close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Влияние формы возмущения на устойчивость плоской поверхности пленочного покрытия при диффузионных процессах.

код для вставкиСкачать
УДК 517.958,539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 3
ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ВОЗМУЩЕНИЯ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПЛЕНОЧНОГО ПОКРЫТИЯ
ПРИ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССАХ∗
С. А. Костырко
С.-Петербургский государственный университет,
канд. физ.-мат. наук, ст. преп., sergey.kostyrko@gmail.com
1. Введение. Интерес к исследованию и разработке тонкопленочных технологий
не ослабевает вследствие перспектив их практического применения в электронной
и оптоэлектронной промышленности. Так, комбинируя материалы, можно создавать
приборы с уникальными оптическими, электрическими и магнитными свойствами [1].
Вместе с тем, тонкие пленки из-за своих особых свойств, таких, как большое отношение линейных размеров поверхности к толщине, высокая плотность структурных
дефектов и возможные большие градиенты механических напряжений, представляют собой весьма неравновесные образования [2]. Различие между параметрами кристаллических решеток в кристаллической структуре материалов подложки и пленки
обусловливает возникновение в пленке напряжений несоответствия. Ввиду возможности массопереноса как вдоль поверхности, так и вглубь материала, возникает вопрос:
является ли плоская форма поверхности наиболее энергетически выгодной конфигурацией для напряженной пленки?
В работе Asaro и Tiller [3], а позже в работах Grinfeld [4, 5] и Srolovitz [6] теоретически было доказано, что плоская поверхность напряженного твердого тела при определенных условиях неусточива к малым синусоидальным возмущениям. В качестве
основного механизма потери устойчивости рассматривалась поверхностная диффузия, движимая разностью химических потенциалов на вершине выступа и дне впадин. При этом было отмечено, что критическое значение длины волны прямо пропорционально отношению поверхностной энергии к упругой энергии деформации,
вычисленной на возмущенной поверхности. Аналогичные результаты были получены
и для пленочных покрытий [7, 8]. Как и следовало ожидать, морфология поверхности в этом случае зависела от толщины пленки и относительной жесткости пленочной
системы. Необходимо также отметить работы [9, 10], в которых посредством учета
поверхностного напряжения выявлена чувствительность процесса волнообразования
поверхности тела к изменению знака действующих продольных напряжений. При
этом рассматривалось влияние поверхностной диффузии в однородном упругом материале.
Считается, что поверхностная диффузия является ключевым кинетическим процессом, приводящим к образованию гофра на поверхности напряженного твердого
тела [11, 12]. Однако при высоких температурах благодаря капиллярному эффекту
возникает движение атомов вглубь материала, т. е. в приповерхностном слое имеет
место объемная диффузия, также влияющая на изменение формы поверхности тела [13]. Так, исследование, проведенное в работе [14], показало, что при достаточно
больших значениях продольных напряжений (в диапазоне ГПа) основной причиной
образования гофра на поверхности твердого тела является поверхностная диффу∗ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-01-00394).
c С. А. Костырко, 2011
101
зия, тогда как при высокой температуре и малых значениях напряжений наблюдается комбинированный эффект влияния. Более того, было обнаружено, что вклад
объемной диффузии в деформирование поверхности зависит от знака продольных
напряжений: при сжимающих напряжениях объемная диффузия приводит к шероховатости поверхности, а при растягивающих — к сглаживанию. При этом не учитывалась толщина и упругие свойства пленочного покрытия и рассматривалась только
синусоидальная форма потери устойчивости.
Феномен волнообразования был также подтвержден многочисленными эксперементальными исследованиями, в которых описаны различные конфигурации рельефа. Наряду со слабой волнистостью [15] отмечалось образование острых выступов
и впадин [16], а в некоторых случаях пленка распадалась на островки [17]. Геометрически линейный анализ, проведенный в работах [3–11], лишь предсказывает экспоненциальный рост синусоидальной формы потери устойчивости в диапазоне длин
волн, бо́льших критического значения, и не позволяет проследить эволюцию рельефа поверхности. Напротив, в работе [18] рассмотрена аналитическая модель, которая
охватывает некоторые особенности образования глубоких острых впадин. В данной
модели эволюция рельефа описывается семейством циклоид. Тем не менее, для того чтобы проследить более полную динамику развития рельефа, необходимо учесть
нелинейные слагаемые в эволюционном уравнении поверхности. По-видимому, впервые подобный нелинейный анализ был проведен Yang и Srolovitz [19]. Они доказали,
численно решив нелинейное эволюционное уравнение, что при потери устойчивости
форма рельефа напряженного твердого тела со временем меняется от слабой волнистости до острых глубоких впадин с гладкими вершинами. Позже этот результат был
подтвержден Spencer и Meiron [20]. Дальнейшее теоретическое исследование динамики развития рельефа тонких пленочных покрытий показало, что впадины, достигнув
границы раздела, разбивают пленку на островки [21–24].
Представленная статья является дальнейшим развитием исследований [25–26] по
изучению механизма формирования регулярных структур на поверхности пленочного покрытия. Здесь, как и в [26], предполагается, что под действием интенсивного
внешнего нагрева поверхность пленочного покрытия становится волнистой. Процесс
волнообразования рассматривается как эффект потери устойчивости плоской формы поверхности при малом периодическом возмущении. В отличие от работ [1–14,
25, 26], в которых рассматривалась только синусоидальная форма потери устойчивости, основной целью настоящей статьи является анализ влияния различных форм
возмущения на нестабильность поверхности пленочного покрытия. При этом считается, что морфология поверхности определяется комбинированным влиянием объемной
и поверхностной диффузии.
2. Постановка задачи. Предполагается, что под действием интенсивного нагрева поверхностного слоя происходит образование регулярных структур на поверхности пленки вследствие совместного действия поверхностной и объемной диффузии.
Будем считать, что форма потери устойчивости захватывает лишь поверхностный
слой, толщина которого пренебрежимо мала по сравнению с толщиной пленки. При
этом допускается, что материал поверхностного слоя обладает упругими свойствами материала пленки. Диффузионный процесс также локализован лишь в данном
поверхностном слое.
Задача формулируется в двумерной постановке. Пусть в начальный момент времени упругое тело, занимающее полупространство x2 < 0, имеет пленочное покрытие
102
с первоночально плоской поверхностью 0 < x2 < h0 и находится в условиях плоской
деформации при действии нормальных усилий на бесконечности, параллельных оси
x1 . Тогда можно перейти к рассмотрению полуплоскости Ω1 = {z : Im z < 0, Re z ∈
R1 }, соединенной с полосой Ω2 = {z : 0 < Im z < h0 , Re z ∈ R1 }, при идеальном
сцеплении по границе раздела Γc = {z : z ≡ zc , Im z = 0, Re z ∈ R1 }, т. е. при
выполнении условий
∆u(zc ) = u+ (zc ) − u− (zc ) = 0;
±
±
∆σ(zc ) = σ + − σ − = 0;
z c ∈ Γc ,
(1)
где z = x1 + ix2 ; σ (zc ) = lim σ(z); u (zc ) = lim u(z); u = u1 + iu2 ; σ = σnn +
x2 →±0
x2 →±0
iσnt ; u1 , u2 — компоненты вектора перемещений, соответственно, вдоль осей x1 , x2 ;
σnn , σnt – нормальные и касательные усилия на площадке с нормалью n (орт n в (1)
перпендикулярен оси x1 ). Орты n, t определяют правую систему координат n, t.
Предполагается, что поверхность пленки свободна от внешних усилий:
σ(z) = 0,
z ∈ Γb .
(2)
В полосе Ω2 действует постоянное продольное напряжение σ0 ,
σ11 (z) = σ0 ,
z ∈ Ω2 ,
(3)
а в полуплоскости — согласованное с условиями непрерывности перемещений на Γc
(1) напряжение σ1 ,
E1 (1 − ν22 )
σ11 (z) = σ1 =
σ0 , z ∈ Ω1 ,
(4)
E2 (1 − ν12 )
где Ek , νk — модуль Юнга и коэффициент Пуассона среды Ωk (k = 1, 2) соответственно. Остальные напряжения равны нулю. Кроме того, считается, что на бесконечности
угол поворота материальной частицы также равен нулю.
Принимая во внимание результаты исследований [16–20], морфологию поверхности зададим с помощью произвольной функции
h(x1 , t) = h0 + A(t)f (x1 ),
(5)
где |f (x1 )| ≤ 1, f (x1 ) = f (−x1 ) = f (x1 + λ), A(t)/λ = ε ≪ 1, A(0) = A0 6= 0 —
амплитуда возмущения. При этом искривление поверхности будем считать малым,
т. е.
∂
∂
∂
∂
≈
,
≈
, |∂h/∂x1 | ≪ 1.
(6)
∂s
∂x1
∂n
∂x2
Выражение (5) в рамках геометрически линейной задачи устойчивости рассматривается как малое возмущение первоначально плоской поверхности пленочного покрытия. Тогда, как и ранее в работах [25, 26], устойчивому состоянию плоской формы
поверхности пленки будут отвечать те значения входящих в решение задачи параметров, при которых lim A(t) = 0. Таким образом, задача сводится к нахождению
t→∞
зависимости амплитуды A произвольного искривления (5) от времени, при этом учитывается влияние объемной и поверхностной диффузии.
3. Критерий устойчивости плоской формы поверхности пленочного покрытия. Следуя работам [13, 14], будем считать, что эволюция напряженной криволинейной поверхности пленки происходит под воздействием поверхностной диффузии, определяемой производной химического потенциала вдоль поверхности, и объемной диффузии, связанной с изменением напряжений вдоль криволинейной поверхности и капиллярным эффектом. При этом, следуя [3], в выражении для химического
103
потенциала мы пренебрегаем температурными слагаемыми и в качестве полной энергии системы рассматриваем сумму упругой энергии деформации и поверхностной
энергии. Как уже было сказано выше, диффузионный процесс локализован вблизи искривленной поверхности, поэтому для вычисления скорости движения точек
поверхности помимо потока массы вдоль искривленной поверхности использовался
поток массы по нормали к поверхности:
2
∂h(x1 , t)
∂2
∂2h
∂ h
= Ks 2 U (x1 , t) − γ 2 + Kv k γ 2 + ∆P (x1 , t) .
(7)
∂t
∂x1
∂x1
∂x1
Здесь введены следующие обозначения: k = 2π/λ — волновое число, Ks =
Ds Cs Ω2 /kb T , Kv = Dv Cv Ω/kb T , где Ω — атомный объем, Ds — коэффициент поверхностной самодиффузии, Cs — концентрация поверхностных дефектов, kb — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, Dv — коэффициент самодиффузии вакансий, Cs — концентрация вакансий в пленке с плоской поверхностью.
Полагая, что при потере устойчивости рельеф поверхности не меняет своей формы, а лишь экспоненциально возрастает, для того чтобы получить явную зависимость амплитуды от времени введем усреднение нормальной скорости движения точек поверхности пленочного покрытия по половине длины впадины, т. е. на интервале
[0, x0 ] (x0 ∈ [0, λ/2] : f (x0 ) = 0).
Это позволяет перейти к рассмотрению усредненного уравнения движения части
поверхности, соответствующей впадине (или выступу):
Zx0
0
2
Zx0
∂h(x1 , t)
∂2
∂ 2 h(x1 , t)
∂ h(x1 , t)
dx1 =
Ks 2 U (x1 , t)−γ
+K
k
γ
+∆P
(x
,
t)
dx1.
v
1
∂t
∂x1
∂x21
∂x21
0
(8)
Как и в работах [25, 26], процесс потери устойчивости плоской формы поверхности напряженного твердого тела рассматривается в квазистатической постановке,
в силу чего для определения напряженно-деформированного состояния композита
строится решение статической задачи теории упругости при фиксированном значении времени. При этом используется метод разложения по малому параметру, описанный в [25], где в качестве малого параметра выступает отношение амплитуды к
длине периода возмущения.
Следуя методу возмущений [27], вариацию гидростатического напряжения
∆P (x1 , t) на поверхности в результате искривления последней при плоской деформации, а также упругую энергию деформации U (x1 , t) криволинейной поверхности
находим в первом приближении
1
0
σij (z) = σij
(z) + εσij
(z) + o(ε),
ui (z) = u0i (z) + εu1i (z) + o(ε)
(9)
из решения задачи теории упругости для полосы, соединенной с полуплоскостью, при
действии соответствующих усилий на прямолинейной границе Γb
1
1
(z0 ) − iσ12
(z0 ) = λ [σs f ′′ (x1 ) − iσ0 f ′ (x1 )] , z0 = x1 + ih,
σ22
(10)
где σs — поверхностное напряжение.
При этом функции U (x1 , t) и ∆P (x1 , t) находим по следующим формулам [24]:
1
1
1
(1 + ν2 ) ε σ11
(z0 ) + σ22
(z0 ) ,
3
2
1 − ν2
ν2
2
1
1
U (x1 , t) =
σ0 + 2εσ0 σ11 (z0 ) −
σ (z0 ) .
2E2
1 − ν2 22
∆P (x1 , t) =
104
(11)
(12)
Согласно работе [28], принимая во внимание разложение функции f (x1 ) в ряд
Фурье, решение задачи (1), (10) при lim σij (z) = 0 запишем в виде
Imz→ −∞
ε111 (z0 ) = −2π
где
∞
X
Pn an cos nkx1 ,
n=1
∞ 1 X 2πnE2
2
1
σ11 (z0 ) = −
Pn + ν2 σs (nk) ελ an cos nkx1 ,
1 − ν2 n=1 1 + ν2
Pn =
(13)
Cn1 1 + N1 (κ2 − 2nkh0 ) e−2nkh0 −
2µ2
i
Cn2 h
2
κ2 + N2 + 4N1 (nkh0 ) − 2N1 2 nkh0 e−2nkh0 ,
2µ2
Dn1 1 − N2 + 4N1 k 2 h20 e−2kh0 − 2Dn2 N1 kh0 e−2kh0
1
Cn =
,
1 − (N1 + N2 + 4N1 k 2 h20 ) e−2kh0 + N1 N2 e−4kh0
−
Cn2
2Dn1 N1 nkh0 e−2nkh0 − Dn1 1 − N1 e−2nkh0
=
,
2
1 − N1 + N2 + 4N1 (nkh0 ) e−2nkh0 + N1 N2 e−4nkh0
Dn1 =
1
1
(σ0 − nkσs ), Dn2 = (σ0 + nkσs ),
2
2
N1 =
µ−1
µκ1 − κ2
µ2
, N2 =
, µ=
,
µ + κ2
µκ1 + 1
µ1
κj = (3 − νj ) / (1 + νj ) при плоском напряженном состоянии, κj = (3 − 4νj ) при плоской деформации; µi — модуль сдвига компоненты среды Ωi (i = 1, 2), an — коэффициенты разложения функции f (x1 ) в ряд Фурье на отрезке [−λ/2, λ/2].
С учетом соотношений (5), (11)–(13) интегрирование уравнения (7) при условии
A(0) = A0 приводит к следующей зависимости амплитуды A искривления от времени t, физических и геометрических параметров задачи, входящих в выражение для
величин Qj , j = 1, 4:
A (t)
ln
= 8π 2 Ks λ−3 ×
A0
∞ P
Qn1 − Q2 λ−1 − D (Qn3 λ + Q4 ) an n−1 sin (nkx0 )
(14)
× n=1
t.
∞
P
an n−1 sin (nkx0 )
n=1
В (14) для удобства приняты следующие обозначения:
D=
Kv Ω
Dv Cv
=
,
Ks
Ds Cs
Qn3 =
Qn1 =
1 + ν2
(Pn + σs kn) ,
3Ω
πσ0
[(1 − ν2 ) Pn − ν2 σs nk] ,
2µ2
Q4 =
Q2 = 2π 2 γ,
2πγ
.
Ω
105
Из (14) следует, что lim A (t) = 0, т. е. происходит сглаживание рельефа поверхt→∞
ности, если
∞ P
Pn1 − Pn2 λ−1 − D Pn3 λ + Pn4 an n−1 sin (nkx0 )
n=1
< 0.
(15)
∞
P
an n−1 sin (nkx0 )
n=1
В этом случае плоская форма поверхности пленки считается устойчивой. Значение
λ = λcr , при котором левая часть неравенства (14) равна нулю, является критическим. При λ > λcr амплитуда волнообразования поверхности возрастает со временем,
т. е. происходит искривление поверхности пленки.
4. Анализ влияния формы возмущения на устойчивость плоской поверхности пленки. В качестве примера рассмотрим систему тепловой защиты с
никелевым пленочным покрытием, для которого µ2 = 100 GP a, ν2 = 1/3, γ =
1 J/m2 , Ω = 4, 29 × 10−29 m3 [29]. Коэффициент Пуассона основания также примем
равным ν2 = 1/3.
Заметим, что коэффициент D, зависящий от ориентации кристалла, температуры, чистоты поверхности, может меняться в пределах нескольких порядков. Согласно
экспериментальным данным ряда исследователей для никелевых пленочных покрытий значение этого коэффициента отмечается равным 1, 5 × 10−25m2 при температуре
1273 K и 1, 8 × 10−24 m2 при 1473K [30]; в других же работах считается, что данный
коэффициент меняется в диапозоне от 2, 5 × 10−25 m2 до 10−24 m2 при 1273 K, от
1, 3 × 10−24 m2 до 3, 7 × 10−24 m2 при 1473 K [31].
Как уже было отмечено во введении, геометрически линейный анализ, проведенный в работах [3–10], лишь предсказывает экспоненциальный рост синусоидальной
формы потери устойчивости в диапазоне длин волн больших критического значения и не позволяет проследить эволюцию рельефа поверхности. Напротив, в работе
[24] предложен вариационный принцип, основанный на уравнениях неравновесной
термодинамики, что позволило выявить более богатую динамику развития рельефа
поверхности твердого тела.
Рассмотрев следующую функцию
Re sh−2 (π (y0 + ix1 ) /λ)
f (x1 , y0 ) = −
.
(16)
Re sh−2 (πy0 /λ) Мы выяснили, что при различных фиксированных значениях параметра y0 представленные кривые довольно хорошо описывают полученный численно в [24] рельеф поверхности в различные моменты времени t. Так, на рис. 1 приведен график функции
A0 f (x1 , y0 ) при различных значениях параметров y0 , A0 (кривые 1, 2, 3 построены
при следующих значениях: y0 = 6, A0 = 0.04; y0 = 3, A0 = 0.1; y0 = 1, A0 = 0.6 и
соответсвуют форме рельефа, полученного авторами работы [24] при нормированном
значении времени t̃ = 70; 75; 75.6).
Таким образом исследуем устойчивость поверхности пленочного покрытия к возмущениям вида (5), (14) при фиксированном значении y0 . При этом, используя разложение функции (14) в ряд Фурье, ограничимся конечным числом членов ряда, а
в качестве критерия точности аппроксимации функции f (x1 ) примем интегральный
критерий
|IN − I| < e |I| ,
(17)
106
Рис. 1.
где
Za/2
Za/2X
N
I=
f (x1 )dx1 , IN =
ak cos(nkx1 )dx1 .
0
0
(18)
k=0
Условие (17), (18) позволяет найти наименьшее число N гармоник ряда Фурье,
отвечаеющее заданному значению погрешности e. Так, при y0 = 1.5 форма рельефа
с точностью e = 0.01 будет описываться шестью гармониками, а при y0 = 6 — одной.
На рис. 2 построена зависимость нормированного изменения амплитуды волнообразования A(t)/A0 от длины волны λ (14), т. е. график функции
F (λ) =
∞ P
Pn1 − Pn2 λ−1 − D Pn3 λ + Pn4 an n−1 sin (nkx0 )
n=1
∞
P
n=1
an
n−1
,
(19)
sin (nkx0 )
при различных значениях параметра y0 (кривым 1, 2 соответствуют значения y0 =
2; 6), σ0 = −25 M P a (сплошные линии), σ0 = +25 M P a (пунктирные), h0 = 1 µm,
E1 /E2 = 10, σs = 1 N/m, D = 10−25 m2 . Точка пересечения кривой с осью абсцисс
соответствует критическому значению длины волны λcr . Значение длины волны λ =
λh соответствует наибольшей скорости роста волнистости.
На рис. 3 представлена зависимость критической длины волны λcr от параметра y0 при различных значениях относительной жесткости E1 /E2 (кривым 1, 2
соответсвуют значения E1 /E2 = 10; 0.1), h0 = 1 µm, σs = 1 N/m, D = 10−25 m2 ,
σ0 = −25 M P a.
Из рис. 2, 3 видно, что увеличение параметра y0 приводит к увеличению критического значения длины волны, при этом скорость изменения амплитуды уменьшается
(рис. 2). Отметим также, что с увеличением длины волны влияние формы потери
устойчивости на скорость роста волнистости уменьшается (рис. 2). В случае комбинированного действия объемной и поверхностной диффузии знак приложенных усилий
заметно влияет на устойчивость плоской формы поверхности пленочного покрытия.
Так, из рис. 2 следует, что при одном и том же модуле сжимающие усилия приводят к
107
Рис. 2.
Рис. 3.
образованию рельефа, в то время как растягивающие усилия, напротив, сглаживают
начальное возмущение. Из рис. 3 видно, что уменьшение относительной жесткости
приводит к уменьшению критической длины волны (более жесткой пленке отвечает
меньшее значение λcr ), а также к уменьшению влияния формы потери устойчивости.
На рис. 4 приведена зависимость критической длины волны λcr от продольных усилий σ0 при различных значениях параметра y0 (кривым 1, 2 соответствуют
значения y0 = 2; 6), D = 10−26 m2 (пунктирные лини), D = 10−25 m2 (сплошные),
E1 /E2 = 10, h0 = 1 µm, σs = 1 N/m.
На рис. 5 построена зависимость критической длины волны λcr от коэффициента
D при различных значениях относительной жесткости E1 /E2 (кривым 1, 2 соответствуют значения E1 /E2 = 0.1, 0.01), y0 = 2 (пунктирные лини), y0 = 6 (сплошные),
h0 = 1, µm, σ0 = −30 M P a, σs = 1 N/m.
Рис. 4.
108
Рис. 5.
Из рис. 4 видно, что с увеличением сжимающих усилий и влияния объемной диффузии (что соответсвует увеличению коэффициента D) критическое значение длины
волны уменьшается. Заметим также, что увеличение влияния объемной диффузии
приводит к уменьшению влияния формы потери устойчивости на критическое значение длины волны.
Из рис. 5 можно увидеть, что чем меньше значение параметра D (чем меньше
влияние объемной диффузии), тем чувствительнее критическая длина волны к изменению относительной жесткости системы, а также к изменению формы возмущения.
На рис. 6 приведена зависимость критической длины волны λcr от толщины
пленки h0 при различных значениях относительной жесткости E1 /E2 (кривым 1,
2, 3 соответствуют значения E1 /E2 = 10, 1, 0.1), y0 = 6 (рис. 6, а), y0 = 2 (рис. 6, б ),
D = 10−25 m2 , σ0 = −15 M P a, σs = 1 N/m.
Рис. 6.
Из рис. 6 следует, что в случае мягкой пленки (кривые 1 ) уменьшение толщины
покрытия приводит к увеличению критической длины волны, а вслучае жесткой —
наоборот, к уменьшению (кривые 2 ). При этом влияние относительной жесткости,
а также формы возмущения поверхности на критическую длину волнообразования
возрастает с уменьшением толщины пленки.
5. Эволюция рельефа поверхности. Проследим развитие рельефа, допустив,
что форма поверхности в случае потери устойчивости все же меняется со временем.
Для этого изменение рельефа со временем будем описывать следующей функцией:
h(x1 , t) = h0 + G(x1 , t), G(x1 , t) = G(−x1 , t) = G(x1 + λ, t),
(20)
где G(x1 , 0) = f (x1 ) — начальное возмущение.
Фунцию f (x1 ) расскладываем в ряд Фурье на отрезке [−λ/2, λ/2], при этом,
используя интегральный критерий точности аппроксимации (17), (18), ограничемся конечным числом N членов ряда. Тогда, раскладывая функцию G(x1 , t) в ряд
Фурье по переменной x1 на аналогичном отрезке и удерживая N членов ряда, подставим полученные выражения в эволюционное уравнение (7). После чего приходим
109
Рис. 7.
к N дифференциальным уравнениям первого порядка относительно коэффициентов
An (t), решение которых с учетом (20) запишем в виде
An (t) = an exp 8π 2 Ks λ−3 Qn1 − Q2 λ−1 − D (Qn3 λ + Q4 ) t , n = 1, N.
(21)
В силу того, что эволюционная задача, как и задача потери устойчивости, решается нами в геометрически линейной постановке, на коэффициенты разложения
функции G в ряд Фурье накладываем следующие ограничения: An (t)/λ ≪ 1, ∀t.
На рис. 7 показано развитие рельефа со временем (кривые 1, 2, 3 соответсвуют
значениям приведенного времени t̂ = π 2 Ks tγ/λ4 × 10−19 = 7, 8; 15, 6; 23, 4) в случае
λ = 200 µm, D = 10−25 m2 , σ0 = −25 M P a, σs = 1 N/m, E1 /E2 = 10, h0 = 1 µm. В
качестве начального возмущения была взята функция (16): f (x1 ) = 10−3 × f (x1 , 2).
Литература
1. Freund L. B., Suresh S. Thin film materials: stress, defect formation and surface evolution.
Cambridge University Press, 2003. 820 p.
2. Каур И., Густ В. Диффузия по границам зерен и фаз. М.: Машиностроение, 1991.
448 с.
3. Asaro R. J., Tiller W. A. Interface morphology development during stress corrosion cracking: Part I. Via surface diffusion // Metallurgical Transactions. 1972. Vol. 3. P. 1789–1796.
4. Гринфельд М. А. Неустойчивость границы раздела между негидростатически напряженным упругим телом и расплавом // Докл. АН СССР. 1986. Т. 290, № 6. С. 1358–1363.
5. Grinfeld M. A. The stress driven instabilities in elastic crystals: mathematical models and
physical manifestation // J. of Nonlinear Science. 1993. Vol. 3, N 1. P. 35–83.
6. Srolovitz D. J. On the stability of surfaces of stressed solids // Acta Metallurgica. 1989.
Vol. 7, N 2. P. 621–625.
7. Spencer B. J., Voorhees P. W., Davis S. H. Morphological instability in epitaxially strained
dislocation-free films // Physical Review Letters. 1991. Vol. 67. P. 3696–3699.
8. Freund L. B., Jonsdottir F. Instability of a biaxially stressed thin film on a substrate due
to material diffusion // J. Mechanics and Physics of Solids. 1993. Vol. 41, N 7. P. 1245–1264.
9. Grilhe J. Study of roughness formation induced by homogeneous stress at the free surfaces
of solids // Acta Metallurgica and Materialia, 1993. Vol. 41, N 3. P. 909–913.
110
10. Пыткин А. В. Формирование микрорельефа на свободной поверхности твердого тела
под действием самодиффузии // Вестник молодых ученых. СПб., 2000. С. 86–90.
11. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. О депланации грани кристалла в
условиях поверхностной диффузии // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 1999. № 2. С. 53–
57.
12. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. О влиянии объемной диффузии на
потерю устойчивости поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 1999. № 4. С. 97–101.
13. Mullins W. W. Solid surface morphologies governed by capillarity // Metal Surfaces:
Structure, Energetics and Kinetics / W. D. Robertson, N. A. Gjostein eds. 1963. P. 17–66.
14. Panat R., Hsia K. J., Cahill D. G. Evolution of surface waviness in thin films via volume
and surface diffusion // J. Appl. Phys. 2005. Vol. 97, N 013521. P. 1–7.
15. Yao J. Y., Andersson T. G., Dunlop G. L. Microstructures and critical thicknesses of
InxGa1-xAs/GaAs strained-layer structures // Semicond. Sci. Technol. 1994. Vol. 9. P. 1086–1095.
16. Jesson D. E., Pennycook S. J., Baribeau J. M. Direct imaging of surface cusp evolution
during strained-layer epitaxy and implications for strain relaxation // Phys. Rev. Lett. 1993.
Vol. 71. P. 1744–1747.
17. Eaglesham D. J., Cerullo M. Dislocation-free Stranski—Krastanov growth of Ge on Si //
Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64, N 16. P. 1943.
18. Chiu C., Gao H. Stress singularities along a cycloid rough surface // Int. J. Solids Struct.
1993. Vol. 30. P. 2983–3012.
19. Yang W. H., Srolovitz D. J. Crack-like surface instabilities in stressed solids // Phys. Rev.
Lett. 1993. Vol. 71. P. 1593–1596.
20. Spencer B. J., Meiron D. I. Nonlinear evolution of the stress-driven morphological instability in a two-dimensional semi-infinite solid // Acta Metall. Mat. 1993. Vol. 42. P. 3629–3641.
21. Chiu C., Gao H. A numerical study of stress controlled surface diffusion during epitaxial
film growth // Mat. Res. Soc. Symp. Proc. 1995. Vol. 356. P. 33–44.
22. Zhang Y. W., Bower A. F. Numerical simulation of island formation in a coherent strained
epitaxial thin film system // J. Mech. Phys. Solids. 1999. Vol. 47, N 11. P. 2273–2297.
23. Yang X., Weinan E. Nonlinear evolution equation for the stress-driven morphological
instability // J. App. Phys. 2002. Vol. 91, N 11. P. 9414–9422.
24. Pang Y., Huang R. Nonlinear effect of stress and wetting on surface evolution of epitaxial
thin films // Phys. Rev. 2006. B 74, 075413. P. 1–11.
25. Греков М. А., Костырко С. А. Устойчивость плоской формы пленочного покрытия
при поверхностной диффузии // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. № 1. С. 46–54.
26. Греков М. А., Костырко С. А. Формирование рельефа поверхности пленочного покрытия при поверхностной и объемной диффузии // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008.
№ 1. С. 106–113.
27. Греков М. А., Макаров С. Н. Двухкомпонентная упругая среда с волнистой межфазной поверхностью // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого
тела. СПб.: СПбГУ, 2003. Вып. 7. С. 275–285.
28. Греков М. А., Костырко С. А. Напряженное состояние тонкого покрытия при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 10. 2004. № 4. С. 99–107.
29. Blakely J. M., Mykura H. The effect of impurity adsorption on the surface energy and
surface self diffusion in nickel // Acta Metall. 1961. Vol. 9, N 6. P. 595–599.
30. Gjostein N. A., Bonzel H. P. Diffraction Theory of Sinusoidal Gratings and Application
to In Situ Surface Self-Diffusion Measurements // J. Appl. Phys. 1968. Vol. 39. P. 3480–3491.
31. Maiya P. S., Blakely J. M. Surface Self-Diffusion and Surface Energy of Nickel // J. Appl.
Phys. 1967. Vol. 38, N 2. P. 698.
Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.
111
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
376 Кб
Теги
диффузионные, влияние, возмущений, процесса, покрытия, устойчивость, плоское, поверхности, пленочной, формы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа