close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О расчете параметров тетраэдрических расщеплений в колебательных спектрах молекул типа хy 4 симметрии т d определение колебательных функций в симметризованной форме.

код для вставкиСкачать
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
УДК 539.194
Н. И. Распопова, И. А. Конов, И. Б. Болотова, Ю. В. Кривчикова
О РАСЧЕТЕ ПАРАМЕТРОВ ТЕТРАЭДРИЧЕСКИХ
РАСЩЕПЛЕНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
СПЕКТРАХ МОЛЕКУЛ ТИПА XY4 СИММЕТРИИ Td:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В СИММЕТРИЗОВАННОЙ ФОРМЕ1
Аннотация. Целью работы является разработка высокоэффективного метода
определения колебательной структуры молекул высокой симметрии типа XY4,
а именно построение колебательных волновых функций, симметризованных
в группе симметрии Td, и на этой основе получение аналитических выражений
для расчета тетраэдрических расщеплений высоковозбужденных колебательных состояний. Для реализации поставленной цели были решены следующие
задачи: 1) построение симметризованных волновых функций с использованием свойства симметрии молекулы, а также результатов и теоремы теории неприводимых тензорных систем; 2) разработка и практическая реализация метода построения в аналитическом виде матричных элементов гамильтониана
молекулы на полученных симметризованных волновых функциях; 3) разработка алгоритмов и создание программ на языке программирования MAPLE
для получения выражений, определяющих тетраэдрические расщепления. Математический аппарат теории неприводимых тензорных операторов использовался для определения в симметризованной форме гамильтониана и колебательных волновых функций молекул тетраэдрической симметрии. На этой основе с применением языков аналитического программирования MAPLE и
MATHEMATICA определены аналитические формулы, позволяющие определить зависимость собственных значений колебательного гамильтониана такого типа молекул от параметров тетраэдрических расщеплений. На основе теории неприводимых тензорных операторов решена задача построения симметризованных волновых функций. Разработан и практически реализован метод
построения в аналитическом виде матричных элементов гамильтониана молекулы на полученных симметризованных волновых функциях. Разработан алгоритм и создана программа на языке аналитического программирования
MAPLE, позволяющая как в аналитической форме, так и численно определить
тетраэдрические расщепления в молекулах типа XY4 симметрии Td. Полученные в работе результаты позволяют предсказывать с высокой точностью значения колебательных энергий состояний симметрии F1 молекул типа XY4(Td)
вплоть до состояний, соответствующих восьмикратному возбуждению колебательных квантов, и создают основу для выполнения аналогичных расчетов колебательных состояний другой симметрии.
Ключевые слова: молекулы высокой симметрии, колебательные состояния,
тетраэдрические расщепления.
N. I. Raspopova, I. A. Konov, I. B. Bolotova, Y. V. Krivchikova
ON THE CALCULATION OF PARAMETERS
OF TETRAHEDRAL SPLITTINGS IN VIBRATIONAL SPECTRA
1
Работа частично финансирована Федеральным агентством по науке и инновациям
России по контракту № 02.740.11.0238.
Physics and mathematics sciences. Physics
239
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
OF XY4 MOLECULES OF Td SYMMETRY: DETERMINATION
OF VIBRATIONAL FUNCTIONS IN SYMMETRIZED FORM
Abstract. Objective: development of a highly effective method of determination of
vibrational structure of XY4 molecules of high symmetry, namely, construction of
vibrational wave functions, symmetrized in the Td symmetry group, and determination of analytical expressions for calculation of tetrahedral splittings of the highexcited vibrational states using the mentioned symmetrized wave functions.
In order to achieve assigned objectives the following tasks were solved: 1. Using
properties of symmetry of a molecule, and also results and theorems of the Irreducible Tensorial System Theory the problem of construction of symmetrized wave
functions was solved. 2. Development and practical realization of a method of construction of matrix elements of Hamiltonian of a molecule in analytical form using
the obtained symmetrized wave functions. 3. Development of algorithms and creation of programs in the MAPLE programming language for determination of expressions describing tetrahedral splittings. The mathematical apparatus of the irreducible
tensorial operators theory was used for determination of a Hamiltonian in a symmetrized form and vibrational wave functions of molecules of tetrahedral symmetry.
On that basis, using analytical programming language MAPLE and
MATHIMATICS, the analytical formulas, allowing to determine the dependence of
eigen values of vibrational Hamiltonian of such molecules on the parameters of tetrahedral splittings were obtained. Results: 1. On the basis of the irreducible tensorial
operators theory the problem of construction of symmetrized wave functions was
solved. 2. The method of construction of matrix elements of Hamiltonian of a molecule in analytical form using the obtained symmetrized wave functions was developed and practically realized. 3. The authors developed an algorithm and created a
program on the basis of analytical programming language MAPLE, allowing both
analytically and numerically determine the tetrahedral splitting in XY4 molecules of
Td symmetry. The results obtained in this work allow predicting with high accuracy
the values of vibrational energies of F1 symmetry states of XY4 (Td) molecules up to
the states corresponding to eightfold excitation of vibrational quanta, and create a
basis for realization of similar calculations of vibrational states of other symmetry.
Key words: molecules of high symmetry, vibrational states, tetrahedral splittings.
Спектры высокого разрешения (колебательно-вращательные) являются
уникальным и вплоть до настоящего времени наиболее точным источником
количественной информации о структуре и внутренней динамике многоатомных молекул. Среди множества многоатомных молекул особое место занимают молекулы, в равновесной конфигурации обладающие высокой симметрией (Td или Oh). Наличие высокой симметрии, с одной стороны, позволяет
существенно унифицировать расчеты, но, с другой стороны, в ряде случаев
приводит к значительным сложностям при их практической реализации.
Вплоть до недавнего времени к подобного рода проблемам относились попытки определить в аналитическом виде так называемые тетраэдрические
расщепления в колебательных спектрах молекул симметрии Td для трех- и
более кратного возбуждения колебательных мод. Для самых низших колебательных состояний задача была решена почти 50 лет назад [1]. Колебательные состояния симметрии F2 были исследованы недавно1 в работе [2] вплоть
1
Ulenikov O. N., Bekhtereva E. S., Bauerecker S., Albert S., Niederer.H.-M., Quack M. // Survey of the High Resolution Infrared Spectrum of Methane 12CH4 and 13CH4: Partial Vibrational Assignment Extended Towards 12000 cm-1 (в печати).
240
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
до 12000 см–1. В данном сообщении мы приводим результаты, позволяющие
определить в аналитической симметризованной форме функции всех колебательных состояний симметрии F1 и, как следствие, также в аналитической
форме определить тетраэдрические расщепления/сдвиги соответствующих F1
колебательных уровней.
Известно [3], что колебательные энергии молекулы типа XY4 симметрии Td определяются общей формулой
Evib. = Eυ + W (m2 z , l3 , l4 , l , Γ),
(1)
где первое слагаемое Eυ описывает невозмущенные колебательные состояния и имеет очень простой вид:
Eυ =
 xij (υi + di / 2)(υ j + d j / 2),
(2)
i< j
здесь индексы i и j нумеруют колебательные моды молекулы XY4; ωi и xij –
гармонические частоты и коэффициенты ангармоничности соответственно;
1
3
для одномерных, двумерных или трехмерных колебаний соотdi = , 1 или
2
2
ветственно. Второе слагаемое в (1) описывает упомянутые выше тетраэдрические расщепления уровней, задаваемых первым слагаемым. Определение
именно величин W (m2 z , l3 , l4 , l , Γ) в выражении (1) в аналитическом виде представляет собой серьезную проблему (индекс Γ здесь различает симметрию колебательных состояний с совпадающими остальными квантовыми числами).
В то же время для выполнения качественного анализа колебательной структуры необходимо иметь величины W именно в аналитической форме.
Для решения задачи определения величин W (m2 z , l3 , l4 , l , Γ) необходимо знать операторы в гамильтониане молекулы, ответственные за тетраэдрические расщепления различного типа и иметь в аналитической форме симметризованные колебательные функции различных состояний молекулы. Необходимые для решения задачи операторы могут быть взяты из работы [1].
Поэтому данное сообщение посвящено в основном решению задачи о построении необходимых волновых функций.
Следуя теории неприводимых тензорных операторов [3, 4], можно показать, что симметризованные колебательные волновые функции молекулы
XY4 симметрии Td должны иметь следующий вид:
v1; v2l2 γ 2 ; v3l3 , v4l4 , l nl γ 34 ; nγσ = v1
( v2l2 γ 2 ) ⊗ ( v3l3 , v4l4 , l nl γ34 )σnγ .
(3)
Здесь v1 – элементарные функции невырожденного осциллятора, связанного с колебательной модой Q1 ; v2l2 γ 2 – симметризованные функции
дважды вырожденного гармонического осциллятора, где γ 2 – симметрия
этих функций; знак ⊗ означает «тензорное произведение». Третьи функции,
v3l3 , v4l4 , l nl γ 34 , в правой части выражения (3) связаны с трижды вырожденными колебательными модами и имеют существенно более сложный вид
по сравнению с первыми двумя:
Physics and mathematics sciences. Physics
241
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
l
v3l3 , v4l4 , l nl γ 34 =

m =−l
l
=

m =−l
(l ) m
Gn γ σ
l 34 34
(l ) m
Gn γ σ
l 34 34

l3 −l4 ≤l ≤l3 +l4

l3 −l4 ≤l ≤l3 +l4
( v3l3
⊗ v4l4
)l
=
m
Сllmm l m v3l3m3 v4l4 m4 .
3 34 4
(4)
В выражении (4) Сllmm l m – это хорошо известные коэффициенты
3 34 4
Клебша-Гордана (см., например, [5]). Наибольшую сложность при определении волновых функций (4) представляют коэффициенты (l )Gnmγ σ – элеl 34 34
менты так называемых G-матриц, обеспечивающих редукцию функций, преобразующихся по неприводимым представлениям DJ группы SO(3), к функциям, преобразующимся по неприводимым представлениям группы Td.
Не останавливаясь здесь на деталях, отметим, что, как было показано
в работах [6, 7], элементы G-матриц могут быть определены из решения системы линейных уравнений
J

m =− J
(J )
Dmk
(α, β, γ; R ) ( J )GnmΓσ =
 DσΓs ( R) ( J )GnkΓs .
(5)
s
В выражении (5) DσΓs ( R ) ( J ) – элементы матрицы неприводимого пред(J )
ставления Г группы Td, соответствующей элементу группы R; Dmk
(α, β, γ; R ) –
D-функции Вигнера (см., например, [5]) с углами α, β, γ , также соответствующими элементу группы R. Значения углов, соответствующие различным
элементам R группы Td, приведены в табл. 1.
Таблица 1
Значения углов α, β и γ, определяющих D-функции
Вигнера для различных операций из группы симметрии Td
Операция
E
C3(111)
C23(111)
C3(-111)
C23(-111)
C3(-1-11)
C23(-1-11)
C3(1-11)
C23(1-11)
C2(x)
C2(y)
C2(z)
242
Α
0
π/2
π
0
π/2
–π/2
0
π
–π/2
π
0
Π
β
0
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π/2
π
π
0
γ
0
0
π/2
π/2
π
π
–π/2
–π/2
0
0
0
0
Операция
S4(x)
S34(x)
S4(y)
S34(y)
S4(z)
S34(z)
σd(011)
σd(0-11)
σd(101)
σd(10-1)
σd(110)
σd(-101)
α
–π/2
π/2
π
0
–π/2
π/2
π/2
–π/2
π
0
π/2
–π/2
β
π/2
π/2
π/2
π/2
0
0
π/2
π/2
π/2
π/2
π
π
γ
π/2
–π/2
π
0
0
0
π/2
–π/2
0
π
0
0
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Для решения системы уравнений была создана программа на языке
MAPLE, с помощью которой были определены в аналитической форме все
отличные от нуля элементы ( J )Gnmγ σ для значений числа J ≤ 20. Полуl 34 34
ченные таким образом значения величин ( J )Gnmγ σ можно теперь использоl 34 34
вать в формуле (4) для построения симметризованных функций. Поскольку
объем полученной информации чрезвычайно велик, здесь в качестве иллюстрации мы приводим лишь две из полученных симметризованных функций:
2v3 + v4 , 2 F1z =
1
3
{ v3 = l3 = 2m3 = 1
v4 = l4 = m4 = 1 +
+ v3 = l3 = 2m3 = −1 v4 = l4 = m4 = −1 } +
+
1
6
{ v3 = l3 = m3 = 2
v4 = l4 = m4 = 0 +
+ v3 = l3 = 2m3 = −2 v4 = l4 = m4 = 0 } ;
v2 + v3 + 2v4 , 4 F1z =
1
2 2
{ v2 = l2 = 1
(6)
− v2 = 1l2 = −1 } ×
 1
×
( v3 = l3 = m3 = 1 v4 = l4 = 2m4 = 1 +
 6
+ v3 = l3 = 1m3 = −1 v4 = l4 = 2m4 = −1 ) +
+
1
2 3
( v3 = l3 = 1m3 = 0
v4 = l4 = m4 = 2 +
+ v3 = l3 = 1m3 = 0 v4 = l4 = 2m4 = −2
)} .
(7)
Последний шаг на пути решения проблемы определения тетраэдрических расщеплений заключается в использовании полученных симметризованных функций для построения матричных элементов операторов, ответственных за тетраэдрические расщепления, в гамильтониане молекулы
(последние, как отмечалось выше, могут быть взяты из работы [1]). Для
этого была создана программа, так же как и выше реализованная на языке
аналитического программирования MAPLE. Результатом работы явились
полученные в виде аналитических функций от спектроскопических параметров матричные элементы операторов тетраэдрических расщеплений для
колебательных состояний с суммарным значением квантового числа N ≤ 4
( N = v1 + v2 / 2 + v3 + v4 / 2 ).
В качестве иллюстрации в табл. 2 приведены матричные элементы для
всех колебательных состояний симметрии F1. Полученные результаты могут
использоваться далее в различных задачах, связанных с исследованием сложной колебательно-вращательной структуры высокосимметричных молекул
типа XY4.
Physics and mathematics sciences. Physics
243
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Таблица 2
Значения отличныx от нуля матричных элементов
операторов, ответственных за тетраэдрические расщепления
ν1ν2ν3ν4,n
1
ν1 + ν2 + ν3
ν2 + 2ν3
ν1ν2ν3ν4,n
2
ν1 + ν 2 + ν 3
ν2 + 2ν3
ν1 + ν3 + ν4
ν1 + ν 3 + ν 4
2ν3 + ν4,1
2ν3 + ν4,1
2ν3 + ν4,2
2ν3 + ν4,2
2ν3 + ν4,1
2ν3 + ν4,2
3ν2 + ν3,2
3ν2 + ν3,1
3ν2 + ν3,2
3ν2 + ν3,2
2ν2 + ν3 + ν4,1 2ν2 + ν3 + ν4,1
2ν2 + ν3 + ν4,2 2ν2 + ν3 + ν4,2
2ν2 + ν3 + ν4,3 2ν2 + ν3 + ν4,3
2ν2 + ν3 + ν4,1 2ν2 + ν3 + ν4,2
2ν2 + ν3 + ν4,1 2ν2 + ν3 + ν4,3
ν1 + ν2 + 2ν4 ν1 + ν2 + 2ν4
ν2 + ν3 + 2ν4,1 ν2 + ν3 + 2ν4,1
ν2 + ν3 + 2ν4,2 ν2 + ν3 + 2ν4,2
ν2 + ν3 + 2ν4,3 ν2 + ν3 + 2ν4,3
ν2 + ν3 + 2ν4,4 ν2 + ν3 + 2ν4,4
ν2 + ν3 + 2ν4,5 ν2 + ν3 + 2ν4,5
ν2 + ν3 + 2ν4,1 ν2 + ν3 + 2ν4,2
ν2 + ν3 + 2ν4,1 ν2 + ν3 + 2ν4,3
ν2 + ν3 + 2ν4,1 ν2 + ν3 + 2ν4,4
244
Значение
3
–8T33
8T23 – 8T33
10
– S34 – G34
3
16
14
4
T33 –
S34 + T34 – G34
3
3
3
4
4
4
– T33 + S34 – T34 + 2G34
3
3
3
20
10
–I 2
T33 + I 2 T34
3
3
–16T23
–8 3 T23
10
– S34 – G34
3
10
– S34 – G34
3
2
S34 – 4T34 + G34
3
8T23 + 8T24
8 I 3 T23 – 8 I 3 T24
8T24 – 8T44
–8T23
4
28
14
– T23 –
T24 +
S34 – 3G34
5
5
3
16
2
5
4T23 – 4T24 +
T44 + S34 – 4T34 + G34
3
3
3
16
32
4
T24 + 4T44 + S34 +
– T23 –
5
5
3
+ 4T34 + 2G34
4
4
4
– T44 + S34 – T34 + 2G34
3
3
3
16
2
– 5
T24 + 5 S34
5
3
16
– I 3 T24
3
2
4
30 T24 – 30 T34
3
3
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Продолжение табл. 2
1
2
3
8
– 6 T24
3
ν2 + ν3 + 2ν4,1 ν2 + ν3 + 2ν4,5
ν2 + ν3 + 2ν4,2 ν2 + ν3 + 2ν4,3
ν2 + ν3 + 2ν4,2 ν2 + ν3 + 2ν4,4
ν2 + ν3 + 2ν4,2 ν2 + ν3 + 2ν4,5
ν2 + ν3 + 2ν4,3 ν2 + ν3 + 2ν4,4
ν2 + ν3 + 2ν4,3 ν2 + ν3 + 2ν4,5
ν2 + ν3 + 2ν4,4 ν2 + ν3 + 2ν4,5
ν1 + 3ν4
ν3 + 3ν4,1
ν3 + 3ν4,2
ν3 + 3ν4,3
ν3 + 3ν4,1
ν3 + 3ν4,1
ν1 + 3ν4
ν3 + 3ν4,1
ν3 + 3ν4,2
ν3 + 3ν4,3
ν3 + 3ν4,2
ν3 + 3ν4,3
ν3 + 3ν4,2
4ν2 + ν4,1
3ν2 + 2ν4,1
3ν2 + 2ν4,2
3ν2 + 2ν4,1
2ν2 + 3ν4,1
2ν2 + 3ν4,3
2ν2 + 3ν4,4
ν3 + 3ν4,3
4ν2 + ν4,2
3ν2 + 2ν4,1
3ν2 + 2ν4,2
3ν2 + 2ν4,2
2ν2 + 3ν4,1
2ν2 + 3ν4,3
2ν2 + 3ν4,4
2ν2 + 3ν4,1
2ν2 + 3ν4,2
2ν2 + 3ν4,1
2ν2 + 3ν4,3
2ν2 + 3ν4,2
2ν2 + 3ν4,3
ν2 + 4ν4,1
ν2 + 4ν4,1
ν2 + 4ν4,2
ν2 + 4ν4,2
ν2 + 4ν4,3
ν2 + 4ν4,3
4
4
T23 + I 15
T24
5
15
12
4
2
6 T23 + 6 T24 – 4 6 T44 – 6 T34
5
5
3
4
4
– 30 T23 – 30
T24
5
15
4
12
I 10 T23 + I 10
T24
5
5
4
4
4
– I 2 T23 + I 2 T24 – I 2 T44 –
3
3
3
13
4
I 2
S34 + I 2 2 T34 – I 2 G34
6
3
8
16
– 5 T23 – 5
T24
5
5
–4T44
–6S34 – G34
2T44 – 6S34 – 3T34 – G34
6T44 + 2S34 + 3T34 + 3G34
12T44 + 2T34
4 I 15 T44 – 2 I 15 T34
–I
Physics and mathematics sciences. Physics
15
2I
15 T44 – I 15 T34
–16T24
–8T44
16T24 – 8T44
8 3 T24
–4T44
12T44
–4T44
15
T24
– 30
6
48
– 5
T24
5
– 8 6 T44
152
152
T24 –
T44
7
7
–16T24 + 12T44
32
156
– T24 –
T44
7
7
245
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Окончание табл. 2
1
2
ν2 + 4ν4,1
ν2 + 4ν4,2
ν2 + 4ν4,1
ν2 + 4ν4,3
ν2 + 4ν4,2
ν2 + 4ν4,3
5ν4,1
5ν4,1
5ν4,2
5ν4,2
5ν4,1
5ν4,2
3
24
– 14
T24
7
24
40
6
T24 + 6
T44
7
7
8
– 14 T24
7
28
– T44
3
40
T44
3
40
T44
2
3
Список литературы
1. H e c h t , K . The vibration-rotation energies of tetrahedral XY4 molecules: Part I. Theory of spherical top molecules / K. Hecht // J. Mol. Spectrosc. – 1960 – Vol. 5. –
P. 355–389.
2. P a p o u s e k , D . Molecular Vibrational Rotational Spectra / D. Papousek and M. R. Aliev. – Elsevier, Amsterdam, 1982.
3. F a n o , U . Irreducible tensorial sets / U. Fano and G. Racah // New York : Academic
Press, 1959.
4. W i g n e r , E . P . Quantum Theory of Angular Momentum / E. P. Wigner. – New York :
Academic Press, 1965.
5. V a r s h a l o v i t c h , D . A . Quantum Theory of Angular Momentum / D. A. Varshalovitch, A. N. Moskalev and V. K. Khersonsky. – Leningrad : Nauka, 1975.
6. C h e g l o k o v , A . E . On determination of the analytical formulas for reduction matrices of tetrahedral-symmetry molecules / A. E. Cheglokov and O. N. Ulenikov // J. Mol.
Spectrosc. – 1985. – Vol. 110. – Р. 53–64.
7. C h e g l o k o v , A . E . Analytical representation of the values describing the spectra
of Td symmetry molecules and crystals / A. E. Cheglokov, V. N. Saveliev and
O. N. Ulenikov // J. Phys. B-At. Mol. Opt. Phys. – 1986. – Vol. 19. – Р. 3687–3693.
References
1. Hecht K. J. Mol. Spectrosc. 1960, vol. 5, pp. 355–389.
2. Papousek D., Aliev M. R. Molecular Vibrational Rotational Spectra. Elsevier, Amsterdam, 1982.
3. Fano U., Racah G. Irreducible tensorial sets. New York: Academic Press, 1959.
4. Wigner E. P. Quantum Theory of Angular Momentum. New York: Academic Press,
1965.
5. Varshalovitch D. A., Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Quantum Theory of Angular
Momentum. Leningrad: Nauka, 1975.
6. Cheglokov A. E., Ulenikov O. N. J. Mol. Spectrosc. 1985, vol. 110, pp. 53–64.
7. Cheglokov A. E., Saveliev V. N., Ulenikov O. N. J. Phys. B-At. Mol. Opt. Phys. 1986,
vol. 19, pp. 3687–3693.
246
University proceedings. Volga region
№ 2 (26), 2013
Физико-математические науки. Физика
Распопова Наталья Ивановна
инженер, кафедра теоретической
и экспериментальной физики,
Национальный исследовательский
Томский политехнический университет
(г. Томск, пр. Ленина, 30)
Raspopova Natal'ya Ivanovna
Engineer, sub-department of theoretical
and experimental physics, National
Research Tomsk Polytechnic University
(Tomsk, 30 Lenina avenue)
E-mail: natalia.raspopova@mail.ru
Конов Иван Александрович
инженер, кафедра теоретической
и экспериментальной физики,
Национальный исследовательский
Томский политехнический университет
(г. Томск, пр. Ленина, 30)
E-mail: kiaff1188@mail.ru
Болотова Ирина Баторовна
аспирант, Томский государственный
университет (г. Томск, пр. Ленина, 36)
Konov Ivan Aleksandrovich
Engineer, sub-department of theoretical
and experimental physics, National
Research Tomsk Polytechnic University
(Tomsk, 30 Lenina avenue)
Bolotova Irina Batorovna
Postgraduate student, Tomsk State
University (Tomsk, 36 Lenina avenue)
E-mail: irbol89@mail.ru
Кривчикова Юлия Валерьевна
студент, Томский государственный
университет (г. Томск, пр. Ленина, 36)
Krivchikova Yuliya Valer'evna
Student, Tomsk State University
(Tomsk, 36 Lenina avenue)
E-mail: yuliao_o@mail.ru
УДК 539.194
Распопова, Н. И.
О расчете параметров тетраэдрических расщеплений в колебательных спектрах молекул типа XY4 симметрии Td: определение колебательных функций в симметризованной форме / Н. И. Распопова, И. А. Конов, И. Б. Болотова, Ю. В. Кривчикова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 2 (26). –
С. 239–247.
Physics and mathematics sciences. Physics
247
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа