = 8.31434 и 107 ???)/(K и ????) ? ???????
??????????, ?????? ?????????? ??????????????? ????????):
p? = 10?7 ??RT? /х.
?? ?????? ??????? ???????? ???? ???????????? ???????, ???????? ???????? ???????
?? ??????? ??? u = up sin(?t). ? ??????? up = 100 ?/?, ? = 2?/100 ??1 . ??? ??????????? ????????? ????????? ???????????? ???? [3, 4]. ?? ??????? ??????? ????? ???????
???. 8. ????????????? ???????????? ??????? ???????? ????? ??? ???????????????
? ?????????????????? ????????? (? ???????????? ????????).
???. 9. ???????????????? ??????? ???????
?????, ?????????????????? ?? ??????????
??????????????? ???? (? ???????????? ????????).
92
???. 10. ??????????? ??????? ???????? ???
????????????????? ?????????, ????????????
????? ??????? ???? (? ???????????? ????????).
?. ?. ???????, ?. ?. ???????
???. 11. ??????????? ??????? ????????? ???
????????????????? ?????????, ????????????
????? ??????? ???? (? ???????????? ????????).
???. 12. ??????????? ??????? ??????????? ??? ????????????????? ?????????, ????????????
????? ??????? ???? (? ???????????? ????????).
??????? ????, ?? ??????????? ????? ????????????? ????????? ???????. ?????? ????????
??????? ????????????. ????????? ???????????? ??????? (? ?????????? ????????? ????)
????? ????????? ?????????: T = 4000 K, |u?| < 10?15 , ??(x?) = 0.3 и exp(?1.07053x?).
??? ????????? ? ?????? ??????? t = 0 ????????? ???? ?? ????? ??????? ????????
???????????????? ???????? ?????, ????????? ??????? ?????? ?? ????????????????? ??????. ????? ??? ????? ?????????????? ? ?????? ???????? ????? ? ????? ????????????????
??? ??????? ???? (???. 8). ??-?? ?????? (?? ????????? ?????????) ??????????? ?????
????? ????? ???? ? ????????? ??????? ????? ????????? ???????? ??????? 3.68 и 103 cs ,
????????????? C???????? ?????????
93
p
»
??? cs = ?RT /х »T =4000K = 1.03 и 106 ??/? (???. 9). ? ?????????? ??????? ?????? ???????
???? ????? ????? ?????????? ??????? ?????? (???. 11) ? ????? ??????????? ???????
5. . .8 ??????? ???? ????????? ???????? ? ????????????????? ?????????, ? ??????? ?????? ???????? ??????? ???????????? ???????? ??????. ??? ???? ???????? ?? ??????
??????? ????? ????? ????????????? ??????????? ?? ???????? ? ????? ???????? ???????
1.26 и 106 ??/? (???. 10). ????????????? ?????????? ????????? ?????????, ????????? ??
??
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
337 Кб
Теги
процессов, моделирование, атмосфера, динамическое, численного, cолнечной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа